POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit terimini belirtir.. Kazan m: Sabit polinomu ve s f r polinomunu, iki polinomun e itli ini örneklerle aç klar. Polinomlar Kümesinde lemler 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinomlar kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve bölme i lemlerini yapar ve toplama ve çarpma i leminin özelliklerini gösterir.. Kazan m: Gerçek kat say l bir P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümünden kalan bulur.

POL NOMLAR POL NOM x de i ken (belirsiz eleman), n N ve a 0, a 1, a,..., a n reel say lar olmak üzere, P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 ifadesine reel kat say l ve bir de i kenli polinom (çok terimli) denir. Bu polinomda; a n x n, a n 1 x n 1,..., a x, a 1 x, a 0 ifadeleri polinomun terimleridir. a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 ifadeleri polinomun kat say lar d r. a n polinomun ba kat say s d r. a 0 polinomun sabit terimidir. P(x) polinomunu olu turan terimlerden, derecesi en büyük olan n n derecesine polinomun derecesi denir ve der[p(x)] ile gösterilir. P(x, y) biçimindeki ifadelere iki de i kenli polinomlar denir. Bu polinomlar n derecesi, ayn terimdeki de i kenlerin üslerinin toplam n n en büyük olan d r. Sabit Polinom P(x) = a 0 sabit polinomdur. Sabit polinomun derecesi s f rd r. S f r Polinom P(x) = 0 s f r polinomudur. S f r polinomunun derecesi tan ms zd r. Fonksiyon Polinom mu? ( E / H ) Derecesi Ba kat say s Sabit terimi Kat say lar toplam f(x) = x x + E 1 f(x) = x x 1 + E 1 1 f(x) = + x H f(x) = x + x vx H f(x) = E 0 11

ÖRNEK 1 A a daki ba nt lar n polinom olup olmad klar n ara t r n z. a. P(x) = x + 5x 1 b. Q(x) = 1 x + x 1 + c. R(x) = 5 d. K(x) = x 4 + x 1 + 5 ÖRNEK 4 P(x) = 4x n + x6 + x+ 1 n ifadesi bir polinom oldu una göre, bu polinomun derecesi en çok kaç olabilir? (n N) e. T(x) = x + vx + 1 ÖRNEK x in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmi P(x) = x + 4x + 6 polinomunun terim, kat say ve derecesini inceleyiniz. ÖRNEK 4 P(x) = (a )x + (b + 1)x + a.b + 1 polinomu sabit polinom oldu una göre, P(5) kaçt r? 1

P(x) Verildi inde P[Q(x)] i Bulma P(x) verildi inde, P[Q(x)] ifadesini elde etmek için, P(x) polinomundaki x lerin yerine Q(x) yaz l r. ÖRNEK 8 P(x) = x + x + x + 1 oldu una göre, P^ 1h de erini bulunuz. ÖRNEK 5 P(x) = x x + 1 oldu una göre, P() kaçt r? ÖRNEK 9 P(x) = x + ax + b polinomunda P(1) = ve P( ) = 11 ise P() kaçt r? ÖRNEK 6 P(x) = x 6 x 4 + x + 1 oldu una göre, P( v) de erini bulunuz. ÖRNEK 7 P(x, y) = x y xy + x y + 1 oldu una göre, P(, 1) de erini bulunuz. ÖRNEK 10 P(x + 1) + Q(x 1) = x olmak üzere P() = 4 ise Q(1) kaçt r? 1

P[Q(x)] Verildi inde P(x) i Bulma Fonksiyon konusunda (fof 1 )(x) = x oldu unu ö renmi tiniz. P[Q(x)] ifadesinde x yerine Q 1 (x) yazarsak, P[Q(Q 1 (x))] = P(x) bulunur. ÖRNEK 1 P(4x 1) = 16x 8x + 4 oldu una göre, P(x) i bulunuz. ÖRNEK 11 P(x + ) = x x + 1 oldu una göre, P(1), P(5), P(x 1) ve P(x) de erlerini bulunuz. ÖRNEK 1 P(x 1) = 6x x + 1 oldu una göre, P(5) kaçt r? ÖRNEK 14 P(x x + 1) = x x + 4 oldu una göre, P(x) i bulunuz. 14

Bir polinomda de i kenlerin yerine s f r yaz larak sabit terim bulunabilir. P(x) polinomunda P(0) sabit terimdir. P(x, y) polinomunda P(0, 0) sabit terimdir. P(x + ) polinomunda P() sabit terimdir. ÖRNEK 17 P(x) = (x + 4x + kx 5) polinomunun kat say lar toplam 64 ise k kaçt r? ÖRNEK 15 P(x) = (4x x + 7x + ) 5 polinomunun sabit terimi kaçt r? ÖRNEK 18 P(x, y) = (x 5y + 4) 5 polinomunun kat say lar toplam kaçt r? ÖRNEK 16 P(x 1) = x + 4x 5 olmak üzere, P(x + 1) polinomunun sabit terimi kaçt r? ÖRNEK 19 P(x + 1) = x (a + 1)x + a 1 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun kat say lar toplam ise sabit terimi kaçt r? Bir polinomda de i kenlerin yerine 1 yaz larak kat say lar toplam bulunabilir. P(x) polinomunda P(1) kat say lar toplam d r. P(x, y) polinomunda P(1, 1) kat say lar toplam d r. P(x + ) polinomunda P() kat say lar toplam d r. 15

