KÜRE DÜZLEMİNDEKİ OPERATÖR RIESZ POTENSİYEL integralini HESAPLAMADA (p, q)'un SINIRLlLlGI

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KÜRE DÜZLEMİNDEKİ OPERATÖR RIESZ POTENSİYEL integralini HESAPLAMADA (p, q)'un SINIRLlLlGI"

Canan Sarıkaya
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 SAU Fen Blimlei Enstitüsü Degisi 6Cilt, 2Say (Temmuz 2002) Küe Düzlemindeki Opeatö Riesz Potenslyel integalini Hesaplamada (p, q)un Snldğ KÜRE DÜZLEMİNDEKİ OPERATÖR RIESZ POTENSİYEL integralini HESAPLAMADA (p, q)un SINIRLlLlGI Mehmet Kaakaş Özet- Kiie düzlemindeki Riesz potansiyel integalnn lnsni hesaplama işlemleine ilişkin bi çol{ aaştnala otaya l<oyulmuş ancak, hesaplama işlemleinde opeatö (değişim) duumu Jlek ele alnmamşt Bu aaştmada, opeatö RieZ potansiyel integalnun lusmi hesap ama işlemleinin yöntem ve aaştmaya ilişlun özelliide otaya }{oyulmuştu Anahta Sözcükle - Opeatö Riesz Potansiyel lntegalmn Ksmi Hesaplanmas, Küe Aalğ, Iç Değelendime Opeatöü, (p, q)un Smllğ, (p, q)n opeatöü Abstact -A lot o eseach has been conducted on Riesz potential integal opeato The concept o Riesz potential integal opeato o vaiable ode was intoduced and its popeties wee investigated in this pape Key wods - Riesz potential integal opeato o vaiable ode spheical distance; opeato intepolation; {p, q)-boundedness; (p, q )-type opeato GİRİŞ Bu tü integallan değelei, monoton analizi ve onksiyonlann tahmin değei kavammdan ayn bi değe analizine aitti Ross B, Samko S, 993 de tek değişkenli integallan hesaplanmasnda sabit kesi deeceli ksmi hesaplama işlemini opeatö kesi deeceli hesaplama i şi emine genişiettikten soa, bi çok aaştmac taandan bu konu tatşlmşt Özellikle onksiyonlann süekliliği üzeinde çok yoğun tatşmala olmuştu Bu aaştmada sabit deeceli Riesz potansiyel integalnn ksmi hesaplama işleni üzeine opeatö işlemini genişleteek yeni bi yöntem geliştiilmiş ve bi çok temel özellikle otaya konmuştu veilmiş olsun Buada On ise Rn+ deki n boyutlu biim küe düzlemidi x -y == aecas ( x * y) ise 4 deki x ile y noktalan aasndaki küe düzlem aalğd LP() ise doğusal evendi Opeatö Riesz potansiyel integalnn ksmi hesaplama işlemi, integallann hesaplanmasnda kesi deeceli ksmi hesaplama işlemidi Bu tü integallann değelei, monoton analizi ve onksiyonlam tahmin değei kavanndan ay bi değe analizine aitti ( {)) i( X ) d j p dj Q /{ )IP d) Vt < 0 i,! t p ( t, L/J(n) i(x) IIJ, P {,) <+ =l \-t (\ u, hesaplama işlemi M Kaakaş, Sakaya Ünivesitesi SMYO, Adapaza 206

2 6Cilt, 2Say (Temmuz 2002) Küe Düztemindeki Opeatö Riesz Potensiye) integalini Hesaplamada (p, q)un Snhlğ T: LJJ({J),, L(ll,) p, q = tl (p, q) tipi (ya da (p, q) sulanmş) denilip, ll T() ll q <C ll ll P eşitsizliğini sağla Buada C ile bağh değildi Bu eşitsizliği sağlayan en küçük C ise Tun (p, q) değei deni ve ll T ll (p,q) ile gösteili {x) E L(Qn),O<a(x)<n, (x) in opeatö Riesz potansiyel integalnn ksmi hesaplama işlemi, a<x) ile aşağtdaki gibi tanmlan di Aksiyom 3 ve :: = -- + t < p < q, < q < (/) - - g q P q ;J: K(, ) " WL - (: :t A e :x E nit;, K(,t} ll :il (; a e, E Dn Bu aaştmann maksad, <x) nin (p, q) un snllk gibi özellikleini otaya koymakt iadeleneyi kolaylaştmak acsndan bundan sonaki aşamalada C değişik sabit sayla ile gösteilmişti ise, o halde hesaplana işlemi D AKSİYOMLAR VE NETiCELER olup, bu (p, ) tipidi Buada ll ll WL q ise L sektöünün (yaynn) değeidi, yani Bu aaştmadaki konunllil kaynağ aşağdaki bikaç aksiyomdan gelmişti : Aksiyom (Integalm Minkowski Eşitsizliği) P <co, (x, y) ise Rm X Rn de Lebesgue ölçüle bilen olsun Bu halde di Böylece aşağdaki sonuçla elde edilebili eoem O<m<a(x)<n,{x) E L\Qn) veilniş ise, o halde ln(x)(t)(x), hemen hemen xe0nde yaknsakt ve I(x)()(x) E L (0) di, Ispat Not : bu aksiyemdaki RIDx Rn yeine he hangi iki ölçülebilen küme çapm M xi\2 için de geçelidi Aksiyom 2 (Riesz - Thein Potansiyel Hesaplamas) P- qi «, i O, E (O, ), ; olsun, böylece t t t - :: t t -t Po P qt qo t? olsunvet de bi doğusal hesaplama olsun Eğe T ise (po, qo) tipi ve (p,q) tipinde ise, o halde T, CPt,qt) tipinde olu ve 207

3 6Cilt, 2Say (Temmuz 2002) Küe Düzleminde Id Opeatö Riesz Potensiyel integalini Hesaplamada (p, q)un Snllğt Yukadaki Teoem2,yi daha genişletisek; Teoem 3 n n: -- - O < n a ( x) < tl, < :>, p - < n ise, o halde Ilt()t) (p, ) tipi hesaplamad, yani akat m ve n a ilişkili C sabiti va olup, olu olup, c(x)( )(x), nn, da henlen hemen nutlak yaknsak ve de integallenebilidi Teoem 2 O <m:sa(x)<n, <poo ise, a<x>, (p, p) tipi hesaplamad, yani akat m ve na ilişkili öyle bi A sabiti va olup ispat q p/(p+p-),q=q/(q-) olsun Buada Ia(x), (, q) tipi ve ( q, oo )tipi olduğunu ispatlanz Aksiyoml den olu Ispat Bu teoeni potansiyel hesaplama işlemi ile de ispatlamanz münlctil\ ancak, hesaplamann daha kolay olmas için küe düzleminin kaydnna ksmi hesaplamas Se: çünkü - - t, ; -, *k, o " "\ - };J t J ( X =, _ - --" / ) ) :; \, L N X J J J ( "- /_ E,J l ( ll, \ J J ) \i\ Jx, e l değei olan (p, p) tipi ksmi hesaplamas olduğundan, yani ll Sa(t) ll p:s ll ll P olup, aksiyom den Çünkü bu, t, p tl, _, - -, < tlk dan p/(p+p-)<nl(n-m) olup, buadan q < n/( n - m)ll - qm + l - < olu, böylece yukandaki integal yaknsakt Dolaysyla i ( -), ( ) U c l i tl t q) tipi demekti J Bu demek Ia(x) ise (, c, I!,(i :d:l, do) :!) ] # (, : il Halde eşitsizliğinden kolayca elde edili 208

4 6Cit, 2Say (Temmuz 2002) Küe Düzlemindeki Opeatö Riesz Potensiyel integalini Hesaplamada (p, q)un Sanhhğ ( ( \ l ) u /( : su un ( l : J : "" 4 ( - _ l, - A """ ) l ( l li i,! t ;j t i -J ; elde edili Neticede d ayn şe< e, t) K {,v, V q l C4;t :<: ( " : ll!) yi o u Aksiyon3 ten n nin (P ) tipide olduğu bilini ya ni öyle bi A sabiti va olup onln için OlUp) buadan da J(X) (q)oo) tipidi (it t t \, ; : "" i i J h p, ::; q ( - { J_ P )_ - l) P ::! 4 J!- w- olduğunu vasayasak, o halde j = J :!- - q, q olup, Aksiyom2 ye göe Ia(x),(p,) tipi ksmi hesaplama olu olu Genel potansiyel dunununda, olsun, bu halde diyelin n p:: olduğunda, P yine de sağlan Bu halde çn sonuç Teocm 4 O < t { x: ) < n, l < p <,ll p, ;:;; l : olu Dolaysyla - ise u(x), (p, ) tipi hesaplamad Once a(x)=n sabit olduğunda teoenin sağlanacaht ispatlay alm,l", - + tt:;)] q e ;::-; Jl = -o- tmwj J den J olduğunu vasay al un, bu halde P q olu Çünkü, qji - _ - q - l ;:;:;;!! 7 m Ş, -!?! - :;;; + nu ) olduğndan kolayca p<qolacakğn ispati<:nabili K(x:y)= x-y m-, olsu diyelijn, bu halde (l() ll A ll ()(:t)! y + A co R + : 4, ll A H p + t! C t: n :: l olup, Ia(x)) (p, ) tipi ksni hesaplama olu III SONUÇ integal hesaplanalannda küe düzlemindeki Riesz potansiyel integalnun hesaplanmas teknolojinin he yönünde büyük ilgi gönnektedi Bu aaştmada küe düzlcnindeki Riesz potansiyel inte!,alinin ksni hesaplana işlemleine ilişkin temel bilgi ve yöntenle şğuda yeni bi tatşma I< onu olan teoem ve neticele otaya konulnuştu Bu açdan hesaplana işlenleinde opeatö (integal snlannn değişimi) dnunu ele ahmmş ve sonuç olaak yei yöntenle geliştinnişti Bu yöntemle şğnda Ries? potansiyel integalini hesaplamamu baz özelliklei veilmişti 209

5 6Cilt, 2Say (Temmuz 2002) Küe Düztemindeki Opeatö Riesz Potensiyel integalini Hesaplamada (p, q)un Snldğ IV KAYNAKLAR Ross B, Sanka S Integation and dieentiation to a vaia ble actional ode [J] Integal Tanso ms and Special Function, No: ; pp , New Yok, 99 2 Nicoloas du plessis Some tleoem about the Riesz actional integal [J] Tans Ame Math Soc, No: 5; pp 24-34, New Yok, Chen Sh, Wang K, Real Analiz (Chince) [M], Pekin Pidalojik Ünivesitesi Yayn Evi, ppl42-65, Pekin,

Benzer belgeler

Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT

Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT Üite 9: Koelasyo Öğ. Elemaı: D. Mustafa Cumhu AKBULUT 9.Üite Koelasyo 2 Üitede Ele Alıa Koula 9. Koelasyo 9.1. Değişkele Aasıdaki İlişkile 9.2. Koelasyo katsayısı 9.Üite Koelasyo 3 Koelasyo Buda öceki