T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI OPTİMAL KONTROL VE OPTİMİZASYON YÜKSEK LİSANS TEZİ.

Transkript

1 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI OPTİMAL KONTROL VE OPTİMİZASYON YÜKSEK LİSANS TEZİ Nilgün CAN Balıkesir, Ocak - 8

2 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI OPTİMAL KONTROL VE OPTİMİZASYON YÜKSEK LİSANS TEZİ Nilgün CAN Balıkesir, Ocak 8

3 3

4 ÖZET OPTİMAL KONTROL VE OPTİMİZASYON Nilgün CAN Balıkesir Üniversiesi, Fen Bilimleri Ensiüsü, Maemaik Anabilim Dalı (Yüksek Lisans Tezi / Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Necai ÖZDEMİR) Balıkesir, 8 Bu ezin amacı uygulamalı maemaiğin ve mühendisliğin çeşili dallarında kullanılan opimal konrol ve opimizasyonu anımakır. Bu nedenle öncelikle opimal konrol sisemleri ve opimizasyon ile ilgili emel bilgileri oraya koymakadır. Tezde opimal konrol, opimizasyon, varyasyonlar ve lineer quadraik opimal konrol sisemleri ile ilgili bilgiler emel olarak kullanılmışır. Opimal konrol için opimizasyon probleminin iziksel süreç modeli, amaç onksiyonu, durum ve konrol değişkenlerinin sınırları açıklanmışır. Fonksiyonun opimumu hesaplanırken Lagrange çarpan meodu ve direk meoan yararlanılmışır. Fonksiyonelin opimizasyonu için Lagrange, Hamilon denklem ormu ve Ponryagin prensibi kullanılmışır. Lineer quadraik opimal konrol sisemleri sonlu zamanlı olarak incelenmiş ve opimal perormans indeksi ile opimal konrol belirilmişir. Lineer quadraik Riccai sisemi, maris dieransiyel Riccai denklemi analiik çözümüyle açıklanmışır. ANAHTAR SÖZCÜKLER : Opimal konrol / Opimal Durum / Opimizasyon / Perormans İndeksi / Varyasyon ii

5 ABSTRACT OPTIMAL CONTROL AND OPTIMIZATION Nilgün CAN Balikesir Universiy, Insiue o Science, Deparmen o Mahemaics ( M. Sc. Thesis / Supervisor : Assis. Pro. Dr. Necai ÖZDEMİR ) Balikesir - Turkey, 8 The aim o his hesis is o inroduce opimal conrol and opimizaion which are used in various branches o applied mahemaics and engineering. In accordance wih his, irs i also maniess all he basic inormaions abou opimal conrol sysems and opimizaion. In his hesis, inormaion concerning opimal conrol, opimizaion, variaions and lineer quadraic opimal conrol sysems is eplained in basic erms. Furhermore, or opimal conrol, consrains o coeiciens o conrol and sae, purpose uncion and physical process model o opimizaion maer are eplained. While calculaing he opimum o he uncion Langrange muliplier mehod and direc mehod were being uilized. For he opimizaion o he uncion he equaion o Lagrange, Hamilon ormalism and Ponryagin principle are used. Lineer quadraic opimal conrol sysems are eamined in accordance wih inieime and remarked as opimal perormance inde and opimal conrol. Lineer quadraic Riccai sysem is eplained by means o he analyical soluion o mari dierenial Riccai equaion. KEY WORDS : Opimal conrol / Opimal sae / Opimizaion / Perormance Inde / Variaion. iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET, ANAHTAR SÖZCÜKLER ABSTRACT, KEY WORDS İÇİNDEKİLER SEMBOL LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ TABLO LİSTESİ ÖNSÖZ Saya ii iii iv vii viii i. GİRİŞ. Klasik ve Modern Konrol. Opimizasyon 3.3 Opimal Konrol 4.3. Sisem 5.3. Perormans İndeksi Örnek Opimal-Zamanlı Konrol Sisemi İçin Perormans İndeksi Örnek Opimal-Yakılı Konrol Sisemi İçin Perormans İndeksi Örnek Minimum-Enerjili Konrol Siemi İçin Perormans İndeksi Örnek Biiş Konrol Sisemi İçin Perormans İndeksi Örnek Genel Opimal Konrol Sisemi İçin Perormans İndeksi Sınırlar Opimal Konrol Siseminin Biçimsel Durumu 9.4 Tarihi Tur.4. Varyasyon Hesabı.4. Opimal Konrol Teori. OPTİMİZASYON 4. Giriş 4. Tarihi Gelişimi 5.3 Opimizasyon Probleminin İadesi 5.4 Klasik Opimizasyon 6.5 Tek Değişkenli Opimizasyon 6.5. Teorem 7.5. Teorem Örnek.6 İki Değişkenli Opimizasyon iv

7 Saya.6. Örnek 3.7 Kısısız Çok Değişkenli Opimizasyon 3.7. Tanım 4.7. Teorem Teorem Teorem Örnek 8.8 Konveks ve Konkav Fonksiyonlar 9.9 Eşilik Kısılı Çok Değişkenli Opimizasyon 3.9. Lagrange Çarpanları Yönemi Örnek 3. Eşisizlik Kısılı Opimizasyon ve Kuhn Tucker Şarları 35.. Örnek 37. Newon Yönemi 38.. Örnek VARYASYON HESABI VE OPTİMAL KONTROL 4 3. Ana Kavramlar Fonksiyon ve Fonksiyonel Arış Örnek Örnek Dieransiyel ve Varyasyon Örnek Örnek Bir Fonksiyon ve Fonksiyonelin Opimumu Tanım Bir Fonksiyonun Opimumu Tanım Bir Fonksiyonelin Opimumu Teorem Temel Varyasyon Problemi Sabi-Biiş Zamanlı ve Sabi-Biiş Durumlu Sisem Lemma Euler-Lagrange Denkleminin Yorumu Euler-Lagrange Denklemi İçin Farklı Durumlar Örnek Örnek İkinci Varyasyon Örnek Şarlarla Fonksiyonların Eksremumları Örnek Direk Meo Lagrange Çarpan Meodu Teorem Şarlarla Fonksiyonellerin Eksremumu Örnek Opimal Konrol Sisemlerine Varyasyonel Yaklaşım Aşama : Bir Fonksiyonelin Opimizasyonu Aşama : Bir Fonksiyonelin Opimizasyonu İle Şarı 79 v

8 3.7.3 Aşama 3: Lagrange Denklem Formuyla Opimal Konrol Sisem Aşama 4: Hamilon Denklem Formuyla Opimal Konrol Sisem: 8 (Ponryagin Prensibi) Biiş Maliye Fonksiyonlu Serbes-Biiş Noka Sisemi Örnek Örnek Önemli Özellikler 9 Saya 4. LİNEER QUADRATİK OPTİMAL KONTROL SİSTEMLERİ Problem Formülleme Sonlu Zamanlı Lineer Quadraik Düzenleyici Önemli Özellikler Genel Perormans İndeksli LQR Sisemi 4.3 Maris Dieransiyel Riccai Denklemine Analiik Çözüm Örnek 6 5. VARYASYON HESABI, OPTİMAL KONTROL VE OPTİMİZASYONUN KARŞILAŞTIRILMASI 9 6. SONUÇ VE DEĞERLENDİRME 7. KAYNAKLAR vi

9 SEMBOL LİSTESİ Simge Tanımı u( ) Konrol değişkeni ( ), Durum değişkeni e( ) Haa değişkeni u ( ) Opimal konrol değişkeni y( ) Çıkış değişkeni ( ) Durum marisinin ranspozesi CF Maliye onksiyonu PI Perormans indeksi SISO Tek giriş ve ek çıkışlı sisem MIMO Çok giriş ve çok çıkışlı sisem (, ) Fonksiyonun değişkenine bağlı arışı J ( ), δ ( ) Fonksiyonelin ( ) onksiyonuna bağlı arışı d ḟ ( ) nin dieransiyeli nin ürevi ( ) Opimallık şarı L λ ( ) δ ( ) δ u( ) H OLOC CLOC LTV DRE TPBVP LQR LQG ma min Lagrange denklemi Lagrange çarpanı (cosae onksiyonu) Durum onksiyonunun varyasyonu Konrol onksiyonunun varyasyonu Hamilon denklemi (Ponryagin onksiyonu) Açık-döngü opimal konrolcü Kapalı-döngü opimal konrolcü Lineer zamanla değişen sisem Dieransiyel Riccai denklemi İki-noka sınır değer problemi Lineer quadraik düzenleyici Lineer quadraik Gauss Maksimum Minimum vii

