Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Transkript

1 Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması için hiçbir fedakârlıktan çekinmemelerini tavsie ederim.

2 Bu kitabın her hakkı Çap Yaınları na aittir. 586 ve 96 saılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası na göre Çap Yaınları nın azılı izni olmaksızın, kitabın tamamı vea bir kısmı herhangi bir öntemle basılamaz, aınlanamaz, bilgisaarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım apılamaz. BU KİTAP, MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI TALİM VE TERBİYE KURULU BAŞKANLIĞI NIN.8. TARİH VE SAYILI KARARI İLE BELİRLENEN ORTAÖĞRETİM MATEMATİK DERSİ PROGRAMINA GÖRE HAZIRLANMIŞTIR. Dizgi Kapak Tasarım Emine İNCE Baskı Tarihi Ağustos Teşekkür Seçkin KARAASLAN a katkılarından dolaı teşekkür ederiz. ISBN İLETİŞİM ÇAP YAYINLARI Akpınar Mahallesi 8. Cadde 857. Sokak / 9 Çankaa / Ankara Tel: ii

3 ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, Matematikteki birçok tanımı ve kuralı eniden keşfetmioruz, sadece öğrenme aşamasında ilk kez biz bu olları, kuralları buluormuşuz gibi hareket edip öğrenmenin kalıcı olmasını sağlamaa çalışıoruz. Bu kanağı sizlere sunmamızdaki asıl hedefimiz, en çok zorlandığınız vea başarmakta problem aşadığınız kendi kendinize öğrenme becerisini geliştirmektir. Matematikte bir problemi kısa zamanda ve doğru olarak çözmek, ilgili konuların kavranmasına bağlıdır. Bir konuu iice öğrendikten sonra ardından gelen konua geçmek sizin için daha kola olacağı gibi çalışmanızı da daha verimli kılacaktır. Bilgilerinizin kalıcı olması için çok tekrar apmalı, bilgileri kullanabilmek için de çok soru çözmelisiniz. Matematikteki birçok kuralın günlük haatta kullanımı oktur ancak bu kuralları öğrenirken ve ugularken gösterdiğiniz çaba, aşamınızda çeşitli problemlere farklı açılardan bakabilme becerisini kazandıracaktır. Sevgili Öğrenciler, Tekrara daalı ve planlı bir çalışmanın, ezber erine konunun özünü kavramanın ve bu olla kazanılan özgüvenin sizleri başarıa ulaştıracağına inanıor ve sizlere başarılar dilioruz. YAZARLAR iii

4 İÇİNDEKİLER İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklemler... 5 Çarpanlara Aırma Yöntemleri İle Denklem Çözümü... 7 Diskiriminant Yöntemi... Test : İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklem Çözümü - I... 8 Test : İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklem Çözümü - II... İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklemin Kökleri İle Katsaıları Arasındaki Bağıntılar... Test : Kök - Katsaı İlişkileri - I... 7 Test : Kök - Katsaı İlişkileri - II... 9 Kökleri Verilen İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklemin Yazılması... Test 5 : Kökleri Verilen Denklemin Yazılması... İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denkleme Dönüştürülebilen Denklemler... 6 Test 6 : İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denkleme Dönüştürülebilen Denklemler - I... Test 7 : İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denkleme Dönüştürülebilen Denklemler - II... 6 İkinci Dereceden İki Bilinmeenli Denklem Sistemi... 8 İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklem Problemleri... 5 Karma Test Eşitsizlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeenli Eşitsizlikler İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Eşitsizlikler Test : Birinci Dereceden Bir Bilinmeenli Eşitsizlikler... 7 Test : Fonksionların İşaretleri... 7 Polinomların Çarpımı ve Bölümü Biçiminde Verilen Eşitsizlikler... 7 Test : Polinomların Çarpımı ve Bölümü Biçiminde Verilen Eşitsizlikler - I Test : Polinomların Çarpımı ve Bölümü Biçiminde Verilen Eşitsizlikler - II... 8 Eşitsizlik Sistemi... 8 Test 5 : Eşitsizlik Sistemi İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklemin Köklerinin Varlığı ve İşareti Test 6: İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklemin Köklerinin Varlığı ve İşareti... 9 Grafik İçeren Eşitsizlikler... 9 Test 7 : Grafik İçeren Eşitsizlikler... 9 Karma Test İkinci Dereceden Fonksionlar (Parabol) Parabol Çizimleri... Test : Parabol Grafikleri... 8 Parabolde a, b, c ve D nın İşaretleri... Test : Parabolde a, b, c ve D nın İşaretleri... En Büük a da En Küçük Değer... Test : Parabolde En Büük - En Küçük Değer ve Simetri Ekseni... Diskriminant İnceleme... 5 Görüntü Kümesi... 6 Test : Parabolde Görüntü Kümesi... 7 Grafiği Verilen Parabolün Denkleminin Yazılması... 8 Parabol İle Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları... Test 5 : Parabol İle Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları... Geometrik Ugulamalar... 5 Test 6 : Geometrik Ugulamalar... 7 Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemlerinin Grafikleri... 8 Test 7 : Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemlerinin Grafikleri... Karma Test Çözümler... iv

5 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIM a, b, c R ve a olmak üzere a + b + c = denklemine ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem denir. Denklemi sağlaan (bilinmeen) saılarına denklemin gerçek kökleri ve a, b, c saılarına denklemin katsaıları denir. İkinci Dereceden Denklemin Kökleri ve Katsaıları Arasındaki İlişkiler Kökleri ve olan a + b + c = denkleminde, ) + = b a ÌÌ İkinci dereceden bir denklemi çözmek için önce denklemin çarpanlarına arılıp arılmadığına bakmak gerekir. ). = a c ) = T a a + b + c = denklemi, (m + n) (p + r) = şeklinde çarpanlarına arılabiliorsa denklemin kökleri ) + + =. b = c a = b c a ÌÌ ÌÌ ÌÌ = Ç = n, m = r ve çözüm kümesi p n r - m, - p % / dir. Denklem çarpanlarına arılmıorsa, diskriminant öntemi kullanılır. a + b + c = denkleminde diskriminant = b ac dir. < ise denklemin gerçek saılar kümesinde kökü oktur ve çözüm kümesi boş kümedir. = ise denklemin tek kökü (çakışık iki kökü) vardır. 5) + = b ( + ) = abc b 6) + = a tür. ac a Kökleri Bilinen İkinci Dereceden Denklemin Yazılması Kökleri ve olan ikinci dereceden denklem + = T ve. = Ç ise T + Ç = dır. Arıca denklem ( )( ) = şeklinde azılıp parantezleri dağıtarak da bulunabilir. NOT: Katsaıları rasonel saı olan a + b + c = denkleminin bir kökü = a + b c ise diğer kökü = a b c dir. (Kökler birbirinin eşleniğidir.) ÌÌ > ise denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır ve bu kökler; b! b ac, = dır. a NOT: = olduğunda denklemin kökü = = b dır. a İkinci Dereceden Denkleme Dönüştürebilen Denklemler Rasonel, üslü, köklü vea mutlak değerli ifade içeren denklemler değişken değiştirerek ikinci dereceden denkleme dönüştürülebilir. Bu denklemler çözüldükten sonra köklerin denklemi sağlaıp sağlamadığı kontrol edilmelidir. 5

