T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇOKLU KUANTUM TEL VE NOKTALARININ ELEKTRONİK ÖZELLİKLERİ Abdullah BİLEKKAYA DOKTORA TEZİ FİZİK ANABİLİMDALI Tez Yönetcs: Yrd. Doç. Dr. Şaban AKTAŞ EDİRNE -8

2

3 Doktora Tez Çoklu Kuantum Tel ve Noktalarının Elektronk Özellkler Traka Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Fzk Anablm Dalı ÖZET Bu çalışmada, güncel teknolojk ugulamalarda öneml br er tutan kuantum kuu teller ve kuantum noktalarının elektronk özellkler ncelenmştr. Hesaplamalar efektf kütle aklaşımı çnde sonlu farklar öntem ve varasonel öntem kullanılarak apılmıştır. Temel olarak eşmerkezl kare kestl GaAs/Al Ga - As kuantum kuu tel, farklı bçml kuantum teller ve eşmerkezl küresel GaAs/Al Ga - As kuantum noktası çalışılmıştır. Eşmerkezl kare kestl kuantum kuu tel çnde hapsedlen br elektrona düzgün ugulanan elektrk ve manetk alanın etkler araştırılmıştır. Bu apıda bağlanma enerjs, abancı atomun konumu, barer genşlğ ve elektrk alan şddetnn fonksonu olarak hesaplanmıştır. Bağlanma enerjsnn değşmlernn elektronun gördüğü potansel enerje, abancı atomun konumuna, düzgün ugulanan elektrk alan şddetne bağlı olduğu bulunmuştur. Farklı bçml kuantum tellernde apıların sahp olduğu geometrlern ve dışarıdan ugulanan elektrk ve manetk alanın abancı atom bağlanma enerjs üzerndek etkler ncelenmştr. Arıca eşmerkezl küresel kuantum noktasında bağlanma enerjsnn barer genşlğ le değşmler araştırılmıştır. Yıl: 8 Safa: 58 Anahtar Kelmeler: Kuantum Kuu Tel, Elektrk Alan, Manetk Alan, Yabancı Atom Bağlanma Enerjs.

4 PhD Thess The Electronc Propertes of Multple Quantum Wres and Quantum Dots Traka Unverst, Graduate School of Natural and Appled Scence Department of Phscs SUMMARY In ths work, the electronc propertes of quantum well wres and quantum dots, whch have a great mportance n technologcal applcatons, are nvestgated. The calculatons are performed usng the fnte dfference numercal method and varatonal method wthn the effectve mass appromaton. Bascall, coaal square cross sectonal GaAs/Al Ga - As quantum well wre, quantum wres of dfferent shapes and coaal sphercal GaAs/Al Ga - As quantum dot are studed. The effects of unform appled electrc and magnetc felds on an electron confned n the coaal square cross sectonal quantum well wre are nvestgated. In ths structure, the bndng energ s calculated as a functon of the mpurt poston, the barrer wdht, electrc and magnetc feld strength. It s found that, the changes n the bndng energ occurs dependng on the magntude of the potental enegr walls, the poston of the mpurt, and the appled unform electrc feld strength. The effects of the geometrcal shapes of the structures and the appled electrc and magnetc felds on the mpurt bndng energ are nvestgated for the quantum wres of dfferent shapes. Also, the changes n the bndng energ are nvestgated dependng on the barrer wdht for the coaal sphercal quantum dot. Year: 8 Pages: 58 Kewords: Quantum Well Wre, Electrc Feld, Magnetc Feld, Impurt Bndng Energ

5 TEŞEKKÜR Tez önetclğm üstlenerek çalışmalarımda ol gösteren, gerekl olan tüm çalışma ortamını ve mkânlarını sağlaan ve ardımlarını esrgemeen hocam Yrd. Doç. Dr. Şaban AKTAŞ a teşekkür etmekten mutluluk duarım. Anı zamanda bu aşamaa kadar desteklern ve adınlatıcı blglern esrgemeen hocalarım Prof. Dr. Ş. Erol Okan a ve Traka Ünverstes Fen-Edebat Fakültes Fzk Bölümü Başkanı Prof. Dr. Hasan AKBAŞ a teşekkürlerm sunarım. Çalışmalarım bounca ardımlarını esrmeen Yrd. Doç. Dr. Fgen Boz a teşekkürlerm sunarım. Arıca bu tez Traka Ünverstes Blmsel Araştırma Projeler Müdürlüğü tarafından TÜBAP-79 nolu projele desteklenmştr. Traka Ünverstes Blmsel Araştırma Projeler Müdürlüğü ne katkılarından dolaı teşekkür ederz.

6 v İÇİNDEKİLER Safa ÖZET. SUMMARY.. TEŞEKKÜR İÇİNDEKİLER...v SİMGELER DİZİNİ...v BÖLÜM : GİRİŞ BÖLÜM : DÜŞÜK BOYUTLU YAPILAR İLE İLGİLİ GENEL BİLGİLER 4.. Düşük boutlu apılarda hapsedlen br elektronun özellkler..5..a. Ga - Al As / GaAs kuantum kuuları..5..b Ga - Al As / GaAs kuantum teller Düşük boutlu apılarda elektrk alan etks..... Düşük boutlu apılarda manetk alan etks...4. Düşük boutlu apılarda abancı atom problem. BÖLÜM : SAYISAL YÖNTEMLER.5.. Varason Yöntem Sonlu Farklar Yöntem..6..a. Kuantum Kuularına Sonlu Farklar Yöntemnn Ugulanması...8..b. Kuantum Tellerne Sonlu Farklar Yöntemnn Ugulanması...

7 v BÖLÜM 4: SONUÇLAR VE TARTIŞMALAR Kare Kestl Eşmerkezl Kuantum Tellernde Yabancı Atoma Elektrk ve Manetk Alan Etks Farklı Bçml Kuantum Tellernde Elektrk ve Manetk Alan Altında Yabancı Atom Bağlanma Enerjs Eşmerkezl Küresel Kuantum Noktasında Yabancı Atom Problem 46 KAYNAKLAR....5 ÖZGEÇMİŞ 57

8 v SİMGELER DİZİNİ m * : Elektronun etkn kütles a * : Etkn Bohr arıçapı R * : Etkn Rdberg enerjs ε : Delektrk sabt λ : Varasonel parametre γ : Manetk alanın boutsuz değer : Dalga fonksonu : Yabancı atomun konumu : Yabancı atomun konumu η : Hamltonendek elektrk alan term F : Elektrk alan şddet B : Manetk alan şddet E : Enerj

9 BÖLÜM : GİRİŞ Düşük boutlu apılar farklı tür arıletkenlern br araa getrlmesle oluşturulmaktadır. Krstal büütme teknolojsnde sağlanan gelşmeler le arıletkenler çok hassas br bçmde br atomk tabaka üzerne başka br atomk tabaka erleştrlerek büütüleblmektedr. Başlıca denesel öntemler arasında Sıvı Faz Büütme LPE, Moleküler Demet Büütme MBE ve Kmasal Buhar Depolama CVD öntemler saılablr. Bu öntemler le boutları 6 cm den daha küçük düşük boutlu apıların üretm gerçekleştrlmştr. Bu gelşmeler sonucu en elektronk devre elemanlarının apımı son derece lgnç fzk problemlern de doğurmuştur. Düşük boutlu apıların elektronk ve optk özellkler halen agın olarak araştırılmaktadır. Günümüzde düşük boutlu arıletken apıların araştırılması kuantum fzğ le açıklanablen davranışlara sahp en elektronk devre elemanlarının üretlmesn mümkün kıldığından büük lg çekmektedr. Düşük boutlu arıletken sstemlerden oluşan nanometre boutunda elektronk ve optoelektronk chazlar günümüz blgsaar ve haberleşme endüstrsnde kullanılan devrelern temel apıtaşlarını oluşturmaktadır. Bu chazların fzğnn ve çalışma prensplernn blnmes, bu sstemlern daha arıntılı olarak ncelenmes le mümkündür. Son ıllarda düşük boutlu apı olarak tanımlanan kuantum kuusu, kuantum kuu tel ve kuantum noktaları üzernde brçok araştırma apılmıştır Akbaş vd. 995; Okan vd. 4; Manaselan vd.. Düşük boutlu apıların akım letmnde en öneml etken olan elektron vea deşk oğunluğu apıa abancı atom katılmasıla kontrollü br bçmde artırılablr. Bu katkının apıa kazandırdığı özellkler gerek ugulamadak önem gerekse çerdğ zengn fzk nedenle son derece lg gören br araştırma konusu olmuştur. Düşük boutlu apılara dışarıdan br elektrk alan ugulandığında elektron dağılımında polarzason olur ve kuantum enerj durumları değşr. Chao vd. 995; Montes vd. 998; Duque vd.. Bu etkler düşük boutlu apının kullanıldığı agıtın çıkış oğunluğunun kontrol edlmesnde ve aarlanmasında kullanılablr. Arıca kuantum enerj durumlarının değşm le abancı atom bağlanma enerjs de değştğ çn elektrk alan etksnn ncelemes önemldr. Yapılan çalışmalarda etkn kütle aklaşımında varasonel br öntem kullanılarak slndrk ve dkdörtgen bçml kuantum tellernde dışarıdan ugulanan br elektrk alanın abancı atom bağlanma enerjler üzerndek etkler araştırılmıştır. Aktaş ve Boz, 4; Ulas

