T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRALAR YÜKSEK LİSANS TEZİ HURİYE KORKMAZ BALIKESİR, OCAK - 06
T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRALAR YÜKSEK LİSANS TEZİ HURİYE KORKMAZ Jüi Üyelei : Pof. D. Recep ŞAHİN (Tez Daışmaı) Doç. D. Sebahatti İKİKARDEŞ Doç. D. Musa DEMİRCİ BALIKESİR, OCAK - 06
ÖZET İBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRALAR YÜKSEK LİSANS TEZİ HURİYE KORKMAZ BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI (TEZ DANIŞMANI: PRO. DR. RECEP ŞAHİN) BALIKESİR, OCAK - 06 Bu tezi amacı üçgesel gafla yadımıyla iboacci özdeşlikleii ispatlaıı vemekti. Tez üç bölümde oluşmuştu. Biici bölümde iboacci hakkıda bilgi ve iboacci ve Lucas dizileii taımı ile iboacci özdeşliklei veilmişti. İkici bölümde foksiyouu taımı ve ilgili teoemle veilmiş. Ayıca iboacci özdeşlikleii foksiyou olduğu gösteilmişti. So bölümde öce üçgesel gaf taımı veilmişti. Daha soa iboacci özdeşlikleii üçgesel gafla yadımıyla ispatlaı icelemişti. ANAHTAR KELİMELER:iboacci sayılaı, iboacci özdeşliklei, Üçgesel gaf. i
ABSTRACT IBONACCİ NUMBERS AND TRIANGLE GRAPHS MSC THESIS HURİYE KORKMAZ BALIKESIR UNIVERSITY INSTITUTE O SCIENCE MATHEMATICS (SUPERVISOR: PRO.DR.RECEP ŞAHİN ) BALIKESİR, JANUARY 06 The aim of this thesis is to give the poof of the iboacci equalities by the tiagle gaphs. This thesis cosist of thee chapte. I the fist chapte, it is give the ifomatio about iboacci the defiitio of the iboacci ad Lucas sequeces ad thei equalities. I the secod chapte, it is give the defiitio of fuctio the theoems elated with the fuctio. Also, it is showed that iboacci equalities ae fuctios. I the last chapte, fistly, it is give the defiitio of the tiagel gaph. Late, it is ivestigated the poofs of the iboacci equalities by the tiagle gaphs. KEYWORDS: iboacci umbes, iboacci equalities, Tiagle gaph. ii
İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...i ABSTRACT...ii İÇİNDEKİLER... iii ŞEKİL LİSTESİ... iv TABLO LİSTESİ... v SEMBOL LİSTESİ... vi ÖNSÖZ... vii. ÖN BİLGİ.... iboacci ve Lucas Sayı Dizilei.... ONKSİYONUN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ... 4. oksiyou... 4. oksiyouu Temel Özelliklei... 9.3 Catala Özdeşliğii oksiyolala İspatı...0 3. ÜÇGENSEL GRALAR... 6 3. Üçgesel Gaf Oluştuma...6 3. (,0,0), (,,0), (,,) Vektöleiyle Üçgesel Gaf Oluştuma...0 3.3 (,), (,), (,) Vektölei içi Üçgesel Gaf Oluştuma...7 3.4 Bazı iboacci ve Lucas Özdeşlikleii Üçgesel Gaf Yadımıyla İspatı...9 4. SONUÇ VE ÖNERİLER... 45 5. KAYNAKLAR... 46 iii
ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şekil 3.: (e,e,e 3 ) ile oluştuula üçgesel gaf... 6 Şekil 3.: (,0,0),(0,,0),(0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf.... 7 Şekil 3.3: (,0,0), (,,0), (,,) ile oluştuula üçgesel gaf.... 6 Şekil 3.4: (,0), (0,) ile oluştuula üçgesel gaf.... 8 Şekil 3.5: (,0,-), (,,), (,,4) ile oluştuula üçgesel gaf.... 9 Şekil 3.6: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf.... 3 Şekil 3.7: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf.... 3 Şekil 3.8: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf.... 33 Şekil 3.9: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf.... 35 Şekil 3.0: (0,,0), (,0,), (,,3) ile oluştuula üçgesel gaf.... 36 Şekil 3.: (0,,0), (,0,), (,,3)ile oluştuula üçgesel gaf.... 37 Şekil 3.: (,-,0), (0,,0), (0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf.... 38 Şekil 3.3: (,,), (0,,0), (0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf.... 40 Şekil 3.4: (-,0,0), (3,,0), (0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf.... 4 Şekil 3.5:(0,0,0,), (0,0,,0), (0,0,0,0), (0,,0,0), (,0,0,0) ile oluştuula üçgesel gaf...4 iv
