5 ÖLÜM EKİ SYMNIN TEMEL PRENSİPLERİ elirli bir takım deneylerde olanaklı tüm sonuçları belirlemek için geliştirilmiş tekniklere kombinasyon analizi denir Örneğin iki farklı denemede 1 denemenin m 2 denemenin n adet olanaklı sonucu olduğu varsayılırsa bu iki deneme sonucu meydana gelebilecek sonuçların toplam sayısı mxn dir II I 1 2 m 1 1,1 2 n n,m Örnek: 5 bayan ve 4 erkekten oluşan bir gruptan 1 bayan ve 1 erkek seçimi 4x5=20 farklı şekilde sonuçlanabilir u temel prensip 2 den büyük boyuttaki denemeler içinde gerçekleştirilebilir r farklı deneme için 1 deneme n1 2 deneme n2 r deneme nr adet olanaklı sonucu olsun r deneme için meydana gelebilecek sonuçların toplam sayısı; n1xn2xnr n veya r olur Örnek: 3 zar atılışında 6x6x6=6 3 mümkün sonuç vardır Spor toto örneği Prof Dr Levent ŞENYY VII- 1
PERMUTSYON a) n hacimli populasyondan, sıranın önemli olduğu ve iadesiz örnekleme sistemine göre n li gruplar oluşturmak n Pn= n! nn n n! 2 e 0!=1 farklı şekilde yapılabilir n farklı öğe bir sırada kaç farklı şekilde sıralanır? Doldurulabilecek yer sayısı n dir İlk yer n farklı yolla doldurulurken ikinci yer n-1 öğeden herhangi biri ile n-1 yolla doldurulur Üçüncü yer geri kalan n-2 öğenin n-2 farklı yoluyla doldurulur öylece kaç farklı şekilde sıralanır sorusunun cevabı çarpma kuralı yardımıyla şöyle olacaktır: n(n-1)(n-2) 321=n! Tümü birlikte kullanılan n farklı nesnenin oluşturulabilecek permütasyonlarının toplam sayısı n! dir Örnek: ir tiyatro gişesinde bilet almak isteyen 3 kişi kaç farklı şekilde gişe önünde sıraya girebilirler? İlk yer 3 farklı şekilde doldurulabilir, ikinci yer iki farklı şekilde son yerde bir yolla doldurulur O halde çarpma kuralı ile üç şahsın bir arada 321=6 farklı şekilde dizilebileceği söylenir Örnek: Ders bitiminde elektronik kart önünde yoklama vermek isteyen 10 öğrenci kaç farklı şekilde sıralanarak kartlarını gösterebilirler? n!=10!=12 910=3628800 b) enzer şekilde kullanılan tekrar kullanılmayacak şekilde (iadesiz) n farklı nesneden oluşturulacak r li grupların sayısı n( n 1)( n 2)( n r 1)( n r)! n! Pnr, n( n 1)( n 2)( n r 1)!! n>r farklı şekilde yazılabilir Dairesel permütasyon = (n-1)! dir n r n r Prof Dr Levent ŞENYY VII- 2
Örnek: ir televizyon sunucusu haber bülteninde okuması gereken 3 farklı haberden ikisini kaç farklı şekilde sıralayabilir? 3! P3,2 321 6 (3 2)! H1,H2 H1,H3 H2,H3 H2,H1 H3,H1 H3,H2 c) Sıra önemli, iadeli olarak r li gruplar oluşturmak; n r n veya r farklı şekilde yapılabilir Yukarıdaki örnekte 3 2 =9 H1,H2 H1,H3 H2,H3 H2,H1 H3,H1 H3,H2 H1,H1 H2,H2 H3,H3 d) Katlı Permütasyon n hacimli populasyonda, sıra önemli, iadeli örnekleme ile n1+n2+(=n) li gruplar oluşturmak n n! Pn / n 1 n2n 3 n1 n2 n 3 n1! n2! n n1+n2+=n 3! farklı şekilde yazılabilir çıklama: n1,n2,n3 sayıları populasyondaki 1, 2, elemanların tekrarlanma sayılarıdır Örnek: İSTTİSTİK kelimesindeki harfler kaç farklı şekilde dizilebilir? İ n1=3 T n2=3 S n3=2 n4=1 K n5=1 n=10 10! 50400 3!3!2!1!1! Prof Dr Levent ŞENYY VII- 3