10 vd. 997; Akbaş vd., 998. Bu çalışmalarda bağlanma enerjsnn teln geometrk bçmne, abancı atom konumuna ve ugulanan elektrk alan şddetne bağlı olarak artma vea azalma gösterdğ gözlenmştr. Manetk alan etkler düşük boutlu apılar çn önemldr. Dışarıdan ugulanan manetk alan, elektronların durum oğunluğunun değştrlmesne olanak sağlar Boz ve Aktaş, 5; Zounoub vd. ; Brans vd. 99. Daha öncek çalışmalarda manetk alan etks altındak slndrk, parabolk ve dkdörtgen bçml GaAs kuantum tellernde abancı atom bağlanma enerjler hesaplanmıştır. Boz ve Aktas, 5; Duque vd. ; An vd. 6; Nculescu vd.. Bu çalışmalarda tel eksenne paralel ugulanan manetk alanın elektronu apının merkeznde tutmaa çalıştığı gözlenmştr. Son zamanlarda farklı geometrk apılarda abancı atom bağlanma enerjs elektrk ve manetk alan etks altında hesaplanmıştır. Aktas vd., 5; Kasapoğlu vd.,, Erdoğan vd., 6. Bu çalışmalarda bağlanma enerjsnn dışarıdan ugulanan elektrk ve manetk alan şddetne bağlı olduğu kadar apının geometrk bçmne de kuvvetlce bağlı olduğu görülmüştür. Bu tezde kare, parabol ve üçgen kestl kuantum tellern, kare kestl eşmerkezl kuantum teln ve eşmerkezl küresel kuantum noktasını nceledk. Bu çalışmanın knc bölümünde kuantum kuusu ve kuantum tel çnde hapsedlen br elektronun taban durum enerjler ve dalga fonksonları bulunmuştur. Bu apılara abancı atom katılmasıla bağlanma enerjs hesaplamaları genel olarak verlmştr. Arıca bu bölümde elektrk ve manetk alan etksnn sstemn Hamltonen ne getrdğ katkılar da verlmştr. Düşük boutlu apılarda elektronun enerj durumlarının ncelenmes Schrödnger denklemnn çözümü le mümkün olmaktadır. Bu apılarda analtk çözümlern bulunması abancı atom varlığında vea elektrk a da manetk alan ugulandığında zorlaştığı çn nümerk öntemler kullanılmaktadır. Bu nümerk öntemler sonlu farklar öntem ve varason öntemdr. Bz bu tezde sonlu farklar öntemn kullandık. Dğer çalışmalardan farklı olarak bu öntemle elektrk ve manetk alan etksndek kuantum tellernde hapsedlen br elektronun bütün enerj durumlarını ve dalga fonksonlarını hçbr varasonel öntem kullanmadan nümerk olarak hesapladık. Sonlu farklar öntem her bçmdek kuantum telne ve noktasına ugulanablr. Yapıa abancı atom katıldığında varasonel öntem kullanarak bağlanma enerjlern hesapladık. Sonlu farklar öntem ve varason öntemnn ugulanışı üçüncü bölümde verlmştr.

11 Son bölümde se tartışma ve sonuçlar verlmştr. Tartışma ve sonuçlar bölümünde eşmerkezl kare kestl kuantum tellernde bağlanma enerjsn abancı atomun konumuna, barer genşlğne ve elektrk alan şddetne bağlı olarak nceledk. Daha sonra elektrk ve manetk alan altında kare-üçgen ve üçgen-üçgen kombnasonlu kuantum tellernde bağlanma enerjsne baktık. Son olarak da eşmerkezl küresel kuantum noktasının barer genşlğne bağlı olarak bağlanma enerjsn hesapladık. Bu tezdek nümerk hesaplamalarda, Fortran 77 de kend azdığımız programlar kullanılmıştır.

12 4 BÖLÜM : DÜŞÜK BOYUTLU YAPILAR İLE İLGİLİ GENEL BİLGİLER Genel anlamıla düşük boutlu apılar kuantum kuuları, kuantum teller ve kuantum noktaları olarak sınıflandırılırlar. Burada bout ük taşııcın elektron vea deşk serbest olarak hareket edebleceğ ön saısını belrtr. Kuantum kuuları anı türden k arıletken tabakanın arasına farklı tür arıletken tabakanın eklenmesle oluşturulur. Kuantum kuularına örnek olarakga AlAs / GaAs / Ga AlAs apısı verleblr. Burada alümnum konsantrasonudur. Kuantum kuularında ük taşııcıları k boutta serbest parçacık gb hareket edeblrken, farklı tabakaa doğru krstaln büütme önünde hareketler br boutta sınırlanır ve enerjler kuantze olur. Taşııcıların hareketnn k boutta kuantze olduğu apılar kuantum teller olarak adlandırılır. Kuantum tellerne örnek olarak Ga AlAs le çevrelenmş kare, üçgen vea slndr kestl br GaAs tel verleblr. Kuantum noktalarında se taşııcının hareket üç boutta da kuantze olur. Ga - Al As le çevrelenmş küp vea küresel bçml GaAs kuantum noktaları oluşturulablr. Ga - Al As GaAs Ga - Al As z E g Ga - Al As E g GaAs z Şekl.: Smetrk Ga - Al As /GaAs/ Ga - Al As kuantum kuusunun oluşturulması.

13 5 Yukarıdak şeklde gösterldğ gb br kuantum kuusu Ga Al As arı letkenler arasına GaAs arı letkennn erleştrlmesle oluşturulur. Burada malzemedek alümnum mktarını göstermektedr... Düşük Boutlu Yapılarda Hapsedlen Br Elektronun Özellkler Düşük boutlu apılarda hapsedlen br elektronun özellklern ncelerken zamandan bağımsız Schrödnger denklemn çözerek elektronun enerj özdeğerlern ve dalga fonksonlarını elde ederz Bu bölümde düşük boutlu apılardan kuantum kuuları ve kuantum teller ncelenecektr...a. Ga - Al As/GaAs kuantum kuuları: Elektronun hapsedldğ potansel duvarının ükseklğne göre sonlu ve sonsuz kuantum kuusu oluşturulablr. Buradak potansel ükseklğ konsantrasonu le kontrol edleblmektedr. İlk önce sonsuz kuantum kuusu ncelenecektr. Sonsuz kuantum kuusunda potansel fonksonu L / z L / V z =. dger erlerde olarak verlr. Şekl. dek sonsuz kuantum kuusu çn V z = olan erlerde elektron bulunamaacağı çn dalga fonksonu sıfıra eşt olmak zorundadır. Bu nedenle sadece II. bölgede çözüm vardır. Vz I II III -L/ L/ z Şekl.: Sonsuz kuantum kuusu

14 6 II. bölgede V z = çn Schrödnger denklemn azarsak buluruz. Bu denklemn çözümü z h n = E z * n n. m z z = Asn k z B cos k z. n n + n dr. Burada m * En k n =.4 h olarak verlr. z = L / ve z = L / de sınır şartlarını ugularsak, kn L Asn = kn L B cos =.5 buluruz. Buna göre k mümkün çözüm vardır. z = B cos k n z = Asn k n n n z z n =,,5,... n =,4,6,....6 burada k n nπ = dr. A ve B katsaıları normalzason sabtlerdr. Bu sabtler dalga L fonksonunun normalze edlmesle bulunur. L / z z dz =.7 L / * n n

15 7 Enerj özdeğerler se, E n h π m * L = n.8 olarak bulunur. Bu sonuca göre, potansel kuusundak br parçacığın alableceğ enerj özdeğerler br n tamsaısına bağlı olarak keskl değerlerde bulunablr Karaoğlu, 994. Şekl. tek sonlu kuantum kuusunu ele aldığımızda, potansel fonksonu L / z L / V z =.9 V dger erlerde olarak tanımlanır. Bu durum çn Schrödnger denklem z h + V z z = E z. * m z denklem le verlr. Vz V II III -L/ L/ z Şekl.: Sonlu kuantum kuusu.