TABLO LİSTESİ Sayfa Tablo.: iboacci ve Lucas sayı özdeşliklei.... v
SEMBOL LİSTESİ iboacci dizisi L Lucas dizisi X ( ) { 0} üzeide taımlı foksiyo e A B( ) ( xy, ) ( xyz,, ) -ici vektö Bi foksiyou Bi foksiyou İki boyutlu uzayda vektö Üç boyutlu uzayda vektö vi
ÖNSÖZ Bu çalışmaı otaya çıkaılmasıda akademik bilgi ve biikimiyle baa destek ola daışma hocam Pof. D. Recep Şahi'e; çalışmamı biçok aşamasıda yadımıı gödüğüm hocalaım Doç. D. Sebahatti İkikadeş ve Doç. D. ıat Ateş'e içtelikle teşekkü ediyoum. Bugülee gelmemde emekleii esigemeye, he zama yaımda olup, kahımı çeke aileme sosuz teşekküle. vii
. ÖN BİLGİ İtalya matematikçi Leoado de Pisa, geçek ismi yeie, ilius Boaccio (Boaccio u oğlu) kelimeleii kısaltılmışı iboacci ile bilii. iboacci Aap sayı sistemi kousuda kafa yodu ve Libe Abaci (Hesaplama Yötemlei, Abaküs Kitabı) adlı eseii 0 yılıda yayıladı. Bu kitap, iboacci seisi (iboacci sayı dizisi) i temeli ola, bi çift tavşaı doğuaak eslii çoğaltmasıı ele ala bi poblemi de alatıyodu. iboacci i ülü sousu: Bi çift yetişki tavşa, he ay yei bi çift tavşa yavulamaktadı. Bu yavula, bi ayı souda eişki hale gelmekte ve soaki he ay yei bi çift yavu yapmaktadı. Hehagi bi ay souda yavulaı ve yetişki tavşalaı sayısıı buluuz. Bu süe zafıda tavşalaı hiçbiii ölmediği vasayılacaktı. Daha soa Edouad Lucas, iboacci dizisii yeide keşfetti ve bu diziyi geçek bulucusua atfetti [].. iboacci ve Lucas Sayı Dizilei iboacci sayı dizisi 0 = 0 ve = başlagıç koşullaı ile veile, 0 tamsayı olmak üzee geel teimi = + + + ola bi dizidi. Buada 0,,,,3,5,8,3,,34,55,89,44,33, sayılaı iboacci Sayı dizisii oluştuu[]. Beze şekilde Lucas sayı dizisi L 0 = ve L = başlagıç koşullaı ile veile, 0 tamsayı olmak üzee geel teimi L = L + L + + ola bi dizidi.
Bu sayı dizisi şeklide oluşmuştu [].,,3,4,7,,8,9,47,76,3,99,3,5, iboacci ve Lucas sayı dizilei ile ilgili bağıtılada bazılaı aşağıdaki gibidi []. Tablo.: iboacci ve Lucas sayı özdeşliklei. = + + + = + + + = (.) (.) (.3) = + (.4) m + m m m m + m m m L + L = LL (.5) L L + = (.6) + 5 L + L = (.7) L + L = + (.8) m m m L m m L m= m (.9) m L L = 5L (.0) + m m m L L = 5 (.) L = 5 (.) + 5 4 L = (.3) + = L (.4) + = L (.5) + + L = + (.6) = L (.7) + L L = (.8) + + +
Tablo.:( devamı) m + m m m + = L (.9) m + m m m = L (.0) L = ( tek) (.) + + 3 + L = + (.) 5 + 3L = L + (.3) L = + ( çift) (.4) + + L = + (.5) L = (.6) + 3 3
. ONKSİYONUN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ. oksiyou.. Taım: { 0} kümesi üzeide taımlı bi X ( ) foksiyou ( + 3) = ( + ) + ( + ) X X X X (.) idigeme bağıtısıı sağlıyosa X ( ) foksiyoua foksiyou dei []. Şimdi aşağıdaki foksiyolaı bie foksiyou olduğuu gösteelim... Öeme: X ( ) = ( ) bi foksiyoudu []. İspat: X ( ) = ( ) foksiyou içi (.) eşitliğii yazalım. Buada buluu. Şimdi diyelim. Böylece + 3 ( ) [ + + ] = + 3 + ( + ) ( + ) = ve B A 3 A = = = [( ) + ( ) ] ( ) B( ) = [( ) ( ) + ( ) ( ) ] ( ) buluu. = [( ) ( ) ] ( ) = 4
Buada da A B = olduğu göülü...3 Öeme: X = bi foksiyoudu []. + = olduğuu biliyouz. Buada (.) eşitliği kullaılısa olaak buluu. Bu eşitlikte diyelim. Böylece = + + 3 + + = ve = + A + = A + 3 3 = ( 4) + + B + + ( + 3) = ( + )(3 + ) + ( ) ( + ) ( + ) + + = 3 + 5 + + (.) ve = + + + B ( ) + + 3 + + + + = + = [ ( + ) ( ) + ( + ) + ( ) ] [( ) ( ) ] ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) = + + + + + + = 4 + 4 + ( ) + ( ) (.3) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) buluu. 5
