İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER VE İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR * Idempotet Tasfomatios ad Semigoups Geeated by Idempotet Tasfomatio Hayiye GÜÇKIR Matematik Aabilim Dalı Goca AYIK Matematik Aabilim Dalı ÖZET Solu bi X 12 kümesi üzeide taımlaa tüm kısmi döüşümle yaıgubuu tüm döüşümle yaıgubuu pemütasyo gubuu ve sigüle döüşümle yaıgubuu sıasıyla P T S ve ST ile gösteelim. Öcelikle Stilig ve Catala sayılaıı açıkladık. Bu çalışmada P T ve ST i bazı özelliklei özellikle idempotet elemala bu yaıguplaı ak özelliklei ve bu yaıguplaı bazı alt kümelei ve alt yaıguplaı ile ilgili liteatüde ola bilgile delemişti. Aahta Kelimele: Sigüle döüşümle yaıgubu idempotet elema idempotet ak ABSTRACT Let P T S ad ST espectively deote the patial tasfomatio semigoup full tasfomatio semigoup pemutatio semigoup ad sigula X 12. We fist tasfomatios semigoup defied o a fiite set explaied Stilig ad Catala umbes. I this study we make a suvey of some popeties of P T ad ST especially idempotet elemets ak popeties of these semigoups ad some special subsets ad subsemigoups of these semigoups. Keywods: Sigula tasfomatio semigoup idempotet elemet idempotet ak Giiş Yaıgup sadece bileşme özelliğii sağlaya bi ikili işlem taımlamış boşta faklı kümeledi. Yaıgupla gup yapısıda daha az koşulu sağladığıda dolayı ayı elema sayısıa sahip bibiie izomofik olmaya * Yüksek Lisas Tezi-MSc. Thesis - 118 -
yaıguplaı sayısıı guplaa oala çok fazla olduğu yaıgup yapısıı ilk dikkat çeke özelliğidi. Öeği aşağıdaki çizelgedeki deecesi 8 ola yaıgupla hakkıdaki bilgile Satoh S. Yama K. ve Tokizawa M. taafıda 1994 yılıda yapıla çalışmada bulua bilgilede alımıştı. Bu çalışmada 1843120128 adet bibiie izomofik olmaya deecesi 8 ola yaıgubu mevcut olduğu bu yaıguplaı da 221805 taesii değişmeli yaıgup olduğu bulumuştu. Aşağıdaki tabloda deecesi e fazla 8 ola izomofik olmaya gup ve yaıgup sayılaıı gömekteyiz. Çizelge 1. İzomofik Olmaya Gup ve Yaıgup Sayılaı Deece Guplaı Sayısı Yaıguplaı Sayısı 1 1 1 2 1 4 3 1 18 4 2 126 5 1 1.160 6 2 15.973 7 1 15.973 8 5 1.843.120.128 X 12 boşta faklı hehagi bi küme olmak üzee X kümeside X kümesie taımlı tüm döüşümlei kümesii T ile gösteelim. T kümesi bileşke işlemi ile bi yaıgup olup bu yaıguba tüm döüşümle yaıgubu dei. T yaıgubuu bi alt yaıgubua döüşüm yaıgubu diyeceğiz. Eğe X x dom içi x 1 oluyosa ya (foksiyo) dei. X üzeide bi kısmi döüşüm X üzeideki tüm kısmi döüşümlei kümesi P ile gösteili. Klasik solu döüşümle yaıgubu hakkıdaki temiolojiyi bi aada bulacağımız kayaklaa öek olaak Gayushki Mazochuk (2008) Howie(1966) Howie (1995) Higgis (1992) kayak ve çalışmalaı veebiliiz. - 119 -
