T I M U R K A R A Ç AY- H AY D A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K

T I M U R K A R A Ç AY- H AY D A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K

Copyright 2017 Timur Karaçay-Haydar Eş-İbrahim İbrahimoğlu BU KITAP BAŞKENT ÜNIVERSITESINDE HAZIRLANMIŞTIR. A N K A R A Büyün hakları saklıdır. Yazarların izni alınmaksızın, bu kitabın tamamı vaya bir kısmı elektronik, mekanik, fotokopi veya başka bir yolla çoğaltılamaz, kopyalanamaz, basılamaz, internet ve bilgisayar ortamında tutulamaz. Bu konuda TELİF HAKLARI YASASI HÜKÜMLERİ geçerlidir. Birinci baskı, Eylül 2017

Contents Fonksiyonlar 9 Fonksiyonların Bileşkesi 19 Polinomlar 31 Polinomlarda Bölme 55 Polinomlaarın Çarpanlara Ayrılması 75 Rasyonel Fonksiyonlar 93 Logaritma 119 Üstel Fonksiyonlar 147 Limit 163 Süreklilik 193 Türev 197 Index 227

Cumhuriyeti kuranlara adanmıştır. 7

Fonksiyonlar Fonksiyon Kavramı Fonksiyon kavramı, çağdaş bilim ve tekniğin çok önemli araçlarından birisidir. Fonksiyon, bağıntının özel bir türüdür. Bu bölümde, fonksiyon kavramını ayrıntılarıyla inceleyeceğiz. Tanım: Boş olmayan X ve Y kümeleri ile bir f X Y bağıntısı verilsin. Her x X için (x, y) f olan bir ve yalnızca bir tane y Y ögesi varsa, f bağıntısına, X den Y ye bir fonksiyondur, denilir. Fonksiyonlar, genellikle, f, g, h,... gibi küçük harflerle gösterilir. Bir f bağıntısının fonksiyon olduğunu belirtmek için, f X Y yerine f : X Y ya da X f Y (1) simgeleri ve yerine, (x, y) f, x f y y = f (x), f : x y, x f y simgelerinden birisi kullanılır. Bu derste, çoğunlukla, y = f (x) (2) simgesini kullanacağız. Bu simgeler, x öğesinin, f bağıntısıyla, y ye eşlendiğini belirtir. der. Bazı kaynaklar, f ye X kümesinden Y kümesine bir dönüşüm (resim) f : X Y fonksiyonu için; X kümesine, tanım kümesi, Y kümesine, değer kümesi, x öğesine, bağımsız değişken, y öğesine, bağımlı değişken (görüntü, resim), A X için f (A) = {y y = f (x), x A } Y kümesine, A nın f altındaki görüntü kümesi, denilir. f : X Y fonksiyonunun belirli olması için, y = f (x) bağıntısının verilmiş olması gerekir. Bunun verilmesi demek, x X öğesinin f fonksiyonu altında hangi y Y öğesine eşlendiğinin belirli kılınması demektir. Örnek X = { 2, 1,0,1,2} ve Y = {0,1,2,3,4,6,8,10} olmak üzere, f : X Y fonksiyonunu y = f (x) = x 2 bağıntısı ile tanımlayalım. Verilen f bağıntısı (kuralı), x x 2 dir; yani, x değişkeni, f altında x 2 ye eşlenecektir.

10 C A LC U LU S X tanım kümesinin, f altındaki görüntüsü, f (X ) = {0, 1, 4} kümesidir. Görüldüğü gibi, tanım kümesinin görüntüsü bütün değer kümesini örtmeyebilir. Fonksiyon tanımını, yeni simgelerle ifade etmek uygun olacaktır. Tanım: Boş olmayan X ve Y kümeleri ile bir f X Y bağıntısı verilsin. f nin bir fonksiyon olması için gerekli ve yeterli koşul, aşağıdaki iki özeliğin sağlanmasıdır. F1. Her x X öğesinin Y içinde bir görüntüsü vardır. F2. Her x X öğesinin Y içinde ancak bir tane görüntüsü vardır. Bu iki özelik, fonksiyonu belirleyen niteliklerdir. O nedenle, bunları, matematiksel simgelerle ifade etmek uygun olacaktır. Çünkü, bir çok problemin çözümünde, sözlü ifadeler yerine, matematiksel simgeleri kullanacağız. Aşağıdaki ifade çiftleri, fonksiyon tanımına denktirler: F 1. (x X ) y(y Y )(y = f (x)) F 2. (x 1 = x 2 ) (y 1 = y 2 ) ya da, tanım ve değer kümelerinin apaçık belli olduğu zamanlarda, F 1. x y(y = f (x)) F 2. (y 1 y 2 ) (x 1 x 2 ) yazılabilir. Fonksiyonun Grafiği Bir f : X Y fonksiyonu bir bağıntıdır. Bu bağıntının grafiği, fonksiyonun da grafiğidir. f nin grafiğini, g r a f ( f ) simgesiyle göstereceğiz. Bu derste ele alacağımız fonksiyonlar, çoğunlukla, gerçek sayıların bir alt kümesinden gerçek sayılara tanımlı olacaktır. Dolayısıyla, bu fonksiyonların grafikleri, analitik düzlemde yer alacaktır. Bir fonksiyonun belirli olması demek, tanım bölgesinin, değer bölgesinin ve eşleme kuralının bilinmesi demektir; yani, f : X Y, y = f (x) nin bilinmesi demektir. Bazan, fonksiyon verilirken, yalnızca y = f (x) eşleme bağıntısı (kuralı) verilir; tanım ve değer bölgesi belirtilmez. Bu durumlarda, fonksiyonun X tanım bölgesi y = f (x) bağıntısını anlamlı kılan bütün x gerçek sayılarıdır. Y değer bölgesi olarak bütün R gerçek sayılar kümesi alınabileceği gibi, Y = {y y = f (x), x X } kümesi de alınabilir. Pratikte, değer bölgesini mümkün olduğunca küçük seçmek kolaylık sağlayabilir. Bağıntılarda söylediğimiz gibi, f : X Y, y = f (x) fonksiyonu tanımlandığında, bunun grafiği kesinkes belirli Tersine olarak, grafiği verilen fonksiyon da kesinkes belirlidir. Bu nedenle, yeri geldiğinde, f ile g r a f ( f ) simgelerini eş anlanda kullanabiliriz. f : X Y, y = f (x) fonksiyonunun grafiği, g r a f (f ) = {(x, y) y = f (x)} kümesidir. Tabii, g r a f (f ) X Y

FONKSIYONL AR 11 dır. Grafik kavramı, bağıntılarda incelendiği için, bu kesimi, aşağıdaki özeliği söyleyerek kapatabiliriz. Önerme: Bir fonksiyonun analitik düzlemdeki grafiği, düşey doğrularla en çok birer noktada kesişir. Uygulamalar 1. X = {1, 2, 5, 9} ve Y = {a, b, c, d, e} veriliyor. Aşağıdaki bağıntılardan hangileri fonksiyondur? Nedenleriyle açıklayınız. (a) β 1 = {(1, a),(2,b),(5,c),(9,d)} (b) β 2 = {(1, a),(2,b),(5,c),(5,d),(9,b),(9,d)} (c) β 3 = {(1,b),(5, a),(9,d)} (d) β 4 = {(1,d),(2,d),(5,d),(9,d)} (e) β 5 = {(1,c),(1,d),(2,b),(5, a),(5,c),(9, a)} 2. Yukarıdaki bağıntıların herbirisinin grafiğini çiziniz. Fonksiyon olanların grafiklerinin, düşey doğrularla ençok bir noktada kesiştiğini görünüz. 3. X = { 2, 1,0,3,5} ve Y = { 10, 7, 5, 3,1,2,3,4,10} kümeleri ile f : X Y, f (x) = 2x 3 fonksiyonu veriliyor. (a) (b) f fonksiyonunun tanım bölgesini yazınız. f fonksiyonunun değer bölgesini yazınız. (c) 1 öğesinin, f altındaki görüntüsünü yazınız. (d) (e) A = { 1,0,5} kümesinin, f altındaki görüntüsünü yazınız. X kümesinin, f altındaki görüntüsünü yazınız. 4. X = {1,2,3,4},Y = {1,2,3,4,7} kümeleri veriliyor. X den Y ye β = {(x, y) y = x + 1} bağıntısının grafiğini çiziniz. Bir fonksiyon olup olmadığını inceleyiniz. 5. f = {(1, a),(2,b),(3,c)} veriliyor. (a) (b) (c) (d) f nin grafiğini çiziniz. f nin bir fonksiyon olduğunu gösteriniz. f nin tanım bölgesini yazınız. f nin değer bölgesini yazınız. (e) Tanım bölgesinin, f altındaki görüntüsünü yazınız. 6. f = {( 2, 1),( 1, 1),(0,1),(1,1),(2,3)} bağıntısı veriliyor. (a) f nin grafiğini çiziniz. (b) Grafiği kullanarak, f nin bir fonksiyon olduğunu gösteriniz. (c) (d) f nin X tanım bölgesini yazınız. f nin Y değer bölgesini yazınız. (e) n(f ) ile n(x ) nicelik sayılarını bulunuz.

12 C A LC U LU S 7. X = {1, 2, 3, 4}, Y = {u, v, x, y, z} kümeleri veriliyor. Aşağıdaki bağıntıların grafiklerini çiziniz. Hangilerinin fonksiyon olduğunu belirleyiniz. (a) f = {(1, x),(2, x),(2, y),(4, z)} (b) g = {(1, y),(2, y),(3, t),(4, z)} (c) h = {(1, y),(2, z),(3, x),(4, t)} (d) k = {(1, y),(2, y),(3, y),(4, y)} 8. Yukarıdaki fonksiyonların ok diyagramlarını çiziniz. 9. Ok diyagramı verilen fonksiyonu, tanım bölgesini, değer bölgesini ve y = f (x) eşleme kuralını belirleyerek, tanımlayınız. 10. Aşağıdaki fonksiyonların tanım ve değer bölgelerini bulunuz. (a) y = 2x + 5 (b) y = 1 x 1 (c) y = x 2 (d) (e) y = x y = x 11. Her fonksiyonun bir bağıntı olduğunu, ama her bağıntının fonksiyon olmadığını gösteren örnekler veriniz. Eşit Fonksiyonlar Her kümede olduğu gibi, fonksiyonlardan oluşan bir küme üzerinde eşitlik kavramı vardır. Tanım Tanım kümeleri ve tanım kümelerine ait her noktadaki görüntüleri aynı olan iki fonksiyon eşittir. Bunu, simgelerle yazarsak, şöyle diyebiliriz: X ve Y boş olmayan iki küme ve f : X Y 1, g : X Y 2 iki fonksiyon olsun. x X için f (x) = g (x) oluyorsa, f ile g birbirine eşittir," denilir ve bu eşitlik, f = g biçiminde yazılır. Bu eşitliğin tanımında, fonksiyonların değer bölgelerinin eşit olması koşulu gerekli değildir; çünkü, görüntü kümeleri eşittir: f (X ) = g (X ). İstenirse, ortak değer bölgesi olarak, ortak görüntü kümeleri ya da = Y 1 Y 2 seçilebilir. Bu seçim, fonksiyonların niteliklerinde bir değişiklik yapmayacaktır. Örnek X = { 1,0,1}, Y 1 = { 1,0,1,2}, Y 2 = { 2, 1,0,1,2,3,5,} kümeleri ile f : X Y 1, f (x) = x ve g : X Y 2, g (x) = x 3 fonksiyonlarının eşit olduğunu gösteriniz. Çözüm:

FONKSIYONL AR 13 a. Tanım bölgeleri eşittir. b. Tanım bölgelerine ait noktalarda, fonksiyonların aldığı değerler de, aşağıda görüldüğü gibi, karşılıklı olarak birbirlerine eşittir. f ( 1) = 1 f (0) = 0 f (1) = 1 g ( 1) = 1 g (0) = 0 g (1) = 1 O halde, f = g dir. İstersek, her iki fonksiyonun tanım bölgesi olarak, ortak görüntü kümesi olan Y = { 1,0,1} kümesini alabiliriz. Bu seçim, fonksiyonların niteliğini değiştirmez. Ama, tanım bölgelerini değiştirirsek, fonksiyonların nitelikleri değişir. Örneğin, f nin tanım bölgesine 2 noktasını katarsak, fonksiyonların eşitliği bozulur: f g. Fonksiyon Türleri İçine Fonksiyon Görüntü kümesi, değer bölgesinin bir has alt kümesi olduğunda, fonksiyon içine bir fonksiyon dur. Bunu simgelerle ifade edersek, f : X Y için, f (X ) Y ise, f foksiyonu X kümesinden Y kümesi içine bir fonksiyondur, diyeceğiz. Örten Fonksiyon Görüntü kümesi, değer bölgesine eşit olduğunda, fonksiyon örten bir fonksiyon dur. Bunu simgelerle ifade edersek, f : X Y için, f (X ) = Y ise, f foksiyonu X kümesinden Y kümesi üzerine (örten) bir fonksiyondur, diyeceğiz. Bire Bir Fonksiyon Tanım bölgesindeki farklı öğelere eşlenen fonksiyon değerleri de farklı ise, fonksiyon bire bir fonksiyon dur. Bunu simgelerle ifade edersek, f : X Y için, (x 1 x 2 ) f (x 1 ) f (x 2 ) ise, f foksiyonu X kümesinden Y kümesine tanımlı bire bir fonksiyondur, diyeceğiz. Bire Bir İçine Fonksiyon fonksiyondur. Bire bir ve içine olma niteliklerine sahip Bire Bir Örten Fonksiyon fonksiyondur. Bire bir ve örten olma niteliklerine sahip Sabit Fonksiyon Görüntü kümesi bir tek noktadan oluşan fonksiyon. Bunu simgelerle ifade edersek, f : X Y için, c(c Y )(x X f (x) = c ise, f foksiyonu X kümesinden {c} kümesi üzerine sabit bir fonksiyondur, diyeceğiz.

14 C A LC U LU S Sıfır Fonksiyon Görüntü kümesi 0 olan sabit fonksiyon. Bunu simgelerle ifade edersek, f : X Y için, (x X f (x) = 0) ise, f foksiyonu X kümesinden {0} kümesi üzerine bir sıfır fonksiyondur, diyeceğiz. Gömme (Özdeşlik, Birim) Fonksiyonu Tanım bölgesindeki her öğeyi kendisine eşleyen fonksiyon. Bunu simgelerle ifade edersek, X Y olmak üzere, f : X Y için, (x X f (x) = x) ise, f foksiyonu X kümesinden Y kümesi içine bir gömme (özdeşlik, birim) fonksiyonudur, diyeceğiz. X Y olduğunda gömme terimini; X = Y olduğunda ise, çoğunlukla, özdeşlik ya da birim terimini kullanırız. Örnekler 1. X = {0, 1, 2, 3} kümesinden Y = { 7, 4, 1, 6, 11, 15} kümesine tanımlı olan y = 5x 4 fonksiyonu içine bir fonksiyondur; çünkü f (X ) = { 4,1,6,11} görüntü kümesi Y değer bölgesinin bir has alt kümesidir. Bu fonksiyon, aynı zamanda, bire birdir. Dolayısıyla, bire bir içine bir fonksiyondur. 2. X = {0,1,2,3} kümesinden Y = { 4,1,6,11} kümesine tanımlı olan y = 5x 4 fonksiyonu örten bir fonksiyondur; çünkü f (X ) = { 4,1,6,11} görüntü kümesi Y değer bölgesine eşittir. Bu fonksiyon, aynı zamanda, bire birdir. Dolayısıyla, bire bir örten bir fonksiyondur. Buradan anlaşıldığı gibi, bire bir içine bir fonksiyonun değer bölgesini görüntü kümesine daraltarak örten bir fonksiyon elde edebiliriz. Bu işlem, fonksiyonun niteliğini değiştirmez. 3. X = { 2, 1,0,1,2}, olmak üzere, f : X X, f (x) = x fonksiyonu, özdeşlik (birim) fonksiyondur. 4. N doğal sayılar kümesinden Q rasyonel sayılar kümesine tanımlı olan f : N Q, f (x) = x fonksiyonu, bir gömme fonksiyonudur. Her r doğal sayısının r 1 biçiminde bir rasyonel sayı olarak algılanmasını sağlar. 5. X = [2,3) ve Y = {0,1,2,3,4} olmak üzere, f + : X Y, f + (x) = (x sayısının tam kısmı) biçiminde tanımlanan fonksiyon, [2,3) aralığındaki her x gerçek sayısını {2} kümesi üzerine resmeder: (x X f + (x) = 2). Öyleyse, f +, sabit bir fonsiyondur.

FONKSIYONL AR 15 6. X = ( 1,0] ve Y = {0,1,2,3,4} olmak üzere, f : X Y, f (x) = k, [(k Z ) (x leqk < x + 1)] biçiminde tanımlanan fonksiyon, ( 1,0] aralığındaki her x gerçek sayısını {0} kümesi üzerine resmeder: (x X f (x) = 0 Öyleyse, f, bir sıfır fonsiyondur. Eşgüçlü Kümeler 1 1 A ve B boş olmayan iki küme olsun. Eğer, A kümesinden B küme- Tanım sine bire bir örten bir f : A B fonksiyon varsa, A ile B kümelerine eşgüçlüdür, denilir ve A = B simgesiyle gösterilir. Bu durumda, f fonksiyonu, A nın öğelerini B nin öğelerine bire bir eşliyor, diyeceğiz. A B olması demek, bu kümelerin nicelik sayılarının eşit olması demektir: n(a) = n(b) Bir Fonksiyonun Tersi Bir f : A B fonksiyonun tersi, f 1 ters bağıntısıdır: f 1 = {(y, x) (x, y) f } f 1 ters bağıntısı, bazan bir fonksiyon olabilir; ama çoğunlukla bir fonksiyon değildir. Eğer f 1 bağıntısı bir fonksiyon ise, buna f nin ters fonksiyonu denilir. Ters fonksiyon (varsa) B den A ya tanımlıdır: f 1 : B A 2 2 Ters fonksiyonunun varolması için gerekli ve yeterli koşul, f : A B Gerçekten, fonksiyonunun bire bir ve örten olmasıdır. (x, y) f (y, x) f 1 bağıntısından, y = f (x) x = f 1 (y) yazılabilir. Sonlu Küme ve Sonsuz Küme 3 3 Bir has alt kümesine eşgüçlü olan kümeye sonsuz küme denilir. 4 5 Örnek 0.1. 4 Sonsuz olmayan küme, sonlu bir kümedir. 5 Sonlu bir küme, hiç bir has alt kümesine eşgüçlü olamaz.

16 C A LC U LU S Negatif olmayan çift sayılar kümesini T ile gösterelim: T = {0, 2, 4, 6,...} dır ve bu küme N = {0,1,2,3,4,...} Doğal Sayılar Kümesi nin bir has alt kümesidir. f : N T, f (n) = 2n} fonksiyonu, bire bir ve örtendir. Gerçekten, (m n) (2m 2n) (f (m) f (n)) f (bire birdir) r T n(n N )(r = 2n) f (n) = 2n f (n) = r f (örtendir) O halde, N = T dir. O halde, Doğal Sayılar Kümesi sonsuz bir kümedir. Sonlu bir kümenin her alt kümesi sonludur. Sonsuz bir kümenin her üst kümesi sonsuzdur. Sayılabilir Sonsuz Kümeler Doğal sayılar kümesine eşgüçlü bir küme, sayılabilir sonsuz bir küme dir. Sayılabilir sonsuz bazı kümeler: a. N Doğal Sayılar Kümesi, b. Tek doğal sayılar kümesi, c. Çift doğal sayılar kümesi, d. Z Tam Sayılar Kümesi, e. Q Rasyonel Sayılar Kümesi. sayılabilir sonsuz kümelerdir. R gerçek sayılar kümesi ise sayılamayan sonsuz bir kümedir. Sayılamaz Sonsuz Kümeler Sonsuz ama sayılabilir olmayan küme. Örneğin, R Gerçek Sayılar Kümesi, sayılamaz sonsuz bir kümedir. Alıştırmalar 1. f : { 1,1,2,5} { 5, 1,1,2,5,6} fonsiyonu y = f (x) = x bağıntısı ile veriliyor. f nin türünü belirtiniz. 2. f (x) = 3x 1 bağıntısı ile tanımlanan f : { 1,0,1,3} { 4, 1,2,8} fonksiyonunun türünü belirtiniz. 3. X = {1,2,3,4},Y = {a,b,c,d} veriliyor. X Y nin alt kümesi olan aşağıdaki bağıntıların türlerini belirtiniz.

FONKSIYONL AR 17 (a) β 1 = {(1, a),(2,b),(2,c),(3, a)} (b) β 2 = {(1, a),(2,c),(3,b)} (c) β 3 = {(1,b),(2,c),(3, a),(4,b),(3,c)} (d) β 4 = {(1,b),(2,d),(3,c),(4,c)} (e) β 5 = {(1,c),(2, a),(3,b),(4,d)} 4. f (x) = x 2 + 1 bağıntısı ile tanımlanan f : { 1,2,3} { 3,1,2,5,10} fonsiyonunun türünü belirtiniz. 5. f (x) = 2x 2 1 bağıntısı ile tanımlı f : { 3, 1,0} { 3, 1,0,1,2,17} fonsiyonunun türünü belirtiniz. 6. f (x) = x 2 + 3 bağıntısı bir fonksiyon tanımlıyor mu? Neden? Tanımlıyorsa, tanım bölgesini ve değer bölgesini belirleyiniz 7. Aşağıdaki bağıntıların tanımlı olduğu kartezyen çarpımları bulunuz. Bağıntıların grafiklerini çiziniz. Türlerini belirtiniz. β 1 = {(a,1),(b,2),(c,3)} β 2 = {(a,1),(a,2),(b,3),(c,3),(d,3)} β 3 = {(a,1),(b,1),(c,1),(d,1)} β 4 = {(1, a),(2, a),(3, a) β 5 = {(1, a),(2,b),(3,c),(2, t) 8. g (x) = 2x 2 + 1 kuralı ile tanımlı f : { 2, 1,0,1} { 1,1,5} fonksiyonunun türünü belirleyiniz. Grafiğini çiziniz. 9. Aşağıdaki bağıntıları belirleyiniz. (a) β 1 = {(a, x),(b, z),(c, z),(d, t)} (b) β 2 = {(a, y),(b, y),(c, y),(d, y)} (c) β 3 = {(a, z),(b, x),(c, y),(d, z)} (d) β 4 = {(y, a),(y,b),(y,c),(z,d)} (e) β 5 = {(x, a),(x,b),(x,c),(x,d)} 10. f (x) = x 3 fonksiyonu ile A = { 2, 1,0,1,2} kümesi veriliyor. f : A B nin bire bir ve örten olması için, B ne olmalıdır? 11. A = {a,b,c,d}, B = {x, y, z, t} kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlı olan aşağıdaki türlerde fonksiyonlar belirleyiniz. Öğelerini listeleyiniz. (a) f : A B içine fonksiyon, (b) g : A B bire bir ve örten fonksiyon, (c) h : A B sabit fonksiyon, (d) s : A B sıfır fonksiyon, (e) t : B A ters fonksiyon,

18 C A LC U LU S 12. Grafiği aşağıda verilen fonksiyonun öğelerini listeleyiniz. Tanım ve değer bölgelerini yazınız. 13. Ok diyagramı aşağıda verilen fonksiyonun öğelerini listeleyiniz. Tanım ve değer bölgelerini yazınız. 14. f : N N fonksiyonu f (x) = (a 3)x + 2 b bağıntısı ile veriliyor. f nin bir özdeşlik fonksiyonu olması için, a ve b ne olmalıdır? 15. f : N N fonksiyonu f (x) = (a 5)x + 3 b bağıntısı ile veriliyor. f nin sıfır fonksiyon olması için, a ve b ne olmalıdır? 16. f : N N fonksiyonu f (x) = (a 1)x + 4 + b bağıntısı ile veriliyor. f nin sabit bir fonksiyon olması için, a ve b ne olmalıdır? 17. f (x) = x+1 x 1 bağıntısının bir fonksiyon belirleyip belirlemediğini saptayınız. Belirliyorsa, fonksiyonun tanım ve değer bölgelerini yazınız. 18. A = {a,b,c,d} olmak üzere f (x) = x kuralı ile tanımlı f : A A fonksiyonunun türünü belirleyiniz. Grafiğini çiziniz. 19. ni c(a) = n ve ni c(b) = m ise, A kümesinden B kümesine kaç tane bire bir fonksiyon vardır? 20. Aşağıda ok diyagramı verilen fonksiyonun türünü belirleyiniz. Grafiğini çiziniz.

Fonksiyonların Bileşkesi Bileşke Fonksiyon Kavramı f : R R; f : x 2x fonksiyonu ile g : R R; g : y y + 1 fonksiyonlarını, arka arkaya uygularsak, bir x öğesinin görüntüsünü x f 2x g 2x + 1 biçiminde yazabiliriz. Bu olgu bileşke fonksiyonunun temelidir. Bir fonksiyonun görüntüsüne başka bir fonksiyonu uygulamak; onun görüntüsüne de başka bir fonksiyonu uygulamak,... Bileşke Fonksiyon Tanım: f : A B örten bir fonksiyon olsun ve g : B C fonksiyonu verilsin. h : A C ; (x A h(x) = z = g (f (x)) (1) fonksiyonuna, f ile g fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denilir ve h = g f biçiminde gösterilir. Bunu g bileşke f " diye okuyacağız. g f yazılışında sıra önemlidir: Önce f fonksiyonu, sonra g fonksiyonu uygulanacak demektir. Tabii, g f : A C dir. (1) ifadesini, bağıntı gösterimleri ile de ifade edebiliriz: Tanım: f : A B örten bir fonksiyon olsun ve g : B C fonksiyonu verilsin. (x, y) f (y, z) g (x, z) g f (3)

20 C A LC U LU S fonksiyonu, f ile g fonksiyonunun bileşkesidir. (g f ) : A C, (g f )(x) = g (f (x)) Bileşke İşleminin Özelikleri R den R ye tanımlı fonksiyonlardan oluşan bir F fonksiyonlar kümesini düşünelim. Bileşke, F üzerinde tanımlı ikili bir işlemdir. Öyleyse, işlem için öğrendiğimiz özeliklerin hangilerinin sağlanıp, hangilerinin sağlanmadığını araştırabiliriz. Gerekiz tekrardan sakınmak için, bundan böyle, g f yazdığımızda, f nin örten olduğunu; h g f yazdığımız da da f ile g nin örten olduğunu varsayacağız. Fonksiyonların sayısal değerlerinin verildiği yerler bunun dışındadır. Yer Değişim Özeliği Bileşke işlemi yer değişim özeliğini sağlamaz. Bunu bir örnek üzerinde görebiliriz. R den R ye f (x) = 2x ve g (y) = y + 7 fonksiyonları verilsin. g f ve f g fonksiyonlarını ayrı ayrı yazalım: (g f )(x) = g (f (x)) (bileşke tanımı) = g (2x) (f nin kuralı) = (2x) + 7 (g nin kuralı) = 2x + 7 (f g )(x) = f (g (x)) (bileşke tanımı) = f (x + 7) (g nin kuralı) = 2(x + 7) (f nin kuralı) = 2x + 14 bulunur. Dolayısıyla, (f g )(x) = 2x + 14 (g f )(x) = 2x + 7 } (f g )(x) (g f )(x) O halde, f g g f dir. Uyarı: Bazı özel hallerde, f g = g f eşitliği sağlanabilir; ancak bu genel eşitsizlik kuralını bozmaz. Birleşme Özeliği

FONKSIYONL ARIN BILEŞKESI 21 Fonksiyonlar kümesi üzerinde bileşke işleminin birleşme özeliği vardır. fonksiyonlarından ilk ikisi örten ise, f B, g : B C, h : C D [h (g f )](x) = h[(g f )(x)] = h[g (f (x))] ve [(h g ) f ](x) = (h g )(f (x)) = h[g (f (x))] Yani, [h (g f )](x) = [(h g ) f ](x) = h[g (f (x))] eşitliği vardır. O halde fonksiyonlar kümesi üzerinde bileşke işleminin birleşme özeliği vardır. Sadeliği sağlamak için, parantezleri kaldırıp, f (g h) = (f g ) h = f g h yazabiliriz. Birim Fonksiyon Önerme: A kümesinden kendisine tanımlı fonksiyonlar kümesi içindeki özdeşlik fonksiyonu, bileşke işlemine göre birim öğedir. İspat: A boş olmayan bir küme olmak üzere, I : A A, I (x) = x (4) fonksiyonuna birim (özdeşlik) fonksiyon demiştik. Herhangi bir f : A A fonksiyonu ile I özdeşlik fonksiyonunun bileşkesini düşünelim. (I f )(x) = I (f (x)) = f (x) ve (f I )(x) = f (I (x)) = f (x) dir. O halde f I = I f = f (5) Bu istenen eşitliktir. Bileşke İşlemine Göre Bir Fonksiyonun Tersi

22 C A LC U LU S Bir f : A B fonksiyonunu bir bağıntı olarak düşündüğümüzde, f 1 ters bağıntısının bir fonksiyon olmayabileceğini biliyoruz. Ayrıca, f 1 ters bağıntısının bir fonksiyon olması için, f nin bire bir ve örten olmasının gerekli ve yeterli olduğunu da söylemiştik. Bunları, simgelerle yeniden ifade edersek, şöyle diyebiliriz: Önerme: f 1 = {(y, x) y B x A} ters bağıntısının bir fonsiyon olması için gerekli ve yeterli koşul f = {(x, y) x A y B} fonksiyonunun bire bir ve örten olmasıdır. Bu durumda, f 1 de bire bir örten bir fonsiyondur: f : A B, f (x) = y f 1 : B A, f 1 (y) = x (6) A ve B kümeleri üzerinde tanımlı birim fonksiyonlar I A : A A, I A (x) = x I B : B B, I B (y) = y olsun. (f f 1 )(y) = f (f 1 (y)) (bileşke tanımı) eşitliğinden, = f (x) (f 1 (y) = x) = y (f (x) = y) = I B (y) (I B (y) = y) f f 1 = I B yazabiliriz. Benzer olarak, (f 1 f )(x) = f 1 (f (x)) (bileşke tanımı) çıkar. eşitliğinden, = f 1 (y) (f (x) = y) = x (f 1 (y) = x) = I A (x) (I A (x) = x) f 1 f = I A Özel olarak, A = B ise, I A = I B = I yazabiliriz ve bu durumda, yukarıdaki iki eşitliği birleştirerek, f f 1 = f 1 f = I eşitliğine ulaşırız. Buraya kadar yaptıklarımızdan şu sonucu çıkarabiliriz: Önerme: f 1 var olduğunda, bileşke işlemine göre, f fonksiyonunun tersi f 1 fonksiyonudur. Uyarı:

FONKSIYONL ARIN BILEŞKESI 23 A B olduğunda, daima, f f 1 f 1 f dir. Uyarı: Bir f fonksiyonunu veren bağıntıyı yazarken, bağımlı ve bağımsız değişken olarak kullandığımız harfler, fonksiyonun niteliğini değiştirmez. Dolayısıyla, farklı bağımsız değişkenler kullanarak, y = f (x) = f (t) = f (s) = yazabileceğimiz gibi, farklı bağımlı değişkenler de kullanarak f (t) = y = u = v = x, yazabiliriz. f verilmişken f 1 ters fonksiyonunu ya da f 1 verilmişken f fonksiyonunu bulmak için, gerektiğinde x ile y nin rollerini değiştirerek, y = f (x) x = f 1 (y) (7) y = f 1 (x) x = f (y) (8) gerektirmelerini kullanırız. Uyarı: Burada ele alacağımız fonksiyonlar, aksi söylenmedikçe, R nin bir alt kümesinden R nin bir alt kümesine tanımlı varsayılacaktır. Dolayısıyla, tanım bölgesi belirtilmeden y = f (x) bağıntısıyla verilen bir f fonksiyonunun tanım bölgesi, f (x) değerlerinin var olduğu bütün x öğelerinin oluşturduğu kümedir. Tabii, f nin görüntü kümesi belirlenince, değer kümesi de belirlenmiş olacaktır. Örnekler 1. g r a f (f ) = {1,c)(2,b),(3, a),(4,d)} ve g r a f (g ) = {(a,1),(b,3),(c,4),(d,2)} veriliyor. Grafikleri çiziniz. g f ile f g bileşke fonksiyonlarını yazınız. Bileşke fonksiyonların niteliklerini ortaya çıkarınız. Çözüm: Grafikler yukarıda çizilmiştir. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {a, b, c, d} olmak üzere, f : A B, f (1) = c, f (2) = b, f (3) = a, f (4) = d g : B A, g (a) = 1, g (b) = 3, g (c) = 4, g (d) = 2

24 C A LC U LU S dir. Her ikisi bire bir ve örtendir. Dolayısıyla, her ikisinin ters fonksiyonları vardır: g r a f (f 1 ) = {(a,3), (b,2), (c,1), (d,4)} g r a f (g 1 ) = {(1, a), (2,d), (3,b), (4,c)} Bileşke fonksiyonların tanımları aşağıda verilmiştir: g f : A A, g f (1) = 4, g f (2) = 3, g f (3) = 1, g f (4) = 2 f g : B B, f g (a) = c, f g (b) = a, f g (c) = d, f g (d) = b 2. y = f (x) = 3x + 1 fonksiyonunun, mümkün olan en büyük tanım bölgesini bulunuz. Değer bölgesini belirleyiniz. varsa, ters fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: y = f (x) = 3x + 1 bağıntısı her gerçek x için anlamlıdır. Dolayısıyla, f nin tanım bölgesi R dir. (x 1 x 2 ) (f (x 1 ) f (x 2 )) (y 1 y 2 ) olduğundan, fonksiyon bire birdir. Her y R için, ( ) y 1 f = 3 y 1 + 1 = y 3 3 olduğundan, f : R R örten bir fonksiyondur. Dolayısıyla, f nin ters fonksiyonu vardır. Ters fonksiyonu bulmak için (8) bağıntısını kullanabiliriz: y = f 1 (x) x = f (y) x = 3y + 1 y = x 1 3 f 1 (x) = x 1 3 3. a 0 ile b sabit gerçek sayılar olmak üzere, y = ax + b fonksiyonunun, mümkün olan en büyük tanım bölgesini bulunuz. Değer bölgesini belirleyiniz. varsa, ters fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Yukarıdaki sayısal örnekte yaptıklarımızın benzerini tekrarlayabiliriz. y = f (x) = ax + b bağıntısı her gerçek x için anlamlıdır. Dolayısıyla, f nin tanım bölgesi R dir. (x 1 x 2 ) (f (x 1 ) f (x 2 )) (y 1 y 2 ) olduğundan, fonksiyon bire birdir. Her y R için, ( ) y b f = 3 y b a a + 1 = y

FONKSIYONL ARIN BILEŞKESI 25 olduğundan, f : R R örten bir fonksiyondur. Dolayısıyla, f nin ters fonksiyonu vardır. Ters fonksiyonu bulmak için (8) bağıntısını kullanabiliriz: y = f 1 (x) x = f (y) O halde, dir. x = ay + b y = x b a f 1 (x) = x b a f (x) = ax + b f 1 (x) = x b a 4. a,b,c,d sabit gerçek sayılar olmak üzere, y = f (x) = ax + b cx + d fonksiyonunun, mümkün olan en büyük tanım bölgesini bulunuz. Değer bölgesini belirleyiniz. varsa, ters fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Verilen y = f (x) bağıntısı, paydanın sıfır olmadığı her gerçek x için anlamlıdır. Dolayısıyla, f nin tanım bölgesi cx + d 0 x d c olan gerçek sayılar kümesidir. f (x 1 ) = f (x 2 ) ax 1 + b cx 1 + d = ax 2 + b cx 2 + d (ax 1 + b)(cx 2 + d) = (cx 1 + d)(ax 2 + b) ad x 1 + bcx 2 = bcx 1 + ad x 2 ad = bc dir. Buradan şunu söyleyebiliriz: 1. Durum: Eğer ad = bc ise, verilen fonksiyon, f (x) = a c sabit fonksiyonudur. Görüntü kümesi, tek öğeli { a c } kümesidir. Fonksiyonun tersi yoktur. 2. Durum: Eğer ad bc ise, verilen fonksiyon, bire birdir. Görüntü kümesi üzerinde, ters fonksiyonu vardır. Ters fonksiyonu bulmak için (8) bağıntısını kullanabiliriz: O halde, ad bc olduğunda, y = f 1 (x) x = f (y) f (x) = ax + b cx + d x = ay + b c y + d x(c y + d) = ay + d y = d x + b cx a f 1 (x) = d x + b cx a f 1 (x) = d x + b cx a Buradan, görüntü kümesinin cx a 0 x a c koşulunu sağlayan gerçek x sayılarının oluşturduğu küme olduğu görülür.

