ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ"

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SERBEST İDEAL HALKALARI ÜZERİNDEKİ MODÜLLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2013

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SERBEST İDEAL HALKALARI ÜZERİDEKİ MODÜLLER YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez /07/2013 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir Yrd.Doç.Dr.Zeynep ÖZKURT Prof. Dr. Naime EKİCİ Yrd.Doç.Dr.Cennet ESKAL DANIŞMAN ÜYE ÜYE. Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. Mustafa GÖK Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ SERBEST İDEAL HALKALARI ÜZERİNDEKİ MODÜLLER ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman : Yrd. Doç. Dr. Zeynep ÖZKURT Yıl: 2013, Sayfa: 62 Jüri : Yrd.Doç. Dr. Zeynep ÖZKURT : Prof. Dr. Naime EKİCİ : Yrd. Doç. Dr. Cennet ESKAL Bu çalışmada serbest ideal halkalarının incelenmesi amaçlanmıştır. Serbest ideal halkaları ve local serbest ideal halkaları tanımlanarak bu halkaların özellikleri ifade edilmiştir. Serbest ideal halkaları üzerinde, esas ideal bölgesi olmanın, Noetherian olma ve Ore koşulunu sağlama ile eşdeğer olduğu gösterilmiştir. Ayrıca serbest ideal halkalarının serbest çarpımları inşa edilerek bu çarpımın da yine bir serbest ideal halkası olduğu elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Serbest İdeal Halkası, Local Serbest İdeal Halkası, Modül I

4 ABSTRACT PhD THESIS MODULS OVER FREE IDEAL RINGS ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATİCS Supervisor : Asst. Prof. Dr. Zeynep ÖZKURT Year: 2013, Pages:62 Jury : Asst. Prof. Dr. Zeynep ÖZKURT : Prof. Dr. Naime EKİCİ : Asst. Prof. Dr. Cennet ESKAL In this thesis, our aim is to establish free ideal rings. It has given that definition of free ideal ring, local free ideal rings and their properties. It has shown that Principal ideal domain, Noetherian, Ore condition has same meaning in free ideal rings, In addition, it has indicated that free product of free ideal rings is constructible and is also a free ideal ring. Key Words: Free Ideal Ring and Local Free Ideal Rings, Module II

5 TEŞEKKÜR Çalışmamın hazırlanmasında bilgi ve tecrübeleriyle beni aydınlatan, her aşamada bana yardımcı olan, yapıcı ve yönlendirici fikirleri ile bana daima yol gösteren danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Zeynep ÖZKURT a sonsuz teşekkürler. Hayatım boyunca sevgi ve desteklerini benden esirgemeyen, varlıkları ile hayatımı anlamlandıran anneme, babama ve çok kıymetli ablacığım Seher TAŞ a sonsuz şükranlarımı sunuyorum. Can dostum Eser Ördem e destek ve yardımları için teşekkür ediyorum. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER.....IV 1. GİRİŞ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Temel Yapılar Modül Serbest Modül Modüllerin İç direkt Toplamı ve Tensör Çarpım Noetherian Modül ve Ore Koşulu Kısa Tam dizi,projektif Injektif Modül Tek Çarpan Bölgesi SERBEST İDEAL HALKALARI SERBEST İDEAL HALKALARININ SERBEST ÇARPIMI Genişletilmiş Halkaların Serbest Çarpımı Serbest İdeal Halkalarının Serbest Çarpımı KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ IV

7 IVI

8 1. GİRİŞ 1. GİRİŞ bir halka ve (,+) abelyen bir grup olmak üzere her, için, :, (, ) =. olarak tanımlanan fonksiyonu her,, ve,, için, ) ( + ) = + ) ( + ) = + ).(. ) = (. ). koşullarını sağlıyorsa ye halkası üzerinde bir sağ -modül denir. Eğer nin lineer bağımsız bir üreteç kümesi varsa serbest -modül olarak adlandırılır. sıfırdan farklı elemanları içeren bir halka olsun. : dönüşümünü ele alalım. ) ( ) 0, h 0 ç ) ( ) [ ( ), ( )] ) ( ) ( ) + ( ) ) (1) =0 koşulu sağlanıyorsa zayıf algoritmayı sağlar denir. Zayıf algoritmalı bir halkada tüm sağ ideallerin, halka üzerinde modül olarak serbest olduğu gösterilebilir. Ve bu durum değişmeli halkalardakine benzer olarak zayıf algoritmalı halkaları içeren ve değişmeli olma durumunda esas ideal bölgesine (PID) e indirgenen halkaların bir sınıfını bulma problemini akla getirir. Problemin açık bir çözümü tüm sağ idealleri serbest modül olan halkalar sınıfını almaktır. Tüm sağ idealleri serbest modül olan tamlık bölgeleri serbest ideal halkası olarak adlandırılır ve kısaca fir ile ifade edilir. Sadece sonlu üretilmiş sağ idealleri serbest olan tamlık bölgeleri ise lokal serbest ideal halkası (local fir) olarak adlandırılır. Bazı durumlarda serbest ideal halkaları yerine lokal serbest ideal halkalarını düşünmek daha uygundur. 1

9 1. GİRİŞ Serbest ideal halkalarına önemli bir örnek olarak serbest birleşmeli cebirler (Cohn, Paul, 1963) tarafından verilmiştir. Yine değişmeli olmayan polinom halkaları da (Cohn, Paul, 2000) de özel bir örnek olarak verilmiştir. Bu çalışmanın 2.bölümde serbest ideal halkasını ifade edebilmek için gerekli olan temel tanım ve teoremler verilmiştir. 3.bölümde serbest ideal halkalarının ve bu halkalar sınıfının temel özellikleri incelenmiştir. Ayrıca serbest ideal halkası üzerinde esas ideal bölgesi, Ore koşulu, Noetherian özelliği arasındaki ilişkiler araştırılmıştır. Buna ek olarak, lokal serbest ideal halkalarının bir karakterizasyonu oluşturularak serbest ideal halkası üzerindeki modüllerin yapısı araştırılmıştır. 4.bölümde genişletilmiş halkaların serbest çarpımı ile serbest ideal halkalarının serbest çarpımının varlığı gösterilmiştir. Bu tezin temel amacı serbest ideal halkaları ve bu halkaların temel özellikleri ile ilgili önemli çalışmaları araştırıcıların kolaylıkla erişebileceği bir kaynak derlemesi yapmaktır. 2