16 8. denklemn düzenlersek z m * V z E z = z h. buluruz. Bu denklemn çözümler; I. bölge çn, z = Aep αz. I m * bulunur. Burada α = V E dır. h II. bölge çn dalga fonksonu, z = C cos k z D sn k. z + Z z m * E olur. Burada k Z = olarak verlr. h III. bölge çn çözüm, III z = B ep αz.4 olur. α ukarıda tanımlandığı gbdr. Sınır şartları ugulandığında çft ve tek çözümler bulunur. Buna göre çft çözümler, C ep αl / cos k z L / ep αz z L / çft z = C cos k z L / L / z L /.5 C ep αl / cos k z L / ep αz L / z ve tek çözümler de

17 9 = z L z L k L D L z L L k D L z z L k L D z z z z tek / ep / sn / ep / / / sn / ep / sn / ep α α α α.6 şeklndedr. C ve D normalzason katsaılarıdır Karaoğlu, b. Ga - Al As/GaAs kuantum teller: Şekl.4: Kare kestl kuantum tel. Kuantum tellernde elektronun hareket k önde sınırlandırılır. Yukarıdak şeklde verlen kuantum telnde elektron ve önlernde potansel engeller le hapsedlmştr. Sonsuz kuantum tel çn potansel = / / / /, L ve L L ve L V.7 şeklndedr. Sonsuz kuantum tel çndek br elektron çn Schrödnger denklemn azarsak,,,,,, * z E z V dz d d d d d m = h.8 z Ga - Al As GaAs L / L /

18 z önünde sınırlama olmadığı çn elektron bu önde serbest parçacık gb davranır ve dğer önlerde kuantze olur. Bu üzden dalga fonksonu;,, z =,.9 z şeklnde alınarak Schrödnger denklemnn çözümü π π,, z = Acos cos ep k z z. L L olur. Elektronun taban durum enerjs de E = h π m * L π h k z + + L m *. olarak bulunur. Sonlu kuantum teln ele alırsak potansel L / ve L / V, =. V L / ve L / bçmndedr ve sonlu kuantum kuusu çn Schrödnger denklemn h d d d,, z V,,, z E,, z m* d + d + dz + =. olarak azablrz. Bu denklemn analtk olarak çözüleblr. Ancak bazı değşk potansel profller çn analtk çözüm çok zor vea mkânsız olablmektedr. Böle durumlarda Runge- Kutta vea sonlu farklar öntem gb nümerk öntemler kullanılmaktadır.

19 .. Düşük Boutlu Yapılarda Elektrk Alan Etks Elektrk alan etksle arıletken devre elemanlarının fzksel özellklernde medana gelen değşmler denesel ve teork olarak oğun br bçmde araştırılmaktadır. Akbaş, 998; Okan vd. ; Akankan vd., 6.Yarıletken br krstale büütme önünde br elektrk alan ugulanmasıla ük taşııcıları dağılımında polarzason oluşur ve enerj durumlarında kamalara neden olur. Düşük boutlu sstemlere elektrk alan uguladığı zaman sstemn Hamltonen ne br elektrk alan term eklenr. Bu term H F = e F.4 olarak verlr. Burada e elektronun elektrk ükünü ve F se önünde ugulanan düzgün br dış elektrk alan şddetn göstermektedr. Örneğn, br kuantum kuusuna önünde br elektrk alan ugulanması le kuunun alacağı şekl. 5 de gösterlmştr. Nümerk hesaplarda çok büük ve çok küçük saılardan kaçınmak çn elektrksel potansel enerj, olarak alınır. ef = η.5 Şekl.5: önünde ugulanan elektrk alan etks altındak kuantum kuusu

20 .5 denklemnde, e a * F a * F. F η = = =.6 R * R * 5,8 dr. Buradak elektrk alan büüklüğü F, kv/cm brmndedr. Arıca uzunluk brm olarak h ε etkn Bohr arıçapı a* = ve enerj brm olarak etkn Rdberg enerjs m * e h R* = olarak verlr. Burada ε ve m*, sırasıla krstaln delektrk sabt ve m * a * elektronun etkn kütlesdr. GaAs krstal çn ε =. 5 ve m* =.67m m serbest elektron kütles kullanılarak a* A ve R 5. 8meV * = olarak hesaplanır... Düşük Boutlu Yapılarda Manetk Alan etks Br krstale manetk alan ugulanması elektronk sevelern boutluluğunu değştrr ve durum oğunluklarında en br dağılıma ol açar Nculescu vd.,998; Masale vd. 99. Dış manetk alan etks letm durumunda bulunan k boutlu br apının hassas br şeklde karakterze edlmes çn öntemler gelştrlmesne olanak sağlar. Magnetofotoletkenlk ve sklotronrezonans deneler buna örnek verleblr Aktaş, 998. Arıca manetk alanın katıhal fzğndek öneml br ugulaması da Hall letkenlğnn kuantzasonudur Kttel, 996. Düşük boutlu apılara düzgün br manetk alan B r = r A r ugulandığında genel Hamltonen, r e r H = P + A + V, m* c.7 olarak verlr. Bu Hamltonende A r manetk alanın vektör potansel ve P r momentum olarak tanımlanır. Br kuantum tel çnde bulunan br elektrona z eksen bounca br manetk alan ugulandığında, R* etkn Rdberg ve a* etkn Bohr arıçapı uzunluk brmler kullanılırsa sstemn Hamltonen,

21 γ H = γ Lz + V,.8 4 hωc eb olur. Burada γ =, ωc = dr. Taban durumu çn R * m* c sıfır olur. L z açısal momentumun özdeğer.. Düşük Boutlu Yapılarda Yabancı Atom Problem Düşük boutlu apılarda arı letken malzemelere abancı atom katılmasıla taşııcı saısı ve dolaısıla da letkenlk arttırılablr. Yabancı atom katkısının apıa kazandırdığı özellkler gerek ugulamalardak önem gerekse çerdğ zengn fzk nedenle çok çalışılmaktadır Aktaş 998; Boz 4. Yabancı atomların elektronk ve optk özellklernn anlaşılması düşük boutlu apılar kullanılarak üretlen chazların optk ve letm özellklern anlamak çn çok önemldr Erdoğan vd., 5; Nculescu vd.,. Düşük boutlu apılara abancı atom katıldığında sstemn Hamltonen ne ek br term gelr. Bu term elektron ve abancı atom arasındak Coulomb etkleşme termdr. Rdberg brm sstemnde sonlu kuantum tel çnde br abancı atom katıldığında sstemn Hamltonen H h e = r r m * ε + V,.9 le fade edlr. Burada r r = + + z elektron ve abancı atom arasındak mesafedr..9 denklem a* ve R* brmlernde H = r r + V,. olarak azılır. Yabancı atoma bağlı elektronun enerj öz değerlern ve dalga fonksonlarını bulmak çn varasonel önteme başvurulur. Buna göre abancı atom çn deneme dalga fonksonu

22 4 / ep,,,, λ z z N z + + =. olarak seçleblr. Buradak λ varasonel parametre,,, z abancı atom okken sonlu farklar öntem le bulunan taban durum dalga fonksonudur. Yabancı atom bağlanma enerjs B E, abancı atom okken sstemn taban durum enerjs le abancı atom varken sstemn taban durum enerjs arasındak fark olarak tanımlanır. Buna göre mn,,,,,,,, λ = z z z H z E E O B. olarak azılablr.

