Her hakkı Millî Eğitim Bakanlığı na aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz.

Transkript

1 MİÎ EĞİTİM BAKANĞ YAYNAR... 4 DERS KİTAPAR DİZİSİ Y..8 Her hkkı Millî Eğitim Bklığı ittir. Kitbı meti, soru ve şekilleri kısme de ols hiçbir surette lııp yyımlm. GENE KRDİNATÖR Yurdgül GÜNEŞ İNCEEME KMİSYNU Ö. ruk ERTÜRK, Glip KR, İsmil BİGİN Digi Grfik : Ajs YRUM Kpk Tsrımı : Ajs YRUM SBN Millî Eğitim Bklığı, Tlim Terbiye Kurulu u... /... /... gü ve... syılı krrı ile ders kitbı olrk kbul edilmiş, Yyımlr Diresi Bşklığı ı... /... /... gü ve... syılı yılrı ile... def... det bsılmıştır. V

2 İÇİNDEKİER BÖÜM : NKSİYNAR - 54 oksiyo... Ters oksiyo... Art ve Al oksiyolr... Çift ve Tek oksiyolr... 5 oksiyolrd İşlemler... 7 Kou İle İlgili Uygulmlr... 8 Alıştırmlr... Öel Tımlı oksiyolr... Prçlı oksiyolr... Prçlı oksiyolrı Grfiği... Mutlk Değer oksiyou... Mutlk Değerli oksiyolrı Grfikleri... İşret (Sigum) oksiyou... İşret oksiyouu Grfiği... Tm Kısım oksiyou... 5 Arlık Uuluğu... Tm Kısım oksiyolrıı Grfikleri... Bir oksiyou E Geiş Tım Kümesi... 7 Tım Kümelerii Buluuşu... 7 Alıştırmlr... 4 Test A Test B Test C Test D... 5 BÖÜM : NKSİYNARN İMİTİ Diiler Yrdımı ile imit Epsilo Tekiği ile imit Sold ve Sğd imit Öel Tımlı oksiyolrı imitleri... 6 Prçlı oksiyolrı imiti... 6 Mutlk Kısımlı oksiyolrı imiti... 6 İşret (Sg) oksiyolrıı imiti... 6 Tm Kısım oksiyouu imiti... 6 Sosu içi imit oksiyolrı imiti ile İlgili Teoremler Alıştırmlr... 7 imitte Belirsilik Durumlrı Belirsiliği Trigoometrik oksiyolrı imitleri V

3 Belirsiliği... 8 Belirsiliği Belirsiliği Alıştırmlr Test A Test B... 9 Test C... 9 BÖÜM : NKSİYNARDA SÜREKİİK 96-7 Bir Noktd Süreklilik Sold ve Sğd Süreklilik Kplı Bir Arlıkt Süreklilik Tım Kümeside Süreklilik Trigoometrik oksiyolrı Sürekliliği... Süreksilik Çeşitleri... Kplı Bir Arlıkt Sürekli oksiyou Öelikleri... Alıştırmlr... 5 Test... 6 BÖÜM 4 : TÜREV 8-5 Türev Kvrmı... 8 Sold ve Sğd Türev... 9 Türevi Süreklilik ile İlişkisi... Bir Arlıkt Türevleebilme... Türev Alm Kurllrı... Alıştırmlr... 7 Türevi Geometrik Yorumu... 9 Teğet ve Norml Deklemleri... 9 Türevi iiksel Yorumu... Alıştırmlr... Bileşke oksiyou Türevi (Türevde Zicir Kurlı)... 5 Trigoometrik oksiyolrı Türevi... 7 Öel Tımlı oksiyolrı Türevi... Mutlk Değer oksiyouu Türevi... Tm Kısım oksiyouu Türevi... İşret oksiyouu Türevi... Kplı oksiyolrı Türevi... Rsyoel Üslü oksiyolrı Türevi... Prmetrik oksiyolrı Türevi... 5 Alıştırmlr... 7 Ters oksiyou Türevi... 4 Ters Trigoometrik oksiyolrı Türevi... 4 V

4 ogritm oksiyouu Türevi... 4 Üstel oksiyouu Türevi ogritmik Türev Alm Yüksek Mertebede Türevler (Ardışık Türevler) Alıştırmlr... 5 Difersiyel Kvrmı... 5 Alıştırmlr Art ve Al oksiyolr Ekstremum Noktlr ve Ekstremum Değerler Ekstremum Noktlrı ile Türevi İlişkisi... 6 İkici Türevi Yerel Ekstremum Noktlr ile İlişkisi... 6 Alıştırmlr İkici Türevi Geometrik Almı Büküm (Döüm) Noktsı... 7 Rolle (Rol) ve rtlm Değer Teoremleri... 7 Alıştırmlr... 7 Hospitl (opitl) Kurlı Belirsiliği Belirsiliği... 75,, Belirsilikleri Alıştırmlr oksiyolrı Grfikleri Asimptotlr Grfik Çiimleri... 8 Poliom oksiyolrı Grfikleri... 8 Rsyoel oksiyolrı Grfikleri... 8 İrrsyoel oksiyolrı Grfikleri Trigoometrik oksiyolrı Grfikleri Alıştırmlr Test 4 A... 9 Test 4 B... 9 Test 4 C Test 4 D Test 4 E... BÖÜM 5 : İNTEGRA 4-7 Belirsi İtegrl... 4 Belirsi İtegrli Öelikleri... 4 İtegrl Alm Kurllrı... 6 Alıştırmlr... 8 İtegrl Alm Metotlrı... 9 Değişke Değiştirme (Yerie Koym) Metodu... 9 X

5 Alıştırmlr... 4 İtegrlde Trigoometrik Döüşümler... 6 Alıştırmlr... 9 Kısmi İtegrsyo Metodu... Alıştırmlr... Bsit Kesirlere Ayırm Metodu ile İtegrl Alm... Alıştırmlr... 5 Trigoometrik Ödeşliklerde ydlrk İtegrl Alm... 6 Alıştırmlr... 8 Belirli İtegrl... 9 Bir Kplı Arlığı Prçlmsı... 9 İcelme Diisi... Alt Toplm, Üst Toplm, Riem (Rim) Toplmı... Belirli İtegrl... 4 Belirli İtegrli Öelikleri... 7 Alıştırmlr... 4 Belirli İtegrli Uygulmlrı... 4 Al Hesbı... 4 Alıştırmlr Döel Cisimleri Hcimleri Alıştırmlr... 6 Test 5 A... 6 Test 5 B Test 5 C Test 5 D... 7 BÖÜM 6 : İNEER CEBİR 7 - Mtrisler... 7 İki Mtrisi Eşitliği Mtrislerde Toplm İşlemi Mtrisleri Sklrl Çrpımı Mtrislerde Çrpm İşlemi Bir Mtrisi Çrpm İşlemie Göre Tersi Bir Mtrisi Trspou (Devriği) Alıştırmlr Determitlr... 9 Miör ve Kofktör (Eş Çrp)... 9 Determit oksiyou Determitlrı Öelikleri Ek Mtris Alıştırmlr... Test 6 A... Test 6 B... 5 Test 6 C... 8 Cevp Ahtrlrı... Semboller... Sölük... X

6 SEMBER V : Vey : Ve : İse, gerektirme : Ack ve ck : E bir, bı : Her : Elemıdır : Elemı değildir : Alt küme : Alt küme değil : Birleşim : Kesişim, r kesit N : Doğl syılr kümesi N + : Sym syılr kümesi Z : Tm syılr kümesi Q : Rsyoel syılr kümesi R : Reel (Gerçek) syılr kümesi : Sigm (Toplm sembolü) : Pi (çrpım sembolü) : Epsilo : Delt : Mutlk değer Sg : Sigum (işret) : Tm kısım df : f foksiyouu difersiyeli : İtegrl işreti ( ) : diisi P : P bölütüsüü ormu Ek(A) : Ek mtris Det(A) : A mtrisii determitı

7 SÖZÜK lt mtris rlık rdışık türev simptot büküm oktsı determit difersiyel döel cisim ekstremum değerler : Uç değerler. grfik ilkel foksiyo itegrsyo : Bir mtriste bı stır vey sütulr tılrk ypıl mtris. : Reel syılr kümesii bir lt kümesi. : Bir foksiyou birici, ikici, üçücü,.... türevleri. : Bir eğriye sosud teğet ol doğru vey eğri. : Eğrii bükülme yöüü değiştiği okt. : Kresel mtrisleri, reel syılr döüştüre bir öel foksiyo. : y = f() gibi bir foksiyou türevi ile d i çrpımı. : Dülemsel bir bölgei bir doğru etrfıd 6 o dömeside oluş cisim. : Bir foksiyou belirttiği ikililere dülemde krşılık gele oktlrı kümesi. : Türevi bilie bir foksiyou slı. : Türevi bilie bir foksiyou slıı bulm. irrsyoel foksiyo : E bir terimi kök içide ol foksiyo. kofktör hospitl kurlı mksimum değer miumum değer orml rsyoel foksiyo regüler mtris siguler mtris sklr srrus kurlı ters mtris trspo yerel ekstremum : Bir determitt i. stır ve j. sütuu tılmsı ile kl determitı () i + j ile çrpımı. : Türev yrdımı ile limit hesplmlrıd kullıl bir kurl. : Belli bir rlıkt e büyük değer. : Belli bir rlıkt e küçük değer. : Bir eğrii teğetie değme oktsıd dik ol doğru. : Py ve pydsı poliom ol foksiyo. : Determitı sıfırd frklı ol mtris. : Determitı sıfır ol mtris. : Cisim elemı :. mertebede bir determitı hesplmsıd kullıl bir kurl. : Çrpımlrı birim mtrisi vere iki mtriste biri. : Mtrisi stırlrıı sütu ypılmsı ile elde edile mtris. : Bir foksiyou belli bir rlıkt e büyük vey e küçük değeri.

