MUKAVEMET I ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

Transkript

1 MUKAVEMET I ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER ders notu Yard. Doç. Dr. Erd DAMCI İstanbul Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Tüm hakları saklıdır. İinsi kısmen vea tamamen kullanılama. Ocak 016

2 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Örnek 1. Üerinde alnıca aılı ük bulunan ve açıklığı L olan bir basit kirişe ait eğilme momenti diagramı aşağıda verilmiştir. Bu kirişe ait kesme kuvveti diagramını ve ük dağılımını L cinsinden bulunu. M (kn m) 18 İkinci derece parabol 0 L/ L x Çöüm 1. Şekilde verilen moment diagramında, kirişin L/ noktasına kadar moment değişimi doğrusal iken, L/ ve L arasında ikinci derecen bir parabol olarak verilmiştir. V= dm/dx bağıntısından eğilme momentinin lineer olduğu kısımda kesme kuvveti sabit, ikinci derece parabol olduğu kısımda ise birinci dereceden bir denkle sahip olacaktır. Bener şekilde, -q= dv/dx bağıntısından hareketle, kesme kuvvetinin birinci dereceden bir denkl olduğu kısımda da dış ük q sabit olarak elde edilecektir. Dolaısıla, dm V = dm = V. dx MC MA = Vdx dx 0 x L/ aralığı için x = 0 M = 0 x= L/ M = 18kN m L/ L 18 0 = Vx 0 18 = V V 0 V A 36 = VC = L A C ( ) L/ 0

3 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 dv q = dv = q. dx VB VC = qdx dx L/ x L aralığı için L/ 36 x = L/ VC = L 36 L L 36 VB = qx L/ VB = q ( L) + q + L L ql 36 VB = + L Sol mesnette, mesnet tepkisi kesme kuvvetine eşit olacağından, denge denklleri ardımıla mesnet tepkisi q cinsinden elde edilir. LL ql MB = 0 RL A = q RA = 4 8 ql 36 RA = VA = 8 L 88 q = L Yaılı ük elde edildikten sonra sağ mesnetteki kesme kuvveti ve mesnet tepkisi hesaplanır. V V B B ql 36 88L 36 = + = + L L L 8 8 = ; RB = L L L

4 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Örnek. Aşağıda bileşenleri verilen dül gerilme hali için a) Asal gerilmeleri hesap ederek doğrultularını bulunu ve dül gerilme elanı üerinde gösterini. b) Normal gerilmenin sıfır olduğu doğrultuu bulunu. c) Normal gerilmenin kama gerilmesine eşit olduğu doğrultuu bulunu. d) Bulduğunu sonuçları Mohr diagramı üerinde gösterini. Çöüm. Şekilde verilen dül gerilme hali için gerilme bileşenleri: a) Asal gerilmeler ve doğrultuları: = 8MPa ; =+ 8MPa ; τ =+ 96MPa x x 1, τx x + x + = ± + = ± + 96 =± 0 MPa = 0MPa ; =+ 0MPa 1 τ 96 tan ϕ = = = 3, 4857 = 73,74 x 0 ϕ0 x 8 8 ϕ = 36, 87 x = 36, 87 ; = 53, b) Normal gerilmenin sıfır olduğu doğrultu: = 0 ϕ =? = ϕ+ ϕ+ τ ϕ ϕ x cos sin x sin cos 1 Değerleri dönüşüm bağıntısında erine koar ve normal gerilmei sıfıra eşitlersek aradığımı doğrultuu elde edebiliri. 8 cos ϕ + 8 sin ϕ + 96 sin( ϕ ) = sin( ϕ ) = 8(cos ϕ sin ϕ ) sin( ϕ ) = 8 cos( ϕ ) 1 1 sin( ϕ )/cos( ϕ ) = 8 / tan( ϕ ) = 0, ϕ = 16, 6 ϕ = 8,

5 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 c) Normal gerilmenin kama gerilmesine eşit olduğu doğrultu: = τ ϕ =? = ϕ+ ϕ+ τ ϕ ϕ x cos sin x sin cos τ = ϕ ϕ+ τ ϕ ϕ ( x )sin cos x(cos sin ) Normal gerilme ve kama gerilmesi için verilen dönüşüm bağıntılarını birbirine eşitleerek aradığımı doğrultuu elde edebiliri. 8 cos ϕ + 8 sin ϕ + 96 sin( ϕ ) = 8 sin( ϕ ) + 96 cos( ϕ ) 96 sin( ϕ ) 8 sin( ϕ ) = 96 cos( ϕ ) + 8(cos ϕ sin ϕ ) 68 sin( ϕ ) = 14 cos( ϕ ) tan( ϕ ) = 1, 8359 ϕ = 61, 6 ϕ = 30, 63 Görüleceği üere normal gerilmenin kama gerilmesine eşit olduğu doğrultu, Mohr dairesi üerinde ϕ=61,6 lik dönüş ile elde edilmektedir. Normal gerilme ve kama gerilmesinin birbirine eşit şiddette ve poitif olması hali için dül gerilme elanında ise mevcut durumdan 30,63 lik bir dönüş apılması gerekir. Burada göden kaçırılmaması gereken nokta, kama gerilmesine eşitlenen gerilme bileşeninin, x normal gerilme bileşeni olduğudur. x- koordinat sistinde x in değeri negatifken, 30,63 lik bir eksen transformasonu ile x normal gerilmesi poitif olmaktadır. Şaet normal gerilmenin ön değiştirmesi istenmesedi, ani τx kama gerilmesi ile x normal gerilmesinin alnı şiddetçe birbirine eşit olması istensedi; kama gerilmesi (+) normal gerilme de ön değiştirmeecek şekilde (-) alınarak hesap apıldığında, = τ ϕ =? 8 cos ϕ 8 sin ϕ 96 sin( ϕ ) = 8 sin( ϕ ) + 96 cos( ϕ ) 96 sin( ϕ ) 8 sin( ϕ ) = 96 cos( ϕ ) 8(cos ϕ sin ϕ ) 14 sin( ϕ ) = 68 cos( ϕ ) tan( ϕ ) = 0, ϕ = 8,74 ϕ = 14, değeri elde edilecektir. Bu gerilme hali için dül gerilme elanında -14,37, Mohr dairesi üerinde de -8,74 lik bir dönüş apıldığında, x normal gerilmesinin önü değişmeden kama gerilmesine şiddetçe eşitlenmiş olur. Sonuçlar Mohr dairesi üerinden incelendiğinde konu daha ii anlaşılacaktır.

