ÜRETİM BANTLARININ DİNAMİK MODELLENMESİ, ANALİZİ VE TASARIMI*

ÜRETİM BANTLARININ DİNAMİK MODELLENMESİ, ANALİZİ VE TASARIMI* Dr. Ferudun TOP** TOP-EL Elektronk ve Blgsayarlı Sanay Sstemler, P.K.2, Tuzla, İstanbul 81700 ÖZET Bu çalışmada üretn bant sstemlernn model lenmes, analz ve tasarımı konu ednlmştr. Bu tür üretm sstemlernn stokastk dnamk fark denklemler le modellenebleceğ gösterlmektedr. Ortalaması Yavaş Değşen Markov Hareketler Kuramı kullanılarak, üretm bant sstemlernn determnstk hale getrlerek geçc ve durgun durumlar ncelenmektedr. Sstem Kuramının uygulanması, denge konumundak üretm hızına ve üretm katma değer artışlarının analtk formüllern vermektedr. Kuramsal bulgulara ek olarak bunları pekştren blgsayar smülasyon sonuçları da verlmektedr. -------------------------------- * Bu araştırma ETİ Blgsayar, Danışmanlık ve Dış Tcaret Ltd. tarafından özel br anlaşma le kısmen desteklenmştr. ** Yazar ETİ Blgsayar, Danışmanlık ve Dış Tcaret Ltd. le çalışmaktadır. I. GİRİŞ Üretm sstemler genel olarak ardarda dzlmş ş stasyonlara (maknalar, operatörler) ve bunların aralarındak yarı şlenmş ürün stoklarından oluşur (Şekl I I ). Maknalar, şleme hızlarındak ve/ya bozulma olasılıklarındak farklılıklar ve ara stok yokluğu yada ara stoğun tamamen dolması (sırasıyla boşta kalma ve tıkanma) nedenyle brbrlernn zorlanmış duruşlarına neden olurlar. Bu tür sstemlerde üretm hızını (ara stok mktarını) yanlızca maknaların arızaları değl fakat bu etkleşmler de azaltmaktadır (yükseltmektedr). Dolayısyle. bu sstemlern dnamk davranışının ncelenmesne gerek duyulmaktadır. Bu alanda yapılan araştırmalar ve kaynaklar [4]'den elde edleblr. -------------------------------- * Bu araştırma ETİ Blgsayar, Danışmanlık ve Dış Tcaret Ltd. tarafından özel br anlaşma le kısmen desteklenmştr. ** Yazar ETİ Blgsayar, Danışmanlık ve Dış Tcaret Ltd. le çalışmaktadır. Grs Şekl 1.1: Genel Br Ser üretm Sstem Üretm bant sstemler üretm sstemlernn br alt kümesn oluşturur. Bu sstemlerde ş stasyonları tek br bant (konveyör) boyunca sıralanmıştır. İşlenecek parçalar se aralarında boşluk olmaksızın ardarda bant üzernde dzlmş olarak yerleşmşlerdr. Bantın hareket sayesnde parçalar ş stasyonları önünden geçerek bantın sonundan şlenmş olarak çıkarlar Şekl 1.2 de böyle br sstem gösterlmştr. Her br ş bölges eşt sayıda parçanın bulunduğu br bant bölgesn kaplamaktadar. Operatörler, bölgelerne gren parçaları şleyerek onu kendlernden sonra şleyecek olana hazırlamaktadır. Buna göre, br operatör, bölgesnden ayrılacak br parçanın şlenmesn tamamlayamaz durumda se, bantı durdurarak şleme devam etmekte, ş btnce de bantı tekrar çalıştırmaktadır. Bantın durması halnde bazı operatörler bölgelerndek şlemş oldukları parça sayısını (şlemler başarılı se) arttırablecekler ve gelecekte başarısız şlem yapmaları halnde bantı durdurmayablecekler br stok elde edeceklerdr. Grs Şekl 1.2: Br Üretm Bant Sstem Çalışma aşağıdak şeklde sunulmuştur: Bölüm II de üretm bant sstemlernn modellenmesnden ortaya çıkan sstem davranış denklemlernn br analz yöntem verlmştr üretm bant sstemlernn br model, sstemn durum değşkennn seçm ve stokastk dnamk davranış denklemler le bu denklemlern analz Bölüm III de ele alınmaktadır. Bölüm IV üretm bant sstemlernn tasarımı konusuna ayrılmıştır. Çalışmanın sonuçları Bölüm V'de formüle edlmektedr.... Cks 1.Alan 2.Alan....Alan... M-1.Alan M.Alan Cks Elektrk Mühendslğ 4. Ulusal Kongres, Dokuz Eylül Ünvestes, Izmr 16-22 Eylül 1991

