SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

Transkript

1 SAYSAL ANALİZ Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

2 SAYSAL ANALİZ LİNEE DENKLEM SİSTEMİ ÇÖZÜMLEİ (Klasik Yöntemle) Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

3 İÇEİK Doğusal Denklem Takımlaının Çözümü Came Yöntemi Matisin Tesi ile Bilinmeyenlei Bulma Önek uygulama MATLAB ta matisin tesini (inv komutu) ve tanspozesini alma GAUS Eleme Yöntemi Önek uygulama solve komutu ile denklem takımının çözümü Yinelemeli (İteasyon) Yöntemle Jacobi yöntemi Gauss-Siedel yöntemi Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

4 Doğusal Denklem Sistemlei Bi Bilinmeyenli Bi Denklem Klasik Fom Matis Fom İki Bilinmeyenli İki Denklemli Sistem Klasik Fom Matis Fom m Bilinmeyenli n Denklemli Sistem Klasik Fom Matis Fom Not: Biinci deeceden bilinmeyen ve sabit sayıla içeen denklem sistemlei linee denklem sistemledi. Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

5 CAME YÖNTEMİNİ Elektiksel develee ait göz denklemleinin kullanımı sonucunda otaya çıkan genelleştiilmiş matis yapısı; [] x [] [E] gözlü bi elektiksel sisteme ait eşitliklei matis fomda ifade edesek; E E E Yukaıdaki doğusal denklem takımlaındaki bilinmeyen akım () değelei Came yöntemi ile bulunacaktı. Bu işlem için oluştuulacak olan kae matislein deteminant hesaplamalaı kullanılacaktı. Deteminantı alınacak kae matisin boyutu sistemi tanımlayan doğusaldenklem takımındaki eşitlik (devedeki göz) sayısına bağlıdı. Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

6 CAME YÖNTEMİNİN KULLANM Göz denklemine göe kae matis oluştuulu E E E Öneğin biinci göze ait akım değelei hesaplanacak ise empedans değeleinden oluşan matisin biinci sütunundaki elemanlaın yeine geilim değelei yazılaak yeni bi matis oluştuulu. E E E Biinci göz akımı, Öncelikle empedans değeleinden oluşan matisin deteminantı hesaplanı E E E Diğe göz akımlaı E E E Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 6

7 Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 7 CAME YÖNTEMİNİN KULLANM -Önek- Came yöntemine göe elektiksel deveye ait denklem takımı üzeinden empedans ve geilim değeleinin oluştuduğu matislei elde edin Empedans matisinin biinci satıına göe deteminantı hesaplanı Hangi akım değei için işlem yapılacak ise empedans değeleinden oluşan matisin ilgili akımına ait sütun elemanlaının yeine geilim değelei yazılaak yeni bi matisin deteminantı (biinci satıa göe) hesaplanı. Biinci akım değei, Diğe akım değeleini aynı yollaı izleyeek bulunuz Aşağıdaki veilen bi elektiksel deveye ait doğusal denklem takımında ye alan akım değeleini Came yöntemi kullanaak elde ediniz? E ) ( ) ( A

8 CAME YÖNTEMİNİN KULLANM - MATLAB Çözümü - Komut penceesi % ve E matisleinin tanımlanması >> [ - ; ; ] - >> E[ ]' % tanspoze işlemi Komut penceesi >> M[(:,) E (:,)] M >> M[(:,[ ]) E] M E - % Akım değeleinin hesabı >> [det(m); det(m); det(m)]/det() %, ve akım değeleinin hesabı için matislein tanımlanması >> M[E (:,[ ])] M - - Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 8

9 Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 9 Önek: Aşağıda veilen doğusal denklem takımındaki bilinmeyen değeleini Came yöntemini kullanaak elde ediniz. Not: Çözüm için geekli deteminant işlemlei seçilen satı ve sütun yöntemi kullanılaak ikinci satıa göe yapılacaktı. Linee Denklem Sistemlei CAME YÖNTEMİ 7 7