6 YAKLAŞIM İkinci dereceden bir bilinmeenli a + b + c = denkleminde a olmalıdır. Derecesi 'den büük bir li terim varsa katsaısı apılmalıdır.. (a ) + (b+) + c + abc + a + b + c = ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem ise bu denklemi bulunuz = BİRLİKTE ÇÖZELİM ) (m + ) + n+ 7 + = ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem ise m. n. (k ) + (k ) m+ + + = ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem ise k. m k 7 5. (k + ) + k + k = ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem ise bu denklemi bulunuz = a ) (a 6) = ikinci dereceden bir bilinmeenli bir denklem ise m 6. (a + 5) + 7b = ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem ise a + b SIRA SİZDE. 7 m + (m ) + m = ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem ise m 6 7. (a + b ) + a b + + = ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem ise a. b. (a 5) + + a 5 = ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem ise a kaç olamaz? 5 8. (a + ) = ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem ise a kaç olamaz? 6

7 Çarpanlara Aırma Yöntemleri İle Denklem Çözümü. İki Kare Farkı vea Ortak Çarpan Parantezine Alma YAKLAŞIM İkinci dereceden bir bilinmeenli denklemi çözerken önce denklemin bir tarafı sıfıra eşitlenip çarpanlarına arılıp arılmadığına bakılır. SIRA SİZDE Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.. = {} BİRLİKTE ÇÖZELİM ) Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulalım. a) =. 6 = {, } b) = c) = d) 7 + =. 5 = { 5, 5}. 9 5 = ) 5 5, 5. + = {, } 6. = 6 {, } 7. 5 = ), NOT: Denklem çözerken sadeleştirme apılmamalıdır. Eğer sadeleştirme apılırsa köklerden biri ok edilmiş olur = ), 7

8 . Üç Terimli İfadei Çarpanlarına Aırma BİRLİKTE ÇÖZELİM Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. SIRA SİZDE ) Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulalım. a) =. 5 6= {, 6} b) 7 + = c) + 5 = d) + = = {, } = {}. m + (m n + m) + m n = {, mn} 5. = + 8 {, } 6. + = ), ) a + (b a ) ab = denkleminin çözüm kümesini bulalım. 7. a + (a b + ab ) + ab = (a ) b *, b a a + (b a ) ab = (a + b)( a) = a b a + b = vea a = a = b vea = a a Ç = ) b, a a 8. mn + (m n ) + n = ) n, m n 8

9 YAKLAŞIM a + b + c = biçiminde verilmeen denklemler a + b + c = biçimine dönüştürüldükten sonra çözüm kümesi bulunabilir.. ( ) = {, 5} BİRLİKTE ÇÖZELİM ( ) ( + ) = denkleminin çözüm kümesini bulalım. 5. = = ( ) ), Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. SIRA SİZDE. ( + )( ) = {, }. ( ) = 7. ( + ) = ( + )( ) ), {, }. 5 + = ( + ) {, 5} 8. ( + 5) = ( ) ), 9

10 YAKLAŞIM İçinde rasonel ifade bulunan denklemlerde pada. + 6 = 7 { 6, } eşitlendikten sonra denklem a + b + c = biçimine dönüştürülüp çözüm kümesi bulunur. BİRLİKTE ÇÖZELİM + = denkleminin çözüm kümesi nedir?. + ( ab + ) + a = b b { a, } b 5. + = 9 {} NOT: Bulduğumuz ve saıları başta verilen denklemin padasını sıfır apmadığı için ikisini de çözüm 6. + = Ø kümesine alıoruz. SIRA SİZDE Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz = + {, 5}. + = {, } = {, } 8. = {, }

11 YAKLAŞIM. Tam Karee Tamamlama Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. SIRA SİZDE İkinci dereceden bir bilinmeenli bir denklemi tam karee tamamlamak için önce nin katsaısı '''' apılır. Sabit terim alnız bırakıldıktan sonra, in katsaısının arısının karesi eşitliğin her iki tarafına eklenir. BİRLİKTE ÇÖZELİM. ( + ) =. ( + ) = { 5, } {, + } ) + + = denkleminin çözüm kümesi nedir? = {, + }. ( ) = Ø = {} ) a a = denkleminin çözüm kümesi nedir? 6. a 5a = { a, 5a} 7. a a = ), a a = ), +

12 a + b + c = Denkleminin Genel Çözümü (Diskriminant Yöntemi) YAKLAŞIM Çarpanlarına arılamaan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem diskiriminant öntemi ile çözülür. a + b + c = denkleminin kökleri, b! b ac = a da a, b! T = dır. a = b ac olmak üzere, < ise denklemin gerçel kökü oktur. = ise denklemin tek (çakışık) kökü vardır. > ise denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. BİRLİKTE ÇÖZELİM ) a + b + c = b! b ac denkleminin köklerinin, = a olduğunu tam karee tamamlama öntemini kullanarak gösterelim. ) 6 = denkleminin çözüm kümesini bulalım. SIRA SİZDE Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.. = { + 7, 7 }. + 8 = Ø = {, + } 5. m 9m = 8 ), 8 m m. = ( + )( ) + = {, } {, + }

13 YAKLAŞIM İkinci dereceden bir bilinmeenli denklemde < ise denklemin gerçek saılarda kökü oktur ve çözüm kümesi boş kümedir. BİRLİKTE ÇÖZELİM. Aşağıda verilen ikinci dereceden denklemlerin kaç tanesinin gerçek kökü oktur? a) + 5 = b) + 5 = c) 5 + =. + m + = denkleminin gerçek kökü oksa m nin alabileceği en büük tam saı değeri SIRA SİZDE. Aşağıda verilen ikinci dereceden denklemlerin kaç tanesinin gerçek kökü oktur? I. + = III = II = IV. + =. a + (a + ) + a = denkleminin gerçek kökü ok ise a'nın alabileceği en büük tam saı değeri. + m = denkleminin gerçek kökü ok ise m nin alabileceği en büük tam saı değeri 5 5. m + m + m = denkleminin çözüm kümesi boş küme ise m'nin alabileceği en küçük tam saı değeri. + m = denkleminin çözüm kümesi boş küme ise m nin alabileceği en küçük tam saı değeri 6. a + 5 = denkleminin gerçek kökü ok ise a'nın değer aralığını bulunuz. e, o

14 YAKLAŞIM İkinci dereceden bir bilinmeenli denklemlerde = ise denklemin çözüm kümesi bir elemanlıdır. Bu durumda, ''tek b kök, eşit iki kök, çakışık iki kök, çift katlı kök vea denklem tam karedir'' ifadeleri kullanılabilir ve = = dır. a BİRLİKTE ÇÖZELİM (m + ) + m + 6 = denkleminin çakışık iki kökü varsa m'nin alabileceği değerleri bulalım. SIRA SİZDE. + + k = denkleminin çakışık iki kökü varsa m 5. + (m + ) + m = denkleminin tek kökü varsa m'nin alabileceği değerleri bulunuz. ve. + k + = denkleminin tek kökü varsa m k = denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı ise k 5. (a ) + = denkleminin çift katlı kökü varsa a'nın alabileceği değerler çarpımı 5 7. m olmak üzere, m + m = denkleminin çakışık iki kökü varsa m. m olmak üzere, m m + = denkleminin eşit iki kökü varsa m 8. (k ) + k + k + = denkleminin kökleri ve dir. = ise k

15 YAKLAŞIM İkinci dereceden bir bilinmeenli denklemlerde > ise denklemin farklı iki gerçek kökü vardır. BİRLİKTE ÇÖZELİM. + 7 m + = denkleminin farklı iki gerçek kökü varsa m'nin alabileceği değerleri bulalım. NOT İkinci dereceden bir bilinmeenli bir denklemde a ve c ters işaretli ise her zaman > olur. Bu durumda denklemin iki farklı kökü vardır m = denkleminin en az bir kökü varsa m'nin alabileceği en küçük tam saı değeri NOT Soruda "denklemin iki gerçek kökü vardır." ifadesi varsa alınmalıdır. SIRA SİZDE. Aşağıda verilen denklemlerden kaç tanesinin farklı iki gerçek kökü vardır? I. 5 = III. + + = II. 5 + = IV. 7 5 =. 5 + m + = denkleminin farklı iki gerçek kökü varsa m'nin en büük tam saı değeri V. + + =. + a = denkleminin farklı iki reel kökü varsa a nın en küçük tam saı değeri 5. 6 m + = denkleminin en az bir reel kökü varsa m'nin alabileceği en küçük tam saı değeri. (k+) = denkleminin iki gerçek kökü varsa k'nin en küçük tam saı değeri 6. m + 8 = denkleminin iki gerçek kökü varsa m'nin alabileceği en küçük tam saı değeri 5

