ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ"

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SERBEST İDEAL HALKALARI ÜZERİNDEKİ MODÜLLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2013

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SERBEST İDEAL HALKALARI ÜZERİDEKİ MODÜLLER YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez /07/2013 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir Yrd.Doç.Dr.Zeynep ÖZKURT Prof. Dr. Naime EKİCİ Yrd.Doç.Dr.Cennet ESKAL DANIŞMAN ÜYE ÜYE. Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. Mustafa GÖK Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ SERBEST İDEAL HALKALARI ÜZERİNDEKİ MODÜLLER ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman : Yrd. Doç. Dr. Zeynep ÖZKURT Yıl: 2013, Sayfa: 62 Jüri : Yrd.Doç. Dr. Zeynep ÖZKURT : Prof. Dr. Naime EKİCİ : Yrd. Doç. Dr. Cennet ESKAL Bu çalışmada serbest ideal halkalarının incelenmesi amaçlanmıştır. Serbest ideal halkaları ve local serbest ideal halkaları tanımlanarak bu halkaların özellikleri ifade edilmiştir. Serbest ideal halkaları üzerinde, esas ideal bölgesi olmanın, Noetherian olma ve Ore koşulunu sağlama ile eşdeğer olduğu gösterilmiştir. Ayrıca serbest ideal halkalarının serbest çarpımları inşa edilerek bu çarpımın da yine bir serbest ideal halkası olduğu elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Serbest İdeal Halkası, Local Serbest İdeal Halkası, Modül I

4 ABSTRACT PhD THESIS MODULS OVER FREE IDEAL RINGS ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATİCS Supervisor : Asst. Prof. Dr. Zeynep ÖZKURT Year: 2013, Pages:62 Jury : Asst. Prof. Dr. Zeynep ÖZKURT : Prof. Dr. Naime EKİCİ : Asst. Prof. Dr. Cennet ESKAL In this thesis, our aim is to establish free ideal rings. It has given that definition of free ideal ring, local free ideal rings and their properties. It has shown that Principal ideal domain, Noetherian, Ore condition has same meaning in free ideal rings, In addition, it has indicated that free product of free ideal rings is constructible and is also a free ideal ring. Key Words: Free Ideal Ring and Local Free Ideal Rings, Module II

5 TEŞEKKÜR Çalışmamın hazırlanmasında bilgi ve tecrübeleriyle beni aydınlatan, her aşamada bana yardımcı olan, yapıcı ve yönlendirici fikirleri ile bana daima yol gösteren danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Zeynep ÖZKURT a sonsuz teşekkürler. Hayatım boyunca sevgi ve desteklerini benden esirgemeyen, varlıkları ile hayatımı anlamlandıran anneme, babama ve çok kıymetli ablacığım Seher TAŞ a sonsuz şükranlarımı sunuyorum. Can dostum Eser Ördem e destek ve yardımları için teşekkür ediyorum. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER.....IV 1. GİRİŞ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Temel Yapılar Modül Serbest Modül Modüllerin İç direkt Toplamı ve Tensör Çarpım Noetherian Modül ve Ore Koşulu Kısa Tam dizi,projektif Injektif Modül Tek Çarpan Bölgesi SERBEST İDEAL HALKALARI SERBEST İDEAL HALKALARININ SERBEST ÇARPIMI Genişletilmiş Halkaların Serbest Çarpımı Serbest İdeal Halkalarının Serbest Çarpımı KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ IV

7 IVI

8 1. GİRİŞ 1. GİRİŞ bir halka ve (,+) abelyen bir grup olmak üzere her, için, :, (, ) =. olarak tanımlanan fonksiyonu her,, ve,, için, ) ( + ) = + ) ( + ) = + ).(. ) = (. ). koşullarını sağlıyorsa ye halkası üzerinde bir sağ -modül denir. Eğer nin lineer bağımsız bir üreteç kümesi varsa serbest -modül olarak adlandırılır. sıfırdan farklı elemanları içeren bir halka olsun. : dönüşümünü ele alalım. ) ( ) 0, h 0 ç ) ( ) [ ( ), ( )] ) ( ) ( ) + ( ) ) (1) =0 koşulu sağlanıyorsa zayıf algoritmayı sağlar denir. Zayıf algoritmalı bir halkada tüm sağ ideallerin, halka üzerinde modül olarak serbest olduğu gösterilebilir. Ve bu durum değişmeli halkalardakine benzer olarak zayıf algoritmalı halkaları içeren ve değişmeli olma durumunda esas ideal bölgesine (PID) e indirgenen halkaların bir sınıfını bulma problemini akla getirir. Problemin açık bir çözümü tüm sağ idealleri serbest modül olan halkalar sınıfını almaktır. Tüm sağ idealleri serbest modül olan tamlık bölgeleri serbest ideal halkası olarak adlandırılır ve kısaca fir ile ifade edilir. Sadece sonlu üretilmiş sağ idealleri serbest olan tamlık bölgeleri ise lokal serbest ideal halkası (local fir) olarak adlandırılır. Bazı durumlarda serbest ideal halkaları yerine lokal serbest ideal halkalarını düşünmek daha uygundur. 1