8 KAYNAKÇA. KMİSYN, Mtemtik ise, M.E.B., Akr 98.. KMİSYN, Mtemtik 4, M.E.B., Akr 99.. KMİSYN, Mtemtik 5, M.E.B., Akr AYDN, Seyfetti; Abdullh Demirlp, Alie Giriş, Bşrı Yyılrı THMAS, George B., Thoms Mtemtik, Ayrım Yyılrı KARADENİZ, Prof. Ahmet A., Yüksek Mtemtik -, Çğly Kitbevi SÜER, B; H. Demir, Clculus -, Şirketi Mürettibiye Bsımevi GRANVİE, W.A., Difersiyel ve İtegrl Hesp. 4

9 B Ö Ü M N K S İ Y N A R Bu bölümde, öel tımlı foksiyolr ve bu foksiyolrı öelikleri üeride durulcktır. NKSİYN Tım : A ve B boş olmy iki küme olsu. A ı her bir elemıı B i bir ve ylı bir elemı eşleye bğıtıy A d B ye foksiyo deir. f : A B, A f B vey y = f () biçimide gösterilir. A kümesie, foksiyou tım kümesi; B kümesie, foksiyou değer kümesi; A kümesii elemlrıı görütüleride oluş f (A) kümesie görütü kümesi deir. Görütü kümesii, f (A) = { y B : y = f (), A } biçimide gösterebiliri. Örek : f : A B ye f () = kurlı ile tımlı foksiyo veriliyor. A = {,, }, B = {,,, }. f (A) görütü kümesii bullım. b. oksiyou şem ile gösterelim. olmk üere: c. f () = deklemii çöüm kümesii bullım. b. Çöüm :. f () = () + = f () = = f () = = vef (A) = {, } dir. Şemd görüleceği gibi; leri oluşturduğu A = {,, } tım kümesidir. y leri oluşturduğu B = {,,, } değer kümesidir. Tım kümesideki leri foksiyodki görütüleri ol, f () leri oluşturduğu f (A) = {, } görütü kümesidir. c. f () = = = = V = ve A olduğud deklemi çöüm kümesi: Ç = {} dir. Örek : R R ye, şğıd grfikleri verile bğıtılrd foksiyo ollrıı belirtelim.. y f b. y g c. y h d. y e. y k f. y t l Çöüm : oksiyo tımı göre, tım kümesideki her elemı bir ve ylı bir görütüsü olmsı gerektiğide, düşey doğrulr grfiği bir ve ylı bir oktd kesmelidir. Bu göre;, d ve e şıklrıdki grfikler foksiyo grfiğidir. b, c ve f şıklrıdki grfikler foksiyo grfiği değildir.

10 TERS NKSİYN Tım : f : A B ye y = f () kurlı ile tımlı bire bir ve örte foksiyo olmk üere B A y = f (y) kurlı ile tımlı foksiyo, f foksiyouu ters foksiyou deir. f gösterilir. f () = y = f (y) dir. ile Ydki şemyı iceleyii. Yukrıdki tım göre:. Bir foksiyol ters foksiyouu bileşkesi birim foksiyodur. efof j() ef of j () =()= dir.. y = f () kurlı ile verile bire bir ve örte f foksiyouu ters foksiyou buluurke, tım göre, y = f () eşitliğide ylı bırkılrk, = f (y) buluur. Sor yerie y, y yerie yılrk, y = f () buluur. e j tir.. f () f () 4. (, y) f (y, ) f olduğud, bir foksiyol ters foksiyouu grfikleri y = doğrusu göre simetriktir. Ydki şekilde; y = e ile y = l foksiyolrıı grfikleri y = doğrusu göre simetrik olup, birbirii ters foksiyoudur. R Örek : f : R S U T VW R R S U T VW, f ( ) foksiyouu ters foksiyo kurlıı bullım. Çöüm : i. f foksiyouu bire bir olduğuu gösterelim: Tım kümesie it her, elemı içi, f( ) f( ) olmlı. Buu olmy ergi metodu ile f ( ) = f( ) = olduğuu görelim. f ( ) = f ( ) ( + ) ( ) = ( ) ( + ) = buluur. hâlde f bire birdir. ii. f foksiyouu örte olduğuu gösterelim: f : A B foksiyou içi y B, A içi f () = y olmlıdır. y y y = + (y ) = y + y = y R buluur. hâlde, y S U y R T VW içi, e bir R f örtedir. K J R S U T VW krşılık geldiğide R iii. f foksiyou bire bir ve örte olduğu içi, f R S U T VW : R bir foksiyodur. y y y y f y y ( ) dir. hâlde, f ( ) buluur. R S T U VW

11 f : R R ST U d b R ye f () cvw R S U T c VW c d foksiyou bire bir ve örte olup, ters foksiyou; ı yerie d ve d i yerie koulrk, f d b () c buluur. Örek : f : R R +, < < olmk üere, f () = bulup, grfiklerii yı koordit dülemide çielim. ile tımlı foksiyou, ters foksiyouu Çöüm : f : R R +, f () = foksiyou bire bir ve örte olup ters foksiyou vrdır. f () = y = f (y) dir. f () = y = y. log = log y = log y f () = log buluur. hâlde, f ile f foksiyolrıı grfiklerii y = birici çıorty doğrusu göre simetrik olduklrı görülür. Örek : f : R (4, + ), f ( 4) = + + foksiyou veriliyor. f (5) +. f (5) değeri kçtır? Çöüm : f ( 4) = ( ) + şeklide ylım. f (5) içi, 4 = 5 = 9 = buluur. hâlde, foksiyod yerie ylım: f ( 4) = ( ) + f ( 5) i bulurke, f ( 5) = diyelim. Bu durumd, f() = 5 olur. Bu göre, 4 = ( ) + = 5 = 4 = 4 + = 4 ( ) = 8 = 4 = ise f ( 5) = buluur. f (5) = 4 olur. Bulu değerler f (5) + f (5) te yerlerie yılırs; f (5) +. f (5) = 4 + = 7 olur. K J ARTAN VE AZAAN NKSİYNAR Tım : A R ve f : A R foksiyou verilsi., B A içi; < f ( ) < f ( ) oluyors, f foksiyou, B rlığıd rt foksiyo deir., B A içi; < f ( ) > f ( ) oluyors, f foksiyou, B rlığıd l foksiyo deir., B A içi; < f ( ) f ( ) oluyors, f foksiyou, B rlığıd lmy foksiyo deir., B A içi; < f ( ) f ( ) oluyors, f foksiyou, B rlığıd rtmy foksiyo deir.

12 bullım. Örek : Çöüm : f : R {} R {}, f( ) foksiyouu rt vey l olduğu rlıklrı y f( ) foksiyou, f( ), 4 R içi 4 < olduğud foksiyo R de ldır. 4 f( 4 ) > f( ) 4 f( ) f( 4 ) f( ), R içi < f( ) > f( ) olduğud foksiyo R d ldır. Örek : f : R R, f () = m + foksiyouu m i hgi değerleri içi rt vey l olduğuu iceleyelim. Çöüm : i. f foksiyouu rt olmsı içi;, R, < f ( ) < f ( ) olmlı, < m m m + < m + m( ) < < olduğud, m > olmlıdır. ii. f foksiyouu l olmsı içi;, R, < f ( ) > f ( ) olmlı, m m m + > m + m( ) > < olduğud, m < olmlıdır. iii. m = olmsı hâlide f () = = 8 sbit foksiyo olur. 4

13 ÇİT VE TEK NKSİYNAR Tım : f : [, ] R,, ] olmk üere: f () = f () ise, f ye çift foksiyo, f () = f () ise, f ye tek foksiyo deir. Örek : f : [m, 7] R, f () = ( + ) foksiyouu çift foksiyo olmsı içi, (m, ) ikilisi e olmlıdır? Çöüm : f i çift foksiyo olmsı içi, ilk koşul; A içi A olmsıdır. hâlde, 7 A 7 A olmlıdır. Bu durumd, m = 7 dir. İkici koşul; A içi, f () = f () olmlıdır. Bu göre; ( ) ( + ) ( ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) poliom eşitliğide, + = olur. Burd, = buluur. hâlde; (m, ) = ( 7, ) dir. d i d i Öelik : f çift foksiyo ise,, f() ve, f ( ) oktlrı f foksiyouu grfiğie it olduğud, foksiyou grfiği y ekseie göre simetriktir. Öreği; şekildeki grfik, y ekseie göre ktldığıd kollr çkıştığıd bir çift foksiyo grfiğidir. b g b g Öelik : f tek foksiyo ise,, f () ve, f ( ) oktlrı f foksiyouu grfiğie it olduğud foksiyou grfiği orijie göre simetriktir. y f() = si Öreği; şekilde f :,,, f () = si ile tımlı f foksiyouu grfiği orijie göre simetrik olup, tek foksiyo grfiğidir. Örek : Şekilde R R ye tımlı y = f () foksiyouu grfiği verilmiştir.. f () b. f () c. f () foksiyolrıı grfiklerii R R ye çiip, f () i tek vey çift foksiyo olup olmdığıı rştırıı. Çöüm :. f () i y ekseie göre simetriği f () olduğud, y = f () i y ekseie göre simetriği lırk f () çiilir. f () ile f () i grfikleri yı olmdığıd f çift foksiyo değildir. 5

