Bazı Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemlerin Taylor Kolokeyşin-Genişletilmiş Kübik B-spline Fonksiyonlar ile Sayısal Çözümleri. Abdullah Murat Aksoy

Transkript

1 Bazı Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemlerin Taylor Kolokeyşin-Genişleilmiş Kübik B-spline Fonksiyonlar ile Sayısal Çözümleri Abdullah Mura Aksoy DOKTORA TEZİ Maemaik Anabilim Dalı Eylül

2 Numerical Soluions of Some Parial Differenial Equaions Using he Taylor Collocaion-Exended Cubic B-spline Funcions Abdullah Mura Aksoy DOCTORAL DISSERTATION Deparmen of Mahemaics Sepember

3 Bazı Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemlerin Taylor Kolokeyşin-Genişleilmiş Kübik B-spline Fonksiyonlar ile Sayısal Çözümleri Abdullah Mura Aksoy Eskişehir Osmangazi Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Lisansüsü Yönemeliği Uyarınca Maemaik Anabilim Dalı Uygulamalı Maemaik Bilim Dalında DOKTORA TEZİ Olarak Hazırlanmışır Danışman: Prof. Dr. İdris Dağ Eylül

4 ONAY Maemaik Anabilim Dalı Dokora öğrencisi Abdullah Mura Aksoy un DOKTORA ezi olarak hazırladığı Bazı Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemlerin Taylor Kolokeyşin- Genişleilmiş Kübik B-spline Fonksiyonlar ile Sayısal Çözümleri başlıklı bu çalışma, jürimizce lisansüsü yönemeliğin ilgili maddeleri uyarınca değerlendirilerek kabul edilmişir. Danışman : Prof. Dr. İdris DAĞ İkinci Danışman : - Dokora Tez Savunma Jürisi: Üye : Prof. Dr. İdris DAĞ Üye : Doç. Dr. Bülen Saka Üye : Yrd. Doç. Dr. Yılmaz Dereli Üye : Yrd. Doç. Dr. Dursun Irk Üye : Yrd. Doç. Dr. Ahme Boz Fen Bilimleri Ensiüsü Yöneim Kurulu nun... arih ve... sayılı kararıyla onaylanmışır. Prof. Dr. Nimeullah BURNAK Ensiü Müdürü

5 v ÖZET Bu ezde, genişleilmiş kübik B-spline Taylor kolokeyşin meodu kullanılarak bazı kısmi ürevli diferansiyel denklem sisemlerinin sayısal çözümleri araşırılmışır. İlk bölümde sonlu farklar ve sonlu elemanlar yönemleri, kolokeyşin meodu, B-spline fonksiyonlar, kübik B-spline fonksiyonlar, genişleilmiş kübik B-spline fonksiyonlar, genişleilmiş kübik B-spline kolokeyşin yönemi, lineer olmayan oluşum denklemleri, korunum kanunları ve solion dalgaları anıılmışır. İlerleyen bölümlerde sayısal çözümleri bulunacak olan denklem sisemleri ve es problemleri hakkında bilgiler verilmişir. İkinci bölümde, NLS denklemi sayısal olarak çözülmüşür. Solion dalga çözümü, iki solion dalgasının çarpışması, sabi solion dalgasının doğuşu, harekeli solion dalgasının doğuşu ve bağlı durumlu solionlar incelenmişir. Üçüncü bölümde, KB ve RB denklem sisemleri yaklaşık olarak çözülmüşür. Önerilen yönemin doğruluğu ilerleyen dalga çözümü ve iki ilerleyen dalganın çarpışması es problemleri ile konrol edilmişir. Dördüncü bölümde, İkili Burgers denklem sisemi için genişleilmiş kübik B-spline kolokeyşin yönemi anıılmış ve iki es problemi üzerinde çalışılmışır. Beşinci bölümde, reaksiyon-difüzyon denklem siseminin sayısal çözümü bulunmuş, lineer reaksiyon-difüzyon ve izoermal kimyasal sisem problemleri yaklaşık olarak çözülmüşür Anahar Kelimeler: B-spline, Genişleilmiş B-spline, Sonlu elemanlar, Solion dalgası, Kolokeyşin, İlerleyen dalga, İzoermal

6 vi SUMMARY This hesis deals wih he numerical soluions of some parial differenial equaion sysems by using exended he cubic B-spline Taylor collocaion mehod. In he firs chaper, he finie difference and he finie elemen mehods, collocaion mehod, B-spline funcions, cubic B-spline funcions, exended cubic B-spline funcions, nonlinear evoluion equaions, conversaion laws, solion waves are described. The parial differenial equaion sysems ha will be solved numerically in he nex chapers are inroduced ogeher wih heir es problems. In he second chaper, he NLS equaion is solved numerically. Five es problems concerning soliary waves, ineracion of wo solion waves, birh of sanding solion, birh of mobile solion and bound sae of solions are used o show accuracy of numerical soluions. In he hird chaper, he sysems of KB and RB equaions are solved numerically. The proposed mehod is esed by sudying ravelling wave es problem and ineracion of wo ravelling waves es problem. In he fourh chaper, Coupled Burgers equaion is solved numerically and wo es problems are used o demonsrae he performance of he mehod. In he fifh chaper, sysem of reacion-diffusion equaion is solved numerically. Linear reacion-diffusion problem and isohermal chemical sysem problem are used o evaluae he mehod. Keywords: B-spline, Exended B-spline, Finie elemen, Solion waves, Collocaion, Travelling waves, Isohermal

7 vii TEŞEKKÜR Çalışmalarımı yöneen, yardımlarını esirgemeyen, her ürlü imkanı sağlayan kıymeli hocam Prof. Dr. İdris DAĞ a, karşılaşığım zorluklar karşısında çözüm yolları üreen ve bilgilerini paylaşmakan kaçınmayan hocam Yrd. Doç. Dr. Dursun IRK a, değerli bilgi ve fikirlerine başvurduğum arkadaşlarım Yrd. Doç. Dr. Ali ŞAHİN ve Yrd. Doç. Dr. Alper KORKMAZ a, anlayışla ve sabırla daima yanımda olan eşime ve üzerimdeki büyük emeklerinden dolayı aileme eşekkürlerimi sunarım.

8 viii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... v SUMMARY... vi TEŞEKKÜR... vii ŞEKİLLER DİZİNİ... xi TABLOLAR DİZİNİ... xiii KISALTMALAR DİZİNİ... xvi. TEMEL KAVRAMLAR.... Sonlu Farklar Yönemi.... Sonlu Elemanlar Yönemi..... Kolokeyşin meodu B-spline Fonksiyonlar Kübik B-spline kolokeyşin yönemi Genişleilmiş kübik B-spline kolokeyşin yönemi Lineer Olmayan Oluşum Denklemleri....5 Korunum Kanunları Solionlar NLS Denklem Sisemi ve Tes Problemleri Solion dalga çözümü İki solion dalgasının çarpışması Sabi solion dalgasının doğuşu Harekeli solion dalgasının doğuşu Bağlı durumlu solionlar (Bound sae of solions)....8 KB Denklem Sisemi, RB Denklem Sisemi ve Tes Problemleri İlerleyen dalga çözümü İki İlerleyen dalganın çarpışması İkili Burgers Denklem Sisemi ve Tes Problemleri Problem Problem Reaksiyon-Difüzyon Denklem Sisemi ve Tes Problemleri... 9

9 ix İÇİNDEKİLER (Devam Ediyor) Sayfa.. Lineer problem..... İzoermal kimyasal sisem.... NLS DENKLEMİNİN GENİŞLETİLMİŞ KÜBİK B-SPLINE TAYLOR KOLOKEYŞİN METODUYLA SAYISAL ÇÖZÜMLERİ NLS Denkleminin Sayısal Çözümü İçin Genişleilmiş Kübik B-spline Taylor Kolokeyşin Meodu Zaman ayrışımı Konum ayrışımı Başlangıç Durumu Tes Problemleri Solion dalga çözümü İki solion dalgasının çarpışması Sabi solion dalgasının doğuşu Harekeli solion dalgasının doğuşu Bağlı durumlu solionlar Sonuç KB VE RB DENKLEM SİSTEMLERİNİN GENİŞLETİLMİŞ KÜBİK B-SPLİNE TAYLOR KOLOKEYŞİN METODUYLA SAYISAL ÇÖZÜMLERİ KB Denklem Siseminin Sayısal Çözümü İçin Genişleilmiş Kübik B-spline Taylor Kolokeyşin Meodu Zaman ayrışımı Konum ayrışımı Başlangıç durumu Tes Problemleri İlerleyen dalga çözümü İki ilerleyen dalganın çarpışması RB Denklem Siseminin Sayısal Çözümü İçin Genişleilmiş Kübik B-spline

