ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ
|
|
|
- Ömer Terzioğlu
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedisik Mimrık Fkütesi İşt Mühedisiği Böümü E-Post: We: Bigisr Desteki Nümerik Aiz Ders otrı 0 Ahmet TOPÇ A m Üst üçge mtris At üçge mtris Kre mtris DENKEM SİSTEMİ ÇÖZÜMÜ, ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ DOOITTE CROT CHOESKY Mric Hsc Dooitte80-) Prescott Dr Crot 07-8) Adré-ois Choesk 87 8)
2 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY öümde verie idirgeme ötemi GASS oriji çözümüdür, ze sit GASS ötemi de deir Bsit GASS ötemi hem ktsır mtrisii hem de krşı trf vektörüü ı d değiştirerek ktsır mtrisi üst üçge o eşdeğer ir dekem sistemie döüştürür gmd ise, çoğ kez, krşı trf vektörüü idirgeme sırsıd değiştirimesi g omz Ktsır mtrisi ei ike krşı trf vektörü heüz iimior ve zm zm değişior oiir Çrpr ırm ötemeri A dekem sistemii A ktsır mtrisii A sğck şekide, ir ower) t üçge ve ir pper) üst üçge mtrisi çrpımı döüştürürer Çrpr ırm işemi sırsıd krşı trf vektörü i iimesie gerek oktr B ötemere göre A ei ise ve üçge mtriseri A ı eemrıd A ) eşitiği sğck şekide hespırr ve eiredikte sor de ei oc çözüm içi A erie ) Eşdeğer dekem sistemi kıır B içi ğıtısıd döüşümü pıır:, ) B döüşüm soc ktsır mtrisi üçge o şğıdki iki dekem sistemi oşr: de hespır, de erie kor ve hespır ) rd erie kor t üçge üst üçge A ktsır mtrisi t üçge üst üçge iimeeer vektörü krşı trf vektörü Ykrıd şğı doğr hesp pırk r Aşğıd krı doğr hesp pırk r
3 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY İk kışt ir erie iki dekem sistemii çözüeceği, işem sısıı d ktcğı sıiir B doğr değidir Çrpr ırm ötemi ie sit GASS ötemi rsıd gerçekte işem sısı çısıd hiçir frk oktr Tek frk, çrpr ırm sırsıd vektörüe gerek ommsıdır Çrpr ırm ötemeri, sit GASS idirgeme ötemii irz değişik şekidir, çok z frk ie irirerie çok ezerer gmd tercih kı DOOITTE, CROT ve CHOESKY ötemeri rd ee ıck, verimiş ir A mtrisii ve üçge çrprı sı rıcğı çıkcktır DOOITTE, metodd mtrisii ütü digo eemrı ii ıır, stırd pivot eem rır, gerekirse, koor er değiştiriir, ii 0 omsı sğır CROT metodd mtrisii ütü digo eemrı ii ıır, kood pivot eem rır, gerekirse, stırr er değiştiriir, ii 0 omsı sğır CHOESKY metod sdece simetrik ve pozitif tımı mtriser içi öze ir ötemdir, digo eemr ii ii, ii ii ıır ve T dr, pivot rm pımz DOOITTE metod A verimiş os, det A 0 omk ve ii ımk kdı A ğıtısı sğck şekide dımd hem hem de tüm eemrı eireeiir Mtris çrpım krıd rrrk, her dımd öce ir stırı sor i ir koo hespır Adım: A Adım: stırıı hesı: i stırı ÇARPI,,, koorıa ı stırıdır stırıı hesı: i stırı ÇARPI,,, koorıa ı stırıdır / / / i koo hesı: i,,, stırrı ÇARPI kooa ı koodr i koo hesı: i,,, stırrı ÇARPI kooa ı koodr ) / ) / ) / Adım: stırıı hesı: i stırı ÇARPI,, koorı A ı stırıdır i koo hesı: i,, stırrı ÇARPI kooa ı koodr ) / ) / Adım: stırıı hesı: i stırı ÇARPI kooa ı stırıdır i koo hesı: Mric Hsc Dooitte80-), Amerikı: 878 de ıdı Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0,
4 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 Gee formüer: dım:,,,, i dım: i stırı: i ij ij ik k j, j i,i +,, k i stırı A ı irici stırı ie ı i ikoo:, ii ji ji jk ki ) / ii k, j i +, i +,,, ii 0 i dım şemtik hesp: Koo değiştirme vektörü,,, i- dımrd hespmış stırrı i stırıı hesı: ij ij - Σ digoi sodki sırçarpi ij i üstüdeki sır ij i hespmk içi: Reki stır ve koodki sırı iriri ie çrp, top, ij de çıkr ve soc ij i odğ ere z i,,, i- dımrd hespmış koorı,,, i dımrd hespmış stırrı i stırıd pivot r dı Koo değiştirme vektörü Stırd pivot rm: ii 0 omıdır ii i mtk değerce çok küçük omsı d istemez Gerekirse koor er değiştirierek ii i mtk değerii mümkü o e üük sı omsı sğır B içi; stırd pivot r, ii, i,i+,, i eemrıd mtk değerce e üük oı B eem k kood ise i koo ie k koo değiştir Koo değiştirme vektörüü ı o koorıı d değiştir Koo değiştirme sısıı depodığı değişkei, dı p os, değerii rtır: pp+ Koo değiştirme vektörü,,, i dımrd hespmış stırrı i i koo hesı: ji ji - Σdigoi üstüdeki sır ÇARPI ji i sodki sır) BÖÜ ii i i dımd hespck koo ji i hespmk içi: Reki stır ve koodki sırı iriri ie çrp, top, ji de çıkr, ii digo eemı ö ve soc ji i odğ ere z Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 7
5 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 8 i digo eemrı, ii, depomz ve üçge mtriseri A ı üzerie depoır Digoi tıdki eemr e, digo ve üstüdeki eemr ittir Koo değiştirme vektörü Koo değiştirme vektörü çrpr ırm işemi sırsıd hgi koorı ererii değiştiği igisii içerir Arıc, her koo değişikiği determitı işretii değiştireceğide, kç def koo değiştiridiği de p gii ir değişkede depoır,,, eemrı çrpr ırm işemi sırsıd seçimiş pivot eemrdır Det Adet det dr det ve det -) p odğd Det A -) p dir Çrpr ırm işemii herhgi ir dımıd, öreği i dımıd, pivot eem mzs, i ii 0 ise, Det A0 dır A tekidir, rkı ri- dir, r stır ve koo doğrs ğımsız gerie k d-r stır ve koo doğrs ğımıdır Örek: 8 0 A,?,? 8 Mtrisi DOOITTE metod ie ve üçge çrprı rıcktır Çrpr ırm işemie şmd öce koo değiştirme vektörü,,, ie dodrr ve koo değiştirme sısıı skcğı p değişkei sıfırır [ ] A Koo değiştirme vektörü şgıç değereri p0 koo değiştirme sısı şgıç değeri) Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 8
