12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama 6. Rasyonel sayıların kuvvetleri 7. Alıştırmalar 1. Rasyonel sayılar 1.Tanım: ( ) olduğuna göre K nin her bir elemanına bir kesir denir ve a ya, ( ) kesrinin payı, b ye ( ) kesrinin paydası, adı verilir. 2.Tanım: ( ) ve ( ) iki kesir Eğer ise ( ) kesri, ( ) kesrine denktir, denir. ( ) ( ) 1.Örnek: ( ) ( ) doğrudur. 1.6=2.3 1.Teorem: Kesirler kümesinde ( ) ( ) için ( ) ( ) biçiminde tanımlanan bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. K kümesinde tanımlanan denklik bağıntısı K kümesini denklik sınıflarına ayırır. ( ) denklik sınıfı ( ) ile gösterilebilir. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.Tanım: Kesirlerin K kümesinde tanımlanan denklik bağıntısının K dan ayırdığı her bir denklik sınıfına bir rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi ile gösterilir. Örnek: ( ), ( ), ( ) denklik sınıflarının her biri rasyonel sayılardır. 1
( ) ( ) ( ) ( ) 2.Teorem: ( ) İspat: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.Sonuç: olduğuna göre ( =( ) ) ( =( ) ) 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 1.Tanım: Rasyonel sayılar kümesinde tanımlanan, (( ) ( ) ) ( ) işlemine toplama denir. ( ) rasyonel sayısına ( ) ( ) rasyonel sayılarının toplamı denir. ( ) ( ) biçiminde gösterilir. Yani, ( ) ( ) ( ) Tanıma göre, ( ) ( ) ( ) 2.Tanım: Rasyonel sayılar kümesinde tanımlanan, (( ) ( ) ) ( ) işlemine çarpma denir. ( ) rasyonel sayısına ( ) ( ) rasyonel sayılarının çarpımı denir. ( ) ( ) biçiminde gösterilir. Yani, ( ) ( ) ( ) 1.Teorem: ( ) matematik yapısı bir cisimdir. Ispat: 1.Rasyonel sayılar kümesinde toplama dan ya bir fonksiyon olduğundan kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. 2. ( ) ( ) = ( = ) ( ) ( ) ( ) olduğundan toplama işleminin değişme özelliği vardır. 3. (( ) ( ) ) ( ) = ( +( ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) olduğundan toplama işleminin birleşme özelliği vardır. 4. için ( ). Öte yandan, ( ) ( ) ( =( ) ) olduğundan nun toplama işlemine göre etkisiz elemanı vardır - ( ) 5. ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) olduğundan her ( ) elemanın toplama işlemine göre tersi vardır ve (. ) 2
6. Rasyonel sayılar kümesinde çarpma dan ya bir fonksiyon olduğundan kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. 7. ( ) ( ) = ( = ) ( ) ( ) ( ) olduğundan çarpma işleminin değişme özelliği vardır. 8. (( ) ( ) ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) olduğundan çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. 9. (( ) (( ) ) ( ) )= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olduğundan çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. Şağdan dadağılma benzer biçimde gösterilir. 10. ( ) ( ) ( ) ( ) olduğundan nun çarpma işlemine göre etkisiz elemanı vardır - ( ) 11. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) veya ( ) ( ) ( ) ( ) veya ( ) ( ) olduğundan kümesinde sıfırın bölenleri yoktur. 12.. ( ) ( ) = ( = ) ( ) olduğundan nun toplama işleminin etkisiz elemanından farklı her ( ) elemanının çarpma işlemine göre ters elemanı vardır - ( ) Böylece cisimdir. cisim oduğundan onun elemanlarının katları ve kuvvetleri tanımlıdır. 2.Teorem: ( ) cisminde toplama işleminin sadeleştirme özelliği vardır. Çarpma işleminin, cismin sıfırdan farklı elemanları ile sadeleştirme özelliği vardır. 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 3.Tanım: ( ) ( ) ( ) [ ( ] ) rasyonel sayısına ( ) ( ) nin farkı denir. ( ) ( ) ( ) [( ] ) rasyonel sayısına ( ) ( ) nin bölümü denir. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ] ) ( ) ( =( ) ) Örnek: ( ) ( ) =( ) ( ) ( ) ( ) =( ) ( ) 3
