Notlar: - dzleminde iki on vardir. 1)pozitif on, 2)negatif on Ornek olarak =f()= 2-4+20 fonksion icin 0 =10 noktasindan pozitif onnde gidersek ( e artan degerler verirsek) fonksionn degeri artar, negatif onde gidersek fonksionn degeri azalir. 8 9 10 11 12 13 f() )= 2-4+20 52 65 80 97 116 137 Ani fonksion 0 =1 noktasi icin dsnrsek pozitif onnde gidersek fonksion azalir negatif onde gidersek fonksion artar. 0.2 0.5 0.7 1 1.5 2 f() )= 2-4+20 19.2 18.2 17.7 17 16.2 16 B fonksion 0 =10 noktasinda artan fonksion, 0 =1 noktasinda azalan bir fonksiondr. Bir fonksionn artan ada azalan oldg o noktadaki tegetin egimi ile belirlenir. O noktadaki egim pozitif ise artan negatif ise azalandir. Tegetin egimi o noktadaki trevin degeridir. Trev negatif ise fonksion azalan trev pozitif ise fonksion artandir. ---------------------------------------- Teget denklemi = f( 0 ) + f '( 0 )( - 0 ) = f '( 0 ) - f '( 0 ) 0 + f( 0 ) ---------------------------------------------- Ornek problem: =f()= 2-4+20 e a) 0 =10 b) 0 =1 noktasindan cizilen tegetin denklemini bln. 80 f() 10 f(1)=1 2-4 1+20=17 f ' ()=2-4 f ' (1)=2 1-4= -2 = f '( 0 ) - f '( 0 ) 0 + f( 0 ) = -2 (-2) 1 + 17 = -2 +19 17 Tegetin egimi -2 dir. tan()=-2 ------------------------- ------- Egim (trevin degeri ) ksek ise fonksion cok artandir. A noktasinda az artan B noktasinda cok artandir. 1 f() f() A f() A A noktasinda cok azalan B noktasinda az azalandir. ---------------------- ----------------- --z zainda on coktr. B nedenle fonksionn artan ada azalan kavramini tarif edebilmek icin gradan (gradient) kllaniriz. B B 0 =10, f(10)=10 2-4 10+20=80 f ' ()=2-4 f ' (10)=2 10-4=16 = f '( 0 ) - f '( 0 ) 0 + f( 0 ) = 16 16 10 + 80 = 16 80 Tegetin egimi 16 dir. tan()=16 ------------------ ---------------------------------- 0 =1,
D = f (,, D= [( +i+( +j +()k ] 3i + 4j + 6k 7.81 D = [ 0.38( ++0.51( + +0.76() ] b) D f(p)= [ 0.38(2 1 +2 7)+0.51(2 1 +1 7) +0.76(1 2) ] grad f(,,= f (,, = f X i+ f Y j+ f Z k df df df = i + j+ k d d dz birim vektor onndeki trev D= f (,, D f(p)= [ 0.38*(2**^2+* + 0.51*( 2*^2*+* +0.76*(*) ] =15.62 Yonl trev bir skalardir (sabit bir sai) vektor degildir. Fonksionn o ondeki artis ada azalis hizini verir. ------------------------------------------------ --------- p351) f(,,= 2 2 +z ise grad f i hesaplain. f (,, =? f (,, = f X i+ f Y j+ f Z k f (,, = ( +i+( +j +()k p352) f(,,= 2 + 2-4 ise, f (,, =? f (,, = 2i+ 2j +0k=2i+ 2j p353) f(,,= 2 2 +z ise a)f nin V=3i+4j+6k onndeki trevini hesaplain. b)b trevin P(1,2,7) noktasindaki degerini hesaplain. a) f (,, = ( +i+( +j +()k birim vektor onndeki trev D= f (,, V=3i+4j+6k vektornn birim vektor 3i + 4j + 6k 3i + 4j + 6k v= = = 0.38i+0.51j+0.76k 2 3 + 4 + 6 7.81 p352) f(,,= 2 - ise, fonksionn =2, =4 noktasinda a) ekseni b) ekseni c)z ekseni onndeki artisi nedir. f (,, = 2i- j +0k=2i- j a) ekseni onnde birim vektor. v=i+0j+0k=i Dv= f (,, v =(2i- j) (i)= 2 Dv f(p)=2 2=4 b) ekseni onnde birim vektor. v=0i+j+0k Dv= f (,, v =(2i- j) (j)= - Dv f(p)= - = -4 b)z ekseni onnde birim vektor. v=0i+0j+zk Dv= f (,, v =(2i- j) (= 0 Dv f(p)=0 Trevin maimm deger aldigi on Dv = f v = f v cos α cos α en fazla 1 olabilir. cos α =1 --> α=0 Dv = f v = nin alabilecegi en ksek deger cos α =1 oldg drm ani α=0 drmdr maimm deger = f v Dv = f v = nin alabilecegi en dsk deger cos α =-1 oldg drm ani α=180 0 drmdr