6 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY Adım: [ ] Koo değişikiği pımdı, p0 stırı A ı stırı ie ı Stırdki mtk değerce e üük sı zte digode odğd koo değiştirmeğe gerek oktr i koo: digo tıdki sır pivot eem öüdü Adım: [ ] Koo değişikiği pımdı, p0 stırı: Digoi sodki sı rdki sıı üstüdeki sı ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı Stırdki mtk değerce e üük sı - zte digode odğd koo değiştirmeğe gerek oktr i koo: Digoi üstüdeki sı rdki sıı sodki sı ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı, soç pivot eem öüdü Adım: [ ] Koor değiştiriecek stırı: Digoi sodki sır rdki sıı üstüdeki sır ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı Stırdki mtk değerce e üük sı - pivot dıdır koo ie koo er değiştiriecek i koo: heüz hespmdı koo ie koo [ ] er değiştiridi, p [ ] Koo değişikiği sorsı stırı 0 0 i koo: Digoi üstüdeki sır rdki sıı sodki sır ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı, soç pivot eem öüdü Adım: [ ] 0 0 stırı: Digoi sodki sır rdki sıı üstüdeki sır ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0,
7 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, Soç: Koo değiştirme vektörü: [ ] Koo değiştirme sısı: p ve mtriseri: 0 0, Determit: Det A-) -) -) -) Rk A: r Doğrs ğımsız koo ve stır sısı: Doğrs ğımı koo ve stır sısırk rtığı): d-r-0 DOOITTE ie dekem sistemi çözümü: A mtrisii ve çrprı iidiğide frkı krşı trf vektörü dekem sistemeri doğrd krıd şğı doğr ve şğıd krı doğr hesp pırk çözüeiir Aşğıd iki örek verimiştir Örek :? A, A ktsır mtrisi krıd ve çrprı rımıştı: Ack; koor er değiştiridiği de tmmıdır Koo değişimi iimeeeri erii değiştirmek mıddır [ ] vektörü ve koorı değiştiridiğii göstermektedir B edee dekem sistemi ve ciside zıırs 0 0 A ' ' or Brd vektörü hespmk istee iimeeer vektörüü ve iimeeerii ereri değiştirimiş şekidir ' deirse, ğıtısıd, krıd şğı doğr hesp ie, r, ' ğıtısıd d, şğıd krı doğr hesp ie, r ve değişkeeri ereri değiştirierek r vektörü oştrr B dımr şğıd gmıştır: 0 0 ) ) 0) ) ) 0 X
8 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, ' ) / ) )) / ) ) / ) ) / ) ) Örek :? A, ' 0 ) 0/ 07 ) 0) / 0 0 ) 07) / )) / ) ) 8 0) 8 ) A ' '
9 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 CROT metod A verimiş os, det A 0 omk ve ii ımk kdı A A ğıtısı sğck şekide dımd hem hem de tüm eemrı eireeiir Mtris çrpım krıd rrrk, her dımd öce i ir koo sor ir stırı hespır Adım: Adım: i koo hesı: i,,,stırrı ÇARPI kooa ı koodr i koo hesı: i,,, stırrı ÇARPI kooa ı koodr / / / stırıı hesı: i stırı ÇARPI,,, kooa ı stırıdır stırıı hesı: i stırı ÇARPI,,, kooa ı stırıdır )/ ) / ) / Adım: i koo hesı: i,,, stırr ÇARPI koo A ı koodr stırıı hesı: i stırı ÇARPI,, kooa ı stırıdır ) / ) / Adım: i koo hesı: i stırı ÇARPI kooa ı stırıdır: stırıı hesı: Prescott Dr Crot 07-8), Amerikı: de ıdı Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 7
10 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 Gee formüer: dım:,,,, i dım: i ikoo: i ii, ji ji jk k i, j i,i +,, i istırı: ij ij ik kj ) / ii k, j i +, i +,,, ii 0 i dım şemtik hesp: Stır değiştirme vektörü k i koo A ı irici koo ie ı,,, i- dımrd hespmış stırrı i i koo hesı: ji ji - Σ digoi üstüdeki sır ÇARPI ji i sodki sır) ji i hespmk içi: i,,, i- dımrd hespmış koorı i i dımd hespck koo Reki stır ve koodki sırı iriri ie çrp, top, ji de çıkr ve soc ji i odğ ere z Stır değiştirme vektörü i ikood pivot r dı,,, i- dımrd hespmış stırrı Kood pivot rm: ii 0 omıdır ii i mtk değerce çok küçük omsı d istemez Gerekirse stırr er değiştiriir ii i mtk değerii mümkü o e üük sı omsı sğır B içi; kood pivot r, ii, i,i+,, i eemrıd mtk değerce e üük oı B eem k stırd ise i stır ie k stırı değiştir Stır değiştirme vektörüü ı o stırrıı d değiştir Stır değiştirme sısıı depodığı değişkei, dı p os, değerii rtır: pp+,,, i- dımrd hespmış stırrı i stırıı hesı: ij ij - Σ digoi sodki sır ÇARPI ij i üstüdeki sır BÖÜ ii ij i hespmk içi: Reki stır ve koodki sırı iriri ie çrp, top, ij de çıkr, ii digo eemı ö ve soc ij i odğ ere z i,,, i dımrd hespmış koorı Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 7
11 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 digo eemrı, ii, depomz ve üçge mtriseri A ı üzerie depoır Digo ve tıdki eemr e, digoi üstüdeki eemr ittir Koo değiştirme vektörü Stır değiştirme vektörü çrpr ırm işemi sırsıd hgi stırrı ererii değiştiği igisii içerir Arıc, her stır değişikiği determitı işretii değiştireceğide, kç def stır değiştiridiği de p gii ir değişkede depoır,,, eemrı çrpr ırm işemi sırsıd seçimiş pivot eemrdır Det Adet det dir det -) p ve det, odğd Det A -) p dir Çrpr ırm işemii herhgi ir dımıd, öreği i dımıd, pivot eem mzs, i ii 0 ise, Det A0 dır A tekidir, rkı ri- dir, r stır ve koo doğrs ğımsız gerie k d-r stır ve koo doğrs ğımıdır Örek: 8 0 A A?, 8? Mtrisi CROT metod ie ve üçge çrprı rıcktır Çrpr ırm işemie şmd öce stır değiştirme vektörü,,, ie dodrr ve stır değiştirme sısıı skcğı p değişkei sıfırır Stır değiştirme vektörü şgıç değereri, A p0 stır değiştirme sısı şgıç değeri) Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 7
