ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI

Transkript

1 ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 0. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI POLİNOMLAR ÇARPANLARA AYIRMA İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

2 V ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 0. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ISBN Dizgi ÇAP Dizgi Birimi Kapak Tasarım Fatma Özgür OFLAZ. Baskı Eylül 08 İLETİŞİM ÇAP YAYINLARI Ostim Mah. 07 Sokak No: /C D Ostim / Ankara Tel: Fa: bilgi@capyayinlari.com.tr twitter.com/capyayinlari facebook.com/capyayinlari SUNU Sevgili Öğrenciler, Gelecekteki hayatınızı şekillendirmek, düşlediğiniz bir yaşamı kurmak için üniversite sınavını başarıyla atlatmanız gerektiğini biliyorsunuz. Bu bilinçle yoğun bir ders çalışma sürecinden geçmektesiniz. Böylesine önemli bir sınavı başarıyla atlatmanın en temel şartlarından biri sınavın ruhunu anlamak ve bu çizgide hazırlanmış kitaplardan yeterince faydalanmaktır. Bizlerde gayretlerinize destek olmak, çalışmalarınızı daha verimli hâle getirmek amacıyla sınav ruhuna uygun elinizdeki fasikülleri hazırladık. Kitaplarımız, Talim Terbiye Kurulu nun en son yayımladığı öğretim programında yer alan kazanımlar dikkate alınarak hazırlanmıştır. Özgün bir yaklaşım ve titiz bir çalışmanın ürünü olan eserlerimizin ana yapısı şu şekildedir: Kazanımlara ait bilgiler konu sayfasında verilmiştir. Özet konu anlatımından sonra örnek çözümlerine geçilmiş ve bu bölüm standart sorular ve çözümleri ile ÖSYM tarzı sorular ve çözümleri olmak üzere iki kısımdan oluşturulmuştur. Buradaki amacımız konu ile ilgili soru çeşitlerine hâkim olduktan sonra ÖSYM'nin son yıllarda sorduğu ve sınavlarda çıkma olasılığı yüksek soru türlerine yer vermektir. Örnek çözümlerinden sonra da pekiştirme testleri bulunmaktadır. Bölümün tamamı bittiğinde ise tüm ünitenin özetini bulabilirsiniz. Konuyu özetledikten sonra Acemi, Amatör, Uzman ve Profesyonel adı altında dört farklı zorluk düzeyinde çoktan seçmeli soruların bulunduğu karma testlere yer verilmiştir. Arkasından ÖSYM'den Seçmeler adı altında son yıllarda üniversite giriş sınavlarında sorulmuş seçme sorular yer almaktadır. Kitabımızdaki testlerin tamamını VİDEO ÇÖZÜMLÜ hazırladık. Yayınevimize ait olan akıllı telefon uygulamasını (çapp) kullanarak video çözümlerine ulaşabilirsiniz. Kitaplarımızın eğitim öğretim faaliyetlerinizde sizlere faydalı olması ümidiyle, hepinize başarılı, sağlıklı ve mutlu bir gelecek dileriz. ÇAP YAYINLARI Bu kitabın her hakkı Çap Yayınları na aittir ve 96 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası na göre Çap Yayınları nın yazılı izni olmaksızın, kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz, bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz.

3 KİTABIMIZI TANIYALIM KONU 7 ÖSYMʼden SEÇMELER ÖSYM çıkmış sınav sorularından seçilen ve işlenen konularla paralel, yıl sıralamasına göre oluşturulan alan Konuya ilişkin bilgilerin özet halinde verildiği, Aklında Olsun, Hatırlatma, Uyarı gibi pratik notların da olduğu alan STANDART SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ İşlenen konuyla ilgili standart soru tiplerinin görülebileceği, çözümlü soruların olduğu alan KARMA TESTLER Dört ayrı zorluk düzeyine göre düzenlenmiş, Acemi, Amatör, Uzman ve Profesyonel seviyelerinde tüm ünite ile ilgili karma, özgün soruların olduğu alan ÖSYM TARZI SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ Son yıllarda ÖSYMʼnin sınavlarında sorduğu soru tarzları; sınavlarda çıkabilecek seçici ve ayırt edici soruların olduğu alan 6 ÜNİTE ÖZETİ Konunun tamamının özelliklerini, formüllerini özet halinde bir arada bulabileceğiniz alan PEKİŞTİRME TESTLERİ Hem standart hem de ÖSYM tarzı sorulardan oluşan, kendinizi sınamanızı sağlayan, konuyu iyice kavramanıza yardımcı özgün soruların olduğu alan 5 4

4 İÇİNDEKİLER BÖLÜM - : POLİNOMLAR Polinomlarda Temel Kavramlar...6 Standart Sorular ve Çözümleri...7 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...8 Konu Pekiştirme...9 Polinomların Eşitliği, Basit Kesirlere Ayırma... Standart Sorular ve Çözümleri... Konu Pekiştirme...4 Sabit Terim, Katsayılar Toplamı...6 Standart Sorular ve Çözümleri...7 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...8 Konu Pekiştirme...9 Polinomlarda Dört İşlem... Standart Sorular ve Çözümleri... ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...4 Konu Pekiştirme 4, Polinomlarda Derece...0 Standart Sorular ve Çözümleri... Konu Pekiştirme 6... Kalan Teoremi - I...5 Standart Sorular ve Çözümleri...6 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...7 Konu Pekiştirme Kalan Teoremi - II...4 Standart Sorular ve Çözümleri...4 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...4 Konu Pekiştirme 8, Ünite Özeti...49 Acemi Testleri,...50 Amatör Testleri,,...54 Uzman Testleri,,, Profesyonel Testleri,,...68 ÖSYM'den Seçmeler...74 BÖLÜM - : ÇARPANLARA AYIRMA Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Gruplandırma Standart Sorular ve Çözümleri...77 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...79 Konu Pekiştirme...80 Tam Kare Özdeşlikleri...8 Standart Sorular ve Çözümleri...8 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...86 Konu Pekiştirme...87 İki Kare Farkı Özdeşliği...89 Standart Sorular ve Çözümleri...90 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...9 Konu Pekiştirme...9 İki Terimin Toplamının ve Farkının Küpü İki Terimin Küplerinin Toplamı ve Farkı...95 Standart Sorular ve Çözümleri...96 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...97 Konu Pekiştirme a + b + c Üç Terimlisinin Çarpanlara Ayrılması...0 Standart Sorular ve Çözümleri...0 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...0 Konu Pekiştirme a + b + c Üç Terimlisini Tam Kareye Tamamlama...06 Standart Sorular ve Çözümleri...07 Konu Pekiştirme Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi... Standart Sorular ve Çözümleri... Konu Pekiştirme 7... Ünite Özeti...5 Acemi Testleri,...6 Amatör Testleri,,...0 Uzman Testleri,,...6 Profesyonel Testleri,,... ÖSYM'den Seçmeler...8 BÖLÜM - : İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Standart Sorular ve Çözümleri...4 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...4 Konu Pekiştirme,...46 Diskriminant İşlemi...50 Standart Sorular ve Çözümleri...5 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...5 Konu Pekiştirme, Karmaşık Sayılar...58 Standart Sorular ve Çözümleri...60 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...6 Konu Pekiştirme İkinci Dereceden Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki İlişkiler...66 Standart Sorular ve Çözümleri...67 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...68 Konu Pekiştirme Kökleri Bilinen İkinci Dereceden Denklemi Kurma... 7 Standart Sorular ve Çözümleri...7 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri...74 Konu Pekiştirme Ünite Özeti...78 Acemi Testleri,,...79 Amatör Testleri,,, Uzman Testleri,,, Profesyonel Testleri,,...0 ÖSYM'den Seçmeler...07

5 POLİNOMLAR BÖLÜM Değerli hocalarımız Haldun ÖZNAR, Ali BACAKLI, Hakan SAĞLIK ve Gülten YILDIRIM'a katkılarından dolayı teşekkür ederiz. POLİNOMLAR KONUSUNUN ÖSYM SINAVLARINDAKİ SORU DAĞILIMI YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS TYT AYT

6 KONU Polinomlarda Temel Kavramlar AKLINDA OLSUN Bir ifadenin polinom olup olmadığını belirlemek için 'in kuvvetine bakılır. Bir polinomda 'in kuvveti:. Negatif olamaz.. Kesir olamaz.. Köklü sayı olamaz. Bir başka deyişle 'in kuvveti mutlaka doğal sayı olmalıdır. Polinom Kavramı n N ve a n, a n,..., a, a, a 0 gerçek sayılar olmak üzere, P() = a n n + a n n a + a + a 0 şeklindeki ifadelere bir bilinmeyenli n. dereceden polinom veya çok terimli denir. Polinomlar P(), Q(), R(), şeklinde gösterilir. P() = a n n + a n n a + a + a 0 polinomunda,. a n, a n,..., a, a, a 0 sayılarına P() polinomunun katsayıları denir.. a n n, a n n,..., a, a, a 0 ifadelerine polinomun terimleri denir.. a 0 sayısına P() polinomunun sabit terimi denir. 4. Polinomun terimlerinde 'in üslerinden en büyüğüne polinomun derecesi denir. 5. En büyük dereceli 'in katsayısına baş katsayı denir. Sabit Polinom P() = a n n + a n n a + a + a 0 polinomunda a n = a n = a n =... = a = a = 0 ise P() = a 0 polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi sıfırdır. Sıfır Polinom P() = a n n + a n n a + a + a 0 polinomunda a n = a n = a n =... = a = a = a 0 = 0 ise P() polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi belirsiz 6

7 Standart Sorular ve Çözümleri 0. Aşağıdaki ifadelerin hangisi bir polinom belirtir? 5 A) P ( ) = + 4 B) P ( ) = C) P() = D) P() = E) P ( ) = A) teriminde N olduğundan ifade bir polinom değil B) terimi olarak yazılabilir. N olduğundan polinom değil C) = teriminde N olduğundan polinom değil D) Her terimin derecesi bir doğal sayı olduğu için P() bir polinomdur. + E) P ( ) = = + = + şeklinde yazıldığında = ve N olduğundan polinom belirtmez. Yanıt D 0. P() = (m + 5) 6 + (n ) p + + k + polinomunun derecesi 4, baş katsayısı ve sabit terimi 5 olduğuna göre, m, n, k, p değerlerinin toplamı kaç olur? A) B) C) D) 4 E) 5 P() in derecesi 4 ise 6 lı terimin katsayısı sıfır olmalıdır. m + 5 = 0 ve m = 5 bulunur. 4. dereceden bir polinom olması için p = 4 ise p = 7 olmalıdır. Baş katsayısı n = olduğundan n = ' Sabit terim ise k + = 5 olduğundan k = 'tür. Bu durumda m + n + k + p = = 4 olur. Yanıt D 0. P() = polinomunun derecesi, baş katsayısı ve sabit terimi sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? A), 4, 6 B), 8, 6 C) 5, 7, 6 D) 5, 7, 0 E), 7, m m P ( ) = + + ifadesinin bir polinom belirtmesi için m'nin alabileceği kaç farklı değer vardır? A) B) C) D) 4 E) 5 Bir polinomda terimler genelde derecesi en büyük olandan en küçük olana doğru sıralanır. İfade buna göre düzenlenecek olursa; P() = olur. Bu durumda derecesi en büyük olan terim (7 5 ) alınırsa Derece = 5, baş katsayı = 7, sabit terim = 6 olur. Yanıt C 5 m ve m doğal sayı olmalıdır. 5 m N için m {,, 5, 5} ve m 0 için m olmalıdır. O hâlde, m {, 5, 5} olmak üzere farklı m değeri vardır. Yanıt C 7 Polinomlar

8 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri 5 4 m P() = ( 4) + ( + ) m polinomunun derecesi en az kaç olabilir? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 7 P() = (a + ) + (b ) + a + b + c bir sıfır polinomu olduğuna göre, c kaçtır? A) B) C) 0 D) E) P()'in polinom belirtmesi için m 4! Nve m! N olmalıdır. Bu durumda, m sayısı 'ün katı ve 4'ün böleni m'nin alabileceği değerler, 6, ve 4'tür. m = için P() = ( 4) 8 + ( + ) = m = 6 için P() = ( 4) 4 + ( + ) 4 = m = için P() = ( 4) + ( + ) 4 = m = 4 için P() = ( 4) + ( + ) 8 = olduğundan P() in derecesi en az 4 olabilir. Yanıt B P() bir sıfır polinomu ise, a + = 0 a = b = 0 b = a + b + c = 0 c = a b = = ( ) = bulunur. 8 P() = m + ( ) + n bir sabit polinomdur. Q() = (m + n k) + t + 4 Yanıt D 6 P() = (a + ) + (b ) + (c 5) + a b + c polinomu sabit polinom olduğuna göre, P() polinomu aşağıdakilerden A) P() = B) P() = C) P() = D) P() = 4 E) P() = 5 polinomunun bir sıfır polinomu olması için k t çarpımı kaç olmalıdır? A) 4 B) C) 0 D) E) 4 P() polinomu düzenlenirse; P() = m n = (m + ) + ( + n) + m + = 0 m = ve + n = 0 n = olur. 8 P() sabit polinom ise, a + = 0 a = b = 0 b = c 5 = 0 c = 5 bulunur. a, b, c değerleri P() de yerlerine yazıldığında P() = + 5 = sabit polinomu bulunur. Yanıt C Q() = ( + k) + t + 4 = ( k) + t + 4 Q() bir sıfır polinom ise k = 0 k = t + 4 = 0 t = 4 tür. k t = ( 4) = 4 bulunur. Yanıt A

