ISSN:306-3 e-joual of New Wold Scieces Academ 009 Volume: 4 Numbe: 4 Aticle Numbe: 3A006 PHSIAL SIENES eceived: abua 009 Accepted: Septembe 009 Seies : 3A ISSN : 308-7304 009 www.ewwsa.com Goca İceoğlu efail Kasımbeli Aadolu Uivesit iceoglugoca@gmail.com Eskisehi-Tuke ADAL EPİTÜEVLEİN BAZI ÖZELLİKLEİ ÜZEİNE Bİ AAŞTIMA ÖZET Bu makalede tek değeli ve küme değeli döüşümle içi adal epitüevlei bazı özellikleii iceledik. adal epitüevle ve adal tüevle ilişkisii iceledi. Aahta Kelimele. Küme Değeli Döüşüm adal Koi adal Epitüev adal Tüev. A ESEAH ON SOME POPETIES O THE ADIAL EPIDEIVATIVES ABSTAT I this pape we stud some impotat popeties of the adial epideivatives fo sigle valued ad set valued maps. The elatioship betwee the adial epideivative ad the adial epideivative has bee establish. Kewods. Set Valued Map adial oe adial Epideivative adial Deivative
e-joual of New Wold Scieces Academ Phsical Scieces 3A006 4 (4) 4-3. İceoğlu G. ve Kasımbeli.. GİİŞ (INTODUTION) So ıllada tüev kavamı küme değeli aaliz ve küme değeli optimizaso teoiside öem kazaa bi çalışma kousu halie gelmişti ve liteatüde çeşitli şekilde fomule edilmişti [ 3 4 5 6 7 8 9 0 ve ]. otiget tüev kavamı ilk olaak Aubi taafıda veilmişti []. Küme değeli döüşümle içi cotiget tüev kavamı küme değeli optimizasoda öemli bi ol oa ve optimallik koşullaıı elde edilmeside kullaılmıştı. akat geekli optimallik [7 Theoem 4.] koşulaı ve eteli [7 Theoem 4.] optimallik koşullaıı stadat vasaımla altıda çakışmadığı otaa çıkmıştı. Bu da küme değeli optimizasoda optimallik koşullaıı elde edilmeside cotiget tüevi doğu bi aaç olmadığıı göstemişti. Bu edele ilk olaak Aubi taafıda cotiget epitüev kavamı cotiget üst tüev adıla taımlamıştı. Daha soa kotekste cotiget epitüev adıla kullaılmıştı. Liteatüde koveks küme değeli optimizaso poblemlei içi Jah ve auh taafıda veile cotiget epitüev kavamı çok ağbet gömüş ve izlee çalışmalada kullaılmıştı [9]. Koveks olmaa poblemlede kullaılmak üzee ilk olaak Baza [4] taafıda adal epitüev kavamı taımlamıştı ve bu kavam kullaılaak küme değeli optimizasoda kovekslik vasaımı olmaksızı zaıf miimal çözümle içi optimallik koşullaı elde edildi. akat Baza taafıda veile adal epitüev taımı küme değeli döüşümlei ifimum değeleii valığıı gaati ede. Üstelik temel kaakteizaso teoemi sıalama koisi i koveks poited ve vasaımı altıda ispatlaı (bkz [4Theoem 3.9]). Bu koşulla çok kısıtlaıcı koşulladı ve aza taafıda da kısıtlaıcı olaak itelediili (bkz [5]). Kasımbeli kovekslik ve sıılılık vasaımlaı olmaksızı bi küme değeli döüşüm içi ei bi adal epitüev kavamıı taımladı ve küme dğeli döüşümle içi bu ei kavamı kullaaak geekli ve eteli optimallik koşullaıı elde etti [8].. ÇALIŞMANIN ÖNEMİ (ESEAH SIGNIIATION) Çalışmaı amacı Kasımbeli taafıda veile adal epitüevlei özellikleii icelemek ve bu epitüevi adal tüevle ilişkisii kumaktı. 3. ADAL EPİTÜEVLE VE ÖZELLİKLEİ (ADIAL EPIDEIVATIVES AND POPETIES) Sıasıla Jah ve auh ve Kasımbeli taafıda taıtıla cotiget epitüev ve adal epitüev kavamlaıı stadat kavamlala bilikte hatılaalım. bi eel omlu uza kümesi uzaıı boş olmaa bi alt kümesi olsu. He x ve he 0 içi x ise kümesie bi koi dei. bi koi olsu. 0 ise koisie poited koi dei. Taım.. Taım. S kümesi eel omlu uzaıı boş olmaa bi alt kümesi olsu. coes x : 0 s S kümesie S kümesi ile üetile koi dei. 5
