FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI DERS NOTLARI Hazırlaan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR Ankara Ünverstes, Fen Fakültes, Fzk Bölümü Ankara, 07!
İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜLMESİ I/II 3. UYGUN EĞRİNİN BULUNMASI VE INTERPOLASYON I/II 4. SAYISAL İNTEGRAL HESAPLARI I/II 5. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜLMESİ I/II 6. BENZETİM I/II 7. FİZİKTE SEMBOLIK HESAPLAMA I/II EKLER KAYNAKLAR!
KONU LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I Fen ve mühslkte f şeklndek br denklemn köklernn bulunmasıla lgl br çok ugulama vardır. Gerçel köklern bulunması çn tekrarlamalı apıdak öntemler kullanılacaktır. Örnek br denklem 3 - -44 olarak azılablr. Burada ugulanacak öntemler, sırasıla Grafksel Yöntem, Arama Yöntem, İkl Arama Yöntem, Krş Yöntem, Newton-Raphson Yöntem ve Sekant Yöntemdr. Bu öntemlern fzktek ugulama alanlarına örnek, elektrostatk problemler, hdrolk problemler, vb. verleblr. Bölümün sonunda örnek problemler er almaktadır... Grafksel Yöntem Br denklemn kökler, f0 bçmndek denklem sağlaan değerlerdr. Grafksel öntemde br denklemn kökler, f fonksonunun eksenn kesen erdek değerler olarak bulunablr. Örnek olarak, f 3 - -44 denklemn ele alalım. Burada grafk çzmek çn Gnuplot programı Wllams, 986 kullanılablr. Program çalıştırıldıktan sonra açılan pencerede gnuplot> set label gnuplot> set label gnuplot> plot **3-**-4*4 azılır. Burada şaret blgsaar klavesnde Enter vea Return tuşunun smgesdr. Fonksonun grafğ standart sınırları -0:0 aralığında görüntülenr, Şekl..! 3
000 800 600 400 00 0-00 **3-**-4*4-400 -600-800 -000-00 -0-5 0 5 0 Şekl. 3 - -44 fonksonunun grafğ Buradan kökler bulmak braz zor görünmektedr, fakat fonksonun eksenn kesm erler tahmn edleblr. Daha br tahmn çn eksen vea eksen sınırlandırılablr. Arıca şablon çzgler de çzdrlrse daha kolalık olacaktır. Bunun çn örneğn, eksen smler, bölge sınırlaması ve şablon çzgler aşağıdak gb apılablr. gnuplot> set range [-3:3] gnuplot> set grd gnuplot> replot 0 **3-**-4*4 5 0-5 -0-5 -0-3 - - 0 3! 4
Şekl. -3 < < 3 aralığında 3 - -44 fonksonunun grafğ Şekl. den denklemn üç gerçel kökünün -, ve de olduğu görülür. Bu değerler f0 denklemn sağlarlar. Benzer şeklde fcos-sn fonksonunun -4 le 4 arasındak köklern bulablrz. gnuplot> set range [-4:4] gnuplot> plot cos-*sn* 3 cos-*sn* 0 - - -3-4 -3 - - 0 3 4 Şekl.3 cos-sn fonksonunun grafğ Şekl.3 den görüldüğü gb, burada kökler n tamsaı değerler değldr o nedenle daha arıntılı grafk çzmek gerekeblr. Yne br tahmnle köklern bu aralıkta -4:4 5 tane olduğunu ve bunların,, 3, 4, 5 le gösterldğnde, : -4 le -3 arasında : - le - arasında 3 : 0 le arasında 4 : le arasında 5 : le 3 arasında! 5
olduğunu söleeblrz. Burada köklern sadece brn daha arıntılı bulmak stersek bölgesn kök cvarına sınırlandırmalıız. Örneğn, poztf lk kökü 3 bulmaa çalışırsak bunun çn grafk çzlmesnde gnuplot> set range [0:] gnuplot> replot azılablr. Bunun sonucunda grafk cos-*sn* 0.5 0-0.5 - -.5 0 0. 0.4 0.6 0.8 Şekl.4 0 < < aralığında cos-sn fonksonunun grafğ şeklnde olacaktır, buradan 3 kökünün 0. le 0.4 arasında olduğunu söleeblrz, Şekl.4. Daha arıntılı br ncleme apmak üzere grafğ 0. le 0.4 arasında çzmek çn gnuplot> set range [0.:0.4] gnuplot> replot azılır ve Şekl.5 elde edlr. Buradan da kökün 0.5 cvarında olduğunu söleeblrz.! 6