26 C A LC U LU S 5. A = {1,2,3} v4 B = {1,6,11} kümeleri ile f : A B, f (x) = 5x 4 fonksiyonu veriliyor. (a) (b) (c) f fonksiyonunun bire bir olduğunu gösteriniz. f 1 ters fonksiyonunu bulunuz. f f 1 ile f 1 f bileşke fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm: f (1) = 1, f (2) = 6, f (3) = 11 eşlemelerinden, f nin bire bir ve örten olduğu görülüyor. Ters fonksiyonu bulmak için, (8) bağıntısını kullanalım: y = f 1 (x) x = f (y) x = 5y 4 x + 4 = 5y y = x + 4 5 Öyleyse, dir. f (x) = 5x 4 f 1 (x) = x + 4 5 f 1 f = I A : A A, (x A I A (x) = x f f 1 = I B : B B, (y B I B (y) = y olduğu apaçıktır. Alıştırmalar 1. Bire bir ve örten her fonksiyonun tersinin tersi, kendisine eşittir; yani, (f 1 ) 1 = f eşitliği vardır. Gösteriniz. 2. f ile g fonksiyonlarının grafikleri, g r a f (f ) = {(a,4),(b,3),(c,1),(d,2)} ve g r a f (g ) = {(1,b),(2,d),(3, a),(4,c)} olsun. (a) f fonksiyonunun tanım ve değer bölgelerini yazınız. (b) g fonksiyonunun tanım ve değer bölgelerini yazınız. (c) f fonksiyonunun bire bir ve örten olduğunu gösteriniz. (d) g fonksiyonunun bire bir ve örten olduğunu gösteriniz. (e) f fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. (f) g fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. (g) f 1 f bileşkesini belirleyiniz.

FONKSIYONL ARIN BILEŞKESI 27 (h) f f 1 bileşkesini belirleyiniz. (i) g 1 g bileşkesini belirleyiniz. (j) g g 1 bileşkesini belirleyiniz. (k) g f bileşkesini belirleyiniz. (l) f g bileşkesini belirleyiniz. (m) (g f ) 1 ters fonksiyonunu belirleyiniz. (n) f 1 g 1 bileşke fonksiyonunu belirleyiniz. (o) (g f ) 1 = f 1 g 1 eşitliğini gösteriniz. 3. A = { 2, 1,0,1,2} kümesi veriliyor. f : A B, f (x) = 3x 1 ve g : B C, g (x) = 2x + 5 bire bir ve örten fonksiyonları tanımlanıyor. (a) B ve C kümelerini bulunuz. (b) g f : A C fonksiyonunu belirleyiniz. (c) f, g, g f fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. 4. Her f : A A örten bir fonksiyonu ise, kısalığı sağlamak için, ardışık bileşkeler, f 2 = f f, f 3 = f f f, f 4 = f f f f biçiminde üstel ifadelerle gösterilir. f : R R, f (x) = x + 5 fonksiyonu veriliyor. I birim fomksiyon olmak üzere, I = f 2 = f 2 = f 4 = f 6 = olduğunu gösteriniz. 5. f 1 (x) = 2x + 3 veriliyor. f fonksiyonunu belirleyiniz. 6. f : R R, f (x) = x 5 fonksiyonu için f 4 (x) = 0 eşitliğini sağlayan x sayısını bulunuz. 7. A = { 3, 2, 1,0,1,2,3} ve B = {0,1,4,9} kümeleri veriliyor. f : A B, f (x) = x 2 fonksiyonunun tersi var mıdır? Neden? 8. A = { 1,0,1,2,3,4,5} kümesi ile f : A B, f (x) = 5x 1 bağıntısı veriliyor. (a) f nin bir fonksiyon olduğunu gösteriniz. (b) f nin mümkün olan en büyük tanım bölgesini ve değer bölgesini belirleyiniz. (c) (d) (e) f nin bire bir ve örten bir fonksiyon olduğunu gösteriniz. f 1 ters fonksiyonunu belirleyiniz. f f 1 f 1 f olduğunu örneklerle gösteriniz. 9. f (x) = 3x + 1 ve g (x) = 2x fonksiyonları veriliyor. (a) f ile g nin mümkün olan en büyük tanım bölgelerini ve değer bölgelerini belirleyiniz. (b) g f bileşke fonksiyonunu belirleyiniz.

28 C A LC U LU S (c) f g bileşke fonksiyonunu belirleyiniz. (d) g f f g olduğunu gösteriniz. (e) f 1 ters fonksiyonunu belirleyiniz. (f) g 1 ters fonksiyonunu belirleyiniz. (g) f f 1 f 1 f olduğunu örneklerle gösteriniz. (h) (g f ) 1 = f 1 g 1 olduğunu örneklerle gösteriniz. 10. f (x) = 3x + 1 fonksiyonu ile B = {1,7,10} kümesi veriliyor. f 1 (B) kümesini bulunuz. 11. f (x) = 2x + 1, g (x) = x 2 fonksiyonları veriliyor. (a) f ile g nin terslerini bulunuz. (b) (f g ) 1 = g 1 f 1 olduğunu örneklerle gösteriniz. (c) f g g f olduğunu örneklerle gösteriniz. 12. f (x) = x 2 bağıntısı veriliyor. (a) f bir fonksiyon mudur? (b) Fonksiyon ise, en büyük tanım bölgesini belirleyiniz. (c) Görüntü kümesini yazınız. (d) Ters fonksiyonu var mıdır? (e) Tanım bölgesini, A = {x x 0, x R} kümesine daraltılırsa, f 1 ters fonksiyonu var olur mu? Varsa kimdir? 13. f (x) = 3x + 1 ile g (x) = x 1 3 fonksiyonlarının birbirlerinin tersi olduklarını gösteriniz. 14. f (x) = x 3 ile g (x) = 3 x fonksiyonlarının birbirlerinin tersi olduklarını gösteriniz. 15. f (x) = x 3 + 1 fonksiyonunun tersini bulunuz. 16. f (x) = 2 3 x + 5 fonksiyonunun tersini bulunuz. 17. f (x) = 1 x 1 fonksiyonunun en büyük tanım bölgesini belirleyiniz. Ters fonksiyonunun olup olmadığını araştırınız. 18. f (x) = 1 x, (x 0) fonksiyonunun tersinin kendisi ne eşit olduğunu; yani, f (x) = f 1 (x), (x 0) eşitliğinin varlığını gösteriniz. 19. f (x) = (x 3) 3 fonksiyonunun tersini bulunuz. 20. f (x) = x + 3, g (x) = x + 1, h(x) = 3x + 2 fonksiyonları veriliyor. f (g h) = (f g ) h olduğunu gösteniniz. 21. f (x) = ax + 1 ve f 1 (x) = f (x) ise f 1 (1) kaçtır? 22. f (x) = ax+2 3x 1 ve f 1 (x) = f (x) ise f 1 (1) kaçtır? 23. f (x) = 3x 1 2x 4 fonksiyonunun en büyük tanım kümesini ve varsa ters fonksiyonunu bulunuz. 24. f (x) = (x + 1) f (x 1) ve f (1) = 5 ise f (4) kaçtır?

FONKSIYONL ARIN BILEŞKESI 29 25. f : A B fonksiyonu veriliyor. f (x) = (x 1) f (x + 1) ve f (5) = 5 ise f (2) kaçtır? 26. f (x) = 2x + 1 ve g f (x) = 6x 2 ise g (x) nedir? 27. g (x) = 3x 2 ve g f (x) = 2x ise f (x nedir? 28. f (x 2) = 3x + 1 ve A = { 1,0,1} ise f (A) ve f 1 (A) nedir? 29. f (3x 1) = x 2 3 ise f (x) nedir? 30. f (x) = 3x + r ve f 1 (3) = 1 ise r kaçtır? 31. A = { 1,1,3} ve f (x) = 2x + 1 ise f 1 (A) nedir? 32. f (x) = 3x 1 x 3 ise f 1 (x) nedir? 33. A = {1,2,3} kümesinden kendisine tanımlı bire bir ve örten her fonksiyon, A nın bir permütasyonudur. Bir permütasyonu göstermek için, aşağıdaki gibi matrisler kullanılır. Bunun anlamı şudur: Üst satırdaki her öğe, kendi düşey sütununa karşılık gelen alt satırdaki öğeye eşlenir. (a) A nın bütün permütasyonlarının aşağıdaki fonksiyonlardan oluşan P = {f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 } kümesi olduğunu gösteriniz. (b) Bu permütasyonlar arasında, birbirlerinin tersi olanları belirleyiniz. (c) Permütasyonların bileşke işlemine göre kapalı olduğunu gösteriniz. (d) Bileşke işleminin yer değişim özeliğinin olmadığını gösteriniz. (e) Bileşke işleminin tablosunu yapınız ve özeliklerini inceleyiniz. (f) (P, ) sistemi bir grup mudur? Neden? ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 f 1 =, f 2 =, f 3 = 1 2 3 1 3 2 2 1 3 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 f 4 =, f 5 =, f 6 = 2 3 1 3 1 2 3 2 1 olarak veriliyor. (bileşke) işlemi, a,ağıdaki gibi tanımlanır: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 f 2 f 3 = = = f 5 1 3 2 2 1 3 3 1 2 34. Yukarıdaki tanımlara göre, (f 3 f 5 ) 1 hangi permütasyona eşittir? 35. Yukarıdaki tanımlara göre, (f 1 5 f 1 3 ) 1 hangi permütasyona eşittir? 36. f : A B, f (x) = ax 2 fonksiyonu veriliyor. f (2x + 1) 2f (x) = 5 ise a R yi ve f 2 (x + 1) ifadesini bulunuz. 37. f (x) = 2x + 5 fonksiyonu veriliyor. f ( 10x + 3) = f ( 2x) + f (x 1) önermesinin doğruluk kümesini bulunuz. 38. R R, f (x) = 2x+3, g (x) = 4x 7 fonksiyonları veriliyor. 2.(f g )(x) (g f )(x) + f (x) + 4 = 0 önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.

30 C A LC U LU S 39. f (x 1) = 1 x x, ve g (x 1) = x+1 ise, f 1 g (3) kaç olur? 40. f (x) = 2x + 1 ve g f (x) = 6x + 2 ise g nedir? 41. f : R R fonksiyonu, f (x 1) = 3x + 4 eşitliğini sağlıyorsa, f 1 (7) kaçtır? 42. f : R R fonksiyonu, f (2x + 5) = 15x + 4 eşitliğini sağlıyorsa, f (9) kaçtır? 43. f (x) = 4x + 2 ve (g 1 f )(x) = 3x + 2 ise g (x) nedir? 44. ( ) 2x 1 f = x 1 3x + 1 x 2 ise f 1 (2) nedir? 45. a ile b sıfırdan farklı sabitler olmak üzere, f (ax + b) = a b x ise f (0) kaçtır? 46. f x) = ax + b ve f 1 (5) = 2 ise 4a + 2b kaçtır? 47. f (x) = x 2 ve g (x) = 3x + 2 olduğuna göre (f 1 g ) 1 bileşkesini belirleyiniz. 48. f : R 2 R fonksiyonu, f (x, y) = 2x 5y + 3 bağıntısı ile veriliyor. f (1, y) = 0 eşitliğini sağlayan y değerini bulunuz.

Polinomlar Polinom Kavramı Polinomlar, yalnız Matematikte değil, başka bilim dallarında da karşılaşılan bir çok problemin çözümünde etkili bir araçtır. Polinom kavramı, farklı soyut biçimleriyle incelenebilir. Ama, bu derste, katsayıların ve belirsizlerin gerçek sayılar olması durumunu ele alacağız. Gene de, biraz genel bir tanım vermekte yarar olabilir. a 0, a 1,, a n 1, a n bir H halkasından seçilmiş ögeler, n bir doğal sayı ve x belirsiz (tanımsız) olmak üzere, p(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x + a n x n (1) biçimindeki ifadelerden her birisi, bir belirsizli bir polinomdur. Tanımı daha belirgin kılmak istersek, (1) ifadesine, x belirsizine göre, H üzerinde bir polinomdur diyoruz. Buna göre, H yerine Z konulursa, (1) ifadesi tamsayı katsayılı, bir belirsizli bir polinom H yerine Q konulursa, (1) ifadesi rasyonel sayı katsayılı, bir belirsizli bir polinom H yerine R konulursa, (1) ifadesi gerçek katsayılı bir belirsizli bir polinom Polinomları büyük ya da küçük harflerle temsil edebiliriz. Buna göre, P(x) ya da p(x) simgeleri kullanılabilir. Bir Belirsizli Polinomlar Polinomun genel tanımını vermeden önce polinomu ve onunla ilgili bazı kavramları bir örnek üzerinde açıklamak daha uygun olacaktır. 3x 5 12x 2 + 7x 9 ifadesi bir polinomdur. Fonksiyonlarda olduğu gibi, polinomları da birer harf ile temsil ederiz. Yukarıdaki polinomu p(x) ile temsil edersek, p(x) = 3x 5 12x 2 + 7x 9 (1) yazabiliriz. şimdilik x simgesinin bir gerçek değişkeni temsil ettiğini; yani x in R içinde gezgin bir öge olduğunu varsayalım. Bu polinomun terimleri 3x 5, 12x 2, 7x, 9 dur. Bu terimler, x değişkenine göre, 5,2,1,0 ıncı derecedendirler (kuvvettendirler). En yüksek dereceli terim 3x 5 dir. Polinomun derecesi, en yüksek dereceli teriminin derecesine eşittir. Dolayısıyla, söz konusu

32 C A LC U LU S polinomun derecesi 5 dir. Terimlerin katsayıları, sırasıyla, 3, 12, 7, 9 gerçek sayılarıdır. En yüksek dereceli terimin katsayısı, polinomun başkatsayısı dır. Ohalde (2) polinomunun başkatsayısı 3 dür. Terimler R içindeki çarpma işlemine göre anlamlıdır. Terimlerin toplanması ya da çıkarılması da aynı şekilde anlamlıdır. Bu demektir ki, (2) polinomu gerçek sayılar kümesi içinde tanımlıdır ve x değişkenine belirli bir değer verilip, polinomun içerdiği çarpma, toplama ve çıkarma işlemleri yapılırsa bir gerçek sayı bulunur. Bu sayı, x için seçilen değere karşılık polinomun aldığı değerdir. Başka bir deyişle, (2) ifadesi bir cebirsel yapı içinde anlamlı bir ifadedir. şimdi (1) polinomu için söylediklerimizi genelleştirmeye ve soyutlamaya çalışalım. Dikkat edersek, yukarıdaki tanımda R yerine, toplama ve çarpma işlemlerine kapalı olan bir cebirsel yapı alabiliriz. x değişkenini de şimdilik belirtilmeyen bir kümeden seçebiliriz. Bu nedenle, ait olduğu küme belirtilmediği zaman, x nesnesine değişken demeyecek, belirsiz diyeceğiz. Tanım 0.2. (1) biçimindeki ifadelerden her birisi bir polinomdur. Katsayı P(x) polinomunda a n, a n 1,, a 1, a 0 ögelerinden her birisi. Terim a n x n, a n 1 x n 1,, a 1 x, a 0 ifadelerinden her birisi. Derece Bir a m x m terimi için, x in kuvveti olan m N doğal sayısı. p(x) polinomu için, polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olanın derecesi. p(x) polinomunun derecesi der [p(x)] ile gösterilir. Başkatsayı Polinomdaki en yüksek dereceli terimin katsayısı. Sıfır Polinomu Bütün katsayıları 0 olan polinom. a n = a n 1 = = a 1 = a 0 = 0 ise p(x) polinomu sıfır polinomudur. O(x) ile gösterilir. Sabit Polinom Sabit terimi dışındaki bütün katsayıları 0 olan polinom. a n = a n 1 = = a 2 = a 1 = 0 ve a 0 0 ise, p(x) polinomu sabit bir polinomdur. Sıfır polinomun derecesi tanımsızdır. Sabit polinomun derecesi sıfırdır. Örnekler: 1. p(x) = 7x 5 3x 4 + x 3 + 21x 2 8x + 12 polinomunun derecesini, katsayılarını, terim sayısını, sabit terimini, başkatsayısını yazınız. der [P(x)] = 5 Katsayıları: 7, 3,1,21, 8,12 Terim sayısı: 6 Sabit terimi: 12

POLINOML AR 33 Baş katsayısı: 7 dır. 2. p(x) = 5x 4 + 3 4 x3 + 8x 5 polinomunun derecesini, başkatsayısını, terim sayısını, sabit terimini ve katsayılarını yazınız. der [p(x)] = 4 Baş katsayısı: 5 Terim sayısı: 4 Sabit terimi:-5 p(x) polinomunun ikinci dereceden teriminin katsayısı sıfırdır. Bu dir. polinom p(x) = 5x 4 + 3 4 x3 + 0x 2 + 8x 5 biçiminde yazılabilir. Dolayısıyla, p(x) polinomunun katsayıları 5, 3 4, 0, 8, 5 3. f (x) = 13x 3 + 4x 2 3 + 21 ifadesi bir polinom mudur? Neden? Değildir; çünkü bir polinomda her terimin üssü bir doğal sayıdır. Oysa 4x 2 3 terimindeki x, belirsizinin üssü bir doğal sayı değildir. 4. p(x) = (2m 1)x 2 +(n +2)x +r polinomunun sıfır polinomu olması için 2m 1 = 0, n + 2 = 0, r = 0 m, n, r sayıları ne olmalıdır? m = 1 2, n = 2, r = 0 5. p(x) = ax 7 +(5b+1)x 3 +(2c 3)x 2 +8 polinomunun sabit polinom olması a = 0, 5b + 1 = 0, 2c 3 = 0 için a,b,c nin alacağı değerler ne olmalıdır? a = 0, b = 1 5, c = 3 2 Çok Belirsizli Polinomlar x, y ve z belirsiz öğeler olmak üzere 1. p(x, y) = 9x 7 y 2 15x 3 y 4 + 2x 2 5y + 14 2. q(x, y) = 3x y + 2x 4 y 3 5y 7 3. r (x, y, z) = 6 11x y z 2 + 4x 2 z 9 3x y 4 + 12x 4 y z 3 biçimindeki ifadelerden her birisine çok belirsizli bir polinom denilir. Bunlardan ilk ikisi iki belirsizli, sonuncusu ise üç belirsizli polinomlardır. Genel tanımını şöyle yapabiliriz. H bir halka, x ve y belirsiz iki öge, a r k H ve r,k N olmak üzere, a r k x r y k biçimindeki terimlerin sonlu bir toplamına iki belirsizli polinom denilir. İkiden çok belirsizi olan polinomlar da benzer biçimde tanımlanır. a r k x r y k biçimindeki ifadelerin her birisi polinomun bir terimidir. Bu terimin derecesi r + k dır; yani içerdiği belirsizlerin kuvvetleri toplamıdır. Aynı terimin katsayısı ise a r k dır. En yüksek dereceli terimin derecesi polinomun da derecesidir. Örnekler 1. p(x,y) polinomunun iki belirsizi, 5 terimi vardır. Derecesi 9 dur.

34 C A LC U LU S 2. q(x,y) polinomunun iki belirsizi, 3 terimi vardır. Derecesi 7 dir. Bu polinomun 7 inci dereceden iki terimi vardır. 3. r(x,y,z) polinomunun üç belirsizi, 5 terimi vardır. Derecesi 11 dir. Belirsizleri aynı olan ve aynı belirsizlerin, karşılıklı olarak, üsleri aynı olan terimlere benzer terimler denilir. Benzer terimlerin katsayıları farklı olabilir. Örnekler: 17x 3 ile 5x 3 5x 7 y 4 ile x 7 y 4 benzer terimlerdir. Ama 8x 2 y 3 ile 18x 3 y 2 benzer olmayan terimlerdir. Terimleri Kuvvetlerine Göre Sıralama Polinomlarla ilgili işlemlerin kolay yapılabilmesi için polinomlar, belirsizlerinin kuvvetlerine göre artan ya da azalan sırada düzenlenebilir. Bu alışkanlığı edinmek için, polinomları bu biçimde düzenlenmiş olarak yazacağız. Örneğin, 3 + 2x + 6x 2 17x 4 8x 9 12x 7 + 4x 5 7x 4 + 15x 3 + 2x 4 polinomlarından birincisi x belirsizinin artan kuvvetlerine göre, ikincisi ise azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiştir. Çok belirsizli polinomlar, istenen bir belirsizinin kuvvetlerine göre artan ya da azalan sırada düzenlenebilir. Örneğin, 7x 2 y 3 z 18x 3 y 2 z 2 + 5x 4 y 5 z 6 + x 5 14z 7 4 polinomu x belirsizinin artan kuvvetlerine göre düzenlenirse 4 14z 7 + 7x 2 y 3 z 18x 3 y 2 z 2 + 5x 4 y 5 z 6 + x 5 z belirsizinin azalan kuvvetlerine göre düzenlenirse 14z 7 + 5x 4 y 5 z 6 18x 3 y 2 z 2 + 7x 2 y 3 z + x 5 4 İki Polinomun Eşitliği İki polinomun eşit olması için gerekli ve yeterli koşul derecelerinin aynı ve benzer terimlerinin, karşılıklı olarak birbirlerine eşit olmasıdır. Bir belirsizli polinomlar için eşitlik şu anlama gelir: P(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n ve Q(x) = b 0 + b 1 x + + b m 1 x m 1 + b m x m

POLINOML AR 35 polinomları verilsin. dir. Örnekler: P(x) = Q(x) m = n (a 0 = b 0, a 1 = b 1,, a n = b m ) 1. P(x) = (a+1)x 2 +5x +2b 1 ve Q(x) = (15 a)x 3 +(c 1)x 2 +(2d +1)x 3 2. polinomlarının eşit olması için a,b,c,d hangi değerleri almalıdır? Bu iki polinomun eşit olması için, benzer terimlerinin katsayıları eşit olmalıdır. O halde, çıkar. 15 a = 0 a = 15 a + 1 = c 1 c = 17 2d + 1 = 5 d = 2 2b 1 = 3 b = 2 P(x) = (3 a)x 5 3x 3 + bx 2 + 9 Q(x) = (b 1)x 4 + (2c + 5)x 3 5d x 2 + 2e 1 polinomlarının eşit olması için a, b, c, d, e hangi değerleri almalıdır? Yukarıdaki düşünüşle, olması gerektiği görülür. 3 a = 0 a = 3 b 1 = 0 b = 1 2c + 5 = 3 c = 4 b = 5d d = 1 5 2e 1 = 9 e = 5 3. P(x) = 14x 3 + 5x 2 + 11, ve Q(x) = 14x 3 2x 2 + 11 polinomları eşit midir? Hayır. Çünkü; P(x) polinomunda x 2 li terimin katsayısı 5, Q(x) polinomunda x 2 li terimin katsayısı -2 dir. Ohalde, P(x) Q(x) dir. Uygulamalar 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri birer polinomdur? a) f (x) = x2 +1 x 3 b) g (x) = 4x 3 + 12x 3 4 51 c) h(x) = 33x 3 5 2 x2 + 7 d) s(x) = 6x 6 8x 3 + 3 5 x + 15 2. Aşağıdaki polinomların terim sayılarını, derecelerini, katsayılarını ve baş katsayısını yazınız. a) P(x) = 4x 3 2 3 x2 + 5x 3 b) Q(x) = 3 3x 3 c) R(x) = 3 2 x3 1 3 x2 + 41 d) S(x) = 4 + 1 7 x + 14x2 65x 3 + 17x 4

36 C A LC U LU S 3. P(x) = x k+1 k 1 + 1 2 x2 3 ifadesinin beşinci dereceden bir polinom belirtmesi için k ne olmalıdır? 4. P(x) = 5x 3 + (a + 1)x 2 + d ve Q(x) = (b 1)x 3 3x 2 (2c 3)x + 1 2 polinomlarının eşit olması için a,b,c,d ne olmalıdır? 5. 3 + (5c 1)x 2 + 3x 3 + 2x 4 = (3d 1)x 4 + (2e 3)x 3 + 1 4 x2 + 5f + 2 eşitliğinin sağlanabilmesi için c,d,e, f nin alacağı değerler nelerdir. 6. P(x) = 7 3 (x7 r ) 2 + 2x r 2 9 ifadesinin bir polinom olabilmesi için r nin alacağı değerler kümesini bulunuz. Polinomlar Kümesi Üzerinde İşlemler Sayı kümeleri üzerinde yaptığımız toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin benzerlerini polinomlar kümesi üzerinde de yapabiliriz. Bu işlemleri, önce bir belirsizli polinomlar üzerinde tanımlayacağız. Tanım 0.3. x belirsizine göre, bir H halkası üzerinde oluşturulabilecek bütün polinomların kümesini R [x] ile gösterelim. Uyarı 0.4. Polinomlar kümesi üzerinde yapılan işlemlerin sağladığı özelikleri örnekler üzerinde açıklamakla yetinecek; genel ispatlarını vermeyeceğiz. Ayrıca, özel olarak, x belirsizinin R kümesinden seçildiğini ve H halkasının Q Rasyonel Sayılar Halkası olduğunu varsayabiliriz. Toplama İki polinom toplanırken benzer terimler bir araya getirilip toplanır ve benzer olmayanlar aynen alınır. n > m olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n ve Q(x) = b 0 + b 1 x + + b m 1 x m 1 + b m x m polinomlarının toplamı, aşağıdaki eşitlikle tanımlanır: P(x) +Q(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + + (a k + b k )x k + + (a m + b m )x m + a m+1 x m+1 + + a n x n Örnek P(x) = x 5 7 3 x4 + 5x 2 4, toplamı Q(x) = 9x 5 + 5 2 x3 7x 2 + 6 polinomlarının P(x) +Q(x) = [1 + ( 9)]x 5 + ( 7 3 + 0)x4 + (0 + 5 2 )x3 +[5 + ( 7)]x 2 + ( 4 + 6) = 8x 5 7 3 x4 + + 5 2 x3 2x 2 + 2

POLINOML AR 37 Buradan görüldüğü gibi, iki polinomun toplamı gene bir polinomdur. Dolayısıyla, polinomlar kümesi toplama işlemine kapalıdır. Bunu bir kural olarak ifade edebiliriz: Lemma 0.5. R [x] kümesi üzerinde + işlemi tanımlıdır. Şimdi, toplama işleminin yer değişme özeliğine sahip olduğunu yukarıdaki örnek üzerinde gösterelim. ( ) ( ) 7 5 Q(x) + P(x) = ( 9 + 1)x 5 + 3 + 0 x 4 + 2 + 0 x 3 + (5 7)x 2 + (6 4) = 8x 5 7 3 x4 + 5 2 x3 2x 2 + 2 Bunu genelleştirerek, şu kuralı söyleyebiliriz: Lemma 0.6. R [x] kümesi üzerinde + işlemi yer değişme özeliğine sahiptir; yani, her P(x),Q(x) polinom çifti için eşitliği sağlanır. P(x) +Q(x) = Q(x) + P(x) Toplama işleminin birleşme özeliğine sahip olduğunu aşağıdaki örnek üzerinde görelim: P(x) = 3x 3 + 5x 7, Q(x) = x 2 5x + 3, R(x) = x 2 polinomlarının toplamını bulmak için, sayılarda olduğu gibi birleşme özeliğini kullanacağız: [P(x) +Q(x)] + R(x) = [ ( 3 + 0)x 3 + (0 + 1)x 2 + (5 5)x + ( 7 + 3) ] + (x 2) = ( 3x 3 + x 2 + 0x 4) + (x 2) = 3x 3 + x 2 + x 6 Benzer biçimde, bulunur. O halde, P(x) + [Q(x) + R(x)] = ( 3x 3 + 5x 7) + [(1 + 0)x 2 +( 5 + 1)x + (3 2)] = 3x 3 + x 2 + x 6 Lemma 0.7. R [x] kümesi üzerinde + işlemi birleşme özeliğine sahiptir; yani, her P(x),Q(x),R(x) polinomları için eşitliği sağlanır. [P(x) +Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)] şimdi R [x] kümesi üzerinde, sıfır polinomunun, + işlemine göre birim öğe olduğunu göstereceğiz. Sıfır polinomu, bütün katsayıları sıfır olan polinomdur. Bunu O(x) simgesiyle gösterelim. O(x) = 0 ile P(x) = 3x 4 3x 3 + 2x + 5 polinomlarını toplarsak; O(x) + P(x) = (0 + 3)x 4 + [0 + ( 3)]x 3 + (0 + 2)x + (0 + 5) = 3x 4 3x 3 + 2x + 5 = P(x)

38 C A LC U LU S P(x) +O(x) = (3 + 0)x 4 + ( 3 + 0)x 3 + (2 + 0)x + (5 + 0) = 3x 4 3x 3 + 2x + 5 = P(x) çıkar. Bu iki eşitliği genelleştirerek şu kuralı yazabiliriz: Lemma 0.8. R [x] kümesindeki O(x) = 0 (sıfır) polinomu, + işlemine göre birim öğedir; yani her P(x) polinomu için [O(x) + P(x)] = P(x) +O(x)] eşitliği sağlanır. Son olarak, R [x] kümesindeki her P(x) polinomunun + işlemine göre tersinin P(x) olduğunu göstereceğiz. P(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n polinomu için, P(x) polinomu P(x) = [a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n ] = a 0 a 1 x a n 1 x n 1 a n x n biçiminde tanımlanır ve + işlemine göre, P(x) polinomunun tersi adını alır. Gerçekten, P(x) + ( P(x)) = [a 0 + ( a 0 )] + [a 1 + ( a 1 )]x + + [a n + ( a n )]x n = 0 O halde, şu kuralı yazabiliriz: Lemma 0.9. R [x] kümesindeki bir P(x) polinomunun, + işlemine göre tersi, P(x) polinomudur. Yukarıda söylenen beş kural bir araya getirilirse, polinomlar kümesinin, toplama işlemine göre değişmeli bir grup olduğunu ifade edebiliriz: Theorem 0.10. (R [x],+) değişmeli bir gruptur. Uygulamalar 1. Aşağıdaki polinomları toplayınız. P(x) = 3x 4 7x 2 + 4x 5 Q(x) = x 4 + 1 P(x) = 4x 3 + 5x 2 + 6 Q(x) = 8x 5 + 2x 3 x 2 P(x) = x 7 + 5x 6 11x 3 + 4 Q(x) = 12x 7 + 4x 5 15x 2 + x + 1 P(x) = 3 4 x4 + 5x 2 + 6x Q(x) = 3x 4 + 21x 3 x 2 + 8 P(x) = 2 3 x4 1 2 x3 + 1 5 x + 4 3 Q(x) = 2x 2 1 P(x) = (3x 4 5x 3 + 2 5 x2 + 1 3 Q(x) = 10x 5 x 3 + 6x 2 2x + 3 2. İki polinomun toplamının derecesinin, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşit veya ondan küçük olduğunu gösteriniz. 3. İki polinomun toplamının derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesine ne zaman eşit olur? 4. İki polinomun toplamının derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesinden ne zaman küçük olur? 5. P(x) polinomunun tersinin P(x) olduğunu örneklerle sağlayınız.

POLINOML AR 39 Çıkarma P(x) ve Q(x) polinomları R [x] kümesinden alınan iki polinom ise, bunların farkı, P(x) Q(x) = P(x) + [ Q(x)] eşitliği ile tanımlanır. Lemma 0.11. R [x] kümesi çıkarma işlemine kapalıdır. Gerçekten, R [x] bir grup olduğundan, P(x),Q(x) R [x] ise, (P(x) + [ Q(x)]) R [x] olacağını biliyoruz. O halde, yukarıdaki eşitliğin sol yanı da aynı kümeye ait olacaktır; yani, [P(x) Q(x)] R [x] dir. Örnek 0.12. P(x) = x 5 3x 3 2x + 1, Q(x) = 2x 5 x 3 + 6 polinomları için P(x) Q(x) = P(x) + [ Q(x)] = (x 5 3x 3 2x + 1) (2x 5 x 3 + 6) = (1 2)x 5 + ( 3 + 1)x 3 + ( 2 + 0)x + (1 6) = x 5 2x 3 2x 5 Lemma 0.13. Çıkarma işlemi yer değiştirme özeliğine sahip değildir. (R [x],+) grubunda, sıfırdan farklı bir polinomun tersi kendisine eşit değildir. O halde, P(x) Q(x) = [Q(x) P(x)] [Q(x) P(x)] yazabiliriz. Bu ise P(x) Q(x) [Q(x) P(x)] demektir. Bunu bir örnek üzerinde gösterelim: P(x) = 4x 7 2x 2 x + 6, Q(x) = 3x 6 5x 3 + 2x 4 polinomları için, P(x) Q(x) = (4 0)x 7 + (0 3)x 6 + (0 0)x 5 + (0 0)x 4 +(0 + 5)x 3 + ( 2 0)x 2 + ( 1 2)x + (6 + 4) = 4x 7 3x 6 + 5x 3 2x 2 3x + 10 Q(x) P(x) = (0 4)x 7 + (3 0)x 6 + (0 0)x 5 + (0 0)x 4 +( 5 0)x 3 + (0 + 2)x 2 + (2 + 1)x + ( 4 6) = 4x 7 + 3x 6 5x 3 + 2x 2 + 3x 10 Buradan görüldüğü gibi, P(x) Q(x) ile Q(x) P(x) polinomları, + işlemine göre birbirlerinin tersidirler. İki polinomu toplarken, benzer terimleri aynı sütuna gelecek biçimde, polinomların birisini ötekinin altına yazmak, benzer terimlerin toplanmasını kolaylaştırabilir. Çıkarma işlemi için de aynı iş yapılabilir: P(x) = x 4-3x 2 - x + 7 Q(x) = 7x 3 2x 2 2 P(x) Q(x) = x 4 7x 3 x 2 x 5

40 C A LC U LU S Uygulamalar t 1. Aşağıdaki polinomların farklarını bulunuz. P(x) = 5x 5 17x 2 + x + 1 Q(x) = 2x 4 3x 2-7 P(x) = x 5 + 5x 3 + 3 Q(x) = 8x 4 + 2x 3 x + 3 P(x) = 3x 3 + 5x 2 x + 4 Q(x) = 2x 4 + 4x 3 5x 2 x 4 P(x) = x 4 4 3 x3 + 35x 2 + x 2 Q(x) = 3x 4 + 2x 3 3x 3 P(x) = 5x 5 2 3 x4 + x 3 + 1 5 x + 5 4 Q(x) = 3x3 3 P(x) = (2x 5 6x 3 + 1 3 x2 + 2 3 Q(x) = x 4 x 3 + 2x 2 + 7x 1 2. İki polinomun farkının derecesinin, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşit veya ondan küçük olduğunu gösteriniz. 3. İki polinomun farkının derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesine ne zaman eşit olur? 4. İki polinomun farkının derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesinden ne zaman küçük olur? 5. P(x) Q(x) polinomunun + işlemine göre tersinin Q(x) P(x) olduğunu, örneklerle sağlayınız. Çarpma İki polinomun çarpımı, birisinin her teriminin diğerinin her terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından oluşan bütün terimlerin cebirsel toplamıdır. Çarpımı yazarken, terimlerin derecelerine göre, artan ya da azalan sırada dizilmesi, işlemleri kolaylaştırır. P(x) ile Q(x) polinomlarının çarpımını P(x).Q(x) ya da P(x)Q(x) simgeleriyle göstereceğiz. P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n 1 x n 1 + a n x n Q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + + b m 1 x m 1 + b m x m polinomlarını verilsin. Yukarıda söylendiği gibi, Q(x) in her terimini P(x) in her terimi ile çarpalım. Sonra, benzer terimleri bir araya getirelim ve onları x in artan derecelerine göre sıralayalım. Aşağıdaki eşitliği elde ederiz: P(x).Q(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 )x 2 + Örnek P(x) = x 2 4x + 3 ve Q(x) = 2x 3x 4 x 5 polinomlarının çarpımı P(x).Q(x) = (x 2 4x + 3)(2x 3x 4 x 5 ) = 2x 3 3x 6 x 7 8x 2 + 12x 5 + 4x 6 + 6x 9x 4 3x 5 = x 7 + x 6 + 9x 5 9x 4 + 2x 3 8x 2 + 6x Yukarıdaki çarpma tanımında ve örnekte görüldüğü üzere, iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur. O halde, şu özeliği söyleyebiliriz.

