MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar

Transkript

1 MIT Açık Des Mlzemesi İsttistiksel Meknik II: Alnlın İsttistiksel Fiziği 28 Bh Bu mlzemeye tıft bulunmk ve Kullnım Ştlımızl ilgili bilgi lmk için ve siteleini ziyet ediniz.

2 İsttistiksel Meknik Des otlı VII.B XY Modelinde Topolojik Kusul Önceki bölümde belitildiği gibi, kıılmış süekli simetisi oln iki boyutlu sistemlede, Goldstone modlının teml uyılmlı, kendiliğinden düzeni yok edele. Doğusl olmyn σ- modelinin RG incelemesi, n-bileşenli spinlein geçiş sıcklığının = (d 2) gideken T =/(n 2) şeklinde sıfı gittiğini doğul. Anck, ynı RG işlemi, n =2için fklı bi dvnış önei gibi göünü. İki boyutlu XY modelinin (n =2) ilk gip dvnış belitisi, yüksek sıcklık seisinin Stnley ve Kpln tfındn 1966 d incelenmesinde göündü. Sei sonuçlı, lıngnlığın, sonlu sıcklıkt ıksdığını kuvvetle önedi, ki bu simeti bozulmsının olmmsıyl göünüşte çelişi. Geçekten de bu çelişki, Wigne i simeti kıılmsı olmdn fz geçişi olsılığını incelemeye itmişti. VI.E bölümde üç boyutlu İsing modelinin eşleği olk ttışıln Z 2 ğ y teoisi, böyle bi olsılığı geçekleştii. Z 2 y teoisinin iki fzı, uygun bğdşıklık fonksiyonunun (Wilson ilmeği) fklı fonksiyonel zlm şekli ile kkteize edili. Benze şekilde, biz de XY modelinin spin-spin bğdşıklık fonksiyonlının yüksek ve düşük sıcklıkldki simptotik dvnışlını inceleyebiliiz. Ağ üzeindeki XY modelinin bğdşıklık fonksiyonlının yüksek sıcklık çılımı s s = cos(θ θ ) = 1 Z = 1 Z i=1 i=1 dθ i cos(θ θ ) <i,j> dθ i cos(θ θ )e K <i,j> cos(θ i θ j ) 1+K cos(θ i θ j )+O(K 2 ) (VII.35) Bölüşüm fonksiyonu için çılım d, cos(θ θ ) çpnı dışınd benzedi. metebede, ğ üzeindeki he bğ, y bi y d K cos(θ i θ j ) çpnı getii. dθ 1 cos(θ 1 θ 2 )= K d en düşük (VII.36) olduğu için, bi iç konumundn tek bi bğ çıkn gfikle sıfı olu. Denklem VII.35 in pyının sıfı olmmsı için, ve deki dış noktldn bşlyn bğl olmsı geeki. İki bğı oln iç noktl üzeinden integl lınc dθ 2 cos(θ 1 θ 2 ) cos(θ 2 θ 3 )= 1 2 cos(θ 1 θ 3 ) (VII.37) bulunu. Denklem VII.35 e ktkı veen ilk diygm, noktsını noktsın bğlyn ( uzunluğundki) en kıs yoldu. Son noktl üzeinden integl lmk dθ dθ () 2 cos(θ θ ) 2 = 1 2 (VII.38) vediği için, yol üzeindeki he bğ (K/2) ktkısı yp. (Bölüşüm fonksiyonu için gfiklei 17