10 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.1. Temel Yapılar Tanım 2.1.1: boş olmayan bir küme olmak üzere den ye tanımlı bir (, ) fonksiyonuna üzerinde bir ikili işlem denir. Eğer, üzerinde bir ikili işlem ise (, ) ifadesine de bir cebirsel yapı denir. Tanım 2.1.2: boş olmayan bir küme ve üzerinde bir + ikili işlemi tanımlı olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa (,+) cebirsel yapısına grup denir. i) Her, için + (Kapalılık özelliği) ii) Her,, için ( + ) + = +( + ) (Birleşme özelliği) iii) Her için + = + = olacak şekilde bir vardır. (Birim elemanın varlığı) iv) Her için + = + = olacak şekilde bir vardır. (Ters elemanın varlığı) Eğer (,+) grubunda her, için + = + ise bu gruba değişmeli ya da abelyen grup denir. 3

11 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım 2.1.3: boş olmayan bir küme ve üzerinde "+" ve " " ikili işlemleri tanımlanmış olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa (,+, ) cebirsel yapısına halka denir. i) (,+) bir değişmeli gruptur. ii) Her,, için ( ) = ( ) dir. iii) Her,, için ( + ) = + ve ( + ) = + dir. Eğer her, için = oluyorsa ye değişmeli halka denir. Eğer her için 1 =1 = olacak şekilde bir 1 varsa ye birimli halka denir. Bu çalışmadaki tüm halkalar birimli olarak düşünülecektir. Buna ek olarak herhangi bir halkasının herhangi bir alt halkasının nin birimini içerdiği düşünülecektir. Tanım 2.1.4: bir halka olsun. ile aynı elemanlara sahip olan ve çarpmanın ters yönden sağlandığı halkaya nin ters halkası denir. nin ters halkası ile gösterilir. Tanım 2.1.5: bir halka ve ve olsun. Eğer kümesi halkasındaki işlemlerle birlikte bir halka oluyorsa kümesine halkasının bir alt halkası denir. Teorem 2.1.6: bir halka ve ve olsun. kümesinin halkasının bir alt halkası olması için gerek ve yeter koşul aşağıdaki koşulların sağlanmasıdır. i) Her, için olmasıdır. ii) Her, için. olmasıdır. 4

12 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım 2.1.7: bir halka ve 0 olmak üzere =0 olacak şekilde 0 varsa elemanına sol sıfır bölen denir. Benzer şekilde 0 olmak üzere =0 olacak şekilde varsa a elemanına sağ sıfır bölen denir. Eğer elemanı hem sağ hem de sol sıfır bölen ise elemanına sıfır bölen denir. Tanım 2.1.8: Birimli, değişmeli, sıfır bölensiz bir denir. halkasına tamlık bölgesi Tanım 2.1.9: bir halka ve, nin bir alt halkası olsun. Eğer her ve her için. ve. ise ya nin bir ideali denir. Tanım : bir tamlık bölgesi,,, { : } da nin alt kümesini içeren ideallerin bir ailesi olsun. Bu durumda, nin tarafından doğrulan idealidir. Bu ideal ile gösterilir. in elemanları idealinin üreteçleri (doğurayları) olarak adlandırılır. Eğer ideali tek bir eleman tarafından üretiliyorsa idealine esas ideal denir. Tanım : bir tamlık bölgesi olsun. nin her ideali esas ideal ise ye esas ideal halkası (principal ideal domain) denir. Kısaca PID ile ifade edilir. Tanım : birimli, değişmeli bir halka olsun. nin sıfırdan farklı her elemanının çarpmaya göre tersi varsa o zaman bu halkaya cisim denir Modül Tanım 2.2.1: bir halka ve (,+) abelyen bir grup olsun. Eğer her, için, :, (, ) (, )= olarak tanımlanan fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlıyorsa ye halkası üzerinde sol -modül denir. Her, ₁, ₂ ve, ₁, ₂ için, 5

13 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER i) ( ₁ + ₂) = ₁+ ₂ ii) ( ₁ + ₂) = ₁ + ₂ iii) ( ₁ ₂) = ₁ ( ₂ ) Eğer her, için :,(, ) (, )= olarak tanımlanan f fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlıyorsa ye halkası üzerinde bir sağ - modül denir. Her, ₁, ₂, ₁, ₂ için i) ( ₁ + ₂) = ₁ + ₂ ii) ( ₁ + ₂) = ₁ + ₂ iii) ( ₁ ₂)=( ₁) ₂ Eğer birimli bir halka ise 1 ve her için fonksiyonu iv) 1= koşulunu sağlıyorsa ye birimli (üniter) sağ -modül denir. Not 2.2.2: bir -modül ve ise bir -modüldür. Tanım 2.2.3: R bir halka, M bir R-modül olsun. N ve N, M nin bir alt kümesi olmak üzere N, bir R-modül ise N ye M nin alt modülü denir. Teorem 2.2.4: R bir halka, M bir R-modül olsun. N M nin bir altmodülü olması için gerek ve yeter koşul i) ii) Her ve, için +. olmasıdır. İspat: (: ) altmodül ise altgruptur. Böylece 0 ve dır., ve alalım. N bir -modül olduğundan. ve altgrup olduğundan 6

