ÇOK BOYUTLU EŞLEŞMİŞ ÇİFTLER ARASINDAKİ FARKIN SINAMASINDA PERMÜTASYON YÖNTEMİNİN BİR DEĞERLENDİRMESİ. Burak ŞİMŞEK YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK

ÇOK BOYUTLU EŞLEŞMİŞ ÇİFTLER ARASINDAKİ FARKIN SINAMASINDA PERMÜTASYON YÖNTEMİNİN BİR DEĞERLENDİRMESİ Burak ŞİMŞEK YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEMMUZ 2007 ANKARA

Burak ŞİMŞEK tarafından hazırlanan ÇOK BOYUTLU EŞLEŞMİŞ ÇİFTLER ARASINDAKİ FARKIN SINAMASINDA PERMÜTASYON YÖNTEMİNİN BİR DEĞERLENDİRİLMESİ adlı bu tezn Yüksek Lsans olarak uygun olduğunu onaylarım. Yrd. Doç. Dr. Mustafa Y. ATA Tez Yönetcs Bu çalışma, jürmz tarafından oy brlğ le İstatstk Anablm Dalında Yüksek Lsans Tez olarak kabul edlmştr. Başkan : Prof. Dr. Semra ERBAŞ Üye : Prof. Dr. Hamza GAMGAM Üye : Prof. Dr. Müslm EKNİ Üye : Prof. Dr. Fkr ÖZTÜRK Üye : Yrd. Doç. Dr. Mustafa Y. ATA Tarh : 10/07/2007 Bu tez, Gaz Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü tez yazım kurallarına uygundur.

TEZ BİLDİRİMİ Tez çndek bütün blglern etk davranış ve akademk kurallar çerçevesnde elde edlerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada orjnal olmayan her türlü kaynağa eksksz atıf yapıldığını bldrrm. Burak ŞİMŞEK

v ÇOK BOYUTLU EŞLEŞMİŞ ÇİFTLER ARASINDAKİ FARKIN SINAMASINDA PERMÜTASYON YÖNTEMİNİN BİR DEĞERLENDİRMESİ (Yüksek Lsans Tez) Burak ŞİMŞEK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Temmuz 2007 ÖZET Dağılımı blnmeyen br yığından rasgele seçlen tek br örnekten başka, yen br örnek seçme yada örnek çapını büyütememe, araştırmacıların gerçek uygulamalarda sık karşılaştıkları br durumdur. Böyle br tek örneğe lşkn breylern belrl denence yapılarında olası tüm sıralamaları yapılablrse, dağılımdan bağımsız örnek statstkler ve sınama karar kuralları, statstksel denence sınamanın temel mantığı çerçevesnde araştırmacı tarafından tanımlanablr. Permütasyon sınama yöntem olarak adlandırılan bu yaklaşım da, blgsayar teknolojsndek hızlı gelşmeyle günümüzde yenden canlanan kuramsal temel esk statstksel yöntemlernden brsdr.bu çalışmada, Permütasyon sınama yöntem le lgl temel blgler ve örnekler verldkten sonra, uygulamada sıkça karşılaşılan çok boyutlu ndrgenmş çftler arasındak farkın anlamlılığını belrlemeye yönelk yapıdak denence sınamalarında permütasyon sınama yöntemnn başarısı sanal ortamda gerçekleştrlen Monte Carlo br deneyle gösterlmştr. Blm kodu : 205.1.066 Anahtar Kelmeler :Eşleşmş Çftler, Permütasyon Sınama Yöntem, Hotellng T2 Yöntem, Monte Carlo Yöntem Sayfa Aded : 62 Tez Yönetcs : Yrd. Doç. Dr. M. Yavuz ATA

v AN EVALUATION OF THE PERMUTATION METHOD IN TESTING THE DIFFERENCE BETWEEN MULTIVARIATE MATCHED PAIRS (M. Sc. Thess) Burak ŞİMŞEK GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY July 2007 ABSTRACT The mpossblty of samplng a new sample or ncreasng the sample sze of a sngle sample randomly sampled from a populaton wth an unknown dstrbuton s a frequent case faced wth by researches n real applcatons. In certan structures of hypothess, f all the possble permutatons of the unts of such a sample can be attaned, the dstrbuton free sample statstcs and the decson rules of testng can be attaned, the dstrbuton free sample statstcs and the decson rules of testng can be defned by the researcher wthn the framework of the fundamental logc of statstcal hypothess testng. Ths approach too, whch s called as a permutaton testng method, s one of the statstcal testng technques wth a theoretcal base establshed n the past wth come to lfe a new wth the rapd development n the computer technology. In ths work, after gvng the fundamental nformaton and the examples, the performance of the permutaton method n the structure of a hypothess testng whch ams at determne the sgnfcance of dfference between the multdmensonal matched pars has been

v presented by a Monte Carlo experment realzed n the vrtual envronment. Scence Code : 205.1.066 Key Words :Matched Pars, Permutaton Test, Hotellng T2 Method, Monte Carlo Method Page Number : 62 Advser : Yrd. Doç. Dr. M. Yavuz ATA

v TEŞEKKÜR Yazar, bu çalışmanın gerçekleşmesnde katkılarından dolayı, aşağıda adı geçen kşlere çtenlkle teşekkür eder. Sayın Yrd. Doç. Dr. Mustafa Y. ATA, tez çalışmasının gerçekleştrlmes çn gerekl ortamı hazırlamış ve çok değerl katkılarda bulunmuştur. Sayın Öğr. Gör. Dr. Selahattn ERGEÇ, çalışma süresnce tez çalışmasının gerçekleştrlmesnde çok değerl katkılarda bulunmuştur. Sayın Araştırma Görevls Fkr GÖKPINAR çalışmanın başında lgl konunun kavranmasında çok değerl katkılarda bulunmuştur. Sayın Serdar Tombul çalışmanın şekllenmesnde katkıda bulunmuştur.

v İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...v ABSTRACT...v TEŞEKKÜR...v İÇİNDEKİLER...v ÇİZELGELERİN LİSTESİ...x ŞEKİLLERİN LİSTESİ...x SİMGELER VE KISALTMALAR...x 1. GİRİŞ......1 2. PERMÜTASYON SINAMA YÖNTEMİ...4 2.1. Tek Yığına İlşkn Denence Sınamaları......6 2.2. Çok Yığına İlşkn Beklenen Değer Karşılaştırmaları... 9 2.2.1. İk yığına lşkn beklenen değer karşılaştırmaları...14 2.2.2. İkden fazla yığının beklenen değerlernn karşılaştırılması...18 2.3. Yerne Koyarak Örnekten Rasgele Örnekleme Yöntem......21 2.4. Fsher n Kesn Sınama Yöntem......25 2.5. Eşleşmş Çftler.....31 2.5.1. Tek değşkenl eşleşmş çftler arasındak farkın anlamlılık sınaması...31 2.5.2. Çok boyutlu eşleşmş çftler arasındak farkın anlamlılık sınaması...35 3. PERMÜTASYON SINAMA YÖNTEMİNDE İKİ FARKLI YAKLAŞIMIN BİR BENZETİM UYGULAMASI...40 3.1. Sanal Deneyn Tasarımı......41

x Sayfa 3.1.1. Tüm permütasyonların ele alınması yaklaşımı le sınamanın gerçekleştrlmes...44 3.1.2. Monte Carlo yaklaşım...45 4. SONUÇ VE ÖNERİLER...47 KAYNAKLAR...49 EKLER...51 EK-1 Tek yığına at beklenen değer sınaması çn yerne koyarak örnekten rasgele örnekleme yöntemnde kullanılan yordam...52 EK-2 Her boyutunda k düzey olmak üzere, k boyutlu br çapraz tabloda Fsher n Kesn Sınama Yöntem çn kullanılan yordam...53 EK-3 Eşleşmş çftlerde tüm mümkün yen düzenlemelern elde edlmes çn kullanılan yordam...55 EK-4 Çok boyutlu eşleşmş çftler arasındak farkın anlamlılığının sınanmasında kesn p değerlernn hesaplanmasında kullanılan alt yordam...60 EK-5 Çok boyutlu eşleşmş çftler arasındak farkın anlamlılığının sınanmasında Monte Carlo p değerlernn hesaplanmasında kullanılan yordam...61 ÖZGEÇMİŞ.......62