9 Konu Pekiştirme -. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinom değildir? r A) P ( ) = 7 B) Q ( ) = 4 C) R ( ) = D) M ( ) = ( )( + 4) ( 5 ) 6 5. P() = (m ) n polinomunun derecesi ve sabit terimi olduğuna göre, m n çarpımı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) E) N ( ) = P() = 5 + n n ifadesi bir polinom olduğuna göre, n'nin alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır? A) 4 B) 9 C) 4 D) E) 6. P() = a ( a ) 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, der(p()) kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4. P() = polinomunun derecesi ile sabit teriminin toplamı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) E) 4 7. m 4 m P ( ) = ifadesi bir polinom belirttiğine göre, m'nin alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 4. P() = 5 n + n n bir polinom olduğuna göre, n ifadesinin değeri en az kaçtır? A) 8 B) 4 C) D) E) 4 8. P() = (a + ) + (b ) + 5 polinomu bir sabit polinom olduğuna göre, a b farkı kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 9 Polinomlar

10 9. P() = (m ) + (m + n) + k + polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, m n k çarpımı kaçtır? A) 4 B) C) 0 D) E) 4. n + P ( ) = + 4 n polinomunun derecesi en fazla kaç olur? A) B) 9 C) 6 D) 4 E) m + 0. P ( ) = m ifadesi bir polinom belirttiğine göre, m'nin alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır? A) 0 B) 6 C) 4 D) 4 E) 6 4. P() = n + 4 n + 5 ifadesi bir polinom olduğuna göre, bu polinomun sabit terimi kaçtır? A) 0 B) 5 C) 9 D) 0 E) 8. P() = ( 5 ) 4 ( ) 6 polinomunun derecesi kaçtır? A) 0 B) C) D) 0 E) 8 5. P() = (m ) m 4 + (m ) m + (4 m) + polinomunun katsayıları toplamı olduğuna göre, polinomun derecesi kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4. P() = n + 5 n 5 + n 4 + n ifadesinin polinom belirtmesi için n'nin alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir? A) B) C) D) 4 E) 5 6. P() = ( 8 + ) 5 n + ( 4 + ) n ifadesi bir polinom olduğuna göre, polinomun derecesinin alacağı kaç farklı değer vardır? A) B) C) D) 4 E) E C A E D B C E B D D D B C B D

11 Polinomların Eşitliği, Basit Kesirlere Ayırma KONU Polinomların Eşitliği Dereceleri ve aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olan polinomlara eşit polinomlar denir. n n- P ( ) = a + a a + a+ a n n- n n- Q ( ) = b + b b + b+ b polinomları için, n 0 n- 0 P( ) = Q( ) + a = b, a = b,..., a = b, a = b olmalıdır. Basit Kesirlere Ayırma. n n n- n- 0 0 P ( ) ifadesinde Q() polinomu (m + n) (p + q) şeklinde ise Q ( ) P() (m + n)(p + q) A B = m + n + p + q AKLINDA OLSUN Her polinom, aynı zamanda bir fonksiyondur. Bu yüzden polinomlarda da fonksiyonlarda yaptığımız bazı işlemleri kulanmamız gerekir. Örneğin; P() = 5 ise P(4) = 4 5 = 7 P( + ) = + ise P(5) değerini bulmak için eşitlikte yerine yazarak; P( + ) = + P(5) = gibi işlemler yaparız.. P ( ) Q ( ) ifadesinde Q() polinomu (m + n) k şeklinde ise P() (m + n) A = (m + n) B + (m + n) K + g + (m + n) k k k Polinomlar

12 Standart Sorular ve Çözümleri 0. P() = (a + ) + (b ) Q() = (c ) + d polinomları eşit olduğuna göre, a + b c d kaçtır? A) B) C) D) 0 E) 9 P() = Q() ise a + = a = b = 5 b = c = 0 c = d = d = olur. a + b c d = +. ( ) = bulunur. Yanıt C 0. c olmak üzere, P() = 4 a + 7 b + Q() = (c + ) + (d ) + polinomları eşit olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 P() = Q() ise polinomların dereceleri eşit olacağından P() de. dereceden bir polinomdur. a = a = 4 Katsayılar eşitlendiğinde, c + = 4 c = d = 7 d = 8 b + = b = 8 Buna göre, a + b + c + d = = 7 bulunur. Yanıt B 0. A B = + ( + )( 5) + 5 eşitliğini sağlayan A ve B sayılarının çarpımı kaçtır? A) B) C) D) E) Yol A B = + ( + )( 5) + 5 ( 5) ( + ) = A( 5) + B( + ) Sol tarafla sağ taraftaki ifade özdeştir. Özdeşliklerde bilinmeyenlere istediğiniz sayı değerini verebilirsiniz. = 5 için = A 0 + 7B B = 7 = için = A( 7) + B 0 A = elde edilir. 7. Yol A B = + ( + )( 5) + 5 eşitliğinde A'yı bulmak için A'nın paydasındaki ifade sol tarafta silinir ve kalan ifadede yerine A'nın paydasının kökü olan sayısı yazılır. A ( )( ) = A = = Aynı işlem B içinde yapılır. B'nin paydasının kökü 5 olduğundan; B ( )( ) = B = = olur Yol Paydalar eşitlendikten sonra polinom eşitliği uygulanırsa; A B = + ( + )( 5) + 5 ( 5) ( + ) = A( 5) + B( + ) = A 5A + B + B 0 + = (A + B) 5A + B A + B = 0 5A + B = denklemleri ortak çözülerek A = ve B = olur. 7 7 A B = = bulunur Yanıt E

13 ÜNİTE ÖZETİ a 0, a, a,, a n reel sayılar ve n N olmak üzere; P() = a n n + a n n + + a + a + a 0 ifadesine reel katsayılı, bir bilinmeyenli polinom (çok terimli) denir. Bu polinomda; a 0, a, a,, a n katsayılarıdır. a n baş katsayıdır. a 0 sabit terim Kalan Bulma Bir P() polinomunun (a b) ile bölümünden b kalan K = Pd n a dır. Bir polinomda yerine 0 yazılırsa, o polinomun sabit terimi bulunur. yerine yazılırsa, o polinomun katsayılar toplamı bulunur. Örneğin, P( + ) polinomunda, sabit terim = P() ve katsayılar toplamı = P() tür. Bir P() polinomunda; P() polinomunun derecesi der[p()] ile gösterilir ve der[p()] = n P() = a 0 sabit polinomdur. Sabit polinomun derecesi sıfırdır. P() = 0 sıfır polinomudur. Sıfır polinomunun derecesi yoktur. Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin katsayıları eşit olan iki polinoma eşit polinomlar denir. Sabit terim = P(0) Katsayılar toplamı = P() P() polinomunun a ile bölümünden kalanı bulmak için; n yerine a yazılır. P() polinomunun a ile bölümünden kalan m ve b ile bölümünden kalan n ise ( a) ( b) ile bölümünden kalan; K() = c + d Polinomların Derecesi der[p() Q()] = der[p()] + der[q()] P ( ) der> H = der[p()] der[q()] Q ( ) der[p()] der[q()] ise, P() polinomu ( a) ( b) çarpımı ile tam bölünüyorsa, bu polinom ( a) ve ( b) çarpanları ile ayrı ayrı tam bölünür. der[p() ± Q()] = der[p()] der[p()] n = n der[p()] der[p( n )] = n der[p()] der[ P( )] P ( ) der> H der[ Q( )] Q ( ) der[p() Q()] der[p()] der[q()] 49 Polinomlar

14 ACEMİ TEST. A B = olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 5. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinom belirtir? A) P() = B) Q ( ) 5 = C) R() = + 4 D) M() = E) N ( ) = 5. P() = (4 4 ) 7 veriliyor. Buna göre, P() polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 4 m m + 6. P ( ) = ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4. P() = + + veriliyor. Buna göre, P() polinomun + ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 4 7. P() = (a ) (a b ) a. b ifadesi bir sabit polinomdur. Buna göre, P() kaçtır? A) B) C) 0 D) E) P() = polinomu veriliyor. Buna göre, P ( ) kaçtır? A) B) 5 C) D) E) 9 8. P() = ( ) ve Q() = ( + ) olduğuna göre, [P()] [Q()] polinomunda sabit terim kaçtır? A) 6 B) 4 C) D) 6 E)

15 AMATÖR TEST. P( ) = a( + ) + b( ) polinomu için P() = ve P( ) = 57 olduğuna göre, P( ) kaçtır? A) 4 B) C) 0 D) 08 E) P() ve Q() polinomlarının ile bölümünden kalanlar sırasıyla ve P() [Q()] polinomunun ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) 0 C) 8 D) 4 E) 6. P( ) = olduğuna göre, P( + ) polinomu aşağıdakilerden 6. P( ) polinomunun derecesi 6 olduğuna göre, P() polinomunun derecesi kaçtır? A) B) 6 C) 5 D) 4 E) A) 4 B) + 0 C) + 4 D) 0 E) P( ) P( + ) = 6 eşitliği veriliyor.. P() = 0 a 5 + b polinomu 5 + ile kalansız bölünebildiğine göre, a + b toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) Buna göre, P() polinomunun sabit terimi ise, P() polinomunun ile bölümünden kalan kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 8. P() + P( + ) = eşitliği veriliyor b + c = ( + )( a) olduğuna göre, a b c çarpımı kaçtır? A) 0 B) 8 C) 6 D) 4 E) Buna göre, P() polinomunun katsayıları toplamı kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 54

16 UZMAN TEST. der(p 4 () Q P ( ) ()) = 8 ve derf p = 4 Q ( ) olduğuna göre, der(p() + Q()) ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. P e o= olduğuna göre, P e o polinomu aşağıdakilerden A) B) 8 50 C) D) E) P() Q() Q() R() Yukarıda verilen bölme işlemlerine göre, P()'in ( ) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden A) B) C) + D) + E) + 6. P( + ) P() = + P() polinomunun katsayıları toplamı 5 olduğuna göre, P() polinomunun ( 4) e bölümünden kalan kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6. P() = 6 polinomu veriliyor. P() polinomunun + ile bölümünden kalan aşağıdakilerden A) B) C) 5 D) 6 5 E) dereceden bir P() polinomu ( + ) ile tam bölünüyor. P() polinomu ( + ) ile bölündüğünde kalan 4'tür. Buna göre, P()'in sabit terimi kaçtır? A) B) 6 C) 4 D) 6 E) 8. P() ikinci dereceden bir polinomdur. 4. ( 4) 4 = a 4 + b + c olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 7 D) 8 E) 56 P() =, P(0) =, P() = olduğuna göre, P() in baş katsayısı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 60

17 PROFESYONEL TEST. ( )(a b + c) + 6 = 5 + a + d olduğuna göre, c d farkı kaçtır? A) 9 B) 7 C) 0 D) 7 E) 9 5. P( + ) + P( ) = veriliyor. Buna göre, P() polinomunun sabit terimi kaçtır? A) 0 B) C) D) E). ( + ) 5 ( ) çarpımında 4 ün katsayısı kaçtır? A) 0 B) 8 C) 0 D) 5 E) 0 6. P() Pd n = olduğuna göre, P() değeri kaçtır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E). III. dereceden bir P() polinomunda P() = P() = P(4) = 8 olduğuna göre, P() + P(5) toplamı kaçtır? 7. P( + ) P( ) = 4 + olduğuna göre, P() polinomunun ile bölümünden kalan kaç olabilir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 6 4. P() P( ) = 4 eşitliği veriliyor. P() polinomu ile tam bölündüğüne göre, P( ) P() çarpımı kaçtır? A) 0 B) C) D) E) A B = eşitliğine göre, P() = A + (A + B) + (B A) + k polinomu veriliyor. P() polinomunun çarpanlarından biri + olduğuna göre, k kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 68

