ÖZET CE ANAL YSIS OF THE FRACTIONAL ORD ER CONTROLLERS ABSTRACT

Transkript

1 SAÜ Fen Bilimlei Degisi, 3 Cilt, Say, s 344, 2009 Sebest Uyatml Bi De Motoun P A DJL Hz Denetimi Ve Kesi Deeceli Denetleyicilein Pefomans Analizi O Atm SERBEST UYARTIMII BİR DC MOTORUN PIDJL Hiz DENETiM i VE KESİR DERECELi DENETLEYİCİLERİN PERFO S ANALİZİ Özkan AT AN,Mustafa TÜRK2, Remzi TUNTAŞ Yüzüncü Yl Ünivesitesi, Eciş MYO Van 2 Fat Ünivesitesi, Mühendislik Fakültes ElektikElektonik Mühendisligi Bölümü Elazğ oatan@yyuedut ÖZET Bu çalşmada, sebest uyatml bi doğu akm motoun kesi deeceli PI ve PID denetleyicile ile kapal çevim lm denetimi MA TLABSIMULINK otamnda geçekleştitileek kesi deeceli sistem yaklaşmlann pefonans analizlei incelenmişti PI) ve PPD denetleyici davanşla fakl, tamsay olmayan integal ve tilev deecelei için incelendi Elde edilen benzetim sonuçla incelendiğinde aşma miktan açsndan oldukça iyi değele elde edildiği gözlendi ve kesi deeceli sistemlein analiz yöntemlei açsndan en iyi pefonans sağlayan yöntemin Cone yöntemi olduğu göülmüştü Anahta Kelinele: Sebest uyatnl de moto, Kesi deeceli sistemle, PI)D denetleyicile PID SPEED CONTROL OF A FREEEXCITED DC MOTOR AND PERFO CE ANAL YSIS OF THE FRACTIONAL ORD ER CONTROLLERS ABSTRACT In this study, the closed loop contol of a feeexcited de moto with factional ode PI and PID contolles ae simulated in MATLABSIMULINK envionment and the pefomance analysis of factional ode appoaches ae investigated Behavious of the PI) and PllD contolles ae investigated fo diffeent nonintege integal and deivate degees Afte analyzing the obtained simulated esults, consideably good esults has been obseved in tems of ovelapping In contast to factional ode analysis methods it has been obseved that the Cone method was the best pefonan ce Keywods: DC moto, Factional ode systems, PllD Contolles GİRİŞ Kontol sistemleinde, klasik tam say deeceli hesaplama yeine kesi deeceli duumlam incelenmesi yeni bi fki olmamakla beabe mühendislik uygulamalannda incelenmesi son yllada üzeinde oldukça fazla çalşlan konuladan biisi olmuştu [, 2] Özellikle otomatik kontol uygulamalanda, klasik tam say deeceli denetleyicilein genelleştiilmiş şekli olan kesi deeceli denetleyici kullanmyla hem kususuz hem de yüksek kontol pefomansla elde edilmişti [3, 4] Kesi deeceli denetleyicilein kullanmyla daha az kontol paametesi ile daha iyi sonuçla elde etmek mümkündü Bu da kesi deeceli denetleyicilei kontol uygulanalanda oldukça güçlü bi aaç haline geti uişti Bikaç temel kesi deeceli denetleyici olmakla beabe bunladan en çok kullanlan ve tecih edileni kesi deeceli PID (PllD) tipi denetleyiciledi [ 5, 6] 34

2 SAÜ Fen Bilimlei Degisi, 3 Cilt, Say, s 344, 2009 Sebest Uyatml Bi De Motoun PADJL Hz Denetimi Ve Kesi Deeceli Denetleyicilein Pefonans Analizi Ö Atan Kes i deeceli tüev ve integal kavam, 69 5 ylnda Leibniz ve LHospital taafndan otaya atlmşt Bu kada eski o lmasna ağmen ilk çalşmala, 9 yüzyln otalanda Liouville, Riemann ve Rolngen taafndan yaplmşt [7] K esi deeceli sistemlein hesab için doğudan bi model mevcut olmadğ için çeşitli yaklaşm yöntemlei vad Bu