3 İsttistiksel Meknik Des otlı oluştuuken, he ilmek için fzldn bi 2 çpnı vdı.) Dolyısıyl, en düşük metebede, K s s = e /ξ, 2 ξ 1 olmk üzee ln(2/k) (VII.39) olu ve düzensiz yüksek sıcklık fzı, bğdşıklıklın üstel zlmsıyl kkteize olu. (Bu çıkç, bütün spin sistemlei için geneldi.) Düşük sıcklıkld, temel duum etfındki küçük slınımlın msfı ikinci deeceden çılıml elde edili, ki süeklilik limitinde K d d x( θ) 2 /2 vei. Gussiyn integlinin stndt kullı s s = e i(θ θ ) = exp 1 (θ θ ) 2 (VII.4) 2 vei. İki boyutt, Gussiyn slınımlı 1 (θ θ ) 2 = 1 2 K ln (VII.41) şeklinde büyü, bud kıs mesfe sınııdı (ğ lığı metebesinde). Dolyısıyl, düşük sıcklıkld, s s 1 K (VII.42) yni, bğdşıklıklın zlmsı üstelden ziyde, cebiseldi. Bğdşıklıklın kuvvet yssıyl zlmsı, öz-benzelik nlmın geli (bğdşıklık uzunluğu yok), ve genellikle kitik nokt ile ilişkilidi. Bud, çısl slınımlın logitmik büyümeleinden kynklnı, ki bu iki boyut hs bi duumdu. Yüksek ve düşük sıcklıkldki bğdşıklıklın fklı simptotik zlmlı, sonlu sıcklıkld, iki ejimi yın bi fz geçişi olsılığını ytı. Anck, yukıd ilei süülen gümnl, XY modeline özel değildi. Hehngi bi süekli spin modeli, yüksek sıcklıld bğdşıklıklın üstel zlmsını gösteiken, düşük sıcklık Gussiyn yklşıklığındn kuvvet yssı zlmsını göstei. Gussiyn dvnışının, sonlu sıcklıkld d olduğunu göstemek için, gdynt çılımındki ek teimleden etkilenmediğini isptlmmız lzım. d d x( θ) 4 gibi dödüncü deeceden teimle, Goldstone modlı sınd etkileşimlei ytıl. Önceki bölümde, bu etkileşimlein önemliliği, doğusl olmyn σ-modelinde incelenmişti. d =2 deki sıfı sıcklık sbit noktsı bütün n > 2 le için ksızdı, nck göünüşte, n =2 de klıdı. (n =2 de sdece tek bi Goldstone mod dlı vdı. n > 2 de fklı dlldki Goldstone modlı sındki etkileşimle, yüksek sıcklıkl doğu ksızlıkl yol çl.) XY modelinin düşük sıcklık fzının, sonlu bi mıkntıslnmy eşlik eden geçek uzun eimli düzene kşıt snki-uzun eimli düzene ship olduğu söyleni. Snki-uzun eimli düzenli fzın düzensizlenmesinden soumlu meknizm nedi? RG incelemesi, gdynt çılımındki dh yüksek deeceden teimlein önemli olmdığını söylediği için, bşk opetölee bkmlıyız. Gdynt çılımı, temel duum etfındki küçük bozulmlın eneji mliyetini tsvi ede, ve düzenli duum süekli olk değiştiilebilecek dizil- 18

