Tahmin Sorunu. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 1 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

Transkript

1 İk Değşkenl Bağlanım Model Tahmn Sorunu Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometr 1 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekm 2011)

2 Açık Lsans Blgs İşbu belge, Creatve Commons Attrbuton-Non-Commercal ShareAlke 3.0 Unported (CC BY-NC-SA 3.0) lsansı altında br açık ders malzemes olarak genel kullanıma sunulmuştur. Esern lk sahbnn belrtlmes ve geçerl lsansın korunması koşulu le özgürce kullanılablr, çoğaltılablr ve değştrleblr. Creatve Commons örgütü ve CC-BY-NC-SA lsansı le lgl ayrıntılı blg adresnde bulunmaktadır. Ekonometr ders notlarımın güncel sürümüne adresnden ulaşablrsnz. A. Talha Yalta TOBB Ekonom ve Teknoloj Ünverstes Ekm 2011

3 Ders Planı 1 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem 2 SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem 3

4 Ders Planı Sıradan En Küçük Kareler Yöntem 1 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem 2 SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem 3

5 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Bağlanım çözümlemesnde amaç, örneklem bağlanım şlev (ÖBİ) temel alınarak anakütle bağlanım şlevnn (ABİ) olabldğnce doğru bçmde tahmn edlmesdr. Bunun çn kullanılan en yaygın yol sıradan en küçük kareler (ordnary least squares), kısaca SEK (OLS) yöntemdr. SEK yöntemnn 1794 yılında Alman matematkç Carl Fredrch Gauss tarafından bulunduğu kabul edlr.

6 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem SEK yöntemn anlamak çn k değşkenl ABİ y anımsayalım: Y = β 1 + β 2 X + u ABİ gözlenemedğnden ÖBİ kullanılarak tahmn edlr: Y = ˆβ 1 + ˆβ 2 X + û = Ŷ + û ÖBİ nn kendsn bulmak çn se kalıntılar (resduals), dğer br deyşle hata term kullanılır: û = Y Ŷ = Y ˆβ 1 ˆβ 2 X

7 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Elmzde n tane X ve Y varken, ÖBİ y gözlenen Y lere olabldğnce yakın bçmde belrlemek styoruz. Bunun çn şu ölçüt benmseneblr: mn ( ( (Y ) û ) = mn Ŷ) Ancak bu durumda artı ve eks değerl hatalar büyük ölçüde brbrlern etksz hale getrecektr. Ayrıca burada ÖBİ ye ne kadar yakın ya da uzak olursa olsun tüm kalıntılar eşt önem taşımaktadır. Öyleyse, ÖBİ y kalıntılar toplamı en küçük olacak şeklde seçmek y br ölçüt değldr.

8 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Herhang br ver set çn farklı ˆβ 1 ve ˆβ 2 değerler farklı û ve dolayısıyla da farklı û 2 toplamları verr. Ancak hatalar toplamı û her zaman sıfır çıkar. Örnek olarak, varsayımsal br ver set çn aşağıdak k ÖBİ y ele alalım: Ŷ 1 = 1, ,357X Ŷ 2 = 3, ,000X Y X Ŷ 1 û 1 û 2 1 Ŷ 2 û 2 û ,929 1,071 1, ,000-2,000 4, ,357-1,357 1, ,714 2,286 5, Toplam ,

9 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem VARSAYIMSAL ÖRNEK 14 Y = 1,57 + 1,36X Y X

10 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Artı ve eks değerler alablen kalıntıların toplamının küçük çıkma sorunundan kurtulmak çn en küçük kareler ölçütü kullanılır: En Küçük Kareler Ölçütü ( ) ( 2 (Y ) mn û = mn Ŷ) 2 ( (Y ) = mn ˆβ 1 ˆβ 2 X ) 2 Yukarıdak göstermn ˆβ 1 ve ˆβ 2 tahmnclerne dayanan br matematksel şlev olduğuna dkkat ednz.