yöntemle, GünwaldLetnikov (GL) ve RiemannLiouville (RL) taafndan otaya konulan yöntemledi [8] Diğe bi önemli yöntem ise laplace dönüşümdü [9] Laplace dönüşümü yaplan sistemin çözümü saysal yöntemlele geçekleştiili [ O] Laplace dönüşümü yaplan sistemin analizi için çeşitli yaklaşmla vad Bunla Cone, Calson, Matsuda, Tustin ve Simpson yaklaşmlad [3] Bu yaklaşmla, laplace opeatöünün sei açlm mantğna dayan Ayn şekilde bu yöntemlele saysal olaak kesi deeceli sistemlein uygulamas yaplabili ve bu pensibe dayal denetleyicile ahatlkla tasalanabili Bu çalşmada, sebest uyatml bi DC motoun hz denetim işlemi PI)D denetleyicilele geçekleştiilmişti Ayca, PI tipi denetleyiciyle sebest uyatml DC motoun hz denetimi geçekleştiileek iki denetleyici aasndaki fak, özellikle kesi deecesinin değişiminin etkisi ile fakl saysal analiz yöntemlei kullanlaak çözülmüş ve bu yöntemle aasndaki fakla kaşlaştlmşt l KESİR DERECELi SİSTEMLER VE PI A D DENETLEYİCİLER Kesi deeceli hesaplama, integallein ve tüevlein deeceleini eel ya da kamaşk say olaak keyfi bi biçimde kabul eden bi matematik dald Fizikte biçok sistem kes i deeceli olaak bilini ( elektomanyetik dalgala, viskoelastisite vs) Kesi deeceli sistemlein hesaplanmasnda genel olaak kullanlan iki tü yaklaşm vad Bunla GünwaldLetnikov (GL) ve Riemann Liouville (RL) yaklaşmlad GL yaklaşmnn genel ifadesi ise Denklem ()deki gibidi Daf(t)=Lim a [<hl(a+k)f(xkh () h)«) (a)ha (k+ ) RL yaklaşmnn genel ifadesi ise Denklem (2)de veildiği gibidi [4] Buada m <a<m olup ise Gama fonksiyonudu!! mj!{} d (2) ITJ(t) I a f(ma) dt (t)i{ma) a B uada, h zaman atm oan, [ ( t a) h] işlemi ise bu oann tam ksmn temsil ede Denklem () ve (2)den göüldüğü üzee, kesi deeceli opeatöle daha önce olan olayla saklayabilme ya da hafzasnda tutabilme özelliğine sahip olduklandan, kaltsallk ve hafza etkileinin modelienesine uygundula Diğe bi önemli : yaklaşm ise Denklem (3)de veilen Laplace dönüşüm yöntemidi n L{Da f(t)}= sa F(s) ::>k Da k F(t) t:o (3) k=o Başlangç şatla gözönüne alnmazsa Denklem (3)deki ifade daha basit bi fonda Denklem ( 4) deki şekilde elde edilebili L{Da f(t)}= sa F(s) (4) Laplace dönüşümü kesi deeceli kontol sistemleinin analizinde ve sentezinde oldukça önemli bi dönüşüm olaak kullanlmaktad Buada, doğudan fonksiyonun Laplace dönüşümü alnaak kesi deeceli slaplace değişkeni ile çapmndan elde edili Genel olaak kesi deeceli sistemle, Denklem (5)deki gibi doğusal zamanla değişmeyen kesi deeceli fak denklemlei fomunda ya da Denklem (6)daki gibi süekli tansfe fonksiyonu fonunda tanmlan andf" y(t) + andf" y(t) + + a0dfo y(t) G(s) = a a + as +a2s + ams b S 3 + b 2S P + + b " A ama BmB mb S Buada (3m, bm) e9l, (au m) e9l ve mendi (5) (6) Laplace dönüşümünden faydalanlaak kesi deeceli işlemlei saysal olaak analiz edebilmek için baz Z dönüşüm yöntemlei vad [3] Bu dönüşümle kullan laak k esi deeceli sistemlee dayal denetleyicile tasalanabili Cone yöntemi, kesi deeceli ifadelein çözümünde en geniş kullanlan olan yaklaşmladan biidi Bu yaklaşmna göe, kesi deeceli sistemin s domenindeki dönüşümü Denklem (7) deki gibidi C ( ) S S C o E (0,) + s m +S (Oh (7) Cone yönteminde kesi deeceli ifadenin Zdönüşümü Denklem (8) deki gibidi C (s) = s C0 + ( z T z ) m +( )lmh T Calson yaklaşmna göe kesi deeceli sistem, Denklem (9) daki gibi ifade edili (8) (s)=s =c; (s (qm)(c;(s) +(q+m)s (9) (qm)(cz(s)f +(qm)s Denklem (9) daki C nin başlangç iteasyonu değeleiyle q ve m değelei Denklem (lo) da veilmişti 35

