Bu kitabın tüm basım ve aın hakları Ömer ALSAN a aittir. Kısmen de olsa alıntı apılamaz. Metin ve sorular, Ömer ALSAN ın önceden izni olmaksızı n elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir kaıt sistemile çoğa l- tılamaz, aımlanamaz. Copright B Ömer ALSAN GÖL ANADOLU ÖĞRETMEN LİSESİ MATEMATİK ÖĞRETMENİ Bu kitabı temin etmek için aşağıdaki t elefonlardan vea e mail adreslerinden sipari ş verebilirsiniz. Ömer ALSAN 0 5 46 7 04 0 66 5 6 9 omeralsan76@hotmail.com matgeo7@gmail.com
Sevgili Öğrenciler, Karşılaştığımız herhangi bir duruma verdiğimiz düşünsel tepkiler; matematik dediğimiz şein ta kendisidir. Farkında olalım a da olmaalım aşadığımız her an matematiksel ilişkilerle doludur. Bu sebepten, temel matematik bilgisi her birein olmazsa olmaz gereksinimidir. Matematiği oluşturan parçalar arasında sürekli bir etkileşim vardır. Dolaısıla; matematik derslerinde zirvei hedefleenler, kavramlar arasındaki ilişkilerin analiz ve sentezini ii apacak şekilde kendilerini etiştirmelidir. Zirvei Hedefleenlere Matematik Kitapları Serisini, bu süreçte sizlere ışık olur düşüncesile hazırlamaa karar verdim. Problemleri çözerken; her problemin, çözümünün özeti olduğunu sakın aklınızdan çıkarmaın Hedeflerinize ve özlemlerinize kavuşmanız dileğile Ömer ALSAN Ağustos 008 KASTAMONU
Değerli Eğitimciler, Bu kitap, 9. sınıf matematik programındaki ilk üç bölümü içermektedir. Kitaptaki konu anlatımları ve sorular, halen Orta Öğretim Kurumlarında ugulanmakta olan MEB matematik programı ve ÖSYM nin üniversitee öğrenci erleştirme sınavlarında kullandığı matematik soruları baz alınarak özgün bir biçimde oluşturulmuştur. Kitaptaki bölümler, alt bölümler ve konu başlıkları tasarlanırken MEB Matematik Programı ve Kazanımları kanak alınmıştır. Konu açıklamaları, örnekler ve çözümlü sorular kavramsal öğrenme sürecine ugun hazırlanmış ve problem çözebilme becerisi kazandırmak amaçlanmıştır. Kitapta, öğrenme sürecinin takibi için ölçme gücü üksek 8 adet, 0 şer soruluk 9. sınıf matematik deneme sınavı mevcuttur. Gene davranışların daha etraflıca özümsenmesi amacıla, her alt bölüm sonlarında, konunun genişliği ölçüsünde, özgün sorulardan oluşan 0 ar soruluk toplam 0 adet mini konu testi vardır. Unutulmamalıdır ki matematik eğitiminin ana hedefi: Biree, karşılaşacağı herhangi bir problemde, değişik çözüm algoritmaları oluşturabilme davranışını verebilmektir. Ömer ALSAN Ağustos 008 - İSTANBUL
İ Ç İ N D E K İ L E R SAYFA NO MANTIK 9-6 ÖNERMELER - TEST - 4 BİLEŞİK ÖNERMELER 5-0 TEST - TEST - 4 AÇIK ÖNERMELER 5-6 TEST 4 7-8 İSPAT YÖNTEMLERİ 9-0 TEST 5 - TEST 6-4 TEST 7 5-6 KÜMELER 7-76 TEMEL KAVRAMLAR 9-44 TEST 8 45-46 TEST 9 47-48 KÜMELERDE İŞLEMLER 49-6 TEST 0 6-64 TEST 65-66 TEST 67-68 TEST 69-70 TEST 4 7-7 DENEME SINAVI 7-76 BAĞINTI FONKSİYON İŞLEM 77-88 KARTEZYEN ÇARPIM 79-84 TEST 5 85-86 TEST 6 87 88
SAYFA NO BAĞINTI 89-98 TEST 7 99-00 TEST 8 0-0 DENEME SINAVI 0-06 DENEME SINAVI 07-0 FONKSİYON - 4 TEST 9 5-6 TEST 0 7-8 TEST 9-0 TEST - DENEME SINAVI 4-6 DENEME SINAVI 5 7-40 İŞLEM 4-46 TEST 47-48 TEST 4 49-50 TEST 5 5-5 DENEME SINAVI 6 5-56 FONKSİYONLARDA İŞLEMLER 57-70 TEST 6 7-7 TEST 7 7-74 TEST 8 75-76 TEST 9 77-78 TEST 0 79-80 DENEME SINAVI 7 8-84 DENEME SINAVI 8 85-88 CEVAP ANAHTARI 89-90
BÖLÜM MANTIK
9.SINIF MATEMATİK MANTIK.. ÖNERMELER Terim Bir bilim, sanat vea meslek dalıla ilgili özel bir anlamı olan kelimelerin her birine terim denir. Örnek Polinom, özdeşlik, orantı, fonksion, önerme, üçgen, nokta, düzlem, uza, sık kullandığımız matematik terimleridir. Tanımlı Terim, Tanımsız Terim Tanımı net olan terime tanımlı terim; tanımı net olmaan (hislerimizle algıladığımız) terime de tanımsız terim denir. Örnek Tanımlı terimler: fonksion, üçgen, parabol, Tanımsız terimler: nokta, düzlem, uza, Örnek Daire kelimesinin; matematik, apı bilimi ve müzikolojide farklı terim anlamları vardır. I. Kazı çalışmalarında tarihi değere sahip bir küp buldular. II. Tavla zarı küp biçimindedir. III. Hacmi metre küp olan küre şeklinde bir balon aptırmışlar. IV. Küp kökü olan saı 8 dir. V. Küpü olan üç varklı karmaşık saı vardır. Önerme Doğru vea anlış, kesin bir argı bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle p, q, r, s, t gibi küçük harflerle gösterilir. p : Dünanın en kalabalık ülkesi Çin dir. q : Dünanın en derin gölü Tanganika dır. r : Bütün düna buna bir inansa s : ++=.. t : 0!=0 Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi doğru önermedir? A) 5 B) 4 C) D) E) r ifadesi dilek bildirir, hüküm bildirmez. Bu üzden önerme değildir. Diğer ifadeler hüküm bildirdiğinden önermedir. p ve s önermeleri doğru, q ve t önermeler ise anlış hüküm bildirir. Cevap D Doğruluk Değeri, Doğruluk Tablosu Bir önermenin doğruluk değeri,önerme doğrusa anlışsa 0 dır. Önermelerin doğruluk değerlerile işlem apılırken genellikle doğruluk tabloları hazırlanır. Örnekler. Tek önermenin doğruluk değeri için iki farklı durum vardır; önerme a doğrudur a da anlıştır: Yukarıdaki cümlelerin kaç tanesinde, küp kelimesi matematik terimi olarak kullanılmıştır? A) B) C) D) 4 E) 5 Küp kelimesi, birinci cümlede; Geniş karınlı dibi dar toprak kap anlamında kullanılmıştır. Dolaısıla birinci cümlede matematik terim anlamı bulunmamaktadır. Diğer cümlelerin her birinde farklı matematik terim anlamı vardır; İkincide geometrik cisim, üçüncüde ölçü birimi, dördüncü ve beşincide ise iki farklı işlem anlamı vardır. Cevap D Uarı Bir kelime, farklı bilim dallarında, farklı terim anlamları üstlenebilir vea bir kelime anı bilim dalında, kullanıldığı ere göre farklı terim anlamları alabilir. Bu nedenle kelimelerin terim anlamı (varsa) ait olduğu cümle içinde değerlendirilmelidir.. İki önerme için dört farklı durum vardır. p 0 4 p q 0 0 0 0