0.3 cos-*sn* 0. 0. 0-0. -0. -0.3-0.4-0.5-0.6 0. 0.5 0.3 0.35 0.4 Şekl.5 0. < < 0.4 aralığında cos-sn fonksonunun grafğ Bu kök çn bu grafğn de eterl duarlılıkta olmadığını görürüz. Eğer eter kadar zaman harcarsak bu kökü bell br duarlılığa kadar bulablme mkanımız olur. Bu türlü köklern bulunmasında grafk öntemden daha çok saısal teknkler kullanılmaktadır, ve daha hızlı çözüme gdlmektedr. Blgsaar programlama dller kullanılarak knc dereceden br denklemn kökler kolalıkla bulunablr. Bunun çn azılmış örnek FORTRAN ve C programları aşağıda verlmştr. Bu programlarda a, b, ve c katsaıları gerçel saı olarak grlmekte, önce gerçel kökün olup olmadığına bakılmakta ve gerçel değl se uarı verlp program sonlandırılmaktadır. Eğer dskrmnant d>0 d b -4ac se köklern bulunmasına gdlmektedr. Bu programlar a b c0 denklemnn k kökünü, gerçel saı olarak vermektedr. Programların derlenmes ve çalıştırılması şletm sstemne bağlı olarak bazı farklılıklar göstereblr. Örneğn, Wndows altında FORTRAN ve C/C derlecler çn sırasıla, serbest azılımlar olan G77, FORCE.0 Guedes, 999 ve GCC, Bloodshed Dev-C Laplace, 989 derlecler kullanılablr. Fzkte karşımıza her zaman knc dereceden denklemler çıkmaablr, ve kökler de analtk hesaplanamaablr. Bu durumda saısal teknklere başvurmak gerekmektedr. İknc Dereceden Br Denklemn Gerçel Köklern Hesaplaan Programlar a FORTRAN Programı real a,b,c,d,,! 7
wrte*,* katsalar grn read*,* a,b,c db**-4.*a*c fd.lt.0. then wrte*,* gercel kok ok! stop f -bsqrtd/.*a -b-sqrtd/.*a wrte*,* Kokler,, b C Programı #nclude<stdo.h> #nclude<math.h> man{ float a,b,c,d; float,; prntf"katsalar grn\n"; scanf"%f,%f,%f",&a,&b,&c; db*b-4.*a*c; fd<0. prntf"gercel kok ok!\n"; else{ -bsqrtd/.*a; -b-sqrtd/.*a; prntf"kokler%f,%f\n",,; } }! 8
Burada kanak source dosası fortran derlecs g77 le derlenp comple, sonra bağlanıor lnk ve çalıştırılablr run dosası oluşturulur, EK-. Bu çalıştırılablr dosa çalıştırılır ve ekranda sonuç görünür. İstenrse program hem çalıştırılır hem de çıktı blgs, bulunulan dznde başka br dosaa önlrleblr. Bu durumda sonuç ekrana azılmaz, oluşturulan dosanın çndedr... Arama Yöntem Bu öntem, ukarıda anlatılan grafksel öntemdek bölge bölge kök arama şeklndek öntemn saısal olarak blgsaar programlama dllernden brnn kullanılarak apılması esasına daanır. Arama öntemnde: -eksen bounca brkaç aralık belrlenr. Bu aralıklar o şeklde belrlenr k bunlar n değer aralığı çnde olsun ve seçlen bölgede tek kökün bulunması çn eter kadar küçük olsun. Fonkson her aralığın başında ve sonunda hesaplanır, eğer fonksonun br aralığın k uç noktasındak değerler zıt şaretl se fonksonun bu aralıkta eksenn kestğ blnr. Bu durumda kök bu aralıkta olacaktır. Eğer fonksonun şaret aralıkların k uç noktası arasında değşrse denklemn kökünün bulunması daha hassas apılablr. Bunun çn eksen daha alt bölgelere arılablr ve br alt bölgeden dğerne geçerken çok küçük adımlar hazırlanablr. Eğer fonksonun şaret aralığın k uç noktasında değşmezse, sonrak aralığa geçlr. Örneğn, fonkson f 3 -cos olsun. Bu denklemn - le arasındak kökler le lglenelm. Bunun çn bu aralığı 0. adımlarla 0 aralığa bölelm. Bu aralıkların uç noktalarında fonksonun değern hesaplaan FORTRAN ve C programları aşağıda verlmştr. Arama Yöntem le İlgl Programlar a FORTRAN programı real,f wrte*,* f do 0,5! 9
*.-3./. f**-cos.* wrte*,*,f 0 contnue b C Programı #nclude<stdo.h> #nclude<math.h> man{ float,f; prntf f\n ; for-;<;0.5{ f**-cos.*; prntf %f %f\n,,f; } } Oluşturulan program çıktı dosası br metn düzenlec kullanılarak açılablr ve çndek blgler görüleblr. Sonuç aşağıdak gb olacaktır. f -. -0.5838536-0.5-0.6653077 0. -. 0.5-0.453077..464687! 0
Buradan f0 denklemnn çözümünde 0 da br kök ve 0.5 le arasında br kök bulunmaktadır. Bu değern daha belrlenmes çn adımlarını daha azaltmalıız. Örneğn, adımlar Δ0. olmak üzere 0.5 le aralığında tekrar kök aramak üzere programın döngü kısımları değştrleblr. Bu durumda da 0.6 le 0.7 aralığında fonksonun şaret değşmektedr. Daha da sonuç elde etmek çn 0.6 le 0.7 aralığını 0 eşt parçaa böleblrz. Bu durumda artım Δ0.0 aralıklarla olacaktır. Bunun sonucunda n 0.64 le 0.65 arasındak br değernde fonksonun şaret değştrdğn ve kökün bu aralıkta olduğunu buluruz. Bu son şlemde stenen kök % duarlılıkla bulunmuştur. Bu öntemde başta büük aralıklar seçmek brbrne akın köklern kabedlmesne vea atlanılmasına, çok küçük aralıklar seçmek de hesaplama bakımından uzun süreceğnden çok sonuçlar elde edlemeeblr. Ancak bastlğ bakımından öntem, bazı durumlarda terch edleblr.!