9 1. GİRİŞ Serbest ideal halkalarına önemli bir örnek olarak serbest birleşmeli cebirler (Cohn, Paul, 1963) tarafından verilmiştir. Yine değişmeli olmayan polinom halkaları da (Cohn, Paul, 2000) de özel bir örnek olarak verilmiştir. Bu çalışmanın 2.bölümde serbest ideal halkasını ifade edebilmek için gerekli olan temel tanım ve teoremler verilmiştir. 3.bölümde serbest ideal halkalarının ve bu halkalar sınıfının temel özellikleri incelenmiştir. Ayrıca serbest ideal halkası üzerinde esas ideal bölgesi, Ore koşulu, Noetherian özelliği arasındaki ilişkiler araştırılmıştır. Buna ek olarak, lokal serbest ideal halkalarının bir karakterizasyonu oluşturularak serbest ideal halkası üzerindeki modüllerin yapısı araştırılmıştır. 4.bölümde genişletilmiş halkaların serbest çarpımı ile serbest ideal halkalarının serbest çarpımının varlığı gösterilmiştir. Bu tezin temel amacı serbest ideal halkaları ve bu halkaların temel özellikleri ile ilgili önemli çalışmaları araştırıcıların kolaylıkla erişebileceği bir kaynak derlemesi yapmaktır. 2

10 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.1. Temel Yapılar Tanım 2.1.1: boş olmayan bir küme olmak üzere den ye tanımlı bir (, ) fonksiyonuna üzerinde bir ikili işlem denir. Eğer, üzerinde bir ikili işlem ise (, ) ifadesine de bir cebirsel yapı denir. Tanım 2.1.2: boş olmayan bir küme ve üzerinde bir + ikili işlemi tanımlı olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa (,+) cebirsel yapısına grup denir. i) Her, için + (Kapalılık özelliği) ii) Her,, için ( + ) + = +( + ) (Birleşme özelliği) iii) Her için + = + = olacak şekilde bir vardır. (Birim elemanın varlığı) iv) Her için + = + = olacak şekilde bir vardır. (Ters elemanın varlığı) Eğer (,+) grubunda her, için + = + ise bu gruba değişmeli ya da abelyen grup denir. 3

11 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım 2.1.3: boş olmayan bir küme ve üzerinde "+" ve " " ikili işlemleri tanımlanmış olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa (,+, ) cebirsel yapısına halka denir. i) (,+) bir değişmeli gruptur. ii) Her,, için ( ) = ( ) dir. iii) Her,, için ( + ) = + ve ( + ) = + dir. Eğer her, için = oluyorsa ye değişmeli halka denir. Eğer her için 1 =1 = olacak şekilde bir 1 varsa ye birimli halka denir. Bu çalışmadaki tüm halkalar birimli olarak düşünülecektir. Buna ek olarak herhangi bir halkasının herhangi bir alt halkasının nin birimini içerdiği düşünülecektir. Tanım 2.1.4: bir halka olsun. ile aynı elemanlara sahip olan ve çarpmanın ters yönden sağlandığı halkaya nin ters halkası denir. nin ters halkası ile gösterilir. Tanım 2.1.5: bir halka ve ve olsun. Eğer kümesi halkasındaki işlemlerle birlikte bir halka oluyorsa kümesine halkasının bir alt halkası denir. Teorem 2.1.6: bir halka ve ve olsun. kümesinin halkasının bir alt halkası olması için gerek ve yeter koşul aşağıdaki koşulların sağlanmasıdır. i) Her, için olmasıdır. ii) Her, için. olmasıdır. 4

12 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım 2.1.7: bir halka ve 0 olmak üzere =0 olacak şekilde 0 varsa elemanına sol sıfır bölen denir. Benzer şekilde 0 olmak üzere =0 olacak şekilde varsa a elemanına sağ sıfır bölen denir. Eğer elemanı hem sağ hem de sol sıfır bölen ise elemanına sıfır bölen denir. Tanım 2.1.8: Birimli, değişmeli, sıfır bölensiz bir denir. halkasına tamlık bölgesi Tanım 2.1.9: bir halka ve, nin bir alt halkası olsun. Eğer her ve her için. ve. ise ya nin bir ideali denir. Tanım : bir tamlık bölgesi,,, { : } da nin alt kümesini içeren ideallerin bir ailesi olsun. Bu durumda, nin tarafından doğrulan idealidir. Bu ideal ile gösterilir. in elemanları idealinin üreteçleri (doğurayları) olarak adlandırılır. Eğer ideali tek bir eleman tarafından üretiliyorsa idealine esas ideal denir. Tanım : bir tamlık bölgesi olsun. nin her ideali esas ideal ise ye esas ideal halkası (principal ideal domain) denir. Kısaca PID ile ifade edilir. Tanım : birimli, değişmeli bir halka olsun. nin sıfırdan farklı her elemanının çarpmaya göre tersi varsa o zaman bu halkaya cisim denir Modül Tanım 2.2.1: bir halka ve (,+) abelyen bir grup olsun. Eğer her, için, :, (, ) (, )= olarak tanımlanan fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlıyorsa ye halkası üzerinde sol -modül denir. Her, ₁, ₂ ve, ₁, ₂ için, 5