9.SINIF MATEMATİK. Üç önerme için sekiz farklı durum vardır. 8 p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bir önermenin Olumsuzu(değili) MANTIK Bir önermenin hükmünü değiştirdiğimizde, olumsuzunu almış oluruz. Dolaısıla doğru hüküm bildiren bir önermenin olumsuzu anlış hüküm bildirmeli; anlış hüküm bildiren bir önermenin olumsuzu ise doğru hüküm bildirmeli. p önermesinin olumsuzu (değili) p ile gösterilir. p önermesinin olumsuzunun tekrar olumsuzunu aldığımızda (değilinin değili) kendisini elde ederiz. ( p ) p p p 0 0 0 (p ) Uarı n tane deği- n tane önermenin doğruluk değeri için şik durum vardır. Kaç önermenin doğruluk değeri, 04 tane değişik durum oluşturur? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 04 0 n 0 n 0 Cevap E tane önerme, belirli 4 tanesinin doğruluk değeri biliniorsa kaç değişik durum oluşturur? A) 8 B) C) 8 D) 56 E) 00 belirli 4 tanesinin doğruluk değeri bilindiğinden 4 8 tanesi farklı durumları oluşturur. 8 56 p ve q önermeleri denk değil ise aşağıdaki ifadelerden hangisi anlıştır? A) p q B) q p C) p q D) p q E) p q p ve q önermeleri denk değil ise biri diğerinin tersidir. Cevap D p r ve q s olduğuna göre p,q,r ve s önermeleri için kaç farklı doğruluk durumu vardır? A) B) C) 4 D) 8 E) 6 p ve r önermeleri için iki farklı durum vardır; a ikisi de 0 a da ikisi de dir. q ve s önermeleri için de iki farklı durum vardır; q0 ise s olur a da q ise s0 olur. Dolaısıla =4 farklı durum oluşur. Denk Önermeler Cevap D Anı doğruluk değerine sahip önermelere denk önermeler denir. p ve q önermeleri denk ise p q şeklinde ifade edilir. p q r s 0 0 0 0 0 0 0 0 Cevap C
9. SINIF MATEMATİK TEST. Aşağıdaki cümlelerin hangisinde doğru sözcüğü, geometri terimi olarak kullanılmıştır? 4. I. 5 ise 6 dır. A) Doğru dürüst olmalı haatta başarıı akalamak için II. 0 ise vea dir. B) Dediğin çok doğru aslında! III. ise vea dir. C) Bu önermenin doğru olduğunu ispatladım. D) Doğrular eğimleri eşit olduğu için paraleldir. E) Bu ifadelerin kimisi doğru, kimisi anlış hüküm bildirir. IV. V. 4 7 Yukarıdaki matematiksel ifadelerden kaç tanesi doğru hüküm bildirir? A) 5 B) 4 C) D) E). Aşağıdaki cümlelerden hangisi önermedir? A) Sıcaklar adamı bunaltıor. B) Hangisi daha doğru acaba? C) Yarın, maçta enebilirsek bu iş tamam. D) Evah anlış düşmee bastın! E) Matematikçi ikna etmez ispat eder. 5. 4 p : 4 q :! r : 4. Aşağıdaki cümlelerden hangisi doğru hüküm bildiren bir önermedir? s :! 0! 0 t : 0,4 0, A) Karesi 5 ten küçük 5 farklı doğal saı vardır. B) Her dikdörtgen anı zamanda bir karedir. C) Şubat aı bazen 0 gün çeker. D) İki asal saının toplamı da asal saıdır. Yukarıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) t B) s C) r D) q E) p E) Herhangi bir saının arısı, çereğinin iki katıdır.
9. SINIF MATEMATİK TEST 6. p : a b a ba b q : a b a b ab r : a b a b ab 8. 5 önermeden belirli tanesinin denk önermeler olduğu bilinmektedir. Buna göre, 5 önermenin doğruluk değeri için kaç farklı durum oluşur? A) 4 B) 8 C) 6 D) E) 64 s : a b a b ab t : a b a b ab Yukarıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) p B) q C) r D) s E) t 9. p, q ve r önermeleri için p q r olduğuna göre, aşağıdaki denkliklerden hangisi doğrudur? A) r q B) r p C) r p D) p q E) q r 7. p : 0, q : 4 6 r : Yukarıda verilen p,q ve r önermeleri için aşağıdaki denkliklerden hangisi doğrudur? A) p q B) q r C) r p D) p r E) p q 0. Her ağaç ilkbaharda çiçek açar önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) Her ağaç ilkbaharda çiçek açmaz. B) Bazı ağaçlar sonbaharda çiçek açmaz. C) Bazı ağaçlar sonbaharda çiçek açar. D) Bazı ağaçlar ilkbaharda çiçek açmaz. E) Her ağaç sonbaharda çiçek açar. 4
9.SINIF MATEMATİK MANTIK.. BİLEŞİK ÖNERMELER Bütün mantıksal bağlaçların tek tabloda gösterimi: Bileşik Önerme İki vea daha fazla önermenin mantıksal bağlaçlarla bağlanmasından oluşan eni önermee bileşik önerme denir. Mantıksal Bağlaçlar İki önermei birleştirmek için kullanılır. : (ve) : (vea : (ise) 4: (ancak ve ancak) Mantıksal Bağlaçların Doğruluk Tabloları Ve bağlacının doğruluk tablosu: p q pq 0 0 0 0 0 0 0 Vea bağlacının doğruluk tablosu: p q pq 0 0 0 0 0 İse bağlacının doğruluk tablosu: Örnek p q pq pq pq pq 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (p q) p q ise p q p bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? Ortak tablo incelenirse (p q) p q denkliğinin sadece p0 ve q0 koşulunda gerçekleştiği görülür. p q p 0 0 0 bulu nur. Örnek p q p q ise p q q p bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? Ortak tablodan p q p q denkliğinin sadece p ve q koşulunda gerçekleştiği görülür. p q q p 0 0 0 bulunur. p q pq 0 0 0 0 0 Ancak ve ancak bağlacının doğruluk tablosu: p q pq 0 0 0 0 0 0 Örnek p q bileşik önermesile p q bileşik önermesinin doğruluk değerlerini tablo ardımıla karşılaştırınız. p q p pq p q 0 0 0 0 0 0 0 0 Tablodan da görüleceği üzere p q p q denkliği mevcuttur. 5
9.SINIF MATEMATİK Örnek pq(pq)(qp) denkliğini tablo ardımıla gösterin. p q pq qp (pq)(qp) pq 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p q ( p q ) ( q p ) Totoloji ve Çelişki MANTIK Bir bileşik önerme, bileşenlerinin bütün doğruluk değerleri için daima doğru değer üretiorsa bu bileşik önermee totoloji (uuşma) denir.bir bileşik önerme, bileşenlerinin bütün doğruluk değerleri için daima anlış değer üretiorsa bu bileşik önermee çelişki (çelişme) denir. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi çelişkidir? (p p) p B) p p p A) B) p q C) p q p q E) p p' p p ( p p ) q bileşik önermesinin doğruluk değeri aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) 0 C) p D) q E) p p nin her değeri için p doğruluk değeri 0 dır. p p 0 p bileşik önermesinin q nun her değeri için 0 q bileşik önermesinin doğruluk değeri dir. 0 q Cevap A p 0 q p p bileşik önermesinin doğruluk değeri aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) 0 C) p p 0 q p p D) q E) p p nin her değeri için p 0 0 ve p p dir. 0 q q 0 0 0 bulunur. Cevap B p p p p p p p p p p pq pq p q olduğundan pq p q p p pp olduğundan p p pp 0 p q r 0 Cevap E olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) q p r B) p q r C) p q r D) p' q r E) p q r p q r 0 ise p 0, q ve r 0 olmalıdır. Bu değerler seçeneklerde erine azıldığında C seçeneğindeki bileşik önermenin doğru diğer seçeneklerin ise anlış olduğu görülür. Cevap C p q p p p bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) p C) q D) q E) 6