POLINOML AR 41 Lemma 0.14. Polinomlar kümesi, çarpma işlemine göre kapalıdır. Ayrıca, çarpımın derecesi, çarpanların derecelerinin toplamına eşittir: Örneğin, yukarıdaki örnekte dir. der [P(x).Q(x)] = der [P(x)] + der [Q(x)] der [P(x)] = 5, der [Q(x)]) = 2 ve der [P(x).Q(x)] = 7 Toplama ve çıkarma işlemleri için yaptığımız gibi, çarpma işlemini de polinomları alt alta yazarak yapabiliriz. Örneğin, P(x) = 2x 4 3x + 1 Q(x) = 2x 2 + x 2x 5 3x 2 + x +4x 6 6x 3 + 2x 2 P(x).Q(x) = 4x 6 + 2x 5 6x 3 x 2 + x şimdi, polinomlar kümesi üzerinde çarpma işleminin yer değiştirme, birleşme ve toplama işlemi üzerine dağılma özeliklerine sahip olduğunu örnekler üzerinde gösterelim. polinomları için P(x) = x 2 + 3x 2, Q(x) = x 2 5x + 1 P(x).Q(x) = (x 2 + 3x 2)( x 2 5x + 1) = x 4 8x 3 12x 2 + 13x 2 Q(x).P(x) = ( x 2 5x + 1)(x 2 + 3x 2) = x 4 8x 3 12x 2 + 13x 2 olduğu kolayca görülür. Bunu genel olarak ifade edersek; Lemma 0.15. Polinomlar kümesi üzerinde, çarpma işlemi yer değişim özeliğine sahiptir; yani, P(x),Q(x) herhangi iki polinom ise P(x).Q(x) = Q(x).P(x) eşitliği sağlanır. P(x) = 5x 2 + 6x + 1 Q(x) = 2x 2 + 3x 2 S(x) = x + 1 polinomlarının çarpımını, sayılarda olduğu gibi, birleşme özeliğinden yararlanarak yapabiliriz. [P(x).Q(x)]R(x) = [(5x 2 + 6x + 1)( 2x 2 + 3x 2)](x + 1) = [ 10x 4 + 3x 3 + 6x 2 9x 2](x + 1) = 10x 5 7x 4 + 9x 3 3x 2 11x 2 P(x)[Q(x).R(x)] = ( 2x 2 + 3x 2)[(5x 2 + 6x + 1)(x + 1)] = ( 2x 2 + 3x 2)[5x 3 + 11x + 7x + 1] = 10x 5 7x 4 + 9x 3 3x 2 11x 2 Genel olarak, şu kural geçerlidir:

42 C A LC U LU S Lemma 0.16. Polinomlar kümesi üzerinde, çarpma işlemi birleşme özeliğine sahiptir; yani, P(x),Q(x),R(x) herhangi üç polinom ise [P(x).Q(x)]R(x) = P(x)[Q(x).R(x)] eşitliği sağlanır. P(x) = x 2 2 Q(x) = x 2 2x + 1 R(x) = 2x 3 + 3x 2 4 polinomları için aşağıdaki işlemleri yapalım. P(x)[Q(x) + R(x)] = (x 2 2)[(x 2 2x + 1) + (2x 3 + 3x 2 4)] = (x 2 2)(x 2 2x + 1) + (x 2 2)(2x 3 + 3x 2 4) = (x 4 2x 3 + x 2 2x 2 + 4x 2) +(2x 5 + 3x 4 4x 2 4x 3 6x 2 + 8) = 2x 5 + 4x 4 6x 3 11x 2 + 4x + 6 P(x)[Q(x) + R(x)] = (x 2 2)[(x 2 2x + 1) + (2x 3 + 3x 2 4)] = (x 2 2)[x 2 2x + 1 + 2x 3 + 3x 2 4 = (x 2 2)[2x 3 + 4x 2 2x 3] = 2x 5 + 4x 4 6x 3 11x 2 + 4x + 6 Genel olarak, şu kural geçerlidir: Lemma 0.17. Polinomlar kümesi üzerinde, çarpma işleminin, toplama işlemi üzerine dağılma özeliği vardır; yani P(x),Q(x),R(x) herhangi üç polinom ise P(x)[Q(x) + R(x)] = P(x).Q(x) + P(x).R(x) eşitliği sağlanır. Benzer yolla, [Q(x) + R(x)]P(x) = Q(x)P(x) + R(x)P(x) olduğu kolayca gösterilebilir. Bu son iki eşitlik, sırasıyla, çarpma işleminin, toplama işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özeliği diye bilinir. Sayı İle (Skalerle) Çarpma Bir polinomu bir sayı ile çarpmak demek, polinomun her terimini o sayı ile çarpmak demektir. Bunu biçimsel olarak şöyle tanımlayalım: Tanım 0.18. α bir sabit sayı ise, P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 polinomunun α sabiti ile çarpımı αp(x) = α(a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 ) = α(a n x n ) + α(a n 1 x n 1 ) + +α(a 1 x) + α(a 0 ) = αa n x n + αa n 1 x n 1 + + αa 1 x + αa 0 eşitliği ile tanımlanır.

POLINOML AR 43 Burada, α(a k x k ) = αa k x k = (αa k )x k olduğuna dikkat ediniz. Örnek P(x) = 4x 5 + 5x 3 12 polinomunu 3 ile çarpalım: ( 3)P(x) = ( 3)( 4x 5 ) + ( 3)(5x 3 ) + ( 3)( 12) = 12x 5 15x 3 + 36 Uyarı 0.19. Yukarıdaki tanımda, α sayısını sabit bir polinom olarak düşünürsek, bir polinomun sayı ile (skalerle) çarpımı, iki polinomun çarpımının özel bir durumu Gerçekten, S(x) = α dersek, α P(x) = S(x).P(x) yazabiliriz. Polinomlar kümesi üzerinde tanımladığımız işlemlerin sağladığı özelikleri derlersek, aşağıdaki iki teoremi söyleyebiliriz. Theorem 0.20. 1. Polinomlar kümesi toplama işlemine göre değişmeli bir gruptur. 2. Polinomlar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. 3. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin birleşme özeliği vardır. 4. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine (sağdan ve soldan) dağılma özeliği vardır. Theorem 0.21. Polinomlar kümesi, toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka dır. Uygulamalar 1. Aşağıdaki polinomları birbirleriyle çarpınız.. P(x) = x 2 2x 3 Q(x) = x 2 + 3x 2 P(x) = 2x 4 + x 2 1 Q(x) = x 3 1 P(x) = x 3 + 3x 2 + 3x 4 Q(x) = 7x 5 + 2x 3 + 1 P(x) = 4x 4 7x 3 x + 4 Q(x) = x 5 + 9x 3 + 3x 2 + x + 2 P(x) = 3x 4 + 4 3 x2 + x 2 Q(x) = 2x 7 2x 4 3x 3 P(x) = x 4 3 4 x3 + x 2 + 1 5 x Q(x) = x2 4 P(x) = ( 4x 5 + 3x 4 + 1 3 x2 + 2 3 Q(x) = 2x 3 + 2x 2 + x 1 P(x) = 2 3 x4 1 2 x3 + 1 5 x + 4 3 Q(x) = 2x 2 1 P(x) = 5x 3 + 2x 3 Q(x) = x 3 1 2. İki polinomun çarpımının derecesinin, çarpanların derecelerinin çarpımına eşit olduğunu, örneklerle gösteriniz. 3. Polinomlar kümesi üzerinde, çarpma işleminin yer değişim ve birleşim özeliklerine sahip olduğunu örnekler üzerinde gösteriniz. 4. Polinomlar kümesi üzerinde, çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özeliğine sahip olduğunu örnekler üzerinde gösteriniz.

44 C A LC U LU S Başlıca Özdeşlikler Bir polinomun ya da, daha genel olarak, bir cebirsel ifadenin çarpanlarına ayrılması demek, çarpımları sözkonusu cebirsel ifadeye eşit olan terimlerin bulunması demektir. 1 den farklı çarpanı olmayan polinomlara asal polinom denilir. Bazan, verilen bir polinomu asal çarpanlarına ayırmak, onunla yapılan işlemleri kolaylaştırır. Benzer olarak, bir cebirsel ifadeyi, kendisinden daha basit yapıda olan çarpanlarına ayırmak, işlemlerde kolaylık sağlar. Aşağıda verilen eşitlikler, cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırmak için kullanılan başlıca bağıntılardır. Bu eşitlikler, kullanılan sabit ya da değişkenlerin bütün değerleri için geçerlidir. Dolayısıyla, bunlara özdeşlik denilir. Aşağıdaki özdeşliklerde yer alan harflerin, gerçek sayılar kümesinden seçildiği varsayılacaktır. İki Terim Toplamının Karesi (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 Örnekler: Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 1. (17) 2 = (15 + 2) 2 = (15) 2 + 2.15.2 + 2 2 = 225 + 60 + 4 = 289 2. 3. ( 5 3 + 3) 2 = 25 9 + 10 3 + 3 3 (2x + 4y) 2 = 4x 2 + 8x y + 16y 2 İki Terimin Farkının Karesi (a b) 2 = (a b)(a b) = a(a b) b(a b) = a 2 ab ab + b 2 = a 2 2ab + b 2 Örnekler: Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.

POLINOML AR 45 1. (19) 2 = (20 1) 2 = (20) 2 2.20.1 + ( 1) 2 = 400 40 + 1 = 361 2. ( 14) 2 = (1 15) 2 = 1 2.1.15 + (15) 2 = 1 30 + 225 = 196 3. [(2x + 3y) z] 2 = (2x + 3y) 2 2.(2x + 3y).z + z 2 = 4x 2 + 9y 2 + z 2 + 12x y 4xz 6y z İki Terimin Toplamı İle Farkının Çarpımı (a + b)(a b) = a(a b) + b(a b) = a 2 ab + ab b 2 = a 2 b 2 Örnekler: Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 1. 64x 2 25y 2 = (8x + 5y)(8x 5y) 2. 14.16 = (15 1)(15 + 1) = (15) 2 1 2 = 225 1 = 224 3. (x 8 y 8 ) = (x 4 ) 2 (y 4 ) 2 = (x 4 + y 4 )(x 4 y 4 ) = (x 4 + y 4 )(x 2 + y 2 )(x 2 y 2 ) = (x 4 + y 4 )(x 2 + y 2 )(x + y)(x y) 4. ( 2 2 a2 + 3 )( 2 b 3 2 a2 3 ) b 3 = 4 2 a4 9 3 b2 = 2a 4 3b 2

46 C A LC U LU S 5. (x 3b) 2 (3b a) 2 = (x 3b 3b + a)(x 3b + 3b a) = (x 6b + a)(x a) Üç Terim Toplamının Karesi (a + b + c) 2 = (a + b + c)(a + b + c) = a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c) = a 2 + ab + ac + ab + b 2 + bc + ac + bc + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc Örnekler: Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 1. (a + b + 1) 2 (a b + 1) 2 + (a + b 1) 2 (a b 1) 2 = [(a + b + 1) 2 (a b + 1) 2 ] + [(a + b 1) 2 (a b 1) 2 ] = [(a + b + 1) (a b + 1)][(a + b + 1) + (a b + 1)] +[(a + b 1) (a b + 1)][(a + b 1) + (a b 1)] = (2b)(2a + 2) + (2b)(2a 2) = 2b[(2a + 2) + (2a 2)] = 8ab 2. 4(x 3y) 2 (x 3y) 2 + 5(x 3y) 2 = [2(x 3y) (x 3y)][2(x 3y) + (x 3y)] +5(x 3y) 2 = [(x 3y)][3(x 3y)] + 5(x 3y) 2 = 3(x 3y) 2 + 5(x 3y) 2 = 8(x 3y) 2 (x 3 1 2 x2 x) 2 ifadesinin açılımını bulalım: [ x (x 2 12 )] 2 x 1 ( = x 2 x 4 + 1 4 x2 + 1 + 2x 2 ( 1 2 x) 2x2 + 2( 1 ) 2 x)( 1) = x 6 x 5 7 4 x4 + x 3 + x 2

POLINOML AR 47 İki Terim Toplamının Küpü (a + b) 3 = (a + b)(a + b) 2 = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a(a 2 + 2ab + b 2 ) + b(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Örnekler: Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 1. (17) 3 = (16 + 1) 3 = (16 + 1)((16) 2 + 2.16.1 + 1 2 ) = 17(256 + 32 + 1) = 17.289 = 4913 2. (a 2 x + 2by 2 ) 3 = (a 2 x) 3 + 3(a 2 x) 2.(2by 2 ) + 3(a 2 x).(2by 2 ) 2 + (2by 2 ) 3 = a 6 x 3 + 6a 4 bx 2 y 2 + 12a 2 b 2 x y 4 + 8b 3 y 6 İki Terim Farkının Küpü Örnekler: (a b) 3 = (a b)(a b) 2 Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 1. 2. = (a b)(a 2 2ab + b 2 ) = a(a 2 2ab + b 2 ) b(a 2 2ab + b 2 ) = a 3 2a 2 b + ab 2 a 2 b + 2ab 2 b 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 (24) 3 = (25 1) 3 = (25 1)((25) 2 + 2.25.( 1) + ( 1) 2 ) = 24(225 50 + 1) = 24.576 = 13824 ( 3 x 3 y) 3 = ( 3 x) 3 3( 3 x) 2 3 y + 3( 3 x)( 3 y) 2 ( 3 y) 3 = x 3 3 x 2 y + 3 x 3 y 2 y

48 C A LC U LU S İki Küp Toplamı (a + b)(a 2 ab + b 2 ) = a(a 2 ab + b 2 ) + b(a 2 ab + b 2 ) = a 3 a 2 b + ab 2 + a 2 b ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 Eşitliğin sağ ve solundaki ifadeler yer değiştirirse; a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) Örnekler: Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 1. 8x 3 + 64y 6 = (2x + 4y 2 )(4x 2 8x y 2 + 16y 4 ) 2. 27a 6 + 343y 3 = (3a 2 ) 3 + (7y) 3 = (3a 2 + 7y)(9a 4 21a 2 y + 49y 2 ) 3. (a + 2b)(a 2 2ab + 4b 2 ) = x 3 + 8y 3 4. (x + y) = ( 3 x + 3 y)(( 3 x) 2 ( 3 x y) + ( 3 y) 2 = ( 3 x + 3 y)(( 3 x 2 ( 3 x y) + 3 y 2 İki Küp Farkı (a b)(a 2 + ab + b 2 ) = a(a 2 + ab + b 2 ) b(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 a 2 b ab 2 b 3 = a 3 b 3 Eşitliğin sağ ve solundaki ifadeler yer değiştirirse; a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) Örnekler: Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 1. 1000 512x 3 = ((10) 3 2 9 x 3 = ((10) 3 (2 3 x) 3 = (10 8x)(100 + 80x + 64x 2 ) = 8(5 4x)(25 + 20x + 16x 2 )

POLINOML AR 49 2. 27a 3 125b 3 = ((3a) 3 (5b) 3 = (3a 5b)(9a 2 + 15ab + 25b 2 ) 3. x 18 y 15 = (x 6 ) 3 (y 5 ) 3 = (x 6 y 5 )(x 12 + x 6 y 5 + y 10 ) 4. (3a) 3 (2b) 3 = (3a 2b)(9a 2 + 6ab + 4b 2 ) İki Terimlinin Kuvvetleri (a+b) iki terimli bir cebirsel ifadedir. şimdi bunun doğal sayı kuvvetlerini düşünelim. Çarpma işleminin birleşme özeliğini kullanarak, şu eşitlikleri kolayca bulabiliriz: (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 Bu işleme, istediğimiz kadar devam edebiliriz. şimdi, verilen bir n doğal sayısı için genel formülü yazalım: Theorem 0.22. Binom Teoremi n doğal bir sayı, a ile b gerçek sayılar ise, (a + b) n = a n + n n(n 1) 1 an 1 b + a n 2 b 2 n(n 1)(n 2) + a n 3 b 3 + + 1.2 1 2 3 eşitliği sağlanır. n(n 1) a 2 b n 2 + n 1.2 1 abn 1 + b n n doğal sayısı verilmişken, bağıntıyı ispat etmek için (a+b) terimini kendisiyle n kez çarpmak yetecektir. ( Burada sabit bir n seçiliyor. Her n için ispat, tümevarımla yapılır.) Bu eşitliğin sağındaki ifadeye (a + b) n iki terimlisinin açılımı ya da binom açılımı denilir. Bu açılımda, terimlerin katsayılarına da binom katsayıları diyeceğiz. Katsayıların yazılışını kısaltmak için, a n r b r teriminin katsayısını C (n,r ), C n,r, ( ) n r

50 C A LC U LU S simgelerinden birisiyle göstereceğiz. Buna göre, (r + 1) inci terimin binom katsayısı, ( ) n 1.2.3 n C (n,r ) = C n,r = = r [1.2.3 (n r )][1.2.3 r ] n(n 1) (n r + 1) = 1.2.3 r eşitlikleri ile tanımlıdır. Binom açılımında kullanacağımız bu simgelerde uyum sağlamak için, aşağıdaki eşitlikleri, tanım olarak alacağız. C (n,0) = 1, C (n,n) = 1 Bu simgeleri kullanırsak, Binom açılımını daha kısa ve daha anlaşılır biçimde yazabiliriz: n doğal bir sayı, a ile b gerçek sayılar ise ( ) ( ) ( ) (a + b) n = n a n n + a n 1 n b + + 0 1 n 1 ab n 1 + b n eşitliği sağlanır. (a + b) r açılımındaki terimlerin katsayılarını, bulundukları konumu bozmadan yazarsak, aşağıdaki tabloyu elde ederiz. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 C (n 1,1) C (1,n 1) 1 Binom katsayılarının oluşturduğu bu tabloya Pascal Üçgeni denilir. n inci kuvvetten binom açılımında şu özelikler sağlanır: 1. (n + 1) tane terimi vardır. 2. Her terimde a ve b nin üslerinin toplamı n dir; yani her terimin derecesi n dir. 3. Açılımın ilk terimi a n = C (n,0)a n b 0 ve son terimi b n = C (n,n)a 0 b n dir. 4. Soldan sağa doğru, a nın kuvvetleri birer azalırken, b nin kuvvetleri birer artar. 5. İlk ve son terimlerin katsayıları 1 dir. 6. Bir terimin katsayısı biliniyor ise; bu terimin katsayısı a nın üssü ile çarpılır ve b nin üssünün bir fazlasına bölünürse, verilen terimden sonra gelen terimin katsayısı bulunur.

POLINOML AR 51 7. Baştan ve sondan aynı uzaklıktaki terimlerin katsayıları aynıdır. Dikkat ederseniz, Pascal üçgeninde, şu özelikleri göreceksiniz: 1. Her satırdaki ilk ve son katsayılar 1 dir. 2. Bir katsayı, üst satırda, sol üstünde ve sağ üstünde yer alan sayıların ortasından geçen düşey sütuna yazılır. 3. Bir katsayı, üst satırda, sol üstünde ve sağ üstünde yer alan sayıların toplamıdır. Binom Teoreminin, her n doğal sayısı ve her a,b gerçek sayıları için sağlandığını söyledik. Bu genel kural yeterlidir; ancak, sayının birisi negatif, öteki pozitif olduğunda, binom teoreminin aldığı biçimi bilmek pratik kolaylık sağlar. (a b) = [a + ( b)] eşitliğinden yararlanarak, (a b) nin kuvvetlerini, Binom Teoreminden çıkarabiliriz. Gerçekten, b yerine b = [( 1)b] koyar; yukarıda söylediğimiz gibi, ardışık çarpmaları yaparsak, aşağıdaki eşitliği elde edebiliriz. Verilen her n doğal sayısı için, (a b) n = a n n n(n 1) 1 an 1 b + a n 2 b 2 n(n 1)(n 2) a n 3 b 3 + + 1.2 1 2 3 n 2 n(n 1) ( 1) a 2 b n 2 + ( 1) n 1 n 1.2 1 abn 1 + ( 1) n b n eşitliği sağlanır. Bu formülü, binom simgelerini kullanarak da yazabiliriz: (a b) n = C (n,0)a n C (n,1)a n 1 b +C (n,2)a n 2 b 2 C (n,3)a n 3 b 3 + + ( 1) n 2 C (n,n 2)a 2 b n 2 + ( 1) n 1 C (n,n 1)ab n 1 + ( 1) n C (n,n)b n Örnekler: 1. (x + y) 6 ifadesinin açılımını Binom Teoremini kullanarak bulunuz. (x + y) 6 = x 5 + 6 1 x5 y + 6.5 1.2 x4 y 2 + 6.5.4 11.2.3 x3 y 3 + 6.5.4.3 1.2.3.4 x2 y 4 + 6.5.4.3.2 1.2.3.4.5 x y 5 6.5.4.3.2.1 1.2.3.4.5.6 y 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6x y 5 + y 6 2. (x + y) 6 ifadesinin açılımını Pascal Üçgenini kullanarak bulunuz. n = 6 için, katsayıları, Pascal üçgeninden seçelim. Katsayıların, sırasıyla, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 olduğunu görürüz. O halde, hemen, (x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6x y 5 + y 6 yazabiliriz. Buradan anlaşıldığı gibi, Pascal üçgeni, binom açılımının katsayılarının bulunmasında kolaylık sağlar.

52 C A LC U LU S 3. (x + y) 7 nin binom açılımında x 3 çarpanı içeren terimin binom katsayısını bulalım: Üsler toplamı 7 olacağına göre, binom açılımında x 3 y 4 = x 7 4.y 4 ifadesinin katsayısını bulacağız. O halde, C (3,4) = 7.6.5.4 1.2.3.4 = 35 4. (x 3y) 21 in binom açılımında beşinci terimi bulalım: Binom açılımında, soldan sağa doğru, ilk beş terimin katsayıları; C (21,0), C (21,1), C (21,2), C (21,3), C (21,4) O halde, C (21,4) ün değerini bulmalıyız. C (21,4) = 21.20.19.18 1.2.3.4 dir. Artık, açılımın beşinci terimini yazabiliriz: = 5985 C (21,4)x 21 4 ( 3y) 4 = 5985.( 3) 4 x 17 y 4 = 484785x 17 y 4. (a n + b n ) ve (a n b n ) İfadelerinin Çarpanları Daha önce iki kare ya da küpün toplam ve farklarını veren özdeşlikleri elde etmiştik. şimdi, verilen bir n doğal sayısı için, (a n + b n ) ve (a n b n ) ifadelerini çarpanlarına ayırmaya yarayan eşitlikleri vereceğiz. Yukarıda söylediğimiz gibi, ardışık çarpmalar yapılarak, n N + için; (a b)(a n 1 + a n 2 b + a n 3 b 2 + + ab n 2 + b n 1 ) = a n b n ve n N + ve n tek ise, (a + b)(a n 1 a n 2 b + a n 3 b 2 ab n 2 + b n 1 ) = a n + b n eşitlikleri çıkarılabilir. Alıştırmalar 1. p(x) = 7x 5 3x 4 + 2x 3 5x 2 x + 1 ve q(x) = 2x 4 + x 3 3x 2 x 1 polinomları veriliyor. Aşağıdaki polinomları bulunuz. a) p(x) + q(x) b) p(x) 2q(x) c) p(x) q(x) d) 3p(x) q(x) e) 2P(x) + (x 1)q(x) f) xp(x) x 2 q(x) 2. Aşağıdaki çarpımları bulunuz. a) (x + 3)(x 5 2x 2 + 1) b) (x 1)(2x 3 5x 4) c) (2x 2 + 4x 6)(3x 2 + 8x + 4) d) (9x 4 12x 3 x)(x 3 x 2 5x) e) (3x 1)(2x 5)(x 2 2x + 1)

POLINOML AR 53 3. p(x) = x 5 4x 3 + x 2 x 1 polinomu verildiğine göre, (x 2 1)p(x) + p(1) polinomunu bulunuz. 4. Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan p(x) ve q(x) polinomlarını bulunuz. a) 2x 7 + 14x 3 + 5x 2 15 + P(x) = 7x 7 + 2x 5 11x 3 + 9x 1 b) 3x 5 + 2x 3 + 12x 3 +Q(x) = 5x 6 + 4x 3 5x 2 + 15x 3 5. Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan p(x) ve q(x) polinomlarını bulunuz. a) 3x 4 x 3 + 8x 3 = (x 3)p(x) b) 4x 5 6x 3 + 3x 4 = (x 2)q(x) 6. p(x) = x 4 4x 2 + x 1 polinomu veriliyor. p polinomunun istenen değerlerini hesaplayınız. a) p(x 1) b) p(1 + 2) c) p(1 5) d) p(x x 1 2 ) 7. Aşağıdaki kareleri açınız. a) ( 5 2 x y) 2 c) ( 3x + 5y ) 2 ( ) 2 b) 2 3 x + 1 y d) ( 5 7 x2 + 4 3 y 2) 2 e) (3x 4y) 2 f) ( 3 8 x2 1 16 y 2) 2 ( ) g) 2x 1 3 x 1 2 3 h) 8. Aşağıdaki işlemleri yapınız. a) ( 5x + 3y)( 5x 3y ) b) ( 1 2 x + 3 4 y)( 3 4 y 1 2 x) c) ( 2x 3r + 5x 2r )(2x 3r 5x 3r ) d) (x 2 + x 1) [ x 2 (x 1) ] e) ( 1 2 a + b)( 1 4 a2 1 2 ab + b2) ( 3 f) 3 2a b)( 3 4x 2 + 3 2x y + 3 ) y 2 g) (x 3 x 2 + x) 2 h) ( 3 4 2 x 1 2 y) 3 i) ( a b + b a )5 j) (a 2 3 b 2 3 ) 6 ( x ) 3 2 x 2 9. İki sayının toplamı ya da farkı biçiminde yazarak, aşağıdaki sayıların karelerini bulunuz. a) (17) 2 b) (101) 2 c) (61) 2 d) ( 45) 2 e) ( 39) 2 f) ( 79) 2 10. Aşağıdaki sayıları iki sayının toplamı ile farkı biçiminde yazarak, çarpımı bulunuz. 14.16, 19.21, 49.51, 69.71

Polinomlarda Bölme Polinomlar Bölme İşlemine Kapalı Değildir! Bir polinomun başka bir polinoma bölünmesi işlemi, bir tamsayının bir başka tamsayıya bölünmesi işlemine çok benzer. Tamsayılar Kümesinin bölme işlemine kapalı olmayışı, Rasyonel Sayılar Kümesine genişlemeyi nasıl zorunlu kılmışsa, Polinomlar Kümesinin de bölme işlemine kapalı olmayışı, Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi ne genişlemeyi zorunlu kılmıştır. Bu genişlemeler, bilgi üreten araçlarımızı çoğaltmıştır. Bu bölümde, Polinomlar Kümesi üzerinde bölme işlemini ayrıntılarıyla inceleyeceğiz. Örnek 8x 6 4x 4 x 3 + 1 polinomunu 2x 2 x 1 polinomuna bölmek için, sırasıyla, aşağıdaki adımları izleyiniz. 8x 6 4x 4 x 3 + 1 polinomuna bölünen polinom, 2x 2 x 1 polinomuna bölen polinom diyeceğiz. 1.Adım: Bölünen ve bölen polinomları, x in azalan kuvvetlerine göre sıralayınız. Sıralanmış polinomları, sayıları bölmede kullanılan bölme tablosuna benzer bir tabloya yerleştiriniz. 8x 6 4x 4 x 3 + 1 2x 2 x 1 ± ± ± ± ± 8x 6 ± 4x 5 ± 4x 4 4x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1 4x 5 x 3 + 1 ±4x 5 ± 2x 4 ± 2x 3 2x 4 + x 3 + 1 2x 4 ± x 3 ± x 2 2x 3 + x 2 + 1 2x 3 ± x 2 ± x 2x 2 + x + 1 2x 2 ± x ± 1 2x + 2 2.Adım: Bölünenin ilk terimi olan (8x 6 ) yı elde etmek için, bölenin ilk

56 C A LC U LU S terimi olan (2x 2 ) yi neyle çarpmak gerektiğini bulunuz. (2x 2 )(4x 4 ) = 8x 6 olduğuna göre, aradığımız çarpan 4x 4 dür. Tabloda bölüme ayrılan yere 4x 4 yazınız. Bu, bölüm polinomunun ilk terimi olacaktır. 3.Adım: 4x 4 ile bölen polinomu çarpınız; çarpımın terimlerini bölünenin altına yazınız. Bunu yaparken, benzer terimleri alt alta getirmek, işlemleri kolaylaştırır. Yazdığınız satırın altına, tablodaki gibi, bir çıkarma çizgisi çekiniz. Sonra, ilk iki satırdaki polinomların farkını çizginin altına yazınız. Bunun için, ikinci satırdaki terimlerin işaretlerini değiştirip, ilk iki satırı toplamak kolaylık sağlar. Neden? 4.Adım: Çizginin altına yazdığınız polinoma, birinci fark diyelim. Bu polinomun derecesine bakınız. Derecesi, bölenin derecesinden küçükse, bölme işlemi bitmiştir. Değilse, bölme işlemine devam edilecektir. Örneğimizde, birinci fark polinomu 4x 5 x 3 + 1 dir. Bunun derecesi, bölenin derecesinden büyük olduğuna göre, bölme işlemi bitmemiştir. 5.Adım: Birinci fark dediğimiz 4x 5 x 3 + 1 polinomuna, 2.Adım daki yöntemi uygulayarak, bölümün ikinci terimini bulunuz. 4x 5 terimini elde etmek için 2x 2 yi 2x 3 ile çarpmak gerektiğini göreceksiniz. O halde, bölümün ikinci terimi 2x 3 olacaktır. 6.Adım: 2x 3 ile bölen polinomu çarparak, birinci farkın altına yazınız. 3.Adım da yaptıklarınıza benzer olarak, üçüncü ve dördüncü satırdaki polinomların farkının 2x 4 + x 3 + 1 olduğunu görünüz. Buna ikinci fark polinomu diyeceğiz. 7.Adım: İkinci fark polinomu için, 4., 5., ve 6.Adım da söylenenlerin benzerlerini tekrarlayarak üçüncü fark polinomunun 2x 3 +x 2 +1 olduğunu görünüz. 8. ve 9.Adım: Yukarıdaki işlemleri tekrar ederek, dördüncü farkın 2x 2 +x+1 ve beşinci farkın 2x + 2 olduğunu görünüz. 10.Adım: Beşinci fark polinomunun derecesi, bölenin derecesinden küçük olduğundan, bölme işlemi bitmiştir. Bu sonuncu farka; yani, 2x + 2 polinomuna, kalan polinom diyeceğiz. Sağlama: Yapılan bölme işleminin doğruluğunu sağlamak istersek, sayılardaki bölme işleminin sağlanmasına benzer bir yöntem izleyebiliriz: (Bölünen) = (Bölen)(Bölüm) + (Kalan) bağıntısı, polinomlar için de geçerlidir. Yukarıdaki örneğimizde, Bölünen = P(x) = 8x 6 4x 4 x 3 + 1 Bölen = Q(x) = 2x 2 x 1 Bölüm = B(x) = 4x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1 Kalan = K (x) = 2x + 2 olduğundan, 8x 6 4x 4 x 3 + 1 = ( 2x 2 x 1 )( 4x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1 ) + (2x + 2) yazabiliriz. Eşitliğin sağındaki işlemleri yaparak, soldaki ve sağdaki polinomların eşit olduklarını görünüz. şimdi, polinomlar kümesi üzerinde bölme işlemini daha genel olarak tanımlayabiliriz. P(x) ile Q(x) polinomları der [P(x)] der [Q(x)] ve Q(x) 0 koşullarını

POLINOML ARDA BÖLME 57 sağlasın. der [K (x)] < der [Q(x)] olmak üzere, P(x) = Q(x).B(x) + K (x) (1) eşitliğini sağlayan B(x) ve K (x) polinomlarının bulunması sürecine, P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölünmesi diyeceğiz. Ayrıca, (1) eşitliğindeki; P(x) polinomuna, Q(x) polinomuna, bölünen, bölen, B(x) polinomuna, bölüm, K (x) polinomuna, kalan, denilir. (1) bağıntısını, bir bölme tablosu biçiminde de gösterebiliriz: P(x) Q(x) B(x).Q(x) B(x) K (x) Bu bölme işleminde K (x) = 0 ise, (1) eşitliği, P(x) = Q(x).B(x) biçimini, bölme tablosu ise, P(x) Q(x) B(x).Q(x) B(x) 0 biçimini alır. Bu durumda, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünüyor denilir. P(x) polinomu, Q(x) ile B(x) polinomlarının çarpımı olduğu için, eşitliği sağlanır. der [(P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)] Bir polinomun başka bir polinoma bölünmesi işleminin, bir tamsayının başka bir tamsayıya bölünmesi işlemine benzediğini söylemiş ve bu işlemin nasıl yapıldığını, bir örnek üzerinde açıklamıştık. Orada yapılan açıklamaları genelleştirirsek, bölme işleminde izlenecek adımları sıralayabiliriz: Bölünen ve bölen polinomlar, x belirsizinin azalan kuvvetlerine göre sıralanır. Bölen polinomun baş terimiyle çarpıldığında, bölünen polinomun baş terimini veren terim bulunur; bölümün baş terimi olarak yazılır. Bölümün baş terimi, bölen polinom ile çarpılır. Bu çarpım, bölünen polinomun altına yazılır. Bunu yazarken, aynı dereceli terimlerin alt alta getirilmesi işlem kolaylığı sağlayabilir. Bu çarpım polinom, bölünen polinomdan çıkarılarak, bulunan fark, çizilen bir çıkarma çizgisinin altına yazılır. Yukarıda elde edilen farkın derecesi, bölenin derecesinden küçükse, bölme işlemi biter. Sözkonusu fark, bölme işleminin kalanı

58 C A LC U LU S Yukarıda elde edilen farkın derecesi, bölenin derecesinden büyük ya da ona eşitse, yukarıdaki adımlar, kalan fark polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar sürdürülür. Örnekler: 1. Aşağıdaki bölme işleminin her adımını açıklayınız. ± ± ± 3x 4 5x 3 5x 2 + 39x 45 x 2 2x + 3 3x 4 ± 6x 3 9x 2 3x 2 + x 12 x 3 14x 2 + 39x 45 x 3 ± 2x 2 3x 12x 2 + 36x 45 ±12x 2 24x ± 36 12x 9 olduğundan, 3x 4 5x 3 5x 2 + 39x 45 = ( x 2 2x + 3 )( 3x 2 + x 12 ) + (12x 9) yazabiliriz. 2. Aşağıdaki bölme işleminin her adımını açıklayınız. ± ± ± 6x 4 x 3 6x 2 + 7x 3 2x 2 + x 2 6x 4 3x 3 ± 6x 2 3x 2 2x + 1 4x 3 + 7x 3 ±4x 3 ± 2x 2 4x 2x 2 + 3x 3 2x 2 x ± 2 2x 1 olduğundan, 6x 4 x 3 6x 2 + 7x 3 = ( 2x 2 2x + 1 )( 3x 2 2x + 1 ) + (2x 112x 9) yazabiliriz. 3. P(x) = x 3 x 2 + cx + 3 polinomu Q(x) = x 2 + x 1 polinomuna bölündüğünde kalanın K (x) = 5x + 1 olması için c ne olmalıdır? Çözüm: Bölen ile bölümün dereceleri toplamı bölünenin derecesine eşittir. O halde, bölünenin derecesi ile bölenin derecesi farkı,

POLINOML ARDA BÖLME 59 bölümün derecesini verecektir. Dolayısıyla, bölüm polinom birinci derecedendir. B(x) = ax + b diyelim. x 3 x 2 + cx + 3 = ( x 2 + x 1 ) (ax + b) + (5x + 1) yazabiliriz. Eşitliğin sağ yanındaki işlemleri yaparsak; x 3 x 2 + cx + 3 = ( ax 3 + bx 2 + ax 2 + bx ax b + 5x + 1 ) = ( ax 3 + (a + b)x 2 + (b a + 5)x + (1 b) ) Soldaki ve sağdaki polinomların eşit olması için, benzer terimlerinin katsayıları eşit olmalıdır. O halde a = 1, a + b = 1, (b a + 5) = c, 1 b = 3 olacaktır. Bu eşitliklerden a = 1, b = 2, c = 2 bulunur. Uygulamalar 1. Aşağıdaki eşitliklerden yararlanarak, bölünen, bölen, bölüm ve kalan polinomları belirleyiniz. Bölme tablosunu kullanarak, bölme işlemlerini yapınız. (a) (b) 8x 5 + 3x 4 7 4 x2 15 4 x + 7 4 = ( 2x 2 x 1 )( 4x 3 + 7 2 x2 + 1115 4 x + 11 4 2x 5 x 4 6x 3 + 2x 2 + 5x + 3 = ( 2x 2 + 3x )( x 3 2x 2 + 1 ) + (2x + 3) ) ( 11 + 4 x + 18 ) 4 2. P(x) = 2x 4 9x 3 + px 2 + qx + 10 polinomunun Q(x) = x 2 3x + 2 polinomuna tam bölünebilmesi için p ve q ne olmalıdır? 3. n pozitif bir tamsayı ise, x 2n y 2n ifadesini (x n y n ) ifadesine bölünüz. 4. n pozitif bir tamsayı ise, x 2n y 2n ifadesini (x 2 y 2 ) ifadesine bölünüz. Polinomlar Kümesi Bölme İşlemine Kapalı Değildir Tamsayılar kümesinin bölme işlemine kapalı olmadığını söylemiştik. Bunun anlamı şudur: Bir tamsayının başka bir tamsayıya bölümü, bir tamsayı olmayabilir. Örneğin, 75 3 = 25 olduğundan, bölüm bir tamsayıdır. Ama, 3 75, bir tamsayı değildir.