10 ŞEKİL LİSTESİ Şekil Numarası Adı Saya Şekil. Klasik konrol konigürasyonu Şekil. Modern konrol konigürasyonu 3 Şekil.3 Modern konrol siseminin bileşenleri 4 Şekil.4 Opimal konrol problemi 5 Şekil. ( ) in minimum, ( ) in maksimumu ile aynı 4 olması Şekil. Yerel ve bölgesel minimum (maksimum) nokalar 7 Şekil.3 da ( ) in ürevinin olmaması durumu 9 Şekil.4 Durağan (dönüm) noka 9 Şekil.5 Konveks onksiyon 3 Şekil.6 Konkav onksiyon 3 Şekil 3. Bir ( ) onksiyonunun arışı, d dieransiyeli 4 ve ḟ ürevi Şekil 3. J onksiyonelinin J arışı ve δ J ilk varyasyonu 45 Şekil 3.3 Sabi-biiş zamanlı ve sabi-biiş durumlu sisem 5 Şekil 3.4 Sıırdan arklı g( ) ve δ ( ) keyisi 53 Şekil 3.5 Yay uzunluğu 57 Şekil Örneği için opimal konrolör 87 Şekil 3.7 Açık-döngü opimal konrol 93 Şekil 3.8 Kapalı-döngü opimal konrol 93 Şekil 4. Kapalı-döngü opimal konrol uygulaması viii

11 TABLO LİSTESİ Tablo Numarası Adı Saya Tablo. Örnek.. için Newon yönemi 4 Tablo 5. Varyasyon hesabı, opimal konrol ve opimizasyon probleminin karşılaşırılması 9 i

12 ÖNSÖZ Bu çalışma süresince değerli vakini ayırıp, bilgi ve ecrübeleri ile beni yönlendiren, her ürlü kaynağını, ilgisini, deseğini ve yardımlarını benden esirgemeyen değerli hocam ve danışmanım Yrd. Doç. Dr. Necai Özdemir e; Bu günlere gelmemi sağlayan, sevgisi ve ilgisi ile hep yanımda olan canım aileme eşekkür ederim Balıkesir, 8 Nilgün CAN

13 . GİRİŞ Bu ilk bölümde, opimal konrol ve opimizasyon ile ilgili kavramlar verilmiş ve varyasyon hesabı ve opimal konrolün arihine değinilmişir.. Klasik ve Modern Konrol Klasik konrol eori Laplace dönüşümlerine dayalı ek giriş ve ek çıkışlı sisemlerle ilgilidir. Sisemi blok diyagram ormunda gösermede kullanılır. Y( s) G( s) = (.) R( s) + G( s) H ( s) s burada Laplace değişkeni ve G( s) = G ( s) G ( s) (.) c p ir. i. e( ) haası ile sisemin girişi u( ) belirlenir. ii. Tüm değişkenler geribildirim için uygun değildir, birçok durumda sadece ek bir çıkış değişkeni geribildirim için uygundur. Modern konrol eori birinci dereceli dieransiyel denklemlerin durum değişken göserimini emel alan çok giriş ve çok çıkışlı sisemlerle ilgilidir. Burada sisem, durum değişkenleri ile karakerize edilir, yani, lineerdir, zaman sabii ormu ile aşağıdadır.

14 Gönderme Girişi R( s) + Haa İşarei E( s ) Denkleşirgeç Konrol Sisem Gc( s ) Girişi G p ( s ) U ( s ) Çıkış Y( s ) Geribildirim H ( s ) Şekil. Klasik konrol konigürasyonu ( ) = A( ) + Bu( ) (.3) y( ) = C( ) + Du( ) (.4) Burada noka dieransiyel;, ( ), u( ) ve y( ) sırasıyla n, r, m boyulu durum, konrol ve çıkış vekörleridir. A n n durum, B n r giriş, C m n çıkış, D m r dönüşüm marisidir. Benzer olarak bir lineer olmayan sisem anımı aşağıdadır. ( ) ( ) = ( ), u( ), (.5) ( ) y( ) = g ( ), u( ), (.6) Modern eori üm durum değişkenlerinin uygun ağırlık sonrasında geribildirimin olduğunu belirler. i. u( ) girişi, ( ) sisem durumu ve r( ) gönderme işarei ile yürüülen konrolcüler belirlenir. bağlıdır. ii. iii. Tüm veya birçok durum değişkeni konrol için uygundur. Geniş çaplı bilgisayar simülasyonu için uyumlu olan maris eorisine Durum değişken göserimi benzersiz olarak dönüşüm onksiyonunu belirir. Verilen bir dönüşüm onksiyonu için birçok durum değişken göserimi vardır.

15 Gönderme Girişi r( ) C Konrol Girişi u( ) Sisem P Durum ( ) Çıkış y( ) Konrolcü Şekil. Modern konrol konigürasyonu Her konrol sisem eorisinin ilk bölümünde dinamikler elde edilir veya ormüle edilir ve dieransiyel denklem gibi dinamik denklem erimleri modellenir. Sisem dinamikleri Lagrange onksiyonuna dayalıdır. Daha sonra sisem, kararlılığını espi emek için perormansı analiz edilir. Kararlılık eorisinde Lyapunov un kakıları büyükür. Sonuç olarak, sisem perormansı açıklamalara uygun değilse, asarım yapılır. Opimal konrol eoride, asarım bir perormans indeksidir. Lagrange onksiyonu ve Lyapunov onksiyonu V gibi kavramlar eski olmalarına rağmen, bu kavramların kullanıldığı eknikler moderndir. Opimal konrol, lineer olmayan konrol, uyarlamalı konrol, sağlam konrol erimleri bu duruma en uygun erimlerdir [], [6], [6], [8].. Opimizasyon Opimizasyonun günlük yaşamda önemli bir rolü vardır. Opimizasyon konusu arklı yollarla cebirsel veya geomerik yaklaşımlara, işarelerin doğasına (gerekli veya ahmini) ve aşamaya (ekli veya çoklu) dayalı olabilir. Varyasyon hesabı opimizasyonun küçük bir bölümüdür ve opimal konrol sisemlerinin emelini oluşurur. Opimizasyon saik ve dinamik opimizasyon olmak üzere ikiye ayrılır: 3

16 Modern Konrol Sisemi Sisem Dinamikleri (Modelleme) Sisem Analizi (Perormans) Sisem Senezi (Tasarlama) Lagrange ın Durum Fonksiyonu (788) Lyapunov un V Fonksiyonu (89) Ponraygin in H Fonksiyonu (956) Şekil.3 Modern konrol siseminin bileşenleri i. Saik Opimizasyon sabi durum şarları alında sisem konrolüdür. Sisem değişkenleri zamanla değişmez. Sisem cebirsel denklemlerle anımlanır. Kullanılan eknikler adi hesaplama, Lagrange çarpanları, lineer ve lineer olmayan programlamadır. ii. Dinamik Opimizasyon dinamik şarlar alında sisem konrolüdür. Sisem değişkenleri zamanla değişir. Sisem anımı zamanı gerekirir. Sisem dieransiyel denklemlerle anımlanır. Kullanılan eknikler dinamik programlama, araşırılan eknikler, varyasyon hesabı ve Ponryagin prensibidir [], [6]..3 Opimal Konrol Opimal konrolün ana hedei bazı iziksel şarları sağlayan sisemin konrol işarelerini belirlemekir, P sisemini konrol ve durumlardaki bazı sınırlarla başlangıç durumundan biiş durumuna yürüen opimal konrol u ( ) nin ( opimal şarı göserir) bulunmasıdır. Aynı zamanda seçilen bir perormans krierini 4

17 Opimal Konrol Sisemi Sisem Maliye Fonksiyonu Sınırlar J J J* J* min ma u() u() Şekil.4 Opimal konrol problemi (perormans indeksi veya maliye onksiyonu) eksremize (minimize veya maksimize) emekir. Opimal konrol problemini ormüle eme şunları gerekirir:. Konrol edilen (genellikle durum değişken ormunda) amacın bir maemaiksel anımı (veya modeli),. Perormans indeksinin ayrınılı bir açıklaması, 3. Durum ve/veya konrollerdeki iziksel sınırlar ve sınır şarlarının bir iadesi [], [3], [4], [6]..3. Sisem Opimizasyonda lineer veya lineer olmayan denklemler kümesi ile iziksel bir sisem anımlanır. Örneğin, lineer sabi-zamanlı sisem durum ve çıkış bağlanıları 5