23 5 BÖLÜM : SAYISAL YÖNTEMLER Kuantum mekanğnde karşımıza çıkan problemlern çoğunda, sstemn Schrödnger denklemn analtk olarak çözmek çok zor vea mkânsızdır. Bu durumda saısal öntemlere başvurulur. Bu bölümde çalışmalarımızda kullandığımız sonlu farklar öntemn le varason öntemn nceledk. Sonlu farklar öntemle dışarıdan ugulanan elektrk ve manetk alanın etks altındak sstem çn varasona gerek kalmadan nümerk çözüm apılablmektedr. Arıca sonlu farklar öntemnn her türlü geometrk bçmdek kuantum tellerne ugulanablme avantajı vardır Moghrab vd.,. Sonuç olarak bu öntemle br fzksel problem temsl eden k boutlu dferansel denklemler hızlı br şeklde nümerk olarak çözüleblmektedr... Varason Yöntem Varason öntem başlangıçta tahmn ettğmz dalga fonksonunu gelştrme ve taban durum enerjs mnmze ederek bulmaı amaçlaan br öntemdr. Bu aklaşık öntem sstemn en düşük enerj durumuna karşı gelen öz fonksonun bçm hakkında tahmnde bulunabldğmz özdeğer problemlerne ugulanablr. Br H Hamltonenn özdeğerler E n ve özvektörler U n olsun. Taban durumu çn HU =. EU dır. Varason şlemn ugulaacağımız sstemn herhang br durumunda Hamltonenn beklenen değer çn aşağıdak eştlk azılablr. E = H = H E. fonksonu normlanmışsa pada bre eşt olur. Yukarıdak eştlk ancak = U durumunda mümkündür. Her durumu { U } özvektörlernn süperpozsonu olarak azılableceğ çn

24 6 = cu c = Normlanmış durumu c = E =, H c c U, HU. j * * = c c j E j U, U j = j * = c c E = c E j j c * j c E δ j j j olur. Her zaman taban durumu dğer durumlardan küçük enerjl olduğu çn E E çn, sernn her termnde E erne E alırsak eştlğn sağ tarafı küçülür. E E E c E = E c.4 bu eştlğe göre E değer ne kadar aşağı çekleblrse, taban durumuna o kadar aklaşılmış olunur. Seçlen deneme dalga fonksonu br λ parametresne bağlı se, E değer bu λ parametresne göre nmmze edlerek taban durumuna ce aklaşılır. Bu değşken H nn mümkün en küçük değern alıncaa kadar değştrlr. = r, λ E λ = E = λ H.5 Bu öntem daha genel olarak λ, λ, λ,..., λ gb brden çok parametrele ugulanablr. Karaoğlu, 994; Köksal, 99. n.. Sonlu farklar öntem Saısal öntemlern hemen heps ele alınan fonksonun en azından erel olarak analtk olduğu ve br polnom le temsl edldğ kabulüne daanır. Sonlu farklar öntem

25 7 genellkle nterpolason, ntegral ve türev alma gb şlemlerde fonksonu br polnom le temsl edlr. Sonlu farklar öntemnn avantajı Sonlu farklar öntem farklar tablosu kullanımını gerektren br öntemdr Karaoğlu vd., 996. Fonksonun eşt aralıklarla oluşturulduğunu varsaalım ve bağımsız değşkende düzgün ve eşt arlıklarla ölçülürse; Şekl.: Farklar tablosu Şekl.: Sonlu farklar öntemnde dalga fonksonunun gösterm n n n n farklar farklar Y X

26 = = + + d d.6 Yukarıda görüldüğü gb ler farkları bell br noktada sonlandırdık. Sonlu farklar öntem dem buradan gelr. Yukarıdak fade başka br noktaı alarak azarsak; = = d d.7 knc dereceden azarsak d d d d d d d d d d d + + = = =.8 buluruz...a. Sonlu Farklar Yöntemnn Kuantum Kuularına Ugulanması: Kuantum kuu çözümler çn Schrödnger denklemn çözmemz gerekr. Buna göre, [ ] * = + E V d d m h.9 denklemn a* ve R* brmlern kullanarak tekrar azarsak [ ] = + E V d d. elde ederz. Kuantum kuusunu çözmek çn lk önce kuuu d eşt aralıklarıla =,,..,n eşt parçaa bölelm.

27 9 Şekl.: Sonlu farklar öntemnn sonlu kuantum kuusuna ugulanışı. nokta çn ukarıda elde ettğmz. türev fadesn Schrödnger denklemnde erne koarak + d + + [ V E] =. elde ederz. = çn. denklemn tekrar azarsak; + d + [ V E] =.. denklemn düzenlersek, buluruz. = çn; [ V d + ] = E. d [ + V d + ] = E.4 d = çn; [ + V d + 4 ] = E.5 d

28 Benzer şeklde n nokta çn n tane denklem azılır. Bu denklemler de aşağıdak gb matrs şeklnde azablrz. v d.... v d.... v d.... E = d n n.6 Bu matrs çözümü bze En enerj öz durumlarını ve n dalga vektörlern verr. Şekl.4 de sonlu ve sonsuz kuantum kuuları çn analtk çözüm ve sonlu farklar öntem le bulunan sonuçlar gösterlmştr. Sonlu farklar öntem le analtk çözümler le çersndedr. uum..b. Sonlu Farklar Yöntemnn Kuantum Tellerne Ugulanması: Kuantum tel çnde hapsedlen br elektronun enerj özdeğerlern ve dalga fonksonlarını bulmak çn Shrödnger denklemn çözmemz gerekr. Elektrk ve manetk alan etks altında, Rdberg brm sstemnde kuantum tel çn Shrödnger denklemn şöle azablrz; H = E d d + V, + η + γ 4, = E + E, d + d.7 Burada F: kv/cm cnsnden elektrk alan şddet ve B: Tesla cnsnden manetk alan F şddet olmak üzere η =, γ =.576* B dr. 5,8

29 4 5 sonlu farklar öntem analtk çözüm E R* 5 5 V= 5,,,4,6,8, La* 8 sonlu farklar öntem analtk çözüm E R* 6 4 V=,,5,,5,,5, La* Şekl.4.A: Sonlu kare kuu çn taban durum enerjsnn kuu genşlğ le değşm. B: Sonsuz kare kuu çn taban durum enerjsnn kuu genşlğ le değşm.

30 Kuantum tel çözümü çn sonlu farklar öntemn kullanmak üzere şöle br ol zleeblrz. Teldek br elektronun hareket k boutta sınırlandığından; ve eksenlernde eşt adımlarla dalga fonksonlarını azalım Tsetser vd., ; Moghrab vd.,. n,, n,,,.. n n, n Şekl.5: Kuantum telnde dalga fonksonlarının farklar tablosu üzernde gösterm Sonlu farklar öntemndek knc türev tanımını kullanarak, çn Shrönnger denklem azılırsa ; d,, +, d V,, = E + E,,, +, +.8 bulunur. Benzer şeklde,,,,..., n, n çn.8 denklem tekrar azılırsa

31 4 V, d + d 4 V, d d + d 4 V, d d + d d... d d d.., 4 n, n d +V,, n, n =E,,, n, n.9 matrs elde edlr. Bu matrs çözen br programla E enerj özdeğerlern ve, dalga fonksonlarını bulablrz. Bunun çn fortran altında çalışan ve hazır lbrar kullanarak matrsler çözen br program kullandık. Analtk çözümün çok zor vea mkansız olduğu durumlarda hazırladığımız matrs bu programa çözdürerek hem enerj özdeğerlern hem de dalga fonksonlarını hızlı br şeklde bulmuş olduk.

32 4 BÖLÜM 4. SONUÇLAR VE TARTIŞMA Bu bölümde, bölüm te anlatılan analtk ve saısal öntemler kullanılarak, kare kestl eşmerkezl kuantum telnde bağlanma enerjsnn abancı atom konumuna, barer genşlğne ve elektrk alan şddetne bağlı olarak değşmne bakıldı. Daha sonra dışarıdan ugulanan elektrk ve manetk alan altında farklı bçml kuantum tellernde abancı atom bağlanma enerjs hesaplandı. Son olarak da eşmerkezl küresel kuantum noktasında barer genşlğne bağlı olarak bağlanma enerjs hesaplanmış ve lgl orumlar apılmıştır. Hesaplamalar etkn kütle aklaşımı çnde sonlu farklar öntem ve varason öntem kullanılarak apılmıştır. 4.. Kare Kestl Eşmerkezl Kuantum Telnde Yabancı Atoma Elektrk ve Manetk Alanın Etks Daha önce apılan çalışmalarda dış elektrk ve manetk alan altında koaksel slndrk kestl kuantum tellernde abancı atom bağlanma enerjs hesaplanmıştır Aktaş vd., 5; Mkhalov vd., Bu bölümde abancı atom konumuna, elektrk alan şddetne ve barer genşlğne bağlı olarak kare kestl eşmerkezl kuantum telnde abancı atomun taban durum bağlanma enerjler hesaplanmıştır. Kare kestl eşmerkezl kuantum tel sstemnn geometrk apısı şematk olarak şekl 4..A da gösterlmştr. Şekl 4..B de, eksenne göre potansel profl kest vardır. Etkn kütle aklaşımı çnde z eksen bounca uzanan kare kestl eşmerkezl kuantum telne tel eksenne dk olarak önünde elektrk alan ugulanması durumunda sstemn Hamltonen, r r ea H = P + + e F + V, m * c 4. olarak azılablr. Burada m* elektronun etkn kütles, F elektrk alan şddetdr. P r momentum operatörü, A r r manetk alanın vektör potanseldr ve A = B, B,, r B =,, B olarak seçlmştr. m* elektronun etkn kütlesdr.