60 C A LC U LU S Benzer olgu, polinomlar kümesi için de geçerlidir. Bir polinomun başka bir polinoma bölümü, bazan bir polinom olur, bazan da olmaz. Bunu birer örnekle gösterelim. Örnekler (a) x 2 3x + 2 polinomu x 2 polinomuna tam olarak bölünür; bölüm x 1, kalan 0 dır. (b) P(x) = 3x 4 7x 2 1 polinomunun Q(x) = x 2 3 polinomuna bölümü bir polinom değildir; çünkü, bölme işleminde kalan 5 dir; dolayısıyla, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünemez. O halde, polinomlar kümesi, bölme işlemine göre kapalı değildir. Rasyonel İfadeler Bir P(x) polinomunun, bir Q(x) 0 polinomuna bölümünü, sayılarda olduğu gibi P(x) Q(x) oranıyla göstereceğiz. Bu oran bir polinom olmayabilir. Bu, yeni bir cebirsel ifadedir. Bu tür ifadelere, rasyonel fonksiyonlar (ifadeler) diyoruz. Özel olarak, Q(x) = 1 alırsak, yukarıdaki oran, P(x) = P(x) 1 biçimini alır. Dolayısıyla, her P(x) polinomu bir rasyonel fonksiyondur. Başka bir deyişle, rasyonel fonksiyonlar kümesi, polinomlar kümesini kapsayan daha büyük bir kümedir. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesinin yapısını ileride inceleyeceğiz. Örnekler 1. 3x 5 7x 2 + x 4 polinomunu, 3x5 7x 2 + x 4 rasyonel foksiyonu 1 biçiminde yazabiliriz. 2. 3. 2x 4 + x 3 + 8x 2 5 rasyonel fonksiyonu bir polinoma dönüşebilir; x + 1 çünkü 2x 4 + x 3 + 8x 2 5 polinomu x + 1 polinomuna tam bölünür. Bölüm 2x 3 + 3x 2 + 5x 5 polinomudur. 3x 3 4x + 2 rasyonel fonksiyonu bir polinom değildir; çünkü paydaki x + 3 polinom, paydadaki polinoma tam bölünemez: 3x 3 4x + 2 x + 3 = 3x 2 9x + 23 67 x + 3 4. P(x) = x 2 ve Q(x) = 5x 7 polinomlarını düşünelim. P(x) Q(x) = x2 5x 7 = 1 5x 5 = 1 5 x 5 dir. x in üssü negatif olduğundan, P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümü bir polinom değildir. Bölme Algoritması f (x) ile g (x) herhangi iki polinom, g (x) 0 ise, der [r (x)] < der [g (x)] koşulunu ve f (x) = g (x).b(x) + r (x) eşitliğini sağlayan b(x), r (x) polinomları vardır ve bunlar biriciktirler.

POLINOML ARDA BÖLME 61 Örnek 0.23. f (x) = 2x 4 3x 3 + x 2 + x 2 ve g (x) = x 2 3x +2 polinomları için, bölme algoritmasını sağlayan b(x) ve r (x) polinomlarını bulunuz. f (x) = g (x).b(x) + r (x) eşitliğinin solundaki ve sağındaki polinomlarının dereceleri ve benzer terimlerinin katsayıları eşit olmalıdır. g (x) in derecesi 2 dir. der [r (x)] < der [g (x)] olacağından, r (x) in derecesi ya 1 ya da 0 olmalıdır. O halde, r (x) = mx + n diyebiliriz. Öte yandan, g (x)b(x) çarpımının derecesi, f (x) in derecesine eşit olmalıdır. Öyleyse, b(x) ikinci dereceden bir polinomdur. Bunu b(x) = ax 2 + bx + c biçiminde gösterelim. Bunları, yukarıdaki eşitlikte yerlerine yazarsak, 2x 4 3x 3 + x 2 + x 2 = (x 2 3x + 2).b(x) + r (x) = (x 2 3x + 2)(ax 2 + bx + c) + (mx + n) = ax 4 + ( 3a + b)x 3 + (2a 3b + c)x 2 +(2b 3c + m)x + (2c + n) Benzer terimlerin katsayılarını eşitlersek, a = 2, ( 3a + b) = 3, (2a 3b + c) = 1, (2b 3c + m) = 1,(2c + n) = 2 denklemlerini elde ederiz. Bunların çözümü yapılırsa, a = 2, b = 3, c = 6, m = 13, n = 14 çıkar. Bulunan katsayılar yerlerine konulursa, b(x) = 2x 2 + 3x + 6, r (x) = 13x 14 Bunları, bölme algoritmasında yerlerine koyarak, 2x 4 3x 3 + x 2 + x 2 = (x 2 3x + 2)(2x 2 + 3x + 6) + (13x 14) eşitliğinin sağlandığını görünüz. Kalan Teoremi: Bir P(x) polinomunun (x a) ile bölünmesinden elde edilen kalan, polinomda x yerine a değeri yazılarak elde edilen P(a) gerçek sayısına eşittir. P(x) polinomunun x a ile bölünmesi işleminde bölüm B(x), kalan K (x) olsun. Bölen polinom (x a) dır ve birinci dereceden bir polinomdur. Kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçük olacağına göre, K (x) polinomunun derecesi sıfırdır. O halde, K (x) ya bir sabittir ya da sıfırdır. O halde, P(x) = (x a).b(x) + K (2) yazabiliriz. (2) eşitliğinde x yerine a konulursa. P(a) = (a a)q(a) + K P(a) = K Bu, istenen sonuçtur.

62 C A LC U LU S Çarpan Teoremi Theorem 0.24. Çarpan Teoremi: P(x) polinomunun, (x a) ya tam bölünebilmesi için gerekli ve yeterli koşul P(a) = 0 olmasıdır. Örnekler: 1. f (x) = 2x + 1, g (x) = 2x 3 x 2 1 polinomları verildiğine göre f (x) = g (x).b(x) + r (x) Bölme Algoritması nı sağlayan b(x) ile r (x) polinomlarını bulunuz. Çözüm: r (x) in derecesi g (x) in derecesinden küçük olacağından r (x) = mx 2 + nx + p biçimindedir. Öte yandan. g (x) ile b(x) in çarpımının derecesi, f (x) in derecesinden büyük olamaz. O halde, b(x) = 0 olmak zorundadır. Öyleyse, 2x + 1 = (2x 3 x 2 1)(0) + mx 2 + nx + p = mx 2 + nx + p Soldaki ve sağdaki polinomların eşit olabilmesi için, benzer terimlerinin katsayıları eşit olmalıdır. Buradan m = 0, n = 2, p = 1 bulunur. Bunlar yerlerine yazılırsa, b(x) = 0, r (x) = 2x + 1 olduğu görülür. 2. P(x) = x 3 + 2x 2 2x + 3 polinomunun x 1 ile bölünürse kalan ne olur? Çözüm: ve x 1 = 0 x = 1 P(1) = 1 + 2 2 + 3 = 4 = K bulunur. 3. P(x) = 2x 3 + x 2 + cx 3 polinomunun x + 1 polinomuna tam bölünebilmesi için c ne olmalıdır? Çözüm: P(x) polinomunun x + 1 ile tam bölünebilmesi için kalan sıfır olmalıdır. Bunu simgelerle gösterirsek, x + 1 = 0 x = 1 için, K = P( 1) = 0 olması gerektiği görülür. O halde, 2.( 1) 3 + ( 1) 2 + c( 1) 3 = 0 2 + 1 c 3 = 0 c = 4 olmalıdır.

POLINOML ARDA BÖLME 63 4. P(t) = t 3 bt 5 polinomu t + 1 polinomuna bölündüğünde kalan 3 ise, t 1 ile bölündüğünde kalan ne olur? Çözüm: Kalan 3 olduğuna göre P( 1) = 3 ( 1) 3 (b( 1) 5 = 3 1 + b 5 = 3 b = 9 olmalıdır. O halde, P(t) = t 3 9t 5 dir. Bunun t 1 ile bölünmesinden çıkacak kalan K = P(1) = 1 3 9.1 5 = 13 olacaktır. 5. a bir gerçek sayı ve n tek bir tamsayı ise x + a nın x n + a n polinomunu tam böldüğünü gösteriniz. Çözüm: P(x) polinomunda x = a konulursa, n tek olduğundan, K = P( a) = ( a) n + a n = a n + a n = 0 çıkar. 6. P(x) = x 4 + ax 2 + (3a + 1)x + 4a 5 polinomu x 2 polinomuna bölündüğünde elde edilen kalan, x 1 ile bölündüğünde elde edilen kalana eşit ise, a nedir? Çözüm: P(2) = P(1) 2 4 + a.2 2 + (3a + 1).2 + 4a 5 = 1 + a + (3a + 1) + 4a 5 16 + 4a + 6a + 4a + 2 5 = 1 + a + 3a + 1 + 4a 5 14a + 13 = 8a 3 çıkar. Buradan, 14a 8a = 3 13 6a = 16 a = 8 3 bulunur. Uygulamalar 1. P(x) = 5x 4 2x 3 + x + 5 polinomunun x 2 ile bölünmesinden elde edilen kalan nedir? 2. P(x) = ax 3 + 3x 2 5x + 12 polinomunun x + 3 ile tam bölünebilmesi için a ne olmalıdır? 3. P(x) = x 4 + cx 2 + 3x + d polinomunun x 1 ile bölünmesindeki kalanın 2 ve x 2 ile bölünmesindeki kalanın 17 olması için c ve d ne olmalıdır? 4. P(x) = ax 3 5x + 2 polinomu x + 1 ile bölündüğünde, kalan 3 ise, a nedir?

64 C A LC U LU S 5. P(x) = x 4 + cx 3 4x 2 + 10x + d polinomunun (x 1) 2 ile tam bölünebilmesi için c ve d ne olmalıdır? Bir Polinomun ax + b İle Bölünmesinden Elde Edilen Kalan Bunu Kalan Teoremi nin bir sonucu olarak çıkarabiliriz. Bir P(x) polinomunun ax + b ile bölünmesinden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan K olsun. ax + b = a(x + b a ), a.q(x) = Q 1(x) eşitliklerini kullanırsak, P(x) = (ax + b).q(x) + K = a(x + b a )Q(x) + K = (x + b a )[a.q(x)] + K = (x + b a )Q 1(x) + K yazabiliriz. Öyleyse, Kalan Teoremi gereğince, P(x) polinomunda x yerine b a konulursa kalan bulunur. Bu ise, ( P b ) = K a demektir. O halde, Kalan Teoremi ni aşağıdaki biçimde de söyleyebiliriz: Lemma 0.25. ( ) Bir P(x) polinomunun ax + b ile bölünmesinden elde edilen kalan, P b a dir. Örnekler: 1. P(x) = 9x 3 6x 2 x + 2 polinomunun 3x + 2 ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz. Çözüm: Kalan Teoremi gereğince, 3x + 2 = 0 x = 2 3 ve ( K = P 2 ) 3 K = ( 9).( 2 3 )3 6( 2 3 )2 ( 2 3 ) + 2 K = ( 9)( 8 27 ) 6( 4 9 ) ( 2 3 ) + 2 K = 8 3 8 3 + 2 3 + 2 8 3 2. P(x) = 25x 3 + 5cx 2 x 1 polinomunun 5x 2 ile bölünebilmesi için c ne olmalıdır? Çözüm: 5x 2 = 0 x = 2 5 O halde, P(x) polinomunda x yerine 2 5 koyarak, K = P( 2 5 ) = 0

POLINOML ARDA BÖLME 65 eşitliğini sağlayan c sayısını bulmalıyız. bulunur. P( 2 5 ) = 0 25.( 2 5 )3 + 5c( 2 5 )2 2 5 1 = 0 25.( 8 125 ) + 5c( 4 25 ) 2 5 1 = 0 ( 8 5 ) + ( 4c 5 ) 2 5 1 = 0 1 5 + 4c 5 = 0 c = 1 4 Uygulamalar 1. P(x) = ax 3 x 2 3x + 2 polinomunun 3x 2 ile bölünebilmesi için a ne olmalıdır? 2. 2x + 1 polinomunun P(x) = 2x 3 + x 2 + cx 3 polinomunu tam bölmesi için c ne olmalıdır? 3. P(x) = 2x 3 + 5x 2 + 3x 3 polinomu 2x 1 ile bölünüyor. Bölümü ve kalanı bulunuz. 4. 2x 3 +5x 2 +ax 3 polinomunun 2x 1 polinomuna tam bölünebilmesi için a ne olmalıdır? H orner Yöntemi ile Bölme Bir polinomun (x a) ya da (ax + b) biçimindeki birinci dereceden bir polinoma bölünmesi işleminin kolay yapılmasını sağlayan bir yöntemdir. Bu yöntemi aşağıdaki örnekler ile açıklayacağız. Alıştırmalar 1. P(x) = 6x 5 + x 4 + 3x 2 x 12 polinomunun (x 2) ile bölünmesinden elde edilecek bölümü ve kalanı bulunuz. Çözüm: Aşağıdaki adımları, sırasıyla izleyeceğiz: 2. Bölünen polinomun katsayıları x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır. Polinomda varolmayan dereceler için, katsayılar 0 olarak yazılır: 6, 1, 0, 3, 1, 12 Katsayılar, aşağıdaki gibi bir tabloya yerleştirilir. 6 1 0 3-1 -12 3. Tablodaki düşey çizginin soluna, bölenin kökü (böleni sıfır yapan sayı) yazılır. Örneğimizde, bu kök, x 2 = 0 x = 2 dir. 2 6 1 0 3-1 -12

66 C A LC U LU S 4. Bölünen polinomun baş katsayısı olan 6, tabloda görüldüğü gibi çizginin altına indirilir. 2 6 1 0 3-1 -12 6 5. 2 ile 6 çarpılır, çıkan 12 sayısı, 1 in altına yazılır. 6. 12 ile 1 ile toplanır, çıkan 13 sayısı 12 nin altına yazılır. 2 6 1 0 3-1 -12 12 6 13 7. 2 ile 13 çarpılır, çıkan 26 sayısı 0 katsayısının altına yazılır. 0 ile 26 toplanır; çıkan 26 sayısı 26 nın altına yazılır. 8. İşleme böyle devam edilirse, aşağıdaki tablo elde edilir. 2 6 1 0 3 1-12 12 26 52 110 218 6 13 26 55 109 206 Sonuçta elde edilen tablonun alt satırındaki ilk beş sayı, sırasıyla, bölümün katsayılarıdır. En sağdaki 206 sayısı ise kalandır. Buna göre, Bölüm : B(x) = 6x 4 + 13x 3 + 26x 2 + 55x + 109 Kalan : K = 206 O halde, 6x 5 + x 4 + 3x 2 x 12 = (x 2)(13x 4 + 13x 3 + 26x 2 + 55x + 109) + 206 yazılabilir. 9. P(x) = 3x 4 8x 3 +3x 2 +2x +5 polinomunun (3x +1) ile bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz. Polinomun katsayıları 3, 8,3,2,5 dir. Öte yandan, bölenin kökü, 3x + 1 = 3(x + 1 3 ) = 0 x = 1 3 dür. şimdi, bölüm ve kalanın katsayılarını bulmak için, Horner yöntemini uygulayalım: 1 3 3 8 3 2 5 1 3 2 0 3 9 6 0 5 Buradan, bölme algoritması uyarınca, p(x) = (x + 1 3 )(3x3 9x 2 + 6x) + 5 = 3(x + 1 3 )(x3 3x 2 + 2x) + 5 = (3x + 1)(x 3 3x 2 + 2x) + 5

POLINOML ARDA BÖLME 67 yazabiliriz. Demek ki, alt satırdaki ilk dört sayıyı, bölenin baş katsayısı olan 3 ile bölersek, bölümün katsayıları olarak, 1, 3,2,0 sayılarını buluruz. Kalan ise, satırın sonundaki 5 sayısıdır. Öyleyse, bölüm B(x) = x 3 3x 2 + 2x dir. Dolayısıyla, 3x 4 8x 3 + 3x 2 + 2x + 5 = (3x + 1)(x 3 3x 2 + 2x) + 5 eşitliği sağlanır. Bir Polinomun (x a)(x b) İle Bölünmesinden Elde Edilen Kalan Problemi örnekler üzerinde düşünelim. 1. P(x) = x 4 x 3 + cx 2 + d x 6 polinomunun (x 1)(x + 3) çarpımı ile tam bölünebilmesi için c ve d ne olmalıdır? Çözüm: P(x) polinomunun (x 1)(x + 3) ile tam bölünebilmesi için, önce P(x) polinomu x 1 ile tam bölünmelidir. Sonra, bu bölme işleminden elde edilen Q(x) bölüm polinomu da x + 3 ile tam bölünebilmelidir. P(x) polinomunu x 1 ile bölmek için, Horner yöntemini kullanalım. 1 1 1 c d 6 1 0 c c + d 1 0 c c + d c + d 6 olduğundan, bölüm: Q(x) = x 3 + cx + (c + d) dir. Tam bölünebilme koşulu, kalanın 0 olmasını gerektirir. O halde c + d 6 = 0 olmalıdır. şimdi de, elde ettiğimiz Q(x) bölümünü x + 3 ile bölelim. 3 1 0 c c + d 3 9 3c 27 1 3 c + 9 2c + d 27 Son satırdaki ilk üç sayı, B(x) bölümünün katsayılarıdır. Sonuncusu kalandır. Q(x) polinomunun (x + 3) ile tam bölünebilmesi için, kalan sıfır olmalıdır. O halde, 2c + d 27 = 0 olacaktır. Bunu ve yukarıdaki koşulu bir arada çözersek, c = 7, d = 13 çıkar. Öyleyse, Q(x) = x 3 7x + 6, B(x) = x 2 3x + 2, K (x) = 0 dır. Buradan, x 4 x 3 + cx 2 + d x 6 = (x 1)(x + 3)(x 2 3x + 2) eşitliği yazılabilir.

68 C A LC U LU S 2. P(x) = 2x 4 7x 3 + cx 2 + d x 4 polinomunun x 2 5x + 4 ile tam bölünebilmesi için c ve d ne olmalıdır? Bölen polinomu, Q(x) = x 2 5x + 4 = (x 1)(x 4) biçiminde çarpanlarına ayıralım. Artık, yukarıdaki yöntemi uygulayabiliriz. P(x) polinomunu x 1 ile bölmek için, Horner yöntemini kullanalım. olduğundan, bölüm: 1 2 7 c d 4 2 5 c 5 c + d 5 2 5 c 5 c + d 5 c + d 9 S(x) = 2x 3 5x 2 + (c 5)x + (c + d 5) dir. Tam bölünebilme koşulu, kalanın 0 olmasını gerektirir. O halde c + d 9 = 0 olmalıdır. şimdi de, elde ettiğimiz S(x) bölümünü x 4 ile bölelim. 4 2 5 c 5 c + d 5 8 12 4c + 28 2 3 c + 7 5c + d + 23 Son satırdaki ilk üç sayı, B(x) bölümünün katsayılarıdır. Sonuncusu kalandır. S(x) polinomunun (x 4) ile tam bölünebilmesi için, kalan sıfır olmalıdır. O halde, 5c + d + 23 = 0 olacaktır. Bunu ve yukarıdaki koşulu bir arada çözersek, çıkar. Öyleyse, dır. Buradan, c = 8, d = 17 S(x) = 2x 3 7x 2 8x + 17, B(x) = 2x 2 + 3x 1, K (x) = 0 2x 4 7x 3 8x 2 + 17x + 4 = (x 1)(x 4)(2x 2 + 3x 1) eşitliği yazılabilir. 3. Bir P(x) polinomunun (2x 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan 2 ve (x 2) ile bölünmesinden elde edilen kalan 5 ise, (x 2)(2x 1) çarpımı ile bölünmesinden elde edilen kalan nedir? Çözüm: P(x) in (x 2)(2x 1) ile bölününce, kalan ençok birinci dereceden bir polinomdur. Buna K (x) = cx + d diyelim. Bölüm Q(x) olmak üzere, P(x) = (x 2)(2x 1)Q(x) + cx + d eşitliğini yazabiliriz. Buradan, ( ) ( ) 1 1 P = 2 +c + d = 2 2 2 P(2) = 5 2c + d = 5

POLINOML ARDA BÖLME 69 yazabiliriz. Bu eşitliklerden, c = 2, kalan 2x + 1 dir. d = 1 çıkar. Öyleyse, aradığımız 4. P(x) = ax 3 bx 2 9x +18 polinomunun (x 2)(x +3) ile tam bölünmesi için, a ve b ne olmalıdır? Çözüm: P(x) polinomu hem x 2 hem de x 3 ile tam bölünürse, çarpımları ile de tam bölünür. O halde, x 2 = 0 x = 2 için, P(2) = K = 0 8a 4b 18 + 18 = 0 2a b = 0 2a = b ve x 3 = 0 x = 3 için, P(3) = K = 0 27a 9b 27 + 18 = 0 27a 9b 9 = 0 Bu son eşitlikte, öncekinden elde edilen b = 2a bağıntısı kullanılırsa, 27a 9(2a) 9 = 0 9a = 9 a = 1 b = 2a b = 2.1 b = 2 bulunur. 5. P(t) = t 5 6t 3 3t + 2 polinomu Q(t) = (t 2)(t + 2) ile bölünüyor. Bölme işlemini yapmadan, elde edilen kalanı bulunuz. Çözüm: Q(t) = (t 2)(t + 2) = t 2 4 olduğundan, bölenin derecesi 2 dir. Dolayısıyla, ya kalanın derecesi 1 dir ya da kalan bir sabittir. K (t) = at + b diyelim. P(2) = 20 2a + b = 20 P(1) = 24 2a + b = 24 Sağdaki iki eşitlikten a = 11, K (t) = 11t + 2 dir. b = 2 bulunur. O halde, kalan, Aynı sonucu, verilen polinomda, t 2 yerine 4 koyarak da elde edebiliriz. Gerçekten, P(t) = t 5 6t 3 3t + 2 = (t 2 ) 2.t 6t 2.t 3t + 2 eşitliğinin sağ yanı, t 2 = 4 konumuyla, K (t) = 11t + 2 kalanını verir. 6. Q(x) = x 2 2x 3 polinomunun P(x) = x 4 +px 3 +qx 2 +3x polinomunu tam bölmesi için p ve q ne olmalıdır?

70 C A LC U LU S Çözüm: Q(x) = x 2 2x 3 = (x 3)(x + 1) olduğundan, P(x) polinomu hem x 3 ile hem de x 1 ile tam bölünmelidir. Öyleyse, Kalan Teoremi gereğince, P(3) = 0 3 4 + 3 3 p + 3 2 q + 3.3 = 0 81 + 27p + 9q + 9 = 0 27p + 9q + 9 = 0 P(1) = 0 ( 1) 4 + ( 1) 3 p + ( 1) 2 q + 3( 1) = 0 1 p + q 3 = 0 p + q 2 = 0 çıkar. Buradan, p = 3, q = 1 bulunur. Uygulamalar 1. (x 1)(x + 2) çarpımının P(x) = x 4 + x 3 + cx 2 + d x 2 polinomunu tam bölmesi için c ve d ne olmalıdır? 2. Bir P(x) polinomunun (x + 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan 6; (x 2) ile bölünmesinden elde edilen kalan -3 ise, P(x) polinomunun (2x 1)(2x + 1) çarpımına bölünmesinden elde edilen kalan nedir? 3. Bir P(x) polinomunun (2x 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan 1; (2x + 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan -1 ise, (2x 1)(2x + 1) çarpımına bölünmesinden elde edilen kalan nedir? 4. Bir P(x) = (x 3 cx 2 + d x + 5) 4 polinomunun katsayıları toplamı 3 dür. Polinom (2x 2) ile bölündüğünde kalan ne olur? 5. p(x) = x 3 ax 2 2x + 4 polinomu x + 1 ve x 2 ile bölündüğünde kalanlar, sırasıyla, K 1 ve K 2 dir. K 2 = 2K 1 olması için a kaç olmalıdır? Bir Polinomun (x 2 ± a),(x 3 ± a) ve (x 4 ± a) İle Bölünmesinden Elde Edilen Kalanlar Bu problemlerde değişken değiştirmek kolaylık sağlar. Bunu örnekler üzerinde görelim. Örnekler: 1. P(x) = x 27 2x 18 + 4 polinomu x 3 + 1 polinomuna bölünürse kalan ne olur? Çözüm: Bu tür problemlerde değişken değiştirmek uygun x 3 = t dersek, verilen polinomu P(x) = (x 3 ) 9 2(x 3 ) 6 + 4 = t 9 2t 6 + 4 = Q(t) biçiminde yazabiliriz. Ayrıca x 3 + 1 = t + 1 olduğuna göre, Q( 1) = K = ( 1) 9 2( 1) 6 + 4 = 1

POLINOML ARDA BÖLME 71 2. P(x) = 4x 8 2x 6 2x 2 +3 polinomunun (x 2 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz. x 2 2 = 0 x 2 = 2 P(x) polinomunu x 2 nin kuvvetlerine göre düzenleyelim. P(x) = 4(x 2 ) 4 2(x 2 ) 3 2x 2 + 3 tür. P(x) polinomunun (x 2 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için P(x) polinomunda x 2 yerine 2 yazılır. K = 4(2) 4 2(2) 3 2(2) + 3 = 4.16 2.8 4 + 3 = 47 bulunur. 3. P(x) = x 7 + 2x 5 x 4 + 1 polinomunun (x 3 + 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulalım. x 3 + 2 = 0 x 3 = 2 Polinom, P(x) = (x 3 ) 2.x + 2(x 3 ).x 2 x 3.x + 1 biçiminde düzenlenip, kalanı bulmak için, x 3 yerine -2 yazmak yetecektir. K (x) = ( 2) 2.x + 2.( 2)x 2 ( 2)x + 1 = 4x 2 + 6x + 1 4. Bir P(x) polinomunun (x a)(x b) çarpımına bölünmesinde, bölme işlemini yapmadan bölümü ve kalanı bulunuz. Çözüm: P(x) polinomunun x a ile bölünmesinden elde edilen bölüm Q(x), kalan K 1 olsun. Bölme Algoritması gereğince, P(x) = (x a)q(x) + K 1 ( ) dir. Aynı düşünüşle, Q(x) polinomunun (x b) ye bölünmesinden çıkan bölüm B(x), kalan K 2 ise, Bölüm eşitliği, Q(x) = (x b)b(x) + K 2 Bu değer, (*) eşitliğinde yerine yazalırsa, P(x) = (x a)[(x b)b(x) + K 2 ] + K 1 = (x a)(x b)b(x) + (x a)k 2 + K 1 Bu son eşitlik şu anlama gelir: P(x) polinomunun (x a)(x b) çarpımı ile bölünmesinden elde edilecek bölüm B(x), kalan ise, K (x) = (x a)k 2 + K 1 dir.

72 C A LC U LU S Alıştırmalar 1. 3x 3 + x 2 + 2x 2 + x polinomunu 3x + x 2 + 2 polinomuna bölünüz. 2. 3x 5 + 19x 4 25x 3 + 50x 2 28x + 16 polinomunu x 3 + 7x 2 5x + 4 polinomuna bölünüz. 3. x 3 x 2 + 5x + 4 polinomunu x 2 2x 1 polinomuna bölünüz. 4. 2x 4 +12x 3 +61x 2 +5x 4 polinomunu 2x 2 7x +5 polinomuna bölünüz. 5. 16x 3 + 4x 2 6 polinomunu 4x 2 2x + 1 polinomuna bölünüz. 6. P(x) = 7x 5 4x 4 13x 3 +2x 1 polinomunun (x 2) ile bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz. 7. P(x) = x 3 + x + q polinomunun x + 2 ile tam bölünebilmesi için q ne olmalıdır? 8. P(x) = 2x 4 3x 3 + 22x 15 polinomunun (x + 2)(x 3) çarpımı ile bölünmesinden elde edilen kalanı, bölme işlemi yapmadan bulunuz. 9. 3x 4 + 5x 3 + 2x 2 3x + 2 polinomu x 3 + x 2 1 ile bölündüğünde, kalan 4 ise, bölüm nedir? 10. P(x) = x 4 +3x 2 +mx+n polinomunun x 2 +5x+1 ile tam bölünebilmesi için m ve n nin alacağı değerleri bulunuz. 11. x 7 + 1 polinomunu x 1 polinomuna bölünüz. 12. P(x) = x 6 +2x 4 2x 2 3 polinomunun (x 2 +3) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz. 13. 2x + 1 polinomunun, ax 3 x 2 + x + 1 polinomunu tam bölmesi için a ne olmalıdır? 14. P(x) = ax 3 x 2 5x + 2 polinomunun (3x 2) ile bölünebilmesi için a ne olmalıdır? 15. P(x) = (x + 4) 3 (x + 3) n+1 3 polinomu x + 4 ile bölününce kalan 2 ise n ne olmalıdır? 16. Bir P(x) polinomu x + 1 ile bölününce kalan 8 dir. Bir Q(x + 1) polinomu x + 2 ile bölündüğünde kalan 3 dür. P(x) + x 4.Q(x) polinomu x + 1 ile bölününce kalan ne olur? 17. P(x) = x 3 cx 2 2x + 4 polinomu x + 1 ile bölünürse kalan K 1, x 2 ile bölünürse kalan K 2 dir. 2k 1 = K 2 olması içim c ne olmalıdır? 18. (x 1)P(x + 1) = x 3 + x 2 ise, P(x) nedir? 19. x 3 + 1 polinomunun P(x) = 2x 6 + cx 3 + 5 polinomunu tam bölebilmesi için, c ne olmalıdır? 20. p(x) = x 3 + 5x 2 + 5x + 27 polinomu q(x) ile bölündüğünde bölüm x + 5 ise, kalan nedir?

POLINOML ARDA BÖLME 73 21. P(x) polinomunun, Q(x) = x 2 2x + 3 polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm B(x) = 4x 2 + 4x 1 ve kalan K (x) = 5x 1 ise, P(x) polinomunu nedir? 22. P(x) = 5x 4 + 4x 3 6x + 4 polinomunun (x 2) ile bölünmesinden elde edilecek kalanı, bölme işlemini yapmadan bulunuz. 23. P(x) = 2x 3 mx 2 + 3x 1 polinomunun (x 3) ile bölünebilmesi için m ne olmadır? 24. P(x) = x 4 + ax 2 + (3a + 1)x + 2a 5 polinomunun (x 2) ile bölünmesinden kalan, (x 1) ile bölünmesinden kalana eşit ise, m nedir? 25. P(x) = x 3 + 3x 2 + mx + n polinomunun x + 3 e bölünmesinden kalan 49 ve x 5 e bölünmesinden kalan -39 ise, m ve n nin değerini bulunuz. 26. Bir P(x) polinomunun (x + 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan 23, (x 4) ile bölünmesinden elde edilen kalan 3 ise, (x +1)(x 4) çarpımına bölünmesinden elde edilecek kalanı bulunuz. 27. Bir P(x) polinomunun (3x 4) ile bölünmesinden elde edilen kalan 2, (x 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan 1 ise, (3x 4)(x 1) çarpımına bölünmesinden elde edilecek kalanı bulunuz. 28. Bir P(x) polinomunun (2x 1)(3x + 2) çarpımına bölünmesinden elde edilen kalan (7x 11) dir. Bu polinomun (3x + 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz. 29. P(x) = x 5 6x 3 3x + 2 polinomunun (x 2)(x + 2) çarpımına bölünmesinden elde edilecek kalanı, bölme işlemi yapmadan bulunuz. 30. P(x) = 3x 3 + 5x 2 + 2ax + 1 polinomunun x 1 ile tam bölünebilmesi için a ne olmalıdır? 31. P(2x + 4) = mx 3 6x 2 + 8 ise, P(x) polinomunun x 2 ye tam bölünebilmesi için m ne olmalıdır? 32. P(x) = x 4 2x 2 + ax 1 polinomunun x 2 ve x +1 ile bölünmesinden elde edilen kalanlar aynı ise, a nedir? 33. x 24 3x 16 + x 8 2 polinomunu x 4 2 polinomuna bölünüz. 34. x 3 +(mm +1)x 2 +(n +2)x 64 ifadesinin bir tam küp olması için, m ile n arasında nasıl bir bağıntı olmalıdır? (a 2 + c) 10 açılımında katsayılar toplamı ne olur? 35. P(x) = x 3 4x 2 + mx + n polinomunun (x 2 x) ile bölümünden elde edilen kalan 3x + 2 ise, m.n kaçtır? 36. 2x 3r + x 3 1 polinomu, r nin hangi değerleri için, x + 1 ile tam bölünebilir? 37. P(x) = x 15 + x 10 3x 7 8x 6 + x 5 x 2 +9 polinomunu x 3 2 ile bölünüz. 38. Bir P(x) polinomunun Q(x) ile bölümü x 2 1 ise, Q(x) in derecesi en az kaç olmalıdır?

74 C A LC U LU S 39. P(x) = x 4r +2 2x 4r +1 +3x 2 2x+1 polinomunun x 2 +1 ile bölümünden kalan nedir? P(x) polinomunun x 1 ile bölünmesinden kalan 3; x + 3 ile bölünmesinden kalan 17 dir. (x 1)((x + 3) ile bölünmesinden kalan ne olur? 40. P(x + 3) = 2x 3 x 2 + 2x 1 veriliyor. P(x + 2) polinomu x 2 ile bölünürse, kalan nedir?

Polinomlaarın Çarpanlara Ayrılması Karmaşıkları Basite İndirgemek! Polinomların çarpanlara ayrılması, tamsayıların çarpanlara ayrılmasına benzer. Örneğin, 192 = 3.64, 192 = 3.4.16, 192 = 2.3.32 ifadeleri, 192 nin farklı çarpanlara ayrılışıdırlar. Bu farklılıkları ortadan kaldırmak için, tamsayıları asal çarpanlarına ayırırız. 192 tamsayısını asal çarpanlarına ayırırsak, 192 = 2.2.2.2.2.2.3 = 2 6.3 Asal çarpanlara ayrılış tektir ve her tamsayıya uygulanabilir. Benzer uygulamayı polinomlar için yapacağız. 6 6 Bir polinomun çarpanlara ayrılması, birden fazla polinomun çarpımı olarak Bir P(x) polinomu bir Q(x) polinomuna bölündüğünde, bölüm B(x) ifade edilmesidir. ve kalan K (x) ise, P(x) = Q(x).B(x) + K (x) eşitliğinin varlığını biliyoruz. Bu eşitlikte, kalan sıfır ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam olarak bölünür ve yukarıdaki bölme eşitliği, P(x) = Q(x).B(x) biçimini alır. Sağ taraf, P(x) in çarpanlara ayrılmışıdır. Bu eşitlikteki Q(x) ile B(x) polinomlarına P(x) polinomunun çarpanları, P(x) polinomuna da çarpanlara ayrılan polinom denilir. Örnekler 1) x 2 10x + 21 = (x 3)(x 7) 2) 2x 3 + 5x 2 + 3x 3 = (2x 1)(x 2 + 3x + 3) 3) 2x 5 x 4 6x 3 + 2x 2 + 3x = x(2x + 3)(x 3 2x 2 + 1) 4) x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) 5) x 2 25 + 3(x + 5) = (x 2)(x + 5) Bir polinomun yukarıdaki gibi çarpanlara ayrılması tek bir biçimde olmayabilir. Öyleyse, tamsayılarda olduğu gibi, çarpanlara ayırmanın tek bir biçimde olacağı bir kavramı geliştirmeliyiz. Bunu yapabilmek için, tamsayılar kümesinde asal sayıların oynadığı role benzer bir rolü, polinomlar kümesinde oynayacak ögeler tanımlamalıyız. Asal sayı, 1 den farklı tamsayı çarpanı olmayan sayıdır. Bunun benzerini polinomlar için tanımlamak zor olmayacaktır.

