5+ KARMAŞIK SAYILARDA TRİGNMETRİ KUTUPSALA (TRİGNMETRİK BİÇİME) ÇEVİRME Örnek... : +i saısının kutupsal biçimini bulunuz..ol +i saısına düzlemde A(,) noktası karşılık gelsin. Şekli incele iniz z=+i saıları z= z. cisθ olarak azılabildiğinden ( z =modül ; arg(z)=θ) olacağından + i= cis45 olarak elde edilir..ol 45 o z=+i saısının önce modülü R +I = + = bulunur. A Sonra sanal kısım, reel kısım ve argümenti oluşturan açıı birbirine bağlaan tanθ= İm Re = ifadesinden açının tanjant değeri ( farklı açı değeri ) ve verilen saının koordinat sisteminde bölgesi de dikk ate al ınarak argüm ent hesaplanır. Burada tanθ= = θ=45o vea 5 o olarak elde edilir. Koordinatların her ikisi de pozitif olacağından açı 45 o ve dolaısıla +i= cis45 olarak elde edilir..bölge.bölge 3.bölge 4.bölge tanθ + - + - Bazı gerekli değerler 0 o 30 o 45 o 60 o tanθ 0 3 = 3 3 sin θ 0 cosθ 3 3 = = Şimdi iki farklı tanjant değeri bulmak erine işareti. adımda dikkate alacağımız eni bir ol bulalım. Açıı tanjant değerinden bulurken önce işaretine bakmaksızın sanal kısmı reel kısma bölerek mutlak değerce hangi dar açının tanjantına baktığımızı buluruz. Sonra z saısına karşılık gelen noktanın bölgesini kullanarak açının gerçek değerini buluruz. Bunun için ı ilk elde ettiğimiz dar açıı 80 e ekler / çıkartır vea 360 dan çıkartırız. Örneğin açının tanjantının mutlak değerinden ölçüsü 45 o bulunmuş ve açıı. bölgede istiorsak 80-45 ; 3. bölgede istiorsak 80+45 ; 4. bölgede istiorsak 360-45 olarak azarız. Unutmaın 90 ve 70 ile azılan açılar isim değişikliğine sebep oluordu dolaısıla açı bulurken 90 ve 70 e bulaşılmaz. ( tan (90+45)=-cot35 gibi) Örnek... : z=-+ i 3 saısının kutupsal biçimini bulunu z. z = ( ) + 3 =, işaretlerin mutlak değerinden tanθ = = 3 θ=60o ve z saısı. bölgede olduğundan açı 80-60=0 o olarak hesaplanır z=-+ i 3 =cis 0 Örnek...3 : z=-4-4i saısının kutupsal biçimini bulunuz. z = ( 4) +( 4) =4 3 tanθ = =4 4 = θ=45o ve z saısı 3. bölgede olduğundan açı 80+45=5 o olarak hesaplanır z=-4-4i= 4 cis 5. Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü /8
5+ Örnek...4 : Z=5-5 3. i saısının kutupsal biçimini bulunuz. z = (5) +(5 3) =0, tanθ = = 5 3 5 = 3 θ=60o ve z saısı 4. bölgede olduğundan açı 360-60=300 o olarak hesaplanır İNDİRGEME (TRİGNMETRİK ÖZDEŞLİKLER) ölçüsü π±θ π±θ π ±θ 3π ±θ biçiminde olan açılar, trigonometrik değer içinde hesaplanırken π içeren kısımdan k urtulabilm ek için Adım Eklenen vea çıkan açı dar kabul edilerek fonksionun istenen bölgedeki işareti bulunur iki gereksiz örnek!! Bu örneklerde verilen saılar eksen üzerinde olduğundan çizim ile apmak vea sadece düşünerek apmak daha ugun olabilir. Örnek...5 : z=-6 saısının kutupsal biçimini bulunuz. z = ( 6) =6, tanθ = =0 6 =0 θ=0o z saısı eksen üzerinde ve negatif tarafta olduğundan açı 80-0 =80 o