ELEKTRİK ALANI, ELEKTRİK POTANSİYELİ, İŞ VE ENERJİ

Transkript

1 25 II. BÖLÜM LKTRİK ALANI, LKTRİK POTANSİYLİ, İŞ V NRJİ 2.1. LKTRİK ALANI V ALAN ŞİDDTİ lektik ükleinin etkisini göstediği lnl, elektik lnı olk dlndıılı. lektik lnı içeisindeki üklü cisimlee elektik lnı tfındn bi kuvvet ugulnı. nck bu kuvvet gözle göülemez, sdece etkilei göülebili. lektik lnının bi değei, önü ve doğultusu vdı. Bu nedenle elektik lnı vektöel bi büüklüktü. lektik lnı kuvvet etkisi ile ölçülü. lektik lnını beliten büüklüğe elektik ln şiddeti deni. hfi ile gösteili. lektik ln şiddeti şğıdki gibi tnımlnbili. lektik lnı içinde bulunn bi noktnın ln şiddeti, o nokt konn biim pozitif üke etkien kuvveti. Yukıdki tnım göe lnşiddeti için; fomülü zılbili. Aln şiddetinin önü ve doğultusu, biim pozitif üke etki eden kuvvetin önünde ve doğultusunddı. lektik ln şiddetinin SI Biim sistemindeki biimi, Nevton/Coulomb (N/C) du. 1N=1CV/m olduğu dikkte lınıs, ln şiddeti için, volt/mete (V/m) biimi de kullnılbili. Q noktsl ükünün etfındki ln şiddetini bullım. Aşğıdki şekilde Q noktsl ükünün kd uzklıktki bi A noktsınd oluştuduğu ln şiddeti ile gösteilmişti. vektöü QA doğultusund, önü Q dn A doğudu. Q u q=1c A Biinci bölümde çıklnn Kulon Knunu ifdesi; fomülü ile ifde edilmişti. Bud, q 1 =Q ve q 2 =q=1 lınk:

2 26 ln şiddeti ifdesi elde edili. Bud q 2 =1C lınmsının nedeni, ln şiddetinin tnımınd 1C luk elektik ükünün A noktsınd bulunduğu vsımın dnmktdı. u biim vektöünün değei fomülde eine zılıs: elde edili. A noktsındki elektik lnı biden fzl noktsl ük tfındn oluştuuluos; Yukıdki denklemi genelleştieek zsk; fomülü zılbili. Biinci bölümde de ifde edildiği gibi elektik üklei noktsl ük olbileceği gibi, çizgisel, üzesel ve hcimsel ük dğılımlı şeklinde de olbili. Düzgün olk dğılmış üklein hehngi bi noktd oluştuduklı elektik ln şiddeti: denklemi zılı. Yük dğılımı çizgisel ise; çizgisel bi integl, ük dğılımı üzesel ise; üze integli ve ük dğılımı hcimsel ise; hcim integli lınk ln şiddeti hesplnı. Q ükü küesel simetie ship olck şekilde küe içine ve üzeine dğıldığı tktide, küe etfınd oluştucğı elektik lnı, küenin mekezinde bulunn Q noktsl ükünün oluştuduğu lnl nı olduğu isptlnmıştı. Bun göe küesel simetie ship üklei, küenin mekezinde bulunn noktsl bi ük gibi düşünülebili.

3 27 UYGULAMALAR 1. Şekildeki üklü ince bi çubuğun elektik lnın hesplnmsı: = çizgisel ük oğunluğu P dq=λ.d d l d = k. = = k.. i =. ( ) i (Volt/mete) 2. Şekli veilen sonsuz genişlikteki ince bi üze üzeine düzgün olk dğılmış oln pozitif üklein P noktsınd medn getidiği ln şiddetinin hesbı. Düzlem üzeindeki üzesel ük oğunluğu ϭ (c/m 2 ) di. Düzlem üzeinde lınn ıçplı ve d genişliğindeki ük hlksındn dolı P noktsınd oluşn lnın ve z eksenlei üzeindeki bileşenlei bi bileini ok edele. P noktsınd sdece ekseni doğultusund olu. ıçplı hlk üzeindeki difensiel ük; dq= ϭ.2π..d di. dq ükünün P noktsındki lnı; değişkenleini kollşı. Bud ve l cinsinden zsk çözüm, d 0 dϕ dq l d P d' z Sonsuz genişlikteki ince düzlem levh ( tngθ. cosθ = sinθ htılnıs ) ifdesi sdece ıçplı ince ük hlksındn dolı P noktsının lnıdı. Sonsuz genişlikteki düzlemden dolı lnı bulmk için elde edilen bu ifdei düzlemin tmmı üzeinde entege etmek geeki. Sonsuz genişlikte olduğu ifde edilen düzlem için integl sınılı; θ=0 dn θ=π/2 e kd olmlıdı. i (V/m)

4 28 3. Yndki şekilde düzgün olk pozitif ükle üklenmiş, sonsuz uzunlukt kbul edilen ince d d bi çubuğun dışındki P noktsının ln şiddetini bulunmsı: Çubuk üzeindeki çizgisel ük oğunluğu λ (C/m) olsun. dq = λ. d difensiel P θ u ükünden dolı P noktsındki ln şiddeti; İnce çubuk d Yukdki ifdede değişken olk uzunluğu seçilmişti. Değişkenlei θ çısı cinsinden lmk poblemin çözümünü kollştımktdı. Bunun için şekildeki benze dik üçgenleden fdlnılmıştı. Açı cinsinden zıln değişkenlei ln şiddeti fomülünde eleine zlım., Simetiden dolı, dq difensiel ükünün lnlının ekseni üzeindeki bileşenlei bibileini ok edeceğinden; d nün sdece ekseni doğultusund olcktı. d nün eksenindeki bileşeni;, (V/m) 4. şit ve zıt ük oğunluğun ship iki plel plknın sındki ve dışındki ln şiddeti: Levhlın sındki toplm ln şiddeti: ve Levhlın dışındki toplm ln şiddeti: Ϭ 1 Ϭ =0 =0 1 2

5 29 5. L uzunluğundki; ince, düzgün ük dğılımın ship bi çubuğun dışındki P noktsının lnı bulunuz. d Yük oğunluğu:, d nin sdece P θ ekseni doğultusund bileşenlei olcktı.,, (L/2) d θ (L/2 ), ve değeleine denklemde eleine zlım. 6. Toplm ükü 7,5 C oln 14 cm uzunluğundki bi lıtkn ım çembe şeklinde bükülmüştü. Mekezdeki elektik lnı hesplınız. d Q d θ θ

6 30 Çlışm Soulı 1. Koodintlı, (1,6,3) m. oln Q= 20μC luk noktsl bi Yükün (2,4,0)m. koodintlındki P noktsınd oluştucğı ln şiddetini hesplınız. ε =3 tü. ( C= 4291 V/m) Q 2 2. İki noktsl ük şekildeki gibi eleştiilmişledi. 3m 5m Q 1 =2μC, Q 2 =5μC du.p noktsındki elektik lnını bulunuz. [C: = (0,31 i 1,08 j)10 3 V/m ve N/C ] z Q1 4m P 3..Şekildeki düzgün olk Q ve Q üklei ile üklenmiş ım die iletkenin mekezindeki ln şiddeti ifdesini elde ediniz. (C; ) Q 0 4. q üklü iki özdeş noktsl ük, ekseni üzeinde ±d noktlın ve λ ük oğunluklu L uzunluğundki düzgün üklü ince çubuk, = dn itiben Şekilde göüldüğü gibi eleştiilmişti. ) q üklü noktsl üklein ekseni üzeinde d hehngi bi >0 noktsınd oluştucklı 0 elektik lnını bulunuz. L b) Noktsl üklein çubuk üzeine uguldıklı d elektiksel kuvveti bulunuz (C:, ) 5. R ıçplı disk Ϭ (C/m 2 ) üzesel ük oğunluğun shipti. Diskin mekez ekseninden kd uzkt bulunn P noktsındki elektik ln şiddetini ve iken ln şiddetini hesplınız. dq R (Diskin ıçpı, 0<<R oln eş mekezli hlkldn medn geldiği düşünülebili. He bi hlknın lnı; 2π..d ve he bi hlk üzeindeki ük, dq= Ϭ(2π..d) olcktı). [C: )] d P

7 LKTRİK AKISI V AKI YOĞUNLUĞU lektik Aln Çizgilei: lektik lnı içeisindeki he noktd ln şiddeti vektöüne teğet oln hli eğilee o lnın kuvvet çizgisi ve ln çizgisi deni. A B B Kuvvet çizgisi A C C lektik kısı: Bi üzeden geçen elektik kuvvet çizgileinin sısıdı. Ψ (psi) hfi ve ile gösteili. Skle bi büüklüktü. Biimi elektik ükünde olduğu gibi (C)du. lektik kısı oğunluğu: Biim üzeden dik olk geçen elektik kısıdı. Biim üzeden dik olk geçen kuvvet çizgisi sısı d denilebili. lektosttik endüksion ve elektosttik deplsmn d denilen kı oğunluğu, vektöel bi büüklüktü. Yönü ln şiddeti önündedi. lektik ln şiddeti ile elektik kısı oğunluğu sınd şğıdki fomülle ifde edilen bi ilişki vdı. D= ε. ( C/m 2 ) n S, D n S D n D Kuvvet çizgilei üzee dik Kuvvet çizgilei ile üze sınd çısı v lektik kı oğunluğu tnımındn, S üzeinden geçen elektik kısı: Yüzein duumun göe de; dψ= D. ds şeklinde ifde edili. lektik kısı skle bi değe olduğundn iki vektöün skle çpımı ile bulunu. ( C )

8 32 D vektöü ile S sındki çı 90 0 ise: (Akı sıfı) D vektöü ile S sındki çı 0 0 ise: (Akı en fzl) D vektöü ile S sındki çı ise: ( Akı belili bi değede) Noktsl bi Q ükünün kd uzğındki bi A noktsının kı oğunluğu: Q u D A idi., ve olu. ı çplı bi küenin elektik kısı:, Küenin lnı, ve den elde edili. Yukıdki işlemleden nlşılmıştı ki, ve Q sısl olk bibiine eşit olup biimlei de nıdı. Akı oğunluğu, elektik ln şiddeti gibi Q ükünün etfındki otm bğlı değildi. Ve; dψ= D. ds Q ds D z Bi ken uzunluğu oln küpün elektik kısı ds 3 ds 6 ds 1 D ) ds 2 ds 5 ds 4

9 LKTRİK DİPOLÜ şit ve zıt işetli iki noktsl ükün lındki uzklık ln şiddetinin hesplncğı nokt oln uzklığın nınd çok küçük ise, bu iki noktsl ük bi elektik dipolü oluştuu. lektik lnı içinde bulunn bi elektik dipolüne, eşit ve zıt önde kuvvet etki. şit ve zıt öndeki kuvvetle dipol ekseni etfınd döndüme momenti(tok) oluştuu. F2 q q F1 F2 F1 l Moment(Tok)= kuvvet kuvvet kolu, M 1 = M 2 = F 1. l F 1 = F 2 = q. Nevton. Şekle göe kuvvet kolu (l):,,, Nevton.mete Aıc, ( q.) dipol momenti olk isimlendiili. P hfi ile gösteili. q /2 0. /2 q. Dipol momenti (P): (Coulomp/mete), (N.m) Önek: Yndki şekilde lındki uzklık oln, q ve q noktsl üklei bi elektik dipolü S oluştumuşldı. ) P ve S noktlındki ln şiddetleini, 2 b) Düzgün bi elektik lnı içinde bulunn bu dipole etki eden momenti bulunuz. 1 q 0 q P

10 34 Çözüm: Kesin pdlı eşitleneek otk pd ltın toplnıs; s θ θ S p = >> olduğund 2 / 4 ihml edilebili. θ 0 θ q q P p i. V/m olu. S noktsındki bileşke elektik lnı için; medn gelecekti., S = ( i ) olduğundn sdece ekseni doğultusund bileşke ln Yine; 1 >> olduğund 2 / 4 ihml edilebili ve; i. V/m elde edili. Yukıdki sonuç fomüllede e ln, q. elektik dipol momenti deni. Noktsl elektik ükleinin medn getidiği ln şiddeti uzklığın kesi ile ontılı idi. Yukdki son ifdeleden, dipolün ln şiddetinin uzklığın küpü ile tes ontılı olcğı göülmüştü.

11 GAUSS KANUNU Kplı bi üzeden (Guss üzei) geçen elektiksel kı ile o üze içeisindeki ük dğılımı sındki ilişkii ot ko. lektik ln şiddetinin vektöel öntemle eine skle öntemlele hesplnmsınd büük kollıkl sğl. Knunun ugulnmsı için şğıdki ştl dikkt edilmelidi. Kplı bi üzeden geçen elektik kısı; kplı üze içindeki ük miktı ile doğu ontılıdı. Kplı bi üzeden geçen toplm kı o üze tfındn çevelenen ük miktı ile doğu ontılıdı. Guss knununun ugulnbilmesi için; ln şiddetini oluştun tüm ükü (ve elektik kısını) içine ln kplı, hli bi Guss üzeine ihtiç vdı. He hngi bi kplı üzeden geçen elektik kısı, o üze tfındn sınılndıılmış hcim içinde kln net ükün o bölümüdü. ds difensiel üzeinden geçen difensiel elektik kısı, dψ ise; Yukıd zıln denklemle Guss Knunun mtemtiksel ifdeleidi. Bud ds vektöü, ds difensiel büüklüğünde, üzee noml ve önü üzeden dışı doğudu integl sembolü, integlin Q ükünü içeisinde bulundun kplı üze üzeinde lıncğını göstei. Bu bi üze integlidi ve nck elektik kısının geçtiği üzele dikkte lınmlıdı. Akını geçmediği üzele sıfı kbül edili. Yüzeden geçen kının önü de önemlidi. D ve ds vektöleinin önlei nı ise çpımın sonucu pozitif, zıt ise negtifti. Bu iki vektö sınd çı vs vektölein nokt çpmındki duum geçelidi. Kplı bi üzeden geçen elektik kısı, bu üzein içinde bulunn elektik ükleinin çebisel toplmın eşitti. ve Q= ψ olduğu htılnk denklemlede kullnılıs; ve Yzılk, Guss Knunun fomüllei bulunu.

12 36 Difensiel fomd Guss Knunu; (divejns teoemi) dı. Guss knunu ile poblem çözümü: 1. Yük oğunluklı: Yük oğunluklını çizgisel, üzesel ve hcimsel olk tnımlmk kollık sğl. 2. Simeti ve koodint sistemlei: Seçilecek koodint sistemi, ük dğılımının simetisini gösteebilecek şekilde olmlıdı. Mesel, noktsl bi ükün ksını hesplken küesel simeti sebebile küesel koodintlı, ince bi çubuk üzeindeki çizgisel ük dğılımlınd silindiik koodintlı kullnıız. 3. Guss knunundn lnk elektik ln hesbı: lektik lnının hesbı için ugun bi guss üzei seçili. Son bu kplı üzeden geçecek oln elektik kısı dikkte lını. Bi q nokt ükünü çeveleen hehngi bi kplı üzeden geçen net kı üzein şeklinden bğımsızdı. Bi ük içemeen hehngi bi kplı üzeden geçen net kı sıfıdı.

13 37 Guss ssının bzı ük dğılımlın ugulmlı 1. Toplm üküne ship ıçplı ve düzgün ük oğunluğun ship bi küenin dışınd ve içinde hehngi bi noktdki elektik lnın bulunmsı fomülünden Guss üzei Guss üzei b Bi noktsl ükün elektik lnı ile, küesel ük dğılımının lnı nı çıkmıştı. Küesel ük dğılımı, küenin mekezindeki noktsl ük gibi düşünülebili. fomülünden 2. Silindiik ük dğılımlın ugulnışı ve s onsuz uzunluklu bi telin elektik lnı: Düzgün bi çubuk için Guss üzei, bi silindiin üzeidi. Çubuktn kd uzktki noktnın ln şideti hesplnıken silindiin ıçpı olk lını. lektik kuvvet çizgilei silindii nl üzein dik olk çık. lektik ln şiddeti söz konusu üzei he noktsınd eşit olup üzee nomldi. Silindiin tbn üzeinden geçen elektik kısı sıfıdı. L n Guss üzei

14 38 3. Sonsuz genişlikte ince bi üze üzeine düzgün olk dğılmış bulunn pozitif üklein, üze dışındki P noktsınd medn getidiği ln şiddetini guss knunu ile bulunuz. Çözüm: Sonsuz genişlikteki ince üzein, üzesel ük oğunluğu σ (C/m²) olsun. Düzlemin he iki nındki elektik lnı düzleme dikti. Yine düzlemin he iki nındki eşit uzklıkt bulunn noktlın ln şiddetlei simetiden dolı nı büüklükte ve zıt önlüdü. İnce bi düzlem için Guss üzei, şekilde göüldüğü gibi bi tbnı P, diğe tbnı P ünde bulunn ve düzleme dik, kesiti S oln iki silindiin üzeleidi. Silindiin S üzeindeki ük; Q= σ. A değeindedi. Guss knunu ifdesine göe, Yzılı ve kuvvet çizgilei gus üzeinin (silindi) tbn üzeine dik n üzelee plel olduğundn, tbn üzele dikkte lını. Silindiin he iki tbn üzeinden de dik olk kuvvet çizgisi geçmektedi. S P P U Tb.üze Çlışm soulı 1. iki sonsuz uzunluktki silindiik üzein ı çplı, = ve =b (b<)dı ve sısıl λ s ve λ sb üze ük oğunluklını tşımktdı. ) He edeki i bulunuz. b) >b de nin sıfılnmsı için ve b sındki ilişki ne olmlıdı? [ C: ) = λ s b. λ sb / ε 0., b) b/ = λ s / λ sb ] b 2. İç ıçpı R i ve dış ıçpı R oln küesel kbuğun mekezinde pozitif Q noktsl ük bulunmktdı. Kbuğun dielektik sbiti, ε di. He noktdki elektik kısı uoğunluğunu ve ln şiddetini Guss knununu kullnk bulunuz.[ C: D= Q/4πR 2, = Q/4π. ε 0 ε R 2 ]

15 39