JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim"

Transkript

1 JOVO STEFNOVSKİ NUM CELKOSKİ Sekizyıllık İlköğretim

2 Syın Öğrenci! u kitp, ders proğrmınd öngörülen ders mlzemesini öğrenmek için yrdımcı olcktır. Vektörler, öteleme ve dönme hkkınd yeni ilginç bilgiler edineceksiniz.kuvvetler, kökler ve polinomlr hkkınd önemli bilgiler öğreneceksiniz. Geometriden bildiklerinizi rttırcksınız.şekillerin lnlrını hesplycksınız. Fonksiyon ve orntı hkkınd yeni bilgiler edineceksiniz. Kitp beş konu birimine yrılmış ve onlrdn her biri ltbşlıklr yrılmıştır. Her konu birimi içindekilerle bşlıyor ders birimleri ise numrlnmıştır. Ders birimlerinde renkli işretlere rstlycksınız. unlrın vsıtsıyl mesjlr, etkinlikler, yükümlülükler ve diğer uyrılr veriliyor. Htırlyınız! Ders birimleri, bildiğiniz kvrmlrl bşlmktdır. unlrı htırlmlısınız ve istenenleri çözmelisiniz. unlr yeni dersin öğrenilmesinde sn yrdımcı olcktır.,... Yeni kvrmlrı öğrenmek için, ders birimleri,işretlerle kısımlr yrılmıştır Kendi bşın y d öğretmeninizin yrdımıyl çözeceğiniz ödevler bu gibi işretlerle etkinlikler ve sorulr işret edilmiştir. u bölümde yeni bilgileri öğreneceksiniz, bu nedenle derste dikktlı ve etkin olmlısınız. En önemlisi srı renkle oln kısımlrdır. Neleri bilmelisiniz: Dersin en önemli olnı, soru, ödev y d iddi olrk yrılmıştır. unlrı unutmmlısınız ve ödevler ile prtik örneklerde kullnmlısınız. Kendinizi yoklyınız! Ödevler Deneyiniz... u kısımd ödevler ve sorulr verilmiştir. Öğrendiklerinizin büyük kısmını öğrenmiş y d öğrenmediğinizi yoklmk için.unlrı gelecekte, prtikte ve günlük hytt uygulyrk yrrlncksınız. u ödevleri dim sırlı ve kendi bşın çözmeye çlışınız. öylece derste incelenenleri dh iyi nlycksınız ve ondn büyük yrrlrınız olcktır. u bölümdeki ödevleri ve problemleri çözmeye çlışınız (mecburi değildir). öylece dh çok bileceksiniz, iddilrınız çoğlcktır. İLDİKLERİNİZİ YOKLYINIZ Her konunun sonund soru ve ödevlerden oluşn test vrdır. u testi kendi bşın çözünüz. ununl incelenen konu hkkınd bildiklerinizi yoklycksınız. Mtemtiği incelerken, güçlüklere rstldığınd, yılmyınız, yeniden deneyiniz ve sonuc vrınc mutluluk hissedeceksiniz.u kitptn yrrlnrk, mtemtiği dh çok sevmenize ve yüksek bşrılr elde etmenize yrdımcı oluyors bizi sevindirecektir. Yzrlrdn.

3 KONU 1. VEKTÖRLER. ÖTELEME VEKTÖRLER. VEKTÖRLERLE İŞLEMLER 1. Işınlrın yönü. Yön 4 2. Vektörler 7 3.Vektörlerin eşitliği Vektörleri toplm Vektörleri Çıkrm 19 ÖTELEME 6. Öteleme 7. Ötelemenin Özellikleri 8. Ötelemenin Uygulnmsı ildiklerinizi Yoklyınız Vektör. Vektörlerle Ýþlemler

4 1 VEKTÖRLER. VEKTÖRLERLE İŞLEMLER IŞINLRIN YÖNÜ. YÖN Htırlyınız! 1. ir doğrusunu çiziniz ve üzerinde bir O noktsını işret ediniz. O noktsı doğrusunu iki kısm y d iki kümeye yırıyor. O noktsıyl iki kısm yrılmış oln doğrusunun O noktsını içeren kısmını nsıl dlndırmıştık? Şekilde bşlngıç noktsı O ve herhngibir noktsı M oln OM ışını çizilmiştir. O, ve C noktlrı bir doğru üzerinde olmmk üzere ve C ışınlrını çiziniz. ir doğrusunu çöziniz ve üzerinde M ve N noktlrını işret ediniz. MN ve NM ışınlrının kesişimi nedir? b doğrusuyl şekildeki düzlem iki yrıdüzleme yrılmıştır. unlrdn biri boylıdır. C b M p doğrusu üzerinde O, O 1, O ve O 1 ışınlrını inceleyiniz. V O O 1 p Hngi ışın O ışınının ltkümesidir? Hngi ışın O 1 ışınının ltkümesidir? Şunu frkettim: O 1 ışınının tüm noktlrı O ışının ittir, yni O 1 O dir. O ışınının tüm noktlrı O 1 ışının ittir, yni O O 1 dir. O ve O 1 ışınlrın ynıyönlü ışınlr denir. O ve O 1 ışınlrı d ynıyönlüdür. O ve O 1 ışınlrın tersyönlüdürler denir. O ve O ışınlrı d tersyönlüdürler. İşretlenen noklrdn hngileri ynı düzlem üzerindedir? b doğrusu yrıdüzlemin nesidir? ynıyönlü ışınlrı ", işreti ile, tersyönlü ışınlrı d " işretiyle işret edeceğiz. Örnek: O O 1 ; O O Şekli inceleyiniz. ve b prlel doğrulrın ve onlr üzerinde işret edilmiş oln O, O 1 ve O 1 C ışınlr bkınız. Işınlrdn hngileri, OO 1 doğrusuyl sınırlnn ynı yrıdüzlem üzerinde bulunuyorlr? b C O 1 O 4 Konu 1. Vektörler. Öteleme

5 O ve O 1 ışınlrı sınır doğrusu OO 1 oln ynı yrıdüzlem üzerinde olduklrını gördüm. O ve O 1 ışınlrı ynıyönlüdür denir ve O O 1 ile işret edilir. O ve O 1 C ışınlrı OO 1 ile sınırlnn ynı yrıdüzleme it değildirler ve onlr tersyönlü ışınlr denir ve O O 1 C biçiminde işret edilir. Tersi de geçerlidir: İki ışının ynıyönlü olmsı için, onlr ynı doğru üzerinde ve biri diğerinin ltkümesi olmsı gerekir; y d ynı düzleme it oln iki prlel doğru üzerinde olmlıdırlr. ynı doğru üzerinde oln y d iki prlel doğru üzerinde oln iki ışın ynı yönlü değilse onlr tersyönlü ışınlr denir (y d ters yönleri vrdır denir). 3. şğıdki ışınlrın yönünü ) O 1 b) O O1 belirtiniz: ) O ve O 1 ; b) O ve O 1 ; c) O ve O 1 ; d) O ve O 1 D; O 1 D ve O 1 C; O ve O 1 C. O d) b D O O 1 c) O O 1 C b unu biliyorsunuz. Şekilde yön gösteren trfi k işretlerini görüyorsunuz. KUMNOV ÜŞKÜP Her işretin neyi gösterdiğini çıklyınız. Yön sözcüğünü çok sık kullnıyoruz. Örnek: " rüzgr kuzey yönden esiyor", uçk Üsküp - Ohru yönünde hreket ediyor v.b. 4. O ışınını çizdikten sonr : O ışınıyl ynıyönlü oln O 1 1 ve O 2 2 ışınlrını çiziniz. O 1 1 ve O 2 2 ışınlrının yönleri nsıldır? Düzlemde O ışınıyl ynı yönlü olck kç ışın çizilebilir? Vektör. Vektörlerle Ýþlemler 5

6 Şu sonuc vrdım: ir düzlem üzerinde verilen bir O ışınıyl ynıyönlü oln sonsuz çok ışınlr vrdır. ir düzlemde, bir ışın ve üzerinde bulunn ynı yönlü tüm ışınlrın S kümesine yön denir. S yönünü, ynı yönlü ışınlr kümesinden bir ışınıyl gösteriyoruz ve bun ışınının S yönü vrdır denir. 5. O O 1 1 ; O 1 1 O 2 2 olmk üzere O, O 1 1 ve O 2 2 ışınlrı veriliyor. O ışınıyl S yönü O 2 2 ışınıyl ise R yönü belirtilmiştir. Hngisi doğrudur: O 1 1 S; O 1 1 R? O S O 1 2 S 1 R O Neleri bilmelisiniz: Hngi iki ışın ynı yönlüdür, hngileri ise ters yönlüdür. Yön nedir ve yönün ne ile gösterildiği nsıl çıklnbilir. Ödevler ) ir doğruy it iki ynı yönlü ışının kesişimi nedir? b) ir doğruy it iki ters yönlü ışının kesişimi nedir? ) ir doğruy it iki ynı yönlü ışının birleşimi nedir? b) ir doğruy it iki ters yönlü ışının birleşimi nedir? Şekilde ve b doğrulrı birbirine prleldir. O, O 1 C ve O 1 ışınlrındn hngileri: ynı yönlüdür; ters yönlüdür; ynı yönü gösteriyorlr? Kendinizi yoklyınız! O C O 1 ir CD dikdörtgenini çiziniz. O noktsı onun köşegenlerinin kesişim noktsı olsun., DC,, O, OC ve D ışınlrındn hngileri: ) ynı yönlü; b) ters yönlüdür? doğrusu üzerinde O O 1, ve O 1 O 2 olmk üzere O, O 1 ve O 2 ışınlrı veriliyor. O ve O 2 ışınlrı nsıl yönlüdür? b 6 Konu 1. Vektörler. Öteleme

7 2 VEKTÖRLER Htırlyınız! Sırlı çift (, b) biçiminde gösterilir. Her sırlı çiftte, hngi elemn birinci ve hngisi ikinci elemn olduğu tm olrk bellidir. (, ) sırlı çiftinde, noktsı birinci elemn, noktsı ise ikinci elemndır. (5, 8) sırlı çifti bir sinem slonund beşinci sırd sekizinci koltuğu gösteriyor. (8, 5) sırlı çifti ynı koltuğu işret ediyor mu? 1. ve doğru prçsının uç noktlrı olsun. Şu iddilrdn hngisi doğrudur: ) ; b) ve ynı doğru prçlrdır; c) {, } = {, }; d) (, ) = (, )? Şunu frkettim: ), b) ve c) iddilrı doğrudur ; d) iddisı doğru değildir, çünkü sırlı çiftlerde olduğu durumd (, ) (, ) durumd olmlıdır. ir uç noktsı bşlngıç diğeri ise bitim noktsı oln doğru prçsın yönlü doğru prçsı denir ve ile işret edilir. yönlü doğru prçsının uç noktlrı (, ) sırlı çiftidir. yönlü doğru prçsı, şekilde bşlngıcı noktsınd ve bitimi uç noktsınd oln bir ok ile gösteriliyor. noktsın yönlü doğru prçsının bşlngıcı, noktsın ise bitimi denir. 2. Şekilde, CD ve EF ışınlrı, b ve c prlel doğrulrı üzerinde bulunuyorlr., CD ve EF ışınlrının yönleri nsıldır? ve CD; ve EF doğru prçlrının uzunluklrını krşılştırınız., CD, EF yönlü doğru prçlrını inceleyiniz ve ilerde hngi durumd iki yönlü doğru prçsı birbirine eşit olduğunu nlmy çlışınız. E C D F b c, CD ve EF ışınlrı ynı yönlü olduğunu frkettim. = ; <. Vektör. Vektörlerle Ýþlemler 7

