Mehmet ŞAHİN.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org"

Transkript

1 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre hazırlanmıştır. REDAKSİYON Nurdan YALÇINKAYA İpek ETCİOĞLU PAL ME YA YIN CI LIK Ankara, 0 I

2 PALME YAYINLARI : Sınıf Matematik / Mehmet ŞAHİN Yayına Hazırlama Yayın Editörü Palme Yayıncılık 0 : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi : Cemil AYAN Yayınevi Sertifika No : 44 ISBN : Baskı : Tuna Matbaacılık San. ve Tic. AŞ Baskı Tarihi : Ağustos 0 Sertifika No : 60 Bu kitap 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı dahi olsa kullanılamaz, teksir, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır, PALME YAYINCILIK a aittir. Kitapta kullanılan sistemin tamamı ya da bir kısmı yayınevinin yazılı izni olmaksızın kullanılamaz. GENEL DAĞITIM YAZIT Yayın-Dağıtım Sağlık Sokak 7/0 Sıhhiye-ANKARA Tel Faks II

3 Denebilir ki, hic bir s eye muhtac deg iliz. Yalniz bir tek s eye ihtiyacimiz var: C alis kan olmak! Tu rkiye nin c ocuklari, Bati nin teknolojisinin harac gu zari olarak deg il, kendi icat ettikleri tekniklerle deg erlerimizi yeryu zu ne c ikarmali du nyaya duyurmalidir Ku c u k hanimlar, ku c u k beyler! Sizler hepiniz geleceg in bir gu lu, yildizi, ikbal nurusunuz. Yurdu asil nura gark edecek sizsiniz. Kendinizin ne kadar mu him ve kiymetli oldug unuzu du s u nerek ona go re c alis iniz. Sizlerden c ok s ey bekliyoruz. Mustafa Kemal Atatu rk III

4 EDİTÖR Editör'den, Son yıllarda ilk ve ortaöğretimde uygulanmaya başlanan öğretim programlarının ana felsefesi, yaşam temelli yaklaşımı esas almasıdır. Bu yaklaşımla, soyut gibi algılanan birçok fen kavramı gerçek yaşamla ilişkilendirilmiş, somut hale getirilmiştir. Bu yaklaşım okullarımızdaki öğretim sürecine tam olarak yerleştirildiği ve uygulandığı zaman öğrencilerimizin derslere olan ilgi ve motivasyonları ciddi bir biçimde artacaktır. Tüm bu gelişmelerin sonucu olarak bilişim toplumunun gerektirdiği becerilere sahip, objektif ve analitik düşünebilen, yaratıcı bir kafa gücüne sahip kuşaklar yetişecektir. Böyle yetişen genç insanlar, ezberden uzak kalacak, sağlıklı iletişim kurabilme yetileri gelişecek; kendini iyi tanıyan, çevresiyle barışık bireyler olacaktır. Palme yayıncılığın hazırladığı bu kitap serisinin içeriği yukarıda belirtilen bakış açısı çerçevesinde oluşturulmuştur. Ayrıca bu kitaplar değişen yeni sınav sistemine (YGS LYS) uygun bir niteliğe sahiptir. Üniversite sınavlarında sorulacak soruların kapsamı ve ağırlık düzeyine uygun bir konu akışı sağlanmıştır. Bu kitapların hazırlanmasında büyük bir özveriyle bana destek veren Palme Yayıncılık'ın genel müdürü sayın İlhan Budak'a teşekkür ederim. Palme Yayıncılık'tan çıkan bu kitap serisinin tüm öğrencilere yararlı olması ve onların gelişimine bir katkı sağlaması dileğiyle... Cemil AYAN Ağustos 0 Ankara IV

5 ÖNSÖZ Değerli Öğretmenler, Sevgili Öğrenciler, Bu kitap Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nca kabul edilen Orta Öğretim 0.Sınıf Matematik Dersi öğretim programına göre hazırlanmıştır. 00 yılında ilk kez uygulanan LYS deki 50 Matematik sorusunun yaklaşık 8 i 0. sınıf Matematik dersi konularından sorulmuştur. Bu, Matematik sorularının %76 sının 0. sınıf konularından sorulduğu anlamına gelir. Bu kitap. Orta Öğretim başarınızı yükseltmek,. Üniversiteye girişte yüksek başarı elde etmenizi sağlamak amacıyla hazırlanmıştır.. Kitapta her ünite içindeki kavramlar ağırlıklarına göre ayrılmış ve her kavram kavramsal adım, uygulama adımı, pekiştirme adımı ve sınama adımı başlıkları altında incelenmiştir. Her kavramın detaylı bir şekilde ele alındığı bu sisteme Kademeli Modüler Hücre Sistemi diyoruz. Bu sistemin doğası gereği kitapta her kavramla ilgili öğrencinin karşılaşabileceği her tür örnek yer almaktadır. Örnekler, öğrenme-öğretme sürecine uygun olarak en basit olandan daha çok bilgi içeren türlere doğru ele alınmıştır. Konular işlenirken her ünite içerisinde çok sayıda gerçek yaşamla ilişkilendirilmiş örneklere yer verilmiştir. Ülkemizde ilk kez uygulanan bu sistemle yazılmış olan bu kitabın öğrencilere yararlı olacağına inanıyorum. Sağlık ve başarı dileklerimle Mehmet ŞAHİN

6 P( x) = n / i= a i xi İÇİNDEKİLER ÜNİTE 8-79 (x + y) (x y) x + y ÜNİTE ÇARPANLARA AYIRMA 80-6 ax + bx + c = 0 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

7 ÜNİTE PARABOL ÜNİTE TRİGONOMETRİ 7

8 Sayfa No Polinomlar... 9 Sabit Polinom... 9 Sıfır Polinomu... 0 İki Polinomun Eşitliği... 0 Çok Değişkenli Polinomlar... 5 Polinomlarda İşlemler... A) Toplama İşlemi... B) Çıkarma İşlemi... 6 C) Çarpma İşlemi... 6 D) Polinomlarda Bölme... 4 Bir Polinomun x ± a ile Bölümünden Elde Edilen Kalan... 4 Bir Polinomun ax + b ile Bölümünden Kalan Bir Polinomun (x a) (x b) ile Bölümünden Kalan Bir Polinomun x ± a, x ± a, x 4 ± a ile Bölümünden Kalan... 5

9 . BÖLÜM ÜNİTE - KAVRAMSAL ADIM Polinomlar cebirin önemli konularından biridir. Bir polinomun köklerini bulma işlemi matematik biliminin en eski problemlerinden biridir. M. Ö. 000 yıllarında Babilliler kök kavramını kullanarak ikinci dereceden polinom denklemlerini çözdüler.. yüzyıla kadar polinomların köklerini bulma ile ilgilenen bir çok bilim insanı çok çeşitli sonuçlar elde etmiştir.. yüzyılda İtalyan matematikçi Fibonacci x + x + cx = d biçimindeki bir denklemin köklerini yaklaşık olarak bulmuştur. Ayrıca İtalyan matematikçiler Tartaglia ve Cardano. dereceden denklemlerin köklerini sabitler türünden ifade etmişlerdir. 88'de Norveçli matematikçi Abel 4. ve daha yukarı dereceden polinomların köklerinin katsayılar ve köklü ifadeler cinsinden yazılmayacağını ispatladı. Benzer bir çalışma Fransız matematikçi Galois tarafından yapıldı. Polinom denklemler bilimin çeşitli dallarında, verilerin modellenmesinde, mimari ve mühendislikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Temel Kavramlar TANIM a 0, a, a,..., a n R ve n N ve x değişken olmak üzere, P(x) = a n x n + a n- x n a x + a 0 biçimindeki ifadelere gerçek katsayılı bir değişkenli polinom denir. Polinomlar P(x), Q(x), R(x)... biçiminde gösterilir. TANIM P(x) = a n x n + a n- x n a k x k a x + a 0 polinomunda a 0, a x, a x,..., a k x k,..., a n x n ifadelerine, polinomun terimleri, a 0 0 terimine sabit terim, a 0, a, a,..., a k,..., a n sayılarına polinomun katsayıları, a k x k terimindeki k doğal sayısına terimin derecesi, en büyük dereceli terimin katsayısına baş katsayı ve derecesine de polinomun derecesi denir. P(x) polinomunun derecesi der[p(x)] biçiminde gösterilir. Gerçek katsayılı polinomların kümesi R[x], rasyonel katsayılı polinomların kümesi Q[x], tam sayı katsayılı polinomların kümesi de Z[x] ile gösterilir. Z Q R olduğundan Z[x] Q[x] R[x] dir. R[X] i elemanları ile yazalım. R[X]= {P(x): P(x) = a n x n + a n- x n a k x k a x + a 0, a 0, a, a,..., a n R, n N} biçimindedir. Sabit Polinom TANIM P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 polinomunda a n = a n =... = a = a = 0 ve a 0 0 ise P(x) = a 0 polinomuna sabit polinom denir. P(x) =, P(x) =, P(x) = p, P(x) = P(x) = + birer sabit polinomdur. P(x) = a n x n + a n - x n a x+a 0 polinomunda. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR Tanıma göre, P(x) in polinom olabilmesi için, a 0, a, a,..., a n sayılarının verilen kümeden ve n nin doğal sayılar kümesinden olması gerekir. sabit terim P(0) = a 0 dır. 9