9.SINIF MATEMATİK p q p p p p q p 0 p 0 p ' Cevap B Mantıksal Bağlaçların Özellikleri. Tek kuvvet özelliği: ve, vea bağlaçlarında vardır. p p p p p p MANTIK p q p q pq (p q) p q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6. İse, ancak ve ancak bağlaçlarının kullanıldığı bileşik önermelerin olumsuzu (Değili): p q p q p q p q p q p q. Değişme özelliği: ve, vea, ancak ve ancak bağlaçlarında vardır. p q q p p q q p p q q p. Birleşme özelliği: ve, vea, ancak ve ancak bağlaçlarında vardır. p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r 4. Dağılma özelliği: a. ve nin vea üzerine dağılması: p (q r) (p q) (p r) b. vea nın ve üzerine dağılması: p (q r) (p q) (p r) c. ise nin vea üzerine dağılması: p (q r) (p q) (p r) d. ise nin ve üzerine dağılması: p (q r) (p q) (p r) e. vea nın ise üzerine dağılması: vea ise üzerine dağılırken ve e dönüşür. p (q r) (p q) (p r) f. ve nin ise üzerine dağılması: ve ise üzerine dağılırken vea a dönüşür. p (q r) (p q) (p r) 7. Mantıksal bağlaçlara ait diğer özellikler: a. p q p q Örnek b. p q p q q p c. p p 0 p p p d. p p p 0 0 p p 0 e. p p 0 p p p p p f. p q p q p 0 p p p p p 0 p p p : " 4 4 : 4 5" q : " 0,6 " 5. De Morgan Denklikleri: ve, vea bağlaçlarının kullanıldığı bileşik önermelerin, olumsuzunu (değilini) alırken kullanılır. Bu denklikler, doğruluk tabloları apılarak rahatlıkla görülebilir. p q p q p q p q p q p q pq (p q) p q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 önermeleri için; p q 0 p bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. p ve q önermelerindeki eşitlikler doğru olduğundan p q dir. p ve q erine doğruluk değerlerini azarak sonuca ulaşırız. p q 0 p 0 0 0 0 0 0 bulunur. 7
9.SINIF MATEMATİK Örnek p q r 0 p p q p r bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. olduğuna göre, MANTIK Örnek p q r r olduğuna göre r r p q bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? p q r p p q p r 0 0 bulunur Örnek p q 0 olduğuna göre, p q p bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. p q 0 ifadesi sadece p ve q 0 için doğrudur. p qp 0 0 0 0 bulunur. Örnek p q p q bileşik önermesini sadeleştirerek, doğruluk değerini bulunuz. r r 0 olduğundan r r 0 olur. p q r r p q dolaısıla r r p q 0 0 p q olmalı. p q isep q 0 dır. Buradan p ve q 0 bulunur. Bulduğumuz değerleri sorulan ifadede kullanalım bulunur. p q p bileşik önermesi, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisine denktir? A) p q B) p q C) p D) p q E) p q q (p q) p q olduğundan, p q p q p q (p q ) p p q q q bulunur. Bu tür sorular, bazen tablo ardımıla daha rahat çözülür. Biz hem tablo ardımıla hem de sadeleştirerek soruu çözelim Tablo ardımıla: p q qp p(qp) 0 0 0 0 0 0 Tabloda çıkan değerlerin pq bileşik önermesine ait oduğu net görülüor. 8
9.SINIF MATEMATİK Sadeleştirerek: p q p p q p q p p p q p q p p p p q q p p q q p p p q p q p p p q q p p q p p q bulunur. Cevap A Uarı MANTIK Olumsuz(Değil), karşıt, ters, karşıt ters kavramları birbirinden farklı kavramlardır. pq bileşik önermesinin; Olumsuzu (değili) : p q Tersi : p q Karşıtı : qp Karşıt tersi : q p İki Yönlü Koşullu Önerme Ancak ve ancak ile bağlanan bileşik önermelere, iki önlü koşullu önerme denir. Çift Gerektirme pq iki önlü koşullu önermesi doğrusa çift gerektirme denir. pq bileşik önermesi çift gerektirme ise; p için gerek ve eter koşul q dur. denir. Koşullu Önermeler ve Gerektirme İse bileşik önermesinin diğer bir ismi de koşullu önermedir. Doğruluk değeri olan koşullu önermelere gerektirme denir. pq koşullu önermesinde, p önermesine; q için eter koşul ve q önermesine; p için gerek koşul deriz. Dolaısıla pq önermesi için aşağıdaki ifadelerden herhangi biri kullanılabilir. p ise q dur. p, q u gerektirir. q için, p eterlidir. p, q için gerektir. Hipotez(Varsaım), Hüküm(Sonuç) pq koşullu önermesinde p e hipotez, q a hüküm denir. p q koşullu önermesi gerektirme olduğuna göre aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi anlıştır? A) q p B) p q C) q D) p q E) p q p q önermesi gerektirme ise p q olur. p q 0 p q 0 p q 0 olur. p Cevap A Teorem Hipotezi doğru olan gerektirmelere teorem denir. Yani bir koşullu önermenin hem hipotezi hem de hükmü doğrusa bu koşullu önerme bir teoremdir. Ters, Karşıt ve Karşıt Ters p q önermesine, pq önermesinin tersi denir. q p önermesine, pq önermesinin karşıtı denir. q p önermesine, pq önermesinin karşıt tersi denir. Bir koşullu önerme her zaman karşıt tersine denktir. p q q p q p koşullu önermesinin karşıt tersi nedir? A) p q B) p q C) q D) q p E) p q q p nin karşıt tersi p (q ) önerm esidir. p (q ) p q (p ) q p q bulunur. p Cevap A 9
9.SINIF MATEMATİK MANTIK p q iki önlü koşullu önermesinin çift gerektirme olduğu bilindiğine göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangileri doğrudur? I. p q II. p q III. p q IV. q A) I ve II B) III ve IV C) I ve III D) II ve IV E) II ve III p q ise p q p q iken p q q p p: Esma düzenli çalışır q: Esma devamsızlık apmaz s: Esma başarılı olur p Cevap B olmak üzere (pq)s koşullu önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Esma düzenli ders çalışmaz ve devamsızlık aparsa başarılı olmaz. B) Esma düzenli ders çalışmaz ve devamsızlık apmazsa başarılı olur. C) Esma başarılı olursa düzenli ders çalışır ve devamsızlık apmaz. D) Esma başarılı olmazsa düzenli ders çalışmaz vea devamsızlık apar. E) Esma düzenli çalışmaz vea devamsızlık aparsa başarılı olmaz. p q r Koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) p q r B) p q r C) q r p D) q r p E) q r p önerme sinin karşıt tersi dir. q r q r q r p p q r p bulunur. Kar ağmazsa ağmur ağar. Cevap E Koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Kar ağarsa ağmur ağmaz. B) Kar ağmazsa ağmur ağmaz. C) Yağmur ağarsa kar ağmaz. D) Yağmur ağmazsa kar ağar. E) Yağmur ağmazsa kar ağmaz. p ' : Esma düzenli ders çalışmaz q : Esma devamsızlık apar s : Esma başarılı olmaz p q s nin tersi p q s p q s Esma düzenli ders çalışmaz vea devamsızlık aparsa başarılı olmaz. Cevap E Öncelikle verilen koşullu önermei çözümleelim; p : "kar ağmaz " q : " ağmur ağar " olmak üzere, amacımız p q nun karşıt tersini azmak p q nun karşıt tersi q p dir. p : "kar ağar " q : " ağmur ağmaz " q p " Yağmur ağmazsa kar ağar." olur. Cevap D 0
9. SINIF MATEMATİK TEST.. p q p r I. II. 0 0 III. 0 0 IV. 0 0 V. 0 Yukarıdaki bileşik önermelerden kaç tanesinin doğruluk değeri dir? Bileşik önermesi p,q ve r nin hangi değerleri için doğru olur? p q r A) 0 B) 0 C) 0 0 D) 0 0 E) 0 0 A) B) C) D) 4 E) 5 4. p q. p q q r Bileşik önermesi p,q ve r nin hangi değerleri için doğru olur? önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p q B) p q C) p q D) p q E) p q p q r A) B) 0 C) 0 D) 0 E) 0 0 0 5. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi anlıştır? A) 0 0 0 0 B) 0 C) D) 0 0 E) 0
9. SINIF MATEMATİK TEST 6. p q p q olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi doğrudur? A) p q p B) p q p 9. q p p q olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi, kesinlikle anlıştır? A) p q B) p q C) p q D) p q E) p q C) p q q D) q p q E) p q p 7. p q İki önlü koşullu önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p q q p B) p q q p C) p q q p D) p q q p 0. Aşağıdaki denkliklerden hangisi her durumda doğru değildir? E) p q q p 8. p q p q olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi anlıştır? A) p q q B) p q p C) p q q D) p q p E) p q p A) p q q p B) p q p q C) p q p q q p D) p q q p q E) p q p q p q