P(x) polinomunda çift dereceli terimlerin kat say lar toplam ; P Ç = P( 1) + P( 1) dir. P(x) polinomunda tek dereceli terimlerin kat say lar toplam ; P( 1) P( 1) PT = dir. Polinomlarda E itlik Dereceleri ayn ve ayn dereceli terimlerin kat say lar e it olan en az iki polinoma, e it polinomlar denir. Bu tan ma göre, P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 Q(x) = b n x n + b n 1 x n 1 +... + b 1 x + b 0 polinomlar için P(x) = Q(x) [a n = b n,..., a 1 = b 1, a 0 = b 0 ] olmal d r. P(x) = a 0 + a 1 x + a x + a x +... olsun P(1) = a 0 + a 1 + a + a +...... I P( 1) = a 0 a 1 + a a +...... II I ve II yi taraf tarafa toplarsak, P(1) + P( 1) = a 0 + a + a 4 +... P( 1) + P( 1) P Ç = a 0 + a + a 4 +... = dir. ÖRNEK 1 P(x) = (a + 1)x + bx + (c )x + 1 Q(x) = x + x + d polinomlar e it ise a + b + c + d kaçt r? I ve II yi taraf tarafa ç kar rsak, P(1) P( 1) = a 1 + a + a 5 +... P( 1) P( 1) P T = a 1 + a + a 5 +... = dir. ÖRNEK 0 P(x) = (x + x ) polinomunun, a. Çift dereceli terimlerinin b. Tek dereceli terimlerinin kat say lar toplam n bulunuz. ÖRNEK 4x + A B x = + 1 x 1 x + 1 e itli ini sa layan A.B kaçt r? 16

ALIŞTIRMALAR 1 1. A a daki ifadelerin polinom olup olmad klar n ara t r n z. Polinom olanlar n derecelerini, ba kat say lar n ve sabit terimlerini bulunuz. a. P(x) = x 4 x 5 + x 1 b. Q(x) = x x+ 1 c. R(x) = x + 1 5. P(x) = 4x 5x + x 1 polinomu için a a daki ifadelerden do ru olanlar için bo kutulara D yanl olanlar için Y yaz n z. P(x) in ba kat say s 4 tür. P(x) in kat say lar toplam 0 d r. P(x) in sabit terimi 1 dir. d. T(x) = c4x + 5x 1 P(x),. dereceden bir polinomdur. P( 1) = 1 dir.. P(x) = x n 4 + x 6 n + ifadesi bir polinom gösterdi ine göre, n nin alabilece i de erler kümesini bulunuz. 6. P(x) = x x + x 1 polinomu için a a dakilerin herbirini bulunuz. a. P(0) n 4 n. P(x) = x + x + 1 ifadesi bir polinom gösterdi ine göre, n nin alabilece i de erler kümesini bulunuz. b. P( 1) c. P(1) d. P() 16 10 m m 1 4. P(x) = x + x + 1 ifadesi bir polinom gösteriyorsa m nin alabilece- i de erler toplam kaçt r? e. P(x + 1) f. P(1 x) 17

7. P(x, y) = 4x y xy 4x + y polinomu için a a dakilerden herbirini bulunuz. a. P(1, 1) 10. P(x + 4) = x + x 1 olmak üzere P(x + ) polinomunun kat say lar toplam kaçt r? b. P(0, ) c. P(, 1) d. P(x+1, 0) 11. P(x 1) = x x + 1 olmak üzere P(x + 1) polinomunun sabit terimi kaçt r? 8. P(x) = x + ax + b 1 polinomunda P(1) = 0 ve P( ) = ise P() kaçt r? 1. P(x) = (x x + 1) 4 polinomunun kat say lar toplam n ve sabit terimini bulunuz. 9. P(x 1) = 4x + x polinomu için a a dakilerden herbirini bulunuz. a. P(x) b. P(x + 1) 1. P(x + 1) = x 4x + 1 olmak üzere, sol sütundaki ifadelerin e itini sa sütundan bulup e le tiriniz. c. P( 5) d. P() 18

14. P(x x + ) = 4x x + oldu una göre, P(x) nedir? 0. P(x) = (x x + ) polinomunun çift dereceli terimlerinin kat say lar toplam kaçt r? 15. P(x, y) = (x 4y + 1) polinomunun kat say lar toplam kaçt r? 1. (a 1)x + bx 4 = x + (a + 1)x + (c 1)x + d oldu una göre, a + b + c + d kaçt r? 16. P(x 1) = x ax + a 1 olmak üzere, P(x) in kat say lar toplam ise sabit terimi kaçt r? 17. P(x) = (1 + x + x + x + x 4 + x 5 ) polinomunun kat say lar toplam kaçt r?. P(x) = (a 1)x + bx + (c + 1)x + Q(x) = 4x + 4x + d olmak üzere, P(x) = Q(x) ise a + b + c + d kaçt r? 18. P(x) + P( x) = x olmak üzere P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin kat say lar toplam kaçt r?. (x 1)a + (x 1)b + c = x + x + e itli ini sa layan a + b + c kaçt r? 19. P(x) = (x + x) 10 polinomunun tek dereceli terimlerinin kat say lar toplam kaçt r? 5x A B 4. = + x 4 x x + e itli ini sa layan A + B kaçt r? 19