18 (.3) ve (.4) ile anımlanır. Lineer olmayan bir sisem ise (.5) ve (.6) ile anımlanır [], [8]..3. Perormans İndeksi Klasik konrol asarı eknikleri lineer, sabi zamanlı, ek giriş ve ek çıkışlı (SISO) sisemlere başarıyla uygulanmışır. Tipik perormans krieri zamanın arması, zamanın kararlaşırılması, uç nokayı kaçırma ve sabi durum doğruluğu gibi özellikleri bulunan, inen veya çıkan girişe sisemin zaman cevabıdır; kazanç ve evre karları ise sisemin rekans cevabıdır. Modern konrol eoride, opimal konrol problemi, bir durum değişkenini izleyen veya hedee ulaşan dinamik sisemin bir konrolünü bulmakır ve aynı zamanda birçok ormda verilebilen perormans indeksini eksremize emekir..3.. Örnek Opimal-Zamanlı Konrol Sisemi için Perormans İndeksi: Minimum zamanda keyi bir başlangıç durumu ( ) den özel bir biiş durumu ( ) e karşılık gelen perormans indeksi (PI) aşağıdadır. (.7) J = d = =.3.. Örnek Opimal-Yakılı Konrol Sisemi İçin Perormans İndeksi: Bir uzay gemisi problemi için roke mooru imesi u( ) ve yakı ükeim oranı ile oranılı ime büyüklüğü u( ) olsun. Harcanan oplam yakıı minimize emek için perormans indeksi J= u( ) d (.8) 6

19 dir ve birkaç konrol için R ağırlık akörü ile aşağıdaki hali alır. J = Ri ui ( ) d (.9) m i=.3..3 Örnek Minimum-Enerjili Konrol Siemi İçin Perormans İndeksi: Bir elekrik ağının i. düğümündeki akım ui( ), i. düğümün direnci r i olmak üzere, ağın oplam enerji harcama oranı veya oplam güç harcanan enerjiyi minimize eden perormans indeksi m ui ( ) ri dır. Toplam i= m i ( ) i (.) i= J= u r d dür veya genel olarak, J = u ( ) Ru( ) d (.) ir ve burada R bir pozii anımlı maris, ( ) ranspozeyi gösermekedir. Benzer şekilde izlenen sisemin haa inegrali minimize edilebilir. J = ( ) Q( ) d (.) Burada d ( ) isenilen değer, a ( ) gerçek değer, ( ) = a ( ) d ( ) haadır. Q pozii yarı-anımlı olabilen bir ağırlık marisidir Örnek Biiş Konrol Sisemi İçin Perormans İndeksi: 7

20 Bir biiş hede probleminde biiş zamanında veya hareke sonunda gerçek hede durumu ( ) ile isenilen hede durumu ( ) arasındaki haa minimize a edilir. Biiş haası ( ) = ( ) ( ) dır. Haanın ve ağırlık akörlerinin pozii a d ve negai değerlerine dikka edilir. Maliye onksiyonu d J= ( ) F( ) (.3) şeklindedir ve F bir pozii yarı-anımlı marisir Örnek Genel Opimal Konrol Sisemi İçin Perormans İndeksi: Yukarıdaki ormüllerle genel ormdaki perormans indeksi J = ( ) F( ) + ( ) Q( ) + u ( ) Ru( ) d (.4) veya ( ( ), ) ( ( ), ( ), ) J= S + V u d (.5) dir. Burada R bir pozii anımlı maris, Q ve F bir pozii yarı-anımlı marisir. Q ve R marislerinde zaman değişebilir. Perormans indeksinin bu ormuna (durum ve konrol erimleri ile) quadraik orm denir. Opimal konrolde problemlerin oraya çıkışı J perormans indeksinin yapısına bağlıdır. PI (.5) sadece biiş maliye onksiyonunu S ( ( ), u( ), ) içeriyorsa, Mayer problemi adını alır. Sadece inegral maliye erimini içeriyorsa, Lagrange problemi adını alır. (.5) deki gibi inegral hem maliye erimini hem de biiş maliye erimini içeriyorsa Bolza problemidir. Birçok arklı ormda maliye onksiyonu mevcuur. Quadraik ormdaki maliye onksiyonu opimal konrol sisemleri için çok önemli sonuçlara öncülük emişir [], [4], [7]. 8

21 .3.3 Sınırlar u( ) konrol ve ( ) durum vekörleri iziksel duruma bağlı ya sınırlı ya da sınırsızdır. Elekrik düğmesindeki akım ve volaj, moordaki hız, rokeeki ime kuvvei gibi iziksel sebeplerden genellikle konrol ve durum şu sınırlar arasındadır: U u( ) U ve X ( ) X (.6) + + Burada + ve değişkenlerin aldığı maksimum ve minimum değerleri göserir [], [4], [6], [7]..3.4 Opimal Konrol Siseminin Biçimsel Durumu Opimal konrol problemi lineer sabi-zamanlı sisemde u ( ) ( opimal değeri göserir) opimal konrolünü bulmakır. ( ) = A( ) + Bu( ) (.7) ( ) eksremumu bulan bir perormans indeksi verir. J = ( ) F( ) + ( ) Q( ) + u ( ) Ru( ) d (.8) Lineer olmayan sisemlerde ( ) ( ) = ( ), u( ), (.9) dir. ( ) durumu eksremumu bulan genel perormans indeksi (.6) ile verilen ( ) durum değişkenleri veya u( ) konrol değişkenlerinde bazı sınırlar ile 9

22 ( ( ), ) ( ( ), ( ), ) J= S + V u d (.) şeklindedir. Biiş zamanı sabi veya bağımsız olabilir. Biiş (hede) durum amamen veya kısmen sabi veya bağımsız olabilir. göserilmişir. Problemin durumu aşağıda Temel olarak (.8) veya (.) ile anımlanan J opimal perormans indeksi verilir, (.7) veya (.9) ile anımlanan siseme uygulanan u ( ) konrolünün bulma ile ilgilenilir. Opimal konrol sisemleri üç aşamada çalışılmışır. i. İlk aşamada, (.) ormundaki perormans indeksi ile ilgilenir, opimal onksiyonları elde eden varyasyon hesabı eorisi kullanılır. ii. İkinci aşamada, (.7) sisemi elde edilir ve sisemi yürüecek u ( ) opimal konrolü bulma denenir, (.8) perormans indeksi opimize edilir. Yukarıdaki maddeler ayrık-zaman düzlemindedir. iii. Son olarak, (.6) durum ve konrollerdeki sınırlar opimal konrolü elde eden perormans indeksi ve sisemle düşünülür [], [4], [], [6], [7]..4 Tarihi Tur Tur iki aşamada incelenirse ilk olarak varyasyon hesabının gelişimi ve ikinci olarak opimal konrol eori bulunur..4. Varyasyon Hesabı Bir esaneye göre, Tyrian prensesi Dido, Karaca şehrinin bulunduğu alanı maksimize emek için çember yayı ormunda sığır derisinden bir ip kullanır. Karaca nın bulunma hikâyesi hayali olsa da, yeni bir maemaik kuralına esin kaynağı olmuş, varyasyon hesabı ve uzanıları ile opimal konrol eori oluşmuşur.

23 Maemaiğin bir dalı olan varyasyon hesabı, bir onksiyonun eksremumu ile ilgilidir. Fonksiyonların maksimumunu veya minimumunu bulma eorisi oldukça eskidir. Yunan maemaikçi Zenodorus (M.Ö ) ve Poppus (M.S. 3) isoperimerik problemlere ulaşabilmişir. 699 da Johannes Bernoulli ( ) aynı yaay veya düşey çizgide bulunmayan iki noka arasındaki en kısa yolu bulma problemini oraya amışır. Bu problemi 638 de ilk Galileo (564 64) düşünmüş, John ve kardeşi Jacob (654 75), Goried Leibniz (646 76), Isaac Newon (64 77) araından çözülmüşür. Leonard Euler (77 783) ile Bernoulli, ilk varyasyon meodunu kullanarak bu ip problemlerin çözüm yolunu bulan Joseph- Louis Lagrange ı (736 83) ekileyen olağanüsü sonuçlara ulaşmışlardır. Böylece Euler varyasyon hesabı cümlesini kullanmışır. Daha sonra bir onksiyonun eksremumu için gerekli şara Euler-Lagrange denklemi denilmişir. Lagrange çarpan meodunu üreerek değişken son-noka problemlerini ele almışır. Daha sonra opimizasyonda Lagrange çarpan meodunun çok önemli bir yeri olmuşur. Varyasyon hesabında onksiyonun eksremumunu bulma için yeerli şarı ikinci varyasyonu ekleyerek Andrien Marie Legendre (75 833) vermişir. 836 da Jacob Jacobi (84 85) yeerli şarı analiz emiş ve sonradan bu şara Legendre-Jacobi şarı denilmişir. Aynı zamanda Sir William Rowan Hamilon ( ) çeşili dış güçler ile hareke eden uzaydaki bir parçanın harekeini gösererek mekanikler üzerinde durmuş, bunu iki ane birinci dereceli kısmi dieransiyel denklemi sağlayan ek bir onksiyon ile göserebilmişir. 838 de Jacobi bu konuda bazı iirazlarda bulunmuş ve sadece ek bir kısmi dieransiyel denklem gerekiğini gösermişir. Bu denklem Jacobi-Hamilon denklemi adını almış, daha sonra varyasyon hesabında derin ekisi olmuş ve dinamik programlama, opimal konrol gibi çalışmaların önünü açmışır. 898 de Adol Kneser, Karl Gauss ( ) un jeodezideki sonuçlarını kullanarak varyasyon hesabına yeni bir yaklaşım geirmişir. Değişken son-noka problemleri için, özel bir durum olarak orogonalliği içeren çapraz şarı açıklamışır. Oskar Bolza (857 94) ile birlike, bu problemlerde yeerli ispaı vermişlerdir. 9 de David Hilber (86 943) özdeğer ve özonksiyonlarla quadraik bir onksiyon gibi ikinci varyasyonu gösermişir. 98 ile 9 arasında, Gilber Bliss