33 5 A GaAs Ga - Al As V B T T TT B B B T B Şekl 4..A: Kare kestl eşmerkezl kuantum telnn şematk gösterm. B: Kare kestl eşmerkezl kuantum telnn eksenne göre potansel profl kest

34 6 Denklem 4. de V, sonlu barer potanseldr ve = V V V O O ; ; ; ;, 4. olarak verlr. Burada V O =8meV alınmıştır. Sstemn Hamltonen uzunluk brm olarak * / * e m a ε h = etkn Bohr arıçapı ve enerj brm olarak 4 / * * ε h e m R = etkn Rdberg brm sstemnde, 4 V L H z = γ γ η, 4. olarak verlr. Burada * / / * R cm kv F a e = η F elektrk alan şddet ve * * / cr m =ehb γ B manetk alan şddet dr. Z L açısal momentum operatörünün z bleşendr ve taban durumu çn sıfırdır. Burada elektronun hareket ve önlernde sınırlı z önünde se serbesttr. Taban durum enerjs E ve taban durum dalga fonksonu,, z nn ve bleşenler, sonlu farklar nümerk öntem le bulunur. Bu öntem bölüm. de açıklanmıştı. O halde abancı atom okken sstemn taban durum enerjs,, E H =, 4.4 denklemnden bulunur. Burada H, 4 V H = γ η. 4.5 şeklndedr.

35 7,, noktasında bulunan br abancı atom çn sstemn Hamltonen H = H ε e + + z 4.6 olarak alınır. Burada z + + abancı atom le elektron arasındak mesafe, ε elektronun hareket ettğ ortamın delektrk sabtdr ve sstemn her erndeε =.5 alınmıştır. Yabancı atomun taban durumu çn deneme dalga fonksonu,, z = N, ep + z / λ olarak seçlr. Burada N normalzason sabt ve λ varasonel parametredr. Bu parametre H hamltonen kullanılarak bulunan E n mnmze edlmesle bulunur. E =,, z H,, z 4.8 λ mn a* ve R* brmlernde abancı atom bağlanma enerjs E B, abancı atom okken elektronun taban durum enerjsnden E dan abancı atom varken k E enerjsnn arasındak fark olarak tanımlanır. E B = E E I = + λ I 4.9 burada A = ep + + z / λ dd, dz z / λ ve

36 8 λ B = dd, ep + + z / dz 4. olarak verlr. 4. ve 4. denklemler üç katlı ntegral olduğundan bunları elle çözmek zordur ve blgsaarda bu ntegrallern hesabı çok zaman alır. Bu nedenle Bessel fonksonlarını kullanarak 4. ve 4. denklemlern k katlı ntegral olarak azablrz.. derece modfe Bessel fonksonlarının K υ t ntegral göstermnn tanımı aşağıdak gbdr. Gradshten ve Rzhk, 98. K υ π υ ep t + z υ t = z dz t. 4. Γ υ + t + z Bu tanımı kullanarak ukarıdak ntegraller ı A B ı = K = + + K / λ + / λ, 4. olur. Burada K ve K sırasıla brnc derece modfe Bessel fonksonlarıdır. Buna göre A ve B enden azılırsa ve A = dd, K + / 4.4 λ B = dd, + K + / λ 4.5 bçmn alır.

37 9 Kare kestl eşmerkezl GaAs kuantum telnde abancı atom bağlanma enerjs, abancı atom konumunun, elektrk alan şddetnn ve barer genşlğ T B nn fonksonu olarak hesaplanmıştır. İlk önce sstemde abancı atom okken elektrk ve manetk alan etkler ncelenmştr. Hesaplamalar etkn kütle aklaşımı çnde sonlu farklar ve varasonel öntem kullanılarak apılmıştır. Sstemn her ernde ε =. 5 alınmış ve sonuçlar a* ve R* brmler cnsnden verlmştr a* 98 Å ve R*=5.8 mev. Yaklaşık olarak V O =8meV potanseln karşılaan Al konsatrasonu =. olarak seçlmştr. İlk olarak Şekl 4..A da kare kestl eşmerkezl kuantum telnn elektrk ve manetk alansız potansel profl gösterlmştr. Bu şekllerde T B =.a* alınmıştır. Şekl 4.B de taban durum enerjs ve dalga fonksonunu, Şekl 4..C de se. uarılmış durum enerjs ve dalga fonksonu gösterlmştr. Kare kestl eşmerkezl kuantum telnde elektrk alan etks şekl 4. de gösterlmştr. Elektrk alan önünde ugulanmış ve şddet F=5kV/cm ve F=kV/cm olarak alınmıştır. Ugulanan elektrk alan eşmerkezl kuantum telnn smetrs bozmakta ve enerj değerler azalmaktadır. Şekl 4.4 de önünde elektrk alanla brlkte z önünde manetk alan da ugulanmaktadır. Burada elektrk alan le manetk alan arasında br çekşme olmaktadır. F=5kV/cm elektrk alan altında B=.6T manetk ala ugulandığında enerj değerler artmış ve taban durum dalga fonksonunun br kısmı ç tele doğru kamıştır. Manetk alan.9t apıldığında se elektrk alanın etks tamamen azalıp manetk alan daha etkn olmuştur. Taban durumda elektron tamamen ç tele geçmştr. Manetk alan elektronu ç telde daha çok lokalze etmştr.

38 A F= kv/cm B= T,,8,6 V,,4,, X a* Y a* B C E =6.888 R*, E =7.544 R*,5,, -,5, X a* Y a* -, X a* Y a* Şekl 4..A: Kare kestl eşmerkezl kuantum telnn potansel profl B: Kare kestl eşmerkezl kuantum telnn taban durum enerjs ve dalga fonksonu C: Kare kestl eşmerkezl kuantum telnn. uarılmış durum enerjs ve dalga fonksonu

39 F=5 kv/cm B= T F= kv/cm B= T F F X a* Ya* X a* Y a* - - -,, E =4.585R*,4,, E =.8R*,8,8,,6,4,,6,4,, Xa* Y a*,, -, X a* Ya*, E =5.788R* E =.95 R*,,5,,,5 -,5,, -, X a* Y a* -,5 -, X a* Y a* Şekl 4.: Kare kestl eşmerkezl kuantum telnde önünde ugulanan F=5kV/cm ve F=kV/cm elektrk alan şddetler çn, potansel profller le taban durum ve brnc uarılmış durum dalga fonksonları.

40 , F=5 kv/cm B=.6T F=5 kv/cm B =.9T 4 F B Z As F B Xa* a* X As Y As,4,, E = R*, E =.6646R*,8,5,,6,4,,, -, X As Y As,5, X As Y As, E =7.798 R*,,5 E =9. R*,5,,,,,5 -,5 -, X As Y As, -, X a* Y a* Şekl 4.4: Kare kestl eşmerkezl kuantum telnde önünde F=5kV/cm elektrk alan şddet ve z önünde B=.6T ve B=.9T manetk alan şddetler çn potansel profller le taban durum ve brnc uarılmış durum dalga fonksonları.