14 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER +. dir. ( :) olsun., ve = +( 1). dir., nin bir altgrubudur. Her ve için 0+. olduğundan., dolayısıyla dir. N, M nin bir altmodülüdür. Teorem 2.2.5: bir -modül olsun., ve, modülünün alt modülleri ve olsun. Bu durumda dir. + ( ) =( + ) İspat: + ( ) + ve olduğundan, + ( ) + dir. + ( ) ( + ) bulunur. Tersine, ( + ) alalım. = + olacak şekilde bir y ve bir bulunabilir. K ve olduğundan, = bulunur. = + +( ) olur. ( + ) + ( ) elde edilir. O halde, + ( ) =( + ) dir. Tanım 2.2.6: R bir halka, M bir R-modül ve N de M nin bir alt modülü olsun. Rx M N M N skaler çarpımını (, + ) + ile tanımlayarak, toplamsal bölüm grubu, bir R-modül yapılabilir. ye bölüm modülü denir. Tanım 2.2.7: M ve N, R halkası üzerinde iki sağ R-modül olmak üzere ϕ:m N fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlıyorsa ϕ dönüşümüne M den N ye bir sağ R- modül homomorfizmi denir. 7

15 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER i) Her m₁,m₂ M için ϕ(m₁+m₂)=ϕ(m₁)+ϕ(m₂) ii) Her m M ve r R ϕ(m r)=ϕ(m) r Eğer ϕ homomorfizmi birebir ise ϕ ye monomorfizm denir. Eğer ϕ homomorfizmi örten ise ϕ ye epimorfizm denir. Eğer ϕ homomorfizmi birebir ve örten ise ϕ ye izomorfizm denir ve M N olarak gösterilir. Tanım 2.2.8: ϕ : bir modül homomorfizmi olmak üzere Ç ϕ = {m M: ϕ(m) =0} kümesine ϕ nin çekirdeği denir. Tanım 2.2.9: ϕ : bir modül homomorfizmi olmak üzere ö ϕ = ϕ(m) = {ϕ(m): m M} kümesine ϕ nin görüntü kümesi denir. Teorem (1.İzomorfizm Teoremi): ve iki modül ve : bir modül homomorfizmi olsun. Çek, M nin bir alt modülüdür ve /Ç ( ) dir. İspat: Ç ={ : ( ) =0 } olmak üzere Ç nin, nin bir alt modül olduğunu göstermeliyiz., Ç için ( ) = 0 ve ( ) = 0 dır. bir modülü olduğundan ( ) = ( ) ( ) =0 0=0 ve böylece Ç dir., Ç ve ( ) =0 olmak üzere 8

16 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (. ) = ( ). =0. =0 dır. Ç, nin alt modülüdür. Ϝ: /Ç ö fonksiyonunu her için Ϝ( +Ç )= ( ) şeklinde tanımlayalım. Ϝ nin modül homomorfizmi olduğunu gösterelim. ₁, ₂ ve için Ϝ( ₁ +Ç + ₂ +Ç )= Ϝ( ₁+ ₂+Ç ) = ( ₁+ ₂) = ( ₁)+ ( ₂) = Ϝ( ₁ +Ç )+Ϝ( ₂+Ç ) Ϝ(( ₁ +Ç ) ) =Ϝ( ₁. +Ç )= ( ₁. )= ( ₁)=Ϝ( ₁+Ç ). Ϝ, modül homomorfizmidir. Ϝ nin birebir olduğunu gösterelim. Ϝ( ₁ +Ç )=Ϝ( ₂+Ç ) olsun. ( ₁) = ( ₂) ve ( ₁ ₂) =0 ise ₁ ₂ Ç olup Ϝ,1 1 dir. ₁ +Ç = ₂ +Ç Ϝ nin örten olduğunu gösterelim. Her ö için = ( ) = Ϝ( +Ç ) olacak şekilde m + Çekf M Çekf vardır., örtendir, izomorfizmdir. dir. Ç ö 9

17 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Teorem (2.İzomorfizm Teoremi): + ={ +, } verilsin., + nin bir alt modülü ve, nın bir alt modülüdür. Bu durumda + dir. İspat: nin + nin alt modülü ve nin de nın alt modülü olduğu kolaylıkla gösterilebilir. : dönüşümünü ya kısıtlayarak / dönüşümünü ( ) = + şeklinde tanımlayalım. ₁, ₂ olsun. nin modül homomorfizmi olduğunu gösterelim. ( ₁ + ₂) = ₁+ ₂ + = ₁+ + ₂ + = ₁ + + ( ₂ + ) = ( ₁)+ ( ₂), modül homomorfizmidir. Ç ={ : ( ) = }={ : + = }={ : }= ö ={ ( ): } ={ + : ={ + + :, } = + / Birinci izomorfizm teoreminden /Ç ö dir. / + / 10

18 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Teorem (3.İzomorfizm Teoremi): bir -modül; olmak üzere, nin alt modülleri olsun. dir. İspat: Ψ : dönüşümünü ( + ) = + şeklinde tanımlayalım. Ψ dönüşümün iyi tanımlı olduğunu göstermeliyiz., M için +A = +A olsun. - B ve +B = +B dir. Ψ, iyi tanımlıdır. Ψ, dönüşümünün modül homomorfizmi olduğunu gösterelim., M ve r R için Ψ( +A+r( +A))= Ψ( +A+r +A =Ψ( +r +A) = + +B = +B+r( +B) = Ψ( +A)+r Ψ ( +A) 1.izomorfizm teoreminden ç Ψ Gör Ψ dir. Çek Ψ={ m+a: Ψ(m+A)=B } ={ m+a: m+b=b } ={ m+a: m B }=B/A Gör Ψ= {Ψ(m+A): m+a }={m+a: m+b=b}={m+b: m B}= olduğundan dir. 11