76 C A LC U LU S İndirgenemeyen Polinom Sabit olmayan polinomların çarpımı olarak yazılamayan bir polinoma indirgenemeyen polinom denilir. Örnekler Aşağıdaki polinomlar, sabit olmayan polinomların çarpımı olarak yazılamazlar; dolayısıyla, indirgenemeyen birer polinomdur. 1) 2x 7 2) 5x + 10 3) x 2 + 1 4) x 2 + x + 64 5) 2x 2 3x + 23 Asal Polinom 7 Baş katsayısı 1 olan indirgenemeyen polinom asal polinomdur. 7 Örnekler x 2 + 3, x 2 x + 2, x 2 x + 41, x 4 + 5 ebob ve ekok Polinomlar için ebob ve ekok kavramları tamsayılardakine çok benzer. Tam katsayılı iki ya da daha çok polinomu tam bölen bir polinom, söz konusu polinomlar için bir ortak bölendir (çarpandır). Ortak bölenler arasında, derecesi ve başkatsayısı en büyük olan polinom, sözkonusu polinomlar için, en büyük ortak bölen (ebob) dir. p(x) ve q(x) polinomlarının en büyük ortak böleni ebob(p(x), q(x)) simgesiyle gösterilir. Tam katsayılı iki ya da daha çok polinoma tam bölünen bir polinom, söz konusu polinomlar için bir ortak kat dır. Ortak katlar arasında, derecesi ve başkatsayısı en küçük olan polinom, sözkonusu polinomlar için, en küçük ortak kat (ekok) dır. p(x) ve q(x) polinomlarının en küçük ortak katı ekok(p(x), q(x)) simgesiyle gösterilir. Bir polinomun terimleri için ebob ve ekok tanımları, polinomun terimleri ayrı ayrı birer polinom imiş gibi düşünülerek, yukarıdaki tanımlardan çıkarılır. Sabit polinomlar için, bu kavramlar, tamsayılar için verilen tanımlarına indirgenmiş 1 sayısından başka ortak bölenleri (çarpanları) olmayan cebirsel ifadelere, aralarında asaldır, denilir. İki ya da daha çok polinomun ebob i, indirgenemez ortak çarpanların en küçük üslülerinin çarpımına eşittir. İki ya da daha çok polinomun ekok ı, indirgenemez ortak çarpanların en büyük üslüleri ile ortak olmayanların hepsinin çarpımına eşittir. Aralarında asal iki polinomun ekok, bu polinomların çarpımıdır. Örnekler Örnek 0.26. (a) p(x) = 3x 3 + 6x 2 + 3x ve q(x) = 5x 2 5 polinomlarının ebob i ile ekok nı bulunuz. Bu polinomları asal çarpanlarına ayıralım: p(x) = 3x(x + 1) 2 ve q(x) = 5(x + 1)(x 1) olduğundan, ebob(p(x), q(x)) = (x + 1)

POLINOML AARIN ÇARPANL ARA AYRILMASI 77 ekok(p(x), q(x)) = 3.5x((x 1)(x + 1) 2 Örnek 0.27. p(x) = 9x 3 3x 2 8x + 4 ve q(x) = 4x 4 12x 2 8x polinomlarının ebob i ile ekok nı bulunuz. Bu polinomları indirgenemez çarpanlarına ayıralım: p(x) = (x + 1)(3x 2) 2 ve q(x) = 2 2 x(x + 1) 2 (x 2) olduğundan, ebob(p(x), q(x)) = (x + 1) ekok(p(x), q(x)) = 2 2 x(x 2)(x + 1) 2 (3x 2) 2 Örnek 0.28. p(x) = 18x 2 3x ve q(x) = 25x 5 polinomlarının ebob i ile ekok nı bulunuz. Bu polinomları indirgenemez çarpanlarına ayıralım: p(x) = 3x(6x 1) ve q(x) = 5(5x 1) olduğundan, ebob(p(x), q(x)) = 1 ekok(p(x), q(x)) = 3.5(5x 1)(6x 1) Gruplama (Paranteze Alma) Birden çok terimi olan bir cebirsel ifadede, bazı terimleri bir bütün olarak işlemlere sokmak istediğimizde, o terimleri bir araya getirip ortak parantez içine yazarız. Ortak parantez olarak, (),[],{} çiftlerinden herhangi birisini kullanabiliriz. Terimleri gruplandırarak paranteze alırken, şu kurallar uygulanır: 1. Parantezin önüne + ya da - simgeleri konulabilir. 2. Parantezin önünde + simgesi varsa, paranteze giren terimler, kendi işaretleriyle alınır; yani + lar + işaretiyle, - ler - işaretiyle yazılırlar. 3. Parantezin önünde - simgesi varsa, paranteze giren terimler, kendi işaretlerinin tersiyle alınır; yani + lar - işaretiyle, - ler + işaretiyle yazılırlar. Başka bir deyişle, parantezin önüne - simgesini koymak, parantez içindeki terimleri -1 ile çarpmak demektir. Örneğin, 7a 3 b 4 x 2 y 3a 5 b 3 x 2 y 5 6bbx 4 y 2 + 8a 2 x 4 y 5 3x y ifadesinde birinci ve dördüncü terimleri bir arada gruplamak istersek, 3a 5 b 3 x 2 y 5 6bbx 4 y 2 3x y + (7a 3 b 4 x 2 y + 8a 2 x 4 y 5 ) biçiminde yazabiliriz. Burada, parantezin önüne - koyacak olursak, ifademiz, 3a 5 b 3 x 2 y 5 6bbx 4 y 2 3x y ( 7a 3 b 4 x 2 y 8a 2 x 4 y 5 ) biçimini alır. Gruplamada, gerekirse, iç-içe parantezler kullanılabilir. İç-içe parantez kullanılırken de, yukarıda söylenen işaret kuralına uyulur. İçteki her parantez, bir terim imiş gibi işlem görür. Grubun Bozulması (Parantez Açma) Parantezlerin kaldırılarak, grubun bozulması işlemi, gruplamanın tersidir:

78 C A LC U LU S 1. İç içe parantezler varsa, önce en içteki açılır; sonra, sırasıyla dışa doğru gidilir. 2. Parantezin önünde + simgesi varsa, terimler, parantezden kendi işaretleriyle çıkarılır. 3. Parantezin önünde - simgesi varsa, terimler, parantezden çıkarılırken işaretleri değiştirilir. 4. Parantezin önünde 1 den farklı bir çarpan varsa, çarpma işleminin, toplama işlemi üzerine dağılması kuralı uygulanır. Cebirsel İfadeleri Çarpanlara Ayırma Yöntemleri Cebirsel ifadeleri çarpanlara ayıran genel bir yöntem yoktur. Dolayısıyla, şimdiye kadar öğrendiğimiz gruplama, dağılma, üs alma işlemleri yanında özdeşlikleri de kullanarak, verilen ifadeyi çarpanlarına ayırmaya çalışırız. Gene de, teorik olarak çarpanları olduğu bilinse bile, pratikte cebirsel ifadelerin büyük çoğunluğunu çarpanlarına ayıramayız. Bu derste, polinomları (daha genel olarak, cebirsel ifadeleri) çarpanlarına ayırmak için, aşağıda verilen basit yöntemleri ele alacağız. Ortak Çarpan Parantezine Alma Polinomun terimlerinin ebob i varsa, terimler ebob parantezine alınır. Örnekler: 1. 16x 2 y 3 z 4 24x 3 y 2 z 3 8x y z polinomunu çarpanlarına ayırınız. Çözüm: 8x y z terimi, polinomun her terimini böler; yani bir ortak bölendir. Ayrıca, derecesi bundan büyük olan başka ortak bölen yoktur. O halde, 8x y z, polinomun terimlerinin ebob dir. Öyleyse, 16x 2 y 3 z 4 24x 3 y 2 z 3 8x y z = 8x y z( 16x2 y 3 z 4 8x y z 24x3 y 2 z 3 8x y z 8x y z 8x y z ) = 8x y z(2x y 2 z 3 3x 2 y z 2 1) 2. (2x + y)(x 3) + (3 x)(x y) ifadesini çarpanlarına ayırınız. Çözüm: (2x + y)(x 3) + (3 x)(x y) = (2x + y)(x 3) (x 3)(x y) = (x 3)(x + 2y)

POLINOML AARIN ÇARPANL ARA AYRILMASI 79 3. (ax + by) 3 + (ax + by) 2 ifadesini çarpanlarına ayırınız. (ax + by) 3 + (ax + by) 2 = (ax + by)(ax + by) 2 + (ax + by) 2 = (ax + by) 2 [ (ax + by) + 1 ] = (ax + by) 2 (ax + by + 1) Uygulamalar 1. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. (a) 3.2 3 + 12.2 3 9.2 3 (b) x 5 + 1 3 x5 7 2 x5 + 3x 5 (c) 3a p q + a p q + 3 5 ap q 4a p q 4 3 ap q (d) 6 7 ax y 2a x y + 15a x y 101 7 14ax y + 35a x y + 65a x y 34a x y (e) 2a 2 y 3 4a 3 y 5 3a 2 y 4 + a 3 y 2 2. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. (a) 2a x b y 12a x b y + 3 5 ax b y a x b y + 13a x b y (b) 12(a + b) x 4 5 (a + b)x 5 3 2 (a + b)x 5 3 2 (a + b)x (c) (a b)(5x + y 1) + (a b)(3x + 7y + 6) (b a)(x y + 2) (d) (a + b + 1) 2 (a b + 1) 2 + (a + b 1) 2 (a b 1) 2 (e) 4(a + b)x 2 y 3 + 8(a + b)x 3 y 2 12(a + b)x 2 y 2 Cebirsel İfadeleri Gruplayarak Çarpanlara Ayırma Verilen cebirsel ifadenin bütün terimlerinin ortak bir böleni yoksa, hepsini bir ortak çarpan parantezine alma olanağı olamaz. Böyle olduğunda, bütün terimler yerine, bazı terimlerinin ortak çarpanları olup olmadığına bakılır. Varsa, söz konusu terimlerden bir grup yapılır. Uygun gruplamaların olası olduğu cebirsel ifadelerde, dağılma ve yer değiştirme kurallarından yararlanıp, ifadeyi çarpanlara ayırabiliriz. Bunu örnekler üzerinde inceleyelim. Örnekler: 1. x y + 2x + 3y + 6 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: Aşağıda her adımda yapılan işlemleri açıklayınız. x y + 2x + 3y + 6 = (x y + 2x) + (3y + 6) = x(y + 2) + 3(y + 2) = (x + 3)(y + 2) Aynı sonuca başka bir gruplama ile de ulaşabiliriz: x y + 2x + 3y + 6 = (x y + 3y) + (2x + 6) = y(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(y + 2)

80 C A LC U LU S 2. ax 2 ax y ax + bx by b polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: ax 2 ax y ax + bx by b = (ax 2 ax y ax) + (bx by b) = ax(x y 1) + b(x y 1) = (ax + b)((x y 1) 3. 4t(s 2 + 1) + s(16 + t 2 ) polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: Verilen polinomun terimleri arasında ortak böleni olanlar yoktur. Ortak bölen bulabilmek umuduyla, önce, parantezleri açalım. Sonra gruplama yapmayı deneyelim: 4t(s 2 + 1) + s(16 + t 2 ) = 4t s 2 + 4t + 16s + st 2 = (4t s 2 + 4t) + (16s + st 2 ) = 4s(st + 4) + t(st + 4) = (4s + t)((st + 4) 4. 64a 3 b 3 x y 2 z 16a 5 b 3 x y 2 z + 32a 2 b 3 x y 2 z 16a 3 b 3 x y 2 z ifadesini gruplayarak çarpanlara ayırınız. Çözüm: 64a 3 b 3 x y 2 z 16a 5 b 3 x y 2 z + 32a 2 b 3 x y 2 z 16a 3 b 3 x y 2 z = 16abx y 2 z[4a 2 b 2 a 4 b 2 + 2ab 2 a 2 b 2 ] = 16abx y 2 z[(4a 2 b 2 a 4 b 2 ) + b(2ab a 2 b)] = 16abx y 2 z[(2ab a 2 b)(2ab + a 2 b) + b(2ab a 2 b)] = 16abx y 2 z[(2ab a 2 b)(2ab + a 2 b + b)] = 16abx y 2 z[(2ab a 2 b)(a + 1) 2 b] = 16a 2 b 3 x y 2 z(2 a)(1 + a) 2 5. (a 2 b 2 )(ab b 2 ) (a b) 2 (a 2 + ab) ifadesini gruplayarak çarpanlara ayırınız. Çözüm: (a 2 b 2 )(ab b 2 ) (a b) 2 (a 2 + ab) = b(a 2 b 2 )(a b) a(a + b)(a b) 2 = (a b) [ b(a 2 b 2 ) a(a 2 b 2 ) ] = (a b)(a 2 b 2 )(b a) = (a b)(a 2 b 2 ) = (a b) 2 (a + b) Uygulamalar Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.

POLINOML AARIN ÇARPANL ARA AYRILMASI 81 a) 9ab 2 3a 2 b 6a 2 b 2 b) 3ax + 5ay 2az c) a 2 b 2 c 2 a 3 b 2 c 2 a 3 bc 3 + a 2 bc 3 d) 12x 3 + 16x 4 + 4x 2 e) x 2 2x 2 5x 4 3x 3 f) a 2 bc ab 2 c + abc 2 g) ab 3ay + 2bx 6x y h) 6x 4 y 15x 3 y 2 9x y 3 i) 2x 3 1 2x + x 2 j) 15p 3 q 2 5p 2 q 3 + 10pq 4 Özdeşlikler Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma Bazan, verilen polinomun bütün terimleri ya da bzı terimleri, bir özdeşliğin terimleri olabilir. Bu durumlarda, ilgili özdeşlik kullanılarak, polinom çarpanlara ayrılabilir. Tam Kare Özdeşliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma Verilen polinomun bütün terimleri ya da gruplandırılacak bazı terimleri, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 özdeşliklerinin sağ yanına benzerse, onları, sol yandaki tam kare çarpanı haline getirebiliriz. şimdi, bunu örneklerle gösterelim. Örnekler: 1. 4x 2 4x + 1 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: 4x 2 4x + 1 = (2x 1) 2 olduğu hemen görülür. 2. a 6 x 4 6a 3 x 2 + 9 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: a 6 x 4 6a 3 x 2 + 9 = (a 3 x 2 ) 2 2.(a 3 x 2 ).3 + 3 2 = (a 3 x 2 3) 2 3. 0,32 + 0,16x + 2x 2 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: 0,32 + 0,16x + 2x 2 = 2(0,16 + 0,8x + x 2 ) = 2(0,4 + x) 2 4. x 2k y 2k 12x k y k + 36 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: x 2k y 2k 12x k y k + 36 = (x k y k ) 2 2.x k y k.6 + 6 2 = (x k y k 6) 2

82 C A LC U LU S Uygulamalar Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. 1. 9x 2 + 12x + 4 2. 27x 4 y 72x 3 y 2 + 48x 2 y 3 3. 9 25 x2 4 5 x y + 4 9 y 2 4. 16x 4 y 2 24x 2 y + 9 5. a 4r 8a 2r + 16 6. a 2r b 2r 10a r b r + 25 7. 49a 2n + 14a n + 1 8. a 6 b 4 6a 3 b 2 + 9 9. 45a 3 b 3 30a 2 b 2 (x 3) + 5ab(x 3) 2 10. 0,09 + 0,6a 2 + a 4 11. 25a 2 b 2 30ab + 9 12. (a b 1) 2 + 2(a b 1)(b + 1) + (b + 1) İki Kare Farkı Özdeşliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma Verilen polinomun bütün terimleri ya da gruplandırılacak bazı terimleri, a 2 b 2 = (a b)(a + b) özdeşliğinin sağ yanına benzerse, onları, sol yandaki iki kare farkı haline getirebiliriz. şimdi, bunu örneklerle gösterelim. Örnekler: 1. 25x 2 9 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: 25x 2 9 = (5x) 2 3 2 = (5x 3)(5x + 3) 2. x 2 0,0196 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: x 2 0,0196 = x 2 (0,14) 2 = (x 0,14)(x + 0,14) 3. x 6 y 6 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: x 6 y 6 = = ( x 3 ) 2 ( y 3 ) 2 [ ( ) )][ ( ) )] x 3 ( y 3 x 3 + ( y 3

POLINOML AARIN ÇARPANL ARA AYRILMASI 83 4. 4 81 x2 16 25 x2 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: 4 81 x2 16 25 y 2 = = ( ) 2 2 ( ) 4 2 x 2 y 2 9 5 ( 2 9 x 4 )( 2 5 y 9 x + 4 ) 5 y 5. x 2k y 2k polinomunu çarpanlara ayırınız. 6. Çözüm: x 2k y 2k = (x k ) 2 (y k ) 2 = (x k y k )(x k + y k ) 4 81 a2 16 polinomunu çarpanlara ayırınız. 25 Çözüm: 4 81 a2 16 ( ) 1 2 ( 2 = 4 25 9 a 4 5 [( ) ( 1 2 = 4 9 a + 5 ) 2 )][( 1 9 a ) ( )] 2 5 Uygulamalar Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. 1)a 4 16 2) a 2 4 9 x2 2) 7a 2 175 4) 9 a 2 4 b 2 5) (x y) 2 (x + y) 2 6) a 4 25b 8 7) x 2r y 2r 8) a 2 0,0625 9) a 8 b 8 10) (2x 1) 2 9(x 1) 2 Özdeşlikleri Kullanma İki Küp Toplamı ya da Farkı Özdeşliklerinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma Verilen polinomun bütün terimleri ya da gruplandırılacak bazı terimleri, a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) özdeşliklerinin sağ yanına benzerse, onları, sol yandaki iki küp farkı ya da toplamı haline getirebiliriz. şimdi, bunu örneklerle gösterelim. Örnekler: 1. 64 x 3 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: 64 x 3 = 4 3 x 3 = (4 x)(16 + 4x + x 2 )

84 C A LC U LU S 2. 27x 3 + 0,008 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: 27x 3 + 0,008 = (3x) 3 + (0,2) 3 = (3x + 0,2)(9x 2 0,6x + 0,04) 3. x 3n y 3n polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: x 3n y 3n = (x n ) 3 (y n ) 3 = (x n y n ) ( (x n ) 2 + x n y n + (y n ) 2) = (x n y n ) ( x 2n + x n y n + y 2n) 4. 27x 3 + 64y 3 polinomunu çarpanlarına ayıralım. 125x 3 + 8y 3 = (5x) 3 + (2y) 3 = (5x + 2y)[(5x) 2 (5x).(2y) + (2y) 2 ] = (5x + 2y)(25x 2 10x y + 4y 2 ) Uygulamalar Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. 1) 27a 6 64 2) x 3 + 1 3) 81a 3 125 4) x 3 1 5) a 3n 1 6) (a b) 3 + b 3 7) a 3n b 3n 8) 1 8(a + b) 9 9) a 6 + b 6 10) x 6 y 6 ax 2 + bx + c Biçimindeki Polinomların Çarpanlara Ayrılması Bu türdeki polinomların kökleri bilinince, çarpanlara ayırmanın çok kolay olduğunu ileride göreceğiz. Burada, pratik bir yöntemi göstereceğiz. Gene, ileride göreceğimiz bir kuralı ispatsız olarak ifade etmek yararlı olacaktır: ax 2 + bx + c polinomunun çarpanlara ayrılabilmesi için, b 2 4ac 0 olmalıdır. şimdi pratik yöntemimizi geliştirelim. İki ayrı durum vardır. a = 1 Durumu: Önce x 2 + bx + c biçimindeki Polinomları ele alalım. İkinci dereceden olan bu polinom, sabit olmayan çarpanlara ayrılabiliyorsa, çarpanları birinci dereceden olmak zorundadır. Baş katsayısı da 1 olduğuna göre, çarpanlar (varsa), (x + p),(x + q) biçimindedirler. O halde, (x + p)(x + q) = x 2 + (p + q)x + pq = x 2 + bx + c

POLINOML AARIN ÇARPANL ARA AYRILMASI 85 olmalıdır. Benzer terimlerin katsayılarını eşitlersek, b = p + q, c = pq ( ) çıkar. Öyleyse, toplamları b ye ve çarpımları c ye eşit olacak şekilde p, q sayılarını bulursak, x 2 + bx + c polinomunun (x + p)(x + q) biçimindeki çarpanlarını bulmuş oluruz. p, q için rasyonel çözümler c nin tam bölenleri olmalıdır. Neden? şimdi, problemi örnekler üzerinde inceleyelim. Örnekler: 1. x 2 x 6 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: Toplamları -1, çarpımları -6 olan p, q sayılarını, sınamayanılma yöntemiyle bulabiliriz. Çarpımları -6 olacağına göre, rasyonel çözümler -6 nın tam bölenleri olmalıdır. Bu bölenleri denersek, ( 3).2 = 6, 3 + 2 = 1 olduğunu görürüz. O halde, x 2 x 6 = (x 3)(x + 2) 2. x 2 + 5x + 4 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: 4 ün bölenlerini deneyerek 1.4 = 4, görebiliriz. O halde, 1 + 4 = 5 olduğunu x 2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4) a 1 Durumu: ( ax 2 + bx + c = a x 2 + b a x + c ) a eşitliğinden yararlanarak, yukarıda yapıldığı gibi, önce x 2 + b a x + c a polinomunu çarpanlara ayırırız. Eğer, bu polinomun çarpanları varsa, (x + p)(x + q) = x 2 + (p + q)x + pq = x 2 + b a x + c a ( ) yazılabilir. Bu eşitliğin her tarafını a ile çarparsak, a(x + p)(x + q) = ax 2 + a(p + q)x + apq = ax 2 + bx + c çıkar. a = 1 durumuna benzeterek, a 1 durumu için de (**) eşitliğinden yararlanarak p, q sayılarını bulabiliriz. Toplamları b a ve çarpımları c a olan p, q sayılarını arayacağız. Örnekler: 1. 6x 2 x 1 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: Verilen polinomu, 6x 2 x 1 = 6 ( x 2 1 6 x 1 ) 6

86 C A LC U LU S biçiminde yazabiliriz. şimdi, sağ yandaki, ( x 2 1 6 x 1 ) 6 polinomunu çarpanlara ayıralım. Bu polinomun baş katsayısı 1 olduğundan, önceki yöntemi uygulayabiliriz. p + q = 1 6, p.q = 1 6 bağıntılarını sağlayan p, q sayılarını, sınama-yanılma yöntemiyle arayacağız. Bunu yaparken, p ile q nun, 1 6 nın bölenleri olması gerektiğini unutmayacağız. Denemelerimiz sonunda, p = 1 2, q = 1 3 olduğunu buluruz. Buradan, ( (x + q)(x + p) = x + 1 )( x 1 ) ( = x 2 1 3 2 6 x 1 ) 6 yazabiliriz. şimdi, bu eşitliğin her iki yanını 6 ile çarparsak, ( 6(x + q)(x + p) = 6 x + 1 )( x 1 ) 3 2 ( = 6 x 2 1 6 x 1 ) 6 = 6x 2 x 1 2. 4x 2 + 12x + 5 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: Yukarıda sölediklerimize göre, aşağıdaki işlemleri yapabiliriz: ( 4x 2 + 12x + 5 = 4 x 2 + 3x + 5 ) 4 eşitliğinin sağ yanındaki parantezin içini çarpanlara ayırmak için, q + p = 3. q.p = 5 4 bağıntılarını sağlayan q, p sayılarını bulmalıyız. Bu sayılar, 5 4 ün bölenleri olduğundan, sınama-yanılma yöntemiyle, q = 5 2, p = 1 2 sayılarının istenen koşulları sağladığı görülebilir. Gerçekten, ( 4(x + q)(x + p) = 4 x + 5 2 )(x + 1 ) 2 dir. = 4x 2 + 12x + 5 Uygulamalar 1. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) x 2 + x + 2 b) x 2 x 2 c) x 2 + 2x + 3 d) x 2 2x 3 e) x 2 + 3x + 4 f) 3x 2 3x 4 g) x 2 + 3x + 4 h) x 2 3x 4 i) x 2 4x 5 j) x 2 + 4x + 5

POLINOML AARIN ÇARPANL ARA AYRILMASI 87 2. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 3a 2 + 8a + 5 b) 3x 2 + x 2 c) 5x 2 + 7x + 2 d) 5x 2 + 3x 2 e) 2x 2 + 3x + 1 f) 2x 2 + 3x 2 g) 2x 2 + 7x + 6 h) 2x 2 + x 1 i) 7x 2 + 9x + 2 j) 7x 2 5x 2 x n + y n veya x n y n Biçimindeki Polinomların Çarpanlara Ayrılması Bu türlerde, önce n üssüne bakarız. Eğer n üssü, 2 ya da 3 ün bir katı ise, iki karenin ya da iki küpün toplamı ya da farkı biçimine dönüştürülebilirler. Bu özelikler yoksa, bu tür polinomların çarpanlara ayrılmasında aşağıdaki özdeşlikler kullanılır. Her n tamsayısı için, x n y n = (x y)(x n 1 + x n 2 y + x n 3 y 2 + + x 2 y n 3 + x y n 2 + y n 1 ) dir. n tek bir tamsayı ise x n + y n = (x + y)(x n 1 x n 2 y + x n 3 y 2 + x 2 y n 3 x y n 2 + y n 1 ) dir. Örnekler 1. x 15 y 15 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: Terimlerin ortak üssü 15 tir ve 3 ün katıdır. Dolayısıyla iki küp farkına dönüştürebiliriz: x 15 y 15 = ( (x 5 ) 3 (y 5 ) 3) = ( (x 5 ) (y 5 ) )( (x 5 ) 2 + x 5 y 5 + (y 5 ) 2) = ( (x 5 ) (y 5 ) )( (x 5 ) 2 + x 5 y 5 + (y 5 ) 2) = ( (x 5 ) (y 5 ) )( x 10 + x 5 y 5 + y 10) 2. 512a 3 b 3 + 729d 3 e 3 x 3 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: Verilen polinomu iki küp toplamı biçimine dönüştürebiliriz: 512a 3 b 3 + 729d 3 e 3 x 3 = ( (8ab) 3 (9dex) 3) = ((8ab) (9dex)) ( (8ab) 2 + 8ab.9dex + (9dex) 2) = (8ab 9dex) ( 64a 2 b 2 + 72abdex + 81d 2 e 2 x 2) 3. x 5 + y 5 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: Ortak üs olan 5 sayısı ne 2 nin ne de 3 ün bir katıdır. Dolayısıyla, iki karenin ya da küpün toplam ya da farkına dönüştürülemez. Ama,

88 C A LC U LU S üs tek olduğu için x n + y n ifadesi için yukarıda yazılan özdeşlik kullanılabilir: x 5 + y 5 = ( x + y )( x 4 x 3 y + x 2 y 2 x y 3 + y 4) 4. 16a 4 x 4 y 4 polinomunu çarpanlara ayırınız. Çözüm: 16xa 4 x 4 y 4 = (4a 2 ) 2 (x 2 y 2 ) 2 = (4a 2 x 2 y 2 )(4a 2 + x 2 y 2 ) = (2a x y)(2a + x y)(4a 2 + x 2 y 2 ) = (2a x y)(2a + x y)(4a 2 + x 2 y 2 ) Uygulamalar Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 1 + a 3 b) a 12 1 c) a 8 256 d) x 3n + 1 e) 27 + x 6 y 6 f) a 7 120 1 g) a 3 x 8 y 3 h) a 13 1 i) x 11 + y 11 j) a 15 b 15 Ekleme-Çıkarma Yolu ile Çarpanlara Ayırma Uygun bir terim eklenir ve çıkarılırsa, bazı polinomlar, bir özdeşliğe dönüştürülebilir. Örnek 16a 4 + y 4 a 2 y 2 polinomunu çarpanlarına ayırınız. Örnekler: 16a 4 + y 4 a 2 y 2 = 16a 4 + 8a 2 y 2 + y 4 }{{} 8a2 y 2 a 2 y 2 }{{} = (16a 4 + 8a 2 y 2 + y 4 ) (9a 2 y 2 ) = (4a 2 + y 2 ) 2 (3ay) 2 1. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz. = (4a 2 3ay + y 2 )(4a 2 + 3ay + y 2 ) = (a y)(4a y)(a + y)(4a + y) (a + b) 2 25 (a + 5) 2 b 2 [ (b 5) 2 a 2]

POLINOML AARIN ÇARPANL ARA AYRILMASI 89 Çözüm: (a + b) 2 25 [ (b 5) 2 (a + 5) 2 b 2 a 2] [(a + b) 5][(a + b) + 5][(b 5) a][(b 5) + a] = [(a + 5) b][(a + 5) + b] = (a + b 5) 2 2. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz. x n 2 (x 2 2x + 1) x n (1 x) Çözüm: x n 2 (x 2 2x + 1) x n (1 x) = xn 2 (x 1) 2 x n (1 x) = (1 x)x n 2 x n = (1 x)x 2 = 1 x x 2 3. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz. Çözüm: 3x 4 + 6x 3 3x 2 6x x 4 + 2x 3 x 2 2x 3x 4 + 6x 3 3x 2 6x x 4 + 2x 3 x 2 2x = x(x 1)(x + 1).3.(x + 2) (x + 1)(x 1).x.(x + 2) = 3 4. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz. (x y) 2 (z x) + (x z) 2 (x y) Çözüm: (x y) 2 (z x) + (x z) 2 (x y) = (x y) [ (x y)(z x) + (x z) 2] = (x y)(x z) [ (x y) + (z x) ] = (x y)(x z)(z y) 5. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz. x 2 1 x x 1 x 2 : x 1 1 x x 1

90 C A LC U LU S Çözüm: x 2 1 x x 1 x 2 = x2 1 x x 1 x 2. : x 1 1 x x 1 1 x 1 x 1 x x 2 = x3 1 x x 3 1 = x x + 1 6. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz. a 2 ( 1 4a. 1 a 1 1 x x x x 2 1 a ) a + 1 + 1 Çözüm: a 2 ( 1 4a. 1 a 1 = a2 1 4a. = 2a 4a a ) a + 1 + 1 ( a + 1 a 2 + a + a 2 ) 1 a 2 1 = 1 2 7. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz. (a b a2 + 2ab + b 2 )( b ) a b a a b Çözüm: (a b a2 + 2ab + b 2 )( b a b a a b = (a b)2 (a + b) 2. b2 a 2 a b ab = 4(a + b) ) 8. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz. ( 2a + b ) 1 [ ( ) b 1 ] (2a) 1 + a a Çözüm: = = = ( 2a + b ) 1 [ ( ) b 1 ] (2a) 1 + a a [ ] a 1 2a 2 + b 2a + a b a 2a 2 + b 2a2 + b 2ab 1 2b

POLINOML AARIN ÇARPANL ARA AYRILMASI 91 9. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz. (1 1 + 1 x 2 1 1 x 2 ) 2 x 2 2x + 1 Çözüm: = = (1 1 + 1 x 2 ) 1 1 x 2 2x + 1 x 2 x 2 +1 x 1 2 2 x 2 2x + 1 x 2 1 x 2 4 (x 2 1)(x 1) 2 2 10. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz. x y y 2 ( x y y 2 ) 2 x 2 x y : ( x 2 x y ) 2 Çözüm: = x y y 2 ( x y y 2 ) 2 x 2 x y : ( x 2 x y ) 2 y(x y) x(x y) x2 (x y) 2 y 2 (x y) 2 = x y Alıştırmalar 1. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) a 4 + 4 b) 4a 4 + 1 c) 9x 4 12x 2 y 2 + 3y 2 d) x 6 2x 3 y 3 e) 8x 9 4x 6 + 2x 2 + 7 f) 9x 4 + 12x 2 y 2 g) 18a 4 26a 2 b 2 + 8b 4 h) 8x 3 4ax 2 + 2a 2 x i) a 8 + x 4 2 j) a 8 + b 8 + a 4 b 4 2. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) 15x 3 y 4 25x 2 y 3 z 2 b) a 2 b 2 c 2 + 2bc c) a 3 3a 2 4a 12 d) x 6 + 7x 3 8 e) (a 2 + 4a) 2 2(a 2 + 4a) 15 f) ax 6by 3ay + 2bx g) x 2 2x y + y 2 a 2 + 2ab b 2 h) 1 x 2n + a ax n i) x 3 + y 3 x 2 + x y y 2 j) 4a 4 29a 2 b 2 + 25b 4

92 C A LC U LU S 3. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) a 4 + 3a 2 + 4 b) (a 2 1) + 4(a + 1) + (a + 1) 2 c) x 2 y 2 + 4x 4y d) 2x 2 y 3 4x 3 y 5 3x 2 y 4 + x 3 y 2 e) (a 1) 2 (a 1) 4 f) (2a 3)(3x 2y) (5a + 1)(3x 2y) 4x + 6y g) x 4 y 4 h) ax + 3x a 3 x 3 + x 2 i) a 3 b 4 a 2 b 5 j) 64 9a 2 + 24ab 16b 2 4. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) a 7 + b 7 b) 3x 3 13x 2 + 13x 3 c) (x 2 + 3x 10) 2 (x 2 + 2x 8) 2 d) 12 4x 3 3y 2 + x 3 y e) 16 + 14x y x 2 49y 2 f) (a + b) 2 4a 2 b 2 g) 2x 3 6ax 2 6a 2 x + 18a 3 h) 3x 5 2ax 4 3a 4 x + 2a 5 i) x 2n y 2n 25 j) x 3 y 3 x 2 + y 2 5. 2x 3 + 3x 2 + ay + b polinomunun iki çarpanı x + 1 ve x 1 ise, üçüncü çarpan nedir? 6. x 3 + y 3 + ax y + 64 polinomunun bir çarpanı x + y + 4 ise, öteki çarpanı nedir? 7. x 3 2x 2 5x + y polinomunun x 1 ile tam bölünebilmesi için y ne olmalıdır? 8. x 2 y 2 ile x 2 + x y 2y 2 polinomlarının ekok nı bulunuz. 9. x 4 ax 2 + 36 polinomu x 2 ile tam bölünüyor. Polinomu çarpanlarına ayırınız. 10. Aşağıdaki polinomların ekok ile ebob nini bulunuz. x 2, 3x 3 y, 4x 4 y 3 11. Aşağıdaki polinomların ekok ile ebob nini bulunuz. p(x, y) = x 3 9x y 2 q(x, y) = 2x 3 + 6x 2 y r (x, y) = 4x 2 + 24x y + 36y 2 s(x, y) = x + 3y

Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme işlemine kapalı olmadığı için, Polinomlar Kümesi ni genişleterek, içinde bölme işlemi yapılabilen Rasyonel Fonksiyonlar kümesini elde ediyoruz. Bu genişleme, Tamsayılar Kümesi nden Rasyonel Sayılar Kümesi ne geçişe benzer. Zaten, şimdiye kadar, rasyonel ifadelerle işlemler yapmayı iyice öğrendik. Bu bölümde, bildiklerimizi bir araya getirerek, Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi nin yapısını ortaya koyacağız. P(x),Q(x) gerçek katsayılı iki polinom olsun. Her a R için, P(a) ve Q(a) birer gerçek sayıdır. Dolayısıyla, Q(a) 0 ise, P(a) Q(a) oranı bir rasyonel sayıdır. Şimdi bunu, değişkenin mümkün bütün değerlerine yayabiliriz. Tanım: P(x),Q(x) gerçek katsayılı iki polinom ise, f : x P(x), Q(x) 0 (1) Q(x) fonksiyonuna bir rasyonel fonksiyon, denir. Fonksiyonun tanım bölgesi, kümesidir. A = {x x R, Q(x) 0} (2) P(x) Q(x) biçimindeki ifadelere, bazan, rasyonel ifadeler de denilir. Böyle bir ifadeyi gördüğümüzde, gereksiz tekrardan sakınmak için, P(x) ile Q(x) in gerçek katsayılı iki polinom olduğunu; x R ve Q(x) 0 koşulunun sağlandığını kabul edeceğiz. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi üzerinde, eşitlik bağıntısı ile toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin tanımlarını, Rasyonel Sayılar Kümesinde yaptıklarımıza benzer olarak yapabiliriz. Rasyonel Fonksiyonların Eşitliği Rasyonel fonksiyonlarının eşitliği aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır: P(x) Q(x) = R(x) S(x) (3) P(x) S(x) = Q(x) R(x) (4) Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi Üzerinde İşlemler P(x), Q(x), S(x) ve R(x) polinomları verilsin. Her x = a sabit değeri için, Rasyonel Sayılar Kümesinde, P(a) Q(a) + S(a) R(a), P(a) Q(a) S(a) R(a), P(a) Q(a) S(a) R(a), P(a) Q(a) : S(a) R(a)

94 C A LC U LU S tanımlıdır. Bu işlemlerin, ortak tanım bölgesindeki her x için geçerli olduğunu düşünürsek, rasyonel fonksiyonlar kümesi üzerindeki toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz. Toplama P(x) Q(x) + R(x) P(x) S(x) +Q(x) R(x) = S(x) Q(x) S(x) Çıkarma Çarpma P(x) Q(x) R(x) P(x) S(x) Q(x) R(x) = S(x) Q(x) S(x) P(x) Q(x) R(x) P(x) R(x) = S(x) Q(x) S(x) Bölme P(x) Q(x) : R(x) S(x) = P(x) Q(x) S(x) R(x) Rasyonel Sayılar Kümesinde olan özeliklerin benzerleri Rasyonel Fonksiyonlar Kümesinde de vardır. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesinde, 1. P(x) Q(x) rasyonel fonksiyonunun, toplama işlemine göre tersi, aşağıdaki denk ifadelerden birisidir. P(x) Q(x) = P(x) Q(x) = P(x) Q(x) 2. Toplama işlemine göre birim öğe O(x) 0 (sıfır) polinomudur. 3. Çarpma işlemine göre birim öğe, u(x) 1 sabit polinomudur. 4. e(x) = x özdeşlik polinomunun çarpma işlemine göre tersi 1 x = x 1 dir. 5. Bir P(x) polinomunun çarpma işlemine göre tersi, [P(x)] 1 = 1 P(x) dir. Bu fonksiyon, P(x) 0 koşulunu sağlayan x değerleri için tanımlıdır. 6. Bir P(x) Q(x) polinomunun çarpma işlemine göre tersi, [ ] P(x) 1 = 1 = Q(x) Q(x) P(x) P(x) Q(x) dir. Bu fonksiyon, P(x) 0 koşulunu sağlayan x değerleri için tanımlıdır. 7. Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliği vardır. Önerme 1. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi + işlemine göre Yer Değişimli bir Gruptur. 2. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi, toplama ve çarpma işlemlerine göre bir cisimdir. Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi Bir rasyonel fonksiyonun pay ve paydası bir polinom ile çarpılırsa, ifadenin tanımlı olduğu yerde, verilen rasyonel ifadeye denk yeni bir rasyonel fonksiyon elde edilir: P(x) Q(x) P(x).T (x) =, Q(x).T (x) 0. Q(x).T (x) (5) (6)

RASYONEL FONKSIYONL AR 95 1. P(x) Q(x) P(x).T (x) ifadesi, ifadesinin sadeleşmişi (kısaltılmışı) dır. Q(x).T (x) 2. P(x).T (x) Q(x).T (x) P(x) ifadesi, ifadesinin genişletilmişi dir. Q(x) 3. 0 ile bölme tanımsız olduğundan, kısaltma ya da genişletme yapılırken, T (x) 0 kabulü ihmal edilemez. Örnekler 1. x + 4 x + 5 ( ) rasyonel fonksiyonu x 5 koşulunu sağlayan her gerçek x sayısı için tanımlıdır. Şimdi bunun pay ve paydasını T (x) = (x 4) ile çarparsak, x 2 16 (x 4)(x + 5) ( ) Ortaya çıkan (**) rasyonel fonksiyonu x = 5 ve x = 4 için tanımsızdır. Tanım bölgeleri farklı olduğundan, verilen (*) ifadesine denk değildir. Tersine olarak, x = 5 ve x = 4 için tanımsız olan (**) ifadesinin pay ve paydası T (x) = (x 4) ile bölünürse (*) bulunur. Gene, tanım bölgesi değiştiği için, verilene denk olmayan bir rasyonel fonksiyon ortaya çıkmış 2. Ancak, şunu söyleyebiliriz: x 4 için (*) ve (**) rasyonel fonksiyonları birbirine eşittir. Bu nedenle, verilen bir rasyonel ifadenin sadeleştirilmesi ya da genişletilmesi işlemlerinin, pay ve payda ile çarpılan (bölünen) T (x) polinomunun sıfır olmadığı yerlerde geçerli olduğu kabul edilecektir. Örnekler Aşağıdaki sadeleştirmeleri inceleyiniz. Herbirinin geçerli olmadığı yerleri belirleyiniz.

96 C A LC U LU S x 2 + 5x + 6 x 2 + 6x + 9 (x + 2)(x + 3) = (x + 3) 2 = x + 2 x + 3 a 2 + 2a 1 b 1 8b 2 a 2 b 1 + 4a 1 b 2 = = ( a 1 + b 1) 2 9b 2 a 1 b ( 1 a 1 + 4b 1) ( (a 1 2b 1 )(a 1 + 4b 1 ) ) = a 1 2b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 ( a 1 + 4b 1) a 1 2b 1 = a 1 + b 1 a 1 b 1 1 2 = + b 1 a 1 = b 2a x 2 + 5x + 6 x 2 4 (x + 2)(x + 3) = (x 2)(x + 2) (x + 2)(x + 3) = (x 2)(x + 2) = x + 3 x 2 Uygulamalar Aşağıdaki rasyonel ifadeleri sadeleştiriniz. a) x2 3x 10 x 3 4x 6ay + 4y + 3a + 2 b) 8ay + 2y + 4a + 1 c) (x 1)(x2 + 3x + 2) (x + 1)(x 2 2x + 1) x 2 1 3(x + 1)(x + 2) d) x2 5x y + 4y 2 x 2 3x y 4y 2 e) (2x2 98)(x 3 + 4x 2 21x) 2(x + 7) 2 (x 3 10x 2 + 21x) f ) (a3 b 3 )(a 3 ab 2 ) a 3 + a 2 b + ab 2 g ) x2 a 2 + x a x 2 + 2x + 1 a 2 2ax x + 6a 3 h) 4ax 2x + 10a 5 Uyarı: Rasyonel fonksiyonlarla işlem yaparken, rasyonel sayılardaki işlem yöntemlerinin benzerlerini kullanınız.

RASYONEL FONKSIYONL AR 97 1. Verilen rasyonel ifadelerin her birisinin pay ve paydalarını çarpanlarına ayırıp, mümkün olan sadeleştirmeleri yapınız. 2. Toplama ve çıkarma işlemleri için, rasyonel ifadelerin paydalarının ekok nı bulunuz. Terimleri genişleterek, ekok ortak paydasına alınız. Sonra toplama ya da çıkarma formülünü uygulayınız. 3. Çarpma ve bölme işlemi için, doğrudan formülleri uygulayınız. 4. İşlemlerden sonra ortaya çıkan sonucu en sade biçime getiriniz. Örnekler 1. Aşağıdaki işlemi inceleyiniz. 2 2 + a + 1 2 a 4 4 a 2 = = 2(2 a) (2 a)(2 + a) + 2 + a (2 a)(2 + a) 4 (4 a 2 ) 4 2a (4 a 2 ) + 2 + a (4 a 2 ) 4 (4 a 2 ) = 4 2a + 2 + a 4 (4 a 2 ) = 1 (2 + a) 2. Aşağıdaki çarpma işlemini inceleyiniz. = = ( x 2 ) ( 2x 8 x 2 ) ( ) + 2x 15 x + 1 x 2 2x 3 x 4 x 2 + 7x + 10 ( ) ( ) ( ) (x 4)(x + 2) (x 3)(x + 5) (x + 1) (x 3)(x + 1) (x 4) (x + 2)(x + 5) ( ) (x 4)(x + 2)((x 3)(x + 5)(x + 1) (x 3)(x + 1)(x 4)(x + 2)(x + 5) = 1 1 = 1 3. Aşağıdaki bölme işlemini inceleyiniz. = = ( 2x 2 ) ( x 28 4x 2 ) + 16x + 7 3x 2 : x 2 3x 2 + 11x + 6 ( ) ( ) (x 4)(2x + 7) (2x + 1)(2x + 7) : (x 1)(3x + 2) (x + 3)(3x + 2) ( (x 4)(2x + 7) (x 1)(3x + 2) (x 4)(x + 3) = ( (x 1)(2x + 1) ) ( ) (x + 3)(3x + 2) (2x + 1)(2x + 7)

98 C A LC U LU S Basit Kesirlere Ayırma Verilen bir rasyonel fonksiyonu, paydası indirgenemez rasyonel ifadelerin toplamı olarak yazmak, işlemlerde çok kolaylık sağlar. Şimdi, bu işin nasıl yapıldığını inceleyeceğiz. Tanım 0.29. a,b,c, A,B,C gerçek sayılar, m,n sayma sayıları ve ax 2 +bx+c indirgenemez bir polinom olmak üzere A (ax + b) m ve B x +C (ax 2 + bx + c) n biçimindeki rasyonel fonksiyonlara basit kesir denir. Örnek 0.30. 17 (5x 2) 3, 2x + 5 3x 2 + x + 3, 5 3 7x 2 + 2 rasyonel fonksiyonları birer basit kesirdir; ama 2 3x 2 10x + 8, 4x 3 3 x 2 9, 8x 1 (x 15)(x + 6) rasyonel fonksiyonları birer basit kesir değildir. Payının derecesi, paydasının derecesinden küçük olan rasyonel fonksiyonların, basit kesirlerin toplamı olarak yazılabileceğini örneklerle göstereceğiz. Örnek 0.31. 1. 5 (x + 1)(x 2) A (x + 1) + B (x 2) A(x 2) + B(x + 1) (x + 1)(x 2) Ax 2A + B x + B (x + 1)(x 2) (A + B)x 2A + B (x + 1)(x 2) bu iki rasyonel ifadenin denk olması için, 5 = (A + B)x 2A + B olmalıdır. Buradan da, A + B = 0 2A + B = 5 } A + B = 0 2A + ( A) = 5 } A = 5 3 B = 5 3 bulunur. Bunlar, yukarıda yerlerine yazılırsa çıkar. 5 (x + 1)(x 2) = 1 3 ( 5 x + 1 + 5 ) x 2

RASYONEL FONKSIYONL AR 99 2. 3x 1 x 2 (x 2 + x + 2) A x + B x 2 + C x + D x 2 + x + 2 Ax(x2 + x + 2) + B(x 2 + x + 2) + x 2 (C x + D) x 2 (x 2 + x + 2) (A +C )x3 + (A + B + D)x 2 + (2A + B)x + 2B x 2 (x 2 + x + 2) Bu denkliğin sağlanabilmesi için, olmalıdır. Buradan, 3x 1 = (A +C )x 3 + (A + B + D)x 2 + (2A + B)x + 2B A +C = 0 A + B + D = 0 2A + B = 3 2B = 1 A = 7/4 B = 1/2 C = 7/4 D = 5/4 bulunur. Buradan, aşağıdaki eşitlik yazılır. 3x 1 x 2 (x 2 + x + 2) = = 7 7 1 4 x + 2 x 2 + 4 x 5 4 x 2 + x + 2 7 4x 1 2x 2 7x + 5 4(x 2 + x + 2 Alıştırmalar 1. Aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız. (a) (b) x + 4 2x 4 2x + 5 x 2 x 2 + 3 4 x x 2 16 + 6 4 x 1 x 4 (c) 3 + 2 3x + 6 x 3 x 2 4 1 (d) (x + y) 2 ( 1 x 2 + 1 y 2 ) + 2 (x + y) 3 ( 1 x + 1 y ) (e) (f) x x y + x2 + y 2 y 2 x 2 + y x + y 2x 1 2x + 3x 2x + 1 3 4x 2 1 2. Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız. (a) (b) (c) (d) x 2 + 11x + 18 x 2 + 4x 5 ( x2 + 8x + 12 x 2 6x 7 ) 1 x2 + 2x 15 x 2 7x 8 3x 2 27 x 2 + x 6 x2 + 3x. 2x 4 6 x 3 12 + x x 2 9 x 2 x + 2 3 + 2x x2 x 2 + x 8 + 2x x 2 x 2 + 4x + 3 35 + 2x x2 x 2 8x + 7 x 2 7x 8 x2 9x + 8 x 2 + 8x + 15

100 C A LC U LU S (e) (f) (g) 2x 2 x 3 4x 2 5x + 1 x 2 1 1 3x 4x2 (x + 1) 2 3 5x + 2x 2 x 2 + 5x y + 4y 2 x y + 4y 2 x 2 + 5x y x 2 + 6x y + 5y 2 30 11x + x 2 9x 6x 2 + x 3 x2 3x 25 x 2 ( x 2 9 x 2 + 2x 15 ) 1 3. Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız. (a) (b) ( (c) ax + 2ay bx 2by x 2 + x y 2y 2 : 1 x + x + 2 ) : ( 1 x 2 10x 2 13x 3 2x 2 x 3 1 + 1 x 3 1 1 x + 1 x 2 ) : 5x2 9x 2 3x 2 + 2x 1 (d) ( x2 + y 2 x y + y) : ( x2 y 2 x + y + y) (e) (1 1 x 12 13 ) : (3 + x2 x + 12 x 2 ) a 2 + ab b 2 x 2 2x y + y 2 4. Aşağıdaki polinomların ebob ve ekok larını bulunuz. (a) x 2 3x y 4y 2,3x y x 2 + 4y 2 (b) 18x 4 + 15x 3 y 12x 2 y 2, 54x 2 45x y + 9y 2 (c) 51x 2 y 3 z 2, 68x 4 y 2 z (d) 3x 4 3x 3 6x 2, 6x 4 24x 3 + 24x 2 (e) 4x 3 4x 2, 4x 5 24x 4 + 20x 3 5. Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan A,B sayılarını bulunuz. a) b) 4 (x 3)(x+1) = A x 3 + B x+1 3x+5 x 2 +x 30 = A x 5 + B x+6 6. Aşağıdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamı biçiminde yazınız. a) b) 2x 4x 2 +4x 21 x+12 x 2 4x 32 c) 4x2 9x+18 x 3 27 d) 11x+1 x 3 +3x x 2 1 e) 2x2 +5x 2 x 3 3x 2 +2x f) x2 11x 12 3x 3 6x 2 3x g) x y y 2 : (x y y 2 ) 2 1 + 1 x 2 x y (x 2 x y) 2 h) 1 x 2 2 1 1 x 2 2x + 1 x 2 Rasyonel Denklemler P olinomlarda ekok ve ebob

RASYONEL FONKSIYONL AR 101 Tanım 0.32. P(x) ve Q(x) en az birinci dereceden iki polinom olmak üzere, P(x) ve Q(x) polinomlarının her ikisiyle de tam bölünebilen en küçük dereceli (en az birinci dereceden)bir polinoma, bu iki polinomun en küçük ortak katı (ekok) denir ve ekok[p(x),q(x)] biçiminde gösterilir. Polinomlarda ekok, sayılardakine benzer biçimde bulunur. Bunun için ilk önce verilen polinomlar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan derecesi en büyük olanlarla ortak olmayanların tümünün çarpımı EKOK u verir. Örnek 0.33. 1. P(x) = 12x 4 y 2 z, Q(x) = 24x 5 y 2 z 3 polinomlarının EKOK nu bulalım. P(x) = 2 2 3x 4 y 2 z Q(x) = 2 3.3x 5 y 2 z 3 olduğundan, EKOK [P(x),Q(x)] = 2 3 3x 5 y 2 z 3 2. P(x) = (x 1)(x 2 + x 2), Q(x) = (x 2 1)(x + 2), T (x) = (x 2 + 4x + 4)(x 1) polinomlarının ekok nu bulalım. Verilen polinomları, P(x) = (x 1)(x 2 + x 2) = (x 1)(x 1)(x + 2) = (x 1) 2 (x + 2) Q(x) = (x 2 1)(x + 2) = (x 1)(x + 1)(x + 2) T (x) = (x 2 + 4x + 4)(x 1) = (x + 2) 2 (x 1) biçiminde asal çarpanlarına ayıralım. EKOK [P(x),Q(x),T (x)] = (x 1) 2 (x + 1)(x + 2) 2 Alıştırmalar Aşağıdaki polinomların EKOK nu bulunuz. 1. 6x 2 y 3,4x 3 y 2. x 2 1, x 3 1 3. 4x 2 y,6x y 2,8x y 4. 3 + x, x 2 9,3 x 5. x + 1,(x 1) 2, x 2 1 6. 16x y 2 x 5 y 2, y x 3 8y 7. x 2 3x y 4y 2,3x y x 2 + 4y 2 Tanım: P(x) ve Q(x) en az birinci dereceden iki polinom olmak üzere, P(x) ve Q(x) polinomlarının her ikisini de tam bölebilen en büyük dereceli bir polinoma (en az birinci dereceden) bu iki polinomun en

102 C A LC U LU S büyük ortak böleni (EBOB) denir ve EBOB[P(x),Q(x)] biçiminde gösterilir. Polinomlarda EBOB bulunurken ilkönce verilen polinomlar asal çarpanlarına ayrılır; ortak asal çarpanlardan derecesi en küçük olanların çarpımı EBOB u verir. Örnek 0.34. 1. P(x) = 6x 4 y 2 z, Q(x) = 18x 3 y 3, T (x) = 24x 4 y 3 z 2 polinomlarının EBOB nu bulalım. Verilen polinomları, P(x) = 6x 4 y 2 z = 2.3x 4 y 2 z Q(x) = 18x 3 y 3 = 2.3 2 x 3 y 3 T (x) = 24x 4 y 3 z 2 = 2 3.3x 4 y 3 z 2 biçiminde asal çarpanlarına ayıralım. EBOB[P(x),Q(x),T (x)] = 2.3x 3 y 2 2. P(x, y) = 4x 3 y 20x 2 y 2 + 24x y 3, Q(x, y) = 2x 4 2x 3 y 12x 2 y 2 polinomlarının EBOB nu bulalım. P(x, y) = 4x 3 y 20x 2 y 2 + 24x y 3 = 4x y(x 2 5x y + 6y 2 ) = 2 2 x y(x 2y)(x 3y) Q(x, y) = 2x 4 2x 3 y 12x 2 y 2 = 2x 2 (x 2 x y 6y 2 ) = 2x 2 (x + 2y)(x 3y) EBOB[P(x, y),q(x, y)] = 2x(x 3y) Alıştırmalar 1. Aşağıdaki polinomların ebob ni bulunuz. a) 6x 4 y 2, 16x 3 y 4 b) 51x 2 y 3 z 2, 68x 4 y 2 z c) 22x 2,14x 4, 2x 2 2x 4 d) 4x 3 4x 2, 4x 5 24x 4 + 20x 3 e) 10x 2 + 30x, 5x 2 35x 60 f) 3 + 2x,4x 2 9, 3 2x 2. Aşağıdaki polinomların ekok ve ebob u bulunuz. a) 42x 2 y 2 z 4, 65x 4 y 2 z 2 b) x 5 + x 4, x 8 x 6 c) 3x + x 2, 6 + 2x d) 3x 4 3x 3 6x 2, 6x 4 24x 3 + 24x 2 e) 18x 4 + 15x 3 y 12x 2 y 2, 54x 2 45x y + 9y 2

RASYONEL FONKSIYONL AR 103 f) x 2 y 2 y 4,2x 2 2y 2, x 4 y 4 g) (2x 3y) 2,4x 2 9y 2,4x 2 6x y h) 6x 2 6x,4x 2 24x + 20,2x 3 4x 2 + 2x rasyonel İfadeler Polinomlar kümesinin bölme işlemine kapalı olmadığını söylemiştik. Dolayısıyla, bu kümeyi genişleterek içinde bölme işlemi yapılabilen bir matematiksel yapı kurmak gerekir. Bu işin sağlam matematiksel yöntemlerle yapılması mümkündür. Ancak, bu işler bu kitabın kapsamı dışındadır. Bu nedenle, burada konuyu sezgisel olarak ele alacak ve iki polinomun birbirine oranı (bölümü) biçimin de olan nesneleri tanımlayacağız. Daha sonra, bu nesnelerden oluşan küme üzerinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini tanımlayacağız. Tanım 0.35. P(x),Q(x) gerçek katsayılı iki polinom ve Q(x) 0 olmak üzere, P(x) Q(x) biçimindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir. Rasyonel ifadeler kümesi, rasyonel sayılar kümesine benzer biçimde. (+) ve ( ) işlemlerine göre bir cisim oluşturur. Bu cisme rasyonel ifadeler cismi denir. Rasyonel ifadelerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri rasyonel sayılardakine benzer biçimde yapılır. x R alınırsa Q(x) i sıfır yapan gerçek sayıların dışında P(x) Q(x) de bir gerçek sayı Bu nedenle, x R için F (x) = P(x) Q(x) ile tanımlı F bağıntısı, R nin bir alt kümesinden R ye bir fonksiyon tanımlar. Rasyonel ifadeler cisminde 1 x = x 1, 1 x 2 = x 2, 1 x 3 = x 3, olacağı için x in negatif kuvvetleri de vardır. x in tamsayı kuvvetlerinin çarpımı ve toplamı, reel sayıların tamsayı kuvvetlerinde olduğu gibi yapılır. Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi P(x) Q(x) gibi rasyonel bir ifadenin pay ve paydası T (x) 0 polinomu ile çarpılırsa, verilen rasyonel ifadeye denk yeni bir rasyonel ifade elde edilir. Yani, dir. Burada, P(x) Q(x) = P(x).T (x) Q(x).T (x) P(x) P(x).T(x) Q(x) rasyonel ifadesine Q(x).T(x) rasyonel ifadesinin sadeleşmiş (kısaltılmış) biçimi, P(x).T(x) Q(x).T(x) genişletilmişi denir. rasyonel ifadesinede P(x) Q(x) rasyonel ifadesinin P(x) Q(x) biçimindeki rasyonel ifadeleri sadeleştirirken x elemanını belirsiz (tanımsız) kabul ediyoruz. Eğer x R alırsak bazı x gerçek değerleri için bu sadeleştirme yapılamaz. Örneğin, x2 9 (x 3)(x+3) x 3 rasyonel ifadesi x 3 biçiminde yazılabilir. Burada x = 3 için x 3 = 0 olduğundan x 3 ile sadeleştirme yapılamaz.

104 C A LC U LU S x 3 için x2 9 x 3 = (x 3)(x + 3) x 3 = x + 3 Örnek 0.36. 1. x5 x 4 6x 3 rasyonel ifadesini sadeleştirelim. x 3 2x 2 3x x 5 x 4 6x 3 x 3 2x 2 3x = x3 (x 2 x 6) x(x 2 2x 3) = x.x2 (x + 2)(x 3) = x2 (x + 2) x(x + 1)(x 3) x + 1 bulunur. 2. 10x3 4x 2 +15x 6 5x 2 rasyonel ifadesini sadeleştirelim. 10x 3 4x 2 + 15x 6 5x 2 = (10x3 4x 2 ) + (15x 6) 5x 2 = 2x2 (5x 2) + 3(5x 2) 5x 2 = (5x 2)(2x2 + 3) 5x 2 = 2x 2 + 3 3. 4x2 +17x y 15y 2 rasyonel ifadesini sadeleştirelim. 16x 2 9y 2 4x 2 + 17x y 15y 2 16x 2 9y 2 = = (4x 3y)(x + 5y) (4x 3y)(4x + 3y) x + 5y 4x + 3y 4. x2 mx+2 x 2 4x+3 rasyonel ifadesi sadeleştirilebildiğine göre m Z nedir? Verilen polinom, x 2 mx + 2 x 2 4x + 3 = x2 mx + 2 (x 1)(x 3) biçiminde yazılabilir. Bu rasyonel ifadenin sadeleştirilebilmesi için P(x) = x 2 mx + 2 polinomunun (x 1) veya (x 3) ile tam bölünmesi gerekir. Yani P(x) polinomunun x 1 veya x 3 ile bölünmesinden elde edilecek kalan sıfır olmalıdır. Buna göre, veya P(1) = 0 1 m + 2 = 0 m = 3 P(3) = 0 9 3m + 2 = 0 m = 11 3 Z dir.

RASYONEL FONKSIYONL AR 105 Alıştırmalar Aşağıdaki rasyonel ifadeleri sadeleştiriniz. 1) x2 6x + 9 x 3 9x 3) 1 + x3 + 3x 2 + 3x x 2 y + 2x y + y 27x 3 1 5) 3x 2 + 5x 2 2) ax2 + 2ax + a a + bx + b + ax 4) x2 5x y + 4y 2 x 2 3x y 4y 2 6) (x3 y 3 )(x 3 x y 2 ) x 3 + x 2 y + x y 2 7) x2 + y 2 1 + 2x y 1 x 2 2y + y 2 8) (2x2 98)(x 3 + 4x 2 21x) 2(x + 7) 2 (x 3 10x 2 + 21x) 9) (250 2x3 )(x 2 + 25) x 4 625 11) x4 2x 3 5x + 5 x 2 + x + 2 x 6 64 10) (x 2 4)(x 2 2x + 4) 12) 32x5 + 1 2x + 1 x m y m x 4 5x 2 + 4 13) x 2m y 2m 14) x 3 2x 2 5x + 6 Rasyonel İfadelerin Toplamı Tanım: P(x) R(x) Q(x) ve S(x) rasyonel ifadelerinin toplamı, P(x) Q(x) + R(x) P(x).S(x) +Q(x).R(x) = S(x) Q(x).S(x) biçiminde tanımlanır. Paydaları farklı rasyonel ifadelerin toplamında yapılması gerekli işlemleri aşağıdaki biçimde sıralayabiliriz. 1. Rasyonel ifadelerin pay ve paydalarındaki polinomlar çarpanlarına ayrılır. Varsa gerekli sadeleştirme yapılır. 2. Rasyonel ifadelerin paydalarındaki polinomların EKOK u bulunur. 3. Her rasyonel ifade, paydası EKOK olacak biçimde genişletilir. Böylece, verilen rasyonel ifadelerin paydaları eşitlenmiş 4. Payların toplamı paya, ortak paydada paydaya yazılır. 5. Bulunan sonuç en sade biçime getirilir. Örnek 0.37. 1. 1 x 2 x 6 + 1 x 2 + 1 toplamını bulalım. x 2 5x+6

106 C A LC U LU S 1 x 2 x 6 + 1 x 2 + 1 x 2 5x + 6 = = = 1 (x 3)(x+2) (x 2) + 1 x 2 (x 3)(x + 2) + 1 (x 2)(x 3) (x + 2) (x 2) (x 2)(x 3)(x + 2) + (x 3)(x + 2) (x 2)(x 3)(x + 2) (x + 2) + (x 2)(x 3)(x + 2) (x 2) + (x 3)(x + 2) + (x + 2) (x 2)(x 3)(x + 2) = x 2 + x2 + 2x 3x 6 + x + 2 (x 2)(x 3)(x + 2) = = = x 2 + x 6 (x 2)(x 3)(x + 2) (x 2)(x + 3) (x 2)(x 3)(x + 2) x + 3 (x 3)(x + 2) 4x 2. 2 + x+y x 2 y 2 x y x y x+y toplamını bulalım: 4x 2 x 2 y 2 + x + y x y x y x + y = = 4x 2 (x y)(x + y) + x + y x y (x y) (x+y) (x + y) (x y) 4x 2 (x y)(x + y) + (x + y) 2 (x y)(x + y) (x y) 2 (x y)(x + y) = 4x2 + (x + y) 2 (x y) 2 (x y)(x + y) = 4x2 + x 2 + 2x y + y 2 x 2 + 2x y y 2 (x y)(x + y) = = 4x 2 + 4x y (x y)(x + y) 4x(x + y) (x y)(x + y) 4x x y Alıştırmalar Aşağıdaki işlemleri yapınız.

RASYONEL FONKSIYONL AR 107 1) 3) 1 x + y 2x x 2 y 2 2) 3 x 2 x 2 x 2 + x 2 2 x + 2 + 1 2 x 4 5x 4 x 2 4) x 2 + 4x + 3 3x 6 x 2 + 6x + 9 1 5) x + 5 x + 2 x 5 5 25 x 2 1 6) x 2 + 2x y + y 2 + 1 x 2 2x y + y 2 + 2x x 3 x y 2 Rasyonel İfadelerin Çarpımı Tanım: P(x) R(x) Q(x) ve S(x) rasyonel ifadelerinin çarpımı, biçiminde tanımlanır. P(x) Q(x). R(x) S(x) = P(x).R(x) Q(x).S(x) Rasyonel ifadelerin çarpımında, her rasyonel ifadenin pay ve paydası çarpanlarına ayrılarak sadeleştirmeler yapıldıktan sonra paylar çarpılarak paya, paydalar çarpılarak paydaya yazılır. Örnek 0.38. 1. x2 +5x+6 y y 2 x+2 çarpımını bulalım. x 2 + 5x + 6 y 2 y x + 2 (x + 2)(x + 3) y = y y (x + 2) = x + 3 y bulunur. 2. (4x + 1 x+1 ).(2x + 1 1 2x+1 ) işlemini yapalım. (4x + 1 x + 1 ) (2x + 1 1 4x(x + 1) + 1 ) = (2x + 1)2 1 2x + 1 x + 1 2x + 1 = 4x2 + 4x + 1 4x2 + 4x + 1 1 x + 1 2x + 1 = = (2x + 1)2 x + 1 (2x + 1)2 x + 1 4x2 + 4x 2x + 1 4x(x + 1) 2x + 1 = 4x(2x + 1) Rasyonel İfadelerde Bölme Tanım: P(x) R(x) R(x) P(x) Q(x) ile S(x) iki rasyonel ifade ve S(x) 0 olmak üzere, Q(x) rasyonel ifadesinin R(x) S(x) rasyonel ifadesine bölümü P(x) Q(x) : R(x) biçiminde tanımlanır. S(x) = P(x) Q(x) Rasyonel ifadelerin bölümünde,.[ R(x) S(x) ] 1 = P(x).S(x) Q(x).R(x)

108 C A LC U LU S 1. Verilen rasyonel ifadelerin pay ve paydaları çarpanlarına ayrılır. 2. Birinci rasyonel ifade, ikinci rasyonel ifadenin çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. 3. Gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra, paylar çarpılarak paya, paydalar çarpılarak paydaya yazılır. Örnek 0.39. 1. x 2 9 : 3x+9 x 2 6x+9 7x 21 işlemini yapalım: x 2 9 x 2 6x + 9 : 3x + 9 7x 21 = = (x 3)(x + 3) (x 3)(x 3) (x 3)(x + 3) (x 3)(x 3) : 3(x + 3) 7(x 3) 7(x 3) 3(x + 3) = 7 3 çıkar. x 2. x+3 : 3x 2 3x+9 x2 +4x+3 işlemini yapalım. x 2 9 x x + 3 : 3x 2 3x + 9 x2 + 4x + 3 x 2 9 = = = x x + 3 3x + 9 3x 2 x2 + 4x + 3 x 2 9 x 3(x + 3) (x + 1)(x + 3) x + 3 3xx (x 3)(x + 3) x + 1 x(x 3) Alıştırmalar 1. Aşağıdaki işlemleri yapınız. Sonucu en sade biçimde yazınız. (x + 3)2 a) x 3 : 3x + 9 x 2 + 3x x 2 b) x 2 + 2x 3 : x 3 2x 2 c) x2 7x + 10 (x 5)2 x 2 : + 3x 10 3x + 15 e) 4x 2 4 x 2 3x + 2 : x2 + 3x + 2 x 2 2x 3 d) x2 x 20 x 2 7x + 10 : x2 + 7x + 12 x 2 + 9x + 8 f) 6x 2 x 2 12x 2 + 5x 2 : 4x 2 1 8x 2 6x + 1 g) 10x2 13x 3 2x 2 : 5x2 9x 2 x 3 3x 2 h) (1 1 + 2x 1 x 12 13 ) : (3 + x2 x + 12 x 2 ) 2.Aşağıdaki işlemleri yapıp, sonucu en sade biçimde yazınız. 3 a) x + 2. x2 4 b) 3x2 + 9x x 9 9x 3 (x + 3) 2 c) 3 x 2 2x. x2 + x 6 3x + 6 d) 4x2 25 (2x + 5) 2 3x 2 6x 2 15x 3.Aşağıdaki işlemleri yapıp, sonucu en sade biçimde yazınız. a) 2x2 x 28 3x 2 x 2 3x2 + 11x + 6 4x 2 + 16x + 7

RASYONEL FONKSIYONL AR 109 b) 3x2 27 x 2 + x 6 x2 + 3x. 2x 4 6 x 3 12 + x x2 c) 9 x 2 x + 2 3 + 2x x2 x 2 + x 8 + 2x x 2 d) x2 + 4x + 3 35 + 2x x2 x 2 8x + 7 x 2 7x 8 x2 9x + 8 x 2 + 8x + 15 4. Aşağıdaki işlemleri yapınız. a) x + 4 2x 4 2x + 5 x 2 x 2 + 3 4 x b) x 2 16 + 6 4 x 1 x 4 c) 3 + 2 3x + 6 x 3 x 2 4 x y d) x 2 y 2 + 3x2 x 3 + y 3 + x x 2 x y + y 2 x e) x y + x2 + y 2 y 2 x 2 + y x + y 2x f) 1 2x + 3x 2x + 1 3 4x 2 1 g) 2x2 x 3 4x 2 5x + 1 x 2 1 1 3x 4x2 (x + 1) 2 3 5x + 2x 2 h) x2 + 5x y + 4y 2 x 2 + 5x y x y + 4y 2 x 2 + 6x y + 5y 2 ax + 2ay bx 2by a 2 + ab b 2 i) x 2 + x y 2y 2 : x 2 2x y + y 2 2x 2 18 j) x 2 + 6x 7 : 8x2 + 4x 24 x 2 1 k) x2 + 9x x 2 3x. 2x 2 + 2x x 2 + 6x 7 : x + 2 x 3 4x 2 l) 2x y : 12x 2 4x 2 y 2 2x 2 6x 2 3x y 30 11x + x2 m) 9x 6x 2 + x 3 x2 3x 25 x 2 ( x 2 9 x 2 + 2x 15 ) 1 n) x2 + 11x + 18 x 2 + 4x 5 ( x2 + 8x + 12 x 2 6x 7 ) 1 x2 + 2x 15 x 2 7x 8 o) (2 7x + 2 x 2 1 )(x 3 5 x + 1 ) 1 p) (4 + 3 x 2 1 ) 1 (1 + x x 1 ) r) ( x2 + y 2 x y + y) : ( x2 y 2 x + y + y) s) (1 x + x 2 x3 x + 1 ) : (1 + 1 x 2 1 ) 1 t) (x + y) 2 ( 1 x 2 + 1 y 2 ) + 2 (x + y) 3 ( 1 x + 1 y ) 1 x u) ( + x + 2 1 + 1 x ) : ( 3 1 1 1 x 2 x + 1 ) x 2 Polinom Denklemler Tanım 0.40. Sıfır polinomundan farklı bir P(x) polinomunu sıfır yapan (varsa) her x gerçek sayısına, P(x) polinomunun kökü, P(x) = 0 koşuluna da bir polinom denklem denir. P(x) polinomunun köklerine aynı zamanda P(x) = 0 denkleminin kökleri denir. Bir polinom denklemin bütün köklerini (varsa) bulmak için yapılan işleme denklemi çözme, bütün köklerden oluşan kümeye de denklemin çözüm (doğruluk) kümesi denir. Çözüm kümeleri eşit olan denklemlere

110 C A LC U LU S de denk denklemler adı verilir. Birinci Dereceden PolinomDenklemlerin Çözümü a,b R ve a 0 olmak üzere, ax + b = 0 biçimindeki polinom denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. ax + b = 0 (a 0) denkleminin çözüm kümesini bulalım: ax + b = 0 ax + b + ( b) = 0 + ( b) ax + 0 = b ax = b 1 a.ax = 1 a ( b) x = b a Ç = { b a } Örnek 0.41. 1. 6x 3(x + 1) = x + 1 denkleminin çözüm kümesini bulalım: 6x 3(x + 1) = x + 1 6x 3x 3 = x + 1 3x 3 = x + 1 3x x = 1 + 3 2x = 4 x = 2 Ç = {2} 2. 4x 15 2x 1 10 = 1 2 denkleminin çözüm kümesini bulalım: 4x 15 2x 1 = 1 10 2 30( 4x 15 2x 1 10 ) = 30 ( 1 2 ) 30( 4x 2x 1 ) 30( 15 10 ) = 15 8x 6x + 3 = 15 2x = 15 3 2x = 12 Ç = {6} 3. 3ax + 5b = 3bx + 5a denkleminin çözüm kümesini bulalım: 3ax + 5b = 3bx + 5a 3ax 3bx = 5a 5b 3(a b)x = 5(a b) x = 5 3 (a b 0) Ç = { 5 3 }

RASYONEL FONKSIYONL AR 111 4. 2x 3 4x 2 8x + 16 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım: 2x 3 4x 2 8x + 16 = 0 (2x 3 4x 2 ) (8x 16) = 0 2x 2 (x 2) 8(x 2) = 0 (x 2)(2x 2 8) = 0 2(x 2)(x 2 4) = 0 2(x 2)(x 2)(x + 2) = 0 2(x 2) 2 (x + 2) = 0 x 2 = 0 x + 2 = 0 Ç = { 2, 2} x = 2 x = 2 5. x 2 a+b 2 x + ab 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım: x 2 a + b 2 x + ab 4 = 0 4x2 2(a + b)x + ab = 0 (2x a)(2x b) = 0 2x a = 0 2x b = 0 x = a 2 x = b 2 Ç = { a 2, b 2 } Alıştırmalar Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. 1) 7x + 3 = 17 2) 2 + 5x = 93 3) 7x 11 + 2x + 8 = 96 4) 13 5x 1 2x = 44 5) 8 (7 x) = 33 6) 4x (3 + 2x) = 17 7) 5(x + 3) 4(x + 2) 2 = 1 8) 60 2[(37 + 2x) 3] = 20 9) 6[x 2(2x + 1) 3] + 3(5 + 4x) + 7x = 0 10) x 2 + 15(x 2) = 3[2(x 5) + 3x] + x 2 11) 2x(x + 5) = 4(x + 5) 12) (2x 3)(x 5) 2 = 9(x 5) 13) 4(x 1) 2 = 8(x 1) 14) x 3 x 2 x + 1 = 0 15) 4x 3 + 4x 2 x 1 = 0 16) 9x 3 18x 2 x + 2 = 0 17) x 3 + 6 = 150 x 27 18) 3 250 x 3 32 = 3 4x 3 3 2 19) 3 x + 3 3 x = 7 3 27x 20) x 1 2 + x 1 6 = 5 3