4 İsttistiksel Meknik Des otlı imle için geçelidi. Kostelitz ve Thouless (1973), temel duumun bsit bozulmlı olk düşünülemeyecek topolojik bozukluklın, düzensizliğe yol çtığını öne südüle. Bi spinin yönelimini tnımlyn çı, nin tm ktlı kd tnımsız olduğu için, kplı bi yol etfınd dolnınc, bu çının n kd döndüğü spin dizilimlei kumk mümkündü. n, yol tfındn kuştıln topolojik yüktü. Kesikli doğsındn dolyı, he tft düzgün oln duum, ki yükü sıfıdı, süekli olk değişmesi mümkün değildi. (Dh genel olk, topolojik bozuklukl, düzen pmetesini tsvi eden tıknz bi guub ship bütün modellede vdı.) Temel bozukluk, vey gidp, biim yüke shipti. Bozukluk mekezli bi çembe etfınd tm dönünce, spinin yönelimi ± kd değişi. Eğe çembein yıçpı,, yeteince büyükse, çının değişimlei küçük olcktı, ve ğ ypısı ihml edilebili. Simetiden dolyı, θ nın değişmez genliği vdı, ve çembe boyunc işet ede (yni, çp vektöüne dikti). Bozulmnın genliği θ ds = dθ dθ () =n, = ds ds = n ifdesinden elde edili. θ dyl bi vektö olduğundn, (VII.43) θ = n y 2, + x 2, = n ˆ ẑ = n (ẑln ) (VII.44) olk yzılbili. Bud, ˆ ve ẑ sısıyl, düzlemde ve one dik biim vektöledi, ve b iki vektöün vektöel çpımını göstei. Bu (süeklilik) yklştımsı, gidbın mekezinin (çekideğinin) ykınınd geçesizdi, ki od ğ ypısı önemlidi. n yüklü bi gidbın, eneji mliyetine, çekidek bölgesinden geldiği gibi, mekezden uzkt, göece düzgün bozulmldn d ktkı geli. Çekideğin içi ve dışı yıımı keyfidi, ve bsitleştimek için, iki bölgeyi yımk için, yıçplı bi çembe kullncğız, yni βe n = βe n()+ K 2 = βe n()+ K 2 L d 2 x( θ) 2 n (d) 2 L = βen()+πkn 2 ln (VII.45) Enejiye sıl ktkı, çekideğin dışındki bölgeden geli, ve sistemin boyutu L ile ıks. Bozukluklın yüksek eneji mliyetlei, sıfı sıcklık ykınınd, kendilikleinden oluşmlını engelle. Tek gidplı bi dizilimin bölüşüm fonksiyonu L 2 L L 2 πkn 2 Z 1 (n) exp βe n() πkn 2 ln = y n() (VII.46) olk yzılbili, bud (L/) 2, L 2 büyüklüğündeki bi lnd, olsı gidp konumlının dizilimsel entopisinden kynklnı. Gidbın enejisi de entopisi de, ln L şeklinde büyü, ve sebest eneji bii y d öteki tfındn belileni. Düşük sıcklıkld (büyük K), eneji belileyicidi, ve Z 1, tek gidplı dizilimlein ğılığının bi ölçüsü, yok olu. Yeteince yüksek sıcklıkld, K<K n =2/(πn 2 ), entopinin ktkısı, gidplın kendiliğinden oluşmsını teşvik edecek kd büyüktü. Sıcklığı ttıdıkç, oty çıkn ilk gidpl K c =2/π de n = ±1 e 19

5 İsttistiksel Meknik Des otlı kşılık geli. Bu noktdn son, sistemde bi süü gidp vdı, ve denklem VII.46 tık fydlı değildi. K c = 2/π çiftlenim sbiti, sistemin topolojik bozuklukl kşı klılığının lt sınııdı. Bunun sebebi, dh büyük çiftlenimlede, bozukluk çiftlei (çift kutupl) oty çıkbili. Alınd ±d mesfesi oln iki yük düşünün. Çift kutubun mekezinden çok uzktki bozulml, d, bu iki gidbı üst üste koyk elde edilebili, ve θ = θ + + θ d ˆ ẑ (VII.47) ifdesi d/ 2 şeklinde zlı. Bu bozulmnın integli sonlu bi eneji vei, ve dolyısıyl, çift kutupl, he sıcklıkt, uygun Boltzmnn ğılığıyl oty çıkl. Dolyısıyl, düşük sıcklık fzı, sıkıc bğlı çift kutup gzı olk hyl edilmelidi. Çiftkutuplın syısı (ve boyutu) sıcklıkl t, ve yüksek sıcklık duumu bğlı olmyn gidp plzmsıdı. İki ejim sındki fk, boyutlındki büyük bi lndki tipik net topolojik yükü, Q() inceleyeek ştıılbili. Otlm yük he zmn sıfıken, düşük sıcklık fzındki slınıml, sınıd dun çift kutupldn kynklnı, yni Q() 2 Yüksek sıcklık duumund, he işete ship yük, hehngi bi koşul olmksızın oluşbili, ve Q() 2 2. (Wilson ilmeğinin, Z 2 y kumındki yüksek ve düşük sıcklıkldki fklı dvnışın benzeliğe dikkt edin.) İki ejim sındki geçişi tsvi etmek için, gidpl sındki etkileşimi düzgün şekilde hesplmlıyız. Bozulm lnı u θ, gidp kümesinin vlığınd, bi sıvının hızın benze. Gidplın olmdığı duumd, kış potnsiyeldi, yni u = u = φ ve u =. Topolojik yük, u ile, hehngi kplı bi yol için u ds = (d 2 xẑ) u (VII.48) olduğun dikkt edileek ilişkilendiilebili, bud ikinci integl, yol tfındn çevelenmiş ln üzeindendi. Sol tf nin bi tm ktı olduğundn dolyı u =ẑ i n i δ 2 (x x i ) (VII.49) ki {n i } yüklü ve{bfx i } noktlındki bi guup gidbı tsvi ede. Denklem VII.49 çözüm, u = u (ẑψ) lk elde edilebili: u =ẑ 2 ψ, = 2 ψ = i n i δ 2 (x x i ) (VII.5) Dolyısıyl, ψ, {n i } yükleinden kynklı bi potnsiyel gibi dvnı. Çözüm ψ(x) = i n i ln( x x i ) (VII.51) denklem VII.44 teki gibi, potnsiyellein üst üste eklenmesidi. Dolyısıyl, hehngi iki boyutlu bi bozulm u = u + u 1 = φ (ẑψ) (VII.52) 11

