TEKNOLOJİ FKÜLTESİ EKTRONİK ÜHENDİSLİĞİ (004 ) ukavemet Bait Eğilme (Bending) Doç. Dr. Garip GENÇ Der Kitabı : ekanik Taarım Temelleri, Prof. Dr. Nihat KKUŞ Yardımcı Kanaklar: echanic of aterial, (6th Ed) F. P. Beer E. R. Johnton, Jr. J. T. DeWolf echanic of aterial (10th Ed.), R. C. HBBELER ukavemet - Der Notları - Prof.Dr. ehmet Zor Page 1 Eğilme Yüklemeine aru Yapı Örnekleri: Eğilme, ugulamalarda çok ık görülen bir ükleme biçimidir. Yapılarda kullanılan kirişler, raçların geçtiği köprüler, Vinçler, krenler vb. eğilme üklemeine marudur. Page 1
Eğilme ile Burulma raındaki Farkı naıl anları? Eğilme üklemeinde, keitteki moment vektörü (ağ el kaideine göre) dülem üerindeki ekenler ( vea ekenleri) den birii ekeni önünde eğilme önündedir. B ekeni önünde eğilme Not: oment vektörü düleme dik ani dülem normali önünde (şekilde ekeni ) olura burulma momenti oluşacaktır. burulma Genel kural: Düleme paralel moment eğilme; düleme dik moment burulma momentidir. Not: oment indileri eken takımının erleştirilmeine göre değişebilir, ancak genel kural değişme. Page Eğilme Çeşitleri: 1-) Bait (Simetrik) Eğilme: Keitte adece 1 eğilme momenti vardır ve keit en a bir ekene göre imetriktir. -) Kemeli Eğilme: Keitte 1 eğilme momenti ve 1 keme kuvveti vardır ve keit en a bir ekene göre imetriktir. -) Simetrik olmaan (Eğik) Eğilme: Simetrik keitlerde en a 1 eğilme momenti, imetrik olmaan keitlerde en a eğilme momenti vardır. Page 4
Eğilme üklemeinde oluşan gerilme cini: Eğilme momenti onucu acaba keitte kama gerilmei mi oka normal gerilme mi oluşur? Önce buna karar vereceği. Daha onra keitteki gerilme dağılımını formüle edeceği. Şekildeki elatik çubuğun lif lif olduğunu düşünelim ve bu çubuğa eğilme ugulaalım: Eğilme momenti onucu ütteki liflerin kıaldığını alttaki liflerin uadığını görürü. Bu durumda üt liflere bama alt liflere çekme kuvvetleri gelir. O halde liflerde normal gerilmeler oluşur. Üt lifler kıalacağı için bama gerilmeleri (- ), alt lifler uaacağı için çekme gerilmeleri ( ) oluşacaktır. En ütteki lif en fala kıalır en alttaki lif en fala uar. Bu durumda bu liflerde şiddet olarak en büük gerilmeler oluşur. lttan üte doğru gidildikçe liflerdeki uama aalır. Bir geçiş noktaında lifte uama ıfır olur. Bu lifin bulunduğu keitteki ata çigie tarafı eken denir. Bu liften ütteki liflerde artık uama negatif olur ani kıalma başlar. Page 5 Tarafı ekenden en uak noktalarda en fala uama ve kıalma; dolaııla da makimum çekme ve minimum bama gerilmeleri oluşacaktır. Tarafı ekendeki tüm noktalarda gerilmeler ıfırdır. Her keitte tarafı eken vardır. Bu durumda tüm tarafı ekenler kiriş bounca bir dülem teşkil ederler ki buna tarafı dülem denir. Bait ve kemeli eğilme de apılan kabuller: Dülem keitler eğilmeden onra da dülem kalmaa devam eder. Birbirine dik lifler (çigiler) eğilmeden onra ine dik kalır. Page 6