16 YAKLAŞIM c. + = İkinci dereceden bir bilinmeenli denklem çözümlerinde bazı pratik ollar kullanılabilir. ), i) a + b + c = denkleminde a + b + c = ise = ve = a c dır. d. = ii) a + b + c = denkleminde a b + c = ise = ve = a c dır. + ), BİRLİKTE ÇÖZELİM ) + 6 = denkleminin çözüm kümesini bulalım.. + m 7 = denkleminin bir kökü ise m 6 ) =. + m = 7 denkleminin bir kökü ise m denkleminin çözüm kümesini bulalım (m + ) = SIRA SİZDE denkleminin bir kökü 6 ise m. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. + = {, } 5. m (m ) m + m = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. b. + = {, } ( m ) *, m 6

17 YAKLAŞIM İkinci dereceden bir bilinmeenli denklemin köklerinden biri verilirse erine azılarak gerekli işlemler apılır. Kök, denklemi sağlar.. + m + = SIRA SİZDE denkleminin bir kökü ise diğer kökü BİRLİKTE ÇÖZELİM. + (m + ) + m = denkleminin bir kökü 6 ise m. m 5 + m = denkleminin bir kökü ise, diğer kökü. + a b = denkleminin kökleri ve ise a + b toplamı. + a + b = denkleminin çözüm kümesi $ 5,. ise a + b toplamı 5. + k + k = denkleminin bir kökü ise k. + a + b = denkleminin kökleri 6 ve ise a + b toplamı 6. k + k k + = denkleminin bir kökü ise diğer iki kökünün toplamı 7. a + a + a = denkleminin bir kökü ise diğer kökü 8. (m ) m 9m + = denkleminin kökleri 5 ve 7 ise, m 7

18 Test İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklem Çözümü I. 9 = denkleminin çözüm kümesi A) $,. B) $. C) $. D) $,. E) $, = denkleminin çözüm kümesi A) ' B) ' C) ', D) $,. E), 9 9 { }. = denkleminin çözüm kümesi A) {, } B) {, } C) {} D) {} E) { } 6. 6 = denkleminin çözüm kümesi A) ', 6 B) ', 6 C) ', 6 D) ', 6 E) ',. 6 + = denkleminin çözüm kümesi A) ' B) ' C) {} D) ', E) ', 7. ( ) = denkleminin çözüm kümesi A) {, } B) C) {, } D) {, } E) {, }. = + 8 denkleminin çözüm kümesi A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E) {, } = denkleminin çözüm kümesi A) {, 6} B) { 7, + 7 } C) { 6, } D) { 7, + 7 } E) { 6, + 7 } 8

19 = denkleminin çözüm kümesi A) { 7, 7 +} B) { 7, 7 +}. + + k = denklemin çakışık iki kökü varsa k A) B) C) D) E) C) { 7, 7 +} D) { 7 7, 7+ 7 } E) {7 7, 7+ 7 }. m + m =. (a ) + (b + ) + c + 7 = denklemi ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem ise a + b + c toplamı denkleminin çözüm kümesi boş küme ise m aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) C) D) E) A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E). + = denkleminin çözüm kümesi A) {} B) { } C) { } D) {, } E) {, } 5. a + = denkleminin farklı iki gerçek kökü varsa a nın alabileceği en büük tam saı değeri A) B) C) D) E) = denkleminin çözüm kümesi A) B) { } C) {} D) {, } E) { 5, 5} 6. (m + ) + m = denkleminin bir kökü 7 ise diğer kökü A) B) C) D) E) 6 A B D E 5 A 6 C 7 B 8 D 9 E D C A E C 5 B 6 D 9

20 Test İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklem Çözümü II. + 5 = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) { 5} B) { 5 } C) { 5, 5} 5. ( 9) + = denkleminin büük kökü A) B) C) 5 D) 6 E) 7 D) { 5, 5 } E). = + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {} B) {} C) { } D) {, } E) {, } 6. + p 9 = denkleminin p'nin kaç tam saı değeri için reel kökü oktur? A) B) C) D) E) = 6 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) { } B) {, } C) {, } D) {, } E) {, } m 6 = denkleminin bir kökü ise diğer kökü 9 9 A) B) C) D) E). negatif bir gerçek saı olmak üzere = + denkleminin çözüm kümesi A) { } B) { } C) { } D) {, } E) {, } a a 8. + = denklemi ikinci dereceden bir bilinmeenli bir denklem ise a A) 6 B) 5 C) D) E)

21 9. m (m + ) + = denkleminin tek kökü varsa m'nin alabileceği en büük değer A) 8 B) C) + D) 8 + E) 8. (a + b) + 6(a b ) + 9(a b) = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden b a A) ' a B) ' b a + b a + b a + b C) ' b a a D) ' b, a + b a + b a + b b a a + b E) ', a + b a b. m + n = denkleminin kökleri ve ise n A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E). ( + ) ( + ) = denkleminin kaç tane farklı gerçek kökü vardır? A) B) C) D) E) 5. A ABC dik üçgen [AC] [BC] B + C AC = br BC = ( + ) br & Alan( ABC) = br = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden Yukarıdaki verilere göre kaç br dir? A) B) C) D) E) 5 A) { } B) { } C) {, } D) { } E) {, }. (k + ) + k + 5k + 6 = denkleminin bir kökü ise k'nin alabileceği değerler çarpımı A) 8 B) 6 C) D) E) 6. m m (m + ) + = ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem ise aşağıdakilerden hangisi bu denklemin köklerinden biridir? A) B) C) D) E) E B A B 5 E 6 A 7 A 8 B 9 C D D B A C 5 E 6 E

22 İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklemin Kökleri İle Katsaıları Arasındaki Bağıntılar YAKLAŞIM İkinci dereceden bir bilinmeenli denklemlerin kökleri ve katsaıları arasındaki bağıntıları kullanarak kökleri bulmadan vea denklemi çözmeden bu tür soruları çözebiliriz. SIRA SİZDE. 5 = denkleminin kökleri ve olduğuna göre, + + BİRLİKTE ÇÖZELİM ) a + b + c = denkleminin kökleri ve olmak üzere + = b c ve a = olduğunu gösterelim. a. = denkleminin kökleri ve olduğuna göre, $ +. m + = denkleminin kökler toplamı ise m m = denkleminin kökler çarpımı 6 ise m 6 ) 7 = denkleminin kökleri ve ise 5. m 5 = denkleminin kökler toplamı ise kökler çarpımı 6. (m + ) + = denkleminin kökler çarpımı ise kökler toplamı 5 ) + m m = denkleminin kökler çarpımı ise toplamı kökler 7. (m + ) + m 5 = denkleminin kökler toplamının kökler çarpımına oranı ise m 8. (m + ) + + m = denkleminin kökler çarpımı 6 ise m'nin alabileceği değerler çarpımı

23 YAKLAŞIM Kökler toplamı, kökler çarpımı ve özdeşlikler kullanılarak kök ve katsaılar arasında başka bağıntılar elde edilebilir. + b + = = $ c + = ( + b ) = ac a abc b ( ) + = + ( + ) = a ^ + h = + + $. = denkleminin kökleri ve ise = denkleminin kökleri ve ise + BİRLİKTE ÇÖZELİM = denkleminin kökleri ve olduğuna göre +, + ve + ifadelerinin değer- lerini bulalım = denkleminin kökleri ve ise m = denkleminin kökleri ve dir. + = 7 ise m 7 SIRA SİZDE. = denkleminin kökleri ve ise + 7. m = denkleminin kökleri ve dir. + = ise +. 5 = denkleminin kökleri ve ise = denkleminin kökleri ve ise + toplamı 5 (, )

