Cebir. Notları. Faktöryel Mustafa YAĞCI,

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Cebir. Notları. Faktöryel Mustafa YAĞCI,"

Transkript

1 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Tanım: n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n nin faktöryeli veya kısaca n faktöryel denir. (n!) biçiminde gösterilir. Çok kullanılmamakla beraber faktöryele çarpansal dendiği de olur (n ) (n 1) n = n! 1 den (n 1) e kadar olan doğal sayıların çarpımına da bu tanıma göre (n 1)! deneceğinden n! = n (n 1)! olur. Bu durum benzer şekilde uzatılabilir: n! = n (n 1)! = n (n 1) (n )! = n (n 1) (n ) (n 3)! Aşağıda buna ait örnekleri bulacaksınız: 100! ! i) = = = ! 98! 6! ! ii) = = 6 5 4= 10 3! 3! ( n+ 1)! ( n+ 1) n ( n 1)! iii) = = ( n+ 1) n ( n 1)! ( n 1)! n! n! 1 iv) = = ( n+ 1)! ( n+ 1) n! n+ 1 v) 3! +! = 3! +! =! (3 + 1) =! 4 vi) 8! + 7! 6! = 8 7 6! + 7 6! 6! = 6! ( ) = 6! 6 Doğal sayıların faktöryelleri kendilerinden kat be kat hızlı arttığından ilk birkaç sayının faktöryelini hesaplama olanağımız vardır. Biz de bu yüzden 10 a kadar olan doğal sayıların faktöryellerini vereceğiz, daha büyük sayıların faktöryellerini gerek olmadığı gibi, gerek duyulursa da bulunması kolay olduğundan vermeyeceğiz. 0! teknik nedenlerden dolayı 1 diye tanımlanır. Böyle biliniz. Yandaki tabloda 1 den 10 a kadar olan tamsayıların faktöryelleri yazılmıştır. En azından ilk 6 tanesini ezbere bilmenizde fayda vardır. Konunun bundan sonraki kısmını soru-cevap şeklinde anlatacağız. Herkese kolay gelsin! Soru 1. 17! tek midir, çift midir? 17! sayısı çarpımına eşit olduğundan ve çarpılan bu terimlerin arasında çift sayılar olduğundan 17! çifttir. O halde 1 den büyük tüm n doğal sayıları için n! sayıları çifttir. Çünkü hepsi eni sonu gelip ile çarpılmak zorundadırlar. Soru. 17! hesaplanırsa son rakamı kaç olur? 17! sayısının çarpımına eşit olduğunu unutmayalım. 10 dışındaki sayıların çarpımı kaç olursa olsun 10 ile çarpılacağından bu sayının sonuna sıfır geleceğini anlarız. Aslında bir sayının sonuna sıfır gelmesi için illa da 10 ile çarpılmasına gerek yoktur. Çift olan bir sayı 5 ile çarpılırsa da sonunun sıfır olacağını unutmayın. Ayrıca son rakamı 5 olan bir sayı düşünüp onu ile çarpın bakalım. Yine sonu sıfır oldu değil mi? Bu tabii ki bir rastlantı değil. İçinde 5 ve çarpanı olan her sayı aslında 10 ile çarpılmış gibi davranmaz mı? O halde şöyle bir genelleme yapalım:

2 n > 4 olmak üzere n! sayısının son rakamı daima sıfırdır. Çünkü içinde mutlaka ve 5 çarpanı vardır. 4! in sonunda sıfır olmaması da bir tesadüf değil yani. Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile çarparsak da 3 tane sıfır gelir. O halde şu an bulmamız gereken; 1 den 17 ye varana kadar kaç tane 10 çarpanı elde ederiz? Dikkat edin, 10 a bölünen sayı demiyoruz, 10 çarpanı diyoruz. Zira 10 dan başka 10 a bölünen sayı yok ama 5 ve çarpımından bir 10 çarpanı geldiği gibi 15 ve 4 çarpımından da bir 10 çarpanı geliyor. Sonuç olarak bu sayının sonunda 3 tane sıfır olduğunu söyleyebiliriz. Doğrudur da! Demek ki bizim aslında bu çarpanlar arasında kaç tane 10 a bölünen sayı olduğunu değil kaç tane 10 çarpanı olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunun da direkt 5 çarpanı ile ilgili olduğunu anlattık. Peki, hiç mi çarpanı ile ilgisi yok? Elinde olmadan 5 olsa neye yarar? Öyle ya! Doğru, doğru ama zaten çarpanı her iki sayıda bir geldiğinden elimizde yeterince var. Ama 5 çarpanı her 5 sayıda bir gelir. Yani daha azdır. Yani; elimizdeki her 5 e bir bulabiliriz ama her ye yetecek kadar 5 yok. Her yerde olduğu gibi burada da az olan kıymetli. Bunun için faktöryeli verilen sayıyı hemencecik 5 e böleriz. Bulduğumuz bölüm bizim o sayıya gelene kadar kaç tane 5 ile bölünen sayı olduğunu verir. Ama bazı 5 ile bölünen sayıların içinde 1 den çok 5 olamaz mı? Gözden bazı 5 ler kaçmaz mı? Haklısınız. Bunu da şöyle gidereceğiz: Eğer bölüm 5 veya 5 ten büyük çıkarsa (ki bu sadece sayının 5 veya 5 ten daha büyük olması halinde olur) o bölümü de tekrar 5 e böleceğiz. Böylelikle iki kere 5 e böldüğümüzden 5 ile bölmüş oluruz, dolayısıyla 5 in katlarında gözden kaçan 5 leri de kayıt altına almış oluruz. Eğer ikinci bölüm de 5 veya 5 ten büyük çıkarsa onu da 5 e böleriz ki 15 veya katlarında saymadığımız üçüncü 5 leri de saymış oluruz. Ve bu böyle devam eder, etmelidir de! Sözün özü: n! sayısının sonunda kaç sıfır olduğu; n sayısı 5 e bölünerek değil, devamlı 5 e bölünüp her bir bölüm toplanarak bulunur. Ta ki, bölünemeyene kadar! Soru 4. Kaç doğal sayının faktöryelinin sonunda 3 tane sıfır vardır? 5 ile bölündüğünde bölüm olarak 3 ü vermesi lazım. O halde 15, 16, 17, 18, 19 olmak üzere 5 sayının sonunda 3 sıfır vardır. 0!, 1!,!, 3!, 4! sonunda sıfır yoktur, 5!, 6!, 7!, 8!, 9! sonunda 1 sıfır vardır, 10!, 11!, 1!, 13!, 14! sonunda sıfır vardır, 15!, 16!, 17!, 18!, 19! sonunda 3 sıfır vardır, 0!, 1!,!, 3!, 4! sonunda 4 sıfır vardır, 5!, 6!, 7!, 8!, 9! sonunda 6 sıfır vardır. Buradan da anladığınız üzere sonunda 5 sıfır bulunan faktöryel yoktur. Benzer şekilde sonunda 11 sıfır olan faktöryel de yoktur. Bunun da sebebini siz düşünüp, açıklayınız. Peki, iki farklı sayının faktöryeli arasındaki dört işlemler nasıl yapılır? Yani iki farklı sayının faktöryelleri çarpılınca, bölününce, toplanınca, çıkarılınca, hatta bir faktöryelin üssü alınırsa neler olacağına, bizim bunlara karşılık neler yapmamamız gerektiğine bir göz atacağız. Soru 5. 3!.4! çarpımının sonunda kaç tane sıfır vardır? 3 ve 4 sayılarını ayrı ayrı 5 e böldüğümüzde 4 elde ederiz ki bu da bu sayıların sonlarında 4 er tane sıfır olduğunu söyler. O halde x ve y tamsayı olmak üzere; 3! = x 10 4 ve 4! = y 10 4 şeklinde birer sayıdır. 3! 4! = x 10 4 y 10 4 = x y 10 8 olduğundan çarpımın sonunda 8 sıfır vardır. Bundan sonra iki sayının faktöryellerinin çarpımının sonunda kaç sıfır olduğu sorulursa, her iki faktöryelin sonundaki sıfır adetlerini toplayacağız. 33! Soru 6. sonunda kaç tane sıfır vardır? 4! 33 ve 4 sayılarını ayrı ayrı devamlı 5 e böldüğümüzde sırasıyla 7 ve 4 elde ederiz ki bu da 33! in sonunda 7, 4! in sonunda 4 tane sıfır olduğunu söyler. O halde x, y ve z birer tamsayı olmak üzere; 33! = x 10 7 ve 4! = y 10 4 şeklinde birer sayıdır. 7 33! x 10 x 3 = = 10 = z ! y 10 y olduğundan çarpımın sonunda 3 sıfır vardır. Bundan sonra iki sayının faktöryellerinin bölümünün sonunda kaç sıfır olduğu sorulursa, paydaki