POL NOMLARDA DÖRT LEM Toplama Ç karma lemi Polinomlarda toplama ç karma yap l rken ayn dereceli terimlerin kat say lar toplan r ç kar l r. ÖRNEK P(x) = x 4 x + x + 1 Q(x) = x + x + 4 polinomlar için a a dakileri bulunuz. a. P(x) + Q(x) b. P(x) Q(x) Bölme lemi der[p(x)] der[q(x)] 1 ve der[k(x)] < der[q(x)] olmak üzere, P(x): Bölünen polinom Q(x): Bölen polinom K(x): Kalan polinom B(x): Bölüm polinomu P(x) = Q(x).B(x) + K(x) K(x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünüyor denir. Polinomlarda bölme i lemi yap l rken a a daki s ra takip edilir. Bölünen ve bölen polinomlar, de i kenin azalan kuvvetlerine göre yaz l r. Çarpma lemi ki polinom çarp l rken birinci polinomun her terimi, ikinci polinomun her terimi ile ayr ayr çarp l r ve bu çarp mdan elde edilen terimler toplan r. Bölünenin en büyük dereceli terimi, bölenin en büyük dereceli terimine bölünür ve ç kan sonuç bölümün ilk terimi olarak yaz l r. Bulunan bu bölüm, bölenle çarp l r. Bu çarp m bölünenden ç kar l r. Ç kan sonuçla yukar daki i lemler tekrarlan r. Kalan n derecesi bölenin derecesinden küçük olana kadar i leme devam edilir. ÖRNEK 5 5 x + x x 1 x 1 bölümünü bulunuz. ÖRNEK 4 P(x) = x + x ve Q(x) = x + 1 oldu una göre, P(x).Q(x) çarp m n bulunuz. 0

ÖRNEK 6 P(x) = x + x polinomunun Q(x) = x + 1 polinomu ile bölümündeki bölüm ve kalan bulunuz. Horner Metodu le Bölme lemi Horner metodu, bir P(x) polinomunun ax + b biçimindeki birinci dereceden bir polinoma bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalan bulmada kolayl k sa lar. Bu metodu bir örnekle aç klayal m. ÖRNEK 7 P(x) = x 4 5x + x + polinomunun x ile bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalan bulunuz. ÖRNEK 8 P(x) = x 4 x + x + ax + b polinomunun (x 1) ile tam bölünebilmesi için a ve b ne olmal d r? 1

Polinomlar n Dereceleri der[ P(x) ] = m, der[ Q(x) ] = n olmak üzere, der[ P(x) ± Q(x) ] = m, (m > n ise) der[ P(x) ± Q(x) ] m, (m = n ise) der[ P(x).Q(x) ] = m + n Px ( ) Px ( ) der= G = m n, (m n ve = G polinom ise) Qx ( ) Qx ( ) der[ P(x a ) ] = m.a, (a N) der[ P(a.x) ] = m, (a R) der[ P(Q(x)) ] = m.n dir. A a daki iki tabloda P(x) ve Q(x) polinomlar n n dereceleri ile ilgili baz sonuçlar elde edilmi tir. nceleyiniz.

ÖRNEK 9 der[p(x)] = oldu una göre, der[p(x)] + der[p(x)] kaçt r? ÖRNEK P(x) ve Q(x) birer polinom ve a N dir. der[ P(x) ] = a + der[ Q(x) ] = a + der[ P(x) + Q(x) ] = 15 oldu una göre, a kaçt r? ÖRNEK 0 P(x) ve Q(x) polinomlar için Px ( ) der[ P(x).Q(x) ] = 6 ve der= G = ise Qx ( ) der[ P(x) + Q(x) ] kaçt r? ÖRNEK P(x) ve Q(x) birer polinomdur. der[p (x).q(x)] = 10 der6p( x) @ = der6q( x) @ ÖRNEK 1 P(x) bir polinom olmak üzere, der[ P(x) ] = 6 ise der[ x.p(x ) ] kaçt r? oldu una göre, der[q(x)] kaçt r?

BÖLME LEM YAPMADAN KALAN BULMA ax + b le Bölümünden Kalan P(x) polinomunun, ax + b ile bölümünden elde edilen kalan bulmak için, ax + b = 0 denkleminin kökü b olan x = de eri P(x) polinomunda x yerine ya- a b z l r. Yani, kalan P c m d r. a ÖRNEK 6 P(x) = x 4 x + ax + 1 polinomu x + 1 ile tam bölünebildi ine göre, x 1 ile bölümünden elde edilen kalan kaçt r? P(x) = (ax + b).b(x) + k b b b Pc m= ca + b m B c m+ k a a a b b Pc m= 0. Bc m+ k a a b Pc m = k a ÖRNEK 4 P(x) = x + x x + 4 polinomunun x + ile bölümünden elde edilen kalan kaçt r? ÖRNEK 7 P(x) = x x + 4x + 1 olmak üzere, P(x + 1) polinomunun x 1 ile bölümünden elde edilen kalan kaçt r? ÖRNEK 5 P(x) = 8x x + 1 polinomunun x 1 ile bölümünden elde edilen kalan kaçt r? 4