18 ÖSYM den SEÇMELER 74. P() bir polinom olmak üzere, P(a) = 0 eşitliğini sağlayan a sayısına bu polinomun bir kökü denir. P() ve R() polinomları için P() = R() = P(P()) eşitlikleri veriliyor. Buna göre, I. II. 0 III. sayılarından hangileri R() polinomunun köküdür? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III 08 / TYT. Gerçel katsayılı ve baş katsayısı olan 4. dereceden bir P() polinomu her gerçel sayısı için P() = P( ) eşitliğini sağlamaktadır. P() = P() = 0 olduğuna göre, P() kaçtır? A) B) 8 C) 4 D) 0 E) 6 08 / AYT. P() = ( + ) + ( + ) ( + 9) polinomu Q() = ( + ) + ( + ) ( + 5) polinomuna bölünüyor. Bu bölümden elde edilen kalan kaçtır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 07 / YGS 4. Üçüncü dereceden gerçel katsayılı P() polinomunun kökleri, ve P(0) = olduğuna göre, li terimin katsayısı kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 07 / LYS 5. a ve b tam sayılar olmak üzere P() = a (b + ) + 4b Q() = a + b polinomları için P( 4) = 0 Q( 4) 0 olduğu biliniyor. Q() polinomunun kökleri aynı zamanda P() polinomunun da kökleri olduğuna göre, b a farkı kaçtır? A) 8 B) 9 C) D) E) 4 07 / LYS 6. P() = m + olmak üzere, P( ) polinomunun + e bölümünden kalan ile P( + ) polinomunun e bölümünden kalan birbirine eşittir. Buna göre, m kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) E) 8 06 / LYS 7. Üçüncü dereceden baş katsayısı olan gerçel katsayılı P() polinomu P() = P() = P(5) = 7 eşitliklerini sağlıyor. Buna göre, P(0) değeri kaçtır? A) B) 4 C) 8 D) 4 E) 8 06 / LYS 8. Baş katsayısı olan üçüncü dereceden P() polinomu, + 4 ile kalansız bölünebilmekte P() polinomunun ile bölümünden elde edilen kalan 5 Buna göre, P() değeri kaçtır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 05 / LYS 9. P() ikinci dereceden bir polinom, Q() = k sabit bir polinom olmak üzere, P() + Q() = + P(Q()) = 9 eşitlikleri veriliyor. Buna göre, k nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) B C E A C B C C A 05 / LYS

19 ÇARPANLARA AYIRMA BÖLÜM ÇARPANLARA AYIRMA KONUSUNUN ÖSYM SINAVLARINDAKİ SORU DAĞILIMI YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS TYT AYT 4 4

20 KONU Ortak Çarpan Parantezine Alma Gruplandırma Ortak Çarpan Parantezine Alma AKLINDA OLSUN Toplam ve fark durumundaki ifadelerin çarpım şeklinde gösterilmesine çarpanlara ayırma denir.... "... "... = ( ). ( ). ( ) Her terimdeki en büyük ortak çarpan bulunarak bu çarpanın parantezine alma işlemi A. + A. y A. z = A. ( + y z) a b = (b a), (a b) = (b a) ve (a b) = (b a) olduğuna göre, (b a) n, n çift ise (a b) n = (b a) n, n tek ise özelliği vardır. Özetle ndz olmak üzere, çıkarma işleminin herhangi bir çift kuvvetinde sayılar yer değiştirebilir ancak kuvvet tek ise parantez ( ) eksi ile çarpılır. UYARI Toplanıp çıkartılan her bir ifadeye terim denir. Örneğin, i) 4; ; 5ab bir terimli ifadeler ii) 5; a b c iki terimli ifadeler Gruplandırma Yöntemi Dört veya daha fazla terimin toplamı, farkı şeklinde verilen ifadelerin hepsinde ortak bir çarpan yoksa ikiye iki, üçe iki vb. gruplandırma yapılır. Gruplandırma sonunda elde edilen terimlerde mutlaka bir ortak çarpan bulunmalıdır. Eğer ortak çarpan elde edilemezse, yapılan gruplandırma değiştirilerek yeni bir gruplandırma denenmeli iii) a + b + c; y + z üç terimli ifadeler 76

21 Standart Sorular ve Çözümleri 0. Aşağıda verilen ifadeleri ortak çarpan parantezine alma yöntemi ile çarpanlarına ayırınız. a) m + my mz b) c) k k + k d) y e) 4 y y + 0y f) a(b c) d(b c) g) m( y) n(y ) h) (a b).( y) + (a b).(y ) 6 + y a b a b - a b - a b ifadesinin sadeleştirilmiş şekli aşağıdakilerden A) a B) b C) ab D) ab E) a Pay ve payda ortak çarpan parantezine alınırsa; 4 4 a b a b - a b - a b a b ] a- bg = a b ] a- bg ab = ab = ab olur. Yanıt C a) m parantezine alınırsa; m + my mz = m( + y z) olur. b) ortak parantezine alınırsa; = ( + 5) olur. c) k ortak parantezine alınırsa; k k + k = k ( k k + ) olur. d) ortak parantezine alınırsa; y = $ y = $ ^ y - + 4h = $ ^ y + h e) 4y ortak parantezine alınırsa; 0. ] -g $ ^-yh - ^y-h $ ] -g ] -g $ ^-yh $ ^y-h ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) B) C) D) E) 4 y y + 0y = 4y( y + 5) f) (b c) ortak parantezine alınırsa; a(b c) d(b c) = (b c).(a d) g) ( y) ortak parantezine alınırsa; m( y) n(y ) = m( y) + n( y) = ( y).(m + n) h) ( y) ortak parantezine alınırsa; (a b).( y) + (a b).(y ) 6 + y = (a b).( y) (a b).( y) ( y) = ( y).(a b a + b ) = ( y).(a + b ) olur. ( y) = (y ) ve ( ) = ( ) olduğundan pay ( ).(y ) parantezine alınır. ] -g $ ^y-h - ^y-h $ ] -g ] -g $ ^-yh $ ^y-h ] -g $ ^y-h $ ^y- + h = ] -g $ ^-yh$ ^y-h - - $ ^y - h = y - =- bulunur. Yanıt D 77 "Çarpanlara Ayırma"

22 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri 7 = 7 olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 5 84 = (5 84) tür. Parantez içindeki ifadede yerine 7 yazalım. (5 7 84) = (85 84) = olur. Soruda verilen ifade şekline dönüşür = ( 8) + 6 eşitliğinde de parantez içinde = 7 yazalım. (7 8) + 6 = + 6 bulunur. Tekrar yerine 7 yazıldığında; 9 a b = 4 ve y = 5 olduğuna göre, 8ay + 8b a by ifadesinin değeri kaçtır? A) 40 B) 0 C) 0 D) 0 E) 40 Tüm terimler parantezine alınarak gruplandırma yapılırsa; b( y) (4ay + 9b 6a 6by) a(y ) = [a(y ) + b( y)] =.(y ).(a b) 5 4 =.( 5).( 4) = elde edilir. Yanıt D = 40 olur. Yanıt A 8 0 Aşağıda verilenlerden hangisi a(b + ) b(a + ) ifadesinin çarpanlarından biri olamaz? A) a b B) ab C) ab D) a + b E) b a Ortak çarpan olmadığından parantezleri açıp tekrar düzenleyelim. a(b + ) b(a + ) = ab + a ba b = ab ba + a b = ab(b a) (b a) = (b a).(ab ) b a ve ab, ifadenin çarpanlarıdır. Ancak aynı ifade (a b).( ab) şeklinde de yazılabileceğinden a b ile ab de çarpanları olur. Yani, 0 un çarpanları ve 5 olduğu gibi ve 5 te olabilir. a b = b c = 4 olduğuna göre, ab a bc + ac ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) 6 E) ab a bc + ac = (b a).(a c) a(b a) c(b a) 4 = 4(a c) olur. (a c) nin değerini bulmak için denklemler ortak çözülür. a b = 4 b c = 4 a c = 8 4(a c) = 4.8 = Pratik Yol: Denklemlerde b ortak olduğundan b ye değer verelim. b = 0 için a = 4 ve c = 4 olur. ab a bc + ac = ( 4) Bu yüzden, a + b ifadesi çarpanlardan biri olamaz. Yanıt D = bulunur. Yanıt E 79 "Çarpanlara Ayırma"

23 Konu Pekiştirme -. Aşağıda verilen eşitliklerden hangisi yanlıştır? A) ab b = b(a b) B) y y = y (y ) C) y y = y(y ) D) a( y) b(y ) = ( y).(a b) 5. Aşağıdakilerden hangisi ( y).(y z) (z y).( y) ifadesinin çarpanlarından biri değildir? A) y B) y z C) z y D) y + E) + y E) a( y) + b(y ) = ( y).(a b). 6-9y 4y - 6y ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) y B) y C) y D) y E) y 6. y = 6 (y) y = 96 olduğuna göre, y kaç olabilir? A) B) C) D) E) 4. a b b a - ab - a b ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) b a B) a b C) - a b D) -a b E) 7. ^a+ 4a h 4 6a - 4a ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden a A) a B) a + C) D) a + a - E) a - a + a+ a 4. y -y + y- ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 8. a b a - + b b + a ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangi y A) + y + y B) - y D) E) C) - y sidir? A) 0 B) a C) b D) b a E) a b

24 ÜNİTE ÖZETİ ÇARPANLARA AYIRMA Toplam veya fark şeklindeki ifadelerin çarpım şeklinde yazılmasına çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara ayırma için aşağıdaki yöntemler kullanılır. Ortak Çarpan Parantezine Alma Verilen ifadelerin her teriminde ortak bir çarpan varsa, ifade bu çarpan parantezine alınır. A().B() ± A().C() = A().[B() ± C()] a + b + c BİÇİMİNDEKİ İFADELER + b + c = ( + m).( + n) m + n m.n a + b + c = (m + p).(n + r) m p n r m. r. + n. p. = b Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Verilen ifadelerde ortak çarpanı olan terimler bir araya getirilerek gruplanır ve ortak çarpan parantezine alınır. ÖZDEŞLİKLERDEN YARARLANARAK ÇARPANLARA AYIRMA İki Kare Farkı a b = (a b).(a + b) Tam Kare (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b + c) = a + b + c + (ab + ac + bc) İki Küp Toplamı ve Farkı a + b = (a + b).(a ab + b ) a b = (a b).(a + ab + b ) ÇARPANLARA AYIRMA STRATEJİSİ. Çarpanlara ayrılacak ifadedeki her terimin en büyük ortak çarpanı alınır.. Çarpanlara ayrılacak ifade i) İki terimli bir ifade ise ilk olarak iki kare farkı var mı yok mu diye bakılır. İki kare farkı yoksa küpler farkı ya da küpler toplamına bakılır. ii) Üç terimli bir ifade ise ilk olarak tam kare olup olmadığına bakılır. Tam kare değilse + b + c ya da a + b + c üç terimlilerin çarpanlara ayrılması yöntemi uygulanır. iii) Dört veya daha çok terim varsa gruplandırma yöntemi denenir. Yapılan gruplandırma sonucunda mutlaka ortak çarpan parantezine alınabilecek bir ifade elde edilmeli Eğer yoksa başka bir gruplandırma denenir. Örneğin 4 terim bulunan bir ifade 'ye şeklinde ya da 'e şeklinde gruplara ayrılır.. İfade tam olarak çarpanlarına ayrılmalıdır. Elde edilen çarpanları da tekrar çarpanlarına ayırmak gerekebilir. n d Z olmak üzere, (a b) n = (b a) n (a b) n = (b a) n 5 "Çarpanlara Ayırma"

25 ACEMİ TEST. - y y = olduğuna göre, kaçtır? - 4y y ifadesinin değeri A) 0 B) C) D) E) 4 5. b a+ b a+ b a b b - l b - a l ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) a + b B) a b C) b a D) b a E) a b işleminin sonucu aşağıdakilerden A) B) C) 0 D) E) 6. ] - g ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) - D) - B) - E) C) -. ] a+ bg $ ^ - - a - b h ] a- bg - - $ ^a + b h ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden A) B) a C) b D) a + b E) a b ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden A) B) C) D) - E) a ve c birer doğal sayı olmak üzere, -a-4 + c ifadesinin pay ve paydasının birer çarpanı ( + ) Buna göre, a + c toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 8. a -b - a+ b a + ab-a ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden A) a b B) a b C) a + b D) a- b a E) a- b b 6