Yardımcı teorem ve teoremlern tanıtları burada yer darlığı nedenyle verlmemştr, ancak yazarlardan steneblr. II. ÜRETİM BANT SİSTEMLERİNİN ANALİZ YÖNTEMİ Üretm sstemlernn matematk modellemesı sonucu genel olarak stokastk nonlnear dnamk denklemler elde edlr. Bu denklemler, Ortalaması Yavaş Değşen Markov Hareketler Kuramı (Slow n-the-average Markov Walks) kullanılarak analz edleceklerdr. Yavaş Değşen Markov Hareketler Kuramı (Slow Markov Walks) [5] de ortaya atılmış ve [9]da haberleşme sstemlernn matematk modellernde ortaya çıkan Ortalaması Yavaş Değşen Markov Hareketler'n kapsamak üzere genşletlmştr. x(n), n=0,1,... dzsnn x(n+l)=x(n)+ (x(n), n)) (II.1) Markov Hareket denklemnden türetldğn varsayalım. Bu denklemde x R N ve x(n), n=0,1,.., (n) koşullu bağımsız, belrl br f( (n) x(n)) R W olasılık dağılım fonksyonu olan gelşgüzel br değşken ve butun 0< «1 ve =1,...,N ve x Q<R N çn E{ (x(n), n)) x(n)} = (x(n)) Var{ (x(n), n)) x(n)} = 2 (x(n)) (II.2) olup (x) ve (x) 1 mertebesnde değerler alan fonksyonlar olduğu ve dan bağımsız R ve S le bütün x Q<R N (x)ll <= R, (x) <= S (II.3) çn (x), (x) fonksyonları Q<R N çnde Lpschtz ve A olmak uzere x(n)) - x(m) x(n)-x(m) (II.4) x(n)) - x(m) x(n)-x(m) olsun. (II.1) ve (II.3) denklemlernden anlaşılacağı üzere yeternce küçük olasılıklarla gelşgüzel büyüklükte değerler alablr. Bu şeklde üretlen x(n) değşkenlerne Ortalaması Yavaş Değşen Markov değşken adı verlr. (II.1) denklem le beraber y(n+l) = y(n) + (y(n)) y R N, y 0 = y(n 0 ) = x(n 0 ) = x 0 (II.4) determnstk denklem düşünülsün. Buna göre: Teorem II.1 [8]: (II.2)-(II.3) varsayımları altında, her hang br >0 ve T>0 çn br 0 = 0 ( ) ve F=F(T) vardır, her 0< «1 ve n [n 0,oo)çn Elektrk Mühendslğ 4. Ulusal Kongres, Dokuz Eylül Ünvestes, Izmr 16-22 Eylül 1991 n [n 0,n 0 +T/ ] aralgnda P{ x(n,x 0,n 0 )-y(n,x 0,n 0 ) < } >= 1- F(T) dır. Üretlen ortalaması yavaş değşen Markov hareket ve (II.4)un cozumu y(n, x 0, n 0 ) le (II.1)n cozumu x(n, x 0, n 0 )'n çndek - cvarnda yer alan determnstk asmtotk yaklaşımıdır. Teorem II.2 [18]: (II.1) n davranışının kesnvar (k.v.) (almost surely (a.s.) ) sınırlı olduğu ve (II.4) sstemnn denge konumunun global asmtotk kararlı olduğu varsayılsın. (II.2) - (II.3) varsayımları altında, herhang br > 0 çn br >0 vardır ve her 0 < «çn P{ x(n,x 0 (n 0 ))-y(n,x 0 (n 0 ))ll< } > 1- n [n 0,oo). Varsayılan yeterl koşullar altında Teorem II.2 üretm sstemlernn matematksel dnamk denklemlernn sadeleştrlmesnn temeln oluşturur. Ancak, Teorem II.1 n daha zayıf koşullarının sağlanması halnde se yaklaşım uzun ancak sonlu zaman aralığında geçerl olacak ve sstemn durgun durum analz çn Teorem II.1 tarafından sağlanan yerel yaklaşımın genşletlmes gerekecektr. Bu da lk Geçş Zamanı Kuramı [10] le yapılmaktadır. Bu aşamada sstemn kararlı çekc bölgelernde kalış sürelernn hesaplanması gerekmektedr [9]-[12]. III. ÜRETİM BANT SİSTEMLERİNİN MATEMATİKSEL MODELLENMESİ VE ANALİZİ Bölüm I'de kısa