6 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 d) Mohr Dairesinin çiimi:

7 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Alternatif kısa çöüm: Soruu daha hılı ve kola çöebilmek için mevcut gerilme haline ait Mohr dairesinin çiilerek hesaba gidilmesi gerekir. Daire üerinde M1 noktası işaretlendikten sonra bulunması istenen doğrultu daha pratik bir şekilde elde edilebilir. Dikkat edilmesi gereken husus, gerilme düli ile Mohr dairesinin dönüş önleridir. Mohr dairesi üerinde kama gerilmesi için seçilecek poitif eksen önü, gerilme elanı için hesaplanacak açıların işaretini etkileecektir. Dül gerilme elanında, verilen x- eksen takımına göre elanı saat önünün tersi istikamette çeviren τx kama gerilmeleri (+) kabul edilmektedir. Mohr çberinde ise şaet, poitif kama gerilmesi ekseni ukarı doğru seçilmişse saat önü istikametinde apılacak dönüşler (+) olacaktır. Diğer bir ifadele, dönüşüm denklleri ile elde edilen ve asal doğrultuu veren açının (+) olması halinde, asal gerilmeleri gösteren gerilme hali için eksen transformasonu, dül gerilme elanında saat önünün tersi, Mohr dairesi üerinde ise saat önünde olacaktır. Dairede, kama gerilmesini ifade eden eksenin aşağı doğru poitif seçilmesi halinde ise dönüş önü saat önünün tersi istikamette olacağından gerilme düli ile çberdeki dönüş önleri birbirine eşit olacaktır. Poitif dönüş önlerinin durumu, seçilecek poitif kama eksenin önüne göre Mohr dairesinde değişmeken, elanter dörtgende seçilecek eksen takımına göre, gerilme dülindeki dönüş önleri farklılık gösterecektir. Sorunun d maddesinde iki farklı çiim önti için de Mohr dairesi gösterilmiştir. Dül gerilme elanında kullanılan karteen eksenlerin değişmesi halinde ise dönüşüm denkllerinin çıkartıldığı referans eksen (genellikle ata eksendir) dikkate alınarak, dik eksenlerin poitif bölgesinde kalan ve referans eksene dik poitif kama gerilmesine göre dönüş önünün belirlenmesi gerekir o ----

8 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Örnek 3. Bileşik bir çubuk iki rijit mesnet arasına erleştirilmiştir. Çubuğun sol kısmı bakır olup kesit alanı 60 cm, sağ kısmı da alüminum olup kesit alanı 40 cm dir. Sist 7 C de gerilmesidir. Alüminum kısımdaki gerilmelerin 160 MPa lı geçmeecek şekilde, sistin sıcaklığını düşürebileceğimi uç değeri bulunu (Çubuk ağırlığını ihmal edini) (Nash, 197). Bakır için Alüminum için : Ebakır= 1,1x 5 N/mm, αt= 1,698x -5 1/ C : Ealüminum= 0,70x 5 N/mm, αt=,380x -5 1/ C Çöüm 3. Sist üçüncü dereceden hiperstatiktir. Sıcaklık farkından dolaı çubukta kesme kuvveti ve eğilme momenti oluşmaacaktır. Arıca çubuk ağırlığı da ihmal edildiğinden bileşik çubuk alnı eksenel normal kuvvete maru kalacaktır. Dolaısıla sist birinci dereceden hiperstatik kabul edilebilir. Probli çöebilmek için bir adet geometrik ugunluk şartına ihtiacımı vardır. Sıcaklık değişiminden sonra çubuktaki toplam bo değişiminin sıfır olması gereğinden hareketle, ugunluk şartı: olacaktır. Dolaısıla, l + l = bakır alüminum 0 Nlbakır 5 N 300 lbakır = αt,bakır tlbakır + = (1, 698 t 300) + 5 ( EA) 1, bakır 5 7 bakır = + l (509, 40 t) (4, 46 N) Nlalüminum 5 N 00 lalüminum = αt,alüminum tlalüminum + = (, 38 t 00) + 5 ( EA) 0, alüminum 5 7 alüminum = + l (476, 00 t) (7, 14 N) olarak elde edilir. İki parçalı çubukta sıcaklığın düşmesine bağlı olarak eksenel çekme kuvveti medana gelecektir. Alüminumda medana gelen gerilmelerin 160 Mpa lı geçmesi için sistin eksenel kuvvetinin maksimum, Nmaks = alüminumaalüminum = = N değerine eşit olması gerekir. Bulduğumu eksenel kuvveti ukarıdaki denkllerde erine koar ve geometrik ugunluk şartımıı aarsak,

9 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / (509, 40 t) + (4, ) + (476 t) + (7, ) = 0 (509, 40 t) + (476 t) = 854, , = 985, 40 t 744, 00 t = 75, 34 C değerini elde ederi. Sistin sıcaklığını düşürebileceğimi uç değer ise, olarak elde edilir. t = t t0 t 7 = 75, 34 t = 48, 34 C ---- o ----