26 AMATÖR TEST. -y y + y-5 ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) - y D) + y B) - y E) + y C) y 5. a a + - a + a - ifadesinin eşiti aşağıdakilerden A) - a + B) D) a + - a C) a a E) a +. + y = 0 veriliyor. y Buna göre, y - 5 toplamının sonucu kaçtır? A) B) C) D) 4 E) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden + A) B) C) D) E). + y = 5 z = y + z -yz -z olduğuna göre, - z + y - yz değeri kaçtır? A) B) C) 5 D) ifadesinin E) 7. ^- yh + y^+ yh ^+ yh - y^- yh işleminin sonucu aşağıdakilerden A) B) C) y D) y E) + y 0 4. a = b denklemi veriliyor. b değeri sabit sayı olduğuna göre, a kaçtır? A) B) 4 C) D) E) 4 8. a = 5 ve b = 47 a - b olduğuna göre, işleminin sonucu ] a+ bg - 4ab kaçtır? A) 0 B) 4 C) 49 D) 5 E) 6

27 UZMAN TEST işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 5 C) 6 D) 49 E) a + by = 9 b ay = olduğuna göre, ^ a + b h $ _ + y i değeri kaçtır? A) 5 B) 6 C) 8 D) 0 E). - - ^- h- ifadesinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden A) + + D) - + B) + - E) C) = 0 olduğuna göre + 5 ifadesinin eşiti kaçtır? A) 4 B) C) 9 D) 8 E) 6. b + l $ b- l b + l $ b - l ifadesinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden + A) b l B) b l C) b l D) b l E) + b l 7. + = olduğuna göre, A) 47 B) 6 C) + değeri kaçtır? 6 49 D) 50 E) 7 4., y, z birer doğal sayı olmak üzere, + y = ( + y) + y(y z) + z(z ) = 6 eşitlikleri veriliyor. Buna göre, z değeri kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8 8. ( + y z) (y z).( + y z) + (y z) ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) B) y C) D) y E) y 6

28 PROFESYONEL TEST ifadesinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden A) + B) C) D) + E) + 5. > 0 ve y > 0 olduğuna göre, - y y $ d + n y- y + ifadesinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden A) 4æy B) æy C) æy D) æy E) 4æy. a = + y b = - y olduğuna göre, (a b ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden A) y B) y C) 6 y D) 6y E) 64y : d 5 : n ifadesinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden A) B) C) D) + E). = 9 + olduğuna göre, 9 ifadesinin değeri kaçtır? A) 6 B) C) 6 D) 8 E) y + y ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) + 4y B) 4 + y C) + 7y D) 4 + y E) + y 4. n - n ] n + g + n n ifadesinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden A) B) C) D) E) : ifadesinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden - - A) B) + C) D) E)

29 ÖSYM den SEÇMELER. Kenar uzunluğu a birim olan bir kare, şekildeki gibi dört bölgeye ayrıldığında I numaralı bölge kenar uzunluğu b birim olan bir kare belirtmekte.. Bu koşulu sağlayan her a ve b sayısı için a ab + b ifadesi hangi iki bölgenin alanları toplamına eşittir? A) I ve II B) I ve IV C) II ve III D) II ve IV E) III ve IV z yz + y y y+ z yz 08 / TYT ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden z y y+ z + z A) B) C) z + z y + z y z D) E) + y + y 07 / LYS 4 + y y y + y y y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden A) B) y C) y D) y E) + y 06 / YGS 5. Ali; sıfırdan farklı, birbirine eşit olan ve y gerçel sayıları için = y eşitliğiyle başlayıp sırasıyla aşağıdaki adımları takip ediyor. I. Eşitliğin her iki tarafını ile çarpalım: = y II. Her iki taraftan y çıkaralım: y = y y III. Her iki tarafı çarpanlarına ayıralım: ( + y) ( y) = y( y) IV. Her iki tarafı y ile bölelim: + y = y V. yerine y yazalım: y = y Bu adımlar sonunda Ali Her sayının iki katı kendisine eşittir. yargısına varıyor. Buna göre, Ali numaralanmış adımların hangisinde hata yapmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) V 05 / YGS 6. a + a = olduğuna göre, a 4 ifadesinin a türünden eşiti aşağıdakilerden A) a B) a + C) a D) a + E) a 04 / YGS 7. a bir gerçel sayı ve ^ a+ a hc + m = 9 a a olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) E) 4 04 / YGS 8 4. a ve b pozitif gerçel sayıları a ab b = 0 eşitliğini sağlamaktadır. a+ b Buna göre, a b ifadesinin değeri kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 06 / LYS 8. y y + y = 4y+ y olduğuna göre, + y toplamı kaçtır? 4 A) B) C) 4 D) E) B B E A D E A A 04 / LYS

30 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER BÖLÜM İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER KONUSUNUN İKİNCİ DERECEDEN BİR YGS BİLİNMEYENLİ - LYS PERFORMANSI DENKLEMLER KONUSUNUN ÖSYM SINAVLARINDAKİ SORU DAĞILIMI YGS LYS 0 YGS LYS 0 YGS LYS 04 YGS LYS 05 YGS LYS 06 YGS LYS 07 YGS LYS 08 YGS LYS İkinci YGS Dereceden LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS TYT AYT Denklemler Karmaşık Sayılar Parabol

31 KONU İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER A. a, b, c Œ R ve a 0 olmak üzere, a + b + c = 0 denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan sayılarına denklemin kökleri ve a, b, c sayılarına da denklemin katsayıları denir. İkinci dereceden bir denklemi çözmek için, AKLINDA OLSUN n! N + olmak üzere n f ( ) ifadesinin tanımlı olabilmesi için f() 0 olmalıdır. i) Denklemin bir tarafı 0 olacak şekilde düzenlenir ve a + b + c = 0 şekline getirilir. ii) İlk önce çarpanlara ayırma yöntemleri denenir ve denklem (m + n) (p + r) = 0 şekline getirilir. iii) Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. m + n = 0 p + r = 0 n r = m = p n r ÇK = (, şeklinde yazılır. m p B. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denkleme İndirgenebilen Denklemler A 4 + B + C = 0 = t At + Bt + C = 0 A(a + b) + B(a + b) + c = 0 a + b = t At + Bt + C = 0 a + a + b = 0 a = t t + t + b = 0 C. Köklü Denklemler f ( ) = g() şeklindeki denklemlerde her iki tarafın karesi alınarak denklem çözülür. f ( ) + g ( ) = m() şeklindeki denklemlerde her iki tarafın karesi alındıktan sonra köklü ifade yalnız bırakılıp tekrar her iki tarafın karesi alınır. Köklü denklemlerde bulunan değerlerinin denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. D. Mutlak Değerli Denklemler 40 Mutlak değer içeren ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, mutlak değer özellikleri kullanılarak iki denklem olarak yazılır. Yazılan denklemler çözüldükten sonra mutlak değer açarken kullanılan aralıklara göre çözüm kümesi yazılır.

32 Standart Sorular ve Çözümleri 0. (m + 4) + 4 n = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m n kaçtır? A) 0 B) 8 C) 6 D) 4 E) 0 İkinci dereceden bir bilinmeyenli a + b + c = 0 denkleminde a 0 olmalıdır. Derecesi 'den büyük bir li terim varsa katsayısı 0 yapılmalıdır. Denklem ikinci dereceden olduğu için lü terimin katsayısı 0 olmalıdır. m + 4 = 0 Ş m = 4 tür. Bu durumda li terim 4 n + 4 olduğundan n + 4 = Ş n = olur. Buna göre, m n = ( 4) ( ) = 8 bulunur. Yanıt B 0. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulalım. a) = 0 b) 4 = 0 c) 7 + = 0 d) 4 = 0 a) İki kare farkı özdeşliği kullanılarak; = 0 Ş ( + ) ( ) = 0 Ş + = 0 veya = 0 Ş = veya = Ş ÇK = {, } bulunur. b) Ortak çarpan parantezine alma yöntemi kullanılarak; 4 = 0 Ş ( ) = 0 Ş = 0 veya = 0 Ş = 0 veya = Ş ÇK = {0, } bulunur. 0. a 4 ^a 6h = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduğuna göre, a kaçtır? A) 0 B) 8 C) 6 D) 4 E) Denklem ikinci dereceden olduğu için a 4 = olmalıdır. a 4 = Ş a = 6 Ş a = ± 6 olur. li terimin katsayısı 0 olamayacağından a 6 0 Ş a 6 O hâlde a = 6 bulunur. Yanıt C c) 7 + = 0 Ş = 7 Hiçbir gerçek sayının karesi negatif olamayacağından ÇK = d) Üç terimliyi çarpanlara ayırma yöntemi kullanılarak; 4 = 0 Ş ( 4) ( + ) = 0 4 Ş 4 = 0 veya = = 4 4 Ş Ç K = (, bulunur. 4 "İkinci Dereceden Denklemler"

33 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri 4 a + (b a ) ab = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden a a b A) (, b B) (, C) { a, b} b b a b D) {a, b} E) (, a a 6 Toplamları ve çarpımları 4 olan iki gerçek sayının farkı kaç olabilir? A) B) 0 C) 8 D) 6 E) 4 Sayılar ve y olsun. + y = ve y = 4 denklemleri ortak çözüldüğünde; + y = Ş y = 4 Harfli ifade bulunan denklemlerde üç terimlilerin çarpanlara ayrılması yöntemi kullanılır. a + (b a ) ab = 0 Ş (a + b) ( a) = 0 a b Ş a + b = 0 veya a = 0 a b Ş = veya = a a b Ş Ç K = (, a a Yanıt E 5 ( ) ( + ) = 4 denkleminin çözüm kümesindeki elemanların toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözerken önce denklemin bir tarafı sıfıra eşitlenip çarpanlarına ayrılıp ayrılmadığına bakılır. Parantezler açıldığında; ( ) ( + ) = 4 Ş + = 4 Ş + 6 = 0 Ş ( + ) ( + ) = 0 Ş + = 0 veya + = 0 Ş = veya = Bu sayıların toplamı da + = olur. Yanıt D y = 4 Ş ( ) = 4 Ş = 4 4 = 0 ( 6) ( + 4) = 0 6 = 6 ve = ( 4) = 0 veya ( 4) 6 = 0 bulunur. Yanıt B 7 + = 0 denkleminin değişkenine göre çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {, } B) {, } C) {, } D) {} E) {} İçinde rasyonel ifade bulunan denklemlerde payda eşitlendikten sonra denklem a + b + c = 0 biçimine dönüştürülüp çözüm kümesi bulunur. + = 0 & + = 0 ^h ^h ^h + & = 0 & + = 0 & ^ h ^ h= 0 & = 0 veya = 0 & ÇK = #, -bulunur. Bulduğumuz ve sayıları başta verilen denklemin paydasını sıfır yapmadığı için ikisini de çözüm kümesine alıyoruz. Yanıt A

34 Konu Pekiştirme - k 7. ^k + h + k + k = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ise bu denklem aşağıdakilerden A) + 9 = 0 B) = 0 C) + + = 0 D) + + = = 6 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {0} B) { 4} C) {0, 4} D) {0, } E) { 4, 0} E) = 0. (a + 5) 4 + 7b = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ise a + b toplamı kaçtır? A) B) C) D) 0 E) = 4 denkleminin var olan köklerinin toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) 4. (a + b ) + a b = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ise a b çarpımı kaçtır? A) 4 B) C) D) E) = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) ( B) ) C) ) D) ), E) ), =. denkleminin reel köklerinin toplamı kaçtır? A) B) C) 4 D) 7 E) 8 8. ( + ). ( + ) = 6 denkleminin reel köklerinin toplamı kaçtır? A) 0 B) C) D) 4 E) 6

35 Konu Pekiştirme - 5. ^ 07h + ` 06j + ^ h 6 işleminin sonucu aşağıdakilerden A) 7 B) C) D) 5 E) = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden A) i B) + i C) i D) i E) + i 6. + (4 i) + 0 i = 0. i = olmak üzere, 6 4 ifadesinin sonucu aşağıdakilerden A) B) 6 C) 6 D) 6 E) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) { i, + i} B) { + i, i} C) { i, i} D) { + i, i} E) { + i, i}. i = olmak üzere, 9 işleminin sonucu aşağıdakilerden A) i B) i C) D) i E) i 7. ( 4) ( + 9) = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {, } B) {,,, } C) { i, i, i, i} D) { i,,, i} E) { i, i} i = olmak üzere, ^4 8h ^+ h+ ^ 8h işleminin sonucu aşağıdakilerden A) + 9 i B) 9 i C) 5 i D) 9 i E) + 5 i 8. i + i 4 + i i 0 toplamının sonucu kaçtır? A) B) C) D) 0 E) i

