T. C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI

Transkript

1 T. C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI LİNEER STİFF DİFERANSİYEL DENKLEM VE STİFF DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİNİN FARKLI RUNGE-KUTTA METODLARI KULLANILARAK HESAPLANMASI CAHİT KÖME Haziran 213

2

3 T. C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI LİNEER STİFF DİFERANSİYEL DENKLEM VE STİFF DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİNİN FARKLI RUNGE-KUTTA METODLARI KULLANILARAK HESAPLANMASI CAHİT KÖME Yüksek Lisans Tezi Danışman Yrd. Doç. Dr. Mehme Tarık ATAY Haziran 213

4

5 TEZ BİLDİRİMİ Tez içindeki büün bilgilerin bilimsel ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca ez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ai olmayan her ürlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz aıf yapıldığını bildiririm. Cahi KÖME

6 ÖZET LİNEER STİFF DİFERANSİYEL DENKLEM VE STİFF DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİNİN FARKLI RUNGE-KUTTA METODLARI KULLANILARAK HESAPLANMASI KÖME, Cahi Niğde Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Maemaik Ana Bilim Dalı Danışman : Yrd. Doç. Dr. Mehme Tarık ATAY Ocak 213, 117 Sayfa Bu yüksek lisans çalışmasında lineer siff diferansiyel denklem ve siff diferansiyel denklem sisemlerinin farklı Runge-Kua meodları kullanılarak çözümlerinin hesaplanması araşırılmışır. İlk olarak adım sayısı ve merebe arasındaki bağını incelenerek bu meodların arihsel gelişim süreçleri incelenmişir. Daha sonra meodları yazmaka gerekli olan Bucher Tablosu ve bu ablodan yola çıkarak merebe şarları araşırılmış ve Bucher Tablosunda yer alan kasayıların hesaplama yönemleri incelenmişir. Hesaplanan farklı kasayılar ile bazı farklı meodlar incelenmiş ve bu meodlar siff diferansiyel denklemlere uygulanarak aralarındaki yaklaşım farkları incelenmişir. Aynı zamanda bulunan meodlara ai kararlılık bölgeleri Dahquis es denklemi kullanılarak elde edilmişir. Bulunan kararlılık bölgeleri doğrulusunda meodun farklı adım uzunluğu kullanılarak çözümleri elde edilmişir. Kararlılık bölgesinin büyüklüğüne göre meodların siff diferansiyel denklemler için hangi adım aralığında daha iyi sonuç verdiği incelenmişir. Anahar Sözcükler: Runge-Kua meodları, siff diferansiyel denklemler, kararlılık analizi, Bucher ablosu. iv

7 SUMMARY COMPUTATION OF SOLUTIONS OF LINEAR STIFF DIFFERENTIAL EQUATIONS AND STIFF SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS BY USING DIFFERENT RUNGE-KUTTA METHODS KÖME, Cahi Niğde Universiy Insiue of Science Mahemaics Deparmen Supervisor : Ass. Prof. Dr. Mehme Tarık ATAY January 213, 117 Paper In his maser hesis, compuaion of linear siff ordinary differenial equaions and siff sysems of differenial equaions by using differen Runge-Kua mehods are researched. Firsly, relaions beween sage and order of hese mehods are invesigaed. Then, hisorical developmen of hese mehods are invesigaed. Coefficiens of Bucher able, which are essenial for wriing his able and compuaion echniques for his coefficiens are invesigaed. Some differen mehods are researched wih his compued coefficiens and hese mehods are applied o siff ordinary differenial equaions. In addiion, approximaion differences beween hem are researched. Also, sabiliy regions of hese mehods are found using Dahlquis es equaion. Through hese sabiliy regions, some soluions are obained using differen sep size. Finally, i is invesigaed ha sep size is appropriae for siff ordinary differenial equaions according o sabiliy regions. Keywords: Runge-Kua mehods, Siff differenial equaions, sabiliy analysis, Bucher able. v

8 ÖN SÖZ Yüksek lisans ez çalışmamda, çalışmalarıma yön veren, bilgi ve yardımlarını hiçbir zaman esirgemeyen aynı zamanda maddi ve manevi her ürlü deseği hiçbir karşılık beklemeden fazlasıyla sağlayan danışman hocam, Sayın Yrd. Doç. Dr. Mehme Tarık ATAY a sonsuz eşekkürlerimi sunarım. vi

9 İÇİNDEKİLER ÖZET.. iv SUMMARY. v ÖN SÖZ vi İÇİNDEKİLER DİZİNİ.. vii ÇİZELGELER DİZİNİ... x ŞEKİLLER DİZİNİ. xiii FOTOĞRAFLAR DİZİNİ... xix BÖLÜM I GİRİŞ Genel Bilgiler 1 BÖLÜM II BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ Euler Meodu Euler Meodu İçin Kararlılık Analizi Kapalı Euler Meodu Kapalı Euler Meodu İçin Kararlılık Analizi Trapez (Yamuk) Kuralı Yamuk (Trapez) Kuralı İçin Kararlılık Analizi. 12 BÖLÜM III RUNGE-KUTTA METODLARI Açık Tip Runge-Kua Meodları Açık Tip Runge-Kua s=1,p=1 Durumu Açık Tip Runge-Kua s=2,p=2 Durumu Açık Tip Runge-Kua s=3,p=3 Durumu Açık Tip Runge-Kua s=4,p=4 Durumu Açık Tip Runge-Kua Meodları İçin Kararlılık Analizi.. 28 BÖLÜM IV SAYISAL İNTEGRASYON vii

10 4.1. Temel Kavramlar İnerpolasyon yardımıyla İnegrasyon İnegrasyon Meodlarında Aralık Değişirme Gauss İnegrasyonu Legendre Polinomları..38 BÖLÜM V KAPALI RUNGE-KUTTA METODLARI Genel Bilgiler Merebe Şarları Runge-Kua Gauss Legendre s=1, p=2 durumu Runge-Kua Gauss Legendre s=2, p=4 Durumu Runge-Kua Gauss Legendre s=3, p=6 Durumu Runge-Kua Gauss Legendre s=4, p=8 Durumu Runge-Kua Gauss Legendre s=5, p=1 Durumu Runge-Kua Gauss-Radau I s=2 p=3 Durumu Runge-Kua Gauss-Radau I s=3 p=5 Durumu Runge-Kua Gauss-Radau IA s=2 p=3 Durumu Runge-Kua Gauss-Radau IA s=3 p=5 Durumu Runge-Kua Gauss-Radau II s=2 p=3 Durumu Runge-Kua Gauss-Radau II s=3 p=5 Durumu Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=2 p=3 Durumu Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=3, p=5 Durumu Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=4, p=7 Durumu Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=5, p=9 Durumu Runge-Kua Gauss-Lobao Meodları Runge-Kua Gauss-Lobao IIIA s=2 p=2 Durumu 67 viii

11 5.2. Diğer Runge-Kua Gauss-Lobao Meodları 68 BÖLÜM VI UYGULAMALAR Giriş Uygulama (Singular Perurbaion Problem) Runge-Kua Gauss-Legendre s=5, p=1 ile Yaklaşım Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=5, p=9 ile Yaklaşım Runge-Kua Gauss-Lobao IIIA s=5, p=8 ile Yaklaşım Uygulama (Siff Problem) Runge-Kua Gauss-Legendre s=1, p=2 ile Yaklaşım Runge-Kua Gauss-Legendre s=2, p=4 ile Yaklaşım Runge-Kua Gauss-Legendre s=3, p=6 ile Yaklaşım Runge-Kua Gauss-Legendre s=4, p=8 ile Yaklaşım Runge-Kua Gauss-Legendre s=5, p=1 ile Yaklaşım 111 SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ ix

12 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 2.1. (1.1) denkleminin 1,h=.1 için Kapalı Euler Meodu sonuçları..1 Çizelge 4.1. Gauss İnegrasyon Kökleri ve Kasayıları. 37 Çizelge 4.2. Legendre Polinomlarının Kökleri 38 Çizelge 5.1. j=2, k=2 ye kadar olan Padé yaklaşımları 42 Çizelge merebeye kadar Runge-Kua merebe şarları 45 Çizelge merebeye kadar Runge-Kua merebe şarları 49 Çizelge 6.1. (6.1) denkleminin RK-GL ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 72 Çizelge 6.2. (6.1) denkleminin RK-GL ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü..73 Çizelge 6.3. (6.1) denkleminin RK-GL ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü.74 Çizelge 6.4. (6.1) denkleminin RK-GL ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü Çizelge 6.5. (6.1) denkleminin RK-GL ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 76 Çizelge 6.6. (6.1) denkleminin RK-GL ile h=.1,ε =.1 için yaklaşık çözümü.. 77 Çizelge 6.7. (6.1) denkleminin RK-GL ile h=.1,ε =.1 için yaklaşık çözümü 78 Çizelge 6.8. (6.1) denkleminin RK-GL ile h=.1,ε =.1 için yaklaşık çözümü 79 Çizelge 6.9. (6.1) denkleminin RK-GL ile h=.1,ε =.1 için yaklaşık çözümü.8 Çizelge 6.1. (6.1) denkleminin RK-GRDIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü.. 81 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GRDIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü.. 82 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GRDIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü.. 83 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GRDIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü.. 84 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GRDIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü.. 85 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GRDIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü.. 86 x

13 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GRDIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 87 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GRDIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 88 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GRDIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 89 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 9 Çizelge 6.2. (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 91 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 92 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 93 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 94 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 95 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 96 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 97 Çizelge (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA ile h=.1 ve ε =.1 için yaklaşık çözümü 98 Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=1,p=2 ve h=.1 için yaklaşık çözümü Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=1,p=2 ve h=.1 için yaklaşık çözümü... 1 Çizelge 6.3. (6.2) denkleminin RK-GL s=1,p=2 ve h=.1 için yaklaşık çözümü.. 11 Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=2,p=4 ve h=.1 için yaklaşık çözümü. 12 Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=2,p=4 ve h=.1 için yaklaşık çözümü Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=2,p=4 ve h=.1 için yaklaşık çözümü.. 14 xi

14 Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=3,p=6 ve h=.1 için yaklaşık çözümü. 15 Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=3,p=6 ve h=.1 için yaklaşık çözümü Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=3,p=6 ve h=.1 için yaklaşık çözümü.. 17 Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=4,p=8 ve h=.1 için yaklaşık çözümü. 18 Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=4,p=8 ve h=.1 için yaklaşık çözümü Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=4,p=8 ve h=.1 için yaklaşık çözümü.. 11 Çizelge 6.4. (6.2) denkleminin RK-GL s=5,p=1 ve h=.1 için yaklaşık çözümü 111 Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=5,p=1 ve h=.1 için yaklaşık çözümü. 112 Çizelge (6.2) denkleminin RK-GL s=5,p=1 ve h=.1 için yaklaşık çözümü 113 xii