24 (876 95) ve Ma Mason, Kneser sonuçlarında derinleşmiş, 93 de Bolza, Lagrange ve Mayer probleminin genel halini Bolza problemi olarak sunmuşur. Bliss bu üç problemin eşi olduğunu gösermişir. Günümüzde varyasyon hesabı ile ilgili Pinch (993), Wan (994), Giaquina ve Hildebrand (995), Trouman (996), Milyuin ve Osmolovskii (998) gibi maemaikçilerin kiapları bulunmakadır []..4. Opimal Konrol Teori Lineer quadraik konrol probleminin kaynağı. Dünya Savaşı (94 945) boyunca silah aeş konrolü için N. Wiener in meşhur ilreleme çalışmalarıdır. Wiener şu ormdaki haa krierini minimize eden ilreler asarlama problemini çözmüşür. { ( )} J= E e (.) Burada e( ) haa, E{ }, rasgele değişkeninin beklenilen değerini göserir. Yukarıdaki haa krierinin, inegral quadraik erimli olarak genellemesi J = e ( ) Qe( ) d (.) dir ve Q pozii anımlı marisir. R. Bellman 957 de ayrık-zamanlı opimal konrol sisemlerini çözmek için dinamik programlama ekniğini gelişirmişir. Opimal konrol sisemlerine en önemli kakı 956 da L. S. Ponryagin ve oraklarının maksimum prensibini üremeleri ile olmuşur. 96 da R. E. Kalman opimal geribildirim konrollerini asarlamak için lineer quadraik regülâör (LQR) ve lineer quadraik Gauss (LQG) eorisini gelişirmiş ve Bucy ile kendisinin ünlü sürekli Kalman ilresi, ayrık Kalman ilresi için opimal ilreleme ve ahmin eorisini sunmaya çalışmışır. Kalman opimal konrol eoride derin bir eki bırakmış ve Kalman ilresi gerçek dünya problemleri için konrol eori uygulamalarında en çok kullanılan eknik olmuşur.

25 Tüm Kalman ilresi ekniklerinde ve diğer alanlarda maris Riccai denklemi görülür. C. J. Riccai 74 de bazı ip lineer olmayan dieransiyel denklemler için, çözüm ve sonuçlar yayınlamışır. İki yüzyıl sonra bu sonuç Riccai denklemi olarak meşhur olmuşur. Kısaca opimal konrol, 6. ve 7. yüzyıl boyunca varyasyon hesabının kökleri ile gelişmişir. Tek giriş ve ek çıkışlı (SISO) sisemler için rekans düzlemi kullanılan klasik konrol eori yerine, SISO ve çok giriş ve çok çıkışlı (MIMO) sisemler için zaman düzlemi ile çalışan modern konrol eori gelmişir. Modern konrol ve opimal konrolün sağlamlık özelliği olmadığından LQR eorisini asarlayan konrolcüler, modellenmeyen dinamikler, dış rahasızlıklar ve ses ölçüm sağlamlığında başarısız olmuşlardır. Frekans düzlemi eknikleri doğal olarak sağlamlığı sunmuş ve bazı araşırmacılar MIMO sisemlerde rekans düzlem yaklaşımlarını gelişirmeye çalışmışır. Önemli bir noka, 8 lerde gelişirilen H opimal konrol eoridir. 6 ve 7 lerde H opimal konrol eori olarak geçmişir. H opimal konrol eorinin köklerini G. Zames oluşurmuş ve SISO sisemlere asarlanan opimal H hassaslık problemini ormüle emiş, opimal Nevanilina-Pick inerpolasyon eorisini kullanarak çözmüşür. Doyle, Glover, Khargonekar ve Francis adlı dör araşırmacı 99 de bu konuda yapıkları araşırmalar ile G.Baker ödülünü almışlardır []. 3

26 . OPTİMİZASYON. Giriş ( ) ( ) Şekil. ( ) in minimum, ( ) in maksimumu ile aynı olması Opimizasyon verilen şarlar alında en iyi sonucun elde edilmesi işidir. Herhangi bir mühendislik siseminin planlanması, kuruluşu bakımında mühendisler birkaç aşamada birçok idari ve eknolojik kararlar almak zorundadırlar. Böyle kararların son hedei ya arzulanan karı maksimize ya da gerekli çabayı minimize emekir. Gerçek hayaa isenen kar ya da gerekli çaba belirli kar değişkenlerinin bir onksiyonu olarak iade edilebildiğinden, opimizasyon bir onksiyonun maksimum ya da minimum değerini veren şarların bulunması sürecidir. Şekil. deki gibi nokası ( ) onksiyonunun minimum değeri ise aynı noka ( ) onksiyonunun maksimum değeri de olur. Bu yüzden bir onksiyonun maksimumu, aynı onksiyonun negaiinin minimumunu araşırarak bulunacağından opimizasyon minimizasyon anlamında kullanılabilir. Opimizasyon problemlerinin hepsini ekin olarak çözen ek bir yönem mevcu değildir. 4

27 Opimumu araşıran yönemler maemaiksel programlama eknikleri olarak adlandırılır ve genellikle yöneylem araşırması içinde çalışılmışır. Yöneylem araşırması, bilimsel yönemlerin karar verme problemlerine uygulanması ve en iyi çözümlerin bulunması ile ilgilenen maemaiğin bir branşı olarak anımlanabilir [], [9].. Tarihi Gelişimi Opimizasyonun gelişimi 8. yüzyılda Newon, Leibniz, Lagrange ve Cauchy in genel maemaik alanındaki çalışmaları ile oraya çıkmışır. Bu çalışmalar belirli iyi anımlı onksiyonlar için kullanılabilir. Gerçek hayaaki opimizasyon problemlerini ele almada genel maemaik yeerince güçlü bir araç değildir. İkinci dünya savaşından sonra yeni sayısal opimizasyon eknikleri gelişirilmişir. Buna; hızlı bilgisayarların gelişmesi, maksimum veya minimumu elde emede sayısal ekniklerin gelişimine maemaiksel analizin uygulanması eken olmuşur. Bu sayısal eknikler (yöneylem araşırması eknikleri) genel maemaiğin birçok zorluğunu oradan kaldırmışır []..3 Opimizasyon Probleminin İadesi Bir opimizasyon veya bir maemaiksel programlama problemi pi ( ), i=,,..., m (.) şarlarına göre z= ( ) onksiyonunu minimize eden bulunması işleminden oluşur. n = çözümünün 5

28 Maemaiksel programlama verilen kısılar alında çok değişkenli onksiyonların minimumunu bulmada kullanılan en yararlı eknikleridir [],[4],[4]..4 Klasik Opimizasyon Klasik opimizasyon yönemleri sürekli ve ürevlenebilir onksiyonların en iyilenmesinde kullanılır. Bu yönemler analiikir ve en iyi nokaların bulunmasında ürev hesaplamalarına ilişkin eknikleri kullanır. Bazı praik problemlerin amaç onksiyonları sürekli veya ürevlenebilir olamayacağından klasik opimizasyon eknikleri gerçek haya uygulamalarında sınırlı şekilde kullanılabilir. Ama bu eknikler sayısal ekniklerin gelişmesinde bir emel eşkil ederler [], [9]..5 Tek Değişkenli Opimizasyon Yeerince küçük pozii ve negai büün h değerleri için ( ) ( + h) ise ( ) onksiyonu = da yerel minimuma sahipir. Benzer olarak sııra yeerince yakın büün h değerleri için ( ) ( + h) ise nokasına yerel maksimum noka denir. ( ) in anımlı olduğu bölgedeki büün değerleri için, sadece a yakın büün nokalar değil, ( ) ( ) ise = da ( ) mulak veya bölgesel minimuma sahipir. Benzer olarak anım bölgesindeki büün ler için ise ( ) ( ) = da ( ) mulak veya bölgesel maksimuma sahipir. Tek değişkenli opimizasyon problemi; [ a, b ] aralığında ( ) i minimize eden = değerinin bulunmasıdır. Aşağıdaki iki eorem ek değişkenli bir onksiyonun yerel minimumu için gerek ve yeer şarları verir. Şekil. de yerel ve bölgesel minimum (maksimum) nokalar göserilmişir [], [9]. 6