x ÇİZELGELERİN LİSTESİ Çzelge Sayfa Çzelge 2.1. Örnek brmler ve ortalamadan sapma değerler.... 7 Çzelge 2.2. Sınama statstğnn permütasyon dağılımı... 8 Çzelge 2.3. İlk ve knc yığına at örnek brm değerler, sıra statstk değerler ve z j değerler...11 Çzelge 2.4. Sınama statstğnn permütasyon dağılımı şlemler...13 Çzelge 2.5. Kontrol ve şlem guruplarına at tüm mevcut düzenlemeler ve sınama statstk değerler...17 Çzelge 2.6. Guruplara göre örnek brmler...19 Çzelge 2.7. Br yen düzenleme çn oluşan farklı durumlar...21 Çzelge 2.7. Her boyutta k düzey olmak üzere, k boyutlu sınıflandırılmış (kategork) ver çn çapraz tablo yapısı...25 Çzelge 2.8. Cnsyetlerne göre spor yapan ve yapmayan gençlern sayıları...27 Çzelge 2.9. Elde edleblecek tüm tablo bçmler, mümkün düzenleme sayıları ve karşılaştırma statstğnn değerler...29 Çzelge 2.10. Fsher n kesn sınaması p değerler...31 Çzelge 2.11. Eşleşmş çftler t test çn karar...33 Çzelge 2.12. Gözlem çftler ve fark değerler...34 Çzelge 2.13. k = 2 ve n = 3 olmak üzere eşleşmş çftler çn mümkün düzenlemeler...38 Çzelge 3.1. Eşleşmş sanal gözlem değerler...43 Çzelge 3.2 Eşleşmş çftler çn karşıt deneceler, permütasyon sınamasında elde edlen p değerler ve sınama sonuçlar 44 Çzelge 3.3. Farklı m değerlernde tek ve çft yönlü sınama çn Monte Carlo yaklaşımı le lde edlen p değerler...46

x ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekl Sayfa Şekl 2.1. ykörö e at dağılım (sıklık) grafğ...24

x SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada bazı smgeler ve kısaltmalar açıklamalarıyla brlkte aşağıda sunulmuştur. Smgeler D Açıklama Tüm olası yen düzenlemelern sayısı f H K L Eşleşmş çftler ortalama fark statstğ Yığın ortalamaları çn k örnekl denence sınama statstğ k sıralı örnek çn Ptman statstğ Yığın ortalamaları çn k örnekl denence sınama statstğ p tek Tek yönlü sınamada p oranı p çft Çft yönlü sınamada p oranı S Yerne koyarak örnekten rasgele örnek t ykörö,x ykörö u v n ortalamasının standart hatası Eşleşmş çftler çn Student t sınama statstğ Fsher n kesn sınamasında uç değer karşılaştırması statstğ Yığın ortalaması çn tek örnekl denence sınama statstğ x ykörö. yerne koyarak örnekten rasgele örneğn ortalaması u x ykörö u tane yerne koyarak örnekten rasgele δ F örnek ortalamasının ortalaması Aly nn sınama statstğ Eşleşmş çftlerde beklenen değer fark parametres

x Kısaltmalar ykörö Açıklama Yerne koyarak örnekten rasgele örnekleme

1 1. GİRİŞ Denence sınamalarında parametrk yöntemlern kullanılablmes çn, gerekl varsayımlardan br olan, yığının normal dağılmış olması varsayımının, dğer bazı ek varsayımlarla brlkte sağlanıyor olması gerekr. Normallk varsayımı sağlanmıyor olsa ble, merkez lmt kuramı gereğnce, örnek çapı yeter kadar büyük se statstklern örnekleme dağılımları normal dağılıma yakınsayacağından parametrk yöntemler kullanılablr [1]. Denence sınamada parametrk yöntemlern kullanılamadığı durumlarda se parametrk olmayan yöntemlern kullanılacağı açıktır. Bu çalışmada rdelenecek olan permütasyon sınama yöntem de parametrk olmayan br sınama yöntemdr. Uygulamada, yığından defalarca örnek çekmenn çok malyetl hatta olanaksız olduğu durumlarda, yığına lşkn br çıkarım çn tek blg kaynağı, oluşturulan eldek tek br örnek olablr. Böyle br durumda zleneblecek mantıksal br yol, yenden örnekleme olarak adlandırılan, eldek örnekten yen örnekler oluşturmaktır. Bu genel yaklaşım, eldek örnekten yerne koyarak rasgele örneklem yada söz konusu denenecenn yapısına bağlı olarak oluşturulablecek eldek örnek brmlernden yen düzenlemeler oluşturma bçmnde uygulanablr. Eldek tek örneğn yen düzenlemelerne göre araştırmacı tarafından tanımlanan sınama statstklernn, yığının dağılımından bağımsız krtk değerlernn hesaplandığı bu yöntemn lk örneklernden br, R. A. Fsher tarafından verlmştr [2,3]. Denence sınamada araştırmacıya etkn ve güvenleblr sonuçlar vermesne karşın, permütasyon sınama yöntem uygulanablrlk yapısı gereğ gelşmş blgsayar teknolojsne gereksnm duymaktadır. Dolayısıyla statstksel denence sınamasında kullanılması yrmnc yüzyılın başlarında önerlmesne karşın, blgsayar teknolojsnn gelşm sonucu hesaplama güçlüğünün ortadan kalkması le permütasyon sınama yöntem son yıllarda yaygınlık kazanmıştır [4,5].

2 Permütasyon sınama yöntem le yapılan çalışmalar ncelğnde, bu çalışmaları araştırma düzey bakımından k gurupta toplamak mümkündür. Bazı çalışmalarda permütasyon sınama yöntemnn gücü, brtakım denence yapıları çerçevesnde elde edlmş ve yöntemn etknlğ geleneksel yöntemlernk le karşılaştırılmıştır. Dğer çalışmalarda se permütasyon sınama yöntem, araştırmacı tarafından lg konusu olan çeştl denence yapılarında, alternatf br uygulama ntelğ taşımıştır. Aşağıda permütasyon sınama yöntem le lgl bazı çalışmalar sunulmuştur. Verlen bu örnek çalışmalar permütasyon sınama yöntemnn uygulanablrlk alanının ne kadar genş olduğunu gösterr ntelktedr. Blar R. C. ve dğerler, çok değşkenl bağımsız ve eşleşmş ver yapılarına lşkn denence sınamalarında, Hemmelmann C. ve dğerler, çok boyutlu Elektro-Ensefalograf verlernn konum parametrelerne at denencelern sınanmasında, permütasyon sınama yöntem kullanılmış ve yöntemn geleneksel yaklaşımlara göre gücü karşılaştırılmıştır [6,7]. Routledge R. D., değşke çözümlemesnde permütasyon sınama yöntem F sınama yöntem le karşılaştırılmıştır [8]. Neuhaus G. ve Zhu L., çok boyutlu konumlandırma problem (ağır ve haff kuyruklu dağılımlarda), permütasyon sınama yöntem le ele alınmış ve yöntemn gücü değerlrlmştr [9]. Antoch J. ve Huskova M., değşm noktası çözümlemesnde permütasyon sınama yöntemnn dğer bazı geleneksel yöntemlere göre karşılaştırmaları yapılmıştır [10]. Ludbrook J. ve Dudley H., byomedkal araştırmalarda, permütasyon sınama yöntemnn geleneksel t ve F sınamalarına göre üstünlüğü ortaya konmuş ve belrl ver kümeler kullanılarak yöntemlern statstksel değerlrmeler sunulmuştur [11]. Anderson M. J. ve Robnson J., doğrusal regresyon modeller çn, kısm regresyon katsayılarının denence sınamalarında, Borkowf C. B., çft yönlü tutarlılık çzelgelernde, etkn br sınıflandırılmış ver üretme algortması elde edlerek ortalama parametrelernn keyf oranları çn sınıflandırılmış verlere at denecelern sınamasında, Rose K. A. ve Smth E. P., uyum ylğ

3 modelnn statstksel br değerlrmesnde, Jung B. C ve dğerler, k yönlü değşke çözümlemesnde (hem ana etklern hem de etkleşmlern sınandığı br tasarım çn), Luger R., hem doğrusal hem de ç çe olmayan regresyon modellerne at önsav sınamalarında, Yamada T. ve Sugyama T., önerlen sınama statstkler çerçevesnde, kanonk brlşk çözümlemesnde permütasyon sınama yöntem kullanılmıştır [12-17]. Robnson J., Eğer noktası yaklaşımlarında, permütasyon sınama yöntem le yığın parametrelerne at güven aralıkları elde edlmştr [18]. Bu çalışmada, permütasyon sınama yöntem bastten karmaşığa doğru, yığın(lar)ın beklenen değerne lşkn geleneksel bazı denence sınamaları çerçevesnde ele alınacaktır. Daha sonra sanal deney ortamında, çok boyutlu eşleşmş çftler arasındak farkın anlamlılığının sınamasında permütasyon sınama yöntemnn br değerlrmes sunulacaktır.