ÖRNEK 8 P(x 1) Q(x + ) = x 4 x + x + 4 e itli ini sa layan P(x) ve Q(x) polinomlar için, P(x) in x 1 ile bölümünden kalan 5 ise Q(x) in x 4 ile bölümünden kalan kaçt r? x n + a le Bölümünden Kalan P(x) polinomunun, x n + a ile bölümünden elde edilen kalan bulmak için, x n + a = 0 x n = a oldu undan, P(x) de x n yerine a yaz l r. P(x) = (x n + a).b(x) + K(x) x n yerine a yazarsak, Kalan = ( a + a).b(x) + K(x) = 0.B(x) + K(x) = K(x) olur. ÖRNEK 9 P(x) polinomunun x 1 ile bölümünden elde edilen kalan x + 5 ise, P(x) in x + 1 ile bölümünden elde edilen kalan nedir? ÖRNEK 40 P(x) = x 4 + x x + x 1 polinomunun x ile bölümünden elde edilen kalan nedir? ETK NL K x > 0 olmak üzere, A ile B kentleri aras x + 4x + 15 km, B ile C kentleri aras x + 10x + 4x km dir. B kentine u rayarak, A kentinden C kentine giden bir araç A dan B ye x + 4 saatte, B den C ye x + 1 saatte gidiyor. Bu arac n tüm yoldaki ortalama h z n n x cinsinden de erini bulunuz. 5

ÖRNEK 41 P(x) = x 0 + x 15 x 10 x 6 + 1 polinomunun x 5 v ile bölümünden elde edilen kalan nedir? ÖRNEK 4 Bir P(x) polinomunun x 5x + 6 ile bölümünden kalan x 8 ise P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçt r? a(x b)(x c) le Bölümünden Kalan ÖRNEK 4 P(x) = x 5 + ax 4 bx + 4 polinomunun x 1 ile bölümünden elde edilen kalan x + x + ise a.b kaçt r? P(x) = a(x b)(x c).b(x) + mx + n P(b) = mb + n...i P(c) = mc + n...ii I ve II nin ortak çözümünden m ve n bulunur. Burada bölen. dereceden bir polinom oldu undan, kalan mx + n gibi 1. dereceden bir polinom seçtik. ÖRNEK 44 P(x) polinomunun x 1 ile bölümünden kalan ve x + ile bölümünden kalan 5 tir. Buna göre, P(x) in (x 1).(x + ) ile bölümünden kalan nedir? 6

ÖRNEK 46 P(x) = 16x 4 + ax + 1 polinomunun çarpanlar ndan biri x 1 ise a kaçt r? ÖRNEK 45 P(x) bir polinom olmak üzere, (x ).P(x) = x + ax 4x + 4 ise P() kaçt r? ÖRNEK 47 P(x) = x + x + x + 1 polinomunun, x + x + 1 polinomuna bölümünden elde edilen kalan nedir? 7

ÖRNEK 48 P(x) bir polinom olmak üzere, P(x) + P(x + 1) = x + 4 ise P() kaçt r? ÖRNEK 50 Üçüncü dereceden bir P(x) polinomu x + 4 ile tam bölünebiliyor. P(x) polinomunun x 1 ile bölümünden kalan x + 1 ise P(1) kaçt r? ÖRNEK 49 kinci dereceden bir P(x) polinomu x + ve x ile tam bölünebildi ine göre, P( 1) P( ) kaçt r? ÖRNEK 51 Bir P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan x + x + ise P(x) in x x + 1 ile bölümünden kalan nedir? 8

ÖRNEK 5 P(x) polinomunun sabit terimi, kat say lar toplam 5 ise, P(x) polinomunun x x ile bölümünden kalan ne olur? ÖRNEK 55 P(x) polinomunun x x ile bölümünden bölüm Q(x) ve kalan x + ise P(x) in x 1 ile bölümünden bölüm nedir? ÖRNEK 5. dereceden bir P(x) polinomu x 1, x + ve x ile tam bölünebiliyorsa ve P(x) in x + 1 ile bölümünden kalan 16 ise P(x) in sabit terimi kaçt r? ETK NL K ÖRNEK 54 Bir P(x) polinomu için, P(x) + P( x) = 4x 4x ise P( 1) kaçt r? Yukar daki ekilde üstü aç k, iç içe, içi bo iki dik silindirden olu an bir kap bulunmaktad r. Silindirlerin taban merkezleri (O) çak k olup, OA = (x + ) br, AB = 1 br ve CB = (x + ) br dir. Kab n üzerindeki musluk aç larak kap tamamen dolduruldu unda küçük silindirin içindeki suyun hacminin, silindirlerin aras ndaki suyun hacmine oran x cinsinden nedir? 9

ALIŞTIRMALAR Polinomlar 1. P(x) ve Q(x) polinomlar için der[p(x)] = ve der[q(x)] = olmak üzere, a a daki ifadelerden do ru olanlar için bo kutulara D yanl olanlar için Y yaz n z. 4. P(x) = x 4 x + x 1 polinomunun Q(x) = x + 1 ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalan bulunuz. der[p (x + 1)] = 1 der[q (x 1).P(x )] = 4 der[p (x)].der[q(x )] = 6 5. P(x) = x 5x + ax + polinomunun x 1 ile tam bölünebilmesi için a kaç olmal d r? der[p 4 (x) + Q (x)] = 9 6. P(x) = x 4 x + x + ax + b polinomunun (x 1) ile tam bölünebilmesi için a ve b ne olmal d r?. P(x) ve Q(x) polinomlar için der[p (x).q(x)] = 8 ve P ( x) der> H = 7 ise Qx ( ) der[p(x) + Q(x)] kaçt r? 7. P(x) = x 4 x x + polinomunun x + 1 ile bölümünden elde edilen kalan kaçt r?. P(x) polinomu x ile bölündü ünde bölüm x + ve kalan x + 4 ise P(x) polinomunu bulunuz. 8. P(x) = 4x x + polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan kaçt r? 0