14 b. f () i ekseie göre simetriği f () olduğud, y = f () i ekseie göre simetriği lırk f () çiilir. c. f () i orijie göre simetriği f ( ) olduğud, y = f() i orijie göre (hem, hem de y ekselerie göre) simetriği lırk f () i grfiği çiilir. f () ile f () i grfikleri yı olmdığıd, f tek foksiyo değildir. Örek : Aşğıdki foksiyolrı tek vey çift foksiyo olup olmdıklrıı rştırlım.. f : R R, f () = b. f : R R, f () = Çöüm :. f( ) f( ) U V W olup, f( ) f( ) olduğ ud, f çift foksiyodur. f( ) f( ) olduğ ud, f tek foksiyodur. Bu göre, f () = foksiyou hem çift hem de tek foksiyodur. b. f () = () () = + olup, f () f () olduğud, f çift foksiyo değil, f () f () olduğud, f tek foksiyo değildir. hâlde, f ; e tek e de çift foksiyodur. Öelik : Bir foksiyo tek ve çift foksiyo olbileceği gibi, tek vey çift foksiyo olmybilir. Örek : R de R ye y = f () ve y = g () foksiyolrı verilsi. f foksiyou tek foksiyo, g foksiyou çift foksiyo ise, gof foksiyou çift foksiyo, fof i tek foksiyo olduğuu gösterelim. Çöüm : f foksiyou tek foksiyo ise, foksiyo ise, R içi, g () = g ( ) tir. R içi, (gof) () = g f ( ) b g R içi, f () = f ( ) tir. g foksiyou çift R içi, (fof) () = f f ( ) = g f ( ) ( f tek foksiyo olduğu içi) = g f ( ) ( g çift foksiyo olduğu içi) = (gof) ( ) buluur. hâlde, gof çift foksiyodur. b g = f f ( ) ( f tek foksiyo olduğu içi) = f f ( ) ( f tek foksiyo olduğu içi) = (fof) ( ) buluur. hâlde, fof tek foksiyodur. 6

15 NKSİYNARDA İŞEMER Tımlr : A R, f : A R, y = f () ; g : A R, y = g () foksiyolrı içi;. İki oksiyou Toplmı t () = f () + g () ile tımlı t : A R foksiyou f ve g foksiyolrıı toplmı deir ve t = f + g ile gösterilir. Bu göre, (f + g)() = f () + g () tir. hâlde; (f g)() = f() g() olur.. İki oksiyou Çrpımı ç () = f (). g () ile tımlı ç : A R foksiyou, f ve g foksiyolrıı çrpımı deir ve ç = f. g ile gösterilir. Bu göre, (f. g)() = f (). g () ve f () = bf() g tir.. Bir oksiyou Bir Gerçek Syı İle Çrpımı R olsu. k () =. f () ile tımlı k : A R foksiyou, f foksiyouu gerçek syısı ile çrpımı deir ve k =. f ile gösterilir. Bu göre, (. f)() =. f () tir. 4. İki oksiyou Bölümü A içi g() ise, b() = f ( ) ile tımlı b : A R foksiyou, f foksiyouu g foksiyou ile bölümü deir ve b = f g ile gösterilir. Bu göre, f g () f() g( ) tir. KJ g() f. g ve foksiyolrıı tım kümesii A B kümesi olrk lıcğı dikkt edilmelidir. f : A R, g : B R foksiyolrı içi A B olmk üere; f + g, f g, f g Örek : R R ye f () = + ve g () = + ile tımlı f ve g foksiyolrı veriliyor.. f + g b. f. g c. f g d. (. f g) foksiyolrıı bullım. Çöüm :. (f + g)() = f () + g () = = buluur. b. (f. g)() = f (). g () = ( + ) ( + ) = buluur. c. f g KJ ( ) ( ) ( ) olur. ( + ) d. (. f g)() =. f () g () =. ( + ) ( + ) = + buluur. 7

16 KNU İE İGİİ UYGUAMAAR. f : N R, f ( + ) = f ( ) + foksiyou tımlıyor:. f (7) = ise f () değerii bullım. b. f () = ise f (49) değerii bullım. Çöüm :. f ( + ) f ( ) = biçimide ylım. e,, değerleri verelim ki, f (7) ve f () elde edilebilsi. = içi, f () f () = = içi, f (5) f () = = içi, f (7) f (5) = f (7) f () = 6 f () = 6 f () = olur. b. f ( + ) f ( ) = te yerie sırsıyl,,...,, 4 değerleri verilirse f (49) ve f () elde edilir. = içi, f () f () = = içi, f (5) f () = = içi, f (47) f (45) = = 4 içi, f (49) f (47) = 4 f (49) f () = f (49) = 4. 5 f (49) = buluur.. f : N R, ( + ). f () =. f ( + ) ile tımlı f foksiyou veriliyor.. f (4) = ise, f () değerii bullım. b. f () = ise, 5. f () değerii bullım. f( ) Çöüm :. biçimide ylım. e,, vererek; f (), f (), f (), f (4) f( ) değerlerii eşitlikte yerie koyup çrplım. f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( 4) 4 5 f( 4) f( ) d f ( ) buluur. f( ) b. f( ) f( ) trf çrpılırs, f( ) de yerie;, 4, 5,..., 97, 98, 99 değerleri verilir. Elde edileler trf elde edilir. f( ) f( 4) f( 4) f( 5) f f f f( ) f( )... ( 97) ( 98) ( 99) f( 98) f( 99) f( ) f( ). 4 f( ) f( ) f () = buluur. 8

17 . f : {,, } R, f () = ve g : {,, } R, g () = + foksiyolrı veriliyor. Bu göre, f g foksiyouu görütü kümesii bullım. Çöüm : f g foksiyou {,, } {,, } = {} kümeside R ye tımlıdır. Bu göre, (f g) () = f() g() =. (). = olduğud f g foksiyouu görütü kümesi {} dir. Yi, (f g) dlqi = {} dir. b g b g b gs b g b g b gs 4. f :, 4, b,, c, 5, g,, 4, 7, 5, 8 foksiyolrı veriliyor. gof foksiyouu ve görütü kümesii belirtelim. Çöüm : f foksiyouu tım kümesi A = {, b, c} dir. A kümesi gof foksiyouu d tım kümesidir. b g 4 7 b g b g 5 8 olduğud, g ( gof)( ) g f( ) g( ) ( gof)( b) g f( b) g( ) ( gof)( c) g f( c) g( ) gof = b, 7, ( b, ), ( c, 8) s dir. gof foksiyouu görütü kümesi de (gof ) (A) = { 7,, 8} dir. 5. f : R R, f () = + m (m N), gof : R R, (gof )() = m foksiyolrı veriliyor. g() = olduğu göre, g() foksiyouu bullım. Çöüm : (gof )of = go(fof ) = go = g olduğud f i tersi gof foksiyoud yerie kork g foksiyou elde edilir. Buu içi öce f i tersi buluur. () = m f dir. K J K J g () = ( m)o m m m m K J 9 g () = 4 m m 4 buluur. g() = olduğud, g() = 4 8 m m = m 8m + 4 = deklemi çöüldüğüde; 4 m, m dir. m N olduğud, m = lıır. hâlde, g() = R + içi, f (. y) = f () + f (y) dir. f () = olduğu göre, buluur.. f (7) değerii bullım. b. N + içi, f ( ) i ciside bullım. Çöüm :. = ve y = içi, f (. ) = f () + f () = y = içi, f (. ) = f () + f ( ) f ( ) =. f () f ( ) = 6 f ( ) = + 6 d f (7) = 9 olur. b. k = içi, f ( ) = f(. ) = f() + f() =. f() k = içi, f ( ) = f(. ) = f( ) + f() =. f() k = içi, f ( ) = f (. ) = f ( ) + f () =. f () f () = olduğud f ( ) =. buluur.

18 AŞTRMAAR. Yukrıdki grfikleri verile foksiyolrı;. Tım ve değer kümelerii buluu. b. f () + h(). g() değeri kçtır?. f : R R çift foksiyo olduğu göre, f () + f () = + 9 foksiyou veriliyor. f () foksiyouu görütü kümesii buluu.. Aşğıdki foksiyolrı tek foksiyo vey çift foksiyo olup olmdıklrıı rştırıı.. f () = + 4 b. f () = 7 c. f () =. si + d. f () = 4. R de R ye f () = 6, g () = + + 4, h () = + 4 foksiyolrı veriliyor:. (f h)() b. (f. h)() c. f gkj () 5. Aşğıdki foksiyolrı ters foksiyolrıı buluu. foksiyolrıı buluu.. f : R R, f () = 4 b. f : R {6} R {}, f () = 6 c. f : R (, ), f () = e d. f : (, ) R, f () = log ( 6) 5 b g, f () = 8 + e. f :, 4 6, 6. f() = ( m ) 6 foksiyouu sbit foksiyo olmsı içi, (m, ) reel syı ikilisi 4 e olmlıdır? 7. f() = (m ) + + foksiyou birim foksiyo olduğu göre, mf() + f(m) değeri kçtır? 8. f ve g uygu kümelerde tımlı olmk üere; fog 4 e j( ) ve g() = ise, f () i buluu. 9.. g çift foksiyodur. (f og) () = g() + olduğu göre, f () kçtır? b. f : R R, (fof ) () = 4 + ve f () = m. f () ise,.. f (5) = 4. f () + ve f (5) = ise, f 5 K J kçtır? b. f () = ve N + içi, f ( + ) = f() ise, f () kçtır? c. f () = ve N + içi, f ( + ) =. f () ise, f () kçtır? m reel syısı kçtır?