olarak hesaplanır. (Kabul edelim işi gereksiz uzattık) Örnek...6 : z=. i 3 sa ısının kutupsal biçim ini bulunu z. z = ( 3) = 3, tanθ = 3 = 0 = θ=90o z saısı eksen üzerinde ve pozitif tarafta olduğundan açı 80-90 =90 o olarak hesaplanır. Adım İsim değişikliği olup olmadığı bulunur. Bu değişiklik sadece π ±θ 3π ±θ ifadelerinde cos sin ve cot tan biçimindedir. π±θ π±θ İçin isim değişm ez Uarı: eklenen/ çıkan,3,5,0 olsada f arketm ez, dar kabul edilir!! Al ıştırm alar sin(90+5)=+cos5 (. bolge ve isim değiş) cot(80+3)=cot3 (3. bolge ve isim anı)) cos(70+4)=+sin4 (4. bolge ve isim değiş) tan(70-7)=+cot7 (3. bolge ve isim değiş) sin(360-3)=-sin3 (4. bolge ve isim anı) gibi Arıca bilinmeen içermeen açılar da dar aç ılar cinsinden elde edilebilir sin40= sin(80+60)=-sin60= 3 sin40= sin(70-30)=-cos30= 3 tan5= tan (80+45)=tan45= vea tan5= tan (70-45)=cot45= gibi vea Karmaşık saılarda genellikle işlemin tersine ihtiaç duarız. Mesela -cos40 o ifadesinde den nasıl kurtulurum ve standart biçimdeki +cos gibi bir ifade elde ederim sorusunu kendimize sorar ız. Burada bahsedilen örnekte -cos40, kosinüsün negatif olduğu bölge olduğundan 40 o ' i değiştirmeen 80 o vea 360 o kullanılarak istenen bölgee taşınabilir. Burada bölgei bilmediğimizden cos(80-40) vea cos(80+40) kullanılabilir. (Sorularda tam olarak ne istediğim izi biliriz.). Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü /8
İndirgeme (trigonometrik özdeşlik) kullanma Örnek...7 : z=(cos0 isin0) ise z karmaşık saısının standart biçimini bulunz standart kutupsal biçim r>0 için z=r.cisθ idi burada önce sırasıla. modül 0 dan büük olmalı;. başta i siz kısım kosinüslü olarak bulunmalı, 3. i' li kısım sinüsle çarpılmalı 4. açı ölçü değerleri anı, 5. ortadaki işaret de + olacak şekilde bulunmalıdır. Aksi takdirde aşağıdaki adımlar takip edilir Örnek...8 : z=-6(sin65 isin5) ise z karmaşık saısının standart biçimini bulunz 5+ adım önce -6 nın negatifini içeri dağıtalım (modül pozitif olmalı) z=6.(-sin65+isin5) adım açıların ölçü olarak anı olması için ve isimlerin standart sıraı tutması için sin65 erine cos 5 azalım z=6.(-cos5+isin5) adım3 son olarak kosinüsün başındaki işaretinden kurtulmak için kosinüsün negatif sinüsün pozitif olduğu bölgei bulup 5 derecei değiştirmeen ölçüle kullanalım. Aranan. bölge olup 5 i değiştirmeen saı 80 dir. z=6.(cos(80-5)+isin(80-5)) =6cis 55 adım modülde varsa bu trigonometrik değerlere dağıtılır adım sinüs ve kosinüs değerinde kullanılan açılar gerekiorsa indirgeme (trigonometrik özdeşlikler) bağıntıları kullanılarak dar açı olarak elde edilir. adım3 sinüs ve kosinüs ifadeleri erlerinde değilse 90 dereceden çıkarılarak tekrar azılır adım4 bölgelere göre işaretler dikkate alınarak bir önceki adımda elde edilen dar açı argümenti oluşturacak şekilde güncellenir.