41 Şekl 4.5 ve şekl 4.7 de sırasıla kuantum telnn merkeznde ve sağ dış teln kenarında bulunan abancı atom çn elektrk alanlı ve alansız bağlanma enerjler T B barer genşlğnn fonksonu olarak gösterlmştr. Her k şeklde de T =.4 a * sabt ve T B. den başlaarak artarken T, a* dan a doğru azalmaktadır. Şekl 4.5 de lk önce barer genşlğ nce ve T, T den daha büük olduğu çn elektron çoğunlukla dıştak kuantum telnde erleşmştr. Bu durum şekl 4.6 da T B =.4a* çn gösterlmştr. F= çn, T B artarken elektron ve abancı atom arasındak zaıf Coulomb etkleşmesnden dolaı bağlanma enerjsnde çok az br azalma görülür. T B.6a* krtk değernde, elektron artık dıştak kuantum telnde tutunamaz ve çtek tele geçer. Bu da bağlanma enerjsnde artışa sebep olur. Elektronun ç telde bulunduğu şekl 4.6 da T B =.8a* değer çn görülmektedr. Dışarıdan br elektrk alan, F = kvcm - ugulandığında, bağlanma enerjs elektrk alansız duruma kıasla Coulomb etkleşmesnden dolaı azalma gösterr. Elektrk alan elektronu dıştak kuantum telnde tutmaa çalıştığı çn, krtk barer genşlğ daha büük br değere gder. Krtk barer genşlğ aşıldıktan sonra elektron ç kuantum telnde er amaa başlar ve bağlanma enerjs artar. Buradak artış elektrk alansız artıştan daha keskndr. Şekl 4.7 de abancı atom dıştak teln sağ kenarında bulunmaktadır. Elektrk alan okken, ukarıdak durumdan farklı olarak, bağlanma enerjs, T B.7a * krtk değerne kadar artan barer genşlğ le neredese doğrusal olarak artmaktadır. Bu durum, dıştak kuantum telnde bulunan elektronun dalga fonksonunun bulunma olasılığının T azalırken daha güçlü olma eğlm göstermesnden kanaklanmaktadır. Krtk değerden daha büük barer genşlğ çn, elektron çtek kuantum telne tünelleme apar ve sabt br değere varmadan önce bağlanma enerjsnde br azalma gözlenr. Çünkü dıştak tel o kadar ncedr k, bağlanma enerjs üzerndek etks kabolur. Bundan dolaı bağlanma enerjs barerde abancı br atomlu tek br kuantum telnn sınırına uan br enerj değerne geçer. önünde F = kvcm - elektrk alan ugulandığında T B e göre bağlanma enerjsnn davranışı, abancı atomun merkezde olduğu durumdak davranışına benzer. Çünkü elektrk alan dalga fonksonunu dıştak kuantum telnn sol kısmında ve abancı atomdan uzak erleşmee zorlamaktadır. Elektrk alandan dolaı krtk barer genşlğ daha büük değerlere kaar. Krtk barer genşlğ aşıldığında bağlanma enerjlernde tek br kuantum telnn sahp olduğu bağlanma enerjsne doğru aklaşmak çn br eğlm gösterr.

42 4,8,7 F= E B R*,6,5,4,,,,,9 F= kv/cm,8,,,4,6,8,, T B a* Şekl 4.5: F= ve F=kV/cm çn abancı atom bağlanma enerjsnn barer genşlğ le değşm.

43 5 T B =.4a* T B =.8a* V, R* V, R* a* - a* - a* - a* E =.69 R*,4 E =5.5 R*,,,,8,5,4,,,,, - a* - a*,6,4,, - - a* - - a* Şekl 4.6: Kare kestl eşmerkezl kuantum telnde farklı barer genşlkler çn potansel profller ve taban durum dalga fonksonları.

44 6,, F=,9 E B R*,8,7,6 F= kv/cm,5,4,,,4,6,8,, T B a* Şekl 4.7: F= ve F=kV/cm enerjsnn barer genşlğ le değşm. çn dış tel kenarında bulunan abancı atom bağlanma

45 7 4.. Farklı bçml kuantum tellernde elektrk ve manetk alan altında abancı atom bağlanma enerjs ve önlernde farklı potansel engeller alınarak farklı bçml kuantum teller elde edlmştr. Buna göre şekl 4.8A da -eksennde kare kuu, -eksennde üçgen kuu potansel alınarak V-bçml kuantum tel ve şekl 4.8.B de her k eksende de üçgen kuu potansel alınarak üçgen kombnason kuantum tel olmak üzere farklı bçml kuantum teller elde edlmştr. V-bçml kuantum teller teknolojde lazer ugulama alanına sahp olduğundan son ıllarda büük lg görmektedr Km vd., ; Deng vd., ; Kasapoğlu vd.,. Arıca kuantum tellernde geometk etkler brçok araştırmanın konusu olmuştur. önünde ugulanan elektrk alan ve z önünde ugulanan manetk alan altında farklı bçml kuantum tellernde abancı atom okken sstemn Hamltonen a* ve R* brmlernde, γ H = + η V, * olarak alınır. Burada η = e a * F kv / cm / R *F elektrk alan şddet ve γ =ehb / m cr B, Tesla cnsnden manetk alan şddet sırasıla elektrk ve manetk alanın boutsuzluk parametrelerdr. Ssteme,, Hamltonen noktasında bulunan br abancı atom katılırsa bu durumda * H = H 4.9 z + + olarak alırız. Burada z + + abancı atom le elektron arasındak mesafe, ε elektronun hareket ettğ ortamın delektrk sabtdr ε =.5 alınmıştır. Daha sonra bölüm 4. de anlatıldığı gb varasonel öntemle bağlanma enerjler hesaplanmıştır. Yabancı atomun tellern merkeznde olduğu kabul edlmştr

46 8 A 8 6 V, R* X a* - - Y a* B 8 6 V, R* X a* - - Y a* Şekl 4.8. A. Kare-üçgen potansell kuantum tel V-bçml kuantum tel B. Üçgen-üçgen potansell kuantum tel üçgen kombnasonu kuantum tel

47 9 Denklem 4.8 de sstemn potansel, V, = V + V, 4. alınmıştır. Burada, V ve V L V L,, = L V V = 4. L V L V olarak verlr. V =8 mev olarak alınmıştır. Taban durum ve. uarılmış durum çn enerj özdeğerler ve dalga fonksonları elektrk alan okken çalışılmıştır. V-bçml kuantum tel çn, taban durum enerjs 5.9 R* olarak,. uarılmış durum enerjs de 9.56 R* olarak hesaplanmıştır. Üçgen kombnasonu kuantum tel çn se taban durum ve. uarılmış durum enerjler sırasıla R* ve R* olarak bulunmuştur. Şekl 4.9 da F = kv / cm elektrk alan şddet altındak her k kuantum telnde taban ve. uarılmış durum çn enerj özdeğerler ve dalga fonksonları gösterlmştr. önünde ugulan elektrk alan polarzasona neden olur ve beklendğ gb enerj durumları değşerek enerj özdeğerler azalır. Enerj özdeğerlernn azalışı şeklden görüldüğü gb. uarılmış durumlar çn daha belrgndr. Arıca üçgen kombnasonu tel çn dalga fonksonunun smetrsnn elektrk alanın ters önünde değştğ gözlenmştr. Anı özellk V-bçml kuantum tel çn oktur. Bu üzden, üçgen kombnasonu br kuantum telnden çok br kuantum kuusunun karakterstklern göstermektedr ve bu teknolojk önem olablecek br özellk olarak kullanılablr. Manetk alanın apılar üzerndek etks elektrk alanla brlkte Şekl 4. da gösterlmştr. Manetk alan elektron dalga fonksonun sınırlandırılmasını arttırmaktadır ve bu da hem taban hem de. uarılmış durum enerj özdeğerlernde br artışa neden olmaktadır. Arıca, üçgen-üçgen kuantum tel çn elektrk alanın neden olduğu dalga fonksonun antsmetrk özellkler manetk alan tarafından ok edlmektedr.

48 V, R* 4 F= kv/cm F= kv/cm F V, R* 6 F X a* - - Y a* - - X a* - - Y a*. E =,4 R*, E =6.864R*.8,.4,,8, X a* - - Y a*, - - X a* - - Y a*,8, E =5,5786 R*,6 E = 5.8 R*,,5, -,5,,4,, -, - - X a* - - Y a* -, - - X a* - - Y a* Şekl 4.9: -önünde ugulanan elektrk alan altında F=kV/cm farklı bçml kuantum tellernde potansel profller le taban durum ve. uarılmış durum dalga fonksonları.

49 4 6 F=kV/cm B= T 6 F= kv/cm B=T V, R* 8 F B V, R* 8 F B X a* - - Y a* X a* - - Y a*, E =4,888R*, E =8.65 R*,,8,4,,8,4, - - X a* - - Y a*, - - X a* - - Y a*, E =4.79R*,8 E =6.8 R*,,5,,,4, -,4 -,5 -, - - Xa* - - Y a* -,8 - - X a* - - Y a* Şekl 4.: -önünde ugulanan elektrk alan F=kV/cm ve z-ününde ugulanan manetk alan B=T altında farklı bçml kuantum tellernde potansel profller ve taban durum ve. uarılmış durum dalga fonksonları.

50 4,6 L =L =L,4 E B R*,,,8,,4,6,8,,,4 La* Şekl 4.: Farklı bçml kuantum tellernde bağlanma enerjsnn tel genşlğ le değşm. eğr V-bçml kuantum tel çn,. eğr se üçgen kombnasonu kuantum tel çndr.