19 ÖZE TANM NKSİYNAR Bu bölümde öel tımlı foksiyolr, bu foksiyolrı öelikleri ve grfikleri iceleecektir. PARÇA NKSİYNAR Tım : Tım rlığıı lt rlıklrıd frklı kurllrl tımlmış foksiyolr, prçlı foksiyolr deir. Öreği; f : R R, f( ) R S f ( ), ise T f ( ), V ise foksiyou prçlı bir foksiyo olup =, ve = oktlrı tım rlıklrıı uç oktlrıdır ve bu oktlr foksiyou kritik oktlrı deir. Örek f : Z R ye, f( ) foksiyou veriliyor. R S T 4, ( Mod ) ise, ( Mod ) ise, ( Mod ) ise. f (5) + f (6) f (7) değerii bullım. b. f ( ) foksiyouu bullım. Çöüm :. 5 (Mod ) olduğu içi, f (5) = 5 = 4 ; 6 (Mod ) olduğu içi, f (6) = 4 6 = ; 7 (Mod ) olduğu içi, f (7) = 7 + = 5 olur. f (5) + f (6) f (7) = 4 + = 47 buluur. b. (Mod ) olduğu içi, f ( ) = ( ) + f ( ) = buluur. Örek : f( ) R S T prçlı foksiyolrı tımlıyor., ise 5, ise 4, ise b. Si buluu. R S, ise ve g( ) T, ise. f () + g () foksiyouu bullım. b. f () g () foksiyouu buluu. Çöüm :. f( ) g( ) f( ) g( ) R S T R S T, ise 5, ise 4, ise, ise 5, ise 5, ise buluur.

20 Örek f( ) R S T, ise 5, 4 ise, 4 ise ve g( ) foksiyolrı veriliyor.. (fofof)() değerii bullım. b. (fog)() foksiyouu bullım. Çöüm :. (fofof)() = (fof) bf( ) g = (fof) e( ) j = (fof)() = f(. + 5) = f(5) = 5 = 5 buluur. b. ( fog)( ) buluur. ( fog)( ) ( fog)( ) R S T R S T R S T g ( ), g( ) ise g( ) 5, g( ) 4 ise g ( ), 4 g( ) ise ( ), ise ( ) 5, 4 ise ( ), 4 ise, ise, 5 ise, 5 ise PARÇA NKSİYNARN GRAİĞİ Prçlı foksiyolrı grfikleri çiilirke, tım rlığıı her lt rlığıdki frklı kurllrl tımlmış foksiyolrı grfikleri yrı yrı çiilerek grfik belirleir. Örek : f : R R, foksiyouu grfiğii çielim. f( ) R S T, ise, ise, ise Çöüm : i. y = + prbolüü (, ) rlığı krşılık gele kısmı çiilir. ii. (, ) oktsı işretleir. iii. y = + doğrusuu (, ) rlığı krşılık gele kısmı lıır. Böylece f prçlı foksiyouu grfiği çiilmiş olur. Örek : f : R R, f( ) foksiyouu grfiğii çielim. R S T, vey ise, ise y Çöüm : i. y = foksiyouu (, ] (, + ) rlığı krşılık gele kısmı çiilir. ii. y = foksiyouu (, ] rlığı krşılık gele kısmı çiilir. Böylece f prçlı foksiyouu grfiği çiilmiş olur.

21 MUTAK DEĞER NKSİYNU Tım : A R, B R olmk üere f : A B ye f(), f() ise f () f () f () f(), f() ise şeklide tımlı foksiyo, mutlk değer foksiyou deir. R S T i. f ( ) olduğud, f ( ) foksiyouu görütü kümesi R + {} dır. ii. f( ) de f () = deklemii reel köklerie kritik oktlr deir. f( ) foksiyouu grfiği bu oktlrd kırılm y d kıvrılm ypr. iii. f( ) i tımlbilmesi içi, f () i işreti bilimelidir. dir. MUTAK DEĞERİ NKSİYNARN GRAİKERİ f : A B, f ( ) f ( ) R S T f ( ), f ( ) ise f ( ), f ( ) ise Bu tım göre mutlk değerli foksiyolrı grfikleri çiilirke şğıdki dımlr ilemelidir.. y = f () i grfiği çiilir.. b, f( ) g oktlrıı ekseie göre simetriği b, f( ) g olduğud, f () < olduğu kısımlrı ( ekseii ltıd kl prçlrı) ekseie göre simetriği lıır.. f () olduğu kısımlrd f( ) = f () olduğud, foksiyou grfiği ye klır. Böylece, f( ) grfiği çiilmiş olur. Örek : Yd, g : R R ye y = g () foksiyouu grfiği verilmiştir. R de R ye f () = g( ) foksiyouu tımlyıp grfiğii çielim. y y = g() Çöüm : ekseii üst bölgeleride g () i işreti poitif, ekseii kestiği oktlrd g () = ve ekseii lt bölgeleride g () i işreti egtiftir. b Bu göre; foksiyo f( ) g( ) olrk tımlır. R S T g( ) ise g( ) ise Grfiği çiilirke de g () i egtif olduğu kısımlrı ekseie göre simetriği lııp, diğer kısımlrı ye bırkılrk grfik çiilmiş olur.

22 = ve = b g() = deklemi kökleri olduğu içi, f () = g( ) i kritik oktlrı olup, grfik bu oktlrd bir kıvrılm ypmıştır. Örek : f : R R, f () = 4 foksiyouu grfiğii çielim. Çöüm : Öce mutlk değer içii işretii iceleyelim: 4 = = ve tblod fydlrk, f( ) 4 R S T 4, ise 4, ise prçlı foksiyo biçimide yılır. Bu göre grfik çiilir. Örek : Aşğıdki mutlk değerli foksiyolrı grfiklerii çielim.. f : R R, f () = cos b. f : R + R, f () = l c. f : R R, f () = d. f : R R, f () = e. f : R R +, f () =. Çöüm b. 4

23 c. d. e. 5

24 B Ö Ü M N K S İ Y N A R Bu bölümde, öel tımlı foksiyolr ve bu foksiyolrı öelikleri üeride durulcktır. NKSİYN Tım : A ve B boş olmy iki küme olsu. A ı her bir elemıı B i bir ve ylı bir elemı eşleye bğıtıy A d B ye foksiyo deir. f : A B, A f B vey y = f () biçimide gösterilir. A kümesie, foksiyou tım kümesi; B kümesie, foksiyou değer kümesi; A kümesii elemlrıı görütüleride oluş f (A) kümesie görütü kümesi deir. Görütü kümesii, f (A) = { y B : y = f (), A } biçimide gösterebiliri. Örek : f : A B ye f () = kurlı ile tımlı foksiyo veriliyor. A = {,, }, B = {,,, }. f (A) görütü kümesii bullım. b. oksiyou şem ile gösterelim. olmk üere: c. f () = deklemii çöüm kümesii bullım. b. Çöüm :. f () = () + = f () = = f () = = vef (A) = {, } dir. Şemd görüleceği gibi; leri oluşturduğu A = {,, } tım kümesidir. y leri oluşturduğu B = {,,, } değer kümesidir. Tım kümesideki leri foksiyodki görütüleri ol, f () leri oluşturduğu f (A) = {, } görütü kümesidir. c. f () = = = = V = ve A olduğud deklemi çöüm kümesi: Ç = {} dir. Örek : R R ye, şğıd grfikleri verile bğıtılrd foksiyo ollrıı belirtelim.. y f b. y g c. y h d. y e. y k f. y t l Çöüm : oksiyo tımı göre, tım kümesideki her elemı bir ve ylı bir görütüsü olmsı gerektiğide, düşey doğrulr grfiği bir ve ylı bir oktd kesmelidir. Bu göre;, d ve e şıklrıdki grfikler foksiyo grfiğidir. b, c ve f şıklrıdki grfikler foksiyo grfiği değildir.