8 ışınının belirtiği yöne, yönlü doğru prçsının yönü denir. un göre, CD ve EF yönlü doğru prçlrı ynı yönlüdürler. doğru prçsının uzunluğun, yönlü doğru prçsının uzunluğu y d boyu denir. unu ile işret edeceğiz. un göre = CD, ve < EF dir. şlngıcı ucuyl çkışn yönlü doğru prçsın (,,...) sıfır yönlü doğru prçsı denir. Onun belli bir yönü yoktur ve uzunluğu sıfırdır. ve CD yönlü doğru prçlrı birbirine eşit olmlrı iiçin, uzunluklrı eşit ve yönleri ynı olmlıdır, yni = CD ve CD. unu = CD biçiminde yzıyoruz. C D 3. ОА =1 olmk üzere O noktsı p doğrusu üzerinde dört birim sğ doğru kydırılmış olsun. G F O C D E O noktsı p doğrusund hngi nokty gelecektir, yni hngi noktyl eşleşecektir? p O noktsı D noktsın denk geleceğini (D noktsıyl eşleşeceğini) gördüm. u hrekette O noktsı bşlngıç, D noktsı ise bitim noktsıdır. O ve D noktlrı slınd nedir? O ve D noktlrı OD yönlü doğru prçsının uç noktlrıdır. Onlr (O, D) sırlı çiftidir. Düzlemde bir noktnın hreketi, belli bir yönde ve belli uzklıkt ypılmıştır. Şekilde bunu OD yönlü doğru prçsıyl gösteriyoruz. O D ir yönlü doğru prçsı verilmiş olsu. yönlü doğru prçsın eşit olck kç tne yönlü doğru prçsı vrdır? yönlü doğru prçsın eşit birçok yönlü doğru prçsı çizebilirim. öyleleri sonsuz çoktur. F C E G D H Unutmyınız! ir yönlü doğru prçsı ve on eşit tüm yönlü doğru prçlrın kümesine vektör denir. Tüm sıfır yönlü doğru prçlrın kümesine sıfır vektörü denir. 8 Konu 1. Vektörler. Öteleme

9 u önemlidir! Vektörü yzrken bir yönlü doğru prçsı ile göstereceğiz, dh doğrusu, tüm yönlü doğru prçlrı kümesi dın bir temcisiyle göstereceğiz. un göre, yönlü doğru prçsı, slınd vektördür. C c b D Vektörü biçiminde y d bir küçük hrf ve üzerinde bir ok ile F E göstereceğiz. Şekilde = ; CD = b ve EF = c vektörlerini görüyorsunuz. 4.,, C ve D dört nokt işret ettikten sonr = ; b = DC ve c = D vektörlerini gösteriniz. Yönlü doğru prçlrı için öğrendiklerini vektörler için de ifde edebilirsiniz. yönlü doğru prçsıyl vektörü verilmiş olsun. yönlü doğru prçsının yönü, vektörünün yönüdür.. doğru prçsının uzunluğun vektörünün uzunluğu (y d şiddeti) denir. ve y d ile işret edilir. 5. Öyle ve CD iki vektör çiziniz ki onlr: ) ynı yönlü; b) ters yönlü olsun. ) ve b) şıklrındki ve CD vektörlerini yndki şekilde gibi çizilebilirsiniz. ) C D b) D C Şunu frkettim: Vektörün yönü, yönlü doğru prçsının yönünün belirtildiği gibi belirtilir, çünkü vektör slınd yönlü doğru prçlrdır. 6. şekilde olduğu gibi vektörünü çiziniz ve C ve M iki nokt işret ediniz. CD olmk üzere CD vektörünü çiziniz. MN olmk üzere MN vektörünü çiziniz. C Unutmyınız! M Yönleri ynı y d ters oln vektörlere doğrudş vektörler denir. un göre CD y d CD olduğu durumd. ve CD vektörleri doğrudştır. Doğrudş vektörlerin ynı doğrultusu vrdır. Vektör. Vektörlerle Ýþlemler 9

10 7. şğıdki koşullr göre, ve b iki doğrudş vektör çiziniz: prlel doğrulr üzerinde ve b; prlel doğrulr üzerinde ve b olsun. ynı doğru üzerinde ve b olsun. ynı doğru üzerinde b, = 3 cm, b = 5 cm olsun. Sıfır yönlü doğru prçsı, sıfır vektördür. Onu 0 ile işret ediyoruz. Sıfır vektörü, her vektör ile doğrudş ve uzunluğu sıfır eşit olduğunu syıyoruz. ilinmesi gereken: Yönlü doğru prçsı ve vektör nedir; ynı yönlü, ters yönlü ve doğrudş vektörleri tnımlısınız (çıklmsını ypmlısınız). Kendinizi yoklyınız! Şekilde p doğrusu q doğrusuyl prleldir. Şekilde hngi vektörler gösterilmiştir? M d N p F c E C b D q ve b; ve c ; b ve c vektörlerin yönleri nsıldır? ve d vektörleri doğrudş mıdır? Niçin?, b ve c vektörleri doğrudş mıdır? Niçin? Ödevler (, ), (C, D) ve (E, F) sırlı çiftlerin noktlrıyl belirlenen vektörleri yzınız. ve CD vektörleri doğrudş olsun. şğıdki vektörler doğrudş mıdır: ve DC; ve DC? 3. şğıdki şekilde kreli ğd vektörler verilmiştir. Vektörler yönlerine göre nsıldır: ) ve C; b) ve EF; c) C ve EF; d) PQ ve RS; d) MN ve TL; e) EF ve PQ? E C F P Q R M T N L S 10 Konu 1. Vektörler. Öteleme

11 3 VEKTÖRLERİN EŞİTLİĞİ Htırlyınız! Hngi ve CD iki vektör için ynı yönlüdür deriz? vektörünün uzunluğu nedir? 1. CD prlelkenrınd = ; DC = b; D = c; C = d vektörleri işretlenmiştir. D b C CD dikdörtgeninde = ve DC = b vektörleri gösterilmiştir. Onlrın uzunluklrını krşılştırınız ve yönlerini belirtiniz. c d Onlrın uzunluklrını krşılştırınız; ve b, y D b C d c ve d vektörleri yönlerine göre nsıldır? Her prlelkenrın krşıt kenrlrı birbirine prlel ve eşittir. Şunu frkettim: ve b vektörleri ynı yönlüdür ve uzunluklrı eşittir. c ve d vektörlerinin yönleri terstir ve uzunluklrı eşittir. Unutmyınız! Yönleri ve uzunluklrı ynı oln ve b vekörlerine eşit vektörlerdir denir, yni = b nck ve nck 1. b ve 2. = b. Yönleri ters ve uzunluklrı ynı oln d ve c vektörlerine ters vektörlerdir. d vektörüne c vektörünün tersidir denir. c vektörünün tersi -c, yni d = -c biçiminde işret edilir. 2. = vektörüne eşit olck MN vektörünü çiziniz. Önce vektörünü çiziniz, ondn sonr bir M noktsını işret ediniz. MN vektörünün N noktsını nsıl belirteceksiniz? M noktsındn ışınıyl ynı yönlü olck şekilde MD ışınını çiziyorum, ondn sonr MN= olck şekilde N noktsını belirtiyorum. Vektör. Vektörlerle Ýþlemler 11

12 Verilen bir vektörüne eşit olck sonsuz çok vektörlerin çizilebildiğini gördüm. ir vektörünün belli olmsı için, onun yönü S ve uzunluğu = r belli olmlıdır; y d vektörün bşlngıcı ve bitim noktsı olmk üzere (, ) sırlı çifti verildiğinde vektör bellidir. 3. Yönü S ve uzunluğu = r verilmiş oln vektörünü çiziniz. şğıdki hreketleri inceleyiniz ve yptığınız çözümle krşılştırınız. Yndki çizimde, S yönü ışınıyl ve vektörünün r = uzunluğu verilmiştir. Herhngi bir M noktsındn ile ynı yönde olmk üzere MD ışınını çiziyoruz. M P S r N Q D MD ışını üzerinde = r olck şekilde N noktsını belirtiyoruz. u şekilde MN = vektör belirtilmiştir. 4. = vektörü ve bir M noktsı verilmiş olsun. MN = - vektörünü çiziniz. M 5. Yndki şekle göre şğıdki vektör çiftlerinden hngileri birbirine eşit y d ters olduğunu belirtiniz. ) ve b ; d) e ve r ; b) ve c ; e) g ve h ; b c e r n c) b ve c; f) c ve n : g h 6. = vektörü ve O noktsı verilmiştir. vektörüne eşit olck OC vektörünü çiziniz. Gösterilen çözümü inceleyiniz ve hreketleri çıklyınız. Önce OD ışınını nsıl çizdiniz? OC vektörünün C noktsını nsıl belirttiniz? O C D Unutmyınız! Düzlemde = vektörü ve herhngi bir O noktsı verildiğinde, vektörüne eşit olck ve bşlngıcı O noktsınd oln bir tek OC vektörü vrdır. vektörüne eşit olck OC vektörünün çizimine, vektörünün O noktsın göçürülmesi denir. 12 Konu 1. Vektörler. Öteleme

13 7. O,, ve C gibi dört nokt seçiniz. O noktsınd ve C vektörlerini göçürünüz. 8. ve b vektörleri veriliyor. şlngıcı vektörünün uç noktsınd olmk üzere b vektörünü göçürünüz. Çözümü inceleyiniz ve hreketleri çıklyınız. Önce b vektörü yönünde D ışını çiziliyor. C vektörünün b vektörüyle eşit olmsı için C noktsını nsıl belirttiniz? İnceleyiniz ve unutmyınız! vektörü ve göçürülen b vektörüne bğlı vektörler denir. ir vektörün bitimi, diğer bir vektörün bşlngıcı olduğu durumd onlr bğlı vektörler denir. b C D b ilmelisiniz: İki vektör hngi durumd birbirine eşit y d terstir; Verilen bir vektörü, verilen bir nokty nsıl göçürüldüğünü ve verilen bir vektörü diğer bir vektörle nsıl bğlndığını. Kendinizi yoklyınız! vektörüne -b vektörünü bğlyınız. Ypıln işlemleri çıklyınız. M b N Ödevler 1. ve b gibi iki doğrudş vektör çiziniz ve vektörüne b vektörünü bğl. 4. ve gibi herhngi iki nokt verilmiş olsun. vektörü vektörüyle ters midir? çıklyınız! 2. ve b gibi iki ters vektör çiziniz ve 5. = ve b = CD vektörleri verilmiş olsun. vektörüne b vektörünü bğlyınız. vektörüne b vektörünü bğlyınız. 3. Eşit vektörler doğrudş mıdır? çıklyınız! 6., b, c vektörleri ve O noktsı verilmiş olsun. Her üç vektörü bşlngıçlrı O noktsınd olmk üzere göçürünüz. Vektör. Vektörlerle Ýþlemler 13

14 4 VEKTÖRLERİ TOPLM Htırlyınız! Verilen bir vektörünü, verilen bir O noktsın nsıl göçürüldüğünü çıklyınız. vektörüne b vektörünü bğlyınız. Ypıln işlemleri çıklyınız! 1. Düzlemde, b vektörleri ve O noktsı verilmiştir. O = ve = b olck şekilde ve b vektörlerini göçürünüz. b O c = O vektörünü çiziniz. Yptığınız çizimi yndki çizimle krşılştırınız ve kurlı çıklyınız. = O ve b = vektörünü nsıl göçürdünüz? c = O vektörünü nsıl belirttiniz? c vektörünün hngi noktsı bşlngıç, hngisi ise bitim noktsıdır? O noktsı vektörünün nesidir? noktsı b vektörünün nesidir? u şekilde çizilen c vektörüne ve b vektörlerinin toplmı olduğunu görünüz ve unutmyınız. b O c b Vektörlerin toplmın it önemli kurl: ve b gibi iki bğlı vektörün toplmı öyle bir c vektörüdür ki, bşlngıcı vektörünün bşlngıcıyl, bitimi ise b vektörünün bitim noktsıyl çkışıktır, yni, = O ve b =, olduğu durumd + b = O olur. Diğer bir O 1 noktsını seçiniz ve = O 1 1 ve b = 1 1 vektörlerini göçürünüz. O 1 1 vektörü ve b vektörlerinin nesidir? O ve O 1 1 vektörlerini krşılştırınız. Görünüz ve sonuc vrınız! O 1 1 = O = c dir. İki vektörün toplmı, tek olrk bellidir ve bşlngıç noktsı O noktsının seçimine bğlı değildir. 2. Doğrudş olmyn ve b vektörlerini seçiniz ve onlrın toplmını çiziniz. 14 Konu 1. Vektörler. Öteleme