19 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım : ve iki -modül olmak üzere den olan tüm homomorfizmlerin kümesi (, ) = {ϕ ϕ:m N,R modül homomor izmi} olarak tanımlanır. Önerme :, (, ) olsun. + fonksiyonu her için ( + )( ) = ( ) + ( ) şeklinde tanımlarsak bu toplama ile (, ) bir abelyen grup olur. R değişmeli halka olsun., (, ) için yi her için (, ) (, ) ( )( ) = ( ) olarak tanımlarsak (, ) bir -modül olur. İspat: ) (, ) abelyan bir gruptur. 1) Her ve, (, ) için ( + )( ) (, ) olduğundan kapalıdır. 2) Her ve, (, ) için ( + ) + h ( ) = ( + )( ) + h( ) = ( ) + ( ) + h( ) = ( ) + ( + h)( ) = + ( + h) ( ) olduğundan birleşmelidir. 12

20 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 3) Her ve (, ) için (f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x) olacak şekilde 0( ) (, ) birim eleman vardır. 4) Her ve (, ) için (f+(-f))(x)=f(x)-f(x)=0(x) olacak şekilde ( f) (, ) ters elemanı vardır. 5) Her ve, (, ) için ( + )( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( + )( ) olduğundan değişmelidir. ii) Her, (, ) için ( + )( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) =( )( ) +( )( ) iii) Her, (, ) için ( + ) ( ) = ( )+ ( ) =( )( ) +( )( ) iv) Her, (, ) için ( ) ( ) = ( ( )) = (( )( )) = ( ( ))( ) (, ) bir -modüldür. Tanım : bir -modülü ve bir alt küme olsun. X kümesini kapsayan, tüm alt modüllerin arakesitine in ürettiği alt modül denir ve < > ile gösterilir. Yani; < >= { } dir. < >, alt kümesini kapsayan en küçük -alt modülüdür. kümesine üreteç kümesi denir. 13

21 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım : bir -modülü ve bir alt küme olsun. sonlu bir alt küme olmak üzere, M=< > ise ye sonlu üretilmiş modül denir. Önerme : sonlu üretilmiş ise bölüm modülü de sonlu üretilmiştir. İspat:, {,, } tarafından üretilmiş olsun., nin altmodülü olmak üzere bölüm modülünü alalım. = { + } dir. Her için = + + şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla her + için + = = = ( + )+ ( + )+ + ( + ) şeklindedir. Dolayısıyla her +, { +, +,, + } sonlu kümesi tarafından üretilir Serbest Modüller Tanım 2.3.1: Eğer herhangi bir sağ -modül ve. =0 (, ) olacak şekildeki =0 ise nin alt kümesi -bağımsızdır denir. Tanım 2.3.2: bir -modül olsun. nin bağımsız bir üreteç kümesi varsa bir serbest -modüldür. 14

22 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Örnek 2.3.3: Her vektör uzayı bir serbest modüldür. Çünkü her vektör uzayının bir baz vardır. Örnek 2.3.4: Her {1 } alınabilir. halkası kendi üzerinde bir serbest modüldür. Taban olarak Teorem 2.3.5: bir halka, bir sağ -modül ve = {,.., } nin alt kümesi olsun. Aşağıdakiler birbirine denktir. (i), -modülünün bir bazıdır. (ii),, olmak üzere = + + olacak şekilde deki {,, } katsayıların kümesi tektir. İspat: (i) (ii), nin bir bazı olsun.,, ve olmak üzere = + + şeklinde yazabiliriz. Bu yazılışın tek türlü olmadığını kabul edelim. Bazı,, için = + + olsun. = + + = + + olmak üzere ifadeler eşitliğin bir tarafında toplanırsa 0=( ) + +( ) elde edilir. Böylece tüm ler için = olmak üzere {,, } katsayıların kümesi tektir. (ii) (i),, olmak üzere = + + olacak şekilde deki {,, } katsayıların kümesi tek ise nın yi ürettiği 15

23 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER açıktır. nin lineer bağımsız olduğunu göstermeliyiz. Kabul edelim ki bazı,, katsayıları için 0= + + olsun. Ayrıca 0= olacağından ve katsayıların tekliğinden her için =0. O halde lineer bağımsızdır. Teorem 2.3.6: bir halka ve bir sol modül olsun. : tüm -modül izomorfizmlerinin kümesi ile nin tüm = {,, } bazların kümesi arasında birebir olan bir dönüşüm vardır. Bu dönüşüm altında izomorfizmi nın,, standart bazını ( ),, ( ) bazına dönüştürür. Özel olarak, bir -modüldür ancak ve ancak bazı lar için dır. İspat: = {,, } olmak üzere =1,, için : = olacak şekilde bir dönüşüm verilsin. bir baz olduğunu göstermek için lineer bağımsız olduğunu ve yi ürettiğini göstermeliyiz. olmak üzere bazı için = ( ) dir. Böylece örtendir. Bazı,, için = + + dır ve = ( ) = ( ) + + ( ) = ( ) + + ( ) = + + olduğundan nın yi ürettiğini görülür. Eğer 0= + + ise ( + + ) =0 dır. birebir olduğundan da 0= + + ve = = =0 dır. 16

24 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tersine, bazı verilsin. Teorem den deki her elemanı = + olacak şekilde tek türlü yazılabilir. : ( + + )= + + ve : ( + + ) = + + dönüşümlerini tanımlayalım., -modül homomorfizmidir., birbirinin tersi olduğu aşikardır. (, 1998, ) den bir izomorfizmdir. dan dolayı dönüşüm birebir ve örtendir. herbirini tek şekilde belirler. Sonuç 2.3.7: R[X] polinomlar halkası bir serbest R-modül ve dir. R[X] R ( ), n N Tanım 2.3.8: Eğer serbest, -modüllerin tüm bazlarının eleman sayısı aynı ise ye değişmez baz sayılı halka denir. Bu sayı nin rankı olarak adlandırılır ve r( ) ile gösterilir. Böylece rank, serbest modüller için tanımlanır fakat bunun nasıl genelleştirileceğini daha sonra göstereceğiz. 17