9. SINIF MATEMATİK TEST. p q p Bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) p 4. Aşağıdakilerden hangisi çelişkidir? A) p p p p B) p p p p C) p p p p D) p p p p E) p p p p. q p p p q p Bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) q 5. p q r Bileşik önermesinin doğruluk değerinin 0 olduğu bilindiğine göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) p q r. Aşağıdakilerden hangisi totolojidir? A) p q q p B) p q p q C) p q q p B) p r q C) p q p r D) p q r E) p q p D) p q p E) p q q p
9. SINIF MATEMATİK TEST 6. p p p q olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 olur? A) p q B) p q C) p q D) p q q 9. Aşağıdaki denkliklerden hangisi anlıştır? A) p q r p q p r B) p q r p q p r C) p q r p q p r D) p q r p q p r E) p q r p q p r E) p q p q 7. p 0 q p q Bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) p 0. p q Koşullu önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) q p C) p q D) p q 8. p 0 p p p q E) p q Bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) p 4
9.SINIF MATEMATİK.. AÇIK ÖNERMELER Açık Önerme ve Doğruluk() Kümesi İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlerin aldığı değerlere göre doğru a da anlış olduğu sölenebilen önermelere açık önerme denir. p() : e bağlı p açık önermesi q(,,z) :, ve z e bağlı q açık önermesi r(a,b) :a ve b e bağlı r açık önermesi p() açık önermesini doğru apan değerlerinin bulunduğu kümee p() in doğruluk kümesi(çözüm kümesi) denir. Örnekler 4" açık önermesinin Z deki doğru-. p() : " luk kümesi 4 MANTIK p() : " 4.. 8 0" önermesinin doğal saılardaki çözüm kümesinin elemanları toplamı kaçtır? A) 0 B) C) 5 D) E) 8 4.. 8 0 4 8 Z deki çözüm kümesi 9,,,, 9 Ndekiçözümkümesi,9 9 Cevap D,. q(a,b): a b Z deki çözüm kümesi,,,,,,, N deki çözüm kümesi, NZ deki çözüm kümesi 9 açık önermesinin Varlıksal ve Evrensel Niceleiciler Varlıksal niceleici: Bazı vea En az bir anlamı taşır ve sembolüle gösterilir. Evrensel niceleici: Her vea Bütün anlamı taşır ve sembolüle gösterilir. Varlıksal ve Evrensel Niceleicili Önermeler p() açık önermesi, A kümesindeki her(bütün) değerini(değerlerini) kullanıorsa; bu durum aşağıdaki gibi ifade edilir: A,p,,, ZN deki çözüm kümesi,,,. r() : " 6 0" açık önermesinin Z deki çözüm kümesi, Z daki çözüm kümesi,,,4,5 p() açık önermesi, A kümesindeki en az bir(bazı) değerini(değerlerini) kullanıorsa; bu durum aşağıdaki gibi ifade edilir: A,p Evrensel vea varlıksal niceleicili önermelerin olumsuzu(değili) şöle alınır: A,p A, p A,p A, p 5
9.SINIF MATEMATİK Uarı Sık kullandığımız bazı sembollerin olumsuzları(değilleri) şöledir: R için 0 MANTIK Önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) R için 0 R için 0 R için 0 R için 0 R için 0 Örnekler. p() :" o" önermesi, bütün reel saıları için doğru olduğundan, bu durum in olumsuzu ün olumsuzu tir. dolaısıla; R için 0 ifade sinin olumsuzu R için 0 olur. Cevap C R, 0 şeklinde ifade edilir.. q(, ) :" 6" önermesi bazı, tamsaıları için doğru olduğundan, bu durum, Z, 6 şeklinde ifade edilir.. N, 5 N, 5 p() : " 0, N" olmak üzere p() açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A),,,0,,, B),, C),, 4 D) 0,,, E) 0,,,,5,6,7,8,9 4. Q, 5 9 Q, 5 9 5. p : ",, 5" ise p : ",, 5" 6. 0 0 0 N ve 0 4 olduğundan ifadesi 0,,, değerlerini alabilir. Cevap D 6
9. SINIF MATEMATİK TEST 4. p : " 7, Z " olduğuna göre, p() açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A)9 B) 9,9 C) 5,9 D)5,9 E)7, 4. R,.a 0 önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) R,.a 0 B) R,.a 0 C) R,.a 0 D) R,.a 0 E) R,.a 0 8. p : " " olduğuna göre, p() açık önermesinin doğal saılardaki çözüm kümesinin eleman saısı kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 5., R, 0 0. p, : " 5 " olmak üzere, aşağıdaki sıralı ikililerden hangisi N deki çözüm kü- p(,) açık önermesinin mesinin bir elemanıdır? A), B), C) 5,0 D) 4, E), önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A), R, 0 0 B), R, 0 0 C), R, 0 0 D), R, 0 0 E), R, 0 0 7
9. SINIF MATEMATİK TEST 4 6. p q koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) q p C) q p D) p q E) p q 9. p q gerektirmesi aşağıdakilerden hangisile ifade edilemez? A) p ise q dur. B) p, q u gerektirir. C) q için p eterlidir. D) p, q için gerektir. E) p, q için gerek ve eterdir. 7. p q koşullu önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisidir? 0. A) p q B) q p C) p q D) p q E) q p p : Sinem planlıdır. q : Sinem başarılıdır. olmak üzere, p q önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Sinem başarılı ise planlı değildir. B) Sinem planlı ise başarılı değildir. C) Sinem planlı değil ise başarılı değildir. D) Sinem başarılı ise planlıdır. E) Sinem başarılı değil ise planlı değildir. 8. Aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi, kesinlikle gerektirmedir? A) p p B) p 0 C) p D) p p E) p p 8
9.SINIF MATEMATİK MANTIK.4. İSPAT YÖNTEMLER İ Tanım, Aksiom, Teorem ve İspat(Kanıt) Matematiğin kanağı(ana Malzemesi) tanım ve aksiomlardır. Bir kavramın niteliklerini eksiksiz olarak belirtmek tanım, Doğru olduğu ispatsız olarak kabul edilen önermeler aksiom, Tanım ve aksiomlar kullanılarak bulunan bütün sonuçlar teorem, Teoremin doğruluğunun ifade edilmesi ispattır. Örnekler. Mükemmel saının tanımı: Kendisinden farklı pozitif bölenlerinin toplamına eşit olan saılara mükemmel saı denir.. Matematikte çok kullanılan bir Aksiom: a,b,c saıları için a=b ve b=c ise a=c olur.. Euclid in ünlü bir teoremi: Sonsuz tane asal saı vardır. İspat(Kanıt) Yöntemleri. Tümevarım. Tümdengelim.. Doğrudan İspat.. Dolalı İspat... Olmaana Ergi... Çelişki... Deneme..4. Aksine Örnek Verme Örnek İki tane çift tamsaının toplamı çift tamsaıdır. teoremini doğrudan ispat öntemile ispatlaınız. Doğrudan ispat önteminde pq teoreminde p nin doğruluğundan hareketle q nun doğru olduğu sonucuna ulaşılır. p: a ve b çift tamsaı q: a+b toplamı çift tamsaı p(hipotez) q(hüküm) p önermesinin doğru olduğunu varsaarak q önermesinin doğru olduğu sonucuna ulaşacağız: a ve b çift tamsaı ise a=k ve b=r olacak şekilde k ve r tamsaıları vardır. a+b=k+r a+b=(k+r) k ve r tamsaı olduklarından k+r de bir tamsaıdır. Dolaısıla (k+r) çift tamsaıdır. Buradan a+b nin çift tamsaı olduğu sonucuna ulaşılır. Örnek Bir doğal saının karesi tek ise kendiside tektir teoremini olmaana ergi öntemile ispatlaınız. Olmaana ergi önteminde önermenin kendisinin değil de karşıt tersinin doğru olduğu gösterilir.. p : " a tek doğal saıdır " q : " a tek doğal saıdır " amacımız; p q q p denkliğinden ararlanarak p doğruken q nun da doğru olacağını göstermek erine, q doğruken p nin doğru olacağını göstermek: p : " a çift doğal saıdır " q : " açift doğalsaıdır " a çift doğal saısa a=k olacak k doğal saısı vardır. a k a 4k dolaısıla Örnek a çift tamsaıdır. A 0,, olmak üzere A ise 5 dir. teoremini deneme öntemile ispatlaınız. Deneme önteminde değişkene farklı değerler vererek sonucun doğru olduğu görülür. 