51 4 Şekl 4. de elektrk ve manetk alan okken, teln merkeznde bulunan abancı atomun bağlanma enerjsnn değşm tel genşlğnn fonksonu olarak gösterlmştr.bu sonuçlar öncek çalışmalarla uumludur Sarı vd. 4. Şekl 4. dek. eğr bağlanma enerjsnn V-bçml kuantum telnn genşlğ le değşmn,. eğr se üçgen kombnasonu telnn genşlğ le değşmn göstermektedr. Şeklden her k tel çnde bağlanma enerjsnn maksmum br değere ulaşıncaa kadar arttığını ve sonra teldek elektron sınırlarındak değşm üzünden azalmaa başladığı görülmektedr. Tel genşlklernn küçük sınırlı br değere azaltılmasıla abancı atoma bağlı elektronun dalga fonksonu telden dışarı sızmaa başlar ve bağlanma enerjs azalmaa başlar. Şekl 4. de üçgen kombnasonu kuantum telnde ugulanan üç elektrk alan şddet çn, bağlanma enerjs tel genşlğnn fonksonu gösterlmştr. Elektrk alan okken, bağlanma enerjs artan tel genşlğ le * L =.5 a krtk değerne kadar artmaktadır. Krtk değerden daha genş teller çn abancı atom ve elektron arasındak zaıf Coulomb etkleşmesnden dolaı bağlanma enerjsnde küçük br azalma görülmektedr. F=kV/cm ve F=5kV/cm elektrk alanları ugulandığında se, Coulomb etkleşmesnden dolaı bağlanma enerjs elektrk alansız duruma kıasla br azalma gösterr. Elektrk alan elektronu teln sol kısmında tutmaa çalıştığı çn, krtk barer genşlğ braz daha büük br değere gder. Sonunda bağlanma enerjs tekrar elektrk alansız durumundak değerne döner. Anı hesaplamalar şekl 4. de V-bçml kuantum tel çn verlmştr. Bağlanma enerjs bçme bağlı olarak daha güçlü sınırlamadan dolaı elektrk alan şddetne neredese duarsız kalır. Bu çalışmaların sonucu olarak farklı bçml kuantum tellernde bağlanma enerjsnn apısal geometre ve arıca dışarıdan ugulanan elektrk ve manetk alana kuvvetl olarak bağlı olduğu görülmüştür. Sonlu farklar öntemnn bu tür hesaplamalarda etkn ve kullanışlı olduğu görülmüş ve arıca kuantum tellernn farklı bçm kombnasonlarının teknolojk ugulamalarda kullanılablr tamamen farklı karakterstk davranışlar gösterdğ gözlenmştr. Bulduğumuz bu sonuçlar denesel çalışmalarda da kullanılablr.

52 44,4 F= L =L =L, E B R*,6 F=, F=5kV/cm,8,,4,6,8,,,4 La* Şekl 4.: Farklı elektrk alan şddetler altında üçgen kombnasonu kuantum telnde bağlanma enerjsnn tel genşlğ le değşm.

53 45,6 L =L =L,4 F= E B R*, F=5kV/cm,,8,,,4,6,8,,,4 La* Şekl 4.: Farklı elektrk alan şddetler altında V-bçml kuantum telnde bağlanma enerjsnn tel genşlğ le değşm.

54 Eşmerkezl Küresel Kuantum Noktasında Yabancı Atom Problem Şekl 4.4: Eşmerkezl küresel kuantum noktası Etrafı Ga - Al As le çevrlmş GaAs çnde br elektronun hareket üç boutta sınırlanmış se bu ssteme GaAs kuantum noktası denr. Elektronların sınırlandırılmasından dolaı kuantum noktalarındak enerj seveler atomlarda olduğu gb kuantze olur. Bu üzden kuatum noktalarının fzğ, atomk fzkte medana gelen kuantum olaları le paralellk gösterr Saften 7. Kuantum noktalarına abancı atom katılmasıla letkenlk kontrollü br bçmde değştrleblr. Kuantum noktaları küp, küre ve dsk gb değşk bçmlerde üretleblrler. Bz bu çalışmada eşmerkezl Ga - Al As/GaAs küresel kuantum noktasını ele aldık. Eşmerkezl küresel Ga - Al As/GaAs kuantum noktası çn sstemn Hamltonen küresel koordnatlarda h H = r + snθ + + V r m * r r r r snθ θ θ r sn θ ϕ 4. olarak azılablr. dalga fonksonu r,θ,φ koordnatlarının br fonksonu olur. Burada potansel fonksonu;

55 47 r R V R r R V r = 4. R r R R r olarak verlmektedr. V o = 8meV ve dış tel potansel sonsuz alınmıştır. Şekl 4.5 de sstemn k boutlu potansel profl gösterlmştr. Potansel sadece r değşkenne bağlı olduğundan, değşken aırımı öntemn ugulaablrz. Bunun çn r, θ, ϕ = R r Y θ, ϕ 4.4 şeklnde br çözüm araalım. Kısm türevler alındıktan sonra, eştlğn k tarafı RY le bölünür ve r e bağlı termler br tarafa alınırsa R d dr r dr dr m * r Y [ E V r ] = snθ + + h Y snθ θ Y sn θ φ 4.5 olur. Sol tarafta alnızca r değşkenne bağlı br fade, sağ tarafta alnız θ, φ değşkenlerne bağlı br fadee eşt olmaktadır. Bu eştlğ her r, θ, φ değer çn sağlaablmenn tek olu, k tarafın da anı br λ sabtne eşt olmasıdır. Buradan d dr sn dr m * r r + [ E V r ] R λr = dr h Y Y snθ + + λy = θ θ θ sn θ φ 4.6 denklemler bulunur. Bu denklemlerden brncs sadece r koordnatına bağlı olup Radal Schrödnger denklem adını alır. Arıntılı çözümü bulmak çn Vr potanselnn verlmes gerekr. İknc denklemde se Vr potansel oktur. O halde tüm küresel smetrk potanseller çn, dalga fonksonunun açısal bağlılığı anı Y θ, φ fonksonu le belrlenmş olacaktır. İlk önce açısal denklemn çözümüne bakılırsa

56 48 λ = l l ve Y m l m mφ l =,,,... θ, φ = N LM Pl cosθ e 4.8 m = l,...,,,,..., l olarak bulunur. Burada çözümünü m Yl küresel harmonkler m P l se legendre polnomlarını gösterr. Küresel harmonklern tanımından, taban durumu çn l =, m = açısal denklemn / O Y O θ, φ = π olarak bulunur Karaoğlu, 994. Tüm küresel smetrk potanseller çn, dalga m fonksonunun açısal kısmının Y θ, φ olduğu blndkten sonra, radal Schrödnger denklemnde λ = l l + özdeğern erne koarsak l d dr dr m * r l l + h + = E V r R r dr h m * r r 4. olur. Yne taban durumu çn l = ukarıdak denklem tekrar azılırsa; d dr dr m * r + r dr h r [ E V r ] R = 4. buluruz. Bu denklemn çözümü çn Vr potanselnn verlmş olması gerekr. Bu radal Schrödnger denklemn sonlu farklar öntem le çözüoruz. Denklem 4. a* ve R* brmlernde, d dr r dr + r r dr [ E V r ] R = 4.

57 49 olur. Buradak potansel fonksonu denklem 4. de tanımladığımız formda alınarak taban durum enerjsn ve dalga fonksonunu sonlu farklar öntem le hesaplıoruz. e Ssteme abancı atom kattığımızda se - term sadece r e bağlı olduğundan εr açısal denklem çözümünde br değşklk olamaacak ve bu term radal denkleme lave edlecektr. Buna göre 4. denklem tekrar azılırsa; d dr r dr + r E V r + R r = dr r 4. olur. Öncek bölümlerde açıklandığı gb sonlu farklar öntem le abancı atom okken çözüm bulunduktan sonra ssteme abancı atom katılmasıla varason öntem kullanılarak abancı atom bağlanma enerjler hesaplanır. Bu bölümde delektrk sabt sstemn her ernde anı ε =. 5 alınmış ve sonuçlar a* ve R* brmler cnsnden verlmştr a* 98 Å ve R*=5.8 mev. Eşmerkezl küresel kuantum noktası çn k boutta potansel profl şekl 4.5 A da ve taban durum dalga fonksonu şekl 4.5.B de gösterlmştr. Bu şekllerde, barer genşlğ.5 a* ve potansel ükseklğ mev alınmıştır. İç nokta kalınlığı.4 a* dır. Şeklden görüldüğü gb taban durum dalga fonksonu dış kuantum noktasında er almıştır. Şekl 4.6 da barer genşlğn. a* aptık. Yapı tek kuantum noktası özellğn gösterd. Elektron tamamen ç kuantum noktası çnde oldu. Bu şekllerden apının geometrk özellklernn bağlanma enerjsn etkleeceğn gördük. Bundan dolaı şekl 4.7 de barer genşlğ le bağlanma enerjsnn değşmn nceledk. Bağlanma enerjsnde bulunan sonuçlar beklenldğ gbdr. Barer genşlğnn artmasıla bağlanma enerjs.8 a* değerne kadar azalmıştır. Bu değere kadar artan barer genşlğ le elektron le abancı atom arasındak azalan Coulomb etkleşmesnden dolaı bağlanma enerjs azalmaktadır. T B.9a * krtk barer kalınlığında se keskn br artış gördük. Bu davranış elektronun dış kuantum noktasından ç kuantum noktasına doğru önelmesndendr. Krtk barer genşlğnden sonrak değerlerde se elektron tamamen ç kuantum noktasında er alır. Bağlanma enerjs sabt br değerde kalır. Yapı artık tek br kuantum noktası özellğn gösterr.