25 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.4. Modüllerin İç Direkt Toplamı ve Tensör Çarpımı Tanım2.4.1 ve birimli halka, değişmeli bir grup olsun. bir sağ -modül ve bir sol -modül iken her,, için ( ) = ( ) oluyorsa ye (, ) bimodül denir. Özel olarak, hem sağ -modül hem de sol -modül iken = ise ye (, ) bimodül kısaca bimodül denir. Örnek 2.4.2: Her halka kendi üzerine sağ ve sol modül yapılabilir. Dolayısıyla değişmeli bir halka olmak üzere bir bimodüldür. Tanım 2.4.3: bir -modül olsun. { } ailesi;, -alt modüllerinin bir ailesi olsun. Her elemanı, olmak üzere sonlu toplam olarak =. şeklinde yazılabilir. Bu yazılış tek türlü ise, { } alt modüllerinin iç direkt toplamı denir ve ile gösterilir. = Tanım 2.4.4: { } bir R-modüller ailesi olsun. Bu ailenin direkt çarpımı ={ f:i M, f( ) M, her I} dır. bir R-modüldür. f, g, r ve olmak üzere 18

26 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER ( + )( ) = ( ) + ( ) (. )( ) =. ( ) işlemleriyle bir R-modül olur. ya Eğer I sonlu ise = dır. ların direk çarpımı denir. Tanım 2.4.5: bir sağ -modül ve de bir sol -modül olsun. herhangi bir abelyan grup ve : bir fonksiyon olsun. Eğer,, ;,, ; için ( +, ) = (, ) + (, ) (, + ) = (, ) + (, ) (, ) = (, ) oluyorsa ye -dengeli bilineer fonksiyon denir. Tanım 2.4.6: herhangi bir küme ise üzerindeki serbest abelyen grup Z- modül olarak ( ) ile gösterilsin. ( ) =., Z, ı ç 0 bir sağ -modül, bir sol -modül olsun. = ( ), üzerinde serbest abelyen gruptur. = (, )(, ):,, ı (, ) 0, (, ) Z nin içinde,, ;,, ; için ( +, ) (, ) (, ) (, + ) (, ) (, ) (, ) (, ) 19

27 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER şeklindeki elemanların doğurduğu alt grup ise grubu ile gösterilir. Bu gruba ve nin tensör çarpımı denir., ise sembolü ile (, ) + kosetini göstereceğiz Noetherian Modül ve Ore Koşulu Tanım 2.5.1: bir halka ve bir -modül olsun. nin alt modüllerinin her artan zinciri sonlu adımda duruyorsa ye Noetherian modül denir. Önerme 2.5.2: bir halka ve bir -modülü olsun. Noetherian modül ise nin her alt modülü sonlu üretilmiştir. İspat:, nin herhangi bir alt modülü olsun. sonlu üretilmiş olmasın. ( ) olacak şekilde bir, (, ) olacak şekilde ( vardır. Bu şekilde devam ederek, bir ) (,,, ) bulunabilir. Böylece M nin alt modüllerinin ( ) (, ) (,,, ) olacak şekildeki sonsuz bir zinciri elde edilir. Bu ise çelişki oluşturur. O halde N sonlu üretilmiştir. Tanım 2.5.3: bir tamlık bölgesi olsun., 0 ve, olmak üzere 0 koşulu sağlanıyorsa ye sağ Ore bölgesi denir. 20

28 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.6. Kısa Tam Dizi, Projektif ve Injektij Modül Tanım 2.6.1: R-modüllerin bir dizisi ve bunlar arasında da R-homomorfizmleri verilsin. Eğer her 0 için, Im =Ç ise bu diziye tam dizi denir. Eğer belli bir yerden sonra modüller hep sıfırsa, 0 veya belli bir yerden önce modüller hep sıfırsa, 0 ile gösterilir. Özel olarak, 0 0 şeklinde tam diziye de bir kısa tam dizi denir. Önerme 2.6.2: R bir halka, M ve N iki R-modül olsun (i) : ve :, R-homomorfizmleri için =1 ise örten, birebir ve =Ç dir. (ii) 0, -monomorfizmi için, =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi bulunabilmesi için gerek ve yeter koşul nin, M nin bir direkt toplamında bir terim olmasıdır. 21

29 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (iii) 0, -epimorfizmi için, = 1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi bulunabilmesi için gerek ve yeter koşul Ç nin, M nin bir direkt toplamında bir terim olmasıdır. Bu takdirde =Ç ise, Ç olduğundan, de nin direkt toplamında bir terimdir. İspat: (i) : ve :, -monomorfizmi için, =1 ise için, ( ) = olacağından, nin örten, nin de birebir olduğu görülür. Her M için, = ( ) + ( ) dir. ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) =0 olduğundan, ( ) Ç ve ( ) olduğu göz önünde tutularak, önceki eşitlikten =Ç + olduğu görülür. Ayrıca, Ç =0 olduğunu gösterelim. Ç ise bir için, = ( ) ve ( ) =0 olduğundan, 0= ( )= ( ) = ( ) = ve = ( )=0 bulunur. Şu halde, =Ç dir. (ii): 0, -monomorfizmi için, =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi bulunabildiğini kabul edelim. 1.şıktan, bulunur. =Ç : = olacak şekilde, nin bir alt modülünün varlığını kabul edelim. Toplam, direk toplam olduğundan, her elemanı ve 22