10 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Örnek 4. Dikdörtgen kesitli bir basit kiriş aşağıda gösterildiği gibi üklenmiştir. Kirişi oluşturan malede iin verilen en büük çekme gerilmesi ç,= 15 MPa, en büük basınç gerilmesi b,= 5 MPa, ve kama gerilmesi de τ= 8 MPa olduğuna göre, a) Kirişte maksimum iç kuvvetlerin bulunduğu noktalarda medana gelen gerilmeleri hesaplaını ve iin verilen sınırlara göre eterli mukavette olup olmadığını tahkik edini. b) Kirişte C noktasındaki (kirişin açıklığının dörtte biri için) iç kuvvetleri dikkate alarak kiriş kesiti üerinde verilen a, b ve c noktalarını da kapsaacak şekilde gerilmeleri hesaplaını ve kesit dülindeki değişimlerini diagram ile gösterini. c) b şıkkında bulduğunu sonuçları kullanarak asal gerilmeleri ve doğrultularını hesap edini ve dül gerilme elanı ile Mohr dairesi üerinde gösterini. d) Asal gerilmeleri dikkate alarak kesitin eterli mukavette olup olmadığını, en büük kama gerilmesi hipotei ve biçim değiştirme enerjisi hipotei ile tahkik ederek değerlendirini. Çöüm 4. Kirişe ait kesit tesiri diagramlarını ve kesit parametrelerini hesaplaarak gerilme tahkikinde dikkate alacağımı kritik noktaları belirli gerekir. Kiriş kesitinde: Kesit alanı : A = 30 = 300 cm 3 30 Atalet momenti : I = = 500 cm 1 Statik moment : Q = 5 1, 5 = 65 cm Q a, G, = 15 7, 5 = 115 cm 4 3 3

11 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 a) Kirişte maksimum iç kuvvetlerin bulunduğu noktalarda gerilme tahkiki: Kesit tesiri diagramından görüleceği üere, mesnetlerde kesme kuvveti, açıklıkta ise kesme kuvvetinin sıfır olduğu noktada eğilme momenti maksimum değerlerine ulaşmaktadır. Açıklık ortasında momentin maksimum olduğu noktada kesme kuvveti sıfır olduğu için kesitte kama gerilmesi oluşmaacaktır. Dolaısıla maksimum momentin bulunduğu noktada alnıca normal gerilmelere göre tahkik apılması eterli olacaktır. Mesnetlerde ise kesme kuvvetinin maksimum olduğu noktalarda da eğilme momenti sıfırdır. Dolaısıla bu noktalarda da eğilme momentinden dolaı kesitte normal gerilmeler medana gelmeecektir. Ancak göden kaçırılmaması gereken nokta, kirişteki eksenel normal kuvvetin mevcudietidir. Eksenel normal kuvvet çubuk bounca etkidiği ve sabit değerde kaldığı için apılacak tüm tahkiklerde, normal gerilmelere etkisi gö önüne alınmalıdır. Mesnette kama gerilmeleri için apılacak tahkike ilave olarak normal gerilme tahkiki apılması da gereklidir. Mesnet kesitinde kama ve normal gerilmeler hesaplandıktan sonra bileşik mukavet hali sö konusu olduğu için maksimum τx kama gerilmesinin bulunduğu ağırlık merkeinde asal gerilmelerin ve maksimum kama gerilmesinin hesaplanarak iin verilen sınır gerilme değerlerinin aşılıp aşılmadığı da kontrol edilmelidir. A ve B mesnet kesitlerinde gerilme tahkiki: A mesnet noktasında kiriş kesitinde medana gelen gerilmeler, N = 90,00kN ; V =+ 6,00 kn ; M = 0 VQ 3 3 G, τx, b = τx,max = = = 1,30N/mm < τ ( Güvenli) 4 bi 0 500

12 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 τ VQ 3 3 a 6 65 = τx c = = = 0,7 N/mm bi 0 500, x, a, 4 3 N 90 = = = 3,00 N/mm < ( Gü ) b venli A 300 x,max, olarak elde edilir. Kesitin ağırlık merkeinde, eksenel normal kuvvet ve kesme kuvvetinden dolaı oluşan asal gerilmeler ve doğrultuları, 1, x + x = ± + τx = ± + 1,3 = 1,5 ± 1,99 = 3, 49MPa < ( Güvenli) 1 b, =+ 0, 49MPa < ç, ( Güvenli) τ x 1,3 tan ϕ0 = = = 0, ϕ0 = 40, 91 x 3 ϕ = 0, 46 x = 0, 46 ; = 69, Kesitin ağırlık merkeinde maksimum ve minimum kama gerilmeleri ve doğrultusu, τ max,min x 3 0 =± + τx =± + 1,3 =± 1,99MPa τ τ max min =+ 1,99 MPa < τ ( Güvenli) = 1,99 MPa < τ ( Güvenli) Mohr dairesinden, ϕ = 90 ϕ = 49, ϕ = 4, 55 1 olarak hesaplanır. Görüleceği üere kirişin mesnet kesitinde, x- eksen takımı ve asal eksen takımına göre elde edilen gerilme değerleri iin verilen sınırlarının altında kalmaktadır. Kama gerilmelerinin maksimum ve minimum olduğu doğrultuda da sınır değerler aşılmamaktadır. Mesnet kesitinde hesaplanan gerilmeler ve doğrultuları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

13 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 B mesnedinde kesme kuvveti ön değiştireceğinden kesitte medana gelen gerilmeler, τ = 1,30N/mm, = 3,00N/mm olacaktır. x,max x,max Kiriş açıklığında, kirişin orta noktasında gerilme tahkiki: Açıklıkta, kirişin L/ noktasında maksimum eğilme momentile birlikte eksenel normal kuvvet etkien kesitte medana gelen gerilmeler, N = 90,00 kn ; V = 0 ; M =+ 6,00kNm 3 6 N M 90 6 x = + = + = 3,00 + 0, A I =+ 150 mm = 3, , 1156( + 150) =+ 14, 34 N/mm < ( Güvenli) max x,max ç, min = 150 mm = 3, , 1156( 150) = 0, 34 N/ mm > ( Güvenli) x,min b, şeklinde elde edilir. Kiriş açıklığının orta noktasında kesme kuvveti sıfır olduğu için kesit alnı normal gerilme ile üklü durumdadır. En dış liflerde medana gelen gerilmeler maksimum ve minimum değerleri vermekte olup kama gerilmesi bulunmadığı için bu gerilmeler anı amanda asal gerilmelerdir. Sonuç olarak; verilen ükler altında, kirişin orta noktasında, eğilmeden dolaı medana gelen çekme ve basınç gerilmelerinde müsaade edilen sınırların aşılmadığı görülmektedir. Kiriş mevcut kesiti ile güvenlidir.