11 Normal Denklemler SEK, kalıntı kareler toplamını enazlamak (mnmze) çn, ÖBİ değştrgelern hesaplamada bast br enyleme (optmzaton) yöntemnden yararlanır. (Y ˆβ 1 ˆβ 2 X ) 2 termnn ˆβ 1 ve ˆβ 2 ya göre kısm türevlern alalım: Y = n ˆβ 1 + ˆβ 2 X Y X = ˆβ 1 X + ˆβ 2 X 2 Burada n örneklem büyüklüğüdür. Yukarıdak denklemler normal denklemler (normal equatons) olarak adlandırılırlar.

12 Normal Denklemler ˆβ 1 ve ˆβ 2 değştrgeler, normal denklemlern eşanlı olarak çözülmes le bulunur: ˆβ 2 = n P X Y P X P Y n P X 2 ( P X ) 2 ˆβ 1 = P P X 2 Y P P X X Y n P X 2 ( P X ) 2 = P x y P x 2 = Ȳ ˆβ 2 X X ve Ȳ termler X le Y nn örneklem ortalamalarıdır. Küçük harfler se ortalamadan sapma (devaton from the mean) olarak kullanılmıştır: x = (X X) y = (Y Ȳ )

13 SEK Bağlanım Doğrusunun Özellkler İkl bağlanım SEK tahmncler ˆβ 1 ve ˆβ 2 nın şu özellklerne dkkat edelm: Bunlar brer nokta tahmncsdrler. Gözlemleneblen örneklem değerler (X ve Y ) cnsnden gösterlr ve dolayısıyla kolayca hesaplanablrler. Örneklem verler kullanılarak ˆβ 1 ve ˆβ 2 hesaplandıktan sonra, örneklem bağlanım doğrusu da kolayca çzleblr.

14 SEK Bağlanım Doğrusunun Özellkler SEK yöntem le bulunan örneklem bağlanım doğrusu aşağıda verlen özellkler taşır: 1 Örneklem bağlanım doğrusu, X ve Y nn örneklem ortalamalarından geçer. (Ȳ = ˆβ 1 + ˆβ 2 X ) 2 û kalıntılarının ortalaması sıfırdır. ( û = 0) 3 û kalıntıları tahmn edlen Y lerle lşkszdr. ( û Ŷ = 0) 4 û kalıntıları X lerle lşkszdr. ( û X = 0) 5 Tahmn edlen Ŷ ların ortalaması, gözlemlenen Y değerlernn ortalamasına eşttr. Bu ÖBİ den görüleblr: Ŷ = ˆβ 1 + ˆβ 2 X = (Ȳ ˆβ 2 X) + ˆβ 2 X = Ȳ + ˆβ 2 (X X) Son satırın her k yanı örneklem üzernden toplanıp n ye bölünürse, Ŷ = Ȳ olarak bulunablr.

15 ÖBİ nn Sapma Bçmnde Gösterm ÖBİ nn sapma bçm (devaton form) göstermn bulmak çn Y = ˆβ 1 + ˆβ 2 X + û şlevnn her k yanını toplayalım: Y = n ˆβ 1 + ˆβ 2 X + û = n ˆβ 1 + ˆβ 2 X ( û = 0 olduğu çn) Daha sonra bu denklemn her k yanını n ye bölelm: Ȳ = ˆβ 1 + ˆβ 2 X Yukarıdak eştlk, örneklem bağlanımı doğrusunun X ve Y nn örneklem ortalamalarından geçtğn göstermektedr. Son olarak yukarıdak eştlğ lk eştlkten çıkaralım: Y Ȳ = ˆβ 2 (X X) + û y = ˆβ 2 x + û Sapma göstermnde ˆβ 1 nın bulunmadığına dkkat ednz.

16 Gauss - Markov Kanıtsavı Klask Doğrusal Bağlanım Model (KDBM) varsayımları geçerl ken, en küçük kareler yöntem le elde edlen tahmnler arzulanan bazı özellkler taşırlar. Gauss - Markov kanıtsavına göre ˆβ SEK tahmnclerne En y Doğrusal Yansız Tahmnc (Best Lnear Unbased Estmator), kısaca EDYT (BLUE) adı verlr.