30 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER olmak üzere, = + olacak şekilde tek türlü yazılabilir. olduğundan, bir için, = ( ) dir. Şimdi bu nin alınan elemanı için, teklikle belli olduğunu gösterelim. Gerçekten, = + ( ) =m + ( ), (m,m M,x,x ) olsa, ( ) ( ) = =0 olmasından, ( ) = ( ) ve birebir olduğundan, = elde edilir. Böylece, tek türlü = + ( ) yazılışı yardımıyla, ( ) = tanımlayarak bir : fonksiyonu bulunmuş olur. =1 olduğunu göstermek kolaydır. Böylece de bir -homomorfizmidir. (iii) : 0, -epimorfizmi için, =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi bulunabilsin. 1.şıktan, =Ç bulunur. : =Ç olacak şekilde, nin bir alt modülünün varlığını kabul edelim. h: fonksiyonunu, h( ) = ( ) ile tanımlayalım. Her elemanı için, örten olduğundan, ( ) = olacak şekilde bir vardır. elemanı, Ç ve için = + olacak şekilde tek türlü yazılabilir. Buradan, = ( ) = ( )+f( )=f( )=h( ) bulunacağından, h nın örten olduğu anlaşılır. Ayrıca, Ç h =Ç =0 olduğundan, h birebir olur. = h alırsak, : için, =1 sağlanır. örten homomorfizmi ve =1 homomorfizmi olduğundan, nin bir - homomorfizmi olduğu görülür. 23

31 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Teorem 2.6.3: R bir halka olsun. L, M ve N birer R-modül ve 0 0 bir kısa tam dizi ise aşağıdakiler birbirine denktir. (i) = 1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi vardır. (ii) =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi vardır. ( ) N dir. İspat: (i) (ii): Dizi kısa tam dizi olduğundan, Ç = dir. Önerme tenistenen elde edilir. (ii) (iii): 0, -monomorfizmi için =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi varsa, olacak şekilde nin bir alt modülünün varlığını Önerme tenbiliyoruz. Şu halde, = Ç ve olduğundan, N bulunur. (iii) (i): N olsun. Dizi kısa tam dizi olduğundan, dir. Böylece, M nin direkt toplamında bir terimdir. Önerme e göre, istenen elde edilir. Tanım 2.6.4: Teorem nın koşullarından birini sağlayan kısa tam diziye, parçalanabilir kısa tam dizi denir. 24

32 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Teorem 2.6.5: R bir halka M, N ve P de R-modüller olsun. Aşağıdakiler birbirine denktir. (i) Her 0, R-epimorfizmi için, f = 1 olacak şekilde bir :, R-homomorfizmi vardır. (ii) P, bir F serbest R-modülünde bir direkt toplam terimidir. (iii) Her 0, R - epimorfizmi ve her h : P, R homomorfizmi için h = h olacak şekilde bir h :, R- homomorfizmi vardır. İspat: (i) (ii) Her modül, bir serbest modülün homomorfik görüntüsü idi. Şu halde verilen modülü için, bir :, -epimorfizmi ve bir serbest - modülü bulunabilir. üzerine her epimorfizmi için yaptığımız kabule göre, = 1 olacak şekilde bir :, homomor izmi bulunabilir. Önerme den P, F serbest -modülünde bir direkt toplam terimi olur. (ii) (iii) olsun. Herhangi bir h:, -homomorfizmi ve 0, -epimorfizmi alalım. : = içerme fonksiyonu ve : = izdüşüm fonksiyonu için. =1 dir. F serbest modülünün bir tabanı { } olsun. Her için, örten olduğundan, ( ) = h ( ) olacak şekilde bir bulunabilir. Böylece :, ( ) = ile tanımlı bir -homomorfizmini tanımlayabiliriz. Her taban elemanı için, ( ) = ( ) = ( ) = h ( ) olduğundan, = h bulunur. Aranan h :, -homomorfizmi olarak h : alınabilir. Gerçekten, h = h = = h olur. 25

33 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (iii) (i) Her 0, -epimorfizmi için, (iii) hipotezi altında, (N=P alarak) 1 0 diyagramı değişmeli = 1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi bulunmuş olur. Tanım 2.6.6: Yukarıdaki teoremin koşullarından birini sağlayan R -modüle projektif modül denir. Sonuç 2.6.7: R bir halka ve P bir projektif -modül ise her 0 0 kısa tam dizisi parçalanabilir dizidir. Sonuç 2.6.8: Her serbest modül projektiftir. Teorem 2.6.9: R bir halka ve E bir R-modül olsun. Aşağıdakiler birbirine denktir. (i) Her 0, R-monomorfizmi için, =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi vardır. (ii) Her 0, R-monomorfizmi ve her h - homomorfizmi için h = h olacak şekilde bir h :, - homomorfizmi vardır. Bu özelliği aşağıdaki değişmeli diyagram gösterebiliriz. 26

34 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 0 h E h İspat: (i) (ii) Bir 0, monomorfizmi ve bir h: - homomorfizmi verildiğinde, h= h olacak şekilde bir h :, - homomorfizmi varlığını gösterelim. 0 E h h nin S={(h( ), ( )): } alt modülüne göre, L=( ) bölüm modülünü göz önüne alalım. ve : ( ), (0, ) + : ( ), (,0)+ ile tanımlı fonksiyonları alalım. = h olduğu açıktır. Ayrıca birebir olduğundan, de birebirdir. Çünkü, ( ) =0 olsa, 0= ( )=(,0)+ den, bir m için, (,0) = (h( ), ( )) olduğundan ( )=0, yani =0 ve h( )=y=0 elde edilir. Şu halde, monomorfizmi için, (1) den u =1 olacak şekilde bir : homomorfizmi bulabiliriz. Eğer h = alırsak istenen elde edilmiş olur. Çünkü, h = = h = h dır. 27