9. P(x + 1) = x x + 4 olmak üzere P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçt r? 14. P(x) = x 8 + 4x 6 + x 4 + x 1 polinomunun a a dakilerin herbiri ile bölümlerinden elde edilen kalanlar bulunuz. a. x 1 10. P(x) = x x + x + olmak üzere P(x + ) polinomunun x 1 ile bölümünden kalan kaçt r? b. x + 1 c. x 4 + d. x 6 11. P(x) polinomunun x x ile bölümünden kalan 4x + 1 ise P(x) in x ile bölümünden kalan kaçt r? 15. P(x) = x 4 ax + bx + polinomunun bir çarpan x 1 ise a + b kaçt r? 1. P(x) ve Q(x) polinomlar n n x ile bölümlerinden kalanlar s ras yla ve 4 ise xp(x) + Q(x) polinomunun x ile bölümünden kalan nedir? 16. P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan 1, x + ile bölümünden kalan 1 ise P(x) in x + x ile bölümünden kalan nedir? 1. P(x 1) = x + x 1 olmak üzere, P(x 1) polinomunun x + ile bölümünden kalan nedir? 17. P(x + 1) polinomunun x 1 ile bölümünden kalan 4, P(x 1) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan ise P(x) in x 4 ile bölümünden kalan nedir? 1

18. A a daki tabloyu doldurunuz.. P(x) = x + ax bx + polinomu x + x + ile tam bölünebiliyorsa a + b kaçt r?. (x 1) P(x) = x x + ax + e itli ini sa layan P(x) polinomu için P(1) kaçt r? 19. Sabit terimi 8 olan. dereceden bir P(x) polinomunun, x 1, x + 1 ve x ile ayr ayr bölümlerinden kalan hep 4 oluyorsa P() kaçt r? 4. x.p(x 1) = x x + a + olmak üzere, P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçt r? 0. P(x) = x + ax bx 1 polinomu x x + ile tam bölünebiliyorsa a.b kaçt r? 5. P(x) polinomu için P(x + ) + P(x) = 8x + 4 ise P() kaçt r? 1. P(x) = x + 4x + x polinomunun x + x 1 ile bölümünden elde edilen kalan nedir? 6. P(x) polinomu için P(x) + P(x + 1) = x + x + 8 ise P(0) kaçt r?

TEST 1 1. x + x 4x + 1 = (x x + 1)(x+m) + nx + p e itli i veriliyor. Buna göre, n m p kaçt r? A) 8 B) 7 C) 5 D) E) 5. P(x) = (x 5 + x 4 + x + ) n polinomunun kat say lar toplam 51 ise sabit terimi nedir? A) 16 B) 8 C) 6 D) 4 E). P(x) = x m + (m 1)x + x 5 polinomu dördüncü dereceden bir polinom ise, bu polinomun kat say lar toplam kaçt r? 6. P x x x c m = 4 oldu una göre, P( 1) kaçt r? A) 5 B) 4 C) D) E) 1 A) 0 B) 1 C) 8 D) 8 7 E) 8 1. P(x) = (m +1)x m + (m 4)x m 1 + (m )x 7 polinomunun kat say lar toplam ise, P(x) polinomunun derecesi kaçt r? A) 9 B) 7 C) 5 D) 4 E) 7. P(x) bir polinom olmak üzere, P(x ) = x 6 + (a + 1) x 5 x 4 (b )x + 1 ise a + b kaçt r? A) 0 B) 1 C) D) E) 4 4. (x 5 x 4 + x + 5).(4x 5x + x 4) çarp m yap ld nda x 6 l terimin kat say s nedir? A) 10 B) 1 C) 14 D) E) 4 8. P(x 1) = x 15 9m 1 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun derecesi 0 ise, m nin de eri kaçt r? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 7

9. P(x) = x + x Q(x + 1) + x veriliyor. Q(x) in (x + ) ile bölümünden kalan 4 ise, P(x) in (x + ) ile bölümünden kalan nedir? A) 10 B) 8 C) 10 D) 4 E) 40 1. P(x) = mx + x 5 polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan K 1 ve (x 1) ile bölümünden kalan K dir. K 1 + K = ise, P( ) de eri nedir? A) 5 B) 7 C) 11 D) 17 E) 0 10. P(x ) = x x + 4m polinomu veriliyor. P(x + 1) in (x 1) ile bölümünden kalan 4 ise, m nedir? A) 11 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1 14. P(x) ve Q(x) polinomlar için P(x ) = (x ) Q(x + ) veriliyor. Q(x) in kat say lar toplam 5 ise, P(x) in (x + 4) ile bölümünden kalan a a dakilerden hangisidir? A) 1 B) 10 C) 5 D) 7 E) 9 11. P(x) = x 4 x + 4x + 1 polinomunun (x 1) ile bölümü Q(x) ve kalan ise, Q(x) in (x ) ye bölümünden kalan nedir? A) 8 B) 6 C) 8 D) 10 E) 15. P(x), (x + ) ile bölünebilen. dereceden bir polinomdur. P(x) in (x + 1) ile bölümünden kalan 4 ise, (x + ) ile bölümünden kalan nedir? A) B) C) D) 6 E) 10 1. P(x ) = x x + 5m polinomu veriliyor. P(x + 1) in (x 1) ile bölümünden kalan 1 ise, m kaçt r? A) 5 B) 4 C) D) E) 6 16. P(x) = (x x + 1) B(x) + kx + polinomu (x 1) ile tam bölündü üne göre, B(x) = x kx + x + 4 polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan nedir? A) 8 B) 7 C) 5 D) E) 1. D. E. A 4. E 5. B 6. C 7. C 8. B 9. B 10. A 11. B 1. D 1. A 14. B 15. E 16. D 8