hatları le çalışması açıklanan lretm bant sstemlernn kesn yapısal ve dnamk davranış özellkler aşağıda ncelenmştr. Üretm Bantlarının Matematksel Modellenmes Üretm bantlarının aşağıdak koşulları sağladığı varsayılmaktadır: [1]. Sstem zamanı her br br brm olacak şeklde dlmlenmştr; [2] Bant hatasız ve arızasız olarak brm zamanda br parça boyu lerlemektedr; [3] Bant M» 1 sayıda farklı çalışma bölgelerne bölünmüştür; [4] Her çalışma bölgesnde N tane parça bulunmaktadır; parçalar arasında boşluk yoktur; [5] Her br çalışma bölgesndek şlem tek br operatör tarafından yapılmaktadır;

[6] 0< «1 stenldğnce küçük tutularak en az br p.".r;?.s; ru 1 u:.ir. rrerj-.or bu p-sçayarak başlangıç.d-:-. ıtıb?.rer. br :a;ar. ~ ı l ı - nı; (II.1) denklemnde x j (n)=e{s j (n)}, j=0.... N, ve 0< «1 le Bölüm II'de özetlenen teknk kullanılarak (III.2) ve (III.3) eştlklernden [7] N tane şlenmes gereken parça bulunan bölgedek operatör şlern btremedğ takdrde tüm üretm bandını durdurur. tanımlayarak (n) = (1-p) y0(n) Durum Değşken ve Sstem Davranış Denklemler Bölüm III'de [1]-[7] varsayımları le belrlenen sstemn durum değşkennn tanımı, sstem denklemlern karmaşıklığı, analz ve tasarım bakımından son derece önemldr. Dolaysız br yaklaşımla seçleblecek br durum değşken [n,n+1) zaman dlmnn başlangıcnda br bölge'dek operatörün şlemn tamamladığı parça sayısıdır. Ancak, tüm doğallığına rağmen bu durum değşken le elde edlecek matematksel model karmaşık, doğrusal olmayan stokastk fark denklemlernden oluşacaktır. Başka br durum değşken aşağıdak gb tanımlanablr: [n,n+l) zaman dlm başlangıcında çnde j tane şlenmş parça bulunan bölgelern sayısı S j (n) olarak tanımlanırsa, sstem davranışı S 0 (n+1)=s 0 (n)+ 1,0 [n,n+1)- 0,1 [n,n+1) S j (n+1) =S j (n)+ j+1,j [n,n+1)+ j-1,j [n,n+1) - j,j+1 [n,n+1) - j,j-1 [n,n+1), j=1,...,n-1 S N (n+1)=s N (n)+ N-1,N [n,n+1)- N,N-1 [n,n+1)] denklemleryle verleblr. Burada j+1,j [n,n+1), j-1,j [n,n+1), 0,1 [n,n+1), N,N-1 [n,n+1) j=1,...,n-2 (III.2) (III.3) sırasıyla, [n,n+1) zaman dlmnde, çnde S j 'ye S j-1 ve S j+1 den katılma sayısını; S j 'den S j-1 ve S j+1 'e ayrılma sayısını gösteren gelşgüzel değşkenler olup bunların olasılık dağılımları P( 0,1 [n,n+1)=k S 0.. S N } =C(S 0,k).p k (1-p) (S0-k), P( j,j+1 [n,n+1)=k S 0.. S N } =C(S j,k).(1-p) k p (Sj-k) (1-(1-p) S0 ), j=1, N-2 P( j,j-1 [n,n+1)=k S 0.. S N } =C(S j,k).p k (1-p) (Sj-k) (1-p) S0, j=1, N-1 P( N,N-1 [n,n+1)=k S 0.. S N } (1-p) S0, eğer k=s N = (1-(1-p) S0 ), eğer k=0 0, dğer hallerde Elektrk Mühendslğ 4. Ulusal Kongres, Dokuz Eylül Ünvestes, Izmr 16-22 Eylül 1991 (III.4) y 0 (n+1)=y 0 (n)+pɤ(n)y 1 (n) [1-p-ɤ(n)] y0 (n), y j (n+1)=y j (n)+(1-p)(1-ɤ(n))y j-1 (n) +pɤ(n)y j+1 (n) [(1-p)(1-ɤ(n)+pɤ(n)]y j (n), j =1,, N-1 yn (n+1)=y N (n)+(1-p)(1-ɤ(n))y N-1 (n) ɤ(n) yn (n) bulunur. (III.5) (III.5) denklemler le verlen determnstk sstem (III.4) sstemnn Teorem II.1 ve Teorem II.2 le belrlenen asmtotk br yaklaşımıdır. Denge Durumu Analz (III.5) çn elde edlen denge durumu y 1 p -y 0 (1-p- ) = 0 y j p -y j-1 (ı-p- )-y j [(ı-p)(ı- )-p ]=0, j=2,...,n-2, y N +y N-2 (1-p)(1- y N-1 [(1-p)(1- )+p =0 bulunup buradan da y 1 = y 0 (1-p- p, y j = ( - ı ) y o - ( f _ ı ) y 0,2) j=2,...,n-1 olup f = (1-p)(1- p tanmlayarak ve j=0 y j = 1 gerçeğ kullanılarak y 0 = 1/[f N-1 (1+p(f-1))] y j = (f-1)/[f N-j (1+p(f-1))] j =1,...,N-1, y N = p(f-1)/[1+p(f-1)] elde edlr. (III.6)