13 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER i) ( ₁ + ₂) = ₁+ ₂ ii) ( ₁ + ₂) = ₁ + ₂ iii) ( ₁ ₂) = ₁ ( ₂ ) Eğer her, için :,(, ) (, )= olarak tanımlanan f fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlıyorsa ye halkası üzerinde bir sağ - modül denir. Her, ₁, ₂, ₁, ₂ için i) ( ₁ + ₂) = ₁ + ₂ ii) ( ₁ + ₂) = ₁ + ₂ iii) ( ₁ ₂)=( ₁) ₂ Eğer birimli bir halka ise 1 ve her için fonksiyonu iv) 1= koşulunu sağlıyorsa ye birimli (üniter) sağ -modül denir. Not 2.2.2: bir -modül ve ise bir -modüldür. Tanım 2.2.3: R bir halka, M bir R-modül olsun. N ve N, M nin bir alt kümesi olmak üzere N, bir R-modül ise N ye M nin alt modülü denir. Teorem 2.2.4: R bir halka, M bir R-modül olsun. N M nin bir altmodülü olması için gerek ve yeter koşul i) ii) Her ve, için +. olmasıdır. İspat: (: ) altmodül ise altgruptur. Böylece 0 ve dır., ve alalım. N bir -modül olduğundan. ve altgrup olduğundan 6

14 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER +. dir. ( :) olsun., ve = +( 1). dir., nin bir altgrubudur. Her ve için 0+. olduğundan., dolayısıyla dir. N, M nin bir altmodülüdür. Teorem 2.2.5: bir -modül olsun., ve, modülünün alt modülleri ve olsun. Bu durumda dir. + ( ) =( + ) İspat: + ( ) + ve olduğundan, + ( ) + dir. + ( ) ( + ) bulunur. Tersine, ( + ) alalım. = + olacak şekilde bir y ve bir bulunabilir. K ve olduğundan, = bulunur. = + +( ) olur. ( + ) + ( ) elde edilir. O halde, + ( ) =( + ) dir. Tanım 2.2.6: R bir halka, M bir R-modül ve N de M nin bir alt modülü olsun. Rx M N M N skaler çarpımını (, + ) + ile tanımlayarak, toplamsal bölüm grubu, bir R-modül yapılabilir. ye bölüm modülü denir. Tanım 2.2.7: M ve N, R halkası üzerinde iki sağ R-modül olmak üzere ϕ:m N fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlıyorsa ϕ dönüşümüne M den N ye bir sağ R- modül homomorfizmi denir. 7

15 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER i) Her m₁,m₂ M için ϕ(m₁+m₂)=ϕ(m₁)+ϕ(m₂) ii) Her m M ve r R ϕ(m r)=ϕ(m) r Eğer ϕ homomorfizmi birebir ise ϕ ye monomorfizm denir. Eğer ϕ homomorfizmi örten ise ϕ ye epimorfizm denir. Eğer ϕ homomorfizmi birebir ve örten ise ϕ ye izomorfizm denir ve M N olarak gösterilir. Tanım 2.2.8: ϕ : bir modül homomorfizmi olmak üzere Ç ϕ = {m M: ϕ(m) =0} kümesine ϕ nin çekirdeği denir. Tanım 2.2.9: ϕ : bir modül homomorfizmi olmak üzere ö ϕ = ϕ(m) = {ϕ(m): m M} kümesine ϕ nin görüntü kümesi denir. Teorem (1.İzomorfizm Teoremi): ve iki modül ve : bir modül homomorfizmi olsun. Çek, M nin bir alt modülüdür ve /Ç ( ) dir. İspat: Ç ={ : ( ) =0 } olmak üzere Ç nin, nin bir alt modül olduğunu göstermeliyiz., Ç için ( ) = 0 ve ( ) = 0 dır. bir modülü olduğundan ( ) = ( ) ( ) =0 0=0 ve böylece Ç dir., Ç ve ( ) =0 olmak üzere 8

16 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (. ) = ( ). =0. =0 dır. Ç, nin alt modülüdür. Ϝ: /Ç ö fonksiyonunu her için Ϝ( +Ç )= ( ) şeklinde tanımlayalım. Ϝ nin modül homomorfizmi olduğunu gösterelim. ₁, ₂ ve için Ϝ( ₁ +Ç + ₂ +Ç )= Ϝ( ₁+ ₂+Ç ) = ( ₁+ ₂) = ( ₁)+ ( ₂) = Ϝ( ₁ +Ç )+Ϝ( ₂+Ç ) Ϝ(( ₁ +Ç ) ) =Ϝ( ₁. +Ç )= ( ₁. )= ( ₁)=Ϝ( ₁+Ç ). Ϝ, modül homomorfizmidir. Ϝ nin birebir olduğunu gösterelim. Ϝ( ₁ +Ç )=Ϝ( ₂+Ç ) olsun. ( ₁) = ( ₂) ve ( ₁ ₂) =0 ise ₁ ₂ Ç olup Ϝ,1 1 dir. ₁ +Ç = ₂ +Ç Ϝ nin örten olduğunu gösterelim. Her ö için = ( ) = Ϝ( +Ç ) olacak şekilde m + Çekf M Çekf vardır., örtendir, izomorfizmdir. dir. Ç ö 9

17 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Teorem (2.İzomorfizm Teoremi): + ={ +, } verilsin., + nin bir alt modülü ve, nın bir alt modülüdür. Bu durumda + dir. İspat: nin + nin alt modülü ve nin de nın alt modülü olduğu kolaylıkla gösterilebilir. : dönüşümünü ya kısıtlayarak / dönüşümünü ( ) = + şeklinde tanımlayalım. ₁, ₂ olsun. nin modül homomorfizmi olduğunu gösterelim. ( ₁ + ₂) = ₁+ ₂ + = ₁+ + ₂ + = ₁ + + ( ₂ + ) = ( ₁)+ ( ₂), modül homomorfizmidir. Ç ={ : ( ) = }={ : + = }={ : }= ö ={ ( ): } ={ + : ={ + + :, } = + / Birinci izomorfizm teoreminden /Ç ö dir. / + / 10