KONU LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI II.3. İkl Arama Yöntem Bu öntem aralık arılama vea kl arama öntem olarak da blnr. Yöntem n k değer a ve b le başlar. Burada f fonksonunun bu aralıkta sürekl olduğu düşünülür. Eğer fonksonun bu noktalarda aldığı değerler arasında şaret farkı varsa bu durumda a le b arasında br erde en az br kök vardır denr. Bu öntemde denklemn köklern daha kola bulablmek çn a le b arası ke bölünür, Şekl.6. Bu k aralıkta fonksonun şaret değştrp değştrmedğ araştırılır. Şekl.6 Kök bulmada aralık arılama öntem Burada orta nokta m a b / olarak tanımlanır, ve f m de hesaplanır. Eğer f a ve f m zıt şaretl se kök a le m arasında olacaktır, dğer türlü m le b arasında olacaktır. Bölece kökün bulunduğu bölge b - a dan b - a / e ndrlmş olur. Eğer kök sol arı-aralıkta se b nn en değer m olarak alınır. Anı şlem n kez tekrarlandığında kökü çeren b - a / n uzunluklu br aralık elde edlr. Bu arama şlem f m <ε koşulu sağlanıncaa kadar devam eder, burada tolerans ε sıfıra akın br değerde alınır. Yakınsaklık test çn başka br koşul da c - p < c ε!
olarak tanımlanır. Burada c terasonda o andak kök değer, p se br öncek kök değerdr, ε se stenen tolerans değerdr. Yöntemn Algortması: - program başlar - a ve b başlangıç değerler alınır 3- m hesaplanır 4- f a *f m >0 se a m 5- f a *f m <0 se b m 6- f a *f b tolerans se kök m dr. 7- program sonlanır Örnek Problem: f 3 - -990 denklemnn köklern kl arama öntem le bulunuz. Başlangıç değerlern a - ve b.5 alınız. Çözüm: - de f5.000.5 de f-3.375 Fonksonun bu hesaplanan değerler arasında şaret farkı olduğundan denklemn en az br kökü verlen aralığı çersndedr. Orta nokta m -.0.5/-0.5, ve bu noktada fonkson değer f.785 olur. İncelğnde f-0.5 ve f.5 zıt şaretlerde olduğu görülür o zaman kök bu lern arasında olmalıdır. Bu durumda a -0.5 ve b.5 alırız ve m 0.65 olur. Bunun gb brkaç nelemeden teraton sonra stenen tolerans değerne ulaşılmış olur ve köklerden brnn aklaşık olarak 0.999999 olduğunu buluruz, bu da kökün tam değer e oldukça akındır. Burada stenen kökün bölgesnn tahmn çn grafksel öntem kullanılablr. Kökün bulunduğu bölgede fonksonun düzgün davranışlı olması da öntemn sonuç vermesne neden olur. Fonksonun grafğ [0:.5] aralığında çzldğnde Şekl.7 elde edlr.! 3
0 8 6 4 0 - -4 0 0. 0.4 0.6 0.8..4 Şekl.7 f 3 - -99 fonksonunun 0:.5 aralığında değşm grafğ.3.. Aralık Yarılama Yöntemne Göre Kök Bulan FORTRAN Programı Aşağıda verlen fortran programında grd olarak f fonksonu verlmeldr. Functon f bu grlecek fonksonu tanımlar, burada örnek olarak f 3 - -99 fonksonu verlmştr. f0 denklemnn köklernden br belrl br aralıkta aranacağından bunun da ana programda a ve b olarak grlmes gerekmektedr. Kökler hang duarlılıkta bulacağı programa tolerans tol olarak verleblr. FORTRAN programı program Arama a0. b.5 tol.e-06 db-a do whleabsd.gt.tol mab/. ffa*fm.lt.0. then bm db-a else am db-a f do prnt*, " ",m," d",d functon f f**-*-9.*9.! 4
return Programı derlep çalıştırdıktan sonra elde edlecek sonuç 0.999999 dr. Bu da de br kökün olduğunu göstermektedr. Bu öntemde de başta büük aralıklar seçmek brbrne akın köklern kabedlmesne neden olablr. Grafksel olarak kökün bulunduğu bölge tahmn edldkten sonra bu öntemn ugulanması daha ugun olacaktır..4. Krş Yöntem Bu öntem kl arama öntemnn braz değştrlmş şekldr. Burada a, b aralığını ke bölüp orta nokta kullanmak erne, [ a,f a ] noktasından [ b,f b ] noktasına br doğru çzlr, bu doğrunun -eksenn kestğ er kökün en tahmn olur. Bu tahmn r le gösterlrse r a b a f f a a f b elde edlr. Bundan sonrası kl arama öntemnn anısıdır. Bu öntem önceknden daha hızlı akınsamaktadır. Yakınsama test olarak f r <ε vea c - p < r ε bağıntısı kullanılablr. Burada c ve p sırasıla, kökün o an hesaplanan değer ve öncek adımda hesaplanan değerlerdr. Burada tolerans ε olarak alınmaktadır. f b a r b f a Şekl.8 Krş öntemnde kök bulma FORTRAN programı program Krs_Yontem! 5
a-4. b0. tol.e-06 call krsa,b,,tol prnt*, "Kok ", subroutne krsa,b,r,tol ea ter0 terma50 do whleter.lt.terma ab-a*fa/fa-fb terter r fabs-e.lt.abs*tol return ffa*f.lt.0. then b else a e f do return functon f! 6
f**-*-9.*9. return Ana program ve k alt programdan subroutne ve functon oluşan bu program çalıştırıldığında -4 le 0 arasında f0 denklemnn çözümünü bulmaktadır. Sonuç tol le verlen duarlılıkta -3 olarak bulunur..5. Newton-Raphson Yöntem Newton-Raphson öntem, en çok kullanılan kök bulma öntemlerden brdr. Burada başta tahmn apılır daha sonra bu noktada eğre teğet çzlr bu teğetn -eksenn kesme noktası belrlenr. Bu nokta se knc tahmndr. Brnc tahmn blndğnde, knc tahmn f f ' le bulunur. Bu bağıntı tekrarlanma bağıntısı şeklnde kullanılarak gerçek kök hesaplanmasında br aklaşıklık elde edleblr.! 7
θ 3 Şekl.9 Newton-Raphson öntemnde kök bulma Newton-Raphson öntemnn çok kabul görmesnn neden kök bulmada çok hızlı akınsamasıdır. Yakınsaklık test f n <ε vea n - n < n ε koşullarına daanmaktadır. Burada ε %-5% arasında olablr. Öncek örnektek denklem çn bu öntemde üçüncü tekrarlamadan sonra doğru sonuca ulaşılablr..5.. Newton-Raphson Yöntemne Göre Kök Bulan FORTRAN Programı Burada çözümü bulunacak denklem fe ln- 0 olarak alalım. Bu denklemn cvarındak kökünü bulalım. Kökler 0-6 mertebesndek br duarlılığa kadar doğru br şeklde bulunablr. Ana program ve alt programlar arı arı derlenp sonra br tek çalıştırılablr dosa olacak şeklde bağlanablr. Bunun çn Lnu şletm sstemnde makefle, Wndows şletm sstemnde de.bat uzantılı toplu ş dosaları azılablr, EK-.. FORTRAN programı Program Newton_Raphson a. tol.e-06! 8
call newtona,,tol wrte*,0 0. formatf0.6 subroutne newtona,,tol 0a 0 do 0 whle absf.gt.tol 0-f0/df0 0 0 0. do return functon f fep*alog-* return functon df dfep*alog./-.* return Program çalıştırıldıktan sonra ekranda.69460 kök değer elde edlr.! 9
Newton-Raphson öntem çoğu durumda verml br şeklde kullanılablr. Ancak bazı durumlarda denklemn çözümünü bulmak zorlaşır. Böle durumlara örnekler: çok kök olması durumu, fonksonun şekl gereğ br ansıma noktasının f 0 bulunması, br maksmum vea mnmum etrafında salınım, sıfır eğmn f 0 bulunduğu bölge durumu. Bu durumlardan kurtulmanın olu, genellkle kökün bulunduğu bölgenn grafk öntem le belrlenmes ve başlangıç tahmn değernn değştrlmesdr..6. Sekant Yöntem Bu öntem Newton-Raphson öntemnde görülen br probleme aklaşıklıkla çözüm getrmektedr. f fonksonunun türevn hesaplamada k ardışık şlevsel aklaşıklık kullanılmıştır. Doğrunun n noktasında eğm Egm f ' n f n n f n n le verlr. Sonrak noktanın er n n f f n n n f f n n le bulunablr. Sekant öntemnde başta k kök tahmn le başlanır 0 ve, se nterpolason le bulunur. Örnek fonkson fe ln- alalım ve le arasındak kökünü bulalım. Bunun çn azılablecek br FORTRAN programı aşağıda verlmştr. FORTRAN programı program Sekant_Yontem a. b.0 db-a/0. 0ab/. tol.e-06 call sekanttol,0,d,step! 0
wrte*,9 step,0,d 9 formati4,f0.6 subroutne sekanttol,0,d,step step0 0d do 0 whleabsd.gt.tol df-f0 --0*f/d 0 d-0 stepstep 0 do return functon f fep*alog-* return Program çalıştırıldığında 5 terasondan sonra ekranda kök değer.69460 elde edlr. Sekant öntem aralık arılama öntemnden daha verml, fakat Newton-Raphson öntemnden daha az vermldr. Bunun neden brnc mertebe türev çn k noktalı formulü kullanmasıdır. Bazı durumlarda fonksonun türevnn analtk hesaplanması zor olablr bu durumda sekant öntem çok kullanışlı olmaktadır.!
.7. Katlı Köklern Bulunması Br katlı kök, fonksonun -eksenne teğet olduğu noktaa karşı gelr. Örneğn, br çft kök f-3-- 3-5 7-30 denklemnden elde edleblr, Şekl.0. f 0 8 6 4 0 - -4 0 0.5.5.5 3 3.5 4 Şekl.0 İk eşt kök olması durumu Grafkten görüldüğü gb, eğr noktasında -eksenne teğet hale gelmekte ve kökün bulunduğu erde -eksenn kesmemektedr. Br başka örnek de, üç katlı kök çn f 4-6 3-03 fonksonun grafğnden görüleblr, Şekl.. 4 3 f 0 - - 0 0.5.5.5 3 Şekl. Üç eşt kök çeren br fonksonun grafğ!
Şekl. de gösterlen fonksonun kök değernde -eksenne teğet olduğu, fakat bu durumda eksen kestğ görülmektedr. Genellkle fonksonun, tek saıda eşt kökü olması durumunda - eksenn keser, çft saıda eşt kökü olması durumunda se -eksenn kesmez. Çok katlı kökler, saısal öntemler çn bazı zorluklar çıkarmaktadır. Karşılaşılan problemler ve çözüm olları aşağıda verlmştr: Fonkson çoklu köklern bulunduğu erde şaret değştrmeeblr. Bu durumda daha güvenlr öntemler ugulanmalıdır. Dğer br problem de hem fonksonun hem de fonksonun türevnn kök değernde sıfıra gtmesdr. Bu problem Newton-Raphson ve Sekant öntemlern etklemektedr. Bu problemden kurtulmak çn f fonksonunun dama f fonksonundan daha önce sıfıra gttğ gerçeğnden fadalanılır, programda fonksonun sıfıra gttğ kontrol edlerek, hesaplama f sıfıra gtmeden sonlandırılır. Katlı kökler çn, Newton-Raphson ve Sekant öntemler lneer akınsaktır. Bunu karesel akınsaklığa çevrmek çn formulasonda br değşklk apılır. Yen br fonkson tanımlanır, bu fonkson da orjnal fonkson gb anı erde köklere sahptr. Newton-Raphson öntemnn başka br formu elde edlr: burada knc eştlğn sağ tarafı elde edlrken u türev erne konulmuştur..8. Lneer Olmaan Denklem Sstemler Buraa kadar br tek denklemn köklernn bulunması le lglenmştk. Bu alt bölümde se eşzamanlı lneer olmaan denklem sstemnn köklernn bulunması le lgleneceğz. Bu denklem sstem aşağıdak gb azılablr: Bu denklem sstemnn çözümü, denklemler sağlaan değerlernn br kümesnden oluşur. Örnek olarak k denklemden oluşan br lneer olmaan denklem sstem düşünelm: ' / f f u [ ] ' ' ' ' ' f f f f f u u 0,,, 0,,, 0,,, n n n n n n n f f f! " "!!! 3
