NEWTON METODUNDAN ELDE EDİLEN RASYONEL FONKSİYONLARIN DİNAMİĞİ VE GEOMETRİSİ

NEWTON METODUNDAN ELDE EDİLEN RASYONEL FONKSİYONLARIN DİNAMİĞİ VE GEOMETRİSİ THE GEOMETRY AND THE DYNAMICS OF RATIONAL FUNCTIONS OBTAINED FROM NEWTON S METHOD ABDÜSSELAM YÜCEER DOÇ.DR. AYŞE ALTIN Tez Danışmanı Hacettepe Ünverstes Lsansüstü Eğtm-Öğretm Sınav Yönetmelğnn Matematk Anablm Dalı çn Öngördüğü YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmıştır. 7

THE GEOMETRY AND THE DYNAMICS OF RATIONAL FUNCTIONS OBTAINED FROM NEWTON S METHOD NEWTON METODUNDAN ELDE EDİLEN RASYONEL FONKSİYONLARIN DİNAMİĞİ VE GEOMETRİSİ ABDÜSSELAM YÜCEER DOÇ.DR AYŞE ALTIN Supervsor Submtted to Graduate School of Scence and Engneerng of Hacettepe Unversty as a Partal Fulfllment to the Requrement for the Award of the Degree of Master of Scence n Mathematcs 7

ÖZET NEWTON METODUNDAN ELDE EDİLEN RASYONEL FONKSİYONLARIN DİNAMİĞİ VE GEOMETRİSİ Abdüsselam YÜCEER Yüksek Lsans, Matematk Bölümü Tez Danışmanı: Doç. Dr. Ayşe ALTIN Mart 7, 5 sayfa Bu çalışmada kompleks polnomların bütün köklern Newton metodundan faydalanarak bulmak çn yen br metot tanıtılmıştır. Benzer yöntemlerde Sutherland 989 da 3 4 d mertebesnde Hubbard, Schlecher ve Sutherland de, d(log d ) mertebesnde sonuçlar elde etmşlerdr. Bu çalışmada elde edlen sonuç se en kötü durumda şeklndedr. Polnomun kökler Newton fonksyonunun sabt noktaları olur. Ayrıca bu sabt noktalar çekc sabt noktadır. Her sabt nokta komşuluğunda kendne yakınsayan çekc havzaları vardır. Çekc bölgedek herhang br noktaya Newton metodu terasyonu uygulanırsa Newton fonksyonunun sabt noktası, yan polnomun kökü bulunur. Her farklı d

çekc sabt noktanın çekc havzasından en az br noktaya Newton terasyonu uygulanırsa polnomun bütün köklerne ulaşılır. Bunu başarmak çn Sutherland br çember üzerne 3 4 d adet noktayı eşt aralıklı olacak şeklde dağıtarak bütün çekc havzalara en az br nokta düşeceğn göstermştr. Hubbard, Schlecher ve Sutherland benzer br metot kullanarak, d(log d ) adet noktayı eşt aralıklı olacak şeklde çemberler ales üzerne dağıtarak bütün köklern çekc havzalarına en az br nokta düşeceğn göstermştr. Bu çalışmada polnomun köklernn brm çembern çersnde olduğu farz edlecektr. Şayet değlse afn dönüşümü le kökler brm çember çne toplanablr. Kökler bulmak çn önce d nokta brm çember üzerne eşt aralıklarla dağıtılır ve bu noktalara Newton metodu uygulanır. Bütün kökler bulunmaz se dağıtılan noktalar döndürülür. Her döndürme şlemnn ardından noktalara tekrar Newton metodu uygulanır. Döndürme şlem le her kökün çekc havzasına en az br nokta düşer. Bu noktalara Newton metodu uygulanırsa polnomun köklerne yakınsar. Dolayısıyla bütün kökler bulunur. Bu yönteme göre en y durumda d nokta le bütün kökler bulunur. En kötü durumda d nokta le bütün kökler bulunur. Anahtar Kelmeler: Newton Metodu, Modül, Polnom kökler, Çekc havza.

ABSTRACT THE DYNAMICS AND THE GEOMETRY OF RATIONAL FUNCTIONS OBTAINED FROM NEWTON METHOD Abdüsselam YÜCEER Master Degree, Department of Mathematcs Supervsor: Assoc. Prof. Dr. Ayşe ALTIN Mart 7, 5 pages In ths study a new teratve method s ntroduced, ams to fnd all roots of comple polynomals wth help of Newton s method. There are methods smlar to ths one, ther degrees are 3 4 d ntroduced by Sutherland n 989 and, d(log d ) whch s ntroduced by Hubbard, Schlecher and Sutherland n. The worst case result obtaned n ths paper s d. The root of polynomal s fed pont of Newton functon. Moreover, these fed ponts are attractve fed ponts. There are attractve basns surroundng eveery attractve fed ponts. If Newton s Method s appled to any pont n the attractve basn, the fed pont of Newton s map or root of polynomal wll be found. If at least one pont whch belongs to attractve basns of every dfferent fed ponts then Newton s method wll be appled to these ponts one could reach all roots of polynomal.

In order to acheve ths Sutherland dstrbute 3 4 d ponts on the dsc wth equal dstance between them. Then he showed at least one pont fall n all attractve basns. Hubbard, Schlecher and Sutherland used smlar method that they dstrbute, d(log d) ponts on crcles famles wth equal datances then they showed at least one pont wll fall on the all attractve basns of dfferent roots. In ths thess, we assume that all roots of polynomal s n the unt dsc. Unless wth an affne transformaton all roots can be collected n the unt dsc. In order to fnd roots frstly d ponts dstrbuted on the unt dsc. Then Newton s method s appled to them. If all roots s not found then the dstrbuted ponts wll be rotated. After every rotaton Newton s method wll be appled to these ponts agan. Wth rotaton at least one pont fall on the attractve basn of every roots. If Newton s method s appled to these ponts, they converge to root of polynomal. Therefore, all roots are found. Accordng to ths method n the best case wth d ponts all roots can be found and n the worst case wth d ponts all roots can be found. Key Words: Newton s Method, Modulus, Roots of Polynomals, Attractve Basn. v

TEŞEKKÜR Yüksek lsans çalışmam süresnce bana yardımlarını esrgemeyen, sürekl destek olan değerl tez danışmanı hocam Sayın Doç. Dr. Ayşe ALTIN a, Tez çalışmam boyunca yönlendrmeleryle bana destek olan, değerl hocam Sayın Fgen ÇİLİNGİR e, Bugüne kadar yaşamımın her dönemnde olduğu gb Yüksek lsans boyunca da madd-manev anlamda hep yanımda olan ve haklarını hçbr zaman ödeyemeyeceğm babam İsa YÜCEER, annem Zelha YÜCEER, ablerm Muhammed YÜCEER, Abdulbak YÜCEER ve ablam Fatıma YAVÇIN a; En çten teşekkürlerm sunmayı borç blrm. Abdüsselam YÜCEER v

İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...... ABSTRACT... TEŞEKKÜR.........v İÇİNDEKİLER... v SİMGELER DİZİNİ......... v ŞEKİLLER DİZİNİ... v. GİRİŞ....... Kompleks Fonksyonların Dnamğ........ 3. Konformal Fonksyonların Geometrs........3.3 Newton Metodunun Geometrs........8. İTERATİF YÖNTEM İLE KOMPLEKS POLİNOMUN BÜTÜN KÖKLERİNİ BULMA..3. Uygulamalar.....3 3. SONUÇ..... 46 KAYNAKLAR....... 48 ÖZGEÇMİŞ...... 5 CURRICULUM VITAE...5 v

SİMGELER DİZİNİ Smgeler ˆ Remann küres Kompleks düzlem Sınır operatorü Brm dsk Az ( ) z noktasının çekc havzası K( f ) f fonksyonu altında dolu Jula kümes l ( ) p eğrsnn p metrğne göre uzunluğu A ( ) p D D bölgesnn p metrğne göre alanı L ( ) p eğr alesnn p metrğne göre uzunluğu md (, ) D bölgesndek eğr alesnn modülü ( D, ) D bölgesndek eğr alesnn etremal uzunluğu d Polnomun dereces v

Şekl : Şekl : Şekl 3: f z ( ) z,5 ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa çn Jula kümes....7 f ( z) z,35,534 çn Jula kümes......7 f ( z) z,5, 434 çn Jula kümes......8 Şekl 4: Mandelbrot kümes.......... Şekl 5: Şekl 6: P z z z z polnomu çn Newton grafğ.. 6 4 ( ) f z 3 ( ) z çn Newton Grafğ.. Şekl 7: d noktanın brm dsk üzerne eşt aralıklı dağıtılması... 5 Şekl 8: noktasının dönme şlem ve oluşan yen j D bölges.8 Şekl 9: 5. Derece Pzpolnomunun () Newton grafğ.3 Şekl : 3. Derece Pz () polnomunun Newton grafğ 33 Şekl : 7. Derece Pzpolnomunun () Newton grafğ...4 v