maimm deger = - f v Trevin alabilecegi maimm deger gradan vektor onndedir. Trevin alabilecegi minimm deger deger gradan vektorn zıddı onndedir. Hatirlatma: Vektorler b v cos α=5 8.24 0.9217=38 ------------------------------------ --- α=0 icin cos α=1 dir o halde iki vektorn carpiminin en bk olmasi icin vektorler arasindaki aci sifir olmali, (vektorler ani onde olmalidir.) α=180 icin cos α=-1 dir o halde iki vektorn carpiminin en kck olmasi icin vektorler arasindaki aci 180 derece olmali, (vektorler zit onde olmalidir.) α=90, α=270, icin cos α=0 dir o halde iki vektorn carpiminin sifir olmasi icin vektorler arasindaki aci 90 derece vea 270 derece olmali, (vektorler birbirine dik olmalidir.) O a z=a+ib, z =r= O = a + b, a=r cos, b=r sin sin = r b, cos = r a, tan = a b, Iki vektorn skalar carpimi. =ai+bj, v=di+ej.v=ad+be (scalar carpimin sonc bir scalardir saidir vektor degildir) Gosterilebilir ki.v= v cos α. vektorn genligi α:iki vektor arasindaki acidir. =ai+bj=3i+4j, v=ci+dj=2i+8j d b β O c a.v=3 2+4 8=38 ani sonc.v= v cos α. bagintisi ile blmaa calisalim. 4 = 3 + 4 = 5, tan = =53.13, 3 4 v = 2 + 8 = 8.24, tan β = =75.96, 3 α= β =22.83
Vektorel Zincir Krali r(t)=(t)i+(t)j+z(t)k f(,,=f(r(t)) seklinde gosterilir. fonksionn t e gore trevi df df d df d df dz = + + dt d dt d dt dz dt df df df d d dz dr = + + + + = f (r(t)) d d dz dt dt dt dt ---------------------------------------- -------------- Tegetler ve Teget Dzlemler 0 f() -------------------------- --------------------- df=d f(p) ds f fonksion zerinde vektor dogrltsnda ds kadar gidildiginde fonksionn degeri df kadar artar (vea azalir). p351) 0 = 0 da cizilen tegetin egimi f '( 0 ) dir. 0 f (0) ani tan = = = f '(0) 0 0 Tegetin denklemini blmak icin bir noktasi ve egimi bilinen dogr denklemi formln kllaniriz. - 0 =m(- 0 ) =m(- 0 ) + 0 =m- m 0 + 0 = f '( 0 ) - f '( 0 ) 0 + f( 0 ) eld edilir. - 0 =m(- 0 ) denkleminin baska bir oldan elde edilmesi - 0 =(- 0 ) - 0= d (- 0) d
F(,,=0 zeine P 0 ( 0, 0, 0 ) noktasinda cizilen teget dzlemin denklemi (P 0 )( 0 ) + (P 0)( 0) + (P 0)( z z0) = 0 d d dz (P 0 ) F nin e gore trevinin (P 0 ) daki degeri d demektir. B teget dzleme P 0 ( 0, 0, 0 ) noktasindan cizilen normal (dik dogr) denklemi. = 0 + (P0 ) t, = 0 + (P0 ) t, z=z 0 + (P0 ) t, d d dz Gradan vektor normal dogrltsndadir. Gradan vektor tegete (trev vektorne) diktir. Gradan vektor tegete diktir. f() Teget =f() F(,) = - f()=0 ( 0 ) + ( 0) = 0, (F45) d d d(-f()) d df() df() df() = = = 0 =, d d d d d d d(-f()) d df() = = = 1 0 = 1 d d d d B degerler F45 de erine konlrsa df - ( 0 ) + 1( 0) = 0 d df m= tanimi apilirsa d (- 0 )=m(- 0 ) eld edilir. 0 0 Gradan Ornek (balci 110) ---------------------------------------------- -------------- Dzlemde Teget dogrsnn denkleminin baska sekilde elde edilmesi