29 A 4 A 3 A A B 3 B B Şekil. A, A, A 3, A4 yerel maksimum nokalar; A 4 bölgesel maksimum noka; B, B, B 3 yerel minimum nokalar; B bölgesel minimum noka.5. Teorem a b aralığında anımlı bir ( ) onksiyonu a b olmak üzere = da yerel minimuma sahipse = da ürevi ( ), var ve sonlu ise o zaman ( ) = dır []. ( + h) ( ) İspa: ( ) = lim anımlı ve var olduğu verilmiş yerel h h minimum noka olarak verildiğinden sııra yeerince yakın büün h değerleri için ( ) ( + h) (.) olur. Bu yüzden ve ( + h) ( ), h > h (.3) ( + h) ( ), h < h (.4) yazılabilir. (.3) ve (.4) için h olarak sağdan ve soldan limi alınırsa 7

30 ( + h) ( ) ( ) = lim+ (.5) h h ve ( + h) ( ) ( ) = lim (.6) h h olur. (.5) ve (.6) dan ( ) ( ) olur. Bu ( ) = olmasını gerekirir. Genel olarak ( ) = yapan üm nokalara durağan veya kriik noka denir. Maksimum veya minimum nokalara eksremum noka denir. Bu eorem için aşağıdaki nokalar mevcuur. i. Teorem yerel maksimum olduğunda da ispalanabilir. ii. Teorem bir nokasında ürev yoksa bu nokanın bir minimum veya bir maksimum olup olmadığı hakkında bir şey söylenemez. (Şekil.3) ( + h) ( ) h a sağdan ve soldan yaklaşıkça sırayla, lim = m h h (pozii) veya m (negai) olur. Burada m + ve m sayıları eşi olmadıkça ( ) ürevi olmaz. Türev olmazsa eorem uygulanamaz. Dikka edilirse bir minimum nokasıdır. iii. Fonksiyon anım aralığının uç nokalarında bir maksimum veya minimuma sahip olsa bile bu eorem uygulanmaz. + Bu durumda ( + h) ( ) lim ürevi yalnızca h ın pozii veya negai değerleri için h h söz konusu olabilir, ürev uç nokalarda anımlı değildir. 8

31 ( ) ( ) ( ) = Şekil.3 da ( ) in ürevinin olmaması durumu Şekil.4 Durağan (dönüm) noka iv. Teorem ürevin sıır olduğu her nokada bir maksimum veya bir minimum olduğunu garani emez. Yani bir maksimum (minimum) varsa kesinlikle bu nokada ürev sıırdır. Ama bir nokada ürev sıırsa bu nokada bir maksimum veya bir minimum olduğu hakkında kesin bir şey söylenemez. (Şekil.4) ( ) = şarını sağlayan nokanın maksimum veya minimum olması için yeerli şarlar aşağıdaki eoremle elde edilir []..5. Teorem n n ( ) = ( ) = = ( ) = ve ( ) olsun. n i. n çi ve ( ) > ise = da ( ) yerel minimum nokasına sahipir. ii. n çi ve n ( ) < ise = da ( ) yerel maksimum nokasına sahipir. iii. n ek ise = ne bir maksimum ne de bir minimum nokası olur, yani dönüm nokası olur []. İspa: civarında ( ) in Taylor açılımı yazılırsa, 9

32 h ( + h) = ( ) + h ( ) + ( ) +! n n h n h n + + ( ) + ( + hθ ), < θ (.7) ( n )! n! ( ) = ( ) = = ( ) = olduğundan (.7) eşiliği n n h n n ( + h) ( ) = ( + hθ ) olur. ( ) olduğunda civarında öyle n! n n bir aralık bulunabilir ki buradaki her için n. ürev ( ), ( ) ile aynı işarelidir. Bu yüzden bu aralığın her aynı işareli olur. n n + h nokasında ( + hθ ), ( ) ile n çi olduğunda n h n! n ( ) ın işarei ile aynı olur. Bu nedenle n ( ) < ise yerel maksimum olur. her zaman pozii olur. Öyleyse ( + h) ( ), n ; ( ) > ise yerel minimum, n ekse n h n! h ın işareine bağlı olarak bazen pozii, bazen negai olur. Öyleyse nokasında bu durumda ne bir maksimum ne bir minimum söz konusu olur. nokası dönüm nokası olur..5.3 Örnek ( ) =, 4, onksiyonunun maksimum veya minimum değerlerini belirleyiniz []. = + = + = = 4 3 ( ) ( )( ) Çözüm: ( ) ( ) ( ) =, =, = ve = dir. = + olur. İzleyen ürev ( ) 6( )

33 = de ( = ) =, 7 olur. = de ( = ) =, 6 + = 8, 4 ür. = da ( ) ( ) = olur. ( = ) = 6 olduğundan yerel maksimum vardır. ( n= ) ( = ) = 4 olduğundan yerel minimum vardır. ( n= ) ( = ) = olduğundan izleyen üreve geçilir. ( = ) = 4 ve n ek olduğundan (n=3) dönüm nokası olur. ( = ) ve = bir.6 İki Değişkenli Opimizasyon δ δ (, ) onksiyonunun minimum (maksimum) nokası için gerek şarlar = ve δ δ (, ) ın (, ) = dır. Yeerli şarları elde emek için h = olmak üzere civarındaki Taylor açılımını göz önüne alınır. δ + h = + h ( ) + h h ( ) ( ) i i j i= δ i i= j= δ iδ j δ = + hθ δ δ δ ( + h) ( ) = h + h h + h! δ δ δ δ (.8) u h h = olsun. δ A=, δ = + hθ δ B=, δ δ = + θ h δ C= (.9) δ = + hθ h h ( + h) ( ) = A Bu Cu Q( u)! + + =!

34 h ( + h) ( ) = Q( u) (.)! = in yerel maksimum olması için her u için Q( u ) < olması gerekir. in yerel minimum olması için her u için Q( u ) > olması gerekir. Q( u ) onksiyonunun gerçek kökleri varsa Q, u nun seçilen değerlerine bağlı olarak ya pozii ya negai ya da sıır olur. Q( u ) nun gerçek kökleri yoksa Q, u nun her değeri için her zaman ya pozii ya da negai olur. Q( u ) nun gerçek köklerinin olmadığı şarlar aşağıdadır. B Q(u)==A+Bu+Cu olsun. Q( u ) nun kökleri B ± B 4AC u = olur. C AC < ise Q( u ) eşlenik kompleks olur, bu durumda her u için Q( u ) her zaman pozii ya da her zaman negai olur. Bu durum bir eksremumu göserir. Eğer B AC > ise u nun değerlerine bağlı olarak bazen pozii bazen negai olabilir. Bu da eyer nokasını göserir, B AC = belirsizlik durumunu göserir. ve B B AC < olsun. A ve C aynı işareli olur (değilse AC negai olacak) AC pozii olur, bu da B AC < ile çelişir. Eğer A negai ve u= ise o zaman Q() = A< dır ve buradan Q( u ) < (her u için) olur. Bu da yerel maksimum demekir. A<, A + C < olur. Diğer araan A > ise A + C > ve her u için Q( u ) > olur. Bu da nokasında yerel minimum olduğunu göserir. sürekli ve ile + hθ nokasında üm ürevler sürekli olduğundan bu nokalardaki ürevler aynı işareli olurlar. Öyleyse

35 A δ =, δ B δ =, δ C δ = (.) δ olurlar. Sonuçlar özelenirse B B B B < ve A+ C< ise da yerel maksimum vardır. AC < ve A + C > ise da yerel minimum vardır. AC AC >, da eyer nokası vardır. AC =, da belirsizlik söz konusudur [], [4], [9], [4]..6. Örnek ( ) nokalarını bulunuz []., = onksiyonunun durağan δ δ Çözüm: = + + = ve = + 4+ = olur. Bunların δ δ çözümüyle ( ) 3, =, elde edilir. δ δ = = A, δ δ = 4= C, δ δ δ = = B (.) B = ve A+ C= 6 olduğundan AC vardır., = olur. 4 3, nokasında yerel minimum.7 Kısısız Çok Değişkenli Opimizasyon Kısısız çok değişkenli bir onksiyonun maksimum veya minimumu için gerek ve yeer şarlar aşağıdadır. 3