58 Vr 5 T B =.5a* ,4,8 r,,6, 4,,8 E =8.44 R*,6,4,,,8,6,4,,,4,8 r,,6, 4 6 Şekl 4.5.A: Eşmerkezl küresel kuantum noktasının k boutlu potansel profl B: Eşmerkezl küresel kuantum noktasının k boutlu taban durum dalga fonksonu.

59 Vr 5 T B =. a* ,4,8 r,,6, 4 E =7.654R*,,5,,5 6,,4,8 r,,6, 4 Şekl 4.6: Barer genşlğ T B =. a* çn k boutlu potansel profl ve taban durumu dalga fonksonu.

60 5 E B R* 5,,4,8,,6 T B a* Şekl 4.7: Eşmerkezl küresel kuantum noktasının merkeznde bulunan abancı atomun bağlanma enerjsnn barer genşlğ le değşm.

61 5 KAYNAKLAR:. AKBAŞ H., EKMEKÇİ S., AKTAŞ Ş., TOMAK M., 995, Electrc feld effect on shallow mpurt states n multple quantum-well structure Tr. J. Of Phscs, 9, 8.. AKBAŞ H, AKTAŞ Ş., OKAN Ş.E., ULAŞ M., TOMAK M., 998, Screenng effect on the bndng energes of shallow donors, acceptors and ectons n fnte barrer quantum wells, Superlatt. and Mcrostruct.,.. AKTAŞ Ş., OKAN Ş.E. AKBAŞ H.,, Electrc feld effect on the bndng energ of a hdrogenc mpurt n coaal GaAs quantum-well wres, Superlatt. And Mcrostruct. 9, AKTAŞ Ş., 998 Düşük boutlu Al Ga - As/GaAs sstemlern elektronk özellkler Doktora tez, T.Ü. Fen Blmler Ensttüsü, Edrne. 5. AKTAŞ Ş., BOZ F. K., DALGIÇ S. S., 5, Electrc and magnetc feld effects on the bndng energ of a hdrogenc donor mpurt n coaal GaAs quantum-well wre Phsca E 8, AKANKAN O., OKAN S.E., AKBAŞ H., 6, Spatal electrc and aal magnetc felds effect n GaAs-AlAs quantum wres, Phsca E 6, AN X. T., LIU J.J, 6, Hdrogenc mpurtes n parabolc quantum well-wres n a magnetc feld J. Appl. Phs. 99, BOZ F.K., AKTAŞ, Ş., 5, Magnetc feld effect on the bndng energ of s hdrogenc mpurt n coaal GaAs/ Al Ga - As quantum well-wres Superlatt. and Mcrostruct., 7, BOZ F.K., 5, Düşük boutlu apılarda abancı atom problem ve ekstonlar, Doktora tez, T.Ü. Fen Blmler Ensttüsü, Edrne.

62 54. BLOSS W.L., 989, Electrc feld dependence of quantum-well egen states J. Appl. Phs. 65, BRANIS S. V., LI G., BAJAJ K.K., 99, Hdrogenc mpurtes n quantum wres n the presence of a magnetc feld Phs. Rev. B, 47, 6.. DENG Z-Y., OHJI T.,, Ecton bndng energ n V-shaped GaAs Ga Al As quantum wres, Sold State Communcatons 8, DUQUE C.A., MONTES A., MORALES A.L,, Bndng energ and polarzablt n GaAs quantum well wres Phsca B,, ERDOĞAN I., AKANKAN O., AKBAŞ H., 6 Elecrc and magnetc feld effects on the self-polarzaton n GaAs/AlAs clndrcal quantum well-wres Phsca E,, GRADSHTEYN I.S., RYZHIK I.M., 98, Table of Integrals, Seres and Products, Academc Pres, Florda. 6. KARAOĞLU B., 994 Kuantum Mekanğne Grş, Blgtek aıncılık, İstanbul. 7. KARAOĞLU B., 996, Fzk ve Mühendslkte Matematk Yöntemler,. basım, Blgtek aıncılık, İstanbul. 8. KASAPOĞLU E. SARI H. SÖKMEN I., Geometrcal effects on shallow donor mpurtes n quantum wres Phsca E, 9,. 9. KITTEL C, 996, Katıhal Fzğne Grş Bekr Karaoğlu, 6. basım, 4, Blgtekaın., İst.. KIM T. G., WANG X. L, SUZUKI Y., KOMORI K., OGURA M.,, Characterstcs of the Ground State Lasng Operaton n V-groove Quantum-Wre Lasers IEEE Journal of Selected Topcs n Quantum Electroncs, 6, 5.

63 55. KÖKSAL F, 99, Fencler İçn Kuantum Kması, 7, Ondokuz Maıs Ünverstes, Samsun.. LEE J., SPECTOR HN, 98, Impurt-lmted moblt of semconductng thn wre J. Appl. Phs. 54, 9.. MANASELYAN A.KH., AGASYAN M. M., KIRAKOSYAN A.A., The moblt of charge carres n a sze-quantzed coated semconductor wre, Phsca E, 4, MASALE M., CONSTANTINOU N.C., TILLEY D.R., 99, Sngle-electron energ subbands of a hollow clnder n an aal magnetc feld Phs. Rev. B, 46, MIKHAILOV I.D., ESCORCIA R., ORTEGA J.S.,, The bndng energes of shallow donor mpurtes n GaAs-Ga,AlAs Coaal Quantum-well wres Phs. Status Sold b,, MONTES A., DUQUE C.A., PORRAS-MONTENEGRO N., 998, Denst of shallowdonor mpurt states n rectangular cross secton GaAs quantum-well wres under appled electrc feld, J. Phsc.: Condens. Matter,, MOGHRABY D. E., JOHNSON R.G., HARRISON P., Calculatng modes of quantum wre and dot sstems usng a fnte dfferencng technque, Computer Phs. Commun. 5, NICULESCU E. GEARBA A., CONE G., NEGUTU C.,, Magnetc feld dependence of shallow donors n GaAs quantum well-wres Superlatt.Mcrostruct. 9, OKAN S. E., AKBAŞ. H., AKTAŞ Ş.,TOMAK M.,, Bndng energes of helumlke mpurtes n parabolc quantum wells under an appled electrc feld, Superlatts and Mcrostructs,,.. OKAN S. E., ERDOGAN İ., AKBAŞ. H.,4, Anomalous polarzaton n an electrc feld and self-polarzaton n GaAs/AlAs quantum wells and quantum well wres Phsca E, 9.

64 56. ULAŞ M., AKBAŞ H. TOMAK M.,997, Shallow donors n a quantum well wre: Electrc feld and geometrcal effects, Phs. Stat. Sol.,, 67.. SARI H., KASAPOĞLU I., SÖKMEN I., Shallow donors n a trple graded quantum well electrc and magnetc feld Phsca B, 5,.. SAFTEN Y.,7, Kuantum noktalarının sonlu farklar öntem le çözümü, Yüksek lsans tez, T.Ü. Fen Blmler Ensttüsü, Edrne. 4. TSETSERI M., TRIBERIS G. P.,, A stud of the ground state of quantum wres usng the fnte dfference method, Superlatt. and Mcrostruct.,79 5. ZOUNOUBI A., MESSAOUDI K.E., ZORKANI I., JORIO A.,, Magnetc feld and fnte barrer- heght effects on the polarzablt of a shallow donor n a GaAs quantum wre, Superlatt. and Mcrostruct, CHAO HT, TRAN THOAI DB., 995 Effect of the electrc on a hdrogenc mpurt n a quantum-well wre, Phsca B, 5, 7.