(.) ve (.3) eşitlikleide 3 + 5 + + = 4 + 4 + + + + + + + = ( ) + + + = ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) = + + + = + + + + + = + ( ) ( ) + ( ) + + + olaak buluu ve ispat bite. = + X..4 Öeme: = bi foksiyoudu []. X İspat: = foksiyou içi (.) eşitliği kullaılısa elde edili. Buada = + 3 ( + ) ( + ) ( + ) = + ve ( ) = ( ) + bağıtılaıda yaalaalım. Böylece = + + 3 ( + 3) ( + ) ( + 3) ( ) + 3 = + + 4 + + + 3 ( 3 )( ) ( )( ) = + + + + + + + + + + = + + (.4) 8 8 + 6
= + + + + + ( ) = ( ) + ( + ) ( + 3) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) = + + + + + + + = + + + (.5) 4 7 3 ( + ) = + ( + ) ( + ) = 3 + ( ) + (.6) ( + ) buluu (.4),(.5) ve (.6) eşitlikleide 8 8 5 0 4 + + + = + + + = + ( ) = + = elde edili...5 Öeme: olmak üzee + X = bi foksiyodu []. İspat: X + = foksiyou içi (.) eşitliği kullaılısa [ ] = + + + 3 + 3 + + + + + + + elde edili. Buada + = m olsu. Böylece [ ] = + m+ 3 + 3 m+ + m+ + m 7
buluu. Şimdi, diyelim. Buada ve = m+ 3 + 3 ve [ ] A = m+ 3 + 3 A ( )( ) = + + m+ m + m+ + m+ + m B = + = 4 + + + (.7) m+ + m+ + m m ( )( ) = + + m + + m + m + = + + + m+ + m+ + m m [ ] B = + + + + m+ + m+ + m m m+ + m 4 + + + (.8) = m+ + m+ + m m elde edili. (.7) ve (.8) eşitlikleide yaalaaak buluu. = B A..6 Öeme: X = L, X = L+ L, X L foksiyoudu []. = bie İspat: : Lucas özdeşlikleii ispatı yukaıda ispatlaıı yaptığımız iboacci özdeşlikleii ispatıyla bezedi. 8
. oksiyouu Temel Özelliklei.. Yadımcı Teoem: A B tamsayı olsu. Bu duum da = foksiyolaı ve sabit bi X = A ( + 0 ) Y = 0 A ve A B foksiyodula []. ± de.. Yadımcı Teoem: A B = bie foksiyou olsu. olmasıdı []. A B k 0,, = = içi A ( k) = B( k)..3 Yadımcı Teoem: A = B, { 0} foksiyola olsu. kümesi üzeide taımlı B A = i he ikisi ya ( + ) = ( + ) + i) X X X ya da ( + ) = ( + ) + ( + ) + ii) X 3 X X X eşitlikleii sağlasa olu []. A = B k= 0,, içi Ak = Bk 9
.3 Catala Özdeşliğii oksiyolala İspatı 4 + = 0 di []..3. Yadımcı Teoem: 3 + 3 3 İspat: 0 içi A = 4( ) + olsu. (3 ) ( + 3) ( 3) Yadımcı Teoem.. de A bi foksiyodu. Yadımcı Teoem.. de tüm değelei içi A =0 dı..3. Teoem: (Catala Özdeşliği) di []. İspat: Buada = + m = m + olaak alıı. Ayıca 0 ve di. Şimdi m A = ve + B = ( ) ( ) diyelim. Yadımcı Teoem.. de A ve B( ) bie foksiyodu. Buada =,,3 içi = ve B = A + = ve B = A + 0
A 3 3 3+ 3 = ve 3 B 3 = olu. = = B olduğu kolayca göülü. Buada 3,,,3 ike A = 0 ise A() = = =. = 0 ( + ) ( ) (+ 0) ( 0) 0 B = = =.0 = 0 A B =, 0 ve buluu. A = = =. = 0 + + 0 0 ( ) ( 0) B = ( ) = ( ) = 0 A = B A(3) = = =. = 0 3 (3 + ) (3 ) 3 (3+ 0) (3 0) 3 3 0 0 B 3 = = = 0 A ( 3) = B( 3) 0 Eğe = ise A = = =.0 = ( + ) ( ) (+ ) ( ) ( ) ( ) B = ( ) = ( ) = A B =,
A = = =. = ( ) ( + ) ( ) (+ ) ( ) = = = ( ) B A = B ve A 3 = = = 3. = 3 (3 + ) (3 ) 3 (3+ ) (3 ) 3 3 B 3 = = = A ( 3) = B( 3) buluu. Eğe = ise (+ ) A = = =.( ). = ( ) A ( + ) ( ) (+ ) ( ) = = = ( ). = ( ) B = B ve buluu. A = = = 3.0 = + + ( ) ( ) B = ( ) = ( ) = = B A A 3 = = = 5. = ( ) 3 (3 + ) (3 ) 3 (3+ ) (3 ) (3 ) (3 ) B 3 = ( ) = ( ) = ( ) A ( 3) = B( 3)