14 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Hesaplanan değerlerden birinin niet gerilmelerinden daha büük olması durumu sö konusu olsadı, gerilmeleri aaltabilmek için kiriş kesitinin boutlarının büütülmesi, kirişe etkien üklerin sınırlandırılması vea niet gerilmeleri daha üksek bir male seçimi çöüm ollarından biri olabilirdi. b) C noktasında kiriş kesitinde medana gelen gerilmeler ve diagramları: Kesit tesiri diagramında C noktasında, eksenel normal kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme momentinin oluşturduğu bileşik mukavet hali sö konusudur. N = 90,00kN ; V =+ 13,00 kn ; M =+ 19, 50 knm τ VQ 3 3 a = τx c = = = 0,36N/mm bi 0 500, x, a, 4 VQ 3 3 G, τx, b = τx,max = = = 0,65N/mm < τ ( Güvenli) 4 bi N M 90 19, 50 x = + = + = 3,00 + 0, A I =+ 150 mm = 3, , 0867( + 150) =+, 01N/mm < ( Güvenli) max x,max ç, = 150 mm = 3, , 0867( 150) = 16, 01N/mm < ( Güvenli) min x,min b, a c = 0mm b x,min = 3, , 0867( 0) = 11, 67 N/mm = 0 = 3, , 0867(0) = 3, 00 N/mm x,min =+ 0 mm = 3, , 0867( + 0) =+ 5, 67 N/mm x,min c) C kesitinde asal gerilmeler, doğrultuları ve Mohr dairesi üerinde gösterimi: Kiriş üerinde C noktası için hesapladığımı gerilmeleri, dül gerilme elamanı üerinde gösterebilmi için kiriş gövdesinin bulunduğu x- dülini kullanmamı gerekir. Hesapta, kullanacağımı eksen takımına göre elanter küp teki gerilme bileşenlerinin poitif önleri dikkate alınmalıdır. Kesitin en dış liflerinde ani ekseninde ±150 mm için kama gerilmesi sıfır olduğundan bu ordinatlardaki normal gerilme değerleri asal gerilmelerdir. Ancak

15 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 kesitin iç liflerine doğru ilerledikçe kama gerilmesinin artması nedenile, x- eksen takımına göre hesaplanan gerilme değerleri, maksimum ve minimum normal gerilmeleri ve kama gerilmelerini ifade etmeecektir. Dolaısıla asal gerilmelerin ve doğrultularının bulunması gerekir. Karteen eksen takımının düldeki konumuna göre, x ata ekseninden düşe eksenine (gerilme elanında saat önünde) apılacak dönüşler (+) olacaktır. Mohr dairesinde kama gerilmesi için poitif ön de ukarı doğru seçildiği takdirde, elamanla Mohr dairesinin dönüş önleri anı olacaktır. C kesitinde a noktasındaki asal gerilmeler ve doğrultuları: = 11,67 MPa ; = 0 ; τ = 0,36MPa x x 1, 11,67 11,67 τx x + x = ± + = ± + 0,36 = 5,835 ± 5,846 = 11, 68 MPa ; =+ 0, 01MPa 1 τ 0,36 tan ϕ = = = 0, ϕ = 3, 53 x 0 0 x 11,67 ϕ0 = 1,77 x0 = 1,77 ; 0 = 88, 3

16 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 C kesitinde b noktasındaki asal gerilmeler ve doğrultuları: = 3,00MPa ; = 0 ; τ = 0,65MPa x x 1, 3,00 3,00 τx x + x = ± + = ± + 0,65 = 1, 5 ± 1,63 = 3,13MPa ; =+ 0,13MPa 1 τ 0,65 tan ϕ = = = 0, ϕ = 3, 43 x 0 0 x 3,00 ϕ = 11,71 x = 11,71 ; 0 = 78, C kesitinde c noktasındaki asal gerilmeler ve doğrultuları: =+ 5,67 MPa ; = 0 ; τ = 0,36MPa x x 1, 5,67 5,67 τx x + x = ± + = ± + 0,36 =,835 ±,858 =+ 5,69 MPa ; = 0,0 MPa 1 τ 0,36 tan ϕ = = = 0, 1698 ϕ = 7, 4 x 0 0 x 5,67 ϕ = 3,6 x = 3,6 ; = 93,

17 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 d) Asal gerilmeler ile C kesitinde gerilme tahkiki: a noktasında en büük kama gerilmesi hipotei ile tahkik:? 11, 68 0, 01 = 11,69MPa ( Güvenli) 1 b, a noktasında biçim değiştirme enerjisi hipotei ile tahkik: ( + ) 1 1 ( 11, 68) + (0, 01) ( 11, 68 0, 01) = 11, 69 MPa (Güven li) b noktasında en büük kama gerilmesi hipotei ile tahkik:? b,? 3,13 0,13 = 3,6MPa ( Güvenli) 1 b, b noktasında biçim değiştirme enerjisi hipotei ile tahkik: ( + ) 1 1 ( 3, 13) + (0, 13) ( 3, 13 0,13) = 3, 0 MPa ( Güvenli) c noktasında en büük kama gerilmesi hipotei ile tahkik:?? b, 5, 69 ( 0, 0) = 5,71 MPa ( Güvenli) 1 ç, c noktasında biçim değiştirme enerjisi hipotei ile tahkik: ( + ) 1 1 (5, 69) + ( 0, 0) (5, 69 ( 0,0) = 5,70 MPa ( Güvenli) ---- o ----? ç,

18 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Örnek 5. Aşağıda ükle durumu verilen I kesitli basit kirişte, = 140 MPa ve τ=80 MPa olduğuna göre, a) Kiriş kesitinde medana gelen ata ve düşe kama gerilmelerini hesaplaını, kesit dülindeki değişimini diagram ile gösterini. b) Kiriş kesitinde medana gelen normal gerilmeleri (C ve D noktaları için de) hesaplaını ve kesit dülindeki değişimini diagram ile gösterini. c) I kesitli kirişin boun bölgesinde (C ve D noktalarında) medana gelen maksimum gerilmeleri, eksenine dik dül gerilme elanı ve Mohr dairesi üerinde gösterini. d) Kesitin eterli mukavette olup olmadığını, en büük kama gerilmesi hipotei ve biçim değiştirme enerjisi hipotei ile tahkik ederek değerlendirini. Çöüm 5. Kirişe ait kesit tesiri diagramlarını ve kesit parametrelerini hesaplaarak gerilme tahkikinde dikkate alacağımı kritik noktaları belirli gerekir. Kiriş kesiti için: Kesit alanı : A = (15 ) + (1 0) = 80cm k Atalet momenti : I = I = 7946, 67cm 3 3 Statik moment : Q = = 330,00cm Q, başlık = Q + ( 1 5) = 380, 00cm, G, başlık 3 3