4 2. PERMÜTASYON SINAMA YÖNTEMİ Bu başlıkta, permütasyon sınama yöntemne lşkn temel tanımlar verlecek, konum parametrelerne lşkn bazı denence yapıları çn permütasyon sınama yöntemnn nasıl uygulandığı gösterlecek ve yöntemn bu bölümde ele alınacak olan denence yapılarında uygulanılablmes çn gerekl olan varsayımları ele alınacaktır. Permütasyon sınama yöntemne başvurulmasının öneml nedenlernden br, (başka bazı sınama yöntemlernde de olduğu gb) yığına at elde yalnızca br örneğn bulunması durumunda denence sınamasının gerçekleştrleblmes ve doğru sonuç çıkarımlarının yapılablmesdr. Permütasyon sınama yöntem le yapılan sınamanın gücü, dğer alternatf yaklaşımlarınk kadar ya da daha yüksek olma özellğne sahptr. Yöntemn terch edlmesndek br dğer öneml sebep se, yöntemn uygulanablrlk alanının çok genş olmasıdır. Permütasyon sınama yöntem sürekl, sıralı, sınıflandırılmış ver gurupları gb farklı yapıda verlere uygulanablr. Bunun yanında dağılımdan bağımsızlık söz konusu olduğu çn permütasyon sınama yöntemnn uygulanacağı örneğe at yığın normal, yarı normal veya normal olmayacak bçmde dağılablr. Anlaşılacağı üzere permütasyon sınama yöntem neredeyse tüm parametrk ve parametrk olmayan sınama yapıları çn uygulanablr [19]. Permütasyon sınama yöntemnn uygulanablmes çn sağlanması gereken en öneml ve temel koşul, gözlemlern brbrler le yer değştreblr olmasıdır. (Gözlemlern brbrler le yer değştrleblr olması durumuna çalışmanın devam eden bölümlernde ayrıntılı olarak değnlecektr.) Aks halde sınama statstğne at permütasyon dağılımı oluşturulamayacağından, permütasyon sınama yöntem uygulanamaz. Br permütasyon sınama yöntemnn uygulanması sırasında aşağıdak adımlar zlenr:

5 1. Problem ele alınarak, sınanacak yokluk denences ve karşıt denence belrlenr. 2. Denencey sınamak çn uygun olan br sınama statstğ araştırmacı tarafından tanımlanır. 3. Eldek örnek çn sınama statstğ hesaplanır. 4. Eldek örnek brmler kullanılarak, söz konusu denencenn yapısına göre, karşılaşılablecek tüm durumlar yenden oluşturulur ve tüm bu durumlar çn sınama statstğ yenden hesaplanarak sınama statstğnn permütasyon dağılımı elde edlr. 5. Sınama statstğnn permütasyon dağılımından faydalanılarak denence sınaması çn karar alınır. Eldek örnekten hesaplanan sınama statstğ, permütasyon dağılımındak sınama statstklernn değerler çersnde yokluk denencesn reddettrecek uç br değer se yokluk denences reddedlr. Karar verme sürec aşağıda detaylı olarak ele alınmıştır. Permütasyon yöntem le denence sınamasında karar verme sürec, geleneksel yöntemler le benzerlk gösterr. Fakat bu yöntem le karar vermede, eldek tek örneğn geldğ yığının dağılımı blnmedğnden, araştırmacı tarafından seçlmş olan sınama statstğnn permütasyon dağılımı esas alınır. Belrl br α anlamlılık düzeynde, sonuç çıkarımı çn kullanılacak olan p değer Eş. 2.1 le tanımlanmıştır. Uçlardak Düzenlemelern Sayısı p = (2.1) Tüm Olası Düzenlemelern Sayısı Tek yönlü sınamada, p α ; çft yönlü sınamada se, p α / 2 olduğunda yokluk denences %100(1-α) güvenle reddedlr

6 2.1. Tek Yığına İlşkn Denence Sınamaları Tek yığın sınamalarında ele alınan gözlemler bağımsız ve smetrk br dağılımdan gelyorlarsa permütasyon sınama yöntem kullanılarak yapılan denence sınamasında tam br anlamlılık düzey gerçekleştrleblr. * µ, X yığının değerlernn ortalaması olan µ X n dda edlen br değer olmak üzere, H H H H 0 a 1 b 1 c 1 * : µ = µ X * : µ < µ X * : µ > µ X * : µ µ X (2.2) denencesnn sınanması amacı le X yığınından rasgele seçlen n brmlk br örneğe lşkn brmler, { : = 1(1) } x n (2.3) olsun. Örneğn geldğ yığının dağılımı smetrk se, yokluk denencesnn doğruluğu altında, gözlemlern ortalamadan poztf ve negatf sapmalarının eşt sayıda olması beklenr. O zaman, örnek brm değerlernn, yokluk denencesnde dda edlen ortalama değernden sapmaları, a = x µ *, =1(1) n (2.4) olmak üzere, T = T 1 + a, a < 0 v =, T0 =0; =1(1) n. T = T 1, a 0 (2.5)

7 bçmnde tanımlanacak negatf sapmaların toplamı, araştırmacı tarafından söz konusu denencenn sınanmasında sınama statstğ olarak belrleneblr. Ortalamadan sapma değerlernn poztf ve negatf olmak üzere 2 durumu söz konusu olduğundan, eldek örnek, D = 2 n sayıdak, olası örneklerden brdr. Uygun sınama statstğnn araştırmacı tarafından belrlenmesnden sonra, verlen bu blgler le konum parametreler çn tek yığına at br denence sınaması gerçekleştrleblr. Konum parametreler çn tek yığın denence sınamasını, tüm permütasyonları da açıkça sergleyeblmek çn, 5 gözlem brmn çeren br örnek üzernde, tüm ayrıntılarıyla açıklamak yararlı olacaktır [19]. Çzelge 2.1 de verlen, n=5 brmden oluşan örnek gözlem değerler ve bu değerlere lşkn sapma değerlerne göre, H0 : µ X = 440 H : µ > 440 1 X (2.6) fade edlen yokluk denences karşıt denenceye karşı sınanacaktır. Çzelge 2.1. Örnek brmler ve ortalamadan sapma değerler. Brm Sıcaklık, Sapma No. x 1 431-9 2 450 +10 3 431-9 4 453 +13 5 481 +41 Örnekte 5 brey ve ortalamadan sapma değerlernn poztf ve negatf olmak üzere 2 durumu söz konusu olduğundan, bu örnekten oluşturulablecek tüm olası düzenlemelern sayısı, 5 D = 2 = 32 olur. Çzelge 2.2 de örnek brmlernn tüm olası düzenlemeler ve her düzenlemeye lşkn sınama statstğ değerler verlmştr.

8 Çzelge 2.2. Sınama statstğnn permütasyon dağılımı Düzenleme no Düzenleme Sınama statstğ değerler 1 9 10 9 13 41 0 2-9 10 9 13 41-9 3 9-10 9 13 41-10 4 9 10-9 13 41-9 5 9 10 9-13 41-13 6 9 10 9 13-41 -41 7-9 -10 9 13 41-19 8* -9 10-9 13 41-18 9-9 10 9-13 41-22 10-9 10 9 13-41 -50 11 9-10 -9 13 41-19 12 9-10 9-13 41-23 13 9-10 9 13-41 -51 14 9 10-9 -13 41-22 15 9 10-9 13-41 -50 16 9 10 9-13 -41-54 17-9 -10-9 13 41-28 18-9 -10 9-13 41-32 19-9 -10 9 13-41 -54 20-9 10-9 -13 41-31 21-9 10-9 13-41 -59 22-9 10 9-13 -41-63 23 9-10 -9-13 41-32 24 9-10 -9 13-41 -60 25 9-10 9-13 -41-64 26 9 10-9 -13-41 -63 27-9 -10-9 -13 41-41 28 9-10 -9-13 -41-73 29-9 10-9 -13-41 -72 30-9 -10 9-13 -41-73 31-9 -10-9 13-41 -69 32-9 -10-9 -13-41 -82