3 SA ü Fen B ilimlei Degisi, 3 Cilt, Say, s 344, 2009 Sebest Uyatml Bi De Motoun Pl njj Hz Denetimi Ve Kesi Deeceli Denetleyicilein Pefomans Analizi Ö q q= ;, m=,c0(s)= (0) Matsuda yöntemine göe kesi deeceli ifadele Denklem (ll) ve Denklem (2)deki yaklaşmlala çözülü [5] s s0 s s s s C (s) = a (ll) a + a + a + a = v(s) (2) Tustin yöntemiyle deeceli gibidi sistemin ( )± q ( ( l))±q 2 z ±q s = (i) z = T + z Laplace ifadesi s ±q olan bi kesi Z dönüşümü, Denklem (3)deki Denklem (3) de O<q<l olup çözüm ( 4) deki yaklaşmdan faydalanl sq ()q l im T An(z l, q) q E [,] n«> An (z,q) (3) için Denklem (4) Denklem (4)daki ifadede veilen An değelei Denklem (5) ve (6) ile hesaplan An =An (z,) + cnz n An (z,) A0 (z, ) = (5) c = n n, O n; tek n; çift (6) sistem analiz edili Kesi deeceli bi ifadenin Sim yöntemine göe çözümü Denklem (7) veilmişti C(s)=s= 2(z )(+z) T +4z+z2 Kesi deeceli tüev ve integal ifadeleinin basamak giişine kaş vediği cevap Şekil gösteilmektedi Integal opeatöünün biim b4o&fij giişine kaş göstediği cevap Şekil a da, opeatöünün basamak giişine kaş vediği eğilei ise Şekil b de sunulmuştu opeatöünden anlaşldğ üzee kesi deecesi cevap hz atmaktad PI)D denetleyicilein analizi içini kullanlan yaklaş, l benze sonuçla vese bile tam anlamyla bibiinin a)n değildi Fakl yaklaşmlan biim basamak kaş göstediği cevapla Şekil 2 de toplanmşt PI)D tipi denetleyicile oansal, integal ve opeatöleinin bilikte kullanlmasyla elde edili denetleyicilede tüev ve integal deecelei tamsay fakl eel sayladan oluşu Böyle bi denetleyiciye a genel matematiksel ifade denklem (8)de veil& [6] Pl l D; =K P E(s) + Kis l E( s)+ KnsJJ E( s) A,J ft N A,p E 9t Simpson yönteminde, kesi deeceli ifadenin Zdönüşümü yaplaak Taylo seisine açl Böylece kesi deeceli o A 02S 2 oa ",,,,,, 0 8,,, 0 4 i J ;!, 0 2,, oa , ozs Q5 " \ o7s ", o o o o o o o o o o o o o o o o o2 ozoo4ooeooooooo % Şekil a) Fak kesi deecesine sahip sistemlein a) integal, b) tüev cevaplan b \ l SJD:apon C,on c::::one :v:auuda "" :", " " ;,, 0 L q oo zoo 3oo oo oo 6oo 7oo oo 9o ooo Şekil 2 Fakl kesi deeceli çözüm yöntemleinin biim basamak giişine kaş göstedii cevap eğilei 36

4 SAÜ Fen Bilimlei Degisi, 3 Cilt, Say, s 344, 2009 Sebest Uyatml Bi De Motoun P " DJl Hz Denetimi Ve Kesi Deeceli Denetleyicilein Pefomans Analizi Ö Atan PPD tipi denetleyicide Kp K ve Kn katsayla Ziegleichols yöntemiyle belilenmişti [7] Denetim sistemleinde kesi deeceli tüev ve integal kullanlmas, aha üstün pefonnans ve dayanm sağladğ son lladaki aaştnalada otaya çkmşt B unun üzeine Oansalintegal tüev denetleyicilein de kesi deeceli istemlee uygulanmasna çalşlmşt [ 46] 3 SERBEST UYARIIMI4 DC MOTOR ebest uyatml DC motola endüstide hz denetim uygulamalanda en çok kullanlan motolan başnda geli Sebest uyatml DC motolaa ilişkin