15 ve b vektörlerinin toplmını belirtirken, O bşlngıç noktsının seçimine bğlı olmdığın göre, bu toplmı dh koly nsıl ypbileceksiniz? b vektörünü vektörünün uç noktsın göçüreceğim, yni b vektörünü vektörüne bğlyrk onlrın toplmını belirteceğim. Yptığınız çözümü verilenle krşılştırınız. Verilen vektörleri bşlngıç ve uç noktlrıyl dlndırınız. C = b vektörü nsıl çizilmiştir? C vektörü ve b vektörlerinin nesidir? Gördüğünüz gibi, iki vektörün toplmı C üçgeninin çizimine dönüşür. u nedenle iki vektörün toplmının bu şekilde belirtilmesine üçgen kurlı denir. M N b c = + b b C 3., b ve c vektörleri veriliyor. Şu toplmlrı çizim yoluyl belirtiniz: + b ; b + c. c b 4. = ; CD = b ve EF = c vektörleri veriliyor. Şu toplmlrı belirtiniz: ) + b ; b) + c ; c) b + c E ) şıkkındki çözümü ynd görebilirsiniz. = ; D = b ve D = + b. D c F D b Vektörlerin toplmın it kurlın nsıl uygulndığını görüyorsunuz. Kurlı çıklyınız. b C 5. 0 sıfır ve vektörlerinin toplmını belirtiniz. = 0 ; = olsun. Vektörlerin toplmı kurlın göre : 0 + = + = = geçerlidir. enzer şekilde: + 0 = + = = elde edilir. Genel olrk geçerlidir: 6. Her vektörü için 0 + = = + 0 eşitliği geçerlidir. ve = 0 vektörleri veriliyor. 0 + vektörünü çiziniz. Vektörler/ Vektörlerle Ýþlemler 15

16 7. İki ters vektör ve - çizdikten sonr onlrın toplmını belirtiniz. = ve - = olsun. O hlde vektörleri toplm kurlın göre: + (- ) = + = = 0 gerekir. ynı şekilde (- ) + = + = = 0 elde edilir. Genel olrk geçerlidir: Her vektörü için + (- ) = 0 = (- ) + eşitlikleri geçerlidir. 8. Doğrudş olmyn iki vektör ve b verilmiş olsun. + b ve b + toplmlrını belirtiniz. + b ve b + toplmlrını krşılştırınız. Çözümünüzü, verilen çözümle krşılştırınız ve kurlı inceleyiniz. ir noktsını seçeriz. şlngıcı noktsınd olmk üzere vektörünü göçürüyoruz ve on b vektörünü bğlrız, yni =, C = b; C = + b elde edilir. CD prlelkenrını çizmekle, D noktsını belirtiyoruz. Her prlelkenrd krşıt kenrlr birbirine prlel ve eşit olduğun göre: DC = =, D = C = b elde edilir. Demek ki: C = D + DC = b + y d: + b = b + elde edilir. b b D b + + b b C Genel olrk geçerlidir: Herhngi iki vektör ve b için: + b = b + eşitliği geçerlidir, yni vektörlerin toplmınd değişme özelliği geçerlidir. Şekle bkrk, ve b vektörlerinin toplmını belirtmek için bşk bir yöntem bulbilir misiniz? ve b vektörlerini, bşlngıç noktlrı çkışık olck şekilde göçüreceğim ( = ve D = b ), ondn sonr CD prlelkenrını çizeceğim. C köşegenini belirten vektör + b toplmıdır. Vektörlerin bu şekilde toplmın, prlelkenr kurlı denir. 16 Konu 1. Vektörler. Öteleme

17 9. Doğrudş olmyn ve b iki vektörü seçiniz ve prlelkenr kurlıyl onlrın toplmını belirtiniz. Çözümünüzü, şekilde verilen çözümle krşılştırınız ve kurlı çıklyınız. D C + b b b 10. CD dörtgeni verilmiştir. =, C = b, CD = c ve D = d olsun. ( + b ) + c = + ( b + c ) geçerli olduğunu göstermeye deneyiniz. Şekilde,, b ve c vektörleri bğlı vektörler olduğunu görebilirsiniz. ΔCD den : C + CD = D olmsı gerekir, yni ( + b ) + c = d. d D + b b + c c b C ΔD den: + D = D gerekir, yni + ( b + c ) = d. un göre, ( + b ) + c = + ( b + c ) elde edilir. Genel olrk geçerlidir: Herhngi üç vektör, b ve c için ( + b ) + c = + ( b + c ), geçerlidir, yni vektörlerin toplmınd birleşme özelliği geçerlidir. u yüzden bu toplm + b + c biçiminde prntezleri kullnmdn d yzılbilir.. Görünüz ve unutmyınız! Herhngi üç y d dh çok bğlı vektörün toplmı, bşlngıcı ilk vektörün bşlngıcınd, bitimi ise son vektörün bitiminde oln bir vektördür. Şekilde, b, c ve d vektörlerinin toplmı + b + c + d = e gösterilmiştir. d c d c b e b Doğrudş olmyn üç vektör, b ve c çizdikten sonr, onlrın toplmını çizim yoluyl belirtiniz. Vektörler/ Vektörlerle Ýþlemler 17

18 ilinmesi gereken: Üçgen ve prlelkenr kurlıyl iki vektörün toplmı çizim yoluyl nsıl belirtilir; Vektörlerin toplmının özelliklerini ifde etmelisiniz ve uygulmlısınız. Kendinizi yoklyınız! Öyle iki vektör ve b çiziniz ki verilen c vektörü onlrın toplmı olsun. c Ödevler 1. Şekilde olduğu gibi =, CD = b ve PP = 0 vektörleri verilmiştir. P C b D 3. CD dörtgeni ve =, C = b, CD = c ve D = d vektörleri veriliyor. Şekilden yrrlnrk şğıdki toplmı belirtiniz. ) + b ; c) + b + c ; b) d + ; d) + b + c + d. şğıd verilen vektörlerin bşlngıçlrını bir M noktsınd olck şekilde çiziniz: ) - ; b) - b ; c) + b ; d D c C b d) + 0; e) - b + 0; f) + (- ). 2. C üçgeni ve =, C = b ve C = c vektörleri veriliyor. şğıdki eşitliklerden hngileri doğrudur? c C b ) + b = c ; b) + b = - c ; c) + c = ; d) + b + c = 0? 4. Şekilde b vektörünün yönü ve c vektörlerinin yönüyle ters olrk üç doğrudş vektör, b, c çiziniz Şu toplmlrı çizim yoluyl belirtiniz: ) + b ; b) + c ; c) b + c ; d) + b + c. 18 Konu 1. Vektörler. Öteleme

19 5 VEKTÖRLERİ ÇIKRM Htırlyınız! ve b vektörleri veriliyor. C b 1. O = ve O = b vektörleri verilmiştir. b + x = olck şekilde x vektörünü çiziniz. O b + b = c olck şekilde c vektörünü çiziniz. Çizimi inceleyiniz (yndki şekil) ve çıklyınız. x vektörünün bşlngıç ve bitim noktsı hngi noktlrdır? O b x x vektörü b vektörüne bğlı ve bitimi vektörünün bitimiyle çkışık olmsı gerektiğini frkettim. Demek ki x = dir. u şekilde çizilen x vektörüne ve b vektörlerinin frkı denir ve - b ile işret edilir, yni x = - b. Unutmyınız! ve b vektörlerinin frkı öyle bir x vektörüdür ki b + x = dir. Demek ki, b + x = ise x = - b dir. 2. ve b vektörleri verilmiştir. c = - b vektörünü çizim yoluyl belirtiniz. b Çözümü izleyiniz ve kurlı öğreniniz. - b frkını gösteren vektörü çizmek için, önce onlrı herhngi bir noktd, bşlngıçlrı çkışık olck şekilde göçürmelisiniz, fkt dh prtik olmk için vektörlerden birini diğerinin bşlngıç noktsıyl çkışık gelecek durumd göçürmelisiniz. b M c = - b = ve M = b ise, - b frkı M = - b vektörü olcktır. Vektörler/ Vektörlerle Ýþlemler 19

20 3. Doğrudş oln, b ve c vektörleri verilmiştir. Şu vektörleri çiziniz: ) m = - b ; b) n = b - c. Çözümü inceleyiniz ve çıklyınız. Yndki şekle göre: ) O = ; O = b ; = m = - b ; b) O = c ; O = b ; = n = b - c olduğunu görüyoruz. b c b m O b n O c 4. = 5 cm ve b = 3 cm olmk üzere ve b vektörleri verilmiştir. c = - b vektörünü çiziniz. C 5. Yndki şekle göre şğıdki eşitliklerden hngisi doğtudur: ) b + = c ; b) c - b = ; b c) c = - b ; d) c - = b? c Vektörleri tnıdınız. Onlrın bzı özelliklerini ve onlrl bzı işlemleri öğrendiniz. İlerde mtemtik, fi zik ve diğer bilimleri öğrenirken vektörlerin birçok uygulnmsını göreceksiniz. Dersliğinizin uzunluğu 10 m y d bugün hv sıcklığı +12 o C olduğunu yzrsnız, bu verilerle dersliğin uzunluğu ve bugünün hv sıcklığını eksiksiz ifde etmiş oluyorsunuz. Uzunluk, ln, hcim, kütle, sıcklık gibi veriler syılrl tmmen belli oluyorlr. u gibi büyüklüklere skler büyüklükler y d dh kıs olrk sklerler denir. 6. Rüzgr 20 km stte hızl esiyor denilince, rüzgr hkkınd bu veri yeterli midir? u veri yeter değildir. Çünkü rüzgrın kendi yönü de vrdır, yni kuzey, güney, doğu ve b. olbilir. Doğl olrk, syı değerinden bşk, kendi yönüyle de belirlenen büyüklüklere vektöriyel büyüklükler denir. Hngi büyüklükleri, vektöriyel büyüklükler olrk biliyorsunuz? u gibi büyüklükler: hız, kuvvet, ivme v.b. dir. 7. ir ırmğın suyu 4 m sniyede hızl kıyor. ir kyık, suyun hreket yönüne dikey yönde bir kıyıdn diğer kıyıy 3 m sniye hızl hreket ediyor. Kyığın hreketi, hngi hızl ve hngi yönde olcğını belirtiniz. 20 Konu 1. Vektörler. Öteleme

21 Çözümü düşününüz, ondn sonr şğıdki işlemlere dikkt ediniz. v ( v = 3 m) vektörüyle kyığın skin sudki hızı 1 1 gösterilmiştir. v ( v = 4 m) vektörüyle suyun hızı gösterilmiştir. 2 2 v = v 1 + v 2 v vektörünün yönü, kyığın hreket yönüdür, v vektörünün uzunluğu ise kyığın sniyede kç metre hreket ettiğini ifde etmektedir. Kyık, sniyede kç metre hreket ettiğini ölçünüz. Neleri bilmelisiniz: vektörüyle kyığın hreket hızı gösterilmiştir. İki vektörün frkı nsıl belirtilir ve tnımı nsıl ifde edilir; İki vektörün frkı çizim yoluyl nsıl bulunur. Hngi büyüklükler skler, hngileri ise vektöriyel büyüklüklerdir. Ödevler 1. = ; CD = b ve EF = c vektörleri verilmiştir. F b D c C E Şu frklrı çizim yoluyl belirtiniz: ) - b ; b) b - c ; c) - c ; d) ( - b ) - c. 3. v 1 kyık vektörünü çizdikten sonr, onu iki vektörün frkı gibi gösteriniz. İki doğrudş vektör çizdikten sonr onlrın frkını belirtiniz. v 2 v = v 1 + v 2 v 2 Kendinizi yoklyınız! ve b doğrudş olmk üzere, b ve c vektörleri veriliyor. b ( + b ) - c vektörünü çiziniz. c v 1 2. =, CD = b ve MM = 0 vektörleri verilmiştir. C b D M şğıdkileri çizim yoluyl belirtiniz: ) - b ; b) - 0 ; c) 0 - ; d) ( + b ) CD dörtgenini çiziniz ve =, C = b ile işret ediniz. ve b vektörleriyle ) C; b) D vektörünü ifde ediniz. Vektörler/ Vektörlerle Ýþlemler 21