Bait eğilme de elatik gerilme heabı: Not: ukavemette aki ölenmedikçe şekil değiştirmemiş ilk durumdaki geometrie göre işlem apılır. (JK lifi nin ilk hali ata bir çigidir. İşlemler bunun üerinden apılmaktadır. J K aına göre değil.) DE: Tarafı dülem üerindeki liftir. Bou değişme. Bu durumda DE = D E JK : tarafı dülemden kadar uaklıktaki liftir. Son bou J K dür. Tüm liflerin İlk boları eşittir. JK = DE JK lifi için; Son bo: J ' K', D' E' DE JK Toplam uama : J ' K'JK Birim elatik uama : L Elatik bölgede normal gerilme: E. E. Keitte, normal önde toplam iç kuvvet (F ) oktur. Yani ıfırdır. E F 0 d E d d 0 d 0 d ğırlık merkei tanımından: 0 d ğırlık merkeinin koordinatı () ıfır çıktı. O halde tarafı eken keitin ağırlık merkeinden geçer. Not: Eğilmede eken takımı mutlaka ağırlık merkeine erleştirilmelidir. Page 7 Keitteki meafeindeki bir noktada d elemanına gelen iç kuvvet: d elemanın tarafı ekene göre momenti: ( d). d Keitteki toplam iç moment: d. + tarafındaki noktalarda bama gerilmei varken, bunlar poitif momentine ebep olur. > 0, < 0 ie nin poitif çıkmaı için denklemin başına koulmalıdır. E E (.. d) (. d) E. E. idi. E E Bu formül, Bait vea kemeli eğilmede, elatik ükleme de, İotropik malemeler için geçerlidir. Not: Baı kanaklarda eken takımı farklı alınınca eki işareti olmaabilir. Eki işareti olup olmaacağını kendimi anlaabiliri. >0 iken Tarafı ekenin ütündeki noktalarda (>0) bama oluşmaı gerektiğini görünü. Bu durumda in negatif çıkmaı için denklemin başında mutlaka olmalıdır. Page 8 4
Bait eğilmede normal gerilme dağılımı Keitte herhangi bir noktadaki gerilme formülü: : keitteki önünde iç moment. : keitin ekenine göre atalet momenti : noktanın koordinatı (orjin mutlaka ağırlık merkeidir.) Not: ve bir keit için abittir. Gerilme ie anı keitte noktadan noktaa değişir. Tarafı ekenden eşit uaklıkta olan, ani anı koordinatına ahip noktalarda gerilmeler anıdır. Keit en a bir ekene göre imetrik olmalı. Kirişin önden görünüşünün bir kımı. Gerilme dağılımını dikkatlice inceleini. Page 9 ma ma D H E E H B B c akimum ve minimum gerilmeler tarafı ekenden en uak noktalarda medana gelir. Page 10 5
Elatik Bölgede Gerilme ve Deformaonlar Elatik eğilme formülleri Elatik keit modülü: S = C Not: S nin büük değerleri için anı eğilme momenti altında daha düşük gerilme değerleri elde edilir. S = 1 C = 1 bh = 1 h 6 bh = 1 6 h 1510 mm Not: nı değerine ahip iki kirişten daha ükek h değerine ahip olanı eğilmee karşı daha dirençlidir. h = 150 mm 00 mm b =100mm 75 mm Page 11 Elatik Bölgede Gerilme ve Deformaonlar Elatik eğilme formülleri Elatik keit modülü = Farklı kiriş keitleri Page 1 6
Elatik Bölgede Gerilme ve Deformaonlar eğilme momentinin neden olduğu deformaon, tarafı üein eğriliği ile ölçülür. Eğrilik, ρ eğrilik arıçapının teri olarak tanımlanır. Page 1 Örnek: Şekildeki kiriş için akmaı başlatacak eğilme momentini bulunu. ak 50Pa Çöüm: mi n - keitindeki üklemee göre alttaki lifler uar. akimum çekme gerilmei en alt noktalarda (örneğin B noktaında) ortaa çıkar. ma ma ma iç B B B ( 0mm) 8,10 (0mm) (60mm) 1 50Pa 000000Nmm knm akma 5 ma B noktaında çekme gerilmei olacağını önceden göremeedik bile, B nin poitif çıkmaı ine çekme gerilmei olduğunu göterir. Not: Bununla birlikte ünek malemelerde bama ve çekmedeki akma mukavemeti birbirine eşit kabul edilebilir. min akma Denkleminden de anı onuç bulunabilir. Page 14 7
Örnek: = kn.m T keitli ankatre çubuğun çekme ve baıdaki akma mukavemeti 10Pa dır. Çubuğun erbet ucuna knm lik bir moment ugulandığında çubukta akma olup olmaacağının kontrolünü apını. Çöüm: Ugulanan moment vektörel olarak üee paralel (- önünde) olduğundan ve keit imetrik olduğundan bait eğilme oluşur. Bu durumda makimum ve minimum normal gerilmeleri heaplamalıı ve akma gerilmei ile karşılaştırmalıı. Page 15 = - kn.m iç = =-knm 6.10 Nmm : ğırlık merkeinden geçen ata eken () e göre atalet momentini bulmalıı. Page 16 8
d 1 090 1800 400 100 i mm 000 i i, mm 50 0, mm 9010 410 11410 i i i i i i 11410 000 i 8 mm 1 i i di 1 bihi i di 1 1 90 0 18001 0 40 10018 1 86810 mm 4 1 Page 17 - momenti olduğu için noktaında makimum çekme, B noktaında minimum bama gerilmeleri medana gelir. ma B ma min Z 6 10 86810 6 B 10 ( 8) 86810 B Pa, 76.0 Pa B 11. B akma akma oluşur. 11. Pa Page 18 9
Ekantrik ekenel ükleme Keit merkeinden geçmeen çekme vea bama üklemeine denir. Bu durumda oluşan gerilmeleri heaplaalım: Şekildeki gibi eğriel bir çubuğa P çekme ükü ugulandığında DE kımındaki - keitinin G ağırlık merkeinde bir iç çekme kuvveti (Fiç) oluşur. Bu durumda P ile Fiç in momentlerinin dengelenebilmei için bir iç eğilme momenti de oluşacaktır. Fiç ve iç in üperpoion öntemine göre arı arı etkilerini toplar iek, bir noktadaki toplam normal gerilmei elde ederi. Not: Keit en a bir ekene göre imetriktir. P P. d Fiç iç Page 19 Örnek: Şekildeki dökme demir (gevrek) parçanın çekmedeki emnietli mukavemet değeri (emniet gerilmei) 0 Pa, bamadaki mukavemet değeri ie 10 Pa olduğuna göre; elemana ugulanabilecek en büük P kuvvetini bulunu. (Keitin ağırlık merkei G noktaındadır) Page 0 10
Çöüm: Bir önceki örnekte anı keit kullanılmıştı. şağıdaki değerler oradan alınabilir: 10 mm Y 8mm d 8 10 8mm 86810 mm 4 Süperpoion metodu ile gerilmeler; P c P c B Emnietli kuvvet değeri için: İin verilebilir emnietli kuvvet: 8 P10 P( kn ) 10 0.77 P 10 86810 P10 8 P10 8 1.559 P 10 86810 0.77 P 0 Pa P 79.6 kn 1.559 P 10 Pa P 77.0 kn B P 77.0 kn Page 1 Örnek: Şekildeki eğik alüminum çubuk verilmiştir. noktaına göre ugulanabilecek emnietli P ükünü heaplaını. (kma mukavemeti 140 Pa, çubuk keiti 40mm, emniet kataıı n= dir.) Çöüm: P P P.(45 1) ( 1) 40 04 1 P 6109N 6.109kN emn. 70Pa Page 11
Örnek: 0 mm 60 mm Çubuk, düşe imetri düleminde etkien, iki eşit ve ıt önlü kuvvet çiftine marudur. Çubuğun akmaına neden olan eğilme momentinin değerini belirleini. σ Y = 50 Pa olduğunu varaını. Çöüm: Tarafı eken, keitin C merkeinden geçer. 60 mm 0 mm 0 mm = 1 1 bh = 1 1 0mm 60mm = 6010 mm 4 = C σ em = 6010 9 m 4 0.0m (50Pa) = kn. m Page Örnek: Yarım çember keitli alüminum çubuk ρ =.5 m ortalama arıçaplı bir çember aı şeklinde eğilmiştir. Çubuğun dü üü, aın eğrilik merkeine doğru döndüğüne göre, çubuktaki makimum çekme ve baınç gerilmeini belirleini. E = 70 GPa alını. Çöüm: Page 4 1
Örnek: Tüp malemei: alüminum. σ Y = 75 Pa, σ U = 415 Pa, E = 7 GPa. Kavilerin etkiini ihmal ederek, (a) emniet kataıı.00 olacak şekilde eğilme momentini, (b) tüpün karşı gelen eğrilik arıçapını belirleini. Elemilik omenti. = 1 1 80mm 10mm 1 1 68mm 108mm = 4,810 6 mm 4 Page 5 Emniet Gerilmei. σ em = σ u EK = 415Pa.00 = 18.Pa a. Eğilme omenti: c = 1 10mm = 60mm σ em = c = C σ em = 4.810 6 m 4 0.06m = 10.1kN. m 18.Pa b. Eğrilik Yarıçapı: 1 ρ = E = 10.1kN. m 7GPa)(4.810 6 m 4 = 0.016m 1 lternatif Çöüm: ρ = 1.7m ϵ em = c ρ ϵ em = σ em E ρ = = 18Pa = 7GPa 1.890410 mm/mm c 60mm = ϵ em 1.890410 = 1.7m Page 6 1
Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Keit boutları uunluğuna göre çok daha küçük olan ata elemanlara kiriş denir. Örneğin bulunduğunu binaa dikkat ettiğinide ata beton elemanlar kiriştir. Düşe elemanlara ie kolon imi verilir. Farklı kiriş keitleri Page 7 Düşe Yüklü Kirişlerin Yükleme Çeşitleri Yaılı ük (N/m) Tekil ük (N) Kirişler düşe olarak genellikle tekil ve/vea aılı üklere maru kalırlar. Tekil ük (N) bir noktaa, aılı ük belli bir uunluğa düşer (N/m) Ugulanan kuvvetler kirişin keitlerinde iç keme kuvveti (V) ve eğilme momenti () medana getirirler. Keit üerinde keme iç kuvvetinden den dolaı kama gerilmeleri medana gelir. Kama gerilmelerinin dağılımı: τ = V. Q. t (Bu konu daha farklı bir başlık altında incelenir.) Eğilme momentinden dolaı ie normal gerilmeler oluşur: macımı kirişte ortaa çıkan şiddetçe makimum normal gerilmei heaplamaktır. Burada en önemli nokta eğilme momentinin keitten keite farklılık götermeidir. En kritik keit (gerilme şiddetinin en fala olduğu keit), momentin şiddetinin en fala olduğu keittir. Page 8 14
İç kuvvet ve momentin Poitif Yönleri: Sol kımın dengei incelenirken Sağ kımın dengei incelerken : aat ibrei teri önde, V: aşağı doğru : aat ibrei önde, V: ukarı doğru Düşe üke maru kirişlerde işlem ıraı 1. enet Tepkileri belirlenir,. Keme Kuvveti Eğilme omenti diagramları çiilir.. En kritik keit belirlenir. (Eğilme momentinin mutlak değerce en büük olduğu keit, en kritik keittir.) 4. Kritik keitteki şiddetçe makimum Gerilme heaplanır. Bu gerilme anı amanda kirişteki en büük gerilmedir. Buna göre mukavemet analileri apılır. (Emniet kontrolü, bout taini, maleme eçimi vb.) Page 9 Örnek: Şekilde verilen kirişi inceleerek; a. Kirişin keme kuvveti ve eğilme momenti diagramlarını çiini. b. Kirişte ortaa çıkacak makimum normal gerilmenin erini ve değerini bulunu. Çöüm: 1 F 0 B : RB 46kN RD 14kN 1. Bölge için: (0.5) F = 0 0kN V 1 = 0 V 1 = 0kN k1 = 0 0kN + 1 = 0 1 = 0 0 için V 0kN, 0, 1.5için V 0kN, 50kN 1 1 1 - keimi (ağ kıım) Page 0 15
1 - keimi (ağ kıım). Bölge için: (.55.5) F = 0 0kN + 46kN V = 0 V = 6kN k = 0 0 + 46.5 = 0 = 6 115.5 için V 6kN, 50kNm, 5.5için V 6kN, 8kNm 1. Bölge için: (5.57.5) - keimi (ol kıım) F = 0 14kN + V = 0 V = 14kN k = 0 14 7.5 = 0 = 14(7.5 ) 5.5 için V 6kN, 7.5için V 0, 0 8kNm, Page 1 Şiddetçe en büük moment B keitinde ortaa çıkmıştır. O halde kritik keit B keitidir. ma min B 50kN m Bu keitte makimum gerilme: 6 5010 N m 80 50 1 1 ma B ma a 50. 60Pa b V ie kama gerilmeine ebep olur. ncak kama gerilmei dağılımının incelenmei ie farklı bir konudur ve bu bölümde incelenmeecektir. Page 16
Yaılı ük, keme kuvveti ve moment araındaki ilişki Yaılı ük ile keme kuvveti araındaki ilişki: F 0 : V V V w 0 dv w d V D V C V w Keme kuvveti ile eğilme momenti araındaki ilişki: V V D C 0 : V w 0 V 1 w D d V D C V d d C C D C w d - (CD araında aılı ük eğrii altında kalan alan) D C (CD araında keme kuvveti eğrii altında kalan alan) Page Örnek: Şekildeki kirişin; a. Keme kuvveti ve eğilme momenti diagramlarını çiini. b. Kirişteki makimum ve minimum normal gerilmei bulunu. Çöüm: aılı ükün bileşkei: 1 metree kn luk ük düşere, 4 metree 4 =8kN luk ük düşer. Page 4 17
Page 5 Page 6 18
Page 7 ğırlık merkeinin eri: σ ma = E Z b = 5106 79687500 ( 75) σ ma = σ b = 4,7Pa σ min = E a = 5106 (00 75) Z 79687500 σ min = σ a = 7,84Pa Page 8 19