12 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 Adım: i koo: A ı koo ie ı dı stırd, ve stırr değiştiriecek, kood pivot r 8 dı 0 8 Stırr değiştiriecek, 8 Stır değiştiridikte sor, p 0 8, stırı: Digoi sğıdki sır pivot eem öüdü Adım:, dı 08 8 Stırr değiştiriecek i koo: Digoi üstüdeki sı rdki sıı sodki sı ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı dı stırddır, ve stırr değiştiriecek, Stır değiştiridikte sor, p 08 8, stırı: Digoi sodki sı rdki sıı üstüdeki sı ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı ve pivot eem öüdü Adım:, i koo: Digoi üstüdeki sır rdki sıı sodki sır ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı eem stırd, ve stırr değiştiriecek dı, Stır değiştiridikte sor, p , stırı: Digoi sodki sır rdki sıı üstüdeki sır ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı ve pivot eem öüdü Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 7
13 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 Adım:, i koo: Digoi sodki sır rdki sıı üstüdeki sır ie çrpıdı, rdki sıd çıkrtıdı Soç: Stır değiştirme vektörü:, Stır değiştirme sısı: p ve mtriseri: , Determit: Det A-) -0) Rk A: r Doğrs ğımsız koo ve stır sısı: Doğrs ğımı koo ve stır sısırk rtığı): d-r-0 CROT ie dekem sistemi çözümü: A mtrisii ve çrprı iidiğide ktsır mtrisi A o frkı krşı trf vektörü dekem sistemeri doğrd krıd şğı ve şğıd krı hesp pırk çözüeiir Aşğıd iki örek verimiştir Örek : A 8 0,? 8 A ktsır mtrisi krıd ve çrprı rımıştı: Ack; stırr er değiştiridiği de tmmı, çözüme şmd öce sğ trf vektörüü stırrı değiştirimeidir Stır değiştirme vektörü [ ] T odğd, sğ trf vektörü [ - - ] T erie ' [ - - ] T sistemi ve ciside zıırs ımıdır B edee dekem A ' ' Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 7
14 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 77 or deirse, ' ğıtısıd, krıd şğı doğr hesp ie, r, de de, şğıd krı doğr hesp ie, r B dımr şğıd gmıştır / 7 7) / 0) 88 ) ) 88) / ))/ ) 07) ) ) 0008) 0 8 ) Örek : 8 A 8 0 0,? 8 Stır değiştirme vektörü [ ] T odğd, sğ trf vektörü [ 8 0 -] T erie ' [ 0-8 ] T edee dekem sistemi ve ciside zıırs ımıdır B A ' ' / ) / 0) 788 ) ) 788) / ) ) / Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 77
15 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY ) ) ) ) CHOESKY T metod CHOESKY metod sdece simetrik ve pozitif tımı mtriser içi öze ir ötemdir Bsit, ümerik çıd sti, eek gereksiimi düşük ve progrmmsı kodır rmk, stır ve koo değiştirmek gerekmez Simetrik pozitif tımı mtris edir? Mekik tım Mtemtik tım: Simetrikik koş AA T dir Eemrıı e z iri sıfırd frkı o, dışıd tmme kefi ir 0 koo vektörü os P T A çrpımı sit ir sı or Eğer P>0 ise A pozitif tımıdır positive defiit) P<0 ise A egtif tımıdır egtive defiit) P 0 ise A rı pozitif tımıdır positive semidefiit) P 0 ise A rı egtif tımıdır egtive semidefiit) deir Herhgi ir mtrisi pozitif tımı op omdığıı geede mtrisi görüümüde mk sit değidir Çoğ kez mtrisi mekik mı ormrk krr verieiir Öreği, so eemr metod dege dekemerii ktsır mtrisii ve e küçük kreer metod ktsır mtrisii dim pozitif tımı odğ iimektedir Öreker: A 0 0,, p T A 0 0 [ ] + odğd, 0 ve 0 odğ sürece p>0 dır, doısı A pozitif tımıdır 0 T 0 B,, p B 0 0 dır 0 ve 0 içi p 0 ocğıd B pozitif tımı değidir Mekik tım: P ½) T A [ ] + ğıtısı mekikte depomış şeki değiştirme eerjisidir Şeki değiştirme eerjisi dim pozitif odğd p>0 dır Örekemek gerekirse, so eemr metodd sistemi go düğüm er değiştirme vektörü depsm vektörü), A sistemi go rijitik mtrisidir A dim simetrik, i AA T dir P sistemde depomış şeki değiştirme eerjisiiç kvveteri işi) mıddır ve dim pozitiftir Doısı A mtrisi de dim pozitif tımıdır B prtik mı şdr A ı digo eemrı dim pozitiftir ve CHOESKY metod ie üçge çrpr ırm işemi sırsıd dim pozitif kırr Digo eemrd iri egtif ve sıfır ors sistem idir d rijitik mtrisi htı krmştr, çözüm mz mı geir Adré-ois Choesk 87 8), Poo sıı Frsız: Çışmsıı 0- civrıd hzırdığı sımktdır Dü svşıd ödü Çışmsı öümüde sor, de ıdı Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 78
16 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 7 CHOESKY metodd A üçge çrprıı digo eemr ii ii, ii ii ıır Simetride doı T ve T dr Simetrik ve pozitif tımı A mtrisi A T sğck şekide üçge çrprı rıır dımd tüm eemrı eireeiir Mtris çrpım krıd rrrk, her dımd ir stırı hespır T A T A dım / / / stırıı hesı: T i stırı ÇARPI,,, koorı A ı stırıdır dım ) / ) / stırıı hesı: T i stırı ÇARPI,,, koorı A ı stırıdır dım ) / stırıı hesı: T i stırı ÇARPI,, koorı A ı stırıdır dım stırıı hesı: T i stırı ÇARPI koo A ı stırıdır Kkrd A T, A T, A T, A T şeki de de gösteriir, hepsi de ı mddır Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 7