19 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Görüleceği üere kiriş ekseni üerinde tekil üklerin bulunduğu E ve F noktalarında kesme kuvvetile birlikte eğilme momenti de maksimum değerlerine ulaşmaktadır. Dolaısıla apacağımı gerilme tahkiklerinde h kama gerilmelerinin h de normal gerilmelerin bir arada bulunması halini bu noktalar için gö önüne almamı gerekecektir. Ancak göden kaçırılmaması gereken nokta, kirişteki eksenel normal kuvvetin varlığıdır. Eksenel normal kuvvet çubuk bounca etkidiği ve sabit değerde kaldığı için apılacak tüm tahkiklerde, normal gerilmelere etkisi gö önüne alınmalıdır. Mesnette kama gerilmeleri için apılacak tahkike ilave olarak normal gerilme tahkiki apılması da gereklidir. Mesnet kesitinde kama ve normal gerilmeler hesaplandıktan sonra bileşik mukavet hali sö konusu olduğu için maksimum τx kama gerilmesinin bulunduğu ağırlık merkeinde asal gerilmelerin ve maksimum kama gerilmesinin hesaplanarak iin verilen sınır gerilme değerlerinin aşılıp aşılmadığı da kontrol edilmelidir. a) Kesitte oluşan düşe (gövde doğrultusu) ve ata (başlık doğrultusu) kama gerilmeleri: Maksimum kesme kuvvetinden dolaı profilde medana gelen düşe kama gerilmeleri: τ τ τ VQ 3 3 başlık = = =,07 N/mm b I , 67, x, başlık 4 başlık VQ 3 3 başlık = = = 31,05N/mm t I 7946, 67, x, başlık 4 gövde VQ 3 3 G, = = = 35,86 N/ mm t I 7946, 67 x,max 4 gövde

20 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Maksimum kesme kuvvetinden dolaı profil başlığında medana gelen ata kama gerilmeleri: τ V 3 3 ( Q başlık /) = = = 7,79 N/mm t I , 67, x, başlık 4 başlık - dülinde hesaplanan τx ve τx kama gerilmelerinin dağılımı aşağıdaki şekilde verilmiştir. Büüklükleri x ekseni üerinde gösterilmiştir.

21 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 b) Kesitte oluşan normal gerilmeler: Eğilmeden dolaı kiriş kesitinin alt kısmı çekme üst kısmı basınç gerilmelerile üklü olacaktır. Eksenel normal kuvvetin varlığı ise tarafsı ekseni ağırlık merkeinden farklı bir noktaa taşıacaktır. x N =+ 50,00 kn ; M =+ 75,00 knm 3 6 N M = + = + = 6, 5 + 0,944 4 A I , 67 k Yukarı elde edilen denkl ardımıla, eksenel normal kuvvet ve eğilme momentine maru kirişte, kesitin herhangi bir noktası için ordinat değerini denklde ilgili ere koarak normal gerilmeleri elde ederi. =+ mm = 6, 5 + 0, 944() = 119, 53 N/mm x,max = mm = 6, 5 + 0, 944( ) = 7, 03 N/mm x,min =+ 0 mm = 6, 5 + 0, 944(0) = 0, 65 N/mm xd, = 0 mm = 6, 5 + 0, 944( 0) = 88, 15 N/mm xc,

22 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 c) Başlık ile gövdenin birleştiği noktalarda gerilme halinin tasviri: Başlık ile gövdenin birleştiği C Noktası için gövde dülinde medana gelen asal gerilmelerin hesabı: = 88,15MPa ; = 0 ; τ = 31,05MPa x x 1, 88,15 88,15 τx x + x = ± + = ± + 31, 05 = 44, 075 ± 53, 914 = 97,99 MPa 1 = + 9,84 MPa τ 31,05 tan ϕ = = = 0,70448 ϕ = 35, 16 x 0 0 x 88,15 ϕ = 17,58 x0 = 17, 58 ; 0 = 7, 4 0

23 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Başlık ile gövdenin birleştiği D Noktası için gövde dülinde medana gelen asal gerilmelerin hesabı: = 0,65MPa ; = 0 ; τ = 31,05MPa x x 1, 0, 65 0, 65 τx x + x = ± + = ± + 31, 05 = 50, 35 ± 59, 133 = + 9, 46 MPa 1 = 8, 81MPa τ 31,05 tan ϕ = = = 0, ϕ = 31, 67 x 0 0 x 0, 65 ϕ0 = 15,84 x0 = 15, 84 ; 0 = 5, 84

24 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 d) Maksimum ve minimum gerilmeler ile = 140 MPa ve τ=80 MPa için kesitte gerilme tahkiki: Başlık ile gövdenin birleştiği C noktasında en büük kama gerilmesi hipotei ile niet gerilmelerinin aşılıp aşılmadığı tahkiki:? 1 97, 99 (9, 84) = 7, 33 MPa ( Güvenli) Başlık ile gövdenin birleştiği C noktasında biçim değiştirme enerjisi hipotei ile tahkik: ( + ) 1 1 ( 97, 99) + (9, 84) ( 97, 99 9, 84) = 3, 6 MPa ( Güve nli) Başlık ile gövdenin birleştiği D noktasında en büük kama gerilmesi hipotei ile tahkik:? 1 9, 46 ( 8, 81) = 118, 7 MPa ( Güvenli) Başlık ile gövdenin birleştiği D noktasında biçim değiştirme enerjisi hipotei ile tahkik:? ( + ) 1 1 (9, 46) + (8, 81) (9, 46 ( 8, 81)) = 114, 1 MPa (Güve nli) ---- o ----?

25 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Örnek 6. Şekilde boutları verilmiş kesitin çekirdek bölgesini hesap edini ve çekirdek bölgesinin ne anlama geldiğini kısaca açıklaını. Çöüm 6. Dışmerke normal kuvvetin ugulama noktasının çekirdek bölgesi içinde vea sınırında olması hali, kesitte medana gelen normal gerilmelerin tek önlü olacağı anlamına gelmektedir. Ugulama noktasının çekirdek bölgesinin dışına çıkması hali ise kesitte medana gelen normal gerilmelerin çift önlü olarak medana geleceğini göstermektedir. Çekirdek alanını belirleen noktaları hesaplaabilmek için normal gerilmenin tek önlü ve tarafsı eksenin kesit sınırında bulunduğu öel hal dikkate alınmalıdır. Dolaısıla, şekilde verilen teğetlerin, ağırlık merkeinden geçen eksen takımını kestiği noktaların koordinatlarının belirlenmesi gerekir. Kesit alanı : A = (300 0) + ( ) = , 00 mm k Ağırlık merkei : e [ ] Atalet momentleri: I = ( ) + ( ) / = 5, 00 mm = = 117 mm I = + = 448 mm

26 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Atalet arıçapları: i I = = = 4375,00mm Ak I 448 = = = 93333,33mm A i k Şekilde verilen teğetler için çekirdek noktalarının hesabı: A i i = ; A = t A1 noktasının hesabı için ağırlık merkeinden geçen eksen takımına göre 1-1 teğetinin eksenleri kestiği koordinatlar, t,1 = ; t,1 = 375 mm olarak hesaplanır. Dolaısıla A1 noktasının koordinatları: 4375 A1 = 0 ; A1 = = 65,00 mm 375 olarak bulunur. A noktasının hesabı için ağırlık merkeinden geçen eksen takımına göre - teğetinin eksenleri kestiği koordinatlar, t, = 700mm ; t, = 55mm olarak hesaplanır. Dolaısıla A noktasının koordinatları: 93333, A = = 133,33mm ; A = = 46, 43mm olarak bulunur. A3 noktasının hesabı için ağırlık merkeinden geçen eksen takımına göre 3-3 teğetinin eksenleri kestiği koordinatlar, t,3 = 600mm ; t,3 = olarak hesaplanır. Dolaısıla A3 noktasının koordinatları: 93333, 33 A3 = = 155,55mm ; A3 = olarak bulunur. A4 noktasının hesabı için ağırlık merkeinden geçen eksen takımına göre 4-4 teğetinin eksenleri kestiği koordinatlar, t,4 = ; t,4 = 5 mm olarak hesaplanır. Dolaısıla A4 noktasının koordinatları: 4375 A4 = 0 ; A4 = = 8,33mm 5 olarak bulunur. Kesit eksenine göre simetrik olduğu için A ve A3 noktalarının eksenindeki değerleri eksi işaretli alınarak çekirdek bölgesi çiilir. t

27 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / o ----

28 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Örnek 7. Yukarıdaki şekilde görülen rijit AC çubuğu, B noktasında 16 mm çapında dairesel kesitli bir çubuk ile asılmıştır. Askı çubuğun iki ucu mafsallıdır. C noktasındaki düşe erdeğiştirmenin 6 mm olması için 0 kn şiddetindeki P kuvvetinin bulunması gereken e mesafesini ve A mesnedindeki reaksion kuvvetini hesaplaını. Askı çubuğunun elastisite modülü E=x5 MPa dır. Çöüm 7. Rijit AC çubuğunda C noktasında medana gelen 6 mm lik düşe erdeğiştirme B noktasında, benerlikten 4 mm olarak hesaplanır. Yerdeğiştirmenin önü, çubuğa etkien P kuvveti ile anı öndedir. Dolaısıla askı çubuğunda 4 mm lik bir uama sö konusudur. Askı çubuğundaki çekme kuvvetine S1, çubuk uunluğuna da l1 dersek, S Sl 1 1 l1ea l1 = S1 = S1 = ε 1EA EA l1 ε = 4 /4000 = 0, = 0, 001 ( ) ( π 8 ) S = 4011N 1 1 değeri elde edilir. Denge denklleri ardımıla P kuvvetinin bulunması gereken e mesafesi ve mesnet reaksionu elde edilir. Σ F = 0 R P+ S = 0 R + S = P A 1 A 1 Σ M = 0 S Pe = 0 S = Pe ( ) (1) numaralı denklden, A 1 1 RA + S1 = P RA = 0 40, 1 R A = 59,79 kn () numaralı denklden, olarak elde edilir. S = Pe e = 40, 1 /50 e = 0,80 4m 1 (1)

29 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Örnek 8. Şekilde görülen, 3 metre uunluğundaki dikdörtgen kesitli konsol kiriş, B ucunda P1 ve P tekil kuvvetlerile üklenmiştir. Kiriş kesiti 15 cm x 30 cm ve P1 kuvvetinin şiddeti 7,95 kn olduğuna göre: a) Bu ükle altında kirişte medana gelen en büük çekme gerilmesinin 1, MPa ve en büük basınç gerilmesinin de 0 MPa olması istenmektedir. Konsol ucuna etkimesi gereken P kuvvetinin şiddetini ve kesitteki ugulama noktasını bulunu. b) Kiriş kesitinde medana gelen çekme gerilmelerinin sıfır, en büük basınç gerilmesinin de 0 MPa olması istensedi, konsol ucuna etkimesi gereken P kuvvetinin şiddetini ve kesitteki ugulama noktasını bularak şekil üerinde gösterini. Çöüm 8. Eğilme momenti konsol kirişin mesnet noktasında maksimum değerini alacaktır. Dolaısıla, soruda istenen sınır değerlerin elde edilmesi için apılacak hesaplamalar A noktasında olacaktır. Kesit tesiri diagramları aşağıda verilmiştir.

