FAKTÖRİYEL TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı 1.2.3 n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur. 1!=1 2!=1.2=2 3!=1.2.3=6 4!=1.2.3.4=24 5!=1.2.3.4.5=120 gibi. Özel olarak; 0! = 1 olarak tanımlanmıştır. IŞIK-1 n! = n.(n-1)! n! =n.(n-1)(n-2)! 6!=6.5! 6!=6.5.4! gibi. HAZİNE-1 Faktöriyel işleminin, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri üzerine dağılma özelliği yoktur. 2! + 3! 5! 2! + 3! = 1.2 + 1.2.3 = 2 + 6 = 8 dir. DNA-1 12! 8!.4! işleminin sonucu kaçtır? A)45 B)55 C)99 D)120 E)495 12! = 12.11.10.9.8! = 12.11.10.9 =11.5.9 = 495 8!.4! 8!.4.3.2.1 4.3.2.1 GENETİK KOPYA-1 7.8.9..36 İfadesinin eşiti aşağıdakilerden A)6! B)35! C)34! DNA-2 D) 36! 6! E) 36! 6! işleminin sonucu kaçtır? A)10 B)100 C)1000 D)10000 E)100000 101! 100! = 100!.100 = 101.100! 100! = 100..100 GENETİK KOPYA-2 13! 12! 10!+11! = 100!(101 1) = 100.100 = 10000 Doğru Seçenek D dir. İfadesinin eşiti aşağıdakilerden A)11 B)12 C)23 D)132 E) 23 22 DNA-3 3n+1! 3n 1! ifadesinin eşiti aşağıdakilerden A)n(n+1) B)3n(n+1) C)3n(3n-1) D)3n(3n+1) E)3n 58
3n+1! 3n 1! = 3n+1 3n 3n 1! 3n 1! = 3n(3n + 1) GENETİK KOPYA-3 2n+3! 2n+1! Doğru Seçenek D dir. ifadesinin eşiti aşağıdakilerden A)(2n+3)(2n+2) B)(2n+3)(2n+1) C)2n(2n+1) D)2n+2 E)2 DNA-4 77!+78! toplamı, 77! in kaç katıdır? A)8 B)37 C)77 D)78 E)79 77!+78! = 77!+78.77! = 77!(1+78) = 79.77! Oluşan son çarpımda, istenen toplamın 77! İn 79 katı olduğu görülür. GENETİK KOPYA-4 67!-66! farkı, 66! in kaç katıdır? A)33 B)34 C)65 D)66 E)67 DNA-5 2.4.6..100 Çarpımının eşiti aşağıdakilerden 2.4.6..100=(2.1)(2.2)(2.3)..(2.50) =2.2.2 2.1.2.3..50 olduğu hatırlandığında; =2 50.50! bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETİK KOPYA-5 3.6.9 300 Çarpımının eşiti aşağıdakilerden A)3.100! B)3.300! C)300.100! D)3 50 100! E)3 100.100! DNA-6 x,y doğal sayıları için; 20.x! = y! olduğuna göre; y nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A)20 B)23 C)25 D)26 E)27 IŞIK-1 de; n.(n-1)!=n! özelliği kullanılırsa; 20.19!=20! olacağından, x=19 vee y=20 olur. n(n-1)(n-2)!=n! özelliği kullanılırsa; 5.4.3!=5! Olacağından, x=3 ve y=5 olur. y nin alabileceği değerlerin toplamı; 20+5=25 dir. Doğru Seçenek C dir. A)2.50! B)2.100! C)100.50! D)2 50.50! E)2 100.50! 59
GENETİK KOPYA-6 a ve b doğal sayıları için, a! = 30.b! olduğuna göre; b nin alabileceği değerlerler toplamı kaçtır? A)29 B)30 C)32 D)33 E)34 DNA-7 0!+1!+2!+ +2008! toplamının birler basamağı kaçtır? A)0 B)3 C)4 D)7 E)8 0!=1 1!=1 2!=1.2=2 3!=1.2.3=6 4!=1.2.3.4=24 5!=1.2.3.4.5=120 6!=1.2.3.4.5.6=720 Eşitliklerine bakıldığında; 5! ve sonrası 0 ile sonlanmaktadır. ( birler basamağı 0 dır. ) 0!+1!+2!+ +2008! Toplamının birler basamağını 4! e kadar olan sayılar belirler. 