TEST 4 1. P(x) = x x + ax + b polinomunun x 1 ile bölümünden kalan x ise a.b kaçt r? A) B) 1 C) 0 D) 1 E) 5. P(x) = x 1 7x 9 + 6x + 1 polinomunun x + ile bölümünden kalan kaçt r? A) 7 B) 60 C) 40 D) 6 E) 18. P(x) ve Q(x) polinomlar için der[p(x).q (x)] = 15 ve der[p(x)] =.der[q(x)] ise der[p(x )] kaçt r? A) 9 B) 1 C) 16 D) 18 E) 1 6. P(x) polinomunun x 1 ile bölümünden kalan 5, x + ile bölümünden kalan 1 ise x + x ile bölümünden kalan nedir? A) x + B) x + C) x + D) x E) x. P(x) = x 4 + x + ax + b polinomu x 1 ile tam bölünebiliyorsa a + b kaçt r? 7. P(x) = x + x x 1 ve Q(x) = x + x + x Px ( ) ise a a dakilerden hangisidir? Qx ( ) A) 5 B) 4 C) D) E) 4 A) x x 1 B) x x + 1 C) x 1 x D) x 1 E) x 4. P(x 1) = (x 4x + )Q(x) e itli ini sa layan P(x) ve Q(x) polinomlar için Q(4) = 6 ise P() kaçt r? A) 1 B) 15 C) 16 D) 18 E) 0 8. P(x) polinomunun x + x ile bölümünden kalan 6 x ise x + ile bölümünden kalan kaçt r? A) 6 B) C) D) 6 E) 1 4

9. P(x) = x + x ax + b polinomu (x + 1) ile tam bölünebiliyorsa a.b kaçt r? A) B) 4 C) 6 D) 9 E) 1 1. P(x ) = (x + x + )Q(x + 1) e itli ini sa layan P(x) ve Q(x) polinomlar için Q(x + 1) in x ile bölümünden kalan 5 ise P(x + 1) in sabit terimi kaçt r? A) 90 B) 9 C) 94 D) 95 E) 100 10. P(x x) = x x 4 + oldu una göre, P(x) polinomu a a dakilerden hangisidir? 1 1 A) ( x + ) B) ( x + ) C) ( x ) D) ( x ) E) ( x 1) 14. P(x) = (x + 1) 7 polinomunun çift dereceli terimlerinin kat say lar toplam kaçt r? A) 18 B) 10 C) 80 D) 64 E) 0 11. P(x) polinomunun x x ile bölümünden bölüm Q(x) kalan 1 6x ise, P(x) in x ile bölümünden elde edilen bölüm nedir? 15. P(x) = x 4 4x polinomunun x + x + 1 ile bölümünden kalan nedir? A) xq(x) + 6 B) xq(x) 4 C) xq(x) 1 D) xq(x) 6 E) xq(x) + 4 A) 6x + 5 B) 6x + 4 C) 6x + D) 6x + E) 6x + 1 1. P(x + 1) polinomunun sabit terimi 7, P(x ) polinomunun kat say lar toplam ise P(x) in x 1 ile bölümünden kalan nedir? A) 5x + B) 5x C) x + 5 D) x 5 E) 4x + 16. P(x 1) + P(x + 1) = 4x + 10x + 4 e itli ini sa layan P(x) polinomu a a dakilerden hangisidir? A) x + 5x B) x 5x C) x + 5x D) x 5x E) x + x 1. C. D. B 4. D 5. A 6. B 7. C 8. E 9. C 10. A 11. D 1. C 1. A 14. D 15. E 16. A 44

TEST 7 1. P(x) = x n n + 10 + + x 1 ifadesi bir polinom gösteriyorsa n nin alabilece i kaç tam say de eri vard r? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. x + A B = + x 1 x 1 x + 1 e itli ini sa layan A.B kaçt r? A) B) 1 C) 0 D) 1 E). P(x ) = x + x olmak üzere, P(x + 1) polinomunun sabit terimi ile P(x 1) polinomunun kat say lar toplam kaçt r? A) 1 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 6. P(x) = x + ax bx + 1 polinomu (x 1) ile tam bölünebiliyorsa (a, b) nedir? A) (0, 1) B) ( 1, 1) C) (1, 0) D) (1, 1) E) ( 1, 0). P(x 1) polinomunun x 4 ile bölümünden kalan x + 1 ise P(x) in kat say lar toplam kaçt r? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 7. P(x) bir polinom olmak üzere, P(x + 1) = x x + 1 ise P() kaçt r? A) 1 B) C) D) 4 E) 5 4. P(x) = x + x x + 4 polinomunun x x ile bölümünden kalan nedir? A) x + 4 B) x + C) x + D) x + 1 E) x 1 8. P(x ) = x x + 6 polinomunun x 1 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 49