9 Eldek örnekte, sınama statstğnn değer, 2 negatf sapmanın toplamı olan (-9)+(-9) = -18 olur. Sınama statstğnn Çzelge 2.2 le verlmş olan permütasyon dağılımına bakıldığında, tüm düzenlemelern 6 tanesnde sınama statstğnn değer, eldek örneğnk kadar ve ondan daha büyük değerdedr. Yığının beklenen değernn 440 dan daha fazla olduğunu söyleyen karşıt denenceye göre, yokluk denencesnn reddedleblmes çn, sınama statstğnn -18 değern veya bu değerden büyük değerler aldığı düzenlemelern sayısının tüm düzenlemelern sayısına oranı olan p, 6 = 0,1875 32 değern almıştır. Örneğn, α = 0,05 olarak benmsenrse, 0,1875>0,05 olduğundan yokluk denences kabul edlr. 2.2. Çok Yığına İlşkn Beklenen Değer Karşılaştırmaları Konum parametreler bakımından çok yığına lşkn denence sınamalarının permütasyon sınama yöntem le gerçekleştrleblmes çn öncelkle gözlemlern brbrler le yer değştreblr olup olmadığının blnmes gerekmektedr. Örneğn, yığın ortalamalarının aynı olduğu yönündek yokluk denencesnn permütasyon sınama yöntem le sınanablmes çn, karşılaştırılması stenen yığınların değşkelernn aynı olması gerekr. Behrens-Fsher sorunu olarak blnen yığın değşkelernn eşt olmaması durumunda, br yığından gelen örnek brmler dğer br yığından gelen örnek brmler le yer değştreblr olma özellğn kaybeder. Dolayısıyla, yokluk denencesnn doğruluğu altında permütasyon dağılımı oluşturulamaz. Bu sebepten dolayı çok yığına lşkn denence sınamaları permütasyon sınama yöntem le sınanmadan önce, yığın değşkelernn aynı olduğu yolundak denence sınanmalıdır. Bu çalışmada ölçek parametrelerne at denence sınamalarının permütasyon sınama yöntem le gerçekleştrlmesnden kapsamlı olarak bahsedlmeyeceğ çn bu konu ek br başlık altında ncelenmeyecektr. Fakat konunun lerleyş doğrultusunda, değşke karşılaştırmalarına at temel brtakım blglern verlmes ve permütasyon

10 sınama yöntem le yapılması yararlı olacaktır. değşke karşılaştırmalarının bast br uygulama le Her yığından elde tek örnek varken, yığın değşkelernn eşt olduğu yönündek yokluk denences, yığın ortalamalarının eşt olduğu varsayımı sağlanıyor se yada yığın ortalamaları blnyor fakat brbrlernden farklı se bazı dönüşümlern yapılması le, br yığından gelen örnek brmlernn dğer br yığından gelen örnek brmler le yer değştreblr olma koşulu sağlanarak sınanablr. Değşke karşılaştırmalarında gerçek gözlem değerler yerne, bu gözlemlern, sıra statstklernden farkları alınarak elde edlen değerler kullanılırsa, permütasyon sınama yöntem, bahsedlmş olan durumlardan bağımsız olarak uygulanablr. Bu durumdan hareketle br sınama statstğ gelştrlmştr. Bu sınama statstğ kullanılarak, permütasyon sınama yöntem le, ortalamaların eştlğ varsayımının sağlanıyor olması gerekmekszn k örnekl değşke karşılaştırması yapılablr. H σ = σ (2.7) : 2 2 0 x y denencesnn sınanması amacı le X ve Y yığınlarından rasgele seçlen n er brmlk k örneğe lşkn brmler, { x : = 1(1) n} { y : = 1(1) n} (2.8) olsun. İlk ve knc örneğe at sıra statstkler, sırasıyla X(1) X (2)... X (n) ve Y(1) Y (2)... Y (n) olur. Gelştrlen sınama statstğ,

11 z j X( + 1) X( ), j = 1 = Y( + 1) Y( ), j = 2 (2.9) (j yığın nds) olmak üzere, δ = n 1 ( n ) z1 (2.10) = 1 bçmndedr [20]. Eş. 2.10 le verlmş olan sınama statstğ kullanılarak gerçekleştrlen, k yığının değşke karşılaştırılmasına at br uygulama, permütasyon yöntem le değşke karşılaştırılmasının tam olarak aydınlatılablmes çn uygun olacaktır. Yapılacak olan uygulamada yığın değşkelernn aynı olduğu yönündek yokluk denences, brnc yığının değşkesnn knc yığınınknden büyük olduğu yönündek karşıt denenceye karşı sınanacaktır. Değşke karşılaştırmasının yapılablmes çn Çzelge 2.3 de verlmş olan n = 5 çaplı varsayımsal örnek değerler kullanılmıştır. Sıra statstk değerler ve elde edlen z j değerler de yne Çzelge 2.3 le verlmştr. Çzelge 2.3. İlk ve knc yığına at örnek brm değerler, sıra statstk değerler ve z değerler Brm No. Brnc yığın Örnek Sıra statstğ brmler, X değerler, ( ) j z X 1 Örnek brmler, Y İknc yığın Sıra statstğ değerler, Y ( ) 1 103 101 2 138 133 1 2 101 103 3 135 134 1 3 109 106 2.5 136 135 1 4 108.5 108.5 0.5 134 136 2 5 106 109 133 138 z 2

12 Sınama statstğnn eldek örnekten hesaplanan değer 5 1 δ = *( n )* z = 1*(5 1)* 2 + 2*(5 2)*3 + 3*(5 3)* 2.5 + 4*(5 4)*0.5 = 43 = 1 1 olur. Her br 4 elemana sahp z 1 ve z 2 değerler 4 2 = 16 farklı bçmde oluşablrd. Dolayısı le 16 yen düzenleme mevcuttur. Mevcut tüm yen düzenlemeler ve bu düzenlemelerden elde edlen sınama statstğ değerler Çzelge 2.4 le verlmştr. Denencenn yapısına bakıldığında, eldek örnekten hesaplanan sınama statstğ değer kadar yada bu değerden daha büyük olan sınama statstğ değerlernn uç değerler kümesn meydana getreceğ görülür. Sınama statstğnn permütasyon dağılımına bakıldığında se yalnızca 3 değern verlen örnekten hesaplanan sınama statstğnn değer kadar yada ondan büyük olduğu görülmüştür. Böylelkle p, 3 0.1875 16 = değern alır. 0.01 anlamlılık düzeynde, yığın değşkelernn eşt olduğu yönündek yokluk denences kabul edlr.

13 Çzelge 2.4. Sınama statstğnn permütasyon dağılımı şlemler Düzenleme no z 1 z 2 Sınama statstğ, δ değerler 1 2 3 2.5 0.5 1 1 1 2 43 2 1 3 2.5 0.5 2 1 1 2 39 3 2 1 2.5 0.5 1 3 1 1 31 4 2 3 1 0.5 1 1 2.5 2 34 5 2 3 2.5 2 1 1 1 0.5 49 6 1 1 2.5 0.5 2 3 1 2 27 7 1 3 1 0.5 2 1 2.5 2 30 8 1 3 2.5 2 2 1 1 0.5 45 9 2 1 1 0.5 1 3 2.5 2 22 10 2 1 2.5 2 1 3 1 0.5 37 11 2 3 1 2 1 1 2.5 0.5 40 12 1 1 1 0.5 2 3 2.5 0.5 18 13 1 1 2.5 2 2 3 1 0.5 33 14 1 3 1 2 2 1 2.5 0.5 36 15 2 1 1 2 1 3 2.5 0.5 28 16 1 1 1 2 2 3 2.5 0.5 24 Özet olarak, permütasyon sınama yöntem le konum parametrelerne at denence sınamaları gerçekleştrlmeden önce örneklern geldkler yığınların değşkelernn aynı olduğundan emn olunmalıdır. Uygulamada sıklıkla değşkeler blnmeyeceğnden, lk olarak değşkelern eşt olduğu yönündek denence sınanmalıdır. Eğer sınama sonucunda yığın değşkelernn aynı olduğu yönündek denence reddedlyorsa permütasyon sınama yöntem konum parametreler le lgl denence sınamalarında kullanılamayacağından bu yöntem yerne, yerne koyarak örnekten rasgele örnekleme yöntem ne başvurulması uygun düşer. Bu yöntem bölüm 2.3 le ele alınmıştır.

14 2.2.1. İk yığına lşkn beklenen değer karşılaştırmaları İk yığına at konum parametrelernn permütasyon sınama yöntem le karşılaştırılmasının yapılablmes çn, verlen k örneğn geldkler yığınların değşkelernn aynı olmasının gerekllğnden bahsedlmşt. X ve Y değşkeler aynı olan k yığın ve elde X ve Y yığınlarına at k örnek Eş. 2.8 le verldğ gb olsun. H 0 : µ X = µ Y (2.11) yokluk denecesnn, H H H a 1 b 1 c 1 : µ µ X Y : µ < µ X Y : µ > µ X Y (2.12) karşıt denencelerne karşı sınanmasında, L n = x (2.13) = 1 sınama statstğ kullanılablr [19]. Yöntemn uygulanması sırasında, yen düzenlemeler oluşturulurken, hang örnek değernn hang yığından geldğ blnmyormuş gb düşünülür ve meydana geleblecek tüm durumlar üzernden sınama statstğnn permütasyon dağılımı oluşturulur. İk yığına lşkn beklenen değer karşılaştırmalarının permütasyon sınama yöntem le gerçekleştrlmesnn daha rahat anlaşılablmes çn aşağıdak gb br sayısal örnek verleblr.