10 ÜNİTE - KAVRAMSAL ADIM Sıfır Poliṅomu TANIM P(x) = a n x n + a n x n a x+a 0 polinomunda, a n = a n =... = a = a = a 0 = 0 ise P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.. f : R + R f(x) = x + x - fonksiyonu bir polinom değildir. Çünkü x = x olup doğal sayı değildir.. h : R \ { } R h(x) = - x fonksiyonu bir polinom değildir. ( x) +. P(x) = 0 sıfır polinomudur.. Q(x) = (m )x + (n m)x + p n ifadesinin sıfır polinomu olması için m, n, p nin değerlerini bulalım. Q(x) ifadesinin sıfır polinomu olması için m, n ve p nin alacağı değerler şöyle olacaktır: m = 0 n m = 0 p n = 0 m = n = m p = n n = p = bulunur. İki Polinomun Eşitliği TANIM P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 ve Q(x) = b k x k + b k x k b x + b 0 olsun. P(x) = Q(x) olması için gerek ve yeter koşul, n = k ve 0 i n için a i = b i olmasıdır. Bunu kısaca, P(x) = Q(x) n = k ve a i = b i ; i = 0,,,..., n biçiminde ifade edebiliriz.. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR TANIM Her fonksiyon bir polinom olmayabilir. Ancak her polinom bir fonksiyondur. x R ise P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 polinomu R den R ye fonksiyondur. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.. x R olmak üzere, P(x) = x 5x + 6 bir fonksiyondur. Burada, x R için P(x) R dir. Örneğin, x = için P( ) = ( ) 5( ) + 6 = x = için P() = = 0 x = için P( ) = ( ) 5. ( ) + 6 = 0 elde edilir.. P(x) = (m ) x 4x + (n + ) x + p Q(x) = x 4x + 5x polinomlarının eşit olması için m + n + p nin alacağı değeri bulalım. P(x) = Q(x) m = n + = 5 p = m = n = p = 0 m + n + p = = 4 bulunur.. P(x) = (a )x + (b ) x c ve Q(x) = x 9b polinomlarının eşit olması için a, b ve c nin alacağı değerleri bulalım. Bu iki polinomun eşit olabilmesi için, aynı dereceli terimlerin katsayılarının eşit olması gerekir. Buna göre, P(x) = Q(x) a = b = 0 c = 9b dir. a = b = 0, c + = 9b a = b = c = 9b (b = ) c = 9. = 7 c = 5 bulunur. 0 Soru

11 . P(x) = 5x 4 x 4x + 7 ifadesi bir polinomdur. Bu polinomun baş katsayısı 5, derecesi der [P(x)] = 4, sabit terimi 7 ve terim sayısı 4 tür.. Q(x) = x / 4x + x ifadesi bir polinom değildir. Çünkü x / teriminde x in kuvveti olan sayısı doğal sayı değildir. UYGULAMA ADIMI b) P() = a 0 + a + a a n idi. x = yazılırsa P( ) = a 0 a + a a ( ) n a n bulunur. Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkaralım. P() = a 0 + a + a a n P( ) = a 0 ± a ± a ±... ± ( ) n a n olup P() P( ) = a + a + a a + a + a = olarak bulunur. P() P( ) ÜNİTE - c) Çift kuvvetli terimlerin katsayılar toplamını bulmak için. P(x) = (m )x + (n +) x 5 polinomu sabit polinom b) deki eşitlikleri taraf tarafa toplayalım. olduğuna göre, m + n yi bulalım. P(x) in sabit polinom olması için m = 0 ve n + = 0 olmalıdır. m = 0 m = m = n + = 0 n= ve m + n = + ( ) m + n = bulunur. 4. P(x) = a 0 + a x + a x a n x n polinomu verilsin. a) Katsayılar toplamını b) Tek kuvvetli terimlerin katsayılar toplamını, c) Çift kuvvetli terimlerin katsayıları toplamını bulalım. n P( ) = a0 a + a a ( ) a n + P( ) = a0 + a + a + a an olup P( ) + P( ) = a + a + a +... a 0 + a + a = eşitliği elde edilir. 0 4 P( ) + P( ) 5. P(x) = 4x 6x P( ) + P() + x polinomu için P(0) + P() ifadesinin değerini bulalım. P(x) = 4x 6x + x polinomunda x = için P( ) = 4.( ) 6.( ) + ( ) = 4 6 = x = için P() = = 4 = 8. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR a) P(x) polinomunda x = yazılırsa, her katsayı ile çarpılmış olacağından, katsayılar toplamı elde edilir. Buna göre, katsayılar toplamı a 0 + a + a a n = P() dir. x = 0 için P(0) = = x = için P() = = olup P( ) + P( ) = + 8 = 5 = bulunur. P( 0) + P( ) + ( ) 5

12 ÜNİTE - UYGULAMA ADIMI 6. Q(x) = x 4 ax + bx x+ ve Q() + Q( )= 4 ise, b yi bulalım. 9. P(x) = (x + 4x 5) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılarının toplamını bulalım. Q(x) = x 4 ax + bx x + polinomunda x = için Q() = 4 a. + b.. + Q() = b - a ve x = için P(x) polinomunda tek dereceli terimlerin katsayılarının toplamı Q( ) = ( ) 4 a( ) + b( ).( ) + Q(-) = a + b + 6 P( ) P( ) dir. Q() + Q( ) = 4 (b a) + (a + b + 6) = 4 P(x) = (x + 4x 5) polinomunda b + 6 = 4 x = için P() = ( ) = = 4 b = b = bulunur. x = için P( ) = (.( ) + 4.( ) 5) = ( 6) = 6 olduğundan tek dereceli terimlerin katsayılarının toplamı P( ) - P( - ) = 4-6 = - =- 6 bulunur. 7. P(x) = ax 4 (a + )x + (a )x + (a + ) x + a polinomunun katsayıları toplamı ise, a yı bulalım. P(x) = ax 4 (a + )x + (a )x + (a + ) x + a polinomunda. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR x = için P() = ise a. 4 (a + ). + (a ). + (a + ). + a = a a + a + a + + a = a = a = a = bulunur. 8. P(x) = ( x + x ) 009. ( + x x ) 00 biçiminde verilen P(x) polinomunun katsayılar toplamını bulalım. 0. n N +, P(x) = (x x ) n polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı 5 olduğuna göre, n yi bulalım. P(x) in çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı P( ) + P( ) = 5 veriliyor. P() = (. ) n = ( 4) n P(x) = ( x + x ) 009. ( + x x ) 00 polinomunda x = yazılırsa polinomun katsayılar toplamı P() = (. +. ) 009. ( +.. ) 00 P() = = bulunur. P( ) = (( ).( ) ) n = 0 P( ) + P( ) = 5 ( ) n = 5 ( 4) n = 04 = 0 = ( 4) 5 n = 5 bulunur. Soru

13 . Aşağıda verilen fonksiyonların polinom olup olmadığını belirleyiniz. a) P(x) = vx + x + b) Q(x) = vx vx + c) R(x) = x 5-6x + 4x PEKİŞTİRME ADIMI 4. P(x) =x 6 - p + 4x + 7x + polinomunun derecesi 8 olduğuna göre, p kaçtır? ÜNİTE - d) T(x) = x + 5x + 6x - e) S(x) = x 4 + x - + x + a) Polinom b) Polinom c) Polinom değil d) Polinom değil 5. Q(x) = x n + - 5x + x + polinomu için Q() = 6 olduğuna göre, polinomun derecesi kaçtır? e) Polinom değil. P(x) = x + x - 5x + polinomunun terim sayısı kaçtır? 4 5. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR. Aşağıdaki polinomların derecelerini bulunuz. a) P(x) = x 6 + 4x 5 + x 5x + b) Q(x) = x 8 + 7x + 9x 0 + 5x - 4 c) R(x) = x 6 + 5x 7 + 8x x - 6. P(x) = 6x 4x + mx + m + polinomunda P(-) = ise, m kaçtır? a) 6 b) 0 c) 7 5

14 ÜNİTE - PEKİŞTİRME ADIMI 7. P(x) = (x + 4x + x - ) polinomunun çift dereceli terimlerinin 0. P(x) = ax + x - 5x - 7 polinomu için P(-) = olduğuna katsayıları toplamı kaçtır? göre, P() kaçtır? 08. P(x) = (x 4 + x + ) 0. (x - x + ) 8 polinomunun a) Katsayılar toplamını bulunuz. 8. P(x) = (x + x + ) n polinomunun katsayılar toplamı 6 olduğuna göre, n kaçtır? b) Sabit terimini bulunuz.. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR a) b) P(x) = (ax + x - ) 7 polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı (a - ) 7 olduğuna göre, a kaçtır?. P(x) = (x 7 - x + ) 4 polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılarının toplamını bulunuz. 0 4 Soru

15 KAVRAMSAL ADIM Çok Değişkenli Polinomlar ETKİNLİK ÜNİTE - R[x] kümesine bir değişken yerine x, y, z... gibi değişkenleri de katalım. Elde edilen yeni küme R[x, y, z,...] biçiminde olur. P(x, y, z) = x y z + x y z + x y z P(tx, ty, tz) = t n-. P(x, y, z) olduğuna göre, n sayısını bulunuz. polinomu için, Örnek olarak,. P(x, y) = x 5 y 4x + 5y + iki değişkenli,. P(x, y, z) = x yz 4 + x yz - 4xy + üç değişkenli polinomdur. Şimdi de çok değişkenli polinomlarda derecenin nasıl bulunduğunu görelim. Örneğin,. P(x, y, z) = 5x y z xy z + x 5y + 4 olsun. P(x, y, z) polinomunda x e göre derece, y ye göre, z ye göre dir. Polinomun derecesi ise en yüksek derece olan + + = 6 dır.. Q(x, y) = x y 5 4x y 7 + xy 5 y 4 + x polinomunun derecesini bulalım. Q(x, y) polinomunda x e göre derece, y ye göre 7 dir. Polinomun derecesi ise en yüksek derece olan + 7 = 9 dur. ETKİNLİK P(x, y) = x y + x y + x 4 y + polinomu veriliyor. x 4 y. P(x, y ). P(x, y 4 ). P(x 4, y ) polinomunun, a) derecesini bulunuz. b) katsayılar toplamını bulunuz.. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR Bunu der[q(x, y)] = 9 şeklinde gösteririz. Bir P(x) polinomunda x = 0 yazılırsa, elde edilen P(0) değeri polinomun sabit terimidir. İki değişkenli bir polinomda, benzer şekilde x = 0, y = 0 yazılarak sabit terim bulunur. 5