Eğe = 3 ise (+ ) A = = = 3.( ). = 4 ( + ) ( ) (+ 3) ( 3) 3 B = = =.4 = 4 A B =, 3 ve (+ ) A = = = 5.( ). = 4 ( + ) ( ) (+ 3) ( 3) 3 B = = =.4 = 4 A = B A 3 = = = 8.0 = 4 3 3+ 3 3 3+ 3 3 3 3 3 3 3 B 3 = = = 4 A ( 3) = B( 3) buluu. Böylece 4 ike Yadımcı Teoem.. de A = B elde edili. 3 (3 ) (3 ) = + ( + 3) ( 3) ve B ( 3 ) = ( ) A(3) 4 A(3) B(3) = 4 + ( ) ( ) (3 ) (3 ) ( + 3) ( 3) 3 3 = 4 di. Yadımcı Teoem.3. de 3 + A(3) B(3) = 4 + ( ) [ ] (3 ) ( + 3) ( 3) A ( 3) B( 3) (3 ) (3 ) 4 [ 4 ] = + = 4 4= 0 = elde edili. 3
Ayı şekilde; A ( ) = + ve + A() B() = + ( ) ( ) B = ( ) ( ) + B = + + = + = + ( ) = 0 Α = elde edili. Α = + + ve B = buluu. + Α Β = + = + + ( )( ) + = + + = + + + + = + + + = + + = + + + = + = + 4
Buada, tek sayı ise ve çift sayı ise elde edili. Α Β = + = = 0 Α Β = + + + = = 0 5
3. ÜÇGENSEL GRALAR 3. Üçgesel Gaf Oluştuma e, e, e 3 aşağıdaki üçgesel gaftaki yeleştiile vektöle olsu. e = e + e e 4 3 fomülüyle veile vektö olsu. Şekil 3.: (e,e,e 3 ) ile oluştuula üçgesel gaf. Böyle bi e 4 vektöüe e3, e ve e ile üetile vektö dei. e4 vektöü içi e = e, e : e = e + e e (3.) 4 3 3 sembolüü kullaacağız []. e, e : e e, e : e e, e : e olduğua dikkat edelim. Buada 3 3 3 (3.) bağıtısıı (.) de veile idigeme bağıtısıı bi geelleme bağıtısı olduğu kolayca göülebili. Böyle devam edesek e, e, e, e = e + e e, e = e + e e, (3.) 3 4 3 5 4 3 6
e = e + e e, şeklide sosuz elemalı vektölei bi dizisii oluştuabiliiz. buluu. + Bu diziyi (,, ) {,, } 3 e e e ile gösteeceğiz. 3 3 e e e vektölei doğal tabaı seçilise ilk dokuz vektö aşağıdaki gibi (,0,0 ), ( 0,,0 ), ( 0,0, ), (,, ), (,3,6) e = e = e = e = e =. 3 4 5 Buada e, e4, e6,, e gafı üst yaısıda, e, e3, e5,... e + gafı alt yaısıda ye alı. Şekil 3.: (,0,0),(0,,0),(0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. Şekil 3. kullaılaak aşağıdakile kolayca göülebili: (a) e ( abc,, ) = vektöleii he bi gidisi iki iboacci sayısıı çapımıdı. İlk dokuz teim içi vektöle biçimli olula. (b) e ( abc,, ) = i omu a b c (,, ) (3.3) + + + + ( 3 ) + + toplamıdı. Buada Ν (,, ) x x x omu x + x + x 3 olaak taımlaı. 7
(c) e e e + i gidileii mutlak değei (üçgesel gafı üst yaısıda) ve e (üçgesel gafı alt yaısıda) iboacci sayılaıdı. Öeği; ( 40, 65,04) ( 6,0,5 ) (,, ) = bu bize vektölei he 9 0 bi gidisii iboacci sayılaıı bi toplamı olaak yazmamıza yadımcı olu. (a) ve (b) de 6 içi ( ) + ( ) + ( ) = ( + + ) (3.4) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) olduğu göülü ki bu bize aşağıdaki yadımcı teoemi ilk kısmıı ispatıı vei. Ayıca olduğu uutulmamalıdı. + + = + + + + + + + (a) ve (b) i iyi icelemesiyle ilk dokuz vektöü he bi gidisii iboacci sayılaıı çapımlaıı toplamı olaak yazılabileceği ve dolayısıyla ii v kısımlaıı olduğu göülebili []. aşağıdaki yadımcı teoemi 3.. Yadımcı Teoem:. iboacci sayısı olsu, bua göe aşağıdaki özdeşlikle vadı. ( i)( ) + ( ) + ( ) = ( + ) + + + + + + ( ii) 3 = + 5 + + 4 7 ( iii) 3 = + + 6 + + 4 6 ( iv) = 3+ 7 + + 4 5 ( v) = 4 + 8 + + 4 4 8
İspat: Bu özdeşliklei üçgesel gafla kullaaak gömek mümküdü. Buada, a) e 4 de başlayaak ilk adışık k vektöü ilk gidileii toplamı bi iboacci sayısıı bi mükemmel kaesii egatif işaetlisidi. Öeği; k = içi ilk 3 vektöü ilk gidileii toplamı ( ) + ( ) + ( 6) = 9= 3 = 4 b) e 4 de başlayaak ilk k vektöü ikici gidileii toplamı hehagi iki iboacci sayısıı çapımıdı. Öeği; k = 4 içi e4, e5, e6, e 7 vektöleii ikici gidilei toplamı + 3+ 0 + 4 = 39 = 3.3 =. 4 7 c) He vektöü gidilei iki iboacci sayısıı bi çapımıdı. Eğe ( abc,, ) böyle bi vektö ise c b a=± olu. Öeği; e 7 = ( 5,4, 40) içi Ayıca 5 3.5. = = 4 5; 4 3.8 4. 6 = = ; 40 = 5.8 = 5. 6 elde edili. c b a=± de 40 4 5 = olu. d) Üçgesel gafı üst yaısıı hehagi adışık iki vektöü alıısa (öeği,,,, ) abc,, ABC,, ile gösteilise ( e e ) ( e e ) ve ola ( ) ve 4 4 6 Öeği; e 6 ve 8 C c= ( B b) + ( A a) buluu. e vektöleii ele alalım. e = ( ), e = ( ) 6 6,0,5 04 5 = ( 65 0) + ( 40 6) 8 40, 65,04 9