0!+1!+2!+3!+4!+ +2008! =1+1+2+6+24+120+.. =34+120+720+ Toplamın birler basamağı, 4+0+0+0+.+0=4 bulunur. Doğru Seçenek C dir. IŞIK-2 n 5 için; n! sayısının birler basamağı 0 dır. GENETİK KOPYA-7 1!+3!+5!+ +2009! basamağı kaçtır? A)0 B)4 C)6 D)7 E)8 Toplamının birler IŞIK-3 n! sayısının içinde bulunan tüm x (x, asal sayı) çarpanlarının sayısı: n in ard arda x e bölümlerinden elde edilen bölümler toplamı kadardır. n! sayısının içinde bulunan tüm x çarpanlarının (x=a.b, a ve b asal) sayısı, a<b için, b çarpanlarının sayısı kadardır. DNA-8 a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; 10! = a.2 b eşitliğinde, b nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A)8 B)15 C)21 D)25 E)36 IŞIK-3 den, 10 sayısı ard arda 2 ye bölünerek, bölümler toplamı aranır. 10=2.5 5=2.2+1 2=2.1 5+2+1=8 b nin alabileceği en büyük değerdir. YADA!!! 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 =(2.5).9.(2 3 ).7.(2.3).5.(2 2 ).3.2.1 =5.9.7.3.5.3.1.(2 8 ) a=5.9.7.3.5.3.1 b=8 alınabileceği gibi, eşitlik b nin 8 den küçük değerleri için de doğru olur. b nin alabileceği değerler: 1,2,3,4,5,6,7 ve 8 dir. 1+2+3+4+5+6+7+8=36 aranan toplamdır. 60
GENETİK KOPYA-8 100!=K.5 x Eşitliğinde, K ve x pozitif tam sayılar olmak üzere, x in en büyük değeri kaçtır? A)20 B)24 C)25 D)26 E)50 DNA-9 12! 6 n sayısını tamsayı yapan n in en büyük doğal sayı değeri kaçtır? A)4 B)5 C)6 D)8 E)10 6=2.3 olduğundan, IŞIK-3, 2 ve 3 çarpanları için uygulanır. 12=2.6 6=2.3 3=2.1+1 6+3+1=10 tane 2 çarpanı, 12=3.4 4=3.1+1 4+1=5 tane 3 çarpanı vardır. 2 10.3 5 =2 5.2 5.3 5 =2 5 (2.3) 5 =2 5.6 5 olduğundan, 5 tane 6 çarpanı oluşturulabilir. n in en büyük değeri 5 tir. Yalnız 3 çarpanlarının sayısını bulmak yeterlidir. Çünkü 3 çarpanlarının sayısı, 2 çarpanlarının sayısından azdır. Doğru Seçenek B dir. GENETİK KOPYA-9 30! 15 n sayısını tamsayı yapan n in en büyük doğal sayı değeri kaçtır? A)2 B)6 C)7 D)14 E)21 IŞIK-4 n! sayısının sonundaki 0 ların sayısı, n! sayısı içindeki 10 çarpanlarının (10=2.5 ve 2<5 olduğundan, tüm 5 çarpanlarının) sayısı kadardır. DNA-10 2008! sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A)400 B)480 C)498 D)499 E)500 2008 sayısı içindeki 5 çarpanlarını arayacağız. 2008=5.401+3 401=5.80+1 80=5.16 16=5.3+1 401+80+16+3=500 tane 5 çarpanı, 500 tane 10 çarpanı ve bundan dolayı da 2008! Sayısının sonunda 500 tane 0 vardır. GENETİK KOPYA-10 9 sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A)199 B)200 C)245 D)246 E)250 IŞIK-5 n!-1 sayısının sonundaki 9 ların sayısı, n! sayısının sonundaki 0 ların sayısı kadardır. DNA-11 [(3!)!]!-1 sayısının sonunda kaç tane 9 vardır? A)177 B)178 C)179 D)180 E)181 61