16 ÜNİTE - UYGULAMA ADIMI. P(x, y) = (x x ) 4. (y y ) 9 polinomu veriliyor. P(x, y) nin derecesini ve katsayılar toplamını bulalım. (x x ) 4 ün açılımında en büyük derece x 8 (y y ) 9 un açılımında en büyük derece y 8 olup 4. P(x, y) = x y 4xy 4 + (a + )xy + a polinomunda P(, ) = 6 olduğuna göre, a yı bulalım. P(, ) = ( ). 4.( ). 4 + (a + ) ( ). () + a = 6 = ( ) + 4 a + a = 6 P(x, y) = (x x ) 4. (y y ) 9 çarpımında en büyük derece x 8 y 8 in derecesidir. Bu da = 6 dır. Katsayılar toplamına gelince, bir değişkenli polinomlarda x = yazıp P() i buluyorduk. Burada x =, y = yazarak P(, )'i bulacağız. Katsayılar toplamı P(, ) = ( - - ) 4. ( --) 9 =(-) 4 (-) 9 =. (-) = - bulunur. 5. a = 6 a = P(x, y, z) = (x + y + z) x y + 5z bulunur. polinomunun katsayılar toplamını bulalım. Polinom üç değişkenli olduğundan. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR. P(x, y) = x x + xy 4 a polinomunun sabit terimi ise, a yı bulalım. x = y = 0 yazılırsa, P(0, 0) = 4 a = ve 4 a = eşitliğinden a = 6 bulunur.. P(x, y) = (x x + 4) n. (y + 4y ) n polinomunun sabit terimi 6 ise, n doğal sayısını bulalım. Polinomda x = 0, y = 0 yazalım. Sabit terim 6 olduğundan P(0,0) = 4 n. ( ) n = 6 yazarız. 4 n. ( ) n = 6 4 n. [( ) ] n = 6 4 n. 9 n = 6 (4.9) n = 6 6 n = 6 n = bulunur. x =, y =, z = yazılır. P(,, ) = ( +. +.) = 6 = 6 bulunur. 6. P(x, y, z) = x y 4 z + x y 5 z 4 xyz + xy + 5 polinomunun derecesini bulalım. x y 4 z = 8 x y 5 z = x y z + + = 4 x y + = olduğundan P(x, y, z) nin derecesi der[p(x, y, z)] = dir. 6 Soru

17 UYGULAMA ADIMI 7. P(x, y) = x y x 4 + 4xy polinomunda P(m, m) = 4 olduğuna göre, m nin pozitif değerini bulalım. ETKİNLİK P(x, y) = (xy - ) 4 olduğuna göre, P( - x, - y ) polinomun derecesini bulunuz. P(m, m) = -m. m m 4 + 4m.m = 4 m 4 + 4m 4 = 6 m 4 = 6 m = veya m = dir. m nin pozitif değeri istendiğinden m = dir. ÜNİTE - 8. P(x, y) = x y x 4 y + xy polinomu için P(, ) değeri kaçtır? P(, ) = ( ). ( ) 4. +( ) = = 54 bulunur. 9. P(x, y) = x y x y + xy 4 polinomu için P(tx, ty) = t n. P(x, y) koşulunu sağlayan n sayısını bulalım. ETKİNLİK P(x, y) = xy + x y + xy + polinomu veriliyor. x. P(x, y). P(x, y 4 ). P(x, y ) polinomunun, a) derecesini bulunuz. b) katsayılar toplamını bulunuz.. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR P(x, y) polinomunda x yerine tx, y yerine ty yazalım. P(tx, ty) = (tx). (ty) (tx). (ty) + (tx) (ty) 4 = t.x.t y t x. t y + tx.t 4 y 4 = t 5. x y t 5. x y + t 5. xy 4 = t 5. (x y x y + xy 4 ) P(tx, ty) = t 5. P(x, y) olup n = 5 bulunur. 7

18 ÜNİTE - PEKİŞTİRME ADIMI. Aşağıdaki polinomların derecelerini bulunuz. a) P(x, y) = x 6 y + x y - 5x 4 y + x 0 - b) Q(x, y) = x 7 + 4x y 4 + 5x y 8 - x 6 y 7 + c) R(x, y, z) = x 6 yz - x yz + 4x y 4 z + x + d) S(x, y, z) = x 4 y z 5 - x 6 y z 5 + 4x + 5x 0 yz 7 - xyz 4. P(x, y) = x y + xy - x y + y 5 polinomu için P(a, a) = olduğuna göre, a nın pozitif değeri kaçtır? 4 a) 0 b) c) 9 d) 8 5. P(x, y, z) = x y n z + x 5 y z n + polinomunun derecesi. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR. P(x, y) = x 4 y + xy 4 - x y + y 5 polinomu için P(a, a) = 8 olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, n kaçtır? 5. P(x, y) = x y 4 - xy 6 + x y 5 polinomu için P(mx, my) = m n. P(x, y) koşulunu sağlayan n sayısını bulunuz. 6. P(x, y) = (x + xy + y ) n. (x - xy + y ) n polinomunun derecesi 4 olduğuna göre, n kaçtır? 8 7 Soru 6

19 KAVRAMSAL ADIM P(x) Verildiğinde P(Q(x)) i Bulmak P(Q (x)) Verildiğinde P(x) i Bulmak ÜNİTE - P(x) verildiğinde, P(Q(x)) i bulmak için P(x) polinomunda x yerine Q(x) yazılır. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. (Q o Q )(x) = I(x) = x olduğundan, P(x) i bulmak için, Q(x) in tersini P(Q(x)) polinomunda x yerine yazarız. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.. P(x) = x 7 5x 6 + 4x 4 x 5x ise, P( ) i bulalım. P(x) de x = yazalım. P( ) = ( ) 7 5( ) 6 + 4( ) 4 ( ) 5 ( ) P( ) = P( ) = = bulunur.. P(x ) = x x+ ise, P(x) polinomunu bulalım. Burada Q(x) = x olup Q (x) = x+ dir. P(x - ) = x - x + polinomunda x yerine x + yazalım. P(x ) = P(x + ) = P(x) = (x+) (x+) + P(x) = (x + x+) - x + P(x) = x + 4x + x+ P(x) = x + x + 4 olarak bulunur.. P(x) = x 5x 6 ise, P(x+) i bulalım. P(x) polinomunda x yerine x+ yazmalıyız. P(x+) = (x+) 5 (x+) 6 = x + x + 5x 5 6 = x x 0 bulunur.. P(x + ) = x + 6x + 8 olduğuna göre, P(x - )' i bulalım.. P( y) = y 4y 9 ise, P(y) polinomunu bulalım. Q(y) = y olup Q - - y (y) = olur. P( y) = y y 4y 9 polinomunda y yerine yazalım. y y y P( y) = Pc.( ) m = c m 4. c m 9 P(y) = P(y) = P( y) 4 4y + y 8 4y y + y 4 + y 8 9 y + 8y 0 = 9 olarak bulunur.. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR P(x + ) ifadesinde x + in olduğu yerde x - olmalı. Yani x + x - olmalı. x + x - olması için x x - - ETKİNLİK Aşağıdaki şekillerde taralı alanları x değişkenlerine bağlı bir polinom olarak ifade ediniz. yani x yerine x - yazmalıyız. O halde, P(x - + ) = (x - ) + 6 (x - ) + 8 = x - 4x x = x + x bulunur. x + 6x + x x + x + x + 6 x 4x 5x x x x + 4 9

20 ÜNİTE -. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR. P(4x ) = + 4x ise, P(5) i bulalım.. Yol: Önce P(x) polinomunu bulup, sonra P(5) i buluruz. Q(x) = 4x ise Q - (x) = x + tür. 4 P(4x ) = + 4x ifadesinde x yerine x + yazalım. 4 P 4. x + ` 4 j = + 4. x + 4 P(x) = + x + P(x) = x + 6 ve P(5) = Yol: P(5) = 'dir. Verilen ifade P(Q(x)) biçiminde ve Q(x) = 4x olduğundan Q(x) = 5 eşitliğini sağlayan x değerini bulup, verilen ifadede yerine yazalım. Yani, Q(x) = 5 4x = 5 4x = 8 x = dir. P(4x ) = + 4x ifadesinde x = yazalım. P(4. ) = + 4. P(5) = olarak bulunur.. P( ax) = a x + ax a+ ve P(0) = ise, a yı bulalım. UYGULAMA ADIMI. P(x + ) = x x + olduğuna göre, P(x) polinomunu bulalım. Q(x) = x + Q (x) = x dir. P(x + ) = x - x + eşitliğinde x yerine x P. x x + =. x ` j ` j ` j + P( x) = x x + x + 4 ^h ( 4) P( x) = x x + 6x P( x) = x 8x + 5 bulunur P(x+) = mx + n ise, P(x ) polinomunu bulalım. Q(x) = x + Q (x) = x dir. O halde, P(x + ) = m(x ) + n P(x) = m(x ) + n dir. P(x ) = m[(x ) ] + n = mx m + n bulunur. yazalım. 5. P(mx+) = m x + 0mx eşitliğini sağlayan P(x) polinomunu bulalım. a x = 0 x = ve P(0) = olup, a P a. a a. c m = c m + c m a + a a a P(0) = + a + P(0) = a = tür. Buradan a = 6 a = bulunur. Q(x) = mx + denilirse Q - (x) = x m dir. P(mx+) = m x + 0mx eşitliğinde x yerine P m x m. x + = + 0m. x ` ` m j j ` m j ` m j P( x) m. ( x ) m. ( x = + 0 ) m m P( x) = ( x ) + 0( x ) bulunur. x yazalım. m 0 Soru