18 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Teorem (3.İzomorfizm Teoremi): bir -modül; olmak üzere, nin alt modülleri olsun. dir. İspat: Ψ : dönüşümünü ( + ) = + şeklinde tanımlayalım. Ψ dönüşümün iyi tanımlı olduğunu göstermeliyiz., M için +A = +A olsun. - B ve +B = +B dir. Ψ, iyi tanımlıdır. Ψ, dönüşümünün modül homomorfizmi olduğunu gösterelim., M ve r R için Ψ( +A+r( +A))= Ψ( +A+r +A =Ψ( +r +A) = + +B = +B+r( +B) = Ψ( +A)+r Ψ ( +A) 1.izomorfizm teoreminden ç Ψ Gör Ψ dir. Çek Ψ={ m+a: Ψ(m+A)=B } ={ m+a: m+b=b } ={ m+a: m B }=B/A Gör Ψ= {Ψ(m+A): m+a }={m+a: m+b=b}={m+b: m B}= olduğundan dir. 11

19 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım : ve iki -modül olmak üzere den olan tüm homomorfizmlerin kümesi (, ) = {ϕ ϕ:m N,R modül homomor izmi} olarak tanımlanır. Önerme :, (, ) olsun. + fonksiyonu her için ( + )( ) = ( ) + ( ) şeklinde tanımlarsak bu toplama ile (, ) bir abelyen grup olur. R değişmeli halka olsun., (, ) için yi her için (, ) (, ) ( )( ) = ( ) olarak tanımlarsak (, ) bir -modül olur. İspat: ) (, ) abelyan bir gruptur. 1) Her ve, (, ) için ( + )( ) (, ) olduğundan kapalıdır. 2) Her ve, (, ) için ( + ) + h ( ) = ( + )( ) + h( ) = ( ) + ( ) + h( ) = ( ) + ( + h)( ) = + ( + h) ( ) olduğundan birleşmelidir. 12

20 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 3) Her ve (, ) için (f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x) olacak şekilde 0( ) (, ) birim eleman vardır. 4) Her ve (, ) için (f+(-f))(x)=f(x)-f(x)=0(x) olacak şekilde ( f) (, ) ters elemanı vardır. 5) Her ve, (, ) için ( + )( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( + )( ) olduğundan değişmelidir. ii) Her, (, ) için ( + )( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) =( )( ) +( )( ) iii) Her, (, ) için ( + ) ( ) = ( )+ ( ) =( )( ) +( )( ) iv) Her, (, ) için ( ) ( ) = ( ( )) = (( )( )) = ( ( ))( ) (, ) bir -modüldür. Tanım : bir -modülü ve bir alt küme olsun. X kümesini kapsayan, tüm alt modüllerin arakesitine in ürettiği alt modül denir ve < > ile gösterilir. Yani; < >= { } dir. < >, alt kümesini kapsayan en küçük -alt modülüdür. kümesine üreteç kümesi denir. 13

21 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tanım : bir -modülü ve bir alt küme olsun. sonlu bir alt küme olmak üzere, M=< > ise ye sonlu üretilmiş modül denir. Önerme : sonlu üretilmiş ise bölüm modülü de sonlu üretilmiştir. İspat:, {,, } tarafından üretilmiş olsun., nin altmodülü olmak üzere bölüm modülünü alalım. = { + } dir. Her için = + + şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla her + için + = = = ( + )+ ( + )+ + ( + ) şeklindedir. Dolayısıyla her +, { +, +,, + } sonlu kümesi tarafından üretilir Serbest Modüller Tanım 2.3.1: Eğer herhangi bir sağ -modül ve. =0 (, ) olacak şekildeki =0 ise nin alt kümesi -bağımsızdır denir. Tanım 2.3.2: bir -modül olsun. nin bağımsız bir üreteç kümesi varsa bir serbest -modüldür. 14

22 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Örnek 2.3.3: Her vektör uzayı bir serbest modüldür. Çünkü her vektör uzayının bir baz vardır. Örnek 2.3.4: Her {1 } alınabilir. halkası kendi üzerinde bir serbest modüldür. Taban olarak Teorem 2.3.5: bir halka, bir sağ -modül ve = {,.., } nin alt kümesi olsun. Aşağıdakiler birbirine denktir. (i), -modülünün bir bazıdır. (ii),, olmak üzere = + + olacak şekilde deki {,, } katsayıların kümesi tektir. İspat: (i) (ii), nin bir bazı olsun.,, ve olmak üzere = + + şeklinde yazabiliriz. Bu yazılışın tek türlü olmadığını kabul edelim. Bazı,, için = + + olsun. = + + = + + olmak üzere ifadeler eşitliğin bir tarafında toplanırsa 0=( ) + +( ) elde edilir. Böylece tüm ler için = olmak üzere {,, } katsayıların kümesi tektir. (ii) (i),, olmak üzere = + + olacak şekilde deki {,, } katsayıların kümesi tek ise nın yi ürettiği 15