15 Br şrketler gurubu yapılan br müşter memnunyet yleştrme programının mağazalara gelen müşter sayısı üzernde anlamlı br etks olup olmayacağını saptamak üzere br araştırma yapmak stemştr. Başka br fade le müşter memnunyet yleştrme programının mağazaya gelen ortalama müşter sayısını değştrmeyeceğ yönündek yokluk denences müşter yleştrme programının mağazaya gelen ortalama müşter sayısını arttıracağı yönündek karşıt denenceye karşı sınanacaktır. Bu araştırmayı gerçekleştrmek üzere, seçlen 6 mağazadan 3 tanesnde bu yen hzmet programı kullanmış ve kalan 3 tanesnde se esk yapı korunmuştur. Bell br zaman sonunda mağazalara gelen müşter sayıları yen program uygulanan mağazalarda 126, 134, 130 ve uygulanmayan mağazalarda 55, 62, 48 değerlern almıştır. Bu altı gözlem, şlem gurubu 126, 134, 130 ve kontrol gurubu 55, 62, 48 değerlernden oluşmak üzere k gurup altında ncelenr ve hang gözlemn hang guruba at olduğu blnmese ve bu gözlemler üçerl olarak rasgele bu k 6 guruba dağıtıldıklarında, D = = 20 mevcut durumla karşılaşılır. 3 Karşılaşılablecek tüm mevcut durumlar veya başka br fadeyle tüm mevcut yen düzenlemeler Çzelge 2.5 le verldğ gbdr. Blndğ gb sınama statstğ şlem gurubundak gözlemlern toplamı olarak alınmıştır. Sınama statstğnn şlem gurubundak gözlemlern toplamı olarak seçlmesndek sebep araştırmacıya şlem kolaylığı sağlamasıdır. Şayet sınama statstğ şlem gurubundak gözlemlern ortalaması olarak alınsaydı, araştırmacı her yen düzenleme çn br fazla şlem daha yapmak zorunda kalacaktı k bu durum toplamda yrm ek şlemn daha yapılması anlamını taşır. Ele alınan problemde örmek çapı daha fazla olsaydı, bu durum araştırmacıya çok daha fazla ek şlem yükü getrecekt. Yokluk denences doğru se, çok büyük br sıklıkla şlem gurubunun elemanları toplamının kontrol gurubu elemanları toplamı le aynı olması beklenr. Aks halde şlem gurubu elemanları toplamı kontrol gurubu

16 elemanları toplamından büyük olacaktır. Eldek örnekten hesaplanan sınama statstğ 390 (L = 126 + 134 + 130 = 390) değern almıştır. Mevcut tüm yen düzenlemeler çersnde 390 değer tekdr ve bu değer kadar veya bu değer aşan başka br değer bulunmamaktadır. p, 1/20 = 0.05 değern alır. Dolayısı le 0,05 < α olacak şeklde alınacak br anlamlılık düzeynde müşter yleştrme programının mağazalara gelecek müşter sayısını değştrmeyeceğ yönündek yokluk denences reddedlr.

17 Çzelge 2.5. Kontrol ve şlem guruplarına at tüm mevcut düzenlemeler ve sınama statstk değerler Düzenleme numaraları Brnc gurup, X İknc gurup, Y Sınama statstğ, L 1 126 134 130 55 62 48 390 2 55 134 130 126 62 48 319 3 126 55 130 134 62 48 311 4 126 134 55 130 62 48 315 5 62 134 130 55 126 48 326 6 126 62 130 55 134 48 318 7 126 134 62 55 130 48 322 8 48 134 130 55 62 126 312 9 126 48 130 55 62 134 304 10 126 134 48 55 62 130 308 11 55 62 130 126 134 48 247 12 55 134 62 126 130 48 251 13 126 55 62 134 130 48 243 14 55 48 130 126 62 134 233 15 55 134 48 126 62 130 237 16 126 55 48 134 62 130 229 17 62 48 130 55 126 134 240 18 62 134 48 55 126 130 244 19 126 62 48 55 134 130 236 20 55 62 48 126 134 130 165

18 2.2.2. İkden fazla yığının beklenen değerlernn karşılaştırılması 2 { A (, ), 1(1) µ σ = k} brmler { a, j, 1(1) k, j 1(1) n} yığınlarının her brnden seçlen n çaplı örneklern = = olsun. H : µ = µ =... = µ 0 1 2 H : µ < µ <... < µ (2.14) 1 1 2 k k H 0 1 2 1 : µ = µ =... = µ H : µ µ l, l = 1(1) k l k (2.15) bçmnde k farklı denence yapısı ncelenmek stensn. Eş.2.14 le verlen, k yığına at ortalamalar eşttr yönündek yokluk denencesnn, k yığına at ortalamalar sıralıdır yönündek karşıt denencesne karşı sınanması çn, K k = f ( ) c (2.16) = 1 sınama statstğ gelştrlmştr [19]. Eş. 2.16 le verlen f ( ) monoton artan br fonksyondur. f ( ) monoton artan fonksyonu araştırmacı tarafından, gözlemler arasındak lşknn yapısına göre belrlenmeldr. Blnen en bast monoton artan fonksyon f ( ) = bçmndedr. c se, c n = aj (2.17) j = 1 bçmnde tanımlanır [19].

19 Eş.2.15 le fade edlen denence yapısının permütasyon yöntem le sınanablmes çn kullanılablecek br se H k 2 = n ( a. ) (2.18) = 1 bçmnde tanımlanablr [19]. Oluşturulablecek tüm mümkün durumların sayısı, n1 + n2 +... + nk = n olmak üzere, n brmden k tane alt brm kümes kaç farklı bçmde oluşturulablr sorusunun cevabıdır. Ve tüm mümkün durumların sayısı, D = k n! = 1 n! (2.19) bçmnde fade edleblr. Mutasyonu arttırdığı blnen br bleşmn bell dozları çn, kromozom anormallklernn ncelğ br araştırmada, bleşmn bell dozlarına maruz kalan hayvanların hücrelernde meydana gelen bozulmaları belrleyebleceğ düşünülen br maddenn ölçüm değerler Çzelge 2.6 le verlmştr [22]. Çzelge 2.6. Guruplara göre örnek brmler [22] Hayvan 25 hücre çn ölçüm Doz sayısı, n değer, a f ( doz ) j c f ( doz) * c 1 0 4 0 1 1 2 - log(0 + 1) 4 0 2 5 5 0 1 2 3 5 log(5 + 1) 11 8,5597 3 20 4 3 5 7 7 - log(20 + 1) 22 29,0888 4 80 5 6 7 8 9 9 log(80 + 1) 39 74,4309

20 İlgl araştırmada, verlen 4 örneğe at yığınların ortalamalarının eşt olduğu yönündek yokluk denences, bu yığınların ortalamalarının sıralı olduğu yönündek karşıt denenceye karşı sınanmak stenmştr. Sınamayı gerçekleştrmek üzere, kullanılacak olan monoton artan fonksyon, f ( doz) = log( doz + 1) (2.20) olarak alınmıştır. Çzelge 2.6 le verlen örnek değerlernden oluşturulablecek tüm mümkün düzenlemelern sayısı, 18 brmlk örneğn 4, 5, 4 ve 5 alt örnek çaplı olarak, kaç farklı bçmde alt guruplara ayrılableceğ sorusunun yanıtı olan, 18! = 771891120 4!* 5!* 4!* 5! olarak hesaplanmıştır. Eldek örnekten alınan gözlemler kullanılarak hesaplanan sınama statstğ, 0 +11*log(6)+ 22*log(21)+39 *log(81) =112,0794 değern alır. Tüm mümkün yen düzenlemelern çnde, bu değer kadar veya bu değerden daha büyük olan değerlern sayısının, tüm mümkün durumların sayısına oranı olan p değerne bakılarak, belrl br anlamlılık düzeynde sınama sonuçlandırılablr. Fakat verlen örnekten elde edleblecek yen düzenlemelern sayısı çok fazla olduğundan permütasyon dağılımının burada verlmes olanaksızdır. Yne mümkün durum sayısının en küçük çaplı örnekte ble çok fazla olmasından dolayı Eş.2.15 le verlen denencenn sınanmasına at br örneğe yer verlmemştr. Yokluk denencesnn karşıt denenceye karşı sınanmasında, sınama statstğnn permütasyon dağılımı oluşturulurken dkkat edlmes gereken öneml br nokta vardır. p değer hesaplanırken br takım sorunlarla karşılaşılablr. Br yen düzenleme, aynı türdek gözlemlern yer değştrmes le brden fazla defa meydana geleblr.