10 x Taylor Kolokeyşin Meodu Zaman ayrışımı Konum ayrışımı Başlangıç durumu Tes Problemleri İlerleyen dalga çözümü İki ilerleyen dalganın çarpışması Sonuç İKİLİ BURGERS DENKLEM SİSTEMİNİN GENİŞLETİLMİŞ KÜBİK B-SPLINE TAYLOR KOLOKEYŞİN METODUYLA SAYISAL ÇÖZÜMLERİ İkili Burgers Denklem Siseminin Sayısal Çözümü İçin Genişleilmiş Kübik B-spline Taylor Kolokeyşin Meodu Zaman ayrışımı Konum ayrışımı Başlangıç Durumu Tes Problemleri Problem Problem Sonuç REAKSİYON DİFÜZYON DENKLEM SİSTEMİNİN GENİŞLETİLMİŞ KÜBİK B-SPLINE TAYLOR KOLOKEYŞİN METODUYLA SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Reaksiyon-Difüzyon Denklem Siseminin Sayısal Çözümü İçin Genişleilmiş Kübik B-spline Taylor Kolokeyşin Meodu Zaman ayrışımı Konum ayrışımı Başlangıç Durumu Tes Problemleri Lineer problem İzoermal kimyasal sisem Sonuç... 6

11 xi İÇİNDEKİLER (Devam Ediyor) Sayfa 6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER KAYNAKLAR DİZİNİ... ÖZGEÇMİŞ...

12 xii ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil. [ ] x m, x sonlu elemanında,..., m+ m m+ Sayfa φ φ kübik B-spline fonksiyonları λ =, 5,,5, için genişleilmiş kübik B-spline fonksiyonlar.... Bir solion dalgasının harekei N = 4, =.5, λ =. 5 ve x için = zamanındaki Mulak Haa= Analiik çözümün modülü-sayısal çözümün modülü N = 4, =.5, λ =. 5 ve x için solion dalga çözümleri N = 4, =.5, λ =. 5 ve x için iki solion dalgasının çarpışması N = 4, =.5, λ =. 5 ve 45 x 45 için sabi solion dalgasının doğuşu N = 4, =.5, λ =. 5 ve 45 x 45 için harekeli solion dalgasının doğuşu M = 4, q = için sec h( x ) M = 5, q = 5 için sec h( x ) N =, =.5, λ =. 7 ve x için = 5 zamanındaki Mulak Haa = Analiik çözümün modülü-sayısal çözümün modülü N =, =.5, λ =. 7 ve x için sayısal çözümler = anında dalgaların durumu N =, =.5, λ =. 7 ve x için iki soliary dalgasının çarpışması N =, =.5, λ =. 97 ve x için = 5 zamanındaki Mulak Haa = Analiik çözümün modülü-sayısal çözümün modülü N =, =.5, λ =. 97 ve x için =.;5.;.;5. zamanlarındaki sayısal çözümler... 74

13 xiii ŞEKİLLER DİZİNİ (Devam Ediyor) Şekil Sayfa.7 = anında dalgaların durumu İki ilerleyen dalganın çarpışması N = 4, =., λ = 4.87 ve π π x için sayısal çözümler N =, =., λ = 6 ve x için = zamanındaki Mulak Haa = Analiik çözümün modülü-sayısal çözümün modülü N = 4, k =., λ = için ilerleyen dalga çözümleri N = 4, k =., λ = için ilerleyen dalga çözümleri N = 4, k =.5, λ = için ilerleyen dalga çözümleri N = 4, k =., λ =.6 için ilerleyen dalga çözümleri N = 4, k =.9, λ = için ilerleyen dalga çözümleri N = 4, k =., λ =. 9 için ilerleyen dalga çözümleri... 5

14 xiv TABLOLAR DİZİNİ Tablo Sayfa. Bölünme nokalarındaki kübik B-spline değerleri Bölünme nokalarındaki genişleilmiş kübik B-spline değerleri.... h =., =.5, N = 4 için haa normları ve korunum sabileri İki solion dalgasının çarpışması h =., =.5, A =.78, N = 4 için sabi solion dalgasının doğuşu h =., =.5, A =.78, N = 4 için harekeli solion dalgasının doğuşu h =., =.5, q = için korunum sabileri h =., =.5, q = 5 için korunum sabileri v m için N = ve x olmak üzere = 5 zamanındaki haa normlarının kıyaslanması u m için N = ve x olmak üzere = 5 zamanındaki haa normlarının kıyaslanması v m için N = ve x olmak üzere = 5 zamanındaki haa normlarının kıyaslanması u m için N = ve x olmak üzere = 5 zamanındaki haa normlarının kıyaslanması =., N =, N = 4, =. için haa normları N = 4, =, =., =. için haa normları =, =., N =, N = olmak üzere u( x, ) için hesaplanan haa normları =, =., N =, N = olmak üzere v( x, ) için hesaplanan haa normları = zamanında difüzyon baskın durumu için elde edilen haa normları...

15 xv TABLOLAR DİZİNİ (Devam Ediyor) Tablo Sayfa 5. = zamanında reaksiyon baskın durumu için elde edilen haa normları k =., = için hesaplanan bağıl haa değerleri k =.5, = için hesaplanan bağıl haa değerleri k =.9, = için hesaplanan bağıl haa değerleri... 6

16 xvi KISALTMALAR DİZİNİ Kısalmalar BST KB NLS RB Açıklama Boussinesq sisemi ipi Klasik Boussinesq Lineer olmayan Schrödinger Regularized Boussinesq

17 BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR Fizik, maemaik gibi bilim dallar nda ve çeşili mühendislik alanlar nda karş laş lan birçok problem, k smi ürevli diferansiyel denklemlerle modellenir. Model problemleri analiik yönemlerle çözmek her zaman mümkün olmad ¼g ndan dolay, alernaif olarak yaklaş k çözüm yönemleri kullan l r. Sonlu farklar yönemi ve sonlu elemanlar yönemi yayg n olarak kullan lan yaklaş k çözüm yönemleridir.. Sonlu Farklar Yönemi Sonlu farklar yöneminde diferansiyel denklemin an m aral ¼g sonlu say da bölünme nokalar na ayr l r ve her bir bölünme nokas ndaki ürev de¼gerleri yerine Taylor seri aç l mlar yard m yla elde edilen, sonlu fark yaklaş mlar yaz l r. Böylece diferansiyel denklem bir cebirsel denkleme dönüşür. Bir de¼gişken içeren ifadeler için sonlu fark yaklaş mlar, Taylor serisi yard m yla aşa¼g daki şekilde elde edilir. [a; b] an m aral ¼g için, N bir poziif amsay, h = b a N olsun. x i = ih; i = ; ; : : : ; N ve bölünme nokalar Bu durumda, U(x) fonksiyonu ve ürevleri an m aral ¼g üzerinde sürekli olmak üzere, U(x i +h) ve U(x i h) ifadelerinin x i nokas ndaki Taylor seri aç l mlar U(x i + h) = U(x i ) + hu x (x i ) + h! U xx(x i ) + h! U xxx(x i ) + : : : ; (.) U(x i h) = U(x i ) hu x (x i ) + h! U xx(x i ) olarak bulunabilir. (.-.) eşilikleri U x (x i ) = U(x i + h) U(x i ) h U x (x i ) = U(x i) U(x i h) h h! U xx(x i ) + h! U xx(x i ) şeklinde düzenlenirse, U ifadesinin x i nokas ndaki birinci ürevi U x (x i ) = U(x i + h) U(x i ) h U x (x i ) = U(x i) U(x i h) h h! U xxx(x i ) + : : : (.) h + O(h) = U i+ U i h + O(h) = U i U i h! U xxx(x i ) : : : ; (.) h! U xxx(x i ) + : : : (.4) + O(h); (.5) + O(h) (.6)