17 Gauss - Markov Kanıtsavı EDYT olan ˆβ şu üç arzulanan özellğ taşır: 1 Doğrusaldır. Dğer br deyşle bağlanım modelndek Y bağımlı değşkennn doğrusal br şlevdr. 2 Yansızdır. Beklenen değer E( ˆβ), anakütleye at gerçek β değerne eşttr. 3 Tüm doğrusal ve yansız tahmncler çnde enaz varyanslı olandır. Kısaca en y ya da etkn (effcent) tahmncdr. Gauss - Markov kanıtsavı hem kuramsal olarak hem de uygulamada önemldr.

18 SEK Tahmnclernn Doğrusallık Özellğ SEK tahmnclernn doğrusallık (lnearty) arzulanan özellğn göstereblmek çn ˆβ 2 formülünü şöyle yazalım: x y x (Y ˆβ 2 = = Ȳ ) x Y = Ȳ x x Y = x 2 x 2 x 2 x 2 Bu bastçe şu şeklde de gösterleblr: x Y = k x 2 Y, k = x ( x 2 ) x değerler olasılıksal olmadığına göre k ler de gerçekte Y lern önüne gelen brer ağırlık (weght) katsayısıdırlar. ˆβ 2 bu durumda Y lern doğrusal br şlevdr. Bastçe ˆβ 2 nın Y lern br ağırlıklı ortalaması olduğu da söyleneblr. ˆβ 1 nın doğrusal olduğu da benzer bçmde kanıtlanablr.

19 SEK Tahmnclernn Yansızlık Özellğ SEK tahmnclernn yansızlık (unbasedness) arzulanan özellğn göstereblmek çn ağırlık term k nn şu beş özellğ önemldr: 1 X ler olasılıksal olmadığından k ler de olasılıksal değldr. 2 k = 0 dır. ( x = 0 olduğu çn) 3 k 2 = x 2 / (x 2 ) 2 = 1/ x 2 olur. 4 k x = x 2 / x 2 = 1 dr. 5 k x = k X olur. ( k x = k (X X) = k X X k olduğu çn) Dkkat: Tüm bu özellkler k nn tanımından türetleblmektedr.

20 SEK Tahmnclernn Yansızlık Özellğ ˆβ 2 nın yansız olduğunu kanıtlamak çn Y = β 1 + β 2 X + u bçmndek ABİ y ˆβ 2 formülünde yerne koyalım: ˆβ 2 = k Y = k (β 1 + β 2 X + u ) = β 1 k + β 2 k X + k u = β 2 + k u Yukarıdak son adımda k nn az önce sözü edlen knc, dördüncü ve beşnc özellklernden yararlanılmıştır. β 2 ve k nn olasılıksal olmadığını ve E(u ) = 0 varsayımını anımsayalım ve her k yanın beklenen değern alalım: E( ˆβ 2 ) = E(β 2 ) + k E(u ) = β 2 E( ˆβ 2 ) = β 2 olduğuna göre ˆβ 2 yansız br tahmncdr.

21 SEK Tahmnclernn Enaz Varyanslılık Özellğ SEK tahmnclernn enaz varyans (mnmum varance) arzulanan özellğn göstereblmek çn se β 2 nn en küçük kareler tahmncsnden yola çıkalım: ˆβ 2 = k Y Şmd β 2 çn başka br doğrusal tahmnc tanımlayalım: β 2 = w Y Buradak ( ) şaret dalga (tlde) dye okunur. w ler de brer ağırlıktır ama w = k olmak zorunda değldr: β 2 nın yansız olablmes çn gerekl koşullara br bakalım: E( β 2 ) = w E(Y ) = w (β 1 + β 2 X ) = β 1 w + β 2 w X Buna göre, β 2 nın yansız olablmes çn şunlar gerekldr: w = 0, w x = w X = 1 (... devam)

22 SEK Tahmnclernn Enaz Varyanslılık Özellğ var( ˆβ 2 ) var( β 2 ) savını kanıtlamak styoruz. Bunun çn şmd β 2 nın varyansını ele alalım: var( β 2 ) = var( X w Y ) = X w 2 var(y ) [Dkkat: var(y ) = var(u ) = σ 2 ] = σ 2 X w 2 = σ X 2 w x P + x P x 2 x 2 = σ X 2 w x P x 2 [Dkkat: cov(y, Y j ) = 0, ( j)]! 2! 2 + σ X 2 x P x 2 = σ X! 2 w x 2 P + σ 2 1 P x 2 x 2!! 2 + 2σ X! 2 w x P x 2 (... devam)! x P x 2