Bu sonuçlardan yararlanılarak. Şekl III.1 ve III.2 de sstemn durgun durum üretm hızının p va N parametrelerne bağlılığı (n) = (1-p) y0 olarak gösterlmştr. 1.0 U r e t m H z 0.8 0.6 0.4 0.2 N=6 N=4 N=3 N=2 N=1 0.0 p 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 grafk (III.6) gerekl blgler vermektedr, özellkle y N operatör duruşlar nedenyle atıl kalan ş gücü oranını verdğnden, sstemn fnanssal performansının ölçülmeblmesne zn verr. Teorem III.2: [1]-[7] şartları altında, (III.5) denklemlernn durgun durumu global asmtotk kararlıdır. Şekl III.1: Üretm hızının p ve N nn fonksyonu olarak davranışı. Teorem III-1 : [l]-[7] şartları altında, (III.5) denklemler le verlen üretm bant sstemnn tek br durgun durumu vardır. Bu durgun durum br blgsayar yardımı le p ve/ya N parametrelernn br fonksyonu olarak bulunduğunda Şekl I I I. 2 elde edleblr. Bu Şekl sstem çersndek yarı slenmş ürün yoğunluğu hakkında Üretm Bant Sstemnn Dnamk Davranışı Üretm sstemlernn genel davranışları analtk olarak [14]-[16] da ele alınarak kararlılık problemlerne değnlmştr. (III-5) sstem çn aşağıdak sonuç verlmektedr: 1.0 p=0.02 Şekl III.3: (III.5) denklemlerne uyan br üretm bant sstemnn (p=0.1, N=3, M=100) zamana bağlı br davranışı. Teorem III-2 ve Teorem II.2 beraberce düşünüldüğünde, gerçek sstemn (III-4) davranışı le determnstk (III.5) sstemn davranışı arasında br yakınlık olması gerektğ ortaya çıkar. Şekl III.4 bu k sstemn davranışlarındak yakınlığı ortaya koymaktadır. IV. ÜRETİM BANT SİSTEMLERİNİN TASARIMI Şekl III-1 ve Şekl III-2'den p nn değernde meydana getrlecek derşmelere göre üretm U r e t m H z 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 p=0.05 p=0.10 p=0.15 p=0.20 0 1 2 3 4 5 N 6 States n normalzed scale Şekl III.2: üretm hızının p ve N nn fonksyonu olarak davranışı Elektrk Mühendslğ 4. Ulusal Kongres, Dokuz Eylül Ünvestes, Izmr 16-22 Eylül1991 Şekl III.4: (III-4) ve (III-5) sstemlernn davranışlarının karşılaştırılması n

hızında en fazla artışı sağlayacak N değerlernn varlığı ortaya çıkmaktadır. Buna göre. Üretm sstemnn yapısına bağlı olarak (N ve p parametrelerı) bu parametrelern yenden belrlenmesnde üretm hızında saklanablecek en fazla artışın hang parametre bölgelernde olacağı önceden kestrleblr. Yapılacak bu kestrmn önem aşağıda açıklanmıştır: Br üretm bant sstemnn vermllğnn arttırılması problem düşünülsün. Buna göre uyarlama yapılması gereken p ve N parametrelernden hangsnn bunda en etken olduğu yukarıda verlen analz sonuçlarına sıkı sıkıya bağlıdır, p'de yapılacak uyarlama, pratkte, sstemde çalışan operatörlern eğtmne yapılacak yatırımla eş anlamlıdır. N çn yapılacak açklama se ssteme yapılacak stok yatrm le aynı anlama gelr. Dolaysyle. Bölüm III'de verlen analz, üretm bantnn vermn arttırma eylemnde operatörlern eğtmne m, yoksa stoklara mı, yatırım yapılması gerektğ klemn çözmekte kullanlacak br araç olmaktadır. Bu konu le lgl matematksel araştırma devam etmekte olup sonuçlarına ayrı br yayında değnlecektr. V. SONUÇLAR Bu çalışma le üretm