18 formunda yaklaş k olarak bulunabilir. ileri ve geri fark yaklaş mlar olarak adland r l r. (.5-.6) ile bulunan yaklaş mlar s ras yla Her iki yaklaş mda da görüldü¼gü gibi, seri belli bir yerden kesildi¼gi için bir haa oluşacak r. Oluşan haalar, serinin kesildi¼gi yerden sonraki ilk erime göre de¼gerlendirilir ve O(:) ile göserilir. (.) eşili¼gi, (.) eşili¼ginden ç kar l r ve düzenlenirse U x (x i ) = U(x i + h) U(x i h) h U x (x i ) = U i+ U i h + O(h ); + O(h ) (.7) formunda birinci ürev için merkezi fark yaklaş m bulunur. Ayr ca, (.) ve (.) eşilikleri araf arafa oplan rsa U xx (x i ) = U(x i + h) U(x i ) + U(x i h) h + O(h ); U xx (x i ) = U i+ U i + U i h + O(h ) (.8) formunda ikinci ürev için sonlu fark yaklaş m da bulunabilir. Ayr n l bilgi için (Lapidus and Pinder, 98; Smih, 978; Thomas, 995; Irk, 7) referanslar incelenebilir.. Sonlu Elemanlar Yönemi Fiziksel sürecin maemaiksel formülasyonu ve maemaisel modelin nümerik olarak analizi, ziksel olaylar üzerinde çal şan birçok mühendis ve bilim adam n n ilgilendi¼gi iki emel konudur. Fiziksel sürecin maemaiksel formülasyonu, ilgili konu (örne¼gin zik yasalar ) hakk nda ve kullan lacak maemaiksel yönem hakk nda deneyim gerekirir. Formülasyon sonucunda genellikle bir diferansiyel denklem oraya ç kar. Maemaiksel modelin elde edilmesi ve ziksel sürecin karakerisik özelliklerinin ahmin edilmesi için kullan lan nümerik yönemlerden birisi sonlu elemanlar yönemidir. Sonlu elemanlar yönemi, varyasyonel yönemlerdendir. Faka geleneksel varyasyonel yönemlerin baz dezavanajl yönlerinin üsesinden gelmişir. Sonlu elemanlar yönemini di¼ger say sal yönemlerden üsün k lan üç emel özellik vard r. Bunlardan birincisi, geomerik olarak karmaş k olan çözüm bölgesinin, sonlu eleman olarak

19 adland r lan, geomerik al bölgelerin bir kolleksiyonu olarak yeniden göserilmesidir. Ikincisi, herhangi bir sürekli fonksiyon, cebirsel polinomlar n bir lineer kombinasyonu olarak göserilebilir düşüncesinden harekele, herbir sonlu eleman üzerinde, çözüm fonksiyonlar için yaklaş m fonksiyonlar oluşurulmas d r. Üçüncüsü, diferansiyel denklem kullan larak, bilinmeyen kasay lar aras nda cebirsel ba¼g n lar elde edilmesidir (Reddy, 99). Sonlu elemanlar meodu hem düzgün, hem de düzgün olmayan karmaş k geomerik bölgelerde iyi sonuçlar vermekedir. Praik, uygulanmas kolay ve bilgisayar programlama man ¼g na uygun bir yönemdir (Logan, 7). Problemin çözüm bölgesinin, al bölgelerin bir kolleksiyonu olarak göerilmesi sadece sonlu elemanlar yönemine ai bir yaklaş m de¼gildir. Anik maemaikçiler, bu yaklaş m say s n n de¼gerini hesaplamak için kullanm şlar ve say s n n yaklaş k 4 basama¼g n do¼gru olarak hesaplam şlard r. Hesaplamalar yaparken bir çemberi sonlu say da kenarlar olan bir çokgen olarak ele alm şlard r. Burada çokgenin herbir kenar bir sonlu eleman olarak ele al nm ş r. Hreniko (94), bir elasik düzlemi kolonlar ve kirişlerin bir kolleksiyonu olarak yap sal analizde kullanm ş r. Couran (94), bilinmeyen bir fonksiyona yaklaş m yapmak için al bölgelerde an ml, parçal ve sürekli fonksiyonlar kullanm ş r. Yönemin formal göserimi ise viruel iş prensibi kullan larak Argyris and Kelsey (96) ve bir üçgen maris için rijilik marisi oluşurularak Turner, e al. (956) referanslar nda oraya konmuşur. Sonlu eleman erimi ilk olarak 96 da Clough araf ndan kullan lm ş r (Reddy, 99). Aşa¼g da sonlu elemanlar yöneminin bir diferansiyel denkleme nas l uyguland ¼g göserilmişir. L bir diferansiyel operaör ve v(x) bilinen fonksiyon olmak üzere, Lu(x) = v(x) (.9) şeklinde bir diferansiyel denklem alal m. u(x) çözümüne u(x) u N (x) = NX a j j (x) (.) j= yaklaş m yap ls n. (.) eşili¼ginde verilen j (x); j = ; : : : ; N fonksiyonlar, üm s n r şarlar n sa¼glayacak şekilde seçilen aban fonksiyonlar ve a j ; j = ; : : : ; N

20 4 bilinmeyen kasay lard r. u N (x) yaklaş k çözümü denklemde yerine yaz l rsa, R(x) = Lu N (x) v(x) = Lu N (x) Lu(x) (.) rezidüsü elde edilir. Rezidüyü küçülmek için, an m bölgesi üzerindeki a¼g rl kl inegral s f ra eşilenir. Böylece Z W j (x)r(x)dx = ; j = ; : : : ; N (.) formunda, N bilinmeyen ve N denklemden oluşan bir denklem sisemi elde edilir (Irk, 7). Burada W j ; j = ; : : : ; N a¼g rl k fonksiyonlar d r. (.) denklem siseminin çözülebilir olmas için, fw j g kümesi lineer ba¼g ms z olmal d r (Reddy, 99). (.) sisemi çözülerek a j kasay lar bulunur. Bulunan kasay lar (.) eşili¼ginde yerlerine yaz ld ¼g nda da u N (x) yaklaş k çözümüne ulaş l r... Kolokeyşin meodu Kolokeyşin meodunda (.9) için bir u N yaklaş k çözümü bulunmaya çal ş l r. Bu yönemde W j a¼g rl k fonksiyonlar olarak, W j = (x x j ) (.) Dirac Dela fonksiyonlar seçilir. Burada x j ler key olarak seçilen kolokeyşin nokalar d r. Kolokeyşin nokalar genelde birbirlerine eşi uzakl ka olacak şekilde seçilmekedir. (.) denkleminde W j a¼g rl k fonksiyonlar yerine (x x j ) yaz l rsa Z (x x j )R(x)dx =, j = ; : : : ; N (.4) elde edilir. Kolokeyşin yöneminde rezidü, an m bölgesi üzerindeki x j nokalar nda s f r olmal d r (Reddy, 99). Buradan R(x) = L Lu N v(x) =! NX a j j (x) v(x) = (.5) j=

21 5 eşili¼gi bulunur. (.5) den a j kasay lar hesaplan r ve böylece yaklaş k çözüm elde edilmiş olur. Aran lan fonksiyon için e¼gri yaklaş m yapmak her zaman iyi sonuçlar vermeyebilir.. B-spline Fonksiyonlar Ayr ca kullan lan Lagrange ve Newon inerpolasyon polinomlar n n dereceleri, bölünme nokalar n n say s ar kça araca¼g ndan, bu ür polinomlarla yap lacak işlemler zorlaş r. Bu gibi durumlarda, ardarda gelen iki veri aras nda birinci, ikinci, üçüncü ya da daha yüksek dereceden fonksiyonlarla yaklaş m n yap ld ¼g spline inerpolasyon yönemi önerilmekedir. Spline inerpolasyonu; an mlanan aral k üzerinde, birbirlerini örmeyen al aral klarda, daha küçük dereceden polinom bulma esas na dayanmakad r (Davies, 98). Spline fonksiyonlar, aşa¼g daki özellikleri sa¼glayan parçal polinom fonksiyonlard r (Da¼g, 994). Düzgün fonksiyonlard r. Uygun baza sahip olan sonlu boyulu lineer uzaylard r. Hesaplanmas kolay olan fonksiyonlard r. Türevleri ve inegralleri de spline fonksiyondur. Küçük dereceden spline fonksiyonlar çok esnekir ve polinomlarda oldu¼gu gibi sal n m yapmazlar. Çözüm bölgesi üzerinde sürekli olan her fonksiyon, bir spline fonksiyon cinsinden göserilebilir. Belirli derecede ve düzgünlükeki her spline fonksiyon, B-spline fonksiyonlar n lineer kombinasyonu olarak yaz labilir (Boor, 978). : : : < x < x < x < x < x < : : : ve lim i! x i = ; lim i! x i = (.6) olmak üzere, : dereceden B-spline fonksiyon, 8 < ; x Bi i x < x i+ = : ; di¼ger durumlar (.7)

22 6 olarak an mlan r (Boor, 978). Görüldü¼gü gibi Bi ; B-spline fonksiyonu süreksizdir. Yüksek dereceden B-spline fonksiyonlar ise Bi k x x i = B k i (x) + x i+k+ x B k i+ (x) (.8) x i+k x i x i+k+ x i+ k = ; ; : : : i = ; ; ; : : : ba¼g n s yard m yla hesaplan r (Höllig, ). B-spline fonksiyonlar geomerik olarak farkl uzunluklara sahip al aral klar üzerinde de an mlanabilirler (Da¼g, 994)... Kübik B-spline kolokeyşin yönemi [a; b] aral ¼g a = x < x < : : : < x N = b (.9) olacak şekilde düzgün aral klara bölünsün ve m fonksiyonlar x m nokalar ndaki kübik B-spline fonksiyonlar gösersinler. Bu durumda ; : : : ; N+ fonksiyonlar [a; b] üzerinde an mlanm ş fonksiyonlar için bir aband r (Prener, 975). dolay w(x; ) çözümü için w m (x; ) = N+ X m= formunda bir w m (x; ) yaklaş k çözümü al nabilir. Bundan m (x) m () (.) m kübik B-spline fonksiyonlar, m = ; ; : : : ; N + için h = (x m+ x m ) olmak üzere aşa¼g da verilen ba¼g n ile verilir (Prener, 975): 8 (x x m ) ; [x m ; x m ] m (x) = h >< >: h + h (x x m ) + h(x x m ) (x x m ) ; [x m ; x m ] h + h (x m+ x) + h(x m+ x) (x m+ x) ; [x m ; x m+ ] (x m+ x) ; [x m+ ; x m+ ] ; di¼ger durumlar. (.)

