DÜZENSİZ SONLU FARK HESAP ŞEMASI KULLANILARAK İKİ BOYUTLU YERALTISUYU AKIMININ MODELLENMESİ

Transkript

1 T.C PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DÜZENSİZ SONLU FARK HESAP ŞEMASI KULLANILARAK İKİ BOYUTLU YERALTISUYU AKIMININ MODELLENMESİ Güran GÜRARSLAN Yüksek Lsans Tez DENİZLİ-004

2 4 DÜZENSİZ SONLU FARK HESAP ŞEMASI KULLANILARAK İKİ BOYUTLU YERALTISUYU AKIMININ MODELLENMESİ Pamkkale Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Tarafından Kabl Edlen İnşaat Müendslğ Anablm Dalı Yüksek Lsans Tez Güran GÜRARSLAN Tez Savnma Tar: 4//004 DENİZLİ-004

3 5 TEZ SINAV SONUÇ FORMU B tez tarafımızdan oknmş kapsamı ve ntelğ açısından Yüksek Lsans Tez olarak kabl edlmştr. Prof. Dr. Hall KARAHAN Yönetc Yrd. Doç. Dr. Al GÖKGÖZ KOÇ Jür Ües Yrd. Doç. Dr. A. Cem Jür Ües Pamkkale Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Yönetm Krl nn. tar ve. saılı kararıla onalanmıştır. Prof. Dr. Memet Al SARIGÖL Müdür Fen Blmler Ensttüsü

4 6 TEŞEKKÜR B tez çalışması kapsamında başta danışman ocam Prof. Dr. Hall Karaan a sevgl arkadaşım Araş.Gör. İnşaat Yük. Mü. M. Tamer Avaz a ve etşmemde emeğ geçen tüm bölüm ocalarıma şükranlarımı snarım. Tez çalışmam esnasında ardımlarını esrgemeen krm amrlerme ve çalışma arkadaşlarıma teşekkür ederm. Madd ve manev olarak er türlü desteğ veren brck eşme ve on zamanlarını çaldığım kızıma mnnettarım. Güran GÜRARSLAN

5 7 DÜZENSİZ SONLU FARK HESAP ŞEMASI KULLANILARAK İKİ BOYUTLU YERALTISUYU AKIMININ MODELLENMESİ YÜKSEK LİSANS TEZ ÇALIŞMASI Güran GÜRARSLAN ÖZET Yeraltıs modellemesnde en agın kllanılan nümerk metodlar sonl farklar metod sonl elemanlar metod ve sınır elemanları metoddr. Son ıllarda blgsaar teknolosndek gelşmeler soncnda kısm dferansel denklemler çözmek oldkça kolalaşmıştır. B çalışmada k botl eraltıs akımı ncelenerek saısal br model gelştrlmştr. Yeraltıs akımına at değşken zemn özellklern çeren zamana bağlı kısm dferansel denklem; belrl sınır koşlları altında düzensz sonl fark esap şeması kllanılarak çözülmüştür. Programda mplst br algortma kllanılmıştır. Yoğn matrs şlemlernden krtlmak çn Gass-Sedell terason şeması kllanılmıştır. Hızlandırıcı olarak S.O.R. ardışık aşırı raatlama teknğ seçlmştr. Gelştrlen çözüm model kllanılarak bazı örnekler çözülmüş ve drolk ük değerler açısından ml sonçlar elde edlmştr. Çözülen örneklere at detalı blgler lgl bölümlerde snlmştr. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

6 8 TWO DIMENSIONAL MODELLING OF GROUNDWATER FLOW USING VARIABLE FINITE DIFFFERENCE SHEME MASTER OF SCIENCE Güran GÜRARSLAN ABSTRACT Most common nmercal metods sed n grondwater modellng are fnte dfferences metod fnte elements metod and bondar elements metod. Solvng partal dfferental eqatons gets eas n reslt of developments n compter tecnologes n recent ears. In ts std a nmercal model was developed b researcng D grondwater flow. Transent partal dfferental eqaton tat nclded varable sol propertes of grondwater flow was solved wt spreadseet program sng varable fnte dfferences sceme nder te defnte bondar condtons. Implct algortm was sed n ts program. Gass-Sedell teraton seme was sed to accompls matr algebra. S.O.R. sccessve over-relaon tecnqe was selected as an accelerator. Usng te developed solton model several eamples ave been solved and good agreement ave been obtaned n terms of dralc eads. Detaled nformaton of solved eamples are represented n related sectons. PAMUKKALE UNIVERSITY GRADUATE INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES POST-GRADUATE PROGRAM IN CIVIL ENGINEERING

7 9 İÇİNDEKİLER Safa İçndekler...9 Şekller Dzn...9 Smgeler Dzn...9 Brnc Bölüm GİRİŞ. Çalışmanın Amacı.... Öncek Çalışmalar... İknc Bölüm YERALTISUYU AKIMI. Yeraltıs...5. Basınçlı Akfern İletmllğ ve Depolaablmes...6. Serbest Yüzel Akferlerde İletmllk ve Özgül Verm Darc Yasası ve Hdrolk İletkenlk...7 Üçüncü Bölüm TEMEL DENKLEMLER

8 40. Yeraltıs Akımının Temel Denklemler... Dördüncü Bölüm SONLU FARKLAR METODU 4. Doğrsal Yaklaşım Talor Sers Yaklaşımı ve Nümerk Hatalar Düzenl Grd Sstem Düzensz Grd Sstem...5 Beşnc Bölüm MATEMATİK MODEL 5. İmplct Yaklaşım İmplct Yaklaşımın İteratf Çözümü... Altıncı Bölüm SAYISAL UYGULAMALAR 6. Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Yednc Bölüm SONUÇ

9 4 7. Sonçlar Önerler KAYNAKLAR...58 EKLER EK : Çözüm Programına At Akış Şeması...60 EK : Çözüm Tablosnn Şematk Gösterm...6 EK : Hdrolk İletm Katsaısı Safasının Şematk Gösterm...6 EK 4: Depolama Katsaısı Safasının Şematk Gösterm...6 EK 5: Kanak-Ytk Safasının Şematk Gösterm ÖZGEÇMİŞ 65

10 4 ŞEKİLLER DİZİNİ Safa Şekl..a: Basınçlı Akferlerde S nn Şematk Gösterm.. Şekl..b: Serbest Yüzel Akferlerde S s nn Şematk Gösterm... Şekl.: Darc Yasasını İfade Eden Denesel Düzenek... Şekl.: Gözenekl Ortamdak Akış İçn Brm Kontrol Hacm...6 Şekl 4.: Türevlern Doğr Yakınsamaları 9 Şekl 4.: Düzenl Grd Sstem... Şekl 4.: Düzensz Grd Sstem...40 Şekl 6..a : Örnek e At Analtk Çözüm Tablos..50 Şekl 6..b: Örnek e At Saısal Çözüm Tablos.5 Şekl 6..c : Örnek e At Hata Yüzdeler...5 Şekl 6.: Zamana Bağlı Olarak M4 Hücresnn Hdrolk Yük Değerler 54 Şekl 6..a: T= Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşm Kontr Grafğ...55 Şekl 6..b: T=0 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşm Kontr Grafğ..55 Şekl 6..c: T=00 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşm Kontr Grafğ 56 Şekl 6..d: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşm Kontr Grafğ..56 Şekl 6..e: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Vektörel Gösterm.57 Şekl 6.4: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmler.57 Şekl 6.5.a: Örnek e At Çözüm Tablos...58 Şekl 6.5.b: TGMSS Modelne At Çözüm Tablos 59 Şekl 6.6: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Botl Görünümü 6 Şekl 6.7: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ...6 Şekl 6.8: Zamana Bağlı Olarak M5 Hücresnn Hdrolk Yük Değerler.6 Şekl 6.9.a: T= Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ..6 Şekl 6.9.b: T=0 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ 64 Şekl 6.9.c: T=00 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ..64 Şekl 6.9.d: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ...65 Şekl 6.9.e: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Vektörel Gösterm.65