35 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (ii) (i) Her 0, -monomorfizmi için, (2) kullanılarak, 0 1 E =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi bulunmuş olur. Tanım : R bir halka olsun. Yukarıdaki teoremin koşullarından birini sağlayan R-modülüne injektif R-modülü denir. Sonuç : R bir halka ve E bir injektif R-modül olsun. Her 0 0 kısa tam dizisi parçalanabilir dizidir. Sonuç : Bir injektif modülün her direkt toplam terimi de injektiftir. Tanım : Her serbest modül projektif olduğundan, her modül bir projektif modülün izomorfik görüntüsü olarak yazılabilir. Böylece projektif olmak üzere her -modül için 0 0 kısa tam dizisi elde edilir. Bu ise nin takdimi olarak adlandırılır. nin diğer takdimleri aşağıdaki lemmada kıyaslanmıştır. Schanuel s Lemma : M herhangi bir M modül olsun., projektif olmak üzere M nin iki farklı takdimi 28

36 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 0 0 ve 0 0 olsun. Buna göre, dir Tek Çarpan Bölgesi Tanım 2.7.1: birim elemanlı ve değişmeli bir halka olsun. için i), sıfır veya birim değildir. ) =. ise ya ya da birimdir. koşulları sağlanıyorsa ye de indirgenemez eleman denir. Tanım 2.7.2: tamlık bölgesi olsun. Sıfır ve birim olmayan her elemanı indirgenemez elemanların bir çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa ve bu yazılış tek türlü ise ye tek çarpan bölgesi (Unique Factorization Domain) denir. Kısaca UFD ile gösterilir. 29

37 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 30

38 3.SERBEST İDEAL HALKALARI 3.SERBEST İDEAL HALKALARI Tanım 3.1.1: değişmez baz sayılı bir tamlık bölgesi olsun. nin tüm sağ idealleri serbest -modül ise ye sağ serbest ideal halkası (free ideal ring) denir. nin tüm sol idealleri serbest -modül ise ye sol serbest ideal halkası (free ideal ring) denir. Hem sağ hem de sol serbest ideal halkası kısaca fir olarak yazılır. Tanım 3.1.2: değişmez baz sayılı bir tamlık bölgesi olsun. nin sonlu üretilmiş tüm sağ idealleri serbest ise ye lokal serbest ideal halkası denir. Tüm sonlu üretilmiş alt modülleri serbest olan modüle lokal serbest modül denir. Bir serbest modül lokal serbest olmak zorunda değildir. Bunun olabilmesi için bir kriter verelim. Teorem 3.1.3: Serbest zorunda değildir. (Leavitt, W.G., 1956) -modüllerin farklı bazları, aynı sayıda eleman içermek Önerme 3.1.4: bir halka olsun. Serbest -modüller lokal serbesttir., sağ - modül olarak lokal serbesttir. İspat: (: ) Eğer tüm -modüller lokal serbest ise serbest olan local serbesttir. ( :) Kabul edelim ki lokal serbest olsun. bir serbest -modül ve, nin sonlu üretilmiş alt modülü olsun. nin sonlu üreteç kümesi, nin bazından sadece sonlu çoklukta üreteç içerir. Kalan baz elemanlarını, yı etkilemeksizin "0" ile eşleyelim. Böylece, elemanlarının kümesi tarafından sonlu üretilmiş alınabilir. üzerinde tümevarım kullanalım. Verilen bazın ilk 1 elemanı tarafından üretilen nin alt modülü 1 serbest üreteç üzerinde serbesttir ve / dir. = alınırsa / + / / 31

39 3.SERBEST İDEAL HALKALARI olur. sonlu üretilmiş olduğundan / de sonlu üretilmiştir. Böylece + /, / nün sonlu üretilmiş bir alt modülüdür. / altmodüllü, sağ ideallerdir. lokal serbest olduğundan nin alt modülleri de serbest olmak zorundadır. Böylece / serbesttir. ", nin bir serbest alt modülü olmak üzere = " (1) elde edilir. Burada / " yine sonlu üretilmiş ve nün alt modülüdür. Tümevarım hipotezinden serbesttir ve (1) den dolayı serbesttir. bir lokal serbest ideal halkası ise üzerinde tüm serbest modüller lokal serbesttir. Bir fir üzerinde bir serbest modülün her alt modülünün serbest olduğu daha genel bir şekilde gösterilebilir.(cohn, Paul, 1959, Teorem 1.5.3) Bu tanımlamaların bir sonucu olarak aşağıdaki önermeyi verelim: Önerme 3.1.5:, lokal fir üzerinde herhangi bir modül olsun., elemenlı sonlu bir üreteç kümesine sahip olsun. ( ) dir, üzerinde serbesttir. (2) Bunların hepsi özellikle fir üzerindeki modüllerde sağlanır. Fakat fir olmak üzere üzerindeki sonlu üretilmiş modüllerin alt modülleri sonlu üretilmiş olmak zorunda değildir. Bu durum ancak, sağ Noetherian iken sağlanır. Şimdi Noetherian fir lerin bir karakterizasyonunu verelim. Teorem 3.1.6:, herhangi bir fir olsun. Buna göre aşağıdakiler birbirine denktir: (i), esas sağ ideal bölgesidir. (ii), sağ Noetheriandır. (iii) Her, ve, 0 için 0 (3) olacak şekilde, Ore sağ çarpım koşulu sağlanır. 32

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 (1-7) AKU J. Sci. Eng. 13 (2013) 011301 (1-7)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA

İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA BEYKENT ÜNİVERSİTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ Sayı 7(1) 2014, 25-36 İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA Tuğba PİŞTOFOGLU (tugbapistofoglu@gmail.com)

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez.

BÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez. BÖLÜM IV (KÜÇÜK FERMAT VE WİLSON TEOREMLERİ Teorem 4. (Fermat Teoremi F a olan bir asal sayı olsun. Bu durumda a (mod İsat: a sayısının a a a K ( a gibi ilk ( katından oluşan sayı takımını gözönüne alalım.