bant sstemler serglenerek bu tür sstemlern dnamk analznde kullanılablecek br yöntemden bahsedlmştr. Kararlılık problemlernn de ele alındığı analz sonuçlarının, üretm bant sstemlernn tasarımında, öneml br rol oynadığı gösterlmektedr. Bu çalışmanın devamı olarak ele alınacak çalışmaların endüstryel yatırımlarda en verml yolların matematksel olarak elde edlmesne katkı potansyel sstem kuramı çerçevesnde belrtlmştr. TEŞEKKÜR Analz çalışmalarının sonuçlarının kontrolunda yardımlarından dolayı Çukurova Ünverstes öğretm üyelernden sayın Yard. Doç. Dr. Z.G. Altun ve çalışmayı destekleyen ETI Blgsayar Danışmanlık ve Dıs Tcaret Ltd.'e teşekkür ederm. KAYNAKLAR [1] J.A. Buzacott, "Automatc Transfer Lnes wth Buffer Stocks," Internatonal Journal of Producton Research, Vol 5, No 3, pp 183-200, 1967. [2] R. Conway, W. Maxwell, J.O. McClan and L.J. Thomas, "The Role of Work-In-Process Inventory n Seral Producton Lnes," Cperatons Research, Vol 36, pp 229--241, 1988 [3] S.M. Meerkov and F. Top, "Asymptotcally Relable Seral Producton Lnes Analyss, Synthess and a Case Study, " Proceedngs of IFAC Internatonal Workshop, Tallnn, USSR, 1990. [4] F. Top, "Endüstryel Sstemlern Analz ve Tasarımı: Dnamk ve Statk Yaklaşımlar," Uluslararası GAP ve Sanay Sempozyumu, Şanlıurfa, 16-18 Ekm 1990 [5] J.T. Lm, S.M. Meerkov and F Top, "Dynamcs n Product on-inventory-assembly Manufacturng Systems. ' Proceengs of IEEE on Decsıon and Control, December 1986 [6] S.B. Gershwn and I.C. Schk, "Analytcal Methods for Calculatng Performance Measures of Producton Lnes wth Buffer Storages," Proc. IEEE on Decsıon and Control, LIDS-P-863, 1978 [7] E.A Elsayed and T.O. Boucher, Analyss and Control of Producton Systems, Prentce-Hall, 1935. [8] S.M. Meerkov, "Smplfed Descrpton of Markov Walks Part I. Automatka Telemechanka No.3 pp. 66-75, 1972 [9] J.T., Lm and S.M. Meerkov, "Dstrbuted Communcatons n Collson Channels wth Errors," Comp & Math. wth Appls. Vol. 12A No6, pp 791-802, 1986 [10] B.J. Matkovsky, Z.Schuss, C KnessI, C. Ter and M. Mangel. "Asymptotc Solutıon of the Kramers-Moyal Equatıon and Frst-Passage Tmes for Markov Jump Processes, Physcal Revew Vol 29, No 6, pp 3359-3369. 1964 [11] M.I. Fredln and A.D. Wentzell, Random Perturbatons of Dynamcal Systems, Sprınger-Verlag, NY, 1984. [12] L. Pontryagn, A. Andronov and A Vtt,"On Statstcal Analyss of Dynamcal Systems,' Exp. & Theor. Physıcs, Vol 3, No 3, pp 165-130, 1933. [13] M. D. Klbrdge and L. Wester, 'A Revew of Analytcal Systems of Lne Balancng," Oper. Res., Vol 10, No 5. pp 626-638, 1962 Elektrk Mühendslğ 4. Ulusal Kongres, Dokuz Eylül Ünvestes, Izmr 16-22 Eylül1991

[14] D.R Towll, "Dynamc Analyss of an nventory and order based producton Control System," Int. J. Prod Res., Vol 20, NO 6. pp 671-687, 1982 [15] H.A. Smon, "On the Applcaton of Servomechansm Theory n the Study of Producton Control," Econometrca, Vol 20, pp 247-268, Aprl 1952. [16] F. Top, Analyss and Synthess of Asymptotcally Relable Serıal Productıon Lnes, Unpublshed PhD Thess, Department of Electrcal Engneerng and Computer Scence, Unversty of Mchgan, Ann Arbor, May 1990 Elektrk Mühendslğ 4. Ulusal Kongres, Dokuz Eylül Ünvestes, Izmr 16-22 Eylül1991