11 4 Şekl 6.0: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Botl Gösterm 66 Şekl 6.: Örnek 5 e At Çözüm Tablos..67 Şekl 6.: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ.69 Şekl 6.: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Botl Görünümü..69

12 44 SİMGELER DİZİNİ T K b S S s : İletmllk katsaısı m /s : Hdrolk letkenlk katsaısı m/s : Akfer kalınlığı m : Depolama katsaısı : Özgül depolama katsaısı m - K K Kz v v v vz z Q : önündek drolk letkenlk katsaısı m/s : önündek drolk letkenlk katsaısı m/s : z önündek drolk letkenlk katsaısı m/s : Hız m/s : önündek ız m/s : önündek ız m/s : z önündek ız m/s : Hdrolk ük m m nc terasondak drolk ük değer m : önündek drolk ük m : önündek drolk ük m : z önündek drolk ük m : Deb m /s : Hdrolk eğm m/m A : Alan m t : Zaman s t : Hesap zaman adımı s : önünde grd aralığı m : önünde grd aralığı m a : m+ nc terasondak drolk ük değer m

13 45 BİRİNCİ BÖLÜM GİRİŞ. Çalışmanın Amacı Yeraltıs akımının modellenmes brçok müendslk problemnn çözümünde gerekldr. İçme snn eraltıs kanaklarından temn edlmesnde eraltısnda medana gelen krlllğn ncelenmesnde bara gövdesnden ve bara altından olşan sızıntının ncelenmesnde drena problemlernn çözümünde ve kıı akferlernde tatlıtzl s grşm problemlernn çözümünde eraltıs akım modelnden fadalanırız. Yeraltıs akımı eksplst ada mplst sonl fark esap şeması kllanılarak sabt grd apısı kllanarak kolaca modelleneblr. Ancak k drena sınır koşllarının konma ve zamana göre değşken olması drmnda sonçların darlılığı ve stablte açısından kllanılacak grd botlarının küçük seçlmes gerekmektedr. B drm blg şlem süresnn ve bellek kapastesnn artmasına neden olmaktadır. Belrtlen problemlern gderlmes çn değşmn fazla oldğ bölgelerde grd botnn küçük seçlmesne dğer bölgelerde se değşken ve düzenl olarak artan br şeklde seçlmesne zn veren br çözüm algortması gelştrlmştr. İmplst şema koşlsz stabl olması nedenle terc edlmştr. 5 noktalı mplst sonl fark esap şeması kllanılmış ve matrs sstem teratf olarak çözülmüştür. Gelştrlen çözüm teknğ düzgün ve düzgün olmaan geometrlerde glanarak değşken grd kllanımının sağladığı avantalar rdelenmştr. B çalışmada düzgün ve düzgün olmaan geometrlerde k botl zamana bağlı eraltıs akımı ncelenerek Vsal Basc dlnde program gelştrlmş ve modeln doğrlaması apılmıştır. Sonçlar lteratürde verlen örnekle karşılaştırılarak oldkça ml sonçlar elde edlmştr.

14 46. Öncek Çalışmalar Pnder ve Bredeoeft 968 basınçlı akferlerde kararsız akıma glanan mplst sonl farklar teknğn kllanarak saısal br model gelştrmşlerdr. Gelştrlen modelde akferdek düşe sızıntı düzensz sınır koşlları omoen olmaan akfer sstem dkkate alınmıştır. Gelştrlen modelden elde edlen sonçlar araz sonçlarıla ve bast geometrl akferler çn analtk çözüm sonçlarıla karşılaştırılmıştır. Freeze ve Wterspoon kararlı bölgesel eraltıs akımı çn gelştrlmş matematk model le nümerk ve analtk çözümler karşılaştırmıştır. İlk çalışmalarında nümerk çözümlern üstünlüğü snlmştr. Sonrak çalışmalarında permeablte değşm ve s tablası konfgürasonnn etks ncelenmştr. Bredeoeft 969 kısmen öncek çalışmalarını çeren eraltıs akımı denklemlerne sonl farklar aklaşımını analz etmştr. Ölçülen potansel verlerden letmllk katsaısı dağılımlarını esaplamak çn sonl farkların kllanımı tartışılmıştır. Arıca analog modeller le karşılaştırma apılmıştır. Talor ve Ltn 969 s tablası akferlernn zamana bağlı analz çn blgsaar metodları snmşlardır. Onların çalışması sonl farkları kllanarak serbest üzel akferde alçalma çn çözümler verr. Bredeoeft ve Pnder 970 çok akferl eraltıs sstemlernde alansal akımın saısal br analzn glamıştır. Onların çalışması sonl fark denklemlern çözmek çn teratf ADI metodnn kllanıldığı basınçlı br tabaka ve k akfer çn gelştrlmş üç botl benzer br çalışmadır. Prckett and Lonnqst 97 sızdırmalı ve sızdırmaz artezen koşlarındak s tablası altındak eteroen akferlerde br k ve üç botl ünform olmaan eraltısn smüle eden genelleştrlmş blgsaar programları gelştrmşlerdr. Çalışmalarında klardan değşken zamanlı pompa doğal ve apa besleme ızı

15 47 üzesel slar ve eraltıs aznes arasında s değşm barlaşma artezenden s tablasına dönüşümü ele alınmıştır. Sonl fark denklemler Darc kann ve kütlenn kornm prensbn dkkate alan fzksel bakış açısı le çıkarılmıştır. Yeraltıs akımı denklemlernn çıkarılmasında kütlenn kornm prensb kllanılmıştır. Sonl fark modeller Gass elmnason ve teratf ADI metod kllanılarak arı arı çözülmüştür. Larson ve Trescott 977 anzotropk akım problemler ve s tablasının çözümü çn güçlü mplst br kralın kllanımını tanımlamışlardır.. Çalışmaları test problemler çn farklı teratf metodları gerektren esaplama şnn karşılaştırmalarını çerr. Knzelbac 986 eraltıs problemlerne glanan eraltıs akımı ve çözünmüş madde taşınımı modellemesn snmşlardır. Bazı sonl fark ve sonl elemanlar kodları örnek glamalar çn verlmştr. Anderson ve Woessner 99 eraltıs modelleme çalışmaları çn kapsamlı br çalışma snmşlardır. Çalışmaları MODFLOW AQUIFEM- AQUIFEM-N PLASM PATH-D MODPATH ve FLOWPATH kodlarının kllanımını ve blgsn çermektedr. İrfanoğl 994 sabt grd apısı kllanarak k botl kararsız eteroen anzotrop ortamda eraltıslarındak krllk problemn çözmek çn C++ programlama dlle br smlason programı gelştrmştr. Sonl fark denklemler kütlenn kornm prensble türetlmştr. Yeraltıs akımı ve krllk letm denklemler mplst algortma kllanılarak arı arı çözülmüştür. Sonçları elde etmek çn teratf ADI ve Gass elmnason metod kllanılmıştır. Yılmaz 999 bara altından sızıntı problemn çözmek amacıla sabt grd apısı kllanarak k botl omoen zotrop kararlı eraltıs akım denklemn MS- Ecel dek döngüsel başvrdan ararlanarak ETP aracılığıla çözmüştür. Sonl fark denklemler kütlenn kornm prensble türetlmştr.