Bi döüşümü içi Fix( ) Shift ( ) Def ( ) kümeleii ve fix( ) shift ( ) def ( ) pozitif tamsayılaıı Fix( ) x X : x x Def ( ) X im ( ) Shift( ) X Fix ( ) fix( ) Fix ( ) def ( ) Def ( ) shift( ) Shift ( ) olaak taımlayalım. Def ( ) kümesie ı (defect kümesi) oksalık kümesi Fix ( ) kümesie ı (fixlei kümesi) sabitlei kümesi Shift ( ) kümesie ı (shiftlei kümesi) değişelei kümesi dei. S bi yaıgup olsu. S yaıgubuu ak ve idempotet akı mi : mi : ak S A A S ve A S idak S A A E S ve A S olaak taımlaı. Taımlaa dikkat edilecek olusa idak S ak S di. Ayıca S yaıgubu üzeideki L R J D Gee deklik bağıtılaı Howie (1995) de taımlamıştı. def ( ) olmak üzee imaj kümeside tae elema ola döüşümlei içee D-sııfıı D ile gösteeceğiz. 1 1 olmak üzee taımlaı. Dikkat edilecek olusa K yaıgubuu bi alt yaıgubudu. K kümesi K T : im olaak T ve K 1 ST di. K kümesi T T alalım. x y X içi x y ike x y oluyo ise ya bi sıa kouya döüşüm dei. X üzeide taımlı tüm sıa kouya tam döüşümle yaıgubua sıa kouya döüşüm yaıgubu dei ve O ile gösteili. O kümesi T yaıgubuu bi alt yaıgubudu. T alalım. x X içi x x oluyo ise ya sıa azalta döüşüm dei. X üzeide taımlı tüm sıa azalta döüşümle yaıgubua sıa azalta döüşümle yaıgubu dei ve ile gösteili. D kümesi T yaıgubuu bi alt yaıgubudu. D - 120 -
1 1 olmak üzee D kümesi D D taımlaı. D kümesi D yaıgubuu bi alt yaıgubudu. DP D 1 D D : im : im olaak DP kümesi olaak taımlaı. DP kümesie D i Rees bölümü dei alalım. x y X içi x x ve x y ike x y oluyo ise T ya sıa kouya ve azalta döüşüm dei. X üzeide taımlı tüm sıa kouya ve azalta döüşümlei yaıgubua sıa kouya ve azalta döüşümle yaıgubu dei ve C ile gösteili. Dikkat edilecek olusa C O D di.1 1 olmak üzee taımlaı. PK PK kümesi K P : im kümesi P yaıgubuu bi alt yaıgubudu. - 121 - olaak Stilig ve Catala Sayılaı Geel olaak A m ve B solu kümelei içi A da B ye öte foksiyolaı sayısı m 1 2 1 k 1 k 1 2 k k 2 m 1 m 1 2 1 1 2 1 di. Daha kısa olaak ifade etmek istesek A da B ye öte foksiyolaı sayısı 1 m m k m k m k k m ve B solu kümelei içi A k m k m 1 k 1 k k0 k0 di. Bu sayı sadece öte foksiyolaı vemei dışıda başka poblemleide yaıtı olaak düşüebiliiz. Bu poblemlee öek olaak aşağıdaki poblemi veebiliiz. Geel olaak m olmak üzee m tae eseyi kutuya hiçbi kutu boş kalmayacak biçimde kaç faklı şekilde dağıtabiliiz? Bu poblemi de yukaıdaki öte foksiyola gibi düşüüsek cevap ayı sayıdı. Yai geel olaak m olmak üzee m tae eseyi kutuya hiçbii boş kalmayacak şekilde