24 YAKLAŞIM İkinci dereceden denklemin kökleri ve katsaıları arasında bilinen bağıntılar dışında başka bir bağıntı verilmişse, bu bağıntı gerekli matematiksel işlemler (pada eşitleme, ortak çarpan parantezine alma v.b.) apılarak bilinen bağıntılar türünden azılmalıdır.. Kökleri ve olan m + 5 = denkleminin kökleri arasında + = 7 bağıntısı varsa m'nin alabileceği pozitif değer BİRLİKTE ÇÖZELİM ) Kökleri ve olan (m + ) = denkleminin kökleri arasında + = 5 bağıntısı varsa m. 5 7 = denkleminin kökleri ve ise + toplamı. + k = denkleminin kökleri ve ise c çarpımı + m $ c + m ) 5 = denkleminin kökleri ve ise, = denkleminin kökleri m ve n dir. toplamı kaç- Buna göre, tır? 9 + n 7n m 7m + 5 SIRA SİZDE. Kökleri ve olan + (m ) = denkleminin kökleri arasında + = bağıntısı varsa m 6. (m + ) + m = denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması ile geometrik ortalamasının çarpımı 5 ise m

25 YAKLAŞIM İkinci dereceden bir bilinmeenli denklemin kökleri ve katsaıları arasında bir bağıntı verildiğinde, verilen denklemde kökler toplamı vea kökler çarpımı azılıp, birinci dereceden iki bilinmeenli denklem sistemi çözülmelidir.. + m = SIRA SİZDE denkleminin kökleri ve dir. = 5 ise m BİRLİKTE ÇÖZELİM ) 5 7m + = denkleminin kökleri ve dir. = 5 ise m. 7 m + = denkleminin kökleri ve dir. + = 9 ise denklemin kökler farkının mutlak değeri. (5m + ) + = denkleminin kökleri ve dir. = ise m 7 5 ) (m ) + = denkleminin kökleri ve dir. = ise m. m + = denkleminin kökleri ve dir. = ise + toplamı kaç olabilir?! m = denkleminin simetrik iki kökü varsa, denklemin köklerinin kareleri toplamı 6 NOT İkinci dereceden bir bilinmeenli denklemin simetrik iki kökü varsa kökler toplamı sıfırdır. ) (m ) + ( m ) + = denkleminin simetrik iki kökü varsa m 6. (k ) + (k k ) + 9 = ikinci dereceden denkleminin simetrik iki kökü varsa, k 7. (m + ) + m = denkleminin kökleri ve dir. = ise m nin alabileceği değerler çarpımı 5 5

26 YAKLAŞIM Birer kökleri ortak olan ikinci dereceden bir bilinmeenli iki denklem verildiğinde ortak olan kök her iki denklemde de erine azılarak denklemler taraf tarafa çıkarılır. SIRA SİZDE. 7 + a = ve + a 7 = denklemlerinin birer kökleri eşit olduğuna göre a 6 BİRLİKTE ÇÖZELİM ) + (m + ) = + m + = denklemlerinin birer kökleri ortak olduğuna göre m. + m + a = denkleminin bir kökü, + (m + ) + b = denkleminin bir kökü 6 dır. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit ise m. + m + n = denkleminin bir kökü, ) m + a = denkleminin bir kökü 7, + m + b = denkleminin bir kökü ve bu iki denklemin diğer kökleri eşit olduğuna göre m p + r = denkleminin bir kökü 6 dır. Bu iki denklemin diğer kökleri eşit ise m + p toplamı. + m + n = denkleminin bir kökü, p + r = denkleminin bir kökü 6 dır. ) 9 m = denkleminin kökleri (m 7) = denkleminin köklerinin üç katı ise m Bu iki denklemin diğer kökleri eşit ise r n oranı m + = denkleminin kökleri, 8 + m = denkleminin köklerinin katı ise m 6

27 Test Kök - Katsaı İlişkileri - I. + = denkleminin kökler çarpımı A) B) C) D) E) 5. m olmak üzere, m ( + m) + m + = denkleminin kökler toplamı kökler çarpımının iki katı ise denklemin tam saı olan kökü A) B) C) D) E). 8 = 6 + ( ) denkleminin köklerinin kareleri toplamı A) 5 B) 58 C) 65 D) 85 E) 9 6. m 6 + m = denkleminin bir kökü diğer kökün iki katı ise m'nin alabileceği değerler çarpımı A) B) C) D) 6 E) = denkleminin kökleri ve ise + A) B) C) D) 5 E) 6 7. ( )( + ) ( )( 8) = denkleminin pozitif köklerinin toplamı A) B) C) D) 5 E) 6. m + n = denkleminin kökler toplamı ve kökler çarpımı ise kökler farkının mutlak değeri 8. (m ) + (m 5) 6 = denkleminin simetrik iki kökü varsa m A) B) 5 C) D) 7 E) A) B) C) 5 D) E) 5 7

28 9. + = denkleminin kökleri ve ise + ifadesinin eşiti A) B) C) D) E). 8 m = denkleminin kökleri ve dir. = ise A) B) 6 C) D) 6 E). + = denkleminin kökleri ve ise + değeri A) B) C) 6 D) 5 E). = denkleminin kökleri ve dir. Buna göre + A) B) C) 5 D) 6 E) = denkleminin kökleri ve ise + toplamı A) B) 8 C) 6 D) E) m + 8 = denkleminin köklerinden biri diğerinden fazla ise m'nin negatif değeri A) B) C) D) 5 E) 6. (m + ) + (m ) = denkleminin kökler toplamı ise m A) 6 B) C) D) 5 E) 6 6. (m ) + m = denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması ise kökler çarpımı A) B) 8 C) D) E) 5 8 A D E D 5 D 6 E 7 D 8 E 9 C C A E E A 5 E 6 D

29 Test Kök - Katsaı İlişkileri - II. + m + n = denkleminin kökler toplamının kökler çarpımına oranı ise m ile n arasındaki bağıntı aşağıdakilerden A) n + m = B) m + n = C) n + m = D) m + n = E) 6n + m = = denkleminin kökleri ve olduğuna göre, + 9 A) 8 5 B) 8 5 C) 8 9 D) 8 79 E) 8. + = denkleminin kökleri m ve p ise m + p ifadesinin pozitif değeri A) B) 7 C) 6 D) 5 E) 6. 8a + b = denkleminin kökleri a ve b olduğuna göre a b değeri A) B) C) D) 8 E). + (m + ) t = denkleminin bir kökü ve + ( m ) + k = denkleminin bir kökü ve bu iki denklemin diğer kökleri eşit ise m A) B) C) D) E) 7. (m 7) + (9 m ) + = denkleminin simetrik kökü varsa m A) B) 7 C) D) 7 E). + = denkleminin kökleri ve ise ( ) ( + ) nin pozitif değeri A) + 6 B) 8 + C) + D) + 6 E) m 7 = denkleminin kökleri ve dir. + = olduğuna göre A) B) 6 C) 9 D) E) 8 9