16 48 Avaz 004 toprak dolg baralarda medana gelen serbest üzel sızma olaını ncelemştr. Değşken grd apısı kllanılarak kararsız eteroen anzotrop ortam çn sızma olaına at kısm dferansel denklem Elektronk Tablolama Programı ETP aracılığıla teratf ADIM metod Değşken Doğrltl İteratf İmplst Metod le çözülmüştür. Karaan ve Avaz 004 zamana bağlı k botl eraltıs akımını ETP le çözmüştür. İteratf ADI metodn kllanarak düzgün ve düzgün olmaan geometrlerde eraltıs akımını modellemşlerdr. Çözüm programının en büük avantaı erang br makro gerektrmemesdr.

17 49 İknc Bölüm YERALTISUYU AKIMI. Yeraltıs Yerküresndek tatlı sn büük br kısmı eraltında blnr. Yeraltındak s erüzünde akarslarda blnan sn 7500 katı kadardır. Yeraltında ve erüzündek sların sürekl lşk alnde blnmaları eraltısnn önemn attırır. Özellkle krak bölgelerde akarslar ancak eraltından beslendkler takdrde azın krmazlar. Akarslardak toplam akımın aklaşık %0 eraltından beslenr. Yerüzündek btkler gerekl s erüzünün emen altındak zemn nemnden sağlarlar. Klarla eraltındak azneden çıkarılan s nsanlar tarafından genş ölçüde kllanılmaktadır. Yeraltından elde edlen sn br özellğ de tab br şeklde fltrelenmş oldğndan genellkle bakterlerden organk maddelerden kok ve tatlardan arınmış kmasal bleşm ve sıcaklık dereces fazla değşmeen kaltede br s olmasıdır. Yerüstü s kanaklarının tükendğ krak mevsmlerde nsanlar s tacını klarla eraltından sağlaablrler. Bgün erüzünde kllanılan sn % 40 kadarı eraltından sağlanmaktadır. Gelecekte en brktrme azneler nşa etmek olanağının gderek azalacak olması bna karşın eraltında büük br doğal azne blnması ve dengeleme süresnn zn olması nedenle b üzdenn artması bekleneblr Beazıt 999. Yeraltı s sevesndek değşmeler a doğal olalarla a da nsan el le olştrlan olalar soncnda sürekl a da kısa sürel olarak medana gelmektedr. Doğal olalar sonc eraltı s seves değşmler meteorolok ve eolok faktörlern etks le olr. B faktörlern en önemller şnlardır Ergvanlı ve Yüzer 984 :. Yağış. Yüzesel akış

18 50. Barlaşma-terleme 4. Atmosfer basıncı değşm 5. Gel-gt 6. Deprem Dğer taraftan er altı s sevesnde nsan el le olşan değşmeler şnlardır:. Yeraltından fazla s çeklmes pompa. Yeraltına s verlmes sn besleme. Bara gölet v.b. gb erüstü slarını depolama tesslernn apılması. Basınçlı Akfern İletmllğ ve Depolaablmes Kalınlığı b olan br basınçlı akfern letmllk katsaısı T T Kb. şeklnde tanımlanır. Depolaablme ada depolama katsaısı S se S S s b. olarak fade edlr. Kalınlığı b olan dogn br basınçlı akfern depolama katsaısının tarf; akfern brm üze alanı başına drolk ükün o üzee dk bleşenndek brm azalım çn depodan bıraktığı sn mktarıdır. Hdrolk ük basınçlı akferler çn genellkle basınç üze şeklnde fade edlr ve depolaablme kavramı Şekl. de b açıdan fade edlmştr. Hdrolk letkenlk K nın bot [L/T]. eştlğnden açıkça görüldüğü gb letmllk katsaısının bot [ L / T ] dr Freeze and Cerr 00.

19 5 Şekl..a : Basınçlı Akferlerde S nn Şematk Gösterm Freeze and Cerr 00. Şekl..b : Serbest Yüzel Akferlerde S s nn Şematk Gösterm Freeze and Ceer 00.. Serbest Yüzel Akferlerde İletmllk ve Özgül Verm Serbest üzel akferler çn letmllk katsaısı basınçlı akferlerdek kadar tanımlanamamıştır fakat bna rağmen kllanılmaktadır. Anı eştlk le tanımlanır fakat b sefer b dogn kşağın kalınlığı vea aktardın ada akfer aşağıdan sınırlaan geçrmsz üzen üzerndek s ükseklğdr. Depolama term erne serbest üzel akferde özgül verm S kllanılır. Serbest üzel akfern s tablasındak brm alçalım başına akfern brm üze alanı çn depodan salıverdğ s mktarı olarak tanımlanır. Bazen serbest depolama katsaısı olarak da tanımlanır. Şekl..b de b kavram şematk olarak fade edlmştr Freeze and Cerr Darc Yasası ve Hdrolk İletkenlk 856 ılında Henr Darc sml Fransız drolk müends Fransa nın Don şernn s blançosn aınlamıştır. Darc rapornda kmlarda sn akışını analz

20 5 eden br laboratvar denen tanımlamıştır. Darc nn aptığı denen sonçları kend adını taşıan amprk asa şeklnde blnmektedr. Şekl. de gösterlen dene düzeneğn göz önüne alalım. Enne kest A olan slndr kmla dol ve k c da tıpalıdır. İk adet manometrenn lştrldğ slndrn br cnda s grş tüpü dğernde de s çıkış tüpü blnmaktadır. Slndr çne tüm gözenekler sla dolana ve grştek akış mktarı Q çıkıştak akış mktarı Q a eşt olana kadar s verlmektedr. Eğer z=0 gb kef br referans düzlem tan edersek manometre grşler z ve Manometre grşler arasındak mesafe l dr. z olr. Tüplerdek akışkanın ükseklğ de ve olr. Slndr çndek özgül deb v Q v. A olarak tanımlaacağız. Q nn botnn [ bot ız bot [L/T] olr. L / T ] ve A nınk [ L ] oldğ zaman v nn Darc tarafından apılan deneler l sabt oldğ zaman v nn - le doğr orantılı ve - sabt oldğ zaman da l le ters orantılı oldğn göstermştr. = - olrsa Darc asası Şekl. Darc Yasasını İfade Eden Denesel Düzenek Freeze and Cerr 00.

21 5 v K.4 l şeklnde ada d v K.5 dl dferansel formnda azılablr. Darc asasının br alternatf form. eştlğ.5 eştlğne konlarak elde edleblr: d Q K A.6 dl B eştlk bazen daa da kısaltılarak Q KA.7 şeklnde azılmaktadır. Bağıntıdak drolk eğmdr. Darc asası amprk br asa olp sadece denesel kanıtlara daanmaktadır. Darc asasını daa temel fzksel asalardan türetmek çn pek çok teşebbüste blnlmştr. Bear 97 b çalışmaları da dernlemesne ncelemştr. En başarılı aklaşımlar akışkanlar mekanğnde çok blnen Naver-Stokes denklemlernn gözenekl ortamın dealze edlmş kavramsal modelnn gözenek kanallarındak s akışına glanması şeklnde olmştr. Anzotrop özellğ gösteren br ortamda üç botl akışta tek botl Darc asasını genelleştrmek gerekecektr. Bleşenler olp en bast genelleştrlmes v v vz olan üç bottak ız v br vektör

22 54 v v v z K.8.a K.8.b K z.8.c z şeklndedr. Denklemlerdek K K K z ; ve z önlerndek drolk letkenlk değerlerdr Freeze and Cerr 00.