36 9. i + i + i i 999 işleminin sonucu kaçtır? A) i B) C) 0 D) i E). n Œ N olmak üzere, n 7n+ i i 5 n i ifadesinin eşiti kaçtır? A) i B) C) D) i E) 0 0. z = + i i z = ^a+ h+ ^a+ b hi sayıları veriliyor. z = z olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) m = 0 denkleminin köklerinin gerçek sayı olmaması için m hangi aralıkta olmalıdır? A) c0, m B) c, 0 m C) c, m D) c, m E) c, m z i 4 z i + = + + eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının gerçek ve sanal kısımlarının çarpımı kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 5. ( + i) 6 + ( i) 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 4 4i B) 4 + 4i C) + i D) 8 8i E) 8 + 8i 6. P() = polinomu veriliyor.. k Œ N olmak üzere, 8k + k i i 4 ^ kh i ifadesinin eşiti kaçtır? A) i B) + i C) i D) + i E) i Buna göre, P(æ 4 ) değeri kaçtır? A) + 4i B) 4i C) 8i D) + 8i E) 8 i A A E D D A D E C D D A D C A C 65 "İkinci Dereceden Denklemler"

37 KONU İkinci Dereceden Denklemin Kökleri İle Katsayıları Arasındaki İlişkiler a + b + c = 0 İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri ve olsun. Denklemi hiç çözmeden köklerinin toplamı, köklerinin çarpımı gibi ilişkileri sadece a, b, c katsayılarını kullanarak bulabiliriz. Bu ilişkilerden en çok karşımıza çıkacak olanlar kökler toplamı ( + ), kökler çarpımı ( ) ve kökler farkı ( ) olur. Diğer ilişkilendirmeleri de bunları kullanarak elde ederiz. b Denklemin kökleri = + b ve a = a idi. O hâlde i) Kökler Toplamı: b + b b+ b b b + = + = = = dr. a a a a a b + = a ii) Kökler Çarpımı: b b b + ^ h ^ h b ^b 4ach = = = a a 4a 4a b b + 4ac 4ac c = = = olur. a a a 4 4 c = a iii) Kökler Farkı: b b b b = = a a a = =. a a olur = a 66

38 Standart Sorular ve Çözümleri 0. 4 = 0 denkleminin köklerinin toplamını, çarpımını ve farkını hesaplayınız. Denklemin katsayıları a =, b = 4 ve c = 0. = 0 denkleminin kökleri ve Buna göre, + toplamı kaçtır? 45 9 A) B) C) 5 D) 8 4 E) 9 Köklerinin toplamı: b = = = tür. a Köklerin çarpımı: c = olur. a = Köklerinin farkı: = 0. = = a ^ 4h 4 ^ h 7 tü. r = 0 denkleminin kökleri ve Buna göre, + toplamı kaçtır? A) 40 B) 9 C) 8 D) 7 E) 5 a =, b = 5 ve c = 7 b 5 + = = = 5 ve a c 7 = = = 7 a + = ( + ) = ( 5) ( 7) = = 9 bulunur. YANIT B a =, b = ve c = olduğundan b + = = = ve a c = = a a + b = (a + b) ab(a + b) özdeşliğini kullanarak, + = ^+ h ^+ h = c m c m c m = + = bulunur. YANIT A 5 4 = 0 denkleminin kökleri ve olduğuna göre, + kaçtır? A) B) C) D) E) a =, b = 5 ve c = 4 olduğundan, b = = = ve a c 4 = = = a Paydalar eşitlendiğinde, + ^ + h + = = ^ h ^ h + ^ h ^ h ^+ h = ^+ h + ^ h 5 = = = bulunur. YANIT C 67 "İkinci Dereceden Denklemler"

39 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri 5 5 7m + = 0 denkleminin kökleri ve = 5 olduğuna göre, m kaçtır? A) B) C) D) 7 b Denklemin kökler toplamı + = = 5 tir. a = 5 = 5 / + = 5 + = = 0 = 4 olur. = 4 denklemini sağlayacağından; m + = 0 m = bulunur. 7 E) 5 YANIT D 7 (m ) + (4 m ) + = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) C) 0 D) E) 4 Denklemin simetrik iki kökü olduğu için kökler toplamı sıfır olacağından, (Örneğin ve simetriktir.) b 4 m + = = = 0 a m ^ mh ^+ mh = = 0 & m + = 0 m m= olur. YANIT D 68 6 (m ) + = 0 denkleminin kökleri ve = 4 olduğuna göre, m kaçtır? 7 A) B) C) D) E) 4 4 = 4 & = 8 olur. Denklemde kökler çarpımı c = = ve a = Buna göre, 8 = & = 8& = Denklemde yerine yazıldığında, (m ) + = 0 m 4 7 = bulunur. YANIT B 8 k + 5 = 0 denkleminin kökleri ve ' + = 6 olduğuna göre, k kaçtır? A) 6 B) 8 C) 0 D) 5 E) = 6. + = 6. ( ) = 6 (. = 5) + 5 = 6 & = & = Kökü denklemde yazarsak k. + 5 = 0 k = 6 bulunur. Yanıt E

40 9 a pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, a 8 = 0 denkleminin kökler farkı 6 olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 9 m = 0 denkleminin kökleri, (m 7) = 0 denkleminin köklerinin üçer katıdır. Buna göre, m kaçtır? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 7 II. dereceden bir denklemin kökler farkı; 9 - = a ' dr. 9 = (-a) -4.(- 8) = a + 6 = a a a + & + = 6 = 4 a = veya a = a R + olduğundan a = olur. a + = 6 Yanıt B (m 7) = 0 denkleminin kökleri ve ise 9 m = 0 denkleminin kökleri ve Denklemlerde kökler çarpımı yazılırsa, = m + 7 ve = m tür. Buna göre, 9 = m 9( m + 7) = m 9m + 6 = m 66 = 6m m = bulunur. YANIT A 0 4m + a = 0 denkleminin bir kökü 7, + m + b = 0 denkleminin bir kökü tür. (k ) + 4k + 6 = 0 denkleminin kökleri ve Denkleminin kökleri arasında k'ye bağlı olmayan ilişki aşağıdakilerden A) + + = 4 B) = 4 C) = D) + ( + ) = 4 E) ( + ) = 8 Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 0 Denklemin katsayıları a =, b = k + ve c = 4k + 6 dır. b + = = k ve a Ortak kök olsun. 4m + a = 0 denkleminin kökler toplamı + 7 = 4m ve + m + b = 0 denkleminin kökler toplamı = m + 7 = 4m = m 0 = 5m m = bulunur. YANIT C = a c = 4k + 6 dır. Bu iki eşitliği alt alta yazıp k'yi yok edelim. / + = k + = 4k + 6 ( + ) = 4k + = 4k + 6 ( + ) = 8 elde edilir. YANIT E 69 "İkinci Dereceden Denklemler"

41 Konu Pekiştirme - 6. (m + ) + 4 = 0 denkleminin kökler çarpımı olduğuna göre, kökler toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) D) 5. 5 = 0 denkleminin kökleri ve olduğuna göre, + kaçtır? A) 5 B) 5 4 C) 5 D) 5 E) 5 4. (m + ) + m 5 = 0 denkleminin kökler toplamının kökler çarpımına oranı olduğuna göre, m kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) 6. m = 0 denkleminin kökleri ve + = olduğuna göre, + kaçtır? A) 0 B) 6 C) 8 D) 40 E) 4. (m + ) + + m = 0 denkleminin kökler çarpımı 6 olduğuna göre, m nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) = 0 denkleminin kökleri ve olduğuna göre, + toplamının pozitif değeri kaçtır? A) 8 B) 6 C) 4 D) E) = 0 denkleminin kökleri ve Buna göre, + toplamının değeri kaçtır? 4 A) B) C) D) E) 8. Kökleri, olan ve (m + ) = 0 denkleminin kökleri arasında + = 5 eşitliği olduğuna göre, m kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E)

42 9. 7 4m = 0 denkleminin kökleri ve + = 9 olduğuna göre, denkleminin kökler farkının mutlak değeri kaçtır? 0 A) B) C) D) 4 E). + m + a = 0 denkleminin bir kökü, + (m + ) + b = 0 denkleminin bir kökü 6 dır. Bu iki denkleminin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 0. (m + ) + m = 0 denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması ile geometrik ortalamasının çarpımı 5 olduğuna göre, m kaçtır? A) 8 B) 4 C) D) 0 E) 4. + m + n = 0 denkleminin bir kökü 4, p + r = 0 denkleminin bir kökü 6 dır. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m + p toplamı kaçtır? A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) m + n = 0 denkleminin bir kökü 4, p + r = 0 denkleminin bir kökü 6 dır.. 4 m 4 = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, denklemin köklerinin kareleri toplamı kaçtır? Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna n göre, oranı kaçtır? r A) B) C) D) 0 E) A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) m + = 0 denkleminin kökleri 8 + m = 0 denkleminin köklerinin er katıdır. Buna göre, m kaçtır? A) B) C) 0 D) 9 E) 8. (m + ) + m = 0 denkleminin kökleri ve = olduğuna göre, m nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) D D E C C E D B E B B E E A B C 7 "İkinci Dereceden Denklemler"

43 KONU Kökleri Bilinen İkinci Dereceden Denklemi Kurma İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri ve ise denklem: i) ( ) ( ) = 0 AKLINDA OLSUN a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve olsun. m + n m Kökleri + n ve k k olan denklemi kurmak için verilen denklemde yerine, k n bu ifadenin tersi olan m yazılır. şeklinde kurularak parantezler açılır. ii) Kökler toplamı T = + ile kökler çarpımı Ç = değerleri bulunarak T + Ç = 0 denkleminde yerine yazılır. u Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin bir kökü a + b c ise diğer kökü, bu sayının eşleniği olan a b c u Gerçek (reel) katsayılı ikinci dereceden bir denklemin bir kökü a + bi ise diğer kökü, bu sayının eşleniği olan a bi 7

44 Standart Sorular ve Çözümleri 0. Kökleri 4 ve olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden A) + = 0 B) + = 0 C) + 7 = 0 D) 7 = 0 T = + = 4 = ve E) = 0 0. Bir kökü 4 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) 4 44 = 0 C) = 0 D) = 0 E) 4 4 = 0 Ç = = 4 ( ) = ise denklem T + Ç = 0 = 0 olur. YANIT E Kökler birbirinin eşleniği olacağından denklemin bir kökü, = 4 ise diğer kökü = + 4 olmalıdır. T = + = ( 4 ) + ( + 4 ) = 4 ve Ç = + = ( 4 ) ( + 4 ) = (4 ) = 4 48 = 44 tür. Buna göre, T + Ç = = 0 bulunur. YANIT B 0. ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri olmak üzere, + + = ve + = 0 ilişkileri olan denklem aşağıdakilerden A) 4 + = 0 B) 4 = 0 C) = 0 D) + 4 = 0 E) + 4 = 0 + = T ve = Ç ise T + Ç = T + Ç = Köklerinden biri i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) + = 0 C) + = 0 D) + + = 0 = i ise = + i + = i + + i = E) + = 0 = ( i) ( + i) = bulunur. Ç = 9 Ç = ve T = 4 bulunur. Kökler toplamı ve kökler çarpımı olan ikinci dere- Buna göre, denklem = 0 YANIT C ceden denklem + = 0 şeklinde yazılır. YANIT C 7 "İkinci Dereceden Denklemler"

45 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri = 0 denkleminin kökleri ve Kökleri ve olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0 I. Yol Yeni yazılacak denklemin kökleri ve ise kökleri çarpımı : Ç = = ( ) 5 = ve 4 Kökleri toplamı : T = + = ( + ) 5 9 = c m c m = olur Buna göre, + = 0 ise denklem = 0 olur. II. Yol Kökleri ve olan denklemi kurmak için verilen denklemde yerine yazalım. ( nin tersi olduğu için) + 5 = 0 ( ) + 5 = = 0 = 5 (Her iki tarafın karesini alalım.) ( ) = (5 ) 9 = = denklemi elde edilir. YANIT C = 0 denkleminin kökleri ve Buna göre, kökleri ve olan denklem aşağıdakilerden A) 4 + = 0 B) 4 = 0 C) 6 5 = 0 D) = 0 E) 8 = = 0 denkleminin kökler toplamı b 4 = = 4 olduğundan a + = 4 ( + ) = 6 + = tür. c 6 Verilen denklemin kökler çarpımı = = 6 a olduğundan, ( ) ( ) = = = 7 = tür. 4 O hâlde istenilen denklem; T + Ç = 0 = = 0 olur. YANIT B 7 6 = 0 denkleminin kökleri k ve k Buna göre, aşağıdaki denklemlerden hangisinin kökleri? k ve k dir A) + = 0 B) 6 + = 0 C) = 0 D) + = 0 E) 6 + = 0 I. Yol 6 = 0 için k + k = ve k. k = 6 olduğundan istenilen denklemin kökler toplamı ve çarpımını bulalım; k + k T = + = = =- ve k k k. k 6 - Ç =. = = =- olur. k k k. k T + Ç = = 0 6 Düzenlenirse = 0 elde edilir. II. Yol Bu tür problemlerde yerine yazarak çözüme ulaşabiliriz. c m -. c m- 6 = = 0 ( ) ( ) ( ) -- 6 = = 0 denklemi bulunur. Yanıt E