.GİRİŞ Kompleks dnamk, kompleks fonksyonların terasyonlarının ncelenmesyle ortaya çıkmıştır. Fonksyonların bazı noktalar çn yakınsak veya peryodk davrandığı ancak bazı noktalarda se hareketnn tahmn edlemeyecek şeklde davrandığı görülmüştür. Kompleks dnamk, bu kararlı ve kaotk davranan noktaların kümesn ve onların özellklern nceler. Kompleks fonksyonların dnamğ lk olarak Newton metodunun kompleks fonksyonlara uygulanmasının ncelenmesyle ortaya çıkmıştır. Bu konuda lk çalışmalar Schröder tarafından 87-87 ve Cayley tarafından 879 da yapılmıştır []. Newton metodu fonksyonların kökünü bulmak çn yaygın kullanılan yaklaşım metotlarından brdr. Newton metodu le hem reel hem de kompleks fonksyonların köklerne herhang br başlangıç değer seçm le fonksyonun köküne yakınsanamayablr. Polnomlara Newton metodu uygulanınca rasyonel fonksyonlar elde edlr. Schröder ve Cayley kompleks polnomlara Newton metodu uygulayarak elde edlen rasyonel fonksyonun dnamğn lk nceleyenlerdendr. Newton metodunun reel fonksyonlar çn belrl noktalarda yakınsak davranmadığı blnyordu. Schröder, Newton metodunun kompleks polnomlardak yakınsaklığını ncelemştr. Schröder, polnomun kökünün Newton metot altında çekc(attractve) sabt nokta olduğunu ve dolayısıyla komşuluğunun kendsne yakınsayacağını göstermştr. Schröder kompleks kuadratk polnomların Newton metodu altındak davranışlarını ncelemş ve y eksenne paralel br doğru üzernde yakınsak davranmadığını, doğrunun sağındak bölgeye at noktaların br köke, doğrunun solundak bölgeye at noktaların dğer köke yakınsadığını göstermştr. Ayrıca; Schröder, kompleks dnamkte fazlasıyla kullanılan eşlenk fonksyonları tanıtmıştır []. Kuadratk polnomlar çn Newton metodu, sadece y eksenne paralel br doğru üzernde kaotk davranır. Ancak, üç ve daha yüksek derecel polnomların Newton metodunun oluşturduğu rasyonel fonksyonun dnamğ oldukça karmaşıktır. Ayrıca bu rasyonel fonksyonun grafğ br fraktal üretr. Schröder ve Cayley, Newton metodununun dnamğn üç ve daha yüksek derecel polnomlar çn ncelememşlerdr. Fatou ve Jula f z 3 ( ) z polnomuna Newton metodunu uygulamış ve Jula kümesnn düzlem sonsuz parçaya böldüğünü göstermştr [].

Fatou ve Jula daha çok kompleks fonksyonların global dnamğ üzerne çalışmışlardır. Kompleks fonksyonların terasyonunu belrlerken Montel n normal fonksyon aleler teoremnden yararlanmışlardır. Fatou ve Jula, fonksyonun terasyonların oluşturduğu alenn normal olup olmamasına göre, kompleks düzlem kye ayırmıştır. Normal olmayan alelern oluşturduğu kümeye Jula kümes tümleyenne se Fatou kümes denr []. Kompleks fonksyonların dnamğ, krtk noktalar ve sabt noktalar le belrlendğnden araştırmalar bu yönde olmuştur. Schröder, Leau, Grevy, Böttcher sabt noktaların komşuluğunu yan; kompleks fonksyonların yerel dnamğ üzerne çalışmışlardır []. Kompleks fonksyonların dnamğndek en öneml gelşmelerden brde 98 de Sullvan ın Fatou kümesndek bölgeler sınıflandırmasıdır []. Sullvan, Fatou kümesndek bölgelern preperyodk olduğunu göstermştr [3]. Lneer olmayan kompleks fonksyonların terasyonu genellkle fraktal yapılar üretr. İlk fraktal yapılar Cantor kümes(878), Peano(89) Koch(94) eğrler gb tanımlanan eğrler olmasına rağmen fraktal smn Benot Mandelbrot Latnce dlnde kırılmış anlamına gelen fractus kelmesnden türeterek koymuştur. Mandelbrot, fraktalları tamsayı olmayan Hausdorff boyutu olan kümeler olarak tanımlar [4]. Fraktalların en temel özellğ kendne benzerlktr. Kendne benzerlk, yapının ölçek değşm altında değşmez kalmasıdır [5]. Br fraktal büyütülünce veya küçültülünce yne aynı şekl elde edlr. İlk tanımlanan fraktal yapılar ve kompleks fonksyonların dnamğ kompleks yapıda olduğu çn uzun süre ncelenmemş canavar veya patolojk olarak adlandırılmışlardır [4]. Blgsayar grafklernn gelşmesyle brlkte kompleks fonksyonların grafkler görselleştrlebldğnden bu konuya olan lg günden güne artmıştır. Fonksyonların köklern bulma problem çok esk br problem olup brçok çözüm yöntem sunulmuştur. Bu metotlardan brde Newton metodudur. Ancak Newton metodu türevn sıfır olduğu noktalarda sonuç vermez. Newton metodu le köklere yakınsamak çn terasyona başlanılacak başlangıç noktasının seçm çok önemldr. Çünkü; Newton metodu her başlangıç noktası çn yakınsak değldr. Her kökün komşuluğunda terasyon altında o

köke yakınsayan belrl br bölge vardır. Başlangıç noktası olarak bu bölgeye at noktalar seçlmeldr. Bu çalışmada amaç en küçük kardnalteye sahp küme kullanarak, kompleks polnomun bütün köklerne Newton metodu yardımıyla ulaşmaktır. Bu durumda her kökün yakınsaklık bölgesnde bu başlangıç kümesne at en az br nokta bulunmalıdır. Newton metodu yardımıyla polnomun bütün köklern bulmak çn daha önce bazı yöntemler verlmştr. d polnomun dereces olmak üzere Sutherland 989 da 3 4 d noktayı çember üzerne Hubbard, Schlecher ve Sutherland de, d(log d ) noktayı çemberler aleler üzerne eşt aralıklarla dağıtarak ve bu noktalara Newton metodunu uygulayarak polnomun bütün köklernn bulunacağını göstermşlerdr [6,7]. Bu tez çalışmasında tanıtılacak yöntemde teratf br metot kullanılacaktır. Bu yönteme göre öncelkle d nokta düzleme dağıtılır ve bu noktalara Newton metodu uygulanır. Bütün kökler bulunmaz se bütün kökler bulana kadar noktalar belrl açılarla döndürülür ve döndürülen noktalara tekrar Newton metodu uygulanır. Bu yöntem le en y durumda d nokta le bütün kökler bulunur. En y durum lk dağıtılan noktalara Newton metodu uygulanmasıyla bütün köklern bulunduğu durumdur. En kötü durumda nokta le bütün kökler bulunur. En kötü durum, lk dağıtılan noktaları ardışık k nokta arasını tamamen kapatacak kadar dönme şlemnn yapıldığı durumdur. Bu çalışmadak çzmler ve nümerk hesaplar çn Wolfram Mathematca 8 programı kullanılmıştır... Kompleks Fonksyonların Dnamğ Dnamk sstemler, br sstemdek değşmn zamana bağlı olarak ncelendğ sstemlerdr. Dnamk sstemlern amacı, nceledğ sstemn davranışını belrlemektr ve zamanla nasıl değşeceğn tahmn etmektr. Dnamk sstem bazen kararlı davranır ve bu durumda sstem tahmn edleblrdr. Dolayısıyla, herhang br zamanda sstemn faz değşkenler bulunablr. Ancak bazı durumlarda kaotk davranablr. Bu durumda dnamk sstem tahmn edlemezdr [8]. Zamanla sstemdek değşm sürekl modellenrse sürekl dnamk sstem denr. Dferansyel denklemler le fade edlr. Kaotk davranan Lorenz, Rössler çekcler sürekl dnamk sstemlern brer modeldr. Zamana bağlı değşm bell zaman aralıkları çn d 3

modellenrse ayrık dnamk sstem denr. Fark denklemler le modellenr. Kaotk davranan ayrık dnamk sstemlere lojstk denklem, Henon fonksyonu ve kompleks fonksyonların terasyonu örnek olarak verleblr. Bu çalışmada ayrık dnamk sstemler le çalışılacaktır [9]. Tanım :, U bölgesnde tanımlı fonksyon ales olsun. çn öyle br bulunablr k z, z U olmak üzere d( z, z) ken d( f ( z), f( z)) şartı f çn sağlansın. Bu durumda fonksyon alesne U bölgesnde eşsürekl denr []. Tanım : U, ˆ de açık küme ve, U bölgesnde tanımlı holomorfk fonksyon ales olsun. alesnn her f n dzsnn, U bölgesnn kompakt alt kümesnde düzgün yakınsayan br alt dzs veya sonsuza ıraksayan br alt dzs bulunablyor se fonksyon ales normaldr []. Eğer br z noktasının komşuluğunda n f fonksyon ales normal se z noktasına kararlı nokta denr []. Lemma : Arzela Ascol teoremnden fonksyon alesnn normal olması çn gerek ve yeter şart eşsürekl olmasıdır []. Montel Normallk Krter: abc,, ˆ olmak üzere herhang br D bölgesnden ˆ \ { abc,, } bölgesne tanımlı her analtk fonksyon ales normaldr []. Unformzasyon Teorem: Her bast bağlantılı Remann yüzey ˆ, veya brm dske konformal denktr [3]. Tanım 3: Kompleks rasyonel fonksyon Remann küresnden Remann küresne tanımlı holomorfk fonksyonlardır. P( z), Q( z ) polnomlar olmak üzere rasyonel fonksyon Pz () Rz (), Qz ( ) şeklnde tanımlı olup rasyonel fonksyonun dereces Qz () ma{deg P( z),deg Q( z)} olur [4]. Tanım 4: zn f ( zn ) şeklnde tanımlanan z, z... zn, zn dzs z noktasının f() z altındak ler yörüngesdr. Benzer şeklde z, z... zn, z n dzs z noktasının f() z altındak ger yörüngesdr. z z şartı sağlanıyorsa z noktası peryodk olup bu şartı n sağlayan en küçük n sayısı z ın peryodudur. Bu durumda z, z... zn, zn dzsne 4