23 55 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM TEMEL DENKLEMLER. Yeraltıs Akımının Temel Denklemler Temel blmler ve müendslğn emen emen tüm dallarındak analz teknkler fzksel süreçler anlama esasına daanır ve çoğ zaman b süreçler matematksel olarak tanımlamak mümkündür. Yeraltıs da bna daldr. Akışın temel asasını Darc asasıdır. B asa gözenekl ortamdak akış sırasında akışkan kütlesnn kornmn tanımlaan sürekllk eştlğ le beraber kllanıldığında ortaa çıkan sonç akışın kısm dferansel denklemdr. Gözenekl ortamın br brm acmn Şekl. gözönüne alalım. Böle br eleman çoğ zaman brm kontrol acm olarak anılır. Dogn gözenekl ortamda kararsız akışın kütle kornm asasına göre kontrol acmne gren akışkan kütles akışının net mktarı elemandak akışkan kütles depolamasındak değşmn zamansal mktarıdır. Sürekllk denklem Şekl. baz alınarak Şekl. Gözenekl Ortamdak Akış İçn Brm Kontrol Hacm. v v vz n z t. şekln alır. Yada denklemn sağ tarafı açılacak olrsa:

24 56 t n t n z v v v z.. denklemnn sağ tarafındak lk term oğnlğndak değşm altında sn genşlemes le üretlen sn kütle oranıdır. İknc term se n gözenekllğndek değşm altında gözenekl ortamın kompakson le üretlen sn kütle oranıdır. Brnc term akışkanın sıkışablrlğ tarafından kontrol edlr. dak değşm ve n dek değşmn ksnde de drolk ük dak değşm le medana geldğn ve arıca üktek brm azalım çn b k mekanzma le üretlen sn acmnn S s oldğn blorz. Üretlen sn kütle oranı t S s / dr ve. denklem ş şekl alır: t S z v v v s z. Sn oğnlğ sabt kabl edlrse. denklemnn k tarafındak termler sadeleşr. B denklemde ız term Darc asasına göre azılırsa.4 denklemn elde ederz. t S z K z K K s z.4 Denklem.4 dogn anzotrop gözenekl ortamdak kararsız akışın denklemn temsl etmektedr. Ortam omoen ve zotrop olrsa.4 denklem t K S z s.5 şeklne ndrgenr. Kalınlığı b olan basınçlı ata akfer özel drm çn b S S s. ve T=K.b dr ve.5 denklemnn k botl form

25 57 t T S.7 şekln alır. t çözümü akış alanında ata akferde ata düzlem üzernde erang br noktada erang br zamandak drolk ük değern verr. Çözüm çn akfer parametreler S ve T nn blnmes gerekldr Freeze and Cerr 00.

26 58 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM SONLU FARKLAR METODU 4. Doğrsal Yaklaşım Türevn sonl fark göstermler doğrsal aklaşım le çok kolaca elde edleblr. Örneğn e göre kısm türevde sadece bağımlı değşkenn bağımsız değşkenne göre değşm dkkate alınır ve dğer bağımsız değşkenler sabt gb düşünülür. B nedenle Şekl 4. de gösterldğ gb sadece le değşen br fonkson düşünmek eterldr ve nn tüm türevler çn sonl fark göstermler kısm türevler çn eşt br şeklde geçerldr. Şekl 4.: Türevlern Doğr Yakınsamaları Lam 994. Şekl 4. de gösterldğ gb de eğrnn eğm geometrk olarak temsl eden = d noktasında.mertebeden türevn düşünelm. B türev üç farklı oldan akınsar. d Eğer nn br adımı sonrasında den = kadar mesafede olan noktasını düşünürsek gerçek eğm eğrs üzerndek ve noktalarını bağlaan düz doğr le akınsatablrz.

27 59 d d k noktalı ler fark 4..a B k noktalı ler fark olarak blnr. İk nokta term ve + le lgl k noktadan dolaı kllanılır. İler term den sonra br adımı gerektrmesnden dolaı kllanılır. = de d d kadar mesafede olan çn k noktalı ger fark göstermn gözönüne alarak azablrz. den br adım önce den = d d k noktalı ger fark 4..b = de ve d d çn üç noktalı merkez fark göstermn göz önüne alarak azablrz. den br adım önce ve sonrak d d üç noktalı merkez fark 4..c 4..a-c denklemler üksek mertebeden türevlern sonl fark göstermlern gelştrmek çn kllanılablr. Örneğn knc mertebeden türev düşünelm. 4..a ı kllanarak ler fark elde edleblr. d d d d d d

28 60 ler fark 4..a 4..b kllanarak ger fark elde edlr. d d = = ger fark 4..b 4..c kllanarak merkez fark elde edlr. d d = = / / n b aralıkta lneer olarak değştğn farzedersek = = merkez fark 4..c

29 6 farkları temsl etmektedr. Örneğn dak değşm temsl eder. 4..c dek merkez farkın elde edlmesnde alarak 4..c den merkez farktan elde edldğ gb ve / n merkez farkları olarak dkkate alınmıştır Lam 994. termler = erne = ve / arı aralığında d d 4. Talor Sers Yaklaşımı ve Nümerk Hatalar Doğrsal aklaşım basttr ama tüm nümerk metodlarda öneml olan akınsama ataları akkında erang br blg vermez. Sonl fark göstermlernn elde edlmesnn en assas ol Talor Sers aklaşımıdır Lam Düzenl Grd Sstem Şekl 4. de gösterldğ gb = ve =k olan eşt parçalı br grd sstem düşünelm. k k k Şekl 4. Düzenl Grd Sstem Lam 994. Br fonkson çn cvarında sırasıla açılablr. ve da Talor Sersne +=+ +! +...! +

30 6 -=- +! -! +... Adım bot grd genşlğ grd bot olarak adlandırılan serlern akınsaması çn oldkça küçüktür. Brnc alt ndsn önünü ve knc alt ndsn önünü gösterdğ çft alt ndsl notason olştrarak karıdak fadeler ş şeklde azılablr:...!! 4..a...!! 4..b 4..a dan...!! O 4.4.a Anı şeklde 4..b den...!! O 4.4.b B üzden eğer knc. ve daa üksek mertebedek türevler çeren termler b fadelerde keslrse sırasıla.mertebe türev çn ler fark ve ger fark aklaşımı elde

31 6 edlr. Serler akınsasın de eternce küçük alındığında knc ve dğer keslen termler brnc keslen termden daa küçüktür ve tüm keslen termler b üzden brnc keslen termn büüklüğünün mertebes açısından azılır. B nedenle akınsama ataları 4.4.a ve 4.4.b de kesme ataları olarak blndğnden dolaı ın mertebesndedr ve O olarak azılır. B kesme atalarının aklaşık olarak le orantılı oldğn gösterr. Çünkü tüm türevler verlen problem çn gndr. Kesme ataları arılandığında aklaşık olarak arılanır. B sonl fark fadelernn brnc mertebeden doğrlğa sap oldğ söleneblr. Fzksel olarak kesme atası türevn tam değer le onn sonl fark değer arasındak farkı gösterr. Eğer 4..a- 4..b alınırsa ve düzenlenrse merkez fark elde edlr. Kesme atası O dr ve aklaşık olarak le orantılıdır....! O 4.4.c Merkez fark knc mertebeden doğrlğa saptr. B drmda grd bot ı arılamak kesme atasını aklaşık olarak öncek atanın çereğne kadar düşürür. Brnc mertebeden merkez farkın türev temsl eden gerçek eğme en akın oldğ Şekl 4. de görüldüğü gb merkez fark ler fark ada ger farklardan daa assas sonç verr. Eğer 4.4.a- 4.4.b alınırsa ve düzenlenrse knc mertebeden türev çn merkez fark elde edlr. Kesme atası O olr ! O 4.4.d

32 64 Anı şeklde türevler çn ş fadeler blrz: O k k ler fark 4.5.a O k k ger fark 4.5.b O k k merkez fark 4.5.c O k k ler fark 4.5.d 4.4 ve 4.5 denklemler sıkça kllanılmaktadır. Yüksek mertebeden türevler çn sonl farklar nadren kllanılır. Çünkü fzksel problemlerde kısm dferansel denklemlern çoğ knc mertebedendr. Doğrlğ daa fazla fadeler de nadren kllanılır. Çünkü çok term çerrler ve doğrlğ daa az olan fadeler daa küçük grd botlarında kllanılarak anı assaslık elde edleblr. Bazen karışık knc mertebeden türev / gerekldr. B drmda Talor Serlern kllanarak ş fadeler elde ederz. k k!...! k k 4.6.a k k!