25 TERS NKSİYN Tım : f : A B ye y = f () kurlı ile tımlı bire bir ve örte foksiyo olmk üere B A y = f (y) kurlı ile tımlı foksiyo, f foksiyouu ters foksiyou deir. f gösterilir. f () = y = f (y) dir. ile Ydki şemyı iceleyii. Yukrıdki tım göre:. Bir foksiyol ters foksiyouu bileşkesi birim foksiyodur. efof j() ef of j () =()= dir.. y = f () kurlı ile verile bire bir ve örte f foksiyouu ters foksiyou buluurke, tım göre, y = f () eşitliğide ylı bırkılrk, = f (y) buluur. Sor yerie y, y yerie yılrk, y = f () buluur. e j tir.. f () f () 4. (, y) f (y, ) f olduğud, bir foksiyol ters foksiyouu grfikleri y = doğrusu göre simetriktir. Ydki şekilde; y = e ile y = l foksiyolrıı grfikleri y = doğrusu göre simetrik olup, birbirii ters foksiyoudur. R Örek : f : R S U T VW R R S U T VW, f ( ) foksiyouu ters foksiyo kurlıı bullım. Çöüm : i. f foksiyouu bire bir olduğuu gösterelim: Tım kümesie it her, elemı içi, f( ) f( ) olmlı. Buu olmy ergi metodu ile f ( ) = f( ) = olduğuu görelim. f ( ) = f ( ) ( + ) ( ) = ( ) ( + ) = buluur. hâlde f bire birdir. ii. f foksiyouu örte olduğuu gösterelim: f : A B foksiyou içi y B, A içi f () = y olmlıdır. y y y = + (y ) = y + y = y R buluur. hâlde, y S U y R T VW içi, e bir R f örtedir. K J R S U T VW krşılık geldiğide R iii. f foksiyou bire bir ve örte olduğu içi, f R S U T VW : R bir foksiyodur. y y y y f y y ( ) dir. hâlde, f ( ) buluur. R S T U VW

26 f : R R ST U d b R ye f () cvw R S U T c VW c d foksiyou bire bir ve örte olup, ters foksiyou; ı yerie d ve d i yerie koulrk, f d b () c buluur. Örek : f : R R +, < < olmk üere, f () = bulup, grfiklerii yı koordit dülemide çielim. ile tımlı foksiyou, ters foksiyouu Çöüm : f : R R +, f () = foksiyou bire bir ve örte olup ters foksiyou vrdır. f () = y = f (y) dir. f () = y = y. log = log y = log y f () = log buluur. hâlde, f ile f foksiyolrıı grfiklerii y = birici çıorty doğrusu göre simetrik olduklrı görülür. Örek : f : R (4, + ), f ( 4) = + + foksiyou veriliyor. f (5) +. f (5) değeri kçtır? Çöüm : f ( 4) = ( ) + şeklide ylım. f (5) içi, 4 = 5 = 9 = buluur. hâlde, foksiyod yerie ylım: f ( 4) = ( ) + f ( 5) i bulurke, f ( 5) = diyelim. Bu durumd, f() = 5 olur. Bu göre, 4 = ( ) + = 5 = 4 = 4 + = 4 ( ) = 8 = 4 = ise f ( 5) = buluur. f (5) = 4 olur. Bulu değerler f (5) + f (5) te yerlerie yılırs; f (5) +. f (5) = 4 + = 7 olur. K J ARTAN VE AZAAN NKSİYNAR Tım : A R ve f : A R foksiyou verilsi., B A içi; < f ( ) < f ( ) oluyors, f foksiyou, B rlığıd rt foksiyo deir., B A içi; < f ( ) > f ( ) oluyors, f foksiyou, B rlığıd l foksiyo deir., B A içi; < f ( ) f ( ) oluyors, f foksiyou, B rlığıd lmy foksiyo deir., B A içi; < f ( ) f ( ) oluyors, f foksiyou, B rlığıd rtmy foksiyo deir.

27 bullım. Örek : Çöüm : f : R {} R {}, f( ) foksiyouu rt vey l olduğu rlıklrı y f( ) foksiyou, f( ), 4 R içi 4 < olduğud foksiyo R de ldır. 4 f( 4 ) > f( ) 4 f( ) f( 4 ) f( ), R içi < f( ) > f( ) olduğud foksiyo R d ldır. Örek : f : R R, f () = m + foksiyouu m i hgi değerleri içi rt vey l olduğuu iceleyelim. Çöüm : i. f foksiyouu rt olmsı içi;, R, < f ( ) < f ( ) olmlı, < m m m + < m + m( ) < < olduğud, m > olmlıdır. ii. f foksiyouu l olmsı içi;, R, < f ( ) > f ( ) olmlı, m m m + > m + m( ) > < olduğud, m < olmlıdır. iii. m = olmsı hâlide f () = = 8 sbit foksiyo olur. 4

28 ÇİT VE TEK NKSİYNAR Tım : f : [, ] R,, ] olmk üere: f () = f () ise, f ye çift foksiyo, f () = f () ise, f ye tek foksiyo deir. Örek : f : [m, 7] R, f () = ( + ) foksiyouu çift foksiyo olmsı içi, (m, ) ikilisi e olmlıdır? Çöüm : f i çift foksiyo olmsı içi, ilk koşul; A içi A olmsıdır. hâlde, 7 A 7 A olmlıdır. Bu durumd, m = 7 dir. İkici koşul; A içi, f () = f () olmlıdır. Bu göre; ( ) ( + ) ( ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) poliom eşitliğide, + = olur. Burd, = buluur. hâlde; (m, ) = ( 7, ) dir. d i d i Öelik : f çift foksiyo ise,, f() ve, f ( ) oktlrı f foksiyouu grfiğie it olduğud, foksiyou grfiği y ekseie göre simetriktir. Öreği; şekildeki grfik, y ekseie göre ktldığıd kollr çkıştığıd bir çift foksiyo grfiğidir. b g b g Öelik : f tek foksiyo ise,, f () ve, f ( ) oktlrı f foksiyouu grfiğie it olduğud foksiyou grfiği orijie göre simetriktir. y f() = si Öreği; şekilde f :,,, f () = si ile tımlı f foksiyouu grfiği orijie göre simetrik olup, tek foksiyo grfiğidir. Örek : Şekilde R R ye tımlı y = f () foksiyouu grfiği verilmiştir.. f () b. f () c. f () foksiyolrıı grfiklerii R R ye çiip, f () i tek vey çift foksiyo olup olmdığıı rştırıı. Çöüm :. f () i y ekseie göre simetriği f () olduğud, y = f () i y ekseie göre simetriği lırk f () çiilir. f () ile f () i grfikleri yı olmdığıd f çift foksiyo değildir. 5

29 b. f () i ekseie göre simetriği f () olduğud, y = f () i ekseie göre simetriği lırk f () çiilir. c. f () i orijie göre simetriği f ( ) olduğud, y = f() i orijie göre (hem, hem de y ekselerie göre) simetriği lırk f () i grfiği çiilir. f () ile f () i grfikleri yı olmdığıd, f tek foksiyo değildir. Örek : Aşğıdki foksiyolrı tek vey çift foksiyo olup olmdıklrıı rştırlım.. f : R R, f () = b. f : R R, f () = Çöüm :. f( ) f( ) U V W olup, f( ) f( ) olduğ ud, f çift foksiyodur. f( ) f( ) olduğ ud, f tek foksiyodur. Bu göre, f () = foksiyou hem çift hem de tek foksiyodur. b. f () = () () = + olup, f () f () olduğud, f çift foksiyo değil, f () f () olduğud, f tek foksiyo değildir. hâlde, f ; e tek e de çift foksiyodur. Öelik : Bir foksiyo tek ve çift foksiyo olbileceği gibi, tek vey çift foksiyo olmybilir. Örek : R de R ye y = f () ve y = g () foksiyolrı verilsi. f foksiyou tek foksiyo, g foksiyou çift foksiyo ise, gof foksiyou çift foksiyo, fof i tek foksiyo olduğuu gösterelim. Çöüm : f foksiyou tek foksiyo ise, foksiyo ise, R içi, g () = g ( ) tir. R içi, (gof) () = g f ( ) b g R içi, f () = f ( ) tir. g foksiyou çift R içi, (fof) () = f f ( ) = g f ( ) ( f tek foksiyo olduğu içi) = g f ( ) ( g çift foksiyo olduğu içi) = (gof) ( ) buluur. hâlde, gof çift foksiyodur. b g = f f ( ) ( f tek foksiyo olduğu içi) = f f ( ) ( f tek foksiyo olduğu içi) = (fof) ( ) buluur. hâlde, fof tek foksiyodur. 6

30 NKSİYNARDA İŞEMER Tımlr : A R, f : A R, y = f () ; g : A R, y = g () foksiyolrı içi;. İki oksiyou Toplmı t () = f () + g () ile tımlı t : A R foksiyou f ve g foksiyolrıı toplmı deir ve t = f + g ile gösterilir. Bu göre, (f + g)() = f () + g () tir. hâlde; (f g)() = f() g() olur.. İki oksiyou Çrpımı ç () = f (). g () ile tımlı ç : A R foksiyou, f ve g foksiyolrıı çrpımı deir ve ç = f. g ile gösterilir. Bu göre, (f. g)() = f (). g () ve f () = bf() g tir.. Bir oksiyou Bir Gerçek Syı İle Çrpımı R olsu. k () =. f () ile tımlı k : A R foksiyou, f foksiyouu gerçek syısı ile çrpımı deir ve k =. f ile gösterilir. Bu göre, (. f)() =. f () tir. 4. İki oksiyou Bölümü A içi g() ise, b() = f ( ) ile tımlı b : A R foksiyou, f foksiyouu g foksiyou ile bölümü deir ve b = f g ile gösterilir. Bu göre, f g () f() g( ) tir. KJ g() f. g ve foksiyolrıı tım kümesii A B kümesi olrk lıcğı dikkt edilmelidir. f : A R, g : B R foksiyolrı içi A B olmk üere; f + g, f g, f g Örek : R R ye f () = + ve g () = + ile tımlı f ve g foksiyolrı veriliyor.. f + g b. f. g c. f g d. (. f g) foksiyolrıı bullım. Çöüm :. (f + g)() = f () + g () = = buluur. b. (f. g)() = f (). g () = ( + ) ( + ) = buluur. c. f g KJ ( ) ( ) ( ) olur. ( + ) d. (. f g)() =. f () g () =. ( + ) ( + ) = + buluur. 7