36 .7. Tanım in r. dieransiyeli: onksiyonunun nokasında r > dereceli büün kısmi ürevleri var ve sürekli ise = ( ) n n n r i j k i= j= k= δ iδ j δ k r d ( ) h h h δ (.3) iadesine da in r. dieransiyeli denir. r= ve n= 3 durumunda r δ d ( ) d,, h h ( ) 3 3 n = ( 3 ) = i j i= j= k= δ iδ j δ δ δ = h ( ) + h ( ) + h ( ) + 3 δ δ δ 3 δ δ δ + h h ( ) + h h ( ) + h h ( ) (.4) 3 3 δ δ δ δ 3 δ δ 3 nokası civarında bir ( ) in Taylor açılımı ( ) = ( ) + ( ) + d ( ) +! 3 N + d ( ) + + d ( ) + RN (, h) (.5) 3! N! olur. Son erim N+ RN (, h) = d + h! ( N+ ) ( θ ) (.6) ve burada h =, < θ< dir [], [4], [9], [4]..7. Teorem = da ( ) bir eksremuma sahip ve da ( ) in birinci kısmi ürevleri var ise 4

37 δ δ δ ( ) = ( ) = = ( ) = (.7) δ δ δ n eşiliği mevcuur []. δ δ k ( ) İspa: Birinci kısmi ürevlerden biri, yani k. si, da sıır olmasın, veya olsun. Taylor açılımı ile veya n δ ( + h) = ( ) + h ( ) + R (, h) (.8) i i i= δ i δ + h = h + d + h, < θ< (.9) ( ) ( ) ( ) ( θ ) k δ k! yazılabilir. d ( hθ ) + de h i çarpanı yer alacağından küçük h ler için h dereceden erimler h ın daha yüksek dereceden erimlerinden büyük olur. nedenle ( h) ( ) δ + in işarei hk ( ) δ k Bu nın işareine bağlı olur. δ δ k ( ) > olduğunu var sayalım. O zaman ( h) ( ) + ; h > için pozii, k h < için de negai olur. Bu ın eksremum olamayacağını göserir. Oysa k δ eksremum noka olarak alınmışı. Aynı sonuç ( ) < olarak kabul edildiğinde δ de ın eksremum olması ile çelişiği görülür. Öyleyse bir eksremumdur ve δ = da = olur. Bu nokasında büün kısmi ürevlerin sıır olması δ demekir. k k.7.3 Teorem durağan nokasının ( ) in bir eksremum nokası olması için yeerli şar ( ) in da hesaplanan ikinci kısmi ürevlerin marisinden oluşan Hessian Marisi; 5

38 i. Pozii anımlı olduğunda yerel minimum nokası olur. ii. Negai anımlı olduğunda yerel maksimum olur []. İspa: Taylor eoreminden yararlanarak < θ< olmak üzere, n n n δ + h = + h ( ) + h h ( ) ( ) (.) i i j i= δ i! i= j= δ iδ j δ = + hθ δ yazılır. durağan noka olduğundan =, i=,,, n olacağından δ i n n δ ( + h) ( ) = h h (.)! i j j= i= δ iδ j = + hθ olur. ( h) ( ) + ile n n δ h h aynı işareli olurlar. i j i= j= δ iδ j = + hθ δ ( ) δ δ i j ikinci kısmi ürevi komşuluğunda sürekli olacağından δ δ δ i j + hθ ile δ δ δ i j yeerince küçük büün h ler için aynı işareli olur. O zaman Q δ n n = hih j pozii ise ( h) ( ) i= j= δ iδ j = + pozii olacak ve buradan da yerel bir minimum noka olur. Bu Q iadesi kareli bir ormdur ve maris olarak Q= yazılabilir. Burada T h Ch C = δ = ikinci kısmi ürevlerin marisidir δ δ i j = ve ( ) in Hessian marisi olarak adlandırılır. Maris cebirinden T h Ch kareli ormunun pozii olması da C nin pozii anımlı olmasına bağlıdır. Bu da durağan nokasının yerel minimum olması için yeerli şar aynı nokada hesaplanan Hessian marisinin pozii anımlı olması 6

39 anlamına gelir. Benzer şekilde durağan nokasının yerel maksimum olması için yeerli şarın C nin negai anımlı olmasına bağlı olduğu göserilebilir. Bir C marisi büün aygen değerleri pozii ise pozii anımlıdır, yani C λi = sağlayan her λ > ise C pozii anımlıdır. Bir marisin ( C ) pozii anımlılığını bulmak için kullanılan bir diğer yönem aşağıdaki eoremle elde edilir..7.4 Teorem ( ) pozii anımlıdır. n= 4 için bu esas minörler = C kareli ormu esas minörlerin hepsi pozii ise C = C >, C C C = C C >, C C C 3 C = C C C >, C4 = C > (.) 3 3 C C C olduğunda C pozii anımlı olur. Benzer olarak C marisi C i nin işarei i=,,, n olmak üzere ( ) oluyorsa pozii anımlı olur. C i lerin bazısı pozii diğerleri sıır oluyorsa C pozii yarı anımlı olarak adlandırılır. n değişkenli bir onksiyonun eksremum nokası için yeerli şarlar, i=,,, n olmak üzere i δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ C = δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ i i i,,, n i i ( ) (.3) 7

40 δ δ δ =,,, (.4) δ δ δ n (,,, ) n = olsun.. i=,,, n için C > ise ( ) i,,, n yerel minimum noka olur.. i=,3,5, için C < ve i=, 4,6, için maksimum noka olur. i 3. Bu şarların sağlanmadığı durumda ( ) C > ise ( ) i,,, n yerel,,, n eyer nokası olur []..7.5 Örnek ( ),, = onksiyonunun eksremum nokalarını araşırınız []. Çözüm: Birinci ürevler alınırsa δ δ δ δ δ δ 3 = + 4 = 3 = = 3 = + = (.5) 3 olur. Bunların çözümü =, = 4, 3 = 8 bulunur. İkinci ürevlerden oluşan Hessian marisi; H δ δ δ δ δ δ δ δ 3 δ δ δ = C = = δ δ δ δ δ 3 δ δ δ δ δ δ δ δ (.6) 8

41 olur. Buradan esas minörler; δ C= = C C δ δ δ δ δ δ = = = 4 δ δ δ δ δ 3 C = = (.7) bulunur. (-, 4, -8) nokasının eyer nokası olduğu anlaşılır..8 Konveks ve Konkav Fonksiyonlar ( ),,, n konveks bir s kümesi üzerinde anımlı bir onksiyon olsun. ( ),,, n onksiyonu herhangi bir ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) a + a a + a, a eşisizliğini sağlarsa konveks onksiyon olarak anımlanır. Bu eşisizliğin ersi sağlandığında konkav onksiyon olarak anımlanır. Şekil.5 de görüldüğü gibi D nokası ( a ( a ), ( a ( a ) )) + + ve B nokası ( a ( a ), a ( ) ( a ) ( )) + + olarak düşünülürse ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) a + a a + a olduğu görülür. Aynı şekilde şekil ( ).6 da D nokası a ( a ), ( a ( a ) ) ( a ( a ), a ( ) ( a ) ( )) + + olduğundan ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) s ve s + + ve B nokası da a + a a + a olduğu görülür. 9

42 y ( ) A B D C y A ( ) D B C a + ( a) a + ( a) Şekil.5 Konveks onksiyon Şekil.6 Konkav onksiyon Bir ( ),,, n onksiyonunun ikinci kısmi ürevlerinden oluşan C marisinden harekele de onksiyonun konveks veya konkav olduğu söylenebilir. C marisi pozii anımlı ise konveks, negai anımlı ise konkav olur [], [9],[4]..9 Eşilik Kısılı Çok Değişkenli Opimizasyon Eşilik kısılı sürekli onksiyonların opimizasyonu min = ( ) pi ( ) =, i=,,, m (.8) olarak anımlanır. Burada [,,, ] n = ve m n dir. m > n durumunda problemin çözümü yokur. Yukarıdaki problemin çözümü için çeşili opimizasyon yönemleri gelişirilmişir. Lagrange çarpanları yönemi bunlardan en kullanışlı olanıdır [], [9]..9. Lagrange Çarpanları Yönemi (.8) eşilik kısılı bir opimizasyon probleminde her kısı için bir λ i Lagrange çarpanı kullanılarak bu problem için 3