21 PEKİŞTİRME ADIMI. P(x + ) = x - x + x - olduğuna göre, P() kaçtır? 4. P(x + ) = x + 7x + olduğuna göre, P(x) polinomunu bulunuz. 7 x + x 8 ÜNİTE -. P(x) = x - 8x - 9 olduğuna göre, P(x + ) polinomunu bulunuz. 5. P(x - ) = x + 9x - olduğuna göre, P(x + ) polinomunu bulunuz. x + x 5x 6 x + 7x + 5. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR. P(x) = x - 6x + 0 olduğuna göre, P(x - ) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz. 6. P(x + ) = 4x + 4x + 9 olduğuna göre, P(x - ) polinomunu bulunuz. 7 9x 6x + 9

22 ÜNİTE -. BÖLÜM DA İŞLEMLER KAVRAMSAL ADIM A) Toplama İşlemİ TANIM c. Birleşme Özelliği: P(x), Q(x), R(x) R[x] olsun. [(P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)] tir. R[x] kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.. BÖLÜM DA İŞLEMLER Gerçek katsayılı P(x) ve Q(x) polinomları için der(p(x)) = m, der(q(x)) = n olsun. P(x) = b m x m + b m x m b x + b 0 ve Q(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 olsun. Bu durumda a) m = n ise, P(x) + Q(x) = (a n + b n ) x n + (a n + b n )x n (a + b )x + a 0 + b 0 dır. O halde der (P(x) + Q(x)) n dir. b) m > n ise, P(x) + Q(x) = b m x m + b m x m (a n + b n ) x n (a + b )x + a 0 + b 0 olup der(p(x) + Q(x)) = m dir. c) m < n ise, P(x) + Q(x) = a n x n + a n x n (a m + b m )x m (a + b )x + a 0 + b 0 olup der(p(x) + Q(x)) = n dir. Farklı derecelerdeki iki polinomun toplamının derecesi, dereceleri arasında en büyük olanına eşittir. Toplama İşleminin Özellikleri a. Kapalılık Özelliği: P(x), Q(x), R[x] olsun. P(x) + Q(x) R[x] dir. Yani, R[x] kümesindeki iki elemanın toplamı yine R[x] kümesinin bir elemanıdır. R[x] kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. b. Değişme Özelliği: P(x), Q(x), R[x] ise P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) tir. R[x] kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır. d. Birim Eleman: R[x] reel katsayılı polinomlar kümesinde sıfır polinomu toplama işlemine göre, birim elemandır. e. Ters Eleman: Her P(x) polinomunun toplama işlemine göre tersi olan polinom P(x) tir. P(x) ve P(x) polinomları toplama işlemine göre birbirinin tersidir. ETKİNLİK P(x) = x + x + ve Q(x) = x x ise, a) P(x) + Q(x) b) P(x) + Q(x) c) P(x) 9Q(x) polinomlarını bulunuz. Soru

23 . P(x) = x 4 4x 5x + 6 Q(x) = x 4 + 6x 7 polinomları veriliyor. P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) olduğunu gösterelim. P(x) + Q(x) = x 4 4x 5x + 6 x 4 + 6x 7 P(x) + Q(x) = x 4 4x + x dir. Q(x) +P(x) = x 4 + 6x 7 + x 4 4x 5x + 6 = x 4 4x + x olup P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) tir. UYGULAMA ADIMI. P(x) = x 5x + 4x ve Q(x) = x 5x + 7 polinomları veriliyor. a) P(x) + Q(x) b) 5P(x) + Q(x) polinomlarını bulalım. a) P(x) + Q(x) = ( x 5x + 4x ) + (x 5x + 7 ) = x 5x x + 4 tür. b) 5P(x) + Q(x) = 5( x 5x + 4x ) + (x 5x + 7) = 0 x 5x + 0x 5 + x 5x + = 7 x 5x + 5x + 6 bulunur. ÜNİTE -. P(x) = + x + x x Q(x) = x + x + x R(x) = + x x + 5x polinomları için toplama işleminin birleşme özelliğinin sağlandığını görelim. [P(x) + Q(x)] + R(x) = [(+x+x x ) + ( x + x + x )] + (+x x + 5x ) = ( + x + x ) + ( + x x + 5x ) = + x + 7x tür. P(x) + [Q(x) + R(x)] = (+ x + x x ) + [( x + x + x ) + ( + x x + 5x )] = ( + x + x x ) + ( + x x + 8x ) = + x + 7x olup [P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)] tir. 4. P(x) = x 4 x + (a ) x (b + ) ve Q(x) = (c + ) x 4 + (d )x 5x 6 polinomları veriliyor. P(x) + Q(x) = 4x 4 x x 4 ise, a + b + c + d toplamını bulalım. P(x) + Q(x) = ( + c + )x 4 + (d )x + (a 5)x (b++6) ve P(x) + Q(x) = 4x 4 x x 4 olduğundan (c + )x 4 + (d 6)x + (a 6) x (b + 7) = 4x 4 x x 4 tür. Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olacağından c + = 4 d 6 = a 6 = b + 7 = 4 c = d = 4 a = b = tür. a + b + c + d = +( ) = 5 bulunur.. BÖLÜM DA İŞLEMLER

24 ÜNİTE - UYGULAMA ADIMI 5. P(x) = ax + b polinomu için, P(x) + P( x) = a + 4 eşitliği sağlanıyor. P() = 4 ise, a + b yi bulalım. 8. P(x) = (a +)x b x polinomunun toplama işlemine göre tersi olan polinom Q(x) = x + 9 x + ise, a + b yi bulalım. P(x) + P( x) = (ax + b) + a( x) + b = ax + b + a ax + b = b + a 'dır. P(x) + P( x) = a + 4 olduğundan b + a = a + 4 ve b = 4 b = dir. P() = a + b = 4 olup b = olduğundan P(x) = (a + )x bx polinomunun toplama işlemine göre tersi P(x) = (a + )x + b x + = Q(x) tir. Buna göre, ( a + )x + b x + = x + 9x + dir. İki polinomun eşitliğinden a + = 4 a = a = (a+) = a + = b = 9 b = O halde a + b = + = bulunur. a = ve a + b = + = 0 bulunur. 9. P(x) = ax + bx+c polinomu için P(x) + ( P(x)) toplamını bulalım.. BÖLÜM DA İŞLEMLER 6. P(x) = ax + bx + c ve P(x + ) = 6x + 4x + 9 olduğuna göre, a + b + c toplamını bulalım. P(x) = ax + bx + c polinomunda x = için P() = a + b + c dir. P(x + ) polinomundan P()'i elde etmek için x = 0 yazmalıyız. x = 0 için P(0 + ) = P() = olduğundan, P() = a + b + c = 9 bulunur. 7. P(x) = x 5 x + 4x 5x 6 Q(x) = x 5 + x + 6x 5 polinomları veriliyor. der[p(x) + Q(x)] i bulalım. der [P(x)] = 5 ve der[q(x)] = 5 dir. P(x) + Q(x) = (x 5 x + 4x 5x 6) + ( x 5 + x + 6x 5) = x + 7x + x olup der[p(x) + Q(x)] = tür. P(x) = ax + bx + c polinomu için P(x) + ( P(x)) toplamını bulalım. P(x) =ax + bx+c ise P(x) = ax bx c ve P(x) + ( P(x)) = (ax + bx + c) + ( ax bx c) = (a a)x + (b b) x+ (c c) = 0 dır. 0. n N olmak üzere P(x) = x n + + ve Q(x) = x n+7 + veriliyor. P(x) + Q(x) polinomunun derecesi ise, P( ) kaçtır? n + 7 > n + olduğundan der(p(x) + Q(x)) = n + 7 = n = 4 tür. O halde P(x) = x 7 + ve P( ) =.( ) 7 + = + = bulunur. 4 Soru

25 PEKİŞTİRME ADIMI. P(x) = x x + 4x + Q(x) = x + 6x + 4 polinomları veriliyor. a) P(x) + Q(x) polinomunun derecesi kaçtır? b) P(x) Q(x) polinomunun derecesi kaçtır? c) P(x) + Q(x) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır? d) P(x) + 5 Q(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? 4. P(x) = ax + bx + c polinomu için P(x) + P( x) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz. 5a b + 5c ÜNİTE - a) b) c) 9 d) 5. P(x) = x + 5x 7 ve Q( x) = x + 6x + 8. P(x) = x 4 + 4x + x + x + olduğuna göre, P( x) + Q(x) polinomunun katsayılar Q(x) = x 4 + x + 6x + 7x toplamını bulunuz. polinomları için P(x) +Q(x) = (m + )x + (n + )x + (4p ) x + k olduğuna göre, m + n + p + k toplamı kaçtır?. P(x) = ax + bx + c P( x) = x + 6x P(x) + P(x ) = x + 8x + 5 olduğuna göre, P() P( ). BÖLÜM DA İŞLEMLER olduğuna göre, a+ b + c toplamını bulunuz. işleminin sonucu kaçtır? 0 0 5