46 8 a pozitif bir gerçel sayı olmak üzere; + a 4 = 0 denkleminin bir kökü a olduğuna göre, diğer kökü kaçtır? A) 4 - B) Denklemin kökü denklemi sağlar. a + a. a 4 = 0 4a 4 = 0 C) 0 D) E) 4 a = ve a = olabilir. a R + olduğundan a = seçilir. Kökler çarpımı. =- 4 4 = - olur. Yanıt A 0 Köklerden iki tanesi 4 ve i olan üçüncü dereceden gerçek katsayılı denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) + 5 = 0 Denklem ( + 4) ( T + Ç) = 0 biçiminde İkinci dereceden olan kısmın köklerinden biri i ise diğeri + i olur. T = i + + i = 4 ve Ç = ( i) ( + i) = = tür. ( + 4) ( 4 + ) = 0 Parantezler açıldığında = = 0 denklemi elde edilir. YANIT E 9 m Œ Q olmak üzere, + m 4 = 0 denkleminin bir kökü i olduğuna göre, m kaçtır? A) B) C) 0 D) E) = i ise = + i olur. = a c eşitliğinden faydalanılırsa, m 4 ^ ih ^+ ih= = m 4 m = bulunur. YANIT E 75 "İkinci Dereceden Denklemler"

47 Konu Pekiştirme - 7. Kökleri ve 4 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden A) + 4 = 0 B) 4 = 0 C) + 4 = 0 D) = 0 E) 4 = 0 5. Köklerinden biri 5 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden A) + 4 = 0 B) + 4 = 0 C) = 0 D) 4 4 = 0 E) 4 = 0. Çözüm kümesi ÇK = ', olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden 4 A) 4 = 0 B) 4 = 0 C) 8 = 0 D) 8 + = 0 E) 8 + = 0 6. Bir kökü olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli rasyonel katsayılı denklemin kökler toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E). Çözüm kümesi ÇK = ' olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0 7. Bir kökü olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli rasyonel katsayılı denklemin kökler topla- mı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 4. ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri olmak üzere, kökleri arasında = 0 ve = 0 ilişkileri olan denklem aşağıdakilerden A) + = 0 B) + + = Bir kökü olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökler çarpımı kaçtır? 76 C) + = 0 D) = 0 E) + + = 0 0 A) B) 7 C) 5 4 D) 7 6 E) 9 9

48 9. Kökleri + 5 = 0 denkleminin köklerinin üçte biri olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden A) + = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0. Kökleri a + i ve + (b )i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklem + p + n = 0 dır. Buna göre, b p a n ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 9 C) 5 D) 7 E) E) + 5 = = 0 denkleminin kökleri ve Kökleri ve olan ikinci dereceden 5 5 bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden 4. Çözüm kümesi { + 4i, i) olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) + (5 + i) + + 5i = 0 B) (5 + i) i = 0 C) (5 + i) i = 0 D) (5 i) i = 0 E) (5 i) i = 0 A) = 0 B) = 0 C) 5 7 = 0 D) = 0 E) = = 0 denkleminin kökleri ve tür. Buna göre, kökleri ve olan denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) + = 0. Kökleri = 0 denkleminin köklerinin ikişer katının eksiğinin 'te biri olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) 9 4 = 0 E) = 0. Köklerinden biri i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) 4 + = 0 C) + 4 = 0 D) = 0 E) 4 = 0 C) = 0 D) 6 + = 0 E) 8 4 = 0 6. Köklerinden ikisi, + i olan gerçek katsayılı üçüncü dereceden denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = B C D B E B C E B A C B E B A A 77 "İkinci Dereceden Denklemler"

49 ÜNİTE ÖZETİ 78. DERECEDEN DENKLEMLER Æ Tanım: a, b R ve a 0 olmak üzere, a + b + c = 0 ifadesine. dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Æ Çözüm Kümesi Bulma: P() Q() = 0 ise P() = 0 veya Q() = 0 denklemleri çözülür. P ( ) = 0 ise P() = 0 denklemi çözülür ve bulunan köklerin paydayı sıfır yapıp yapmadığı kontrol Q ( ) edilir. Paydayı sıfır yapıyorsa çözüm kümesine dahil edilmez. Æ Diskriminant Yöntemi: a + b + c = 0 D = b 4ac D > 0 ise denklemin farklı iki gerçek (reel) kökü vardır. b D = - + b D, = - - a a D = 0 ise denklemin eşit iki kökü vardır. b = = - a Bu durum, "çakışık iki kök", "çift katlı kök", "tek kök" ya da "tam kare ifade" şeklinde de ifade edilebilir. D < 0 ise denklemin reel kökü yoktur. D 0 ise denklemin iki reel kökü vardır. Kökler birbirine eşit ya da farklı olabilir. Æ Kök-Katsayı İlişkileri: a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve ise -b + = a c = a D = a + ; + ; - gibi ifadelerin değerleri istenirse çarpanlara ayırma özdeşlikleri kullanılır. Æ a + b + c = 0 denkleminde: c a + b + c = 0 ÇK = &, 0 a c a b + c = 0 ÇK = ', a Kökler simetrik ise b = 0 olur. a + b + c = 0 Æ 4 d + e + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri a b c aynı ise = = d e f Æ Denklem Kurma: Kökleri ve olan. dereceden denklem ( ) ( ) = 0 ya da -( + ) + = 0 ; T Ç T + Ç = 0 şeklinde bulunur. Rasyonel katsayılı. dereceden bir denklemin köklerinden biri m + n ise diğer kök, bu ifadenin eşleniği olan m n a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri m + n ve m + n olan denklemi elde etmek için a - n + b + c = 0 denkleminde yerine yazılır. m a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve ise m m kökleri ve olan denklemi elde etmek için a m + b + c = 0 denkleminde yerine yazılır. KARMAŞIK SAYILAR Æ Tanım a ve b reel sayılar ve i = olmak üzere, z = a + bi biçimindeki sayılara karmaşık (kompleks) sayılar denir. a sayısına z karmaşık sayısının reel (gerçek) kısmı, b sayısına z karmaşık sayısının sanal (imajiner) kısmı denir ve Re(z) = a ve Im(z) = b biçiminde gösterilir. Æ Karmaşık Sayıların Eşitliği z = a + bi ve z = c + di olmak üzere z = z a = c ve b = d Æ i Sayısının Kuvvetleri i 0 = i 4 = i 8 =... = i 4n = i = i 5 = i 9 =... = i 4n+ = i i = i 6 = i 0 =... = i 4n+ = i = i 7 = i =... = i 4n+ = i Reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri = a + bi ise diğeri = a bi ( + i) = i ve ( i) = i Æ Karmaşık Sayının Eşleniği z = a + bi karmaşık sayısının eşleniği z = a- bi ^zh = z z+ z = z+ z z z n n z z = z z f p z = z = ^zh z

50 TEST ACEMİ a. a = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduğuna göre, a kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 5. Çözüm kümesi { } olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) 9 = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0 6. a > b olmak üzere,. ( + ) = 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisisidir? A) {, 5} B) { 5, } C) { 5, } D) {, 5} E) { } a b b a işleminin sonucu aşağıdakilerden A) a b B) a ib C) ai b D) ai bi E) bi ai. 6 + m 6 = 0 denkleminin bir kökü olduğuna göre, diğer kökü kaçtır? 9 9 A) B) C) 0 D) E) p 9 = 0 denkleminde p'nin kaç tam sayı değeri için gerçek kökü yoktur? A) 0 B) C) D) 4 E) 9 4. z = a + (b + )i z = (a ) + bi veriliyor. z = z olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 8. 5 i + i + i f i 8 i 5 p işleminin sonucu aşağıdakilerden A) i B) i C) 0 D) E) i 79 "İkinci Dereceden Denklemler"

51 9. (a ) (a ) + 4 = 0 denkleminin kökleri ve + = olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) E) 4. n pozitif tam sayı olmak üzere, 4n+ 4n i i 8n + i ifadesinin gerçek kısmı aşağıdakilerden A) 0 B) C) D) E) = 0 denkleminin kökleri ve 4. ( 9) + 4 = 0 denkleminin büyük kökü kaçtır? > olduğuna göre, 4 ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 6 B) 5 C) 4 D) E). (m + ) + n = 0 denkleminin kökleri m ve n Buna göre, m n çarpımı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 5. 4 = denkleminin birbirinden farklı kaç tane reel kökü vardır? A) 0 B) C) D) E) m, n Œ Z + olmak üzere, m mn n = 0 olduğuna göre, m + n toplamının en küçük değeri kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) = 7 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) { 6, 5} B) {, } C) {, 6} D) {, } E) { 6, } B C A C D D A B A E D D A E C E

52 TEST ACEMİ. 7 = 0 denkleminin kökleri ve olduğuna göre, kaçtır? A) B) D) 65 9 E) 4 C) = 0 5 denkleminin kökleri ve Buna göre, + kaçtır? 9 7 A) 5 B) C) 4 D) E). (5k 4) + k = 0 denkleminin köklerinden biri sıfırdır. Buna göre, denkleminin diğer kökü kaçtır? A) B) 0 C) 8 D) 7 E) 6. 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {, 0, } B) {0, } C) (, D) (, 0, E) ( 0,. 6 ^ h + ^ h işleminin sonucu aşağıdakilerden A) 4i 5 B) 5 + 4i C) + 5i D) + 5i E) + 4i 7. + = 0 (a ) + = 0 denkleminin diskriminantları eşit olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) E) (m ) m + m = 0 denkleminin köklerinin çarpımı Buna göre, m kaçtır? A) B) C) D) E) 4 8. z = ( y) + ( )i z = (y + 5) + ( + y)i karmaşık sayıları için z = z olduğuna göre, değeri aşağıdakilerden A) B) C) 0 D) E) 8 "İkinci Dereceden Denklemler"

53 = denklemini sağlayan değeri kaçtır? A) B) C) D) E) = 0 denkleminin çözüm kümesindeki en küçük sayı kaçtır? A) 6 B) 4 C) D) 0 E) = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden A) i B) + i C) i 4. + k + 4 = 0 denkleminin kökleri ve + = 8 olduğuna göre, k kaçtır? A) B) 0 C) 8 D) 6 E) 4 D) i E) + i = 0 denkleminin kökleri ve Kökleri 5 ve 5 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden 5. ( i) 80 sayısının gerçek kısmı kaçtır? A) 40 B) 80 C) 80 D) 40 E) i 80 A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = = 0 denkleminin kökleri ve 8. ( + y ) + ( + y)i = 4 + 7i olduğuna göre, y çarpımı kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 Buna göre, + toplamının değeri kaçtır? A) 6 B) C) 4 D) 6 E) D E B A B D B E E D C E B A D E

54 TEST ACEMİ 44. z = i + 6 i sayısının eşleniğinin sanal kısmı aşağıdakilerden A) B) C) 0 D) E) 5. ( + ) = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {, + } B) { } C) {, + } D) { } E) { + }. 5 = 0 denkleminin köklerinden biri k' Buna göre, k k ifadesinin değeri kaçtır? A) 5 B) C) 0 D) E) 5 6. = + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {0} B) {} C) { } D) {0, } E) {, }. + 5 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) 5 B) + 5 C) 5i D) + 5 E) 5 7. Karesinin 4 eksiği, kendisinin eksiğine eşit olan sayıların toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 4. Alanı 4 m olan bir bahçenin uzunluğu, genişliğinden m daha fazladır. Bu durum aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? 8. ( 5) ( + ) = 5 denkleminin kökleri toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 5 A) + = B) + = 4 C) + = D) + = 48 E) + = 48 8 "İkinci Dereceden Denklemler"

55 9. i + i + i + i i 5 toplamı aşağıdakilerden A) B) 0 C) D) i E) i. a + b + c = 0 denkleminin kökleri m ve n Buna göre, + toplamının değeri aşağıdakilerden m n c b b A) B) C) b c c D) b c E) c b 0. = 0 denkleminin köklerinin er fazlasını kök kabul eden ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) 9 7 = 0 E) = i + i i + i i + i i işleminin sonucu aşağıdakilerden A) i B) i + i C) i D) i E) + i = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) #, ^ ih ^ ih işleminin sonucu aşağıdakilerden A) + i B) i C) i D) i E) i B) ), + + C) ), + D) ), E) (. m m + = 0 denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğuna göre, m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 4 E) 6 6. a + b + c = 0 denkleminin kökleri birbirinin çarpma işlemine göre tersi Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a = b B) b = c C) a = c D) a c = E) b c = B A C B C B D D A B A C D E B C