atematiksel model denklem (8) ve (9) da veilmişti V oc(t) = Raia(t) +La di a(t) + e( t) (8) dt (9) DC motoun üettiği moment ve döndüme momenti ile çsal hz aasndaki bağnt denklem (20) ve denklem 2) de veilmişti [8] T m = K m i0 (f) (20) T m = J dw m + Bwm +TL {2) dt 4 SERBEST UY ARfiMIJ BİR DC MOTORUNUN PIAD H IZ DENETİMİ PIADt tipi bi hz denetleyicisiyle sebest uyatml bi DC motoun hz denetiminde efeans hz giişiyle geçek hz değei aasndaki fak, PIADt denetleyicini giişine uygulanmaktad Bu şekilde, hz hatasna göe denetleyici, çkş değei üetmektedi PID tipi bi denetleyicisinin MatlabSimulink otamnda oluştuulan modeli Şekil 3 de sunulmuştu Bu modelde kullanlan akm kontolöü histeessiz akm kontolü olup ölü bant değei 2Adi DC motoun çektiği akmdaki dalgalanmala azaltmak için filte kullanlmşt PID tipi denetleyicilele yaplan hz deneti işlemide; fakl kesi deecesine sahip PID denetleyicile aşma mikta açsndan, klasik PID denetleyicilele yaplan hz denetleyicileine göe daha iyi pefomans segile Sebest uyatml DC motoun hz zaman eğisi Şekil 4 de göüldüğü gibi; hz ilk anda efeans değei olan OOads değeine hzla yükselmekte, yaklaşk olaak 325ads lik bi aşmadan sona istenen değee doğu azalma yapmaktad Fakl k esi deecesine sahip PIADt tipi denetleyici kullanlmasyla aşma mikta 2lads değeine kada azalmaktad Ayca; moto çalşma esnasnda efeans hz looads den 20ads değeine çkaldğnda, PP tipi denetleyicinin aşma mikta klasik PI yöntemine göe daha az olduğu gözlenmektedi Fakl kesi deecesine sahip olan denetleyicinin akm zaman gafiği Şekil 5 de veilmişti Bu gafikte akmn kesi deecesinin atmasyla kalknma anndaki değeden (maksimum değe), süekli duumdaki akm değeine geçişte dalgalanma (sf değeine doğu düşüş) olmadğ göülmektedi Moment değişimi Şekil 6 da göüldüğü gibi akm değişimine benze yapdad Buada PIAD tipi denetleyici Cone yöntemine göe analiz edilmişti 4 R efenma Ei; PID Cikis Wtn " Ieg la wef FPID CikU " g Alcim denetleyici V de== 24ovl 4 a Gto Yuk Momenti (N" m) DC Macbine Scope k D : Ls TL 5HP 240V ll IAf( de F :: )} vfi5ov Iliz: m Amatu Alcini A L F Filte " " D Şekil 3 Sebest uyatnl OC Motoun PIDPI ) D tipi denetleyici ile hz kontolünün MatlabSinulink modeli 20 00, : " eo Ktasik"PI Kes i Deece H Pl ( ) Kesi Deeceli Pl ( 2) Zaman(ma) 250J 3000 : Refeans Şekil 4 PI ve fakl kesi deecesine sahip (J ve 2 için) PI ) denetleyicile 37

5 SAÜ Fen Bilimlei Degisi, 3 Cilt, Say, s 344, 2009 Sebest Uyatml Bi De Motoun P " D Hz Denetim! Ve K esi Deeceli Denetleyicilein Pefomans Analizi O At 40 E 20 t \ " 500 0C() 500 \ """{"""" I : !"! g: 40 E 20 \ soo CXXl 500 \ : 60 """" o o \ i 500 cn:: 500?(OJ CXXl zaman (ms) Şekil 5 Fakl denetleyicilein akm zaman değişim eğisi a) klasik PI, b) pe (A) c) Pe (A2) ss,,,,, o o ooosoo xoo 3500 Zaman(ms) Şekil 6 Fakl denetleyicilein moment zaman değişim esi (PI\ A2 ) Kesi deeceli ifadelein, tam çözüm yöntemi olmadğ için analiz fakl yaklaşmla kullanlaak geçekleştiili PI) tipi denetleyicide bu yaklaşmlan kullanlmasyla elde edilen çktla fakl olu Bu yaklaşmlan kullanlmasyla elde edilen PI) denetleyicisinin hz hatasnn zamanla değişimi Şekil 7 de gözlenmektedi