e-joual of New Wold Scieces Academ Phsical Scieces 3A006 4 (4) 4-3. İceoğlu G. ve Kasımbeli. Taım 3.. bi eel omlu uza olsu. çapım uzaıı he bi alt kümesi üzeide bi adi bağıtı olaak adladıılı. Kefi x z w içi aşağıdaki aksiomla sağlaıosa üzeide adi bağıtısı bi kısmi sıalama bağıtısı olaak adladıılı: a) x x b) x z x z c) x w z x w z d) x x Taım 4. Bi eel omlu uzada kısmi sıalamaı kaakteize ede bi koveks koi sıalama koisi olaak adladıılı. Taım 5. U kümesi. eel omlu uzaı boş olmaa bi alt cl U z dizisi; pozitif eel IN kümesi olsu ve z veilsi. U saılaı bi IN dizisi z z 6 lim ve h z z lim olacak şekilde vasa h Z vektöüe U a z oktasıdaki tajat vektöü dei. z oktasıdaki tüm tajat vektölei kümesie U kümesie z oktasıdaki cotiget koisi dei [9]. Taım 6. U kümesi. kümesi olsu ve clu adal koisi eel omlu uzaı boş olmaa bi alt z veilsi. U kümesii z oktasıdaki kapalı U z z : 0 z lim z z Niçiz z N U olaak taımlaı. Dikkat edilise kapalı adal koi dek olaak aşağıdaki gibi taımlaı: Taım 7. U kümesi. kümesi olsu ve clu eel omlu uzaı boş olmaa bi alt z veilsi. U kümesii z oktasıdaki kapalı N z adal koisi U z z : 0 z U lim z z olaak taımlaı. Bu taımlada olduğu göülü [8]. U z cl coe U z Taım 8.. ve. eel omlu uzala S kümesi uzaıı boş olmaa bi alt kümesi ve : S küme değeli bi döüşüm olsu. gaph x : x S x kümesi küme değeli döüşümüü gafiği olaak adladıılı.
dom x : x e-joual of New Wold Scieces Academ Phsical Scieces 3A006 4 (4) 4-3. İceoğlu G. ve Kasımbeli. kümesi küme değeli döüşümüü taım kümesi olaak adladıılı. uzaı bi koveks koisile kısmi sıalı olsu. epi x : x S x kümesi küme değeli döüşümüü epigafı olaak adladıılı. Bi x gaph ikilisi veilsi. Epigafı küme değeli döüşümü epigafıı x oktasıdaki cotiget koisie eşit ola tek değeli Dx : döüşüme ; ai Dx epi x epi ; döüşümüü x oktasıdaki cotiget epitüevi dei [9]. Şimdi Kasımbeli taafıda veile adal epitüevi taımıı hatılaalım [8]. Taım 9.. ve. eel omlu uzala S kümesi uzaıı boş olmaa bi alt kümesi ve ve x gaph : S küme değeli bi döüşüm olsu veilsi. Epigafı küme değeli döüşümüü epigafiğie x oktasıdaki adal koisie eşit ola ai epid x epi x tek değeli döüşüm x : küme değeli döüşümüü x D oktasıdaki adal epitüevi olaak adladıılı. Bu taımı aşağıdaki öekle açıklaalım. x x ile taımlaa Öek. döüşümüü düşüelim. epi kümesii : küme değeli bi 0 oktasıdaki adal koisiie bakacak olusak epi 0 x : x di ve dolaısıla bu oktadaki adal epitüevi x x x D olu. Şimdi küme değeli döüşümüü adal epitüevleii bulalım. 0 olup adal epitüevi olu. 0 epi D 0 0 0 ve 0 oktalaıdaki x oktasıdaki adal koi x x oktasıdaki adal koi epi 0 x x 0 0 x 0 x x 0 0 x 0 0 x 0 x x 0 7