22 6 ÖTELEME ÖTELEME Htırlyınız! Vektör, yönlü doğru prçsı gibi gösterilir, yönlü doğru prç ise çizimde ok ile gösterilir. Şekilde, = vektörü gösterilmiştir. vektörünün yönü ne ile bellidir? vektörünün uzunluğunu belirtiniz. Hngi iki vektör ve b için birbirine eşittir denir? 1. Çözümünüzü verilen çözümle krşılştırınız. Düzlemde vektörü ve, ve C noktlrı verilmiştir. 1, 1 ve CC 1 vektörleri vektörüne eşit olck şekilde 1, 1 ve C 1 noktlrını belirtiniz C 1 C C 1 1 Gördüğünüz gibi, noktsı vektörü için 1 noktsıyl yer değiştirmiş (eşleşmiş), noktsı 1 noktsıyl ve C noktsı C 1 noktsıyl eşleşmiştir.. u yer değiştirmede 1 noktsın noktsının resmi, noktsı ise 1 noktsının slı denir. Hngi nokt, noktsının resmidir, hngi nokt ise C 1 noktsının slıdır? ve 1, ve 1, y d C ve C 1 noktlrı vektörünün nesidir? noktsı vektörünün bşlngıcı, nın resmi 1 ise uç noktsıdır. ynısı ve 1 y d C ve C 1 noktlrı için de geçerlidir. u şekilde, düzlemin herhngi X noktsı bir vektörü için ylnız bir tek X 1 noktsın geldiğini (eşleştiğini) görüyorsunuz. Unutulmsı gereken: Düzlem üzerinde herhngi bir M noktsın öyle bir M 1 noktsı krşılık gelir ki MM 1 vektörü verilen vektörüne eşit olur. Düzlemde noktlrın bu gibi hreketlerine (eşleşmelerine) vektörü için öteleme ( y d prlel yer değiştirme) denir. Verilen vektörüne öteleme vektörü denir. vektörü için ötelemeyi simge olrk t işret edeceğiz. ile 22 Konu 1. Vektörler ve Öteleme

23 M ve M krşılıklı noktlr için: M noktsı M noktsının resmidir ve M noktsı M noktsının slıdır denir. Dh d M noktsın vektörü için öteleme ypılmıştır denir. M noktsı M noktsının resmidir ifdesi M M 1 t y d M = t (M) biçiminde yzılır ve b vektörleri ve bir M noktsı veriliyor. t (M) ve t b (M) noktlrını belirtiniz. Çözümünüzü ynd verilen çözümle krşılştırınız. M noktsınd ve b vektörlerini göçürünüz. Göçürülen vektörünün uç noktsı t (M) noktsıdır. t b (M) noktsı nsıl belli edilmiştir? M b M b t (M) t b (M) M noktsın hngi ötelemeler ypılmıştır? bir vektörüyle kç öteleme ypılbilir? M noktsın t ve t b ötelemeleri ypılmıştır. bir vektörüyle ylnız bir tek öteleme bellidir. Gördüğünüz gibi, bir öteleme, bir vektörüyle y d M - slı ve M 1 = t (M) - resmi olmk üzere (M, t (M)) sırlı çifti ile bellidir. Sıfır vektörü hngi ötelemeyi belirttiğini düşününüz. 0 vektörüyle ötelemeye özdeş öteleme denir. Sıfır vektörünün bşlngıcı, bitim noktsıyl çkıştığın göre, 0 vektörlü öteleme her M noktsını kendi kendine dönüştürür. ilinmesi gereken! Ötelemenin ne olduğunu; bir öteleme ne ile bellidir; herhngi bir noktnın vektörü için ötelenmesiyle resmi nsıl bulunur. Kendinizi yoklyınız! Öteleme vektörü olmk üzere, 1 = t () resmi verildiğinde slı oln noktyı belirtiniz. t () <teleme 23

24 1. 7 Ödevler vektörü ve, ve C noktlrı verilmiştir. C, ve C noktlrını vektörü için öteleyiniz. ÖTELEMENİN ÖZELLİKLERİ (, t())sırlı çift noktlrı verilmiştir. t ötelemesinin vektörünü çiziniz. (, t()) sırlı çiftiyle verilmiş oln t ötelemesiyle verilen bir M noktsını öteleyiniz. t() t() M Htırlyınız! 1. Ötelemenin, düzlemde noktlr rsınd nsıl bir hreket olduğunu çıklyınız. ir öteleme ne ile bellidir? F 1 ve F 2 birbirine eştir de- Hngi iki şekil nir? Her ötelemenin şu özelliği vrdır: vektörü ve üç frklı nokt, ve verilmiştir.. ve frklı noktlrın vektörü için, ötelemede frklı resimleri vrdır ve her C 1 noktsı düzlemde t ötelemesiyle bir noktnın resmidir. C 1 1 = t () ve 1 = t () noktlrını belirtiniz. 1 ve 1 noktlrı herhngi bir ötelemeyle birbiriyle çkışık durumd olbilir mi? Düşününüz. Öyle bir C noktsını belirtiniz ki, ötelemesiyle C 1 noktsı onun resmi olsun. vektörü için ötelemeyle düzlemin her noktsın onun resmi olck düzlemde birer nokt dim krşılık gelir mi? şğıd verilen çözümü inceleyiniz. 1 1 C 1 =, 1 = ve ve noktlrı frklı noktlr 1 olduğundn 1 ve 1 noktlrı d birbirinden frklıdır. Seçilen C noktsı için CC = vektörünü çizebilirsiniz, 1 1 C yni öyle bir C noktsını belirtmelisin ki t ötelemesiyle resmi C 1 olsun. C 1 2. doğru prçsı ve vektörü verilmiştir (yndki şekil) 1 = t () ve 1 = t () noktlrını belirtiniz. 1 1 doğru prçsı doğru prçsıyl prlel ve eşit olduğunu gösteriniz. 24 Konu 1. Vektörler ve Öteleme

25 t ötelemesiyle 1 1 doğru prçsı doğru prçsının resmi olduğunu gösteriniz. Çözümü inceleyiniz ve ypıln işlemleri görünüz., noktlrı ve t ötelemesiyle elde edilen 1, 1 resimleri 1 1 dörtgenini oluşturuyorlr. 1 X 1 1 = = olduğun göre, dörtgeninin birer krşıt kenrlrı birbirine eşit ve prleldir ( 1 ve 1 ). O hlde 1 1 dörtgeni prlelkenrdır. X X noktsı doğru prçsı üzerinde herhngi bir nokt ise, X 1 = t (X) noktsı 1 1 doğru prçsın it bir nokt olcktır. (Niçin?) Tersine : 1 1 doğru prçsın it herhngi bir X 1 noktsının t (X) = X 1 olck şekilde doğru prçsı üzerinde bir X noktsı bulunur. un göre 1 1 doğru prçsı doğru prçsının resmidir. Ypıln incelemeden şu özelliği görebilirsiniz. Her ötelemede, doğru prçsı kendine eşit ve prlel doğru prçy eşlenir, yni t () = 1 ve t () = 1 ise = 1 1 ve % 1 1 dir. Ötelemede, noktlr rsındki mesfe değişmediğini frkedebilirdiniz. doğru prçsı yerine doğrusu çizerseniz, o hlde t ötelemesiyle doğrusu neye eşlenecektir? doğrusu kendine prlel olcn 1 1 doğrusun eşlenecektir. Genel olrk şu özellik geçerlidir. Her ötelemede, doğru, kendine prlel bir doğruy eşlenir ir doğru prçsı, CD doğrusu ve bir vektörü çiziniz. doğru prçsını ve CD doğrusunu vektörü için öteleyiniz. ir doğrusunu çizdikten sonr onu = vektörü için öteleyiniz. doğrusu neye eşlenir? 5. C üçgeni ve vektörü veriliyor. C, ve C köşelerini vektörü için öteleyiniz. t () = 1, t () = 1 ve t (C) = C 1 olsun. ΔC Δ C olduğunu gösteriniz <teleme 25

26 Şekilde, C üçgeninin vektörü için ötelenmesi gösterilmiştir. Doğru prçsının ötelenmesi özelliğini ve üçgenlerde KKK kurlını uygulyrk ΔC Δ 1 1 C 1 olduğunu göstereceksiniz. Şekle bkrk, C üçgeni vektörü için kydırılmış ve 1 1 C 1 üçgeniyle çkışık durum geldiğini tsrlybilirsiniz. 1 1 C 1 üçgenine t ötelemesine göre C üçgeninin resmidir denir. Demek ki, ötelemede verilen bir üçgenin resmi kendine eş oln bir üçgendir. Genel olrk, F ve F 1 şekilleri için, F 1 in her noktsını F şeklinin en z bir noktsın eşleyen ve herhngi iki nokt, F için f() = 1, f() = 1 den gerektiren f: F F 1 eşlemesi vrs F ve F 1 şekilleri birbirine eştir. Tersi de geçerlidir. vektörü için ötelemede her F şekli kendine eş oln bır F 1 şekliyle eşleşir. Ters öteleme vektörü - ise F 1 şeklinin her X 1 noktsını, F şeklinde slı oln X noktsın eşlediğini,yni F şekli t - ötelemesiyle F 1 şeklinin resmi olduğunu frkedebilirsiniz. - vektörü için öteleme ( nın tersi ), öteleme vektörü oln ötelemenin tersidir. X C 1 C 1 X 1 1 ilinmesi gereken! Ötelemenin temel özellikleri nsıl ifde edilir ve ynılrı nsıl çıklnır. Ötelemenin özellikleri prtik ödevlerde nsıl uygulnır. Kendinizi yoklyınız! ir doğru prçsını çiziniz ve öteleme vektörü = olmk üzere onu öteleyiniz Ödevler ir doğru prçsını çizdikten sonr öteleme vektörü ) verilen bir ; b) = olmk üzere öteleyiniz. ir p doğrusu ve vektörü çiziniz. Öteleme vektörü olmk üzere p doğrusunu öteleyiniz. 26 Konu 1. Vektörler ve Öteleme ir O çısını ve vektörü çiziniz. Öteleme vektörü olmk üzere O çısını öteleyiniz. Merkezi O noktsınd ve yrıçpı r oln bir k çemberi ve = 2r olmk üzere vektörü verilmiştir. Öteleme vektörü olmk üzere k çemberini öteleyiniz. C üçgeni ve vektörü verilmiştir. Öteleme vektörü ) - ; b) c = olmk üzere C üçgenini öteleyiniz.

27 8 ÖTELEMENİN UYGULNMSI Htırlyınız! Ötelemede: ) nokt ; b) doğru prçsı; c) ışın; d) doğru; e) çı; f) çember ; g) üçgen; h) kesişen iki doğru hngi şekle dönüşür? ir O çısı ve vektörünü çiziniz. Öteleme vektörü olmk üzere O çısını öteleyiniz. O çısı ve 1 O 1 1 resmi birbirine göre nsıldır? 1. Öteleme uygulyrk geometriden birçok teorem isptlnbilir ve ödevler çözülebilir. Ötelemenin nsıl uygulndığını, ilerdeki örneklerde göreceksiniz. İsptlyınız: ) ynı yönlü kenrlı çılr birbirine eittir; b) Kenrlrı ters yönlü oln iki çı birbirine eşittir; c) ir çift kenrlrı ynı yönlü, diğer çift kenrlrı ise ters yönlü oln iki çı bütünler çılrdır. Şeklleri inceleyiniz ve isptlm yöntemini görünüz. ) b) 2 c) O O 1 O 1 O O 1 O O O 1 1 O O 1 1 O O 1 1 O O 1 1 O O 1 1 O O 1 1 Şu özellikten yrrlnınız: Ötelemede her şekil kendine eş şekle dönüşür. O hlde her çı, ötelemede kendine eşit (eş) çıy dönüşür. ) OO 1 = olsun. vektörüyle ötelenerek O çısı 1 O 1 1 çısın dönüşür, yni t (O) = 1 O 1 1 dir. un göre O = 1 O 1 1 elde edilir. b) Ters çılr gibi 2 O 1 2 = 1 O 1 1 olduğunu görüyorsunuz. O hlde O = 1 O 1 1 gerekir. OO 1 = olsun. vektörüyle ötelenerek O çısı 2 O 1 2 çısın dönüşür, yni t (O) = 2 O 1 2 dir. un göre O = 2 O 1 2 elde edilir. enzer şekilde c) şıkkındki iddiyı isptlybilirsiniz <teleme 27