Buada en çok kullanlan beş fakl yöntem (Cone, Calson, Matsuda, Tustin ve Simpson) kaşlaştlmşt Şekil 7de göüldüğü gibi Cone ve Caison yaklaşmlanda, süekli duum hatas oluşmazken Tustin ve Sipson yönteminde, süekli duum hatas oluşmaktad Cone yönteminde ise Caison yöntemine göe, süekli duuma daha hzl geçtiği Caison yönteminde ise aşma miktann daha az olduğu gözlenmektedi En iyi pefomans ise Cone ve Caison yaklaşmlanda sağlanmşt En iyi sonuç k esi deecesinin değei 2 de olmas duumunda elde edilmişti Buada PIJD denetleyicisine kes i deeceli tüev opeatöü eklenmesiyle PI)D tipi denetleyici elde edili PI)D denetleyicisinde iki fakl kesi deecesi vad Bunladan bii tüev opeatöünün kesi deecesi (Jl), diğei ise integal opeatöünün kesi deecesi (A) di A, değei 2 ve Jl değei 0 iken PI)D denetleyicisi ile PI " denetleyicisinin hz zaman değişim eğisi Şekil 8da ki gibidi Tablo lde fakl yöntemlein aşma mikta ve otuna zaman açsndan kaşlaştlmşt 38

6 SAÜ Fen Bilimlei Degisi, 3 Cilt, Say, 344, 2009 Sebest Uyatml Bi De Motoun P A DJL Hz Denetimi Ve Kesi Deeceli Denetleyicilein Pefomans Analizi Ö Atan 00,,,,,, C o n e cinison Simpson T ustin :a l! i u; llij <W :X: N J t \ l \ :\ : : : Jl t " j t t t t, t, t " t i t t t t t t c t, o t ; : " J l t t t " o ;, ":,,, t ; t \!, t " f i J, t t ; i t i, ;, ; """, Jl i o 5(() (Q) 500 2ClJO :2500 3JOO 35CXJ t:oo Zaman(ms) Şekil 7 Fakl yaklaşnlaa göe PI" denetleyicisinin efeans hz ile geçek hz aasndaki fakn zamana göe değişim eğisi 20 : ; 00, f Rfeans 500 i 000, j Zaman (ms) 25((),, " 3JOO : : Ktasik Pl " keslideeceiipi ; Kfii De cii :PID CO Şekil 8 Klasik PL PI" ve PI"DIA tipi denedeyicilein hz değişim eğilei Tablo PI"D için efeans klasik PID olaak alndğnda elde edilen aşma mikta ve otuma zaman YÖNTE M AŞMA MIKTARI (%) OTURMA ZAMANI (MS) Jl== A ==09 Jl=A= =A=2 Jt=A=09 Jt=A= Jt==A=2 Cone Caison Matsuda Tustin 36* 22* 2* Simpson 325* 2 * 2* *süekli duum hatas oluşuyo 39

7 SA Ü Fen Bilimlei Degisi, 3 Cilt, Say, s 344, 2009 Sebest Uyatnl Bi De Motoun P A D Hz Denetimi Ve Kesi Deeceli Denetleyicilein Pefonans Analizi Ö Atan S SONUÇLAR Bu çalşmada, klasik PI denetleyicisi ve pxn tipi denetleyici kullanlaak sebest uyatml bi DC motoun hz denetim benzetimi MatlabSimulink:te modelleneek yaplmşt Bu şekilde bu iki fakl denetleyici aasndaki fak gözlendi PI)D tipi denetleyicinin kesi deecesi değiştiileek fakl deelede göstemiş olduğu pefonansla kaşlaştlmş ve denetleyicinin pefo nans üzeine fakl çözüm yöntemleinin etkisi aaştlmşt Sonuç olaak, PI)D tipi denetleyicilein PI ve PI> tipi denetleyicilee göe aşma değei açsndan oldukça iyi pefonans göstediği göülmektedi PI)D tipi denetleyicilein ttiev deecesinin 0, integal deecesinin 2 olduğunda en iyi sonuç elde edildiği bulunmuştu Kesi deeceli sistemlein analizi için fakl yaklaşmla va olduğu (Cone, Calson, Matsuda, Tustin ve Simpson) ve bu yöntemle içesinde en iyi sonuca Cone yöntemi ile yaklaşldğ göülmüştü Bu yönteme göe analiz edilen, integal deecesi 2 ve ttiev deecesi 0 olan bi PI)DJ! denetleyicisinin pefomans oldukça iyidi Bu çalşmadan da göüldüğü üzee en iyi yaklaşm bulabilmek için henüz