15 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 1.1. Bucher Tablosu. 4 Şekil 2.1. Euler meodunun kararlılık bölgesi.7 Şekil 2.2. (1.1) denklemi 1 ve h=.1 için Euler meodu haa grafiği... 7 Şekil 2.3. (1.1) denklemi 1 ve h=.1 için Euler meodu haa grafiği... 8 Şekil 2.4. (1.1) denklemi 1 ve h=.19 için Euler meodu haa grafiği..8 Şekil 2.5. Kapalı Euler meodunun kararlılık bölgesi... 9 Şekil 2.6. (1.1) denklemi 1, h=.1 için Kapalı Euler meodu haa grafiği.. 1 Şekil 2.7. (1.1) denklemi 1, h=.1 için Kapalı Euler meodu haa grafiği. 1 Şekil 2.8. (1.1) denklemi 1, h=.1 için Kapalı Euler meodu haa grafiği.. 11 Şekil 2.9. Yamuk kuralı için kararlılık bölgesi.. 12 Şekil 2.1. (1.1) denklemi 1, h=.1 için Yamuk kuralı ile haa grafiği.. 13 Şekil (1.1) denklemi 1, h=.1 için Yamuk kuralı ile haa grafiği 13 Şekil (1.1) denklemi 1, h=.1 için Yamuk kuralı ile haa grafiği 13 Şekil (1.1) denklemi 1, h=.1 için Yamuk kuralı ile haa grafiği.. 14 Şekil (1.1) denklemi 1, h=.1 için Yamuk kuralı ile haa grafiği. 14 Şekil 3.1. s=1,p=1 için Bucher ablosu 16 Şekil 3.2. Durum için Bucher ablosu Şekil 3.3. p = 2, h =.1, 1 için Heun meodu haa grafiği. 18 Şekil 3.4. p = 2, h =.1, 1 için Heun meodu haa grafiği Şekil 3.5 p = 2, h =.2, 1 için Heun meodu haa grafiği 19 Şekil 3.6. Durum için Bucher ablosu. 19 Şekil 3.7 p = 2, h =.1, 1 için Düzelilmiş Euler meodu haa grafiği.. 19 Şekil 3.8. p = 2, h =.1, 1 için Düzelilmiş Euler meodu haa grafiği.. 2 Şekil 3.9. p = 2, h =.2, 1 için Düzelilmiş Euler meodu haa grafiği.. 2 Şekil 3.1. Durum için Bucher ablosu 21 xiii

16 Şekil p = 3, h =.25, 1 için Durum haa grafiği Şekil Durum için Bucher ablosu 22 Şekil p = 3, h =.26, 1 için Durum haa grafiği.. 22 Şekil Durum için Bucher ablosu 22 Şekil p = 3, h =.1, 1 için Durum haa grafiği 23 Şekil p = 3, h =.25, 1 için Durum haa grafiği. 23 Şekil Klasik Runge-Kua 4.merebe için Bucher ablosu.. 24 Şekil p = 4, h =.1, 1 için Klasik Runge-Kua haa grafiği.. 25 Şekil Runge-Kua 3/8 meodu için Bucher ablosu Şekil 3.2. p = 4, h =.26, 1 için Runge-Kua 3/8 haa grafiği. 25 Şekil Runge-Kua Gill meodu için Bucher ablosu. 26 Şekil p = 4, h =.25, 1 için Runge-Kua Gill haa grafiği 26 Şekil Runge-Kua Dormand meodu için Bucher ablosu 26 Şekil p = 4, h =.275, 1 için Runge-Kua Dormand haa grafiği.. 27 Şekil p=1 için Runge-Kua meodu kararlılık bölgesi 29 Şekil p=2 için Runge-Kua meodu kararlılık bölgesi 29 Şekil p=3 için Runge-Kua meodu kararlılık bölgesi 29 Şekil p=4 için Runge-Kua meodu kararlılık bölgesi 3 Şekil 4.1. Dikdörgen meodunun geomerik açıklaması. 32 Şekil 4.2. Ora noka kuralının geomerik açıklaması.. 32 Şekil 4.3. Yamuk kuralının geomerik açıklaması.. 34 Şekil 5.1. Kapalı Tip Runge-Kua Meodu Bucher Tablosu 43 Şekil 5.2. Köşegensel Kapalı Tip Runge-Kua Meodu Bucher Tablosu.. 43 Şekil 5.3. Tek Tip Köşegensel Kapalı Tip Runge-Kua Meodu Bucher Tablosu. 43 Şekil 5.4. Gauss-Legendre s=1, p=2 durumu için Bucher Tablosu xiv

17 Şekil 5.5. Runge-Kua Gauss-Legendre s=1, p=2 Kararlılık Bölgesi Şekil 5.6. Runge-Kua Gauss-Legendre s=2, p=4 durumu için Bucher ablosu Şekil 5.7. Runge-Kua Gauss-Legendre s=2, p=4 Kararlılık Bölgesi Şekil 5.8. Runge-Kua Gauss-Legendre s=3, p=6 Bucher Tablosu Şekil 5.9. Runge-Kua Gauss-Legendre s=3, p=6 Kararlılık Bölgesi Şekil 5.1. Runge-Kua Gauss-Legendre s=4, p=8 Bucher Tablosu Şekil Runge-Kua Gauss-Legendre s=5, p=1 Bucher Tablosu.. 54 Şekil Runge-Kua Gauss-Radau I s=2, p=3 Bucher Tablosu Şekil Runge-Kua Gauss-Radau I s=2, p=3 Kararlılık Bölgesi Şekil Runge-Kua Gauss-Radau I s=3, p=5 Bucher Tablosu Şekil Runge-Kua Gauss-Radau I s=3, p=5 Kararlılık Bölgesi Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IA s=2, p=3 Bucher Tablosu Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IA s=2, p=3 Kararlılık Bölgesi.. 59 Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IA s=3, p=5 Bucher Tablosu Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IA s=3, p=5 Kararlılık Bölgesi Şekil 5.2. Runge-Kua Gauss-Radau II s=2, p=3 Bucher Tablosu Şekil Runge-Kua Gauss-Radau II s=2, p=3 Kararlılık Bölgesi Şekil Runge-Kua Gauss-Radau II s=3, p=5 Bucher Tablosu Şekil Runge-Kua Gauss-Radau II s=3, p=5 Kararlılık Bölgesi Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=2, p=3 Bucher Tablosu Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=2, p=3 Kararlılık Bölgesi Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=3, p=5 Bucher Tablosu.. 65 Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=3, p=5 Kararlılık Bölgesi Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=4, p=7 Bucher Tablosu Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=5, p=9 Bucher Tablosu xv

18 Şekil 5.3. Runge-Kua Gauss-Lobao IIIA s=2, p=2 Bucher Tablosu Şekil Runge-Kua Gauss-Lobao IIIA s=2, p=2 Kararlılık Bölgesi Şekil Runge-Kua Gauss-Lobao IIIA s=3, p=4 Bucher Tablosu Şekil Runge-Kua Gauss-Lobao IIIA s=4, p=6 Bucher Tablosu Şekil Runge-Kua Gauss-Lobao IIIA s=5, p=8 Bucher Tablosu Şekil 6.1. (6.1) denkleminin RK-GL meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil 6.2. (6.1) denkleminin RK-GL meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil 6.3.(6.1) denkleminin RK-GL meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil 6.4.(6.1) denkleminin RK-GL meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil 6.5.(6.1) denkleminin RK-GL meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil 6.6.(6.1) denkleminin RK-GL meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil 6.7.(6.1) denkleminin RK-GL meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil 6.8.(6.1) denkleminin RK-GL meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil 6.9.(6.1) denkleminin RK-GL meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği... 8 Şekil 6.1. (6.1) denkleminin RK-GRDIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GRDIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GRDIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği xvi

19 Şekil (6.1) denkleminin RK-GRDIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GRDIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GRDIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GRDIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GRDIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GRDIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği... 9 Şekil 6.2. (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği Şekil (6.1) denkleminin RK-GLBIIIA meodu ile [,1] aralığında h=.1 ve ε =.1 için haa grafiği xvii

20 Şekil (6.2) denkleminin RK-GL s=1, p=2 ve h=.1 için haa grafiği... 1 Şekil (6.2) denkleminin RK-GL s=1, p=2 ve h=.1 için haa grafiği Şekil 6.3. (6.2) denkleminin RK-GL s=2, p=4 ve h=.1 için haa grafiği Şekil (6.2) denkleminin RK-GL s=2, p=4 ve h=.1 için haa grafiği Şekil (6.2) denkleminin RK-GL s=2, p=4 ve h=.1 için haa grafiği Şekil (6.2) denkleminin RK-GL s=3, p=6 ve h=.1 için haa grafiği Şekil (6.2) denkleminin RK-GL s=3, p=6 ve h=.1 için haa grafiği Şekil (6.2) denkleminin RK-GL s=3, p=6 ve h=.1 için haa grafiği Şekil (6.2) denkleminin RK-GL s=4, p=8 ve h=.1 için haa grafiği Şekil (6.2) denkleminin RK-GL s=4, p=8 ve h=.1 için haa grafiği Şekil (6.2) denkleminin RK-GL s=4, p=8 ve h=.1 için haa grafiği Şekil (6.2) denkleminin RK-GL s=5, p=1 ve h=.1 için haa grafiği Şekil 6.4. (6.2) denkleminin RK-GL s=5, p=1 ve h=.1 için haa grafiği Şekil (6.2) denkleminin RK-GL s=5, p=1 ve h=.1 için haa grafiği xviii

21 FOTOĞRAFLAR DİZİNİ Fooğraf 1.1. Carl David Tolmé Runge ( ) 2 Fooğraf 1.2. Wilhelm Marin Kua ( ). 3 xix

22 BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Genel bilgiler Fiziksel olaylarla ilgili problemlerin incelenmesinde problemin özelliklerini aşıyan bazı maemaiksel modeller kurulmakadır. Bu ür modellemelerde genellikle bilinmeyen fonksiyon ya da fonksiyonlara ai bağımsız değişkenleri ve bu fonksiyonların ürevlerini içeren bir denklem oraya çıkmakadır. Bir değişken ve bu değişkenin fonksiyonu ile bu fonksiyonun belirli ürevleri arasındaki bu bağınıya Diferansiyel Denklem denmekedir. x bağımsız değişken ve y(x) bağımlı değişken olmak üzere n. merebeden bir adi diferansiyel denklem Fx, y, y,, y () = şeklinde göserilebilir. Bu şekildeki bir adi diferansiyel denklemin çözümü f(x, y, C) = şeklindedir. Bu çözüme adi diferansiyel denklemin genel çözümü, C nin her bir değeri için elde edilen çözüme ise özel çözüm denir. Diferansiyel denklemlerin gerçek çözümlerinin yanı sıra yaklaşık çözümleri de bulunmakadır ve bu yaklaşık çözümler nümerik meodlar vasıasıyla hesaplanabilmekedir (Başarır ve Türker, 23). Çünkü birçok diferansiyel denklemin gerçek çözümü bulunmamaka ya da gerçek çözümündeki yaşanan bazı zorluklar sonuca ulaşmayı zorlaşırmakadır. Bu gibi durumlarda diferansiyel denklemlerin yaklaşık değerlerini hesaplamak için nümerik meodlardan faydalanılmakadır. Diferansiyel denklemlerin çözümlerinde denklem gerçek çözümün kakısı olmadan sayısal olarak bulunmakadır. Diferansiyel denklem ile birlike verilen şarlar diferansiyel denklemin analiik çözümündeki sabileri belirlediğinden diferansiyel denklemin sayısal çözümü verilen şarlar ile ele alınmalıdır. Verilen şarlar analiik çözümün aksine sayısal çözümün başlamasına yardım eder ve bu şarlar değişiğinde diferansiyel denklem aynı olsa bile denklem başan ekrar çözülmelidir. Diferansiyel denklem n. merebeden ise çözümde oraya çıkan n sabiin belirlenmesi için n ane şarın verilmesi gerekir. Bu şarlar belirli nokalarda bilinmeyen fonksiyonun kendisi ve ürevleri arasında yazılan bağlanılardır. Bu şarlar örneğin ikinci merebeden bir diferansiyel denklem için bir veya iki nokada f(x, y, y ) =, g(x, y, y ) = şeklindedir. Bir n. merebeden diferansiyel denklemin verilen şarlarında n. merebeden ürev erimleri bulunmaz. Şaye böyle erimler bulunursa n. merebeden ürev diferansiyel denklemden diğer ürevler cinsinden bulunarak elimine edilir. Diferansiyel denklemin sabilerini belirlemek için verilen şarlar bir nokada verildiğinde bu probleme başlangıç değer problemi adı verilmekedir. 1