17 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 80 Gee formüer: dım:,, /,, / /, >0) idım: Digo eem: ii ii i k Digoi sğıdki eemr: ik i k, kök içideki ifde>0 omı) i ij ij ikkj) / ii, j i +, i +,, k i dım şemtik hesp:,,, i- dımrd hespmış stırrı i digoii hesı: ii ii - Σ digoi üstüdeki sırı KARESİ) ii i hespmk içi: Reki koodki sırı kresii ii de çıkr, soc kreköküü ve soc ii i odğ ere z i stırıı hesı: ij ij - Σ digoi üstüdeki sır ÇARPI ij i üstüdeki sır) BÖÜ ii ij i hespmk içi: Reki ögedeki sırı çrp, ii de çıkr, digo eem ö ve soc ij i odğ ere z A ı sdece digoi ve üstüdeki sırı depoır üçge mtrisi A ı üzerie depoır T depomz Çrpr ırm işemii herhgi ir dımıd, öreği i dımıd ii i ik k i k 0 ise, krekök ımz, işeme devm ediemez B drm, A ı pozitif tımı omdığı mıddır Det Adet T det dr det A or Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 80
18 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 8 Örek: A 7 7 7, 7 A T? 7 7 A ı sdece digoi ve üstüdeki sır ie çışıck Digo tıdki sır kımcğı içi zımdı Simetrik mtrisi CHOESKY metod ie T ve üçge çrprı rıcktır A ı pozitif tımı odğ iidiği vrsımktdır Adım: i hesı: i krekökü ııp r zıdı 7 7 j i hesı: Brdki ij sırı e öüdü Adım: i hesı: digoi üstüdeki sırı kreeri rdki de çıkrtıdı, krekökü ıdı ve r zıdı 7 j i hesı: digoi üstüdeki sı j i üstüdeki sı ie çrpıdı, j de çıkrtıdı, e öüdü ve soç r zıdı Adım: ü hesı: digoi üstüdeki sırı kreeri rdki de çıkrtıdı, krekökü ıdı ve r zıdı j i hesı: digoi üstüdeki sır j i üstüdeki sır ie çrpıdı, j de çıkrtıdı, e öüdü ve soç r zıdı Adım: ü hesı: digoi üstüdeki sırı kreeri rdki de çıkrtıdı, krekökü ıdı ve r zıdı Soç: T T A, A Pozitif tımıdır: Çükü ii digo eemrı hespırke krekökü ıck sır pozitif kmıştır Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 8
19 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, Determit: Det ADet T det 00 CHOESKY ie dekem sistemi çözümü: A mtrisii T ve çrprı iidiğide ktsır mtrisi A o frkı krşı trf vektörü dekem sistemeri doğrd krıd şğı ve şğıd krı hesp pırk çözüeiir Aşğıd ir örek verimiştir Örek:? A, ,? A T, T 7 0 / ) ) / ) ) ) / ) 7 / / / ) / ) ) ) / ) ) Determit hesı Bir A mtrisii determitıı tımı, ksik hesp metotrsrrs, Chio, pce) ve determit özeikerie öüm de er verimişti Arıc, öüm d verie A çrpr ırm metodrıd Dooitte, Crot, Choesk) det A ı Dooitte metodd: det A -) p Crot metodd: det A -) p ) Choek metodd det A ie hespcğı gösterimişti Brd p stır ve koo değiştirme sısıdır Determitı değeri çözümü vr op omdığı işret eder Det A 0 ise çözüm vrdır, det A0 çözüm oktr ve irde çok çözüm vrdır k: öüm, sf ) Determit mtrise it igiç ir sıdır Hem çok öemidir hem de hespmkt özee kçıırız Geeike dekem sistemii çözerke sdece kotro mcı kırız B kotro ifdeerideki ii ve ii digo eemrıd herhgi irii sıfır op omdığı kotro edierek pıır Herhgi iri sıfır ise determit sıfırdır T
20 ÇARPANARA AYIRMA YÖNTEMERİ: DOOITE, CROT VE CHOESKY 8 Determit hespcks ümerik sor çıkieceği iimeidir Dekem sistemi çok üük ise deki digo eemrı iriri ie çrpımı sı tşmsısıı igisr irim eeğie sığmmsı) ede oiir! Bsit ir örek vereim: Crot metodd dekem sısıı 00, p, i tüm digo eemrı iririe eşit ve odğ vrsım de: det A-) gii çok üük ir sı orvrmış det A ) gmd krşışı üük dekem sistemeride 00000, oidiğie göre, deki ifdeerde determitı hespmsıı sı tşmsı ede ocğı progrmı çıkmz gireceği, ekide igisrı kiiteeceği) çıktır Determitı hespmsı zor o ir drmd, det A ı doğrd deki ifdeerde deği Det A -) p s t ğıtısı göre sdece s ve t sırıı hespmk sı tşmsıı öer Brd s gerçek sı, t tmsı değişkeidir s ve t değererii hesp sit ir BASIC progrmı prçsı verimiştir REM Determit içi s ve t i eire Wikiso ) s t 0 Bsit Gss, Dooitte, Crot metotrıd t ve üst üçge mtrisi FOR i TO digo eemrı A mtrisii digoide depomıştır s s * i, i) Choesk metodd d drm ıdır, ck Choesk metodd 0 t t + stır s s * i, i)^ ork değiştirimeidir IF ABSs) > THEN s s *00 : GOTO 0 0 t t - IF ABSs) <00 THEN s s * : GOTO 0 NEXT i rı: s ve t değereri erie kork progrmd det A -) p s t değeri hespmmıdır Aksi hde gee sı tşmsı ocktır s ve t progrmd eiredikte sor, det A-) p s t değeri progrm dışıd, Mthemtic ve MATAB ie d öze ir progrm ie, hespiir Jmes Hrd Wikiso 8), İgiiz T D ve T D çrpr ırm ötemi T D ve T D) ötemi simetrik mtriser içi ve Choesk metod irz frkı şekidir Mtrisi pozitif tımı omsı gerekmez Simetrik A mtrisi A T D ock şekide digo eemrı o üst üçge ve D dio mtrisie döüştürüür ve D şğıdki ğıtı sğck şekide eireir T D A d d d d T D A T D ötemi zı proemeri çözümüde dh g omktdır Yötemi detrı rd verimeecektir Ahmet TOPÇ, Bigisr Desteki Nümerik Aiz, Eskişehir Osmgzi Üiversitesi, 0, 8
DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)...