23 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER açıktır. nin lineer bağımsız olduğunu göstermeliyiz. Kabul edelim ki bazı,, katsayıları için 0= + + olsun. Ayrıca 0= olacağından ve katsayıların tekliğinden her için =0. O halde lineer bağımsızdır. Teorem 2.3.6: bir halka ve bir sol modül olsun. : tüm -modül izomorfizmlerinin kümesi ile nin tüm = {,, } bazların kümesi arasında birebir olan bir dönüşüm vardır. Bu dönüşüm altında izomorfizmi nın,, standart bazını ( ),, ( ) bazına dönüştürür. Özel olarak, bir -modüldür ancak ve ancak bazı lar için dır. İspat: = {,, } olmak üzere =1,, için : = olacak şekilde bir dönüşüm verilsin. bir baz olduğunu göstermek için lineer bağımsız olduğunu ve yi ürettiğini göstermeliyiz. olmak üzere bazı için = ( ) dir. Böylece örtendir. Bazı,, için = + + dır ve = ( ) = ( ) + + ( ) = ( ) + + ( ) = + + olduğundan nın yi ürettiğini görülür. Eğer 0= + + ise ( + + ) =0 dır. birebir olduğundan da 0= + + ve = = =0 dır. 16

24 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Tersine, bazı verilsin. Teorem den deki her elemanı = + olacak şekilde tek türlü yazılabilir. : ( + + )= + + ve : ( + + ) = + + dönüşümlerini tanımlayalım., -modül homomorfizmidir., birbirinin tersi olduğu aşikardır. (, 1998, ) den bir izomorfizmdir. dan dolayı dönüşüm birebir ve örtendir. herbirini tek şekilde belirler. Sonuç 2.3.7: R[X] polinomlar halkası bir serbest R-modül ve dir. R[X] R ( ), n N Tanım 2.3.8: Eğer serbest, -modüllerin tüm bazlarının eleman sayısı aynı ise ye değişmez baz sayılı halka denir. Bu sayı nin rankı olarak adlandırılır ve r( ) ile gösterilir. Böylece rank, serbest modüller için tanımlanır fakat bunun nasıl genelleştirileceğini daha sonra göstereceğiz. 17

25 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.4. Modüllerin İç Direkt Toplamı ve Tensör Çarpımı Tanım2.4.1 ve birimli halka, değişmeli bir grup olsun. bir sağ -modül ve bir sol -modül iken her,, için ( ) = ( ) oluyorsa ye (, ) bimodül denir. Özel olarak, hem sağ -modül hem de sol -modül iken = ise ye (, ) bimodül kısaca bimodül denir. Örnek 2.4.2: Her halka kendi üzerine sağ ve sol modül yapılabilir. Dolayısıyla değişmeli bir halka olmak üzere bir bimodüldür. Tanım 2.4.3: bir -modül olsun. { } ailesi;, -alt modüllerinin bir ailesi olsun. Her elemanı, olmak üzere sonlu toplam olarak =. şeklinde yazılabilir. Bu yazılış tek türlü ise, { } alt modüllerinin iç direkt toplamı denir ve ile gösterilir. = Tanım 2.4.4: { } bir R-modüller ailesi olsun. Bu ailenin direkt çarpımı ={ f:i M, f( ) M, her I} dır. bir R-modüldür. f, g, r ve olmak üzere 18

26 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER ( + )( ) = ( ) + ( ) (. )( ) =. ( ) işlemleriyle bir R-modül olur. ya Eğer I sonlu ise = dır. ların direk çarpımı denir. Tanım 2.4.5: bir sağ -modül ve de bir sol -modül olsun. herhangi bir abelyan grup ve : bir fonksiyon olsun. Eğer,, ;,, ; için ( +, ) = (, ) + (, ) (, + ) = (, ) + (, ) (, ) = (, ) oluyorsa ye -dengeli bilineer fonksiyon denir. Tanım 2.4.6: herhangi bir küme ise üzerindeki serbest abelyen grup Z- modül olarak ( ) ile gösterilsin. ( ) =., Z, ı ç 0 bir sağ -modül, bir sol -modül olsun. = ( ), üzerinde serbest abelyen gruptur. = (, )(, ):,, ı (, ) 0, (, ) Z nin içinde,, ;,, ; için ( +, ) (, ) (, ) (, + ) (, ) (, ) (, ) (, ) 19

27 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER şeklindeki elemanların doğurduğu alt grup ise grubu ile gösterilir. Bu gruba ve nin tensör çarpımı denir., ise sembolü ile (, ) + kosetini göstereceğiz Noetherian Modül ve Ore Koşulu Tanım 2.5.1: bir halka ve bir -modül olsun. nin alt modüllerinin her artan zinciri sonlu adımda duruyorsa ye Noetherian modül denir. Önerme 2.5.2: bir halka ve bir -modülü olsun. Noetherian modül ise nin her alt modülü sonlu üretilmiştir. İspat:, nin herhangi bir alt modülü olsun. sonlu üretilmiş olmasın. ( ) olacak şekilde bir, (, ) olacak şekilde ( vardır. Bu şekilde devam ederek, bir ) (,,, ) bulunabilir. Böylece M nin alt modüllerinin ( ) (, ) (,,, ) olacak şekildeki sonsuz bir zinciri elde edilir. Bu ise çelişki oluşturur. O halde N sonlu üretilmiştir. Tanım 2.5.3: bir tamlık bölgesi olsun., 0 ve, olmak üzere 0 koşulu sağlanıyorsa ye sağ Ore bölgesi denir. 20

28 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.6. Kısa Tam Dizi, Projektif ve Injektij Modül Tanım 2.6.1: R-modüllerin bir dizisi ve bunlar arasında da R-homomorfizmleri verilsin. Eğer her 0 için, Im =Ç ise bu diziye tam dizi denir. Eğer belli bir yerden sonra modüller hep sıfırsa, 0 veya belli bir yerden önce modüller hep sıfırsa, 0 ile gösterilir. Özel olarak, 0 0 şeklinde tam diziye de bir kısa tam dizi denir. Önerme 2.6.2: R bir halka, M ve N iki R-modül olsun (i) : ve :, R-homomorfizmleri için =1 ise örten, birebir ve =Ç dir. (ii) 0, -monomorfizmi için, =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi bulunabilmesi için gerek ve yeter koşul nin, M nin bir direkt toplamında bir terim olmasıdır. 21