peryodk döngü denr. n se z sabt nokta olup bu noktada f ( z) z sağlanır. n n n çn f ( z ) peryodk se z preperyodkdr. Burada f ( z ), f() z nn n. terasyonunu gösteryor [3]. f( z) denklğnn sağlandığı nokta krtk noktadır. Krtk noktanın görüntüsü krtk değerdr. Kompleks fonksyonların terasyonunu ncelemede krtk nokta en öneml faktörlerden brdr [5]. Kompleks fonksyonların dnamğ krtk nokta ve sabt noktaların yardımı le belrlenr. Sabt nokta f ( z) z şartının sağlandığı noktalardır. f( z), z sabt noktasının çarpanıdır. Çarpanın durumuna göre sabt noktalar sınıflandırılırlar. se çekc sabt nokta se süper çekc sabt nokta se tc sabt nokta ve e, se rasyonel nötral sabt nokta ve e, se rrasyonel nötral sabt noktadır. z çekc sabt nokta olsun. Bu durumda p ve z ın komşuluğunda f () z z p z z sağlanacaktır. Buradan n z çekc sabt noktasının komşuluğu çn f n () z z p z z sağlanır. Dolayısıyla çekc sabt noktanın komşuluğundak noktalar terasyonla brlkte sabt noktaya yakınsayacaktır. Çekc sabt noktaya yakınsayan bölgeye çekc havza denr ve z sabt nokta olmak üzere Az ( ) le gösterlr. Bu bölgede Schröder eştlğn sağlayacak şeklde br eşlenk fonksyon bulmak mümkündür. Dolayısıyla bu bölgede sstem lneer fonksyon gb davranır. Az ( ) bölgesnn z noktasını çeren bağlantılı alt kümesne mmedate çekc havza denr. Rasyonel fonksyonlar çn her mmedate çekc havza en az br krtk nokta çerr [3]. 5

İtc sabt noktanın komşuluğunda sstem sabt noktadan uzaklaşır. İtc peryodk noktaların kapanışı düzlemde kaotk davranan bölgey verr. Süper çekc sabt noktanın komşuluğunda sstem sabt noktaya çekc sabt noktadan daha hızlı yakınsar ve Böttcher eştlğn sağlar. U V f g U V Kompleks fonksyonların dnamğ ncelenrken ele alınan sstem daha bast ssteme ndrgenr. Bu ndrgeme çn eşlenk fonksyonlar kullanılır. U, U, V, V ve f : U U fonksyonu g : V V fonksyonuna eşlenk olablmes çn g( z) f ( z) olacak şeklde br :U V fonksyonu bulunablmeldr. Eşlenk fonksyonlar altında sstemn dnamğ değşmezdr. z noktası f altında sabt nokta se ( z ) noktası g fonksyonunun sabt noktası olup çarpanları ve sabt noktanın türü aynıdır. f fonksyonunun çekc bölges, dönüşümü le g fonksyonunun çekc bölgesne taşınır [3]. Kompleks fonksyonların terasyonu kompleks düzlem k parçaya böler. Kompleks fonksyonun terasyonu altında kaotk davranan(aperyodk) bölge Jula kümesdr. Dolayısıyla Jula kümesndek elemanların terasyonu yakınsak veya peryodk davranmaz ve bu küme kompakt kapalı br kümedr. Ayrıca, rasyonel fonksyonlar çn A( ) şeklnde de tanımlanablr. Burada A( ) sonsuza ıraksayan noktaların kümesnn sınırıdır. İtc döngüler ve rasyonel nötral noktalar bu kümenn elemanlarıdır. Jula kümes tc peryodk noktaların kapanışı olarak da tanımlanablr [6],[7]. 6

Şekl : f z ( ) z,5 çn Jula kümes Jula kümes en az üç nokta çeren kompakt kümedr. Jula kümesndek noktaların davranışı tahmn edlemez. Dolayısıyla kaotktr. Jula kümes çoğunlukla fraktal yapıdadır.[8] Yan kendne benzerlk gösterr. Ancak bu kendne benzerlk tam kendne benzerlk değldr [9]. Jula kümes ya bağlantılıdır ya da Cantor kümesne homomorftur (tamamen bağlantısızdır). Şekl : f ( z) z,35,534 çn Jula kümes 7

Jula kümesnn ya ç boştur yada Remann küresne denk olur []. Latte Remann z küresne denk olan örneğ veren lk smdr. Belrl değerler çn f () z ze ve f ( z) tan z fonksyonları çn Jula kümes ˆ ye denk olur. Jula kümes ç nokta çeryorsa Remann küresne, aks takdrde Cantor kümesne denktr [6]. Şekl 3: f ( z) z,5, 434 çn Jula kümes İterasyon altında sonsuza ıraksamayan noktaların oluşturduğu kümeye dolu Jula kümes denr. K( f ) / A( ) şeklnde gösterlr. Dolu Jula kümesnn sınırı Jula kümesn verr []. Jula kümesnn tümleyen Fatou kümesdr. ˆ z noktasını çeren br U komşuluğunda, f fonksyonunun terasyonunun oluşturduğu fonksyon ales normal se z noktası Fatou kümesnn elemanıdır. Fatou kümesndek noktalar kararlıdır (hareketler tahmn edleblr). Fatou kümes açık br kümedr. Lattenn verdğ ters örneğe göre Fatou kümes boş küme olablr [3]. z çekc sabt nokta se z ın çekc havzası normal olacağından Fatou kümesnn alt kümesdr. Çekc ve süper çekc döngüler Fatou kümesnn alt kümesdr. No Wanderng Teorem: Rasyonel fonksyonun oluşturduğu Fatou kümesnn her bleşen preperyodktr []. 8

Tanım 5: U ˆ boş olmayan kümes çn f ( U) U se U ler değşmez, f ( U) U se ger değşmezdr. Hem ler hem de ger değşmez kümeye tamamen değşmez denr. Jula ve Fatou kümeler tamamen değşmezdr. Kompleks dnamkte en çok lg gören problemlerden brde f () z z c, c polnomunun dnamğdr. Bunun sebeb herhang br knc derece polnomun f () z z c ye eşlenk olmasıdır [3]. Genel olarak bütün polnomlarda, süper çekc noktadır. Polnomlarda A( ) Jula kümesn oluşturur. Benzer şeklde, dolu Jula kümes de A( ) C şeklnde verleblr. c nn değşen değerlerne göre Jula kümesnn topolojk yapısı da değşr. Jula kümes c nn değerne göre bast bağlantılı (kuascrcle) veya tamamen bağlantısız (Cantor kümes) olablr. Blgsayar grafklernn gelşmesyle brlkte kompleks fonksyonların dnamğnn ncelenmes de kolaylaştı. Kompleks fonksyonların terasyonlarının grafğ brçok blm adamının lgsn çekmştr. Bu terasyonların oluşturduğu Mandelbrot kümes matematktek en karmaşık grafklerden brdr. Grafkler çzerken en çok terch edlen algortma kaçış zamanı algortması olup terasyonun ıraksayıp ıraksamadığı tespt edlerek ıraksama hızına göre boyama şlemnn yapılmasıyla çzlr.[] Mandelbrot kümesnn elemanları f () z z c fonksyonunun terasyonunda Jula kümesnn bağlantılı olduğu terasyonunun sonlu kaldığı c noktalarından oluşur [3]. c noktalarıdır. Mandelbrot kümes krtk noktanın M c ˆ f z z c z n { : ( ) sınırlıdır, } 9

Şekl 4: Mandelbrot kümes Mandelbrot kümes kendne benzer olup kend çnde küçük Mandelbrot kümeler barındırır. Şekl 4 de görülen ana kardyod çndek noktalar sabt değer alırlar (terasyon sonucu sabt noktaya yakınsar). Ana kardyode bağlı odacıklar bulunmakta bunlara hperbolk bleşen denr. Hperbolk bleşenler peryodk bölgelerdr. Nümerk analzde en öneml problemlerden br verlen br f() z fonksyonunun köklern bulma problemdr. Bu problemn çözümü çn brçok çalışma yapılmıştır [4]. Bu problem çn önerlen bazı teratf metotlar bulunmaktadır. Bunlardan en yaygın kullanılanlarından brde Newton metodudur. f : ˆ ˆ fonksyonunun köklern Newton metodu le bulmak çn br z başlangıç noktası alınarak f() z N f () z z f () z, f ( z ) (.) n fonksyonu uygulanır ve zn N f ( zn ) terasyonu le z n bulunur. zn N f ( z) şeklnde de yazılablr. Yukarıdak fark denklem br ayrık dnamk sstem oluşturur. f() z fonksyonunun kökü olsun. Bu durumda, N f () z z denklğn sağladığından N () z f

fonksyonunun sabt noktası olur. f() z polnom se N () z rasyonel fonksyon verr. N () z n tanımından görüldüğü gb Newton metodu krtk noktalarda kullanılamaz [5]. f Dnamk sstemlern davranışını belrlerken krtk nokta ve sabt nokta göz önünde bulundurulur. Polnomun kökü Newton metodunun sabt noktasıdır. Kök bast se f( ) f( ) Nf ( ) şeklnde olup süper çekc noktadır aynı zamanda krtk noktadır. ( f ( )) f Eğer kök m katlı se m Nf ( ) şeklnde tanımlanır ve Nf ( ) olduğundan m çekc sabt noktadır. Görüldüğü üzere N ( ) her durumda N ( ) eştszlğn sağladığı çn süper çekc veya çekc sabt noktadır ve bu noktanın komşuluğunda n terasyon bu noktaya yakınsar. Dolayısıyla z çn N () z sağlanır [5]. Newton metodu sonucu elde edlen rasyonel fonksyonlarda tc sabt noktadır. f U f f Şekl 5: P z z z z polnomu çn Newton grafğ 6 4 ( ) Newton metodu hem reel hem de kompleks fonksyonlar çn her başlangıç noktası çn köke yakınsamayablr. Her kökün kend komşuluğunda köke yakınsayan br çekc havzası vardır. Ancak çekc havzanın sınırı Jula kümes olup Newton metodunun terasyonu altında kaotk davranır ve köke yakınsamaz.

Newton metodu. derece polnomlar çn genellkle yakınsaktır. Sadece br doğru üzernde yakınsak davranmaz. Üçüncü derece polnomların Newton metodu sonucu elde edlen Jula kümelernn Hausdorff boyutu den küçük olduğu çn hemen hemen alınan her başlangıç kümes köke yakınsar. McMullen dört ve daha yüksek derecel polnomların köklern bulmak çn yakınsak davranan saf teratf br yöntemn olmadığını göstermştr [6]. Şekl 6: f z 3 ( ) z çn Newton grafğ Newton metodu polnomun kökü bast se kuadratk, katlı se lneer yaklaşır [5]. m katlı kökün kuadratk yakınsamasını sağlamak çn Newton metodu m f() z fonksyonuna uygulanır ve aşağıdak hızlandırılmış Newton metodu elde edlr [4]. mf () z N f () z z f () z f dereces d olan br polnom se krtk noktası vardır [6]. N f br rasyonel fonksyon tanımlar ve en az d Newton metoduyla lgl en öneml problem Cayley tarafından verlmştr. Bu problem f() z polnomunun br kökü bulunmak stendğnde hang noktalara Newton

metodunun uygulanması gerektğn sorgular. kökünün mmedate havzasının hang küme olduğu blnrse bu problemn cevabı verleblr.. bölümde bu problem üzerne çalışılacaktır. Büyük O Notasyonu: Verlen gn ( ) ve f( N ) fonksyonları ve N N çn g( N) ( ) c f N eştszlğn sağlayacak şeklde fonksyonu O( f ( N )) mertebesndedr [7]. c ve N o sabtler bulunablyorsa gn ( )..Konformal Fonksyonların Geometrs D ve E kompleks düzlemde bölgeler ve sırasıyla bu bölgelerde tanımlı doğrultulablr eğrler aleler olsun. f D den E ye tanımlı konformal br fonksyon olsun. Bu durumda bu fonksyon altında bazı özellkler değşmez kalacaktır. Değşmez kalan özellklerden br modül ve etremal uzunluktur [8][9]. Modül-Etremal Uzunluk ales olsun. D kompleks düzlemde br bölge ve bu bölgede tanımlı doğrultulablr eğrler p: D[, ) fonksyonu aşağıdak şartları sağlarsa p kabul edleblr fonksyondur. ) p ve ölçüleblrdr. ) A D p ddy ve ( ) p A ( ) p D p ddy eğrs çn p uzunluğu l ( ) : ( ) p p z dz şeklnde tanımlanır. Eğer pz ( ) alınırsa bu ntegral eğrnn Ökld uzunluğunu verr. D bölges çn p alanı A D p ddy ( ) : p (.) D şeklnde tanımlanır. eğr ales çn p uzunluğu 3

L ( ) : nf l ( ) p p şeklnde verlr. D bölgesndek eğr ales çn modül aşağıdak gb tanımlanır. md (, ) nf p A ( D) p p L ( ) Burada nfmum tanımlı bütün kabul edleblr p metrkler çnden alınır. Modülü veren metrğe etremal metrk denr [3]. Modülün çarpmaya göre ters etremal uzunluğu verr. Etremal uzunluk br nev ortalama mnmum uzunluktur [9]. Aşağıdak şeklde tanımlanır. L p( ) ( D, ) sup m( D, ) p A ( D) p Etremal uzunluk ve modül konformal fonksyonlar altında değşmezdr [9][3]. Teorem : ve sırasıyla DD, bölgelernde tanımlı eğr aleler olsun. f : D D f () z w şeklnde tanımlı konformal fonksyon olsun. f ( ) se m( D, ) m( D, ) olur. Yan modül konformal değşmez bölgeler çn denklk sınıfı oluşturur[3]. Teorem : p ve p md (, ) modülü çn k etremal metrk se hemen hemen her yerde p p olur [3]. Teorem 3: D bölgesnde se m( D, ) m( D, ) olur [9]. Teoremn spatı Lp( ) Lp( ) eştszlğnden gösterleblr. Teorem 4: ve ayrık ölçüleblr D ve D kümelerndek eğr aleler se; ) ( D D, ) ( D, ) ( D, ) burada ve olmak üzere eğrs ve eğrlernn uç uca eklenmesyle oluşturulur. ) ( D D, ) ( D, ) ( D, ) [9]. İspat: ) aşkardır. ( D, ), ( D, ) olduğunu farz edelm. Aks takdrde eştszlk 4

Normalleştrme yapılırsa L ( ) A ( D ) p p L ( ) A ( D ) p p p ma{ p, p } seçlrse L ( D D, ) L ( D, ) L ( D, ) A ( D ) A ( D ) p p p p p A ( D D ) A ( D ) A ( D ) p p p Etremal uzunluğun tanımından L ( D D, ) ( D D, ) sup A ( D ) A ( D ) p p p Ap ( D D) L ( D, ) L ( D, ) A ( D ) A ( D ) p p p p Dolayısıyla ( D D, ) ( D, ) ( D, ) elde edlr [9]. ) ( D D, ) se spat açıktır. Kabul edleblr br p çn L ( p ) sağlansın. D bölgesnde p p, D bölgesnde p p ve bu bölgelern dışında sıfır olarak tanımlansın. Bu durumda L ( D, ) L ( D D, ) p p elde edlr. Buradan p L ( D, ) L ( D D, ) p A ( D D ) A ( D D ) A ( D D ) p p p bulunur. Dolayısıyla A ( D D ) A ( D D ) A ( D D ) p p p p(, ) p (, ) p (, ) L D D L D L D gösterlmş olur [9]. ( D D, ) ( D, ) ( D, ) 5

Örnek: D bölges kenar uzunlukları ab, olan br dkdörtgensel bölge ve, bölgenn uzunluğu b olan karşılıklı kenarlarını brleştren eğrler ales se alesnn etremal uzunluğu a b olur [9]. İspat: Herhang br kabul edleblr p fonksyonu çn sağlanır. a D p( y) d L ( D, ) pddy bl (, ) p D p Dolayısıyla b L ( D, ) ab p ddy aba ( D) p D p Lp( D, ) a a yan ( D, ) A ( D) b b p a elde edlr. ( D, ) olduğunu göstermek çn p yan Ökld metrğ seçlrse b L (, ) p D a ve A ( D) tamamlanmış olur [9]. p a ab bulunur. Buradan ( D, ) elde edlr. Bu durumda spat b Örnek: D bölges r z r şeklnde tanımlanan halka ve ç ve dış çember brleştren eğrler ales se alesnn etremal uzunluğu r log r olur [9]. İspat: p uzunluğunun tanımından dolayı aşağıdak (.) ve (.3) eştszlkler sağlanır. r pdr Lp( D, ) (.) r pdrd Lp( D, ) (.3) 6

r 4 L ( D, ) log p rdrd p r L D r A ( D) r p(, ) log p elde edlr. Ters yönü göstermek çn p alınırsa r r r ve r r r L ( D, ) dr log p bulunur. Dolayısıyla r r r Ap ( D) p rdrd drd log r r r r elde edlr [9]. r ( D, ) log r Örnek: D bölges r z r şeklnde tanımlanan halka ve ç ve dış çember ayıran eğrler ales se alesnn etremal uzunluğu log r r olur [9]. İspat: Öncek spattak gb (, ) ( L D p re ) rd p (, ) Lp D pd r r r Lp( D, )log pdrd r r r r r Lp( D, ) log log p rdrd r r r 7

Lp ( D, ) Ap ( D) r log r elde edlr. Ters yönü göstermek çn p r seçlrse spat tamamlanır [9]. Hperbolk k bağlantılı br bölgenn { z : z R} halkasına veya herhang br k bağlantılı br bölgeye konformal homomorfk olması çn gerek ve yeter şart k bölgenn modüllernn eşt olmasıdır [3]. Brnc Grötzsch Lemma: D { z : r z R} şeklnde tanımlı halka bölges, bu bölgenn sınırlarını ayıran eğrler ales ve D, D... D n üst üste gelmeyen D bölgesnn sınırlarını ayıran k bağlantılı halka bölgeler olsun. Bu durumda n m( D, ) m( D, ) j j j n eştszlğ sağlanır. j Dj D ve Dj çemberler eş merkezl se eştlk sağlanır [3]. İknc Grötzsch Lemma: D { z y : l, y } şeklnde tanımlı dkdörtgensel bölge, bu bölgenn yatay karşılıklı kenarlarını brleştren eğrler ales ve D, D... D n üst üste gelmeyen D bölgesnn yatay karşılıklı kenarlarını brleştren dörtgen bölgeler olsun. Bu durumda md (, ) D bölgesnn modülü se n m( D, ) m( D, ) j j j n eştszlğ sağlanır. j Dj D ve D j bölgeler dkdörtgen se eştlk sağlanır [3]..3.Newton Metodun Geometrs Polnom Köklernn Geometrs Lucas Teorem: Sabt olmayan br f() z polnomunun krtk noktaları, polnomun köklern çeren dışbükey örtünün çnde kalır. Ayrıca f() z nn yüksek dereceden türevlern sıfır yapan değerlern de çerr [3]. İspat: Sadece krtk noktaları çeren dışbükey örtünün kökler de çerdğ gösterlrse tümevarımdan yüksek dereceden türevlern sıfırı da bu dışbükey örtünün çnde kaldığı 8