u, 5 v, 3 38 Burada çözüm, u, ve v, fonksonlarını sıfır apan ve değerlerdr. Bu denklem sstemnn saısal çözülmes çn en çok kullanılan k öntemden bahsedeblrz. Bunlar, sabtnokta terasonu ve Newton-Raphson öntemdr. Sabt-nokta terasonunun kullanılması: 5 0 ve 3 38 0 denklem sstemnn başlangıç tahmnlern ve alarak 5 38 / 3 köklern bulalım. Öncelkle denklemler ve olarak en azalım. Burada eştlklern sağ taraflarında ve çn verlen lk değerler kullanarak, eştlklern sol taraflarındak en ve değerlern bulalım. Her terasonda en değerler bulmak çn br öncekler kullanırsak br kaç terasonda kökler çn doğru çözüme ulaşmış oluruz. Bu şlemler sersnn FORTRAN programı aşağıda verlmşlr. FORTRAN programı Program Sabt_Nokta_Iterason.. ter0 do,0 sqrt5.-* sqrt38.-/3.* terter wrte*,*"iter.",ter," Kokler ",, do! 4
Program çalıştırıldığında 8 terasondan sonra gerçek değerlere ulaşılmaktadır, ve denklem sstemnn kökler 3 ve olarak bulunmaktadır. Bu öntemn akınsaklığı u v < ve u v < koşulları le sağlanır. Bu koşullar lneer olmaan denklem sstemlernn çözümünde çok sınırlı br kullanıma sahptr. Ancak lneer denklem sstemlernn çözümünde kullanılması çok fadalı olablr. İterason 3.746575.8554997.8647573.0590 3 3.00396.99855 4.9973568.00087 5 3.0003759.99986005 6.9999609.0000693 7 3.00000453.99999797 8.9999995.0000004 9 3.. 0 3.. Newton-Raphson öntemnn kullanılması: Bulunmak stenen kökün, verlen başlangıç tahmnne ugun olarak bulunan noktası, eğmn -eksenn kestğ erdek noktadır. Burada tek denkleml Newton-Raphson öntemn genşleterek, çok değşkenl Talor sers açılımından da fadalanarak lneer olmaan denklem sstemlernn çözümlern bulablrz. İk değşkenl lneer olmaan denklem stem çn brncmertebe Talor sers! 5
olarak azılablr. Burada ve kökler, u ve v n sıfır olduğu değerlerdr. Bunun çn denklemler en düzenlenerek ve çn çözülürse elde edlr. Bu denklemler Newton-Raphson öntemnn k denklem bçmdr. Bu denklemlern padası sstemn Jacoban determnantıdır. Bu öntemle denklem sstemnn kökler ne terason teknğ kullanılarak bulunablr. Örnek denklem sstem ve çn başlangıç tahmnlern ve alarak köklern bulalım. Öncelkle fonksonların türevlern hesaplaalım: Jacoban determnantının değern 8 olarak hesaplarız. Buradan fonksonların başlangıç değerler u,-3 ve v,-34 dr. Bu hesaplanan değerler Newton-Raphson öntemnn kdenklem bçmnde erne konulursa 4. ve 4.5 elde edlr. Bu sonuçlar gerçek değerlerden,3, braz uzaktır. İknc terasonda.9 ve 3. elde edlr. Bu hesaplama stenen br duarlılık elde edlncee kadar tekrarlanablr. Bu problemn çözümü le lgl FORTRAN programı aşağıda verlmştr. v v v v u u u u v u v u v u u v v u v u u v v u 5, u 38 3, v 7 6 3 ; 3 ; 3 ; v v u u! 6
FORTRAN programı Program N_R_. 3. ter0 open,fle"n_r.tt" do,0 call fonk,,u,v,dud,dud,dvd,dvd jddud*dvd-dud*dvd -u*dvd-v*dud/jd -v*dud-u*dvd/jd terter wrte,*"iter.",ter," Kokler ",, wrte*,*"iter.",ter," Kokler ",, do subroutne fonk,,u,v,dud,dud,dvd,dvd u***-5. v3.****-38. dud.* dud dvd3.*** dvd.6.** return! 7
Program çalıştırıldığında verlen denklem sstemnn köklern aşağıdak gb terasona bağlı olarak buluruz. İterason X 4.666665 4.5.935575 3.3748 3.9095.536456 4.9959849.0083355 5 3.00000405.999998 6 3.. 7 3.. Burada elde edlen sonuçlara göre, verlen k-denklem sstemnde Newton-Raphson öntem, sabt-nokta terasonuna göre daha hızlı akınsamaktadır. Başlangıç değerler de fzksel sstemn özellklerne göre tahmn edleblr. İk-denkleml sstemn çözüm öntemler n-denkleml ssteme genşletleblr. Bu durumda eşzamanlı denklem sstem çözümü, matrs cebr çeren öntemlerle çok daha verml olarak apılablr..9. Fzkte Ugulamalar Örnek : Sah csm, üzerne düşen her dalga boundak ışımaı soğuran br csm olarak tanımlanablr. Bu olaı anlamak çn ç boş br kürenn ç üze sahla kaplı olduğunu ve kürenn üzernde de küçük br delk olduğunu düşünelm. Bu delkten çere gren ışınımın br daha dışarı çıkamadığını kabul edoruz. Sah üze tarafından soğrulan ışınım csm le etkleşp sonunda br ısısal denge kurulduğunda, sah csmn aptığı ışımanın spektrumu denesel olarak ölçüleblr. Bu ışımanın brm üzee düşen ışıma gücü dppλ,tdλ le verlr. Burada pλ,t, dalgabou λ le λdλ arasında olan ışıma gücü oğunluğudur. Denesel olarak gözlenen bu oğunluk eğrs Şekl. de gösterlmştr. Sah csm ışımasının gözlenen bu spektrumu klask fzk asaları le tam olarak açıklanamamıştır. 900 ılında Ma Planck, ışımanın kuantum apısını atomların ışıma olula enerj alış verşler sürekl değl, keskl! 8
spektrumlar olula gerçekleşr öngören br varsaımla, bu eğr tam olarak açıkladı. Bu formulason, kısa dalgabou bölgesnde geçerl olan Wen formulu 893 le uzun dalgabou bölgesnde geçerl olan Ralegh-Jeans 900 asasını brleştrd. Planck dağılımının bazı özellkler şunlardır: Şekl. Sah csm ışımasında ışıma gücünün dalgabouna göre değşm toplam ışıma enerjs a br sabt olmak üzere at 4 le verlr, Stefan-Boltzman bağıntısı, enerj oğunluğunun maksmum olduğu br dalgabou le denge sıcaklığı arasında, b br sabt olmak üzere, λ m Tb bağıntısı vardır, Wen kama asası. Bu örnekte Wen kama asasını saısal olarak sağlamak çn Planck formülünü 8πhc p λ 5 hc / λ λ e kt br boutsuz değşken cnsnden azalım ve bu ncelğe göre türevn alıp sıfıra eştleelm. Boutsuz değşken hc/λkt alırsak, p ve türev! 9
5 p A e 4 5 dp 5 e e A d e 5 5e 0 0 şeklnde azılablr. Bu denklemn analtk çözümü olmadığından, saısal öntemlerden sekant öntemn ugulaan br program azınız, denklemn kökünü bulunuz ve Wen kama asasını saısal olarak elde ednz. Çözüm : Verlen denklemn çözümünden m ve daha sonra λ m bulunablr. Burada f5--5e - fonksonu ncelğnde lk termn >3 çn negatf olduğunu üstel termn de dama 3 den küçük olduğunu görürüz, Şekl.3. Burada 0 değer denklem sağlar fakat fzksel değldr. Buna göre [:6] aralığında kök aranablr. Probleme saısal öntemlerden sekant öntemn ugulaalım, bu durumda lgl FORTRAN programı aşağıda verlmştr..5.5 f 0.5 0-0.5 - -.5 0 3 4 5 6 Şekl.3 f5--5e - fonksonunun grafğ FORTRAN programı program S_Y_ data h,c,bk/6.66e-34,.998e08,.38e-3/! 30
a. b6.0 db-a/0. 0ab/. tol.e-06 step0 call sekanttol,0,d,step sabth*c/bk*0 wrte*,9step,0,sabt 9 formati4,f0.6 subroutne sekanttol,0,d,step 0d do 0 whleabsd.gt.tol df-f0 --0*f/d 0 d-0 stepstep 0 do return real functon f f5.--5.*ep-! 3
return Programda Planck sabt h6.66 0-34 Js, ışık hızı c.998 0 8 m/s ve Boltzmann sabt k.38 0-3 J/K olarak grlmştr, Edelman et al., 004. Program çalıştırıldığında kök değer m 4.9654 ve sabt değer b0.00897 mk bulunur. Bu sonuçlardan da Wen asasını λ m Tbhc/k m saısal olarak elde etmş olduk. Buradan da sıcaklığı T5000 K alırsak maksmum dalgabounu λ m 0.5794 µm olarak buluruz. Görünür ışığın dalga bou 0.4-0.8 µm arasındadır. Örnek : Paraşüt problem. Kütles 60 kg olan br paraşütçü havada durgun halde ken balondan aşağı atlıor. Paraşütü açmadan t0 s sonra düştükten sonra hızı 40 m/s oluor, paraşütçü çn sürtünme katsaısını grafk öntem ve Newton-Raphson öntem le hesaplaınız. Çözüm : M kütlel br paraşütçü düşmee başladığında üzerne k kuvvet etk eder. Aşağı doğru er çekm kuvvet F A Mg ve ukarı doğru hava sürtünme kuvvet F Y -cv. Burada g 0 m/s er çekm vmes, c sürtünme katsaısı ve v de paraşütçünün düşe hızıdır. Newton un knc asasına göre hareket denklem dv dt FA FY M g c M v le verlr. Paraşütçünün başlangıçta t0 anında durgun v0 olduğunu düşünürsek bu denklemn analtk çözümü v t gm c e ct / M ct / M olarak elde edlr. Burada vme a t ge bulunur. Saısal değerler erne konursa fc40-600-e -c/6 /c0 denklemne ulaşılır. Bu fonksonun grafğ çzdrldğnde Şekl.4,! 3
fc 0 8 6 4 0 - -4-6 -8-0 0 4 6 8 0 c Şekl.4 fc40-600-e -c/6 /c fonksonunun grafğ stenen kök değernn le 4 arasında olduğu görülür. Bu denklem saısal öntemlerle de çözüleblr. Newton-Raphson öntemn ugulaablmek çn bu fonksonun türevne de htaç duulmaktadır, bunun çn f c600/c -00/c6/c-e -c/6 olarak hesaplanır. FORTRAN programı Program Parasut a. tol.e-06 call newtona,c,tol wrte*,* c,c subroutne newtona,,tol 0a 0 do 0 whle absf.gt.tol 0-f0/df0! 33
0 0 0. do return functon f f40.-600.*.-ep-/6/ return functon df df600./**-00./*6./-.*ep-/6. return Program çalıştırıldıktan sonra kök değer c3.389673 olarak bulunur. Örnek 3: İk boutlu kütle-a sstem Şekl.5 de gösterlmştr. Potansel enerj V, k l k d l mg le verlr. Burada k ve k a sabtler; l ve l aların serbest d uzunlukları; m csmn kütles ve g çekm vmesdr. Statk denge durumunda F- V0 dır, bu durumda ve konumlarını bulmak çn Newton-Raphson öntemn kullanan br program azınız. k k Blnenler k 3k 30 N/m ; l l 0. m; d0. m; m0. kg; g9.8 m / s. Şekl.5 Kütle-alar sstem! 34
Çözüm 3: Statk denge durumu çn F- V0 sağlanmalıdır. Problemde k >k olduğundan Şekl.5 dek düzenlenmde fzksel olarak ve değerlernn poztf olmasını beklerz. Burada u ve v fonksonlarının sıfır değerlern aldığı ve değerlern bulmak stedğmzden bu fonksonların 3-boutlu grafklern çzeblrz, Şekl.6. Şekl.6. u, ve v, fonksonlarının 3-boutlu grafkler Bu grafklerden görüldüğü gb kök değerler 0. cvarında olmalıdır. Newton-Raphson öntemn kullanmak çn u ve v nn türevler hesaplanırsa, mg d l d k l k v V d d l d k l k u V! 35
elde edlr. Bu fadeler öntemn formullernde erne azılırsa ve çözümler elde edlr. Bu problem çn FORTRAN alt programı aşağıda verlmştr. Burada gerekl ana program öncek bölümde verlmştr. FORTRAN alt programı subroutne fonk,,u,v,dud,dud,dvd,dvd m0. g9.8 d0. l0. l0. k0. k30. **** d-d**** uk*sqrt-l*/sqrt. k*sqrtd-l*-d/sqrtd vk*sqrt-l*/sqrt 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ 3/ d l dl d l d k l k v d d l k l k l dk v d d l k l k l dk u d l d k l k u! 36
. k*sqrtd-l*/sqrtd-m*g dudk**sqrt-l***/*sqrt. k*d*sqrtd-l***/d*sqrtd dud*-d*k*l*k*l**sqrt. k*l*d*sqrtd/*sqrt. /d*sqrtd dvddud dvd k**sqrt-l***/*sqrt. k*d*sqrtd-l*d**..*d*l*-l***/d*sqrtd return Problemn salınımlı doğası gereğ, program çalıştırıldıktan sonra ancak 60 terasonda 0.0676503 m ve 0.8597 m sabt değerler elde edlmektedr. Bu sonuçlar başlangıç değerler 0. m le elde edlmştr. Başka değerler le başlarsak daha farklı terason değerlernde ne bu sonuçları elde edeblrz ÖZET Lneer olmaan br denklemn kökler: f0 denklem çözülerek değerler bulunur. Bu ugulamanın grafksel anlatımı aşağıdak şeklde verlmştr.! 37
! 38