30 = denkleminin kökleri bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları olduğuna göre bu dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğu kaç br dir?. m + 8 = denkleminin kökleri ve dir. = ise m A) B) C) D) 6 E) 8 A) 6 B) 5 C) 6 D) 7 E). 5 + = denkleminin kökleri ve dir. Buna göre, + değeri A) B) 7 C) 7 D) 5 E). = denkleminin kökleri ve ise + toplamı A) B) C) 8 D) 6 E). = denkleminin kökleri m ve n dir. Buna göre, + ifadesinin eşiti m m n n A) B) C) D) E) 5. + m = denkleminin kökleri ve dir. + = ise m'nin pozitif değeri A) B) C) D) E) 6. = denkleminin kökleri ve dir. Buna göre c + mc + m'in eşiti A) 6 B) 5 C) D) E) 6. m + m + 8m + 6 = denkleminin kökleri ve dir. Buna göre, + ( + ) ifadesinin eşiti A) B) C) D) E) A C D E 5 D 6 A 7 D 8 E 9 C B B C C A 5 B 6 B

31 Kökleri Verilen İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklemin Yazılması YAKLAŞIM Kökleri verilen ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azmak için köklerin toplamı ve çarpımını bulmamız gerekir. SIRA SİZDE. Kökleri ve olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız. = BİRLİKTE ÇÖZELİM ) Kökleri ve olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azalım.. Çözüm kümesi Ç = {, 6} olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız. + =. Çözüm kümesi Ç = {} olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız = ) a + b + c = denklemini nin katsaısı olacak şekilde düzenleelim.. Kökleri ve olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız. 6 = 5. Çözüm kümesi Ç = ', olan ikinci dereceden 5 bir bilinmeenli denklemi azınız. ) Kökleri ve olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azalım. ) Kökleri arasında + + = ve + = bağıntıları olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azalım. 5 + = 6. Kökleri arasında, + + = 7 ve + + = bağıntıları olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız. + = 7. Kökleri arasında, = ve = bağıntıları olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız. + + =

32 YAKLAŞIM Rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemin bir kökü = a + b c ise diğer kökü bu kökün eşleniği olan = a b c dir.. Bir kökü + 5 olan rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız = BİRLİKTE ÇÖZELİM Bir kökü olan rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azalım. 5. Bir kökü olan ikinci dereceden bir bilinmeenli rasonel katsaılı denklemin kökler toplamı SIRA SİZDE. Bir kökü olan rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız = 6. Bir kökü olan rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemin kökler toplamı. Bir kökü olan rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız. + =. Bir kökü 5 olan rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız. 5 = Bir kökü olan rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemin kökler çarpımı 9 9

33 YAKLAŞIM a + b + c = denkleminin kökleri ve olsun. a) Kökleri + m ve + m olan ikinci dereceden denklem erine m azılarak, b) Kökleri m ve m olan ikinci dereceden denklem erine + m azılarak, c) Kökleri m ve m olan ikinci dereceden denklem erine azılarak, m d) Kökleri ve olan ikinci dereceden denklem m m erine m azılarak bulunur. SIRA SİZDE. = denkleminin kökleri ve dir. Kökleri + ve + olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi bulunuz. 5+ =. + 5 = denkleminin kökleri ve dir. Kökleri ve olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız = BİRLİKTE ÇÖZELİM. 6 = denkleminin kökleri ve dir. Kökleri ve olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi bulalım.. Kökleri = denkleminin köklerinin ikişer katı olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız. =. Kökleri + 5 = denkleminin köklerinin üçte biri olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız = = denkleminin kökleri ve dir. Kökleri ve olan ikinci dereceden 5 5 bir bilinmeenli denklemi azınız = ) + 5 = denkleminin kökleri ve dir. Kökleri ve olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azalım. 6. Kökleri = denkleminin köklerinin 'şer katının eksiğinin 'te biri olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız = = denkleminin kökleri ve dir. Kökleri ve olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemi azınız =

34 Test 5 Kökleri Verilen Denklemin Yazılması. Kökleri ve olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) 8 = B) + 8 = C) + 8 = D) + + = E) + = 5. Kökler toplamı 9 ve kökler çarpımı olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem aşağıdakilerden A) = B) + 9 = C) + = 9 D) = 9 E) 9 =. Kökler toplamı ve kökler çarpımı 5 olan ikinci derceden bir bilinmeenli denklem aşağıdakilerdenh A) = B) + 5 = C) 5 = D) 5 + = E) = 6. Köklerinden biri + 5 olan rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem aşağıdakilerden A) + = B) = C) + = D) + + = E) + + =. Çözüm kümesi Ç= {, } olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem aşağıdakilerden A) + 8 = B) 8 = C) = D) + 8 = 7. Köklerinden biri 7 olan rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem aşağıdakilerden A) = B) = C) + 7 = D) 7 = E) + 7 = E) + = 8. Kökler ve olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemin kökleri arasında,. Kökleri 5 ve 7 olan ikinci dereceden bir 5 bilinmeenli denklem aşağıdakilerden A) = B) = C) = D) = E) 9 5 = = ve + + = 8 bağıntıları varsa, bu denklem aşağıdakilerden A) = B) 9 + = C) 9 = D) + 9 = E) + 9 =

35 9. Kökleri + = denkleminin köklerinin arısı olan denklem aşağıdakilerden A) = B) 8 + = C) + 6 = D) 6 = E) + =. = denkleminin kökleri ve dir. Kökleri ve olan ikinci dereceden bir denklemi aşağıdakilerden A) + = B) + 9 = C) 9 + = D) = E) 9 9 =. Kökleri 5 = denkleminin köklerinin üçer fazlası olan denklemin kökler toplamı 5 A) B) 9 C) 7 D) 7 E). + m + n = rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemin bir kökü 5 ise m n farkı A) B) 6 C) D) E). Kökleri 5 8 = denkleminin köklerinin üçer katı olan denklemin kökler çarpımı A) B) C) 6 D) E) 6 5. Köklerinden biri olan rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem aşağıdakilerden A) = B) + = C) + = D) + = E) = = denkleminin kökleri ve dir. Kökleri 5 ve 5 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) = B) = C) = D) = E) = 6. Çözüm kümesi { } olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) = B) 9 = C) = D) = E) = A B A C 5 C 6 B 7 D 8 B 9 A D C C C D 5 A 6 D 5

36 İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denkleme Dönüştürülebilen Denklemler. Üçüncü Dereceden Denklemler YAKLAŞIM Üçüncü dereceden bir denklem ortak çarpan parantezine alma vea gruplandırma öntemi ile çarpanlarına arılıp, ikinci dereceden bir denklem ile birinci dereceden bir denklemin çarpımı haline getirilebilir. BİRLİKTE ÇÖZELİM ) + 6 = denkleminin çözüm kümesi nedir? ) + 5 = denkleminin çözüm kümesi nedir? SIRA SİZDE Aşağıda verilen denklemlerin gerçek saılardaki çözüm kümelerini bulunuz.. 5 = ),, 5. ( ) ( ) + = 5 + ) 5,, = { 5,, 5} 6. + = {, } = { } 7. ( + 5) ( + ) ( ) ( + ) = {, } = {} 8. + = ( + ) ( ) {, } 6

37 YAKLAŞIM Üçüncü dereceden bir denklemin köklerinden biri verildiğinde polinom bölmesi apılarak ikinci dereceden denklem elde edilip çözüm kümesi bulunabilir. SIRA SİZDE. + = denkleminin bir kökü ise diğer köklerini bulunuz. ve BİRLİKTE ÇÖZELİM ) + = denkleminin bir kökü ise çözüm kümesini bulalım = denkleminin bir kökü ise diğer köklerini bulunuz , ) + (m + ) m 8 = denkleminin bir kökü ise diğer iki kökünün toplamı. + m + m = denkleminin bir kökü ise diğer iki kökünün toplamı. 6 m m = denkleminin bir kökü 7 ise diğer iki kökünün çarpımı 7