56 TEST AMATÖR. n Œ N olmak üzere, z = i 4n + i 8n + + 5i n + olduğuna göre, lm(z) aşağıdakilerden A) B) C) 0 D) E) = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) { 4} B) { 4, } C) {, } D) { 4, } E) { 4, 4} 4. z = + olduğuna göre, z karmaşık sayısının gerçek kısmı kaçtır? A) B) C) D) E) 6. k bir doğal sayı olmak üzere, i k + i k + + i k + + i k + toplamının değeri aşağıdakilerden A) i B) C) 0 D) E) i. i i karmaşık sayısının eşleniğinin, sanal kısmı kaçtır? A) B) C) D) E) 5 7. = 0 denkleminin kökleri ve olduğuna göre, + toplamı kaçtır? A) 4 B) C) 8 D) 6 E) 4. (k + ) 0 + k + 5k + 6 = 0 denkleminin bir kökü 0 olduğuna göre, k'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 8. Ardışık iki tek sayının çarpımı 55 olduğuna göre, küçük sayı en az kaçtır? A) 7 B) 5 C) D) 5 E) 7 85 "İkinci Dereceden Denklemler"

57 9. Köklerinden biri i olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) 4 = 0. (k ) ( k) 6 = 0 denkleminin bir çarpanı tür. Buna göre, bu denklemin kökler toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) C) + = 0 D) = 0 E) 4 + = m 4 = 0 denkleminin kökleri ve = 6 olduğuna göre, m kaçtır? = 0 A) 4 B) C) D) E) 0 denkleminin kökleri ve olduğuna göre, + kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) ( ) 5 = 0 denkleminin kökleri ve Buna göre, + kaçtır? A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 0. n pozitif bir tam sayı olmak üzere, P() = 8n + 4 6n n + veriliyor. Buna göre, P(i) değeri aşağıdakilerden A) + i B) i C) i D) + i E) i 6. + = 0 = 6 olduğuna göre, kökleri ve olan ikinci derece denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = (a ) + a + ifadesinin bir tam kare olması için a'nın pozitif değeri kaç olmalıdır? A) B) C) D) 4 E) A C A B A C A E E E C B D A C A

58 TEST AMATÖR. m + n = 0 denkleminin kökleri ve olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) (k ) + 5 = 0 denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasına eşittir. Buna göre, k değeri kaç olabilir? A) B) C) 4 D) 7 E) = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) { } B) { } C) {, } D) { } E) {, } ^ ih ^ih + ^ ih 00 ^ i h işleminin sonucu aşağıdakilerden A) i B) + i C) i D) + i E) + i. z = a + bi olmak üzere, z= z olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a = b B) a = b C) a = 0 D) b = 0 E) a = b 7. Çözüm kümesi ÇK = ' olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden 4 A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0 4. İki gerçel kökü olan + m + = 0 denkleminin kökleri toplamı m = 0 denkleminin bir köküdür. Buna göre, m kaçtır? A) 9 B) 7 C) 4 D) 7 E) 8 8. P() = polinomu veriliyor. Buna göre, P(i) değeri aşağıdakilerden A) i B) + i C) i D) + i E) i 87 "İkinci Dereceden Denklemler"

59 9. Kökleri + = 0 denkleminin köklerinin yarısı olan denklem aşağıdakilerden i i. z = + + veriliyor. i i Buna göre, Re(z) aşağıdakilerden A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) 4 6 = 0 7 A) 7 B) 0 C) 7 9 D) 7 7 E) 7 5 E) = 0 0. ^ ih i sayısının sanal kısmı aşağıdakilerden A) B) C) D) E) 4. + m m = 0 denkleminin kökler çarpımı 4 olduğuna göre, kökler toplamı kaçtır? A) 6 B) C) 0 D) E) = ( ) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden 9 A) ( 0, B) ( 0, C) ( 0, 7 5. k = 0 denkleminin kökleri ve D) ( 0, E) ( 0, 8 4 = olduğuna göre, k kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) m Œ R + olmak üzere, kenarlarının uzunlukları (m + 4) cm ile (8 m) cm olan bir dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer kaç cm dir? A) 00 B) C) 98 D) 97 E) 6. a + a i = 0 denkleminin köklerinden biri i olduğuna göre, a değeri aşağıdakilerden A) B) C) 0 D) E) D E D D A D D A A D C C B D A A

60 TEST AMATÖR. (a ) + a = 0 denkleminin kökleri ve ( ) = ( ) olduğuna göre, a kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 5. 4 = 0 denkleminin kökleri ve Kökleri ( ) ile ( ) olan denklem m n = 0 olduğuna göre, m + n kaçtır? A) 7 B) C) 0 D) 7 E) 9. ^+ iz h = + i olduğuna göre, Re(z) aşağıdakilerden A) B) 4 5 C) 5 D) E) 5 5 5i 0 6. z = + + veriliyor. 4i 4 + i Buna göre, z aşağıdakilerden A) + i B) i C) i D) i E) + i. m 8 5 = 0 denkleminin bir kökü olduğuna göre, diğer köklerin toplamı kaçtır? A) 5 B) 0 C) 4 D) E) 7. Dik kenarlarının uzunlukları (a + ) cm ile (4 a) cm olan bir dik üçgenin alanının alabileceği en büyük değer kaç cm dir? A) 87 B) 99 4 C) 4 D) 48 E) ( k) = 0 5k denkleminin kökleri eşit olduğuna göre, köklerinin toplamı kaçtır? A) 4 B) C) 0 D) E) a 4a = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) (, B) (, C) (, a a a a a a D) (, E) (, a a a a 89 "İkinci Dereceden Denklemler"

61 9. ( + i) 0 + ( i) 0 toplamının sonucu aşağıdakilerden A) B) 0 C) 0 D) 0 E). z = a + ib olmak üzere, z = iz+ 4+ 5i denklemine göre, a değeri kaçtır? A) 5 5 B) C) 5 5 D) E) (m ) + 8 = 0 denkleminin kökleri ve = 4+ olduğuna göre, m kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 4. 6 = 0 denkleminin kökleri ve Buna göre, + ifadesinin değeri kaçtır? A) 0 B) 9 C) 0 C) 9 E) 0. (m ) + (m 5) 6 = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, m kaçtır? 5 A) B) C) D) 4 E) ( + ) 5 = 0 denkleminin kökleri sıfırdan farklı olan ve sayılarıdır. Buna göre, denklemin büyük kökü kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E). ( + ) = ( + ) ( ) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) (, 0 B) (, C) (, 0 D) {0} E) (, 4 6. c m c + m = denkleminin köklerinin toplamı kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) B B D A E E D A A C E A E B D D

62 TEST 4 AMATÖR. + 4 = 0 (a ) (b + ) = 0 denkleminin çözüm kümeleri aynı olduğuna göre, a b çarpımı kaçtır? A) B) 9 C) D) E) 0 5. m 0 olmak üzere, m ( + m) + m + = 0 denkleminin kökler toplamı kökler çarpımının iki katı olduğuna göre, denklemin tam sayı olan kökü kaçtır? A) B) C) 0 D) E). i 4 c m + i aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) i B) C) D) i E) i 6. a ve b gerçek sayıdır. (a + ) + b = 0 denkleminin bir kökü + i olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) B) C) D) 0 E). + + i + i i işleminin sonucu aşağıdakilerden A) i B) + i C) i D) + i E) i 7. 4a 5a = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) { 5a, a} B) {a, 5a} C) { a, 5a} a D) (, 5 5a E) { a, 5a} a = 0 denkleminin kökleri ve = 5 olduğuna göre, a kaçtır? 4 5 A) B) C) D) E) 7 8. Kökleri 5 = 0 denkleminin köklerinin üçer fazlası olan denklemin kökler toplamı kaçtır? A) B) C) 7 D) E) 9 "İkinci Dereceden Denklemler"

63 9. ( ) ( 6) = 6 denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) 4 B) C) D) E) 0. i + i i + i 4 + i 00 işleminin sonucu aşağıdakilerden A) i B) C) D) i E) + i 0. (k 4) 9 = 0 denkleminin kökleri ve 5 + = 4 olduğuna göre, k kaçtır? 97 A) 6 B) 5 C) 0 D) E) (a 4) 5 = 0 + (a + ) + 7 = 0 denkleminin birer kökleri ortaktır. Buna göre, a kaçtır? A) B) C) D) 6 6 E). y i = i i 0 0 eşitliğine göre, + y toplamı kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 5. a: = b: = 0 ( + ).( + ) Yukarıda verilen a ve b denklemlerinin çözüm kümelerinin kesişimi kaç elemanlıdır? A) 0 B) C) D) E) 4 9. m, n Œ R olmak üzere, P() = + m + n polinomunun bir kökü i karmaşık sayısıdır. Buna göre, P(i) kaçtır? A) 4 4i B) 4 + 4i C) 4 4i D) 4 + 4i E) 4 i 6. z = a + i karmaşık sayısı veriliyor. Re^ z h= 6 olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) B C C C D A E D A E B C A B B B

64 TEST UZMAN. z + z = i eşitliğine göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden i A) + i B) i C) + i D) E) 5. 4 = 0 denkleminin kökleri ve Buna göre, e + oe + o ifadesinin eşiti kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) E). Kendisi ile çarpmaya göre tersinin toplamı olan tam sayı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) i = ve < 0 olmak üzere, 9 + y= 4 5i olduğuna göre, y + toplamı kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E). m + n = 0 denkleminin kökler toplamı ve kökler çarpımı olduğuna göre, kökler farkının mutlak değeri kaçtır? 5 7 A) B) C) D) E) 4 7. Tanım kümesi tam sayılar olan bir f fonksiyonu için, f nin görüntü kümesinin eleman sayısına f fonksiyonunun kuvveti denir. Bu tanıma göre, f: Z " C, f( n) = i n + fonksiyonunun kuvveti kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 4. A ABC dik üçgen [AC] ^ [BC] AC = 4 br 4 BC = ( + ) br Alan(AB C) = 0 br i 8. z = ve Re^ z h= + i 5 olduğuna göre, 'in alabileceği değerlerden biri B + C aşağıdakilerden Yukarıdaki verilere göre, kaç br dir? A) 0 B) C) D) E) 4 A) B) C) D) 4 E) 5 9 "İkinci Dereceden Denklemler"

65 9. m mn 4n = 6 n denklemini sağlayan m'nin n cinsinden alabileceği değerlerin toplamı aşağıdakilerden A) 4n B) n C) n. ( 6 + 4) ( ) = 0 denkleminin tüm köklerinin toplamı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 0 D) 8 E) 6 D) n E) n 0. + (k ) k = 0 denkleminin kökleri ve + = 0 olduğuna göre, k kaçtır? A) B) C) D) E) 4. = 0 denkleminin kökleri ve Kökleri ve olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) 0 + = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0. (m ) + m + = 0 denkleminin kökleri p ve q dur. Buna göre, p nin q türünden eşiti aşağıdakilerden q + 5 A) B) q + q 5 C) q + q + 5 q 5 D) E) q q + q 5 q 5. a, b ve c tam sayılar olmak üzere P() = a + b + c polinomunun bir kökü tür. a + b + c = 4 olduğuna göre, b kaçtır? A) 8 B) 4 C) 4 D) 6 E) 9. (m ) + p = 0 denkleminin kökü bir kökü, + (n + 4) q = 0 denkleminin bir kökü 4 tür. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? ^ + ih ^ ih 8 8 ^ + ih ^ ih işleminin sonucu aşağıdakilerden A) i B) C) 0 D) E) i 94 A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) D E D D C B B C D A D B B C A C

66 TEST UZMAN. 5 + = 0 denkleminin kökleri ve Buna göre, + değeri kaçtır? A) B) 4 7 C) 7 D) 5 E) 5. (a ) + m = 0 denkleminin bir kökü 4, + (5 4b) n + = 0 denkleminin bir kökü 6 dır. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna m göre, kaçtır? n 4 A) B) C) D) E) 4. f() = + veriliyor. Buna göre, `f^ ihj ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 4 5i A) B) i D) i C) i E) 4 4 5i 4 6. ^ 5h ^ + 4h = denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) 6 B) 4 C) D) E). 5 = 0 denkleminin köklerinden biri Buna göre, + ifadesinin değeri kaçtır? A) 9 B) 7 C) 5 D) E) 7. M, N Œ R olmak üzere, M = m 4m + 7 ve N = n + n tür. Buna göre, M'nin alabileceği en küçük değer ile N'nin alabileceği en büyük değerin toplamı kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 4. + (a + ) 4a = 0 denkleminin kökleri ve = olduğuna göre, a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 4 B) C) 4 D) 0 E) 9 8. a (a 5) 75 = 0 denkleminin gerçek kökleri ve ve = olduğuna göre, a kaçtır? A) 5 B) C) 0 D) E) 5 95 "İkinci Dereceden Denklemler"