ÜNİTE GERÇEK TOPLAM SAYI ÇARPIM DİZİLERİ ARİTMETİK SEMBOLÜ DİZİ Böüm Dizier GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER DİZİLER..................................................................
DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )
. BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,
BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1
SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie
DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi
DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı
DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris
DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii
SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SYISL ÇÖZÜMLEME SYISL ÇÖZÜMLEME 6. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ İÇİNDEKİLER Doğrusl Deklem Sistemlerii Çöümü Mtrisi Tersi ile Bilimeyeleri Bulm Örek uygulm MTLB t mtrisi tersii (iv komutu) lm Crmer Yötemi
Nümerik Analiz A A -1 =I. Bilgisayar Destekli. Ders notları TERS MATRİS HESABI GAUSS-JORDAN tekniği. m=n
ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİESİ Mühedislik Mimrlık Fkültesi İşt Mühedisliği Bölümü EPost: ogu hmettopcu@gmilcom We: http://mmfoguedutr/topcu Bilgisyr Destekli Nümerik liz Ders otlrı hmet OPÇU m Kre mtrisi
(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü
FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI (DERS NOTLARI) Hzıry: Prof.Dr. Orh ÇAKIR Akr Üverstes Fe Fkütes Fzk Böümü Akr 7! İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER DENKLEM
2. Geriye doğru Yerine Koyma (Back Substitution): Bu adımda, son denklemden başlayarak herbir bilinmeyen bulunur.
Guss Elimisyou Lieer deklem sistemlerii çözmede kullıl e popüler tekiklerde birisi Guss Elimisyou yötemidir. Bu yötem geel bir deklemli ve bilimeyeli lieer sistemi çözümüe bir yklşım getirmektedir....
MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]
![MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]](/thumbs/57/40722092.jpg "MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]")
3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2
ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ
ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Mühendisliği Bölümü E-Post: ogu.hmet.topcu@gmil.com Web: http://mmf2.ogu.edu.tr/topcu Bilgisyr Destekli Nümerik Anliz Ders notlrı 204
7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu
LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.
![LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.](/thumbs/63/48686411.jpg "LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.")
LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;
İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ
Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce
ÜSLÜ SAYILAR. (-2) 3 = (-2). (-2). (-2) = (-8) Kuvvet Tek; NEGATİF. (-2) 4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = 16 Kuvvet Çift; POZİTİF.
SINIF ÜSLÜ SAYILAR www.tyfuolcu.co Üslü Syı : ifdesi ı te çrpıı lı gelektedir. =.... te =.. = 8 =. = 4 =. = 9 4 =... = 81 10 6 = 10.10.10.10.10.10 Teel Kvrlr ile. ifdeleri çok sık krıştırıl ifdelerdeir.
6. DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNE MATRİS YAKLAŞIMI
6. DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNE MATRİS YAKLAŞIMI Y i β + β X i + β X i + + β k X ki + i (i,,, gibi çok çıklyıcı değişkee ship bir model, şğıdki gibi bir eşlı deklem modelii göstermektedir. Y β + β X + β
8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com
III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel
ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1
ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 1) ( y) (y ) ifdesinin çrpnlrındn biri şğıdkilerden hngisidir? A) y B) y C) y D) y E) y 1) ( y) (y ) ifdesini düzenleyip, ortk prnteze lmy çlışlım. ( y) (y ) ( y)( y) (
( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =?
Üslü Sılr. +.4 8 (8) 4. ( ) (. ). ( ) 4 6 ( ) :( ) () + + 5..4. ( ) ( ) () 4. 5 5 ( 4 9 ) 5. 9 + + 9 = + eşitliğini sğln değeri kçtır (0) 6. ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 : 4,9 (-6) 4 8.. c 7. 4.. c ( c ) 8. 6 8
Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı
Trce ve Kellogg Yöemleri Kullılrk İegrl Operörlerii Özdeğerlerii Nümerik Hesı Erk Tşdemir () ; Yüksel Soyk () ; Melih Göce (3) (¹)Kırklreli Üiversiesi, Kırklreli, Türkiye, erksdemir@homil.com (²)Büle Ecevi
ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR
YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.
AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ
AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................
YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1
YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS-YGS Böle: i,( 0 ÜSLÜ İFADELER R ve Z olk üzere te ı çrpıı deir. ii, (b 0 b b... te Not:.... dır. te... 0 ve... 0. 0 te 0 te ÜSLÜ ÇOKLUKLARLA İLGİLİ ÖZELLİKLER
Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?
![Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?](/thumbs/86/94489430.jpg "Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?")
1 Mrkov ve Chebychev Eşitsizlikleri Pr [ ] = 1 Pr [ < ] = 1 f ( ) dx = 1 () x dx F Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) Wht if ot kow? bilimiyor olbilir r.d. i sdece ortlmsıı ve vrysıı bildiğimizi vrsylım. Ortlm
Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.
SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI
SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Yrd Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL 6 İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN
= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK:
ERİLER Cebir kurllrı ile ck olu te yıyı toplybiliriz. Bu krşılık mtemtik de ouz yıd yıı toplmı ile de ık ık krşılşmktyız. Öreği; 3 yııı odlık çılımı; 3 3 3 = 0,333... = + + +... gibi bir ouz toplmdır.
ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ
ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü E-Posta: oguahmettopcu@gmailcom We: http://mmf2oguedutr/atopcu Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz Ders notları
MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş
MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER Bhr 2005-2006 Hft Bu Hft Özet Ders Hkkıd Geel Bilgiler Mtris işlemlerie giriş 2 Öğretim Üyesi: Öğr. Gör. Od No: 442, Tel: 293 3 00 / -- E-mil: ltuger@itu.edu.tr Ders Stleri: Slı
TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER
TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:
Cebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü
6 Ceirsel ifdeler ve Özdeslik Föyü KAZANIMLAR Bsit ceirsel ifdeleri nlr ve frklı içimlerde yzr. Ceirsel ifdelerin çrpımını ypr. Özdeslikleri modellerle çıklr. 06 8. SINIF CEBiRSEL ifadeler VE ÖZDESLiK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei
İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI
![İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI](/thumbs/59/44094502.jpg "İNTEGRAL 6 RİEMANN TOPLAMI : ALT TOPLAM,ÜST TOPLAM VE RİEMANN ALT TOPLAM ÜST TOPLAM. [a, b] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI")
[, ] R ARALIĞININ PARÇALANIŞI VE RİEMANN TOPLAMI f : [, ] R sürekli ir foksio olsu. Bu [,] kplı rlığı = <
a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade
ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..
İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel
6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ
ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİESİ Müendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müendisliği Bölümü E-Post: ogu.met.topu@gmil.om We: ttp://mmf.ogu.edu.tr/topu Bilgisyr Destekli Nümerik nliz Ders notlrı met OPÇU n>m 8 8..
II. DERECEDEN DENKLEMLER
ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı
2.2. İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı Hareketli Yük Tipleri
2.2. İzosttik Sisteerin Hreketi Yükere Göre Hesı 2.2.1. Hreketi Yük Tiperi Sistee etkiyen hreketi yük ork şğıd gösterien dört tip yük ktrı göz önüne ınktdır. 1. Tip hreketi yük: Sistein ir kısını vey tını
Koniklerin Simetrileri, Odak Noktalar ve Do rultmanlar Ali Nesin* / Engin Yard mc ** /
Mtemtik Düns, 005 Yz Kpk Konusu: Koniker Konikerin Simetrieri, dk Noktr ve Do rutmnr i Nesin* / nesin@igi.edu.tr Engin Yrd mc ** / enginrdimci@hoo.co.uk Bir önceki z d, düzemde, do rutmn denien ir do rusun
ö ç İ ç ç İ ö Ö ö ç İ İ Ö İ ç ç ç ç ç İ İ İİ İ ç İ ç ç ç ç ö ö ç ç İ İ ö İ Ş İ İ İ Ğ ö Ç İ Ö ç Ş ö İ İ Ş Ş ö İİ Şİİ İ İ ç Üİ ç ö İ ö ö ç ö ç İ
İ İ İ İ Ö İ ç İ ö İ ö ö ç İ ö ç ç ö ö İç ö ç ö ö ö ö ç ç ö ö ç İ İ ç ö ç İ ç İ İ ö ö ö ö ç ç ö ö ç ö ç ö ç İ ç ç İ ö Ö ö ç İ İ Ö İ ç ç ç ç ç İ İ İİ İ ç İ ç ç ç ç ö ö ç ç İ İ ö İ Ş İ İ İ Ğ ö Ç İ Ö ç Ş ö
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...
BÖLÜM 3 3. REGRESYON İÇİN MATRİS VE VEKTÖR CEBRİ 3.1 VEKTÖRLER VE MATRİSLER
BÖLÜM. REGRESYON İÇİN MRİS VE VEKÖR CEBRİ Bölüm de, doğrusl regreso tek değişkeli sit model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm 4 de ise çok değişkeli (k değişkeli) model içi giriş pılcktır. Çok değişkeli modelde
7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ
Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece
IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR
Bölüm 1 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR Bir öceki bölümde bir yüzeyi oktalar yeterice küçük kom³uluklaryla ilgileebildik. Bu prosesi soyut realizasyou içi, souçta bizi diferesiyelleebilir maifold
1981 ÖYS. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın. ü satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığı- 3. na göre, kumaşın tümü kaç metredir?
98 ÖYS. Bir top kumşı öce i, sor d klı ü stılıyor. Geriye 6 m kumş kldığı- göre, kumşı tümü kç metredir? 70 6 60 0., y pozitif iki tmsyı olmk üzere, (+y)(-y)=88 dir. Bu eşitliği soludki çrplrd üyüğü, küçüğüü
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI 6. SINIFLAR TEST SORULAR ve YANITLAR
1) 2, 8, 26, 80... şeklideki ir syı örütüsüde 30. teri kçtır? A) 3 30 + 1 B) 3 30 1 C) 2 30 1 D) 2 30 + 1 5) Adylrı oy kulldığı ir seçide 889 öğrei oy kullktır. Seçie ktıl 8 dyd irii kzilesi içi e z kç
Matrisler Elementer Satır İşlemleri Gauss Eliminasyon
Mtrisler Elementer Stır İşlemleri Guss Eliminson Mtrisler ve Stır İşlemleri Bir mtris dikdörtgen sılr tblosudur. Alt indisler girdilerin erini belirler. stır mn stır A m m m n n n mn Mtrisler boutlrı ile
a R, n tek ve Örneğin, a, b R + ve m, n Z + olmak üzere; 1. n a b a b dir. 2. n m n m a a n n n 5. m n m 6. 0 a b n a n b dir. Örnek 4.
Bölü. Köklü Syılr Muhrre Şhi. Köklü Syılr.. Köklü Syılrı Tıı Bu bölüde, kök dediğiiz sebollerle gösterile gerçek syılrı köklü syılr olrk tıtck ve bulrı gerçek syılrı rsyoel kuvvetleri olduğuu göstereceğiz.
İ Ş İ İ ş ş ğ ç ğ ş ç ç ğ ç ğ Ç ö ç şi İ ç ç ş ğ ç ğ ç ç Ç ğ ö ğ İ ç ğ İ İ ğ ş ğ ğ ş öş ç ç ç ğ İ ş ğ İ ğ ç ç Ğ ş öş Ğ ç ç ç İ ğ ş ğ İ Ş ğ İ ğ ç ç İ Ğ
İ Ş İ İ ş ş ğ ç ş ş ğ ğ ğ İ ğ İ İ ğ ş ğ ö ğ İ «ş ğ ş İ Ş ş ğ ş ş ğ İ ş ğ Ş İ Ş ş İ Ş ş Ş İİ Ş ş İ ğ Ş ö ş ö İ Ü Ü İ ö İ ş ç ğ ş çi ö ğ ç ş ç ö ğ ş ö ğ ç ş ğ ş ğ ş İ ö İ İ ö İ İ ç ş ş ö İ Ö ğ ş ğ İ ğ ş
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ
C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 5 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ Öğr. Gör. Dr. Mehmet Ali ALAN Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Öğr. Gör.