26 ÜNİTE - KAVRAMSAL ADIM B) Çıkarma İşlemi P(x), Q(x) R[x] olsun. P(x) Q(x) polinomunu bulmak için toplama işleminden yararlanılır. P(x) Q(x) = P(x) + ( Q(x)) tir. Çıkarma işleminde aynı dereceli terimlerin katsayıları çıkarılır. R[x] kümesinde çıkarma işleminin kapalılık özelliği vardır. TANIM P(x), Q(x) R[x] olsun.. der[p(x)] = der [Q(x)] = m ise a, b R olmak üzere, ap(x) "bq(x) polinomunun derecesi en çok m olabilir.. der[p(x)] = n, der[q(x)] = m ise a. P( x) " b. Q( x) polinomunun derecesi m ve n den büyük olanıdır. Çarpma İşleminin Özellikleri. Kapalılık Özelliği: P(x), Q(x) R[x] ise P(x). Q(x) R[x] tir. R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.. Değişme Özelliği: P(x). Q(x) = Q(x). P(x) tir. Bu R de çarpma işleminin değişme özelliğinin bir sonucudur.. Birleşme Özelliği: P(x), Q(x) ve R(x) R[x] olsun. [P(x).Q(x)]. R(x) = P(x).[Q(x).R(x)] dir. Bu R de çarpma işleminin birleşme özelliğinin bir sonucudur. 4. Birim Eleman Özelliği: R[x] polinomlar kümesinin çarpma işlemine göre birim elemanı R[x] sabit polinomudur.. BÖLÜM DA İŞLEMLER c) Çarpma İşlemi P(x), Q(x) R[X], der [P(x)] = n, der[q(x)] = m ve P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 Q(x) = b m x m + b m x m b x + b 0 ise P(x).Q(x) = a n x n. Q(x) + a n x n Q(x) a xq(x) + a 0 Q(x) = a n b m x n+m + a n b m x n+m a 0 b m x m a b x + a b 0 x + a 0 b 0 dır. der[p(x).q(x)] = der [(P(x)] + der [Q(x)] = n + m dir. Polinomların kümesinde iki polinomun çarpımı yapılırken çarpma işleminin, toplama işlemi üzerine dağılma özelliğinden yararlanılır. 5. Dağılma Özelliği: R[x] de P(x), Q(x) ve R(x) polinomları için P(x). [Q(x) + R(x)] = P(x).Q(x) + P(x). R(x) olup dağılma özelliği vardır. ETKİNLİK P(x) = ( + x + x nx n ). ( + x + x mx m ) polinomunun katsayılar toplamı 6mn olduğuna göre, m. n + m + n ifadesinin değerini bulunuz. TANIM P(x) 0, Q(x) 0 olmak üzere, der [P(Q(x)] = der [Q(P(x))] dir. 6 Soru

27 UYGULAMA ADIMI. P(x) = x + 5x ve Q(x) = x 4x + polinomları için P(x) Q(x) ve.p(x).q(x) polinomlarını bulalım. P(x) Q(x) = P(x) + ( Q(x)) olduğundan Q(x) = x + 4x ve P(x) Q(x) = (x + 5x ) + ( x + 4x ) P(x) Q(x) = x + 9x 4 olarak bulunur. P(x) = (x + 5x ) = x + 5x 9 ve 4. P(x) = x+ ve Q(x) = x 5x 6 polinomları için P(x).Q(x) çarpımını bulalım. P(x). Q(x) = (x + ) (x 5x 6) = x(x 5x 6) + (x 5x 6) = x 5x 8x + x 0x P(x). Q(x) = x x 8x dir. Q(x) = (x 4x + ) = 6x 8 x + olup Q(x) = 6x + 8x P(x) Q(x) = (x + 5x 9) + ( 6x + 8x ) = x + x bulunur. 5. P(x) = x + a ve Q(x) = x x iki polinom ve T(x) = P(x). Q(x) biçiminde tanımlansın. T(x) in katsayılar toplamı ise, a yı bulalım. I. yol : T(x) i bularak sonuca ulaşalım. T(x) = P(x). Q(x). P(x) = x (a + )x x ve Q(x) = (b + )x x (c ) x + d + polinomları için P(x) Q(x) = 5x x ise a, b, c, d sayılarını bulalım. = (x + a). (x x) = x(x x) + a(x x) = x x + ax ax = x + (a )x ax T(x) in katsayılar toplamını bulmak için x = yazalım. Q(x) = (b + )x x T(x) = + (a ) a = (c ) x + d + ise Q(x) = (b + )x + x a = + (c ) x (d +) dir. a = 4 P(x) Q(x) = P(x) + ( Q(x)) a = bulunur. = x (a + )x x + ( (b + )x + x + (c ) x (d + )) = ( b )x + ( a + )x + (c ) x + ( d ) = bx + ( a + )x + (c ) x + ( d ) tür. P(x) Q(x) = 5x x olduğundan bx + ( a + )x + (c ) x + ( d ) = 5x x II. yol: T() = P(). Q() = = ( + a). ( ) = ( + a). ( ) = + a = İki polinomun eşitliğinden, a = bulunur. b = 5, a + =, c = 0, d = 0 b = 5 a = 4 c = d = olarak bulunur.. P(x) = x 7 7x 6 + 6x 5 + x ve Q(x) = x 8 + x 7 + 5x 4 polinomları için der[p(x) Q(x)] i bulalım. 6. m N + olmak üzere P(x) = x 4 x + x m+5 + ve Q(x) = x 4 x + x m+4 + polinomları veriliyor. P(x). Q(x) çarpımının derecesi ise, m yi bulalım. ÜNİTE -. BÖLÜM DA İŞLEMLER P(x) Q(x) = (x 7 7x 6 + 6x 5 + x ) (x 8 + x 7 + 5x 4) = x 7 7x 6 + 6x 5 + x x 8 x 7 5x + 4 P(x) Q(x) = x 8 7x 6 + 6x 5 5x + x + olup der [P(x) Q(x)] = 8 dir. m N +, der[p(x)] = m + 5, der [Q(x)] = m +4 tür. der[p(x). Q(x)] = der [P(x)] + der[q(x)] olduğundan = m m = 4m m = dir. 7

28 ÜNİTE - UYGULAMA ADIMI 7. (x + 5x + 6) (a x + b) = 9x + x + x 6 olduğuna göre, P(x) + Q(x) = x + x + x + 9. olduğuna göre, a ve b yi bulalım. P(x) Q(x) = x + x + 8x P(x) ve Q(x) polinomlarını bulalım. (x + 5x + 6) (ax + b) = x (ax + b) + 5x (ax + b) + 6 (ax + b) = ax + bx + 5ax + 5bx + 6ax + 6b = ax + (b + 5a)x + (5b + 6a) x + 6b dir. + P( x) + Q( x) = x + x + x + P( x) Q( x) = x + x + 8x P( x) = 4x + 0x & P( x) = x + 5x ax + (b + 5a)x + (5b + 6a)x + 6b = 9x + x + x 6 olup iki polinomun eşitliğinden P(x) + Q(x) = x + x + x + eşitliğinde P(x) = x + 5x yazılırsa a = 9 b +5a = 5b + 6a = 6b = 6 x + 5x + Q(x) = x + x + x + ve a = b = Q(x) = x + x + x + x 5x + Q(x) = x x x + bulunur. a =, b = bulunur. ETKİNLİK Aşağıdaki çokgenlerin çevresini bulunuz.. BÖLÜM DA İŞLEMLER 8. P(x) = x x, Q(x) = x +, R(x) = x+ polinomları için, P(x). [Q(x) + R(x)] = P(x). Q(x) + P(x). R(x) olduğunu gösterelim. P(x). [Q(x) + R(x)] = (x x) [(x + ) + (x + )] = (x x) (x + x + ) = x (x + x + ) x (x + x +) = x 5 + x + x x 4 6x 6x = x 5 x 4 + x 4x 6x P(x).Q(x) = ( x x).(x + ) = x (x + ) x(x + ) = x 5 + x x 4 x P(x).Q(x) = x 5 x 4 +x x dir. P(x).R(x) = (x x). (x + ) x + x + x+ x x x + x + x Aşağıdaki çokgenlerin alanını bulunuz. x x + x x + 4x + x x = x (x + ) x(x + ) = x + x 6x x = x 5x x P(x). Q(x) + P(x). R(x) = (x 5 x 4 + x x) + (x 5x x) = x 5 x 4 + x 4x 6x dir. O halde P(x). [Q(x) + R(x)] = P(x). Q(x) + P(x). R(x) bulunur. 8 Soru

29 . P(x) = x 5x + 6 Q(x) = x + 5x polinomları için a) P(x) + Q(x) b) P(x) Q(x) polinomlarını bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 4. P(x) = x ( + x) ve Q(x) = (x +) polinomları için P(x). Q(x) in derecesini bulunuz. ÜNİTE - 8 a) b) 5x 5x +. P(x) Q(x) = x + x P(x) + Q(x) = x x olduğuna göre, P(x) ve Q(x) polinomlarını bulunuz. 5. P(x) = x + 6x(x + ) ve Q(x) = x (x + ) 5 polinomları için xp(x). Q(x) polinomunun derecesini bulunuz. P( x) 5 = x Q( x) = x x. P(x) = x x ve Q(x) = (x + ) polinomları için P(x). Q(x) polinomunu bulunuz P(x) = x (x + x) 4 ve Q(x) polinomları için der[p(x).q(x )] = 5 olduğuna göre, Q(x) in derecesi kaçtır?. BÖLÜM DA İŞLEMLER x 4 x 6x 7 9