e) Üst yaıı adışık iki vektöü (beze olaak alt yaıı) alııp ( abc,, ) ( CBA,, ) ile gösteilise bütü gidile iki iboacci sayısıı çapımıdı. a ve A ı çapımı bi iboacci sayısıı dödücü kuvvetide bi eksikti. ve Öeği; 4 4 4 4.5 =, 6.04 = 5,.40 = 3,5.73 = Böylece (a) da (e) ye kada olala bize iyi bilie 5 tae özdeşliği vei. Öeği (e) yi alaak "Bi iboacci sayısıı dödücü kuvvetii bi eksiği, 4 tae iboacci sayısıı çapımdı. " özdeşliğii buluuz. Yai, = Geli-Cesáo özdeşliği göülü []. 4 + + 3. (,0,0), (,,0), (,,) Vektöleiyle Üçgesel Gaf Oluştuma 3.. Taım: X : foksiyou ( + 3) = ( + ) + ( + ) X X X X (3.5) özdeşliğii sağlıyosa X ( ) bi foksiyoudu dei [3]. 0
3.. Öeme: a) X( ) = ( ), b) X = ( + ), c) X = + + t, d) X + X L + =, e) =, f) + + t X = L L, g) X = L +, h) X = L t foksiyolaı bie foksiyodu [3]. İspat: + + a) X( ) = ( ) özdeşliği içi (3.5) eşitliğii yazasak buluu. Buada diyelim. + 3 + + ( ) = ( ) + ( ) ( ) 3 + + + = ve B = ( ) + ( ) ( ) A 3 A = = ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) B = = ( ) Buada A B = di. b) X = ( + ) özdeşliği içi (3.5) eşitliğii yazasak = + ++ 3 + + ++ + buluu.
Buada = ve B = + A + 3 + + + ++ + diyelim. Böylece = + kullaaak, iboacci geel teimi + olacağıda = + ve = + + + 3 + + + = A + + 3 ( ) = + + + + = 4 + 4 + + + + + + + + + + + + = + B + + ++ + = + + + + + ++ + = 4 + 4 + buluu. Böylece A B + + + + + + = elde edili. buluu. Buada ve X = özdeşliği içi (3.5) eşitliğii yazasak c) + + t [ ] = + + + 3 ++ t 3 + + ++ t + + ++ t + + t = + + 3 ++ t 3 A [ ] B = + olaak eşitliği ayıalım. + + ++ t + + ++ t + + t
Böylece = + + 3 ++ t 3 A ( )( ) = + + + + + + t+ + t = 4 + + + + + + t+ + + + t + t+ + + + t [ ] B = + + + ++ t + + ++ t + + t + + + ++ t + t + + ++ t + + t = + + + = 4 + + + + + + t+ + + + t + t+ + + + t olu. Yai A B = elde edili. buluu. d) X = + özdeşliği içi (3.5) eşitliğii yazasak [ ] = + + 6+ + 4+ + + + buluu.buada + = molsu. Böylece [ ] = + m+ 6 m+ 4 m+ m = + + m+ 6 m+ 4 m+ m+ + + = + m+ 4 m+ m+ m+ 4 m+ m Ayı şekilde = m + m + m e) =, f) X = L+ L+ t, g) X = L +, h) X = + L+ t X L + eşitlikleii bie foksiyo olduklaı gösteilebili. 3
3..3 Yadımcı Teoem: A( ) ve B( ) bi foksiyo olsu. Bu duumda A B k 0,, = = içi A ( k) B( k) = di [3]. 3..4 Öeme: ve L. iboacci ve Lucas sayılaı olsu Bu duumda olu [ 3]. L = 4 + İspat: Buada olu. L m = L ve m m m + m = m 0 içi özdeşliği sağ ve sol taafıı A ve B( ) olaak taımlayalım. = ve B = A L 4 + A ve B( ) foksiyodu ; k = 0 ise ve ( 0) A = L = L 0 0 4 0 0 0+ 4 0 0 ( L ) 4+ 4 0 0 = = + 3.0 0. = 4
+ ( ) B 0 = = = = = B A 0 = 0 = 0 k = ise A = L 4 + = L 0 3 3 + = L 0 3 =.. = ve + B = = = = B A = = k = ise A = L = L 4 + 3 + = L = +.. = 0 3 ve B = = = 0 0 Α =Β = 0 Böylece 3.. Yadımcı Teoemide A B = olduğu göülü. 3..3 Öemesii üçgesel gaf yadımıyla ispatıı veelim. Buada 5
(,0,0 ), ( 0,,0 ), ( 0,0,) e = e = e = 3 alalım. (,, ) e e + e e + e + e ü ilk dokuz teimi aşağıdaki gibi veili. 3 u = e = 0 0 u = e + e = 0, u = e + e + e =, 3 3 u = u + u u, 0 + 3 + +. Şekil 3.3: (,0,0), (,,0), (,,) ile oluştuula üçgesel gaf. Dizimizi ilk dokuz teimide aşağıdaki ilgiç duumla göülebili. (i) İkici gidile ile + iboacci sayılaıı bi çapımıdı [3]. Öeği; =. =, =. =, 6 =.3 =, 3 3 4 (ii) He bi vektöü biici ve ikici gidileii fakı iboacci sayısıı kaesidi [3]. Öeği; 7 6 = =, 44 40 = 4 =,3 04 = 9 = 3 4 6