23 7 m (x) B-spline fonksiyonlar, [x m ; x m+ ] aral ¼g n n d ş nda s f rd r. ve ; x e göre birinci ve ikinci ürevi gösermek üzere, [x m ; x m+ ] aral ¼g nda m (x); m(x) ve m(x) fonksiyonlar n n bölünme nokalar ndaki de¼gerleri s ras yla m (x m ) = h (x m x m ) = ; m (x m ) = h h + h (x m x m ) + h(x m x m ) (x m x m ) = ; m (x m ) = h h + h (x m+ x m ) + h(x m+ x m ) (x m+ x m ) = 4; m (x m+ ) = h (x m+ x m+ ) = ; m (x m+ ) = ; m(x m ) = h (x m x m ) = ; m(x m ) = h h + 6h(x m x m ) 9(x m x m ) = h ; m(x m ) = h h m(x m+ ) = h (x m+ x m+ ) = h ; m(x m+ ) = ; m(x m ) = 6 h (x m x m ) = ; 6h(x m+ x m ) + 9(x m+ x) = ; m(x m ) = h [6h 8(x m x m )] = 6 h ; m(x m ) = h [6h 8(x m+ x m )] = h ; m(x m+ ) = 6 h (x m+ x m+ ) = 6 h ; m(x m+ ) = olarak bulunur. görülmekedir. Tablo. de, bölünme nokalar ndaki kübik B-spline de¼gerleri Tablo.: Bölünme nokalar ndaki kübik B-spline de¼gerleri x x m x m x m x m+ x m+ m (x) 4 h m(x) h m(x) 6 6

24 8 [x m ; x m+ ] aral ¼g, m ; m ; m+ ; m+ kübik B-spline fonksiyonlar araf ndan örülür. Bu durum Şekil. de göserilmişir. Şekil.: [x m ; x m+ ] sonlu eleman nda m ; : : : ; m+ kübik B-spline fonksiyonlar Ayr ca [x m ; x m+ ] aral ¼g üzerinde, m ; m ; m+ ; m+ d ş ndaki di¼ger üm kübik B-spline fonksiyonlar s f r olaca¼g ndan, bu aral k üzerindeki w için yaklaş m ifadesi formunda yaz labilir. w m (x; ) = m+ X j=m j (x) j () (.) Tablo. ve (.) yaklaş k çözümünün kullan lmas ile bölünme nokalar nda w m ve ilk iki ürevi w m (x m ; ) = m+ X j=m j (x) j (); w m = m m (x m ) + m m (x m ) + m+ m+ (x m ) + m+ m+ (x m ); w m = m + 4 m + m+ ; w m(x m ; ) = m+ X j=m j(x) j (); w m = m m (x m ) + m m(x m ) + m+ m+(x m ) + m+ m+(x m ); w m = h ( m+ m );

25 9 w m(x m ; ) = m+ X j=m j (x) j (); w m = m m (x m ) + m m(x m ) + m+ m+(x m ) + m+ m+(x m ); w m = 6 h ( m m + m+ ) olarak bulunur. Sonuç olarak w m ; w m ve w m yaklaş mlar n n bölünme nokalar ndaki de¼gerleri m parameresine göre, w m = w m (x m ; ) = m + 4 m + m+ ; (.) w m = w m(x m ; ) = h ( m+ m ) ; (.4) w m = w m(x m ; ) = 6 h ( m m + m+ ) (.5) şeklinde yaz l r. Ayr n l bilgi için, (Da¼g e al., 5 a, 5 b ; Gardner e al., 996, Saka and Da¼g, 5) referanslar incelenebilir... Genişleilmiş kübik B-spline kolokeyşin yönemi [a; b] aral ¼g (.9) da oldu¼gu gibi düzgün aral klara bölünsün ve E m fonksiyonlar x m nokalar ndaki genişleilmiş kübik B-spline fonksiyonlar gösersinler. Bu durumda E ; : : : ; E N+ fonksiyonlar [a; b] aral ¼g üzerinde an mlanm ş fonksiyonlar için bir aband r. Bundan dolay w(x; ) çözümü için, w m (x; ) = N+ X m= formunda bir w m (x; ) yaklaş k çözümü al nabilir. E m (x) m () (.6) E m genişleilmiş kübik B-spline fonksiyonlar, m = ; ; : : : ; N + için h = (x m+ x m ) olmak üzere

26 E m (x) = 4h 4 8 >< >: 4h( )(x x m ) + (x x m ) 4 ; [x m ; x m ] (4 )h 4 + h (x x m ) + 6h ( + )(x x m ) h(x x m ) (x x m ) 4 ; [x m ; x m ] (4 )h 4 h (x x m+ ) + 6h ( + )(x x m+ ) +h (x x m+ ) (x x m+ ) 4 ; [x m ; x m+ ] 4h ( ) (x x m+ ) + (x x m+ ) 4 ; [x m+ ; x m+ ] ; di¼ger durumlar. (.7) ba¼g n s yla verilir (Gang, 8). Bu ba¼g n n n kasay lar nda, kübik B-spline fonksiyonlar n kasay lar ndan farkl olarak ba¼g ms z de¼gişkeni kullan lmakad r. En do¼gru sonuç elde edilene kadar, üzerinde çal ş lan denklemlerin say sal çözümleri n n farkl de¼gerleri için yeniden hesaplan r. = al nmas durumunda bulunan sonuçlar kübik B-spline kolokeyşin yöneminin sonuçlar na karş l k gelmekedir. Böylece n n s f r oldu¼gu kübik B-spline kolokeyşin yönemi ile n n s f rdan farkl de¼gerler ald ¼g genişleilmiş kübik B-spline kolokeyşin yönemi aras nda karş laş rma yap labilmekedir. E m (x) B-spline fonksiyonlar, [x m ; x m+ ] aral ¼g n n d ş nda s f rd r. ve ; x e göre birinci ve ikinci ürevi gösermek üzere, [x m ; x m+ ] aral ¼g nda, E m (x); E m(x) ve E m(x) fonksiyonlar n n bölünme nokalar ndaki de¼gerleri s ras yla, E m (x m ) = 4h( )(x xm 4h 4 ) + (x x m ) 4 = ; E m (x m ) = (4 )h 4 + h (x x 4h 4 m ) + 6h ( + )(x x m ) h(x x m ) (x x m ) 4 ; E m (x m ) = 4 4 ; E m (x m ) = (4 )h 4 h (x x 4h 4 m+ ) + 6h ( + )(x x m+ ) +h (x x m+ ) (x x m+ ) 4 ; E m (x m ) = 8 + ; E m (x m+ ) = 4h ( ) (x xm+ ) + (x x 4h 4 m+ ) 4 = 4 4 ; E m (x m+ ) = ;

27 E m(x m ) = E m(x m ) = E m(x m ) = h ; E m(x m ) = h( )(x xm 4h 4 ) + (x x m ) = ; h + h ( + )(x x 4h 4 m ) 6h(x x m ) (x x m ) ; 4h 4 h + h ( + )(x x m+ ) + 6h (x x m+ ) (x x m+ ) ; Em(x m ) = ; Em(x m+ ) = 4h ( ) (x xm+ ) + (x x 4h 4 m+ ) 4 = h ; Em(x m+ ) = ; Em(x m ) = 4h( )(x xm 4h 4 ) + 6(x x m ) = ; Em(x m ) = h ( + ) 7h(x x 4h 4 m ) 6(x x m ) ) = + h ; Em(x m ) = h [6h 8(x m+ x m )] = + ; h Em(x m+ ) = 6 h (x m+ x m+ ) = + h ; Em(x m+ ) = olarak bulunur. de¼gerleri görülmekedir. Tablo. de, bölünme nokalar ndaki genişleilmiş kübik B-spline Tablo.: Bölünme nokalar ndaki genişleilmiş kübik B-spline de¼gerleri x x m x m x m x m+ x m+ 4E m (x) hem(x) h Em(x) Şekil. de genişleilmiş kübik B-spline fonksiyonlar görülmekedir (Hamid e al., ).