(bu adımda adım 3 de bulunan açı 80 vea 360 derece kullanılarak istenilen bölgee taşınır) z=(cos0 isin0) ifadesinde modül pozitif, kosinüs ve sinüs erli erinde ve anı açısal değerlere sahip ( 0 derece) apmamız gereken aradaki işareti pozitif apmak için açıı değiştirmek : kosinüsün pozitif, sinüsün negatif olduğu bölge 4. bölge olup 0 derecenin değişmemesi için 360 ile kullanalım dolaısıla z= (cos (360-0)+i.sin(360-0)) azılarak işlem tamamlanır Örnek...9 : z=8(cos40 +isin(-40)) ise z karmaşık saısının standart biçimini bulunz cos40 =cos(80-40)=-cos40 sin(-40)=-sin40 olduğundan z=8(-cos40 -isin40) olur. Aranan sinüs ve kosinüsün negatif olduğu bölge ani 3.bölgedir. 40 derecei değiştirmeen 80+40 ile beraber z=8(cos0 +isin(0)) elde edilir. Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü 3/8
5+ KUTUPSAL BİÇİMDE ÇARPMA, BÖLME VE KUVVET ALMA Örnek...0 : z =.cis0 0 ve z =6.cis70 0 ise z.z kaçtır? KUTUPSAL BİÇİMDE TPLAMA VE ÇIKARMA Örnek...4 : z = cis8 ve w= cis ise z +w =? Hatırlatma z =r cisɵ ve z =r cisɵ saıları için ) z.z =r.r cis(ɵ +Ɵ ) ) z n =r n cis(n.ɵ ) 3) z z = r r cis(ɵ Ɵ ) olduğundan z.z =.6.cis (0+70)=3 cis90=3(0+i)=3i olarak elde edilir. ol cos+cos=cos( + ). cos ( ) sin+sin=sin( + ) (.cos ) olduğundan verilen kutupsal biçimdeki ifadeleri açar toplarız cis8+cis=cos8+isin8+cos+isin =cos8+cos+i(sin8+sin) = cos( 8+ ).cos ( 8 ) +i sin ( 8+ ).cos ( 8 =cos5.cos30+i.sin5.cos30 =cos30(cos5+isin5)=. 3 cis5= 3.cis5 ) Örnek... : z =00.cis6 0 ve z =4.cis7 0 ise z z kaçtır? z = 00 z 4 cis(6 7)=50 cis45=50( + i)=5 (+i) Örnek... : z =( )cis(5) ise z kaçtır? Genel bir çözüm olmamakla birlikte toplamanın vektörel orumu işimizi bazı durumlarda oldukça kolalaştırabilir. Önce cis 8 ve cis düzlemde gösterilir. Sonra vektöre toplama için paralel kenar oluşturulur. (Modüller eşit olduğundan oluşacak şekil eşkenar dörtgen ve vektörlerin toplamı (fizik dersinden öğrendiğimiz paralel kenar öntemine göre )köşegen (şeklin eşkenar dörtgen olmasından dolaı açıorta) üzerinde olur. Burada çıkan 0-30- 30 üçgeninde uzun kenar 3 birim olur. Açı ise +30=5 derece olacağından toplam 3 cis5 olarak elde edilir.) Şekli inceleiniz w=cis8 z+w z =( ) cis(5.)= 6 cis80=64 ( +0i)= 64 0 30 o 30 o o z=cis Örnek...3 : z =cis4 0 ve z =8cis 0 ise z 6 z =? 6 z z = 6 cis4.6 8 cis. =cis(44 4)=cis0= + 3i z = cis8 ve w= cis ise z +w = 3. cis5 (Umarım beğenmişsinizdir!! Malesef özel koşulların oluşmadığı durumlarda bu çözüm erine trigonometrik çözümü apmak durumundaız). Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü 4/8