28 Ötelemeyi uygulyrk, üçgenin iç çılrı toplmı olduğunu isptlyınız. Kideyi inceleyiniz ve istenilenleri ypınız. C = ve C = b olsun. α çısın vektörlü öteleme ypınız, yni t (α) = α 1 olsun. α ve α 1 çılrı büyüklüklerine göre nsıldırlr? 4 β ve β 1 çılrı büyüklüklerine göre nsıldırlr? 5 β çısın b vektörlü öteleme ypınız, yni t b (β) = β 1 olsun. α γ 1 β 1 α 1 C γ b β 6 7 α ve β çılrının köşeleri C köşesine tşınmıştır. α ve β çılrının kenrlrın ne olmuştur? çıklyınız. Neden γ = γ 1? Neden α 1 + β 1 + γ 1 =180 o dir? 8 Neden α + β + γ = 180 o dir, çıklyınız p, q doğrulrı ve vektörü verilmiştir. q doğrusu üzerinde öyle bir M 1 noktsı belirtiniz ki, t ötelemesiyle o nokt p doğrusu üzerinde oln bir M noktsının resmi olsun. q p Çözümün incelenmesi Ödevin çözülmüş olduğunu frzediniz (şekle bkınız). İnceledikten sonr, M ve M 1 noktlrının belirtilmesi için çizimlerin ypılış usulünü görünüz. t ötelemesiyle M 1 noktsı, M noktsının resmi olsun. MM 1 =. Neden? t ötelemesiyle p 1 doğrusu, p doğrusunun resmidir. 4 M noktsını p ve p 1 1 doğrulrının kesişimi gibi belirtebilirsiniz. 5 M noktsını belirtmek için, M 1 noktsı - vektörüyle ötelenir. q M 1 p 1 M p 28 Konu 1. Vektörler ve Öteleme

29 Çizim q 1 p üzerinde ve nktlrını seçtikten sonr p 1 = t (p) doğrusunu çiziniz. p p 1 M M = t- M 1 noktsı q ve p 1 doğrulrının kesişimidir. M 3 (M1 ). ilmelisiniz! Verilen ödevin incelemesini yptıktn sonr, öteleme kullnrk ödevin çözümünün mümkün olup olmdığını nsıl krr verebilirsiniz. Kendinizi yoklyınız! doğrusu, k çemberi ve vektörü verilmiştir. doğrusu üzerinde öyle bir nokt belirtilsin ki, vektörlü ötelemeyle k çemberinde bir nokty vrsın. O k doğrusu üzerinde böyle kç nokt vrdır? Ödevler 1. p, q doğrulrı ve doğru prçsı verilmiştir. q 2. Verilen bir M noktsındn geçen ve iki prlel p ve q doğrulrın değen bir çember çizilsin. q doğru prçsın eşit ve prlel oln öyle bir MN doğru prçsı çizilsin ki, uç noktlrı verilen p ve q doğrulrı üzerinde olsun. p M p <teleme 29

30 VEKTÖRLER VE ÖTELEMEYI INCELEDINIZ. ILDIKLERINIZI YOKLYINIZ 1. Hngi İki ışın ynı yönlüdürler denir? 7. ve b vektörlerini çizdikten sonr: ) c = + b ; b) c = - b vektörünü çiziniz. 2. O ışını verilmiştir. ) O ışınıyl ynı yönlü olmk üzere O 1 1 ışınını çiziniz. b) O ışının ters yönlü oln O 2 2 ışınını çiziniz. 8., b ve MM = 0 vektörleri verilmiştir. şlngıcı verilen noktsınd olmk üzere şu vektörleri çiziniz: ) - + 0; b) 0 - b. 3. Hngi iki vektöre doğrudş vektörler denir? 9. vektörlü t ötelemesinde, noktsı ve onun resmi 1 noktsı verilmiştir. t öte-lemesinin öteleme vektörünü belirtiniz. 4. şlngıcı verilen bir noktsı olmk üzere, öyle bir vektörü çiziniz ki, doğrultusu verilen bir S doğrultusuyl ynı ve = 3 cm olsun. 10. doğru prçsı ve = vektörü verilmiştir. Öteleme vektörü - olmk üzere doğru prçsını öteleyiniz. 5., CD vektörleri ve M noktsı verilmiştir. ) vektörüne eşit oln MN vektörü; b) CD vektörüne ters oln MD vektörü çizilsin. 11. k(o, r), k 1 (O 1, r 1 ) çemberleri ve p doğrusu verilmiştir. Öyle bir q doğrusu çiziniz ki, p doğrusun prlel olsun ve çemberleri kestiğinde eşit kirişler elde edilsin. 6. irbirine ters oln ve b vektörlerini çiziniz. Ondn sonr vektörüne b vektörünü bğlyınız. 12. Kesişen iki çember k 1 ve k 2 verilmiştir. Kesişim noktlrındn birinden öyle bir p doğrusu çizilsin ki, çemberlerde p doğrusun it kirişler birbirine eşit olsun. 30 Konu 1. Vektörler ve Öteleme

31 KONU 2. ÜSLÜ İFDELER. KREKÖK. DOĞL SYILI ÜSLÜ KUVVETLER 1. Kuvvet (Üslü ifde) 2. Syıyı Kuvvet içiminde Göstermek Syı İfdesinin Hesplnmsı KUVVETLERLE İŞLEMLER 3. ynı Tbnlı Kuvvetlerin Çrpımı ve ölümü 4. Kuvvetin Kuvveti, Çrpımı ve ölümü RSYONEL SYININ KRESİ VE KREKÖKÜ 5. Syının kresi. Krekök 6. Krekökün hesplnmsı - zorunlu değildir 49 REEL SYILR 7. İrsyonel Syılr 8. Reel Syılr Kümesi ildiklerinizi Yoklyınız cü doğum gününüz kutlu olsun Doðl Syýlý Üslü Kuvvetler 31

32 1 DOĞL SYILI ÜSLÜ KUVVETLER KUVVET (ÜSLÜ İFDE) Htırlyınız! ynı toplnnlrın toplmı kısc çrpım biçiminde yzılır = 4 3 Şu toplmlrı çrpım biçiminde yzınız: 1. mip, tekhücreli hyvndır. O bsit yrışm ile çoğlır. Her mip iki yeni mipe yrılır. ir boylı dire bir mibi göstermiş olsun = = ynı çrpnlrın çrpımı kısc kuvvet biçiminde yzılbilir = 6 3 Şu çrpımlrı kuvvet biçiminde yzınız: ir mipden çoğln mip syısını inceleyiniz. irinci yrışm İkinci yrışm 2 = = = Üçüncü yrışm 2 2 = 2 2 = = 2 3 = 8 mipin dördüncü yrışmsınd elde edilecek syıyı, eşit çrpnlrın çrpımı biçiminde yzınız. mipin dördüncü yrışmsını kuvvet biçiminde yzınız. Dördüncü yrışmdn sonr mip syısı kçtır? çrpımını kısc 2 4 biçiminde yzıyoruz (" iki üssü dört" y d "iki üzeri dört" diye okunur) ve onun syı değeri 16 dır. Genel olrk syısın eşit n tne çrpnın çrpımı n biçiminde yzılır ve nın kuvveti denir, yni, $ $ $$$$ = 3 n. ndef 1 = syılır. 32 Konu 2. Üslü Ýfdeler. Krekök Demek ki, 2 4 kuvveti, 2 syısın eşit 4 tne eşit çrpnın kıs yzılışıdır. n üs kuvvetin kuvvet derecesi kuvvetin tbnı okunuşu: " üzeri ne" y d " üssü ne". 2. Verilen çrpımı kuvvet biçiminde yzınız: 7 12 kuvvetini okuyunuz. (- 3,2) (- 3,2) (- 3,2);

33 3 4 ifdesini çrpım biçiminde yzınız ve değerini hesplyınız. ir syının kuvvetinin syı değerini belirtme işlemine kuvvet lm işlemi denir. 3. Kuvvet lm işlemi ypılmış oln örneklere bkınız. 34 = = (3 3) (3 3) = 9 9 = 81 y d 3 (3 3 3)= 3 27 = 81 2 F (- 4)2 = (- 4) (- 4) = 16 (- 4) 3 = (- 4) (- 4) (- 4) = 16 (- 4) = - 64 = = ¹ = ¹ ¹ ¹ ¹ = = = = = F 17 = = 1 (- 1) 3 = (- 1) (- 1) (- 1) = - 1 (- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- 1) (- (- 1) 1) (- (- 1) 1) (- (- 1) 1) = = 1 1 F 06 = = = = = 0 9 sıfır En uygun oln birleşme özelliğinden yrrlnınız. Üslü ifdenin tbnının ve değerinin işretine dikkt ediniz. Hele üssü çift y d negtif olduğu durumlrı inceleyiniz. Tbnı 1 oln kuvvetin değeri ne kdrdır, tbnı (-1) oln kuvvetin değeri ise ne kdrdır? Tbnı 0 oln kuvvetin değeri, üssünün değerine bğlı mıdır? şğıdki kuvvetlerin değerini hesplyınız: (1,2) 3 = ; (- 5) 4 = ; (- 3) 3 = ; şğıdki tblo, bir kuvvetin tbnı ve üssüne göre nsıl syı olduğunu nlmk için yrdımcı olcktır. Kuvvetin tbnı Üssü Kuvvetin değeri Pozitif syı 1 0 Negtif syı ¹ Herhngi doğl syı Çift syı Tek syı = ; 0 18 = ; 1 6 = ; 7 1 =. Pozitif syı 1 0 Pozitif syı Negtif syı Herhngi syı 1 Syının kendisi Doðl Syýlý Üslü Kuvvetler 33

34 4. Tblodki kurllrdn yrrlnrk, şğıdki kuvvetlerin değeri nsıl syı olduğunu belirtiniz. 6 3 ; (- 6) 3 ; ; ; 6 1 ; (- 0,23) 1 ; 2 60 ; ; (- 2) 3 kuvvetinin değeri hesp mkinesiyle nsıl hesplndığını görünüz. -2 y x 3 = -8 Hesp mk. klvyesinde y x y d tuşlrı vrs x y -2 = 4 = -8 klvyede y d tuşlrı yoks Hesp mkinesi kullnrk şğıdkileri hesplyınız. 3 3 = ; 0,5 10 = ; (- 1,2) 4 = ; (-136) 3 = ; 15 2 =. y x x y Neleri bilmelisiniz: Kuvvet, kuvvetin tbnı ve üssü nedir (kuvvetin derecesi) ; Kuvvetin syı değeri nsıl belirtilir; Kuvvetin syı değeri nsıl syı olduğu thmin edilmesi. Kendinizi yoklyınız! n kuvvetiyle ilgili hngisi doğrudur: ) kuvvet, n ise kuvvetin tbnıdır; b) n syısı, syısının kç def çrpn olrk lındığını gösterir. c) < 0 ve n tek syı ise, n kuvvetinin değeri pozitif syıdır. n için yukrıd iddi edilenlerden ynlış olnlrı düzeltiniz ve yzınız. Cevplmy çlışınız! - 4x 6 ifdesi kuvvet değildir, (- 4x) 6 ise kuvvettir. Niçin? Her iki ifdeyi çrpım biçiminde yzınız. Frkı göreceksiniz. Yosun problemi ir brdkt yosunlr vrdı. Yosunlrın ktılm özelliğine göre, syısı her gün iki ktın çıkıyor. rdğın dolmsı için 10 gün gerekiyormuş. Kç gün sonr brdğın yrısı yosunl dolmuştur? Cevbınızı çıklyınız. 34 Konu 2. Üslü Ýfdeler. Krekök