31 KNU İE İGİİ UYGUAMAAR. f : N R, f ( + ) = f ( ) + foksiyou tımlıyor:. f (7) = ise f () değerii bullım. b. f () = ise f (49) değerii bullım. Çöüm :. f ( + ) f ( ) = biçimide ylım. e,, değerleri verelim ki, f (7) ve f () elde edilebilsi. = içi, f () f () = = içi, f (5) f () = = içi, f (7) f (5) = f (7) f () = 6 f () = 6 f () = olur. b. f ( + ) f ( ) = te yerie sırsıyl,,...,, 4 değerleri verilirse f (49) ve f () elde edilir. = içi, f () f () = = içi, f (5) f () = = içi, f (47) f (45) = = 4 içi, f (49) f (47) = 4 f (49) f () = f (49) = 4. 5 f (49) = buluur.. f : N R, ( + ). f () =. f ( + ) ile tımlı f foksiyou veriliyor.. f (4) = ise, f () değerii bullım. b. f () = ise, 5. f () değerii bullım. f( ) Çöüm :. biçimide ylım. e,, vererek; f (), f (), f (), f (4) f( ) değerlerii eşitlikte yerie koyup çrplım. f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( 4) 4 5 f( 4) f( ) d f ( ) buluur. f( ) b. f( ) f( ) trf çrpılırs, f( ) de yerie;, 4, 5,..., 97, 98, 99 değerleri verilir. Elde edileler trf elde edilir. f( ) f( 4) f( 4) f( 5) f f f f( ) f( )... ( 97) ( 98) ( 99) f( 98) f( 99) f( ) f( ). 4 f( ) f( ) f () = buluur. 8

32 . f : {,, } R, f () = ve g : {,, } R, g () = + foksiyolrı veriliyor. Bu göre, f g foksiyouu görütü kümesii bullım. Çöüm : f g foksiyou {,, } {,, } = {} kümeside R ye tımlıdır. Bu göre, (f g) () = f() g() =. (). = olduğud f g foksiyouu görütü kümesi {} dir. Yi, (f g) dlqi = {} dir. b g b g b gs b g b g b gs 4. f :, 4, b,, c, 5, g,, 4, 7, 5, 8 foksiyolrı veriliyor. gof foksiyouu ve görütü kümesii belirtelim. Çöüm : f foksiyouu tım kümesi A = {, b, c} dir. A kümesi gof foksiyouu d tım kümesidir. b g 4 7 b g b g 5 8 olduğud, g ( gof)( ) g f( ) g( ) ( gof)( b) g f( b) g( ) ( gof)( c) g f( c) g( ) gof = b, 7, ( b, ), ( c, 8) s dir. gof foksiyouu görütü kümesi de (gof ) (A) = { 7,, 8} dir. 5. f : R R, f () = + m (m N), gof : R R, (gof )() = m foksiyolrı veriliyor. g() = olduğu göre, g() foksiyouu bullım. Çöüm : (gof )of = go(fof ) = go = g olduğud f i tersi gof foksiyoud yerie kork g foksiyou elde edilir. Buu içi öce f i tersi buluur. () = m f dir. K J K J g () = ( m)o m m m m K J 9 g () = 4 m m 4 buluur. g() = olduğud, g() = 4 8 m m = m 8m + 4 = deklemi çöüldüğüde; 4 m, m dir. m N olduğud, m = lıır. hâlde, g() = R + içi, f (. y) = f () + f (y) dir. f () = olduğu göre, buluur.. f (7) değerii bullım. b. N + içi, f ( ) i ciside bullım. Çöüm :. = ve y = içi, f (. ) = f () + f () = y = içi, f (. ) = f () + f ( ) f ( ) =. f () f ( ) = 6 f ( ) = + 6 d f (7) = 9 olur. b. k = içi, f ( ) = f(. ) = f() + f() =. f() k = içi, f ( ) = f(. ) = f( ) + f() =. f() k = içi, f ( ) = f (. ) = f ( ) + f () =. f () f () = olduğud f ( ) =. buluur.

33 AŞTRMAAR. Yukrıdki grfikleri verile foksiyolrı;. Tım ve değer kümelerii buluu. b. f () + h(). g() değeri kçtır?. f : R R çift foksiyo olduğu göre, f () + f () = + 9 foksiyou veriliyor. f () foksiyouu görütü kümesii buluu.. Aşğıdki foksiyolrı tek foksiyo vey çift foksiyo olup olmdıklrıı rştırıı.. f () = + 4 b. f () = 7 c. f () =. si + d. f () = 4. R de R ye f () = 6, g () = + + 4, h () = + 4 foksiyolrı veriliyor:. (f h)() b. (f. h)() c. f gkj () 5. Aşğıdki foksiyolrı ters foksiyolrıı buluu. foksiyolrıı buluu.. f : R R, f () = 4 b. f : R {6} R {}, f () = 6 c. f : R (, ), f () = e d. f : (, ) R, f () = log ( 6) 5 b g, f () = 8 + e. f :, 4 6, 6. f() = ( m ) 6 foksiyouu sbit foksiyo olmsı içi, (m, ) reel syı ikilisi 4 e olmlıdır? 7. f() = (m ) + + foksiyou birim foksiyo olduğu göre, mf() + f(m) değeri kçtır? 8. f ve g uygu kümelerde tımlı olmk üere; fog 4 e j( ) ve g() = ise, f () i buluu. 9.. g çift foksiyodur. (f og) () = g() + olduğu göre, f () kçtır? b. f : R R, (fof ) () = 4 + ve f () = m. f () ise,.. f (5) = 4. f () + ve f (5) = ise, f 5 K J kçtır? b. f () = ve N + içi, f ( + ) = f() ise, f () kçtır? c. f () = ve N + içi, f ( + ) =. f () ise, f () kçtır? m reel syısı kçtır?

34 ÖZE TANM NKSİYNAR Bu bölümde öel tımlı foksiyolr, bu foksiyolrı öelikleri ve grfikleri iceleecektir. PARÇA NKSİYNAR Tım : Tım rlığıı lt rlıklrıd frklı kurllrl tımlmış foksiyolr, prçlı foksiyolr deir. Öreği; f : R R, f( ) R S f ( ), ise T f ( ), V ise foksiyou prçlı bir foksiyo olup =, ve = oktlrı tım rlıklrıı uç oktlrıdır ve bu oktlr foksiyou kritik oktlrı deir. Örek f : Z R ye, f( ) foksiyou veriliyor. R S T 4, ( Mod ) ise, ( Mod ) ise, ( Mod ) ise. f (5) + f (6) f (7) değerii bullım. b. f ( ) foksiyouu bullım. Çöüm :. 5 (Mod ) olduğu içi, f (5) = 5 = 4 ; 6 (Mod ) olduğu içi, f (6) = 4 6 = ; 7 (Mod ) olduğu içi, f (7) = 7 + = 5 olur. f (5) + f (6) f (7) = 4 + = 47 buluur. b. (Mod ) olduğu içi, f ( ) = ( ) + f ( ) = buluur. Örek : f( ) R S T prçlı foksiyolrı tımlıyor., ise 5, ise 4, ise b. Si buluu. R S, ise ve g( ) T, ise. f () + g () foksiyouu bullım. b. f () g () foksiyouu buluu. Çöüm :. f( ) g( ) f( ) g( ) R S T R S T, ise 5, ise 4, ise, ise 5, ise 5, ise buluur.

35 Örek f( ) R S T, ise 5, 4 ise, 4 ise ve g( ) foksiyolrı veriliyor.. (fofof)() değerii bullım. b. (fog)() foksiyouu bullım. Çöüm :. (fofof)() = (fof) bf( ) g = (fof) e( ) j = (fof)() = f(. + 5) = f(5) = 5 = 5 buluur. b. ( fog)( ) buluur. ( fog)( ) ( fog)( ) R S T R S T R S T g ( ), g( ) ise g( ) 5, g( ) 4 ise g ( ), 4 g( ) ise ( ), ise ( ) 5, 4 ise ( ), 4 ise, ise, 5 ise, 5 ise PARÇA NKSİYNARN GRAİĞİ Prçlı foksiyolrı grfikleri çiilirke, tım rlığıı her lt rlığıdki frklı kurllrl tımlmış foksiyolrı grfikleri yrı yrı çiilerek grfik belirleir. Örek : f : R R, foksiyouu grfiğii çielim. f( ) R S T, ise, ise, ise Çöüm : i. y = + prbolüü (, ) rlığı krşılık gele kısmı çiilir. ii. (, ) oktsı işretleir. iii. y = + doğrusuu (, ) rlığı krşılık gele kısmı lıır. Böylece f prçlı foksiyouu grfiği çiilmiş olur. Örek : f : R R, f( ) foksiyouu grfiğii çielim. R S T, vey ise, ise y Çöüm : i. y = foksiyouu (, ] (, + ) rlığı krşılık gele kısmı çiilir. ii. y = foksiyouu (, ] rlığı krşılık gele kısmı çiilir. Böylece f prçlı foksiyouu grfiği çiilmiş olur.