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

Bazı Sonlu Klingenberg Düzlemleri İçin Üzerinde Olma Matrisleri

Bazı Sonlu Klingenberg Düzlemleri İçin Üzerinde Olma Matrisleri BAÜ FBE Dergisi Cilt:12, Sayı:1, 91-99 Temmuz 2010 Bazı Sonlu Klingenberg Düzlemleri İçin Üzerinde Olma Matrisleri Atilla AKPINAR * Uludağ Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, Görükle,

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB1001 ANALİZ I. Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü MB1001 ANALİZ I Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 2013, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Mat624 Cebir II. Ders Notları. Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/

Mat624 Cebir II. Ders Notları. Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/ Mat624 Cebir II Ders Notları Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/ İçindekiler Kısım 1. CİSİM TEORİSİ iii Bölüm 1. Eşitliklerin

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi. Esra Pınar AKKAYMAK

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi. Esra Pınar AKKAYMAK T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisans Tezi α, α YAKIN-HALKALARIN REGÜLERLİĞİ ÜZERİNE Esra Pınar AKKAYMAK Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Akın Osman ATAGÜN Yozgat

Detaylı

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015

Sayılar ve Altın Oranı. Mahmut Kuzucuoğlu. 16 Ağustos 2015 Sayılar ve Altın Oranı Mahmut Kuzucuoğlu Orta Doğu Teknik Üniversitesi Matematik Bölümü matmah@metu.edu.tr İlkyar-2015 16 Ağustos 2015 Ben kimim? Denizli nin Çal ilçesinin Ortaköy kasabasında 1958 yılında

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 2: Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ. Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl

ÖZGEÇMİŞ. Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Adı Soyadı: Evrim AKALAN Doğum Tarihi: 11/ 07/ 1979 Doğum Yeri: Antakya/HATAY Adres: Hacettepe Üniversitesi, Matematik Bölümü, Beytepe, Ankara E-mail: eakalan@hacettepe.edu.tr

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi Temel Tanımlar Kapalılık (closure) Birleşme özelliği (associative law) Yer değiştirme

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Sıfırdan farklı a, b, c tam sayıları için aşağıdaki özellikler sağlanır. SAYILAR TEORİSİ 1 Bölünebilme Bölme Algoritması: Her a ve b 0 tam sayıları için a = qb + r ve 0 r < b olacak şekilde q ve r tam sayıları tek türlü belirlenebilir. r sayısı a nın b ile bölümünden elde edilen

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

Cebirsel Yapılar. Ders 6. İkili İşlemler ve Özellikleri

Cebirsel Yapılar. Ders 6. İkili İşlemler ve Özellikleri Cebirsel Yapılar Ders 6 6-1 İkili İşlemler ve Özellikleri Kümelerdeki birleşim ve kesişim işlemleri iki kümeyi birleştirerek üçüncü bir küme ortaya çıkarırken, g o f bileşke fonksiyonu f ve g fonksiyonlarından

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ

PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ PROJE ADI BİR POLİNOMUN KÖKLERİNİN KUVVETLER TOPLAMININ VEKTÖRASYON YÖNTEMİ İLE HESAPLANMASI AHSEN EKİNCİ IRMAK DAİ Özel Bahçeşehir Fen Teknoloji Lisesi Başakşehir/İSTANBUL Projenin Adı: Bir Polinomun

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

Rasgele Sayı Üretme. Rasgele Sayıların Özellikleri. İki önemli istaiksel özelliği var :

Rasgele Sayı Üretme. Rasgele Sayıların Özellikleri. İki önemli istaiksel özelliği var : Rasgele Sayı Üretme Rasgele Sayıların Özellikleri İki önemli istaiksel özelliği var : Düzgünlük (Uniformity) Bağımsızlık R i, rasgele sayısı olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olan uniform bir

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Ayten Koç Öğrenim Durumu: Doktora/S.Yeterlik/ Tıpta Uzmanlık Matematik Yıldız Teknik Üniversitesi Yüksek Lisans Tez Başlığı (özeti ekte) ve Tez Danışman(lar)ı

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Chapter 3 Boole Fonksiyon Sadeleştirmesi

Detaylı

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi)

Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi),

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi

Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ ÖZEL EGE LİSESİ ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: ATAHAN ÖZDEMİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: DEFNE

Detaylı

ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE ON PRIME NEAR-RINGS

ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE ON PRIME NEAR-RINGS Asal Yak n Halkalar Üzerine C.B.Ü. Fen Bilimleri Dergisi ISSN 135-1385 C.B.U. Journal of Siene 2.2 (26) 135 139 2.2 (26) 135 139 ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE Ak n Osman ATAGÜN* Eriyes Üniversitesi, Yozgat

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

Yüksek Lisans Cebir (in Turkish) Başlık: Grup Teorisi I Seviye: - İçerik: Gruplar, bölüm grupları, temel izomorfizma teoremleri, alterne, simetrik ve dihedral gruplar, direkt çarpımlar, otomorfizma grupları

Detaylı

İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR

İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR ÖABT 205 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR Konu Anlatımı Özgün Sorular Ayrıntılı Çözümler Test Stratejileri

Detaylı

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 1 YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 RASYONEL SAYILAR KÜMESİ VE ÖZELLİKLERİ 07 BASİT EŞİTSİZLİKLER

Detaylı

T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇAPRAZLANMIŞ MODÜLLER VE GRUPOİDLERİN OTOMORFİZMLERİ VE HOMOTOPİLERİ SURE SAVAŞÇI Temmuz 2012 T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

Dağıtık Sistemler CS5001

Dağıtık Sistemler CS5001 Dağıtık Sistemler CS5001 Th. Letschert Çeviri: Turgay Akbaş TH Mittelhessen Gießen University of Applied Sciences Biçimsel model nedir Biçimsel model matematiksel olarak tanımlanmış olan bir modeldir.

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJENİN AMACI: Projede, permütasyon sorularını çözmek genellikle öğrencilere karışık geldiğinden, binom açılımı kullanmak suretiyle sorulara

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı