..3 Ters Trigonometrik Fonksionlar Önceki kesimde belirtilen bütün trigonometrik fonksionlar perodik olduklarından görüntü kümesindeki her değeri sonsuz noktada alırlar. Bölece trigonometrik fonksionlar birebir değildirler ve dolaısıla ters fonksiona sahip olmazlar. Ancak trigonometrik fonksionlar birebir olacak şekilde belli bir aralığa kısıtlanırsa ters fonksonlarından bahsedilebilir. Önce sinüs fonksionu ile başlaalım. f() = sin fonksionu [ π, π ] aralığına kısıtlanır ve değer kümesi olarak [, ] alınırsa bu fonksion birebir ve örten olur. Bu fonksionun tersine arksinüs fonksionu denir ve arcsin vea sin ile gösterilir. f ve f fonksionlarının grafikleri = doğrusuna göre simetrik olduğundan bu ters fonksionun grafiğide çizilebilir. Ters foksionun tanım kümesi [, ] aralığı ve görüntü kümesi ise [ π, π ] aralığıdır. f() = sin, π π f () = sin (), Bu açıklamalara göre = arcsin ifadesinde [, ] ve [ π, π ] olmalıdır. Örnek arcsin ve sin ( ) ifadelerini hesaplaınız. Örnek cos(arcsin ) ifadesini sadeleştiriniz. f() = cos fonksionu [0, π] aralığına kısıtlanır ve değer kümesi olarak [, ] alınırsa bu fonksion birebir ve örten olur. Bu fonksionun tersine arkkosinüs fonksionu denir ve arccos vea cos ile gösterilir. Ters foksionun tanım kümesi [, ] aralığıve görüntü kümesi ise [0, π] aralığıdır. f() = cos, 0 π f () = cos (), Bu açıklamalara göre = arccos ifadesinde [, ] ve [0, π] olmalıdır. Örnek 3 arccos ve cos ( 3 ) ifadelerini hesaplaınız. 7
Örnek arccos +arccos t = arccos(t ( )( t )) eşitliğinin doğruluğunu gösteriniz. f() = tan fonksionu ( π, π ) aralığına kısıtlanırsa bu fonksion birebir ve örten olur. Bu fonksionun tersine arktanjant fonksionu denir ve arctan vea tan ile gösterilir. Ters foksionun tanım kümesi R ve görüntü kümesi ise ( π, π ) aralığıdır. f() = tan, π < < π f () = tan (), R Bu açıklamalara göre = arctan ifadesinde R ve ( π, π ) olmalıdır. Örnek 5 arctan( 3) ve tan ifadelerini hesaplaınız. Örnek 6 sec (arctan ) ifadesini sadeleştiriniz. Örnek 7 tan(cos ) = ve sin(arctan ) = + eşitliklerinin doğruluğunu gösteriniz. f() = cot fonksionu (0, π) aralığına kısıtlanırsa bu fonksion birebir ve örten olur. Bu fonksionun tersine arkkotanjant fonksionu denir ve arccot vea cot ile gösterilir. Ters foksionun tanım kümesi R ve görüntü kümesi ise (0, π) aralığıdır. f() = cot, 0 < < π f () = cot (), R Bu açıklamalara göre = arccot ifadesinde R ve (0, π) olmalıdır. Örnek 8 arccot 3 ve cot ( 3 ) ifadelerini hesaplaınız. Benzer düşüncelerle f() = sec fonksionu [0, π]\{ π } kümesine kısıtlanır ve değer kümesi olarak (, ] [, ) alınırsa birebir örten olur. Bunun ters fonksionuna arcsekant fonksionu denir ve arcsec vea sec ile gösterilir. Yine f() = csc fonksionu [ π, π ]\{0} kümesine kısıtlanır ve değer kümesi olarak (, ] [, ) alınırsa birebir örten olur. Bunun ters fonksionuna arckosekant fonksionu denir ve arccsc vea csc ile gösterilir. 8
Örnek 9 0 < < için sin + cos = π olduğunu gösteriniz. Örnek 50 f() = arcsin ve g() = arctan fonksionlarının tek fonksion olduklarını gösteriniz. Örnek 5 cos ( ) = π cos olduğunu gösteriniz. Örnek 5 f() = arctan(sin ) fonksionu perodik midir? Örnek 53 Aşağıda verilen fonksionların tanım kümelerini bulunuz.. f() = arcsin. g() = arctan 3. h() = arccot Örnek 5 arcsin 9 + arcsin 5 9 ifadesinin değerini bulunuz. Örnek 55 tan(arcsin ) ifadesinin değerini hesaplaınız..5 Üstel, Logaritmik ve Hiperbolik Fonksionlar.5. Üstel ve Logaritmik Fonksionlar Matematik ve mühendislikte en sık kullanılan fonksion çeşitlerinden ikisi üstel ve logaritmik fonksionlardır. Bu kesimde bu fonksionları tanıtacak ve bazı temel özelliklerini inceleeceğiz. Önceki kesimlerde f() = gibi (ani tabanı deişken, kuvveti sabit saısıolan) fonksionlarıele aldık. Burada ise tabanı gibi sabit bir saı ve üssü gibi değişken olan g() = gibi fonksionları göz önüne alacağız. Bilindiği gibi f e bir kuvvet fonksionu denir. g e ise bir üstel fonksion adınıvereceğiz. Bu iki fonksion birbiri ile karıştırılmamalıdır. Tanım 56 a pozitif saısı den farklıbir saıolmak üzere f() = a biçiminde tanımlanan fonksiona bir üstel fonksion adı verilir. Örneğin =, = 3, = 5 birer üstel fonksiondurlar ancak = ( 3) üstel foksion değildir. Üstel fonksionların tanım kümesi R dir. Her reel saısıiçin a > 0 olacağından üstel fonksionların görüntü kümesi ise (0, ) aralığıdır. Dolaısıla üstel fonksionların grafiği daima ekseninin üstündedir. f() = a üstel fonksionu verilsin. Eğer a > ise < için a < a olacağından f artan olur. Eğer 0 < a < ise < için a > a olacağından f azalan olur. Bu fonksionun grafiği a nın durumlarına göre aşağıda verilmiştir. 9
3 3 a > için = a 0 < a < için = a Bütün üstel fonksionlar eksenini (0, ) noktasında keser. ekseni ise bu fonksionlar için asimptottur. Arıca üstel fonksionların birebir olduklarını görmek de koladır. a > için = a üstel fonksionlarının grafikleri benzer şekle sahip oldukları ve hatta (0, ) noktasından geçtikleri halde aralarında ince farklılıklar vardır. artarken a büüdükçe grafiğin eğimi de artar. Aşağıdaki şekilde =, = 3, = 5 ve = (.) fonksionlarının grafikleri sırasıile sarı, kırmızı, mavi ve eşil renklerde çizilmiştir. 3 Örnek 57 = 3 fonksionunu grafiğini çiziniz, tanım ve görüntü kümesini bulunuz. Örnek 58 f() = finksionu ile g() = fonksionlarının grafiklerini anıkoordinar siteminde çizerek karşılaştırınız. in büük değerleri için hangi fonksion daha hızlı büümektedir. 0 30 0 0 0 6 Matematikte en sık duulan irrasonel saıların başında π = 3.59 saısıgelmektedir. Kalkülüs ve ugulamalımatematikte ise ine bir irrasonel 0
saı olan e =.788 saısı π saısından çok daha önemli bir rol onar. Klasik olarak e saısı, pozitif önde sınırsız artarken f() = ( + ) fonksionunun aklaştığı saı olarak tanımlanmaktadır. Şimdi e saısı için farklı bir bakış açısıinceleelim. Bilindiği gibi tüm üstel fonksionlar eksenini (0, ) noktasında kesmektedirler. Ancak = a üstel fonksionunun eksenini kestiği bu noktadaki teğetlerinin eğimleri farklılık göstermektedir. Örneğin = in (0, ) noktasındaki teğetinin eğimi m 0.7 ve = 3 in (0, ) noktasındaki teğetinin eğimi ise m. dir. Kalkülüsteki pek çok formülün = a in (0, ) noktasındaki teğetinin eğiminin tam olacak şekilde seçildiğinde çok basit olacağı görülmektedir. Bu özelliğe ugun bir saıvardır ve bu e harfi ile gösterilmektedir. Buradan e saısının ile 3 arasında olduğu anlaşılmaktadır. Bu saının ilk beş basamağıukarıda verilmiştir. e tabanında verilen üstel fonksiona doğal üstel fonksion denilmektedir. f() = e doğal üstel fonksionu bazen f() = ep() biçiminde de gösterilmektedir. Örnek 59 f() = e in grafiğinden ararlanarak g() = e, h() = 3 e fonksionlarının grafiklerini çiziniz, tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. Tanım 60 f : R (0, ) f() = a üstel fonksüonunun birebir ve örten olduğu bilinmektedir. Burada a > 0 ve a olması gerektiğine dikkat edilmelidir. Bu fonksion birebir ve örten olduğundan f : (0, ) R tersi vardır. Bu ters fonsiona a tabanına göre logaritma fonksionu adı verilir ve log a ile gösterilir. Buna göre log a ifadesini tanımlıolmasıiçin a > 0, a ve > 0 olması gerekir. Ters fonksion için denkliğini kullanırsak = f () = f() = log a = a (5) denkliğini elde ederiz. Örneğin log 3 = 3 = ifadesinden = 5 bulunur. Yani log 3 = 5 olur. Bu düşünce ile bazısaıların logaritmasıhesaplanabilir. f ve f fonksionları ile ilgili f (f()) = (burada tanım kümesine ait) ve f(f ()) = (burada görüntü kümesine ait) eşitlikleri göz önüne alındığında log a (a ) =, R ve a log a =, > 0 eşitliklerinin varlığıelde edilebilir. f ve f fonksionlarının grafikleri = doğrusuna göre simetrik olduklarından = log a fonksionunun grafiği a nın durumlarına göre kolaca çizilebilir. Tüm logaritma fonksionlarının grafiklerinin (, 0) noktasından geçtiğine dikkat
ediniz. a > için = log a 0 < a < için = log a Üstel fonksionun ilgili özellikleri ve (5) denkliği kullanılarak logaritma fonksionu ile ilgili aşağıdaki özellikleri elde edebiliriz.. log a a =. log a = 0 3. log a () = log a + log a. log a ( ) = log a log a 5. log a ( r ) = r log a (r R) Örnek 6 log 80 log 5 ifadesinin değerini bulunuz. Üstel fonksionda olduğu gibi e saısıtabanında verilen logaritma fonksionu arı bir öneme sahiptir. e tabanına göre verilen logaritma fonksionuna doğal logaritma denir ve özel bir gösterimi vardır. log e = ln ile gösterilir. Buradan = ln = e denkliğinin varlığıile özel olarak ln e = olduğu görülmektedir. 0 tabanında azılan logaritma için kıcasa log 0 erine sadece log azılacaktır. Örnek 6 e 5 3 = 0 denklemini çözünüz. Örnek 63 = ln fonksionunun grafiğinden ararlanarak = ln, = ln( ), = ln( ) fonksionlarının grafiklerini çiziniz. Örnek 6 log a b = log c b log c a eşitliğinin varlĭgınıgösteriniz. Buradan log a b = ln b ln a eşitliği azılabilir mi? Örnek 65 Aşağıda verilen fonksionların tanım kümelerini bulunuz.. f() = ln( 9). f() = ln( )
3. f() = ln( + 6 ). f() = arcsin(ln ) 5. f() = log( log( 5 + 6)) 6. f() = ln( ) Örnek 66 f() = ln( + + ) fonksionunun tek fonksion olduğunu gösteriniz. Örnek 67 Aşağıdaki fonksionların tersi için bir formül bulunuz.. = ln( + 3). = +e e Örnek 68 f() = ln( ) fonksionunun tanım ve görüntü kümesini bulunuz. Örnek 69 Aşağıdaki denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.. ln(ln ) =. e +3 7 = 0 3. ln ln( ) =. ln > 5. e 3 > Örnek 70 f() = ln( + ) fonksionunun tanım kümesini bulunuz. ve tanım kümesine ait iken f( + + ) = f() + f() eşitliğinin sağlandĭgını gösteriniz..5. Hiperbolik Fonksionlar ve Tersleri Kalkülüs ve ugulamalımatematikte e ve e fonksionlarının bazıişlemlerle bir araa getirilmesinden oluşan fonksionlara çok sık rastlanılmaktadır. Bunların en önemlileri hiperbolik fonksionlardır. Temel hiperbolik fonksionlar = e doğal üstel fonksionunun tek ve çift parçalarıolarak tanımlanmaktadır. Bilindiği gibi, simetrik bir küme üzerinde tanımlıher f fonksionu için f() = f() + f( ) }{{ } + f() f( ) }{{} Çift Parça Tek Parça 3
eşitliği azılabildiğinden, böle bir fonksion daima biri tek biri çift olan iki fonksionun toplamışeklinde azılabilir. Buradan hareketle f() = e fonksionunun tek parçasıolan g() = e e fonksionuna hiperbolik sinüs fonksionu denir ve sinh ile gösterilir. Yine f() = e fonksionunun çift parçasıolan h() = e + e fonksionuna hiperbolik kosinüs fonksionu denir ve cosh ile gösterilir. Yani sinh = e e ve cosh = e + e olur. Buna göre = sinh fonksionunun tanım ve görüntü kümeleri R dir. = cosh fonksionunun ise tanım kümesi R, görüntü kümesi [, ) aralığıdır. (6) eşitliklerinden sinh 0 = 0 ve cosh 0 = olduğu görülebilir. Bu fonksionların grafikleri aşağıda çizilmiştir. (6) g() = sinh h() = cosh Trigonometrik fonksionlarda olduğu gibi sinh ve cosh e bağlıolarak eni hiperbolik fonksionlar tanımlanmıştır. Buna göre tanh = sinh cosh = e e e (Tanım kümesi R, görüntü kümesi (, )) + e coth = cosh sinh = e + e e (Tanım kümesi R\{0}, görüntü kümesi R\[, ]) e sec h = cosh = e (Tanım kümesi R, görüntü kümesi (0, ]) + e csc h = sinh = e (Tanım kümesi R\{0}, görüntü kümesi R\{0}) e şeklinde tanımlanır. Hiperbolik fonksionlar periodik olmamalarına rağmen trigonometrik fonksionlarda olduğu gibi pek çok özdeşliğe sahiptirler. = sinh in tek fonksion, = cosh in çift fonksion olduklarının göz önüne alınmasıve ukarıdaki eşitliklerin kullanılmasıla hiperbolik fonksionlarla ilgili özdeşilikleri elde edebiliriz. Örneğin ( e cosh sinh + e ) ( e e ) = =
olur. Yine cosh( + ) = cosh cosh + sinh sinh tanh = sec h cosh = cosh + sinh sinh = sinh cosh eşitlikleri ve daha fazlasıelde edilebilir. = sinh fonksionu R den R e birebir ve örten bir fonksion olduğundan ters fonksionu vardır. Bu ters fonksion arcsin h vea sinh ile gösterilir. = cosh fonksionu R üzerinde birebir değildir. Ancak [0, ) aralığına kısıtlanır ve değer kümesi olarak [, ) alınırsa birebir örten olur. Bunun ters fonksionu ise arccos h vea cosh ile gösterilir. Diğer hiperbolik fonksionlarında ugun aralıklara kısıtlanarak terslerinden bahsedilebilir. = sinh ve = cosh fonksionlarının grafikleri aşağıda verilmiştir. = sinh = cosh Hiperbolik fonksionlar doğal üstel fonksionlar cinsinden azıldığından ters hiperbolik fonksionlarda doğal logaritma fonksionu cinsinden azılabilir. f() = e f () = ln sinh = e e sinh =? Örneğin = sinh ifadesi = sinh e denk olduğundan = e e vea e e = 0 azılabilir. Buradan e = + + (e > 0 ve + < 0 olduğundan e + olduğu göz önüne alınmalıdır.) bulunur. Bölece = ln( + + ) elde edilir. Yani olur. Benzer düşünce ile olduğu gösterilebilir. sinh = ln( + + ), R cosh = ln( + ), 5