35 Ödevler 1. Her kuvvetin tbnını ve üssünü belirtiniz: 3. Kuvvetleri, çrpım biçiminde yzınız: 6 3 ; 3 6 ; 4,26 7 ; (3p) m ; (-x + 4) p ; (- p 8 ) 4 ; ; = ; (- 2) 4 = ; (- x + 3) 3 = ; = ; 2. Verilen çrpımlrı kuvvet biçiminde yzınız: = ; (m 3 ) 4 =. (- 2,5) (- 2,5) = ; x x x x x x = ; 4. Her kuvvetin değerini hesplyınız: ( + b) ( + b) ( + b) = ; = ; = ; (x + 6) (x + 6) =. (- 2) 5 = ; (- 5) 2 = ; = ; (- 0,6 ) 7 = ; Sonuçlrı hesp mkinesiyle yoklyınız. 2 SYIYI KUVVET İÇİMİNDE GÖSTERMEK İFDENİN SYI DEĞERİNİN HESPLNMSI Htırlyınız! çrpımı, kuvvet gibi 10 3 biçiminde yzılır kuvvetinin tbnını ve üssünü belirtiniz kuvvetini, iki bsmklı eşit çrpnlrın çrpımı biçiminde yzınız. Her ondlık biriminde sıfırlr syısını, çrpımd çrpnlr syısını ve kuvvet biçiminde yzılışt üs oln syıyı krşılştırınız. 1. Tblod bzı ondlık birimler, ynı çrpnlrın çrpımı ve 10 tbnlı kuvvet biçiminde yzılmıştır. Ondlık birim Çrpım Ondlık birimin sıfır syısı, bu birimin 10 tbnlı kuvvet biçiminde yzılışınd kuvvetin üssüne eşit olduğunu frkettim. Kuvvet Doðl Syýlý Üslü Kuvvetler 35

36 2. şğıdki tümcelerde verilmiş oln syılrın her birini kuvvet biçiminde yzınız: Neptun'un kütlesi yklşık kilogrmdır. y'ın kütlesi yklşık kilogrmdır. Güneşin kütlesi, yın kütlesinin yklşık on milyon ktıdır. Güneşin kütlesini kuvvet biçiminde yzınız. enim kütlem 10 7 def dh çoktur 3. Verilen kuvvetleri çrpım biçiminde yzınız: 10 9 ; ; kuvvetine eşit oln ondlık birimi yzınız. ir syı ve ondlık birimin çrpımı biçiminde yzılbilen syılr, bir syı ve 10 tbnlı kuvvetin çrpımı biçiminde de yzılbilir. Örnek: = = Işığın hızı sniyede kilometredir. Işığın hızını bir syı ve 10 tbnlı kuvvetin çrpımı biçiminde yzınız. Işığın bir yıld geçtiği yol ışık yılı denir. ir ışık yılı kç kilometredir? Htırlyınız! 1 yıl = 365 gün; 1 gün = 24 st; 1 st = 60 dkik; 1 dkik =60 sniye; 1 ışık yılı = = Işık yılını iki syının çrpımı gibi gösteriniz. Öyle ki, çrpnlrdn biri tbnı 10 ve üssü 8 oln kuvvet olsun. Şimdiye dek, büyük syılrın, bir syı ve 10 tbnlı kuvvetin çrpımı biçiminde gösterilebildiğini gördünüz. enzer şekilde küçük syılr d, tbnı 0,1 oln kuvvet şeklinde y d bir syı ve 0,1 tbnlı kuvvetin çrpımı biçiminde yzılbiliyorlr. 5. Tblod ynı çrpnlrın çrpımı ve 0,1 tbnlı kuvvet biçiminde yzılmış oln ondlık syılrı görünüz. Syı Çrpım biçiminde yzılışı Kuvvet 0,01 0,1 0,1 0,1 2 0, 001 0,1 0,1 0,1 0,1 3 0,0001 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 4 0, ,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0, Konu 2. Üslü Ýfdeler. Krekök

37 Ondlık syının virgülden sonrki bsmk syısını ve ynı syının kuvvet biçiminde yzılışındki üssü krşılştırınız. Ondlık syının virgülden sonrki bsmk syısını ve ynı syının kuvvet biçiminde yzılışındki üssü ynı olduğunu frkettim. 6. 0, ve 0, syılrını 0,1 tbnlı kuvvet biçiminde yzınız: 0,1 tbnlı kuvveti ondlık syı biçiminde yzınız: 0,1 1 = ; 0,1 9 =. Her ondlık syı, biri 0,1 tbnlı kuvvet olmk üzere, iki çrpnın çrpımı biçiminde yzılbilir. 7. Örneğe bkınız: 0,007 = 7 0,001 = 7 (0,1 0,1 0,1) = 7 0,1 3 şğıdkileri, bir tm syı ve 0,1 tbnlı kuvvetin çrpımı biçiminde yzınız. 0,3 = ; 0,0008 = ; 0, = ; 1,05 =. Htırlyınız! Noktlr çizgiciklerin önünde gider Hesplyınız: Fkt, önce prntezlerde 3 + ¹ - 2 =. Kuvvet lm işlemi üçüncü derece işlemdir. 8. Verilen ifdenin syı değerinin hesplnmsın dikkt ediniz. (816-6) : (-3) 4 - (6 3 : 8) 2. İşlem sırsı Syı ifdesi (816-6) : (-3) 4 - (6 3 : 8) 2 prntezler 810 : (-3) 4 - (6 3 : 8) 2 = üçüncü derece = 810 : 81 - (216 : 8) 2 = ikinci derece = = birinci derece = = sonuç - 44 en üçüncü sırd fkt birinciyim 2 n Doðl Syýlý Üslü Kuvvetler 37

38 ir ifdenin syı değerini hesplrken, kuvvet lm işlemi ikinci derece işlemlerden (çrpm ve bölmeden) önce ypılır, sonund ise birinci derece (toplm ve çıkrm) işlemleri ypılır; prntezlere de dikkt edilmelidir. Verilen ifdenin syı değerini hesplyınız: ) : (- 7) 2 = ; b) 32 ¹ - 16 : ¹ + 20 : (- 1)123 =. Neleri bilmelisiniz: Kendinizi yoklyınız! üyük ve küçük syılrın kuvvet biçiminde nsıl yzıldığını; Syı ifdesinin değerini hesplrken işlemlerin sırsının uygulnmsını. Yerkürenin lnı km 2 dir. u syıyı çrpnlrdn biri 10 tbnlı kuvvet olmk üzere iki syının çrpımıı şeklinde gösteriniz. Syı ifdesinin syı değerini hesplrken toplm, çıkrm, çrpm, bölme ve kuvvet lm işlemleri hngi sıry göre ypıldığını yzınız. Ödevler 1. Çrpnlrdn biri 10 tbnlı kuvvet olmk üzere, şğıdki tümcelerde rstlnn syılrı iki çrpnın çrpımı biçiminde y d tersine yzınız: 3. Verilen ifdenin syı değerini hesplyınız: (16-13) 2 : 3 = ; (8 : 2 3 ) = ; Yupiterin kütlesi yklşık tondur. = ; =. Mrsın kütlesi, yklşık 6, tondur. İnsn vücudund, yklşık 0, hücre vrdır : syı ifdesine dikkt ediniz. şğıdki ifdenin değeri doğru olmsı için prntezleri nerede koymlısınız? 2. Hesplyınız: = ; = ; 6, = ; 0, = ; 6 : = 45; 6 : = 9; 6 : = ,1 3 = ; 0,392 0,1 2 =. 38 Konu 2. Üslü Ýfdeler. Krekök

39 3 YNI TNLI KUVVETLERİN ÇRPIMI VE ÖLÜMÜ Htırlyınız! n kuvveti çrpım biçiminde $ $ $$$$ = 3 n ndef şeklinde yzılır. 1 =. Verilen kuvvetleri çrpım biçiminde yzınız 7 3 = ; (- 2) 2 =. ynı tbnlı iki kuvvetin çrpımınd: Elde edilen çrpımın tbnı ynı klır; KUVVETLERLE İŞLEMLER 1. Kuvvetlerin çrpımı Çrpımın üssü, çrpnlrın üslerinin toplmın eşittir. Kuvvetlerin çrpımıyl ilgili tbloyu inceleyiniz: Kuvvetlerin çrpım biçiminde yzılışı Yukrıdki tblod, son örnekteki çrpımd elde edilen kuvvetin üssü hngi syıdır? Kuvvetlerin çrpımı (2 2 2) (2 2) = = 2 5 (-3) 2 (-3) ((-3) (-3)) (-3) = (-3) (-3) (-3) (-3) 2+1 = (-3) 3 È Ø É ¹ ¹ ¹ È Ø É Ê Ù Ú È Ø Ê Ù Ú È Ø É ¹ ¹ ¹ Ê Ù Ú È Ø È Ø É Ê Ù Ú É Ê Ù = Ú É Ê Ù Ú ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ( ) (5 5) = = 5 ynı tbnlı iki kuvvetin çrpımı, tbnı çrpnlrın tbnın eşit, üssü ise çrpnlrın üslerinin toplmın eşit oln bir kuvvettir. Unutmmk için: m n = m + n Verilen çrpımlrı belirtiniz: 4 5 ; ( - 2) 7 (- 2) 2 ; ( - 3) ( - 3) 6. Kuvvetlerin çrpımını yzınız: x 5 x 6 = ; ( - k) p (- k) m =. (x 2 x 4 ) x 3 çrpımını hesplıyoruz : (x 2 x 4 ) x 3 = (x ) x 3 = x 6 x 3 = x = x 9 Verilen çrpımlrı, kuvvet biçiminde gösteriniz: b 3 (b 7 b 2 ) =. ¹ ¹ ¹ u d kolydır. Tbnı ynı yzr, kuvvetlerin üslerini toplr üs olrk yzrım. m n p = m + n + p ¹ =. Kuvvetlerle Ýþlemler 39

40 kuvvetini üç çrpnın çrpımı biçiminde yzınız. irçok çözümü olduğunu görebilirsiniz. Siz ylnız iki çözümü yzınız. Çrpnlrdn biri 7 oln bir çrpım 97 dir. İkinci çrpn hngisidir? = 6 12 çrpımınd, eksik oln üs hngi syıdır? Htırlyınız!, b ve n doğl syılr ve n syısı ve b nin böleni ise: D D Q geçerlidir. E E Q. Kesirleri kısltınız: ; ; ; ¹ ¹ ;. ; ¹ ; ¹ ¹. Örnek: = = = ¹ = ¹ y d 5. Kuvvetlerin bölümü ynı tbnlı kuvvetlerin bölümüne it tbloyu inceleyiniz. Kuvvetlerin çrpım biçiminde yzılışı Çözüm ¹ ¹ ¹ ¹ 2 5 : 2 2 = = 2 3 ¹ (-3) 2 : (-3) = (-3) (-3) 2-1 = (-3) (-3) ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 5 7 : 5 3 = = 5 4 ¹ ¹ 9 6 : 9 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ = = 9 ynı tbnlı iki kuvvetin bölümünde şunu frkedebilirsiniz: ölümün tbnı, bölünenin ve bölenin tbnıyl ynıdır. ölümün üssü, bölünenin ve bölenin üslerinin frkın eşittir. Tblodki son örnekte eksik oln kuvvetin üssü hngi syıdır? ynı tbnlı (sıfırdn frklı) kuvvetlerin bölümü, tbnı ynı, üssü ise bölünen ve bölenin m ve n, m > n frkın eşit oln bir kuvvettir. Unutmmk için: 0 m : n = m - n ; m > n Verilen bölümün nsıl hesplndığını görünüz: (-6) 5 : (-6) 3 =. ¹ (-6) 5 : (-6) 3 = = = (-6) = (-6) 2. Y d dh kıs olrk: (-6) 5 : (-6) 3 = (-6) 5-3 = (-6) 2. Hesplyınız: 16 9 : 16 3 = ; (-3,5) 7 : (-3,5) 2 = ; : = ; ölünen ve bölenin üsleri ynı olduklrı durumd, ynı tbnlı kuvvetlerin bölümünü izleyiniz. 40 Konu 2. Üslü Ýfdeler. Krekök È É Ê Ø Ù Ú : È É Ê Ø Ù Ú =.