23 Bir n. merebeden f (x, y, y,, y ), (i = 1,2,, n) şeklinde başlangıç şarı verildiğinde ve bu şarlar bir nokada, örneğin x=a nokasında yazıldığında bu n ane eşiliken y(a), y (a), y (a),, y (a) değerleri bulunur. Bu nedenle n. merebeden bir diferansiyel denklemin ek nokada fonksiyonun kendisi ve (n-1). Dereceden ürevlerinin verilen değerlere eşi olacak şekilde çözülmesi problemine diferansiyel denklemlerde başlangıç değer problemi adı verilir. Diferansiyel denklemlerde başlangıç değer problemi Fx, y, y, y,, y () = ifadesi n. merebeden bir diferansiyel denklem olmak üzere analiik olarak Fx, y, y, y,, y () = ve y(a) = y, y (a) = y, y (a) = y,, y () (a) = y şeklinde yazılmakadır. Bu ip diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümleri için nümerik meodlardan faydalanacağımızı daha önceden belirilmişi. Nümerik meodların oraya çıkışı daha evvel zamanlara dayansa da ilk makaleler XIX. yüzyılda J. C. Adams ve Francis Bashforh arafından yazılmışır. Daha sonra 1885 yılında Alman maemaikçi Runge bazı yeni çalışmalar yaparak meodların merebesinin varlığını ve bu merebelerin yaklaşık çözümlerde ekin rol oynadığını gözlemlemişir. Fooğraf 1.1. Carl David Tolmé Runge ( ) 19 lü yılların başında ise Heun ve Kua, Adams-Bashforh ve Runge nin çalışmalarına önemli kakılarda bulunarak daha yüksek merebeden meodlar elde emişlerdir. Özellikle Kua nın Runge meodlarından yararlanarak bulmuş olduğu yeni meodlar Runge-Kua meodları olarak anılmaya başlamışır. Heun, Runge nin bazı meodlarını gelişirerek 2. ve 3. merebeden yeni meodlar elde emeyi başarmışır yılında E. J. Nysröm Kua nın bulmuş olduğu bazı meodları yeniden düzenleyerek lieraüre kazandırmış ve aynı zamanda 2. merebeden adi diferansiyel denklemlerin Runge-Kua meodları ile nasıl hesaplanacağını gösermişir. 2

24 Fooğraf 1.2. Wilhelm Marin Kua ( ) 19 lü yılların sonuna doğru J. C. Bucher Runge-Kua meodları üzerine farklı çalışmalar yaparak daha yüksek merebeli yeni meodları bulmuşur. Bu çalışmasında ise Grafik Teorisi nden yararlanmış ve köklenmiş ağaçlar vasıasıyla meodların merebe şarlarını grafiksel olarak gösermişir. Böylece yeni ürevleri elde emek daha kolay olmuşur. Bu çalışmada Bucher abloları ve köklenmiş ağaçlar ile bir meodun nasıl elde edildiği incelenip yeni bulunan meodların lineer siff diferansiyel denklem ve denklem sisemleri için opimum sonuçları hesaplanacakır. Siff diferansiyel denklemler, hesaplanması zor çok maliye gerekiren denklemlerdir. Bu ip denklemlerde biri çok çabuk değişen diğeri ise yavaş değişen erim grubu veya grupları bulunmakadır. Fiziksel olarak bu erim gruplarından biri sisemin geçici (ransien) diğer ise kalıcı (seady sae) çözümüdür. Geçici çözüm çok kısa bir zamanda sönmeke diğeri ise çözümü belirlemek adına kalmakadır. Örneğin, y (x) = 1y + 3 2e, y() = (1.1) ve denklemin analiik çözümü y(x) = 3.998e 2.2e (1.2) ele alalım. Görüldüğü gibi denklemdeki e ifadesi çok kısa bir zamanda a yakınsayarak çözümden kaybolmaya başlar ve diğer erimler çözüme hakim olur (Bakioğlu,211). Siff diferansiyel denklemlerin çözümünde h adım aralığını seçerken dikka edilmesi gerekir. Genellikle h adım aralığı küçük seçilerek yapılan işlemlerde daha iyi sonuçlar alınmakadır. Faka bu durum her meod için aynı değildir. Örneğin Açık ip Runge-Kua meodlarında h=.1 alınarak bulunan bir haa kapalı ip Runge- Kua meodlarında h=.1 alınarak bulunabilmekedir. Çalışmamızda aynı zamanda açık 3

25 ve kapalı ip Runge-Kua meodları için merebe şarları ve kararlılık analizleri incelenecekir. Runge-Kua meodlarının merebe şarlarının belirlenmesinde ekili bir yönem olan köklenmiş ağaçlar ve Bucher abloları her bir merebe şarı ve meod için ayrı ayrı incelenecekir. y (x) = f(x, y(x)), f(x ) = y, y R, f: RxR R (1.3) şeklindeki bir başlangıç değer problemi için s basamaklı genel Runge-Kua formülasyonu k = fx + c h, y + h a k, (1 i s) (1.4) y = y + h b k (1.5) şeklindedir. Yukardaki denklemde k ler her bir adımda bulunan oralama eğimler y değerleri ise bir önceki y değeri ile bu eğimlere karşılık gelen değerlerin adım sayısı kadar hesaplanması sonucu oplanması ile bulunan değerlerdir. Yukardaki formülasyonda a, b ve c kasayıları Bucher ablosundaki değerleri gösermekedir. s adımlı bir meod için Bucher ablosu aşağıdaki gibidir. c A b T Şekil 1.1. Bucher Tablosu Bu ablo için c, b ve A değerleri sırasıyla c = c c c, b = c (Iserles,28). b b a a b, A = olarak anımlanmışır a a b Tablodaki kasayıların seçimine göre yeni meodlar elde edilmeke ve aynı zamanda meodların merebeleri belirlenebilmekedir. Bucher ablosundaki kasayıları bulabilmek için meodun Taylor seri açılımı ile denklemin gerçek çözümünün Taylor seri açılımının birbirinine eşilenmesi gerekmekedir. Meod için bulunan kasayılar ile 4

26 gerçek çözüm için bulunan kasayılar eşilendiğinde lineer olmayan bir denklem sisemi oraya çıkmakadır. Bu denklem sisemindeki denklem sayısı meodun merebesine göre değişmekedir. Merebe sayısı arıkça denklem sayısı da hızlı bir şekilde arış gösermekedir. Örneğin merebe sayısı 4 iken 8 ade denklem bulunurken, merebe sayısı 5 olduğunda 17, merebe 6 olduğunda 37, 7 olduğunda 85, 8 olduğunda 2 ade denklem bulunmakadır. Görüldüğü gibi 6. merebeden sonra denklem sayısı çok fazla arış gösermekedir. Bu arış da gerek elle gerekse bilgisayarla yapılan çalışmalarda yeni kasayılar bulmayı oldukça zorlaşırmakadır. Bu zorluğun üsesinden gelmek için 196 sonrasında grafik eorisi kullanılarak çok uzun ve hesaplanması zor olan kısmi ürevler çok kısa sürede hesaplanmışır. Bu ürevler bazı ağaçlarla simgelenerek ve ağaçlara yeni dallar eklenerek meodların ardıl ürevleri elde edilmişir. 5

27 BÖLÜM II BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ 2.1. Euler Meodu y (x) = fx, y(x), y(x ) = y şeklindeki bir diferansiyel denklemin başlangıç değer problemi olduğu daha önceden verilmişi. Burada f: RxR R anımlı vekör değerli bir fonksiyondur. Euler meodu ardışık adımlarla denklemin çözümünü bize verdiğinden ilk olarak y(x ) = y ile çözüme başlanır daha sonra x = x + h, x = x + h,, x = x + h nokalarında y(x) değerlerinin hesaplanmasıyla devam eder. Burada h adım büyüklüğüdür. Eğer a x b şeklinde ise N poziif amsayı olmak üzere, h = (b a)/n olarak seçilir. Bu durumda her n=,1,2,,n için x = x + nh olarak anımlanır. Her bir adımın hesaplanması aynı formül ile yapılır. Böyle bir formül için y(x + h) = y(x) + hy (x) + y (x) + şeklindeki Taylor serisi kullanılmakadır. Eğer h adım büyüklüğü çok küçük ise, bu durumda h, h, ifadeleri çok küçük olacağından, bu ifadeleri içeren erimlerin ihmal edilmesiyle y(x + h) = y(x) + hy (x) = y(x) + hf(x, y(x)) elde edilmekedir. Bu formülün sağ arafı verilen diferansiyel denklemin yaklaşık çözümünü verir. İlk adımda y = y(x + h) değerine yaklaşan y = y + hfx, y(x ), y = y(x + 2h) değerine yaklaşan y = y + hf(x, y(x )) değerleri hesaplanır. Genel olarak n=,1, için y = y + hf(x, y(x )) formülü olarak yazılmakadır. Bu formüle Euler formülü denilmekedir (Bakioğlu,211) Euler Meodu İçin Kararlılık Analizi Meodların doğru sonuç vermesi için gerekli olan krierlerden bir anesi de meodların hangi bölgede kararlı olduğunun belirlenmesidir. Meodların kararlılık bölgelerini belirlemek için Dahlquis es denklemi olan y (x) = y, C, y(x) = e, y() = y, y R (2.1) kullanılacak olup bulunan karalılık fonksiyonunun grafikleri ele alınacakır. Euler meodu y = y + hf(x, y(x )) şeklinde anımlanmışı. Dahlquis es denklemine Euler meodu uygulanırsa y = y + hf(x, y(x )) = y = y + hy dir. Bu ifade daha genel formaa yazılacak olursa y = (1 + h) y dir. Euler 6

28 meodunun kararlı olabilmesi için Re() < ve 1 + h < 1 olması gerekmekedir. Euler meodunun kararlılık bölgesi aşağıdaki gibidir. Burada bulunan 1 + h ifadesi kararlılık fonksiyonu olarak anımlanmakadır. Bu kararlılık fonksiyonuna ai kararlılık bölgesi aşağıdaki gibidir. Şekil 2.1. Euler meodunun kararlılık bölgesi (1.1) denklemi Euler meodu ile farklı değerlerdeki h uzunlukları farklı değerler alarak çözüldüğünde aşağıdaki sonuçlar elde edilmekedir Haa Zaman Şekil 2.2. (1.1) denkleminin 1 ve h=.1 için Euler meodu haa grafiği 7

29 Haa Zaman Şekil 2.3. (1.1) denkleminin 1 ve h=.1 için Euler meodu haa grafiği Haa Zaman Şekil 2.4. (1.1) denkleminin 1 ve h=.19 için Euler meodu haa grafiği Görüldüğü gibi h=.1 için haa çoğalarak giderken, h=.1 için h değerleri kararlılık bölgesinde olduğundan haa oranı oldukça azdır Kapalı Euler Meodu y (x) = fx, y(x), y(x ) = y, f: RxR R, y R şeklindeki bir başlangıç değer problemi için Taylor seri açılımı y(x h) = y(x ) hy (x ) + şeklinde de yazılabilmekedir. Burada ilk iki erimi kullanarak y(x ) = y(x ) + hy (x ) yazılabilir. Bu ifade en genel formda yazılacak olursa y = y + hf(x, y ) (2.2) formülü elde edilir. Bu formüle Kapalı Euler Meodu ya da Geri Euler Meodu denilmekedir. Kapalı Euler meodu açık Euler meoduna göre bira daha karmaşık bir 8

30 yapıya sahipir. Çünkü kapalı Euler meodunda fonksiyondan gelen y değeri her iki arafa da bulunmakadır. Dolayısıyla y ifadesi bulunurken açık Euler meodundaki gibi y ifadesi kullanılmadığından yaklaşık çözümleri bulmak biraz daha masraflı olmakadır. Özellikle lineer olmayan adi diferansiyel denklemlerin çözümünde Kapalı meodlar ciddi anlamda masraflı olabilmekedir (Iserles,28) Kapalı Euler Meodu İçin Kararlılık Analizi y (x) = y, C, y() = e, y() = y, y R es denklemini ele alalım. (2.2) formülüne Dahlquis es denklemi uygulanacak olursa y = y + hf(x, y ) = y + hy (2.3) ve buradan y = y denklemi elde edilir. Bu denklem en genel şekilde yazılacak olursa y = y dır. Kapalı Euler meodunun kararlı olabilmesi için Re() < ve < 1 şarının sağlanması gerekmekedir. Buradan da 1 h > 1 olarak bulunmakadır. Kapalı Euler Meodunun kararlılık bölgesi ise aşağıdaki grafikeki koyu alanlardır. Şekil 2.5. Kapalı Euler meodunun kararlılık bölgesi 9