[(3!)!]!-1 sayısının sonundaki 9 ların sayısı, [(3!)!]! sayısının sonundaki 0 ların sayısı kadardır. [(3!)!]! = [6!]! = 720! 720! =1.2.3..720 sayısı içinde 10 =2.5 çarpanlarının sayısını bulacağız. Bunun için 720 sayısını ard arda 5 e bölüp, bölümler toplamı alınmalıdır. 720=144.5 144=28.5+4 28=5.5+3 5=1.5 144+28+5+1 = 178 tane 5 çarpanı vardır. 720! =A.10 178 sayısının sonunda 178 tane 0 rakamı vardır. 720! 1 = A.10 178 1 sayısının sonunda da 178 tane 9 rakamı bulunur. Doğru Seçenek B dir. GENETİK KOPYA-11 100!-1 Sayısının sonunda kaç tane 9 vardır? A)2 B)23 C)24 D)25 E)26 DNA-12 1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n! = (n+1)!-1 olduğu bilindiğine göre; 1.(1!)+2.(2!)+3.(3!)+ +10.(10!) = A sayısının sonunda kaç tane 9 vardır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n! = (n+1)!-1 olduğu bilindiğine göre; 1.(1!)+2.(2!)+3.(3!)+ +10.(10!)=(10+1)!-1 =11!-1 dir. 11=5.2+1 Olduğundan, 11! sayısının sonunda 2 tane 0, 11!-1 sayısının sonunda da 2 tane 9 vardır. GENETİK KOPYA-12 T=1.1!+2.2!+3.3!+ +19.19! olduğuna göre, T+1 sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 DNA-13 12! a,b Z ve çift tamsayı ise b 2 a. 3 a+b nin en büyük değeri kaçtır? A)9 B)10 C)14 D)15 E)16 12! = 1.2.3 12 sayısı içinde 2 ve 3 çarpanlarının kaçar tane olduğunu bulmak için; 12 sayısı ard arda 2 ye bölünüp, bölenler toplamı alınır. 12!=A.2 a biçiminde yazılır. 12=6.2 6=3.2 3=1.2+1 6+3+1=10 tane 2 çarpanı vardır. 12 sayısı ard arda 3 e bölünüp, bölenler toplamı alınır. 12!=B.3 b biçiminde yazılır. 12=4.3 4=1.3+1 4+1=5 tane de 3 çarpanı vardır. 62
a=10 alınır ve 12! içindeki tüm 2 çarpanları ile sadeleştirilirse, elde edilen sayı tek sayı olacağından a=9 alınmak zorundadır. a+b=9+5=14 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETİK KOPYA-14 =9 n.a eşitliğinde, A ve n pozitif tamsayıları için n in en büyük değeri kaçtır? A)11 B)24 C)33 D)34 E)35 GENETİK KOPYA-13 20! 2 n İfadesinin bir tek sayı gösterdiği bilindiğine göre, N doğal sayısının değeri kaçtır? A)10 B)15 C)17 D)18 E)19 DNA-14 88! 8 n Sayısının bir tamsayı olduğu bilindiğine göre, n pozitif tamsayısının en büyük değeri kaçtır? A)11 B)12 C)22 D)27 E)28 8=2 3 olduğundan; 88! sayısı içindeki 2 çarpanlarını arayalım 88=2.44 44=2.22 22=2.11 11=2.5+1 5=2.2+1 2=2.1 44+22+11+5+2+1=85 tane 2 çarpanı, (2 3 ) 28.2=8 28.2 olduğundan, 28 tane 8 çarpanı vardır. n in en büyük değeri 28 dir. DNA-15 5, 10, 15,, 95, 100 Aritmetik dizisinin tüm terimlerinin çarpımı olan sayının sondan kaç basamağı 0 dır? A)18 B)19 C)20 D)21 E)22 5.10.15 100=(5.1)(5.2)(5.3)..(5.20) =5 20.20! Sayının içindeki 10=2.5 çarpanlarının sayısı aranacak. 20=2.10 10=2.5 5=2.2+1 2=2.1 10+5+2+1=18 tane 2 çarpanı var. 20=5.4 5 20.5 4 =5 24 24 tane 5 çarpanı var. 2 18.5 24 =2 18.5 18.5 6 =(2.5) 18.5 6 =5 6.10 18 Sayının son 18 basamağı 0 dır. Doğru Seçenek A dır. GENETİK KOPYA-15 23!+24! sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A)4 B)6 C)7 D)9 E)11 63