41 0 ise, D n n : = = 1 Q elde edilir, çünkü py ve pyd birbirine eşittir. D ynı tbnlı kuvvetlerin bölümü kurlını uygulyrk : n n n - n o : = = elde edilir. 8. irinci durumd sonuç 1, ikinci durumd ise sonuç o elde edildi ölümleri belirtiniz: ynı tbnlı kuvvetlerin bölümünde, bölünenin üssü bölenin üssünden küçük olduğu durumd elde edilen sonuc dikkt ediniz. (-2) 6 : (-2) 8 = = =. ¹ Hesplyınız: (-13) 4 : (-13) 7 = ; Q (-6) 3 : (-6) 3 = ; 12, : 12, = ; ( -1) 5 : ( -1) 5 = ; È Ø É Ê Ù Ú : È Ø É Ê Ù Ú = ; o = 1 olduğunu sycğız. È Ø É Ê Ù Ú : È Ø É Ê Ù Ú =. Neleri bilmelisiniz: şğıdki kurllrın uygulnmsını: m n m + = n, m, n N; m n m - : = n, 0 ve m > n; m n : = QP D, 0 ve m < n; n n : = 0 = 1, 0 ve n N Ödevler Verilen kuvvetlerin çrpımını hesplyınız: x 5 x 15 = ; Eşitliklerin doğru olmsı için, kreciklerde hngi syılr yzılmlıdır: 6 9 = 15 ; y 100 y 2 = ; = ; x 3 x 5 x 2 = ; (-b) (-b) 5 (-b) 10 =. p 4 p 4 = p 10? = ; Kendinizi yoklyınız! ynı tbnlı kuvvetlerin çrpm kurlını ifde ediniz. ynı tbnlı kuvvetlerin bölümü nsıl ypılır. çıklyınız. Tbnlrı eşit (sıfırdn frklı) ve üsleri eşit oln iki kuvvetin bölümü hngi syıdır? Herhngi tbnlı 0, üssü 0 oln kuvvetin değeri hngi syıdır? Verilen kuvvetlerin bölümünü hesplyınız: 17 4 : 17 2 = ; 1,1 4 : 1,1 = ; x 9 : x 12 = ; 3 5 : 3 18 = ; 12 6 : 12 6 = ; 3 : 3 =. Verilen her ifdenin değerini hesplyınız; ¹ ¹ = ; = ; = ; = ; (75 : 7 2 ) =. (7 5 : 7 2 ) =. Kuvvetlerle Ýþlemler 41

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5 Komisyon LES EŞİT ĞRILIK ve SYISL DYLR TMMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 97-605-36-1-5 Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem kdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem kdemi Yy. Eğt. Dn.

Detaylı

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a. MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir

Detaylı

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre, TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,

Detaylı

Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz.

Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz. 4.1 Aln Neler Ö renece iz? Geometrik flekillerin lnlr n hesplyc z. Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullnbiliriz? Aln thmin etmede kullnbiliriz. Söz Vrl Prlelkenrsl bölge Bir y içinde yklfl k lt metre krelik

Detaylı

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16 Orn Ornt Özellikleri TEST : 91 1. 0,44 0,5 = 0,22 5. + 3 = 5 2 2. 3. 4. oldu un göre, kçt r? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,75 y = 3 4 + y oldu un göre, y orn kçt r? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) 10 oldu un

Detaylı

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 4.

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki TEMEL MATEMAT K TEST  bölümüne iflaretleyiniz. 4. TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevplyc n z soru sy s 40 t r + u bölümdeki cevplr n z cevp k d ndki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflretleyiniz.. ( + )y + = 0 (b ) + 4y 6 = 0 denklem sisteminin çözüm

Detaylı

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri Yükseköğretime Geçiş Sınvı (Ygs) / Nisn 0 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. 0,5, işleminin sonuu kçtır? 0,5 0, A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7 Çözüm 0,5 0,5, 0, 05 50 5.5.4 5.5. 4 4 0 5 .. 4.6 6 işleminin sonuu

Detaylı

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme MTEMT K Uzunluklr Ölçme Çevre ln Zmn Ölçme S v lr Ölçme Hcmi Ölçme Temel Kynk 5 Uzunluklr Ölçme UZUNLUKLRI ÖLÇME Çevremizde metre, sntimetre, milimetre vey bunlr n herhngi ikisi ile söyledi imiz uzunluklr

Detaylı

SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 :

SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 : SAYILAR SAYI KÜMELERİ RAKAM S yı l r ı i f d e e t m ek i ç i n k u l l n d ı ğ ı m ız 0,,,,,,6,7,8,9 semollerine rkm denir. DOĞAL SAYILAR N={0,,,...,n,...} k üm e s i n e d o ğ l s yı l r k üm e s i d

Detaylı

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise GMR erginin bu sy s nd Çokgenler ve örtgenler konusund çözümlü sorulr yer lmktd r. u konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel bilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içinde ht rltmy

Detaylı

PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka)

PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka) PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ (19-22 Ağustos 213 Akyk) Pljlr Çevre Bilinçlenirme Projesi 19-22 Ağustos trihleri rsın TÜRÇEV Muğl Şuesi ve Akyk Beleiyesi iş irliği ile gerçekleştirili. Proje TÜRÇEV

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Progrmın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 12. sınıf mtemtik öğretim progrmı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Mtemtiksel Süreç Becerileri

Detaylı

OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI

OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI Uygulm Yönerge Kitpçığı 11.02.2015 ESOGÜ Eğitim Fkültesi Özel Eğitim Bölümü ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAKÜLTESİ ÖZEL EĞİTİM BÖLÜMÜ 2014-2015 BAHAR

Detaylı

BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI

BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI Dilek ARDAÇ, Ebru MUĞALOĞLU Boğziçi Üniversitesi, Eğitim Fkültesi, OFMA Eğitimi Bölümü, İSTANBUL ÖZET: Çlışm bilimsel süreçlerin kznımını mçlyn

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

LKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU

LKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU LKÖ R M MM K 8 Ö RMN KILVUZ K I Lokmn GÜNO U u kitp, Millî itim knl lim ve erbiye Kurulu flknl n n 8.06.00 trih ve 6 sy l krr yl 0-0 ö retim y l ndn itibren (befl) y l süreyle ders kitb olrk kbul edilmifltir.

Detaylı

Bahçe Mah. Soğuksu Cad. No:73 MERSİN www.sratanitim.com info@sratnitim.com. Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0.

Bahçe Mah. Soğuksu Cad. No:73 MERSİN www.sratanitim.com info@sratnitim.com. Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0. Tnıtım Bhçe Mh. Soğuksu Cd. No:73 MERSİN www.srtnitim.com info@srtnitim.com Tel :0.324 336 41 24 :0.324 336 41 26 Gsm :0.532 592 60 05 çık hvdki prestijiniz 1 Tnıtım ,Büfe Durk Rket 118 x 178 cm Gintbord

Detaylı

Kontak İbreli Termometreler

Kontak İbreli Termometreler E-mil: Fx: +49 661 6003-607 www.jumo.net www.jumo.co.uk www.jumo.us Veri Syfsı 608523 Syf 1/8 Kontk İbreli Termometreler Özellikler Pnel montj vey ek cihz gibi proses değeri göstergeli sıcklık kontrolörü

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

DERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

DERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar DERS Syı Kümeleri ve Koordintlr. Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuyucunun küme kvrmın ybncı olmyıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul ediyoruz. Bununl berber, kümelerle

Detaylı

ÖLÇME TEKNĠKLERĠ DERSĠ

ÖLÇME TEKNĠKLERĠ DERSĠ 1 Konu Ģlıklrı ÖLÇME TEKNĠKLERĠ DERSĠ 1) Ölçme ilgisi İle İlgili çıklmlr 2) sit ölçme letleri 3) Doğrulrın elirtilmesi 4) Uzunluklrın Ölçülmesi 5) ln Hesplrı 6) Thomson Yolu İle ln Hesbı 7) Koordint Yrdımı

Detaylı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı Sim Dinmiği v Modllmi Doğrul Simlrin Sınıflndırılmı Doğrul Simlrin Zmn Dvrnışı Giriş: Sim dinmiği çözümlmind, frklı fizikl özlliklr şıyn doğrul imlrin krkriiklrini blirlyn ml bğınılr rınd bnzrlik noloji

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler Mtemtik Düns, 2005 Yz Kpk Konusu: Konikler Geçen z d, ir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleerek, 0, c ve ƒ sitleri için, 2 + c 2 = 0, 2 = ƒ, 2 + c 2 = 1, d = 2 içiminde z lilece

Detaylı

Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit

Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit Kpk Konusu: Gerçel S lr V: Süreklilik Limit Limit v = ƒ() Bir bflk örne e bkl m. < c < b olsun. ƒ: [, b] \ {c}, grfi i fl dki gibi oln bir fonksion olsun. Fonksion c nokts nd tn mlnmm fl. Os fonksion c

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI

BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI 6.1. SĐSTEM... 6/ 6.. YÜKLER... 6/4 6..1. Düşey Yükler...

Detaylı

TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ

TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:4, Syı:2, 2014,57-69/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:4, No:2,2014,57-69 TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ ÖZET Emine

Detaylı

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI KARŞI AKIŞI SU SOĞUTMA KUESİ BOYUTANIDIRIMASI Yrd. Doç. Dr. M. Turh Çob Ege Üiversitesi, Mühedislik Fkultesi Mkie Mühedisliği Bölümü turh.cob@ege.edu.tr Özet Bu yzımızd ters kışlı soğutm kulelerii boyut

Detaylı

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç

Detaylı

Mil li E i tim Ba kan l Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Bafl kan l n n 30.12.2009 ta rih ve 334 sa y l ka ra r ile ka bul edi len ve 2010-2011 Ö re tim

Mil li E i tim Ba kan l Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Bafl kan l n n 30.12.2009 ta rih ve 334 sa y l ka ra r ile ka bul edi len ve 2010-2011 Ö re tim Mil li i tim kn l T lim ve Ter bi ye u ru lu fl kn l n n 0..009 t rih ve s y l k r r ile k bul edi len ve 00-0 Ö re tim Y l n dn iti b ren uy gu ln ck oln prog r m gö re h z r ln m flt r. Genel Müdür Temel

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,

TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı, Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b

Detaylı

KULLANIM KITAPÇIĞI EFL50555OX

KULLANIM KITAPÇIĞI EFL50555OX TR KULLANIM KITAPÇIĞI EFL50555OX 2 www.electrolux.com 1x 1x 2x 3x Ø 10 3x Ø 6x70 6x Ø 2,9x9,5 13x Ø 3,5x6,5 1x 1x Type 14 1x 3 4 www.electrolux.com SX BACK R1 FRONT RX R1 ( ) SX BACK Y FRONT RX 3 x Ø 10mm

Detaylı

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.

Detaylı

ALES / SONBAHAR 2008 DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-1 TESTİ

ALES / SONBAHAR 2008 DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-1 TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınvın bu bölümünden lcğınız stndrt pun, Syısl Ağırlıklı ALES Punınızın (ALES-SAY) hesplnmsınd

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI

İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI Gzi Üniv Müh Mim Fk Der J Fc Eng Arch Gzi Univ Cilt 20, No 1, 95-106, 2005 Vol 20, No 1, 95-106, 2005 İDEAL PERFORMANS DEĞERLENDİRME FORMU TASARIMINDA ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ YAKLAŞIMI Ergün ERASLAN

Detaylı

Veri, Sayma ve Olasılık. Test / 30. soru 1. soru 5. soru 2. soru 6. soru 3. soru 7. soru 8. soru 4

Veri, Sayma ve Olasılık. Test / 30. soru 1. soru 5. soru 2. soru 6. soru 3. soru 7. soru 8. soru 4 Test / 0 soru soru Bir zr t ld nd üste gelen sy n n tek oldu u ilindi ine göre, sy n n sl sy olm Bir çift zr t ld nd üste gelen sy lr n toplm n n 0 oldu u ilindi ine göre, zrlrdn irinin olm soru soru Bir

Detaylı

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Ünite 5 ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR. 5.1. Üstel Fonksiyon. 5.2. Logaritma Fonksiyonu. 5.3. Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler Ünite ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR f() g() log.. Üstel Fonksion / / / /.. Logritm Fonksionu.. Üstel ve Logritmik Denklem ve Eşitsizlikler . ÜNİTE: ÜSTEL ve LOGARİTMİK FONKSİYONLAR KAZANIM ve İÇERİK.

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın

Detaylı

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21. Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh

Detaylı

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.

BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4. IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }

Detaylı

İLKÖĞRETİM TEMATİKTİK. 8. Sınıf. Ders Kitabı. Yazar. Mehtap CANPEKEL

İLKÖĞRETİM TEMATİKTİK. 8. Sınıf. Ders Kitabı. Yazar. Mehtap CANPEKEL İLKÖĞRETİM MTEM TEMTİKTİK 8. Sınıf ers Kitı Yzr Mehtp NPEKEL u kitp, Millî Eğitim knlığı, Tlim ve Teriye Kurulu şknlığı nın 8..009 trih ve 8 syılı kurul krrıyl 00-0 öğretim yılındn itiren 5 (eş) yıl süreyle

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

Yrd. Doç. Dr., Süleyman Demirel Üniversitesi, Yalvaç Meslek Yüksek Okulu

Yrd. Doç. Dr., Süleyman Demirel Üniversitesi, Yalvaç Meslek Yüksek Okulu PERSONEL SEÇĐMĐNĐN ANALĐTĐK HĐYERARŞĐ PROSESĐ YÖNTEMĐYLE GERÇEKLEŞTĐRĐLMESĐ ÖZET Orhn ADIGÜZEL Glolleşmenin neden olduğu ilgi ve teknolojideki gelişmeler, işletmeleri ve kurumlrı dh kliteli insn kynğın

Detaylı

VORTEKS TÜPÜNDE AKIŞKAN OLARAK KULLANILAN HAVA İLE OKSİJENİN SOĞUTMA SICAKLIK PERFORMANSLARININ DENEYSEL İNCELENMESİ

VORTEKS TÜPÜNDE AKIŞKAN OLARAK KULLANILAN HAVA İLE OKSİJENİN SOĞUTMA SICAKLIK PERFORMANSLARININ DENEYSEL İNCELENMESİ TEKNOLOJİ, Cilt 7, (24), Syı 3, 415-425 TEKNOLOJİ VORTEKS TÜPÜNDE AKIŞKAN OLARAK KULLANILAN HAVA İLE OKSİJENİN SOĞUTMA SICAKLIK PERFORMANSLARININ DENEYSEL İNCELENMESİ ÖZET Hüseyin USTA* Kevser DİNCER**

Detaylı

5. a ve b pozitif tamsay lard r say taban olmak üzere,

5. a ve b pozitif tamsay lard r say taban olmak üzere, 1. ve b pozitif tmsy lrd r. + b = 13 oldu un göre, + 3b toplm n n en büyük de eri kçt r? 5. ve b pozitif tmsy lrd r. Yndki bölme iflleminde, n n lbilece i en büyük de er kçt r? b 8 b 8 ) 4 ) 8 ) 34 ) 37

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER

SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME SINAVI ISBN 97-0--07- Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem Akdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem Akdemi Yy. Eğt. Dn. Hizm. Tic. Ltd. Şti

Detaylı

TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR

TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR www.teknolojikrstirmlr.com ISSN:- Mkine Teknolojileri Elektronik Dergisi 5 () - TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR Kıs Mkle Sehim Ornın Bğlı Olrk Bir Mil Üzerinde Oluşn Sıcklık Dğılımının Arştırılmsı Vedt SAVAŞ,

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı

Ünite Planı Şablonu. Öğretmenin. Fatma BAĞATARHAN Yunus Emre Anadolu Lisesi. Ġnönü Mahallesi. Bingöl. Adı, Soyadı. Okulunun Adı Intel Öğretmen Progrmı Ünite Plnı Şlonu Öğretmenin Adı, Soydı Okulunun Adı Okulunun Bulunduğu Mhlle Okulun Bulunduğu Ġl Ftm BAĞATARHAN Yunus Emre Andolu Lisesi Ġnönü Mhllesi Bingöl Ünit Bilgisi Ünite Bşlığı

Detaylı

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk

Detaylı

SAYIM FORMÜLERİ (31 Mart saat 24 itibarıyla durumu) SAYIM ÇEVRESİ KONUT AİLE (EV HALKI) KİŞİ. Doğum tarihi. Çalışan kişi aile üyesi olarak ikamet eder

SAYIM FORMÜLERİ (31 Mart saat 24 itibarıyla durumu) SAYIM ÇEVRESİ KONUT AİLE (EV HALKI) KİŞİ. Doğum tarihi. Çalışan kişi aile üyesi olarak ikamet eder HIRVATİSTAN CUMHURİYETİ DEVLET İSTATİSTİK KURUMU SAYIM FORMÜLERİ (31 Mrt st 24 itibrıyl durumu) Formüler P-1 İşbu formüler kpsmındki bütün bilgiler resmi sır olup sdece isttistik mçl kullnılcktır. 1. Soydı

Detaylı

ÇELİK YAPILAR DERS NOTLARI

ÇELİK YAPILAR DERS NOTLARI ÇELİK YAILAR DERS NOTLARI Skry Üniversitesi Mühendislik Fkültesi İnşt Mühendisliği Bölümü 1- Çeliğin Trihçesi Ülkemizle trihsel ilişkisi Demir : Düşük ornd krbon(c) içerir, yumuşk, ergime noktsı:1500 0

Detaylı

2011 RASYONEL SAYILAR

2011 RASYONEL SAYILAR 011 RASYONEL SAYILAR AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 06.01.011 A.Tnım 3 B.Kesir 3 C.Kesir çeşitleri 3 1.Bsit kesirler 3.Birleşik kesirler 3 3. Tm syılr 3 D.Rsyonel syılrı sırlm 4 E.Rsyonel syılrd işlemler 5 1.Rsyonel

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,

Detaylı

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A.

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A. eneme - / Mt MTEMTİK ENEMESİ. c - m. c - m -.., bulunur. y. 7, + 7 y + + 00 y + + + y + +, y lınr ı.. ^ - h. ^ + h. ^ + h ^ - h. ^ + h - & & bulunur.. ΩΩΩΩΔφφφ ΩΩφφ ΩΩΔφ 0 evp. ise ^ h ^h 7 ise ^ 7h b

Detaylı

Kemalpaşa (İzmir) Kentsel Dış Mekanlarının Yeterliliği Üzerine Bir Araştırma

Kemalpaşa (İzmir) Kentsel Dış Mekanlarının Yeterliliği Üzerine Bir Araştırma Ege Üniv. Zirt Fk. Derg., 2001; 38 (2-3):143-150 ISSN 1018-8851 Kemlpş (İzmir) Kentsel Dış Meknlrının Yeterliliği Üzerine Bir Arştırm Şerif HEPCAN 1 Adnn KAPLAN 2 Erhn KÜÇÜKERBAŞ 3 Bülent ÖZKAN 4 Summry

Detaylı

ORAN ORANTI. Örnek...1 : Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...5 : a 1 2 =2b+1 3 =3c 4. Örnek...6 : Bir karışımda bulunan a, b ve c maddeleri arasında

ORAN ORANTI. Örnek...1 : Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...5 : a 1 2 =2b+1 3 =3c 4. Örnek...6 : Bir karışımda bulunan a, b ve c maddeleri arasında ORAN ORANTI syısının 0 dn frklı oln b syısın ornı :b vey olrk gösterilir. b İki vey dh fzl ornın eşitlenmesiyle oluşn ifdeye orntı denir. b =c d ifdesine ikili orntı denir. Bir orntı orntı sbitine eşitlenerek

Detaylı

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır?

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır? Mobil Test Sonuç Sistemi Nsıl ullnılır? Tkdim Sevgili Öğrenciler ve eğerli Öğretmenler, ğitimin temeli okullrd tılır. İyi bir okul eğitiminden geçmemiş birinin hytt bşrılı olmsı beklenemez. Hedefe ulşmks

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI

LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI- MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 09 BU SORU KİTAPÇIĞI LYS- MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. . Bu testte 0 soru vrdýr. MATEMATİK TESTİ. Cevplrýnýzý,

Detaylı

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k

steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)

MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) ÖSS MT-1 / 008 MTMTİK 1 TSTİ (Mt 1) 1. u testte 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik 1 Testi için yrıln kısmın işretleyiniz. 1. 1 + 4 1 ( ) 4. syısı b 0 ) b syısının kç ktıdır? ) b ) b işleminin

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

OKS DENEME SINAVI II

OKS DENEME SINAVI II OKS DENEME SINVI II TÜRKÇE TEST 1. Bu bölümde cevplyc n z soru sy s 25'tir. 2. Cevplr n z cevp kâ d n z n Türkçe için yr ln k sm n iflretleyiniz. 1. 1. S n ftki olylr hrfi hrfine bbs n nltt. 2. Sözlerimi

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

Fizik I (Fizik ve Ölçme) - Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi Ku çu

Fizik I (Fizik ve Ölçme) - Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi Ku çu Fizik I (Fizik ve Ölçme) - Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi Ku çu Bu bölümde; Fizik ve Fizi in Yöntemleri, Fiziksel Nicelikler, Standartlar ve Birimler, Uluslararas Birim Sistemi (SI), Uzunluk, Kütle ve

Detaylı

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010 tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011 2012 Öğretim Yılından

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010 tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011 2012 Öğretim Yılından Milli ğitim knlığı, Tlim ve Terbie urulu knlığı'nın 0.1.010 trih ve 0 sılı krrı ile kbul edilen ve 011 01 Öğretim Yılındn itibren ugulnck progrm göz önüne lınrk hzırlnmıştır. u kitb n her hkk skl d r ve

Detaylı

MATEMATİK VE MESLEK MATEMATİĞİ

MATEMATİK VE MESLEK MATEMATİĞİ ÇIRKLIK VE YYGIN EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK VE MESLEK MTEMTİĞİ 2 YZRLR Cfer Tyyr DEMİRHN Cndn Dilek ÖZBEK DEVLET KİTPLRI LTINCI BSKI..., 2012 MİLLÎ EĞİTİM BKNLIĞI YYINLRI... : 4348 DERS KİTPLRI DİZİSİ...

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

Geometri Köflesi. Napoléon un bilimi ve matemati i sevdi i, hatta. Napoléon ve Van Aubel Teoremleri. Mustafa Ya c

Geometri Köflesi. Napoléon un bilimi ve matemati i sevdi i, hatta. Napoléon ve Van Aubel Teoremleri. Mustafa Ya c temtik ünys, 2004 z Npoléon ve n uel Teoremleri Npoléon un ilimi ve mtemti i sevdi i, htt ir ölçüde yetenekli oldu u d ilinir. ünyy fethetmeye çl flmktn ve imprtorluk mesle inden rt kln zmnlr nd, sürekli

Detaylı

7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.

7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir. 7.SINIF: ÇOKGNLR oğrusl olmyn üç vey dh fzl noktnın birleşmesiyle oluşn kplı geometrik şekillere çokgen denir. n kenrlı bir çokgenin bir dış çısının ölçüsü 360/n dir. n kenrlı bir çokgenin bir iç çısının

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

Bu ürünü kullanmadan önce verilen talimatları dikkatlice okuyun ve daha sonra tekrar faydalanmak üzere saklayın.

Bu ürünü kullanmadan önce verilen talimatları dikkatlice okuyun ve daha sonra tekrar faydalanmak üzere saklayın. KLİMA Duvr Monte Tip İçİndekİler Güvenlik Önlemleri...Tr- İç Ünite ile ilgili Genel Bkış ve Çlıştırm...Tr- Uzktn Kumnd ile ilgili Genel Bkış ve Çlıştırm...Tr- Bkım ve Temizleme...Tr- Türkçe Sorun Giderme...Tr-

Detaylı

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur. Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,

Detaylı

KÜRESEL AYNALAR. 1. Çukur aynanın odağı F, merkezi M (2F) dir. Aşağıdaki ışınlar çukur aynada yansıdıktan sonra şekillerdeki gibi yol izler.

KÜRESEL AYNALAR. 1. Çukur aynanın odağı F, merkezi M (2F) dir. Aşağıdaki ışınlar çukur aynada yansıdıktan sonra şekillerdeki gibi yol izler. . BÖLÜ ÜRESEL AYNALAR ALŞRALAR ÇÖZÜLER ÜRESEL AYNALAR. Çukur ynnın odğı, merkez () dr. Aşğıdk ışınlr çukur ynd ynsıdıktn sonr şekllerdek b yol zler. / / 7 / / / / / 8 / / / / / 9 / / / / N 0 OPİ . Çukur

Detaylı

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin 4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı

Detaylı

YGS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

YGS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI YGS GMTRİ NU NLTIMLI SRU NSI u kitb n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. itb it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. itb n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN : 978 0 0 7 0 steme

Detaylı