5+ Örnek...5 : z = 4cis5 ve w= 4cis05 ise z z =? Örnek...6 : 4 açısı dar bir açı olmak üzere, z=+cos4+isin4 ise Arg(z)=? arım açı bağıntılarını kullanarak cos cos= sin( + ). sin ( ) sin sin =sin( ) (. cos + ) olduğundan verilen kutupsal biçimdeki ifadeleri açar ve çıkarırız 4cis5-4cis05=4cos5+4isin05-4cos05-4isin05 =4(cos5-cos05)+4i(sin5-sin05) = 4. sin( 5+05 ). sin ( 5 05 ) + 4i.sin ( 5 05 ).cos ( 5+05 =-8.sin60.sin(-45)+8i.sin(-45).cos60 =8sin60sin45-8isin45cos60 = 8. 3. 8i.. = 6 i ) Önce w= 4 cis05 ve z=4 cis5 saılarını erleştiririz. Z-w i bulmak için z+(-w) işleminden ararlanmak için -w i eksene erleştiririz. Sonra bir önceki sorudaki gibi paralelkenarı (burada şekil kare olmaktadır) oluşturup köşegeni çizerek z+(-w) elde edilir w=4cis05 4 5 o 0 5 o 45 o 4 5 o 30 o -w=-4cis05 z=4 cis5 şekle göre z+(-w)= 4 cis( 30)=4 (cos( 30)+i.sin( 30)) = 4 (cos(30) i.sin(30))=4 ( 3 i ) = 6 i. olarak elde edilir. z+(-w) cos cosθ={ θ sin θ ve sin θ=sinθcos θ cos θ sin θ olduğundan i ok edecek biçimde işlem apalım z=+cos4+isin4 = +cos +sin.cos =cos( cos+isin) olduğundan z=cos. Cis azılırsa Arg(z)= olarak elde edilir. vektörel Artık öğrenmiş olmalısınız :) z=cis4 ve w= olsun. Vektörel toplam apalım. (z nin ve w nin modülü birimdir) Şekli inceleiniz 4 z=.cis4 w= Buradaki çözümde iç ters açıların eşitliği ve ikizkenar üçgen anahtar roldedir. Şekle göre argüment olur Örnek...7 : 4 dar açı olsun z = +cos4 +isin4 olduğuna göre z sa ısının m odülünü bulunuz. arım açı bağıntılarına hazır bulaşmışken bu soruu da araa ekleelim. z = (+cos4) +sin 4= +cos4+cos 4+sin 4 +cos4+= +cos4= ( +cos4 ) (+cos4)= (+cos ) ( i ok edelim) 4 cos = cos =cos z w z+w. Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü 5/8
5+ DÖNDÜRMELER Örnek...8 : z= 3+i saısının orijin etrafında pozitif önde 30 o döndürülmesile elde edilen karmaşık saıı bulunuz. z = r.cis orijin etrafında pozitif önde a kadar döndürülmesile elde edilen eni karmaşık saı w ise w =z.cısa olacaktır. w =z.cısa=r.cis.cisa=r.cis(+a) olarak elde edilir Şekli inceleiniz İm (z) Sorua dönersek istenen 3+i.cis30 olup cis30 u +i biçimine döndürüp çarpmaı apalım. 3+i.cis30= ( 3+i)(cos30+isin30)=( 3+i)( 3 + i ). 3 +i 3 +i 3 + i =+ 3i a UYARI Benzer bir mantıkla z = r.cis orijin etrafında negatif önde a kadar döndürülmesile elde edilen eni karmaşık saı w ise w=z.cıs(-a) olacaktır. Örnek...9 : + i saısını orjin etrafında negatif önde 60 derece döndürünüz istenen (+i).cis(-60)= (+i)(cos( 60)+isin( 60)) (+i)(cos(60) isin(60))=(+i)( i. 3 ) w z Re (z) KARIŞIK BİRKAÇ UYGULAMA Biraz da trigonometrinin başka fadaları Hatırlatma. ( a) +( b) =r ifadesi düzlemde merkezi M(a,b) ve arıçapı r olan çember belirtir.. Her açısı için sin +cos = özdeşliği geçerlidir Örnek...0 : =5+sin3t =cos3t 6 parametrik denklemi ile verilen çemberi z z 0 =c şeklinde ifade ediniz. 