23 SEK Tahmnclernn Enaz Varyans Özellğ Son satırda bulmuş olduğumuz şey şudur: var( β 2 ) = σ 2 ( w x P x 2 ) 2 + σ 2 ( ) P 1 x 2 Yukarıda en sağdak term w den bağımsızdır. Öyleyse var( β 2 ) yı enazlayablmek lk terme bağlıdır ve lk term sıfırlayan w değer de şudur: w = x P x 2 = k Bu durumda aşağıdak eştlk geçerldr: var( β 2 ) = P σ2 x 2 = var( ˆβ 2 ) Demek k w ağırlıkları k ağırlıklarına eşt olduğunda β 2 nın varyansı enazlanarak ˆβ 2 nın varyansına eştlenmektedr. Sonuç olarak, en küçük kareler tahmncs ˆβ 2 tüm yansız ve doğrusal tahmncler çnde enaz varyanslı tahmncdr.

24 Ekonometrk çözümlemenn amacı yalnızca β 1 ve β 2 gb değştrgeler tahmn etmek değldr. Bu değerlere lşkn çıkarsamalar yapmak da stenr. Örnek olarak, Ŷ ların gerçek E(Y X ) değerlerne ne kadar yakın olduklarını blmek önemldr. Anakütle bağlanım şlevn anımsayalım: Y = β 1 + β 2 X + u Görülüyor k Y hem X ye hem de u ye bağlıdır. Öyleyse Y, β 1 ve β 2 ye lşkn statstksel çıkarım yapmak çn X ve u nn nasıl oluşturulduğunu blmek gerekldr. Bu noktada Gaussçu Klask Doğrusal Bağlanım Model (Gaussan Classcal Lnear Regresson Model), kısaca KDBM (CLRM) 10 temel varsayım yapar.

25 Varsayım 1 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Varsayım 1 Bağlanım model değştrgelerde doğrusaldır: Y = β 1 + β 2 X + u Ancak değşkenlerde doğrusallık zorunlu değldr. Değştrgelerde doğrusallık varsayımı KDBM nn başlangıç noktasıdır.

26 Varsayım 2 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Varsayım 2 X değerler tekrarlı örneklemelerde değşmez. Bu varsayım X n olasılıksal olmadığını söyler. Buna göre X ve Y değerlernn rastsal {X,Y } çftler şeklnde elde edlmemş olduğu kabul edlr. Dğer br deyşle, gelr düzey başta örneğn 80 olarak belrlendkten sonra rastsal br ale seçldğn varsayıyoruz. Buna göre elmzdek çözümleme açıklayıcı X değşkenne göre br koşullu bağlanım çözümlemesdr. X ve Y değerlernn brlkte örnekleneblmes, bazı ek koşulların sağlanması le geçerl olur. Bu duruma se Neo-Klask Doğrusal Bağlanım Model (NKDBM) denr.

27 Varsayım 3 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Varsayım 3 u hata termnn ortalaması sıfırdır: E(u X ) = 0 Buna göre, modelde açıkça yer almayan ve dolayısıyla u çne katılmış olan etmenlern Y y kurallı br şeklde etklemedğ varsayılmaktadır. Artı değerl u ler eks değerl u ler götürmel ve böylece bunların Y üzerndek ortalama etkler sıfır olmalıdır.

28 Varsayım 4 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Varsayım 4 u hata termnn varyansı tüm gözlemler çn sabttr: var(u X ) = σ 2 Aynıserplmsellk (homoscedastcty) varsayımına göre farklı X değerlerne karşılık gelen tüm Y ler eşt önemdedr. Ters durum se farklıserplmsellk (heteroscedastcty) durumudur: var(u X 1 ) var(u 2 X 2 ) var(u n X n ). Farklıserplmsellk durumunda çeştl X değerlerne karşılık gelen Y değerlernn güvenlrlkler aynı olmaz. Bu yüzden kend ortalaması etrafında farklı sıklıkta yayılan Y ler farklı ağırlıklar vererek değerlendrmek gerekldr.