DNA-16 K=44!-4! K sayısının son üç basamağı aşağıdakilerden A)000 B)996 C)076 D)976 E)006 44! Sayısı; 44=5.8+4 8=5.1+3 Sonunda 8+1=9 tane sıfı bulunan bir sayı, 4!=4.3.2.1=24 olduğundan K=44!-4! = 0000-24= 9976 Son üç basamak 976 dır. Doğru Seçenek D dir. GENETİK KOPYA-16 A=75!-5 Sayısının son iki basamağı aşağıdakilerden 50=5.10 10=5.2 10+2=12 tane 5 çarpanı, 50! sayısının sonunda 12 tane 0 var. 60=5.12 12=5.2+2 12+2=14 tane 5 çarpanı, 60! sayısının sonunda 14 tane 0 var. 50!+60! sayısının sonunda, 50! sayısının sonundaki 0 sayısı kadar, 12 tane 0 vardır. Doğru Seçenek C dir. GENETİK KOPYA-17 75!-70!-1 İşleminden elde edilen sayının sondan kaç basamağı 9 dur? A)31 B)30 C)16 D)15 E)14 A)00 B)05 C)70 D)85 E)95 UYARI n! ± m! sayısının sonundaki 0 sayısı, n 5 için, m in sonundaki 0 sayısı kadardır. DNA-17 50!+60! İşleminden elde edilen sayının sondan kaç basamağı 0 dır? A)2 B)10 C)12 D)14 E)26 64
KONU TESTİ 1. x,y N ve 12.x! = y! olduğuna göre; y nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16 15!.25! sayısı tek sayı ise 2 n kaçtır? 6. n A) 11 B) 22 C) 33 D) 44 E) 242 x 2.! y! 25 eşitliğini sağlayan x! en büyük x sayısı kaçtır? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 80! 7. A= sayısının sonunda kaç tane 40! sıfır vardır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 3. 3!!! k.n! ( k Z + ) 3! eşitliğini sağlayan en büyük n sayısı için n kaçtır? A) 718 B) 719 C) 720 D)721 E) 722 4. A = 33! 3! olduğuna göre; A sayısının son iki basamağı aşağıdakilerden A) 00 B) 04 C) 06 D) 94 E) 96 2008! 5. 2 (1004!) tane 0 vardır? sayısının sonunda kaç 8. n!5! = 6! ise n kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9. 6!.7! Çarpımının eşiti aşağıdakilerden A)8! B)8!+1 C)9! D)10! E)7!+8 10. (1!) 2 +(2!) 2 +(3!) 2 + +(10!) 2 toplamından elde edilen sayının birler basamağı kaçtır? A) 0 B) 3 C) 6 D) 7 E) 9 A) 0 B) 2 C) 4 D) 200 E) 400 65
11. 7!+8!+9!+... +2008! Toplamının onlar basamağında hangi rakam bulunur? A)1 B)3 C)4 D)6 E)9 15. 1!+4!+5! Toplamının eşiti aşağıdakilerden A)5! B)10! C)145 D)154 E)720 12. 500! Sayısının sonunda kaçtane 0 vardır? A)124 B)218 C)432 D)500 E)615 16. 100! 2 50.5 10 Sayısının sonunda kaç tane 0 vardır? A)16 B)14 C)12 D)10 E )8 13. 48! Sayısı 6 sayı tabanında yazıldığında sondan kaç basamağı 0 olur? A)20 B)22 C)24 D)25 E)26 1.E 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.C 9.D 10.D 11.C 12.A 13.B 14.D 15.C 16.B 14. 1000! Sayısı 7 n ile bölünebilmektedir. n'in en büyük tamsayı değeri kaçtır? A)144 B)146 C)152 D)164 E)168 66