38 . Değişken Değiştirme Yöntemi YAKLAŞIM Bir denklemde bir terim ve o terimin karesi anı anda bulunuorsa, denklem ikinci dereceden denkleme dönüştürülüp çözüm kümesi bulunur. SIRA SİZDE Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz = {, } ) = BİRLİKTE ÇÖZELİM denkleminin çözüm kümesi nedir?. 6 = {8}. 8 + = {, } ) 9 + = denkleminin çözüm kümesi nedir? = {, } = &, 7 ) ( ) 8( ) = denkleminin çözüm kümesi nedir? 6. ( ) + = ( ) {,,, } c m + = {, 7} 8

39 YAKLAŞIM SIRA SİZDE Bir denklemde bir terim ve o terimin çarpmaa göre tersi anı anda bulunuorsa, denklem ikinci dereceden denkleme dönüştürülüp çözüm kümesi bulunur = denkleminin çözüm kümesi nedir? {, } NOT in çarpmaa göre tersi tir. BİRLİKTE ÇÖZELİM. = denkleminin çözüm kümesi nedir? $,. ) = denkleminin çözüm kümesi nedir?. = + denkleminin çözüm kümesi nedir? $, = 5 8 denkleminin pozitif kökü ) + = + denkleminin çözüm kümesi nedir? 5. + = denkleminin çözüm kümesi nedir? {, } = denkleminin çözüm kümesi nedir? { 5 } 8 9

40 . Köklü Denklemler YAKLAŞIM İçinde n. dereceden köklü ifade bulunan denklem sorularında köklü ifade eşitliğin bir tarafına alınarak her iki tarafın n. kuvveti alınır. Köklü denklemlerde çözüm kümesi azılmadan önce bulunan köklerin denklemi sağlaıp sağlamadığı kontrol edilmelidir. SIRA SİZDE Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.. = + {} BİRLİKTE ÇÖZELİM. + = ) + = denkleminin çözüm kümesi nedir?. = {, }. + 5 = & ) = denkleminin çözüm kümesi nedir? = {, 6} 6. = 7 + {} NOT 7. = + + Verilen denklemde kökün derecesi tek ise bulunan köklerin denklemi sağlaıp sağlamadığını kontrol etmee gerek oktur = {}

41 YAKLAŞIM Bazı köklü denklem sorularında bir kere n. dereceden her iki tarafın kuvvetini almak kökten kurtulmak için eterli olmaabilir. Bu tür durumlarda denklemi tekrar düzenleip, tekrar her iki tarafın n. dereceden kuvvetini almak gerekir. SIRA SİZDE Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz = 5 {}. + + = BİRLİKTE ÇÖZELİM {} ) = denkleminin çözüm kümesi nedir?. + + =. + 5 = {5} = ) + = denkleminin çözüm kümesi nedir? = {, } 7. + = {, } = + & 7,

42 . Mutlak Değerli Denklemler YAKLAŞIM Mutlak değerli denklemlerde mutlak değerli fonksionların tanımından ola çıkılarak çözüm apılır. Bulunan köklerin denklemi sağlaıp sağlamadığı kontrol edilir. Hatırlatma f( ) = f( ), f( ) $ ) f( ), f( ) < SIRA SİZDE Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.. = {, } ) + = BİRLİKTE ÇÖZELİM denkleminin çözüm kümesi nedir?. + = {}. = 6 {6} ) = 5 denkleminin çözüm kümesi nedir?. + = {, } = + ) 5,, ) + = + + denkleminin çözüm kümesi nedir? = {,,, } + = = + + vea + = = + = = ( + ) = =, =, ve denklemi sağladığından Ç = {,, } olur = {, 6}

43 YAKLAŞIM Bazı mutlak değer vea köklü denklem sorularında önce değişken değiştirip sonra çözüm kümesini bulmak gerekebilir. BİRLİKTE ÇÖZELİM SIRA SİZDE Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz = {} ) = denkleminin çözüm kümesi nedir?. = {8} 5 5. = { 5, 5 } 5 ) 9 + = 5 9 denkleminin çözüm kümesi nedir?. = + {, } 5. + = + ) 65 65, ) = denkleminin çözüm kümesi nedir? 6. + = {, 5} 7. 6 = {, 5} = {,, }

44 Test 6. = İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denkleme Dönüştürülebilen Denklemler I = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E) {,,, } denkleminin bir kökü ise diğer iki kökü için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Denklemin başka gerçek kökü oktur. B) Denklemin diğer köklerinin toplamı tür. C) Denklemin diğer kökleri çakışıktır. D) Denklemin diğer kökleri birbirinin toplama işlemine göre tersidir.. = E) Denklemin diğer kökleri birbirinin çarpma işlemine göre tersidir. denkleminin kaç tane gerçek kökü vardır? A) B) C) D) E) 7. + m 5 = denkleminin bir kökü ise diğer iki kökünün çarpımı. + 9 = A) 5 B) 7 C) D) 7 E) 5 denkleminin kökler toplamı A) B) C) D) E) 8. = denkleminin kaç tane gerçek kökü vardır? A) B) C) D) E). + 6 = denkleminin farklı köklerinin çarpımı A) 6 B) C) 6 D) 6 E) = 6 denkleminin kökler toplamı A) B) 6 C) D) 8 E) 5. ( )( 6) = denklemini sağlaan değerleri toplamı A) B) C) D) E). ( + )( + ) = 6 denkleminin çözüm kümesinin eleman saısı A) B) C) D) E) 5

45 . + = + denkleminin kökler toplamı A) B) C) D) E) 6. = denkleminin kökü A) 5 B) 56 C) 8 D) 6 E). 5 = denkleminin kökler çarpımı A) B) C) D) E) 7. 5 = denkleminin kökler toplamı A) B) C) D) E) 5. ` + j + = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) $,. B) $,. C) $, D) $,. E) $, = 5 denklemini sağlaan kaç tane değeri vardır? A) B) C) D) E). = + denkleminin kökler toplamı A) B) + C) D) + E) 9. 5 = denkleminin kökler çarpımı A) 9 B) 5 C) D) E) = + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E). + + = denklemini sağlaan kaç tane değeri vardır? A) B) C) D) E) B D D C 5 E 6 C 7 E 8 D 9 A A A E A C 5 E 6 B 7 D 8 B 9 A D 5

46 Test = İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denkleme Dönüştürülebilen Denklemler II 6. 6( + ) = ( + ) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {, } B) {, } C) {, } denkleminin kaç gerçek kökü vardır? A) B) C) D) E) D) {,, } E) {,, } = = denkleminin bir kökü ise diğer iki kökünün çarpımı denkleminin tam saı olmaan kökleri çarpımı A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 8. = m = denkleminin bir kökü ise diğer iki kökünün çarpımı denklemini sağlaan değerleri aşağıdakilerden A) {, } B) {, } C) {, } D) {} E) {} A) B) C) D) E). m + = 6 + denkleminin bir kökü ise tüm köklerinin toplamı A) 6 B) 5 C) D) 5 E) = denklemini sağlaan değeri A) B) C) D) E). 6 = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden 5. 6 = denklemini sağlaan kaç farklı değeri vardır? A) B) C) D) E) A) {, 6} B) { 6, + 6 } C) {, + 6 } D) {6, 6 } E) {, 6, 6, + 6 } 6

47 . = 7 denklemini sağlaan değerleri toplamı A) B) C) D) E) = denkleminin kökler toplamı A) B) C) D) E). + 5 = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {} B) {9} C) {, 9} 7. 9 = denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) B) C) D) E) D) {, 6} E) = 7. ` j = + denkleminin kaç tane tam saı kökü vardır? A) B) C) D) E) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {, } B) { 6, } C) { 6, } D) {} E) { }. = denklemini sağlaan kaç gerçek saısı vardır? A) B) C) D) E) 9. + = + denkleminin kökler çarpımı A) B) C) D) 6 6 E) 5. ( + )( + ) = denklemini sağlaan kaç gerçek saısı vardır? + +. c m 5 = denkleminin kökler toplamı A) B) C) D) E) A) B) C) D) 5 E) 6 E B A E 5 D 6 D 7 A 8 D 9 C D B E B D 5 C 6 B 7 B 8 D 9 D E 7