10 BİLİNMEYENLEİ MATİSİN TESİNİ ALAAK BULMA Doğusal denklem takımlaındaki bilinmeyenlein bulunmasında kullanılı. Bilinmeyen akım değeleinin bulunuşunda işlem geeği empedans değeleinden oluşanmatisin tesini almak geekmektedi. [ ] [ E] [ ] [ ] [ E] [ ] Bi matisin tesini alma faklı şekillede yapılabili. Bu yöntemleden bii, bi matisin deteminantı alma ile matisin ekini (adjoint) almayı geektii. Bi matisin ekinin bulunmasıiki faklı şekilde olabili. Matisin tüm elemanlaının eşçapanlaı bulunu. Bulunan eşçapanladan yeni bi matis oluştuulu. Bu matisin tanspozesi (deviği-satıla sütun, sütunla satı olaak yazılması) alınaak matisin eki bulunu. Matisin tanspozu alını. Oluşan yeni matisin tüm elemanlaının eşçapanlaı bulunaak matisin eki elde edili. Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

11 BİLİNMEYENLEİ MATİSİN TESİNİ ALAAK BULMA Önek: Bi matisin ekininin ve bilinmeyen akım değeinin bulunması. [ ] matisinin tüm elemanlaının eşçapanlaını bul ( ) ( ) ( ) Eşçapanladan oluşan matis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Diğe Yöntem Eşçapan matisin tanspozesi alını. [ ] ek ( ) ek ( ) T Bilinmeyen Akımın Bulunması [ ] [ ] [ E] Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

12 Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ BİLİNMEYENLEİ MATİSİN TESİNİ ALAAK BULMA -Önek- Önek: Veilen denklemdeki akım değeleini matisin tesini alaak bulunuz? Denklemlei matis şeklinde yazın Akım değelei Matisin eki için geekli deteminant işlemi 8 ) ( ) ( () matisinin eşçapanlaı ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 ) ( 7 ) (

13 BİLİNMEYENLEİ MATİSİN TESİNİ ALAAK BULMA -Önek- Eşçapan matisinin tanspozesi alınaak matisin eki elde edili ek ( ) 8 7 T 8 7 Matisinin tesi [ ] ek ( ) 8 7 / / / / / / / 8 / 7 / Bilinmeyen akım değelei / [ ] [ ] [ E] / / 8 / Ampe / / / / 7 / Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

14 inv komutu ile bi matisin tesini alma Matisin tesini vei. inv (matis) tesi hesaplanacak matis Komut penceesi Önek: % matisinin tanımlanması >> [ -; - ; - -] >> inv() % matisin tesi ans Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

15 BİLİNMEYENLEİ MATİSİN TESİNİ ALAAK BULMA -MATLAB Önek- Komut penceesi % ve E matisleinin tanımlanması >> [ -; - ; - -] Komut penceesi % ve E matisleinin tanımlanması >> [ -; - ; - -] >> E[ ]' >> E[ ]' E E % Akım değeleinin hesabı >> inv()*e. -.. % Akım değeleinin diğe yolla hesabı >> \E. -.. Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

16 Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 6 BİLİNMEYENLEİ MATİSİN TESİNİ ALAAK BULMA -Önek- Önek: Veilen devedeki akım değeleini matisin tesini alaak bulunuz? ABEF noktalaı ile tanımlanan göze ait denklem B noktası için Kichoff un akımla kanunu denklemi matis şeklinde ifade edin A D B i F E C i i Ω Ω Ω 6 V V 6 i i ACDF noktalaı ile tanımlanan göze ait denklem 6 i i i i i 6 i i i Matis fomdaki ifadeden akım değeleini yalnız bıakalım 6 i i i

17 BİLİNMEYENLEİ MATİSİN TESİNİ ALAAK BULMA -Öneğin MATLAB ile Çözümü- Komut penceesi % Dienç değeleine ait A, geilim kaynaklaına ait B matis fomlaının tanımlanması >> A [ ; - ; -]; >> B [6; ; ]; % Dal akımlaının hesaplanması >> inv(a)*b % veya bu işlem aşağıdaki şekilde de yapılabili >> A \ B Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 7