3 faktöryelin sonundaki sıfır adedinden paydadaki faktöryelin sonundaki sıfır adedini çıkaracağız. Şimdi de faktöryellerin toplamına farkına ilişkin örnekler vereceğiz. Bu toplamların ya da farkların sonlarındaki ardışık sıfır adetlerini ya da herhangi bir çarpandan kaç tane olduğunu ve bunun gibi sorulara cevap arayacağız. Bu tip problemlerde sık olarak kullanacağımız bir özelik var ki; onu burada öğrenip sorular üzerinde uygulamalar yapalım. Unutmamamız gereken gerçek şu: m < n olduğu sürece m!, daima n! içinde yer alır. Bunu bildiğimizden verilen faktöryellerden büyük olanını daima küçük olan cinsinden yazabileceğiz. Uyarı. (n)! n! (n)!! n! (n)! = n (n 1) (n )! Soru 7. 3! + 4! toplamının sonunda kaç sıfır bulunur? Yine bu sayının içinde kaç tane 5 çarpanı olduğunu bulmamız lazım. 3! + 4! = 3! + 4 3! = 3! (1 + 4) = 3! 5 olduğundan hem 3! in hem de 5 in içinde kaçar tane 5 olduğunu bulup toplamamız gerekiyor. 3! de 4, 5 te tane 5 çarpanı olduğundan cevap 6 dır. Soru 8. 3! + 7! toplamının sonunda kaç sıfır vardır? Bir önceki benzer soruda ifadeyi çarpanlarına ayırmıştık. Burada da öyle yapacağız. Sayıların büyüklüğü gözünüzü korkutmasın. 3! + 7! = 3! ( ) Parantez içinde 1 ile toplanan sayının 5 in katı olduğuna dikkat ediniz. Çünkü içinde 5 var, yeter. O halde bu sayıya 1 eklendiği için bu sayı 5 in katı olamaz, yani son rakamı sıfır değildir, o halde sadece 3! sayısının sonundaki sıfır sayısı cevaptır, yani cevabımız 4 olmalıdır. Acaba bu durumu genelleyebilir miyiz? Neden olmasın? Eğer toplanan faktöryellerin sonlarındaki sıfır adedi sayısı aynı değilse sadece küçük olan sayının faktöryelini almak yeter. Eğer sıfır adedi aynıysa böyle yapamayacağımıza aslında bir önceki sorumuz örnekti. Bunun sebebini şöyle düşünebilirsiniz: Örneğin, 40 ile 60 ın sonunda birer sıfır var diye toplamlarının sonunda 1 tane sıfır olacak diye bir kaide yok. İnanmıyorsan topla, bak! Fakat sonundaki sıfır adetleri farklı olan sayılar daima toplanınca küçük olanınki kadar sıfır verirler. Örneğin; =3940. Tabii ki tek bir örnek yetmez, hatta 1000 tane bile yetmez, ama bunu kanıtlamak da size kalsın. Soru 9. n ve p birer sayma sayısı olmak üzere; 3! = p ise n en fazla kaç olabilir? n 5 p nin bir sayma sayısı olması bize paydadaki 5 lerin paydakilerden çok olmadığını anlatmalı. Çünkü paydada 1 tane bile fazla 5 olsaydı, sadeleşenler sadeleşir ve paydada 5 artardı. Pay artık içinde 5 ihtiva etmediğinden 5 in katı olmayan bir sayı olurdu, dolayısıyla 5 e bölündüğünde sonuç yani p sayma sayısı olmazdı. O halde n en çok, 3! in içinde kaç tane 5 çarpanı varsa o kadar olmalı, yani 4. Kısacası, a, b, c, n + n! iken c b a = ise max(b) kaçtır? sorusu; n! in içinde kaç tane a çarpanı vardır? sorusu ile aynıdır. Soru 10. n ve p sayma sayıları için 3! = 6 n p ise n en fazla kaç olur? Nasıl ki bize 10 çarpanı sorulduğunda bile biz sayıyı devamlı 10 a değil, 5 e bölüyorduk, şimdi de 6 çarpanı soruluyor diye hemen 6 ya bölmeyeceğiz. Çünkü her ve 3 ten bir 6 elde edildiğinden ve her 3 ile eşleştirebileceğimiz bir bulunup, her ile eşleştirebileceğimiz bir 3 bulunmadığından 3 ü devamlı 3 e bölüp, çıkan bölümleri toplamalıyız. 3 ü 3 e bölersek bölüm 7, 7 yi de 3 e bölersek bölüm çıkar ki cevap 7 + = 9 olur. Yani; a! in içinde kaç tane b çarpanı var? diye bir soru ile karşılaştığımızda, önce bir durup b ye bakacağız. Eğer b asalsa a yı devamlı b ye böleceğiz, fakat b bileşikse (yani asal değilse) a yı devamlı b nin en büyük asal çarpanına böleceğiz. Soru 11. n ve p sayma sayıları için 3! = 4 n p ise n en fazla kaç olur? Ne kadar da üstteki soruya benziyor değil mi? Evet ama çözümleri hiç de öyle değil. 4 asal olmadığından 3 ü devamlı 4 ün en büyük asal çarpanı olan ye bölmeliyiz. Bölelim. Bölümleri toplayalım. 19 çıkıyor. Fakat cevap 19 değil. Çünkü leri 4 yapmak için eşleştireceğimiz diğer 3