1 k k k m k m 1 k 1 k k0 k0 faklı şekilde dağıtabiliiz. Kabul edelim ki bu kutulaı faklı yapa üzeleideki etiketle olsu. Yai etiketle çıkaıldığıda kutula tamame ayı kutula olsu. Bu tae faklı etiketi bu kutuya! faklı şekilde dağıtabileceğimizde m tae eseyi kutuya hiçbii boş kalmayacak şekilde 1 1 k m 1 k m 1 k 1 k! k! k k0 k0 faklı dağıtabiliiz. Bu sayıya ikici tip Stilig Sayısı dei ve S( m ) ile gösteili. 1 S( m ) 1 k m! k 0 k k m. Dikkat edilecek olusa m elemalı bi kümede elemalı bi kümeye öte foksiyolaı sayısı! S( m ) di. D alt yaıgubuu tüm idempotet elemalaıı kümesi E( D ) ve ikici tip Stilig Sayısı S( m ) olmak üzee E( di. Q P : im D 0 ) S( ) 1 olmak üzee Q kümesii tüm ilpotet elemalaıı sayısı Laadji ve Uma taafıda 2004 yılıda yapıla çalışmada olaak bulumuştu. N( Q) S( 1)! x kaelik bi alada köşegei üzeie çıkmayacak şekilde sol alt köşede sağ üst köşeye kaç faklı şekilde ulaşılabileceğii bulalım. Öeği 4x4 lük alada 14 tae faklı yol isteile özelliği sağla. Bu poblemi cevabıı ispatı Nesi (2009) da ye almaktadı. Geel duum x kaelik bi alada isteile yollaı sayısı - 122 -
olup bu sayıya Catala Sayısı dei ve C 1 2 1 C ile gösteili. Higgis taafıda 1993 de yapıla çalışmada olmak üzee sıa kouya ve azalta döüşümlei yaıgubu sayısıı C -ici Catala sayısı C i elema C 1 2 C 1 olduğu gösteilmişti. Laadji ve Uma taafıda 2006 de yapıla çalışmada C 1 1-ici Catala sayısı olmak üzee sıa kouya ve azalta döüşümlei yaıgubu C i tüm ilpotet lemalaıı sayısıı olduğu gösteilmişti. N( 1 2 2 1 C ) C 1 Döüşüm Yaıguplaıı Rakı Howie ve McFadde 1990 yılıda yaptıklaı çalışmada T i alt yaıgubu K i akıı ak K S olduğuu göstemişti. Yie ayı çalışmada K i idempotet akıı idak K S olduğuu gösteileek K i ak ve idempotet akıı eşit olduğu bulumuştu. - 123 -
P yaıgubuu PK alt yaıgubu daha öce taımlamıştı. Gaba taafıda 1990 yılıda yapıla çalışmada PK alt yaıgubuu akı 1 1 ak PK S olaak bulumuştu. Yie ayı çalışmada PK alt yaıgubuu idempotet akıı 1 1 idak PK S olaak gösteilip PK i ak ve idempotet akıı eşit olduğu bulumuştu. DP ( ) Rees bölümüü daha öce taımlamış olup Laadji ve Uma taafıda 2006 yılıda yapıla çalışmada DP ( ) i akı olaak bulumuştu. ak DP ( ) S( ) İdempotetle Taafıda Doğuula Döüşüm Yaıguplaıı Bu bölümde J.M. Howie taafıda tüm döüşümle yaıgubuu idempotetle taafıda doğuula alt yaıguplaı ve tüm döüşümle yaıgubuu idempotet doğuaylaı ile ilgili 1966 ve 1978 deki çalışmalaı deleecekti. Öcelikle tüm döüşümle yaıgubuda bi döüşümü idempotet olması içi geek ve yete koşullaı aşağıdaki öeme ile ifade edelim. Öeme 1: T olsu. ı idempotet olması içi geek ve yete koşul im biim döüşüm olmasıdı. İspat: İspat içi Güçkı H. (2012) Öeme 4.1.1 e bakıız. Teoem 1: E ST 1 1 ve 1 E T 1 1 1 di. İspat: İspat içi Güçkı H. (2012) Teoem 4.1.2 ve Souç 4.1.3 e bakıız. - 124 -