29 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (iii) 0, -epimorfizmi için, = 1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi bulunabilmesi için gerek ve yeter koşul Ç nin, M nin bir direkt toplamında bir terim olmasıdır. Bu takdirde =Ç ise, Ç olduğundan, de nin direkt toplamında bir terimdir. İspat: (i) : ve :, -monomorfizmi için, =1 ise için, ( ) = olacağından, nin örten, nin de birebir olduğu görülür. Her M için, = ( ) + ( ) dir. ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) =0 olduğundan, ( ) Ç ve ( ) olduğu göz önünde tutularak, önceki eşitlikten =Ç + olduğu görülür. Ayrıca, Ç =0 olduğunu gösterelim. Ç ise bir için, = ( ) ve ( ) =0 olduğundan, 0= ( )= ( ) = ( ) = ve = ( )=0 bulunur. Şu halde, =Ç dir. (ii): 0, -monomorfizmi için, =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi bulunabildiğini kabul edelim. 1.şıktan, bulunur. =Ç : = olacak şekilde, nin bir alt modülünün varlığını kabul edelim. Toplam, direk toplam olduğundan, her elemanı ve 22

30 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER olmak üzere, = + olacak şekilde tek türlü yazılabilir. olduğundan, bir için, = ( ) dir. Şimdi bu nin alınan elemanı için, teklikle belli olduğunu gösterelim. Gerçekten, = + ( ) =m + ( ), (m,m M,x,x ) olsa, ( ) ( ) = =0 olmasından, ( ) = ( ) ve birebir olduğundan, = elde edilir. Böylece, tek türlü = + ( ) yazılışı yardımıyla, ( ) = tanımlayarak bir : fonksiyonu bulunmuş olur. =1 olduğunu göstermek kolaydır. Böylece de bir -homomorfizmidir. (iii) : 0, -epimorfizmi için, =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi bulunabilsin. 1.şıktan, =Ç bulunur. : =Ç olacak şekilde, nin bir alt modülünün varlığını kabul edelim. h: fonksiyonunu, h( ) = ( ) ile tanımlayalım. Her elemanı için, örten olduğundan, ( ) = olacak şekilde bir vardır. elemanı, Ç ve için = + olacak şekilde tek türlü yazılabilir. Buradan, = ( ) = ( )+f( )=f( )=h( ) bulunacağından, h nın örten olduğu anlaşılır. Ayrıca, Ç h =Ç =0 olduğundan, h birebir olur. = h alırsak, : için, =1 sağlanır. örten homomorfizmi ve =1 homomorfizmi olduğundan, nin bir - homomorfizmi olduğu görülür. 23

31 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Teorem 2.6.3: R bir halka olsun. L, M ve N birer R-modül ve 0 0 bir kısa tam dizi ise aşağıdakiler birbirine denktir. (i) = 1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi vardır. (ii) =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi vardır. ( ) N dir. İspat: (i) (ii): Dizi kısa tam dizi olduğundan, Ç = dir. Önerme tenistenen elde edilir. (ii) (iii): 0, -monomorfizmi için =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi varsa, olacak şekilde nin bir alt modülünün varlığını Önerme tenbiliyoruz. Şu halde, = Ç ve olduğundan, N bulunur. (iii) (i): N olsun. Dizi kısa tam dizi olduğundan, dir. Böylece, M nin direkt toplamında bir terimdir. Önerme e göre, istenen elde edilir. Tanım 2.6.4: Teorem nın koşullarından birini sağlayan kısa tam diziye, parçalanabilir kısa tam dizi denir. 24

32 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Teorem 2.6.5: R bir halka M, N ve P de R-modüller olsun. Aşağıdakiler birbirine denktir. (i) Her 0, R-epimorfizmi için, f = 1 olacak şekilde bir :, R-homomorfizmi vardır. (ii) P, bir F serbest R-modülünde bir direkt toplam terimidir. (iii) Her 0, R - epimorfizmi ve her h : P, R homomorfizmi için h = h olacak şekilde bir h :, R- homomorfizmi vardır. İspat: (i) (ii) Her modül, bir serbest modülün homomorfik görüntüsü idi. Şu halde verilen modülü için, bir :, -epimorfizmi ve bir serbest - modülü bulunabilir. üzerine her epimorfizmi için yaptığımız kabule göre, = 1 olacak şekilde bir :, homomor izmi bulunabilir. Önerme den P, F serbest -modülünde bir direkt toplam terimi olur. (ii) (iii) olsun. Herhangi bir h:, -homomorfizmi ve 0, -epimorfizmi alalım. : = içerme fonksiyonu ve : = izdüşüm fonksiyonu için. =1 dir. F serbest modülünün bir tabanı { } olsun. Her için, örten olduğundan, ( ) = h ( ) olacak şekilde bir bulunabilir. Böylece :, ( ) = ile tanımlı bir -homomorfizmini tanımlayabiliriz. Her taban elemanı için, ( ) = ( ) = ( ) = h ( ) olduğundan, = h bulunur. Aranan h :, -homomorfizmi olarak h : alınabilir. Gerçekten, h = h = = h olur. 25