4 ler başka yerde yok. Alınacaksa bu 19 tanenin içinden alınacak. O halde yeni bir soru çıktı karşımıza: 19 tane den kaç tane 4 çıkar?. Her tane den 1 tane 4 çıkacağından 19 u ye bölersek 9 tane 4 yapabileceğimizi anlarız. Peki artan 1 tane var, o n olacak? Başka kalmadı ne yapalım? O da öylece kalır. Yani; a! in içinde kaç tane b çarpanı var? diye bir soru ile karşılaştığımızda, önce yine bir durup b ye bakacağız. Tüm işlemlerimizi daha önce yaptığımız gibi yapacağız. Fakat b bir tamkare ise bulduğumuz cevabı ye böleceğiz, bir tamküp ise 3 e böleceğiz, bir tam dördüncü kuvvet ise 4 e böleceğiz ve bu böyle devam edecek Soru 1. 17! n sayısı tek ise n kaçtır? 17! sayısının çift olduğunu kanıtladık. Neden çiftti? İçinde bir sürü çarpanı olduğu için. Peki, bir sayı niye tek olur? İçinde hiç çarpanı olmadığı için. Demek ki n ifadesi 17! in içinde ne kadar varsa almış götürmüş gibi düşünebiliriz. 17! in içinde kaç tane çarpanı var peki? Onu da 17 yi devamlı ye bölerek buluruz. Ben böldüm, 15 çıktı. O halde n = 15. Soru ! sayısı çift ise n en fazla kaç olabilir? n n = 15 olunca bu sayının tek olduğunu kanıtladık. Çünkü kesrin payında da 15 tane çarpanı vardı. Bunlar sadeleşince sayı tek oluyordu. Burada da durum şöyle: Aşağıda yukarıdaki lerin tamamını götürecek kadar yokmuş ki bu sayı çift kalmış. Yani n en fazla 14 olabilir. n nin alabileceği değerler toplamını sorar bazen. O zaman 1 den 14 e kadar olan sayma sayılarını toplayacağız = = 105. Soru 14. 1! +! + 3! + 4! ! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? 4 ten büyük olan doğal sayıların faktöryellerinin sıfır ile sonlandığını kanıtlamıştık. O halde sadece 1! +! + 3! + 4! toplamının son rakamına bakmak yeterli olacaktır = 33 olduğundan sorunun cevabı 3 tür. 4 Buradan şu anlaşılmaktadır: Yeterince büyük olduktan ve 1 den başlayıp ardışık olarak arttıktan sonra nerede bittiğinin önemi yoktur. Aynı soru 005! değil de 006! ya da 74658! de bitseydi de cevap 3 olacaktı. Bazen bu toplamın 5 ile bölümünden kalan sorulur, bu yüzden ona da 3 diyeceğiz. Soru 15. 1! +! + 3! + 4! ! toplamının onlar basamağındaki rakam kaçtır? Şimdi de 9 dan büyük doğal sayıların faktöryellerinin önemi yoktur, çünkü onların daima son iki basamakları 00 dır. Bu yüzden son iki rakama etki etmezler. Bu sebeple biz sadece ilk 9 sayının faktöryellerinin son iki rakamlarını toplayalım: = 13. O halde bu toplamın son iki rakamı 13 tür, dolayısıyla onlar basamağındaki rakam 1 dir. Böyle toplamların 100 ile bölümünden kalan sorulduğunda da aynı çözümü yaparız. Çünkü bir sayının 100 ile bölümünden kalan şey o sayının son iki basamağıdır. 4, 0, 5, 50, 75 gibi sayılara bölümlerinden kalanlar da son iki rakamla alakalıdır ama daha kolay çözümleri olduğundan onları burada değil, ilerde başka örneklerde başka metotlarla anlatacağız. Soru 16. 1! +! + 3! + 4! ! toplamının 3, 6, 7, 15, 0, 40 ile bölümlerinden kalanları hesaplayınız. 3 ve daha büyük doğal sayıların faktöryelleri hem 3 ile hem de 6 ile tam olarak bölündüğünden kalan vermezler. 1! +! = 1 + = 3 olduğundan bu toplam 3 ile tam bölünür ama 6 ile bölümünden kalan 3 tür. Diğer yandan 5 ve daha büyük doğal sayıların faktöryelleri hem 15 hem 0, hem 40 ile tam bölünürler. Bunlar kalan vermediğinden, incelenmelerine gerek yoktur. 1! +! + 3! + 4! = = 33 olduğundan toplamın 15, 0, 40 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 3, 13, 33 olur. 7 ile ilk bölünen faktöryel ise 7! olduğundan bundan önceki faktöryelleri toplamak gerekir = 873 olduğundan, 873 de 7 ile bölümünde 5 kalanını verdiğinden cevap 5 tir. Soru 17. 0! + 1! sayısı 1!, 11, 6 9, 9 4, 8 6, 5 5 sayılarından kaç tanesine tam olarak bölünür? 0! + 1! = 0! + 1 0! = 0! (1 + 1) = 0! olduğunu önce bir not edelim. 0! in içinde 1! olduğundan ilkine tam bölünür. 11 ile tam bölünebilmesi için içinde tane 11 çarpanı olması lazım. nin içinde 1 tane var ayrıca 0! in içinde de 1 tane var, o zaman bu da tamam. 0! in içinde

5 8 tane 3 çarpanı olduğundan ancak 8 tane 6 çarpanı olabilir. Bundan dolayı bu sayı 6 9 ile kalansız bölünemez. 9 4 için de durum aynı, zira 9 4 = 3 8 tür. Şimdi 0! in içinde kaç tane çarpanı var ona bakalım. Ben baktım, 18 tane çıktı. 6 tane 8 zaten 18 tane yaptığından 0! in içindekiler buna yeter. Son olarak 5 5 i inceleyeceğiz. 0! sayısında sadece 4 tane 5 çarpanı var, de ise hiç yok dolayısıyla 5 5 ile bölünmesine imkan yok. Yani, sadece 3 üne bölünür. Şu an itibariyle faktöryelin ne olup ne olmadığına ilişkin bir altyapınızın çoktan oluşmuş olması gerekiyor. Yanılıyor muyuz yoksa? Eğer tereddütleriniz varsa yukarıdaki örnekleri tekrar tekrar incelemenizi ve anlamadığınız her yeri tamamıyla idrak edene kadar sormanızı öneririz. Zira bundan sonra, özellikle permutasyon kombinasyon derslerinde faktöryellerle epey bir işimiz olacak. Soru 18. Aşağıdaki eşitliklerde n sayısını bulunuz. i) n! = (n+4) (n )! ii) (n + 7)! = 70 (n + 4)! Büyüğü küçük cinsinden yazıyoruz. i) n (n 1) (n )! = (n + 4) (n )! eşitliği düzenlenirse n 3n 4 = 0 olur, o halde n = 4. ii) (n + 7) (n + 6) (n + 5) (n + 4)! = (n + 4)! eşitliğinde gerekli işlemler yapılırsa n = 3 bulunur. Soru 19. f: +, f(n) = n f(n 1) ve f(0) = 1 ise n için f fonksiyonunun faktöryel fonksiyonu olduğunu gösteriniz. n = 1 f(1) = 1 f(0) n = f() = f(1) n = 3 f(3) = 3 f() n = k f(k) = k f(k 1) Bulunan tüm bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa; f(1) f() f(3) f(k) = 1 3 k f(0) f(1)... f(k 1) f(k) = k f(k) = k! Soru 0. x = y = olduğuna göre x y çarpımının faktöryel olarak eşiti nedir? 18! 50! x y = = 18! 18! Soru 1. x = 19! olduğuna göre 0! + 1! toplamının x türünden ifadesi nedir? 0! + 1! = 0 19! ! = 19! [ ] = 19! [0 (1 + 1)] = 19! 0 = 0 x Soru. n tane 10 nin toplamı, n! olduğuna göre n değeri kaçtır? n 10 = n! n 5! = n (n 1)! 5 = n 1 n = 6 Soru 3. 60! 50! işleminde elde edilen sayının sonunda kaç tane ardışık sıfır vardır? ! 50! sonundaki sıfır adedi, her ikisinin sonundaki sıfır adetleri farklı olduğundan küçük olanın yani 50! in sonundaki sıfır adedi kadardır. O halde sıfır adedi 1 tanedir. Çıkarma işlemini de aynı toplama gibi yapıyoruz yani. Soru ! 1 sayısının sonunda kaç tane ardışık 9 vardır? ! 1 sonundaki 9 adedi, 100! sonundaki sıfır adedi kadardır. O halde 100! 1 sonundaki 9 rakamının adedi 4 tanedir. Bazen de 100! + 1 toplamının sonundaki 1 adedini sorar. Buna da hemen 4 demeyin sakın! Neden diye bir düşünün bakalım. Soru 5. m, n ve t pozitif tamsayı olmak üzere 40! = 6 m 10 n t eşitliğinde (m + n) toplamı en fazla kaç olabilir? 6 ve 10 asal olmadığından hemen bu ifadeleri asal çarpanlarına ayıralım. 40! = 6 m 10 n t = m 3 m n 5 n t = m+n 3 m 5 n t olur. 40! içinde 38 tane, 18 tane 3, 9 tane 5 asal çarpanı olduğu bulunur. Bu yüzden max(n) = 9 ve max(m) = 18 olduğundan max(m + n) = 7 dir. Soru 6. (1! +! + 3! !) 13 işlemi sonucunda birler basamağındaki rakam kaçtır? 5! + 6! + 7! ! 0 (mod 10) olduğunu biliyoruz. 1! +! + 3! + 4! (mod 10) olduğundan (mod 10) olur. 5

6 Soru 7. (1 + 13!, !) açık aralığında asal sayı olmadığını gösteriniz. (1 + 13!, !) açık aralığında bir x asal sayısı olsun; ! < x < ! x = + 13! = x = ! = 3 x = ! = ! 1+ 13! ! ! = k = 3k = 4k x = ! = 16 = 16k olduğundan verilen aralıkta bir asal sayı yoktur. Daha genel olarak; p bir asal sayı ve n bir doğal sayı ise; n! + 1 ile n! + n arasında hiçbir asal sayı yoktur. Bunun kanıtını ise sizlere bırakıyoruz. Soru 8. 15! sayısının pozitif tam bölenleri sayısı kaç tanedir? 15! = olduğundan, 15! in pozitif bölen sayısı = 403 tanedir. Soru 9. 11! sayısının pozitif bölen sayısı, 10! sayısının pozitif bölen sayısının kaç katıdır? 11! = 11 10! = 11 10! olduğundan 11! içinde 10! den farklı olarak 11 çarpanı tane fazladır. 10! içindeki 11 çarpan sayısı 10 ve 11! içindeki 11 çarpan sayısı da 1 tanedir. 10! in 11 dışındaki çarpanlarının üslerinin 1 er fazlalarının çarpımı k olsun. 10! in pozitif bölen sayısı k (10 + 1) ise 11! sayısının pozitif bölen 13 sayısı k (1 + 1) olur. O halde buradan katı ol- 11 duğunu anlarız. Soru 30. (n!)! sayısı 3 basamaklı ise n kaç olabilir? basamaklı sayılardan sadece tanesi bir sayının faktöryeline eşit olabilir. Bunlar 10 ve 70 dir. 10 = 5! ve 70 = 6! olduğundan n = 3 tür. n nin hiçbir değeri için n! = 5 olamayacağına dayandık. Soru 31. 1! +! + 3! + + x! toplamı kaç kere ve hangi x değerleri için tamkare olur? x = 1 için tamkare olduğu, x = için de olmadığı aşikar. x = 3 olursa bu toplam 1! +! + 3! = = 9 olduğundan yine tamkare olur. x > 3 için bu toplamın son rakamının daima 3 olduğunu biliyoruz. O halde bir tamkare olması imkansızdır. Çünkü hiçbir tamkarenin son rakamı 3 olamaz. Neler olabilir, onu da siz bulunuz Soru 3. a! = b! + c! + d! eşitliğinde a, b, c, d birer pozitif tamsayı ise a kaçtır? b c d olsun. a > d olduğundan a d + 1 yazabiliriz. (d + 1) d! = (d + 1)! a! = b! + c! + d! 3 d! olduğundan d olur. O halde d dir. d = 1 için dener ve sağlayan değerler bulamayız. d = için ise b = c = d = ve buradan da a = 3 bulunur. Aynı soruyu bir de doğal sayılar kümesinde çözünüz. Soru 33. OBEB(n! + 1, (n + 1)! + 1) =? n! + 1 ile (n + 1)! + 1 sayıları daima birbirine asal olduğundan OBEB leri 1 dir. Soru ! +! + 3 3! + + n n! sayısının n cinsinden eşiti nedir? Verilen bu toplama A diyelim. A = 1 1! +! + 3 3! + + n n! Eşitliğin her iki yanına 1! +! + 3! + + n! ekleyelim. A + 1! +! + + n! = 1! + 3!+ + (n + 1) n! A + 1! +! + + n! =! + 3! + + n! + (n + 1)! A + 1! = (n + 1)! A = (n + 1)! 1 Yani, 1 1! +! + 3 3! + + n n! = (n + 1)! 1. Soru ! +! + 3 3! ! toplamı hesaplandığında sondan kaç basamağında 9 olur? Bir önceki soruda bulduğumuz formüle göre bu toplam 37! 1 dir. O halde 37! in sonunda kaç tane sıfır varsa 37! 1 sayısının sonunda da o kadar 9 vardır. O halde yandaki bölme işleminden de gördüğünüz üzere cevabımız 8. a! Soru 36. = 5! eşitliğini sağlayan kaç farklı (a, b) b! ikilisi vardır? 6

7 İlk önce a = 5 olduğunu düşünelim. Paydayı 1 yapmalıyız. Bu da şekilde mümkün: b = 0 veya b = 1 ile. Ayrıca 5! = 10 olduğundan a = 10 ve b = 119 olursa da eşitlik sağlanır. Diğer yandan 5! = 10 = (1 3) 4 5 = olduğundan a = 6 ve b = 3 de çözümdür. Sonuç olarak (a, b) = {(5, 0), (5, 1), (10, 119), (6, 3)} olmak üzere 4 farklı şekildedir. Soru 37. 7! sayısı 7 tabanında yazılırsa sonunda kaç tane sıfır olur? 7! sayısı sadece 3 kere 7 ye kalansız bölünür, diğer bölümlerde kalanlar sıfırdan farklı olur. Zaten 7 tabanında yazmak istediğimizde de ilk başta sıfırdan farklıları yazarız, en sona 3 sıfır kalır. Soru 38. A = sayısı 6 tabanında yazılırsa, A nın sondan kaç basamağı sıfır olur? A = = ( 1) ( ) ( 3) ( 4) ( 4) = 4 4! olduğunu kaydedelim. 4 sayısının içinde hiç 3 çarpanı olmadığından 6 çarpanı yoktur. 4! sayısının içindeki 3 çarpanları bize 6 çarpanı adedini verecektir. 4 ü devamlı 3 e bölüp, bölümleri toplarsak, cevabın 10 olacağını görürüz. Soru 39. ( a+ b )! ( b + )! = 7 eşitliğini sağlayan a a! ( b 3)! ve b sayma sayıları için (a + b 3)! kaçtır? ( a+ b)! = ( a+ b) ( a+ b 1)... ( a+ 1) ve a! diğer yandan olduğundan, ( b )! = b ( b 3)! ( a+ b)! ( b )! + a! ( b 3)! = 7 eşitliği (a + b) (a + b 1) (a + 1) + b = 7 yani (a + b)(a + b 1) (a + 1) + b = 9 olur. b nin 3 ten büyük veya eşit olduğunu biliyoruz. O halde (a + b)(a + b 1) (a + 1) çarpımı da 6 dan küçük veya eşittir. Bu çarpım ardışık sayıların çarpımı olduğundan ya 6 dır ya dir. a ve b birer sayma sayısı olduğundan sağlayan tek durumun a + b = 3 olduğu görülür. O halde (a + b 3)! = 0! = 1 olur. a! Soru 40. = x x eşitliğini sağlayan a, b, x b! sayma sayıları için b nin alabileceği değerleri toplamı 97 ise x kaçtır? a! = b! x x = x (x 1) olduğundan a sayısı, b nin ya 1 ya da fazlasıdır. O halde a 1 = b ve a = b + olacak şekilde iki farklı a sayısı vardır. b 1 + b = 97 verildiğinden a 1 + a = 100 dür. a1! a! = = x( x 1) a1 = a a ( a 1)! ( a 1)! 1 a 1 + a = a = 100 a = 10 x (x 1) = 90 x = 10. Soru 41. 1!! 3! 4! ! çarpımından hangisi atılırsa geriye kalan ifade bir tamkare olur?! = 1!, 4! = 4 3!, 6! = 6 5!, 100! = ! olduğunu gözönünde tutarak verilen ifadeyi ikişerli ikişerli gruplayalım. (1!) (3!) 4 (5!) 6 (99!) 100 şeklinde bir eşitliğe ulaşırız. Tamkare ifadelerin çarpımına A dersek bu eşitliğin aslında A yani A 50 50! olduğunu anlarız. A ve 50 zaten tamkaredir, dolayısıyla atılması gereken sayının 50! olduğu çıkar. Soru 4. n bir çift sayma sayısı olmak üzere; 1!! 3!... ( n)! kesrinin daima bir tamkare olduğunu kanıtlayınız. n!! = 1!, 4! = 4 3!, 6! = 6 5!, (n)! = n (n 1)! olduğunu gözönünde tutarak verilen ifadeyi ikişerli ikişerli gruplayalım. (1!) (3!) 4 (5!) 6 n (n 1)! şeklinde bir eşitliğe ulaşırız. Tamkare ifadelerin çarpımına A dersek bu eşitliğin aslında A 4 6 (n) yani A n n! olduğunu anlarız. A ve n zaten tamkaredir, dolayısıyla atılması gereken sayının n! olduğu çıkar. 7

8 Soru 43. 1!! 3!... 0! çarpımının bir kare olabilmesi için en az hangi sayma sayısı ile çarpılmalıdır? Artık bu sayının 10! ile çarpılırsa bir kare olacağını biliyoruz. Ama 10! içinde de zaten kareler var, çift sayıda çarpan olmayan sadece 7 çarpanı olduğundan cevabımız 7 dir. Soru 44. x, y, z pozitif tamsayılar olmak üzere;! 4! 6! 8!... 3! = x 3 y z ise x in en büyük değeri için z en az kaç olabilir?! 4! 6! 8!... 3! = A 16 16! olduğunu kanıtlamıştık. A 16 çarpımı bir karedir. 16! içindeki kareleri de atalım kalır geriye = eşitliğinden kare ve küpleri de atarsak geriye sadece kalır. O halde z en az 143 olabilir. 11!1!13!... 0! Soru 45. çarpımının bir tam kare olması için çarpılması gereken en küçük sayma 1!!3!... 10! sayısı kaç olmalıdır? 11! 1! 13!... 0! = A olsun. 1!! 3!... 10! 11! 1! 13!... 0! A = 1!! 3!... 10! 11! 1! 13! 19! 0! =... 10! 9! 8!! 1! = 11 ( ) ( ) ( ) = diye yazıldığında sadece 7 nin kuvveti tek geliyor. Bundan dolayı cevap: 7. Soru 46.! + 4 3! + 6 4! + 8 n = x 5! ( n+ 1)! işleminin sonucu kaçtır? x Okuyucuya bırakılmıştır. ise Soru 47. 1!! 3!... 3! çarpımının bir tamküp olabilmesi için bu çarpanlardan en az kaç tane iki basamaklı faktöryel atılmalıdır? A = !! 3!...! = sayısında, üssü 3 ün katı olanlar, kök dışına tamsayı olarak çıkacaklarından onları ihmal edelim. A=B A = C Şimdi bu küp kök içindeki sayıları mümkün olduğunca az iki basamaklı sayıların çarpımı şeklinde yazmalıyız. A = C 3 (19 ) (13 7) (11 9) = olduğundan çarpımdan bu üç tane iki basamaklı sayı atılırsa A bir tam küp olur. Soru 48. n n! sayısı n cinsinden en fazla kaç olabilir? n n! sayısı 1 den n ye kadar olan sayıların geometrik ortalamasıdır. Geometrik ortalamanın, aritmetik ortalamadan daima küçük eşit olduğunu biliyoruz. n n! n n+ = 1 n Soru 49. x ve y tamsayılar olmak üzere 0 < x < y < 40 veriliyor. [x! + (x + 1)! + (x + )!] [y! + (y + 1)! + (y + )!] çarpımının bir tamkare olması için y nin alabileceği değerleri bulunuz. [x! + (x + 1)! + (x + )!] [y! + (y + 1)! + (y + )!] = [1 + x (x + 1)(x + )] x! [1 + y (y + 1)(y + )] y! = x! y! (x + ) (y + ) olduğundan x! y! çarpımının bir kare olması gerekir. Bu durum da y = x + 1 ile mümkün olup, artan (x + 1) değerinin de bir kare olması lazım. O halde y nin alabileceği değer var: 5 ve 36. Soru ! sayısının 71 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? Wilson Teoremi, bir p asal sayısı için (p 1)! 1 (mod p) olduğunu söyler. Biz de buna güvenerek cevabın 1 yani 70 olduğunu söyleyeceğiz. Soru ! sayısının 71 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? Yukarda 70! 70 olduğunu bulmuştuk. 70! = ! 70 ( 1)( )( 3)( 4)( 5)( 6)( 7)( 8)( 9) 61! (mod 71) 70 ( 1)( )( 5)( 7) ( 3)( 4)( 6) ( 8)( 9) 61! (mod 71) ( 7) 7 61! (mod 71) 1 ( 1)( 1) 1 61! (mod 71) olduğundan 61! 1 70 (mod 71) 8