31 Euler meodu ile Kapalı Euler meodu arasında kararlılık farkı bulunmakadır. Euler meodunda çok küçük h uzunlukları alınarak yapılan çözümler Kapalı Euler meodunda daha büyük h uzunlukları ile daha iyi sonuçlar verebilmekedir. (1.1) denklemi Kapalı Euler meodu ile h uzunlukları farklı değerler alarak çözüldüğünde aşağıdaki sonuçlar elde edilmekedir. Çizelge 2.1. (1.1) denkleminin 1 ve h=.1 için Kapalı Euler Meodu sonuçları Adım Yaklaşık Gerçek Haa Haa.2.1. Zaman Şekil 2.6. (1.1) denkleminin 1 ve h=.1 için Kapalı Euler meodu haa grafiği.15 Haa Şekil 2.7. (1.1) denkleminin 1 ve h=.1 için Kapalı Euler meodu haa grafiği 1 Zaman

32 Haa Şekil 2.8. (1.1) denkleminin 1, h=.1 için Kapalı Euler meodu haa grafiği Açık Euler meodu için alınan büyük h değerleri için doğru sonuçların alınamadığı Bölüm 2.2 e verilmişi. Dikka edilecek olursa Euler meodunun aksine Kapalı Euler meodunda h=.1, h=.1, h=.1 değerleri için kararlı olarak haa alındığı görülmekedir Yamuk (Trapez) Kuralı Bir f(x) fonksiyonunun bir sonlu [a, b] aralığı üzerinden inegrali y = f(x) eğrisinin alında kalan x = a ve x = b doğruları ile sınırlanan bölgenin alanını vermekedir. y = f(x) fonksiyonunun inegralinin yaklaşık değeri x = a ve x = b doğruları ile sınırlanan a, f(a) ve b, f(b) nokalarını birleşiren doğru parçasının alında kalan yamuğun alanıdır. Bu değer ise açık olarak Zaman f(x)dx = [f(a) + f(b)] (2.4) şeklindedir. (2.4) formülüne [a,b] üzerinden f(x) fonksiyonunun yaklaşık inegrali için yamuk kuralı denir. Benzer formül f(x) fonksiyonunun Lagrange inerpolasyon polinomu kullanılarak da elde edilebilir. Lagrange inerpolasyon polinomu nun genel formülü L, = ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) = ( ) ( ) (2.5) şeklindedir. Bu formül kullanılarak f(x) fonksiyonunun a ve b nokalarından geçen Lagrange polinomu bulunacak olursa 11

33 f(x) = f(a) + f(b) olarak bulunur. Bu denklemde her iki arafın [a,b] aralığında inegrali alınacak olursa f(x)dx = f(a) dx + f(b) dx = [f(a) + f(b)] (2.6) olarak bulunur. Dolayısıyla nümerik olarak x ve x adımları için yamuk kuralı y = y + [fx, y(x ) + f(x, y(x ))] (2.7) olarak bulunur. (2.7) formülüne Yamuk (Trapez) formülü denir (Bayram,29) Yamuk (Trapez) Kuralı İçin Kararlılık Analizi y (x) = y, C, y(x) = e, y() = y es denklemini ele alalım. (2.7) formülüne Dahlquis es denklemi uygulanacak olursa y = y + [y + y ] = / / y (2.8) olarak bulunur. Yamuk kuralının kararlı olabilmesi için Re() <, / / < 1 olması gerekmekedir. Yamuk kuralına ai kararlılık bölgesi aşağıdaki gibidir. Şekil 2.9. Yamuk kuralı için kararlılık bölgesi 12

34 Yamuk kuralının (1.1) denklemi için ile farklı h uzunlukları için bazı sonuçları aşağıdaki gibidir..5 Haa..5 Zaman Şekil 2.1. (1.1) denkleminin 1, h=.1 için Yamuk kuralı ile haa grafiği Haa Zaman Şekil (1.1) denkleminin 1, h=.1 için Yamuk kuralı ile haa grafiği Haa Zaman Şekil (1.1) denkleminin 1, h=.1 için Yamuk kuralı ile haa grafiği 13

35 Haa Zaman Şekil (1.1) denkleminin 1, h=.1 için Yamuk kuralı ile haa grafiği O O OO O OOO O OO O O O O Zaman Haa Şekil (1.1) denkleminin 1, h=.1 için Yamuk kuralı ile haa grafiği Zaman Şimdiye kadar kullanmış olduğumuz meodlar Nümerik Analiz in en emel meodlarıdır. Şimdi ise Taylor serileri kullanılarak daha yüksek merebeden yeni meodların nasıl elde edildiği incelenecekir. 14

36 BÖLÜM III RUNGE-KUTTA METODLARI 3.1 Açık Tip Runge-Kua Meodları y (x) = f(x, y(x)), y(x ) = y, f: RxR R ve y R (3.1) şeklindeki bir başlangıç değer problemi için s basamaklı Runge-Kua meodu aşağıdaki gibidir. k = fx + c h, y + h a k, (1 i s) (3.2) y = y + h b k (3.3) Bu formüllerdeki s adım sayısını, b, c ve a kasayıları ise meodu yazmaka gerekli olan kasayıları ifade emekedir. (3.1) denkleminin gerçek çözümü olan y(x) in p. merebeden Taylor seri açılımı y(x + h) = y(x) + hy (x) +! y (x) + +! y (x) + O(h ) (3.4) şeklindedir. Yukarda elde edilen ürevler (3.1) denkleminden elde edilecek olursa y (x) = fx, y(x) y (x) = (x, y(x)) + (x, y(x)) (x) (3.4a) (3.4b) olarak bulunur. Runge-Kua açık ip formüllerinde 4. Merebeye kadar s p ilişkisi vardır (Iserles,28). Bu formüller genişleilerek adım sayısı ve merebe şarına göre Runge-Kua meodlarının s-p (adım sayısı merebe) ilişkisi farklı durumlarda incelenecekir Açık Tip Runge-Kua s = 1, p = 1 Durumu Bu bölümde 1.merebeden 1 adımlı bir meodun genel formülü elde edilecekir. s=1 için k = fx + c h, y + h a k, (1 i s) değeri k = fx + c h, y + h a k = f(x + c h, y + ha k ) = f(x, y ) (3.5) 15

37 olarak bulunur. Açık ip Runge-Kua formülasyonları için oluşurulan Bucher ablolarında i j için a = dır(iserles 28). Runge-Kua meodlarının merebelerini belirleyebilmek için gerekli koşullar yazılacak olursa y(x) fonksiyonunun 1.merebeden Taylor seri açılımı y(x + h) = y(x) + h (x) + O(h ) (3.6) y(x + h) = y(x) + hfx, y(x) + O(h ) (3.6a) olarak bulunur. Bulunan k değeri (3.3) denkleminde yazılırsa s = 1, p = 1 için Runge- Kua formülü y = y + hb k (3.7) y = y + hb f(x, y(x )) (3.7a) olarak bulunur. Gerçek çözümün Taylor açılımı ile meodun Taylor açılımı karşılıklı olarak eşilenirse b = 1, c =, a = olarak bulunur. Bulunan bu kasayılara karşılık gelen Bucher ablosu 1 Şekil 3.1. s=1,p=1 için Bucher ablosu şeklindedir. Tablodan yola çıkarak s=1,p=1 için genelleşirilmiş Runge-Kua meodu yazılacak olursa y = y + hf(x, y(x )) (3.8) olarak bulunur. Bu meodun adı Bölüm (2.1) de verildiği gibi Euler meodudur. Dolayısıyla Euler meodu Runge-Kua meodlar ailesi içerisinde yer almakadır Açık ip Runge-Kua s=2, p=2 durumu Bu bölümde ise 2 adımlı 2.merebeden Runge-Kua meodlarının genel formülasyonları elde edilecekir. s=2 için k değerleri k = f(x + c h, y + ha k + ha k ) = f(x, y ) (3.9) 16

38 k = f(x + c h, y + ha k + ha k ) = f(x + c h, y + ha k ) (3.9a) olarak bulunur. Bulunan k değerlerinin Taylor seri açılımları k = f(x, y(x )) (3.1) k = fx, y(x ) + c h (x, y(x )) + ha f(x, y(x )) (x, y(x )) (3.1a) olarak bulunur. y(x) gerçek çözümün 2.merebeden Taylor seri açılımı y(x + h) = y(x) + hy (x) +! y (x) + O(h ) (3.11) olarak bulunur. Gerçek çözüm olan y(x) in ürevleri f(x, y(x)) cinsinden aşağıdaki gibi elde edilebilir. y (x) = f(x, y(x)) (3.12) y (x) = x, y(x) + (x, y(x)) (x) (3.12a) Bulunan değerler (3.11) denkleminde yerine yazılırsa y(x + h) = y(x) + hfx, y(x) +! x, y(x) + (x, y(x)) (x) (3.13) olarak bulunur. Bulunan k değerleri meodun gelen formülünde yerine yazılırsa y = y + hb fx, y(x) + hb fx, y(x) + b c h + h a b fx, y(x) x, y(x) (3.13a) x, y(x) olarak bulunur. Bu ifade gerçek çözümün Taylor seri açılımına benzeilirse y y + hf x, y(x) (b + b ) + h (b c x, y(x) + a b fx, y(x) x, y(x) (3.13b) denklemi elde edilir. (3.13) ve (3.13.b) denklemleri karşılıklı olarak birbirine eşilenirse b + b = 1, b c =, b a = olacak şekilde b, b, c, a kasayılarına bağlı lineer olmayan bir denklem elde edilir. Bu denklemin keyfi paramere olmaksızın çözümü b = 1 b c = a = şeklindedir. Bu denklemde kasayılar keyfi 17

39 olarak seçilirse 2 adımlı 2.merebeden yeni ve farklı meodlar elde edilecekir. Bu durumlar farklı kasayılar için incelenecek olursa aşağıdaki durumlar elde edilmekedir. Durum : b =, b =, c = 1, a = 1 olarak seçilirse bu kasayılara ai Bucher ablosu Şekil 3.2. Durum için Bucher ablosu olarak bulunur. Bu abloya ai genel Runge-Kua formülü y y + fx, y(x ) + f(x + h, y + hf(x, y )) (3.14) dir. Bu meodun adı Heun meodudur. Heun meodu ile (1.1) denkleminin bazı h uzunlukları için çözümü aşağıdaki gibidir Haa Zaman Şekil 3.3 p = 2, h =.1, 1 için Heun meodu haa grafiği Haa Zaman Şekil 3.4 p = 2, h =.1, 1 için Heun meodu haa grafiği 18

40 Haa Zaman Şekil 3.5 p = 2, h =.2, 1 için Heun meodu haa grafiği Durum b =, b = 1, c =, a = olarak seçilirse bu kasayılara ai Bucher ablosu Şekil 3.6. Durum için Bucher ablosu olarak bulunur. Bu abloya ai genel Runge-Kua formülü y y + h f(x +, y + f(x, y )) (3.15) dir. Bu meoda düzelilmiş Euler meodu denir. Düzelilmiş Euler meodunun (1.1) denklemi için verdiği sonuçlar aşağıdaki gibidir Haa Zaman Şekil 3.7 p = 2, h =.1, 1 için Düzelilmiş Euler meodu haa grafiği 19