5=sin3t buradan ( 5) =4sin 3t +6=cos3t (+6) =4cos 3t ve taraf tarafa toplanarak ( 5) +(+6) =4(sin 3t+cos 3t)=4 olarak elde edilir bu ise merkezi (5,-6) ve arıçapı birim olan çemberdir. Bunu da (5,-6) saısının temsil ettiği 5-6i saısına uzaklığı birim olan karmaşık saı olarak orumlaıp z (5 6i)i = olarak azabiliriz. Örnek... : Arg(z 3+i)= 45 0 eşitliğini sağlaan z karmaşık saılarını noktaları düzlemde gösteriniz z=+i olsun Arg(z 3+i)=Arg(+i 3+i)= 45 0 ve buradan tan(arg)= imajiner bağıntısıla sanal tan45= + +, = ve içler dışlar sonunda =-5 3 3 doğrusu elde edilir. Son olarak eni elde edilen (-3)+i.(+) saısının argümenti 45 ise saı.bölgede olmalıdır. Bu ise 3>0, +>0 olmasıla mümkündür. Bu ise doğru denkleminin düzeltilerek arı doğrua dönüşmesini sağlar. Şekli inceleiniz =-5 ise doğrunun geçtiği noktalar (0,-5) ve (5,0) 3 i. + i 3 i =+ 3 +i.( 3 ). Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü 6/8
5+ Örnek... : Arg(z+5-4i)= 38 0 eşitliğini sağlaan z karmaşık saılarını noktaları düzlemde gösteriniz - 3 5 K(3,-) z saıları bu arı doğru üzerindedir Arg(z+5-4i)=Arg(z-(-5+4i)) ve nokta K(-5,4) -5 38 o z saıları bu arı doğru üzerindedir K(-5,4) 4 şimdi doğru üzerinde bir nokta alıp olaa bakalım. =-5 ifadesinden =4 ve =- olsun. Z saısı 4-i olur. -5 Soruda verilen Arg(z 3+i)=Arg((4-i) 3+i)=Arg(+i) olur ki bu da zaten 45 derecedir!!! NT z o=a+ib karmaşık saısının düzlemdeki görüntüsü K(a,b) ise Arg (z z o) =α koşulunu sağlaan z saıları ]KP arı doğrusu üzerindedir. P z 0 K(a,b) α Yani trigonometrie bulaşmadan da bu tür soruları çözebilirsiniz Adım Arg (z z o) =α standard biçiminde ifade azılır Adım z o düzlemde işaretlenir. Adım 3 bu noktada sahte bir eksen oluşturulur ve standart pozisonda verilen α açısı kadar açı alınarak arı doğru oluşturulur.. Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü 7/8
Örnek...3 : z i = İse Arg(z)=α nın en büük değeri için tanα=? Örnek...4 : += π 3 z=cos cos+i(sin+sin) ise z. z kaçtır? 5+ z i = uzaklık ifadesini çembere dönüştürelim z (+i) = merkezi M(,) ve arıçapı olan çemberdir. Şekli inceleiniz hatırlatma cos(+)= coscos-sin.sin cos(-)=coscos+sin.sin sin(+)=sincos+sincos sin(-)=sincos-sincos z saıları bu çember üzerindedir M(,) z. z= z idi z = (cos cos) +(sin+sin) z = cos +cos coscos+sin +sin +sinsin z = coscos+sinsin= (coscos sinsin) z = cos ( +), z = cos π 3 =. = = z = z = z Arg(z) en çok olması için z buradadır M L m ML= için Arg(z)= olacağından istenen tan tir. tan= tan Yarım açı tan bağıntısıla Örnek...5 : 4+4 3i saısının küpkökleri düzlemde birleştirilirse oluşacak çokgenin alanı kaç birim kare olur? Kutupsal biçimde kök alalım 4+4 3i =8cis60 küpkökler rcis ise r 3. cis3=8cis60 eşitliğinden z 0 = cis 0, z = cis (0+0) = cis40 z = cis (0+0+0) = cis60 ve bu noktalar bir eşkenar üçgenin köşeleridir. Şekli inceleiniz z z o z 3 tan=. ( ) =4 3 olarak elde edilir. z 0 o z z = z z 0 = z 0 z = 3. Aranan bir kenarı 3 olan eşkenar üçgenin alanıdır. Bu ise ( 3) 3 4 =3 3br z o. Sınıf Karmaşık Saılar Ek Bölümü 8/8