9. log1656 x, log2 y ve log3 z
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Logritm Alm Kurllrı Dersin Konusu. log4 loge ln4 işleminin sonucu kçtır? D) ln E) ln 6. olduğun göre, 8 9 log 9 4 ifdesi nee eşittir? D) E). log
Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: ÖR: 3x 2-4x cebirsel ifadesine göre aşağıdaki. Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: Terimler: Sabit Terim:
08 8. SINIF CEBiRSEL ifade VE ÖZDESLiK Ceirsel İfde:En z ir ilinmeyen ve ir işlem içeren ifdelere ceirsel ifdeler denir. Terim ÖR: x 2 -y+5 ceirsel ifdesine göre şğıdki sorulrı cevplyınız.. 2x + 3y - 5
LYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?
GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1
IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ
LYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8
SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI
YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d
Çözümlü Diferansiyel Denklemler
Çözümü Diferasiye Dekemer Editör: Prof. Dr. Ada BAKİ Yazarar: Prof. Dr. İhsa ÜNVER Öğr. Gör. Cema YAZICI 3. Baskı Editör: Prof. Dr. Ada BAKİ Yazarar: Prof. Dr. İhsa ÜNVER - Öğr. Gör. Cema YAZICI ÇÖZÜMLÜ
ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ
ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedislik Mirlık Fkültesi İşt Mühedisliği Bölüü EPost: oguhettopcu@gilco We: http://foguedutr/topcu Bilgisyr Destekli Nüerik Aliz Ders otlrı Ahet TOPÇU + + + + + + + +
GRUP TANIMLAYAN BAZI YARIGRUP VE MONOİD TAKDİMLERİ* Some Semigroup and Monoid Presentations Defining a Group*
GRU TANIMLAYAN BAZI YARIGRU VE MONOİD TAKDİMLERİ* Soe Seigroup d Mooid resettios Defiig Group* Bsri ÇALIŞKAN Ç.Ü. Fe Biieri Estitüsü Mteti Abii Dı Firet KUYUCU Ç.Ü.Fe Edebit Fütesi Mteti Böüü ÖZET Bu çışd
Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler
www.mustfygci.com.tr, 4 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Eşitsizlikler S yılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler
DUYURU. o f. I n t. r n. o n. ı z. P o. 19 Mayıs Mah. 19 Mayıs Cd. Nova Baran Plaza No:4 Kat:21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE
T ULULRR DENETİ VE....Ş. K Th: 12.12.2014 y: 2014/20 Ku: DUURU 19 y h. 19 y. Nv B N:4 K:21 Şş-İu / TÜRKİE Kv İ L Çk / İp E Tp Dkç İ O V İşk Duyuu Ö: KDV İ K Rp uş h g cy (KDV gş kyk) ük İ Vg D gök y p
1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?
988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?
İ ğ Ü İ İ İ İ İ İ İ İğİ ö ö Ş İ Ş İ İ İ İ İ ÖÜ Ü ö Ü ğ ğ ö Ü ğ ğ ğ
İ İ İ İ İ ö Ç Ç İ ğ Ü İ İ İ İ İ İ İ İğİ ö ö Ş İ Ş İ İ İ İ İ ÖÜ Ü ö Ü ğ ğ ö Ü ğ ğ ğ ğ Ü İ İ İ İ İ İ İ ğ İ ö İ ö Ş ö ğ ö Ş İ Ş Ç ö Ç ö Ç ğ ö ğ ö ö ğ ö ğ ö ö ğ ö ö ö ğ ğ ö ğ ğ ğ İ İİ İ İ İ İ İ İİ İğ İ öi
DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ
A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç
Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu
Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in
Metropol Yayınları YÖS 2009 Metropol Publications
> > etropol Yınlrı YÖS 009 etropol Pulictions. ve. sorulrd, gruptki kümelerin şekilleri irer rkml gösterilerek I gruptki sılr elde edilmiştir. Soru işretile elirtilen kümenin hngi sıl gösterildiğini ulunuz.
TEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,
Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b
Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.
Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:
İntegral Uygulamaları
İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim
İNTEGRAL KONU ANLATIMI ÖRNEKLER
İNTEGRL KONU NLTIMI ÖRNEKLER Ġtgrl lmk, türi ril ir oksio lmk tır d,, d oksio olrk rildiğii =F i istdiğii rslım d içi i cid idsi: d = + dir, hrhgi ir sit df d koģl sğl = F oksio i gör itgrli dir d F içimid
En iyi donanımlı yatlarla en iyi hizmet
Bi Cruisr 00 + TH Dufour r'lg 0 Kopri + TH KP Fi Döri 0 Oc is is M M Hz Hz ADB 0-0 Tm p B Pr Pr Y A Ti Y A Y / Hf Kim / Ism 0 Kirm Fi Lis 0 Ks Ar Ei 0 Ks E Ei Br 0 -.0.0.0.0.0 MI.0.0.0.0.0 Oc Smos 0 0
SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI
SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Yrd Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI
RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere
RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0
RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir
RASYONEL SAYILAR 0 ve, Z olmk üzere şeklindeki syılr rsyonel syı denir. 0 0 tn ımsız 0 0 elirsiz 0 sit kesir ileşik kesir Genişletilerek vey sdeleştirilerek elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Sıfır
U MK E K A MP Ç IL IK E Ğ T İ M İ İ 2008
U MK E K A MP Ç I L I K E ĞİT İMİ 2008 K A MP Y E R İ S E Ç İMİ V E Ö ZE L L İK L E R İ (Y A Z OP E R A S Y ON L A R I ) U L A Ş I M İÇ İN A R A Ç V E Y A Y A Y A Y OL U N A Y A K I N OL MA L I D I R.
BİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.
IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }
Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri
6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme
SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI
SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL 7 İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI
Sonlu kanat Teorisi Açıklık oranıküçük kanatlar etrafındaki akımın fiziksel yapısı
Sou kt Teor çıkık orıküçük ktr etrfıdk kımı fke pıı çıkık orı küçük (R < -5 ktr çıkık orı büük (R > -5 ktr UCK5 erodmk der otrı UCK5 erodmk der otrı çıkık orıküçük ktr etrfıdk kımı fke pıı çıkık orıükek
2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ
DERS: MATEMATİK II MAT II () ÜNİTE: BELİRLİ İNTEGRALLER KONU:. ARALIKLARIN PARÇALANMASI. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER. semolü ve temel toplm ormülleri. Limiti temel
TEST lk durumda terazi. 6. I. durumda, KÜTLE, A IRLIK VE Efi T KOLLU TERAZ. Denklem 2 yi denklem 1 de yazarsak 2P = (6+P) m = 30 g olur.
ÜTE, A IRI VE Efi T OU TERAZ TEST - 1 1. 2 3 Z Denkem 2 yi denkem 1 de yazarsak 2P = 2.2 + (6+P) P = g I. yarg kesinike do rudur. fieki- I deki terazinin dengesinden, = 2.1 + = + 2 g Buradan, m > m dir.
c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.
FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle
ü İ ı ü İ ı İ üı İ ı ı ığı ı ı ı İ ü ü ü ı Ç İş İ ı ı ş ş ç ı ı Ü ı ı Ü ş ğı ç İ İ ö ü ü ı ı Ü ığı ı Ü ğı ı ş ü ü ü ğ ı ü ü ü ç ı ı ı ı Ü Ü ı ü ü ü ı çı ü öğ ç ü ü öğ ğ ıı ü ş ı ı ğ öğ ı ı ı öğ ş ığı ı
5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1
Üstlü Sılrd İşlemler, Üstel Fonksion BÖLÜM 0 Test 0. 7 7 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir?. 6 olduğun göre, ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 9 6 A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E)
Yer ata tıyor. or. etiliy adar hızla ar aynaklı değil; Big D Rastlantının Bittiği ernet k ânsız hale aklar tarafından ür ylaşılan bilgiler de
Böç E R Y ğ B B D. ; o ğ o. ü z. ğ ç om f z üm öm c ş mâ ö ç ç ğ f v u v p ç oom çğ c ö p u mo ü z oo j, o o f,, o ğ m ğ. m ş m o öü m j o. ş uuu uc z u ü u f öc üv oo üşü üm şm ç ö z, f üz Fc o ö m çö
yasaktır. Öğrenci İmza:
YTÜ Fizik ölümü 08-09 hr Dönemi Sınv Trihi: 9.0.09 Sınv Süresi: 90 dk. FIZ00 FİZİK-.rsınv YÖK ün 47 sılı Öğrenci Disiplin Yönetmeliğinin 9. Soru Kitpçığı d-sod Öğrenci No Grup No ölümü Sınv Slonu Öğretim
İlişkisel Veri Modeli. İlişkisel Cebir İşlemleri
İlişkisel Veri Modeli İlişkisel Cebir İşlemleri Veri işleme (Mnipultion) işlemleri (İlişkisel Cebir İşlemleri) Seçme (select) işlemi Projeksiyon (project) işlemi Krtezyen çrpım (crtesin product) işlemi
GELECEĞİ DÜŞÜNEN ÇEVREYE SAYGILI % 70. tasarruf. Sokak, Park ve Bahçelerinizi Daha Az Ödeyerek Daha İyi Aydınlatmak Mümkün
www.urlsolar.com S L D-S K -6 0 W ile 1 5 0 W St an d art S o kak L a m ba sı F iya t K arşılaşt ırm a sı kw h Ü c reti Yıllık Tü ke tim Ü cre ti Y ıllık T ü ketim Fa rkı kw Sa at G ü n A y Stan d art
E³tszlkler Ders Notlar-I
E³tszlkler Ders Notlar-I wwww.sbelia.wordpress.com E³itsizlikleri çözerke sklkla saylar ve matematiksel ifadeleri kar³la³trrz. Yada bize verile bir matematiksel ifadei e büyük yada e küçük de erii bulmaya
SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 :
SAYILAR SAYI KÜMELERİ RAKAM S yı l r ı i f d e e t m ek i ç i n k u l l n d ı ğ ı m ız 0,,,,,,6,7,8,9 semollerine rkm denir. DOĞAL SAYILAR N={0,,,...,n,...} k üm e s i n e d o ğ l s yı l r k üm e s i d
DENEY 2 Wheatstone Köprüsü
0-05 Güz ULUDĞ ÜNİESİTESİ MÜHENDİSLİK FKÜLTESİ ELEKTİK-ELEKTONİK MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ EEM0 Elektrik Devreleri Lorturı I 0-05 DENEY Whetstone Köprüsü Deneyi Ypnın Değerlendirme dı Soydı : Deney Sonuçlrı (0/00)
Okaliptüs Ağaçlandırmaları İçin Uyumlu Gövde Çapı ve Gövde Hacim Modellerinin Geliştirilmesi
I. Us Akdez Orm ve Çevre Sempozym 6-8 Ekm 0, Khrmmrş Okptüs Ağçdırmrı İç Uym Gövde Çpı ve Gövde cm Modeer Geştrmes Rmz ÖÇELĠK s ALKAN SDÜ Orm Fkütes, Orm Mühedsğ Böümü, Isprt rmzozcek@sd.ed.tr, hsk@sd.ed.tr
Bilgisayar Destekli Tasarım/İmalat Sistemlerinde Kullanılan Modelleme Yöntemleri: Bézier ve Tiriz Eğrileri ve İmalat Uygulamaları
Bilgisr Destekli Tsrım/İmlt Sistemlerinde Kllnıln Modelleme Yöntemleri: Béier ve Tiri Eğrileri ve İmlt Uglmlrı Bilimsel Hesplm II Dönem Projesi Hmdi Ndir Trl İçerik. Giriş. Bilgisrlı Destekli Tsrım (CAD
YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA
YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU ANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Fonksionlr... Polinomlr... II. Dereceden Denklemler... 7 II. Dereceden Fonksionlrın Grfiği (Prbol)... 7 Krmşık Sılr... 9 Mntık...