41 Haa Zaman Şekil 3.8. p = 2, h =.1, 1 için Düzelilmiş Euler meodu haa grafiği Haa Zaman Şekil 3.9. p = 2, h =.2, 1 için Düzelilmiş Euler meodu haa grafiği Açık ip Runge-Kua s=3, p=3 durumu Bölüm ve bölüm deki formülasyonlar s=3 ve p=3 için uygulanırsa k değerleri aşağıdaki olacakır. k = f(x, y ) (3.16) k = f(x + c h, y + ha k ) k = f(x + c h, y + ha k + ha k ) (3.16a) (3.16b) y = y + h(b k + b k + b k ) (3.17) olarak bulunur. y(x) fonksiyonunun p=3 için Taylor serisi y(x + h) = y(x) + hy (x) +! y (x) +! y (x) + O(h ) (3.18) olarak bulunur. Bulunan Taylor serisi için ürevler f(x, y(x)) cinsinden hesaplanacak olursa 2

42 y (x) = f(x, y(x)) (3.19) y (x) = x, y(x) + (x, y(x)) y(x) (3.19a) y (x) = x, y(x) + 2 x, y(x) x, y(x) (x) + x, y(x) x, y(x) + x, y(x) x, y(x) (x) + x, y(x) y(x) (3.19b) olarak bulunur. Bulunan k değerleri 3.merebeden Taylor serisine açılarak elde edilen yeni denklem ile (3.18) karşılıklı olarak eşilenirse b + b + b = 1, b c + b c =, b c + b c = ve b a c = ifadeleri elde edilir. Lineer olmayan bir denklem sisemi bulunacakır. Bu denklem için bazı durumlar aşağıdaki gibidir. Durum b =, b =, b =, c =, c = 1, a =, a = 1, a = Şekil 3.1. Durum için Bucher ablosu Bu meodun (1.1) denklemi için verdiği sonuçlar aşağıdaki gibidir Haa..1.2 Zaman Şekil p = 3, h =.25, 1 için Durum haa grafiği 21

43 Durum b =, b =, b =, c =, c =, a =, a =, a = Şekil Durum için Bucher ablosu Bu meodun (1.1) denklemi için verdiği sonuçlar aşağıdaki gibidir Haa Zaman Şekil p = 3, h =.26, 1 için Durum haa grafiği Durum b =, b =, b =, c =, c =, a =, a =, a = Şekil Durum için Bucher ablosu Bu meodun (1.1) denklemi için verdiği sonuçlar aşağıdaki gibidir. 22

44 Haa Zaman Şekil 3.15 p = 3, h =.1, 1 için Durum haa grafiği Haa Zaman Şekil 3.16 p = 3, h =.25, 1 için Durum haa grafiği Açık Tip Runge-Kua s=4, p=4 Durumu s=4, p=4 için Runge-Kua formülasyonundan elde edilen k değerleri aşağıdaki gibidir. k = f(x, y ) (3.2) k = f(x + c h, y + ha k ) k = f(x + c h, y + ha k + ha k ) k = f(x + c h, y + ha k + ha k + ha k ) (3.2a) (3.2b) (3.2c) olarak bulunur. y(x) fonksiyonunun p=4 için Taylor serisi y(x + h) = y(x) + hy (x) +! y (x) +! y (x) + 23! y() (x) + O(h ) (3.21) şeklindedir. Bulunan (3.2), (3.2a), (3.2b), (3.2c) denklemleri Taylor serisine açılarak (3.21) denklemine eşilendiğinde lineer olmayan keyfi paramerelere dayalı çözüm gerekiren bir denklem oraya çıkmakadır. Bu denklem aşağıdaki gibidir.

45 b = 1 (3.22) b c = (3.22a) b a c = (3.22b) b c = (3.22c) b a a c = (3.22d) b c a c = (3.22e) b a c = (3.22f) b c = (3.22g) Lineer olmayan bu denklem siseminin çözümü elle çok zor olduğundan cebirsel hesap yapan bazı bilgisayar programları kullanılmışır. Bulunan bazı sonuçlara ai Bucher abloları aşağıdaki gibidir Şekil Klasik Runge-Kua 4.merebe için Bucher ablosu Klasik Runge-Kua 4. merebe meodunun (1.1) denklemi için vermiş olduğu sonuçlar aşağıdaki gibidir. 24

46 Haa Zaman Şekil 3.18 p = 4, h =.1, 1 için Klasik Runge-Kua haa grafiği Şekil Runge-Kua 3/8 meodu için Bucher ablosu Runge-Kua 3/8 meodunun (1.1) denklemi için vermiş olduğu sonuçlar aşağıdaki gibidir Haa Zaman Şekil 3.2 p = 4, h =.26, 1 için Runge-Kua 3/8 meodu haa grafiği 25

47 Şekil Runge-Kua Gill meodu için Bucher ablosu Runge-Kua Gill meodunun (1.1) denklemi için vermiş olduğu sonuçlar aşağıdaki gibidir Haa Zaman Şekil p = 4, h =.25, 1 için Runge-Kua Gill meodu haa grafiği Şekil Runge-Kua Dormand meodu için Bucher ablosu 26

48 ..2 Haa Zaman Şekil p = 4, h =.275, 1 için Runge-Kua Dormand meodu haa grafiği 3.2. Açık Tip Runge-Kua Meodları İçin Kararlılık Analizi Bölüm 2 de bazı meodların kararlılık analizleri yapılmış ve bunlara bağlı olarak h adım aralıkları seçilerek yaklaşık çözümdeki ekileri göserilmişi. Şimdi açık ip Runge- Kua meodlarının kararlılık analizleri yapılarak kararlılık bölgeleri belirlenecekir. Runge-Kua açık ip meodları için a =, i j olduğu daha önceki bölümlerden bilinmekedir. Bir adi diferansiyel denklem için açık ip Runge-Kua meodu (3.2) ve (3.3) olarak verilmişi. Runge-Kua meodları için kararlılık analizi yapılırken Bölüm 2 de olduğu gibi Dahlquis es denkleminden faydalanılacakır (Iserles,28). y (x) = y, C, y(x) = e, y() = y es denklemini ele alalım. (3.2) ve (3.3) denklemleri es denklemine uygulanırsa y = y + z b Y (3.23) Y = y + z a Y (3.24) denklemleri elde edilecekir. Burada z = h olarak belirlenmişir. (3.23) denklemi vekör formunda y = y + zb [Y] (3.25) şeklinde yazılabilir. Burada [Y] = (Y, Y,, Y ) dir. (3.24) denklemi vekör formunda [Y] = y [1] + z[a][y] (3.26) şeklinde yazılabilir. Burada [1] = (1,1,,1) dir. Burada [Y] yalnız bırakılacak olursa 27

49 [Y] z[a][y] = y [1] [Y](I z[a]) = y [1] [Y] = (I z[a]) y [1] (3.26a) (3.26b) (3.26c) olarak bulunur. (3.26c) ifadesi (3.23) ifadesinde yerine konulursa y = y + zb (I z[a]) y [1] (3.27) y = y (1 + zb (I z[a]) [1]) y = y (1 + zb (I + z[a] + Z [A] + + z [A] + )[1]) (3.27a) (3.27b) y = y (1 + ( z b [A] [1])) (3.27c) şeklindedir. [A] =, i > s olduğundan (3.27c) ifadesi y = y (1 + ( z b [A] [1])) (3.27d) formuna dönüşecekir. Merebe şarları kullanılarak b [A] [1] =! şeklinde hesaplanır. Dolayısıyla (3.27c) ifadesi y = y (1 + z (!! b [A] [1])) (3.27e) şeklinde yazılır. [A] =, i > s olduğundan y = y (1 + z (!! b [A] [1])) (3.27f) şeklinde dönüşecekir. Bu durumda denklem y = R(z)y formuna dönüşecekir. Burada R(z) kararlılık fonksiyonudur ve R(z) = 1 + z (!! b [A] [1]) dir. (3.28) Daha önce bir meodun kararlı olabilmesi için R(z) < 1 olması gerekiği belirilmişi. p = 4 e kadar olan meodların kararlılık bölgeleri aşağıdaki gibidir. 28

50 Şekil p=1 için Runge-Kua meodu kararlılık bölgesi Şekil p=2 için Runge-Kua meodu kararlılık bölgesi Şekil p=3 için Runge-Kua meodu kararlılık bölgesi 29

51 Şekil p=4 için Runge-Kua meodu kararlılık bölgesi Şekillerde görüldüğü üzere merebe sayısı arıkça meodun kararlılık bölgesi de doğru oranılı olarak armakadır. Ayrıca p = 1 için Euler meodunun kararlılık bölgesi bulunmakadır. 3

52 BÖLÜM IV SAYISAL İNTEGRASYON 4.1. Temel Kavramlar Bu bölümde bir fonksiyonun belli bir aralıkaki inegral yaklaşımlarının çeşili yönleri incelenecekir. Farklı ipe yaklaşımların daha kullanışlı olması için birçok sebep vardır. Birincisi, her fonksiyon analiik olarak inegrallenemeyebilir. İkinci olarak, inegrallenebilen bir fonksiyon dahi olsa, bu fonksiyonun inegralini hesaplamak için ekili bir yol elde edilmemiş olabilir. Sayısal inegrasyon kavramı daha iyi açıklanabilmesi için Riemann anlamında inegrallenebilme kavramı verilmelidir. f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında anımlı sınırlı bir fonksiyon olmak üzere [a, b] nin bir P parçalanışı {x,, x } olsun. Her i için, M (f) = sup [, ] f(x) (4.1) m (f) = inf [, ] f(x) x = x x (4.1a) (4.1b) olsun. Burada Üs Darboux Toplamı aşağıdaki gibi verilebilir. U(f, p) = M x (4.1c) Al Darbouc Toplamı ise, L(f, p) = m x (4.1d) şeklindedir. f(x) fonksiyonunun [a, b] kapalı aralığındaki üs inegrali U(f) = inf(u(f, P)) (4.1e) ve al inegrali ise L(f) = sup(l(f, P)) (4.1f) dir. Eğer f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığındaki al ve üs inegralleri birbirine eşi ise bu değerler orak olarak f(x)dx şeklinde göserilir ve buna f(x) in Riemann anlamında inegrali denir. f(x)dx inegralini hesaplamanın en kolay yollarından bir 31

53 anesi fonksiyonun başlangıç veya biiş nokalarından herhangi birindeki değer ile aralığın uzaklığının çarpımıdır. Örneğin, x = a için f(x)dx edilir. Bu yaklaşım dikdörgen meodu olarak bilinmekedir. = f(a)(b a) elde Şekil 4.1. Dikdörgen meodunun geomerik açıklaması Dikdörgen kuralının farklı bir varyasyonu da ora noka kuralıdır. Dikdörgen kuralına benzer şekilde f(x)dx ifadesi aralığın uzaklığı ile f(x) in bir nokadaki değerinin çarpımı ile elde edilmekedir. Faka bu kuralda başlangıç nokası aralığın am orasıdır. Şekil 4.2. Ora noka kuralının geomerik açıklaması 32

54 Böylece daha iyi bir yaklaşım elde edilmesi amaçlanmışır. Ora noka kuralının değeri, f(x)dx = (b a)f( (4.2) ) şeklindedir İnerpolasyon yardımıyla İnegrasyon Bir fonksiyonun inegrasyon kurallarının elde edilmesi için başka bir yol da inerpolasyon polinomlarıdır. Varsayalım ki f(x) fonksiyonunun n + 1 nokadaki değerleri x,, x [a, b] olsun. f(x ), f(x ),, f(x ) değerleri f(x) in n+1 nokadaki değerleri olsun. Der(P (x)) n olacak şekildeki Lagrange inerpolasyon polinomu aşağıdaki gibidir P (x) = f(x )l (x) (4.3) ve burada, l (x) =, i n. (4.4) Burada ise f(x) P (x) dir ve aşağıdaki sonuç elde edilir. f(x)dx P (x)dx = f(x ) l dir. İnegrasyon kasayıları olan A ler aşağıdaki gibidir. (x)dx = A f(x ) (4.5) A = l (x)dx (4.6) şeklindedir. Eğer birçok farklı fonksiyon inegre edilmek isenirse ve aynı nokalarda hesap yapılırsa inegrasyon kasayıları en başa hesaplanabilir çünkü bu kasayılar inegrasyonun başlamasına bağlı değildir. Faka inegrasyon nokaları değişirilerek işlem yapılırsa inegrasyon kasayıları ekrar hesaplanması gerekmekedir. Eşi olarak bölünmüş sayısal inegrasyon formülü aşağıdaki gibidir. f(x)dx = A f(x ) (4.7) Bu formüle Newon-Coes formülü denir. 33