33 65...! k k 4.6.b k k!...! k k 4.6.c k k!...! k k 4.6.d 4.6.a- 4.6.b- 4.6.c+ 4.6.d alırsak 4 4 k O k k k k k Üçüncü mertebeden türevler ok olr. B üzden k k O k a k= aldığımızda 4 O 4.7.b

34 eştlğ knc mertebeden merkez farklardır Lam 994. İknc mertebeden dferansel denkleml problemlerde sıkça ortaa çıkan br karmaşık operatör r dr. Üç noktalı knc mertebeden doğrlğa sap br merkez fark formülason ş şeklde verlmştr Hrs 995 : r r r r r / / / / / / r r r Düzenl br grd sstem çn sonl fark fadelern özetleelm: a O le ler farklar b O le ler farklar 4

35 c O le ger farklar d O le ger farklar

36 e O le merkez farklar f 4 O le merkez farklar g knc mertebeden karışık türevler çn merkez fark

37 69 k k O k O k =k se 4.. Düzensz Grd Sstem Şekl 4. Düzensz Grd Sstem Lam994. ve grd aralıkları farklı oldğ Şekl 4. te gösterlen düzensz br grd sstemn düşünelm. İlk olarak brnc türevler göz önüne alalım. Brnc mertebeden türevler çn.4.a ve.4.b ler ve ger fark eştlkler ş şeklde tekrar azılır Lam 994 : n O n ler fark 4.8.a O ger fark 4.8.b n k m

38 70 Merkez farklar çn.4.c ve.4.d eştlkler artık kllanılmamaktadır. Talor serler kllanılarak ş şeklde tekrar türetlrler:!! n n n 4.9.a!! 4.9.b *.9.a- n *.9.b şlemle merkez fark brnc türev çn ş şeklde elde edlr: n O n n n n 4.8.c *4.9.a+n*4.9.b alarak merkez fark knc türev çn ş şeklde elde edlr:... 4!! 4 4 n n n n n n n O n n n n n 4.8.d Anı şeklde türevler çn ş fadeler alablrz: O m m ler fark 4.0.a O k k ger fark 4.0.b km O m km k m m k k merkez fark 4.0.c

39 7 m O k m k k km m m k merkez fark 4.0.d Talor serlern kllanarak / karışık türev çn ş fadeler elde ederz: m n m n!...! m nm n 4..a k n k n!...! k nk n 4..b m m!...! m m 4..c k k!...! k k 4..d 4..a- 4..b- 4..c+ 4..d şlemle ş fade blrz:

40 7 k m n merkez fark 4.

41 7 BEŞİNCİ BÖLÜM MATEMATİK MODEL Sonl fark metodları eraltıs akım problemlerne glanan en esk çözüm öntemdr. Sonl fark öntemnde fzksel ortam üzernde br grd sstem krlr. Karşılaşılan agın k grd tp blok merkezl ve düğüm merkezl grdlerdr. Grdlerle bağlantılı düğüm noktaları blnmeen değerlern çözümünün elde edldğ erdek konmlarını gösterr. Nümerk çözümlern leştrlmes değşken grd kllanımı le arttırılablr Fast and Mercer 980 Pnder and Bredeoeft 968 Bear and Verrt 987. Sonl fark denklemler k oldan elde edleblr. Brncs Talor sers aklaşımı ve kncs kütle denges aklaşımıdır. Brnc ada knc aklaşımın kllanılması drmnda er düğüm çn br cebrk denklem elde edlr. B denklemler matrs formna getrlerek matrs metotlarıla çözüleblrler Fast and Mercer 980 Bear and Verrt 987 Wang and Anderson 98. İk botl kararsız eteroen anzotrop br ortamda değşken grd kllanılarak eraltıs akım denklemnn mplct çözümü aşağıda özetlenmştr. 5. İmplst Yaklaşım S s t K K Q.. 5. K K K

42 74... bc bc bb ba bb ba K K K ba. K bb. K bc K K K... bf bf be bd be bd K K K bd. K be. K bf t S Q bg n s n... bf be bd bc bb ba t S b s n+ =[ba+bb. n+ ++bc. n+ -+bd+be. n+ ++bf. n+ -+bg]/b 5.

43 75 B cebrk denklem takımı matrs şlemlerle ada erang br teratf metotla çözüleblr. 5. İmplct Yaklaşımın İteratf Çözümü Br matrs denklem matrs metotlarla teratf metotlarla ada er ksnn brleşmle nümerk olarak çözüleblr. Her metodn kendne özgü avanta ve dezavantaları vardır. Matrs metotlarının avantaları başlangıç değer gerektrmemes terason parametreler gerektrmemes ata toleransı gerektrmemes ve teratf esap şlemlern br kez apmasıdır. Dezavantaları se depolama gereksnm ve esap süresnn fazla olmasıdır. İteratf metotların avantaları depolama gereksnm ve esaplama süresnn az olmasıdır. Dezavantaları se başlangıç değer gerektrmes terason parametreler gerektrmes ata toleransı gerektrmes ve matrs apısının koşllanmış olmasını gerektrmesdr Fast and Mercer 980. Matrs öntemlern ver depolama gereksnmlernn fazla olmasından dolaı teratf çözüm öntemler eraltıs modellemesnde çok agın kllanımaktadır. Eğer lneer cebrk denklem sstem elptk br problemden elde edlmşse denklem sstem br defa çözülür. Eğer lneer cebrk denklem sstem parabolk br problemden elde edlmşse denklem sstem er zaman adımında çözülür Remson ve dğ. 97. İteratf öntemler noktasal terason ve blok terason metotları olarak k ana grba arılır. Noktasal terason metotları Noktasal Jacob Noktasal Gass-Sedell eksplst karakterde olmasına karşın blok terason metotları Blok Jacob Blok Gass-Sedell ADI mplst karakterdedr Ames 99. İterason şlemlern ızlandırmak amacıla Lsternk Atken Cebsev Congate Gradent Eşlenk Eğm SOR İteratf Aşırı Raatlatma vs. teknklerden br ızlandırıcı olarak kllanılır.

44 76 Herang br zaman adımında noktasında drolk ük değernn m nc terasondak değer m+ nc terasondak değer a olmak üzere 5. denklemne Gass Sedell terason şeması glanırsa aşağıdak eştlk blnr: a=[ba+bb.++bc.a-+bd+be.++bf.a-+bg]/b 5. a=.-r+a.r SOR teknğ-ızlandırma adımı 5.4 a- <=eps koşl sağlanana dek terason şlemler devam eder ve br sonrak zaman adımına geçlerek anı şlemler tekrar edlr. Ykarıdak denklemden görüldüğü gb m+ nc terasonda blnmeen noktaların değerler m nc terasondan blnen noktaların değerler kllanılarak esaplanmaktadır. Noktasal Gass-Sedell öntemnn eksplst karakterde oldğ açıkça görülmektedr. Hızlandırıcı olarak S.O.R. İteratf Aşırı Raatlatma teknğ kllanışlı olması ve etknlğ açısından terc edlmştr. B öntemn özel adı P.S.O.R.-Pont sccessve over-relaon Noktasal İteratf Aşırı Raatlatma metoddr.