67 ^ 5h= 4 denkleminin gerçek köklerinin toplamı kaçtır? A) 4 B) 7 C) 0 D) 7 E) 4 ^ab + h a. + + = 0 b b denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) ( a, B) (, b a b C) ( a, b D) (, a b E) ( a, b 0. I. ( ) = 08 II. ( ) = 08 III. ( ) = 08 Yukarıda verilen I, II ve III denklemlerinin diskriminantları sırasıyla, ve tür. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B) 4. z z= i olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden A) i B) i B) + i D) + i E) i C) D) = = E) = 5. ( ) ( + 4) ( ) ( 8) = 0 denkleminin pozitif köklerinin toplamı kaçtır?. z = + i veriliyor. i + i Buna göre, ^z h karmaşık sayısı aşağıdakilerden A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) i B) i C) i D) E) 6. m + 8 = 0 denkleminin kökleri ve 96. 8a + 4b = 0 denkleminin kökleri a ve b olduğuna göre, a b değeri kaçtır? A) 4 B) C) 0 D) 8 E) = olduğuna göre, m kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) B D B A A E B E B D C A C D D C

68 TEST UZMAN. i = ve < 0 < y olmak üzere, y i= 5 8i olduğuna göre, + y toplamı kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) = 0 9 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) { 4, 4} B) {0, 4} C) {, 4} D) {, 4} E) {4}. 4 + k = 0 denkleminin kökleri ve = olduğuna göre, k kaçtır? 7 A) 6 B) C) 6 D) 5 E) 4 5 ^i h 6. z = ^ + ih işlemine göre z karmaşık sayısı aşağıdakilerden A) i B) C) i D) E) i. 6 + = 0 denkleminin kökleri a ile b tür. Buna göre, kökleri a ve b olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) = m + n = 0 denkleminin çözüm kümesi ÇK = {, } tür. Buna göre, m c m + c m + n = 0 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır? A) 0 B) 8 C) 6 D) 8 E) 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0 4. m 8 5 = 0 denkleminin bir kökü olduğuna göre, diğer köklerin toplamı kaçtır? = 0 denkleminin kaç farklı gerçek kökü vardır? A) 0 B) C) D) E) 4 A) 5 B) 0 C) 4 D) E) 97 "İkinci Dereceden Denklemler"

69 9. + m + n = 0 rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin bir kökü 5 olduğuna göre, m n farkı kaçtır? A) 0 B) 6 C) D) E) = 0 denkleminin kökleri ve olduğuna göre, + kaçtır? 9 A) 8 D) B) 8 E) 79 8 C) z = i sayısı veriliyor. Buna göre, 4 c i z m işleminin sonucu i z + i aşağıdakilerden A) i B) + i C) + i D) i B) i 4. 4 i f e op işleminin sonucu aşağıdakilerden A) B) i C) 0 D) E) i. (m 7) + (49 m ) + = 0 denkleminin kökleri simetrik olduğuna göre, m kaçtır? ^ h ^ h işleminin sonucu kaçtır? A) + 4i B) 4 4i C) 6 + 4i D) 4 + 6i E) 4 6i A) B) 7 C) 0 D) 7 E) 98. m (m + ) + = 0 denkleminin tek kökü varsa m'nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 8 B) 4 C) 4 + D) 8 + E) = 0 + denkleminin köklerinin toplamı kaçtır? A) 4 B) C) 0 D) E) C B B B E D A E D B D C D E C C

70 TEST 4 UZMAN. + i i c m c m i + i işleminin sonucu aşağıdakilerden A) 4i 5 D) 48 5 B) 4i 5 E) 48i 5 C) 6 8i k + k 8 = 0 denkleminin kökleri ve 4k + 5 = + 6 olduğuna göre, k kaçtır? 4 A) B) C) D) E) k + 4 = 0 denkleminin çift katlı kökü Buna göre, + k toplamı kaçtır? A) 7 B) C) 0 D) E) = denkleminin kökleri m ve p olduğuna göre, m + p ifadesinin pozitif değeri kaçtır? A) B) 7 C) 6 D) 5 E). + k = 0 denkleminin tek gerçek kökü 0 dır. Buna göre, k'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 7. Kökleri i ve + i olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) + ( + i) 5 i = 0 B) ( + i) i = 0 C) + (5 + i) + + i = 0 D) ( + i) + 5i = 0 E) ( + i) + 5i = 0 4. z = + i olduğuna göre, z+ z c m z z değeri aşağıdakilerden A) i B) C) i D) E) 8. n bir pozitif tam sayı olmak üzere; i 4n + 6 z = c m + i karmaşık sayısı veriliyor. Buna göre, lm(z ) değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 99 "İkinci Dereceden Denklemler"

71 9. i = ve < 0 < y olmak üzere, y = + 4i olduğuna göre, y çarpımı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E). Köklerinden biri i olan ikinci dereceden gerçek katsayılı denklem aşağıdakilerden A) + = 0 B) + + = 0 C) + + = 0 D) + = 0 E) + + = 0 m 4m ^m+ h+ = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi bu denklemin köklerinden biridir? A) B) C) D) E) m + n = 0 denkleminin köklerinden biri = 0 ve diğer kökleri birbirine eşittir. Buna göre, m + n toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0. 8 m = 0 denkleminin kökleri ve = 4 olduğuna göre, çarpımı kaçtır? A) B) 6 C) 0 D) 6 E) i 9 z = c m veriliyor. 4i Buna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden A) 4i B) 4 + i C) + 4i D) i E) i 6. < 0 < y olmak üzere, z = + y ^ h y. m n olmak üzere, m + n + 4 = 0 n + m + 6m = 0 ikinci dereceden denklemlerinin çözüm kümeleri aynı olduğuna göre, m kaçtır? karmaşık sayısının gerçek ve sanal kısımlarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) y y B) y C) y D) y y E) + y y 00 A) 7 B) 6 C) 0 D) 6 E) E D C D A C B C E E E E E C E D

72 TEST PROFESYONEL. i = ve a < 0 < b koşuluyla b + b a = bi + eşitliği veriliyor. Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 5. æ = i olmak üzere, P() = + 5 polinomu için P( + i) değeri kaçtır? A) 4 B) 4i C) 4 i D) 4 + i E) 4 4i. Köklerinden biri olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aşağıdakilerden A) = 0 B) + = = 0 denkleminin köklerinden biri 4 Buna göre, 4 + ifadesinin değeri kaçtır? A) 49 B) 45 C) 4 D) 9 E) 7 C) + = 0 D) + 4 = 0 E) 4 = 0. m 4 + m + 8m + 6 = 0 denklemlerinin kökleri ve + Buna göre, ifadesinin eşiti kaçtır? + ^ h A) B) C) 0 D) E) 7. ( m ) + 6 = 0 + denkleminin çözüm kümesinin bir elemanlı olması için m'nin alabileceği farklı değerler toplamı kaç olmalıdır? A) 9 B) 7 C) 4 D) E) = denkleminin kökleri a ve b Buna göre, + toplamı kaçtır? a b 4 A) B) C) D) E) 5 8. z z+ i z= 9+ i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının toplamı aşağıdakilerden A) 6 + i B) 6 i C) + i D) i E) + 6i 0 "İkinci Dereceden Denklemler"

73 9. ( ) + = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E) {, }. D 4 C m A m B ABCD dörtgen [DC] ^ [AD] [AD] ^ [AB] AD = m br DC = 4 br AB = ( m) br Yukarıdaki verilere göre Alan(ABCD) en çok kaç br dir? A) B) 40 C) 48 D) 56 E) m + n = 0 ve 4p + q = 0 denklemlerinin ortak kökü 5'tir. n q Buna göre, kaçtır? m p A) 0 B) 0 C) 5 D) 0 E) (m + ) t = 0 denkleminin bir kökü ve + ( m ) + k = 0 denkleminin bir kökü tür. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre, m kaçtır? A) B) C) D) E). i i i i 4 i 5 i 00 çarpımının sonucu aşağıdakilerden A) i B) C) 0 D) E) i 5. n bir tam sayı olmak üzere, z = i n + i n karmaşık sayısının kaç tane farklı değeri vardır? A) B) C) D) 4 E) 5. eksenini (, 0) ve (9, 0) noktalarında; y eksenini 7 c0, m noktasında kesen f() = a + b + c fonk- siyonunun tanım kümesi [6, ) Buna göre, görüntü kümesi aşağıdakilerden A) <, m B) <, m C) [ 9, ) 6. (a ) + 5 = 0 denkleminin kökleri ve + = 4 olduğuna göre, a kaçtır? A) B) 45 4 C) D) 4 4 E) 0 D) [, 9) E) < 9, 9m C A B B C C B A A E A A E D D B

74 TEST PROFESYONEL. + m + 6 = 0 denkleminin gerçek kökleri ve æ + æ = 0 olduğuna göre, m kaçtır? A) 7 B) 5 C) D) E) m = 0 5 denkleminin kökleri a ve b (a > b) a ab b = 4 olduğuna göre, m kaçtır? 8 A) B) C) 0 D) E) 5. 5 = 0 denkleminin kökleri ve 6 Buna göre, ifadesinin değeri kaçtır? A) 5 B) C) 0 D) E) = 0 denkleminin köklerinden biri a dır. 4+ a a ifadesinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) = m 5 = 0 denkleminin kökleri 5 ve sayıları ile orantılıdır. Buna göre, m kaçtır? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 denkleminin bir kökü olduğuna göre, diğer iki kökü için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Denklemin başka gerçek kökü yoktur. B) Denklemin diğer köklerinin toplamı tür. C) Denklemin diğer kökleri çakışıktır. D) Denklemin diğer kökleri birbirinin toplama işemine göre tersi E) Denklemin diğer kökleri birbirinin çarpma işlemine göre tersi 4. P() = Q() = polinomları veriliyor. P^ ih Buna göre, ifadesi aşağıdakilerden Q ^ i h A) i B) i C) D) i E) + i 8. f: C C ve g: C C f() = b + i, g() = i ve (gof)() = a + 8i fonksiyonları veriliyor. Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 0 "İkinci Dereceden Denklemler"

75 9. Kökleri ve olan m + 5 = 0 denkleminin kökleri arasında + = 70 eşitliği olduğuna göre, m'nin alabileceği pozitif değer kaçtır?. ve y birer gerçek sayı olmak üzere i i 5i + y + = 6 y + y eşitliğine göre, y değeri kaçtır? A) B) 6 C) 9 D) E) 8 A) 5 B) 4 C) D) E) 0. m (m ) m + m = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden m m A) &, 0 B) &, + 0 m m ^m h C) *, 4 D) #, - m ^m h E) *, 4 m 4. P() = veriliyor. Buna göre, P() polinomunun + i ile bölümünden kalan aşağıdakilerden A) 4 + i B) i C) 4 i D) i E) 4 + i. 6 + k 7 = 0 denkleminin kökleri m ve n m n = olduğuna göre, k kaçtır? 5. 6 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden A) 64 B) C) 6 D) E) 64 A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 6. ( 5) + m( 5) + n = = 0 denkleminin kökleri bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları olduğuna göre, bu dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğu kaç br dir? denkleminin çözüm kümesi ÇK = {, 7} Buna göre, + m + n = 0 denkleminin kökleri toplamı kaçtır? A) 4 B) C) 8 D) 6 E) 7 04 A) 6 B) 5 C) æ6 D) 7 E) æ A A E D C C C A C C D C E C A D

76 TEST PROFESYONEL. 5m 6mn 5n = 0 m olduğuna göre, ifadesinin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? n A) B) C) D) E) 5. z+ ^z 4ih 5= + ai eşitliğine göre, a kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. (a ) 4 = 0 denkleminin kökleri birer tam sayıdır. Buna göre, a'nın alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 6 B) C) 0 D) 8 E) 4 6. (a + b) + 6(a b ) + 9(a b) = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden b a a b A) ( B) ( a+ b a+ b a+ b b a a b C) ( D) (, a+ b a+ b a+ b b a a+ b E) (, a+ b a b. 8 + = 0 denkleminin kökleri ve Buna göre, toplamının değeri kaçtır? A) 4 B) 48 C) 50 D) 56 E) z sayısı karmaşık sayı olmak üzere P(z) = z + 4 polinomu veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi P(z) polinomunun bir çarpanı değildir? A) z B) z i C) z + i D) + zi E) zi 4. + m 5 = 0 denkleminin bir kökü olduğuna göre, diğer iki kökünün çarpımı kaçtır? A) 5 B) 7 C) 0 D) 7 E) 5 8. m 6 + m = 0 denkleminin bir kökü diğer kökünün iki katı ise m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 05 "İkinci Dereceden Denklemler"