30 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 Kiriş kesitinde: Kesit alanı : A = = 450 mm Atalet momenti : I = = mm 1 Mukavet momenti : W = = 50 mm 6 k Verilen dül kuvvetler sistinde, kiriş kesiti tek eksenli eğilmee marudur. Kiriş ucunda bulunan P1 kuvveti A noktasında maksimum eğilme momentini oluşturmaktadır. P eksenel kuvveti ise kiriş bounca sabittir. İstenilen nihai gerilme değerleri için eksenel kuvvetin tatbik noktası da sorulduğu için P kuvvetini dışmerke normal kuvvet gibi değerlendirmi gerekir. Bu durumda, P1 kuvvetinin kiriş üerinde oluşturduğu eğilme momentine ilave bir eğilme momenti de dışmerke P kuvveti nedenile medana gelecektir. Kirişteki toplam eğilme momenti M olmak üere, P1 kuvvetinin medana getirdiği eğilme momentine M1 ve P kuvvetinin dışmerkeliğinden dolaı medana gelen eğilme momentine de M dersek, bu şartlar altında genel gerilme bağıntısını aşağıdaki şekilde aabiliri. x N M N M + M x = + = + A I A I 1 k k M = N N ( M1 + NA) N M1 NA = + = + + A I A I I k k A Yukarıda elde edilen denkl ardımıla, çubuğun mesnet kesitindeki eğilme momentinden dolaı medana gelen normal gerilmeler, h eğilme momenti oluşturan P1 kuvvetile h de dışmerke etkidiği kabul edilen P kuvveti ile ilişkilendirilmiş olmaktadır. a) Verilen nihai gerilme durumu için P kuvvetinin şiddeti ve kesitteki ugulama noktasının hesabı: P kuvveti kirişte basınç gerilmesi oluşturacak şekilde verilmiştir. Verilen ükle altında nihai gerilme durumu için en büük çekme gerilmesinin ç,maks= 1, MPa, en büük basınç gerilmesinin de b,maks= 0 MPa olması istenmektedir. Yukarıda verilen denkl ardımıla, kesitte sö konusu gerilmelerin medana gelmesi gereken noktaların eksenindeki ordinat değerlerini ilgili ere koarak, nihai gerilme değerleri için P normal kuvvetini ve tatbik noktasını elde edebiliri. P1 kuvvetinden dolaı medana gelen eğilme momenti negatif (-) olacağından çubuğun üst liflerine çekme, alt liflerine de basınç gerilmesi etkiecektir. Bu önleri koruarak kesitin en dış lifleri için çıkartılan denkller aşağıda verilmiştir.

31 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 N = P ; M = 3 P = 3,85kN m ; N = P e 1 1 A =+ 150mm = 0MPa x,min 6 P + ( 3,85 ) ( P e ) 0 = + + ( 150) (, P ), 6 ( 4, 444P e ) 5 7 = + 9, 4 P (, 4, 444 e )... (1) 5 7 = = 150mm =+ 1, MPa x,maks 6 P + ( 3,85 ) ( P e ) 1, = + ( 150) , (, P ), 6 (4, 444P e ) 5 7 = , 4 = P (, + 4, 444 e )... () P ve e bilinmeenlerini bulmak için kesitin en alt ve en üst noktalarında, istenen gerilme değerleri için elde ettiğimi (1) ve () denkllerini taraf tarafa toplarsak, 9, 4 P (, 4, 444 e ) 5 7 = 9, 4 P (, 4, 444 e ) 5 7 = + = P 5 18, 8 (, ) P 5 9, 4 /(, ) = P = N değerini elde ederi. P kuvvetinin değerini (1) vea () denklinde erine koarak eksenel kuvvetin dışmerkelik mesafesi e değerini hesaplaabiliri. 5 7 = 9, (, 4, 444 e ) 9,4 = 9,4 0,19e e = 0 Görüleceği üere e mesafesi sıfır çıkmıştır. Dolaısıla, nihai gerilme durumu için hesaplanan P kuvveti, çubuk kesitinin ağırlık merkeinden etkimektedir. Yani dışmerke değil merkei bir kuvvettir. Alternatif kısa çöüm: Kesitte medana gelen normal gerilmeleri süperpoison prensibi ile iki kısımda ifade edebiliri. Birincisi toplam eğilme momenti dolaısıla oluşan normal gerilmeler, ikincisi de eksenel normal kuvvet dolaısıla oluşan normal gerilmelerdir. Dışmerke etkidiği far edilen P kuvvetinin şiddeti bilinmektedir. Dolaısıla dışmerkelikten kanaklanan eğilme momentinin şiddeti de belirsidir. Ancak, P1 kuvvetinin şiddeti

32 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 bilindiği için mesnette oluşturduğu eğilme momenti ve normal gerilmeler hesaplanabilir. P1 kuvvetinin medana getirdiği eğilme momentine M1 ve bu eğilme momentinden dolaı medana gelen maksimum ve minimum normal gerilmelere de x1 dersek, M = 3 P = 3 7,95 = 3,85kN m 1 1 M 6 1 3, 85 =± =± =±,6MPa W 50 x1 3 değeri elde edilir. Kesitte oluşması istenilen nihai gerilmelerden, ukarıda hesaplanan değerler çıkartılırsa, dışmerke etkidiği far edilen P eksenel kuvveti dolaısıla oluşacak normal gerilme değerleri elde edilebilir. Kiriş negatif eğilme momentine maru olduğuna göre, üst lifler çekmee alt lifler ise basınca çalışacaktır. Bu önler korunarak kesitte oluşan gerilmeler grafik olarak aşağıdaki şekilde ifade edilir. Görüleceği üere, çıkarma işlinden sonra x olarak elde edilen gerilme dügün/üniform bir dağılış göstermektedir. Dolaısıla, kesite etkien P eksenel normal kuvvetinin dışmerke değil, merkei olduğu buradaki gerilme dağılımından kolalıkla anlaşılmaktadır. 9,4 MPa şiddetindeki basınç gerilmesile kesit alanı çarpılarak P eksenel normal kuvveti bulunur. N 3 x = N = 9, 4 45 = N A k P = 43 kn b) Verilen nihai gerilme durumu için P kuvvetinin şiddeti ve kesitteki ugulama noktasının hesabı: Verilen ükle altında nihai gerilme durumu için en büük çekme gerilmesinin ç = 0, en büük basınç gerilmesinin de b,maks= 0 MPa olması istenmektedir. Yukarıda verilen genel denkl ardımıla, kesitte sö konusu gerilmelerin medana gelmesi gereken noktaların eksenindeki ordinat değerlerini ilgili ere koarak, nihai gerilme değerleri için P normal kuvvetini ve tatbik noktasını elde edebiliri. P1 kuvvetinden dolaı medana gelen eğilme momenti negatif (-) olacağından çubuğun üst liflerine çekme, alt liflerine de basınç gerilmesi etkiecektir. Bu önleri koruarak kesitin en dış lifleri için çıkartılan denkller aşağıda verilmiştir.

33 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 N = P ; M = 3 P = 3, 85 knm ; N = P e 1 A =+ 150mm = 0MPa x,min 6 P + ( 3,85 ) ( P e ) 0 = + + ( 150) (, P ), 6 ( 4, 444P e ) 5 7 = , 4 = P (, 4, 444 e )... (1) = 150 mm = 0 x,maks 6 P + ( 3,85 ) ( P e ) 0 = + ( 150) (, P ), 6 (4, 444P e ) 5 7 = , 6 = P (, + 4, e ). 0.. () P ve e bilinmeenlerini bulmak için kesitin en alt ve en üst noktalarında, istenen gerilme değerleri için elde ettiğimi (1) ve () denkllerini taraf tarafa toplarsak, 5 7 = P 9, 4 (, 4, 444 e ) 5 7 = P +, 6 (, 4, 444 e ) = P 5 0 P (, ) = 5 /(, ) P = N değerini elde ederi. P kuvvetinin değerini (1) vea () denklinde erine koarak eksenel kuvvetin dışmerkelik mesafesi e değerini hesaplaabiliri. 5 7 = 9, (, 4, 444 e ) 9,4 = 0,e e = 3,0mm Görüleceği üere, 450 kn şiddetindeki P kuvvetinin, ağırlık merkeinden 3 mm ukarı kadırılmasıla kesitin en üst liflerinde medana gelen normal gerilmenin şiddeti sıfır olarak elde edilebilmektedir. Alternatif kısa çöüm: Bir önceki çöümde aptığımı gibi, kesitte medana gelen normal gerilmeleri süperpoison prensibi ile iki kısımda ifade edebiliri. Birincisi toplam eğilme momenti dolaısıla oluşan normal gerilmeler, ikincisi de eksenel normal kuvvet dolaısıla oluşan normal gerilmelerdir. Dışmerke etkidiği far edilen P kuvvetinin şiddeti bilinmektedir. Dolaısıla dışmerkelikten kanaklanan eğilme momentinin şiddeti

34 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 de belirsidir. Ancak, P1 kuvvetinin şiddeti bilindiği için mesnette oluşturduğu eğilme momenti ve normal gerilmeler hesaplanabilir. P1 kuvvetinin medana getirdiği eğilme momentine M1 ve bu eğilme momentinden dolaı medana gelen maksimum ve minimum normal gerilmelere de x1 dersek, M = 3 P = 3 7,95 = 3,85kN m 1 1 M 6 1 3, 85 =± =± =±,6MPa W 50 x1 3 değeri elde edilir. Kesitte oluşması istenilen nihai gerilmelerden, ukarıda hesaplanan değerler çıkartılırsa, dışmerke etkidiği far edilen P eksenel kuvveti dolaısıla oluşacak normal gerilme değerleri elde edilebilir. Kiriş negatif eğilme momentine maru olduğuna göre, üst lifler çekmee alt lifler ise basınca çalışacaktır. Bu önler korunarak kesitte oluşan gerilmeler grafik olarak aşağıdaki şekilde ifade edilir. Görüleceği üere, çıkarma işlinden sonra x olarak elde edilen gerilme amuk formunda, kesit üksekliği bounca dügün değişen bir dağılış göstermektedir. Gerilme dağılışının bu şekilde olması, P kuvvetinin dışmerke etkidiğine işaret etmektedir. Dolaısıla, eksenel normal kuvvet ile birlikte dışmerkelikten kanaklanan bir eğilme momenti sö konusudur. Bu kuvvet sistini kesitin ağırlık merkeinde, kuvvet-kuvvet çifti olarak ifade etmek ve iki kısıma aırarak grafik olarak incelek mümkündür. Yukarıdaki amuk formlu gerilme dağılışını, eksenel normal kuvvet ve neden olduğu eğilme momentini ifade edecek şekilde aşağıdaki gibi aırabiliri. Bölelikle, kesite etkien P eksenel normal kuvvetinin şiddeti ve M eğilme momentinin şiddeti kolalıkla hesaplanabilir. M eğilme momenti bulunduktan sonra ise P kuvveti bilindiği için e mesafesi de hesaplanabilir.

35 Mukavet I - Çöümlü Örnekler / 35 M W k N M x = + A W 3 3 = 0, 6 MPa M = 0, 6 50 = 1350 N m 3 M = P e 1350 = e k N 3 = MPa N = 45 = N A P = 450 kn e = 3mm ---- o ---- KAYNAKLAR: Egor P. Popov, 1979, Introduction to Mechanics of Solids, Prentice Hall, New Delhi, ISBN Hilmi Luş, Uğur Erso, Erd Canba, S Tanvir Wasti, 013, Çubukların Mukaveti, Boğaiçi Üniversitesi Yaınevi, İstanbul, ISBN Mehmet Bakioğlu, 007, Statik Mukavet, Beta Yaınevi, İstanbul, ISBN Mehmet H. Omurtag, 011, Mukavet I-II, Birsen Yaınevi, İstanbul, ISBN Mustafa İnan, 001, Cisimlerin Mukaveti, İTÜ Vakfı, İstanbul, ISBN William A. Nash, 197, Cisimlerin Mukaveti Probl Kitabı, Çeviri: Esin Ergintan İnan, Ofset Matbaacılık, İstanbul. Yavu Bilgen, 006, Mukavet I-II Ders Notları, İÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü, İstanbul.