45 77 ALTINCI BÖLÜM SAYISAL UYGULAMALAR B bölümde sabt ve değşken grd apısı kllanılarak düzgün ve düzgün olmaan geometrlerde gelştrlen çözüm teknğ glanmıştır. Saısal Örneklern doğrlğ analtk çözümlerle Lesnc ve dğ. 998 ve Tme-Dependent Grondwater Modellng Usng Spreadseet Solton-TGMSS Karaan ve Avaz 004 test edlmş ve karşılaştırılmıştır. Çözüm programına at akış şeması Ek- de çözüm safasının şematk gösterm Ek- de drolk letm katsaısı safasının şematk gösterm Ek- de depolama katsaısı safasının şematk gösterm Ek-4 te ve kanak-tk safasının şematk gösterm se Ek-5 de verlmştr. Çözüm şlemn gerçekleştrmek çn çözüm safası üzernde olştrlan model apısının benzer depolama katsaısı safası drolk letkenlk safası ve kanak-tk safalarında da olştrlmştr. Zamana bağlı eraltıs problemlern çözmek oldkça zordr. B problemlern çözümü eşzamanlı denklem çözümünü gerektrr. Eksplst algortma kllanılarak b zorlktan kaçınılablr ama stablte koşlna ablmek çn küçük zaman adımlarında çalışmak gerekr. B da şlem süresnn artmasına sebep olr. TGMSS modelnde mplst br metot olan teratf ADI metod kllanılarak oldkça stabl br çözüm teknğ gelştrlmştr. B modeln en büük avantaı erang br makro gerektrmemesdr. B tez kapsamında zamana bağlı k botl eraltıs akım denklem değşken zemn koşllarına göre sonl farklar metodna göre açılmış ve Vsal Basc le kod azılarak çözülmüştür. Çözüm safasının ardında çalışan makro programında er ücredek drolk ükü blmak çn gerekl olan lneer denklem takımının çözümü teratf br metotla sağlanmıştır. İmplst algortmadan kanaklanan oğn matrs şlemlern önlemek çn teratf metotların kllanımı oldkça fadalıdır.

46 78 Depolama katsaısı safası depolama katsaısı verlern drolk letm katsaısı safası drolk letm katsaısı verlern kanak-tk safası se k lokason ve k deblernn değerlern çerr. Hesaplama esnasında kanak debler + tk debler se - değer alır. Yeraltıs akım denklem değşken zemn özellklerne göre çözüldüğünden ver safalarına grlen er türlü değşklk çözüm safasına ansır ve anı anda da çözüm grafğne ansır. 6. Örnek B glamada kararlı drmdak eraltıs akım denklemnn analtk çözümü verlmekte ve saısal çözümle karşılaştırılmaktadır. Analtk çözümü mümkün olan br örneğn saısal olarak çözülmesnn neden gelştrlen modeln doğrlğn test çndr. Kararlı eraltıs akımına at en bast denklem. 0 T denklemdr. İletmllk katsaısı T alındığında b denklemn analtk çözümü olarak verlmektedr Lesnc ve dğ Yeraltıs akımının kararlı ale geleblmes çn a esap süresn çok büük ada depolama katsaısını 0 almalıız. B örnekte depolama katsaıları er ücrede eşt olmak üzere 0 alınmıştır. Hesap apılacak olan alan br ve kest de dkdörtgendr. Yatada ve düşede alan 0 eş parçaa bölünmüştür = =0.05 br. Maksmm terason saısı 0000 ve ata toleransı alınmıştır. B problemn saısal çözümü 5 s. sürmektedr. Şekl 6..a da analtk çözüm tablos Şekl 6..b de saısal çözüm tablos ve Şekl 6..c de se ata üzdeler verlmştr. Şekl 6..a ve Şekl 6..b den görüldüğü gb saısal çözümün analtk çözümle anı oldğ görülmektedr. Şekl 6..c den

47 79 görüldüğü gb ata mertebes maksmm % 0.7 cvarındadır. Hata toleransı daa küçük seçlerek ata mktarı azaltılablr.

48 6 80 Şekl 6..a Örnek e At Analtk Çözüm Tablos.

49 7 8 Şekl 6..b Örnek e At Saısal Çözüm Tablos.

50 8 8 Şekl 6..c Örnek e At Hata Yüzdeler.

51 8 6. Örnek B glamada Örnek de oldğ gb kararlı drmdak eraltıs akım denklemnn analtk çözümü ve saısal çözümü karşılaştırılmaktadır. B örnekte grd bot küçültülerek ata mertebes azaltılmaa çalışılmıştır. B örnekte depolama katsaıları er ücrede eşt olmak üzere 0 alınmıştır. Hesap apılacak olan alan br ve kest de dkdörtgendr. Yatada ve düşede alan 50 eş parçaa bölünmüştür = =0.0 br. Maksmm terason saısı 0000 ve ata toleransı alınmıştır. B problemn saısal çözümü 95 s. sürmektedr. Saısal çözüm sonçları analtk çözüm sonçları le anı blnmştr. Hata mertebes maksmm % cvarındadır. Grd botnn % 60 küçültülmes ata mertebesn aklaşık olarak kat azaltmıştır. Fakat esap süresn de 7 kat arttırmıştır. Hata toleransı daa küçük seçlerek ata mktarı azaltılablr. 6. Örnek B glamada düzgün br geometre sap br örnek sabt grd kllanılarak çözülmüştür. Kabl edlen geometr sınır koşlları ve çözüm sonçları Şekl 6.5.a da gösterlmştr. Şekl 6.5.b de TGMSS Karaan ve Avaz 004 modelnn sonçları gösterlmektedr. Alan 4.4 km kare kest-.. km Grd aralığı = =00m Özgül depolama katsaısı Ss= tüm ücrelerde anı Hdrolk letm katsaısı K=5 m/gün tüm ücrelerde anı Maksmm esap süres tma=600 gün Hesap adımı dt=600 gün Maksmm terason saısı mater=000 Maksmm ata eps=0.000

52 84 Besleme ve pompa apılan üç adet k smetrk olarak kanak-tk safasında erleştrlmştr. K debler Q=Q=4 m /gün tk ve Q=864 m /gün dür kanak. Zamana bağlı olarak M4 ücresnn no l k drolk ük değerler Şekl 6. de verlmştr. Grafkten de görüldüğü gb 00 günden sonra M4 ücresnn drolk ük değerler dengee laşmaktadır. B problemn çözümü 48 s. sürmektedr. ve no l kda drolk ük değer 0.55 m no l kda se drolk ük değer 8.5 m dr. TGMSS de ve no l klarda drolk ük değer 0.55 m no l kda se 8.5 m dr. Görüldüğü gb sonçlar TGMSS le m çersndedr. T = gün T=0 gün T=00 gün ve T=600 gün sonrak drolk ük değşmlernn grafkler Şekl 6..a Şekl 6..b Şekl 6..c ve Şekl 6..d de verlmştr. T=600 gün sonra drolk ük değşmlernn vektörel gösterm Şekl 6..e de verlmştr. T=600 gün sonrak drolk ük değşmlernn botl görünümü se Şekl 6.4 de verlmştr. Şekl 6.: Zamana Bağlı Olarak M4 Hücresnn Hdrolk Yük Değerler nol k.