43 m ( ) λ ( ) L(, λ) =,,, p,,, (.9) n i i n i= onksiyonu oluşurulur. Bu onksiyona Lagrange onksiyonu denilir. Bu onksiyon yardımıyla kısılı problem kısısız bir probleme dönüşürülür. Burada ( ) ve p( ) onksiyonlarının sürekli ve ürevlenebilir olduğu varsayılır. L( λ, ) onksiyonu için kısmi ürevler alınır, sııra eşilenirse δ L δ δ p = =, j=,,, n δ δ δ m i λi j j i= j δ L p( ) δλ = = (.3) i denklemleri elde edilir. Bunların çözümü ile aranılan opimum noka bulunur. (,,,, λ, λ,, λ ) n m maksimum olduğu şöyle anlaşılır. opimum nokasının yerel minimum yada yerel H B P = T P Q (.3) anımlansın. Burada δ p δ p p( ) δ δ n P = = pm( ) δ pm δ pm δ δ n (.3) L(, ) Q = δ λ δ δ, i=,,, m ve j=,,, n (.33) i j olarak anımlanır. B H marisine sınırlı Hessian marisi denilir. L( λ, ) onksiyonu için (, λ ) durağan nokası ve bu nokadaki B H marisi verilsin. 3

44 . B H sınırlı Hessian marisinin ( ) m+. esas minörü ile başlayarak ( n m) son esas minörünün işareleri sırayla ( ) m+ olarak değişiyorsa ( ) maksimum noka adı verilir.. B H marisinin ( ) m+. esas minöründen başlayarak ( n m) işareleri ( ) m ile aynıysa ( ) verilir.,,, n a yerel son esas minörünün,,, n nokasına yerel minimum noka adı Yukarıdaki şarları sağlayan nokalar kesinlikle bir eksremum olur. Bu şarları sağlamayan gerçeke bir eksremum olan durağan bir noka olabilir. Bu yüzden eksremum için gerek ve yeer şarlar aşağıdadır. P = T P Q µ I (.34) (, λ ) nokasında marisi oluşurulur. = polinomunun ( n m) ane kökünün hepsi i. poziise ( ),,, n yerel minimum noka olur. ii. negaise ( ) Burada µ bilinmeyen parameredir.,,, n yerel maksimum noka olur [], [9]..9.. Örnek min = ( ) = = = (.35) Lagrange çarpan yönemiyle problemi çözünüz []. Çözüm: Lagrange onksiyonu oluşurulur. 3

45 ( ) ( ) L(, λ) = + + λ λ (.36) Bu onksiyon için gerek şarlar: δ L δ = λ 5λ = δ L = λ λ = δ δ L = 3 3λ λ = δ 3 δ L 3 δλ = + + = δ L δλ = + + = (.37) olur. Bunların çözümü: (,,,, ) (,8;, 35;, 8;, 867;,367) = λ λ = (.38) 3 olur. Bu nokanın nasıl bir noka olduğunu görmek için B H 3 5 = 5 3 (.39) hesaplanır. n= 3, m= ve n m = olduğundan yalnızca B H nin deerminan H = > ( ) B işareine bakmak yeerlidir. 46 minimum noka olur. ile aynı işarelidir. Öyleyse 33

46 Lagrange çarpanlarının yorumu: min ( ) p( ) = b p( ) = (.4) Tek kısılı problemi için b bir sabiir. Bu problem için gerek şarlar yazılırsa δ δ p + λ =, i=,,, n (.4) δ δ i p= i Bu denklemlerin çözümü (, λ ) ve ( ) = olsun. Amaç onksiyonun opimum değeri üzerinde kısıaki küçük bir değişimin ekisi için b p( ) = kısıının dieransiyeli db dp = δ p n db = dp = di = p h i= δ i d h = = d (.4) d n dir. Yukarıdaki gerek şarlarla δ δ p δ δ p + λ = = δ δ δ δ i i i i δ p δ =, i=,,, n (.43) δ δ i i yazılabilir. Bu eşilik (.4) eşiliğinde yerine yazılırsa 34

47 n δ d db = di = h = (.44) λ δ λ λ i= i yazılır, çünkü δ (.45) n d = di = h i= δ i dır. Bu yüzden d λ= veya db d db λ = ve d λ ( db) = (.46) elde edilir. Bu λ ın b e göre deki marjinal değişmeyi göserdiğini iade eder.. Eşisizlik Kısılı Opimizasyon ve Kuhn Tucker Şarları ma ( ) pi ( ), i=,,, n (.47) probleminin çözümünde Kuhn Tucker şarlarından yararlanılır. Bunun için büün eşisizlik kısıları uygun değişkenlerin kullanılması ile eşilik durumuna geirilip genel Lagrange onksiyonu oluşurulur. Kuhn Tucker şarları bu onksiyonun gerek şarlarından elde edilir. (.47) problemi eşilik durumuna geirilir. S boş değişkenleri kullanılarak kısılar i G = p b + S = (.48) ( ) i( ) i i elde edilir. Lagrange onksiyonu ( λ) L, S, = ( ) λg( ) 35

48 m ( ) (,,, ) λ (,,, ) = p b + S (.49) n i i n i i i= olacakır. L onksiyonu için gerek şarlar:. δ m L G p = δ λ δ = δ λ δ =, j=,,, n δ δ δ δ δ i j j j i= j δ L. = λisi=, i=,,, m δ S i δ L 3. G ( ) p i ( ) S i δλ = = + = deki denklem için aşağıdaki sonuçlar elde edilir. a. λ i > ise S = dır. Bu deki kısıın eşilik hali ile gerçekleşiğini i göserir. ( p b ) b. i λ ( ) = yazılabilir. i i i S > ise λ = olur ki deki kaynağın i ekilemediği söylenebilir. ( p b ) i λ ( ) = yazılır. Bu yeni şarlar yukarıdaki şarlarla birleşirilirse; i i i i. λi, i=,,, m ii. δ δ j m δ pi λi =, j=,,, n δ i= iii. ( p b ) λ ( ) = i i i iv. pi ( ), i=,,, m j elde edilir, bu şarlara Kuhn-Tucker gerek şarları denir. Bu maksimum problemi için yeerli şarlarsa; ( ) in konkav ve p ( ) in konveks olmasıdır. Bir minimum problemi için yeerli şarlarsa ( ) ve p ( ) in konveks olmasıdır. (.47) problemi i minimum olarak verilirse i şarı dışında diğer şarlar aynı kalır, kısaca λ i alınması yeerlidir [], [9], [4]. i 36

49 .. Örnek ( ) ( ) ( ) ma,, = , (.5) probleminde Kuhn-Tucker gerek şarlarını uygulayarak opimum çözümü bulunuz[]. Çözüm: Lagrange onksiyonu ( ) ( ) ( ) L, λ = ( 7, 5 ) λ ( ) + λ + (.5) 3 3 L için Kuhn-Tucker gerek şarları i. λ, λ δ L ii. = 3 3 λ = δ δ L = λ = δ δ L = λ + λ = (.5) δ 3 iii. ( ) λ 7, 5 = 3 ( ) λ = (.53) 3 iv. 3 7, (.54) 37

50 Bu şarları sağlayan nokaları araşırmak için, basi olarak λ i = veya λi değerleri için çözümler aranır. Önce λ, λ = olsun. ii nin son denkleminden λ = olur, bu i yi sağlamaz. λ =, λ = olsun, ii nin son denklemi sağlanmaz. λ =, λ olsun, ii nin son denkleminden λ = bulunur, ilk denkleminden = 8,5, ikinci denkleminden de = 8, 75 bulunur. denkleminden 3 7, 5 iii nin son = + = bulunur. Böylece = ( 8,5;8,75;7, 5;; ) nokası Kuhn-Tucker şarlarını sağlayan noka olarak bulunur. ( ) onksiyonu konkav olduğundan ve kısılar doğrusal verildiğinden konveks olduğu anlaşılır. Öyleyse nokası bölgesel maksimum noka olur. λ, λ için yukarıdaki şarların sağlanmadığı görülür.. Newon Yönemi Çok değişkenli kısısız opimizasyon problemlerinde başlangıç nokasında verilen onksiyonun kareli yaklaşımı kullanılır. Kareli yaklaşımı opimum yapan ˆ = nokasında yeni yaklaşım onksiyonu kurulur, bunun opimum nokası olarak alınıp yeni yaklaşım onksiyonları oluşurulur, bu şekilde devam edilir. İsenilen duyarlık sağlandığında durulur, o adımdaki k en iyi çözüm olur. 3 k-ıncı ardışırmada ( ),,, n ın k çözümündeki Taylor açılımı yardımıyla kareli yaklaşımı δ δ F( ) = + + δ δ δ n n n k k k k ( ) ( j j ) ( j j )( i i ) (.55) j= j j= i= j j olur. Opimum için gerekli şarlar n δ F δ k δ = + ( ˆ i i ) =, j=,,, n (.56) δ δ δ δ j j i= j i 38