6 İsttistiksel Meknik Des otlı şeklinde yzılbili, ve kşılık gelen kinetik eneji, βh = K d 2 x u 2 /2, βh = d 2 x ( φ) 2 2 φ (ẑψ)+( ẑψ) 2 (VII.53) şeklinde yıştıılbili. İkinci teim yok olu, kısmi integsyondn son d 2 x φ (ẑψ) = d 2 xφ ( ẑψ) (VII.54) olu ve hehngi bi vektö için, u = dı. Denklem VII.53 teki üçüncü teim, ψ = ( x ψ, y ψ, ), ve (ẑψ) =( y ψ, x ψ, ) ın ynı uzunlukt bibileine dik iki vektö olduklı kullnılk sdeleştiilebili. Dolyısıyl, βh 1 K 2 d 2 x( ẑψ) = K 2 d 2 x( ψ) 2 = K 2 d 2 xψ 2 ψ budki ikinci özdeşlik kısmi integsyondn elde edili. Denklemle VII.5 ve VII.51 den βh 1 = K 2 = 2 K i,j d 2 x n i ln( x x i ) n j δ 2 (x x j ) i j n i n j C(x i x j ) (VII.55) (VII.56) elde edili, bud C(x) =ln( x )/, iki boyutlu Coulomb potnsiyelidi. Yukıdki sonuçt, i = j de, logitmnın küçük gümnlındki ıksmsındn dolyı, bi zoluk vdı. Bu, süeklilik hesplının kıs mesfede işe ymmsındn dolyıdı. Bi gidbın kendisiyle oln etkileşimi sdece βe n çekidek enejisidi, ve βh 1 = i βe n i 4π 2 K i<j n i n j C(x i x j ) (VII.57) Böylece, sıfı sıcklık ykınındki XY modelinin, dizilim uzyı, fklı topolojik kısıml bölüşülebili. He kısımdki sebestlik deecelei, spin dlglını tsvi eden φ(x) lnın ek olk {n i } yüklü, {x i } konumlu gidpldı. Modelin bölüşüm fonksiyonu, Z = dθ i i exp K cos(θ i θ j ) <i,j> Dφ(x)e K 2 d 2 x( φ) 2 d 2 x i e i βe n i +4π 2 i<j n in j C(x i x j ) {n i } Z S.D. Z Q (VII.58) olk yklşık olk hesplnbili, bud Z S.D., spin dlglının Gussiyn bölüşüm fonksiyonu, ve Z Q gidplın ktkısıdı. İkincisi, iki boyutlu Coulomb etkileşimi ile etkileşen, yüklü pçcıkldn oluşn büyük knonik gzı tsvi ede. Denklem VII.55 teki βh 1 Hmiltoniyenini hesplken, kısmi integsyon yptık. İhml edilen yüzey integli, slınd, ( i n i)lnl şeklinde sistem boyutu ile büyü. Dolyısıyl, Z nin hesbınd sdece toplmd 111

7 İsttistiksel Meknik Des otlı yüksüz oln dizilimle dhil edilmişti. Poblemi, sdece, düşük sıcklıkld, düşük enejileinden dolyı dh olsı oln, n i = ±1 oln temel uyımlı, göz önüne lk dh d bsitleştiiiz, y exp βe±1 lk, Z Q = y d 2 x i exp 4π 2 K q i q j C(x i x j ) i<j (VII.59) = i=1 bud q i = ±1 ve i q i =