53 Şekl 6..a: T= Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ. Şekl 6..b: T=0 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ.

54 86 Şekl 6..c: T=00 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ Şekl 6..d: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ.

55 Şekl 6..e: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Vektörel Gösterm. Şekl 6.4: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Botl Görünümü.

56 44 88 Şekl 6.5.a: Örnek e At Çözüm Tablos.

57 45 89 Şekl 6.5.b: TGMSS Modelne At Çözüm Tablos.

58 Örnek 4 B glamada Örnek e at tüm verler anı olacak şeklde seçlen br örnek değşken grd kllanılarak çözülmüştür. T=600 gün sonrak drolk ük değşmlernn botl görünümü Şekl 6.6 da T=600 gün sonrak drolk ük değşmlernn grafkler se Şekl 6.7 de verlmştr. B problemn çözümü 649 s. sürmektedr. Alan 4.4 km kare kest-.. km Grd aralığı değşken Özgül depolama katsaısı Ss= tüm ücrelerde anı Hdrolk letm katsaısı K=5 m/gün tüm ücrelerde anı Maksmm esap süres tma=600 gün Hesap adımı dt=600 gün Maksmm terason saısı mater=000 Maksmm ata eps=0.000 ve no l kda drolk ük değer 0.86 m no l kda se drolk ük değer 7. m dr. TGMSS de ve no l klarda drolk ük değer 0.55 m no l kda se 8.5 m dr. Örnek le karşılaştırdığımızda grd botları k cvarlarında %80 azaltıldığı çn k cvarlarında drolk ük değerlernde büük değşmler gözlenmektedr. ve no l klardak değşm cm no l kdak değşmn se 9 cm oldğ görülmektedr. nol k cvarında sıklaştırma şlemler daa fazla apıldığı çn en büük değşm brada olmştr. B drm sonçların assaslığını arttırmış olmakla brlkte çözüm süresn de aklaşık olarak 5 kat arttırmıştır. Daa assas çözüm elde etmenn dğer br ol da sabt grdl 9 noktalı mplst sonl fark şemasını kllanmaktır.

59 Şekl 6.6: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Botl Görünümü. Şekl 6.7: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ.

60 9 6.5 Örnek 5 B glamada sabt grd kllanılarak düzgün olmaan br geometre sap br örnek çözülmüştür. Kabl edlen geometr sınır koşlları ve çözüm sonçları Şekl 6. de gösterlmştr. Alan.78 km düzgün olmaan geometr Grd aralığı = =00m Özgül depolama katsaısı Ss= tüm ücrelerde anı Hdrolk letm katsaısı K=5 m/gün tüm ücrelerde anı Maksmm esap süres tma=600 gün Hesap adımı dt=600 gün Maksmm terason saısı mater=000 Maksmm ata eps=0.000 Besleme ve pompa apılan üç adet knn debler Q=Q=4 m /gün tk ve Q=864 m /gün dür kanak. Zamana bağlı olarak M5 no l k ücresnn drolk ük değerler Şekl 6.8 de verlmştr. Grafkten de görüldüğü gb 00 günden sonra M5 ücresnn drolk ük değerler dengee laşıor. B problemn çözümü 4 s. sürmektedr. no l kda drolk ük değer 0.66 m no l kda drolk ük değer 8.7 m no l kda se drolk ük değer 0.70 m dr. T = gün T=0 gün T=00 gün ve T=600 gün sonrak drolk ük değşmlernn grafkler Şekl 6.9.a Şekl 6.9.b Şekl 6.9.c ve Şekl 6.9.d de verlmştr. T=600 gün sonra drolk ük değşmlernn vektörel gösterm se Şekl 6.9.e de verlmştr. T=600 gün sonrak drolk ük değşmlernn botl görünümü se Şekl 6.0 da verlmştr.

61 9 Şekl 6.8: Zamana Bağlı Olarak M5 Hücresnn Hdrolk Yük Değerler nol k. Şekl 6.9.a: T= Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ.

62 94 Şekl 6.9.b: T=0 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ. Şekl 6.9.c: T=00 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ.

63 95 Şekl 6.9.d: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ. Şekl 6.9.e: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Vektörel Gösterm.

64 Şekl 6.0: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Botl Görünümü. 96

65 5 97 Şekl 6.: Örnek 5 e At Çözüm Tablos.

66 Örnek 6 B glamada Örnek 5 e at tüm verler anı olacak şeklde seçlen br örnek değşken grd kllanılarak çözülmüştür. T=600 gün sonrak drolk ük değşmlernn grafkler Şekl 6. de T=600 gün sonrak drolk ük değşmlernn botl görünümü se Şekl 6. de verlmştr. B problemn çözümü 94 s. sürmektedr. Alan.78 km düzgün olmaan geometr Grd aralığı değşken Özgül depolama katsaısı Ss= tüm ücrelerde anı Hdrolk letm katsaısı K=5 m/gün tüm ücrelerde anı Maksmm esap süres tma=600 gün Hesap adımı dt=600 gün Maksmm terason saısı mater=000 Maksmm ata eps=0.000 ve no l kda drolk ük değer.00 m no l kda se drolk ük değer 7.5 m dr. Örnek 5 le karşılaştırdığımızda grd botları k cvarlarında %80 azaltıldığı çn k cvarlarında drolk ük değerlernde büük değşmler gözlenmektedr. no l kda değşm 4 cm no l kda değşm 9 cm no l kdak değşmn se 0 cm oldğ görülmektedr. nol k cvarında sıklaştırma şlemler daa fazla apıldığı çn en büük değşm brada olmştr. B drm sonçların assaslığını arttırmış olmakla brlkte çözüm süresn de aklaşık olarak 57 kat arttırmıştır.

67 99 Şekl 6.: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Grafğ. Şekl 6.: T=600 Gün Sonrak Hdrolk Yük Değşmlernn Botl Görünümü.

68 00 YEDİNCİ BÖLÜM SONUÇ 7. Sonçlar B tez kapsamında zamana bağlı k botl eraltıs akımı değşken zemn koşlları altında düzgün ve düzgün olmaan geometrler çn çözülmüştür. Yeraltıs akımına at denklemn çözümünde 5 noktalı mplst sonl fark şeması kllanılmıştır. Çözüm safasının ardında çalışan makro programında er ücredek drolk ükü blmak çn gerekl olan lneer denklem takımının çözümü teratf br metotla sağlanmıştır. Örnek de kararlı drmdak eraltıs akım denklemnn analtk çözümü verlmş ve saısal çözümle karşılaştırılmıştır ve analtk çözümle karşılaştırıldığında maksmm relatf ata % 0.7 dr. Örnek de Örnek de oldğ gb kararlı drmdak eraltıs akım denklemnn analtk çözümü ve saısal çözümü karşılaştırılmaktadır. B örnekte örnek de verlen grd bot %60 küçültülerek ata mertebes azaltılmaa çalışılmıştır. Hata mertebes Örnek e göre kat azaltılmıştır. Fakat çözüm süres de aklaşık 7 kat artmıştır. Örnek de sabt grd kllanılarak düzgün br geometrde eraltıs modellenmştr. Blnan sonçlar TGMSS le anıdır. akımı Örnek 4 de Örnek e at tüm verler anı kalmak koşlla Örnek de verlen grd bot bazı noktalarda azaltılarak düzgün br geometrde eraltıs akımının modellenmes sağlanmıştır. Blassa sıklaştırma apılan erlerde çözümün assaslığı arttırılmıştır. Çözüm süres de aklaşık.5 kat artmıştır. Sıklaştırma şlemler no l k cvarında daa fazla oldğ çn en büük değşm brada aşanmıştır. Örnek 5 de sabt grd kllanılarak düzgün olmaan br geometrde eraltıs akımının modellenmes sağlanmıştır. Geometr k erler ve debler smetrk seçldğ çn sonçlar da smetrk blnmştr. Beklenlen davranış da bdr.