21 Çzelge 2.6 le verlmş olan örneğe at br yenden düzenleme Çzelge 2.7 le verldğ gb üç farklı şeklde ortaya çıkmıştır. Yen düzenlemelerdek farklılıkların saptanablmes çn yer değştrlen değerlern yanına * ve # şaretler konmuştur. Elde edlen br yen düzenlemeye at üç farklı durum Çzelge 2.7 de gösterlmştr. Çzelge 2.7. Br yen düzenleme çn oluşan farklı durumlar Durumlar Değerler Gurup1 Gurup2 Gurup3 Gurup4 Eldek örnek 0, 1*, 1#, 2 0, 1, 2, 3, 5 3, 5, 7, 7 6, 7, 8, 9, 9 Yen düzenleme 0, 0, 1, 2 1, 1, 2, 3, 5 3, 5, 7, 7 6, 7, 8, 9, 9 Brnc durum 0, 0, 1, 2 1*, 1#, 2, 3, 5 3, 5, 7, 7 6, 7, 8, 9, 9 İknc durum 0, 0, 1*, 2 1, 1#, 2, 3, 5 3, 5, 7, 7 6, 7, 8, 9, 9 Üçüncü durum 0, 0, 1#, 2 1, 1*, 2, 3, 5 3, 5, 7, 7 6, 7, 8, 9, 9 p değernn saptanmasında bu tarz br durum göz önüne alınmalıdır. Fakat Monte Carlo örnekleme yöntem le böyle br sorun klğnden ortadan kalkacaktır. 2.3. Yerne Koyarak Örnekten Rasgele Örnekleme Yöntem ykörö yöntemnde, mevcut n çaplı br örnekten yerne konularak yne n çaplı u sayıda alt örnek alınır ve bu yen alt örneklern her br üzernden sınama statstğ hesaplanır. Böylece sınama statstğne lşkn yerne koyarak örnekten rasgele örnekleme dağılımı oluşturulmuş olur. ykörö yöntemnn temel mantığı parametreye lşkn güven aralığı esasına dayanır. Br statstğe lşkn yerne koyarak örnekten rasgele örnekleme dağılımı, o statstğn örnekleme dağılımı le türdeşsel olarak benzerlk göstermekle brlkte beklenen değernn sayısal değer eldek örnekten hesaplanan statstğn değeryle aynıdır. Dolayısıyla ykörö yaklaşımı, eldek örnekten

22 hesaplanan statstğn asıl yığındak beklenen değernden farklı olması durumunda yanlı sonuçlar vereblr. Burada Eş.2.3 le verlen yığın ortalamasına lşkn, tek yığına at br denence sınanacağından ykörö güven aralığı elde edlecek parametre, yığın ortalaması µ olacaktır. Kullanılan statstğn ykörö dağılımının yaklaşık olarak normal ve örnek statstğnn sapmasının küçük olması durumunda, yerne koyarak örnekten rasgele örnekleme t güven aralığı Eş.2.3 le verlmş olan denence yapısının sınanmasında kullanılablr [23-25]. Eldek n çaplı tek örnekten ykörö yöntem le elde edlen herhang br. örnek x nn ortalamasına ykörö örnek ortalaması denr ve, x ykörö 1 n n j = 1 = x (2.21) j bçmnde fade edleblr. Br statstğn ykörö dağılımının standart sapmasına, o statstğn yerne koyarak örnekten rasgele örnekleme standart hatası denr. ykörö örnek ortalamasının standart hatası, 1 1 x x x u u n u ykörö = ykörö = j u = 1 un = 1 j = 1 (2.22) olmak üzere, 1 S = x x ykörö, xykörö u u 2 ( ykörö ykörö ) (2.23) u 1 = 1 bçmndedr.

23 (n-1) serbestlk dereces ve α anlamlılık düzeynde, yığın ortalaması çn oluşturulan ykörö t güven aralığı, x ± t S (2.24) u ykörö ( n 1), α / 2 * ykörö, x ykörö bçmnde tanımlanır [23]. Br uygulama çn, süreç sıcaklığı ortalama değernn 440 derece olduğu yönündek yokluk denencesn, süreç ortalama sıcaklığının 440 dereceden büyük olduğu yönündek karşıt denencesne karşı sınamak üzere, n=20 brmlk örnek sıcaklık değerler, 431, 450, 431, 453, 481, 449, 441, 476, 460, 482, 472, 465, 421, 452, 451, 430, 458, 446, 466, 476 alınmıştır [19]. Sınamanın gerçekleştrlmes çn EK-1 le verlen yordam le 20 brmlk örnekten yerne koyarak örnekten rasgele örnekleme yöntemyle, seçlen 500 örnekten Eş. 2.22 dek örnek ortalama değer hesaplanarak, ykörö dağılımı elde edlmştr. Elde edlen ykörö dağılımında yenden örneklemelern ortalaması 454.447 olarak hesaplanmıştır. Verlen asıl örneğn ortalaması se 454.550 değern almıştır. Dkkat edlmes gereken br öneml durum se ykörö standart hata değerdr. Bu değer 3.786 olarak hesaplanmıştır. 50000 yenden rasgele örnekleme yapıldığında se ykörö standart hatası 3.897 olarak hesaplanmıştır. Verlen asıl örneğn standart hatası se 4.015' dr. Görüldüğü gb verlen asıl örnekten hesaplanan standart hata le ykörö standart hata değerler brbrne oldukça yakındır. ykörö e at dağılım grafğ se Şekl 2.1. le gösterlmştr.

24 140 120 100 80 60 40 20 0 440 445 450 455 460 465 470 Şekl 2.1. ykörö e at dağılım (sıklık) grafğ ykörö e at dağılım grafğ ncelğnde ykörö dağılımının yaklaşık olarak normal olduğu görülmektedr. n 1= 20 1= 19 serbestlk dereces ve 0.05 anlamlılık düzeynde, 500 ykörö kullanılarak elde edlen ykörö t güven aralığının alt ve üst sınırları sırası le, ( 454.447 ± 3.786 * 2.093 ) 446.523 ve 462.371 değerlern almıştır. Bu durumda 0.05 anlamlılık düzeynde yığın ortalamasının 440 olduğu yönündek yokluk denences reddedlr. Örnek çapı ne kadar büyük se, ele alınan örnek yığını o kadar y temsl eder. Dolayısı le ykörö yöntemnde olabldğnce büyük çaplı, yığını y temsl eden br örnek kullanılmalıdır [23].

25 2.4. Fsher n Kesn Sınama Yöntem Bağımsızlık sınamalarında amaç, sınıflama ölçme düzeynde ölçülen değşkenler arasında lşk olup olmadığının belrlenmesdr. Bu tür sınamalarda, sınıflama düzeynde ölçülen değşkenlern brbrnden bağımsız olduğu yönündek yokluk denences sınanır. Örneğn k boyutlu br bağımsızlık sınamasında, k değşken arasında br lşk varsa değşkenlerden brnn değernn blnmes, dğer değşkenn değernn tahmn edlmesnde kolaylık sağlayacaktır. İk boyutlu sınıflanmış verler çn oluşturulablecek br çapraz tablonun genel yapısı, Çzelge 2.7 le verldğ gbdr. Çzelge 2.7. Her boyutta k düzey olmak üzere, k boyutlu sınıflandırılmış (kategork) ver çn çapraz tablo yapısı İknc değşkenn Brnc değşkenn düzeyler düzeyler B1 B2 Toplam A1 s 11 s 12 s 1. A2 s 21 s 22 s 2. Toplam s.1 s.2 s.. Çzelge 2.7 de verlmş olan (2 2) boyutlu çapraz tablo çn serbestlk dereces 1 olur. Bağımlılık sınamalarında serbestlk dereces 1 ken, beklenen gözlem sıklık değerler çok küçük olduğunda k kare yaklaşımı yanlış sonuçlar vereblr. Bu durumda, bağımlılık sınamalarında Fsher n kesn sınama yöntemn kullanmak uygun olur. Sırasıyla toplam frekanslar olan s 1., s 2., s.1, s.2 değerlernn sabt olmaları koşulu altında, tüm mümkün durumların (oluşturulablecek tüm mümkün çapraz tabloların) sayısı olan D,