Yukaıdaki (i) ve (ii) iboacci ve Lucas teimleideki ilk gidiyi açıklamayı bizlee göstei. (iii) He vektöü ilk gidilei L biçimlidi [3]. 4 Öeği; L = 3. = 7, L = 4 0.3 = 6, 3 3 0 4 (i),(ii) ve (iii) kullaaak yukaıdaki gafı ilk dokuz vektöü içi olduğu göülü [3]. Ayıca L = 4 + (iv) İlk k + teimi üçücü gidileii toplamı bi iboacci sayısıı kaesidi [3]. (v) He vektöü ikici ve üçücü gidilei iboacci sayılaıı bi çapımıdı.toplamlaı da başka bi iboacci sayısıdı [3]. Öeği; + = 3 =, 6 + = 8 =,5 + 6 = = 4 6 8 3.3 (,), (,), (,) Vektölei içi Üçgesel Gaf Oluştuma Bu kısımda iboacci sayılaıı toplamıı içee iki özdeşlik suacağız. Bulaı ispatlaıı üçgesel gaf kullaaak yapacağız. 3.3. Öeme: 3 4 + + 0 + + 4 + 8 = 4 + 4 (i) ( ii) + ( + + + + ) = 3 6 4 6+ 8 4 + 5 olu [3]. 7
İspat: e (, 0 ), e ( 0,) = = ve u = e+ e, u = e+ e, u3 = e+ e alalım. Başlagıçta e + e i iki kez alıdığıa dikkat ediiz. Buada (,, ) u u u ilk o teimi aşağıdaki gibi veili. 3 Şekil 3.4: (,0), (0,) ile oluştuula üçgesel gaf. Buada (i) ( u, u ), 5 3 u9, u7, u3, u, gafı üst yaısıı vektöleii gidilei d i faklaı bazı iboacci sayılaıı 3 katıdı [3]. İlk üç fak 0 = 9 = 3 4, 505 73 = 43 = 3 ve 376 3466 = 095 = 30 olu. (ii) Adışık d i lei toplamı kaedi [3]. Öeği; 9= 3, 9 + 43 =, 9 + 43 + 095 = 44 8
(i) ve (ii) de 3 + 3 =, 3 + 3 + 3 = 4 8 4 0 olduğu göüleceğide Öeme (3.3.)-(i) ispatlaı [3]. Buada gafı alt yaısıı iceleyelim. İlk 5 vektöü gidilei + 3 + 3 = + + 5 + 9 + 94 + 35 = 34 = 6 4 9 olduğuu göstei. Böylece öeme (3.3.)-(ii) ispatlaı [3]. 3.4 Bazı iboacci ve Lucas Özdeşlikleii Üçgesel Gaf Yadımıyla İspatı 3 + + + L L + = [3]. 3.4. Öeme: İspat: (, 0, ), (,, ), (,, 4) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülüü yadımıyla gafı diğe vektöleii oluştualım[3]. Şekil 3.5: (,0,-), (,,), (,,4) ile oluştuula üçgesel gaf. 9
u + vektöüü üçücü gidisi L + Lucas sayısıı vei. Öeği; 4 = L, = L, 9 = L, 3 5 7 u + vektöüü ikici gidisi Öeği; 3 4 + iboacci sayısıı vei. =, 4 =, 9 =, u + vektöüü biici gidisi Öeği; [ L =, =, = ] = L = L 3 + L değeii vei. 3 + 3.4. Öeme: = + [3]. İspat: (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülüü kullaaak gafı diğe vektöleii elde edebiliiz. 30
Şekil 3.6: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. sayısı tek ike u + 3 vektöüü biici gidilei + iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; =, 9 =, 64 = 4 6 sayısı tek ike u + vektöüü ikici gidilei iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; 0 =, =, 9 = 0 4 sayısı tek ike u+ 4 u+ i ikici teimleii fakı iboacci sayısıı vei. Öeği; 0 = =, 9 = 8 =, 6 sayısı çift ike u + vektöüü biici gidilei iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; =, 4 =, 5 =, 3 5 sayısı çift ike u + 4 vektöüü ikici gidilei + iboacci sayısıı kaesii vei. 3
sayısı çift ike u + u i ikici teimleii fakı iboacci sayısıı vei. Yukaıda veilelede yaalaılaak = özdeşliği ispatlaı. + 3.4.3 Öeme: + = + + [3]. İspat: (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) u = u = u = kullaılaak 3 u = u + u u + fomülüü de yadımıyla diğe vektölei elde edebiliiz. Şekil 3.7: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. sayısı hem tek hem de çift ike u + 3 vektöüü biici gidilei iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; 4 =, 64 =, + 5+ + 3