69 0 Örnek 6 da Örnek 5 e at tüm verler anı kalmak koşlla Örnek 5 de verlen grd bot bazı noktalarda azaltılarak düzgün olmaan br geometrde eraltıs akımının modellenmes sağlanmıştır. Blassa sıklaştırma apılan erlerde çözümün assaslığı arttırılmıştır. Çözüm süres de aklaşık olarak 57 kat artmıştır. Sıklaştırma şlemler no l k cvarında daa fazla oldğ çn en büük değşm brada aşanmıştır. 7. Önerler Lneer denklem sstemlernn çözümünde ızlılık sırasına göre LSOR teratf blok aşırı raatlatma IADI teratf değşen ön mplst SIP güçlü mplst kral ve Mltgrd çokl grd metod gb daa güçlü teratf öntemler kllanılarak gelştrlen çözüm programının esap süres kısaltılablr. Arıca klm değşklkler avza karakterstkler ve dış etklern de dkkate alınması gelştrlen çözüm teknğnn geleneksel programlama kodlarına karşı güçlü br alternatf olmasını arttıracaktır. Değşken grd kllanımında grd aralıklarının gelşgüzel seçlmes doğrlk mertebesn düşürmektedr. B nedenle değşken grd kllanırken grd aralıkları düzgün br şeklde arttırılmalı vea azaltılmalıdır. Çözümün assaslığını arttırmanın dğer br ol da sabt grdl 9 noktalı mplst sonl fark şemasını kllanmaktır. Sonçlar değşken grdl 5 noktalı mplst sonl fark şeması kllanılarak blnan sonçlarla karşılaştırılarak esap süres daa az ve doğrlk değer daa fazla olan terc edlmeldr. Gelştrlen çözüm teknğ müendslk glamalarında oldğ kadar sonçların görsel olarak zleneblmes nedenle müendslk eğtmnde de öneml br eğtm aracı olarak kllanılablr.

70 0 KAYNAKLAR. Hrs C. Nmercal Comptaton of Internal and Eternal Flows Volme : Fndamentals of Nmercal Dscretzaton Jon Wle& Sons ISBN s. Great Brtan Lam C.Y Appled Nmercal Metods for Partal Dfferental Eqatons Prentce Hall ISBN s. Sngapore Bear J. Verrt A. Modellng Grondwater Flow and Pollton Klwer Academc Pblsers ISBN X 44 s. Neterlands Freeze R.A. Cerr J. A. Yeraltı S Çev.: Kaml Kaabalı Gaz Ktabev ISBN s. Ankara Ergvanlı K. Yüzer E. Yeraltısları Hdroeolos 9 s. İstanbl Beazıt M. Hdrolo İTÜ Yaın No: s. İstanbl Ames W.F. Nmercal Metods for Partal Dfferental Eqatons nd Ed. Academc Press ISBN X 45 s. USA Remson I. Hornberger G.M. Molz. F.J. Nmercal Metods n Sbsrface Hdrolog Jon Wle& Sons ISBN s. USA İrfanoğl B. Yeraltıslarında Krllğn Nümerk Smlason ODTÜ Fen Blmler Ensttüsü Yüksek Lsans Tez 06 s. Ankara Yılmaz H. Elektronk Tablolama Yöntem le Yeraltı S Akımının İncelenmes İTÜ Fen Blmler Ensttüsü Yüksek Lsans Tez 66 s. İstanbl Avaz M.T. Serbest Yüzel Sızma Problemlernn Çözümü İçn Pratk Br Yaklaşım Anadol Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Yüksek Lsans Tez 9 s Avaz M.T. Tncan M. Karaan H. Tncan A. An Etended Pressre Applcaton for Transent Seepage Problems wt a Free Srface Jornal of Poros Meda Karaan H. Avaz M.T. Transent Grondwater Modellng Usng Spreadseet Advances n Engneerng Software Anderson M.P. Woessner W.W. Appled Grondwater Modellng Acedemc Press ISBN s. USA Bear J. Dnamcs of Flds n Poros Meda Amercan Elsever 764 s. USA Fast C.R. Mercer J.W. Grond-Water Modellng : Nmercal Metods Grond Water Vol

71 0 7. Pnder G.F. Bredeoeft J.D. Applcaton of te Dgtal Compter for Aqfer Evalaton Water Resorces Researc Vol Freeze R.A. Wterspoon P.A. Teotetcal Analss of Regonal Grondwater Flow : Analtcal and Nmercal Soltons to te Matematcal Model Water Resorces Researc Vol a. 9. Freeze R.A. Wterspoon P.A. Teotetcal Analss of Regonal Grondwater Flow : Effect of Water-Table Confgraton and Sbsrface Permeablt Varaton Water Resorces Researc Vol b. 0. Bredeoeft J.D. Fnte Dfference Appromaton to te Eqatons of Grondwater Flow Water Resorces Researc Vol Talor G.S. Ltn J.N. Compter Metods for Transent Analss of Water-Table Aqfers Water Resorces Researc Vol Bedeoeft J.D. Pnder G.F. Dgtal Analss of Areal Flow n Mltaqfer Grondwater Sstems : A Qas Tree Dmensnal Model Water Resorces Researc Vol Prckett T.A. Lonnqst C.G. Selected Dgtal Compter Tecncs for Grondwater Resorce Evalaton Illons State Water Srve Blletn 55 6 s Larsson S.P. Trescott P.C. Solton of Water-Table and Ansotropc Flow Problems b Usng te Strongl Implct Procedre Jornal Researc U.S. Geol. Srve Vol Knzelbac K. Grondwater Modellng Elsever ISBN s. Neterlands Lesnc D. Ellot L. Ingam D.B. A Bondar Element Metod for te Determnaton of te Transmssvt of A Heterogenos Aqfer n Grondwater Flow Sstems Engneerng Analss wt Bondar Elements

72 04 EK : Saısal Örneklern Çözümünde Kllanılan Akış Şeması Başla Geometrnn olştrlması Zemn parametrelernn tanımlanması Başlangıç ve sınır şartlarının grlmes Zaman adımı ve toplam esap süres a atama=ma a- a= atama<=e Evet Haır ter=ter+ t=t+dt Evet t<=tma Haır Sonçlar Son

73 6 05 EK : Çözüm Tablosnn Şematk Gösterm

74 6 06 EK : Hdrolk İletm Katsaısı Safasının Şematk Gösterm

75 6 07 EK 4: Depolama Katsaısı Safasının Şematk Gösterm

76 64 08 EK 5: Kanak-Ytk Safasının Şematk Gösterm

77 09 ÖZGEÇMİŞ Adı soadı : Güran Gürarslan Ana adı : Hanım Baba adı : Hüsen Mrat Doğm er ve tar : İskendern 974 Lsans eğtm ve meznet tar : Pamkkale Ün. Mü. Fak. İnş. Mü. Böl. 998 Çalıştığı er : Kö Hz. Gn. Müd. APK Da. Bşk. Toprak ve S Kanakları Şb. Md. Bldğ abancı dller aldığı belgeler: İnglzce Devlet Lsan Ok. Btrme Sertfkası Meslek etknlkler varsa: ---