29 Aynıserplmsel Verler 1400 Y = 906, + 1,96X AYNISERPİLİMSELLİK Y X

30 Farklıserplmsel Verler Y = 118, + 7,39X FARKLISERPİLİMSELLİK Y X

31 Varsayım 5 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Varsayım 5 Hatalar arasında özlnt (autocorrelaton) yoktur. Eğer bozukluklar (dsturbances) brbrlern kurallı bçmde zlerlerse özlnt ortaya çıkar. ABİ y Y t = β 1 + β 2 X t + u t olarak kabul edelm ve u t le u t 1 de aynı yönde lşkl olsun. Bu durumda, Y t yalnızca X t ye değl u t ye de bağlı olur ve bu nedenle u t y br ölçüde u t 1 belrler. Bu sorunla karşılaşmamak çn hatalar arasında sersel lnt (seral correlaton) olmadığı varsayılır.

32 Özlntl Hatalar Sıradan En Küçük Kareler Yöntem 15 Özlntsz Özlntl ÖZİLİNTİLİ VE ÖZİLİNTİSİZ SERİ ÖRNEĞİ 10 5 Y

33 Hatalar Arası Aynı Yönlü Özlnt 100 HATALAR ARASI AYNI YÖNLÜ SERİSEL İLİNTİ 50 u(t) u(t-1)

34 Hatalar Arası Ters Yönlü Özlnt 100 HATALAR ARASI TERS YÖNLÜ SERİSEL İLİNTİ 50 u(t) u(t-1)

35 Hatalar Arası Özlntszlk 150 HATALAR ARASI SERİSEL İLİNTİSİZLİK u(t) u(t-1)

36 Varsayım 6 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Varsayım 6 Hata term u le X nn kovaryansı sıfırdır: cov(u, X ) = 0 Eğer X ve u lşklyse, ksnn de Y üzerndek tekl etklern bulmak olanaksızlaşır. Ayrıca, eğer X le u aynı yönde lşklyse, X arttıkça u da artarak farklıserplmsellk sorununa yol açar. Eğer 2. varsayım (X n rastsal olmaması) ve 3. varsayım (E(u X ) = 0) geçerlyse, 6. varsayım da kendlğnden gerçekleşmş olur.

37 Varsayım 7 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Varsayım 7 Gözlem sayısı n, tahmn edlecek anakütle katsayısından fazla olmalıdır. İk blnmeyen (β 1 ve β 2 ) bulmak çn en az k noktaya gereksnm vardır. Bu koşul çözümlemenn matematksel olarak yapılablmes çn gerekldr. Dğer yandan n serbestlk dereces açısından önemldr. Bu nedenle sağlıklı sonuçlar çn örneklemn yeternce büyük olmasının ayrıca gerekl olduğu unutulmamalıdır.

38 Varsayım 8 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Varsayım 8 Bell br örneklemdek X değerlernn heps aynı olamaz: var(x) 0 Eğer bütün X değerler aynı olursa: X = X, x = X X olduğundan P ˆβ 2 = x y P x 2 formülünün paydası sıfır çıkar. Kısaca değşkenler değşmeldr.

39 Varsayım 9 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Varsayım 9 Bağlanım model doğru bçmde belrtlmş olmalıdır. Bağlanım çözümlemes sonuçlarının güvenlrlğ, seçlen modele bağlıdır. Özellkle de br ktsad olguyu açıklayan brden fazla kuram bulunuyor se ekonometrc çok dkkatl olmalıdır. Her durumda modeln şlev bçmnn ne olduğu, değşken ve değştrgelerde doğrusal olup olmadığı konuları yce sorgulanmalıdır. Bağlanım model yanlış olduğu zaman model belrtm hatası (model specfcaton error) ortaya çıkar.

40 Model Belrtm Yanlılığı 100 Y = 6,20 + 0,777X MODEL BELİRTİM YANLILIĞI Y X

41 Varsayım 10 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem Varsayım 10 Tam çoklueşdoğrusallık (exact multcollnearty) yoktur. Tam çoklueşdoğrusallık durumunda bağlanım katsayıları belrsz ve bu katsayıların ölçünlü hataları da sonsuz olur.

42 KDBM Varsayımlarının Gerçekçlğ Ünlü ekonomst Mlton Fredman ın varsayımların yerszlğ tezne göre gerçek dışılık br üstünlüktür: Öneml olablmek çn... br önsav, varsayımlarında betmsel olarak gerçek dışı olmalıdır. Ekonometrdek KDBM nn, fyat kuramındak tam rekabet modelnn karşılığı olduğu söyleneblr. Dğer br deyşle öne sürmüş olduğumuz bu 10 varsayım gerçekler tümüyle yansıtmak çn değl, konuyu yavaş yavaş gelştreblmey kolaylaştırmak amacıyla önemldr. Bu varsayımların gerçekleşmemes durumunda doğacak sonuçları se lerdek bölümlerde nceleyeceğz.

43 Ders Planı Sıradan En Küçük Kareler Yöntem SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem 1 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem 2 SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem 3

44 SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Sıradan en küçük kareler tahmnclernn örneklem verlernn brer şlev olduğunu anımsayalım: ˆβ 2 = n P X Y P X P Y n P X 2 ( P X ) 2 ˆβ 1 = P P X 2 Y P P X X Y n P X 2 ( P X ) 2 = P x y P x 2 = Ȳ ˆβ 2 X Verler örneklemden örnekleme değşeceğ çn tahmnler de buna bağlı olarak değşecektr. Öyleyse ˆβ 1 ve ˆβ 2 tahmnclernn güvenlrlğ çn br ölçüte gereksnm vardır.

45 SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları İstatstkte rastsal br değşkenn doğruluk dereces ölçünlü hata (standard error), kısaca öh (se) le ölçülür: Ölçünlü Hata Ölçünlü hata, br tahmncye at örneklem dağılımının kend ortalamasından ortalama olarak ne kadar saptığını gösterr. Örneklem dağılımı varyansının artı değerl kare köküdür.

46 SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Başta sözü edlmş olan Gaussçu varsayımlar geçerl ken SEK tahmnclernn ölçünlü hataları aşağıdak gbdr: var( ˆβ 2 ) = σ2 P x 2 var( ˆβ 1 ) = P X 2 n P σ 2 x 2 öh( ˆβ 2 ) = σ P x 2 öh( ˆβ 1 ) = P X 2 n P x 2 σ Burada var değşrlk ya da varyansı, öh ölçünlü hatayı, σ 2 se bağlanımın sabt varyansını göstermektedr.

47 SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları u nn sabt varyansını veren σ 2 şöyle tahmn edlr: ˆσ 2 = û 2 n 2 Buradak ˆσ 2, blnmeyen σ 2 nn SEK tahmncsdr. 2 û termne kalıntı kareler toplamı (resdual sum of squares), kısaca KKT (RSS) denr ve şöyle bulunur: 2 û = y 2 ˆβ 2 2 x 2 n 2 değer se k değşkenl çözümleme çn geçerl serbestlk derecesdr.

48 Serbestlk Dereces Kavramı SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem Serbestlk Dereces Serbestlk dereces (degree of freedom), örneklemdek toplam gözlem sayısı (n) eks bunlar üzerne konulmuş olan bağımsız ve doğrusal sınırlama sayısıdır. Örnek olarak, KKT nn hesaplanablmes çn önce ˆβ 1 ve ˆβ 2 değerlernn bulunmuş olması gerekldr: û 2 = (Y ˆβ 1 ˆβ 2 X ) 2 Dolayısıyla bu k tahmnc KKT üzerne k sınırlama getrr. Bu durumda, KKT y ve dolayısıyla da ölçünlü hatayı doğru hesaplayablmek çn aslında elde n değl n 2 sayıda bağımsız gözlem vardır.

49 SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hatalarının Özellkler SEK tahmncler ˆβ 1 ve ˆβ 2 nın varyans formüllern anımsayalım: var( ˆβ 2 ) = σ2 P x 2 var( ˆβ 1 ) = P X 2 n P x 2 ˆβ 1 le ˆβ 2 tahmnclernn varyanslarının ve dolayısıyla bunların ölçünlü hatalarının şu özellkler önemldr: 1 Örneklem büyüklüğü n arttıkça x 2 toplamındak term sayısı da artar. Böylece n büyüdükçe ˆβ 1 ve ˆβ 2 nın doğruluk dereceler de artar. 2 ˆβ 1 ve ˆβ 2, verl br örneklemde brbrler le lşkl olablrler. Bu bağımlılık aralarındak kovaryans le ölçülür: cov( ˆβ 1, ˆβ 2 ) = X var( ˆβ 2 ) 3 Eğer X artı değerl se kovaryans da eks değerl olur. Bu durumda eğer β 2 katsayısı olduğundan büyük tahmn edlr se β 1 de olduğundan küçük tahmn edlmş olur. σ 2

50 Belrleme Katsayısı r 2 SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem Eldek gözlemler çoğunlukla bağlanım doğrusu üzernde yer almazlar. Artı ya da eks şaretl û hataları le karşılaşıldığına göre örneklem bağlanım doğrusunun eldek verlerle ne ölçüde örtüştüğünü gösteren br ölçüte gereksnm vardır: Belrleme Katsayısı Belrleme katsayısı (coeffcent of determnaton) ya da r 2 (çoklu bağlanımda R 2 ), örneklem bağlanım şlevnn verlere ne kadar y yakıştığını gösteren özet br ölçüttür.

51 SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem Belrleme Katsayısının Hesaplanması Belrleme katsayısını hesaplamak çn, y = ŷ + û eştlğnn k yanının kares alınır ve örneklem boyunca toplanır: y 2 = 2 ŷ + û ŷ û = 2 ŷ + 2 û = ˆβ 2 2 x û TKT = BKT + KKT Burada TKT Toplam Kareler Toplamı (Total Sum of Squares), BKT Bağlanım Kareler Toplamı (Regresson Sum of Squares), KKT Kalıntı Kareler Toplamı (Resdual Sum of Squares) anlamına gelmektedr. Yukarıdak ŷ û termnn SEK bağlanım doğrusunun 3. özellğnden dolayı sıfıra eşt olduğuna dkkat ednz.

52 SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem Belrleme Katsayısının Hesaplanması y 2 = ˆβ 2 2 x û TKT = BKT + KKT Yukarıdak eştlğn her k yanını TKT ye bölelm: 1 = BKT TKT + KKT TKT Buna göre r 2 aşağıdak gb tanımlanır: Belrleme Katsayısı r 2 = ŷ 2 y 2 = ( Ŷ Ȳ )2 BKT = (Y Ȳ )2 TKT = 1 KKT TKT

53 Belrleme Katsayısının Özellkler SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem r 2 nn k temel özellğnden söz edleblr: 1 r 2 eks değer almayan br büyüklüktür. 2 Sınırları 0 r 2 1 dr. Buna göre: Eğer r 2 = 1 olursa bu kusursuz br yakışma demektr. Bu durumda rastsal hata yoktur ve tüm gözlemler bre br bağlanım doğrusu üzernde yer almaktadır. Sıfıra eşt br r 2 se bağımlı değşkenle açıklayıcı değşken arasında hçbr lşknn olmadığı ( ˆβ 2 = 0) anlamına gelr.

54 İlnt Katsayısı Sıradan En Küçük Kareler Yöntem SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem r 2 le yakın lşkl ama kavramsal olarak çok uzak br büyüklük lnt katsayısı (coeffcent of correlaton), kısaca r dr: İlnt Katsayısı r = ± r 2 r değer, bağımlı ve açıklayıcı değşkenler arasındak doğrusal bağımlılığın br ölçüsüdür. 1 ve +1 arasında yer alır: 1 r 1. Bakışımlıdır: r XY = r YX. Sıfır noktasından ve ölçekten bağımsızdır. Herhang br neden-sonuç lşks çermez. İk değşken arasında sıfır lnt (r = 0) mutlaka bağımsızlık göstermez çünkü r yalnızca doğrusal lşky ölçer.