33 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (iii) (i) Her 0, -epimorfizmi için, (iii) hipotezi altında, (N=P alarak) 1 0 diyagramı değişmeli = 1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi bulunmuş olur. Tanım 2.6.6: Yukarıdaki teoremin koşullarından birini sağlayan R -modüle projektif modül denir. Sonuç 2.6.7: R bir halka ve P bir projektif -modül ise her 0 0 kısa tam dizisi parçalanabilir dizidir. Sonuç 2.6.8: Her serbest modül projektiftir. Teorem 2.6.9: R bir halka ve E bir R-modül olsun. Aşağıdakiler birbirine denktir. (i) Her 0, R-monomorfizmi için, =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi vardır. (ii) Her 0, R-monomorfizmi ve her h - homomorfizmi için h = h olacak şekilde bir h :, - homomorfizmi vardır. Bu özelliği aşağıdaki değişmeli diyagram gösterebiliriz. 26

34 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 0 h E h İspat: (i) (ii) Bir 0, monomorfizmi ve bir h: - homomorfizmi verildiğinde, h= h olacak şekilde bir h :, - homomorfizmi varlığını gösterelim. 0 E h h nin S={(h( ), ( )): } alt modülüne göre, L=( ) bölüm modülünü göz önüne alalım. ve : ( ), (0, ) + : ( ), (,0)+ ile tanımlı fonksiyonları alalım. = h olduğu açıktır. Ayrıca birebir olduğundan, de birebirdir. Çünkü, ( ) =0 olsa, 0= ( )=(,0)+ den, bir m için, (,0) = (h( ), ( )) olduğundan ( )=0, yani =0 ve h( )=y=0 elde edilir. Şu halde, monomorfizmi için, (1) den u =1 olacak şekilde bir : homomorfizmi bulabiliriz. Eğer h = alırsak istenen elde edilmiş olur. Çünkü, h = = h = h dır. 27

35 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER (ii) (i) Her 0, -monomorfizmi için, (2) kullanılarak, 0 1 E =1 olacak şekilde bir :, -homomorfizmi bulunmuş olur. Tanım : R bir halka olsun. Yukarıdaki teoremin koşullarından birini sağlayan R-modülüne injektif R-modülü denir. Sonuç : R bir halka ve E bir injektif R-modül olsun. Her 0 0 kısa tam dizisi parçalanabilir dizidir. Sonuç : Bir injektif modülün her direkt toplam terimi de injektiftir. Tanım : Her serbest modül projektif olduğundan, her modül bir projektif modülün izomorfik görüntüsü olarak yazılabilir. Böylece projektif olmak üzere her -modül için 0 0 kısa tam dizisi elde edilir. Bu ise nin takdimi olarak adlandırılır. nin diğer takdimleri aşağıdaki lemmada kıyaslanmıştır. Schanuel s Lemma : M herhangi bir M modül olsun., projektif olmak üzere M nin iki farklı takdimi 28

36 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 0 0 ve 0 0 olsun. Buna göre, dir Tek Çarpan Bölgesi Tanım 2.7.1: birim elemanlı ve değişmeli bir halka olsun. için i), sıfır veya birim değildir. ) =. ise ya ya da birimdir. koşulları sağlanıyorsa ye de indirgenemez eleman denir. Tanım 2.7.2: tamlık bölgesi olsun. Sıfır ve birim olmayan her elemanı indirgenemez elemanların bir çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa ve bu yazılış tek türlü ise ye tek çarpan bölgesi (Unique Factorization Domain) denir. Kısaca UFD ile gösterilir. 29

37 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 30

38 3.SERBEST İDEAL HALKALARI 3.SERBEST İDEAL HALKALARI Tanım 3.1.1: değişmez baz sayılı bir tamlık bölgesi olsun. nin tüm sağ idealleri serbest -modül ise ye sağ serbest ideal halkası (free ideal ring) denir. nin tüm sol idealleri serbest -modül ise ye sol serbest ideal halkası (free ideal ring) denir. Hem sağ hem de sol serbest ideal halkası kısaca fir olarak yazılır. Tanım 3.1.2: değişmez baz sayılı bir tamlık bölgesi olsun. nin sonlu üretilmiş tüm sağ idealleri serbest ise ye lokal serbest ideal halkası denir. Tüm sonlu üretilmiş alt modülleri serbest olan modüle lokal serbest modül denir. Bir serbest modül lokal serbest olmak zorunda değildir. Bunun olabilmesi için bir kriter verelim. Teorem 3.1.3: Serbest zorunda değildir. (Leavitt, W.G., 1956) -modüllerin farklı bazları, aynı sayıda eleman içermek Önerme 3.1.4: bir halka olsun. Serbest -modüller lokal serbesttir., sağ - modül olarak lokal serbesttir. İspat: (: ) Eğer tüm -modüller lokal serbest ise serbest olan local serbesttir. ( :) Kabul edelim ki lokal serbest olsun. bir serbest -modül ve, nin sonlu üretilmiş alt modülü olsun. nin sonlu üreteç kümesi, nin bazından sadece sonlu çoklukta üreteç içerir. Kalan baz elemanlarını, yı etkilemeksizin "0" ile eşleyelim. Böylece, elemanlarının kümesi tarafından sonlu üretilmiş alınabilir. üzerinde tümevarım kullanalım. Verilen bazın ilk 1 elemanı tarafından üretilen nin alt modülü 1 serbest üreteç üzerinde serbesttir ve / dir. = alınırsa / + / / 31