otaya konulmuş bi yöntem yoktu Bu nedenle ileiki çalşmalada, amaçlanan hedeflee ulaşabilmek için yapay sini ağla ile kanaşk kesi deeceleinin hesaplanmas ve genetik algoitma yaklaşm en iyi ya da optimum sonuçlan alnabileceği bi yöntem üzeinde çalşlmas düşünülmektedi SERBEST UY ARTIMLI DC MOTORUN PARAMETRELERİ Re=050, La= 0mH, R2400, L[=20H, Lm=976H, Ls= lomh J=00225kgm 2, B= Nms, V oc=240v KAYNAKLAR [] JunYi Cao, BingGang Cao, Design of Factional ode Contolle Based on Pacticle Swam Optimization, Intenational Jounal of Contol, Automation, and Systems, 4(6), 77578, 2006 [2] A Kilbas, HM Sivastava ve JJ Tujillo, Theoy and Applications of Factional Diffeential Equations, Nethelands, Elsevie, ss525, 2006 [3] YQ Chen, D Xue ve H Dou, Factional calculus and biomimetic contol, IEEE Int Conf On Robotics and Biomimetics (ROBIO 04), China, 2004 [4] M Axtell, ME Bise, Factional Calculus Applications in Contol Systems Aeospace and Electonics Confeence, NAECON90, Poceedings of the IEEE, 2, , 990 [5] H Fan, Y Sun ve X Zhang, Reseach on Factional Ode Contolle in Sevo Pess, Intenational Confeence on Contol System Mechatonics and Automation, ICMA07, , 2007 [6] DXue, C Zhao ve YChen, Factional ode PID contol of a DCmoto with elastic shaft: a case study, Ameican Contol Confeence, , 2006 [7] K B Oldham ve J Spanie, The factional calculus, Academic Pess, USA, 974 [8] D Xue ve YangQuan Chen, A compaative intoduction of fou factional ode contolles, Poceedings of the 4th Wold Congess on Intelligent Contol and Automation, , 2002 [9] I Podlubny, Factionalode Systems and Factionalode Contolles, The Academy of Sciences Institute of Expeimental Physics, UEF0394, Kosice, Slovak Republic, 994 [0] T T Hatley, C F Loenzo, ve H K Qamme, Chaos in a Factional Ode Chuas System, IEEE Tansactions On Cicuits And Systems : Fundamental Theoy And Applications, 42 (8), , 995 [ll] D Valeio, J S Costa, TimeDomain Implementation of Factional Ode Contolles, Contol Theoy and Applications, lee Poceedings 52 (5), , 2005 [2] Vinage, B, Podlubny, I, Hemandez, A, ve Feliu, V, Some Appoximations of Factional Ode Opeatos Used in Contol Theoy and Applications, Fact Calc Appl Anal, 3 (3), 23248, 2000 [3] M Aoun, R Malti, F Levon ve AOustaloup, Nuneical simulation of factional systems, ASME 2003 Design Engineeing Tecnical Confeence Chicago, Illinois, USA, 2003 [4] BM Vinage, I Peta, I Podlubny ve YQ Chen, Using Factional Ode Adjustment Rules and Factional Ode Refeence Models in ModelRefeence Adaptive Contol, Nonlinea Dynamics, 29, , 2002 [5] I Podlubny, I Petas, B M Vnage, P Oleay, L Docak, Analogue Realizations of FactionalOde Contolles, Nonlinea Dynamics, 29,28296,

8 SAÜ Fen Bilimlei Degisi, 3 Cilt, Say, s 344, 2009 Sebest Uyatml Bi De Motoun P " D Hz Denetimi Ve Kesi Deeceli Denetleyicilein Pefonans Analizi Ö Atan [6] I Podlubny, FactionalOde Systems and PPDJl Contolles, IEEE Tansactons On Automatc Contol 44 (), 20824, 999 [ 7] J G Ziegle ve N B Nichols, Optimum Settings fo Automatic Contolles, Tasactions of the ASME 64, , 942 [8] NN Hancock, Matix Analysis of Electical Machiney, Elsevie, USA, 974 4