e-joual of New Wold Scieces Academ Phsical Scieces 3A006 4 (4) 4-3. İceoğlu G. ve Kasımbeli. olup adal epitüevi 3 4 olu. Şimdi D 0 x 0 x 0 x x 0 x oktasıda adal koisi ve adal epitüevi sıasıla x 3 0 x epi 4 3 x 0 x 3 0 x D x 4 3 x x 0 olu. Kasımbeli teoemii vedi. Teoem.. eel omlu uza S kümesi uzaıı boş olmaa bi alt kümesi ve özel duumuda adal epitüevle içi valık x elemalaı veilsi. f g : : S bi küme değeli döüşüm olsu. S epig epi x epif epitüev D x he x içi D x x mi : x epi x x ve foksiolaı olacak şekilde va olsu. O zama adal olaak veili. Aşağıdaki öek bu teoemi sağladığıı göstei. Öek. : küme değeli döüşümü aşağıdaki gibi taımlası: x x x 0 0 x 0 x 00 olsu. gaph oktasıdaki epi i adal koisi epi 00 x di. Bölece adal epitüev he olaak 00 epi 00 0 epi olduğu açıktı ve x 00 : 0 x oktasıdaki x içi D x x 0 olu. Beze epi i cotiget koisi T : 0 olup; dolaısıla cotiget epitüevi D : aşağıdaki gibi taımlaı: 0 x 0ise Dx x x 0ise Buada açıkça göüldüğü gibi; adal epitüev he x içi vadı fakat cotiget epitüev ise sadece x 0 oktasıda vadı. 8
e-joual of New Wold Scieces Academ Phsical Scieces 3A006 4 (4) 4-3. İceoğlu G. ve Kasımbeli. Taım 0. bi eel liee uza ve eel liee uzaı bi koveks koisile kısmi sıalı olsu. f : döüşümü i. He 0 ve he x içi f x f x (pozitif homojelik) ii. He x x f x x f x f x içi (alt toplamsallık) Özellikleii sağlıosa subliee olaak adladıılı [9]. ve olmasıda duumuda ii. koşulu he x x içi f x x f x f x olaak azılabili. Aşağıdaki teoem küme değeli döüşümüü -koveks olması duumuda cotiget epitüevle içi ispatladı [9 Theoem 4]. Teoem.. ve. eel omlu uzala bi poited koveks koisile kısmi sıalı S kümesi uzaıı boş olmaa bi alt kümesi : S küme değeli bi döüşüm olsu ve x S ve x elemalaı veilsi. adal epitüev D x vasa o zama pozitif homojedi. Üstelik epi x koveks koi ise o zama adal epitüev sublieedi(altliee). Kaıt. Başlagıç olaak kefi 0 ve kefi x alalım. D x x D x x epi D x olduğu içi epi koi ve x D x x epid x D x x D x x elde edeiz. akat x D x x epid x x D x x epid x di. Epigafı taımı ile () ile de olu bu da D x x D x x vea D x x D x x. () poited olduğuda ve de () ve ()koşullaıda D x x D x x.. (3) Üstelik () de ve x 0 alaak x 0 D x 0 D x 0. 0 0 epid x D elde edeiz. Buada da olduğuda D x 0 x 0 0 olu. poited olduğuda D. Bölece adal epitüev pozitif homojedi. Alt toplamsallık içi kefi x x alalım. x D x x epid x x D x x epid x ve epi x epid x koveks bi koi olduğu içi x x D x x D x x 9
e-joual of New Wold Scieces Academ Phsical Scieces 3A006 4 (4) 4-3. İceoğlu G. ve Kasımbeli. olu; bu ise vea D x x D x x D x x x D x x D x x D x x x olmasıı geektii. Bölece adal epitüevi subliee olduğuu göstemiş olduk. Aşağıdaki öek adal koi koveks değilse adal epitüevi subliee olmadığıı açıkla. Öek 3. küme değeli döüşümü Öek deki gibi olsu. x 00 içi epi 00 x : x di ve buada da adal epitüev x x x D olu. Açıkça göüldüğü gibi epi() kümesii adal koisi koveks değildi ve adal epitüev de subliee değildi. Geçekte; Kefi x x alalım. D x x x x x x x D x x D x x olu ki bu da adal epitüevi subliee olmadığıı göstei. Şimdi Baza taafıda veile adal tüev kavamıı hatılaalım. Taım.. ve. eel omlu uzala S kümesi uzaıı boş olmaa bi alt kümesi ve ve x gaph : S küme değeli bi döüşüm olsu veilsi. Gafiği küme değeli döüşümüü gafiğie x oktasıdaki adal koisie eşit ola ai gaphd x gaph x küme değeli döüşüm D x : küme değeli döüşümüü x oktasıdaki adal tüevi olaak adladıılı. Buada koveks olmaa küme değeli döüşümle içi adal tüev ve adal epitüev aasıdaki ilişkii kaıtladık. Teoem 3.. ve. eel omlu uzala ve uzaı bi kapalı koveks koisile kısmi sıalı ve : küme değeli bi x gaph veilsi. adal tüev ve adal döüşüm olsu ve epitüev vasa o zama epid x epid x dı. 30