30 ÜNİTE - PEKİŞTİRME ADIMI 7. P(x) = x(x + x + 7) 5 polinomu için x n.p(x ) polinomunun derecesi 57 olduğuna göre, n kaçtır? 0. P(x). Q(x) in derecesi P(x ). Q(x ) in derecesi 7 olduğuna göre, x. P(x ). Q(x + ) polinomunun derecesi kaçtır? P(x) = x 6 + 4x 5 x + x Q(x) = x 6 4x 5 + 7x polinomları için P(x) + Q(x) in derecesi kaçtır?. P(x) ve Q(x) birer polinomdur, P(x ). Q(x 4 ) polinomunun derecesi 4 P(x 4 ). Q(x) polinomunun derecesi olduğuna göre, P(x 7 ). Q(x 5 ) polinomunun derecesi kaçtır?. BÖLÜM DA İŞLEMLER 9. P(x) = x m. (x 4 + x + )m polinomu veriliyor. x. P(x ) polinomunun derecesi 47 olduğuna göre, m kaçtır? 74. P(x) ve Q(x) iki polinom der[p(x ). Q (x)] = 5 der[p(x + ). Q(x )] = 0 olduğuna göre, x 5. [P(x)]. [Q(x 4 )] polinomunun derecesi kaçtır? 0 Soru

31 ALIŞTIRMALAR #. P(x) = x 5 4x, Q(x) = x P(x) x polinomları veriliyor. Aşağıda verilen işlemleri yapınız. 8. der(p(x)) =, der(p(x). Q(x)) = 7 dir. der (T(x). Q(x)) = 9 ise, der (T(x) + P(x)) kaçtır? a) P(x) + Q(x) c) P(x) 4Q(x) b) P(x) Q(x) d) P(x). Q(x) 9. Aşağıdaki çarpımları bulunuz. a) (x x + ) (x + ) b) (x ) (x + ) (x 4 + ). x P(x) 4x = x 7 4x 5 5x ise, P(x) polinomunu bulunuz. c) x 4 x 5x. x 4 c + 5 m c m 5 ÜNİTE - 0. P(x) = x x + 5 ve Q(x) = x 4x polinomları veriliyor.. P(x) = x (x ) + x (x + ) ve Q(x)= (x + ). P(x) polinomları veriliyor. P(). Q() ifadesinin değerini bulunuz. der [(x x). [P(x). Q (x)]] kaçtır?. m N +, P(x) = x m+4 + x + 4x 4. P(x) + Q(x) = 5x + x + x + P(x) Q(x) = x + x + 8x polinomları veriliyor. P(x) ve Q(x) polinomlarını bulunuz. 5. (x 5 + x + x + x + 4). (x 4 + x +x + 4) çarpımında x 5 li terimin katsayısı nedir? Q(x) = x m+ + x 7x + 4 polinomları veriliyor. Buna göre, der (P (x).q (x)) = 9 ise der(q(x)) kaçtır?. P(x ) + P(x + ) = x 4 x + 4 eşitliğini sağlayan P(x) polinomunu bulunuz.. BÖLÜM DA İŞLEMLER 6. P(x) = x x polinomu veriliyor. P(x ) P(x ) = ax + b ise, a + b toplamını bulunuz. 4. P( x) =. x n + x n 5 polinomunun derecesini araştırınız. 7. P(x) + P(x ) = (x + 5x + ) eşitliğini sağlayan P(x) polinomunu bulunuz. 4. P(x) ve Q(x) polinomları 9. derecedendir. P(x) in başkatsayısı m, Q(x) in başkatsayısı m dir. P(x) + Q(x) in derecesi en çok kaç olabilir? (m R)

32 ÜNİTE - 5. Aşağıdaki ifadelerin polinom olup olmadıklarını araştırınız. a) P(x) = vx vx b) Q(x) = x x vx v c) R(x) = x x x x d) T(x) = x x e) B(x) = x 4 5 x x 6. Aşağıdaki polinomların derecelerini belirleyiniz. a) P(x) = x 7 6x 5 + 4x x b) Q(x) = x + 5x 6x + 7 c) R(x) = v ALIŞTIRMALAR #. P(x) = x x x polinomu veriliyor. P( x) ve P(x) polinomlarını bulunuz.. Aşağıdaki bazı polinomların dereceleri verilmiştir. Hangisi yanlıştır? a) P(x) = x 4 5x x 7 ise, der[p(x)] = 4 b) Q(x) = (x x ) 5 ise, der[q(x)] = 0 c) R(x) = (x ) (x+) 5 ise, der[r(x)] = 6 d) T(x) = ise, der [T(x)] = 0 e) S(x) = (x + x ) 0 ise, der[s(x)] = 0. P(x) ikinci dereceden bir polinom P() =, P(0) =, P( ) = ise, P(x) in başkatsayısı kaçtır?. BÖLÜM DA İŞLEMLER 7. P(x) = (m )x x b Q(x) = nx ax polinomları veriliyor. P(x) = Q(x) ise, m + n ifadesinin değeri kaçtır? a + b 8. P(x) n. dereceden bir polinom Q(x) m. dereceden bir polinom ise, Q[P(x). Q(x) ] polinomunun derecesi nedir? 9. P(x, y) = x y 4 xy x y polinomunun derecesini bulunuz. 4. P(x) = 4x m m x - polinomunun derecesi en çok kaç olabilir? 5. P(x) = 8x x + 6x polinomu veriliyor. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. a) P() d) P( ) b) P(0) e) P() c) P( ) f) P ` j 0. P(x) = ( x ) (x + ) ve Q(x) = ax b x c polinomları veriliyor. P(x) = Q(x) ise, a b c kaçtır? 6. Aşağıdaki soruları çözünüz. a) P(x) = x 99 x ise, P( ) + P() kaçtır? b) P(x ) = x 4x + 5 ise, P(x ) polinomunu bulunuz. c) P(x) = 5x x + ise, P(x + ) polinomunu bulunuz. d) Q(x+) = x+8 ise, Q( ) kaçtır? Soru

33 7. P(x) = ax bx 4 polinomu için P() = ve P( ) = ise, (a, b) ikilisini bulunuz. 8. P(x) = 5x 4 4x + x Q(x) = ax 4 bx + cx + d polinomları veriliyor. P(x) = Q(x) ise (a, b, c, d) dörtlüsünü belirleyiniz. ALIŞTIRMALAR #. P(x + ) = x x x + olduğuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır? 4. P(x) polinomunun derecesi, Q(x) polinomunun derecesinin fazlasının katıdır. P(x ) Q(x ) polinomunun derecesi ise, P(x) polinomunun derecesi kaçtır? ÜNİTE - 9. Bir P(x) polinomu 4. derecedendir. Buna göre, Q(x) = x. P(x 6 ) biçiminde tanımlı Q(x) polinomunun derecesini bulunuz. 0. P(x) = a x 5ax + 6 polinomunda a > ve P(x) in katsayılar toplamı 0 ise, a yı bulunuz.. Q(x) = + x polinomu için P(Q(x)) = ( + x) ise, P(x) polinomunun katsayılar toplamı nedir? 9 5. P( x) x m m = - - x ifadesini polinom yapan m değerlerinin toplamını bulunuz. 6. P(x) = a x 4 (a b)x + x 5 Q(x) = (a )x 4 + x cx + d polinomları veriliyor. P(x) = Q(x) ise, a, b, c ve d sayılarını bulunuz. 7. P(x) = x n+ 6x n ifadesinde P() = 6 ise, a) P(x) polinomunun derecesini bulunuz. b) P(x ) + P(x) + P()= Q(x) ise Q(x) in sabit terimi kaçtır? 8. (x x + 4x + ) (x 4 + 5x x x + ) çarpımında, x teriminin katsayısı kaçtır?. BÖLÜM DA İŞLEMLER. Q(x ) = x + ve P(Q(x)) = x x + ise, P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamını bulunuz. 9. P(x) polinomu için, [P(x)] + x P(x) + x = mx mx + eşitliği veriliyor. P( ) = ise, P() kaçtır?

34 ÜNİTE - KAVRAMSAL ADIM d) Polinomlarda bölme Bir Polinomun x ± a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan P(x), Q(x) iki polinom ve Q(x) 0 olsun. P(x) polinomu Q(x) polinomuna bölündüğünde, bölüm B(x) ve kalan K(x) ise, P(x) = B(x). Q(x) + K(x) eşitliği yazılır. Bu yazılışta, P(x) : bölünen, B(x) : bölüm, Q(x): bölen, K(x): kalandır. Eğer K(x) = 0 ise P(x) = B(x). Q(x) olur ve bu durumda P(x), Q(x) e tam (kalansız) bölünüyor denir. P(x) bir polinom, a R ve der [P(x)] olsun. P(x) polinomunun (x a) ile bölümünden bölüm Q(x) ise P(x) = (x a).q(x) + K yazılır. Diğer yandan x a = 0 ise x = a dır. x = a değeri P(x) polinomunda yerine yazılırsa, P(a) = (a a) Q(a) + K olur. Buradan P(a) = K bulunur. TANIM der [P(x)] olan bir P(x) polinomunun a R olmak üzere, x a ile tam bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul P(x) de x = a yazıldığında polinomun sıfır olmasıdır.. BÖLÜM DA İŞLEMLER K(x) 0 ise P(x), Q(x) e kalanlı bölünüyor denir. Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzerdir. Bir P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümü, der[q(x)] der [P(x)] olmak üzere, Bölünen Bölen Bölüm Kalan P(x) B(x). Q(x) = K(x) ya da P(x) = B(x). Q(x) + K(x) biçiminde ifade edilir. TANIM P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. (Q(x) 0). P(x) in Q(x) e bölünebilmesi için der [P(x)] der[q(x)] olmalıdır.. P(x) in Q(x) e bölümünde bölüm B(x) ise, der[p(x)] = der[q(x)] + der[b(x)] dir.. P(x) = B(x). Q(x) + K(x) bölme işleminde K(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçüktür. 4. Reel katsayılı polinomlar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir. 5. P(x), Q(x) iki polinom (Q(x) 0) der [P(x)] = m der[q(x)] = n ve m > n ise 4 der P (x) Q (x) 9 C = der P (x) der Q (x) = m n'dir TANIM der [P(x)] olan bir P(x) polinomunun a R olmak üzere, x + a ile tam bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul P(x) de x = a yazıldığında polinomun sıfır olmasıdır. Bir Polinomun (x a) ile bölümünden kalan k, (x b) ile bölümünden kalan k iken bu polinomun (x a) (x b) ile bölümünden kalanı bulma: P(x) in (x a) (x b) ye bölümünden kalan en çok. dereceden olacağından kalan nx + m olsun. P(x) = (x a) (x b). B(x) + nx + m yazalım. P(x) in x a ile bölümünden kalan k x b ile bölümünden kalan k olduğundan P(a) = k ve P(b) = k dir. x = a için P(a) = ( a a).( a b). B( a ) + na + m = k 0 na + m = k... () x = b için P(b) = ( a b).( b b). B( b ) + nb + m = k 0 nb + m = k... () dir. () ve () denklemleri birlikte düşünülürse. na + m = k k k & n( a - b) = k k nb + m = k - n = - a - b k k n. a + m = k ve n = - k - k. a + m = k a - b a - b ak m = k - ak ak m = - bk - ak + ak a - b a - b ak m = - bk dir. a - b O halde kalan K(x) = nx + m K( x) k - k ak bk = x c a - b m + a - dir. - b Soru