4.Tam rasyonel sayılar 3.Teorem: {( ) } olduğuna göre, ( ) matematik yapısı, ( ) matematik yapısına izomorftur. Ispat: ( ) matematik yapısı halkadır. ( ) fonkiyonuna bakalım. ( ) ( ) için [( ) ( ] ) ( ) (( ) ) (( ) ) ve [( ) ( ] ) ( ) (( ) ) (( ) ) olduğundan bir homomorfizmdir. Bu fonksiyon birebir ve örtendir. Buna göre, fonksiyonu ( ) matematik yapısından ( ) matematik yapısına bir izomorfmizmdir. 4.Tanım: olduğuna göre, ( ) rasyonel sayısına tam rasyonel sayı denir. Kısaca biçimde gösterilir. Bu tamıma göre. herhangi bir ( ) elemanını biçiminde gösterelim. 4.Teorem: ve ise dır. Ispat: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5.Tanım: ve 5.Teorem: ve ve a) b) c) d) ise 6.Teorem: a nın b ye bölünmesinden elde edilen bölümün q, kalanın r olması için, ve r<b olması gerekir ve yeter. Örnek: 25=4.6+1 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama 4
7. Teorem: ( ) =( ) ise cd>0. Ispat: ( ) =( ) ( )( ) ( )( ) ( ) =(ab)(cd) 6.Tanım: :, ( ) ise ve yalnız böyle ise sayısına pozitif rayonel sayı denir ve biçimde yazylyr. Pozitif rasyonel sayılar kümesi: ise ve yalnız böyle ise sayısına negatif rayonel sayı denir ve biçimde yazylyr. Negatif rasyonel sayılar kümesi: 7.Tanım: { biçiminde tanımlanan sayısına x in mutlak değeri denir. 8.Tanım: : olacak biçimde pozitif rasyonel sayı varsa rasyonel sayısı b den küçük denir ve yazılır. yerine bazen yazılır. veya ifadesi biçimde yazılır. 8.Teorem: 9.Teorem: ve 10.Teorem: a) b) ( ), ( ) c) d) ( ) e) f), g) ( ) h) ( ) i) ve 9.Tanım: : veya ise rasyonel sayısı ile z nin arasındadır, denir. 11.Teorem: en az bir rasyonel sayı vardır. 5
12.Teorem (Arşimed özelliği): olacak biçimde bir tam sayı vardır. 6. Rasyonel sayıların kuvvetleri 10.Tanım: a) dir. b) dir. c) dir. d) ( ) ye x in n inci kuvveti denir ve x üssü n diye okunur. x e taban n ye üs denir. 13.Teorem: a) ( ) b) ( ) c) d) ve ise e) ( ) 14.Teorem: ise veya. 15.Teorem: n çift tam sayı ise olacak biçimde bir rasyonel sayı yoktur. 11.Tanım: a) tek sayı olmak üzere, olacak biçimde bir sayı varsa bu sayıya a nın n. kuvvetten kökü denir. b) çift sayı ve olmak üzere, olacak biçimde bir pozitif sayı varsa bu sayıya a nın n. kuvvetten pozitif kökü denir. c) çift sayı ve olmak üzere, olacak biçimde bir negatif sayı varsa bu sayıya a nın n. kuvvetten negatif kökü denir. = 12.Tanım: [ ] 16.Teorem: a) ( ) b) c) ( ) d) e) ( ) 6
7.Alıştırmalar 1. ( ) kesrine denk olan öyle bir (x,y) kesri bulunuz ki x+y=21 2. Aşağıdaki açık önermelerin daki doğruluk kümesini bulunuz. 3. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) rasyonel sayısını en sade biçimde yazınız. 4. ispatlayınız. 5. ispatlayınız. 6. Aşağıdakileri hesaplayınız. a) 3( ) b) ( )( ) c) 0( ) d) [( ] ) e) [( ] ) f) [( ] ) ( )( ) ( ) önermeyi ( )( ) önermeyi 7. olduğuna göre, olduğunu gösteriniz. 8. olduğuna göre, olduğunu gösteriniz. 9. ve olduğuna göre olduğunu gösteriniz. 10. ve ( ) ( ) ( ) olduğunu gösteriniz. 11. ve ( ) ( ) olduğunu gösteriniz. 7