Sabit Varyans. Var(u i X i ) = Var(u i ) = E(u i2 ) = s 2

Transkript

1 X Sabt Varyans Y Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = s Eşt Varyans EKKY nn varsayımlarından br anakütle regresyon fonksyonu u lern eşt varyanslı olmasıdır Her hata term varyansı bağımsız değşkenlern verlen değerlerne göre s ye eşt aynı (sabt) br değerdr Bu nedenle eşt varyansa sabt varyans da denr 1

2 Sabt Varyansta Hataların Dağılımı Tüketm y t Gelr x t

3 Sabt Varyans Durumu f(y t ) x 1 x x 3 x 4 Gelr x t 3

4 Farklı Varyans Kavramı Sabt varyans (homoscedastcty) varsayımına göre verl X açıklayıcı değşkenlerne bağlı olarak Y nn koşullu varyansı sabttr: =1,,,n de- Farklı varyans (heteroscedastcty) durumunda se ğştkçe nn koşullu varyansı da değşr: Y E(u ) s E(u ) s Farklı varyansa br örnek olarak tasarrufların varyansının gelrle brlkte artmasını vereblrz Yüksek gelrl alelern tasarrufları, düşük gelrl alelere oranla hem ortalama olarak daha çoktur hem de değşrlğ daha fazladır X 4

5 Farklı Varyans Hata Var(u X ) = Var(u ) = E(u ) = s Farklı Varyans Zaman 5

6 Farklı Varyansta Hataların Dağılımı Tüketm y t Gelr x t

7 Farklı Varyans Durumu f(y t ) Zengn breyler Yoksul breyler x 1 x x 3 Gelr x t

8 Farklı Varyansın Nedenler s Hata term varyansının değşken olma nedenlernden bazıları şunlardır: 1 Hata öğrenme (error learnng) modellerne göre breyler bazı konuları öğrendkçe daha az hata yaparlar Buna göre de nn de zamanla küçülmes beklenr Örnek olarak, blgsayarda klavye kullanma süres arttıkça hem klavye hataları hem de bunların varyansları azalır 8

9 Farklı Varyansın Nedenler Gelr düzey arttıkça gelrn harcanableceğ seçenekler de genşler Böylece, gelr düzey le brlkte hem harcamaların hem de bunların varyanslarının artması beklenr 3 Zaman çersnde ver derleme teknklernn gelşmesne koşut olarak de düşeblr s 4 Farklı varyans dışadüşen (outler) gözlemlern br sonucu olarak da ortaya çıkablrböyle gözlemlern alınması ya da bırakılması, özellkle de örneklem küçükken sonuçları öneml ölçüde değştreblr

10 Farklı Varyansın Nedenler 5 Farklı varyansın br dğer neden de model belrleme (spesfkasyon) hatasıdır Özellkle de öneml br değşkenn modelden çıkartılması farklı varyansa yol açablr 6 Farklı varyans sorunu yatay kest verlernde zaman sers verlerne oranla daha fazla görüleblmektedr Bunun neden, zaman serlernde değşkenlern zaman çersnde yakın büyüklüklerde olma eğlmdr 10

11 Farklı Varyans le Karşılaşılan Durumlar Kest Verlernde Kar dağıtım modellernde Sektör modellernde Ücret modellernde Deneme - Yanılma modellernde

12 En Küçük Kareler İle İlgl Özellkler 1 En Küçük Kareler Tahmncler doğrusal ve sapmasızdır Katsayı tahmncler etkn değldr 3 En Küçük kareler tahmnclernn standart hataları doğru değldr 4 Standart hata formuller doğru olmadığından güven aralıkları ve hpotez testler geçerl değldr

13 y t = b 1 + b x t + e t Farklı varyans durumunda: En küçük kareler varyans formulu geçerszdr: var(b ) = s S (x t - x ) Enküçük kareler varyans formulu aşağıdak gb düzeltlmeldr: var(b ) = S s t (x t - x ) [S (x t - x ) ]

14 Farklı Varyansın Belrlenmes Grafk Yöntemle Sıra Korelasyonu test le Goldfeld-Quandt test le Breusch Pagan test le Glejser Test le Whte test le Lagrange çarpanları test le Ramsey Reset test le Park test le 14

15 Grafk Yöntem

16 E Grafk Yöntem YIL

17 Grafk Yöntem

18 Sıra Korelasyonu Test 1Aşama H 0 : r = 0 H 1 : r 0 Aşama a =? sd=? 3Aşama t hes r s n 1- - r s? t tab =? Sd rs 1-6 n(n -1)? 4Aşama t hes > t tab H 0 hpotez reddedleblr 18

19 Sıra Korelasyonu Test Y X e X s e s d d Mutlak değerl olarak bulundukları yer tbaryle küçükten büyüğe sıra numarası verlr d=x-e Sd =11

20 Sıra Korelasyonu Test 1-6 Sd n(n -1) rs (10-1) 1 = 031 1Aşama H 0 : r = 0 H 1 : r 0 Aşama a = 005 sd= 8 3Aşama t hes (031) t tab = 306 = Aşama t hes < t tab H 0 hpotez reddedlemez 0

21 Goldfeld-Quandt Test Büyük örneklere uygulanan br F testdr Bu test s nn farklı varyansının bağımsız değşkenlerden br le poztf lşkl olduğunu varsayar s s X s X le poztf (aynı yönde) lşkldr ve s farklı varyansı X n kares le orantılıdır Yan X değerler arttıkça s değer de artmaktadır

22 Goldfeld-Quandt Test Y = b 1 + b X + b 3 X b k X k + u Y X s X 3 X k IAlt Örnek n 1 Çıkarılan Gözlemler Y I = b 11 + b 1 X + b 31 X b k1 X k + u Se 1 =? n(1/6) < c < n(1/3) IIAlt Örnek n Y II = b 1 + b X + b 3 X b k X k + u Se =?

23 Goldfeld-Quandt Test 1Aşama H 0 : Eşt Varyans H 1 : Farklı Varyans Aşama a =? 3Aşama 4Aşama f f Se Se Fhes 1 F hes > F tab (n - c - k) 1?? F tab =? X bağımsız değşkennn değerler küçükyen büyüğe doğru lgl Y bağımlı değşkennn değerler de taşınarak sıralanır Ortadan c kadar gözlem çıkarılır H 0 hpotez reddedleblr 3

24 Yıl Tasarruf Gelr

25 Tasarruf 1654 Gelr Gelr bağımsız değşkenne göre tasarrufu da sıralıyoruz

26 n 1 Tasarrfuf Gelr n Tasarrfuf Gelr Gelre göre sırandı Ortadan 31/4=8 veya 9 gözlem çıkarılacak İk alt grup oluşturuldu

27 S X 1 Se 1 (1894) (0015) S X (7098) (00) Se

28 f 1 =f =(n-c-k)/=9 sd de F tab =318 F test Se S e

29 Goldfeld-Quandt Test lnmaas = b 1 + b Yıl + b 3 Yıl Dependent Varable: lnmaas Included observatons: Varable Coeffcent Std Error t-statstc Prob C Yıl Yıl R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared SD dependent var SE of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc)

30 Goldfeld-Quandt Test 1alt örnek sonuçları: Dependent Varable: lnmaas Sample: 1 75 Included observatons: 75 Varable Coeffcent Std Errort-Statstc Prob C Yıl Yıl R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared SD dependent var SE of regresson Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc)

31 Goldfeld-Quandt Test Altörnek Sonuçları: Dependent Varable: lnmaas Sample: 148 Included observatons: 75 Varable Coeffcent Std Error t-statstc Prob C Yıl Yıl R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared SD dependent var SE of regresson 0496 Akake nfo crteron Sum squared resd Schwarz crteron Log lkelhood F-statstc Durbn-Watson stat Prob(F-statstc)

32 Goldfeld-Quandt Test 1Aşama Aşama H 0 : Eşt Varyans H 1 : Farklı Varyans a = 005 ( - 7-3) f f 143<F tab < Aşama Se Se Fhes 1? = Aşama F hes > F tab H 0 hpotez reddedleblr 3

33 Breusch Pagan Test Y = b 1 + b X + b 3 X b k X k +u (1) 1Aşama (1) Nolu denklem EKKY le tahmn edlp e 1 e e n örnek hata termler hesaplanır Bu e lerden hareketle e s hesaplanır n Aşama p e s 3Aşama p = a 1 + a Z + a 3 Z a m Z m +v () RBD =? 33

34 4Aşama Breusch Pagan Test p = a 1 + a Z + a 3 Z a m Z m +v () 1 (RBD) c - m 1 m: () nolu denklemdek parametre sayısı 5Aşama H 0 : a = a 3 = =a m = 0 (Eşt varyans) H 1 : En az br sıfırdan farklıdır (Farklı varyans) c c hes tab H 0 reddedlr 34

35 Breusch Pagan Test Yıllar GSMH IT et Yıllar GSMH IT et IT: İthalat IT GSMH e

36 Breusch Pagan Test 1Aşama Aşama e s n 0 p e s p p

37 Breusch Pagan Test 3Aşama p GSMH e 8691 R 0050 RBD = 459 4Aşama 1 (RBD) 95 c m 1 c - 1, Aşama H 0 : a = a 3 = =a m = 0 (Eşt varyans) H 1 : En az br sıfırdan farklıdır (Farklı varyans) c c H 0 reddedlemez hes tab 37

38 Glejser Farklı Varyans Test 1Aşama: Y le X (veya X ler) arasındak lşk tahmn edlerek, lgl örnek hata termler e ler bulunur Aşama: s le lşkl olduğu düşünülen bağımsız değşken çn aşağıdak modeller denenmektedr e a ax v e a a X v e a ax v 1 e a a v X 1 e a a v X e a a X v 38

39 Glejser Farklı Varyans Test 3Aşama: Korelasyon katsayısı ve a ların standat hata değerlerne göre en uyun model seçlp H 0 : a = 0 H 1 : a 0 test edlr 4Aşama: H 0 kabul edlrse eşt varyans gerçeklemştr sonucuna varılır 39

40 Glejser Farklı Varyans Test 1Aşama: Yıllar GSMH IT et Yıllar GSMH IT et IT: İthalat IT GSMH e

41 Glejser Farklı Varyans Test Aşama: e GSMH t (05795) (1315) prob (05694) (0058) 3Aşama: H 0 : a = 0 H 1 : a 0 4Aşama: prob = 0058 > 005 H 0 reddedlemez Eşt varyans gerçekleşmştr 41

42 Whte Test Y = b 1 + b X + b 3 X 3 + u Whte Test çn yardımcı regresyon: u = a 1 + a X + a 3 X 3 + a 4 X + a 5 X 3 + a 6 X X 3 + v R y =? Whte Test Aşamaları: 1Aşama H 0 : a = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 =0 H 1 : a lern en az br tanes anlamlıdır Aşama a =? sd= k-1 c tab=? 3Aşama W= nr y =? 4Aşama W > c tab H 0 hpotez reddedleblr 4

43 Whte Test lnmaaş = yıl yıl Whte Test çn yardımcı regresyon: e = Yıl Yıl Yıl Yıl 4 R y = Aşama H 0 : a = a 3 = a 4 = a 5 =0 ; H 1 : a lern en az br tanes anlamlıdır Aşama a = 005 sd=5-1=4 c tab= Aşama W= nr y = (00901)= 000 4Aşama W > c tab H 0 hpotez reddedleblr 43

44 Lagrange Çarpanları(LM) Test Y = b 1 + b X + b 3 X 3 + u LM test çn yardımcı regresyon: e a * b Ŷ v LM Test Aşamaları: 1Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b0 Aşama a =? sd= 1 * R y =? c tab=? 3Aşama LM= nr y =? 4Aşama LM > c tab H 0 hpotez reddedleblr 44

45 Lagrange Çarpanları(LM) Test lnmaaş = yıl yıl LM Test çn yardımcı regresyon: e = (lnmaas-tah) R y = Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b0 Aşama a = 005 sd=1 c tab= Aşama LM= nr y = (00537)= Aşama LM > c tab H 0 hpotez reddedleblr 45

46 Ramsey Reset Test Y = b 1 + b X + b 3 X 3 + +b k X k + u 1Aşama: Ramsey Reset test çn yardımcı regresyon: e a a Y v 1 ˆ Aşama: H 0 : a = 0 (Eşt Varyans) H 1 : a 0 (Farklı Varyans) Hpotezler a hata payı le t tablosundan bulunacak değer le karşılaştırılır 3Aşama: t hes > t tab H 0 reddedlr 46

47 Ramsey Reset Test 1Aşama: IT GSMH e Yˆ t (117) (0514) prob (074) (0613) Aşama: H 0 : a = 0 (Eşt Varyans) H 1 : a 0 (Farklı Varyans) 47

48 Ramsey Reset Test 3Aşama: t tab = t n-k,a = t 0-, 005 = 101 4Aşama: t hesap = 0514 < t tab = 101 H o reddedlemez 48

49 Park Test s s Xe ( ) b v ln s lns b ln X v s blnmedğnden bunun yerne hata kareler toplamı e kullanılır ( ) ln e lns blnx v lns a ( ) ln e a blnx v 49

50 Park Test 1Aşama: ( ) ln e a blnx v Aşama: H 0 : b = 0 (Eşt Varyans) H 0 : b 0 (Farklı Varyans) 3Aşama: t hes > t tab H 0 reddedlr 50

51 Park Test 1Aşama: ( ) ln e ln X t (-867) (869) prob (0010) (00107) Aşama: H 0 : b = 0 (Eşt Varyans) H 0 : b 0 (Farklı Varyans) 3Aşama: t tab = t 18, 001 = 878???????? t hes < t tab H 0 reddedlemez 51

52 UYGULAMA: 3 alenn yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelrler (X) aşağıda verlmştr Ale Sayısı Y X u Ale Sayısı Y X u

53 UYGULAMA: Y = b 0 + b 1 X + model çn sabt varyans varsayımının geçerl olup olmadığını Grafk Yöntemle Sıra Korelasyonu test le Goldfeld-Quandt test le Breusch Pagan test le Glejser Test le Whte test le Lagrange çarpanları test le Ramsey Reset test le Park test le 53

54 Grafk Yöntem 54

55 Sıra Korelasyonu Test 1Aşama H 0 : r = 0 H 1 : r 0 Aşama a = 005 sd=? 3Aşama t hes r s n 1- - r s? t tab =? Sd rs 1-6 n(n -1)? 4Aşama t hes > t tab H 0 hpotez reddedleblr 55

56 Sıra Korelasyonu Test 1-6 Sd n(n -1) r s (3-1) 1Aşama H 0 : r = 0 H 1 : r 0 Aşama a = 005 sd= 30 t tab = 04 t hes (03347) = Aşama t hes < t tab H 0 hpotez reddedlemez 56

57 Goldfeld-Quandt Test c = 3 / 5 = 64 6 gözlem atılacak (14-19 gözlemler) 13 gözlemden oluşan k grup çn modeller 1-13 gözlemler çn Y = X e gözlemler çn Y = X e

58 1Aşama Goldfeld-Quandt Test H 0 : Eşt Varyans H 1 : Farklı Varyans Aşama a = 005 3Aşama Se F e 3601 hes S 1 (3-6 -*) f1 f 11 F tab =8 4Aşama F hes > F tab H 0 hpotez reddedleblr 58

59 Breusch Pagan Test Y X e Aşama e s n Aşama p e s 59

60 Breusch Pagan Test 3Aşama p X e 4666 R 0196 RBD = 131 4Aşama 1 (RBD) 656 c m 1 c - 1, Aşama H 0 : a = a 3 = =a m = 0 (Eşt varyans) H 1 : En az br sıfırdan farklıdır (Farklı varyans) c c H 0 reddedleblr hes tab 60

61 Glejser Farklı Varyans Test 1Aşama: e X t (0565) (599) Aşama: H 0 : a = 0 H 1 : a 0 3Aşama: a = 005 n k = 3 =30 t tab = 04 4Aşama: t hes > t tab H 0 reddedleblr Eşt varyans gerçekleşmemştr 61

62 Y X Whte Test Whte Test çn yardımcı regresyon: e = X 00058X R y = 096 1Aşama H 0 : a = a 3 = 0 ; H 1 : a lern en az br tanes anlamlıdır Aşama a = 005 sd=3-1= c tab=599 3Aşama W= nr y = 3(096) = Aşama W > c tab H 0 hpotez reddedleblr 6

63 Lagrange Çarpanları(LM) Test Y X LM Test çn yardımcı regresyon: e Y R y = 001 1Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b0 Aşama a = 005 sd=-1=1 c tab= Aşama LM= nr y = 3(001) = 643 4Aşama LM > c tab H 0 hpotez reddedleblr 63

64 Ramsey Reset Test 1Aşama: Y X e Yˆ t (051) (753) prob (0605) (0009) Aşama: H 0 : a = 0 (Eşt Varyans) H 1 : a 0 (Farklı Varyans) 3Aşama: t hes > t tab H 0 reddedlr 64

65 Ramsey Reset Test 3Aşama: t tab = t n-k,a = t 3-, 005 =04 4Aşama: t hesap = 753 > t tab = 04 H 0 reddedleblr 65

66 Park Test 1Aşama: ( ) ln e ln X t (-1765) (13113) prob (0088) (01997) Aşama: H 0 : b = 0 (Eşt Varyans) H 0 : b 0 (Farklı Varyans) 3Aşama: t tab = t 3-=30, 005 = 04 t hes < t tab H 0 reddedlemez 66

67 FARKLI VARYANSI ORTADAN KALDIRMA s YOLLARI Farklı varyans durumunda EKKY tahmncler etknlk özellklern kaybettklernden güvenlr değldrler Bu sebeple farklı varyans ortadan kaldırılmadan EKKY uygulanmamalıdır Y lern (veya u lern) farklı varyansları s nn blnp blnmemesne göre farklı varyansı kaldıran k yol vardır: nn BİLİNMESİ HALİ s nn BİLİNMEMESİ HALİ

68 nn BİLİNMESİ HALİ s Y = b 1 + b X + u s 1 u X b 1 b Y s s s s ( ) u E 1 u E s s 1 1 s s * * * * * 1 Y b b X u Genelleştrlmş EKKY(GEKKY)

69 Genelleştrlmş EKKY(GEKKY) Sabt term yoktur İk tane bağımsız değşken vardır Y s b 1 1 s b X s u s

70 Genelleştrlmş EKKY(GEKKY) * * * * * 1 Y b b X e e * e s ( * * ) 1 e Y - b - b X mn * * * * * ( ) ( ) ( ) ( ) e s Y s - b1 1 s - b X s ( ) w 1s ( * * ) 1 w e w Y - b - b X

71 Genelleştrlmş EKKY(GEKKY) w e b 0 * 1 w e b 0 * ( * * 1 )( ) w e b w Y - b - b X -1 * 1 ( * * 1 )( ) w e b w Y - b - b X -X * * * 1 w Y b w b w X * * * * 1 - b Y b X * * 1 w X Y b w X b w X b ( w )( wxy ) - ( wx )( wy ) ( w )( wx ) - ( wx ) * Y * w Y w X * w X w

72 EKKY ve GEKKY Arasındak Fark EKKY e Y - b - b X ( ) 1 mn GEKKY ( * * ) we w Y - b1 - bx w 1s mn

73 s nn BİLİNMEMESİ HALİ 1HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER Y b1 bx u lny lnb1 b lnx v HAL: E( u ) Y b1 bx u s s X Y X b 1 X b X 1 X u X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 b 1 X b v ( ) 1 1 E v E u X 1 X E u s X s X

74 s nn BİLİNMEMESİ HALİ 3 HAL: E( u ) s s X Y b1 bx u ( ) ( ) Y X b 1 X b X 1 X u X 1 ( ) b 1 X b X v 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s E v E u X 1 X E u 1 X X s

75 s nn BİLİNMEMESİ HALİ E u s s a a X 4 HAL: ( ) ( ) ( ) E u s 0 1 s f (X) ( ) ( ) ( ) f X a a X a a X Y b1 bx u ( ) 0 1 a a X bölünür

76 s nn BİLİNMEMESİ HALİ E u s s E Y 5 HAL: ( ) ( ) Y b1 bx u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y E Y b E Y b X E Y u E Y 1 b 1 E( Y ) b X E( Y ) v 1

77 UYGULAMA: 3 alenn yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelrler (X) aşağıda verlmştr Ale Sayısı Y X u Ale Sayısı Y X u

78 1HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER ( ) ln Y ln X t (15691) (81077) prob (0171) (00000) ( ) R ln e ln Y R Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b 0 Aşama a = 005 sd=-1=1 c tab= Aşama LM= nr y = 3(00178) = Aşama LM < c tab H 0 hpotez reddedlemez

79 HAL: E( u ) s s X ( ) Y X X 0365 t (5151) (8109) prob (0000) (0000) e Y R R Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b 0 Aşama a = 005 sd=-1=1 c tab= Aşama LM= nr y = 3(00509) = Aşama LM < c tab H 0 hpotez reddedlemez

80 3 HAL: E( u ) s s X ( ) Y X X X t (-4686) (15337) prob (0001) (0000) R e Y 1Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b 0 R 0365 Aşama a = 005 sd=-1=1 c tab= Aşama LM= nr y = 3(0365) = Aşama LM > c tab H 0 hpotez reddedleblr

81 E u s s E Y 5 HAL: ( ) ( ) 1 1 Y E( Y) E Y X E Y ( ) ( ) ( ) t (5630) (74167) prob (00000) (00000) R 0044 e Y R Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b 0 Aşama a = 005 sd=-1=1 c tab= Aşama LM= nr y = 3(0090) = 098 4Aşama LM < c tab H 0 hpotez reddedlemez