18 ÖDEV Ödevle desin Aaştıma Göevlisine, takiben eden hafta teslim edilecekti. Not: Vaktinde teslim edilmeyen ödevle alınmayacaktı. Yukaıdaki linee denklem takımını, Came Matisin Tesi yöntemleini kullanaak hem el ile hem de MATLAB pogamı şeklinde çözünüz? Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 8

19 GAUSS ELEME YÖNTEMİ Biden fazla uygulama şekli vadı. Biz üç faklı uygulama tüünden bahsedeceğiz. [ ] biim fomunu kullanaak bilinmeyen değelein bulunmasıdı. Buada matisinin tesinin elde edilmesini isteyen bi yapı mevcuttu. Bu uygulama şeklini aşağıda önek bi elektiksel deveye ait doğusal denklem takımındaki akım değeleinin bulunmasında kullanalım. Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 9

20 GAUSS ELEME YÖNTEMİ - DEVAM - Doğusal denklem takımlaı Gauss eleme yöntemi biim fomatına dönüştüülü. [ ] biim [ ] matis eleman değeleinin bulunduğu yede biim matisin oluştuulması için geekli olan alt ve üst üçgen matisin eleman değeleini sıfı yapacak işlemlee başlanı. Öneğin ikinci satı biinci sütun eleman değeini sıfı yapabilmek için ikinci satı elemanlaının tamamına aşağıdaki uygulamadan da göüldüğü gibi S fomülü ile işlem yapılı. S Bu fomülün anlamı sıfı yapılacak elemanın büyüklüğü o sütunda ye alacak olan biim matisin olacak eleman değeinin bulunduğu satı ile çapılıp, biim matisin o sütununda olan elemanına kaşılık gelen elemana bölünüp işlem ikinci satı için geçekleştiildiğinden ikinci satı elemanlaından çıkaılacak demekti. Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

21 GAUSS ELEME YÖNTEMİ -DEVAM- [ biim ] S S S S İkinci satıın biinci elemanı sıfı yapıldığına göe buada alt üçgen matisin içinde ye alan üçüncü satıın biinci eleman değeini sıfı yapacak işleme geçmek geeki. Bunun için üçüncü satıın biinci eleman değei işlemlein sonunda o sütunda biim matisin olacak değeinin bulunacağı biinci satı ile çapılıp yine biinci satıın ilk eleman değeine bölündükten sona işlem üçüncü satı için geçekleştiildiğinden üçüncü satıdan çıkatılacak demekti. Yukaıdaki gösteimden de anlaşıldığı gibi bunun için üçüncü satıa S fomülü S uygulanacak demekti. Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

22 Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ GAUSS ELEME YÖNTEMİ -DEVAM- Alt üçgen matisin son sıfı elemanı için fomülü uygulanısa, S S S S ) ( S S S Benze uygulamala devam ettiilise / ) ( S S / S / ) ( / / / S S

23 Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ GAUSS ELEME YÖNTEMİ -DEVAM- Sonunda elektiksel deveye ait doğusal denklem takımında empedans değeleinin oluştuduğu matisin tesi önceki slaytladaki işlemlein sonucunda elde edilmiş olu. Bu tes matis, geilim değeleinden oluşan matis ile aşağıdaki şekilde çapılısa, bilinmeyen akım değelei elde edili. / / / 7 / 6 / / [ ] [ ] [ ] Ampe E / / / 7 / 6 / /

24 GAUSS ELEME YÖNTEMİ Linee Denklem Sistemlei Önek: Aşağıda veilen doğusal denklem takımındaki bilinmeyen değeleini Gauss Eleme yönteminin elde ediniz. [ biim ] fomunu kullanaak Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

25 GAUSS ELEME YÖNTEMİ İkinci yöntem ise, biinci yöntemdekinden faklı olaak, empedans değeleinden oluşan matisin yanına biim matisin değil geilim değeleinden oluşan matisin yazılmasını geektii. [ E] Önceki yöntemde olduğu gibi işlemle empedansladan oluşan matisin yeinde biim matis oluştuuluncaya kada devam ettiili. Biim matisin oluştuulduğu anda geilimlein ye aldığı matis elemanlaı doğudan bilinmeyen akım değeleini vemiş olu. [ ] A Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