26 s s = 1..1 s.2 s.. D = s = 11 0 s11 s1. s11 s1. (2.25) bçmndedr. Eş.2.25 le fade edlmş olan mümkün durum sayısı hpergeometrk dağılımından elde edlmştr. N elemandan, N 1 tanes A ve N 2 tanes B türünden olmak üzere, verlen k türlü elemanlar kümes çn X, yerne koymaksızın, rasgele seçlen n 1 elemanın A türünden seçlmes durumunu fade edyorsa, X hpergeometrk br değşkr. N 1 +N 2 =N ve n 1 +n 2 =n olmak üzere, bu durumun meydana gelmes olasılığı, N1 N2 = = n1 n2 p( X x) N n (2.26) bçmndedr. (2 2) boyutlu br çapraz tabloda brnc ve knc değşkenn brnc düzeynde s = x elemanın bulunması olasılığı olan p( s = x ), Eş. 2.27 le 11 tanımlanmıştır [2]. 11 s.1 s.2 x s1. x p( s = = 11 x) s.. x (2.27) Fsher n kesn sınama yöntemnn zayıf tarafı, çft taraflı denence sınamalarında kn gösterr. Bunun sebeb, elde edlen yen düzenlemelern smetrk bçmde dağılmamasıdır. Smetrklk

27 sağlanamadığından, örneğn permütasyon dağılımının sağ tarafında tespt edlmş olan br tablonun, dağılımın sol tarafında bulunan karşıtı saptanamaz. Yen düzenlemelern, permütasyon dağılımı üzerndek uç değer karşılaştırmalarının yapılablmes, s1. s.1 u = ( s11 ) s.. 2 (2.28) statstğ le mümkündür [19]. Konu le lgl sayısal br örnek aşağıdak gb verleblr. Gençlern, cnsyetlerne bağlı olarak spor yapıp yapmama durumlarının ncelğ br araştırma yapılmış olduğu farz edlsn. Spor yapmanın cnsyetten bağımsız olduğu yönündek yokluk denences, bayanların erkeklere oranla daha çok spor yaptığı yönündek karşıt denenceye karşı sınanmak stensn. Bu denence sağ taraflı karşıt denence olarak da fade edleblr. Dolayısı le erkeklern bayanlara oranla daha çok spor yaptığı yönündek karşıt denence sol taraflı denence olarak fade edleblr. Yapıldığı farz edlen araştırmada elde edlen örnek değerler tablosu Çzelge 2.8 le verldğ gb olsun. Çzelge 2.8. Cnsyetlerne göre spor yapan ve yapmayan gençlern sayıları Spor yapıyor Spor yapmıyor Toplam Erkek 1 11 12 Bayan 9 3 12 Toplam 10 14 24 Çzelge 2.8 le verlmş olan tabloda, 12 erkek ve 12 bayan olmak üzere toplam 24 ayrı brey bulunmaktadır. Verlmş olan tabloda, breylern her br brbrnden farklı olduğundan 24 brey çersnden, spor yapan 1 ve spor

28 yapmayan 11 erkek, 10 14 * = 3640 farklı şeklde seçleblr. Başka br 1 11 fade le Çzelge 2.8 le verlmş olan gözlemler, her br satır ve sütun değer aynı kalmak koşuluyla 3640 şeklde elde edleblr. Yen düzenlemeler oluşturulurken bu durum dkkate alınmalıdır. Verlen örnek değerler le oluşturulablecek tüm mümkün çapraz tabloların sayısı s.. 24 D = = = 2704156 s11 12 kadardır. Verlmş olan örnekten elde edleblecek tüm mümkün yen çapraz tablo bçmler, her br çapraz tablo bçmnden oluşturulablecek mümkün düzenleme sayıları ve tablolar çn hesaplanan karşılaştırma statstkler Çzelge 2.9 le verlmştr.

29 Çzelge 2.9. Elde edleblecek tüm tablo bçmler, mümkün düzenleme sayıları ve karşılaştırma statstğnn değerler Tablo bçm Tablo bçm Mümkün düzenleme Karşılaştırma numarası sayısı statstğ, u değerler 1 0 12 10 2 10 14 * = 91 0 12 25 2 1 11 9 3 10 14 * = 3640 1 11 16 3 2 10 8 4 10 14 * = 45045 2 10 9 4 3 9 7 5 10 14 * = 240240 3 9 4 5 4 8 6 6 10 14 * = 630630 4 8 1 6 5 7 5 7 10 14 * = 864864 5 7 0 7 6 6 4 8 10 14 * = 630630 6 6 1 8 7 5 3 9 10 14 * = 240240 7 5 4 9 8 4 2 10 10 14 * = 45045 8 4 9 10 9 3 1 11 10 14 * = 3640 9 3 16 11 10 2 0 12 10 14 * = 91 10 2 25

30 Sınamanın yapısına göre, verlmş olan asıl tablo kadar yada bu tablodan daha uç olan çapraz tabloların sayısı se 10 14 10 14 * + * = 3731olur. 1 11 0 12 Verlen asıl tablo kadar yada bu tablodan daha uç olan tabloların sayısının, tüm mümkün tabloların sayısına oranı olan p, 3731 = 0.0014 2704156 değern almıştır. Dolayısıyla 0.01 anlamlılık düzeynde p < 0.01 olduğundan, cnsyetle gençlern spor yapıp yapmamaları arasında lşk yoktur yönündek yokluk denences reddedlr. Verlen örnekte dda edlen karşıt denence, gençlern spor yapıp yapmama durumları cnsyetten bağımsız değldr bçmnde olursa, sınamayı gerçekleştrmek çn çft taraflı p değerne htyaç duyulur. Burada, Eş.2.28 le bahsedlmş olan karşılaştırma statstğnn değerler kullanılır. Yen düzenlemelere at tablo bçmlerne bakıldığında, verlen asıl örnek kadar ve bu örnekten daha uç olan sol taraflı tablolar bçmler 1 ve 2 tablo bçm numarasına sahp olan tablolardır. Bu k tablodan elde edleblecek yen düzenlemelern toplamı 3640+91=3731 olur. Asıl örneğn karşılaştırma statstğ 16 olarak hesaplanmıştır. Dağılımın sağ tarafına bakıldığında verlen tablo kadar uç olan tablo, 16 karşılaştırma statstğ değer le 10 tablo bçm numaralı tablodur. 10 tablo bçm numaralı tablo kadar ve ondan daha uç değer alan sağ taraflı elde edleblecek tabloların sayısı se yne 3640+91=3731 olur. Buradan, çft taraflı p, hesaplanır. 0.01 anlamlılık düzeynde 3731+3731 = 0,0028 2704156 olarak 0,05 p = 0.0028 < olduğundan 2 gençlern spor yapıp yapmama durumları cnsyetten bağımsız değldr yönündek karşıt denence kabul edlr. Fsher n Kesn Sınama Yöntem le tek ve çft yönlü denencelern sınanmasında gerekl olan p değerlern hesaplayan yordam EK-2 de verlmştr.

31 Örnek çn blgsayar ortamında hesaplatılan p değerler Çzelge 2.10 le verlmştr. Çzelge 2.10. Fsher n kesn sınaması p değerler Karşıt Denence yapısı p değer Sol taraflı denence 0,9999 Sağ taraflı denence 0,0014 Çft taraflı denence 0,0028 2.5. Eşleşmş Çftler Eşleşmş çftler statstksel analz yöntemlernde sıklıkla kullanılmaktadır. Örneğn tıpta, tedav önces ve sonrasında hastaların kanlarındak br yada brden çok maddenn değerler baz alınarak, yapılan tedavnn statstksel olarak anlamlı br etks olup olmadığı araştırılmak stenleblr. Bu örnek çn her br gözlem çftnn elemanları sırasıyla, hastanın kanındak br maddenn tedav öncesnde ve sonrasında ölçülen değerdr [26]. Bu başlıkta eşleşmş çftlere at verlerle konum parametreler çn tek ve çok değşkenl yapıdak denence sınamalarının permütasyon sınama yöntem le nasıl sınanacağından ve geleneksel bazı denence sınama yöntemlerne göre permütasyon sınama yöntemnn üstün yanlarından bahsedlecektr. 2.5.1. Tek değşkenl eşleşmş çftler arasındak farkın anlamlılık sınaması X ve Y yığınlarından alınan n çaplı örnek brmler Eş. 2.8 de verldğ gb olsun. F = E( Y ) E( X ) (2.29)

32 bçmnde tanımlanan, k yığının beklenen değer farkı, sıfıra eşt olursa gözlem çftlerne at ortalamalar brbrlerne eşt olacaktır. Dolayısı le k eş arasındak farkın anlamlılık sınaması çn kullanılacak olan denence yapısı, H H H H o a 1 b 1 c 1 : F = 0 : F 0 : F < 0 : F > 0 (2.30) bçmndedr. Eş.2.30 le fade edlmş olan denence sınamasında kullanılacak klask br yöntem eşleşmş çftler çn t test yöntemdr. Sınama statstğ, f = y x (2.31) ve, 1 f = n n = 1 1 Sf = f f n 1 S f = f 1 S n 2 f n ( 2 ) (2.32) = 1 olmak üzere, f t = (2.33) S f bçmnde fade edleblr [27].