0 için 0 5 için 5 için 5 olduğu görülür. Örnek Sonsuz tane asal saı vardır. teoremini çelişki öntemile ispatlaınız. Çelişki önteminde pq teoreminde q nun anlış olduğunu kabul ederek p nin doğruluğula çelişen bir durum akalanır. Asal saıların sonlu tane olduğunu kabul edelim ve en büük asal saımız olsun, den e kadar olan asal saılarla bir A kümesi oluşturalım, A,,5,7,,..., kabulümüz gereği A kümesinin elemanı olmaan bir asal saı bulunamaz(çünkü hepsini A kümesine azdık!) Şaet A kümesinin elemanı olmaan en az bir tane asal saının varlığını kanıtlaabilirsek, asal saıların sonlu tane olduğuna dair kabulümüzü çürütmüş, dolaısıla sonsuz tane asal saı olduğunu kanıtlamış oluruz. 9
9.SINIF MATEMATİK MANTIK Şimdi, A kümesindeki elemanların çarpımının fazlasına eşit olan bir saısı tanımlaalım. =..5.7..+ > olduğu açıktır. ve en büük asal saıı kabul ettiğimizden asal saı olamaz. asal saı değilse A kümesinin elemanlarından en az bir tanesi nin asal çarpanıdır. fakat =..5.7..+ eşitliğinden de rahatlıkla görülebileceği üzere,,5,7, asal saılarından hiçbiri i tam bölemez. Dolaısıla saısının, asal çarpanı a da çarpanları A kümesinin elemanı olmaz. Ulaştığımız bu sonuç bütün asal saıların A kümesinde bulunduğu kabulüle çelişir. p q teoreminin ispatı, olmaana ergi öntemile apılırken aşağıdaki önermelerden hangisi kullanılır? A) p q B) q p C) p D) q p E) p q Olmaana ergi öntemile ispat apılırken teoremin kendisi değil karşıt tersi kullanılır. Cevap D Doğal saılarda tanımlı teoremlerin, tüm doğal saılar için doğru olduğunu ispatlamakta kullanılan oldukça pratik bir öntemdir. Bu öntemde, teoremin önce için doğru olduğu gösterilir, daha sonra n doğal saısı için doğru olduğu varsaılır ve n+ doğal saısı için doğru olduğu gösterilir, Bölece bütün doğal saılar için doğru olduğu gösterilmiş olur Yukarıda açıklanan ispat öntemi aşağıdakilerden hangisidir? A) Tümevarım B) Doğrudan İspat C) Olmaana ergi öntemile ispat D) Çelişki öntemile ispat E) Deneme öntemile ispat q p: +a=5 q: a =5 Olmak üzere, p önermesinin doğru olması, q önermesinin doğru olmasını gerektiriorsa kaçtır? A) B) C) 5 D) E) 5 +a=5 eşitliği için a =5 eşitliği gereklimiş. a =5 ise a= olur. +a=5 eşitliğinde a= azılırsa = bulunur. Cevap D Futbol onarsa sağlığı bozulur bileşik önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) Futbol onamazsa sağlığı bozulmaz. B) Futbol onarsa sağlığı bozulmaz. C) Sağlığı bozulursa futbol onar. D) Sağlığı bozulursa futbol onamaz. E) Sağlığı bozulmazsa futbol onar. p: Futbol onar q: Sağlığı bozulur pq bileşik önermesinin karşıtı qp bileşik önermesidir. Cevap C Tamsaılarda tanımlı p, : ". 6" " " bileşik önermesinin çözüm kümesinin eleman saısı kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 p, bileşik önermesinin doğru olması için, hem. 6 hem de bileşik önermelerinin doğru olması gerekir. Buna göre p(,) bileşik önermesinin da açıklanan tümevarım öntemidir. Doğal saılarda tanımlı toplamsal eşitliklerin doğruluğunu gösterilirken sık kullanılır. n.(n ) Örneğin,... n eşitliğinin varlığı tümevarım öntemile gösterilir. Cevap A çözüm kümesi:,6,, 6,,8,, 8,,,,, 4,9, 4, 9 şeklinde bulunur. Cevap D 0
9. SINIF MATEMATİK TEST 5. p q p q bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p q B) p q C) p q D) p q E) q p 4. p : " R için 0 " olmak üzere 0 çin 0 0 bulunur. 0 R fakat p 0 0 olduğundan p açık önermesi anlıştır. Yukarıda, p() açık önermesinin anlış olduğu gösterilirken kullanılan öntem aşağıdakilerden hangisidir? A) Tümevarım B) Olmaana ergi C) Çelişki. p q koşullu önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? D) Deneme E) Aksine örnek verme A) Olumsuzu, tersine denktir. B) Olumsuzu, karşıtına denktir. C) Olumsuzu, karşıt tersine denktir. D) Tersi, karşıtına denktir. E) Karşıt tersi, karşıtına denktir. 5. Doğruluğu ispatsız kabul edilen önermelere ne denir? A) Gerektirme. Aşağıdaki ispat öntemlerinin hangisinde p q q p denkliği kullanılır? A) Tümevarım B) Tanım C) Çift gerektirme D) Aksiom E) Teorem B) Aksine örnek verme C) Deneme D) Çelişki E) Olmaana ergi
9. SINIF MATEMATİK TEST 5 6. R için 0 önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) R için 0 B) R için 0 C) R için 0 D) R için 0 E) R için 0 9. p : Selim başarılı olur. q : Selim çok çalışır. r : Selim planlı olur. olmak üzere, q r p koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Selim başarılı olmazsa çok çalışmaz vea planlı olmaz. B) Selim başarılı olmazsa çok çalışmaz ve planlı olmaz. C) Selim başarılı olmazsa çok çalışır ve planlı olur. D) Selim çok çalışmaz vea planlı olmazsa başarılı olur. E) Selim çok çalışır vea planlı olursa başarılı olmaz. 5 p : " 0, Z " 5 7. olmak üzere, p() açık önermesinin doğruluk kümesinde kaç eleman vardır? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 7 0. p q bileşik önermesinin doğruluk değeri ise aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi kesinlikle doğrudur? 8. p, : ",, Z " olmak üzere, p(,) açık önermesinin çözüm kümesinin eleman saısı aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) p q C) p q D) p q E) p q A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
9. SINIF MATEMATİK TEST 6. p q koşullu önermesi gerektirme ve p q iki önlü koşullu önermesi çift gerektirme olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri olur? A) p q p q B) p q p C) p q p D) p q q p p q q E) 4. p q p bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q p p B) p q p C) p q p D) p q p E) p q q. I.Tersi, karşıtına denktir. II.Tersi, karşıt tersine denktir. III.Karşıtı, karşıt tersine denktir. IV.Karşıt tersi kendisine denktir. Koşullu önermeler için ukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? A) I ve II B) II ve III C) III ve IV D) II ve IV E) I ve IV 5. q. p q 0 olduğuna göre, aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi gerektirmedir? A) p q p q B) q p C) p q p q p 0 0 0 Yukarıdaki tablo mantıksal bağlaçlarla oluşturulmuş işlemine aittir. Buna göre, işlemi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p q B) p q C) p q D) q p E) p p q D) p q E) p q