9 Soru 5. a, b, c pozitif tamsayılar olmak üzere a + b = c! eşitliğini sağlayan kaç farklı (a, b, c) üçlüsü vardır? Okuyucuya bırakılmıştır. Soru 53. x, y, z doğal sayılar olmak üzere x 30! 17 0! = z eşitliğinde z nin en küçük değeri y için y en çok kaç olabilir? Okuyucuya bırakılmıştır. Soru 54. 3! sayısı ardışık doğal sayıların çarpımı şeklinde kaç farklı şekilde yazılabilir? Okuyucuya bırakılmıştır. Soru 55. 0! 1!! ( n+ 1)! ( n+ )! ( n+ 3)! cinsinden eşitini bulunuz. Okuyucuya bırakılmıştır. Soru ( ) ( ) ( )... ( ) çarpımının sonucu kaçtır? (1 ) (1 ) toplamının n = = olduğunu göz önünde tutarak diğer çarpanları da aynı bunun gibi açacağız. Sonuçta ifade şeklini alacak. Sadeleştirirsek; ( )( )...( ) olacak. Payda tek sayıda 1 olduğundan cevabımız 1 6! = olur. 3! 3! 6! ! =...ba (6 tane sıfır) 100! =...ba (4 tane sıfır) + 101! =...baba (4 tane sıfır) c = a, b = d a c + b d = 0 Soru ! 1 sayısı 4 tabanında yazılırsa sondan kaç basamağı 3 olur? 100! sayısının içinde ne kadar 4 çarpanı varsa, 4 tabanında yazılmış halinin sonunda o kadar sıfır vardır. Buradan hareketle 100! 1 sayısının 4 tabanında yazımlı halinde de o kadar 3 olacaktır. 100! = 4 x a = ( 3 3) x a = 3x 3 x a olduğundan x = 3 bulunur. Bundan dolayı cevabımız 3 dir. Soru ! + 50! + 60! = a 10 n eşitliğinde a, n + ise a nın en küçük değeri için n kaç olur? a 10 n sayısı sabit bir sayıya eşit olduğundan a küçüldükçe n büyür. O halde a nın en küçük değerinde n en büyük değerini alır. Bu durumda 40! + 50! + 60! sayısının içinde kaç tane 10 çarpanı olduğunu, yani sayının sonunda kaç tane sıfır olduğunu bulmamız yetecek. Bunun içinde en küçüğü olan 40! in sonundaki sıfır sayısını bulmak yeter. 40 ı devamlı 5 e bölerseniz, bölümler toplamı 9 olduğundan cevabımız 9 dur. 1 Soru 57. C (,) =? ( )! ( ) ( ) ( )! C(,) = = = = 3 3 ( )!! ( )!!! 8 Soru ! sayısının sondan 5 ve 6 ncı basamakları sırasıyla a ve b, 101! sayısının sondan 5 ve 6 ncı basamakları sırasıyla c ve d ise a c + b d kaçtır? 100! sayısının sonunda 4 tane sıfır vardır. 100! =...ba (4 tane sıfır) 101! = ! = ( )100! 9

10 Alıştırmalar 1. n bir doğal sayı ise n!, (n + 1)!, (n + )!, n! + 1 ve n! + sayılarından kaç tanesi daima çifttir?. n! iki basamaklı ise (n + )! kaç basamaklıdır? 3. 0! + 4! + 8! toplamının birler basamağı kaçtır? 4. 6! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? 5. 6! 1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur? 6. n! hesaplandığında sondan 7 basamağı sıfır ise n kaç farklı değer alır? 7. 9! 30! çarpımının sonunda kaç sıfır vardır? 8. 9! + 30! toplamının sonunda kaç sıfır vardır? 9. 9! sayısını 1! sayısına böldüğümüzde bölümün sonunda kaç sıfır olur? ! 9! farkının sonunda kaç sıfır vardır? ! 1! farkının sonunda kaç sıfır vardır? 1. n > 100 iken a = n!, b = n!, c = (n)!, d = n n, e = (n!), f = n! sayılarını küçükten büyüğe sıraya diziniz ! sayısının içinde 10 çarpanı mı 15 çarpanı mı daha fazladır? Neden? 14. 3! = 6 n p eşitliğinde n ve p sayma sayısı ise n en çok kaç olabilir? 15. 3! = 6 n p eşitliğinde n ve p sayma sayıları için n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 16. n! sayısı tek bir doğal sayı ise n! kaçtır? 17. m, n, p ardışık çift sayılar olmak üzere; m! + n! + p! toplamı bir tek sayı ise m n + p kaçtır? 18. 3! sayısı tek ise n sayma sayısı kaçtır? n 19. 3! n sayısı çift ise n sayma sayısı en çok kaç olabilir? 0. 3! n sayısı çift ise n sayma sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? 1. n! sayısı tek bir doğal sayı ise n 3n + 3 sayısı en çok kaç olabilir?. n! sayısı 6 ile tam bölündüğüne göre n en az kaçtır? 3. n! sayısı 1 ile tam bölünüyorsa n en az kaçtır? 4. n! sayısının son rakamı sıfır ise n + 3 en az kaç olabilir? 5. 19! sayısı tek midir, çift midir? 10