48 İkinci Dereceden İki Bilinmeenli Denklem Sistemi TANIM a + b + c + d + e + f = (a, b, c gerçek saılarından en az biri sıfırdan farklı olmak üzere) şeklindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeenli denklemler denir. İkinci dereceden iki bilinmeenli en az iki denklemin medana getirdiği sisteme ikinci dereceden iki bilinmeenli denklem sistemi denir. Bu denklem sistemlerinin çözüm kümesi (, ) sıralı ikililerinden oluşur. YAKLAŞIM Denklem sisteminde bilinmeenlerden biri anlız bırakılıp diğer denklemde erine azılarak çözüm kümesi bulunabilir. BİRLİKTE ÇÖZELİM + = = 7 denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım. SIRA SİZDE Aşağıda verilen denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.. = =. ( ) + ( ) = = {(, 8), (, ) }. = + = {(, ), (, )} 5. = + 8 = {(, ), (, )}. + + = 7 + = = = {(, ), (, )} {(, ), (, ), ( 5, ), ( 5, )} 8

49 YAKLAŞIM Bazı denklem sistemlerinde denklemler taraf tarafa toplanarak vea çıkarılarak çözüm kümesi bulunabilir. SIRA SİZDE Aşağıda verilen denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.. + = 5 + = 69 {(, ), (, ), (, ), (, )} BİRLİKTE ÇÖZELİM ) + = 5 = denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.. + = 5 6 =. 8 = + 6 = {(, ), (, ), (, )} ) + = + + = denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım = + 5 = Birinci denklemde + = değeri ikinci denklemde erine azıldığında {(, + ), (, )} + = & + = 6 & + = 6 olur. Buna göre = 6 birinci denklemde erine azıldığında ise = 85 (6 ) + = & = {(6, 7)} + 6 = & = & ( ) ( ) = & = vea = dir. = 6 olduğundan, = & = 6 = ve = & = 6 = tür = = Ç = {(, ), (, )} olur. {(, ), (, ), (, ), (, )} 9

50 İkinci Dereceden Bir Bilinmeenli Denklem Problemleri YAKLAŞIM Bazı problemlerde veriler düzenlendiğinde ikinci dereceden denklem elde edilir. Denklemin çözüm kümesi problemin cevabıdır. SIRA SİZDE. Farkları ve kareleri toplamı 7 olan tam saıları bulunuz. 7, 5 vea 5,7 BİRLİKTE ÇÖZELİM ) Ardışık iki tek saının çarpımı 55 ise küçük saı en az. Kendisi ile çarpmaa göre tersinin toplamı olan tam saı Kendisi ile karesinin toplamı olan doğal saı ) Kare şeklindeki bir kartonun köşelerinden kenar uzunlukları cm olan kareler kesilerek üstü açık bir prizma elde edilior. Elde edilen prizmanın hacmi 5 cm ise ilk kullanılan kartonun bir kenar uzunluğu kaç cm'dir?. Ardışık iki çift tam saının çarpımı 6 ise küçük saının alabileceği değerler toplamı 5. Yüksekliği tabanının bir kenarından cm uzun olan kare prizmanın tüm alanı cm ise hacmi kaç cm tür? 5 6. Uzun kenarı kısa kenarından cm uzun olan dikdörtgenin alanı 6 cm ise kısa kenarı kaç cm dir? 7. n kenarlı bir dış büke çokgenin köşegen saısı 9 ise n (Hatırlatma: n kenarlı dışbüke çokgenin köşegen n( n ) saısı dir.) 5 5

51 ETKİNLİK ) Altın Oran D F C Yandaki ABCD dikdörtgeninde AB ve DC kenarları AD 'e eşit olacak şekilde EF çizilior. AB EF = ise ABCD dikdörtgeni altın dikdörtgendir. Altın dikdörtgenden ararlanarak altın oranı AD EB bulalım. A E B D F C AB AD EF = & ABCD ve BCFE dikdörtgenleri benzerdir. EB AB = ve AD = br olmak üzere EB = ( ) br olur. A E B AB AD EF = & = EB & ( ) = & =, = ( )! ( ) $ $ ( ), =! 5 AB + 5 > olacağından oranı ani altın oran AD bulunur. ) h metre cinsinden ükseklik ve t sanie cinsinden zaman olmak üzere erden dik olarak fırlatılan bir roketin zamana bağlı ükseklik fonksionu h(t) = 8t 5t dir. (t H ) Buna göre roket fırlatıldıktan kaç sanie sonra tekrar ere döner? Roket tekrar ere döndüğünde üksekliği sıfır olacağından, zamana bağlı ükseklik fonksionu sıfıra eşitlenmelidir. h(t) = 8t 5t = = 5t(6 t) = t = vea t = 6 Buna göre roket 6 sanie sonra tekrar ere döner. 5

52 Test = denkleminin tam saı kökü A) B) C) D) E) Karma Test I = denklemi için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. > dır. II. Denklemin bir kökü 'dir. III. Denklemin bir kökü 7 dir. IV. Denklemin birbirinden farklı iki kökü vardır.. a = + denkleminin kökler çarpımı ise a A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 6. m = ikinci dereceden bir bilinmeenli denkleminin farklı iki gerçek kökü varsa m nin alabileceği en büük tam saı değeri. + m + = A) B) C) D) E) denkleminin tek kökünün olması için m'nin alabileceği kaç tam saı değeri vardır? A) B) C) D) E) 7. m = denkleminin bir kökü ise diğer kökü A) B) C) D) E). Aşağıda verilen denklemlerden kaç tanesinin gerçek kökü vardır? I. + 9 = II. + 9 = 8 III = IV = A) B) C) D) E) 8. + m 8 = denkleminin bir kökü 8 ise, diğer kökü A) B) C) 8 D) 6 E) 5

53 9. (m + ) + (m + ) + = denkleminin çakışık iki kökü varsa m nin pozitif değeri A) B) C) D) 5 E) 6. (m 6) (m m ) + 7 = denkleminin simetrik iki kökü varsa m A) 6 B) 5 C) D) 5 E) 6. a + (b ab) b = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) $ a b,. B) $ a b,. C) ' b, b b b a D) ' b b, E) ' b a, a a b. = + = denklem sisteminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) B) C) D) E) 8. = denkleminin kökleri a ve b ise a + b + a b + ab toplamı A) 7 B) 8 C) 8 D) 7 E) = denkleminin kaç tane gerçek kökü vardır? A) B) C) D) E). m + n = n denkleminde = 5 çift katlı kök ise oranı m 5 A) B) C) D) E) = + 7 denklemini sağlaan değerleri toplamı A) B) C) 5 D) 7 E) E D A C 5 E 6 B 7 D 8 D 9 D C C D B B 5 B 6 C 5

54 Test 9. + = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) { } B) {} C) {, } Karma Test II 5. m = denkleminin tek kökü varsa m A) B) 6 C) 9 D) 5 E) 8 D) {, } E) {, } 6. Aşağıda verilen denklemlerden kaç tanesinin çakışık iki kökü vardır? I =. + m + 9 = denkleminin çakışık iki kökü varsa m nin alabileceği değerler çarpımı A) 9 B) C) D) E) 9 II = III. = IV. 9 = A) B) C) D) E). + 5 = denkleminin kökleri ve dir. < olmak üzere + toplamı A) B) C) D) E) 6 7. Kökleri + 5 = denkleminin köklerinin üçer fazlasının arısı olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) 9 + = B) = C) 9 + = D) + 9 = E) =. (m + ) + 8 = denkleminin bir kökü ise diğer kökü A) 9 B) 8 C) 7 D) 8 E) = denkleminin çözüm kümesinin eleman saısı A) B) C) D) E) 5