9. P(x) = a(x ) 7 + b(x ) 5 polinomunun x 1 ile bölümünden kalan 6 ise x ile bölümünden kalan kaçt r? A) 18 B) 15 C) 1 D) 10 E) 9 1. P(x) = x + ax bx + polinomunun x x + 1 ile bölümünden kalan x + ise a.b kaçt r? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 10. P(x ) = x x + 4 olmak üzere, P(x + 1) polinomunun x 1 ile bölümünden kalan kaçt r? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 14. P(x 1) polinomunun x ile bölümünden kalan, P(x + 1) in sabit terimi 4 ise P(x) in x 1 ile bölümünden kalan nedir? A) x B) x 1 C) x + 1 D) x + E) x + 4 11. (x ).P(x + 1) = 4x x + c olmak üzere, P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan kaçt r? A) 1 B) 1 C) 11 D) 10 E) 9 Px ( ) + x 1 15. = x + 1 Qx ( 1) e itli ini sa layan P(x) polinomunun sabit terimi 7 ise Q(x) polinomunun kat say lar toplam kaçt r? A) 1 B) C) D) 4 E) 5 1. P(x) polinomunun x + x ile bölümünden kalan x + 1, x + x ile bölümünden kalan x + 4 ise P(x) polinomunun x 1 ile bölümünden kalan nedir? A) x + B) x + 1 C) x + 4 D) 4x + 1 E) 4x + 16. P(x) bir polinom olmak üzere, P(x + ) + P( x) + P(x + ) = 6x + 16x + 19 e itli i veriliyor. Buna göre, P(x + 4) polinomunun x + ile bölümünden kalan kaçt r? A) 5 B) 4 C) D) E) 1 1.C.E.B 4.A 5.E 6.B 7.A 8.B 9.D 10.C 11.A 1.E 1.B 14.D 15.B 16.C 50

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1981 ÖYS P(x) polinomunda, P(x + ) = x + 10x x + 15 oldu una göre, P(x) polinomunun x ile bölümünden kalan nedir? A) 0 B) C) 10 D) 15 E) 5. 1984 ÖYS P(x) = x 17 + ax 11 4 oldu una göre, a n n hangi de eri için, P(x) in çarpanlar ndan biri (x 1) dir? A) B) 1 C) D) 1 E) 0. 198 ÖYS P(x) = x 6 5x 18 4 polinomunun, (x 9 + v) ile bölümündeki kalan nedir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. 1984 ÖYS P(x) = (x + x x + 1).Q(x) + x + 1 ba nt s nda, Q(x) bir polinomdur. P(x) in x 1 ile bölümündeki kalan 5 oldu una göre, Q(x) in x 1 ile bölümündeki kalan nedir? A) 6 B) 5 C) 4 D) E). 198 ÖSS (x 4 5x + x 1).(5x + 7x 8x + 6) çarp m yap ld nda x 5 in kat say s kaç olur? A) 5 B) C) 4 D) E) 59 7. 1985 ÖYS Q(x) = x + x x çokterimlisi, P(x) gibi bir çokterimli ile bölünüyor. Bölüm x oldu una göre, kalan ne olur? A) 1 B) C) D) 1 E) 4. 198 ÖYS Px ( ) = x x Qx ( ) ba nt s veriliyor. Q(x) polinomunun, (x ) ile bölümündeki kalan oldu una göre, P(1) in de eri kaçt r? A) B) 6 C) 9 D) 1 E) 15 8. 1987 ÖYS Bir polinomun (x ) ile bölümünden kalan x + 8 oldu una göre, bu polinomun x ile bölümünden kalan nedir? A) 15 B) 14 C) 1 D) 10 E) 8 51

9. 1988 ÖYS P(x) ve Q(x) gibi iki polinomun, x 5 ile bölümünden kalan s ras yla ve ise P(x).Q(x) çarp m n n x 5 ile bölümünden kalan ne olur? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 1. 199 ÖYS 8 a + 4a 8 a + i leminin sonucu, a a dakilerden hangisidir? A) a 6 a 5 + a 4 4 B) a 6 a 5 4a 4 4 C) a 6 a 4 + 4a 4 D) a 6 a 5 4 E) a 6 + 4a 4 10. 1989 ÖYS P(x) = ax 4 + 4x x + bx + c nin iki katl bir kökü x = oldu una göre, a ile b aras ndaki ba nt nedir? A) 16a + b + 4 = 0 B) 16a + b = 0 C) 16a + b 4 = 0 D) a + b + 6 = 0 E) a + b + 10 = 0 14. 199 ÖYS P(x) = x + 5x + 5x + 7 polinomu, Q(x) polinomu ile bölündü ünde, bölüm x + 5 oldu una göre, kalan kaçt r? 11. 1990 ÖYS P(x) ve Q(x) polinomlar n n, x 1 ile bölümlerinden kalanlar s ras ile 4 ve 6 oldu una göre, t nin hangi de eri için, P(x) + tq(x) polinomu, x 1 ile tam olarak bölünür? A) B) C) 1 D) E) A) B) 1 C) D) E) 4 15. 1994 ÖYS P(x ) = (x + 1).Q(x 1) x 1 e itli i verilmi tir. P(x) polinomunun (x ) ile bölümünden kalan 0 oldu una göre, Q(x) polinomunun (x 4) ile bölümünden kalan kaçt r? A) 0 B) 1 C) D) E) 4 1. 1991 ÖYS P(x 1) + P(x + 1) = 4x x + 10 oldu una göre, P(x) polinomu a a dakilerden hangisidir? A) x x B) x + x C) x x + D) 4x + x 1 E) 4x x + 1 5 16. 1995 ÖSS Q(x ) = x 5x + a çokterimlisi veriliyor. Q(x) çokterimlisinin sabit terimi 7 oldu una göre, Q(x) çokterimlisinin kat say lar toplam kaçt r? A) 11 B) 18 C) 1 D) 9 E) 47