11 6. 19! sayısı hesaplanırsa birler basamağındaki rakam kaç olur? 7. 19! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? 8. 19! 1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur? 9. 19! + 1 sayısının sondan kaç basamağı 1 dir? ! sayısının içinde kaç tane 10 çarpanı vardır? ! sayısının içinde kaç tane 5 çarpanı vardır? 3. 19! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı vardır? ! sayısının içine kaç tane 7 çarpanı vardır? ! sayısının içindeki 14 çarpanı mı, 1 çarpanı mı daha çoktur? Yoksa eşit midir? ! sayısının içindeki 4 çarpanının adedi kaçtır? ! sayısının içinde kaç tane 7 çarpanı vardır? 37. 5! + 6! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı vardır? 38. 4! + 5! + 6! toplamının içinde kaç tane 4 çarpanı vardır? 39. 4! 5! çarpımının sonunda kaç tane sıfır bulunur? 40. 7! 10 x sayısının sonunda 7 tane sıfır olduğu bilindiğine göre x kaçtır? ! 17! bölümünün sonunda kaç tane sıfır bulunur? 4. Kaç tane doğal sayının faktöryelinin sonunda tane sıfır bulunur? 43. Kaç tane doğal sayının faktöryelinin sonunda 5 tane sıfır bulunur? Neden? 44. 1! +! + 3! + 4! ! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? 45. 0! +! + 4! ! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? 46. 1! +! + 3! ! toplamının 3 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? 47. 3! + 4! + 5! ! toplamının 17 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? 48. a! = b! 4! ise a + b en az ve en çok kaç olabilir? 49. (a!)! sayısının sonunda 1 tane sıfır varsa, a kaçtır? 50. a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; 30! = 5 a b ise a nın en büyük değeri kaçtır? 51. a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; 8! = 8 a b ise a nın en büyük değeri kaçtır? 5. a, b ve c pozitif tamsayılar olmak üzere; 40! = a 3 b c ise a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? 53. x 13 x 1 = eşitliğinde x kaçtır? ( x 1)! x! x! 11

12 54. ( n+ 5)! (n)! çarpımını sadeleştiriniz. (n+ 1)! ( n+ 4)! 55. a bir tamsayıdır. ( a 5)! + ( a 4)! ( a 3)! + (5 a)! işleminin sonucu kaçtır? 56. OBEB(4! + 5! + 6!, 5! + 6! + 7!) kaçtır? 57. OKEK(4! + 5! + 6!, 5! + 6! + 7!) kaçtır? ! içinde kaç tane 1 çarpanı vardır? 59. x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere; 1!! 3! 4! 39! = x 13 y olduğuna göre y en fazla kaç olabilir? 60. x! + ( y+ 1)! ifadesi bir tamsayı olduğuna göre, x + x! y toplamı en az kaç olabilir? ! +! + 3 3! ! toplamının son rakamı kaçtır? ! +! + 3 3! + 4 4! ! toplamının sonunda kaç tane 9 vardır? 63. n > 1 iken 1 1! +! + 3 3! + + n n! toplamının hiçbir zaman bir tamkare olamayacağını kanıtlayınız ! + 7! = m x 3 y eşitliğinde m, x, y sayıları birer sayma sayısı ise x + y toplamı en fazla kaç olabilir? ! sayısının kaç tane negatif böleni vardır? 67. 1! sayısının asal olmayan pozitif böleni kaç tanedir? 68. C(n, r): n nin r li kombinasyonu, P(n, r): n nin r li permutasyonu ise C(n, r) mi daha büyüktür yoksa P(n, r) mi? Neden? ! 8! + 6! sayısının en büyük asal çarpanı kaçtır? 70. 6! sayısı 9 tabanında yazılırsa kaç basamaklı bir sayı elde edilir? ! sayısı 9 tabanında yazılırsa sonunda kaç tane sıfır bulunur? 7. 19! den 19! + sayısına kadar kaç tane asal sayı vardır? 73. 8! sayısı, en küçük hangi sayma sayısı ile çarpılırsa bir tamkare olur? 74. 6! = a- (b 3) eşitliğinde a ve b birer sayma sayısı ise a + b toplamı en az kaç olabilir? 64. 9! x ve y sayma sayıları için, işleminin sonucunun bir sayma sayısı olduğu bilindiğine göre, x y 3 5 x 5y ifadesinin en büyük değeri kaç olabilir? 1

Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile ça

Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile ça Sayılar Mustafa Yağcı, yagcimustafa@yahoo.com Tanım: n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n nin faktöryeli veya kısaca n faktöryel denir. (n!) biçiminde

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin.

25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin. BÖLME VE BÖLÜNEBİLME 25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin. 25 = 6 x 4 + 1 Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan 12312312 sayısını 123 e bölelim. 123 te 123 bir kere var. Sonra

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR.

SAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR. 2 SAYILAR TEORİSİ - MUSTAFA ÖZDEMİR SAYILAR TEORİSİ Bu kitap üniversitelerimizin Matematik ve Matematik Eğitimi bölümlerinde okutulmakta olan Sayılar Teorisi derslerine de yardımcı olacaktır. Bunun yanında,

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME BÖLME ve BÖLÜNEBİLME A. BÖLME A, B, C, K birer doğal sayı ve B 0 olmak üzere, bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir. A = B. C + K dır. Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)

Detaylı

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 4, 36 ve 48 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü kaçtır? A) 1 B)16 C) 18 D) 4 E) 7 1) Sayılarınhepsini aynı anda asal çarpanlarına ayıralım; 4 36 48 1 18 4 6 9 1 3 9 6

Detaylı

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS - 2 2-2 1 1-1 1 kalanı bulmak için sağdan ve + ile başlamak gerekir BÖLÜNEBĐLME KURALLARI 2 Đle Bölünebilme: tüm çift sayılar, yani birler

Detaylı

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

( ) FAKTÖRĐYEL YILLAR /LYS. Örnek( 4.)

( ) FAKTÖRĐYEL YILLAR /LYS. Örnek( 4.) YILLAR 00 003 004 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - 0/ - / /LYS FAKTÖRĐYEL Örnek( 4) 3)!! ) )! 4 )!? den n e kadar olan sayıların çarpımına n! denir n! 34(n-)n 0!!! 3! 3 6 4! 34 4 5!3450 Örnek(

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar

Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar Bölüm BÖLÜNEBİLME VE ÇARPANLARA AYIRMA. Bölünebilme Kuralları Bir a doğal sayısı bir b sayma sayısına bölündüğünde bölüm bir doğal sayı ve kalan sıfır ise, a doğal sayısı b sayma sayısına bölünebilir.

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5 1 14 ve 1 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? x = 14.a = 1b x= ekok(14, 1 ).k, (k pozitif tamsayı) x = 4.k x in üç basamaklı değerleri istendiğinden k =, 4, 5, 6, 7,,

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor.