e) iadesiz örnekleme ile, sıra önemli n1 grubundan k1 tane n2 grubundan k2 tane nr grubundan kr tane olmak üzere farklı şekilde oluşacak toplam örnek sayısı P P P n1, k1 n2, k2 nr, kr k1k2 kr k1, k2, kr n1! n! k1k2 kr! r n k! n k! k! k! k! 1 1 r r 1 2 r Örnek: ilgisayarda mail hesabı için şifre almak isteyen bir kişi rakamlardan ve Türkçe karakterler haricindeki karakterlerden oluşan yarısı rakam yarısı karakter olan 6 haneli kaç farklı şifre yazabilir? 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 n1=10 k1=3 a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,r,s,t,u,v,y,z n2=23 k2=3 10! 23! (3 3)! 10987! 23222120! 6! 7201062620 153014400 (10 3)! (233)! 3!3! 7! 20! 3!3! Permutasyonla İlgili Örnekler(uygulamalar) 1,2,3,,7 sayılarının tümünün kullanılmasıyla 7!=5040 sayıda permütasyon yazılabilir Şimdi 7! permütasyonun belli bazı alt kümelerini düşünelim 1) Ne kadarında çift sayılar tek sayılardan önce gelir? Dizinin ilk üç öğesi çift sayı olmalıdır; bunlar 2, 4, 6 dır 3! sayıda sıralanabilirler Diğer 4 yer ise 4! Sayıda tek sayılarla doldurulur Çarpma kuralının uygulanmasıyla N=3!4!=144 tanesinde istenen elde edilir 2) Ne kadarında 1, 2 den hemen önce gelir? (1,2) ikilisini tek bir öğe gibi düşünerek böylece 6 farklı öğenin permütasyonlarının sayısını hesaplamamız gerekir: P6,6=6!=720 3) Ne kadarında 1 ve 2 sayıları dizi içinde 3 ve 4 ten önce gelir? 1,2,3,4 sayılarının tüm permütasyon sayısı 4!=24 dür 1 2 3 4 2 1 3 4 1 2 4 3 1 2 3 4 İstenen durumdur; yani tüm permütasyon sayısının 1/6 sıdır u nedenle istenilen uygun permütasyon sayısı 1 (7!) 840 6 Prof Dr Levent ŞENYY VII- 4
KOMİNSYON İadesiz örnekleme ile, sıranın önemsiz olduğu alt grupların her birine verilen addır a) n elemanlı populasyondan r elemanlı gruplar yapıp aynı elemanlı gruplardan yalnız bir tanesinin alındığı kombinasyon sayısı: n, r n n! r r!( n r)! n>r ise =1 n=1 ise Diğer bir bakış açısı ile, permutasyon sayısından yola çıkılırsa, her r! lik gruplar aynı sayıldığı için permutasyonun r! e bölünmesi ile de edilebilir azı özel notlar: n n r n r b) iadesiz örnekleme, sıra önemsiz n1 grubundan k1 tane n2 grubundan k2 tane nr grubundan kr tane k=k1+k2++kr olacak şekilde k hacimli oluşturulacak farklı grup sayısı; n k 1 1 n k 2 2 n k r r olur c) Katlı Kombinasyon: İadeli örnekleme( sıra önemsiz) ile n hacimli bir populasyondan r hacimli oluşturulacak örnek sayısı, n r 1 n r 1 n veya r olur n 1 r Örnek: 4 evli çift arasından 3 kişilik bir kurul kaç yolla seçilir? a)tümü eşit seçilme şansına sahiptir b)kurulda 2 kadın ve 1 erkek olmak zorundadır c)ir karı-koca aynı kurulda bulunamayacaklardır a) ir kurulda sıra önemli olmadığından 8 şahıs arasından 3 ünün seçimi düşünülecektir Oluşturulabilecek toplam kombinasyon sayısı : 8 8! 56 3 3!5! b) 2 kadın 4 =6 yolla seçilir, 2 Prof Dr Levent ŞENYY VII- 5
bu seçim yapıldıktan sonra 1 erkek erkeğin seçilmesi yollarının sayısı 4 4 64 24 21 4 =4 yolla seçilir öylece çarpma kuralıyla 2 kadın ve 1 1 c) ir karı-koca aynı kurulda bulunmayacaklarsa, kurulda 3 çiftten şahıs bulunmalıdır Önce 3 çift, 4 çift arasından 4 3 yolla seçilir 3 çift seçildikten sonra, ilk çiftten iki (erkek veya kadın), ikinci çiftten iki, üçüncü çiftten 2 seçim yapılabilir Çarpma kuralıyla kurulların toplam sayısı 4 2 2 2 32 3111 yada ikinci bir çözüm yolu ile 8 46 32 3 11 4 urada 1 dir =dört çiftten birinin seçimi, 6 1 =geri kalan 6 kişiden birinin seçimidir Tüm seçim sayısından herhangi bir karı kocanın bulunduğu kurulların sayısını çıkartıyoruz Prof Dr Levent ŞENYY VII- 6