28 Şekil. : = ; 5; ; 5; için genişleilmiş kübik B-spline fonksiyonlar Ayr ca [x m ; x m+ ] aral ¼g üzerinde, E m ; E m ; E m+ ; E m+ d ş ndaki di¼ger üm genişleilmiş kübik B-spline fonksiyonlar s f r olaca¼g ndan, bu aral k üzerindeki w için yaklaş m ifadesi eşili¼gi ile bulunur. w m (x; ) = m+ X j=m E j (x) j () (.8) Tablo. ve (.8) yaklaş k çözümünün kullan lmas ile bölünme nokalar nda w m ve ilk iki ürevi w m (x m ; ) = m+ X j=m E j (x) j (); w m = m E m (x m ) + m E m (x m ) + m+ E m+ (x m ) + m+ E m+ (x m ); w m = 4 4 m m m+; w m(x m ; ) = m+ X j=m E j(x) j (); wm = m Em (x m ) + m Em(x m ) + m+ Em+(x m ) + m+ Em+(x m ); wm = h ( m m+ );

29 w m(x m ; ) = m+ X j=m E j (x) j (); w m = m E m (x m ) + m E m(x m ) + m+ E m+(x m ) + m+ E m+(x m ); w m = + h ( m m + m+ ) olarak yaz l r. Sonuç olarak w m ; w m ve w m yaklaş mlar n n bölünme nokalar ndaki de¼gerleri m parameresine göre şeklinde ifade edilir. w m = w m (x m ; ) = 4 4 m m m+; (.9) w m = w m(x m ; ) = h ( m m+ ); (.) w m = w m(x m ; ) = + h ( m m + m+ ) (.).4 Lineer Olmayan Oluşum Denklemleri Oluşum denklemleri, u = K[u] (.) formundad r. Burada K[u]; u fonksiyonu ve u fonksiyonunun x de¼gişkenine göre ürevlerini içeren bir fonksiyonu, al indisi zamana göre ürevi, u(x; ) ise çözüm fonksiyonunu gösermekedir. Fizik, kimya, biyoloji gibi bir çok bilim dal nda ve çeşili mühendislik alanlar nda geniş uygulama alan na sahip olan, lineer olmayan oluşum denklemlerinden baz lar aşa¼g da verilmişir. (i) Kimyasal reaksiyonlar ve popülasyon biyolojisinde model problem olan, u = u + f(u) (.) formundaki Reaksiyon-Difüzyon denklemi. (ii) Bulaş c lar n aş nmas n ve yo¼gun ak şkan ak ş n modelleyen u + f(u) x = u (.4) formunda verilen adveksiyon-difüzyon denklemi.

30 4 (iii) Gözenekli oramlarda madde geçişi gibi olaylar n modellenmesinde oraya ç kan u = 5 [D(u) 5 u] (.5) şeklindeki lineer olmayan difüzyon marisi denklemi. (iv) Lineer olmayan klasik alan eorisinde basi bir model denklem olan u u + f(u) = (.6) formundaki hiperbolik dalga denklemi. (v) Ak şkanlar mekani¼ginde, plazma zi¼ginde ve lineer olmayan opik problemlerinde model denklem olarak kullan lan iu + u xx + q juj u = (.7) lineer olmayan kübik Schrödinger denklemi. (vi) Yüzey dalgalar n n yay l m için bir model olan formundaki Klasik Boussinesq denklemi. v + u x + (vu) x = ; (.8) u + v x + uu x u xx = (.9) (vii) Lineer olmayan plazma dalgalar n n oluşumunu modelleyen w (x; ) + w xxx (x; ) + (jw(x; )j w(x; )) x = (.4) formundaki CMKdV denklemi. Deayl bilgi için (Huner, 996) ve (Irk, 7) referanslar incelenebilir..5 Korunum Kanunlar Lineer olmayan oluşum denklemleri için korunum kanunu T + X x = (.4) formundad r. Burada T [u] ve X [u] s ras yla, u ve u fonksiyonunun x de¼gişkenine göre ürevlerini içeren korunumlu yo¼gunluk ve ilgili ak d r. T ve X x s ras yla ve

31 5 x de¼gişkenlerine göre am ürevi göserir ve x u x + : : : ; X x u xx + : : : (.4) şeklinde an ml d r. (.4) denkleminin x de¼gişkenine göre, bir (A; B) aral ¼g nda inegrali al nd ¼g nda Z T dx + X jb Z B A T dx + X j B A = (.4) elde edilir. (B A) n n periyodun am ka oldu¼gu veya u(x; ) nin x! ve (A; B) = ( ; ) iken s f ra gii¼gi uygun periyodik s n r koşullar al nda, olup buradan de¼gişkenine göre inegral al nd ¼g nda ise hareke sabii elde edilir (Fordy, 99; Taşcan, ). Z B A Z B A T dx = (.44) T dx = sabi (.45) Bu çal şmada NLS denklemi için korunum sabilerinin say sal de¼gerleri hesaplanm ş ve ifadeleri ilgili bölümde verilmişir..6 Solionlar Solionlar ilk kez, 84 y l nda, J. Sco Russell araf ndan, Edinburgh kenindeki Union kanal nda gözlemlenmişir. Russell birçok kaynaka da yer alan gözlemini aşa¼g daki şekilde ifade emişir (Irk, 7). " Iki çif a araf ndan dar bir kanal boyunca h zla çekilen bir boun harekeini gözlemliyordum. Bo aniden durdu¼gunda, boa hareke sa¼glayan kanaldaki su külesi durmad ve su külesi şiddeli bir çalkalanma şeklinde boun uç k sm eraf nda opland ve aniden bou arkas nda b rakarak, büyük bir h zla harekee geçi. Büyük bir

32 6 soliary dalga yüksekli¼gine sahip olarak düşündü¼güm formdaki, dairesel ve düzgün bir su külesinin kanal boyunca şekil veya h z n bozmadan yoluna devam ei¼gini gördüm. Bu dalga formunu, a üzerinde akip eim ve yaklaş k fee mesafe sonunda 8 veya 9 mil/saa h z nda, ilk başaki orijinal şeklinde ve yar yüksekli¼ginde yuvarlan r halde gördüm. Yüksekli¼gi kademeli olarak azald ve yaklaş k veya mil akip sonunda, kanal n kenarlar nda kayboldu¼gunu gördüm. Işe 84 y l n n A¼gusos ay, ilk kez öelenme dalgas olarak adland rd ¼g m bu ilginç ve güzel olay gözleme şans buldu¼gum zamand." Russell, başlang ça oelenme dalgas{ olarak adaland rd ¼g dalgaya, daha sonra buyuk soliary dalgas{ ismini vermişir. Bu isim lieraürde k sal larak soliary dalgas{ olarak da kullan lm ş r. Günümüzde ise s kl kla soliary dalgas{ yerine solion erimi kullan lmakad r (Infeld and Rowlands, 99). Daha sonra Russel, solion dalgalar n daha dikkali inceleyebilmek için, labarauvar nda oluşurdu¼gu dalga anklar nda birçok deneyler yapm ş ve aşa¼g daki sonuçlara ulaşm ş r (Falkovich, 7): (i) Soliary dalgalar hsech (k(x v)) formuna sahipir. (ii) Yeerince büyük mikardaki su külesi, iki veya daha fazla ba¼g ms z soliary dalgas üreir. (iii) Normal dalgalar n aksine soliary dalgalar asla birleşmezler. Bu sebeple küçük genli¼ge sahip bir soliary dalgas ile büyük genli¼ge sahip bir soliary dalgas birbirleri ile çarp ş kan sonra, iki soliary dalgas birbirlerinden ayr larak şekillerinde bir bozulma olmadan yollar na devam edebilirler. (iv) g yerçekimi ivmesi olmak üzere, h yüksekli¼gine sahip olan ve d derinli¼gindeki bir kanalda hareke eden bir soliary dalgas n n h z v = p g(d + h) (.46) ba¼g n s ile ifade edilir.