9. SINIF MATEMATİK TEST 6 6. p q p q bileşik önermesi, aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) p C) q D) p E) q 9. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? A) p p 0 B) p 0 p C) p p D) p 0 p E) p p 0 7. p q q r bileşik önermesinin doğruluk değeri, aşağıdaki denkliklerin hangisi için 0 olur? A) p q r 0 B) p q r C) p q r 0 D) p q r E) p q r 0 0. Aşağıdaki ifadelerden hangisi anlıştır? A) p q r p q q r p q p q B) p q p q C) 8. Aşağıdaki denkliklerden hangisi anlıştır? A) p q p q p q p q D) p q p p E) B) p p C) p 0 p D) p p E) p 0 p 4
9. SINIF MATEMATİK TEST 7. R, R, bileşik önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) R, R, B) R, R, C) R, R, 4. Ahmet in Sevgi den büük olması, Sevgi nin Mehmet ten küçük olmasını gerektirir Yukarıdaki gerektirmenin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Sevgi nin Mehmet ten küçük olmaması, Ahmet in Sevgi den büük olmamasını gerektirir. B) Sevgi nin Ahmet ten büük olması, Mehmet in Sevgiden küçük olmasını gerektirir. D) R, R, E) R, R, C) Sevgi nin Mehmet ten büük olması, Ahmet in Sevgi den küçük olmasını gerektirir. D) Ahmet in Sevgi den küçük olması, Sevgi nin Mehmet ten büük olmasını gerektirir. E) Ahmet in Sevgi den büük olmaması, Sevgi nin Mehmet ten küçük olmamasını gerektirir.. p q q p bileşik önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) p q C) q p D) p q E) q p 5. 5 olması, olmasını gerektirir. Yukarıdaki gerektirmenin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir?. Her saı, mutlak değere sahiptir Önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) Bazı saılar mutlak değere sahip değildir. B) Bazı saılar mutlak değere sahiptir. C) Bazı saılar birden fazla mutlak değere sahiptir. A) olması, 5 olmasını gerektirir. B) olması, 5 olmasını gerektirir. C) 5 olması, olmasını gerektirir. D) olması, 5 olmasını gerektirir. E) 5 olması, olmasını gerektirir. D) Her saı mutlak değere sahip olmaabilir. E) Her saı mutlak değere sahip değildir. 5
9. SINIF MATEMATİK TEST 7 6. c a 5 b 5 9. Kar ağar ise hava soğuk olur önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? 7 A) Hava soğuk ise kar ağar. Yukarıdaki işlem şemasına göre c nin değeri nedir? A) 5 B) 0 C) D) 5 E) 7 B) Kar ağmaz ise hava soğuk olmaz. C) Havanın soğuk olması, kar ağmasını gerektirir. D) Kar ağması için havanın soğuk olması eterlidir. 7. p p p p p p 0 p 0 p p p p 0 0 0 p p p p p 0 p 0 E) Hava soğuk olmaz ise kar ağmaz. p p 0 p p 0 Yukarıda, mantıksal bağlaçlarla oluşturulmuş ve işlem tabloları verilmiştir. Buna göre, ve erine aşağıdaki mantıksal işleçlerden hangisi getirilmelidir? A) B) 0. p : Ekonomi ii q : Alım gücü üksek r : Kargaşa ok C) D) E) olmak üzere, p q r önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Alım gücü üksek ve kargaşa ok ise ekonomi iidir. 8. 4 önermesini ifade etmek için aşağıdakilerden hangisi kullanılmaz? A) 4 olması için olması eter. B) olması C) ise 4 D) olması için 4 olmasını gerektirir. olur. 4 olması gerektir. B) Ekonomi ii değilse kargaşa vardır vea alım gücü üksek değildir. C) Kargaşa var vea alım gücü az ise ekonomi kötüdür. D) Kargaşa ok değil vea alım gücü üksek değil ise ekonomi ii değildir. E) Kargaşa ok değil ve alım gücü üksek değilse ekonomi ii değildir. E) 4 olması olmasını gerektirir. 6
BÖLÜM KÜMELER
9.SINIF MATEMATİK KÜMELER.. TEMEL KAVRAML AR Kümelerin Gösterilişi Kümeler gösterilirken, liste, ortak özellik, venn şeması öntemleri kullanılır. Örnek 04068 saısında kullanılan rakamların kümesi A olsun, A kümesini liste, ortak özellik, venn şeması öntemlerile ifade ediniz. Liste : A 0,,4,6,8 Ortak özellik : A : çiftrakam Venn şeması : Örnek A,,5,7 B,,5,7,9 C 0,,4,6,8 Kümelerini ortak özellik ve venn şeması öntemlerile ifade ediniz. Ortak özellik: A : asal rakam B : tek rakam C : çift rakam Venn şeması: A A...0.0.4.6.5..8.6.4.7.8 B C..9 Eşit Küme, Denk Küme, Arık Küme Anı elemanlara sahip kümelere eşit kümeler, Eleman saıları eşit kümelere denk kümeler, Ortak elemanı bulunmaan kümelere de arık kümeler denir. Örnek A : 0, N B :5 0, Z C :bir rakam ve 4 tenbüük değil Kümelerinden eşit, denk ve arık olanları belirleiniz. A 0,,,, 4 B 5, 6,7,8,9 C 0,,,,4 A ve C kümeleri anı elemanlara sahip olduklarından eşit kümelerdir. A=C s(a)=s(b)=s(c) olduğundan üçü de birbirine denktir. ABC B ve C kümelerinde ortak eleman olmadığı için, B ve C arık kümelerdir. B C Benzer şekilde A ve B kümeleri de arıktır. A B Sonlu, Sonsuz Kümeler Sonsuz saıda elemana sahip kümelere sonsuz küme, Sonlu saıda elemana sahip kümelere sonlu küme denir. Örnek A : n,n N B :rakam C :, R Kümelerini inceleelim: A kümesi tek doğal saıları ifade eder dolaısıla sonsuz kümedir. B kümesi rakamların kümesidir. dolaısıla sonlu kümedir. C kümesi den büük ve den küçük reel saıları ifade eder dolaısıla sonsuz kümedir. Saılabilir, Saılamaz Kümeler Doğal saılar kümesile bire bir eşleme apabildiğimiz kümelere saılabilir; apamadığımız kümelere saılamaz kümeler denir. Örnek Saılabilir Kümeler: Doğal Saılar, Tam Saılar, Rasonel Saılar..., Saılamaz Kümeler: Reel Saılar, Karmaşık Saılar... 9
9.SINIF MATEMATİK KÜMELER Boş Küme Elemanı olmaan kümelere boş küme denir. A boş bir kümese A vea A= azılır. Boş kümelerin eleman saısı 0 dır. Aşağıdakilerden hangisi boş küme değildir? A) : 0, N B) :4 5, Z C) : 0, R D) :, Z E) : N, N Sıfırda küçük doğal saı olmadığından, : 0, N = 4 ile 5 arasında tamsaı bulunmadığından, :4 5, Z = Karesi negatif reel saı olmadığından, : 0, R = Karesinin karekökü kendisine eşit olan negatif tamsaı olmadığından, :, Z = Kendisi ve karekökü doğal saı olan sonsuz tane doğal saı vardır. : N, N Uarı Cevap E Elemanı boş küme olan küme, boş küme değildir. Alt Küme, Öz Alt Küme A için B oluorsa, A kümesi B kümesinin alt kümesidir. A kümesinin, B kümesinin alt kümesi olduğunu ifade etmek için A B azılır. A B ve AB ise A kümesine B kümesinin öz alt kümesi denir. Dolaısıla, her küme kendisinin öz olmaan alt kümesidir. Uarılar. Boş küme her kümenin alt kümesi kabul edilir. A. Her küme kendisinin alt kümesidir. A A. Eşit iki kümeden biri diğerini her zaman kapsar. A B (A B) (B