55 9. 5 = denkleminin köklerinden biri a ise a a + 5 değeri in. = + = denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakiler- A) B) C) D) 5 E) den A) {(, )} B) {(, )} C) {(, )} D) {(, ), (, )} E) {(, ), (, )}. + + m = denkleminin diskiriminantı ise m A) B) C) D) 8 E). 6a a + 8 = denkleminin simetrik iki kökü vardır. Buna göre, denklemin kökler çarpımı A) 6 B) C) D) 8 E). (m + ) m = denkleminin bir kökü 7 ise m A) 7 B) 6 C) 5 D) E) m = denkleminin kökleri oranı 7 ise m A) B) C) 8 D) 6 E) 6. = denkleminin kökleri ve dir.. ( ) = denkleminin kökler farkının mutlak değeri A) B) 5 C) D) 5 E) 5 Buna göre, kökleri ve + olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) + = B) + = C) + + = D) = E) = B E C B 5 C 6 B 7 A 8 B 9 A B C D E A 5 D 6 E 55

56 Test = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) { 7, } B) {7, } Karma Test III 5. + = + denkleminin kökler toplamı A) B) C) D) E) C) { +, } D) {, + } E) {, + } 6. p + 6 =. = m denkleminin diskiriminantı ise m A) B) C) D) E) denkleminin gerçek kökü oksa p için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p > 8 B) p < 8 C) p > 8 D) p < 8 E) p = 8. Aşağıda verilen denklemlerden kaç tanesinin çözüm kümesi iki elemanlıdır? I. + = II = 7. D C ABCD dikdörtgen III. + = AB = ( + ) br IV = + 8 AD = ( + 8) br A) B) C) D) E) A + B Alan(ABCD) = 88 br. 5 7 = Yukarıdaki verilere göre kaç br'dir? ` A) B), j 7 C) D) E) denkleminin kökleri ve dir. Kökleri ve olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem aşağıdakilerden A) 6 = B) = C) 6 + = D) 6 = E) 6 + = 8. = 8 + denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) B) C) D) E) 56

57 9. m 9 = denkleminin kökleri ve dir. Buna göre, kökleri ve olan ikinci derece- den bir bilinmeenli denklemin kökler çarpımı. 5 = = denklem sistemini sağlaan değerlerinin toplamı A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) m + = denkleminin kökleri ve dir = denkleminin pozitif kökü + = 6 olduğuna göre, m A) B) C) D) E) 5 A) B) C) D) E) 5. = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {, 6} B) {, } C) {, 6} D) {} E) {6} 5. + a + b = denkleminin kökleri a ve b ise diskiriminantı A) B) C) D) 8 E). = denkleminin kökleri ve ise nin alabileceği değerler çarpımı A) B) C) D) E) = denkleminin çözüm kümesinin eleman saısı A) B) C) D) E) D E B A 5 B 6 D 7 C 8 B 9 A C E E A C 5 A 6 B 57

58 Test Karma Test IV. 5 (7m ) = denkleminin kökleri ve dir. = ise m a = denkleminin gerçek kökü oksa a nın alabileceği en küçük tam saı değeri A) 5 7 B) 7 C) D) 7 E) 5 7 A) B) C) D) E) 5. m + = denkleminin bir kökü 5 ise diğer iki kökünün kareleri toplamı 6. = denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) B) C) D) E) A) 5 B) C) D) 7 E). m olmak üzere (m ) + m = denkleminin bir kökü m ise diğer kökü A) 6 B) 5 C) D) E) 7. Köklerinin aritmetik ortalaması 5 ve geometrik ortalaması olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem aşağıdakilerden A) = B) 6 = C) + 6 = D) + = E) + + = 8. 7 =. ( a) = a denkleminin tek kökü varsa a A) B) C) D) E) 5 denkleminin kökleri ve ise + toplamı A) B) C) D) E) 58

59 9. 5 = denkleminin kökleri ve dir. Buna göre, kökleri ve olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemin kökler toplamı A) 5 B) C) D) E) 5. = + = denklem sistemini sağlaan değerleri toplamı A) 5 B) + 5 D) E) C) = 9 = denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {(, ), (9, 6)} B) {(, ), (9, 6)} C) {(, ), ( 9, 6)} D) {(, ), ( 9, 6)}. 8m + n = denkleminin bir kökü, + m + p = denkleminin bir kökü, ve bu iki denklemin diğer kökleri eşit ise m 5 7 A) B) C) D) E) E) {(, ), ( 9, 6)} 5. Kökleri arasında, + + = 6 ve. + (k + k ) = denkleminin kökleri ve dir. Buna göre, c + m $ c + m çarpımı A) B) C) D) E) = 7 bağıntıları olan ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem aşağıdakilerden A) = B) 5 8 = C) = D) 8 = E) =. (m + ) + = denkleminin kökleri ve dir. = 9 ise m 6. b b Q olmak üzere, bir kökü a b olan raso- c nel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemin kökler toplamı A) 9 5 B) C) 9 7 D) 9 8 E) A) a b c B) a b c C) a b c D) a b c E) D C D A 5 E 6 A 7 D 8 C 9 B E A C D B 5 D 6 E 59

60 Test. Aşağıda verilen denklemlerden kaç tanesinin çözüm kümesi boş kümedir? I. 5 = II. 6 + = III. + 7 = Karma Test V 5. a + = denklemi için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. a = ise denklemin tek gerçek kökü vardır. II. a = ise denklemin çakışık iki kökü vardır. IV. + + = III. a < ise denklemin gerçek kökü oktur. A) B) C) D) E) IV. a > ise denklemin iki farklı gerçek kökü vardır. A) B) C) D) E). 5 = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) ',, B) ',, C) ',, 6. + = denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) B) C) D) E) D) $,,. E) ',, = denkleminin kaç tane gerçek kökü vardır? + +. c m + = A) B) C) D) E) denkleminin kökler toplamı 7 A) 8 B) 79 C) 5 8 D) 5 8 E) 5 8. Şekilde iç içe iki kareden oluşan bir resim çerçevesinin boutları verilmiştir.. Yüksekliği tabanının bir kenarının iki katı olan kare prizmanın hacmi 8 cm ise taban alanı kaç cm dir? Çerçevenin alanı cm ise A) B) 6 C) 8 D) E) 6 A) B) C) D) 6 E) 8 6

61 = denkleminin kökleri ve ise kökleri ve olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden A) 5 + = B) 9 + = C) = D) = E) + 8 =. + 9 = = denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) $ `, j, (, 5). B) $ ` 7 7, j. 5 5 C) $ (, 7), ` 7 7, j. D) "(, 7), 5 5 E) $ `, j.. k + 8 = denkleminin bir kökü diğer kökünden fazla ise k nin pozitif değeri A) 7 B) 9 C) D) E) 5. = ( + ) + + = denklem sisteminin sağlaan (, ) ikililerinden biri aşağıdakilerden A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) c 8, m E) c, 8 m Kendisi ile çarpmaa göre tersinin iki katının toplamı olan doğal saıların toplamı A) B) C) D) 6 E) = denkleminin kökleri ve ise farkının pozitif değeri A) B) C) 5 D) 6 E) 7. Köklerinden biri olan rasonel katsaılı ikinci dereceden bir bilinmeenli denklem aşağıdakilerden A) 8 = B) 8 6 = C) = D) 8 + = E) = 6. a b olmak üzere a b ( a b) b + a = m n denkleminin kökler toplamı aşağıdakilerden A) n m B) m n C) n m D) m n E) B A B B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 A C B E C E 5 D 6 B 6