Hatılaacak olusa ST ise im 1 di. K T im * : K kümesii * olaak taımlayalım. Bu duumda dikkat edilecek olusa 1 1 K * ST di. K * S ve Öeme 2: Eğe bi X ST içi K X ise ST * 1 X di. İspat: Howie J.M. ve McFadde R.B. taafıda (1990) da yapılmış olup ispatı tüm ayıtılaı içi Güçkı H. (2012) de Öeme 4.1.4 e bakıız. Öeme 3: 2 olmak üzee he D 1 elemaı defecti 1 ola idempotetlei çapımı olaak yazılabili. İspat: İspat içi Howie(1966) Teoem 1 e bakıız. Souç 1: Bi A D 1 içi D 1 A ise A ı elema sayısı olu. 1 1 A max 2 2 3 İspat: Güçkı H. (2012) de Souç 4.1.7 e bakıız. I defect i 1 ola idempotetlede oluşa bi küme olsu. Köşe kümesi i X ola ve kea (ok) listesi I içi ji oklaıda oluşa gafiği I j ile gösteelim. Tüm oklaı kümesii A I ile gösteelim. Taım 1: I defecti 1 ola idempotetlei bi kümesi ve olsu. Eğe şekilde - 125 - I da I ı diyagamı i j X içi i x x x... x j A I x x... x X i1 i2 i va ise I i1 i1 i2 i olacak ya sıkı bağlatılı diyagam dei. Ayıca
he içi i j I veya j i I ise I i j X diyagam dei. diagamıa tam 1 2 3 4 5 3 5 2 4 1 Öeği I T5 2 3 4 5 1 1 3 5 2 4 aşağıdaki gibi (tam ve sıkı bağlatılı) bi diagamdı. içi I 2 1 3 Şekil 1. Bi I T5 alt kümesii I 5 gafiği 4 Teoem 2: I E ST defect i 1 ola idempotetle kümesi olsu. I kümesii ST i bi doğuay kümesi olması içi geek ve yete koşul I ı tam ve sıkı bağlatılı olmasıdı. İspat: İspat içi Howie (1978) çalışmasıda Teoem 1 e bakıız. 1 Souç 2: idak ST ak ST dı. 2 İspat: İspat içi Gomes Howie (1987) çalışmasıda Teoem 2.1 e bakıız. Kayakla GANYUSHKIN O. MAZORCHUK V. (2008) Itoductio to classical fiite tasfomatio semigoup Spige 314s. GARBA G.U. (1990). Idempotets i patial tasfomatio semigoups Poc. of Royal Soc. of Edibugh 110A 359-366. GOMES G. M. S. AND HOWIE J. M. (1987). O the ak of cetai fiite semigoups of tasfomatios Math. Poc. Cambidge Phil. Soc. 101 395-403. - 126 -
GÜÇKIR H. (2012) İdempotet döüşümle ve idempotet döüşümle taafıda doğuula yaıgupla Çukuova Üivesitesi Fe bilimlei Estitüsü Yüksek Lisas Tezi. HIGGINS P.M. (1992). Techiques of semigoup theoy. Oxfod Sciece Publicatios. The Claedo Pess Oxfod Uivesity Pess. HIGGINS P.M. (1993). Combiatoial esults fo semigoups of ode-pesevig mappigs Math. Poc.Camb.Phill. Soc. 113 281-296. HOWIE J.M. (1966). The subsemigoup geeated by the idempotets of a full tasfomatio Semigoup J. Lodo Math. Soc. 41 707-716. HOWIE J.M. (1995). Fudametals of semigoup theoy. Lodo Mathematical Society Moogaphs. New Seies 12. Oxfod Sciece Publicatios. The Claedo Pess Oxfod Uivesity Pess New Yok 351s. HOWIE J.M. MCFADDEN R.B. (1990). Idempotet ak i fiite full tasfomatio semigoups Poc. Royal Soc. Edibugh A 114 161-167. HOWIE J.M. (1978). Idempotet geeatos i fiite full tasfomatio semigoup Poc. Royal Soc. Edibugh 81A 317-323. LARADJI A. UMAR A. (2004) O cetai fiite semigoups of ode-deceasig tasfomatios Semigoup Foum 69(2) 184-200. LARADJI A. UMAR A. (2006) Combiatoial esults fo semigoups of odepesevig full tasfomatios Semigoup Foum 72 51-62. NESİN A. (2009). Sayma Nesi Matematik Köyü 192s. SATOH S. YAMA K. ad TOKIZAWA M. (1994). Semigoups of ode 8. Semigoup Foum 49 7 29. - 127 -