A) 4. A kümesi B kümesinin ve B kümesi de C kümesinin alt kümesi ise A kümesi C kümesinin alt kümesidir. (A B) (B C) A C 5. Her kümenin sadece tane öz olmaan alt kümesi vardır o da kendisidir. Örnek A a,b,c kümesinin alt kümelerini azınız. ) ) a 5) a,b 8) a,b,c ) b 6) a,c 4) c 7) b,c Yukarıdaki alt kümelerden ilk 7 tanesi öz alt kümeler, 8. si (Kendisi) ise öz olmaan alt kümedir. Aşağıdaki ifadelerden hangisi anlıştır? A) Her küme kendisinin alt kümesidir. B) Boş küme her kümenin alt kümesidir. C) Her kümenin en az tane öz alt kümesi vardır. D) Bir kümenin elemanlı alt küme saısı, kümenin eleman saısına eşittir. E) Her kümenin sadece tane öz olmaan alt kümesi vardır. Boş kümenin öz alt kümesi bulunmamaktadır. Cevap C Kuvvet Kümesi Bir kümenin alt kümelerinden oluşan kümee kuvvet kümesi denir. Bir A kümesinin kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir. Örnek A, P(A),,,, Alt Küme, Öz Alt Küme Saısı n n elemanlı bir kümenin tane alt kümesi vardır; Bu alt kümelerden tanesi(kendisi) öz olmaan alt küme diğerleri de öz alt kümedir. n n elemanlı bir kümenin tane öz alt kümesi vardır. Alt küme saısı, eleman saısının 4 katı olan kümenin, kaç tane öz alt kümesi vardır? A) B) 7 C) 5 D) E) 6 40
9.SINIF MATEMATİK KÜMELER Seçeneklerden hareketle cevaba ulaşalım; Öz alt küme saısı 5 olan bir kümenin, alt küme n saısı 5+=6 olur. 6, eleman saısı 4 olur. Cevap C Alt küme saısıla öz alt küme saısının toplamı 0 olan kümenin elemanlı kaç alt kümesi vardır. A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) n elemanlı bir kümenin, n tane elemanlı alt kümesi vardır. n elemanlı bir kümenin alt küme saısı n öz alt küme saısı n n 0 n n 04 n. 04 n 5 n 9 n 9 bulunur. n Faktörielli Saılar Cevap C n N olmak üzere den n e kadar olan doğal saıların çarpımı n! ile gösterilir. 0!= kabul edilir. Örnek 5!=5.4...=0 4!=4...=4!=..=6!=.=!= 0!=0 5!=5.4!=5.4.!=5.4..!=5.4... n!=n.(n-).(n-) n!=n.(n-)!=n.(n-).(n-)! (n )! n! n! 0!? 0! 9! A) 400 9 B) 0 C) 9 D) 0 9 E)! 0!.0! 0! 0! 9! 0.9! 9! 0! 9!(0 ) (n )! n!? (n )! 0.9!.0 9!.9 400 9 Cevap A A) n! B) n C) n.(n-) D) n.(n+) E) n (n )! n! (n ).n! n! (n )! (n )! n!(n ) (n )! n!.n (n )! n.(n )!.n (n )! n.n n bulunur. Cevap B n n! eşitsizliğini sağlaan kaç tane n doğal saısı vardır? A) B) C) D) 4 E) 5 0!=, 0 0!= ve 0 0! olur. olduğundan!!= ve 4 olduğundan!=6 ve 9 olduğundan!! n> için n n! olur. Sonuçta n= ve n= için soruda verilen eşitsizliğin sağlandığı görülür. Cevap B 4
9.SINIF MATEMATİK KÜMELER Kombinason n r olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r elemanlı kombinasonu denir. Kombinason Saısının Hesabı n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasonlarının (r elemanlı alt kümelerinin) saısı, n C(n,r) vea şeklinde gösterilir. r n n! Cn,r r n r!.r! Örnekler. 5 elemanlı bir kümenin elemanlı alt küme saısı: 0 tanedir. 5 5! 5! 5.4.! (5 )!.!!.!!.!. 6 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı alt küme saısı: 5 tanedir. 6 6! 6! 6.5.4! 4 (6 4)!.4!!.4!!.4!. a+ elemanlı bir kümenin a elemanlı alt küme saısı: a a! a a a!. a! a.(a).(a )!!. a! a a A a,b,c,d,e,f,g olmak üzere, A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin taç tanesinde, A kümesindeki bütün sesli harfler bulunur? A) B) 5 C) 0 D) 5 E) A kümesindeki sesli harfler a ve e dir. Dolaısıla soruda istenen 4 elemanlı alt kümelerin elemanı net olarak bellidir. a e?? Belli olmaan elemanı A kümesindeki diğer 5 elemandan ani b, c, d, f içinden seçeriz. 5 elemandan eleman C(5,)=0 farlı şekilde seçilir. Cevap C C(n,r) nin özellikleri. n n n 0.. 4. 5. n n n n n n a b n a b n n a b n vea a b a b n n n n n... 0 n n n n r r r elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin saısı ise elemanlı bir kümenin, 4 vea 5 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) B) C) D) + E) + 5 4 5 Cevap A 5 elemanlı bir kümenin 4 ten az elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) B) 6 C) 5 D) 0 E) 5 5 5 5 6 5 4 Cevap B olmak üzere elemanlı bir kümenin, elemanlı alt küme saısıla elemanlı alt küme saısı eşit ise. en çok kaç olur. A) 49 B) 48 C) 4 D) 6 E) iken ise olur. Toplamları olan iki sama saısının çarpımları en çok 6.7= 4 olur. Cevap C elemanlı bir kümenin, - elemanlı alt küme saısı 6 ise kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 4
9.SINIF MATEMATİK KÜMELER 6 6 8 bulunur. Cevap B A,,,4,5,6,7 kümesinin, alt kümelerinin kaç tanesinde bulunur; ama 5 bulunmaz? A) 64 B) C) 5 D) 0 E) 5 bulunacak, 5 bulunmaacak dolaısıla gerie kalan 5 elemanla farklı küme oluşturulur. 5 Cevap B A,,,4,5,6,7 kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde bulunur; ama 5 bulunmaz? A) 64 B) C) 5 D) 0 E) 5 Seçilecek 5 elemandan tanesi belli.???? 5 elemanının kullanılmasına soru müsaade etmediğinden; diğer 4 elemanı seçerken, ve 5 dışındaki 5 tane eleman kullanılır. 5 5 tane elemandan 4 tanesi 5 farklı şekilde seçilir. 4 Cevap E A,, B,,, 4,5, 6,7 olduğuna göre, B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin, A alt kümesi olur? A) 6 B) 5 C) 8 D) 5 E) 4 Bizden istenen kümeler, A kümesini kapsar ve anı zamanda B kümesi tarafından kapsanır. B nin elemanlarından 4 tanesi A da bulunmamaktadır. Dolaısıla bu 4 elemandan oluşturulan alt kümeler A kümesine ilave edilirse soruda istenen kümeler elde edilir. Bu da 6 farklı şekilde apılır. 4 Cevap A A a,b,c B a,b,c,d, e, f,g,h olduğuna göre, B kümesinin öz alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar? A) B) C) 6 D) 5 E) 8 s(b) s(a)=8 s(b) s(a)=5 5 Cevap B ten az elemanlı alt kümelerinin saısı, 5 ten çok elemanlı alt kümelerinin saısına eşit olan bir küme kaç elemanlıdır? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 7 Aranankümenin eleman saısı olsun, 0 6 7 8 8 Cevap D A,,,4,5 kümesinin, elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin, elemanlarının çarpımı çift saıdır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 n tane tamsaının çarpımının çift olması için içlerinden en az tanesinin çift olması eterlidir. Dolaısıla n tane tamsaının çarpımı tek ise bu saıların hepsi tek saıdır. A kümesinin elemanlı alt kümelerinden, elemanlarının tamamı tek saı olan sadece,,5 kümesi vardır. Diğer elemanlı alt kümelerinin hepsinde en az tane çift saı vardır. 5 0 9 Cevap A 4