112 C A LC U LU S 21) 2x+1 7 + 3x+2 5 = 1 5 22) 4x+3 6 4x 1 9 = 1 2 23) 3x 5 2 + 5x 29 5 + 4x 15 = 0 24) 2x 15 12 3x+2 9 + 6x+53 36 = 0 25) 4( x 1) 2 x 19 = 1 26) 2 x ( x 3) = 9 27) 2x = 4x + 5 28) ax bx a 2 + b 2 = 2a 2b 29) ax a + 3x 3 = a 3 + 3a 2 30) 6ax 4x = 3a 2 5a + 2 31) (2x + 14)(2 4a) = (2x + 18)(3 4a) 32) 15 [6x(2 + a) (5x 3)(2 a)] = (x 2)(3 4a) 7ax 33) 6[5 (6x 2)(5 + 3a)] = 3[15ax 5(8x 2a)] 153ax 54x 34) abx m + abx n = m+n mn 35) mx cd + 1 a + m ad + x c = 0 36) 2x+4a a 37) x 2ab 2ab 38) x 2a a 1 + + 4(a+b) ab + x 2b = 4b+2x b = 2 a x 2b = 1 2a a a 2 a 39) x a a b + x b a+b + 2ab a 2 b 2 = 0 40) x+15 a+1 x 6 a 1 7a 9 a 2 1 = 0 Rasyonel Denklemler + 4x a Tanım: P(x),Q(x) iki polinom, Q(x) 0 ve x R olmak üzere, P(x) Q(x) biçimindeki her ifadeye rasyonel fonksiyon denir. P(x) Q(x) = 0 koşuluna bir rasyonel denklem, bu koşulu sağlayan x gerçek sayılarına (varsa) rasyonel denklemin kökleri denir. Rasyonel denklemler çözülürken payın kökleri bulunur. Bunlar arasından paydayı sıfır yapanlar rasyonel denklemin çözüm kümesine dahil edilmezler. Yani, Örnek 0.42. 1. P(x) = 0 P(x) = 0 Q(x) 0 Q(x) 3 x+2 2 3 = x x+2 denkleminin çözüm kümesini bulalım. 3 x + 2 2 3 = x x + 2 3 x + 2 2 3 x x + 2 = 0 9 2(x + 2) 3x = 0 3(x + 2) 5 5x 3(x + 2) = 0 5 5x = 0 3(x + 2) 0 Ç = {1} x = 1 x 2

RASYONEL FONKSIYONL AR 113 2. x x+1 x+1 x 4 = 5 denklemini çözelim. x 2 3x 4 3. x x + 1 x + 1 x 4 = 5 x 2 3x 4 x x + 1 x + 1 x 4 5 x 2 3x 4 = 0 x x + 1 x + 1 x 4 5 (x + 1)(x 4) = 0 x(x 4) (x + 1)2 5 = 0 (x + 1)(x 4) 6x 6 (x + 1)(x 4) = 0 6x 6 = 0 (x + 1)(x 4) 0 x = 1 [x 1 x 4] Ç = { } 2a x+1 + b = 2b x+1 + a denkleminin çözüm kümesini bulalım: 2a x + 1 + b = 2b x + 1 + a 2a x + 1 2b x + 1 = a b 2(a b) x + 1 = a b 2 = 1 x + 1 (a b) x + 1 = 2 x = 1 Ç = {1} Alıştırmalar Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. 1) 3 x + 6 x 1 = x + 13 x 2 x 4x + 13 2) 3x + 1 = 3 4 3) x + 3 x 2 1 + x 3 x 2 x = 2x x 2 + x 4) 1 x + 3 x + 1 = 2 3x 2 + 3x 2 5) 2 x 2 x = x2 + 4 x 2 4 6) x + 3 3 x + 3x + 1 x 2 9 = 1 5x x + 3 2x 15 32x2 7) = 2x 3 4x 2 9 + 3x 2x + 3 5 8) x + 5 2 x 3 = 4 15 2x x 2 9) 3x + 2 2x 1 3x 1 5(x + 3) = 2x + 1 4x 2 1 x 10) x 3 + x 2 x 2 7x + 12 = 2x + 1 x 4 x 11) x + 1 x2 2x + 2 x 2 2x 3 = x 3 x

114 C A LC U LU S x 2 12) x 2 x 6 = 1 x 2 4 + 3 2x + 4 13) 1 + 12 x 2 4 = 3 x 2 x 4 14) 2x 2 + 5x 3 = 4x 1 4x 2 + 13x + 3 2x + 7 8x 2 2x 1 2x 15) 2x 2 + 5x + 2 = 3x 3x 2 + 7x + 2 3x + 2 6x 2 + 5x + 1 1 16) x 2 + 7x + 8 x 2 2x + 4 = 12 x 3 8 17) 3x2 13 x 3 18) a b x 19) 2x2 = 3x2 + 3 x + 1 + 8x2 12x + 4 x 2 2x 3 = a2 b 2 ax + b (a + b)2 x(x + b) + = a + x a + x x + a + x (2x + 2a)(a x) 2x 4a 20) = (a + 3x)(2x a) 2x a 21) a x + x a x = a a x 1 x a 22) a + 2b x = x b b + 2a x 23) 1 + bx a x 3 + bx 2b(x + 1)2 = a + x a 2 x 2 2a 2 4x 8x 4a 2a + 6x 24) 2a 2b 2a + 2b = 4a2 b 2ab 2 a 2 b 2 (2x + 6a)(x + 9b) 2b + 6x 8x 4a 25) = (3b + x)(x a) x a 6b + 2x c + x 26) x(a b) x b x(a + b) = 1 x + 2ax a 2 b 2 27) x 3c2 + 2b2 2b x = c(15c2 + 13b 2 ) 2bx 2 a 2 x 1 a + 1 x 28) = 2 3 a 29) x a + b b x = a b x + a b a 30) x a + 2x x 2a = 4a 2 x 2 3ax + 2a 2 c x + b2 (11c + x) + x 2b Rasyonel İfadelerin Basit Kesirlerin Toplamı Olarak Yazılması Tanım 0.43. a,b,c, A,B,C R,m,n N + ve ax 2 + bx + c asal bir polinom ise, A (ax + b) m ve B x +C (ax 2 + bx + c) n biçimindeki rasyonel fonksiyonlara basit kesir denir. Buna göre, 3 4 (3x + 2) 5, 4x + 5 2 x 2 + x + 2, x 2 + 1 rasyonel fonksiyonları birer basit kesirdir. 3 x 2 2x 3, 5x 2 3 x 4 4, 5x 4 (x a)(x b) rasyonel fonksiyonları birer basit kesir değildir. Theorem 0.44. a) P(x) Q(x) indirgenemez rasyonel bir fonksiyon, b) der [P(x)] < der [Q(x)], c) Q(x) polinomu aralarında asal M(x), N (x) polinomlarının çarpımı,

RASYONEL FONKSIYONL AR 115 ise, P(x) A(x) Q(x) rasyonel fonksiyonu M(x), B(x) N (x) indirgenemez rasyonel kesirlerinin toplamı olarak yazılabilir. Bu bölümde yukarıdaki teoremin bazı uygulamalarını göreceğiz. Örnek 0.45. 1. 12 (x 2)(x+2) rasyonel ifadesini basit kesirlere ayıralım. 12 (x 2)(x + 2) = = = = A (x 2) + B (x + 2) A(x + 2) + B(x 2) (x 2)(x + 2) Ax + 2A + B x 2B (x 2)(x + 2) (A + B)x + 2A 2B (x 2)(x + 2) bu iki rasyonel ifadenin denk olması için, 12 = (A + B)x + 2A 2B olmalıdır. Buradan da, A + B = 0 2A 2B = 12 bulunur. Buna göre, } A + B = 0 A B = 6 } A = 3 B = 3 dir. 2. 12 (x 2)(x + 2) = 3 x 2 3 x + 2 5x 3 rasyonel ifadesini basit kesirlerin toplamı olarak yazalım. 3x 2 10x+8 3x 2 10x + 8 = (3x 4)(x 2) 5x 3 A = (3x 4)(x 2) 3x 4 + B x 2 = A(x 2) + B(3x 4) (3x 4)(x 2) 5x 3 = A(x 2) + B(3x 4) İki polinom özdeş ise, x R için doğrulanır. x = 2 için; x = 4 3 için; 5.2 3 = A(2 2) + B(3.2 4) B = 7 2 bulunur. Buna göre, 5. 4 3 3 = A( 4 3 2) + B(3. 4 3 4) A = 11 2 5x 3 3x 2 10x + 8 = 7 2 3x 4 11 2 x 2

116 C A LC U LU S Not: Yukarıda x ler belirlenirken verilen rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerler tercih edilecektir. 2x+7 3. rasyonel ifadesini basit kesirlerin toplamı olarak yazalım. 8x 2 2x 1 dir. 8x 2 2x 1 = (4x + 1)(2x 1) biçiminde yazılabilir. A yı bulmak için, 2x + 7 (4x + 1)(2x 1) = A 4x + 1 + a) A nın paydasının kökü bulunur: B (2x 1) (1) 4x + 1 = 0 x = 1 4 b) (1) eşitliğinin birinci yanından A nın paydası atılırsa, 2x+7 2x 1 ifadesi elde edilir. Bu rasyonel ifadenin x = 1 4 için aldığı değer A yı verir: Aynı biçimde B yi bulalım. x = 1 4 A = 2( 1 4 ) + 7 2( 1 4 ) 1 = 13 3 2x 1 = 0 x = 1 2 Buna göre, dir. x = 1 2 B = 2.( 1 2 ) + 7 4( 1 2 ) + 1 = 8 3 13 3 8 3 2x + 7 (4x + 1)(2x 1) = 4x + 1 + 2x 1 Not. Paydanın gerçek kökleri yoksa yukarıdaki kural geçerli değildir. 5x+2 4. rasyonel ifadesini basit kesirlere ayıralım. x 3 +2x x 3 + 2x = x(x 2 + 2) 5x + 2 x(x 2 + 2) = A x + B x +C x 2 + 2 = Ax2 + 2A + B x 2 +C x x(x 2 + 2) = (A + B)x2 +C x + 2A x(x 2 + 2) veya 5x + 2 = (A + B)x 2 +C x + 2A Buradan da,

RASYONEL FONKSIYONL AR 117 A + B = 0 C = 5 2A = 2 A = 1 B = 1 C = 5 bulunur. Buna göre, 5x + 2 x(x 2 + 2) = 1 x + x + 5 x 2 + 2 Alıştırmalar 1. Aşağıdaki eşitliklerde A,B nin alacağı değerleri bulunuz. 4 a) (x+1)(x+4) = A x+1 + B x+4 b) 2x+11 x 2 +x 6 = A x 2 + B x+3 2. Aşağıdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamı biçiminde yazınız. a) 3x 4x 2 16x+15 b) 4x 1 x 2 +13x+3 c) 2x2 x+3 x 3 8 e) 2x2 +3x 2 x 3 x 2 2x d) f) 1 3x x 3 +x x 2 1 2x 2 7x+3 x 3 2x 2 x+2

Logaritma Daha önce üslü ve köklü ifadeleri ve bunlarla yapılan işlemleri öğrendiniz. veya Örneğin, 2 4 = 2.2.2.2 2 4 = 16 4 16 = 4 2 4 = 2 4/4 = 2 buluruz. Bu örneklerdeki 2 ye taban, 4 e üs (kuvvet), 2 4 e üslü ifade ve 16 ya üslü ifadenin değeri denir. Taban ve üs belli iken değeri bulma işlemine üssünü (kuvvetini) alma; değer ve üs belli iken tabanı bulma işlemine de kök alma işlemi demiştik. Şimdi de taban ve değer belli iken üssü (kuvveti) bulma işlemini ele alacağız. Bunun için önce üstel fonksiyonu açıklayalım. Üstel Fonksiyon Üslü ifadelerde p, q Q ve a,b R + olmak üzere; a p a q = a p+q (a p ) q = a p.q (a.b) p = a p.b p a p a q = ap q olduğunu anımsayınız. ( a b )p = ap b p ( 1 a )p = 1 a p = a p a 0 için a 0 = 1 Görüldüğü gibi pozitif bir sayının rasyonel üstlerini biliyoruz; ama irrasyonel üstlerini bilmiyoruz, yani a 3 ya da a π değerlerini şu ana kadar tanımlamış değiliz. Bu eksikliği gidermek için, herhangi bir a(a 1) pozitif gerçek sayısı için f : Q R + f (r ) = a r (1) biçiminde tanımlanan f fonksiyonunun tanım bölgesinin Q dan R ye genişletilmesi gerekir. Bu genişlemenin nasıl yapıldığı konusu bu dersin kapsamı dışındadır. Ancak, sezgisel olarak apaçık olan şu özeliklerin sağlandığını söyleyebiliriz: (1) fonksiyonunun Q dan R ye olan doğal genişlemesi, her a R + ve a 1 için f : R R + f (x) = a x (2)

120 C A LC U LU S biçiminde tanımlanır. Bu fonksiyon (1) fonksiyonunun sağladığı bütün özelikleri R üzerinde sağlar; yani a,b R +, a 1,b 1 ve x, y R için aşağıdaki özelikler vardır: a x.a y = a x+y (ab) x = a x b x (a x ) y = a x y a x a y = ax y ( a b )x = ax b x ( 1 a )x = 1 a x = a x 8 a > 1 için y = a x fonksiyonunun grafiği 9 0 < a < 1 için y = a x fonksiyonunun grafiği Genişleme fonksiyonunun geometrik yorumunu şöyle yapabiliriz: (1) fonksiyonunun grafiğinde analitik düzlemde irrasyonel apsislere karşılık gelen boşluklar vardır. (2) genişleme fonksiyonunun grafiği bu boşlukları duldurur ve ortaya sürekli düzgün bir eğri çıkar. Bu şekilde tanımlanan (2) genişleme fonksiyonuna üstel fonksiyon denilir. Şimdi üstel fonksiyonun grafiğini düşünelim. a > 1 ise f (x) = a x fonksiyonunun değeri, x değişkeni arttıkça artar; x değişkeni azaldıkça azalır. x = 0 iken a x = a 0 = 1 Fonksiyonun değişim tablosu ve grafiği aşağıda gösterilmiştir. x 0 + a x 0 1 + 8 Eğer 0 < a < 1 ise, x değişkeni artarken, f (x) = a x fonksiyonunun değeri azalır. Buna göre fonksiyonun değişim tablosu ve grafiği aşağıdaki gibi x 0 + a x + 1 0 9 Örnek 0.46. x R olmak üzere aşağıdaki kurallar ile verilen fonksiyonlar birer üstel fonksiyondur. Bunların grafiklerini çizmeyi deneyiniz. f x) = ( 1 2 )x y = ( 7) x h(x) = 10 x Teorem: Üstel fonksiyon bire bir örten bir fonksiyondur. İspat: f : R R +, f (x) = a x kuralı ile verilen üstel fonksiyon için şu özelikler sağlanır: 1. x 1, x 2 R için a x1 a x 2 dir; yani fonksiyon bire birdir. 2. y R + için y = a x eşitliğini sağlayan bir tek x R sayısı vardır; yani fonksiyon örtendir. O halde f : R R +, f (x) = a x fonksiyonu bire bir ve örtendir. Logaritma Fonksiyonu Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğundan, ters fonksiyonu vardır Üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denilir. Logaritma fonksiyonu, f (x) = log a x veya y = log a x simgelerinden birisiyle gösterilir.

L O G A R I T M A 121 Ters fonksiyon tanımına göre y = log a x x = a y olduğu apaçıktır. y = log a x fonksiyonunda y R sayısına x R + sayısının a tabanına göre logaritması denir ve "y eşit a tabanına göre logaritma x" diye okunur. Bundan sonra log a x yazdığımızda, a nın 1 den farklı pozitif bir gerçek sayı olduğu varsayılacaktır. Örnek 0.47. 1. 16 nın 2 tabanına göre logaritmasını bulalım. log 2 16 = y 2 y = 16 2 y = 2 4 y = 4 bulunur. 2. 3 tabanına göre logaritması 4 olan sayıyı bulalım. log 3 x = 4 x = 3 4 x = 81 bulunur. 1 3. 81 in 3 tabanına göre logaritmasını bulalım. bulunur. 1 log 3 81 = y log 1 3 3 4 = y log 3 3 4 = y 3 4 = 3 y y = 4 4. 0,25 in hangi tabana göre logaritmasının -2 olduğunu bulalım. log a 0,25 = 2 0,25 = a 2 1 4 = a 2 2 2 = a 2 a = 2 bulunur. Logaritma Fonksiyonunun Grafiği Bir fonksiyon ile ters fonksiyonunun grafiklerinin y = x doğrusuna göre simetrik olduğunu biliyoruz. Bundan yararlanarak, y = log a x fonksiyonunun grafiğini y = a x üstel fonksiyonunun grafiğinden kolayca elde edebiliriz.

122 C A LC U LU S 1. Durum: a > 1 ise 2. Durum: 0 < a < 1 ise Onluk Logaritma Fonksiyonu Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu veya bayağı logaritma fonksiyonu denir ve kısaca, log biçiminde gösterilir; yani log 10 : R + R, f (x) = y = log 10 x = log x tir. Herhangi bir karışıklığa meydan vermedikçe log 10 yerine log kullanacağız. Kullandığımız sayı sisteminin tabanının 10 olması, onluk logaritma fonksiyonuyla yapılan işlemleri kolaylaştırır. 10 un tamsayı kuvvetlerinin 10 tabanına göre logaritmalarını yazalım: log10 = y 10 = 10 y y = 1, log 1 10 = y 10 1 = 10 y y = 1, log100 = y 10 2 = 10 y y = 2, log 1 100 = y 10 2 = 10 y y = 2 Yukarıdaki verilere ait tabloyu hazırlayalım. x 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 log x -3-2 -1 0 1 2 3 y = 10 x ve y = log x fonksiyonlarının grafiklerini aynı analitik düzlem üzerinde çiziniz. e sayısı: Yaklaşık bir değeri 2,71828182845 olan irrasyonel sayıdır. Bilimsel hesaplarda çok kullanılır. Birbirine denk değişik yollarla tanımlanabilir. Ancak bu tanımların ayrıntısına girmeyeceğiz.

L O G A R I T M A 123 Doğal Logaritma Fonksiyonu Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir ve ln biçiminde gösterilir; yani log e = ln dir. Buna göre, log e : R + R, f (x) = y = log e x = ln x Logaritma Fonksiyonunun Özelikleri Teorem: 1 den farklı a R + sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir; yani a R + {1} için log a a = 1 İspat: a R + {1} için a 1 = a olduğunu biliyoruz. O halde, logaritma fonksiyonu tanımından, çıkar. Örnek 0.48. a 1 = a log a a = 1 olduğu kolayca bulunur. log 5 5 = 1, log10 = 1, lne = 1 Theorem 0.49. 1 in her tabana göre logaritması sıfırdır; yani a R + {1} için log a 1 = 0 İspat: Tabanı sıfırdan farklı ve üssü sıfır olan sayıların 1 e eşit olduğunu biliyoruz. Öyleyse, logaritma fonksiyonu tanımından, a 0 = 1 log a 1 = 0 bulunur. Theorem 0.50. Pozitif iki gerçek sayının çarpımının herhangi bir a tabanına göre logaritması, bu sayıların a tabanına göre logaritmaları toplamına eşittir; yani x, y R + için log a (x y) = log a x + log a y İspat: log a x = p, log a y = q

124 C A LC U LU S olsun. Buradan şunları yazabiliriz. x = a p, y = a q x.y = a p a q x.y = a p+q log a (x y) = p + q p ve q yerine değerlerini yazarsak, log a (x.y) = log a x + log a y bulunur. Örnek 0.51. 1. log400 = log16.25 = log16 + log25 2. ln7.11 = ln7 + ln11 3. log 7 17.8 = log 7 17 + log 7 8 4. log25 + log40 = log(25.40) = log1000 = log10 3 = 3 5. log 3 (2x 1) + log 3 5 = log 3 25 olduğuna göre x in değerini bulalım. bulunur. log 3 (2x 1) + log 3 5 = log 3 25 log 3 [[2x 1).5] = log 3 25 Theorem 0.52. Her t R ve her x R a için eşitliği sağlanır. İspat: (2x 1)5 = 25 10x 5 = 25 x = 3 log a x t = t log a x u = log a x t ve v = t log a x diyelim. Birinci eşitlik x t = a u eşitliğine denktir. İkinci eşitlik ise biçiminde yazılabilir ki bu da v t = log a x x = a v/t x t = a v demektir. Öyleyse a u = a v olmalıdır. Bunun olabilmesi için de u = v, yani log a x t = t log a x olmalıdır. Özel olarak m,n, p N ve (m 0) ise 1. log a x n = n log a x 1 2. log a x n = log a x n = n log a x 3. log m a x p = log a x p m = p m log a x olduğu görülür.

L O G A R I T M A 125 Örnek 0.53. 1. 1 x in a tabanına göre logaritmasını bulalım. 2. log 3 1 10 8 nin değerini bulalım. log a 1 x = log a x 1 = log a x log 1 3 = log 1 10 8 10 8/3 = log10 8/3 = 8 3 log10 bulunur. = 8 3 Theorem 0.54. Pozitif iki gerçek sayının bölümünün a tabanına göre logaritması; aynı tabana göre bölünenin logaritması ile bölenin logaritmasının farkına eşittir; yani eşitliği sağlanır. İspat: log a x y = log a x log a y log a x = u ve log a y = v olsun. x = a u y = a v } x y = au a v x y = au v logaritma tanımından log a x y = u v log a x y = log a x log a y u ve v nin değerlerini yazalım bulunur. Örnek 0.55. 1. log 7 343 log7 7 = log7 343 7 = log 7 343 7 = log 7 49 = log 7 7 = 1 bulunur.

126 C A LC U LU S 2. f (x) = log 5 x ise f ( 5 x 2 ) + 2f (x) ifadesinin değerini bulalım. bulunur. f ( 5 x 2 ) + 2f (x) = log 5 ( 5 x 2 ) + 2log 5 x = log 5 5 log 5 x 2 + 2log 5 x = 1 2log 5 x + 2log 5 x = 1 3. log y 2 z 3 ü x, y ve z nin logaritmaları türünden bulalım. x 4 bulunur. log y 2 z 3 x 4 = log y 2 z 3 log x 4 = log y 2 + log z 3/2 log x 4 = 2log y + 3 log z 4log x 2 4. 1 2 log a log a b + logb ifadesini sadeleştirelim. bulunur. 1 2 log a log ab + logb = log a 1/2 log a 1/2 b 1/2 + logb a 1/2 = log a 1/2 + logb b1/2 = log 1 + logb b1/2 = log 1.b b1/2 = logb 1 1 2 = log b Taban Değiştirme Kuralı Theorem 0.56. a 1,b 1 ve a,b,c R + olmak üzere, log a b.log b c = log a c dir. İspat: log a b = x ve log b c = y olsun. a x = b (a x ) y = b y b y = c } a x y = c x y = log a c x ve y yerine değerlerini yazarsak, log a b.log b c = log a c

L O G A R I T M A 127 bulunur. Bu eşitlikten log b c = log a c log a b elde edilir. Bu eşitliğe taban değiştirme kuralı denir. Örnek 0.57. 1. log x = loge ln x olduğunu gösterelim. loge ln x = log 10 e.log e x eşitliğinde taban değiştirme kuralı uygulanırsa loge ln x = log x bulunur. 2. ln x = log x ln10 olduğunu gösterelim: ln10.log x = log e 10.log 10 x eşitliğinde taban değiştirme kuralı uygulanırsa ln10.log x = log e x ln10.log x = ln x bulunur. 3. log a b.log b a = 1 olduğunu gösterelim: Taban değiştirme kuralından log a b.log b a = log a a bulunur. log a b log b a = 1 Theorem 0.58. a, x R + {1} olmak üzere, log a x = 1 log x a dır. İspat: log a x = y ve log x a = z olsun. Logaritma fonksiyonunun tanımından yararlanılarak x = a y a = x z } x = (x z ) y y.z = log x x = 1 log a x.log x a = 1 log a x = 1 log x a eşitliği bulunur. Örnek 0.59. log 3 x = log x 3 ise x in değerini bulalım. log 3 x = log x 3 log 3 x = 1 log 3 x (log 3 x) 2 = 1 { log 3 x = ±1 log 3 x = 1 x 1 = 3 log 3 x = 1 x 2 = 3 1 = 1 3 bulunur.

128 C A LC U LU S Theorem 0.60. a R + \ {1}, b R + ve m,n R,m 0 olmak üzere, log a m b n = n m log a b dir. İspat: log a m b n = x olsun. Logaritma fonksiyonu tanımından yararlanarak, b n = (a m ) x b n = (a x ) m b = a x m n x m n = log a b x = n m log a b log a m b n = n m log a b eşitliğini buluruz. Örnek 0.61. 1. log 2 3 4 5 ifadesinin değerini bulalım. log 2 3 4 5 = 5 3 log 2 4 = 5 3 log 2 22 = 5 3.2 = 10 3 bulunur. 2. log(x + 5) = log x + log6 ise x in değerini bulalım. log(x + 5) = log x + log6 log(x + 5) = log6x x + 5 = 6x 5x = 5 x = 1 bulunur. Alıtırmalar 1. Aşağıdaki eşitlikleri logaritma kullanarak yazınız. a) 2 4 = 16 b) 4 1 2 = 1 2 c) 0,005 = 1 200 d) 81 1 4 = 3 e) 3 5 = 1 343 f) 0,25 = 1 4 2. Aşağıda verilen eşitlikleri üslü biçimde yazınız. a) log 2 16 = 4 b) log 3 27 = 3 c) log 0,5 0,25 = 2 1 d) log 2 32 = 5 e) log 3 343 = 5 f) log 4 2 = 1 2 3. Aşağıda verilen ifadelerin değerini bulunuz. 1 a) log 9 27 b) log 8 2 c) log a a 7 d) log a a 5 e) log 5 125 f) log a a5 g) log 3 3 3 h) log a 1 i) log 2 32 j) log3 27 k) log 3 9 l) log 1 2 1

L O G A R I T M A 129 4. Aşağıdaki ifadelerde x i bulunuz. a) log 3 x = 7 b) log 5 x = 2 c) log 4 x = 2 9 3 5. log 7 [log 3 (ln x)] = 0 ise x i bulunuz. 6. f (x) = log(x 2 + 16) log(x 4) ün tanımlı olması için x kaç olmalıdır? 7. log 5 a = 8 olduğuna göre x = a 3 a a a nın değeri nedir? 8. 6 2log 6 x + 7 log 7 2x 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? 9. a,b,c R + olmak üzere aşağıda verilen ifadeleri a,b ve c nin logaritmaları türünden hesaplayınız. a 5 b 2 a) log a 5 c b) log b 2 c 10. Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz. c) log ab2 3 c 3 abc a) log9 + log5 + log16 b) 1 2 log4 + 3log 3 7 log10 11. log x y = logx y olduğunu gösteriniz. 12. f (x) = e 2x + 3 ise f 1 (x) i bulunuz. Logaritma Fonksiyonunun değişimi Logaritma fonksiyonunun grafiğini üstel fonksiyon yardımıyla çizmiştik. şimdi bu fonksiyonun ne zaman artan ve ne zaman azalan olduğunu araştıralım. Theorem 0.62. a > 1 için f (x) = log a x artan bir fonksiyondur. İspat: x 1, x 2 R + için, x 1 > x 2 log a x 1 > log a x 2 önermesinin doğru olduğunu göstermek, teoremi ispatlamak için yeterlidir. log a x 1 = u ve log a x 2 = v olsun. log a x 1 = u x 1 = a u log a x 2 = v x 2 = a v dir. Diğer taraftan, a > 1 olduğundan x 1 > x 2 a u > a v u > v bulunur. log a x 1 > log a x 2 Theorem 0.63. 0 < a < 1 için f (x) = log a x azalan bir fonksiyondur. İspat: x 1, x 2 R + için, x 1 > x 2 log a x 1 < log a x 2 önermesinin doğru olduğunu göstermek yeterlidir. log a x 1 = u ve log a x 2 = v olsun. log a x 1 = u x 1 = a u log a x 2 = v x 2 = a v dir. Diğer taraftan 0 < a < 1 olduğundan x 1 > x 2 a u > a v u < v log a x 1 < log a x 2

130 C A LC U LU S bulunur. Logaritma Fonksiyonunun Grafiği y = a x ve y = log a x fonksiyonları birbirinin tersi olduğundan grafikleri de y = x doğrusuna göre simetriktir. A) a > 1 için y = a x üstel fonksiyonu x R için, tanımlı, artan ve y R + dir. y = a x ve y = log a x fonksiyonlarının grafiğini aynı analitik düzlemde çizelim. Yandaki grafiği dikkatle inceleyecek olursak, 1 den büyük sayıların logaritmaları pozitiftir. a > 1 ve x > 1 için log a x > 0 1 in her tabana göre logaritması sıfırdır. a > 1 için log a 1 = 0 0 ile 1 arasındaki sayıların logaritması negatiftir. a > 1 ve 0 < x < 1 log a x < 0 a tabanına göre a nın logaritması 1 dir. x = a için log a a = 1 x sıfıra doğru küçülürken log a x sınırsız olarak küçülür. Yani, O y ekseni log a x fonksiyonunun grafiğinin asimptotudur. Logaritma fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan z R + için y = log a z olacak biçimde bir tek y R vardır. Yani, log a x in grafiği y = z doğrusunu yalnız bir noktada keser. B) 0 < a < 1 için y = a x ve y = log a x fonksiyonlarının grafiklerini aynı analitik düzlemde çizelim. Yandaki grafiği dikkatle inceleyecek olursak, 0 ile 1 arasındaki sayıların logaritmaları pozitiftir. 0 < a < 1 ve 0 < x < 1 log a x > 0 sıfırdır. 1 in her tabana göre logaritması 0 < a < 1 log a 1 = 0 1 den büyük sayıların logaritmaları negatiftir. 0 < a < 1 ve x > 1 log a x < 0 a tabanına göre, a nın logaritması 1 dir. 0 < a < 1 için log a a = 1 x sıfıra doğru küçülürken log a x sınırsız olarak büyür. Yani, O y ekseni log a x fonksiyonunun grafiğinin asimptotudur.

L O G A R I T M A 131 Logaritma fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan z R + için y = log a z olacak biçimde bir tek y R vardır. Yani, y = z doğrusu log a x fonksiyonunu yalnız bir noktada keser. Alıştırmalar 1. y = log 3 x fonksiyonunun grafiğini analitik düzlemde çiziniz. Grafikten yararlanarak aşağıdaki soruları cevaplandırınız. a) Hangi sayıların logaritması pozitiftir. b) Hangi sayıların logaritması sıfırdır. c) Hangi sayıların logaritması negatiftir. d) Hangi sayıların logaritması 1 dir. 2. y = log 1/2 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Grafikten yararlanarak 1.sorunun a,b,c ve d şıklarındaki soruları bu fonksiyon için cevaplayınız. 3. Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz. a) y = log 3 (x 2) b) y = log 1/2 (x 2) 4. Grafiği aşağıdaki şekilde verilen fonksiyonu yazınız. 5. y = f (x) fonksiyonunun grafiği aşağıdadır. f (9) un değerini bulunuz. 6. [0, π] aralığında y = log(cos x) in tanım kümesini bulunuz. 7. y = log(x 5) fonksiyonunun tanım bölgesini bulunuz. On tabanına Göre Logaritma Onluk logaritmalar bazı hesaplamaları yapmakta kolaylık sağladığı için 1 den 10.000 e kadar olan gerçek sayılara ait logaritma cetvelleri hazırlanmıştır. Bu cetvellerin bazıları kesir kısmını 4, bazıları 5 ve bazıları da 7 basamağa kadar vermektedir. Cetvellerdeki logaritmalar ileri matematiksel yöntemlerde yapılan hesaplamalar sonucu elde edilmiş yaklaşık değerlerdir. Bu bölümde, sayıların logaritmalarını bulmak için logaritma tablosunun nasıl kullanılacağını öğreneceğiz. p R için log10 p = p.log10 = p.1 = p olduğunu biliyoruz. Bu eşitlikten yararlanarak aşağıdaki sonuçları çıkarırız. 1. 10 un tamsayı kuvvetlerinin logaritması tamsayıdır. Örnek 0.64. log10 2 = 2, log10 3 = 3, log10 2 = 2, log10 3 = 3, Bu örnekleri çoğaltarak aşağıdaki tabloyu düzenleyelim: x 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 log x -3-2 -1 0 1 2 2. 10 nun rasyonal bir kuvvetinin logaritması rasyonel sayıdır. Neden? Örnek 0.65. log 5 1000 = log 5 10 3 = log10 3/5 = 3 5

132 C A LC U LU S tir. 3. 10 un irrasyonel bir kuvvetinin logaritması irrasyonel bir sayıdır. Neden? Örnek 0.66. log10 2 = 2 dir. Her a sayısı a = 10 k (s), 1 s < 10,k Z biçiminde yazılabilir. Buna a sayısının bilimsel (üstel) yazılışı denilir. Bu yazılışı kullanarak log a = log10 k + log s = k + log s yazılabilir. Bu son eşitlikte k sayısına log a nın karakteristiği (giz değeri), log s sayısına da mantisi (onlu parçası) denilir. Örnek 0.67. a = 649,2 sayısının üstel yazılışı 649,2 = 10 2 6,492 biçimindedir. Dolayısıyla, logaritma cetvelinden log(649,2) = log10 2 + log(6,492) = 2 + 0,81231 10 Her a gerçek sayısının logaritmasının mantisi 1 den küçük pozitif bir sayıdır. yazılabilir. Demek ki, log(649,2) sayısının karakteristiği 2, mantisi 0,81231 dir. 10 a = 10 k (s), 1 s < 10,k Z biçiminde idi. log fonksiyonu artan bir fonksiyon; log1 = 0 ve log10 = 1 olduğundan 0 log s < 1 11 1 den büyük sayıların logaritmaları olacağı açıktır. Bir sayının logaritmasının karakteristiği bir tam sayıdır. 1 den küçük sayıların logaritmalarının karakteristikleri pozitif olmayan birer tam sayı; 1 den büyük sayılarınki ise birer doğal sayıdır. 11 Onluk logaritma fonksiyonu artan bir fonksiyon olduğundan; a) Bir basamaklı sayıların logaritmaları 0 ile 1 arasındadır ve karakteristikleri 0 dır. Bir basamaklı her x sayısının üstel biçimin x = 10 0 (x) tir. Dolayısıyla, 1 x < 10 0 log x < 1

L O G A R I T M A 133 Örnek 0.68. log2 = log10 0 (2) = 0 + 30103 b) İki basamaklı sayıların logaritmaları 1 ile 2 arasındadır ve karakteristikleri 1 dir. İki basamaklı her x sayısının üstel biçimi x = 10 1 (s) dir. Dolayısıyla, 10 x < 100 log10 log x < log10 2 1 log10 1 (s) < 2 1 1 + log s < 2 dir. Örnek 0.69. log18 = log10 1 (1,8) = 1 + log(1,8) = 1 + 0,25527 dir. c) Üç basamaklı sayıların logaritmaları 2 ile 3 arasındadır karakteristikleri 2 dir. Üç basamaklı her x sayısının üstel biçimi x = 10 2 (s) dir. O halde, 100 x < 1000 log10 2 log x < log10 3 2 log10 2 (s) < 3 2 2 + log s < 3 Örnek 0.70. log200 = log10 2 (2) = 2 + 0,30103 d) Dört basamaklı sayıların logaritması 3 ile 4 arasında ve tam kısmı 3 tür. 1000 x < 10.000 3 log x < 4 Örnek 0.71. log1000 = 3 tür. Yukarıdaki örnekler dikkatle incelenirse şu sonuç görülür: 1 den büyük bir gerçek sayının logaritmasının tam kısmı, bu sayının tam kısmındaki basamak sayısının bir eksiğine eşit olan tamsayıdır. Örnek 0.72.