55 Örnek 4.1. n = 1 ve iki inerpolasyon nokası x = a ve x = b için l (x) =, l (x) = (4.8) olur. Böylece, A = l (x)dx = dx = (4.8a) olarak bulunur. Benzer şekilde, A = l (x)dx = dx = = A (4.8b) olarak bulunur. Bu ifadelerden yola çıkarak f(x) fonksiyonunun değeri yazılacak olursa f(x)dx = A f(x ) = A f(x ) + A f(x ) = [f(a) + f(b)] (4.8c) olarak bulunur. Şekil 4.3. Yamuk kuralının geomerik açıklaması Örnek 4.2. [a, b] = [,1] aralığında f(x)dx olursa aşağıdaki denklem elde edilecekir. f(x)dx = A f() + A f + A f(1) inegrali h = alarak hesaplanacak (4.9) Bu inegral derecesi 2 den küçük ya da eşi polinomlar için kesin olduğundan { 1, x, x } polinomları kullanılarak çözüme gidilecekir. Böylece aşağıdaki lineer denklem sisemi elde edilir. 34

56 1 = 1 dx = A + A + A (4.9a) = x dx = A + A (4.9b) = x dx = A + A (4.9c) Bu lineer denklem sisemi çözüldüğünde A, A, A ifadeleri sırasıyla,, olarak bulunmakadır. Böylelikle isenilen çözüm aşağıdaki gibidir. f(x)dx = () (). (4.9d) 4.3. İnegrasyon Meodlarında Aralık Değişirme f() d = A f( ) (4.1) [c,d] aralığında inegrasyon formülü ele alınacak olursa [c,d] aralığının [a,b] aralığına dönüşürülebilmesi için λ() = + (4.11) dönüşümünün uygulanması gerekmekedir. Böylece yeni aralıkaki inegrasyon formülü f(x) dx = fλ() d olarak elde edilir. Bu ifade daha da genişleilecek olursa f(x) dx şeklinde elde edilmekedir Gauss İnegrasyonu A fλ( ) (4.12) A f + (4.13) Bu inegrasyon meodunda özel olarak [-1,1] aralığı kullanılmakadır. Newon Coes formüllerinin aksine Gauss inegrasyonunda aralıklar eşi olarak alınmamakadır. Bu sebeple inegrasyon nokalarının yanında ağırlık kasayıları da bulunması gerekecekir. Bu hesaplama sayısal olarak daha masraflı faka yaklaşım olarak diğer inegrasyon meodlarından daha güzel sonuçlar vermekedir. Gauss inegrasyon formülü aşağıdaki gibidir. 35

57 f(x) dx c f(x ) (4.14) Bu formülde x, x,, x nokaları [-1,1] aralığında inegrasyon nokaları ve c, c,, c ler ise bu inegrasyona ai ağırlık kasayılarıdır. Gauss inegrasyonunda aralıklar eşi olarak parçalanmadığından dolayı 2n paramere bulunmalıdır. Seçilecek inerpolasyon polinomu nun derecesi en fazla 2n 1 olabilir. Örneğin n = 2 için Gauss inegrasyonu aşağıdaki gibi elde edilebilir. Bu ifade 3. Dereceden denklemler için kesin sonuç vermekedir. f(x) dx c f(x ) + c f(x ) (4.15) Yazılacak olan 3. dereceden inerpolasyon polinomu f(x) = a + a x + a x + a x (4.16) şeklindedir. Burada a, a, a, a kasayıları bulunmalıdır. Bu ifadenin her iki arafının inegrali alınırsa f(x) dx = a + a x + a x + a x dx (4.17) olarak bulunmakadır. Bu ifade daha açık bir şekilde a + a x + a x + a x dx = a 1dx + a xdx + a x dx a x dx (4.18) şeklinde yazılabilir. Bu ifadedeki 1, x, x, x ifadeleri için ayrı ayrı inegraller alındığında 1dx = c 1 + c 1 = 2 (4.19) xdx = c x + c x = (4.19a) + x dx = c x + c x = (4.19b) x dx = c x + c x = (4.19c) 36

58 şeklinde bulunmakadır. Bulunan bu ifadeler lineer bir denklem sisemi olarak çözüldüğünde c = 1, c = 1, x =, x = inegrasyon formülü olarak bulunmakadır. Dolayısıyla f(x) dx f + f (4.19d) olarak bulunur. n = 5 e kadar olan gauss inegrasyon nokaları ve kasayıları aşağıdaki abloda verilmişir. Çizelge 4.1. Gauss İnegrasyon Kökleri ve Kasayıları n Kökler(x ) Kasayılar (c ) Örnek 4.3. olursa e cos (x) dx inegrali n = 3 için Gauss inegrasyonu ile hesaplanacak e cos (x) dx =. 5 e. cos( ) +. 8e cos() +. 5e. cos( ) = (4.2) 37

59 olarak bulunmakadır. İnegralin gerçek değeri ise dir. Dolayısıyla Gauss İnegrasyonunun bu inegral için vermiş olduğu mulak haa.3196 dir Legendre Polinomları Gauss inegrasyonundaki inegrasyon nokalarının hesaplanması hesap noka sayısı arıkça daha da zorlaşmakadır. Bu zorluğun üsesinden gelmek için Gauss inegrasyonu yapılırken inegrasyon nokaları n. dereceden Legendre polinomu nun kökleri olarak alınmışır. Legendre polinomu genel olarak P (x) =! (x 1) (4.21) şeklinde anımlanmışır. n = 1 den 7 ye kadar olan Legendre polinomları ve bu polinomlara ai kökler aşağıdaki abloda verilmişir. Çizelge 4.2. Legendre Polinomlarının Kökleri n Polinom Kökler 1-1 x ( 1 + 3x ) ( 3x + 5x ) (3 3x + 35x ) 1 8 (15x 7x + 63x ) x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = Çizelge 4.2.(Devam) Legendre Polinomlarının Kökleri 38

60 ( x 315x + 231x ) 1 16 ( 35x + 315x 693x + 429x ) x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = Görüldüğü gibi Gauss inegrasyonunda bulunan kökler ile Legendre polinomlarının kökleri yaklaşık olarak birbirine eşiir. 39

61 BÖLÜM V KAPALI RUNGE-KUTTA METODLARI 5.1. Genel Bilgiler Kapalı ip Runge-Kua meodları açık ip Runge-Kua meodlarının aksine kararlılık bölgeleri daha geniş olduklarından daha iyi sonuçlar vermekedirler. Bölüm IV de açık ip Runge-Kua meodları için kararlılık fonksiyonlarının nasıl bulunduğu ve meodların adım aralığının belirlenmesinde ne kadar ekili rol oynadıkları verilmişi. Bu bölümde ise Kapalı Runge-Kua meodlarının kararlılık bölgelerinin diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerinde ne kadar ekili olduğu araşırılmışır. Lemma 5.1. Kararlılık bölgesi sınırsız olan açık ip Runge-Kua meodu yokur. İspa 5.1. Açık Tip Runge-Kua meodlarının kararlılık fonksiyonu R(z) = 1 + z +! +! + (5.1) şeklinde ve genel ierasyon formülü y = R(z)y, z = hλ, λ C (5.2) olduğundan Açık Runge-Kua meodu aşağıdaki aksiyomu sağlamakadır. = R(z) 1, z = hλ. (5.3) Burada R(z) s. dereceden bir polinomdur. Burada s sayısı meodun adım sayısıdır. R(z) polinomu olduğundan z için R(z) olduğundan kararlılık bölgesi hiçbir zaman sınırsız olmamakadır. Kapalı Runge-Kua meodlarının kararlılık bölgesi rasyonel fonksiyonlardır. Örneğin kapalı Euler meodunun kararlılık fonksiyonunu bulmak için y (x) = y, C, y() = e, y() = y, y R (5.4) es denklemini ele alalım. (2.2) formülüne Dahlquis es denklemi uygulanacak olursa y = y + hf(x, y ) = y + hy (5.5) 4

62 ve buradan y = y (5.6) denklemi elde edilir. Bu denklem en genel şekilde yazılacak olursa y = y (5.7) dır. Kapalı Euler meodunun kararlı olabilmesi için Re() < ve < 1 şarının sağlanması gerekmekedir. Buradan da 1 h > 1 olarak bulunmakadır. Görüldüğü üzere kapalı Euler meodunun kararlılık fonksiyonu rasyonel bir fonksiyondur. Her iki ipe de R(z) fonksiyonu e in bir açılımı olarak yazılabilmekedir. Dolayısıyla R(z) = e + O(z ) dir. Burada bulunan rasyonel fonksiyonlar Padé yaklaşımı olarak bilinmekedir. Tanım 5.1. e nin (j, k) şeklindeki Padé yaklaşım formülü R (z) = () = () (5.8) formundadır. Burada Q () = q = 1 ve R = e + O(z ) dir. Buradan yola çıkarak e nin Taylor seri açılımı ile Padé yaklaşımı birbirine eşi olmakadır ve bu ifade aşağıdaki gibidir. =! + Oz, p : i =,, k, q : i =,, j (5.9) Örneğin e nin (2,) Padé yaklaşımı bulunacak olursa j = 2, k = alınarak Padé yaklaşım formülü uygulanmalıdır. Pade yaklaşım formülünde j ve k değerleri yerine konularak işlem yapılacak olursa 1 + z + (1 + q z + q z ) = p (5.1) olarak bulunmakadır. Buradan p = 1, q = 1, q = olarak bulunmakadır. Buna göre e nin (2,) Padé yaklaşım polinomu R (z) = (5.11) 41

63 dir. Buna ek olarak e = R (z) + O(z ) ür. Diğer bazı Padé yaklaşımları bazı meodların kararlılık polinomlarını vermekedir. Örneğin (,1) Euler meodunu, (1,) Kapalı Euler meodunu, (1,1) Ora noka meodu ve Yamuk kuralı kararlılık polinomlarını vermekedir. Bazı Padé polinomları aşağıdaki abloda verilmişir. Çizelge 5.1. j=2, k=2 ye kadar olan Padé yaklaşımları k = 1 2 j = z 1 + z + z z 1 + z 2 1 z z 3 + z 6 1 z z + z z 3 1 2z 3 + z z 2 + z 12 1 z 2 + z 12 Tanım 5.2. Bir meodun kararlılık fonksiyonu komplex düzlemin sol eksenini kaplıyorsa meod A-kararlıdır (Bucher,28). Tanım 5.3. Bir nümerik meod A-kararlı ve aynı zamanda z için R(z) oluyorsa meoda L-kararlıdır denir (Bucher,28) Padé ablosunun köşegen elemanlarının alında kalan polinomlar L-kararlıdır. Dolayısıyla bu polinomlar aynı zamanda A-kararlıdır (Bucher,28). Tanım 5.4. Bucher ablosundaki A marisinin köşegen ve üse kalan elemanları ise meodun açık ip olduğu önceki bölümlerde belirilmişi. Eğer A marisinin yalnızca köşegeni ve alındaki elemanların yalnızca bir anesi dan farklı ise bu meoda Köşegensel kapalı ip Runge-Kua meodu denir. Eğer köşegen elemanlarının hepsi birbirine eşi ise bu meoda ek ip köşegensel kapalı Runge-Kua meodu denir. Son olarak A marisinin köşegen elemanları ve üsündeki elemanlardan en az bir anesi dan farklı ise bu meoda am kapalı Runge-Kua meodu denir. Aşağıda bu ip meodların Bucher ablosu şeklindeki göserimleri verilmişir (Bucher,28). 42