39 3.SERBEST İDEAL HALKALARI olur. sonlu üretilmiş olduğundan / de sonlu üretilmiştir. Böylece + /, / nün sonlu üretilmiş bir alt modülüdür. / altmodüllü, sağ ideallerdir. lokal serbest olduğundan nin alt modülleri de serbest olmak zorundadır. Böylece / serbesttir. ", nin bir serbest alt modülü olmak üzere = " (1) elde edilir. Burada / " yine sonlu üretilmiş ve nün alt modülüdür. Tümevarım hipotezinden serbesttir ve (1) den dolayı serbesttir. bir lokal serbest ideal halkası ise üzerinde tüm serbest modüller lokal serbesttir. Bir fir üzerinde bir serbest modülün her alt modülünün serbest olduğu daha genel bir şekilde gösterilebilir.(cohn, Paul, 1959, Teorem 1.5.3) Bu tanımlamaların bir sonucu olarak aşağıdaki önermeyi verelim: Önerme 3.1.5:, lokal fir üzerinde herhangi bir modül olsun., elemenlı sonlu bir üreteç kümesine sahip olsun. ( ) dir, üzerinde serbesttir. (2) Bunların hepsi özellikle fir üzerindeki modüllerde sağlanır. Fakat fir olmak üzere üzerindeki sonlu üretilmiş modüllerin alt modülleri sonlu üretilmiş olmak zorunda değildir. Bu durum ancak, sağ Noetherian iken sağlanır. Şimdi Noetherian fir lerin bir karakterizasyonunu verelim. Teorem 3.1.6:, herhangi bir fir olsun. Buna göre aşağıdakiler birbirine denktir: (i), esas sağ ideal bölgesidir. (ii), sağ Noetheriandır. (iii) Her, ve, 0 için 0 (3) olacak şekilde, Ore sağ çarpım koşulu sağlanır. 32

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

Soyut Cebir. Prof. Dr. Dursun TAŞCI

Soyut Cebir. Prof. Dr. Dursun TAŞCI Soyut Cebir Prof. Dr. Dursun TAŞCI Ankara 2007 674 ÖNSÖZ Bu kitap; Selçuk Üniversitesi ve Gazi Üniversitesinde uzun yıllar okutmuş olduğum Soyut Cebir ve Cebire Giriş ders notlarının düzenlenmesi ve daha

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ YARIGRUPLARIN OTOMORFİZMLERİ VE TAKDİMLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2012 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YARIGRUPLARIN

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 (1-7) AKU J. Sci. Eng. 13 (2013) 011301 (1-7)

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:

Detaylı

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016 11. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 23, 2016 1 Önceki Ders Üzerine Bazı Notlar Wikipedia dan Killing ile ilgili bir alıntıyla başlayalım. "1880 civarında, Killing Sophus Lie den bağımsız olarak Lie cebirlerini

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı Meral SÜER * ve Sedat İLHAN * Batman Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,7060 Batman, Türkiye Dicle Üniversitesi,

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon.

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon. 12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

Lisans. Cebirsel Yapı

Lisans. Cebirsel Yapı Lisans Ayrık Matematik Cebirsel Yapılar H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2012 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c 2001-2012

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA

İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA BEYKENT ÜNİVERSİTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ Sayı 7(1) 2014, 25-36 İKİ İDEMPOTENT MATRİSİN BAZI KOMBİNASYONLARININ GRUP TERSİNİ BULAN BİR ALGORİTMA Tuğba PİŞTOFOGLU (tugbapistofoglu@gmail.com)

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İKİ KOMPLEKSLER ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLER YÜKSEK LİSANS TEZİ HÜSEYİN BALCI BALIKESİR, ARALIK - 2015 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

Boole Cebri. (Boolean Algebra)

Boole Cebri. (Boolean Algebra) Boole Cebri (Boolean Algebra) 3 temel işlem bulunmaktadır: Boole Cebri İşlemleri İşlem: VE (AND) VEYA (OR) TÜMLEME (NOT) İfadesi: xy, x y x + y x Doğruluk tablosu: x y xy 0 0 0 x y x+y 0 0 0 x x 0 1 0

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

Contents. Bu notlar Feza Gürsey Enstitüsü nde düzenlenen Grup/Temsil kuramından kesitler başlıklı programda verdiğim dersin notlarıdır.

Contents. Bu notlar Feza Gürsey Enstitüsü nde düzenlenen Grup/Temsil kuramından kesitler başlıklı programda verdiğim dersin notlarıdır. İKILI KÜME İZLEÇLERINE GIRIŞ OLCAY COŞKN Contents 1. Giriş 1 2. İkili Kümeler 1 3. İkili Küme İzleçleri: Tanım 4 4. Örnekler 5 5. Basit ikili küme izleçlerinin sınıflandırılması 6 References 7 1. Giriş

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ

BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ Elektron spini için dalga fonksiyonlarını tanımlamak biraz kullanışsız görünüyor. Çünkü elektron, 3B uzayda dönmek yerine sadece kendi berlirlediği bir rotada dönüyor. Elektron

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010)

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

3 Altuzaylar, altuzaylar için toplama ve direkt toplama 4 Span, lineer bağımsızlık, taban

3 Altuzaylar, altuzaylar için toplama ve direkt toplama 4 Span, lineer bağımsızlık, taban Konular Hafta İşlenen Konular 1 Karmaşık sayılar 2 Vektör uzayı tanımı, vektör uzayı özellikleri 3 Altuzaylar, altuzaylar için toplama ve direkt toplama 4 Span, lineer bağımsızlık, taban 5 Boyut, lineer

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı