POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x + a x +... + a x + poliomu kısaca P x = a0 + a x + ax + a x +... + ax dir. Yai, Buradaki P x ile gösterilir. a,a x,a x,a x,...,a x 0 ifadeleri poliomu terimleri, a 0,a,a,...,a gerçel sayılarıa poliomu katsayıları deir. doğal sayısıa a terimii derecesi deir. x Derecesi e büyük ola terimi derecesie, poliomu derecesi deir ve der P( x ) biçimide yazılır. Derecesi e büyük ola terimi katsayısıa, baş katsayı deir. Değişkee bağlı olmaya terime de sabit terim deir. Not: R Reel katsayılı poliomları kümesi [ x] Q Rasyoel katsayılı poliomları kümesi [ x] Z Tam katsayılı poliomları kümesi [ x] Soru: P(x) = x 5x + + 7x poliomuu, a) Derecesii, ( der P ( x ) = ) b) Baş katsayısıı, (-5) c) Sabit terimii yazıız. ( ) Soru: Aşağıdaki tabloyu verile öreklerde yararlaarak dolduruuz. Foksiyo Poliom mu? ( E / H ) Poliomu Derecesi Poliomu Baş Katsayısı Poliomu Sabit Terimi Poliomu Katsayılar Toplamı f ( x) = 8x + x 0, E 8 0, 7,8 + f ( x) = x x + 5 4 f ( x ) = 0 f ( x ) = f ( x) = x + 5x + H - - - - 5 f ( x) = 7 + x = + + f x x x
Uyarı: Z Q R olduğuda Z[ ] Q x [ x] R [ x] dir. Bular gibi Z, Z, Q... kümeleri de yazılabilir. 5 Soru: Q kümesii buluuz. 5 5 { a0 a 5 a 5 a 5... a 5 : ve a0, a, a,..., a } Q = + + + + + N Q TANIMLAR: P(x) = a + + poliomuda, 0 ax + a x + a x +... a x. 0 a 0 ve a a a... a a 0 = = = = = = ise Sabit poliomu derecesi sıfırdır. P x poliomua sabit poliom deir.. a a = a = a =... = a = a 0 = ise 0 = Sıfır poliomuu derecesi yoktur ( taımsızdır). P x poliomua sıfır poliomu deir. Soru: Aşağıdaki ifadelerde hagileri taımlı oldukları kümelerde bir poliomdur? Poliom olaları derecesi, baş katsayısı ve sabit terimi edir? P x = x + x R 7 5 P ( y) = y y ; Q y 7 y P ( a) = 5 a ; Z a 5 a) 5.. 6 ; [ x] b) [ ] c) [ ] P = 5 ; Z d) 4 e) P ( 5 t ) = ; R [ t] P( x) = m x + 4 x poliomu sabit poliom ise m + =? Soru: Çözüm : Sabit poliom olabilmesi içi 0 m =, = 4 m + = buluur. m = ve ( ) + 4 = 0 olmalıdır. Burada
Soru: b + P( x) = a. x. x c + poliomu sıfır poliomu ise a + b c =? Soru: 4 m P x = 5x x + 4 ifadesii bir poliom olabilmesi içi m i alabileceği pozitif tamsayı değerlerii toplamıı buluuz? Soru: P ( x, y) = x y xy + 5y x ise, Çözüm: P, =? P ( x, y) iki değişkeli reel katsayılı bir poliomdur. x = ve y = içi (, ). ( ).. ( ). 5. ( ) P = + de P (, ) = 9 buluur. Soru: Aşağıdakilerde hagisi bir poliom değildir? 5 a. P( x) = x + x + 6 b. K x = d. H( x) x ( x) 4 c. Q x y = x y+ xy xy+, 6 7 6 = 5 + 8 e. R( x) = x + x x Soru: 4 P ( x) = x a + 5x a poliomuu derecesi e fazla kaç olabilir? Çözüm : 4 P ( x) = x a + 5x a ifadesii bir poliom belirtmesi içi 4 N ve a N olmalıdır. a + 4 N a = { 0,, 6,} değerlerii alabilir. a + a N a olmalıdır. Her iki kümei kesişimide a = 6 a = olur.
4 Burada da 0 a = P x = x 5x der P x = 0 a = 6 P x = x 5x der P x = 0 der P x =. N içi kaç olur? (4) 4 4.. 6 Alıştırmalar P x = x + x + x + bir poliomdur. Bua göre bu poliomu derecesi e çok P x, y = x y + x y xy + 4 poliomuu derecesi kaçtır? (6). 4. Aşağıda verile bağıtıları poliom olup olmadıklarıı irdeleyiiz. = + + (H) a. P ( x) = x + 5x (E) b. Q( x) x x 4 c. R ( x ) = 5 (E) d. K ( x) x T x = x + x + (H) e. = + + 5 (H) x 4. P ( x) = ( a ) x + ( b + ) x + a. b + poliomu sabit poliom olduğua göre, P 5 =? (-) İKİ POLİNOMUN EŞİTLİĞİ Dereceleri ayı ve ayı dereceli terimlerii katsayıları eşit ola iki polioma eşit poliomlar deir. Karşıt olarak ta, iki poliom birbirie eşit ise dereceleri ayı ve ayı dereceli terimlerii katsayıları eşittir. = + + + + + ve P x a0 a x ax a x... ax Poliomları içi 0 0 Q x = b0 + b x + b x + b x +... + b x P x = Q x a = b, a = b, a = b, a = b... a = b dir.
5 Soru: P( x) =. x + x + c. x + ve = Q( x) ise a + b + c + d =? P x Q( x) = a. x b. x +. x d poliomları veriliyor. Çözüm : Q( x) P x = ise, =. + +. + =.. +. P x x x c x Q x a x b x x d = a ( b ). c = c = = b = 0 = d d = 6 Soru: P ( x) = ( a + ) x + bx + ( c ) x + ve a + b + c + d =? Q x = x + x + d poliomları eşit ise, 5x A B Soru: = + x x x + eşitliğideki A ve B değerlerii buluuz. BİR POLİNOMUN BİR GERÇEL SAYI İÇİN ALDIĞI DEĞERLER Bir P ( x ) poliomuda, a R olmak üzere x = a içi P ( x) i aldığı değer P ( a ) dır. Soru: 5 4 P( x) = x x. x + 40 poliomuu, x = içi aldığı değeri buluuz. Çözüm: 5 4 x = P =. + 40 ise, P ( ) = 0 olarak buluur.
6 Soru: 6 5 = + ise P x x x P x + =? Soru: Bir P ( x ) poliomu içi Çözüm: ( ) 4 + = + ise? P x x x P x = = x + dersek, Q ( x) = x ( Q ( x) Q x ifadesi Q( x)' i tersidir.) P ( x + ) poliomuda x yerie ( ) ( ) x yazarsak, P x + = x. x + 4 de P x = x 5x + 8 olarak buluur. Soru: Aşağıda verile poliomları katsayılar toplamıı ve sabit terimlerii buluuz. 6 7 5 4 P x 9 = x 7x + 9x + 5 P x + = x 8x + 4 P x = x + 6x 9 Soru: P ( x) = x + x + poliomu içi P ( 0) ve ( ) poliomu sabit terimi ve katsayılar toplamı ile karşılaştırıız. P değerlerii buluuz. Bu değerleri Souç: Bir P ( x ) poliomuda; Sabit terimi bulmak içi P ( 0) değeri, Katsayılar toplamıı bulmak içi P ( ) değeri buluur. Soru: P ( x ) + P( x) = x x veriliyor. terimii buluuz. Soru : P ( x ) = x + 4x 5 olmak üzere, ( ) Çözüm : P x poliomuu katsayılar toplamı 5 ise, sabit P x + poliomuu sabit terimii buluuz. P ( x + ) poliomuu sabit terimi istediğide P ( x + ) poliomuda x yerie sıfır yazılarak, ( ) P buluur.
7 Yai bizde istee P ( ) dir. Bua göre P ( x ) poliomuda P ( ) x = x = yazılmalı i bulmak içi P ( x ) poliomuda burada da istee cevap x = P = 5 olur. Uyarı: Bir poliomda değişkeleri yerie sıfır yazarsak o poliomu sabit terimii buluruz. Ayı şekilde verile bir poliomu katsayılar toplamıı bulmak içi o poliomda x yerie yazmamız yeterli olacaktır. Soru : P ( x) ( x 4x kx 5) = + + poliomuu katsayılar toplamı 64 ise, k =? (4) Soru : P ( x + ) = x ( a + ) x + a poliomu veriliyor. ise, sabit terimi kaçtır? (7) P x poliomuu katsayılar toplamı Soru: P ( x + ) = 9x 6x + ise, P ( x ) =? Soru: P ( x + ) = x 4x + ise, P =? Soru: P ( x) + P( x) = 4x 7x 5 ise, P =? Soru: P x x x x P x = + = + ise,? Çözüm : = dersek, P ( x x) ( x x) x x a + = + de, a a P a + = a + olur. Burada Q a = a + Q a = a de
8 ( ) P a + =. a + ise, P a = a + 7 P x = x + 7 olarak buluur. Uyarı : Bir P ( x) Q( x) = eşitliğii her iki tarafıda da uygulamak şartı ile istediğimiz gibi değişke değiştirebiliriz. Uyarı : P ( x ) poliomuda çift dereceli terimleri katsayıları toplamı; P P Ç T ( ) + P( ) P =, ( ) P ( ) P = olduğua dikkat ediiz. P x = a0 + a x + ax + a x +... + ax olarak düşüüp verile değerleri yerie koyuuz.) ( Alıştırmalar. P ( x) = x x + ise, P x x x x. 6 4 P =? (7) = + + ise, P =? (5). P ( x, y) = x y xy + x y + ise, = + + + ise, P x x x x 4. P, =? () P =? () 5. P ( x) = x + ax + b poliomuda P ( ) = ve P ( ) = ise, P =? ()
9 6. P ( x + ) + Q( x ) = x olmak üzere, P ( ) = 4 ise, Q =? () P x + = x x + olduğua göre, 7. a. P ( ) =? () b. P ( 5 ) =? (7) P x = x 7x + ) c. P ( x ) =? ( P x = x 5x + 7 ) d. P ( x ) =? ( 8. P ( 4x ) = 6x 8x + 4 ise,? P x = ( x + ) 9. P ( x ) = 6x x + ise, P 5 =? () 0. + = + ise, P ( x ) =? ( P ( x) 5 P x x x x 4 = x ). P ( x) ( 4x x 7x ) 5 = + + poliomuu sabit terimi kaçtır? (). P ( x, y) ( x 5y 4) 5 = + poliomuu katsayılar toplamı kaçtır? (). P ( x ) = x x + a poliomu veriliyor. P ( x) ve P x + poliomlarıı katsayılar toplamıı buluuz. P x poliomuu sabit terimi 9 olduğua göre, 4. P ( x) = 4x 5x + ( k ) x + ve Q( x) ( m ) x ( t ) x x ( ) veriliyor. P ( x) Q( x) 5. = olduğua göre, m. t?. k = = + + + poliomları P x = x + 4x 5x poliomuu çift dereceli terimlerii katsayılar toplamı a, çift dereceli terimleri katsayıları toplamı b olduğua göre, a b =?
0 POLİNOMLARDA İŞLEMLER POLİNOMLARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA R [ x] de toplama işlemi [ x] [ x] ( P ( x), Q( x )) poliom ikilisie P ( x) Q( x) R R de R [ x] e bir foksiyodur. Bu foksiyo poliomu karşılık getirilir. P x = a0 + a x + ax + a x +... + a x m Q x = b0 + b x + b x + b x +... + b x +... + bm x olduğua göre m P( x) ± Q( x) = a ± b + a ± b. x + a ± b. x +... + a ± b. x +... + b. x dir. 0 0 Bua göre, P ( x) Q( x) poliomuu derecesi P ( x ) ve derecesi küçük olmaya poliomu derecesie eşittir. m Q x poliomlarıda Soru: 4 P( x) = x x x + 5 ve Q( x) = 4. x 5x x poliomları içi, a. P ( x) + Q ( x) b. P ( x) Q( x) c.. Q( x). P( x) poliomlarıı buluuz. Çözüm : a. P ( x) + Q( x) = x 4 + 4x + ( 5) x + ( ) x + ( 5 ) 4 P x + Q x = x + 4x 8x x + 4 buluur. b. P ( x) Q ( x) = x 4 4x + ( + 5) x + ( + ) x + ( 5 + ) 4 P x Q x = x 4x + x x + 6 buluur. c.. Q( x). P( x) = ( x 4 x x + 5 ) ( 4. x 5x x ) 4. Q( x). P( x) = ( x 6x 4x + 0 ) + ( x + 5x + x + ) 4. Q x. P x = x x + 9x x + buluur.
Uyarı: Toplam ve çıkarma işlemii soucuda elde edile poliomu derecesi, işleme gire poliomlarda büyük dereceli ola ile ayı derecelidir. POLİNOMLARDA ÇARPMA P ( x). Q( x ) poliomuu bulmak içi P ( x ) poliomuu her bir terimi her bir terimi ile ayrı ayrı çarpılır ve elde edile poliomlar toplaır. Q x poliomuu Soru: P ( x) = x x 5 ve Q x = x x poliomlarıı çarpımıı buluuz. Çözüm : 5 4 P x. Q x = x x 5. x x = x x 6x + x 0x + 5x 5 4 P x. Q x = x x 6x 7x + 5x elde edilir. Uyarı : Her ikisii derecesi sıfırda farklı ola iki poliomu çarpımıı derecesi buları dereceleri toplamıa eşittir. Soru: x a. x b ( x x ).( m. x ) + + = + ise a b =?. = 8 ise, Soru: P ( x ) ve Q ( x ) poliomları içi, der P( x). Q ( x ) = 5 ve der P ( x) Q( x) der Q( x ) =? Çözüm : der P( x) = a ve der Q( x) = b olsu. der P x. Q x = der P x + der Q x = a + b = 5
. = + =. + = a + b = 8 der P x Q x der P x der Q x der P x der Q x a + b = 8 = = = = a + b = 5 Burada a der P( x) ve b der Q( x) olarak buluur. POLİNOMLARDA BÖLME Taım: P ( x ), Q( x) R [ x] ve Q( x) 0 olmak üzere P ( x) poliomuu demek, P ( x) = Q( x). B( x) + K ( x) olacak biçimde R [ x] de bir B ( x ) poliomu ile dereceside küçük ola bir K ( x ) poliomu bulmak demektir. Q x poliomua bölmek Q x i P(x) : : K(x) Q(x) B(x) derp( x) derq ( x) olmak üzere, P ( x ) ve Q ( x ) poliomları içi, P ( x) = Q( x). B( x) + K ( x), derk ( x) < derq( x) ve derp( x) = derq( x) + derb ( x) koşullarıı sağlaya; P ( x ) poliomua bölüe Q ( x ) poliomua böle B ( x ) poliomua bölüm K ( x ) poliomua kala deir. Eğer K ( x ) = 0 ise P ( x ) poliomu, Q ( x ) poliomua tam bölüüyor deir. Bölmei Yapılışı Bölme işlemi yapılırke aşağıdaki sıraı izlemesi uygudur;. Bölüe ile böle, x i azala kuvvetlerie göre sıralaır.. Bölüei solda ilk terimi (e büyük üslü terim), bölei solda ilk terimie bölüür.. Elde edile bölüm, bölei bütü terimleri ile çarpılarak ayı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölüei altıa yazılır. 4. Bu çarpım bölüede çıkarılır. 5. Geri kala terimler farkı yaıa yazılır. 6.Bulua poliom içi yukarıdaki işlemler sıra ile uygulaır.
7. Kalaı derecesi, bölei dereceside küçük olaa kadar işleme devam edilir. Soru: = + poliomuu Q( x) P x x x x 0 7 = + x poliomua bölüüz. Çözüm : + x x x 0x 7 x x 4x 0x 7 4x 6x 4x 7 4x + 6 x +x B ( x) ( Bölüm Poliomu ) K ( x) ( Kala Poliomu ) Soru: P x x x 5 Q x = poliomuu = x poliomua bölüüz. Uyarı : P x der = der P ( x) der Q( x) Q x dir. Soru: Aşağıdaki tabloda verile boşlukları dolduruuz. Poliom der[p(x)] der[q(x)] P(x)+Q(x) P(x).Q(x) der[p(x)+q(x)] der[p(x). Q(x)] 7 5 = 5 + 7 + P x x x x 4 = + 5 Q x x x P( x) = ( x + x + ) 5 Q( x) = ( x x + 5)( x )
4 Soru: P ( x ) ve Q ( x ) poliomları içi? der P x = der P x. Q x = 6 ve ( x) P = der Q x 6 ise, Soru: P( x) ve Q( x ) iki poliomdur. P( x) i derecesi Q( x ) i derecesii katıda eksiktir.. Q( x) P x P x poliomuu derecesi ise, Q( x ) poliomuu derecesi kaçtır? HORNER YÖNTEMİ İLE BÖLME Bir P(x) poliomuu ( a. x b) Aşağıdaki örekleri iceleyiiz. + ile bölümüde kolaylık sağlaya bir yötemdir. Örek: P ( x) = x + x 5 poliomuu Q( x) x = poliomua Horer yötemi ile bölüüz. Çözüm :. x = 0 x = -5 P(x) i katsayıları. -5 6. = 6. -5 4. -5 6 + 6 = 7 6. 7 = 7 7 6-5 + = 6 Ayı işlemler tekrar edilir. Bölüm : B(x) = x + 7 Kala : K(x) = 6
5 6 5 Soru: P ( x) = x 5x + x + 4x + 7 poliomuu Q( x) x = poliomua bölüüz. Çözüm: -5 0 4 0 7-6 - -0 - -64 - -6-0 -6 - -57 B x = x x 6x 0x 6x Bölüm : 5 4 Kala : 57 4 Soru: P ( x) = 4x + 5x + x poliomuu Q( x) x = poliomua bölüüz. Çözüm: / 4 0 5-4 6 6 x =. x olduğuda kalaı soludaki sayıları (4,,6,6), bölei baş katsayısı ola ile tekrar bölüür ve bölümü katsayıları (,,,) buluur. Bölüm : B(x) = x +x +x + Kala : K(x) =
6 Alıştırmalar 4. P ( x) = x x 4x + 5 poliomuu Horer yötemi ile Q( x) ( x )( x ) bölüüz. = + poliomua 4. P ( x) = x x + x + ax + b poliomuu ( x ) ile tam bölüebilmesi içi a, b =? (-4,). 5 x + x x x bölümüü buluuz. ( x + ) 4. P ( x ) ve Q ( x ) poliomları içi + Q( x) =? der P x (4) der P x. Q x = 6 ve P x der = Q x ise, 5. P ( x ) bir poliom olmak üzere, der P ( x ) = 6. =? ise, der x P ( x ) (0) 6. P ( x ) ve Q ( x ) birer poliom ve a N olmak üzere, der P ( x) = a +, der Q( x) = a + ve der P ( x) + Q( x) = 5 ise, a =? (4) 7. P ( x ) ve Q ( x ) birer poliom olmak üzere,? der Q x = () der P x = der Q x. = 0 ise, ve der P ( x) Q ( x) 7 5 8. P ( x) = x + x + px + qx + t poliomu ( ) 50 x ile tam bölüdüğüe göre, p =? ( ) 9. der P ( x ) = 6, der Q( x ) = 8 olmak üzere P ( x ) ve 4 6 ( + ). ( ) + ( ). ( + ) der x x P x x Q x değerii buluuz. (40) Q x poliomları verilmiştir. Bua göre,
7 BÖLMEDE KALANIN BULUNMASI. Bir P ( x ) poliomuu ( a. x b) ile bölümüde kala, K b = P a dir. P(x) ax -b : : B(x) K (. ). P x = a x b B x + K b a. x + b = 0 x = içi a b b b P = a. b. B + K ise, a a a b P = K olur. a Yai, P ( x ) poliomuu ( a. x b) b b yazılır. ( a. x b = 0 x = dır.) a a ile bölümüde kalaı bulmak içi poliomda x yerie P x poliomuu ( x a). yazılır. ( x a = 0 x ile bölümüde kalaı bulmak içi poliomda = a dır. ) x yerie ( a ) p P x poliomuu ( x a. x b), ( p) p yerie ( a. x b). > ile bölümüde kalaı bulmak içi poliomda p p + yazılır. x a. x b = 0 x = a. x + b dir.) x Soru: P ( x) = 4x x + 5 poliomuu ( ) x + ile bölümüde kalaı buluuz. Çözüm : x + = 0 x = ise, P = 4. +. + 5 K ( x) = P = 7 4 dir. Soru: P ( x) = ( m ) x + ( m + ). x poliomuu ( ) e olmalıdır? Buluuz. x + ile tam olarak bölüebilmesi içi m
8 9 = + + + poliomuu P x x 4. x 5. x Soru: 7 8 9 x + ile bölümüde kalaı buluuz. Çözüm : x + = 0 x = yazılır. 9 9 ( 9 ) ( 9 ) 9 P x =. x + 4. x + 5. x + =. + 4. + 5. K x = 8 dir. P x x x 5x 4 Soru: = + poliomuu ( x x ) + ile bölümüde kalaı buluuz. Çözüm : x x x x + = 0 = P x = x. x x 5x + 4 ifadeside Burada x yerie x yazarsak, K x = x. x. x 5x + 4 = x 8x + 6 ifadeside x yerie tekrar x yazarsak, K x = x 8x + 6 = 7x + 5 elde edilir. Uyarı: Bir P(x) poliomuu ( x a)( x b) ile bölümüde kala P ( x ) ( x a) B ( x ) : : K B ( x ) ( x b) : M ( x ) : K = ( ). + ve B ( x) ( x b). M ( x) K P x x a B x K = ( ). ( ). + + P x x a x b M x K K... = + olup, P x = x a x b M x + x a K + K buluur. Burada istee kala. K x = x a K + K olur.
9 4 Soru: P ( x) = x x 4x + 5 poliomuu Q( x) ( x ).( x ) kalaı buluuz.. Yol: Q x = x x = x x + ifadeside = poliomua bölümüde gibi kala buluabilir. x x da x x + = 0' = yazılarak bir öceki örekte olduğu ( ) P x = x x 4x + 5 K x = x x 4x + 5 de, K x = 9x 5x + 5 K x = 9 x 5x + 5 ise, x 7 K x = + olarak buluur..yol :. P x = Q x B x + K x şeklide yazarsak, = ( ).( ). + ( + ) P x x x B x ax b (Böle ikici derecede bir poliom olduğuda kala e fazla birici derecede olabilir.) x = içi P ( ) = ( ).( ). B( ) + ( a + b) a + b = 9 x = içi P = ( ).( ). B + ( a + b) a + b = olarak buluur. Taraf tarafa çözüm yapılırsa, a + b = a = ve b = 7 a + b = 9 = + olur. olur. K ( x) x 7.yol: Horer yötemi ile; 0 - -4 5 - -6 6 4 - -6 8 9 K = 9 K = B x = x + 6x + 8 Bölüm: =. + 9 Kala: K ( x) ( x ) K ( x) = x + 7
0 Uyarı: Bir P ( x ) poliomuu ( x a) ile bölümü yapılırke, Horer yötemi kez peş peşe uygulaır. Soru: Bir P ( x ) poliomu içi P ( x + ) = x 4x + 5 olduğu biliiyor. Bua göre ( x ) ile bölümüde kalaı buluuz. P x i + Soru: P ( x, y) ( 4x y 5x y 4xy ) = + iki değişkeli poliomuu açılımı yapıldığıda, katsayıları toplamı 4 oluyor. Bua göre =? P x = x + 4x 5x poliomuu çift dereceli terimleri katsayıları toplamı a, tek Soru: dereceli terimleri katsayıları toplamı b ise a b =? Soru: P ( x ) poliomu ( ) ( x ) ile bölümüde kalaıı buluuz. (5) x ile bölümüde kala 5 olduğua göre, ( 7 ) P x poliomuu Soru: P ( x ) ve Q ( x ) birer poliomdur. P ( x) + Q ( x) poliomuu ( ) 5, P ( x + ) Q ( x + ) poliomuu x ile bölümüde kala olduğua göre, P ( x + ) ( x + ) ile bölümüde kala edir? m m+ Soru : P ( x) = ( x 4) + ( x + ) 7 poliomuu göre, m =? x ile bölümüde kala i x ile bölümüde kala 7 olduğua P x = x + x x x + poliomuu Soru : 0 5 0 6 edir? ( x + 4 ) 5 x ile bölümüde elde edile kala
. Bir [ x] P x R poliomu içi P ( x ) Alıştırmalar + = x 4 ise, P ( x ) =? 4. P ( x ) + P( x + ) = 6x 4x + 6 olduğua göre katsayılar toplamıı buluuz. P x poliomuu çift dereceli terimlerii. Bir P ( x ) poliomu içi, P ( x) =. P( x) + x tür. Bua göre P ( x ) poliomuu ( x ) ile bölümüde elde edile kalaı buluuz. 4. Bir P ( x ) poliomuu ( x ) ile bölümüde kala ( x 5x ) ( x + x + ) ile bölümüde elde edile kalaı buluuz. 5. Z olmak üzere, ise P i e büyük değerii buluuz. + ise.p x poliomuu P x = 5. x + x + gerçel katsayılı ikici derecede bir poliom 6. P ( x ) poliomu ( ) hagisi ( x 5) ile kalasız bölüebilmektedir? A) P ( x ) + B) P ( x + ) + x C) P ( x ) + x D) P ( x ) E) P ( x ) + x + + x x ile kalasız bölüebilmektedir. Bua göre aşağıdaki poliomlarda 5 7. P ( x) = x x x + 4x + 7 poliomuu ( x ).( x ) kalaı buluuz. 8. P ( x ) poliomuu ( x 4) ile bölümüde kala 5, göre 4.P( x) poliomuu ( x 4 ).( x ) + çarpımı ile bölümüde elde edile + ile bölümüde kalaı buluuz. 9. Q ( x ) poliomuu katsayılar toplamı, Q( x ). P ( x 4) = ( x + ). Q( x ). ( x ) ve. bölümüde kala ( 9x m) dir. Bua göre P ( ) Q( 0 ) =? x + ile bölümüde kala dir. Bua P x poliomuu sabit terimie eşittir. P x Q x poliomuu ( x x) 0. P ( x) = x 4x 5 poliomu veriliyor. P ( x) poliomuu ( ) edile kalaı buluuz.. P ( x ) = 8x 7x 4x + k 5 poliomu veriliyor. P ( x ) poliomuu bölümüdeki kala ise, P ( x ) poliomuu ( ) ile x + ile bölümüde elde x + ile x + ile bölümüde elde edile kalaı buluuz.
. P( x) Q( x ) x x = + poliomu veriliyor. P ( x ) poliomuu ( ) ise Q(x) poliomuu ( x ) ile bölümüde elde edile kalaı buluuz.. Bir Bua göre 4. x ile bölümüde kala 4 P x poliomuu ( x + x) ile bölümüde bölüm ( x + x) ve kala ( x ) P x poliomuu ( x + x) ile bölümüde kalaı buluuz. P x x 7 x 8 4x x 6 edile kalaı buluuz. = + + + ise P x poliomuu ( ) + tür. x + ile bölümüde elde + 5 + 6 5. P ( x) = ( 4 x) + ( 4 x) poliomu =? x ile bölüdüğüde kala 7. olduğua göre 6. P ( x) + P ( x + ) = x + 6x ise, ( ) 5 7. P ( x) = x 4x + ve Q( x) x x Q P =? (7) P x poliomuu katsayılar toplamıı buluuz. = 4 + 7 poliomları veriliyor. Bua göre, 8. P ( x ) ve. = 0 Q x birer poliomdur. der P ( x) Q ( x ) 5 ( ) der P P x. x Q x + =? () ve ( ) P P x der = 5 Q ( Q x ) ise,. = 0 ve 9. P ( x ) ve Q ( x ) birer poliom, der P ( x) Q ( x) derp ( x) derq( x ) = ise, der Q( x ) =? () 0. P x x 4x x + = + ise,? P x = ( x + 9 ). P ( x) = x x + 4x + olmak üzere, P ( x ) poliomuu ( ) kaçtır? (58). (8) P x x x x x = 6 4. 4 dir. P x poliomuu ( x x). ( x + ). P( x ) = x + x + c koşuluu sağlaya x ile bölümüde kala ile bölümüde kala kaçtır? P x poliomuu buluuz. ( x + x + ) 4. Bir P ( x ) poliomuu, ( x + ) ile bölümüde elde edile bölüm Q ( x ), kala tür. Q ( x ) poliomuu ( x ) ile bölümüde elde edile kala 5 dir. Bua göre P ( x ) poliomuu ile bölümüde elde edile kala edir? (5x + 7 ) x 4
5. bir P ( x ) poliomuu ( x ) ile bölümüde kala, ( ) Ayı P ( x ) poliomuu x x ile bölümüde elde edile kala K ( x ) ise, P x poliomu ( 9) 6. x ile bölüdüğüde 7 poliomuu ( x + ) ile bölümüde kala kaçtır? () x + ile bölümüde kala dir. x + kalaıı vermektedir. P ( x) 7. P ( x ) bir poliom olmak üzere, P ( x) + P ( x + ) = x + 4 ise, 8. P ( x) P( x ) = x + koşuluu sağlaya P ( x + ) poliomuu ( 7) x ile bölümüde kala kaçtır? P =? ( 7 ) K 4 =?. x P x poliomuu sabit terimi 5 dir. Bua göre
Dosya adı: Dizi: Şablo: POLİNOMLAR KONU ANLATIMI C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET C:\Users\TOLGA\AppData\Roamig\Microsoft\Templates\Nor mal.dotm Başlık: Kou: Yazar: TOLGA KURTYEMEZ Aahtar Sözcük: Açıklamalar: Oluşturma Tarihi: 08.0.07 6:4:00 Düzeltme Sayısı: So Kayıt: 08.0.07 6:4:00 So Kaydede: TOLGA Düzeleme Süresi: 0 Dakika So Yazdırma Tarihi: 08.0.07 6:4:00 E So Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: Sözcük Sayısı: 4.0(yaklaşık) Karakter Sayısı:.977(yaklaşık)