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor. Bölüm: Doğal Sayılar ve Tamsayılar Test: Temel Kavramlar. abc ve cba üç basamaklı doğal sayılardır. abc cba = 97 olduğuna göre, abc biçiminde yazılabilecek en küçük doğal sayının rakamları toplamı A) B)

Detaylı

8.Sınıf MATEMATİK. Çarpanlar ve Katlar Konu Testi. Test sayısının tek bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden

8.Sınıf MATEMATİK. Çarpanlar ve Katlar Konu Testi. Test sayısının tek bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden Çarpanlar ve Katlar Konu Testi MATEMATİK 8.Sınıf Test-01 1. I. 1, her sayının bölenidir. II. 2, asal bir çarpandır. III. Her sayı kendisinin bir çarpanıdır. IV. Bir sayının çarpanları, aynı zamanda o sayının

Detaylı

BÖLÜNEBİLME ÇÖZÜMLÜ SORULAR

BÖLÜNEBİLME ÇÖZÜMLÜ SORULAR BÖLÜNEBİLME ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 435a sayısı 2 ile tam bölünüyor fakat 4 ile tam bölünemiyor ise a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C )

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C ) Önce ÇARPMA ve Bölme, sonra Toplama ve Çıkarma. 3.4+10:5-3 = 12+2-3 = 11 ( C ) Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) 72:24+64:16 = 3+4 = 7 ( B

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIF TEST SORULARI 1. a ve b birer pozitif tamsayıdır. 12. a = b³ olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 21 B) 23 C) 24 D) 25 3. Beş kişinin yaşlarının aritmetik ortalaması 24 tür. Aşağıda

Detaylı

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES)

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) 00000000001 AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) plam cevaplama süresi 150 akikadır. (,5 saat) SAYISAL BÖLÜM SAYISAL - 1 TESTİ Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim.

ÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim. SINIF ÇARPANLAR ve KATLAR www.tayfunolcum.com 8.1.1.1: Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade ya da üslü ifadelerin çarpımı seklinde yazar. Çarpan ( bölen ) Her

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF

ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ 20120907010 AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF 1 ANLATIMI ÜSLÜ SAYILAR KONU Üslü sayılar konu anlatımı içeriği; Üslü sayıların gösterimi, Negatif üslü

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 0 Mayıs 009 Matematik Soruları ve Çözümleri. ( ) 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 Çözüm ( ) 4 ( ) 4 4 6.

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM

ÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM ÖĞRENİYORUM Bir pozitif tam sayıyı birden fazla pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazarken kullandığımız her bir sayıya o sayının çarpanı denir. Örnek: nin çarpanları,, 3, 4, 6 ve dir. UYGULUYORUM Verilmeyen

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. b Payda

Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. b Payda Matematik6 Bir Bakışta Matematik Kazanım Defteri Özet bilgi alanları... Kesirlerle İşlemler KESİR ve KESİRLERDE SIRALAMA Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. Bir kesirde

Detaylı

TAM SAYILARDA ÇARPMA BÖLME İŞLEMLERİ ESRA ÇAKIR

TAM SAYILARDA ÇARPMA BÖLME İŞLEMLERİ ESRA ÇAKIR Kazanım: Tam sayılarla çarpma ve bölme işlemleri yapar. Tam sayılarla işlemler yapmayı gerektiren problemleri çözer. HATIRLATMA :TAM SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ Aynı işaretli tam sayılar toplanırken işaretleri

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz. Asal Sayılar Sadece kendisine ve sayısına bölünebilen 'den büyük tam sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ÇARPANLAR ve KATLAR Uygulama- Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) 36=

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ YILLAR 00 00 00 00 00 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 1 - - - - - - - TABAN ARĐTMETĐĞĐ Genel olarak 10 luk sayı sistemini kullanırız fakat başka sayı sistemlerine de ihtiyaç duyarız Örneğin bilgisayarın

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

MATEMATİK DERS PLÂNI. : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K)

MATEMATİK DERS PLÂNI. : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K) MATEMATİK DERS PLÂNI Başlangıç Tarihi :.. Dersin adı Sınıf Öğrenme Alanı Alt Öğrenme Alanı Planlanan Süre : Matematik : 9. Sınıf : Sayılar : Doğal Sayılar (Asal Sayılar Bölünebilme O.B.E.B ve O.K.E.K)

Detaylı

AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası

AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası SORU 1 525 + 2834 + 379 toplama işlemini alt alta yazarak yapınız. 525 2834 +379 3738 SORU 2 Manavdan kilogramı 4 TL olan armut

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

Asal Çarpan, OBEB - OKEK

Asal Çarpan, OBEB - OKEK Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. 15 in doğal sayı çarpanları II. 1 nin tam sayı bölenleri a) 1,, 3, 4, 6, 1 1,, 3, 4, 6, 1 b) 1, 3, 5, 15 III. 140 ın asal çarpanlara ayrılışı c) 140

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR. Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1

ÇARPANLAR VE KATLAR. Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1 ÇARPANLAR VE KATLAR Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1 ÖRNEK 1 48 sayısının çarpanlarını bulalım. 1.Gökkuşağı yöntemi 48 sayısının çarpanlarını küçükten büyüğe sıralayarak eşleştiriniz. 48 çarpanlarını

Detaylı

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r? ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3

Detaylı

MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ

MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ ÖRNEK: 18 sayısının pozitif çarpanları nelerdir? Çarpımları 18 olan sayılar arayalım. 18 = 1. 18 18 =. 9 18 =. 6 Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı şeklinde

Detaylı

1- Espriyi Yakalama Yöntemi

1- Espriyi Yakalama Yöntemi 1 TEST SORUSU ÇÖZME YÖNTEMLERĐ 1- Espriyi Yakalama Yöntemi Bu tip sorularda küçük bir espri gizlidir. Bu espri yakalanmazsa, soruyu çözmek için uzun işlemler yapmak gerekir. +2 = 2 +2 = 3 ise, +2 = 4 +

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

FERMAT VE EULER TEOREMLERİ

FERMAT VE EULER TEOREMLERİ FERMAT VE EULER TEOREMLERİ 1. 8 103 sayısı 13 e bölündüğünde elde edilen kalanı bulunuz. Çözüm: Fermat teoreminden 8 12 1 (mod 13) 8 103 (8 12 ) 8 8 7 8 7 2 21 2 9 2 4 2 4 2 3 3 2 5 (mod 13). 2. 3 619

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

TEMEL MATEMATİK. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.

TEMEL MATEMATİK. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. TEMEL MTEMTİK. u testte 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. ir satranç tahtasındaki 6 kareye den 6 e kadar olan doğal sayılar yazılıyor.

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1.

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1. SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin çözümlenmiş biçimidir? A) ab B) a0b C) a0b0 D) ab0 E) ab00 1000a 10b 1000.a 100.0 10.b 1.0 a0b0 Doğru Cevap:

Detaylı

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI KRTEZYEN ÇRPIM VE BĞINTI 3. Bölüm TEST -2 1. β={(x,y):2x+y=8,x,y N} şeklinde tanımlı β bağıntısı kaç elemanlıdır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. R'de bağıntısı yansıyan ise a.b kaçtır? ) 18 B) 9 C) 2 D) 18

Detaylı

Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin

Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin Bu ürünün bütün hakları ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın fotokopi ya da elektronik, mekanik herhangi

Detaylı

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız.

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız. MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Prüfer kodu ( 3 3 ) olan ağacı çiziniz.. Noktaları

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

MUTLAK DEĞER MAKİNESİ. v01

MUTLAK DEĞER MAKİNESİ. v01 MUTLAK DEĞER MAKİNESİ Önce makinemiz nasıl çalışıyor öğrenelim. Makinemiz üç kısımdan oluşuyor. Giriş, Karar ve Sonuç. Giriş kısmına attığımız top bir sayıyı ya da bir ifadeyi temsil ediyor. (2) sayısını

Detaylı