35 . P(x) = x x + 5x + 4 UYGULAMA ADIMI. P(x) = x 4 + x x polinomunun Q(x) = x polinomu ÜNİTE - Q(x) = x x + polinomları verilsin. P(x)'i Q(x)'e bölelim. Çözüm : ile bölümünden elde edilen bölüm ax + bx + cx + d ise, a + b + c + d toplamını bulalım. Çözüm : P(x) x - x + 5x + 4 x - x + x + - 4x x x + x + x x + - x + - 5x + K(x) Bu bölme işleminde, Bölünen : x x + 5x + 4 Bölen : x x + Q(x) B(x) - x 4 + x - x - x x x - x + x + x + - x - x - x + - x - x - x - x + - x x x - 0 Bölüm, x + x + x + olup, ax + bx + cx + d ile eşitle- Bölüm : x + nirse, x + x + x + = ax + bx + cx + d ve iki polinomun Kalan : 5x + olur. eşitliğinden a =, b =, c =, d = olup P(x) = B(x). Q(x) + K(x) olduğundan bölme işlemini a + b + c + d = = 6 bulunur. x x + 5x + 4 = (x + ). ( x x + ) + 5x + biçiminde ifade ederiz. Bölme işleminde K(x) = 5x + 0 olduğundan bölme kalanlıdır.. P(x) = x + 8x + x 9 polinomunu Q(x) = x + 5x polinomuna bölelim. Çözüm : 4. (x + x). B(x) x = x 4x 48x eşitliğini sağlayan B(x) polinomunu bulalım. Çözüm : (x + x) B(x) x = x 4x 48x eşitliğinde, B(x) i bulabilmek için, önce eşitliğin solundaki x ü, eşitliğin sağına alalım. Bu durumda eşitlik, (x + x) B(x) = 4x 4x 48x biçiminde olup 4x - 4x - 48x B( x) = tir. x + x. BÖLÜM DA İŞLEMLER x + 8x + x - 9 x + 5x - x + - 5x x x + x + 5x - 9 x + - 5x = K(x) B(x) = x + tür. K(x) = 0 olduğundan bölme kalansızdır. 4x - 4x - 48x 4x - + x - -6x - 48x + - 6x x 0 x + x 4x - 6 olup yapılan bölme işleminden B(x) = 4x 6 bulunur. 5

36 ÜNİTE - 5. P(x) = x x ax 4 polinomunun (x ) ile bölümünden UYGULAMA ADIMI. Yol: elde edilen kalanın 6 olması için a yerine yazılacak sayıyı bulalım. Çözüm : x = 0 x = dir. Bu değer P(x) de yerine yazıldığında P() = 6 olmalıdır. P() =.. a 4 = a 4 = 6 a = 6 a = olarak bulunur. 6. P(x) = x + 5x + mx + n polinomunun (x + ). ( x + 5) çarpımı ile tam bölünebilmesi için m ve n yerine yazılacak sayıları bulalım. (x + ). (x + 5) = x + 7x + 0 olup P(x) polinomu x + 7x + 0 polinomuna bölünürse, x + 5x + mx + n x + 7x + 0 x - + 4x - + 0x x + - x + (m - 0) x + n x x + 0 (m - 7) x + n - 0 = K(x) Kalan P(x) polinomunun (x + ) (x + 5) çarpımı ile tam bölünebilmesi için K(x) = 0 olmalıdır. Bunun için (m 7)x + n 0 = 0 ve polinomların eşitliğinden m 7 = 0 ve n 0 = 0 olmalıdır. Buradan m = 7 ve n = 0 olarak bulunur.. BÖLÜM DA İŞLEMLER Çözüm :. Yol P(x) in (x + ).( x + 5) çarpımı ile bölünebilmesi için (x + ) ve (x + 5) çarpanları ile ayrı ayrı bölünebilmesi gerekir. Buna göre, x + = 0 x = ve P( ) = 0 olmalıdır. P( ) =. ( ) + 5. ( ) + m( ) + n = 0 ise m + n = 0 ve m + n = x + 5 = 0 x = 5 ve P( 5) = 0 olmalıdır. P( 5) = ( 5) + 5. ( 5) + m( 5) + n = 0 ise m + n = 0 ve 5m + n = 5... olup ve ortak çözülürse, - m + n = m + n = -5 m = 8 m = 7 dir. denkleminde m = 7 yazılırsa. 7 + n = 44 ve 54 + n = 44 n = 0 bulunur. 7. P(x) = x + ax + bx 5 polinomunun (x ) ile bölümünden kalan 8, (x + ) ile bölümünden kalan 4 ise, a ve b sayılarını bulalım. Çözüm : x = 0 x = dir. P() = 8 olup + a. + b. 5 = 8 a + b =... x + = 0 x = dir. P( ) = 4 olup ( ) + a + b ( ) 5 = 4 ve a b = 0... ve denklemleri ortak çözülürse, a + b = + a - b = 0 a = ise a = 6 dır. denkleminde a = 6 yazılırsa b = ve b = 4 bulunur. Soru

37 UYGULAMA ADIMI ÜNİTE - 8. P(x) = 6x 4 +kx 5x + 9 polinomu (x ) ile tam bölündüğüne göre, (x + ) ile bölümünden kalan nedir? Çözüm : 0. P(x, y) = x n + y m x n y n y n polinomunun (x y) ile kalansız bölünebilmesi için m ile n arasında hangi bağıntı olmalıdır? Çözüm : x y = 0 y = x yazalım. Kalansız bölünebilmesi için P(x) polinomu (x ) ile tam bölündüğüne göre P() = 0 dır. P() = k = 0 k + 0 = 0 k = 0 olur. Öyleyse P(x) = 6x 4 0x 5x + 9 dur. P(x, x) = 0 olmalıdır. P(x, x) = x n + x m x n. x n x n = 0 x n + x m x n x n = 0 x m x n = 0 x m = x n n m = olmalıdır. P(x) in (x + ) ile bölümünden kalanı bulalım : x + = 0 x = dir. Bu değer P(x) polinomunda yerine yazılırsa, P( ) = 6 ( ) 4 0 ( ) 5.( ) + 9. P(x) = 99x x x polinomunun (x + ) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm : = ( ) P() = = 0 olup P(x) polinomunun (x + ) ile bölümünden kalan 0 dur. 9. P(x ) = x 5 5x 4 + 0x 5x + 5x ise, P(x) polinomunun (x + ) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm : P(x) in (x + ) ile bölümünden kalan P( ) olduğundan x + = 0 x = olup polinomda yerine yazılırsa P( ) = 99 ( ) ( ) ( ) P( ) = = dir. ETKİNLİK Aşağıdaki şekilde dikdörtgenlerin kenar uzunlukları veriliyor. x + (x + ) x + x + x - a) Toplam alanı veren bir polinom modeli yazınız. b) Toplam çevreyi veren bir polinom modeli yazınız.. BÖLÜM DA İŞLEMLER P(x ) = P( ) olmalıdır. x = x = yazılarak P( ) = P( ) = P( ) = bulunur. 7

38 ÜNİTE -. m N +, P(x) = (x + ) m x m x polinomunun UYGULAMA ADIMI. P(x) = x n+ (n + ) x + n polinomunun (x ) ile tam bölünebildiğini gösterelim. Çözüm : x = 0 x = ve x(x + ). (x + ) ile tam bölünebileceğini gösteriniz. Çözüm : P(x) polinomunun x(x + ). (x + ) çarpımı ile kalansız bölünebilmesi için x, (x + ), (x + ) ile ayrı ayrı kalansız bölünebilmesi gerekir. Buna göre, x = 0 için P(0) = (0 + ) m 0 0 = = 0 x + = 0 x = için P( ) = ( + ) m ( ) m. ( ) P() = (n + ) + n = 0 olup P(x) polinomu (x ) ile kalansız bölünür.. BÖLÜM DA İŞLEMLER = 0 + = 0 x + = 0 x = - için m m Pc- m = c- + m - c- m - c- m - m m = c m - c- m + - Pc- m = 0 olduğundan P(x) polinomu x(x + ). (x + ) çarpımı ile kalansız bölünür. ETKİNLİK x UYARI m N + için m çift olduğundan m m ` = j ` j dir. Aşağıdaki cisimlerin hacmini bulunuz. x + x + x x x + x + x x x x + 4. P(x + ) = 4x + x + x 4 polinomu için P(x + ) nin (x + ) ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm : P(x + ) nin (x + ) ile bölümünden kalanı bulmak için x yerine yazarız. (x + = 0 x = ) P (x + ) P( + ) = P() olup P(), P(x + ) nin (x + ) ile bölümünden kalandır. P()' i bulmak için P(x + ) de x = 0 yazmalıyız. (x + = x = 0 ve x = 0) P(x + ) = 4x + x + x 4 (x = 0 yazalım) P(. 0 + ) = P() = 4 tür. O halde P(x + ) nin (x + ) ile bölümünden kalan 4 tür. Bu soruyu önce P(x)' i, sonra P(x + )' yi bulup, sonra da x = yazarak çözebilirsiniz. 8 Soru