gösterleblr. Bütün köklern üst veya alt yarı düzlemde toplandığını farz edelm. Bütün kökler aynı yarı düzlemde değlse afne dönüşümü le aynı yarı düzleme taşınablr. Bütün köklern alt yarı düzlemde olduğu durum ele alınsın. f() z polnomu şeklnde se türev f () z z f ( z) z. z olarak yazılablr. z, z nn reel kısmı sıfırdan büyük herhang br sayı olsun. Dolayısıyla z poztftr. Bu durumda türev z noktasında sıfır veya negatf olamaz. Lucas teoremne göre br polnomun köklern çeren dsk aynı zamanda krtk noktalarını da çerr [6]. Teorem 5: (Newton fonksyonunun asmptotk geometrs) z çn olur [6]. () d N p z z ve N p() z z d d Teorem 6: (Sonsuzun yakınında lneerleştrme) U : { z : z } bölges olsun. Bu durumda V U ve U üzernde N p g d olacak şeklde g : U V konformal zomorfzm vardır. Ayrıca :U, vardır öyle k z V çn N d z eştszlğ sağlanır [6]. d p d şeklnde unvalent fonksyonu d N () p z rasyonel fonksyonunun sabt noktasının çekc havzası terasyon sonucu noktasına yakınsayan z noktalarından oluşur. Newton fonksyonunda bütün polnomun kökler ya çekc yada superçekc sabt nokta olduğundan köklern çekc havzası kökün komşuluğunu çerr ve boş kümeden farklıdır. kökünün U mmedate çekc havzası kökünün çekc havzanın kökü çeren bağlantılı kısmıdır. 9

z noktası Newton metodu altında köke yakınsıyorsa bu noktaya sıfıra yaklaşan nokta denr. Eğer n n f ( ) 8 N z z se z noktası köküne yakınsar [4]. Teorem 7: (Çekc Havzanın Bast Bağlantılılığı) f : rasyonel fonksyonunun çekc sabt noktası ve U bu noktanın mmedate çekc havzası olsun. Eğer brden fazla sabt noktasını çermyorsa U bölges bast bağlantılıdır [33]. U f n Bu teorem Newton metoduna uyarlanırsa Newton fonksyonunun her çekc sabt noktasının mmedate havzası bast bağlantılıdır. Remann mappng teoremnden dolayı bu bölge brm dske konformal homomorfktr. Shshkura bu teorem genşleterek Fatou kümesnn her bleşennn bağlantılı olduğunu göstermştr [34]. İspat: W U, noktasını çeren bast bağlantılı br bölge olsun. W bast eğr, hçbr krtk yörünge W le kesşmesn ve W f ( W ) çnde görecel kompakt olsun. k W : U f ( W ) ve V k, k sınırları bast eğrlerdr. çersndedr. Dolayısıyla V bağlantılıdır. k W k nın noktasını çeren bölges olsun. V k, W k nın V V U nun açık alt kümes olup sınırı U bölgesnn sınırı U dur. Bütün V k lar bast bağlantılı se U bölges de bast Eğer U bast bağlantılı değlse öyle br k bulunablr k lk k çn V k bölges bast bağlantılı olmasın. A, A,,, A m bölgeler / V k nın bağlantılı parçaları olsunlar. Burada her parçanın sabt nokta çerdğ gösterlecektr. Bu parçalar A olsun. V / V yol bağlantılı(açık bağlantılı kümeden kapalı dsk çıkarılıyor.) olup öyle k k br eğrs seçleblr k z A noktasını z f ( z) Vk noktası le brleştrr. Bu eğr U bölgesndek krtk yörünge le kesşmez. eğrs z den başlayan f ( ) ın br parçası olsun. Bu eğr z noktasında son bulsun. Bu şeklde devam edlrse k eğrs k den başlayıp zk de son bulan f ( k ) ın br parçası olur. eğrs lern brleşmnden oluşan A bölgesndek bast eğr olsun. Dolayısıyla z, z... noktaları da A bölgesndedr. Şmd bu noktaların f nn sabt noktasına yakınsadığı gösterlecektr. z

Öyle br n vardır k n W n f nn U bölgesndek bütün krtk değerlern çerr. f : U / W U / W br örtü fonksyonudur. Bu yüzden Poncare metrğne göre k uzay n arasında yerel zometrdr. Dolayısıyla U / W n de Poncare metrk kullanılırsa hem tanım hem de görüntü kümesnde fonksyon genşleyendr. Bütün ler k n ken U / W n çndedr. U / W n de Poncare metrğe göre eğrler gt gde kısalır ve yığılır bu yüzden uzunlukları sıfıra yakınsar. eğrsnn yığılma kümes U sınırında bağlantılı alt kümes olup noktasal olarak sabttr. Bu yüzden A bölgesndek tek sabt noktadır. U nun Eğer U tek sabt nokta çeryorsa / V k her k çn bast bağlantılıdır. Bu yüzden bütün V k lar yan U bölges bast bağlantılıdır. Newton metodunda kök olmayan tek sabt nokta dur. Dolayısıyla bütün mmedate havzalar bast bağlantılıdır [6]. m, U bölgesndek Newton fonksyonunun krtk nokta sayısı olsun. çekc sabt nokta olduğundan her kökü çn m olur. N : U U uygun ve d derecel fonksyondur. Öncek teorem ve Remann-Hurwtz formülünden dolayı d m olur [6]. U ˆ ve v U olsun. Eğer :[,] ˆ, ([,)) U ve () v olacak şeklde br eğrs bulunablyorsa v noktası U dan erşleblrdr [35]. f Her mmedate havzanın sınırında bulunur ve kök le sonsuzu brleştren bast br eğr vardır. Bu eğrlern homotop sınıflarına sonsuza erşm denr [6]. Teorem 8: (Immedate Havzadak Sonsuza Erşm) Her U mmedate havzanın m tane farklı sonsuza erşm vardır [6]. kökünün kanalı U / sınırsız bağlantılı parçasıdır. Bu bölge W le gösterlsn. w W noktası N ( w ) noktası le W bölgesndek br eğr le bağlantılıdır. U bölgesndek her p sonsuza erşm br kanal belrler. Brm dskn dışındak orjn merkezl her çember her mmedate havzanın her kanalı le kesşr [6].

Kanalların Geometrs Brm dskn dışında Newton metodu hemen hemen lneer davranır. İmmedate havzanın bast bağlantılı oluşu ve brm dskn dışının kanalları oluşturmasından dolayı kanallar halkalara konformal homomorfktr. Dolayısıyla çevre uzunluğu c yükseklğ h olan slndre konformal homomorftur. Bu slndrde kenarları c ve h olan dkdörtgene konformal homomorftur. Bu dkdörtgenn modülü h c olur. Modül konformal dönüşümler altında değşmez olduğundan slndrnde modülü h c olur. Bu kısımda kanalların modülü çn br alt sınır verlecektr. Teorem 9: (Kanalların Modülü) Herhang br mmedate havzadak krtk nokta sayısı m se bu mmedate havzaya at kanalın modülü en az log( m ) olur. Her mmedate havzanın en az br kanalının modülü en az log d olur. Ayrıca her kanal polnomun derecesnden bağımsız olarak modülü en az log 3 olur [6]. Polnomun Bütün Köklern Bulmak İçn Kullanılan Yöntemler Verlen br polnomun bütün köklern bulmak çok önceye dayanan br problemdr. Bu problem çn tanıtılan bsecton, sekant, sabt nokta terasyonu, Newton metodu gb brçok yöntem kullanılmıştır. Bunların arasında en yaygını ve kullanışlı olan Newton metodudur. Sutherland ve Hubbard, Schlecher, Sutherland Newton metodunu kullanarak polnomun bütün köklern bulan yöntemler tanıtmışlardır. Sutherland ın yöntemnde kompleks düzlemde br çember üzerne eşt aralıklı olarak dağıtılan 3 4 d noktaya Newton metodu uygulanması le bütün köklere ulaşılır. Bu durumda kompleks düzleme 3 Od ( ) mertebesnde nokta dağılımı yapılır [7]. Hubbard, Schlecher, Sutherland ın yöntemnde kompleks düzlemde çemberler ales üzerne eşt aralıklı olarak dağıtılan, d(log d ) noktaya Newton metodu uygulanması le bütün köklere ulaşılır. Dolayısıyla kompleks düzleme O( d(log d ) ) mertebesnde nokta dağılımı yapılır. Ayrıca şayet kökler reel se bu sayı,3d olur. Hubbard, Schlecher, Sutherland metodunu oluştururken kanalların

modüllernn en az log d olmasını kullanarak her kanala en az br nokta düşürecek şeklde çemberler alesne nokta dağılımı yapmıştır [6]. 3

. İTERATİF YÖNTEM İLE POLİNOMUN BÜTÜN KÖKLERİNİ BULMA Bu bölümde Hubbard, Schlecher ve Sutherland ın tanıttığı yöntemde kullandığı argümanları daha farklı kullanarak polnomun bütün köklern bulmak çn kullanılablecek yen br teratf yöntem nşa edlecektr. Sutherland (989) ve Hubbard, Schlecher ve Sutherland ın () çalışmalarında tanıtılan k yöntem sırasıyla 3 4 d ve, d(log d ) noktayı kompleks düzleme eşt aralıklı dağıtarak, bu noktalara Newton metodun uygulanmasıyla bütün kökler bulmayı garantlyor [6]. Bu bölümde tanıtılacak yöntem teratf yöntem olup en y durumda d en kötü durumda üzerne eşt aralıklı olarak dağıtımı le bütün köklere ulaşmayı garantlyor. log d d noktayı brm çembern Bu yöntemde amaç öncek bölümde elde edlen kanalların modüllernn en az olmasını kullanarak polnomun bütün köklerne Newton metodu le ulaşmaktır. İlk olarak kompleks düzlemde brm çembere eşt aralıklı noktalar dağıtılır. Bu noktaların farklı köklern mmedate çekc havzasına düşmeler stenen durumdur. Bu durumda bu noktalara Newton metodu uygulanarak bütün köklere ulaşılır. Ancak noktalar çekc havzaya düşmezse veya bazı köklern çekc havzasına nokta düşmemes durumunda bütün kökler bulunamayacaktır. Bu durumda döndürme şlem le bütün köklern mmedate çekc havzasına en az br nokta düşmes sağlanır. Dolayısıyla çekc havzaya düşen noktalara Newton metodu uygulayarak bütün kökler bulmak mümkün olur. Bu bölümde bütün köklern brm dskn çnde bulunduğu farz edlecektr. Kökler brm dskn dışında olursa afne dönüşümü le bütün kökler brm dskn çne toplanablr, üstelk bu dönüşüm altında Newton metodun dnamğ değşmez [6]. Polnomun dereces d olsun bu durumda brm çembern üzerne d nokta aralarında eşt uzaklık olacak şeklde brm dsk üzerne dağıtılır. 4

Şekl 7: d noktanın brm dsk üzerne eşt aralıklı dağıtılması Şekl 7 da görüldüğü gb,,... d noktaları aralarında eşt uzaklık ve açı olacak şeklde brm çember üzerne dağıtılır. Burada aralarındak açı olacaktır. d Yarıçapı ve d olan çemberler arasındak halka göz önüne alınırsa noktaların dağıtılmasıyla halka Şekl 7 da gösterlen eş bölgeler dkdörtgene konformal homomorfktr. D,,,, d bölgelerne bölünür. Bu Bu yönteme göre en y durumda lk dağıtılan noktalarının heps farklı köklern mmedate çekc havzaya düşer. Bu noktalara Newton metodu uygulanması le polnomun bütün kökler bulunur. Dolayısıyla en y durumda d nokta le bütün köklere ulaşılır yan en y durumda bu yöntem Od ( ) asmptotk mertebesndedr. Dağıtılan noktalarının Newton terasyonu le bütün köklere ulaşılamaz se dönme şlem yapılır. y noktası çn dönme şlem matrs gösterm le yazılablr. Saat yönünün tersnde açısı kadar yapılan dönmenn matrs gösterm 5

cos sn cos ysn y sn cos y sn y cos şeklndedr [38]. Dağıtılan lk noktaların konumları ve yapılacak dönme şlemnn yönü terasyon sayısını etkleyeblr. D bölgeler eş parçalar olduğundan modüller eşttr [35]. hesaplamak çn D bölgesnn modülünü D bölgesndek eğr ales olarak k çember brleştren eğrler alınır. bölgeler brbrne eş ve ayrık olduğundan modüller aşağıdak şeklde bulunur. p uzunluğunun tanımından dolayı aşağıdak (.) ve (.) eştszlkler sağlanır. D r pdr Lp( D, ) (.) r d r pdrd Lp( D, ) (.) d r r L D p rdrd 4 (, ) log p d d r A ( D) md (, ) L D d d p p(, ) log elde edlr. Ters yönü göstermek çn p alınırsa r r r p(, ) log log r r r L D dr d d r d r r log d Ap ( D) p rdrd drd log r d r d md (, ) dlog d bulunur. Buradan md (, ) dlog d r r 6

elde edlr [34]. Newton metodunda köklere yakınsayan her mmedate havzanın en az br kanalının modülü en az log d olabldğ. bölümde gösterlmştr [6]. Düzleme dağıtılmış d nokta le oluşturulan D dörtgenlernn modülünün dlog d olduğu yukarıda spatlanmıştır. Her D bölges modülü log d olacak şeklde alt dörtgen parçalara bölünür. Noktalar bu alt dörtgenlere br nokta düşecek şeklde dağıtılmalıdır. Bu durumda bütün köklern mmedate çekc havzasına en az br nokta gelr. Dolayısıyla bu noktalara Newton metodu uygulanması le bütün kökler kesn olarak bulunur. d çn olduğundan dolayı dağıtılan k nokta arasında brden fazla kanal olablr. d log d log d Amaç D dörtgensel bölgelern modülü log d olan parçalara bölmektr. Oluşan parçalara brer nokta dağıtılırsa modülü en az log d olan kanallara da en az brer nokta düşürülmüş olur. D dörtgensel bölgesn parçalamak çn her noktaları çn dönme dönüşümü yapılmalıdır. Dönme sonucu k çember arasında şekl 8 de gösterlen yen j,... k dörtgenler oluşacaktır. Burada k yapılacak dönme sayısıdır. Oluşan yen j D dörtgen bölgenn modülü log d olmalıdır. Bu şeklde j D dörtgenler le her kanalın kesşm boş kümeden farklı olur böylece her kanala en az br nokta düşmes sağlanır. Bu noktalara Newton metodu uygulanmasıyla bütün kökler bulunur. 7

Şekl 8: noktasının dönme şlem ve oluşan yen D Bölgesndek eğr alelernn modülü uzunlukları ve şeklde dlog d j D bölges olduğundan D bölges kenar dlog d olan dkdörtgenne konformal homomorfktr. Benzer j D dörtgen, kenar uzunlukları ve log d olan dkdörtgenne konformal homomorfktr [3]. Dolayısıyla dönme şlem le dkdörtgen dkdörtgenler le örtülür. Yapılan dönme veya terasyon sayısı k olsun. Bu durumda M dkdörtgenlernn modüllernn çarpmaya göre terslernn toplamı K dkdörtgennn modülüne eşt olur. Böylece D bölges, modüller log d olan alt ayrık j D dörtgenler le örtülür. İterasyon sayısı j log d d log d ( D, ) k 8

d k şeklnde bulunur. Her terasyondak dönme açısı, eğer d çft se d d 4 k d d şeklnde, eğer d tek se d k şeklnde alınmalıdır. Bu durumda dönme açısı d d d 4 k d d şeklnde bulunur. Sonuç olarak öncelkle düzleme d nokta düzgün olarak dağıtılıyor. Bu noktaların yakınsaklık durumu Newton metodu le kontrol edlr. Bütün köklere ulaşıncaya kadar bu noktalara açısı kadar dönme yaptırılır. Her dönme şlemnn ardından yen noktalara tekrar Newton metodu uygulanır. Bütün köklern mmedate havzasına en az br nokta düşünceye kadar dönme terasyonu yapılır. Immedate havzaya düşen noktalara Newton metodu uygulanarak bütün kökler bulunur. En kötü durumda lk dağıtılan k nokta arasını tamamen kapatacak şeklde dönme yapılır. Dolayısıyla düzleme toplam kd kadar nokta dağıtılır. Toplam nokta sayısı olarak bulunur. d kd Bu yöntem le en y durumda d nokta yan Od ( ) mertebesnde en kötü durumda se d yan Od ( ) mertebesnde nokta dağıtılır. Bu yöntem katlı kök olması durumunda kullanışlı olmayacaktır. Çünkü d dereceden br polnomun köklern araştırırken d adet farklı kök aranacaktır. Ancak herhang br kökün katlı olması durumunda d den az sayıda farklı kök olacaktır. İterasyon 9

yaparken d adet farklı kök bulmaya çalışılacaktır. Dolayısıyla olmayan br kökü bulmak çn gereksz yere noktaları döndürme şlem yapılacaktır. Bunu önlemek çn bulunan her kökün katlı kök olup olmadığı şayet katlı se kaç katlı kök olduğunun ncelenmes katlı kök olması durumunda da yöntem elverşl hale getrecektr.. Uygulamalar Bu bölümde yukarıda tanıtılan metodu kullanarak örneklerde verlen polnomların köklerne ulaşılacaktır. Örnekler seçlrken köklern brm dskn çnde bulunduğu polnomlar dkkate alındığından kökler brm dskn çne toplamak çn br affne dönüşümü uygulanmasına gerek duyulmamıştır. Örnek: Aşağıda tanımlanan 5.dereceden Pz () polnomunun köklern yukarıda tanımlanan yöntem le bulmak çn; P( z) z z (, 3, 3 ),z 5 4 3 z (,7, 8 ) z(,9, 75 ),3,7 Şekl 9: 5. Derece Pz () polnomunun Newton grafğ [39] Polnomun dereces d 5 olduğundan düzleme öncelkle 5 nokta eşt aralıklı olarak dağıtılacaktır. Dolayısıyla her nokta arası açı 7 olur. Bu çalışmada d 5 3

noktaların dağıtımına noktası le başlanmıştır. Daha farklı başlangıç noktası da seçleblr. Ancak bu durumda terasyon sayısı değşeblr. Bu noktalar şeklnde alınsın. 3 4 5 (sn 7 cos7 ) (sn44 cos44 ) (sn 6 cos 6 ) (sn 88 cos 88 ) Pz () polnomuna Newton metodu uygulanırsa 5 4 3 z z z z (, 3, 3 ), (,7, 8 ) P( z) z(,9, 75 ),3,7 N( z) z z P( z) 5z 4 z (, 3, 3 ),36z 4 3 z(,7, 8 ),9, 75 elde edlr. Her noktası Newton metodunda yerne konulursa yakınsadığı kökler aşağıda verlmştr. N( ),9399,49898 (sn 7 cos7 ) N( ),36637,78655 (sn44 cos44 ) N( ),36637,78655 (sn 6 cos 6 ) N( ),36637,78655 (sn 88 cos 88 ) N( ),6497,449776 5 5 İlk dağıtılan 5 nokta le,9399, 49898,,36637,78655 ve,6497, 449776 köklerne ulaşıldı. Dğer k köke de ulaşablmek çn döndürme şlemnn yapılması gerekr. d k 3 ve noktaları arasında 3 dönme şlem yapılmalıdır. ve arasındak açı 7 o dr. Aralarında 3 dönme yapılacağından dönme açısı 4 o olur. İlk terasyon sonucu 3

(sn 336 cos336 ) N( ),36637,78655 (sn 48 cos 48 ) N( ),444,645343 (sn cos ) N( ),9399,49898 (sn9 cos9 ) N( ),444,645343 (sn 64 cos 64 ) N( ),9399,49898 5 5 noktaları elde edlr. Bu terasyonda br öncek terasyona ek olarak,444,645343 köküne ulaşılmış olur. Bütün kökler bulunamadığından noktaları tekrar saat ters yönde 4 o le döndürülür. İknc terasyon da elde edlen noktalar (sn 3 cos3 ) N( ),444,645343 (sn 4 cos 4 ) N( ),6497,449776 (sn 96 cos96 ) N( ),78947,5993 (sn68 cos68 ) N( ),9399,49898 (sn 4 cos 4 ) N( ),78947,5993 5 5 şeklndedr. Bu terasyonda 3 noktası le,78947,5993 kökü de bulunarak polnomun bütün kökler bulunmuş olur. Bu örnekte toplam 3 nokta le Pz () polnomunun bütün köklerne ulaşılır. Pz () polnomunun gerçek kökler,444,645343,,78947,5993,,6497, 449776,,9399,49898,,36637,78655 şeklndedr. Köklern, üçüne dağıtılan lk noktalar le brne lk terasyon da kalan son köke de knc terasyon da ulaşıldı. Dğer yöntemler le karşılaştırma yapılırsa Sutherland 3 4 d nokta yan 7,58 8 noktayı çembere eşt aralıklı olarak dağıtarak bütün kökler bulunur. Hubbard, Schlecher, Sutherland ın metodunda, d(log d ) nokta yan 4,4 5 nokta dağıtılarak bütün kökler bulunur. Bu çalışmada tanıtılan metot bu örnekte 3 noktayı brm çembere dağıtarak bütün köklere ulaşıldı. Görüldüğü üzere bu çalışmada tanıtılan metot bu örnekte dğer k yönteme göre daha az nokta le bütün köklere ulaşmıştır. Aşağıdak örnekte yüksek dereceden polnomlar çn bu metot kullanılacaktır. Örnek : Aşağıda tanımlanan 3.dereceden Pz () polnomunun köklern yukarıda tanımlanan yöntem le bulmak çn; 3

P z z z z z 3 4 6 ( ),6 (,4, ) (,, ),4 Şekl : 3. Derece Pz () polnomunun Newton grafğ Polnomun dereces d 3 olduğundan düzleme öncelkle 3 nokta eşt aralıklı olarak dağıtılacaktır. Dolayısıyla her nokta arası açı olur. Bu noktalar d 3 şeklnde belrlensn. (sn cos ) 3 4 5......... 9 3 (sn cos ) (sn 4 cos 4 ) (sn 36 cos36 ) (sn 48 cos 48 ) (sn 336 cos336 ) (sn 348 cos348 ) Pz () polnomuna Newton metodu uygulanırsa 33

elde edlr. Her aşağıda verlmştr. P z z z z z N() z z z P z z z z z 3 4 6 ( ),6 (,4, ) (,, ),4 9 3 5 ( ) 3 8,4 (,4, ) (,,4 ) noktası Newton metodunda yerne konulursa yakınsadığı noktalar (sn cos ) N( ),895584, 488 (sn cos ) N( ), 4657, 7854 (sn 4 cos 4 ) N( ),86684,3876 (sn 36 cos 36 ) N( ),895584, 488 5 (sn 48 cos 48 ) N( 5 ),9763, 4895 (sn 6 cos 6 ) N( ), 83657,94569 6 6 (sn 7 cos 7 ) N( ),37,85938 7 7 (sn 84 cos84 ) N( ),5977,9987 8 8 (sn 96 cos 96 ) N( ),96374,958 9 9 (sn8 cos8 ) N( ),895584, 488 (sn cos ) N( ),59474, 7577 (sn3 co3 ) N( ),68,9853 (sn44 cos44 ) N( ), 4657, 7854 3 3 4 (sn 4 56 cos56 ) N( ),86684,3876 (sn68 cos68 ) N( ),9763, 4895 5 5 (sn8 cos8 ) N( ),8784,59587 6 6 (sn9 cos9 ) N( ), 83657,94569 7 7 8 (sn 4 cos 4 ) N( 8 ),5977,9987 (sn 6 cos 6 ) N( ), 4657, 7854 9 9 (sn 8 cos 8 ) N( ),96374,958 (sn 4 cos 4 ) N( ),9763, 4895 (sn 5 cos 5 ) N( ),59474,7577 (sn 64 cos 64 ) N( ),68,9853 (sn 76 cos 76 ) N( ), 4657, 7854 (sn 88 cos 88 ) N( ), 83657,94569 5 5 6 (sn 3 cos3 ) N( 6 ),9763, 4895 (sn 3 cos 3 ) N( ),8784,59587 7 7 (sn 34 cos 34 ) N( ),96374,958 8 8 (sn 336 cos 336 ) N( ),5977,9987 9 9 (sn 348 cos 348 ) N( ),5969,779 3 3 34

Görüldüğü üzere dağıtılan her nokta çekc havzaya düştü dolayısıyla Newton metodu le br köke yakınsadı. İlk dağıtılan 3 nokta le,895584,488,4657,7854,86684,3876,9763,4895,83657,94569,37,85938,5977,9987,96374,958,895584,488,59474, 7577,68,9853,8784,59587, 4657, 7854,9763, 4895,5969, 779 olmak üzere polnomun 5 farklı köküne ulaşıldı. Dğer köklere de ulaşablmek çn döndürme şlemnn yapılması gerekr. d k 5 ve noktaları arasında en fazla 5 dönme şlem yapılmalıdır. ve arasındak açı o olur. Aralarında 5 dönme yapılacağından dönme açısı,8 o olur. İlk dönme şlem ve elde edlen yen noktaların Newton metoduna göre yakınsadığı kökler 35

(sn 359, cos 359, ) N( ),37,85938 (sn, cos, ) N( ),96374,958 (sn 3, cos 3, ) N( ),895584, 488 (sn 35, cos35, ) N( ),59474,7577 (sn 47, cos 47, ) N( ),68,9853 5 5 (sn 59, cos59, ) N( ),4657,7854 6 6 (sn 7, cos 7, ) N( ),9763,4895 7 7 (sn 83, cos83, ) N( ),9763,4895 8 8 (sn 96, cos 95, ) N( ),86684,3876 9 9 (sn7, cos7, ) N( ),68,9853 (sn9, cos9, ) N( ),5977,9987 (sn3, co3, ) N( ),37,85938 (sn43, cos43, ) N( ),96374,958 3 3 (sn55, cos55, ) N( ),9763,4895 4 4 (sn67, cos67, ) N( ),59474, 7577 5 5 6 (sn79, cos79, ) N( ),68,9853 (sn9, cos9, ) N( ),5969, 779 7 7 (sn 3, cos 3, ) N( ),99877,8789 8 8 (sn 5, cos 5, ) N( ),9763, 4895 9 9 (sn 7, cos 7, ) N( ),59474, 7577 (sn 39, cos 39, ) N( ),37,85938 (sn 5, cos 5, ) N( ),5977,9987 3 (sn 63, cos 63, ) N( 3),5969,779 (sn 75, cos 75, ) N( ), 4657, 7854 (sn 87, cos 87, ) N( ),9763,4895 5 5 (sn 99, cos 99, ) N( ),59474, 7577 6 6 7 (sn 3, cos 3, ) N( ),563,863 (sn 33, cos 33, ) N( ),37,85938 8 8 (sn 335, cos335, ) N( ),8778,58758 9 9 (sn 347, cos 347, ) N( ),9763,4895 3 3 şeklndedr. Bu terasyonda br öncek terasyona ek olarak 6 7 36

,37,85938,96374,958,59474, 7577,68,9853,86684,3876,8778,58758,5977,9987,99877,8789,5969, 779,563,863 olmak üzere farklı köke daha ulaşılmış olur. Henüz bütün köklere ulaşılamadığı çn br dönme şlem daha yapılmalıdır. İknc terasyon da yan yapılan dönme şlem sonucu elde edlen noktalar ve onların Newton metoduna göre yakınsadığı kökler 37

(sn 358,4 cos358,4 ) N( ),83657,94569 (sn, 4 cos, 4 ) N( ),8784,59587 (sn, 4 cos, 4 ) N( ),9763, 4895 (sn 34, 4 cos 34, 4 ) N( ),5977,9987 (sn 46, 4 cos 46, 4 ) N( ),5969, 779 5 5 (sn 58, 4 cos 58, 4 ) N( ),9763, 4895 6 6 (sn 7, 4 cos 7, 4 ) N( ),5977,9987 7 7 (sn 8, 4 cos8, 4 ) N( ),59474, 7577 8 8 (sn 94, 4 cos 94, 4 ) N( ),68,9853 9 9 (sn6, 4 cos6, 4 ) N( ),37,85938 (sn8,4 cos8,4 ) N( ),8778,58758 (sn3,4 cos3,4 ) N( ),9763, 4895 (sn4, 4 cos4, 4 ) N( ),86684,3876 3 3 (sn54,4 cos54,4 ) N( ),8784,59587 4 4 (sn66, 4 cos66, 4 ) N( ),5977,9987 5 5 6 (sn78, 4 cos78, 4 ) N( ),5969, 779 (sn9, 4 cos9, 4 ) N( ),68,9853 7 7 (sn, 4 cos, 4 ) N( ),99877,8789 8 8 (sn 4, 4 cos 4, 4 ) N( ),59474, 7577 9 9 (sn 6, 4 cos 6, 4 ) N( ),895584, 488 (sn 38, 4 cos 38, 4 ) N( ),37,85938 (sn 5,4 cos 5,4 ) N( ),8778,58758 (sn 6,4 cos 6,4 ) N( ),9763, 4895 (sn 74, 4 cos 74, 4 ) N( ),895584, 488 (sn 86, 4 cos 86, 4 ) N( ),563,863 5 5 (sn 98, 4 cos 98, 4 ) N( ), 4657, 7854 6 6 7 (sn 3,4 cos 3, 4 ) N( ),5969, 779 (sn 3, 4 cos 3, 4 ) N( ),86684,3876 8 8 (sn 334, 4 cos 334, 4 ) N( ),99877,8789 9 9 (sn 346, 4 cos 346, 4 ) N( ), 83657,94569 3 3 şeklndedr. Bu terasyonda, ve 9 noktaları le Pz () polnomunun, 83657,94569,8778,58758,99877,8789 olmak üzere üç farklı kökü daha bulunmuş olur. Bulunamayan kökler olduğundan terasyona devam edlmeldr. 6 7 38

(sn 357, 6 cos 357, 6 ) N( ), 4657, 7854 (sn 9, 6 cos 9, 6 ) N( ),68,9853 (sn, 6 cos, 6 ) N( ),37,85938 (sn 33, 6 cos 33, 6 ) N( ),8778,58758 (sn 45, 6 cos 45, 6 ) N( ),9763, 4895 5 5 (sn 57, 6 cos 57, 6 ) N( ),895584, 488 6 6 (sn 69,6 cos 69,6 ) N( ),563,863 7 7 (sn 8,6 cos8,6 ) N( ),4657,7854 8 8 (sn 93, 6 cos 93, 6 ) N( ),5969, 779 9 9 (sn5, 6 cos5, 6 ) N( ),86684,3876 (sn7, 6 cos7, 6 ) N( ),99877,8789 (sn9,6 cos9,6 ) N( ),59474, 7577 (sn4, 6 cos4, 6 ) N( ), 83657,94569 3 3 (sn53, 6 cos53, 6 ) N( ),37,85938 4 4 (sn65, 6 cos65, 6 ) N( ),8778,58758 5 5 3 6 3 (sn77, 6 cos77, 6 ) N( ),9763, 4895 (sn89, 6 cos89, 6 ) N( ),895584, 488 7 7 (sn,6 cos,6 ) N( ),563,863 8 8 (sn 3, 6 cos 3, 6 ) N( ), 4657, 7854 9 9 (sn 5, 4 cos 5, 6 ) N( ),68,9853 (sn 37, 6 cos 37, 6 ) N( ),86684,3876 (sn 49,6 cos 49,6 ) N( ),99877,8789 (sn 6,6 cos 6,6 ) N( ),9763, 4895 (sn 73, 6 cos 73, 6 ) N( ), 83657,94569 (sn 85, 6 cos 85, 6 ) N( ),37,85938 5 5 (sn 97, 6 cos 97, 6 ) N( ),59474, 7577 6 6 3 7 3 (sn 39,6 cos 39, 6 ) N( ),96374,958 (sn 3, 6 cos 3, 6 ) N( ),895584, 488 8 8 (sn 333, 6 cos 333, 6 ) N( ),563,863 9 9 (sn 345, 6 cos 345, 6 ) N( ),563,863 3 3 3 Bu terasyonda,563,863 kökü noktası yardımıyla bulunur. Noktalar tekrar döndürülmeldr. Çünkü bütün köklere ulaşılamadı. 6 7 7 39

(sn 356,8 cos 356,8 ) N( ),96374,958 (sn 8,8 cos8,8 ) N( ),5969, 779 (sn,8 cos,8 ) N( ),86684,3876 (sn 3,8 cos 3,8 ) N( ),99877,8789 (sn 44,8 cos 44,8 ) N( ),59474, 7577 5 5 (sn 56,8 cos 56,8 ) N( ), 83657,94569 6 6 (sn 68,8 cos 68,8 ) N( ),37,85938 7 7 (sn 8,8 cos8,8 ) N( ),9763, 4895 8 8 (sn 9,8 cos 9,8 ) N( ),895584, 488 9 9 (sn4,8 cos4,8 ) N( ),895584, 488 (sn6,8 cos6,8 ) N( ),563,863 (sn8,8 cos8,8 ) N( 3 3 4 4 5 5 4 6 ),99877,8789 (sn4,8 cos4,8 ) N( ), 4657, 7854 (sn5,8 cos5,8 ) N( ),86684,3876 (sn64,8 cos64,8 ) N( ), 4657, 7854 4 (sn76,8 cos76,8 ) N( ), 83657,94569 (sn88,8 cos88,8 ) N( ), 83657,94569 7 7 (sn,8 cos,8 ) N( ),37,85938 8 8 (sn,8 cos,8 ) N( ), 4657, 7854 9 9 (sn 4,8 cos 4,8 ) N( ),96374,958 (sn 36,8 cos 36,8 ) N( ),895584, 488 (sn 48,8 cos 48,8 ) N( ),59474, 7577 (sn 6,8 cos 6,8 ) N( ),68,9853 (sn 7,8 cos 7,8 ) N( ), 4657, 7854 (sn 84,8 cos 84,8 ) N( ),86684,3876 5 5 (sn 96,8 cos 96,8 ) N( ),9763, 4895 6 6 4 7 4 (sn 38,8 cos38,8 ) N( ),8784,59587 (sn 3,8 cos 3,8 ) N( ), 83657,94569 8 8 (sn 33,8 cos 33,8 ) N( ),37,85938 9 9 (sn 344,8 cos 344,8 ) N( ), 4657, 7854 3 3 4 6 noktası le,8784,59587 kökü bulunur. Bu durumda polnomun bütün kökler bulunmuş olur. Toplam 46 nokta le Pz () polnomunun bütün köklerne ulaşılır. 6 7 Pz () polnomunun gerçek kökler 4

,5977,9987,5977,9987,68,9853 3, 83657,94569,37,85938, 4657, 7854 4 5 6, 4657, 7854,5969, 779,5969, 779 7 8 9,59474, 7577,8784,59587,86684,3876,86684,3876,895584, 488,895584, 488 3 4 5,9763,4895,9763,4895 6 7 8 9 3 4,96374,958,99877,8789,68,9853,83657,94569,37,85938,563,863,563,863 5,59474, 7577 6,8784,59587 7,8778,58758,96374,958,8778,58758,99877,8789 8 9 3 şeklnde olup bu yöntem le lk dağıtılan 3 noktayı her terasyonda,8 lk açılarla dört defa döndürerek bütün kökler bulunablyor. Dağıtılan lk noktalar le 5 kök, lk terasyonda kalan kök, knc terasyonda 3 kök, üçüncü terasyonda ve dördüncü terasyondada farklı kökün mmedate havzane en az brer nokta düşürülerek polnomun bütün köklerne ulaşıldı. Dğer yöntemler le karşılaştırma yapılırsa Sutherland 3 4 d nokta yan 45, 435 46 noktayı çembere eşt aralıklı olarak dağıtarak bütün kökler bulunur. Schlecher ın metodunda, d(log d ) nokta yan 38,784 38 nokta dağıtılarak bütün kökler bulunur. Bu çalışmada tanıtılan metot bu örnekte 46 nokta brm çembere dağıtarak bütün köklere ulaşıldı. Görüldüğü üzere bu çalışmada tanıtılan metot yüksek derece polnomda da dğer k yönteme göre çok daha az nokta le bütün köklere ulaşmıştır. Örnek 3: Aşağıda tanımlanan 7.dereceden Pz () polnomunun köklern yukarıda tanımlanan yöntem le bulmak çn; P( z) z (, 9, 44 ) z (,6675,3895 ) z (,6,75675 ) z 7 6 5 4 (,8779,55875 ) z (,38389,7999 ) z 3 (,73866,84446 ) z (,3376,5373 ) 4

Şekl 9: 7. Derece Pz () polnomunun Newton grafğ Polnomun dereces d 7 olduğundan düzleme öncelkle 7 nokta eşt aralıklı olarak dağıtılacaktır. Dolayısıyla her nokta arası açı 5,4 olur. Bu noktalar d 7 şeklnde belrlensn. (sn cos ) 3 4 5 6 7 (sn 5,4 cos5,4 ) (sn,84 cos,84 ) (sn54,6 cos54,6 ) (sn 5,68 cos 5,68 ) (sn 57, cos 57, ) (sn 38,5 cos 38,5 ) Pz () polnomuna Newton metodu uygulanırsa 4