33 7 Şekil. Bir solion dalgas n n harekei 895 y l nda Koreweg de Vries, lineer olmayan s ¼g su dalgalar n n harekeini ) ) + c + u(x; ) + @x = (.47) (.47) denkleminin u(x; ) = ~u(x v) (.48) formunda bir soliary dalga çözümüne sahip oldu¼gunu göserdiler. (Koreweg and de Vries, 895). Denklemde u(x; ); dalgan n genli¼gini; c = p gd, küçük genlikli dalgan n h z n ; " = c (d =6 T=g) ; da¼g lma parameresini;, lineer olmayan paramereyi; T, yüzey gerilimini;, suyun yo¼gunlu¼gunu gösermekedir. 965 y l nda Kruskal and Zabusky, KdV denklemini sonlu farklar meodu ile çözmüş, soliary dalgalar n n çarp şma sonras nda şekillerini de¼gişirmediklerini gözlemlemiş ve bu özelli¼gin parçac klar n çarp şmas na benzedi¼gini bularak bu ip dalgalara solion ad n vermişlerdir (Zabusky and Kruskal, 965). 967 y l nda Gardner, Greene, Kruskal ve Miura araf ndan ers saç lma dönüşüm meodu kullan larak, KdV denkleminin solion çözümleri analiik olarak da verilmişir (Gardner e.al., 967). Günümüzde solionlar; ak şkanlar mekani¼gi, emel parçac klar zi¼gi, lazer zi¼gi, süper ilekenlik zi¼gi, biyo zik gibi bir çok zik alanlar nda kullan lmakad r (Chaohao, 995). 6 y l nda Harvard üniversiesi elekrik mühendisli¼ginde görevli olan Donhee Ham ve iki dokora ö¼grencisi David Rickes ve Xiaofenh Li araf ndan gelişilen elekronik bir ayg sayesinde, solion dalgalar elde edilmişir. Bu buluş ile normal dalgalar yerine solion dalgalar n n kullan lmas n n yolu aç lm ş r ve

34 8 yak n geleceke radar, ileişim sekörü gibi bir çok yerde solionlar kullan lacak r (Harvard Gazee archives, 6). Deayl bilgi için (Irk, 7) referans incelenebilir..7 Lineer Olmayan Schrödinger Denklemi (NLS) ve Tes Problemleri i = p ; u(x; ); x ve ye ba¼gl kompleks de¼gerli bir fonksiyon, q reel bir sabi, x ve al indisleri ise s rayla konum ve zamana göre ürevi gösermek üzere NLS denklemi iu + u xx + q juj u = (.49) formundad r. NLS denklemi için başlang ç ve s n r şarlar ise s ras yla, u (x; ) = g (x) ; (.5) u x (a; ) = u x (b; ) = ; (.5) olarak an mlanabilir. Burada g (x) ilerleyen bölümlerde an mlanacak r. Fizike önemli uygulama alanlar na sahip olan (.49) denklemi, kübik Schrödinger denklemi olarak da adland r l r ve ak şkanlar mekani¼ginde (Hasimoo and Ono, 97), lineer olmayan opik problemlerinde (Srauss, 978) ve plazma zi¼ginde (Lamb, 98) model olarak kullan lmakad r. (.49) denkleminin analiik çözümü V.I. Karpman and E.M. Krushkal (969), V.E. Zakharov and A.B. Shaba (97), A.C. Sco, F.Y.F. Chu and D.W. Mclaughlin (97) çal şmalar nda verilmişir. NLS denkleminin daha genel başlang ç şarlar için analiik çözümü bilinmedi¼ginden dolay, denklemin nümerik çözümünü bulma ad na günümüze kadar pek çok çal şma yap lm ş r. Çal şmalar aras nda; sonlu elemanlar yönemleri (Löhner e.al.,984), (Herbs e.al.,985), (Argyris and Haase,987), (Tourigny and Morris, 988), kübik spline sonlu elemanlar yönemi (Gardner e al.,99), orogonal spline kolokeyşin yönemi (M.P. Robinson and G. Fairweaher, 994), Gakerkin yönemi (Ismail, 7), yapay sinir a¼glar kullan larak uygulanan nümerik çözüm yönemi (Shirvany e al., 7), diferansiyel quadraure yönemi

35 9 (Korkmaz and Da¼g, 8), radyal aban fonksiyonlar kullan larak kolokeyşin yönemi (Dereli, Irk and Da¼g, 9), Pseudo-Specral yönem (Denghan and Taleei, ), diferansiyel dönüşüm yönemi ve indirgenmiş diferansiyel dönüşüm yönemi (Abazari, ), diferansiyel quadraure yönemi (Mokhari, a) örnek verilebilir. (.49) denkleminin çözümü olan u(x; ) fonksiyonu u (x; ) = r (x; ) + is (x; ) (.5) olacak şekilde reel ve sanal k s mlar na ayr l r ve gerekli düzenlemeler yap l rsa r = s xx q (r + s ) s; s = r xx + q (r + s ) r: (.5) denklem sisemi elde edilir ki burada r (x; ) ve s (x; ) reel de¼gerli fonksiyonlard r. NLS denklemi aşa¼g daki korunum kanunlar n sa¼glamakad r. Ilerleyen bölümlerde nümerik de¼gerleri hesaplanan C ve C korunum sabileri, C = Z b juj dx; (.54) şeklindedir. C = a Z b a ju x j q juj4 dx: (.55) NLS denklem siseminin nümerik çözümlerin do¼grulunu incelemek için aşa¼g da ifadeleri verilen L ve L haa normlar kullan lm ş r. L = u am L = u am u num = u num = max u am j j " h NX j u am j u num j u num j Burada u num ile u (x; ) fonksiyonunun say sal çözümü göserilmekedir..7. Solion dalga çözümü ; (.56) # : (.57) NLS denkleminin çarp şma sonras nda da çarp şma öncesindeki şekillerini ve h zlar n koruyan solion dalga çözümleri vard r(calogero and Eckhaus, 987). Solion

36 dalga çözümü aşa¼g daki formdad r. u(x; ) = exp i q Sx 4 S sech [ (x S)] (.58) Burada S, büyüklü¼gü ya ba¼gl olan solion dalgas n n h z d r. Hesaplamalarda x aral ¼g ve q = ; S = 4; = ; ; = :5 paramereleri kullan lm ş r (Taha and Ablowiz, 984),(Tourigny and Morris, 988). = ; olarak al nd ¼g nda say sal çözümün modülü juj = sech (x 4) (.59) olarak bulunur. (.58) ifadesi genli¼gi, h z 4 olan solion dalgas n n soldan sa¼ga do¼gru sabi h zla ilerlemesini modellemekedir..7. Iki solion dalgas n n çarp şmas NLS denklemi aşa¼g daki formda bir çarp şan dalga çözümüne sahipir (Gardner e al., 99). u(x; ) = u (x; ) + u (x; ); (.6) u j (x; ) = j exp i q S (x x j) sech ( j x) ; j = ; (.6) Burada paramereler q = ; h = :; = :5; = :; S = 4:; x = ; = :; S = 4:; x = ve aral k x olarak seçilmişir: (.6) başlang ç şar, büyüklükleri eşi ve aralar ndaki uzakl k birim olan iki solion dalgas an mlar. Dalgalardan birincisinin epe nokas x =, ikincisinin epe nokas x = da konumlanm ş r..7. Sabi solion dalgas n n do¼guşu Her iki dalgan n h z da 4 birimdir. E¼ger Z u (x; ) dx (.6) şar sa¼glan yorsa, u (x; ) başlang ç şar bir solion dalgas üreir (Gardner e al., 99). Bu es probleminde başlang ç şar, u (x; ) = A exp x ; (.6)

37 paramereler, h = :; = :5; N 45 x 45 şeklinde seçilmişir. = 4; A = :78; q = ve bölge.7.4 Harekeli solion dalgas n n do¼guşu Burada başlang ç şar u (x; ) = A exp x + ix (.64) şeklinde (Gardner e al., 99), paramereler h = :; = :5, q = ; A = :78 ve bölge 45 x 45 olarak seçilmişir..7.5 Ba¼gl durumlu solionlar (Bound sae of solions) Başlang ç şar u (x; ) = sech (x) (.65) al nd ¼g nda e¼ger q = M ; M = ; ; ::: (.66) ise M ane solion dalgas oluşur (Gardner e al., 99). Bu problemde paramereler h = :; = :5; N = 4 ve q = ; 5, konum aral ¼g ise x olarak seçilmişir. Bu es problemi için analiik çözüm (Miles, 98) araf ndan verilmişir. Faka analiik çözüm M > olmas durumunda kullan şl de¼gildir. q = ; 8; 6 için hesaplanan nümerik çözümler Herbs (985), Gardner (99) referaslar nda geniş çapl olarak ele al nm ş r..8 KB Denklem Sisemi, RB Denklem Sisemi ve Tes Problemleri Bu bölümde ilk olarak BST denklem sisemi an lacak r. BST denklem sisemi, v + u x + (vu) x + u xxx v xx = ; (.67) u + v x + uu x + v xxx 4 u xx = (.68) formundad r (Bona e al., 997, Bona, e al., ). Burada ; ; ; 4 reel sabileri, x ve al indisleri ise s ras yla konum ve zamana göre ürevi gösermekedir.