26 GAUSS ELEME YÖNTEMİ - Önek - Aşağıda veilen bi elektiksel deveye ait doğusal denklem takımında ye alan akım değeleini Gauss eleme yönteminin [ E] fomunu kullanaak bulunuz? 6 [ ] Doğusal denklem takımındaki değele kullanılaak E fomu elde edili [ E] 6 Bu fomda biim matis yapısında alt köşegen matis eleman değeinin sıfı olabilmesi için ikinci satıda işlem yapılması geeki. İkinci satı biinci sütun değe elemanı olan - sayısı biinci satı S ile çapılıp biinci satıın biinci elemanı olan sayısına bölünü ve işlem ikinci satı için geçekleştiildiğine göe elde edilen sonuç ikinci satı S den çıkatılı. İkinci satıın biinci eleman değeini yapmak için geçekleştiilen bu işlemde otaya çıkan fomül S (( ) ) ikinci satıın bütün elemanlaına S uygulanı. Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 6

27 GAUSS ELEME YÖNTEMİ - Önek - [ E] 6 S (( ) S ) / 6 Elde edilen bu sonuca göe ikinci satıa ait denklem ifadesi teka yazılacak olusa aşağıdaki sonuç elde edili. 6 Bu sonuca göe eşitlik içeisinde bi tane bilinmeyen ifadesi olan nin olduğu göülmektedi. Bundan dolayı sayısal işlem yapılısa ikinci göze ait olan akım değeinin A olduğu kolayca bulunmuş olu. Bulunan bu değe biinci göze ait denklem ifadesinde yeine yazılı ise, A Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 7

28 Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 8 Önek: Aşağıda veilen doğusal denklem takımındaki bilinmeyen değeleini Gauss Eleme yönteminin fomunu kullanaak elde ediniz. Linee Denklem Sistemlei GAUSS ELEME YÖNTEMİ [ ] E [ ] S S E S S S S 8 8 :E fomunu oluştuaak ilk değeini elde et Alt üçgendeki üçüncü değeini oluştualım Matisin son halini yazalım Alt üçgendeki ikinci değeini oluştualım Bilinmeyen değeleini bulalım

29 GAUSS ELEME YÖNTEMİ Linee Denklem Sistemlei Önek: Aşağıda veilen doğusal denklem takımındaki bilinmeyen değeleini Gauss Eleme yönteminin elde ediniz. [ E] fomunu kullanaak Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 9

30 GAUSS ELEME YÖNTEMİ Üçüncü yöntem ise, yeine koyma ve yok etme metodunun uygulanmasıdı. Bu yöntemi önekle üzeinde göelim. Önek : Aşağıda veilen doğusal denklem takımındaki akım değeleini Gauss Eleme yönteminin yeine koyma ve yok etme metodunu kullanaak çözünüz? i yalnız bıakalım. / 7 8 /- 6 /- 7 8 Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

31 . ve. eşitlikleden. eşitlik çıkaılaak den kutulunu. 7 GAUSS ELEME YÖNTEMİ 6. eşitlik - e ve. eşitlik /7 ye bölüneekteka yazılı. 6. eşitlikten. eşitlik çıkaılaak den kutulunu. 6. eşitlikten hesaplanı. 8 Ampe. eşitlikte yeine koyulu ve hesaplanı. 8 6 Ampe ve. eşitlikte yeine koyulu ve hesaplanı. 8 Ampe Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

32 GAUSS ELEME YÖNTEMİ Önek : Aşağıda veilen doğusal denklem takımındaki bilinmeyen değeleini Gauss Eleme yönteminin yeine koyma ve yok etme metodunu kullanaak çözünüz? ile çapılaak. den çıkaılı 7 7 ile çapılaak. den çıkaılı (E -E E ; E - E E ) 6 ile çapılaak. den çıkaılı (E - E E ) ( ) * ( ) Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