64 c 1 a 11 a 12 a 13 a 14 c 2 c 3 c 4 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 b 1 b 2 b 3 b 4 Şekil 5.1. Kapalı Tip Runge-Kua Meodu Bucher Tablosu c 1 a 11 c 2 c 3 c 4 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 a 44 b 1 b 2 b 3 b 4 Şekil 5.2. Köşegensel Kapalı Tip Runge-Kua Meodu Bucher Tablosu c 1 r c 2 c 3 c 4 a 21 r a 31 a 32 r a 41 a 42 a 43 r b 1 b 2 b 3 b 4 Şekil 5.3. Tek Tip Köşegensel Kapalı Tip Runge-Kua Meodu Bucher Tablosu şeklinde göserilmekedir. Genel olarak kapalı Runge-Kua meodlarının elde edilmesi için merebe şarları kullanılmakadır. Merebe şarlarından bulunan kasayılar Runge- Kua meodlarını oluşurmakadır Merebe Şarları Runge-Kua meodlarının elde edilmesinde kullanılan bu şarlar aylor seri açılımından elde edilmekedir. Kapalı Runge-Kua meodları için Gauss, Radau ve Lobao ailesi incelenecek olup belirlenen meodların adım sayısı ve merebesi incelenecekir. 43

65 Teorem 5.1. Merebesi p olan bir kapalı Runge-Kua meodunun merebesi 2s ya da daha küçükür (Iserles,28). Teorem 5.1. den de anlaşılacağı gibi kapalı ip Runge-Kua meodunun merebesi en yüksek adım aralığının iki kaı kadardır. Kapalı Runge-Kua meodlarında merebe şarları polinomlar ile göserilecek ve aynı zamanda graf eori yardımıyla köklenmiş ağaçlar denilen yapılarla emsil edilecekir. Bir köklenmiş ağacın yapısı meodların aylor seri açılımlarından elde edilen ifadelerle bağdaşırılarak oluşurulmuşur. Örneğin, ( ) şeklindeki bir kök b ifadesini simgelemekedir. Köklerin birbirine bağlanmasıyla oluşan ağaçlar Runge-Kua meodlar ailesinin yapısını oluşurmakadır. Daha önce açık ip 4.merebeden Runge-Kua meodunun merebe şarları aşağıdaki gibi verilmişi. b = 1 (5.12) b c = (5.12a) b a c = (5.12b) b c = (5.12c) b a a c = (5.12d) b c a c = (5.12e) b a c = (5.12f) b c = (5.12g) Bu bölümde ise bu ifadelerin köklenmiş ağaçlar cinsinden ifadeleri göserilerek Runge- Kua meodlarının daha kolay bir şekilde kasayılarının hesaplanması sağlanılacakır. Aşağıdaki abloda köklenmiş ağaçlar ve karşılık gelen polinomlar çizelge olarak verilmişir. 44

66 Çizelge merebeye kadar Runge-Kua merebe şarları Merebe Ağaç İfade Değer 1 b 1 2 b c 3 b c 3 b a c, 4 b c 4, b c a c 4, b a c 4,, b a a c Yukarıdaki çizelgede Runge-Kua meodlarının 4. Merebeye kadar olan merebe şarları ile her bir merebe şarını emsil eden köklenmiş ağaçlar verilmişir. Yukardaki verilen ablodaki köklenmiş ağaçlar ve polinomlardan daha yüksek merebeden denklemler elde edilebilir. Burada emsil edilen köklenmiş ağaçlara yeni kökler ekleyerek meodların ardıl ürevleri elde edilmekedir. Kapalı Runge-Kua meodlarının kasayıları yukarda verilen köklenmiş ağaçlar ve merebe şarları vasıasıyla bulunduğu 45

67 daha önce verilmişi. Köklenmiş ağaçlar ve merebe şarları kullanılarak hesaplanan bazı kapalı Runge-Kua meodlarının aşamaları aşağıda verildiği gibidir. Teorem 5.2. s basamaklı bir Gauss meodunun merebesi 2s dir. (Bucher,28) Runge-Kua Gauss-Legendre meodunun inegrasyon nokaları polinomunun kökleridir. (x (x 1) ) 5.3. Runge-Kua Gauss Legendre s=1, p=2 durumu Tek adımlı Gauss-Legendre meodu için 2.merebeye kadar olan köklenmiş ağaçlar ve merebe şarları yazılarak kasayılar elde edilmekedir. Bu şarlar ve köklenmiş ağaçlar aşağıdaki gibidir. b = = b + b = 1 b c = = b c + b c = Elde edilen bu denklem sisemi pake programlar vasıasıyla çözülecek olursa b = 1, c =, a = olarak bulunacakır. Bu kasayılara ai Bucher ablosu 1 Şekil 5.4. Gauss-Legendre s=1, p=2 durumu için Bucher Tablosu olarak bulunacakır. Bu kasayılardan yola çıkarak meod yazılacak olursa k = f(x +, y + h ) y = y + hk (5.13a) (5.13b) şeklindedir. Runge-Kua meodlarının genel karalılık formülü Bölüm III de deaylı olarak verilmişi. Bu formül kullanılarak elde edilen kararlılık fonksiyonu R(z) = dir. Bu kararlılık fonksiyonuna kararlılık bölgesi aşağıdaki gibidir. 46

68 Şekil 5.5. Runge-Kua Gauss-Legendre s=1, p=2 Kararlılık Bölgesi Grafiken de görüldüğü gibi Tanım 5.2 den dolayı bu meod A-kararlıdır Runge-Kua Gauss Legendre s=2, p=4 Durumu 2 adımlı 4. Merebeden bir meodu elde emek için öncelikle 4. Merebeye kadar merebe şarları yazılmalıdır. Bu şarların açılımı aşağıdaki gibidir. b = = b + b = 1 b c = = b c + b c = b c = = b c + b c =, b a c = = b a c + b a c + b a c + b a c = b c = = b c + b c =, b c a c = = b c a c + b c a c + b c a c + b c a c =, b a c = = b a c + b a c + b a c + b a c = 47

69 ,, b a a c = = b a a c + b a a c + b a a c + b a a c + b a a c + b a a c + b a a c + b a a c = şeklindedir. Bulunan bu denklem sisemi yardımcı pake programlar vasıasıyla çözülecek olursa kasayılar aşağıdaki gibi bulunacakır. b = b =, c =, c = +, a = a =, a =, a = + Bulunan bu kasayılara ai Bucher ablosu + + Şekil 5.6. Runge-Kua Gauss-Legendre s=2, p=4 durumu için Bucher ablosu şeklindedir. Bulunan kasayıları ile meod yazılacak olursa k = f x +, y + h + k (5.14) k = f x +, y + h + k + (5.14a) y = y + h( + ) (5.14b) şeklinde olacakır. Bu meoda ai kararlılık fonksiyonu R(z) = dir. Bu kararlılık fonksiyonuna ai kararlılık bölgesi aşağıdaki gibidir. 48

70 Şekil 5.7. Runge-Kua Gauss-Legendre s=2, p=4 Kararlılık Bölgesi Tanım 5.2 den dolayı bu meod A-Kararlıdır Runge-Kua Gauss Legendre s=3, p=6 Durumu Runge-Kua Gauss Legendre s=3, p=6 durumu için köklenmiş ağaçlar ve merebe şarları aşağıdaki gibidir. Çizelge merebeye kadar Runge-Kua merebe şarları Sıra Merebe Ağaç İfade Değer 1 1 b b c 3 3 b c 4 3 b a c, 5 4 b c 49

71 Çizelge 5.3.(Devam) 6.merebeye kadar Runge-Kua merebe şarları 6 4, b c a c 7 4, b a c 8 4,, b a a c 9 5 b a a a c,,, 1 5,, b a a c 11 5,, b a c a c 12 5,, b a c 13 5,, b c a a c 14 5, b c a c 15 5, b a c 16 5 b c, a c 17 5, b c 5

72 Çizelge 5.3.(Devam) 6.merebeye kadar Runge-Kua merebe şarları 18 6,,,, b a a a a c 19 6,,,, b a a a c 2 6,,, b a a c a c 21 6,, b a a c 22 6,,, b a c a a c 23 6,, b a c a c 24 6,, b a a c 25 6,, b a c a c 26 6, b a c 27 6,,, b c a a a c 28 6,, b c a a c 51

73 Çizelge 5.3.(Devam) 6.merebeye kadar Runge-Kua merebe şarları 29 6,, b c a c a c 3 6, b c a c 31 6,, b a c a a c 32 6, b a c a c 33 6,, b c a a c 34 6 b c,, a c 35 6 b c a, c 36 6, b c a c 37 6, b c Görüldüğü üzere 6.merebeden merebe şarlarında 37 ade polinom mevcuur. Bu ifadeler açılıp bir denklem sisemi haline geirildiken sonra pake programlar vasıasıyla çözülmekedir. Denklem sisemi çözüldüken sonra bulunan kasayılar b =, b =, b =, c =, c =, c = +, a = a =, a =, a = +, a =, a = 52

74 a = +, a = +, a = şeklindedir. Bu kasayılar ile yazılacak Bucher ablosu aşağıdaki gibidir Şekil 5.8. Runge-Kua Gauss-Legendre s=3, p=6 Bucher Tablosu Tablodaki kasayıları kullanarak yazılacak meod k = f x + h, y + h k + k k (5.15) k = f x +, y + h + k + k + k (5.15a) k = f x + + h, y + h + k + k + k (5.15b) y = y + h k + k + k (5.15c) şeklindedir. Bu meoda ai kararlılık fonksiyonu R(z) = Kararlılık fonksiyonuna ai kararlılık bölgesi aşağıdaki gibidir. dir. Şekil 5.9. Runge-Kua Gauss-Legendre s=3, p=6 Kararlılık Bölgesi 53

75 5.6. Runge-Kua Gauss Legendre s=4, p=8 Durumu Bu duruma ai kasayılar ve bu kasayılarla oluşurulan Bucher ablosu aşağıdaki gibidir. Şekil 5.1. Runge-Kua Gauss-Legendre s=4, p=8 Bucher Tablosu 5.7. Runge-Kua Gauss Legendre s=5, p=1 Durumu Bu duruma ai kasayılar ve bu kasayılarla oluşurulan Bucher ablosu aşağıdaki gibidir. Şekil Runge-Kua Gauss-Legendre s=5, p=1 Bucher Tablosu Runge-Kua Gauss ailesinin içinde sadece Legendre polinomları ile oluşurulan meodlar yokur diğer bazı polinomlar ile de inegrasyon yapılmakadır. Siff diferansiyel denklemler için en sağlıklı olanları önceki konularda verilen Legendre 54

76 polinomlarından üreyen meodlar, Radau ve Lobao polinomlarından üreyen meodlardır. Tanım 5.5. s basamaklı Gauss-Radau meodu 2s-1 merebelidir. (Bucher,28) 5.8. Runge-Kua Gauss-Radau I s=2 p=3 Durumu Bu durum için sol Radau polinomunun kökleri kullanılmakadır. Sol Radau polinomu (x (x 1) ) şeklindedir. Bu polinomun kökleri c =, c = s=2 p=3 meoduna ai merebe şarları aşağıdaki gibidir. dür. Radau I Çizelge merebeye kadar Runge-Kua Gauss-Radau merebe şarları Sıra Merebe Ağaç İfade Değer 1 1 b b c 3 3 b c 4 3 b a c, Radau I meodlarında C(s) merebe şarının sağlanması gerekmekedir. Merebe şarları oluşurulurken köklenmiş ağaçlar haricinde bazı bağlanılar bulunmuşur. Bu bağlanılar elde edilen lineer denklem sisemini daha az değişkene indirgeyerek daha kolay çözülmesini amaçlamışır. Bunlardan bir anesi de J.C. Bucher in anımlamış olduğu C(s) şarıdır. C(s) = a c =, i = 1,, s ve k s (5.16) şeklindedir. Merebe şarları açıldığında bir denklem sisemi elde edilmekedir. Bu denklem sisemi pake programlar yardımıyla çözüldüğünde sonuçlar b =, b =, c =, c =, a =, a =, a =, a = kasayılara ai Bucher ablosu aşağıdaki gibidir. olarak bulunmakadır. Bulunan 55