33 Eş.2.30 le fade edlmş olan denence yapısı çn karar kuralı Çzelge 2.11 le verlmştr. Çzelge 2.11. Eşleşmş çftler t test çn karar Karşıt Denence Karar H : F 0 1 t > tn 1, α / 2 se H 0 reddedlr H : F < 0 1 t < tn 1, α se H 0 reddedlr H : F > 0 1 t > tn 1, α se H 0 reddedlr Eş.2.30 le verlen yokluk denencesnn doğruluğu altında, bağımsız gözlemlerden oluşan X ve Y yığınlarının dağılımı normal se, t statstğ Student n t dağılımına sahptr. Dolayısı le sınamanın bu yolla gerçekleştrleblmes çn bu blgye dayanılarak lk planda normallk varsayımının sağlanmış olması beklenr. Fakat X ve Y normal dağılmasa ble merkez lmt kuramı gereğnce, büyük örnek çaplarında t statstğ standart normal dağılıma yakınsamaktadır [27]. Eş.2.30 le verlen yokluk denencesnn, f statstğnn permütasyon dağılımından faydalanarak sınanmasını önerlmştr [27]. Tüm mümkün yen düzenlemelern sayısı olan D, her gözlem çftnde k mümkün durum ve n gözlem çft olduğundan, 2 n kadardır. Tüm mümkün durumlar elde edldkten sonra denencenn yapısına bağlı olarak p değer hesaplanır ve belrlenen br anlamlılık düzeynde sınama sonuçlandırılır. Dkkat edlmes gereken öneml br husus, f değerlernn blnmeyen F parametres etrafında smetrk olarak dağıldığıdır. Bu durum tam olarak anlamlılık düzeynn saptanablmesne olanak sağladığı gb, çft yönlü denence sınamalarında da araştırmacıya kolaylık sağlayacaktır. Yapılmış olan çalışmalara göre, n 12 ve enbüyük f n 2 f = 1

34 değer 3 n değernden çok büyük değlse, permütasyon sınama yöntem le yapılan sınamadan elde edlen p değer le eşleşmş çftler t sınaması le elde edlen p değer brbrne çok yakın olur [27]. Konunun daha y anlaşılablmes çn Çzelge 2.12 le verlen örnek değerler kullanılarak, Eş.2.30 le verlen denence sınaması bahsedlen k yöntem le gerçekleştrlecektr [27]. Çzelge 2.12. Gözlem çftler ve fark değerler Çft no x y f = y x 1 114 122 8 2 103 108 5 3 95 89-6 4 111 112 1 5 86 85-1 6 100 97-3 7 104 106 2 8 91 105 14 9 79 88 9 10 112 115 3 11 63 70 7 12 94 100 6 Çzelge 2.12 le verlen 12 eşleşmş gözlem çft çn f = 3.75, S = 1.61 olarak hesaplanmıştır. t statstğ se 3.75 = 2.33 değern almıştır. Eş.2.30 le 1.61 verlen yokluk denences c tpndek karşıt denenceye karşı 0.05 anlamlılık düzeynde sınanmak stenrse, 2.33 > t11,0.025 = 2.201 olduğundan yokluk denences reddedlr. f Aynı tptek sınama, permütasyon sınama yöntem le yapılmak stenrse, 12 D = 2 = 4096 mümkün durum çersnde eldek verden hesaplanmış olan f = 3.75 değernden daha uç değer alan permütasyonlar bulunmalıdır. Çok fazla sayıda mümkün düzenleme olduğu çn permütasyon dağılımının elle

35 elde edlmes çok zaman alacaktır. Bu sebeple EK-3 dek yordamla tüm permütasyon dağılımı elde edlmş ve uç değer alan permütasyonların sayısı 190 190 olarak bulunmuştur. Permütasyon sınama yöntem le p 0.0464 4096 = olarak hesaplanmıştır. 0.05 anlamlılık düzeynde yokluk denences reddedlr. Eşleşmş çftler t test le elde edlen p değer se 0.0400 değern alır. 12 gözlem çft olmasına karşın permütasyon sınama yöntemnn eşleşmş çftler t test le bu kadar yakın sonuçlar vermes permütasyon sınama yöntemnn güvenlr br yöntem olduğunu onaylar br örnek ntelğndedr. 2.5.2. Çok boyutlu eşleşmş çftler arasındak farkın anlamlılık sınaması Bu başlıkta çok boyutlu eşleşmş çftler arasındak farkın anlamlı olup olmadığının permütasyon sınama yöntem le nasıl sınanableceğ ve ne gb durumlarda bu yönteme başvurulması gerektğnden bahsedlecektr. Çok boyutlu eşleşmş çftler arasındak farkın anlamlılık sınanması, tek değşkenl eşleşmş çftler arasındak farkın anlamlılığının sınanması durumunun genşletlmş br bçmdr. k değşken sayısı olmak üzere, çok boyutlu eşleşmş çftler arasındak farkın anlamlılığının sınanmasında kullanılan denence yapısı, 0 0. 0 kx1 = (2.34).. 0 ve

36 E( X1 Y1 ) E( X2 Y2 ). F kx1 = (2.35).. E( Xk Yk ) olmak üzere, H H H H 0 a 1 b 1 c 1 : F = 0 : F > 0 : F < 0 : F 0 (2.36) bçmndedr. F yöneynn sıfır yöneyne eşt olduğu yönündek yokluk denences, yapılan br şlemn eşler arasında herhang br farka neden olmadığı anlamını taşır. x dzey k değşkenl X yığınından ve y dzey de k değşkenl Y yığınından alınmış n çaplı örnekler olmak üzere ve elde her yığından alınmış tek br örnek olduğu varsayımı altında Eş.2.36 le verlen denence yapısının permütasyon sınama yöntem le sınanması çn gelştrlmş olan sınama statstkler, t t toplam toplam = = k t = 1 k t (2.37) = 1 t = t, t < t <... < t enb ( k ) (1) (2) ( k ) bçmnde verleblr [6].

37 Eş.2.37 le verlmş olan t. eşleşmş çft çn Eş.2.33 le fade edlmş olan t sınama statstğdr. Verlen üç sınama statstğnn her brnn br dğerne göre brtakım üstünlükler söz konusudur. t toplam sınama statstğ şlemn tüm değşkenler üzerndek genel etklern ölçmede etkldr [6]. t sınama toplam statstğ sadece çft taraflı denence sınamasında kullanılmaktadır [6]. t enb sınama statstğ se şlemn belrl değşken alt kümeler üzerndek etklern belrlemede daha duyarlıdır [6]. Eş.2.37 le verlen sınama statstkler eldek eşleşmş çftlere at permütasyonlardan hesaplanan t statstklernden faydalanılarak elde edldğ çn, eldek verden elde edlecek tüm mümkün düzenlemelern sayısı D = olur. 2 n Br uygulama yapmak çn k = 2 ve n = 3 olmak üzere Çzelge 2.13 le verlmş olan yapay gözlem değerler kullanılmıştır [7].

38 Çzelge 2.13. k = 2 ve n = 3 olmak üzere eşleşmş çftler çn mümkün düzenlemeler Düzenleme no 1 2 3 4 5 6 7 8 Çft Çft 1 Çft 2 no x 1 y 1 2 y 1 8 5 6 2 x 2 2 4 3 3 1 3 6 4 7 4 1 5 8 2 6 2 4 3 3 1 3 6 4 7 4 1 5 8 2 6 2 3 4 1 3 3 6 4 7 4 1 5 8 2 6 2 3 4 1 3 3 4 6 4 7 1 5 8 2 6 2 4 3 3 1 3 4 6 4 7 1 5 8 6 2 2 3 4 1 3 3 6 4 7 4 1 8 5 6 2 2 3 4 1 3 3 4 6 4 7 1 8 5 6 2 2 4 3 3 1 3 4 6 4 7 t t 1 2 t toplam t t toplam enb 3.4641 5.1962 8.6603 8.6603 5.1962 0 0.1525 0.1525 0.1525 0.1525-0.4588-0.4804-0.9392 0.9392-0.4804-3.4641-5.1962-8.6603 8.6603-5.1962-1.1094-0.8980-2.0074 2.0074-1.1094 1.1094 0.8980 2.0074 2.0074 1.1094 0-0.1525-0.1525 0.1525-0.1525 0.4588 0.4804 0.9684 0.9684 0.4804 Çzelge 2.13 le verlmş olan permütasyon dağılımına bakıldığında, eldek verden hesaplanan t toplam, t ve t toplam enb sınama statstklernn sırası le 8.6603, 8.6603 ve 5.1962 değerlern aldıkları görülmektedr. İşlemn gözlem çftler arasında br farka yol açmadığı yönündek yokluk denences, şlemn gözlem çftler arasında poztf yönlü br etkye yol açtığı yönündek karşıt