36 MUTAK DEĞER NKSİYNU Tım : A R, B R olmk üere f : A B ye f(), f() ise f () f () f () f(), f() ise şeklide tımlı foksiyo, mutlk değer foksiyou deir. R S T i. f ( ) olduğud, f ( ) foksiyouu görütü kümesi R + {} dır. ii. f( ) de f () = deklemii reel köklerie kritik oktlr deir. f( ) foksiyouu grfiği bu oktlrd kırılm y d kıvrılm ypr. iii. f( ) i tımlbilmesi içi, f () i işreti bilimelidir. dir. MUTAK DEĞERİ NKSİYNARN GRAİKERİ f : A B, f ( ) f ( ) R S T f ( ), f ( ) ise f ( ), f ( ) ise Bu tım göre mutlk değerli foksiyolrı grfikleri çiilirke şğıdki dımlr ilemelidir.. y = f () i grfiği çiilir.. b, f( ) g oktlrıı ekseie göre simetriği b, f( ) g olduğud, f () < olduğu kısımlrı ( ekseii ltıd kl prçlrı) ekseie göre simetriği lıır.. f () olduğu kısımlrd f( ) = f () olduğud, foksiyou grfiği ye klır. Böylece, f( ) grfiği çiilmiş olur. Örek : Yd, g : R R ye y = g () foksiyouu grfiği verilmiştir. R de R ye f () = g( ) foksiyouu tımlyıp grfiğii çielim. y y = g() Çöüm : ekseii üst bölgeleride g () i işreti poitif, ekseii kestiği oktlrd g () = ve ekseii lt bölgeleride g () i işreti egtiftir. b Bu göre; foksiyo f( ) g( ) olrk tımlır. R S T g( ) ise g( ) ise Grfiği çiilirke de g () i egtif olduğu kısımlrı ekseie göre simetriği lııp, diğer kısımlrı ye bırkılrk grfik çiilmiş olur.

37 = ve = b g() = deklemi kökleri olduğu içi, f () = g( ) i kritik oktlrı olup, grfik bu oktlrd bir kıvrılm ypmıştır. Örek : f : R R, f () = 4 foksiyouu grfiğii çielim. Çöüm : Öce mutlk değer içii işretii iceleyelim: 4 = = ve tblod fydlrk, f( ) 4 R S T 4, ise 4, ise prçlı foksiyo biçimide yılır. Bu göre grfik çiilir. Örek : Aşğıdki mutlk değerli foksiyolrı grfiklerii çielim.. f : R R, f () = cos b. f : R + R, f () = l c. f : R R, f () = d. f : R R, f () = e. f : R R +, f () =. Çöüm b. 4

38 c. d. e. 5

39 Örek : f : R R, f () = foksiyou veriliyor:. f foksiyouu prçlı biçimde tımlylım. b. f foksiyouu grfiğii çielim. Çöüm :. Mutlk değeri içii sıfır yp kritik oktlrıı bullım: = = V = tür. f( ) R S T tblod fydlrk,, V ise, ise şeklide tımlır. b. y = foksiyouu grfiğii çielim. i. Öce grfiği ekselerle kesişim oktlrıı bullım: y = = = V = y ekseii kestiği okt, = y = tür. ii. Tepe oktsıı bullım: KJ b 4c b T(r, k), (, ) 4 4 f() = foksiyouu grfiği, y = foksiyouu grfiğii eksei ltıd kl kısımlrıı ekseie göre simetriğii lımsı ile çiilir. Örek : f : R R, f () = foksiyou veriliyor. f( ). f foksiyouu prçlı biçimde ylım. b. f foksiyouu grfiğii çielim. Çöüm :. Mutlk değerleri içii sıfır yp = ve = oktlrı kritik oktlrdır. R S T, ise, ise, ise < içi, < < ; < içi, < ; içi, > olduğud; f( ) 6 R S T, ise, ise, ise olur.

40 b. oksiyou grfiğii çiimide: i. y = + doğrusuu grfiği çiilip, (, ) rlığı krşılık gele kısmı lıır. ii. y = doğrusuu grfiği çiilip, [, ) rlığı krşılık gele kısmı lıır. iii. y = doğrusuu grfiği çiilip, [, + ) rlığı krşılık gele kısmı lıır. Böylece, f () i grfiği çiilmiş olur. Mutlk değer içleri f( ) = + b biçimide ol, iki mutlk değer toplmıd oluş foksiyolrı grfikleri şğıd verile şekillerdeki gibi oluşur. İceleyii.. f : R R, f () = b foksiyouu grfiği = ve = b de kırılm yp ve miimum değeri f () = f (b) = b ol ydki şekli çier.. f : R R, f () = b m m grfiği, mutlk b değer içlerii sıfır yp ve değerleride kırılm ypr. Bu m değerlerde küçük olı ve büyük olı diyelim. oksi- you f ( ) y d f ( ) de bir miimum değeri oluşur. oksiyou grfiği yd görüldüğü gibidir. Örek : f : R R, f () = foksiyou veriliyor:. f foksiyouu prçlı biçimde tımlylım. b. f foksiyouu grfiğii çielim. Çöüm :. Mutlk değerleri içii sıfır yp = ve = oktlrı kritik oktlrdır. Bu göre tblo yprk, mutlk değer içlerii işretlerii iceleyip, f foksiyouu prçlı biçimde ylım: b. f( ) R S T, ise, ise, ise f foksiyouu grfiği ydki şekildedir. f foksiyouu grfiğii kritik oktlrd kırılm yptığı dikkt edii. 7

41 Mutlk değer içleri f() = + b biçimide ol, iki mutlk değer frkıd oluş foksiyolrı grfikleri şğıd verile şekillerdeki gibi oluşur. İceleyii.. f : R R, f () = b foksiyouu grfiği = ve = b de kırılm ypr. Bu oktlrı biride miimum değer, diğeride mksimum değer oluşur. f () = b (miimum değer) f (b) = b b (mksimum değer). f : R R, f () = b m (m ) foksiyouu grfiği, mutlk değer içlerii sıfır yp b ve m değerleride kırılm ypr. Bu değerlerde küçük olı ve büyük olı diyelim. Grfik, şğıdki üç frklı durumd oluşbilir. hâlde, f () = b m foksiyouu miimum ve mksimum değeri (vrs) kritik oktlrı biride oluşur. f () = b m biçimideki foksiyolrı grfiklerii çimek içi, şğıdki şmlr ilemelidir. i. Kritik oktlr ve görütüleri buluur. ii. Soldki kritik oktı solud bir okt seçilip bu oktı görütüsü buluur. Bu iki okt birleştirilip grfiği sol kısmı çiilir. iii. İki kritik okt birleştirilir. iv. Sğdki kritik oktı sğıd bir okt seçilip bu oktı görütüsü buluur. Bu iki okt birleştirilip grfiği sğ kısmı çiilir. Böylece grfik tmmlmış olur. Örek : f : R R. f( ) b. f( ) c. f( ) 5 foksiyolrıı grfiklerii çiip, vrs miimum ve mksimum değerlerii bullım. Çöüm :. f( ) i kritik oktlrı = ve = kırılm ypr, vrs miimum ve mksimum değerleri bu oktlrd oluşur. Grfiği çiimi: = y = = ve A (, ) = y = ve B, < ol = seçelim. f () = = ve C (, ) olur. KJ olup grfik bu oktlrd > ol = seçelim. f () = = ve D(, ) olur. 8

42 Grfikte görüldüğü üere foksiyou B, de bir miimumu vrdır. KJ Miimum değeri: y = dir. b. Kritik oktlr: A, K J, B (, ) Seçile oktlr: C (, ), D (, ) Grfik çiilirke sırsıyl; [BC ışıı, [BA] doğru prçsı, [AD ışıı çiilerek grfik tmmlır. oksiyou miimum değeri: y = dir. c. Kritik oktlr: A 5, K J, B (, ) tür. Seçile oktlr: C (, ), D (, 4) Grfik çiilirke sırsıyl [BD ışıı, [BA] doğru prçsı [AC ışıı çiilerek grfik tmmlır. oksiyou mksimum değeri: y = dir. Örek : R R, f () = 4 4 foksiyouu grfiğii çielim. oktdır. Çöüm : f () = b g =, kritik R S T, ise f ( ), ise olur. f i grfiği yd çiilmiştir. = de bir kıvrılm olduğu görülmektedir. Örek : f : [, ] R, f foksiyou, y = f () = cos cos ile tımlıdır. f foksiyouu grfiğii çielim. cos cos Çöüm : içi, cos f ( ) cos cos içi, cos f ( ) cos olur. cos cos içi, cos f ( ) olur. Bu göre grfik ydki gibidir. 9 olur.

43 Örek : y bğıtısıı grfiğii R de çielim. Çöüm :, y + y =, y + y =, y y =, y y = olur. Bu koşullr uy bğıtıı grfiği yd çiilmiştir. Örek : y bğıtısıı grfiğii R de çielim. Çöüm :, y y + = y = <, y y + = y = <, y < + y = + y =, y < + y = + y = olur. Bu koşullr uy bğıtıı grfiği yd çiilmiştir. Örek :. y bğıtısıı grfiğii R de çielim. Çöüm : i. ve y yı işretli ise,. y > (. ve. bölge) olup, bğıtıı deklemi. y = dir. ii. ve y ters işretli ise. y < (. ve V. bölge) olup, bğıtıı deklemi. y = dir.. y bğıtısıı grfiği ydki şekildedir.