38 BST denklem sisemi v + u x + (vu) x = ; (.69) u + v x + uu x u xx = (.7) formundaki KB denklem siseminden üreilmişir (Bona, e al., ). KB sisemi, Boussinesq (87) araf ndan yüzey dalgalar n n yay l m için bir model olarak verilmişir (Amick, 984; Schonbek, 98; Whiham, 974). BST denklem sisemi, bir su ünelindeki yüzey su dalgalar n modellemekedir (Bona and Chen, 998; Chen, 998 a, 998 b; Pelloni and Dougalis, ). Pelloni and Dougalis (), specral meo ile; Al-Khaled and Nusier (8), Adomian ayr ş m yönemi ile; Mohyud-Din (), Adomian ayr ş m ve Homoopy perurbasyon yönemleri ile BST denklem siseminin say sal çözümleri üzerinde çal şmalar yapm şlard r. ( ) denklem sisemindeki erimler, h; durgun suyun yüksekli¼gi, g; yerçekimi ivmesi, x; h ile ölçeklendirilmiş kanal boyunun uzunlu¼gu, ; (h=g) = ile ölçülen geçen zaman, v(x; ); ilk dura¼gan duruma göre h ile ölçülen su yüzeyinin boyusuz sapmas, u(x; ); olmak üzere, kanal n dibinden yukar do¼gru h yüksekli¼ginde p gh ile ölçülen boyusuz yaay h z, olarak ifade edilmişir (Chen, 998 b). ve reel sabiler olmak üzere denklemde bulunan ; ; ; 4 reel sabileri = ; = ( ); = ; 4 = ( ); eşilikleriyle verilirler (Chen, 998 b). (.7)

39 ( ) denklem siseminden, ; ; ; 4 reel paramerelerinin farkl de¼gerleri için, farkl isimlerde denklem sisemleri üreilebilir (Chen, 998 a). Bu sisemlerden biri de Regularized Boussinesq (RB) denklem sisemidir. = ; =, = olarak seçilirsse, (.7) eşiliklerindeki kasay lar olarak elde edilir. sonucunda = ; = 6 ; = ve 4 = 6 Bu kasay lar n ( ) denklemlerinde yerlerine yaz lmas v + u x + (vu) x 6 v xx = ; (.7) u + v x + uu x 6 u xx = : (.7) RB denklem sisemine ulaş l r (Bona and Chen, 998). KB ve RB denklem sisemlerinin yaklaş k çözümleri araş r l rken, u(a; ) = u(b; ) = ; > (.74) u (a; ) = u (b; ) = ; > (.75) v(a; ) = v(b; ) = ; > (.76) v (a; ) = v (b; ) = ; > (.77) s n r şarlar ve f (x), f (x) sonradan belirlenmek üzere başlang ç şarlar kullan lacak r. v(x; ) = f (x); (.78) u(x; ) = f (x) (.79) KB ve RB denklem sisemlerinin nümerik çözümlerin do¼grulunu incelemek için, ( ) referanslar yla verilen L ve L haa normlar kullan lm ş r..8. Ilerleyen dalga çözümü (.69-.7) eşilikleri ile verilen KB denklem siseminin; g; x ve c reel sabiler olmak üzere v(x; ) = ; (.8) g p g u(x; ) = c + cgsech (x + x c) (.8)

40 4 şeklinde bir ilerleyen dalga çözümü vard r (Chen, 998a). (.8-.8) eşiliklerinde x = ; g = ve c = seçimleri yap ld ¼g nda, KB siseminin ilerleyen dalga çözümü v(x; ) = (.8) p! u(x; ) = sech x (.8) olarak bulunur ve (.8-.8) eşiliklerinde = al n rsa başlang ç şarlar elde edilir. v(x; ) = (.84) p! u(x; ) = sech x (.85) (.7-.7) denklemlerinden oluşan RB siseminin ilerleyen dalga çözümü ise; g; x ve c reel sabiler olmak üzere v(x; ) = ; (.86) g u(x; ) = c + cg p g 6 sech (x + x c) (.87) formunda verilmişir.(chen, 998a). ( ) eşiliklerinde seçimleri yap l rsa, RB siseminin x = ; g = 6; c = v(x; ) = ; (.88) p! 6 u(x; ) = sech (x ) (.89) ilerleyen dalga çözümü elde edilir. ( ) eşiliklerinde = al nd ¼g nda ise, RB siseminin başlang ç şarlar v(x; ) = ; (.9) p! 6 u(x; ) = sech x (.9)

41 5 olarak bulunur..8. Iki ilerleyen dalgan n çarp şmas (.8-.8) ilerleyen dalga çözümünün kullan lmas yla x ; x, g ; g ; c ve c reel sabiler olmak üzere, iki ilerleyen dalgan n çarp şmas es problemi için, v(x; ) = ; (.9) X g p i u(x; ) = c i + c i g i sech gi (x + x i) (.9) i= formundaki başlang ç şar elde edilir. (.9-.9) eşiliklerinde x = ; c = ; g = ; x = ; c = ; g = ; seçimleri yap l rsa, KB siseminin iki ilerleyen dalga çözümü v(x; ) = (.94) u(x; ) = p! p! 6 + sech x + sech (x ) (.95) olur. (.95) eşili¼gi; genlikleri,, h zlar, = olan ve epe nokalar x =, x = konumlar na karş l k gelen iki ilerleyen dalgan n harekeini modellemekedir. RB sisemi için ise, ( ) ilerleyen dalga çözümünün kullan lmas yla x ; x, g ; g ; c ve c reel sabiler olmak üzere, başlang ç şar elde edilir. v(x; ) = ; (.96) X g p i u(x; ) = c i + sech gi 6 (x + x i) (.97) i= ( ) eşiliklerinde x = ; c = ; g = 6; x = ; c = ; g = 6;

42 6 seçimleri yap l rsa, RB siseminin iki ilerleyen dalga çözümü v(x; ) = ; (.98) p! p! 6 6 u(x; ) = sech x + sech (x ) (.99) olarak bulunur. (.99) eşili¼gi; genlikleri,, h zlar, = olan ve epe nokalar x =, x = konumlar na karş l k gelen iki ilerleyen dalgan n harekeini modellemekedir. Deayl bilgi için (Irk, 7) referans incelenebilir..9 Ikili Burger Denklem Sisemi ve Tes Problemleri Bu bölümde u u xx + uu x + (uv) x = (.) v v xx + vv x + (uv) x = (.) formundaki Ikili Burgers denkleminin say sal çözümleri araş r lacak r. (.-.) denklem siseminin başlang ç şarlar, a x b olmak üzere u(x; ) = (x) (.) v(x; ) = (x) (.) ve s n r şarlar, > olmak üzere u(a; ) = f (a; ) (.4) u(b; ) = f (a; ) (.5) v(a; ) = g (a; ) (.6) v(a; ) = g (a; ) (.7) şeklindedir. Burada (x); (x); f (x; ); f (x; ); g (x; ); g (x; ) önceden an ml fonksiyonlar, bir reel sabi, ve ise sisem paramerelerine ba¼gl sabilerdir (Nee and Duan, 998). Ilk olarak Esipov (995) araf ndan oraya a lan Ikili Burgers denklem siseminin nümerik çözümlerinin bulunmas için çeşili yönemler uygulanm ş r. Bu

43 7 yönemler aras nda bir yak nsak kuvve serisi formunda Adomian ayr ş m yönemi (Kaya, ), Adomian-Páde ekni¼gi (Denghan e al., 7), Chebyshev specral kolokeyşin yönemi (Khaer e al., 8), homoopi perurbasyon yönemi (Ghobi e al., 8), Fourier pseudospecral yönemi (Rashid and Ismail, 9), diferansiyel dönüşüm yönemi (Abazari and Borhanifar, ), kübik B-spline kolokeyşin yönemi (Mial and Arora, ), basi klasik radyal bazlar yard m yla kolokeyşin yönemi (Islam e al., ), Bäcklund dönüşüm ve benzerlik uygulamas yönemi (Inan e al., ), homooby perurbasyon ve Páde eknikleri (Y ld r m and Kelleci, ), genelleşirilmiş iki boyulu diferansiyel dönüşüm yönemi (Liu and Hou, ), homooby perurbasyon yönemi (Ghoreishi e al., ), genelleşirilmiş diferansiyel quadraure yönemi (Mokhari, e al., b), Adomian ayr ş rma yönemi (Chen and An, 8), varyasyonel ierasyon yönemi (Soliman, 7), ekrarl operaör yönemi (Lian and Lou, 6) say labilir. Abdou and Soliman (5) referans nda, Adomian ayr ş m yönemi; Soliman (6) refeferans nda, genişleilmiş anh-fonksiyon yönemi kullan larak Ikili Burgers denklem siseminin am çözümü bulunmuşur. Abassy, El-Tawil and El-Zoheiry.(7), Páde ekni¼gi ile birleşirilmiş varyasyonel ierasyon yönemini kullanarak, Sweilam and Khader (9) ise homoopy perurbasyon yönemini kullanarak (.-.) denklem siseminin kapal formda çözümlerini elde emişlerdir. Liu () uyumluluk yönemiyle (.-.) denkleminin simerisini elde emiş, Jin-Ming ve Yao-Ming () Hiroa bilineer yönemiyle (.-.) denklem siseminin amamen inegrallenebilir oldu¼gunu gösermişlerdir (Uçar, ). Ikili Burger denklem siseminin nümerik çözümlerin do¼grulunu incelemek için, ( ) referanslar yla verilen L ve L haa normlar kullan lm ş r..9. Problem Ilk es problemi için = ; = seçimleriyle u u xx uu x + (uv) x = (.8) v v xx vv x + (uv) x = (.9)