39 5. P(x) = 4x 4 x 5x + 7x + polinomunun ( x + ) ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı bölme işlemi yapmadan bulalım. UYGULAMA ADIMI a = 4 b = a b = 4 = 7 b = 7 c = 5 b = 5 ( 7) = c = d = 7 c d = 7 = 5 ÜNİTE - Çözüm : der [P(x)] = 4 olduğundan (x + ) ile bölümünden elde edilen bölüm. dereceden olacaktır. Bölüm Q(x) = ax + bx + cx + d biçiminde yazılabilir. x + = 0 x = dir. Bölüm Q(x) ve kalan P( ) olduğundan P(x) = (x + ). Q (x) + P( ) yazabiliriz. P(x) P( ) = ( x + ). Q (x) olup Q(x) = ax + bx + cx + d yerine yazılırsa d = 5 P( ) = d = 5 = 4 a = 4, b = 7, c =, d = 5 değerleri Q(x) = ax + bx + cx + d bölüm polinomunda yerlerine yazılırsa, Q (x) = 4x 7x + x + 5 ve kalan K = P( ) = 4 bulunur. Burada dikkat edilirse polinomun x + ile bölümünden elde edilen kalan polinomda x yerine yazılarak bulunmamıştır. Belirsiz katsayılar yöntemi ile bölüm ve kalan bölme işlemi yapmadan bulunabilir. = (x + ). (ax + bx + cx + d) = ax 4 + (a + b)x + (b + c) x + (c + d) x + d elde edilir. P(x) = 4x 4 x 5x + 7x + olduğundan P(x) P( ) = 4x 4 x 5x + 7x + P( ) yazıp iki polinomu eşitleyelim. ax 4 + (a + b) x + (b + c)x + (c + d) x + d = 4x 4 x 5x + 7x + P( ) dir. Eşit polinomların özelliklerinden a = 4 ve a + b = ve b + c = 5 ve c + d = 7 6. x 4 4x + 6x 6 = (x ax + b) (x + x 4) eşitliğinin sağlanması için a ve b ne olmalıdır? Çözüm : x 4 4x + 6x 6 = (x ax + b ). (x + x 4) eşitliğinde sağ taraftaki iki ifade çarpılırsa, x 4 4x + 6x 6 = x 4 + ( a)x + (b a 4) x + (4a + b) x 4b olup eşit dereceli terimlerin katsayıları da eşit olacağından,. BÖLÜM DA İŞLEMLER ve d = P( ) dir. - a = 0 _ b - a - 4 =-4b `olup a =, b = 4 olarak bulunur. 4a + b = 6 b - 4b =-6 a 9

40 ÜNİTE - 7. P(x) polinomunun (x + ) ile bölümünden kalan UYGULAMA ADIMI 8. P(x) polinomunun (x 4) ile bölümünden kalan, (x + ) 6, (x ) ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, P(x) in (x + ). ( x ) ile bölümünden elde edilen kalanı bulalım. Çözüm : ile bölümünden kalan 8 ise, P(x) in x x 8 ile bölümünden kalanı bulalım. Çözüm : x 4 = 0 x = 4 P(4) = P(x) in (x + ). (x ) çarpımı ile bölümünden kalan en çok. dereceden olacağından kalan K(x) = mx + n ile gösterilirse bölme eşitliğinden x + = 0 x = P( ) = 8 veriliyor. P(x) in x x 8 ile bölümünden kalan en çok. dereceden olacağından kalan K(x) = mx + n olsun. Bölme eşitliğine göre,. BÖLÜM DA İŞLEMLER P(x) = (x + ). (x ). B(x) + mx + n yazılır. x + = 0 x = P( ) = m + n = 6 x = 0 x = P() = m + n = 4 - m + n = 6 &- 4m = & m =- m + n = 4 olup m =- ve m + n = 4 & - + n = 4 & n = n = O halde kalan K(x) = mx + n ETKİNLİK 5 K(x) = - x + bulunur. P(x) in (x + ) ile bölümünden kalan ise x + x. P(x + ) polinomunun (x + ) ile bölümünden kalanı bulunuz. P(x) = (x x 8).B(x) + mx + n = (x 4). (x + ). B(x) + mx + n dir. x = 4 P(4) = 4m + n = x = P( ) = m + n = 8 4m + n = & 6m = m + n = 8 m =- dir. m = ve m + n = 8 ( ). ( ) + n = 8 n = 6 dır. O halde kalan K(x) = mx + n K(x) = x + 6 bulunur. ETKİNLİK Bir polinomun (x a) ile bölünmesinden A kalanı, (x b) ile bölünmesinden B kalanı ve (x c) ile bölünmesinden C kalanı elde ediliyorsa aynı polinomun (x a) (x b) (x c) çarpımı ile bölünmesinden elde edilen kalanın K(x) =. ( x - b )( x - c ) ( x - c)( x - a) ( x - a)( x - b) A + B. + C. ( a - b)( a - c) ( b - c)( b - a) ( c - a)( c - b) olduğunu gösteriniz. 40 Soru

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız. POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması POLİNOMLAR Polinomlar f: A B biçiminde tanımlanmış f(x) fonksiyonunda, A kümesi tanım kümesi ve B kümesi değer kümesidir. Fonksiyonlarda, fonksiyonu tanımsız yapan değerler tanım kümesinde yer alamaz.

Detaylı

POLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:

POLİNOMLARIN TANIMI.  ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI: ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde 30. yıl Komisyon ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI ISBN 978-605-318-684-7 Kitapta yer alan

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Çarpanlara Ayırma 5 52 Polinomlar 53 100 İkinci Dereceden Denklemler 101 120 Karmaşık Sayılar

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz?

ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz? ŞAH VE MAT Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz? O tarihlerde yazılmış olan pek çok evrakta satranç oyunundan söz ediliyor. Daha önce Çin'de de

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK KPSS - YGS - DGS - ALES Adayları için ve 9. sınıfa destek 0 dan Başlayanlara AKTİF MATEMATİK MEHMET KOÇ ÖNSÖZ Matematikten korkuyorum, şimdiye kadar hiç matematik çözemedim, matematik korkulu rüyam! bu

Detaylı

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir?

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir? POLÝNOMLAR TEST / 1 1. Bir fonksiyonun polinom belirtmesi için, deðiþkenlerin kuvveti doðal sayý olmalýdýr. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi bir polinomdur? 5. m 4 8 m 1 P(x) = x + 2.x + 2 ifadesi bir

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme

matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme çöz kazan matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme kpss 2015 ÖSYM sorularına en yakın tek kitap tamamı çözümlü geometri 2014 kpss de 94 soru yakaladık soru bankası Kenan Osmanoğlu, Kerem Köker KPSS

Detaylı

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçığı 1 (MF - TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No MATEMATÝK - II POLÝNOMLAR - IV MF TM LYS1 04 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 120 Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde 30. yıl Editör Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Yazar Komisyon KPSS Matematik-Geometri

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.08.0 ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 0-0 Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren uy gu lana cak olan prog ra ma gö re

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın

Detaylı

Komisyon LYS1 MATEMATİK 10 DENEME TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon LYS1 MATEMATİK 10 DENEME TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon LYS1 MATEMATİK 10 DENEME TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ISBN 978-605-18-84-7 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay.

Detaylı

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 10. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR KOMİSYON

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 10. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR KOMİSYON ORTAÖĞRETİM MATEMATİK 0. SINIF DERS KİTAI YAZARLAR KOMİSYON DEVLET KİTAPLARI İKİNCİ ASKI..., 0 MİLLİ EĞİTİM AKANLIĞI YAYINLARI...: 5659 DERS KİTAPLARI DİZİSİ...: 54.?.Y.000.470 Her hakkı saklıdır ve Milli

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Operatörler 5 Bibliography 19 Index 23 1 Operatörler İşlemler 1.1 Operatör Nedir? İlkokulden

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY- H AY D A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K

T I M U R K A R A Ç AY- H AY D A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K T I M U R K A R A Ç AY- H AY D A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K Copyright 2017 Timur Karaçay-Haydar Eş-İbrahim İbrahimoğlu BU KITAP BAŞKENT ÜNIVERSITESINDE

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 9 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

Polinomlar II. Dereceden Denklemler

Polinomlar II. Dereceden Denklemler Ödev Tarihi :... Ödev Kontrol Tarihi :... Kontrol Eden :... LYS MATEMATİK - II Ödev Kitapçığı 1 (MF-TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Adý Soyadý :... BÝREY DERSHANELERÝ MATEMATÝK-II ÖDEV KÝTAPÇIÐI

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

8. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI

8. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI 8. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI Tudem Eğitim Hiz. San. ve Tic. A.Ş 1476/1 Sokak No: 10/51 Alsancak/Konak/ÝZMÝR Yazarlar: Tudem Yazý Kurulu Dizgi ve Grafik: Tudem Grafik Ekibi Baský ve Cilt:

Detaylı

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I Üniversite Hazırlık / YGS Kolay Temel Matematik 0 KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I. 8 ( 3 + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) A) B) 0 C) D) E) 3. 7 3. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) 0

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı