Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri

Transkript

1 Asmetr ve Basıklık Ölçüler Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartllere dayanan (Bowley) omentlere dayanan asmetr ve basıklık ölçüler Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK

2 III. Asmetr ve Basıklık ölçüler Analzlern sağlıklı olablmes açısından brçok durumda dağılımın normal dağılım gösterp göstermedğnn test edlmes gerekmektedr. Asmetr ve basıklık ölçüler br serdek gözlem değerlernn dağılımının şekln ortaya koyan ölçülerdr. Bu ölçüler yorumlanırken normal dağılım özellkler dkkate alınır. Asmetr ölçüler yardımı le serdek gözlem değerlernn merkezî eğlm ölçüsü etraında smetrk dağılıp dağılmadığı tespt edleblr. ormal dağılım eğrs smetrk ve normal br basıklığa sahptr. Asmetr ölçüsü sernn rekans dağılımının smetrk dağılımdan uzaklaşma derecesn gösterrken, basıklık ölçüsü verlern normal dağılıma göre ortalama etraında ne kadar yoğun br şeklde dağıldığını gösteren ölçülerdr.

3 III. Asmetr ve Basıklık ölçüler Asmetr ölçüsünün şaret büyüklüğü vernn çarpıklığının yön ve şddetn gösterrken, basıklık ölçüsünün büyüklüğü verlern ortalama cvarında aşırı yoğunlaştığına, küçüklüğü se verlern ortalamaya etraında azla dağınık olduğuna şaret etmektedr. Asmetrk serler dağılımın yoğunlaştığı değere göre sağa veya sola çarpık serler olablmektedr. Serlern asmetrs (çarpıklığı) merkez eğlm ölçüler, kartller ya da momentler yardımıyla hesaplanırken serlern basıklığı momentler yardımıyla hesaplanablr.

4 III. - Ortalamalara Dayanan (Pearson) Asmetr Ölçüler Asmetrs ha serlerde ortalamalar arasında aşağıdak gb br lşk söz konusudur. ( mod) ( medyan) Bu adeden yola çıkan Pearson, eştlğn her k taraındak değerler standart sapma değerne bölerek bu adeler ölçü brmnden bağımsız hâle getrmş ve daha sonra kend adıyla anılan k asmetr ölçüsü gelştrmştr. Bu lşknn her k taraı standart sapmaya oranlandığında k asmetr ölçüsü elde edlr. ) As mod ) As As = 0 se ser smetrk As > 0 se ser sağa çarpık ( medyan) As < 0 se ser sola çarpık olarak ntelendrlr.

5 III. - Ortalamalara Dayanan (Pearson) Asmetr Ölçüler Çarpıklık katsayısının - ve + sınırları arasında olacaktır. Çarpıklık katsayısı + e yaklaştıkça sernn sağa çarpıklığı ve - e yaklaştıkça sernn sola çarpıklığı artacaktır. Çarpıklık katsayısı sııra yaklaştıkça sernn smetrs (çarpıklığı) artacaktır (azalacaktır). Çarpıklık katsayısı negat olduğunda ser sola çarpık, pozt olduğunda se sağa çarpıktır. ÇK = 0 ÇK > 0 ÇK < 0 Ser smetrktr Ser sağa çarpıktır Ser sola çarpıktır

6 III. - Ortalamalara Dayanan (Pearson) Asmetr Ölçüler Çarpıklık katsayısının - ve + sınırları arasında olacaktır. Çarpıklık katsayısı + e yaklaştıkça sernn sağa çarpıklığı ve - e yaklaştıkça sernn sola çarpıklığı artacaktır. Çarpıklık katsayısı sııra yaklaştıkça sernn smetrs (çarpıklığı) artacaktır (azalacaktır). ÇK = 0 ÇK > 0 ÇK < 0 Ser smetrktr Ser sağa çarpıktır Ser sola çarpıktır

7 Yukarıdak asmetr ölçülernden daha çok brncs kullanılır. odun hesaplanamadığı durumlarda knc ormül kullanılarak asmetr belrlenr. Bu asmetr ölçüsü ± e yaklaştıkça çarpıklık kuvvetl hale gelrken, 0,5 e yaklaştıkça orta şddette 0 a yaklaştıkça ha şddette çarpıklık söz konusu olur. Sağa çarpık durumda gözlem değerlernn büyük br kısmı modun sağında, Sola çarpık durumda se solunda yer alacaktır. Dğer br deyşle sağa çarpık serlerde artmetk ortalama sağa doğru (büyük değerler yönüne) kayarken, sola çarpık serlerde artmetk ortalama sola (küçük değerler yönüne) kayma göstermektedr.

8 Örnek : marka pller çn yapılan ömür testnde, 50 pl tesadüen seçlmş ve saat cnsnden ömürler aşağıda verlmştr. Pearson asmetr ölçülern bulup sonucu yorumlayınız. Ömür (saat) Pl sayısı m m m Toplam Pearson asmetr ölçülern elde edleblmes çn sernn artmetk ortalaması, standart sapması, mod ve medyanının blnmes gerekr.

9 Artmetk ortalama m saat 50 Karel ortalama m K Standart sapma K , 6saat od 0 od s 0.0 mod saat 0 0 edyan edyan m l. Sm 0 0 medyan 60 m mod 6 ) As As 0, 0 ser sağa çarpk 9,6 ( edyan) (6 5) ) As As As 0,5 9,6 5saat 0 sersağa çarpk

10 Sernn şeklnn Hstogram ve rekans polgonu le gösterm

11 III.) Kartllere Dayanan (Bowley) Asmetr Ölçüsü Smetrk serlerde Q -Q = Q -Q olduğu blnmektedr. Eğer Q -Q > Q -Q se sernn sağ taraında br yoğunlaşma olduğu, aks halde sol tarata br yoğunlaşma olduğu söyleneblr. Bu durumu daha y ortaya koymak çn Bowley taraından gelştrlen aşağıdak asmetr ölçüsü kullanılablr. As As = 0 se ser smetrk ( Q As > 0 se ser sağa çarpık Q ) ( Q ( Q Q ) As < 0 se ser sola çarpık olarak ntelendrleblr. Q Bu ölçü sııra yaklaştıkça asmetr haler ± e yaklaştıkça asmetr kuvvetl hale gelr. ) Kartllere dayalı çarpıklık ölçüsünün hesaplanması kolay olmasına rağmen asmetr hakkında yaklaşık sonuçlar vermektedr. Çünkü kartl değerler hesaplanırken serdek bütün gözlem değerler kullanılmamaktadır.

12 Örnek: Yukarıdak pllern ömür deney örneğ çn Bowley asmetr ölçüsünü bularak sonucu yorumlayınız. Ömür h 50. çn,5 r ( Q Q ) ( Q Q ) As ( Q Q ) Q As 0,05 Q çn Q Q çn Q. h 50. r 7, h 50. r ,5,5 60 Q , As oldugundan sola ha çarpktr (57,5 5) (5 ) (57,5 )

13

14

15

16

17

18

19 III.. omentlere Dayanan Asmetr ve Basıklık Ölçüler oment br serdek gözlem değerlernn sıırdan veya artmetk ortalamadan arklarının kuvvetlernn artmetk ortalamasıdır. Bu ölçüler sernn rekans dağılımının şeklnn belrlenmesnde kullanılan ölçülerdr. Br serdek gözlem değerlernn sıırdan çeştl derecelerdek arklarının ortalamasına sııra göre moment adı verlr. Sııra göre moment r şeklnde yazılır. Burada r momentn dereces olup, ark alma şlemnn derecesn gösterr. Buna göre sııra göre momentler şöyle ormüle edlr. Bast serde Tasn edlms r serde Gruplanmsserde ( r r 0) r ( r 0) ( m r 0) r r r r r m r Çarpıklığı daha duyarlı br şeklde ölçeblmek amacıyla momentlere dayalı çarpıklık ölçüsü kullanılablr. omentler, sıır etraındak momentler ve artmetk ortalama etraındak momentler olmak üzere k gruba ayrılmaktadır.

20 Burada r =,,, değerlern alır. Asmetr ve basıklık çn daha üst derecelerde momentler gerekl değldr. Sııra göre.moment artmetk ortalamaya.moment se karel ortalamanın karesne eşttr. Sııra göre momentler kullanarak asmetr ve basıklık ölçüsünü elde etmek mümkün değldr. K Asmetr ve basıklık ölçüler artmetk ortalamaya göre momentler yardımı le elde edleblr. Ancak sııra göre momentler kullanılarak artmetk ortalamaya göre momentler elde edleblr.

21 Artmetk Ortalamaya Göre omentler Serdek gözlem değerlernn artmetk ortalamalardan çeştl derecelerdek arklarının ortalamalarına artmetk ortalamaya göre momentler adı verlr. Artmetk ortalamaya göre momentler r şeklnde gösterlr. Burada r momentn dereces olup,,, değerlern alır. Artmetk ortalamaya göre momentler şöyle yazılır; Bast serde Tasn r edlms serde Gruplanms serde ( r r ) r ( ) ( m ) r r

22 r = çn = 0 olur r = çn = yan varyans olur... omentlere Dayanan Asmetr Ölçüsü ( ) omentlere dayanan asmetr ölçüsü ( ), asmetrk ortalamaya göre. momentn standart sapmanın küpüne oranlanması le elde edlr. olup = 0 se ser smetrk > 0 se ser sağa çarpık ) ( 0 0 ( ) < 0 se ser sola çarpık olmaktadır. çn br üst sınır olmamakla brlkte edlr. 0,5 olursa asmetrnn kuvvetl olduğu kabul

23 .. omentlere Dayanan Basıklık Ölçüsü () omentlere dayanan basıklık ölçüsü, asmetrk ortalamaya göre. momentn standart sapmanın. kuvvetne oranlanması le elde edlr. olup, = se sernn basıklığı normal > se ser normal dağılıma göre daha svrdr. < se ser normal dağılıma göre daha basıktır. Eğer br ser = 0 ve = şeklnde br dağılım gösteryorsa bu sernn dağılımının normal olduğu söylenr.

24 Örnek: Yukarıdak pl örneğ çn; a-) Sııra göre momentler bulunuz. b-) Artmetk ortalamaya göre moment hesaplayınız. c-) asmetr ölçüsünü bularak yorumlayınız. d-) basıklık ölçüsünü bularak yorumlayınız. Ömür (x0) m m m m m Toplam

25 a) Sııra göre momentler m 90 50,6 m m 950 m , 50570, b) Artmetk ortalamaya göre momentler m ( m ) ( m ) ( m ) ( m -,6-6 9,6-66,56 679,66 -, ,8 7,68 0, 9,6,8,56, 8 5, 76,8 66,55, 9,6 85,8 78,096 Toplam ,8 60,8 ) K

26 b) Artmetk ortalamaya göre momentler: ( m ) 0 0 ( m ) , 8 50 ( m ) 60,8 ( m ),07 60,8, c) asmetr ölçüsü:,8,07 (,96) 0, 0,96 olduğundan ser sağa çarpıktır.

27 d) Basıklık Ölçüsü,8,96,9 olduğundan ser ha basıktır. Şu halde ser normal dağılan br serye göre sağa çarpık ve ha basık br dağılış göstermektedr. Kabaca grağ şöyle çzleblr.

28 Sııra Göre omentlerden Hareketle Artmetk Ortalamaya Göre omentlern Bulunuşu Sııra göre momentlerden yararlanarak artmetk ortalamaya göre momentler elde edlerek sernn asmetr ve basıklığı hesaplanablr. Burada bast ser çn artmetk ortalamaya göre momentlern sııra göre momentlerden bulunuşu gösterlecektr. Dğer serler çn de aynı ormüller geçerldr. Artmetk ortalamaya göre. moment: ( ) aclrsa Artmetk ortalamaya göre. moment ( ) 0 olur.

29 Artmetk ortalamaya göre. moment Artmetk ortalamaya göre. moment ) ( μ 6 ) ( μ

30 Örnek: Yukarıdak pl örneğ çn sııra göre momentler kullanarak artmetk ortalamaya göre momentler bularak asmetr ve basıklığı belrleynz. Çözüm: Yukarıda bu örnek çn sııra göre momentler bulunmuştu. Buna göre;,6 ; 7 ; 8, ; 50570,6 Bu verlenden hareketle,, ü yukarıda verlen ormüller kullanarak bulalım. 7 (,6),8 yan,8 Standart sapma. moment,8,96 8, (7,6) (,6),07

31 Artmetk ortalamaya göre. moment: ,6 (8,,6) 6(7,6 ) (,6) 50570,6 9750,56 775,,8 6,56 asmetr ölçüsü:,07,96 0, 0 sağa çarpk basıklık ölçüsü:,8,9,96 ha bask

32 Aşağıda D00 karayolunun Adapazarı İzmt kesmnde meydana gelen kazaların günlere göre dağılımı verlmştr. Bu verler göre sernn; a) Sııra ve artmetk ortalamaya göre momentler bulunuz. b) Asmetr ölçüsünü bulunuz. c) Basıklık ölçüsünü bulup yorumlayınız. Kaza sayısı Gün sayısı Toplam

33 a) Sııra göre momentler Sııra göre moment şöyle olur ,5 8,7 9,9 6,7

34 Artmetk ortalamaya göre momentlern hesaplanması Kaza sayısı Gün sayısı ( ) ( ) ( ) ( ) 0 5 -,5,09-8,9 05,9 0 -,5,5-6,05 55,8-0,5, -,8 0,97 8 0,7,9,8 0,85,7,66,70 50,90 5,7, 60,0 8,08 Toplam 60 0,9 -,60 6,0

35 Artmetk ortalamaya göre momentlern arklar sersnden hesaplanması, ,9 ) ( m 0,77 60,6 ) ( m 7,7 60 6,0 ) ( m

36 Sııra göre momentlerden artmetk ortalamaya göre momentlern bulunuşu 8,7,5,87 μ 9,9 8,7,5,5 0,5 μ 6,7 9,9,5 8, ,7,5,5

37 c) Asmetr ve basıklık ölçüler Asmetr ölçüsü ( ) 0,77,6 0,5 0 sola çarpk Basıklık ölçüsü ( ) 7,7,5,6 ser bask

38 Örnek: Bast br ser çn aşağıdak verlere ulaşılmıştır. Bu verlerden hareketle; ( ( ) K),7 9,6 99 6,5 edyan 9, a) Artmetk ortalamayı (8.5) b) Karel ortalamayı (0,8) c) Gözlem sayısını (=6) d) odu tahmn ednz ( od=0,6) e) α asmetr ölçüsünü (,07) ) µ artmetk ortalamaya göre. moment (0,6) g) α Basıklık ölçüsünü (,0) h) Değşm katsayısını bulunuz. (%67,7)

39 Örnek: Bast br ser le lgl aşağıdak verler elde edlmştr. = 69,8 DK= 8,8 = 9 = 0,059 = 78 = 90 od= 8, a) Artmetk ortalamayı, (7,8) b) Gözlem sayısını, (5) c) Geometrk ortalamayı bulunuz. (,56) d) Standart sapmayı, () e) edyanı tahmn ednz. ( 8 ) ) basıklık ölçüsünü, (,)

40

41