44 8 Ikili Burger denklem siseminin başlang ç şarlar, u(x; ) = sin(x) (.) v(x; ) = sin(x) (.) s n r şarlar, u(a; ) = e sin(a) (.) u(b; ) = e sin(b) (.) v(a; ) = e sin(a) (.4) v(b; ) = e sin(b) (.5) için am çözümü u(x; ) = v(x; ) = e sin(x) (.6) olarak al nm ş r (Kaya, )..9. Problem Ikinci es problemi için u u xx + uu x + (uv) x = (.7) v v xx + vv x + (uv) x = (.8) Ikili Burger denklem siseminin başlang ç şarlar, u(x; ) = a A anh (Ax) (.9) 4 v(x; ) = a A anh (Ax) (.) 4 s n r şarlar, u(a; ) = a A anh [A (a A)] (.) 4 v(a; ) = a A anh [A (a A)] (.) 4 u(b; ) = a A anh [A (b A)] (.) 4 v(b; ) = a A anh [A (b A)] (.4) 4

45 am çözümü, a = :5 ve A = a (4 ) olmak üzere u(x; ) = a A anh [A (x A)] (.5) 4 v(x; ) = a A anh [A (x A)] (.6) 4 olarak al nm ş r (Soliman, 6). Deayl bilgi için (Uçar, ) referans incelenebilir.. Reaksiyon-Difüzyon Denklem Sisemi ve Tes Problemleri 9 Reaksiyon-Difüzyon denklemi u = u + (u) x (.7) formundad r. Burada u (x; ) reel de¼gerli bir fonksiyon, u difüzyon erimi, 6= x difüzyon kasay s, (u) fonksiyonu sisemin reaksiyonudur. Reaksiyon-Difüzyon denklem sisemi, biyoloji ve kimyada birçok olay n model problemi olarak kullan lmakad r. Örne¼gin bir bölgedeki bakerilerin harekeleri veya salg n hasal klar n yay l m, reaksiyon difüzyon denklem sisemi ile modellenebilir. Birden fazla ba¼g ml de¼gişken bulunduran, Reaksiyon-Difüzyon denklem sisemi aşa¼g da verilmişir. u = D u u + F (u; v) x v = D v v x + G (u; v) (.8) Burada u (x; ) ve v (x; ) do¼gadaki iki ürün popülasyon yo¼gunluk fonksiyonlar ya da iki farkl kimyasal maddenin konsanrasyonu, D u ile D v s ras yla u ve v nin difüzyon kasay lar, F ile G de sisemin reaksiyonunu emsil eden lineer olmayan fonksiyonlard r. (.8) siseminin s n r koşulu olarak u(x ; ) = u(x N ; ) = ; v(x ; ) = v(x N ; ) = ;

46 ba¼g n lar ile verilen, Dirichle s n r koşullar veya u x (x ; ) = u x (x N ; ) = ; v x (x ; ) = v x (x N ; ) = ; ba¼g n lar ile verilen, Neumann s n r koşullar kullan labilir. Reaksiyon-Difüzyon denklem siseminin modelledi¼gi baz problemler aşa¼g da verilmişir (Şahin, 9). i.thomas Mekanizmas Bu model, ürik asi ayr şmas n n ilk aşamas n kaaliz eden enzim içerisinde reaksiyona giren oksijen ve ürik asiin ekileşimine dayan r. Reaksiyona giren ürik asi ve oksijenin yo¼gunluklar s ras yla u ve v ile emsil edilir. Problem u v = r u + (a u h (u; v)) ; = dr v + (ab v h (u; v)) : şeklinde göserilir (Thomas, 975). h (u; v) erimi de h (u; v) = Burada a; b; d; ; ; ; k poziif paramereler ve uv + u + kku şeklinde an mlanan ve u ve v nin ükenme oranlar n göseren bir fonksiyondur. ii. Gierer-Meinhard Mekanizmas Bir kimyasal n (akivaör) harekee geçirdi¼gi bir di¼ger kimyasala (inhibiör) ai ürünün, akivaörün ürününü engellemesini modellemekedir. u fonksiyonu akivaörün yo¼gunlu¼gunu, v fonksiyonu inhibiörün yo¼gunlu¼gunu gösermek üzere, boyusuzlaş r lm ş formuyla Gierer-Meinhard reaksiyonu u v = r u + = dr v + u v : u a bu + ; v ( + ku ) şeklinde göerilir(gierer and Meinhard, 97). Burada a; b; d; poziif paramereler, k ise saürasyon yo¼gunlu¼gunun öçüsüdür.

47 iii. CIMA Reaksiyonu Klor dioksi, iyo ve malonik asi reaksiyonunu modeller. a; b; d poziif paramereler olmak üzere u v = r u + a u = dr v + b u 4uv + u ; uv : + u şeklinde göserilir. Bu modelde, akivaör olan (I ) iyo ve inhibiör olan da CIO klor dioksiir. u fonksiyonu akivaörün yo¼gunlu¼gunu, v fonksiyonu inhibiörün yo¼gunlu¼gnunu göserir (Epsein and Pojman, 998; Maini, e al., 997). Reaksiyon-Difüzyon denkleminin nümerik çözümlerini bulmaya yönelik çal şmalar aras nda, Gear s yönemi ve Crank-Nicolson yönemi (Sherra, 997), sonlu farklar yönemi (Twizell e al., 994), Crank-Nicholson yönemi (Chou e al., 7), sonlu farklar yönemi (Liu and Sun, 7), sonlu farklar yönemi (Somahilake, 9), varyasyonel ierasyon yönemi (Barari, e al. ) say labilir. Reaksiyon-Difüzyon denkleminin genel formu u = a u xx + b u + c v + d u v + e uv + m uv + n (.9) v = a v xx + b u + c v + d u v + e uv + m uv + n (.) şeklindedir. Burada a ; a ; b ; b ; c ; c ; d ; d ; e ; e ; m ; m ; n ; n reel sabilerdir... Lineer problem Ilk es problemimiz olan lineer problem, (.9-.) denklem siseminde a; b; d reel sabiler olmak üzere a = d; a = d; b = a; b = ; c = ; c = b; d = ; d = ; e = ; e = ; m = ; m = ; n = ; n = : seçimleri yap larak u v = d u x au + v; (.) = d v x bv: (.)

48 olarak elde edilir. Denklem siseminin analiik çözümleri, u(x; ) = e (a+d) + e (b+d) cos (x) (.) v(x; ) = (a b) e (b+d) cos (x) (.4) şeklindedir. (.-.) siseminin başlang ç şarlar, (.-.4) analiik çözümlerinde = al nmas yla elde edilmişir. S n r şarlar ise < x < omak üzere u x (; ) = ; (.5) v x (; ) = ; (.6) u( ; ) = ; (.7) v( ; ) = ; (.8) olarak verilir (Chou e al., 7). (.-.) siseminin nümerik çözümlerin do¼grulunu incelemek için, ( ) referanslar yla verilen L ve L haa normlar kullan lm ş r... Izoermal kimyasal sisem (.9-.) denklem siseminde k reel bir sabi olmak üzere, a = ; a = ; b = ; b = ; c = ; c = k; d = ; d = ; e = ; e = ; m = ; m = ; n = ; n = : seçimleri yap larak elde edilen u v = u x uv; (.9) = v x kv + uv: (.4) formundaki lineer olmayan denklem sisemidir (Merkin e al., 989). Buradaki u (x; ) fonksiyonu A reakan n n, v (x; ) fonksiyonu B reakan n n boyusuzlaş r lm ş yo¼gunlu¼gu, k ise boyusuzlaş rma parameresidir. (.9-.4) siseminde uv erimi kuadraik ookaalizi, kv erimi B reakan ndaki lineer azalmay göserir. (.9-.4) siseminin ilerleyen dalga çözümünün varl ¼g için gerekli şar k < olmas d r ve bu çözümlerin asimpoik h z ( k) şeklindedir (Merkin e