51 elde edilir. Bunlara Newon ardışırma denklemleri denir. Burada k nokasındaki değeri ile kullanılır [], [4]. δ δ j ve δ, δ δ j i, = onksiyonu için.. Örnek ( ) ( ) 3 (,.5) = başlangıç nokası alarak maksimum nokayı Newon meoduyla bulunuz[]. Çözüm: Birinci ve ikinci ürevler; δ δ δ δ δ δ 3 3 = + 4, 3 3 = 4 +, 3 3 =, 4 δ δ δ δ δ 3 3 = 4, 4 9 = (.57) 4 olacakır. (,.5) = nokasında bu denklemler değerlendirilirse ( )( ) ( )( ) F( ) = ( ) (.875) + ( )(.5)(.5) + (.5) ( 7) (.58) elde edilir. Bazı kısalmalar yapılırsa F( ) = (.59) 39

52 olur. Newon ierasyon denklemleri yardımıyla δ F = = δ δ F = = (.6) δ bulunur. Bunların orak çözümü ile =.463, =.44 elde edilir. (.463,.44) = bulunur. Aynı işlemler bu kez başlangıç nokası olarak verilmiş gibi ekrarlanır. ε=. alıp V j için + < ε olduğunda k j k j k + en iyi çözüm olarak alınır. Bu yönem 4 ardışırma sonunda durdurulur. Aşağıdaki = de birinci ürevlerin çok küçük olması bu çözümün 5 ablodan (.955,.37) opimuma yakın olduğunu göserir. k k k ( ) δ δ j δ δ j δ δ δ k Tablo. Örnek.. için Newon yönemi 4

53 3. VARYASYON HESABI VE OPTİMAL KONTROL 3. Ana Kavramlar Varyasyon hesabı bir onksiyonun opimumunu (maksimum veya minimum) bulmayla ilgilidir. 3.. Fonksiyon ve Fonksiyonel i. Fonksiyon: Bir değişkeni değişkeninin bir onksiyonudur, ( ( ) = ( ) olarak yazılır). Her değerine bir değeri karşılık gelirse bir sayısına karşılık bir sayısı vardır. Buradaki daima zaman olmaz, bağımsız bir değişkendir. ii. Fonksiyonel: Bir J değişken mikarı J= J ( ( )) şeklinde ( ) onksiyonuna bağlı bir onksiyoneldir. Her ( ) onksiyonuna bir J değeri karşılıksa, ( ) onksiyonuna bir J sayısı karşılıkır. Fonksiyonel birkaç onksiyona bağlıdır []. 3.. Arış anımlanır: i. Bir Fonksiyonun Arışı: onksiyonunun arışı ile göserilir ve şöyle ( ) ( ) + (3.) Tanımdan in bağımsız değişkenine ve bağımsız değişken arışına bağlı olduğu görülür. (, ) bir onksiyonun arışı olarak yazılabilir []. 4

54 ( ) ( + ) ( ) eğim = d + Şekil 3. Bir ( ) onksiyonunun arışı, d dieransiyeli ve ḟ ürevi 3... Örnek = + (3.) ( ) ( ) onksiyonunun arışını bulunuz []. Çözüm: arışı aşağıdadır. ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )( ) ( ) = = = ( + ) + ( + ) + ( ) + ( ) + (3.3) ii. Bir Fonksiyonelin Arışı: J onksiyonelinin arışı şöyle anımlanır: J ile göserilir ve ( ( ) δ ( )) ( ( )) J J + J (3.4) 4

55 Burada δ ( ), ( ) onksiyonunun bir varyasyonudur. Bir onksiyonel arışı ( ) onksiyonuna ve δ ( ) varyasyonuna bağlı olduğu için arış olarak ( ( ), δ ( ) ) J yazılabilir [] Örnek J = ( ) d + (3.5) onksiyonelinin arışını bulunuz []. Çözüm: J nin arışı aşağıdadır. ( δ ) ( ) J J ( ) + ( ) J ( ), ( δ ) = ( ) + ( ) + d ( ) + d, ( δ ) 4 ( ) δ ( ) ( ) d (3.6) = Dieransiyel ve Varyasyon i. Bir Fonksiyonun Dieransiyeli: onksiyonunun arışını bir nokasında şöyle anımlanır. ( ) ( ) + (3.7) ın Taylor serisi ( + ) genişleilir. d d = ( ) + + ( ) +... ( ) d! d (3.8) 43

56 de yüksek dereceli erimler ihmal edilerek d = = ( ) = d (3.9) d elde edilir. Burada d, nokasında nin dieransiyeli adını alır. ( ), da nin eğimi veya ürevidir. d dieransiyeli []. arışının birinci dereceden ahminidir Örnek = + onksiyonunun ürevini ve arışını bulunuz []. ( ) Çözüm: Tanım gereği, arışı ( ) ( ), + ( ) ( ) ( ) = , = yüksek dereceli erimler, ( ) = +, = ( ). (3.) dir. dir, burada ( ) = ( + ) ii. Bir Fonksiyonelin Varyasyonu: Bir onksiyonelin arışı Taylor serisinde ( ( ) δ ( ) ) J + genişleilerek ( ( ) δ ( )) ( ( )) J J + J (3.) J J J = J J! ( ( )) δ ( ) ( δ ( ))... ( ( )) J J = δ ( ) + ( δ ( ) ) +...! 44

57 J ( ( ) ) ( ( ) + δ ( ) ) J J ( ( )) J δ J δ ( ) ( ) ( ) + δ ( ) ( ) Şekil 3. J onksiyonelinin J arışı ve δ J ilk varyasyonu = δ J+ δ J+..., (3.) elde edilir. δ J J δ ( ) J! = ve δ J = ( δ ( ) ) (3.3) Bu eşiliklere J onksiyonelinin sırayla ilk varyasyonu ve ikinci varyasyonu denir. J onksiyonelinin δ J varyasyonu J arışının lineer kısmıdır. Şekil 3. de bir onksiyonelin ilk varyasyonu ve arışı arasındaki bağlanı göserilmişir [] Örnek ( ) ( ) = ( ) 3 ( ) J d (3.4) onksiyonelinin varyasyonunu değerlendiriniz []. 45

58 Çözüm: Önce arışı biçimlendirip sonra birinci dereceli ahmin olarak varyasyonu şu şekilde bulunur. ( δ ) ( ) J J ( ) + ( ) J ( ), ( δ ) ( δ ) ( ) = ( ) + ( ) + 3 ( ) + ( ) + 4 ( ) + 3 ( ) + 4 d, ( ) 4 ( ) δ ( ) δ ( ) 3 δ ( ) d (3.5) = + + Sadece birinci dereceli erimler incelenirse ilk varyasyon şu şekildedir: ( ) = ( + ) δ J ( ), δ ( ) 4 ( ) 3 δ ( ) d. (3.6) 3. Bir Fonksiyon ve Fonksiyonelin Opimumu Bir onksiyon ve onksiyonelin eksremumu (maksimum veya minimum) veya opimumu için bazı anımlar aşağıda verilmişiir. Varyasyon bir onksiyonelin opimal değeri belirlemede aynı rolü oynar, bir onksiyonun opimal değeri veya eksremumunu bulmada dieransiyel olarak çalışır. 3.. Tanım Bir Fonksiyonun Opimumu: Eğer bir D düzleminde üm nokalar için < ε sağlayan bir ε pozii parameresi varsa bir ( ) onksiyonun nokasında bir göreceli opimumu vardır, ( ) arışı aynı işarelidir (pozii veya negai). = ( ) ( ), (3.7) ise ( ) göreceli lokal minimumdur. = ( ) ( ), (3.8) 46

59 ise ( ) göreceli lokal maksimumdur. Önceki bağlanılar ε keyi büyüklüğü için sağlanıyorsa, ( ) bir global am opimumuma sahipir Bir onksiyonun opimumu için gerek şar (ilk) dieransiyelin sııra eşi olmasıdır, d=. Yeer şar i. minimum için ikinci dieransiyel poziiir, d > dır,ve ii. maksimum için ikinci dieransiyel negaiir, d < dır. d = ise, bir sabi nokaya karşılık gelir []. 3.. Tanım Bir Fonksiyonelin Opimumu: Bir J onksiyonelinin < ε sağlayan bir Ω düzlemi içinde üm onksiyonları için pozii bir ε varsa da bir göreceli opimumu vardır, J arışı aynı işarelidir. J = J ( ) J ( ), (3.9) ise J ( ) bir göreceli minimumdur. J = J ( ) J ( ), (3.) ise J ( ) bir göreceli maksimumdur. Yukarıdaki bağlanılar keyi bir ε için sağlanırsa J ( ) bir global am opimumdur []. Fonksiyonların opimal veya eksremum değerlerini bulmaya benzer olarak, onksiyonellerle ilgili varyasyon problemlerinde, varyasyon opimal bir kavis üzerinde sıır olmalıdır. Varyasyon hesabı emel eoremi aşağıdadır Teorem ( ) de sıır olmalıdır, ( ) için opimum aday olarak, J nin (ilk) varyasyonu ( ) δ nin üm kabul edilebilir değerleri için δ J ( δ ) ( ), ( ) = 47