e-joual of New Wold Scieces Academ Phsical Scieces 3A006 4 (4) 4-3. İceoğlu G. ve Kasımbeli. Kaıt. epi D x epi x clcoeepi x clcoegaph x 0 clcoegaph x cl 0 clcoegaph x 0 gaph x 0 epid x.. ve. Teoem 4. eel omlu uzala ve uzaı bi kapalı koveks koisile kısmi sıalı ve : küme değeli bi x gaph veilsi. adal epitüev döüşüm olsu ve D x vasa altta aı süeklidi. Kaıt adal koi bi omlu uzada daima kapalı ve x epi x epid olduğuda adal epitüevi epigafı da kapalıdı (bkz [ Theoem 7. 5.s]). Bölece adal epitüev altta aı süeklidi. Teoem 5.. ve. eel omlu uzala S kümesi uzaıı boş olmaa bi alt kümesi uzaı bi koveks koisile kısmi sıalı f g : S ve x S olmak üzee : S küme değeli bi döüşümü olaak veilsi. adal epitüev x: : f x gx x f x x f x D f x f x D vasa o zama D. Kaıt. küme değeli döüşümü taımıda olu. Buada x : x S f x epi f epi epi epi D x f x epi x f x f x f x D f x f x epi olu. Bu da iddiamızı doğula. 4. SONUÇ VE ÖNEİLE (ONLUSION AND SUGGESTION) Bu makalede Kasımbeli taafıda [8] de taımlamış ola adal epitüevi sublieelik ve altta aı süeklilik özelliklei iceledi. adal epitüevi adal tüev ile ola ilişkisi kuuldu. adal epitüevi taım kümesii cotiget epitüevi taım kümeside daha geiş olduğu bi öek adımıla açıkladı. Buda soaki çalışmalaımızda; adal epitüev kavamıı geelleştimei ve 3
e-joual of New Wold Scieces Academ Phsical Scieces 3A006 4 (4) 4-3. İceoğlu G. ve Kasımbeli. geelleştiilmiş epitüevi adal epitüevle ilişkisii icelemei ve valık teoemleii ispatlamaı ümit ediouz. KANAKLA (EEENES). Aubi J-P. (98). otiget deivatives of set-valued maps ad existece of solutios to oliea iclusios ad diffeetial iclusios. Mathematical Aalsis Ad Applicatios New ok Pat A 60-9.. Aubi J_P. ve Ekelad I. (984). Applied Noliea Aalsis Wile New ok. 3. Aubi J-P. ad akowska H. (990). Set valued aalsis. Bikhause Bosto. 4. Baza.. (00). Optimalit coditios i ocovex setvalued optimizatio Mathematical Methods of Opeatios eseach 53403-47. 5. Baza.. (003). adial epideivatives ad asmptotic fuctio i ocovex vecto optimizatio SIAM J. Optim. 4 84-305. 6. he G.. ad Jah J. (998). Optimalit coditios fo setvalued optimizatio poblems Mathematical Methods of Opeatios eseach 48 87-00. 7. ole H.W. (997). Optimalit coditios fo maximizatio i patiall odeed liea spaces J. Optimizatio Theo ad Applicatios 58-0. 8. Kasımbeli.N. (009). adial epideivatives ad set-valued optimizatio Optimizatio 8(5) 59-53. 9. Jah J. ve auh.(997). otiget epideivatives ad setvalued optimizatio Mathematical Methods of Opeatios eseach 4693-. 0. Luc D.T. (989). Theo of vecto optimizatio Spige Beli.. Luc D.T. (99). otiget deivatives of set-valued maps ad applicaitos to vecto optimizaito. Math. Pogammig 5099-.. ocafella.t. (970). ovex Aalsis Piceto New Jese. 3