77 Şekil Runge-Kua Gauss-Radau I s=2, p=3 Bucher Tablosu Tablodaki kasayıları kullanarak yazılacak meod k = f(x, y ) (5.17) k = f x +, y + h + (5.17a) y = y + (k + 3k ) (5.17b) şeklindedir. Bu meoda ai kararlılık fonksiyonu R(z) = () kararlılık fonksiyonuna ai kararlılık bölgesi de aşağıdaki gibidir. şeklindedir. Bu Şekil Runge-Kua Gauss-Radau I s=2, p=3 Kararlılık Bölgesi 56

78 5.9. Runge-Kua Gauss-Radau I s=3 p=5 Durumu Bu durum için sol Radau polinomunun kökleri kullanılmakadır. s=3 olduğundan 3 kök bulunacakır. Bu kökler c =, c = 6 6, c = (6 + 6) şeklindedir. C(s) şarı ve 5.merebe şarları uygulanarak bulunan kasayılar aşağıdaki gibidir. b =, b =, b =, a =, a =, a = a =, a =, a =, a =, a =, a = Bulunan kasayılara ai Bucher ablosu aşağıdaki gibidir. Şekil Runge-Kua Gauss-Radau I s=3, p=5 Bucher Tablosu Bu kasayılar için meod yazılacak olursa, k = f(x, y ) (5.18) k = f x + h 6 6, y + h k k k 6 3 (5.18a) k = f x + h 6+ 6, y + h k k k 12 3 (5.18b) y = y + h 1 9 k k k 36 3 (5.18c) şeklinde olacakır. Bulunan bu meod için kararlılık fonksiyonu yazılacak olursa R(z) = dir. Bu kararlılık fonksiyonuna ai kararlılık bölgesi 57

79 Şekil Runge-Kua Gauss-Radau I s=3, p=5 Kararlılık Bölgesi 5.1. Runge-Kua Gauss-Radau IA s=2 p=3 Durumu Bu durum için de aynı şekilde sol Radau polinomunun kökleri kullanılmakadır. Bu polinomun kökleri c =, c = dür. Radau IA meoduna ai merebe şarları Çizelge 5.4 deki gibidir. Burda farklı olarak A marisini elde ederken C(s) şarı yerine D(s) şarı kullanılmakadır. D(s) şarı J.C. Bucher arafından bulunmuşur ve aşağıdaki gibidir. D(s) = b c a =, j = 1,, s ve k s (5.19) Merebe şarları açıldığında bir denklem sisemi elde edilmekedir. Bu denklem sisemi pake programlar yardımıyla çözüldüğünde sonuçlar b =, b =, c =, c =, a =, a =, a =, a = olarak bulunmakadır. Bulunan kasayılara ai Bucher ablosu aşağıdaki gibidir. 58

80 Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IA s=2, p=3 Bucher Tablosu Kasayılara ai meod yazılacak olursa, k = f x, y + (k + k ) (5.2) k = f x +, y + h + (5.2a) y = y + (k + 3k ) (5.2b) şeklinde olacakır. Bu meoda ai kararlılık fonksiyonu ise R(z) = () şeklindedir. Bu kararlılık fonksiyonuna ai kararlılık bölgesi ise aşağıdaki gibidir. Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IA s=2, p=3 Kararlılık Bölgesi 59

81 5.11. Runge-Kua Gauss-Radau IA s=3 p=5 Durumu Bu durum için de aynı şekilde sol Radau polinomunun kökleri kullanılmakadır. s=3 olduğundan 3 kök bulunacakır. Bu kökler c =, c =, c = dir. Bu durum için de D(s) şarı kullanılacakır. D(s) şarı ve 5.merebe Runge-Kua şarları kullanılarak elde edilen kasayılar b =, b =, a = a =, a =, a =, a = şeklindedir. Bu kasayılara ai Bucher ablosu, b =, a =, a =, a =, a = Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IA s=3, p=5 Bucher Tablosu şeklindedir. Bu kasayılar ile yazılacak meod ise k = f x, y + h k k k 18 3 (5.21) k = f x + h 6 6 1, y + h k k k 36 3 (5.21a) k = f x + h , y + h k k k 36 3 (5.21b) y = y + h k k k 36 3 (5.21c) şeklinde olacakır. Bu meodun kararlılık fonksiyonu ise R(z) = ( ) dir. Kararlılık fonksiyonuna ai kararlılık bölgesi 6

82 Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IA s=3, p=5 Kararlılık Bölgesi Runge-Kua Gauss-Radau II s=2 p=3 Durumu Bu durum için sağ Radau polinomunun kökleri kullanılmakadır. Sağ Radau polinomu (x (x 1) ) şeklindedir. Bu polinomun kökleri c =, c = 1 dir. Radau II s=2 p=3 meoduna ai merebe şarları Çizelge 5.4 deki gibidir. Radau II meodlarında D(s) merebe şarının sağlanması gerekmekedir. Gerekli merebe şarları yazılarak denklem sisemi çözüldüğünde b =, b =, a =, a =, a = 1, a = olarak kasayılar bulunmakadır. Bu kasayılar için Bucher ablosu ise 1 1 Şekil 5.2. Runge-Kua Gauss-Radau II s=2, p=3 Bucher Tablosu Kasayılar ile yazılacak meod k = f x +, y + h k (5.22) k = f(x + h, y + hk ) y = y + (k + k ) (5.22a) (5.22b) 61

83 şeklindedir. Bu meoda ai kararlılık fonksiyonu R(z) = fonksiyonuna ai kararlılık bölgesi ise dir. Kararlılık Şekil Runge-Kua Gauss-Radau II s=2, p=3 Kararlılık Bölgesi Runge-Kua Gauss-Radau II s=3 p=5 Durumu Radau II meodlarında her zaman sağlanması gereken şar c = 1 dir. Sağ Radau polinomu kullanılarak elde edilen kökler c =, c =, c = 1 dir. Merebe şarları ve D(s) şarı kullanılarak elde edilen denklem sisemi çözüldüğünde kasayılar b = a =, b =, a =, a = oluşurulan Bucher ablosu, b =, a =, a =, a =, a =, a =, a = şeklindedir. Bu kasayılarla 1 Şekil Runge-Kua Gauss-Radau II s=3, p=5 Bucher Tablosu 62

84 Bu kasayılarla yazılacak meod k = f x + h 4 6 1, y + h k k 12 (5.23) k = f x + h , y + h k k (5.23a) k = f x + h, y + h k k (5.23b) y = y + h k k k 9 3 (5.23c) şeklindedir. Ayrıca bu meodun kararlılık fonksiyonu R(z) = kararlılık fonksiyonuna ai kararlılık bölgesi aşağıdaki gibidir. dir. Bu Şekil Runge-Kua Gauss-Radau II s=3, p=5 Kararlılık Bölgesi Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=2 p=3 Durumu Radau IIA meodları da aynı şekilde Radau II meodları gibi sağ Radau polinomlarını kullanmakadır faka meod kurulurken C(s) şarı sağlanmalıdır. Bu meod için sağ Radau polinomu kökleri c =, c = 1 dir. Radau IIA s=2 p=3 meoduna ai merebe şarları Çizelge 5.4 deki gibidir. Gerekli merebe şarları yazılarak denklem sisemi çözüldüğünde b =, b =, a = 5 12, a = 1 12, a =, a = olarak kasayılar bulunmakadır. 63

85 Bu kasayılar için yazılacak Bucher ablosu 1 Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=2, p=3 Bucher Tablosu şeklindedir. Bu kasayılarla yazılacak olan meod k = f x +, y + h k k (5.24) k = f x + h, y + h k + k (5.24a) y = y + (k + 3k ) (5.24b) şeklindedir. Bu meod için kararlılık fonksiyonu R(z) = () dir. Bu kararlılık fonksiyonuna ai kararlılık bölgesi aşağıdaki gibidir. Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=2, p=3 Kararlılık Bölgesi Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=3, p=5 Durumu Sağ Radau polinomu kullanılarak elde edilen kökler c =, c =, c = 1 dir. Merebe şarları ve C(s) şarı kullanılarak elde edilen denklem sisemi çözüldüğünde 64

86 elde edilen Bucher ablosu 1 Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=3, p=5 Bucher Tablosu Bu kasayılarla yazılacak meod k = f x + h 4 6 1, y + h k + k + k (5.25) k = f x + h , y + h k + k + k (5.25a) k = f x + h, y + h k + k + k (5.25b) y = y + h k k k 9 3 (5.25c) şeklinde olacakır. Bu meodun kararlılık fonksiyonu R(z) = ( ) dir. Bu kararlılık fonksiyonuna ai kararlılık bölgesi aşağıdaki gibidir. Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=3, p=5 Kararlılık Bölgesi 65

87 5.16. Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=4, p=7 Durumu s=4, p=7 için Radau IIA meoduna ai Bucher ablosu ve kasayılar aşağıdaki gibidir. 1 Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=4, p=7 Bucher Tablosu Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=5, p=9 Durumu Bu ezde diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerini bulunurken kullanılacak meodlardan bir anesi de 9. Merebeden Radau IIA meodudur. s=5, p=9 için Radau IIA meoduna ai Bucher ablosu ve kasayılar aşağıdaki gibidir. 1 Şekil Runge-Kua Gauss-Radau IIA s=5, p=9 Bucher Tablosu Runge-Kua Gauss-Lobao Meodları Lobao meodları kurulurken Lobao polinomu olan (x (x 1) ) nin kökleri inegrasyon nokaları olarak alınmakadır. Runge-Kua Gauss-Lobao 66

88 meodları da aynı Radau meodları gibi kendi içinde bazı iplere ayrılmışır. Bunlar Lobao III, Lobao IIIA, Lobao IIIB, Lobao IIIC şeklinde sınıflandırılımışlardır. Lobao ailesindeki meodlar Bucher ablosundaki A marisine göre çeşililik gösermekedir. Lobao meodlarının bir diğer özelliği ise inegrasyon başlangıç ve biiş nokalarının belli olmasıdır. Bu da c = ve c = 1 dir. Tanım 5.6. s adımlı Gauss-Lobao meodu 2s 2 merebelidir. (Bucher,28) Runge-Kua Gauss-Lobao IIIA s=2 p=2 Durumu Runge-Kua Gauss Lobao IIIA meodları Lobao polinomunun kökleri kullanılarak kurulmakadır. Bu meod için kökler c =, c = 1 şeklindedir. Lobao IIIA meodu için Bucher ablosundaki A marisi C(s) merebe şarı ile hesaplanmakadır. Bu meod için merebe şarları Çizelge 5.4 deki gibidir. Bu meod için merebe şarları yazılarak denklem sisemi çözüldüğünde b =, b =, a =, a =, a =, a = şeklinde bulunmakadır. Bu kasayılara ai Bucher ablosu 1 Şekil 5.3. Runge-Kua Gauss-Lobao IIIA s=2, p=2 Bucher Tablosu şeklindedir. Bu kasayılarla yazılacak olan meod ise k = f(x, y ) (5.26) k = f x + h, y + h k + k (5.26a) y = y + (k + k ) şeklindedir. Bu meod için kararlılık fonksiyonu R(z) = fonksiyonuna ai kararlılık bölgesi de (5.26b) dir. Bu kararlılık 67

89 Şekil Runge-Kua Gauss-Lobao IIIA s=2, p=2 Kararlılık Bölgesi 5.2. Diğer Runge-Kua Gauss-Lobao Meodları Diğer Runge-Kua Gauss-Lobao meodlarının arasındaki farlılıklar yine merebe şarları iledir. 1 Şekil Runge-Kua Gauss-Lobao IIIA s=3, p=4 Bucher Tablosu + 1 Şekil Runge-Kua Gauss-Lobao IIIA s=4, p=6 Bucher Tablosu 68