sayısı hem tek hem de çift ike u + 3 vektöüü ikici gidilei iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; =, 9 =, 4 hem çift hem tek ike u + 3 vektöüü biici gidisi ve ikici gidisii toplamı + iboacci sayısıı vei. Öeği; 4 + = 5 =, 4 + 9 = 3 =, 5 7 3.4.4 Öeme: + = + [3]. İspat: : (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz. Şekil 3.8: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. 33
3 u + vektöüü biici gidilei + iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; 4 =, 64 =, + 5+ u + 3 vektöüü ikici gidilei iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; =, 9 =, 4 3 u vektöüü biici gidisi ve ikici gidisii fakı + + iki iboacci sayısıı çapımıı vei. Öeği; 9 4 =, 5 9 =, 3+ 3 4+ 4 3.4.5 Öeme: + = [3]. (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz. 34
Şekil 3.9: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. u + vektöüü biici gidisi iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; =, 9 =, 4 u + vektöüü üçücü gidisi + vei. iki iboacci sayısıı çapımıı Öeği; 0 =, 6 =, + 5 5+ u + vektöüü biici gidisi ve üçücü gidisi aasıdaki fak di. Öeği; 3 6 = 4 5, = 64 63, 3.4.6 Öeme: i = + [3]. i= İspat: ( 0,, 0 ), (, 0, ), (,, 3 ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. 35
( 0,, 0 ), (, 0, ), (,, 3) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz... Şekil 3.0: (0,,0), (,0,), (,,3) ile oluştuula üçgesel gaf. sayısı tek ike u + vektöüü ( üçücü gidisi biici gidisi ) iki iboacci sayısıı çapımıı vei. oaı + Öeği; 9 = 3 4, sayısı çift ike u vektöüü tüm gidileii toplamı sayılaıı toplamıı vei. Öeği; iboacci i i= 4 3 8 4 i, i= + + = 36
+ = [3]. 3.4.7 Öeme: İspat: ( 0,, 0 ), (, 0, ), (,, 3 ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. ( 0,, 0 ), (, 0, ), (,, 3) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz... Şekil 3.: (0,,0), (,0,), (,,3)ile oluştuula üçgesel gaf. u + vektöüü biici gidisi iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; 64 =, 44 =, 6 8 u + vektöüü ikici gidisi + vei. iki iboacci sayısıı çapımıı Öeği; 4 =,68 =, 4 6 6 8 37
u + vektöüü biici gidisi ve ikici gidisi aasıdaki fak değeii vei. Öeği; 3 6 9 0 =, 5 4 =, 3.4.8 Öeme: 3 + + + = + [3]. İspat: (,, 0 ), ( 0,, 0 ), ( 0, 0,) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. (,, 0 ), ( 0,, 0 ), ( 0, 0,) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz... Şekil 3.: (,-,0), (0,,0), (0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. 38
u + vektöüü ikici gidisi + 3 iki iboacci sayısıı çapımıı vei. 3 Öeği; 05 =, 7 =, 5 8 6 9 3 u + vektöüü üçücü gidisi + + vei. iki iboacci sayısıı çapımıı Öeği; 6 =, 5 =, 3 4 4 5 3 u + vektöüü ikici gidisi ve üçücü gidisi asıdaki fak değeii vei. Öeği; 3 6 39 40 =, 75 74 =, 3.4.9 Öeme: = + [3]. İspat: (,, ),( 0,,0 ),( 0,0, ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. (,, ), ( 0,,0 ), ( 0,0,) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz. 39
Şekil 3.3: (,,), (0,,0), (0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. u vektöüü ikici gidisi iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; =, 4 =, 3 u + vektöüü biici gidisii tes işaetlisi iki iboacci sayısıı çapımıı vei. Öeği; 6 =, 5 =, 4 3 5 4 u + vektöüü üçücü gidisi iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; 5 =, 64 =, 5 6 + + + + = + [3]. 3.4.0 Öeme: İspat: (,0,0 ),( 3,,0 ),( 0,0,) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. 40