17. 1996 ÖSS Q(x) = 18x + 6 oldu una göre, Q(x) polinomunun x 5 ile bölümünden kalan kaçt r? 1. 1998 ÖYS Bir P(x) polinomunun x(x + ) ile bölümünden kalan 9 9x oldu una göre, x + ile bölümünden kalan kaçt r? A) B) 6 C) 54 D) 86 E) 96 A) 0 B) C) 6 D) 9 E) 4 18. 1996 ÖYS P(x) = x 4 + 1 x + x + ax polinomunun, x + 1 ile kalans z bölünebilmesi için a kaç olmal d r? 1 1 1 A) 1 B) C) D) E) 1. 1999 ÖSS Kat say lar n n toplam olan bir P(x) polinomunun (x + ) ile bölümünden kalan 10 dur. Buna göre, P(x) polinomunun x + x ile bölümünden kalan a a dakilerden hangisidir? A) x 4 B) x 1 C) x + 1 D) 0 E) 1 19. 1997 ÖSS Q(x) = x + 5x + px 8 polinomunun çarpanlar ndan biri (x ) oldu una göre, p nin de eri kaçt r? A) 15 B) 10 C) 5 D) 1 E) 6. 1999 ÖSS P(x) ve Q(x) polinomlar için, P(x + ) = (x x ).Q(x) + x + x + 1 ba nt s sa lanmaktad r. Q(x) in sabit terimi 5 oldu una göre, P(x) polinomu (x ) ile bölündü ünde kalan kaçt r? A) 16 B) 15 C) 14 D) 0 E) 11 0. 1997 ÖYS P(x ) = x x oldu una göre, P(x 1) a a dakilerden hangisine e ittir? A) x x B) x x + C) 4x + x D) 4x + 4x E) 4x + 4x 4. 000 ÖSS P(x) bir polinom, P(x 1) + x.p(x + 1) = x + x + x + 1 ve P() = 4 oldu una göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçt r? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 5

5. 000 ÖSS P(x) bir polinom ve x + ax 8 = (x ).P(x) oldu una göre, P() nin de eri kaçt r? A) 6 B) C) 4 D) 1 E) 0 9. 004 ÖSS Her x gerçel say s için, ax 4 + bx + cx + dx + e = (x 1)(px + qx + r) + x 1 oldu una göre, a + c + e toplam kaçt r? A) B) 1 C) 0 D) 1 E) 6. 00 ÖSS 10x 5 A B = + x 4x 5 x 5 x + 1 oldu una göre, A B fark kaçt r? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 0. 009 ÖSS (1 x + x ) 10 = a 0 + a 1 x + a x +... + a 0 x 0 oldu una göre, çift indisli kat say lar n toplam olan a 0 + a + a 4 + a 6 +... + a 0 kaçt r? A) 10 + 1 B) 10 1 C) 4 10 1 D) 10 + 1 E) 4 10 + 1 7. 00 ÖSS Her x gerçel say s için, x + ax 5 = (x + 1).(bx + c) oldu una göre, a + b + c toplam kaçt r? A) 9 B) 8 C) 0 D) 8 E) 9 1. 010 LYS P(x) = x (m + 1)x nx + m 1 polinomu x x ile tam bölünebildi ine göre, m n kaçt r? A) 1 B) 1 C) D) E) 8. 00 ÖSS Her x gerçel say s için, x 4 = ax(x 1) + bx(x + 1) + c(x 1) oldu una göre, a.b.c çarp m kaçt r?. 010 LYS P(x) üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonu olmak üzere, P( 4) = P( ) = P(5) = 0 P(0) = oldu una göre, P(1) kaçt r? A) 6 B) 8 C) 10 D) 1 E) 16 A) 7 B) 8 C) 4 7 D) 4 9 E) 5 8 54

. 011 LYS Gerçel katsay l P(x), Q(x) ve R(x) polinomlar veriliyor. Sabit terimi s f rdan farkl P(x) polinomu için P(x) = Q(x).R(x + 1) e itli i sa lan yor. P nin sabit terimi Q nun sabit teriminin iki kat oldu una göre, R nin kat say lar n n toplam kaçt r? 4. 01 LYS a ve b birer pozitif tam say olmak üzere, P(x) = ( x + a ).( x + b ) polinomunun katsay lar n n toplam 15 oldu una göre, a + b toplam kaçt r? A) B) 4 1 C) 4 D) 1 E) A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 55