9.SINIF MATEMATİK KÜMELER Pascal Üçgeni, Alt Küme İlişkisi Pascal üçgeninin n. satırı, n n n,,..., n dizisindeki saılardan oluşur. 0 0 0 0 0 4 4 4 4 4 0 4 5 5 5 5 5 5 0 4 5... Uarı Pascal üçgeninden n n n r r r özdeşliği rahatlıkla görülebilir. 4 4 5,, 0 0 4 6 4 5 0 0 5.satır().satır().satır(4) 4.satır(8) 5.satır(6) 6.satır() Pascal üçgeninin n. satırındaki saıları topladığımızda n elemanlı kümenin alt küme saısını buluruz. Pascal üçgeninde n.satırındaki soldan r.saı, n - elemanlı kümenin r elemanlı alt küme saısını verir. 5 elemanlı bir kümenin elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 5+=6 +=4 Pascal üçgeninde 6. satırdaki soldan 4. saı sorumuzun cevabıdır. Cevap B 44
9. SINIF MATEMATİK TEST 8. A 0,, 6,,0,0 olmak üzere, A kümesinin ortak özellik öntemile ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) A : n, n N B) A : n, n N C) A : n n, n N D) A : n n, n Z. SARIMSAK kelimesindeki harflerin kümesi A olduğuna göre, aşağıdaki kümelerden hangisi A kümesine eşit değildir? A) KARASIRMA kelimesindeki harflerin kümesi B) SAKARIM kelimesindeki harflerin kümesi C) KIRIKASMA kelimesindeki harflerin kümesi D) KISRAK kelimesindeki harflerin kümesi E) MARKASI kelimesindeki harflerin kümesi E) A : n n, n N 4. A : n, n 5, n Z olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi A kümesine denktir?. A,,,4 A),,,4,5 B, C 4,5,6 B) : n, n 5, n Q C) : n, n, n Z olduğuna göre, A, B ve C kümeleri için en ugun ortak şema aşağıdakilerden hangisidir? A) A C B) A B B D) SARMASAR kelimesindeki harflerin kümesi E) 066 0 0 0 telefon numarasında kullanılan rakamların kümesi C C) A B C D) A B 5. Aşağıdakilerden hangisi sonlu kümedir? A) : 00, N C B) :, R E) A B C C) : 0, Q D) :, Z E) : 4, N 45
9. SINIF MATEMATİK TEST 8 6. Aşağıdaki saı kümelerinden hangisi saılamaz sonsuz kümedir? A) Sama Saıları Kümesi B) Doğal Saılar Kümesi C) Tam Saılar Kümesi D) Rasonel Saılar Kümesi E) İrrasonel Saılar Kümesi 9. A ve B kümeleri için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) A A B) C) A B A B B A D) A E) A B B C A C 7. Aşağıdakilerden hangisi boş küme değildir? A) :!, N B) :, R C) :, N D) : 0, R E) : 0, R 0. A, olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi A kümesinin alt kümesi değildir? A) B) C) D) E), 8. A,,,, olmak üzere, A kümesinin öz alt küme saısı kaçtır? A) B) 7 C) 5 D) E) 6 46
9. SINIF MATEMATİK TEST 9. Bir kümenin kuvvet kümesinin alt küme saısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) 4 C) 8 D) 6 E) 56 4. a,b,c,d,e,f kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, a ve b bulunur fakat c bulunmaz? A) 6 B) 4 C) D) 0 E) 8. 5 elemanlı alt küme saısı 7 elemanlı alt küme saısına eşit olan bir kümenin, elemanlı alt küme saısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 7 B) 66 C) 60 D) 56 E) 48 5. A : bir rakam olmak üzere, A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, en az bir tane asal rakam bulunur? A) 75 B) 80 C) 85 D) 90 E) 95. 8 elemanlı bir kümenin, en çok elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 56 B) 69 C) 7 D) 9 E) 96 47
9. SINIF MATEMATİK TEST 9 6. 4 elemanlı alt küme saısı elemanlı alt küme saısından çok olan bir küme, en az kaç elemanlıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 9. A, B,,, 4,5 olmak üzere, A C B şartını sağlaan kaç farklı C kümesi vardır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) 6 7. 7 elemanlı bir kümenin, tek saıda elemana sahip kaç alt kümesi vardır? A) 64 B) 7 C) 80 D) 88 E) 96 0. n tek saı olmak üzere, n n n n... 8 5 n 8 eşitliğini sağlaan, n saısının değeri nedir? A) B) 5 C) 7 D) 9 E) 8. a,b,c,d,e,f,g,h kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a vardır fakat h oktur? A) 5 B) 7 C) 8 D) 0 E) 48
9.SINIF MATEMATİK.. KÜMELERDE İŞLEMLER Evrensel Küme Bir işlemde, olada, problemde,... geçen bütün kümeleri kapsaan kümee evrensel küme denir. Evrensel küme E harfile gösterilir. Örnek Aşağıdaki şemada, E evrensel kümesi ve A,B,C kümeleri verilmiştir. E A C B s(e)=++z+t= s(a)=+=7 s(b)=+z= t= KÜMELER ++z= ++z=0 =9, =8, ve z=4 Sadece futbol vea sadece basketbol onaanların saısı +z= bulunur. Cevap C Tümleen Küme E evrensel kümesi içindeki bir A kümesi için, A kümesinde bulunmaan elemanların oluşturduğu kümee A kümesinin tümleen kümesi denir. A kümesinin tümleenini gösterirken A kullanılır. Evrensel Küme E: Evrensel Küme A kümesi Kişilik bir sınıfta 7 kişi futbol kişi basketbol onamaktadır. kişi her iki ounu da onamadığına göre, kaç kişi sadece futbol vea sadece basketbol onamaktadır? A (Taralı Alan) A) 7 B) 9 C) D)4 E)5 kişiden tanesi herhangi bir oun onamadığına göre = tanesi futbol vea basketbol onamaktadır. Futbol onaanlarla basketbol onaanların toplamı 7+=0 olduğundan bazı öğrenciler hem futbol hem de basketbol onamaktadır. E: Sınıftaki öğrenciler (Evrensel küme) A: Futbol onaanlar B: Basketbol onaanlar. : Sadece futbol onaanların saısı : Hem futbol hem de basketbol onaanların saısı z: Sadece basketbol onaanların saısı t: Futbol ve basketbol onamaanların saısı Örnek E a,b,c,d,e,f,g A a,b, e B b,c,e,f,g olduğuna göre A ve B kümelerini bulunuz. E kümesinde olan fakat A kümesinde olmaan elemanlar A kümesini oluşturur. A c,d, f,g E kümesinde olan fakat B kümesinde olmaan elemanlar B kümesini oluşturur. B a,d E A t z B Uarı. Bir kümenin, tümleeninin tümleeni kendisidir. A A. A ve A kümeleri arık kümelerdir.. s(a)+s( A )=s(e) 4. E, E 5. A B A B 49
9.SINIF MATEMATİK KÜMELER A ve B, E evrensel kümesinin alt kümesidir. s(e) =.s(a).s(e) = 4.s(B ) s( A ) s(b) = 0 olduğuna göre s(e) kaçtır? A) 8 B) 40 C) 44 D) 46 E) 48.s(E) 9.s(A) 4.s(B ) s(e) olsun, s(a) 4 s(a ) 4 8 s(b ) 9 s(b) 9 s(a ) s(b) 8 5 5 0 4 s(a).4 48 bulunur. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(a)+s(b )= s( A )+s(b)=7 olduğuna göre s(e) kaçtır. Cevap E A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Verilen eşitlikleri taraf tarafa toplaalım, s(a) s(a ) s(b) s(b ) 7 s(e) s(e) 0 s(e) 5 bulunur. Cevap A A ve B kümeleri E evrensel kümesinin arık iki alt kümesidir..s(b) s(a), s(a ) s(b ) E kümesindeki bütün elemanlar, A vea B kümesinde olduğuna göre s(e) kaçtır? A) B) 7 C) 5 D) E) 9 da verilenlerden A B olduğu görülür. dolaısıla s(e) s(a) s(b) olur..s(a).s(b) s(a) s(b). s(b).s(b).s(b) 6.s(B) s(b) 7 ve s(a) 5 bulunur. s(e) s(a) s(b) s(e) 7 5 s(e) bulunur. Birleşim İşlemi (Vea) Cevap D A ve B kümeleri için, A B : ( A) ( B) kümesine, A ve B kümelerinin birleşim kümesi denir. Örnekler s(a)=+ s(b)=+z s( A B )=++z. A,,, 4, B, 4,5,6,7 A B,,,4,5,6,7 s(a)=4 s(b)=5 s( A B )=7 s( A B )<s(a)+s(b). A a,b,c, B a,b,c, d,e A B a,b,c, d, e A A B A B B s(a)= s(b)=5 s( A B )=s(b) z B A B (Taralı Alan) 50