44 Örek : + y bğıtısıı grfiğii R de çielim. Çöüm : y < y + = y = = y y + y = + y = = y + f ( y) R S T y, y ise y, y ise olur. Grfik çiilirke:. şm : y = = + = ve A (, ) y < içi y = = = ve B (, ) A ve B birleştirilip [AB ışıı çiilir.. şm : A (, ) bulumuştu. y içi y = = + = ve C (, ) olur. A ile C birleştirilip [AC ışıı çiilir. Böylece grfik tmmlmış olur. y = oktsı kritik okt olup bu oktd bir kırılm olduğu dikkt edii. Örek : y. y U V W eşitsilik sistemii çöüm kümesii R de gösterelim. Çöüm : + y + y y + Bu eşitsilik sistemii çöümü, y = doğrusu ve üstüde kl bölge ile, y = + doğrusu ve ltıd kl bölgei kesişimidir....(). y < koşuluu sğly oktlr. ve V. bölgelerdedir....() () ve () yi sğly (, y) oktlrı, ydki grfikte gösterilmiştir.

45 İŞARET (SİGNUM) NKSİYNU Tım : f : R R, y = f () foksiyou verilsi. y = sgf ( ) R S T, f( ), f( ), f( ) biçimide tıml foksiyo, f i işret (sigum) foksiyou deir. ise ise ise i. Tımd lşılcğı gibi, sg f ( ) foksiyou sdece,, değerlerii lbilir. hâlde, sg f ( ) foksiyouu görütü kümesi; {,, } dir. ii. sg f ( ) i tımlbilmesi içi, f () i işreti bilimelidir. iii. sg f ( ) foksiyoud, f () = deklemii köklerie, kritik oktlr deir. İşret foksiyo-u bu kritik oktlrd sıçrm ypr. Örek : sg ( ) = deklemii çöüm kümesii bullım. Çöüm : Tımd görüleceği gibi, foksiyouu egtif yp değerler kümesi bulum-lıdır. < ( ) < ( - ) = = V = hâlde, çöüm kümesi, Ç = (, ) buluur. Örek : sg ( 6) < sg ( + 5) eşitsiliğii çöüm kümesii bullım. Çöüm : R içi, + 5 > olduğud, sg ( + 5) = olur. Bu göre eşitsilik, sg ( 6) < biçimide olur. hâlde, sg ( 6) foksiyou, vey değerii lbilir. sg ( 6) = 6 < ( ) ( + ) < < < buluur. sg ( 6) = 6 = ( ) ( + ) = = V = buluur. Bu göre eşitsiliği çöüm kümesi; Ç = { :, R } vey Ç = [, ] dir. Örek : sg b + sg ( b) = ise, sg b + sg (b ) sg. b soucuu bullım. işlemii Çöüm : sg b + sg ( b) = sg b = ve sg ( b) = b < ve b < < ve b > b <, b > ve <. b < ve b > buluur. sg b =, sg (b ) =, sg = olur.. b hâlde, sg b + sg (b ) sg = + () = dir.. b

46 Örek : f : R R, f () =. sg foksiyouu prçlı biçimde tımlylım. Çöüm : sg foksiyouu tımlmk içi, f( ) R S T ü işretii tblo yprk belirtelim:, V ise, ise, ise olur. İŞARET NKSİYNUNUN GRAİĞİ y = sg f() i grfiğii çierke şğıdki şmlr ilemelidir: i. f () foksiyouu grfiği çiilir. ii. f () foksiyouu grfiğii; ekseii üstüde kl kısımlr içi, y = doğrusu çiilir. ekseii ltıd kl kısımlr içi, y = doğrusu çiilir. ekseii kestiği oktlr içi, y = işretleir. Örek : f : R R, y = f () foksiyouu grfiği yd verilmiştir. Bu göre, sg f () i grfiğii çielim. Çöüm : Sorud verile grfikte görüldüğü gibi; < f () < ve sg f () = ; = V = b f () = ve sg f () = ; >, b f () > ve sg f () = olur. Bu göre, sg f () i grfiği yd çiilmiştir. Grfiği = ve = b kritik oktlrıd sıçrm yptığı dikkt edii. Örek : f : R R, f () = + sg ( ) ile tımlı foksiyou grfiğii çielim. Çöüm : Öce sg ( ) i lbileceği değerleri iceleyelim. Buu içi, i işretii, sg ( ) i ve f () i lcğı değerleri tblo yprk belirleyelim: f( ) R S T, ise, ise, ise olur. Bu göre grfik, yd görüldüğü gibi çiilir.

47 Örek : f : [, ] R, f () = sg (si) ile tımlı foksiyou grfiğii çielim. Çöüm : oksiyol ilgili tblo şğıdki ve grfik ydki gibidir. Örek : f : R + R, f () = sg log ile tımlı foksiyou grfiğii çielim. Çöüm : oksiyol ilgili tblo şğıdki ve grfik ydki gibidir. Örek : f : R R, f () =. sg ( ) foksiyou veriliyor:. f foksiyouu prçlı biçimde ylım. b. f foksiyouu grfiğii çielim. Çöüm :. oksiyou kritik oktlrı = ve = dir. Bu oktlrd = de grfik bir kırılm, = de bir sıçrm ypr. Bu göre, foksiyou prçlı biçimde ylım. f( ) R S T, ise, ise, ise, ise b. Bu göre, grfik yd görüldüğü gibi çiilir. Örek : f () = sg ( + ) ve g () = + foksiyolrı veriliyor. Bu göre, (gof) () foksiyouu grfiğii çielim. Çöüm : y Tbloy göre, (gof) () foksiyou prçlı olrk; R S, ( gof)( ) T, ise ise şeklide yılır. Bu göre grfik, ydki gibidir. gof 4

48 TAM KSM NKSİYNU Tım : R olmk üere, te büyük olmy e büyük tm syıy, i tm kısmı deir ve bu sembolü ile gösterilir. Yi, Z olmk üere, < + = dır. hâlde, reel syısı rdışık iki tm syı rsıd değişirke bu tm syılrd büyük olmy tm syı i tm kısmıdır. Ayrıc tüm tm syılrı tm kısmı kedisidir. Öreği; log4 = (log4 =,...) =, si48 o = ( < si48 o < ) =, cot o = ( < cot o < ) = dir. Tım : g : A R R, R içi; g() Z ve g() g() < g() + ile tımlı f : A Z, f () = g() foksiyou, g i tm kısım foksiyou deir. hâlde, Z olmk üere; g () < + f () = g () = olduğud, f () foksiyou prçlı biçimde şğıdki şekilde yılır: Örek : f : R R, f () = 5 foksiyou veriliyor:. f () b. f () c. f (e) görütülerii bullım. Çöüm :. f () = 5 = dir. b. < < 4 6 < < 8 5 < < 7 < 7 < 5 5 4, f ( ) c. < e < < e < 6 < e 4 7 < e < < e < 5,4 < e < f ( e) = 5 e 5 = dir. = dir.

49 Örek : f : R R, f () = foksiyou veriliyor:. f foksiyouu prçlı biçimde tımlylım. b. f foksiyouu grfiğii çielim. Çöüm :. Mutlk değeri içii sıfır yp kritik oktlrıı bullım: = = V = tür. f( ) R S T tblod fydlrk,, V ise, ise şeklide tımlır. b. y = foksiyouu grfiğii çielim. i. Öce grfiği ekselerle kesişim oktlrıı bullım: y = = = V = y ekseii kestiği okt, = y = tür. ii. Tepe oktsıı bullım: KJ b 4c b T(r, k), (, ) 4 4 f() = foksiyouu grfiği, y = foksiyouu grfiğii eksei ltıd kl kısımlrıı ekseie göre simetriğii lımsı ile çiilir. Örek : f : R R, f () = foksiyou veriliyor. f( ). f foksiyouu prçlı biçimde ylım. b. f foksiyouu grfiğii çielim. Çöüm :. Mutlk değerleri içii sıfır yp = ve = oktlrı kritik oktlrdır. R S T, ise, ise, ise < içi, < < ; < içi, < ; içi, > olduğud; f( ) 6 R S T, ise, ise, ise olur.

50 b. oksiyou grfiğii çiimide: i. y = + doğrusuu grfiği çiilip, (, ) rlığı krşılık gele kısmı lıır. ii. y = doğrusuu grfiği çiilip, [, ) rlığı krşılık gele kısmı lıır. iii. y = doğrusuu grfiği çiilip, [, + ) rlığı krşılık gele kısmı lıır. Böylece, f () i grfiği çiilmiş olur. Mutlk değer içleri f( ) = + b biçimide ol, iki mutlk değer toplmıd oluş foksiyolrı grfikleri şğıd verile şekillerdeki gibi oluşur. İceleyii.. f : R R, f () = b foksiyouu grfiği = ve = b de kırılm yp ve miimum değeri f () = f (b) = b ol ydki şekli çier.. f : R R, f () = b m m grfiği, mutlk b değer içlerii sıfır yp ve değerleride kırılm ypr. Bu m değerlerde küçük olı ve büyük olı diyelim. oksi- you f ( ) y d f ( ) de bir miimum değeri oluşur. oksiyou grfiği yd görüldüğü gibidir. Örek : f : R R, f () = foksiyou veriliyor:. f foksiyouu prçlı biçimde tımlylım. b. f foksiyouu grfiğii çielim. Çöüm :. Mutlk değerleri içii sıfır yp = ve = oktlrı kritik oktlrdır. Bu göre tblo yprk, mutlk değer içlerii işretlerii iceleyip, f foksiyouu prçlı biçimde ylım: b. f( ) R S T, ise, ise, ise f foksiyouu grfiği ydki şekildedir. f foksiyouu grfiğii kritik oktlrd kırılm yptığı dikkt edii. 7