(,0,0 ), ( 3,,0 ) ve ( 0,0,) u = u = u vektölei ile 3 u = u + u u + fomülüü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz. 3 0 7 36 0 5 35 65 04 0 0 0 0 3 6 87 4 40 Şekil 3.4: (-,0,0), (3,,0), (0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. sayısı tek ike u + vektöüü biici gidisii fazlası + iboacci sayısıı vei. Öeği; + = 3 =, 87 + = 89 =, 7 sayısı çift ike u + vektöüü biici gidisii eksiği + iboacci sayısıı vei. Öeği; 7 = 5 =, 36 = 34 =, 5 9 u + vektöüü ikici gidisi + iki iboacci sayısıı çapımıı vei. Öeği; 3 =, 0 =, 4 3 5 4
u + vektöüü ikici gidisi ve üçücü gidisii toplamı + iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; 4 + 40 = 8 =, 65 + 04 = 3 =, 6 7 3.4. Öeme: ( + ) ( ) 3 + + + + + + = + [3]. İspat: 6 e =(0,0,0,), e =(0,0,,0), e 3 =(0,0,0,0), e 4 =(0,,0,0) ve e 5 =(,0,0,0) vektölei kullaılaak e = 5e + 5e 5e 5e + e (3.6) 3 4 5 fomülüü yadımıyla diğe vektölei bulup, üçgesel gafı oluştuabiliiz. (3.6) idigeme bağıtısıı elde etmek içi deklemi kullaılı [3]. e (3.7) + + + + + = e+ = 4
0 0 0 0 0 0 5 5 5 60 50 95 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 60 4 5 Şekil 3.5: (0,0,0,), (0,0,,0), (0,0,0,0), (0,,0,0),(,0,0,0) ile oluştuula üçgesel gaf. He bi e ( ab,, cd, ) i = vektöüü gidilei 6 a, b, c ve 6d sayılaı döt iboacci sayısıı çapımıdı. Öeği; e 6 = ( 5,5, 5,) içi 6a = 6.5 = 30 30 =..3.5 = 3 4 5 b=.5 = 30 30 =..3.5 = 3 4 5 c=.5 = 0 0 =...5 = 3 5 6d = 6. = 6 6 =...3 = 3 4 a+ b c+ d eşitliğide bi iboacci sayısıı dödücü kuvvetii vei. Öeği; 4 4 5 + 5 5 + = 6 = = 3 4 4 40 + 60 4 + 5 = 8 = 3 = 4 4 4 60 + 50 95 + 40 = 65 = 5 = 5 43
6a = + + + 3 + 4 6d = + + + 3 b= + + + + 3 4 c= + + + 3 ( ) a+ d = 6 + + + + 3 + 4 ( ) b c= + + + 4 + 3 a+ d + b c= + 4 + + + 4 ( + ) ( ) = + 6 3 + + + 3 + 4 + 4 + 3 ( + ) ( ) = + 6 + 3 + 4 + 4 + 3 + = + 6 + + 3 + 4 + + 3 + + 4 + 3 + + 4 + olsu. Böylece 3 ( + ) ( ) = + 6 elde edili. + + + + + + 44
4. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu tezde iboacci ve Lucas özdeşlikleide bazılaıı foksiyou olduğu gösteilmişti. veilmişti. Ayıca bazı iboacci özdeşlikleii üçgesel gafla kullaılaak ispatlaı Beze yötem kullaılaak diğe iboacci ve Lucas özdeşlikleii ispatı veilebili. Ayıca yei özdeşlikle buluabili. Bu yötem kullaılaak Geelleştiilmiş iboacci,lucas sayı dizileide ispatla yapılabili. Ayıca yötem Pell, Pell-Lucas sayı dizileide de kullaılabili. 45
5. KAYNAKLAR [] R.A. Dulap, Altı Oa ve iboacci Sayılaı, (Tübitak),03. [] C.L. Lag ve M.L. Lag,iboacci Numbes ad Idetities, axiv:math/303.56v [math.nt] (03). [3] C.L. Lag ve M.L. Lag,iboacci Numbes ad Tivalet Gaphs, axiv:math/306.449v [math.nt] (03). [4] C.L. Lag ve M.L. Lag, iboacci Numbes ad Idetities II, axiv:math/304.3388v4 [math.nt] (03). [5] C.L. Lag ve M.L. Lag, Recuece Of Poduct Of Recusive uctios, axiv:math/304.7685v3 [math.nt] (03). [6] C.L. Lag ve M.L. Lag, Geealised Biomial Coefficiets Ad Jade s Theoem, axiv:math/305.46v [math.nt] (03). [7] C.L. Lag ve M.L. Lag,Thee Tem Recuece Ad Residue Completeess, axiv:math/307.7463v [math.nt] (03). [8] Civciv, H., iboacci ve Lucas matis dizilei ve özelliklei, Doktoa tezi, Koya Selçuk Üivesitesi e Bilimlei Estitüsü, Matematik Aabilim Dalı, Koya(009) [9] Akgül, R., iboacci Sayısal Yaı Guplaı, Yüksek Lisas tezi, Diyabakı Dicle Üivesitesi e Bilimlei Estitüsü, Matematik Aabilim Dalı, Diyabakı(008) [0] Akçağıl, Ş., iboacci Sayılaı ve Altı Oa, Yüksek Lisas tezi, Balıkesi Üivesitesi e Bilimlei Estitüsü, Matematik Aabilim Dalı, Balıkesi(005) [] Şe, E., iboacci Sayılaı, Altı Oa ve Uygulamalaı,Lisas bitime ödevi, Gebze İlei Tekoloji Estitüsü e akültesi Matematik Bölümü, Matematik Aabilim Dalı, Gebze(008) [] Voobiev, N.N., iboacci Numbes (Spige Basel AG),00 46