55 Monte Carlo Yöntem SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem KDBM varsayımları altında SEK tahmnclernn EDYT (En y Doğrusal Yansız Tahmnc) olmalarını sağlayan bazı arzulanan özellkler taşıdıklarını anımsayalım. EDYT özellklernn geçerllğ, br benzetm (smulaton) yöntem olan Monte Carlo deneyler le doğrulanablr. Bu yöntem, anakütle katsayılarını tahmn eden süreçlern statstksel özellklern ncelemede sıkça kullanılmaktadır. Monte Carlo aynı zamanda statstksel çıkarsamanın temel sayılan tekrarlı örnekleme (repeated samplng) kavramının anlaşılması çn de yararlı br araçtır.

56 Monte Carlo Yöntemnn Adımları SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem Br Monte Carlo deney aşağıdak gb yapılır: 1 Anakütle katsayıları seçlr. Örnek: β 1 = 20 ve β 2 = 0,6. 2 Br örneklem büyüklüğü seçlr. Örnek: n = Her gözlem çn br X değer belrlenr. 4 Br rastsal sayı oluşturucu kullanılarak u kalıntıları üretlr. 5 β 1, β 2, X ler ve u ler kullanılarak Y değerler bulunur. 6 Bu şeklde üretlen Y değerler X ler le bağlanıma sokulur ve ˆβ 1 ve ˆβ 2 SEK tahmncler hesaplanır. 7 İşlem tekrarlanır (örneğn 1000 kez) ve rastsallıktan dolayı her seferde değşen tahmnlern ortalamaları ( ˆβ 1, ˆβ 2 ) alınır. 8 Eğer ˆβ 1 ve ˆβ 2 değerler β 1 ve β 2 ye aşağı yukarı eşt se, deney SEK tahmnclernn yansızlığını, dğer br deyşle E( ˆβ 1 ) = β 1 ve E( ˆβ 2 ) = β 2 olduğunu saptamış sayılır.

57 Ders Planı 1 Sıradan En Küçük Kareler Yöntem 2 SEK Tahmnclernn Ölçünlü Hataları Belrleme Katsayısı r 2 Monte Carlo Yöntem 3

58 Ele almış olduğumuz bazı kavramları sayısal br örnek yardımı le gözden geçrelm. Türkye de arası toplam tüketm harcamaları ve GSYH verler şöyledr: Çzelge: Türkye de Tüketm ve GSYH ( ) Yıl C Y Yıl C Y Toplu özel nha tüketm harcamalarını (Y ), gayr saf yurtç hasıla (X) le lşklendrmek styor olalım.

59 TÜRKİYE YILLARI ARASI MİLLİ GELİR VE TÜKETİM HARCAMALARI İLİŞKİSİ 100 Y = 8,03 + 0,593X Toplu Özel Nha Tüketm Harcamaları Gayr Saf Yurtç Hasıla

60 SEK Bağlanımı gretl Çıktısı

61 SEK Bağlanım Çıktısının Yorumlanması Gretl çıktısına göre marjnal tüketm eğlm (MTE) 0,59 dur. Buna göre gelr 1 lra arttığında tüketmn de 59 kuruş artması beklenmektedr. Sabt term, toplam gelr sıfır olduğunda toplam tüketmn yaklaşık 8 mlyon lra olacağını göstermektedr. Sıfır gelrn gözlem aralığı dışında kalan ve gerçek hayatta olanaksız br değer olmasından dolayı, sabt termn böyles br mekank yorumu ktsad anlam çermemektedr. Gretl ˆβ 1, ˆβ 2 ve û çn ölçünlü hataları sırasıyla 1,85509 ve 0, ve 1, olarak hesaplamıştır. Yukarıdak değerlern kares alınarak var( ˆβ 1 ) = 3,44136 ve var( ˆβ 2 ) = 0, ve ˆσ 2 = 3,05590 varyansları da kolayca bulunablr. r 2 = 0,985 değer se bağlanım modelnn verlere gerçekç kabul edlemeyecek kadar y yakıştığını göstermektedr.

62 Önümüzdek Dersn Konusu ve Ödev Ödev Ktaptan Bölüm 3 Two-Varable Regresson Model: The Problem of Estmaton okunacak. Önümüzdek Ders Normallk Varsayımı ve Ençok Olablrlk Yöntem