33 GAUSS ELEME YÖNTEMİ MATLAB UYGULAMAS Sabitle ve ilk değele giili: Matis, Matisin boyutlaı k Son bilinmeyen: x(m)w(m,n)/w(m,m); ik km- katsayiw(i,k)/w(k,k) Toplam j jk w(i,j)w(i,j)-katsayi*w(k,j); ToplamToplamw(k,j)*x(j) j > N? H jj E j> M? H jj i > M? H ii E E x(k)/w(k,k)*(w(k,n)-toplam) k > M-? H kk E k <? H kk- Yoketme İşlemi Sonasında Elde Edilen Matisi göste E Bilinmeyenlei göste (x,x..) Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

34 GAUSS ELEME YÖNTEMİ MATLAB UYGULAMAS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Gauss Yok Etme (:E)Yöntemi% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% [ - -; 6 8; ; -]; E[-;;-;-8]; GK[ E]; Msize(GK,);Nsize(GK,); % Yok Etme fo i:m- fo ji:m katsayigk(j,i)/gk(i,i); fo k:n GK(j,k)GK(j,k)-katsayi*GK(i,k); end end end GK % Yeine Koyma x(m)gk(m,n)/gk(m,m); fo im-:-: Toplam; fo ji:m ToplamToplamGK(i,j)*x(j); end x(i)/gk(i,i)*(gk(i,n)-toplam); end x Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

35 ÖDEV Ödevle desin Aaştıma Göevlisine, takiben eden hafta teslim edilecekti. Not: Vaktinde teslim edilmeyen ödevle alınmayacaktı. Aşağıdaki doğusal denklem sistemini he Gauss yöntemini de kullanaak ayı ayı çözünüz? Aşağıdaki doğusal denklem sistemini Gauss Eleme Yönt. ( : E) ile çözen MATLAB pogamını yazınız. x x x x x x 6 x x x x x x 6 x x x x x x 6 x x x x x 6 x x x x x x 8 6 x x x x x 6 Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ

36 solve komutu ile sembolik denklem çözümü Cebisel denklemlein sembolik olaak çözümünde kullanılı. solve( denk, denk,..., denkn ) çözümü yapılacak sembolik ifadeleden oluşan denklemle Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 6

37 solve komutu ile sembolik denklem çözümü - Önek - Aşağıda veilen elektiksel bi deveye ait doğusal denklem takımındaki akım değeleini solve komutu ile bulunuz? Komut penceesi % Denklemde ye alan sabitlein sembollele tanımlanması >> syms % Bilinmeyen akım değeleinin bulunması >> [,] solve('**','-**') -/7 6/7 Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 7

38 solve komutu ile sembolik denklem çözümü - Önek - Aşağıda veilen elektiksel bi deveye ait doğusal denklem takımındaki akım değeleini solve komutu ile bulunuz? Komut penceesi % Denklemde ye alan sabitlein sembollele tanımlanması >> syms % Bilinmeyen akım değeleinin bulunması >> [,,]solve('-*','**', '***') - Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 8

39 Denklem Sistemleinin Kullanıldığı Mühendislik Poblemi Öneği Lateation SS ile Konum Belileme Yöntemi İletişim otamında sinyalin aldığı yol boyunca çeşitli nesnele mevcut ise ve bu nesnele Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ 9

40 KAYNAKLA İlyas ÇANKAYA, Devim AKGÜN, Sezgin KAÇA Mühendislik Uygulamalaı İçin MATLAB, Seçkin Yayıncılık Steven C. Chapa, aymond P. Canale (Çev. H. Hepekan ve U. Kesgin), Yazılım ve Pogamlama Uygulamalaıyla Mühendisle İçin Sayısal Yöntemle, Liteatü Yayıncılık. Sehat YLMAZ, Bilgisaya İle Sayısal Çözümleme, Kocaeli Üniv. Yayınlaı, No:68, Kocaeli,. Ahmet TOPÇU, Bilgisaya Destekli Nümeik Analiz, OGÜ. Yüksel YUTAY, Des Notlaı, Sakaya Ünivesitesi Pof.D. Asaf VAOL, Des Notlaı, Fıat Ünivesitesi Fahi VATANSEVE, İlei Pogamlama Uygulamalaı,Seçkin Yayıncılık Doç.D. Cüneyt BAYLMŞ