134 C A LC U LU S 1. Aşağıdaki sayıların logaritmalarının tam kısımlarını bulalım. 1,7234 log1,7234 = 0, 172,34 log172,34 = 2, 17,234 log17,234 = 1, 1723,4 log1723,4 = 3, 2. log6570 = 3,81757 olduğuna göre bu sayının onda, yüzde ve binde birinin (657; 65,7 ve 6,57 nin) logaritmalarını hesaplayalım. log6570 = 3, 81757 olduğuna göre, log 6570 10 = log6570 log10 = 3,81757 1 = 2,81757 log 6570 10 2 = log6570 log102 = 3,81757 2 = 1,81757 log 6570 10 3 = log6570 log103 = 3,81757 3 = 0,81757 bulunur. Yukarıda örneklerde logaritmaların kesir kısımlarının aynı olduğunu görünüz. Logaritması alınan sayılarda ise rakamlar ve sıralanışı aynı, sadece virgülün yeri değişiyor. Yani sayıların her biri diğerlerinin 10,100 veya 1000 katı ya da 10 da 100 de veya 1000 de biridir. Theorem 0.73. Farklı iki sayının yazılışında rakamlar ve sıralanışı aynı fakat virgülün yeri farklı ise bu sayıların logaritmalarının farkı bir tamsayıdır. İspat: Farklı iki sayı x ile y ve m pozitif tamsayı olmak üzere, x = 10 m y olsun. x = 10 m y log x = log10 m y log x = log10 m + log y log x = m log10 + log y log x log y = m log10 log x log y = m bulunur. Örnek 0.74. 657 ve 6,57 sayılarının logaritmaları farkını bulalım. log657 log6,57 = 2,81757 0,81757 bulunur. log657 log6,57 = 2 1 den Küçük Pozitif Sayıların Logaritmaları Eğer düzenleme yapılmasaydı, log0,657 = log 657 1000 = log657 log103 = 2,81757 3

L O G A R I T M A 135 log0,657 = 0,18243 olacaktı. Ancak yapılan düzenlemeyle, log0,657 = 1 + 0,81757 = 1,81757 biçiminde yazılır. Dikkat ederseniz -1 in önündeki - işareti 1 in üzerine alınarak 1 biçimine çevrilmiştir. 1,81757 yazılışında - işareti tam kısma aittir. Kesir kısmı daima pozitiftir. Bu yazılışlarda logaritmanın tam ve kesir kısımları ayrı ayrı adlandırılır. Örnek 0.75. 1. log657ve log0,657 sayılarının karakteristiklerini ve mantislerini bulalım: log657 = 2, 81757 = }{{} 2 K ar akter i sti k +0, 81757 }{{} M anti s log0,657 = 1,81757 = {}}{ 1 + 0, { 81757 }}{ 2. log6,57 = 0,81757 olduğuna göre aşağıdaki sayıların logaritmalarını bulalım: a) 0,657 b) 0,0657 c) 0,00657 Çözümler: a) log0,657 = log 6,57 10 = log6,57 log10 = 0,81757 1 = 1,81757 b) log0,0657 = log 6,57 10 2 = log6,57 log10 2 = 0,81757 2 = 2,81757 c) log0,00657 = log 6,57 10 3 = log6,57 log10 3 = 0,81757 3 = 3,81757 bulunur. Yukarıda logaritması alınan sayılarda, ondalık virgülünün sağındaki sıfırların sayısıyla, logaritmaların karekteristikleri arasındaki ilişkiyi bulmaya çalışınız. 0 ile 1 arasındaki bir sayının logaritmasının karekteristiği, bu sayının ondalık virgülünün sağında, sıfırdan farklı ilk rakama kadar olan sıfırların sayısından bir fazlasının negatif işaretlisidir. Örnek: Aşağıda verilen, birden küçük pozitif sayıların logaritmalarının karekteristiklerini bulalım: a) 0,0040 b) 0,05100 c) 0,00051 d) 0,10001 a. log 0,00 40 = 3,... ve karekteristiği -3, }{{} 3 t ane b. log 0, 0 5100 = 2,... ve karekteristiği -2, }{{} 2 t ane c. log0, 000 51 = 4,... ve karekteristiği -4, }{{} 4 t ane d. log 0, 10001 = 1,... ve karekteristiği -1 }{{} 1 t ane

136 C A LC U LU S Logaritma Cetvellerinin Kullanılması Pozitif bir gerçek sayının logaritması, karekteristik ve mantis olmak üzere iki kısımdan oluşuyordu. Bir sayı verildiğinde logaritmasının tam kısmını; yani karekteristiğini kolayca bulabiliriz. Ancak kesir kısmını yani mantisini kolayca hesaplayıp yazamayız. Bunun için düzenlenmiş logaritma cetvellerinden yararlanırız. Logaritma cetvelinde bir örnek sayfa inceleyiniz. Bazı logaritma cetvelinin mantisleri (kesir kısmı) 5 basamaklıdır. Cetvellerde mantis kısmı için virgül kullanılmaz ve karekteristikler verilmez. Bunları doğru olarak belirlemek kullanıcıya düşer. Cetvelden iki türlü yararlanırız: Verilen Bir Sayının Logaritmasının Bulunması Önce verilen sayının, ondalık virgülünü de dikkate alarak, logaritmasının karekteristiğini, yukarıda anlatılan yöntemle bulup yazdıktan sonra sağına bir virgül koyarız. Sonra virgülü dikkate almadan, sayıyı cetvelin S sütunundan bulup karşılığı olan mantisi virgülün sağına yazarız. Kitabımızdaki cetvelde sayının üç basamağı S sütununda; varsa 4 üncü basamak öteki sütunlardan birisindedir. Örnek 0.76. 1. log6789 sayısını bulalım. Logaritması alınan sayının tam kısmı 4 basamaklı olduğundan logaritmanın karekteristiği 3 tür. log6789 = 3,... Şimdi logaritmanın mantisini cetvelden okuyalım. 678 i S sütunundan bulup buna karşılık gelen 0 sütunundan 5 basamaklı mantisin ilk iki basamağı olan 83 ü okuruz. Sonra 6789 un son basamağındaki 9 u kendi sütunundan bulup, 678 in bulunduğu satır ile 9 un bulunduğu sütununun kesim noktasında yer alan mantisin son üç basamağı olan 181 i okuruz: Aranan logaritma log6789 = 3,83181 olacaktır. 2. log69,98 i bulalım. Sayının tam kısmı 2 basamaklı olduğundan, log69,98 = 1,... 6998 sayısının mantisini cetvelden okursak 84497 olduğunu görürüz. O halde, log69,98 = 1,84497 bulunur.

L O G A R I T M A 137 3. log0,0068 i bulalım. Sayıda virgülün sağında sıfırdan farklı ilk rakama kadar olan sıfır sayısı 2 olduğundan, logaritmanın karekteristiği -3 tür. Mantise gelince, S sütununda 68 olmadığı için 680 in mantisini (68 in mantisi ile aynıdır) okuruz. Bu da 83251 dir. Karekteristik ve mantisi yerine yazarak, log0,0068 = 3,83251 bulunur. Logaritma Cetvelinde Olmayan Sayıların Logaritmaları Küçük aralıklarda logaritma eğrisine, eğrinin iki ucunu birleştiren doğru parçası ile yaklaşabiliriz. Bu yaklaşıma doğrusal yaklaşım denilir ve teknik hesaplamalarda çok kullanılır. [a,b] aralığındaki logaritma eğrisi şekilde görüldüğü gibi olsun. AB doğru parçasını çizelim. a < c < b olmak üzere a ve b sayılarının logaritma cetvelinde yer aldığını; ama c sayısının cetvelde olmadığını varsayalım. Apsisi a, b, c olan noktalardan Ox eksenine çıkılan dikmeler eğriyi, sırasıyla, A, B,C noktalarında kesiyor olsun. Ayrıca C den geçen dikme AB doğrusunu D noktasında, AH doğrusunu da E noktasında kessin. Bulmak istediğimiz logc sayısının gerçek değeri C noktasının ordinatına eşittir. Bu değer tabloda olmadığı zaman, onun yerine D noktasının ordinatını yaklaşık değer olarak koyacağız. [a,b] aralığı çok küçük olduğunda, bu yaklaşımı yapmakla yapılan hata çok küçük olacaktır. Şimdi x = DE uzunluğunu hesaplayalım. AED ve AHB dik üçgenlerinin benzerliğinden c a b a = x logb log a orantısı yazılabilir. Buradan x bilinmeyeni çözülürse x = (logb log a) c a b a bulunur. Öyleyse, logc log a + x yaklaşım formülünü elde ederiz.

138 C A LC U LU S Örnek 0.77. log67614 sayısını bulalım: Cetvelde bu sayı mevcut değildir. O halde cetvelde varolan ve bu sayıdan ilk küçük ve ilk büyük olan iki sayıyı saptayıp; logaritmalarını okumalıyız. Birler basamağı 0 olan 67610 ve 67620 sayıları istediğimiz iki sayıdır. Bunların logaritmalarını cetvelden yazıp uygun orantıyı kurarsak, istenen logaritmanın yaklaşık değerini bulabiliriz. log67610 = 4, 83001 log67620 = 4, 83008 } F = 0,00007 bulunur. "001" sayısının üstündeki yıldız, mantisin ilk iki basamağının, tabloda bir sonraki değere eşit olduğunu gösterir; yani tablodaki 82 değil, 83 sayısı alınacaktır. Logaritma fonksiyonu artan bir fonksiyon olduğundan log67610 < log67614 < log67620 eşitsizliği vardır. log67614 ile log67610 arasındaki fark 0,00007 nin 4 10 u kadar olacağından, 0,00007 4 10 = 0,000028 log67614 = 4,83001 + 0,000028 log67614 = 4, 830038 bulunur. Bu tür örneklerde fark hesaplarını yapmaktan kurtulmanın bir yolu vardır. Logaritma tablolarında, her sayfaya, o sayfadaki sayılar ve mantisler arasında oluşabilecek farkları gösteren cetvelcikler yerleştirilmiştir. Bu cetvelcikler yardımıyla, orantı için gerekli değerler pratik olarak hesaplanır. Örnek: log0,66123 değerini hesaplayalım: 66123 sayısı cetvelde yoktur. Bunun bir alt ve bir üstündeki sayılar 66120 ve 66130 dur. } log0,66120 = 1,82033 F = 0,00007 log0,66130 = 1,82040 dir. 3 sayısının karşılığı olan mantis (F ) cetvelciğinde 2,1 dir. Sayılar arasındaki gerçek farkın 3 değil, 0,00003 olduğu düşünülürse, buna karşılık gelen mantisin de 0,000021 olacağı ortaya çıkar. Dolayısıyla, log66120 = 1, 82033 0, 00003fark 0, 000021 bulunur. log66123 = 1, 820351

L O G A R I T M A 139 Logaritması Verilen Bir Sayının Bulunması log x = y ise x sayısına y sayısının antilogaritması denilir. Başka bir deyişle, antilogaritma, logaritma fonksiyonunun ters fonksiyonudur. Dolayısıyla, y = log x x = 10 y eşitliğinden yararlanabiliriz. Antilogaritmayı bulmak demek, y logaritması biliniyorken, x sayısını bulmak demektir. Bu iş için gene logaritma cetvelinden yararlanacağız. Verilen bir logaritmanın antilogaritmasını bulmak için, önce sayının tamsayı kısmının kaç basamaktan oluştuğu saptanır. Bu saptama, logaritmanın bilinen kurallarından kolayca yapılır. Sonra, varsa, verilen mantis cetvelden bulunur. Onun karşısına gelen sayı seçilir ve ondalık virgülünün yeri işaretlenir. Eğer verilen logaritma cetvelde yoksa, mantisin bir küçüğü ile bir büyüğü seçilir; doğrusal yaklaşımla istenen antilogaritma bulunur. Verilen karekteristik dikkate alınarak antilogaritmanın ondalık virgülünün yeri belirlenir. Örnek 0.78. 1. log x = 4, 81994 ise x i bulalım. Verilen logaritmanın karakteristiği 4 olduğuna göre x in tam kısmının basamak sayısı 5 tir. Şimdi, verilen logaritmanın mantisinin ilk iki basamağı olan 81 i cetvelden bulalım. Onu bulduktan sonra, mantisin son üç basamağı olan 994 ü arayalım. Verilen mantis cetvelde aynen vardır.cetvelde buna karşılık gelen sayı aranan antilogaritmadır. Bu sayının, soldan sağa doğru ilk dört basamağı 6606 dır. Halbuki, verilen karekteristiğe göre antilogaritmanın tam kısmı 5 basamaklı olmalıdır. Ohalde, bu sayının sonuna bir 0 ilave ederek, log x = 4,81994 x = 66060 yazabiliriz. 2. log x = 2, 84308 ise x sayısını bulalım: Cetvelde 84305 mantisinin karşılığı olan sayı 6967 dir. Verilen logaritmanın karekteristiği 2 olduğundan, antilogaritmada ondalık virgülün sağında bir tane 0 varolacaktır; yani log x = 2,84308 x = 0,06967 dir. 3. log x = 2, 84308 ise x i bulalım: Verilen logaritmanın mantisi cetvelde yoktur. Verilen mantise en yakın iki mantis 84305 ve 84311 ile bunlara karşılık gelen ve karekteristiği 2 olan sayılar sırasıyla 696,7 ve 696,8 dir. log696,7 = 2,84305 log696,8 = 2,84311 } F = 0,00006

140 C A LC U LU S den yazılabilir. log696,7 = 2,84305 log x = 2,84308 } F = 0,00003 Mantis 0,00006 fark ettiğinde logaritma 0,1 fark ederse mantis 0,00003 fark ettiğinde logaritma 0,1 3 6 fark eder. O halde, bulunur. x = 696,7 + 0,1 3 6 x = 696,7 + 0,05 x = 696, 75 Kologaritma x R + olmak üzere 1 x gerçek sayısının logaritmasına x in kologaritması denir ve co log x biçiminde gösterilir. Theorem 0.79. x R + için colog x = log x tir. İspat: Tanıma göre, colog x = log 1 = log1 log x = 0 log x x colog x = log x Örnek: log x = 3, 81352 ise colog x i hesaplayalım: colog x = log x = 3,81358 = 3 + ( 0,81358) = 3 + ( 1 + 1) + ( 0,81358) = 4 + 0,18642 = 4, 18642 Onluk Logaritma ile ilgili Uygulamalar Logaritma kullanılarak çarpma, bölme, üs ya da kök alma işlemlerini içeren ağır hesaplar kolayca yapılabilir. Örnek 0.80. 1. log x = 2.83251, log y = 0, 82930 olduğuna göre logaritma cetveli yardımıyla x, y ve x.y sayılarını bulalım. Logaritma cetvelinden, log x = 2,83251 x = 680 log y = 0,82930 y = 6,75

L O G A R I T M A 141 bulunur. Çarpımın logaritması, çarpanların logaritması toplamı olduğundan, log x.y = log x + log y = 2,83251 + 0,82930 = 3,66181 bulunur. Herhangi bir logaritma cetvelinden mantisi 66181 olan sayı hesaplanabilir ve log x.y = 3,66181 x.y = 4590 bulunur. 2. x = 651,2 69,8 sayısını hesaplayalım. x = 651,2 69,8 eşitliğinin her iki tarafının logaritmasını alalım: log x = log 651,2 69,8 log x = log651,2 log69,8 log x = 2,81371 1,84386 log x = 0,96985 Logaritması 0,96985 olan sayı cetvelden, x = 9,3292 olarak bulunur. 3. 5 6,81 sayısını hesaplayalım: x = 5 6,81 eşitliğinin her iki tarafının logaritmasını alırsak, log x = log 5 6,81 log x = log(6,81) 1/5 log x = 1 5 log(6,81) log x = 1 5 (0,83315) log x = 0, 16663 bulunur. Logaritması 0,16663 olan sayıyının x = 1,4678 olduğu, herhangi bir logaritma cetvelinden kolayca görülür. Alıştırmalar 1. Aşağıdaki sayıların logaritmalarının karekteristiklerini bulunuz. a) 0,00105 b) 0,10303 c) 12,01032 d) 120,10010 2. log x = 3, 81291 ve log y = 2, 81291 olduğuna göre, a) 10 m < x < 10 m+1 eşitsizliğini sağlayan m sayısını, b) 10 n < y < 10 n+1 eşitsizliğini sağlayan n sayısını, c) x in y nin kaç katı olduğunu bulunuz.

142 C A LC U LU S 3. Logaritma cetvelinde aynen bulunmayan, a) 65125 sayısının logaritmasını, b) Logaritması 0,83062 olan sayıyı bulunuz. 4. Aşağıda verilen eşitliklerdeki bilinmeyenleri bulunuz. a) log x = 2,82995 b) log y = 1,84036 c) logu = 0,82079 d) log v = 0,08221 5. Aşağıda verilen kologaritmaları bulunuz. a) colog6,812 b) colog0,661 6. Alanı 147cm 2 olan dairenin yarıçap uzunluğunu logaritma yardımıyla bulunuz. 7. log 2 3 = x,log 3 5 = y ve 1 3 log 3 3 = z olduğuna göre x, y ve z yi büyüklük sırasına 3 koyunuz. 8. log 3 3 a ve a = 1 5 27 ise a yi bulalım. 9. log 1 2 = x ve log3 = y ise log 27 4 ü x ve y cinsinden bulunuz. 3 10. (log 1/2 4) 2 + log 3 9 ifadesi neye eşittir? 11. l og 1300 = 3,11394 ise log 3 169 u bulunuz. 12. log 5 (ln x) = log 1 e 2 eşitliğini sağlayan x i e cinsinden bulunuz. 15 13. log a log 0,0001 a ifadesinin değerini bulunuz. 14. f (x) = log 2 x ve g (x) = 8 x için (f g 1 )(x) = 3 ise x i bulunuz. 15. f (x) = log 2 (x + 1) ve g (x) = 2 x için (g f 1 )(2) yi bulunuz. 16. log 3 0,5 a = log 3 1.log 1 y.log y 0,5 ifadesini sadeleştiriniz. x 8 Üslü denklemler 2x + 1 = 0, x 2 + 2x + 1 = 0... gibi eşitliklere denklem denildiğini biliyoruz. 2 x+1 = 1,3 x2 x = 9,... da olduğu gibi üssünde bilinmeyen eşitlikler için ne söyleyebiliriz? İçinde bilinmeyenin üs olarak bulunduğu denklemlere üslü denklemler ve denklemleri doğrulayan (sağlayan) gerçek sayıların kümesine de bu denklemin çözüm kümesi denilir. Örnekler: 1. 2 x+1 = 2 denklemini çözelim: 2 x+1 = 1 2 x+1 = 2 0 "üstel fonksiyonlar bire bir olduğundan" x + 1 = 0 x = 1 Ç = { 1}

L O G A R I T M A 143 bulunur. 2. 3 x2 x = 9 denklemini çözelim. 3 x2 x = 8 3 x2 x = 3 2 x 2 x = 2 bulunur. x 2 x 2 = 0 { (x + 1)(x 2) = 0 Ç = { 1,2} x + 1 = 0 x 1 = 1 x 2 = 0 x 2 = 2 3. e x 1 = 1 denklemini çözelim. e x 1 = 1 lne x 1 = ln1 bulunur. "eşitliğin iki yanının doğal logaritmasını alalım". (x 1)lne = ln1 x 1 = 0 x = 1 4. 4 + 3e x + e x = 1 e x Ç = {1} denklemini çözelim. 4 + 3e x + e x = 1 e x Denkleminin her iki yanını e x ile çarparsak, 4 + 3e x + e x = 1 e x 4.e x + 3e x.e x + e x.e x = 1 e x.e x 4e x + 3 + e 2x = 1 t 2 4t + 4 = 0 "e x = t" (t 2) 2 = 0 t = 2 e x = 2 5. ( 1 5 x ) x = 1 625 denklemini çözelim: "iki tarafın doğal logaritmasını alalım". x lne = ln2 x = ln2 = 0,30103 Ç = {ln2} veya Ç = {0,30103} ( 1 5 x )x = 1 625 (5 x ) x = 5 4 5 x2 = 5 4 x 2 = 4 x = ±2 Ç = { 2,+2}

144 C A LC U LU S bulunur. logaritmalı denklemler Bir denklemin içinde bilinmeyenin logaritması varsa bu tür denklemlere logaritmalı denklem ve denklemi doğrulayan gerçek sayıların kümesine de denklemin çözüm kümesi denir. Örnekler: 1. log 8 x = 1 3 denklemini aşağıdaki iki yolla çözebiliriz: log 8 x = 1 log 3 8 x = log x log8 = 1 log 3 8 x = 1 3 log x = 1 3 log8 x = 8 1/3 x = 3 2 3 log x = log8 1/3 = x = 3 x = 2 8 = 2 Ç = {2} Ç = {2} bulunur. Her iki yoldan da aynı sonuca ulaşılmaktadır. 2. log(x 1) + log(x 2) = log2 denkleminin çözüm kümesini bulalım. log(x 1) + log(x 2) = log2 log(x 1)(x 2) = log2 (x 1)(x 2) = 2 x 2 3x + 2 2 = 0 x 2 3x = 0 { x(x 3) = 0 x = 0 x 3 = 0 x = 0 denklemde logaritması alınan sayıları negatif yapacağından kök olamaz. O halde x 3 = 0 x = 3 Ç = {3} elde edilir. 3. log 3 (x 2 1) = log 3 (x 1) + 1 denklemini çözelim. log 3 (x 2 1) = log 3 (x 1) + 1 log 3 (x 2 1) log 3 (x 1) = 1 bulunur. log 3 x 2 1 x 1 = 1 (x 1)(x + 1) log 3 = 1 (x 1) log 3 (x + 1) = 1 log 3 (x + 1) = log 3 3 x + 1 = 3 x = 2 Ç = {2}

L O G A R I T M A 145 Alıştırmalar Aşağıda verilen denklemleri çözünüz. [1] 1. a) 2 x2 1 = 8 b) 27 x = 3 c) e x + e x = 1 d) log 5 x + log 25 9 = 1 e) log x 2 log x = 1 f) log 3 x + log 3 (x 8) = 2 2. log 3 x.y = 4 x log 3 y = 2 ise x ve y yi bulunuz. 3. 5 x 4 = 3 5 x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4. log x 1 + log x + 1 = 1 2 denklemini çözünüz. 5. Yandaki şekilde verilen ABC Üçgeninin alanı log 3 2x olabilmesi için x ne olmalıdır? 6. (64) x 3.4 x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Üstel Fonksiyonlar a R, m Z + olmak üzere, } a.a.a {{ a } = a m m t ane dir. a m de a nın taban, m nin üs olduğunu biliyorsunuz. a R \ {0} için a 1 = a ve a 0 = 1 dir. 0 0 ın tanımlanmadığına dikkat ediniz. Çarpmanın tanımından dolayı pozitif bir a sayısının bütün kuvvetlerinin pozitif, negatif bir a sayısının çift kuvvetlerinin pozitif, tek kuvvetlerinin negatif olacağını unutmayınız. Buna göre, m Z + ve a > 0 için, a m > 0, n Z +,m = 2n 1, a < 0 için, a m = a 2n 1 < 0, n Z +,m = 2n, a < 0 için, a m = a 2n > 0 dır. Örnekler: 1) 3 4 = 3.3.3.3 = 81 2) 3 5 = 3.3.3.3.3 = 243 3) ( 2) 4 = ( 2)( 2)( 2)( 2) = 16 4) ( 2) 5 = ( 2)( 2)( 2)( 2)( 2) = 32 5) 7 1 = 7 ve ( 6) 1 = 6 6) 7 0 = 1 ve ( 3 5 )0 = 1 dir. Üslü İfadelerin Özelikleri: 1) a m.a n = a m+n 2) (a m ) n = a m.n 3) (a.b) m = a m.b m 4) ( a b )m = am b m 5) am a n = am n dir. a,b R \ {0} ve m,n Z + için, 4. özeliğin doğru olduğunu gösterelim: ( a b )m = a b. a b. a b a }{{ b } m t ane a.a.a a = b.b.b b = am b m (Kuvvet tanımı) ( Çarpma tanımı) ( Kuvvet tanımı)

148 C A LC U LU S 5. özelikteki am = am n ifadesini m > n, m = n, m < n durumlarına a n göre ayrı ayrı inceleyelim. (a R,m,n Z +, a 0). a) m > n olsun. p Z + için m = n + p dir. Örneğin, a m a n = a n+p a n (m = n + p) = an.a p a n (a n+p = a n.a p ) = a p = a m n 2 7 2 4 = 24+3 2 4 = 24.2 3 2 4 = 2 3 Aynı örneği, biçiminde de çözebiliriz. b) m = n için, bir yandan 2 7 2 4 = 27 4 = 2 3 a m a n = am a m = 1 Öte yandan, m = n hali için kuralı uygularsak, a m a n = am n = a 0 (m = n m n = 0 dır) bulunur. O halde, m = n için, sonucu çıkar. ( am a n = 1 ve a m a n = a0 ) a 0 = 1 c. m < n olsun. q Z +,m + q = n dir. a m a n = = = = a m a m+q (n = m + q) a m a m.a q (a m+q = a m.a q ) 1 a q 1 a n m

ÜSTEL FONKSIYONL AR 149 m < n hali için kuralı uygularsak, a m a n = am n = a q (m + q = n m n = q) O halde m < n (m + q = n, q Z + ) için, a m olduğu görülür. a n = 1 a q ve a m a n = a q ) a q = 1 a q Gerçek sayıların pozitif kuvvetleri için var olan tüm özelikler, negatif kuvvetleri için de geçerlidir. Buna göre, a,b R \ {0} ve m,n Z + için, 1) a m.a n = a (m+n) 2) (a m ) n = a ( m).( n) = a m.n 3) (a.b) m = (a m )(b m ) 4) ( a b ) m = a m b m 5) a m a n = a m+n = a n m Bu özeliklerden üçüncüyü burada ispatlayalım. Diğerlerinin ispatını öğrencilere bırakıyoruz. a,b R \ {0} ve m,n Z + için, (a.b) m bulunur. = = = Örnekler: 1 (a.b) m (a.b = x ve x m = 1 x m ) 1 a m.b m (m > 0 için (a.b)m = a m.b m ) 1 a m. 1 b m ( çarpma tanımı) = a m.b m ( 1 x m = x m ) 1. 2 3.2 2 = 2 5 = 1 2 5 = 1 32 2. (2 2 ) 3 = 2 ( 2).( 3) = 2 6 = 64 3. (2.3) 4 = 6 4 = 1 6 4 4. ( 3 2 ) 4 = 3 4 24 = 2 4 3 4 = ( 2 3 )4 5. 4 7 4 3 = 4( 7) ( 3) = 4 7+3 = 4 4 = 1 4 4 = 1 256 Tabanları ve üsleri aynı olan üslü ifadelere benzer üslü ifadeler denir. Üslü ifadelerle yapılan toplama ve çıkarma işlemleri benzer terimler arasında yapılır. Örnekler: 1. 3a 4 + 5a 2 b 3 + 5a 4 + 2a 2 b 3 = 8a 4 + 7a 2 b 3

150 C A LC U LU S 2. 7x 3 4y 3 + 3x 2 y 2x 3 + 2y 3 x 2 y = 5x 3 2y 3 + 2x 2 y 3. 4. 1 x x m + 1 x2 x m 1 1 x x m 2 = 1 x + x(1 x2 ) x 2 (1 x) x m = 1 x + x x3 x 2 + x 3 x m = 1 x2 x m [ 1 2x2 x 5 x2 x x 4 + x + 1 x 3 ] : [ 2 + x x 6 x2 + x x 7 + 1 x2 x 8 ] = = [ 1 2x2 x(x 2 x) + x 2 (x + 1) x 5 ] : [ 2x2 + x 3 x 3 x 2 + 1 x 2 x 8 ] = 1 2x2 x 3 + x 2 + x 3 + x 2 x 5 : 2x2 + x 3 x 3 x 2 + 1 x 2 x 8 1 = x 5 : 1 x 8 1 = x 5. x8 1 = x 3 5. [ a + 1 a 6 1 a a 5 ]4 : [ a 1 a 8 + 3 a2 a 9 ] 2 a + 1 a(1 a) = [ a 6 ] 4 a(a 1) + 3 a2 : [ a 9 ] 2 = [ a + 1 a + a2 a 6 ] 4 : [ a2 a + 3 a 2 a 9 ] 2 = (1 + a2 ) 4 a 24 : (3 a)2 a 18 a 18 = (1 + a2 ) 4 a 24 (3 a) 2 = (1 + a 2 ) 4 a 6 (3 a) 2 Alıştırmalar 1. a,b,c R \ {0}, m,n N + için aşağıdaki ifadeleri en kısa biçime getiriniz. Üslerini pozitif yapınız. a) ( 3 1 ) 2 b) [(420) 0.5 2 ] 1 c) 2 3 + 3 2 d) (2 3 m.3 4 m.2 m+2.3 m+1 ) 4 e) a m+2.b m 1.a 3 m b 6 m f) ( 2a)(ab 2 )( 5ac 2 ) + ( a 2 )(2ab)(4bc 2 ) g) (5a 2 )( 3ab 2 )(b 2 ) (3a)(2a 2 b)(b 3 )

ÜSTEL FONKSIYONL AR 151 h) (5ab 2 )( 3a 3 b)(c 2 ) + (8ac)(3bc)(a 3 b 2 ) ı) ( 2a 3 ) 2 (ab 2 c) ( a 2 ) 2 (abc)( a 2 b) i) ( 1 3 a2 b) 4 ( 9ab 2 ) 2 (3ab) 2 ( 1 9 a2 b 2 )(a 3 b 2 ) 2 j) ( 2 3 ab2 ) 3 ( 9a 2 b) 2 (ab 2 ) 2 (2ab) 3 (5a 2 b) k) a 4 (3a + 2) + 2a 2 (a 3 2a 2 ) l) a m (a n + 1) a m+n m) a n (a 2 + 2) a n+1 (a + 2) n) a n (a 2 2a) + a 2 (a n + a n 1 ) 2. Aşağıdaki ifadelerde a, b, c R \ {0} dır. Bu ifadelerin her birinin üslerini pozitif yaparak ifadeleri en kısa biçime getiriniz. a) a 2 b 3 a 3 b 2 b) 4a 3 bc 2 6a 1 b 1 c c) (ab2 ) 2 (ab) 1 a 2 b d) ( 2) 3 a 2 b 4 1 ab 1 e) (a2 b 1 ) 3 (a 3 b 2 ) 2 f) a 3 b 2 c 5 a 0 b 4 c 2 g) (2a) 2 b 3 a 3 b 2 h) 4a 3 b 2 c 4 2 2 ab 4 c 2 i) a3 b 2 c 0 a 1 bc 2 (a + b) 1 k) a 1 + b 1 j) 5 1 a 2 b 4 c 4 2 0 ab 1 c 3 l) ( 2a 2 b 3 ) 2 m) a 2 + b 2 (ab) 2 n) o) 2 n.8 2n+1.16 2n 4 3n (ab) 3 (a 2 b 1 ) 2 3. Aşağıdaki ifadelerde a,b,c,d R \ {0},m,n N + dır. Gerekli işlemleri yaparak ifadeleri en kısa biçime getiriniz. Üslerini pozitif yapınız. a) b) a m 3.b m+3 a 2 b 2 a 2 b 5 : a 3 m.b 4 m (36a 2 b 3 ) 2 (9c 2 ) 3. (12bc)4 (8ab 3 ) 3 71ab c 2 c) ( 12a2 b 16c 2 )3 : ( 24a3 c 2 8b 4 ) 2 c 2 b 11 32c 8 d) [( 12a2 b 9cd 2 )3 : ( 16a3 b 9c 2 d )2 ] 4.( 3ab3 2c 3 d 4 ) 4 e) [( 18a2 b 3 c 2 d )5 : ( 24ab2 cd 2 )3 ] 2.[( a3 b 3 c 2 ) : ( ab4 12cd 4 )3 ] 3 f) ( 9ab2 4 )3.[( a2 2b 3 )3 ] 2.[( 2b2 3a 2 )3 ] 5.( b2 27a ) 2 g) [ 23 3 2 + 32 433 + 4] : 23 6 2.4

152 C A LC U LU S h) i) j) 1 a 4 + 1+2a2 1 a a 5 a 3 a 1 1 + a b b 1 a b2 a 5 b 2 a 3 b 3 a 2 b 4 a 3 b 4 1+a a n b + a 1 b a2 n b n 2 + a1 n b n 3 a n 1 b 2 a 2 b n 1 ab n Köklü İfadeler ( 3) 2 = 9 ve (3) 2 = 9 ( 2) 2 = 4 ve (2) 2 = 4 ( 1 2 )2 = 1 ve ( 1 4 2 )2 = 1 4 gibi örnekleri istediğimiz kadar çoğaltabiliriz. Karesi 9 olan biri -3 diğeri 3 olmak üzere iki tane gerçek sayı vardır ve bunlar toplamaya göre birbirinin tersidir. Karesi -9 olan bir gerçek sayı bulabilir misiniz? x 2 9 = 0 denkleminin R deki çözüm kümesi Ç = { 3,3} tür. x 2 + 9 = 0 denkleminin R deki çözüm kümesi Ç = {} tur. Niçin? Tanım: a R + olmak üzere karesi a ya eşit olan iki tane gerçek sayı vardır. Bunların pozitif olanına a nın pozitif karekökü denir ve a biçiminde gösterilir. Negatif olanına a nın negatif karekökü denir ve a biçiminde gösterilir. Buna göre, 9 un pozitif karekökü 9 = 3, 9 un negatif karekökü 9 = 3 tür. 0 (sıfır) ın bir tek karekökü vardır ve 0 = 0 dır. a R + sayısının pozitif ve negatif karekökleri olan a ve a sayıları toplamaya göre birbirinin tersidir. Negatif sayıların karekökünün tanımsız olduğunu unutmayınız. Örneğin, a R + için, x 2 = a x = a x = a Ç = { a, a} x 2 1 4 = 0 x2 = 1 4 1 1 x = 4 x = 4 x = 1 2 x = 1 2 Ç = { 1 2, 1 2 } Bir a R + sayısının karekökü denilince, a nın a > 0 pozitif karekökü düşünülmelidir. x R için x 2 0 olduğunu gözönüne alırsak dır. Buna göre, x 0 için, x 2 > 0 x 2 > 0 x 2 < 0 x = 0 için, x 2 = 0 x 2 = 0

MATEMATIK 1 153 x R için, { x 2 = x R için, x = olduğunu anımsayarak, x R için, x 2 = x yazabiliriz. Örnekler: 1. 3 2 = 3 = 3 2. ( 3) 2 = 3 = ( 3) = 3 3. 0 2 = 0 = 0 dır. Teorem: a,b R, a 0, b 0 için, a.b = a. b { x, x 0 i se x, x < 0 i se x, x 0 i se x, x < 0 i se dir. İspat. a 0 ve b 0 sayıları için, x 2 = a, y 2 = b koşuluna uygun x 0, y 0 gerçek sayıları vardır. x 2 = a y 2 = b x 2.y 2 = a.b (x.y) 2 = a.b x.y = a.b (1) dir. Diğer taraftan, dir. (1) ve (2) den, bulunur. dir. x 0, x 2 = a y 2 = b x = a y = b x.y = a. b (2) x.y = a.b x.y = a. b a.b = a. b Teorem: a,b R, a 0,b > 0 için, a a b = b İspat: a 0, b > 0 sayıları için, x 2 = a, y 2 = b olacak biçimde y > 0 gerçek sayıları vardır. x 2 = a y 2 = b x2 y 2 = a b ( x y )2 = a b x y = a b (1)

154 C A LC U LU S Diğer taraftan, x 2 = a y 2 = b x = a y = b x y = a b (2) dir. (1) ve (2) eşitliklerinden, x a y = b x a a a y = b b = b bulunur. Örnekler: 1. 4.9 = 36 = 6 4.9 = 4. 9 = 2.3 = 6 } 4.9 = 4. 9 2. 50 = 25.2 = 25. 2 = 5 2 3. 2 + 8 + 18 32 = 2 + 4.2 + 9.2 16.2 = 2 + 4. 2 + 9. 2 16. 2 = 2 + 2 2 + 3 2 4 2 = 6 2 4 2 = 2 2 9 4. 2 + 25 2 49 2 = 9.2 4 + 25.2 4 49.2 4 = 9. 2 25. 2 49. 2 + 4 4 4 = 3. 2 2 2 = 2 a, x R + ve x 2 = a olsun. olduğunu biliyoruz. Bunu, + 5 2 2 7 2 2 x 2 = a x = a x = a x 2 = ( a) 2 x 2 = a yazabiliriz. Buradan ( a) 2 = a (a > 0) bulunur. a > 0 için a 2 = a = a a 2 = a O halde, a R + için, ( a) 2 = a 2 = a

MATEMATIK 1 155 bulunur. İkinci basamaktan kuvvet için çıkardığımız bu kuralı n N için genelleştirirsek; a R + ve n N için, ( a) n = a n yazılabilir. Tanım: a,b R \ 0 olmak üzere, a + b ve a b ifadeleri, birbirlerinin toplamsal eşleniğidirler. Eşlenik iki ifadenin çarpımını bulalım: 1. 2. 3. Çözülmüş Örnekler: 3 = 3 5 = 3 5 5 5. 5 ( 5) = 3 5 2 5 (a + b)(a b) = a 2 ab + ab b 2 = a 2 b 2 ( 3 2)( 3 + 2) = ( 3) 2 ( 2) 2 2 5 3 = = = 3 2 = 1 2( 5 + 3) ( 5 3)( 5 + 3) 2( 5 + 3) ( 5) 2 ( 3) 2 = 2( 5 + 3) 2 = 5 + 3 4. [ ac ab. b ] : c = = = = a ab. ac b : c (a,b,c R + ) (a 2 c) : c a 2 5. a,b R + ve a 2 > b için, olduğunu gösterelim. a + b = a + a 2 b 2 + a a 2 b Bu eşitliğin doğru olduğunu göstermek için, a + b nin karekökünün a + a 2 b a a 2 b x = + olduğunu göstermeliyiz. 2 2 2

156 C A LC U LU S olmalıdır. a + b = x x 2 = a + b veya x 2 = [ bulunur. a + a 2 b 2 = a + a 2 b 2 + + a a 2 b 2 = 2a 2 + 2. a 2 (a 2 b) 4 b = a + 2. 4 = a + b a a 2 b ] 2 2 a + a 2 b a a 2 b + 2.. 2 2 a + b = x 2 a + a + a 2 b a a 2 b b = [ + 2 2 a + b = a + a 2 b 2 + a a 2 b 2 ] 2 Alıştırmalar 1. Aşağıdaki ifadeleri en sade hale getiriniz. a) 15. 3. 80 5 f) 5 4 12 7 b) 3. g) 4 63 5 9 c) 9.2 h) 12 3 20 4 27 d) 5 17. 1 3 5 ı) 6 4 18 e) 1 4 2 15. 1 3 72 i) 3 20 2 6 2. Aşağıdaki ifadeleri en sade biçimde yazınız. a) 50 + 5 2 b) 1 4 48 + 3 75 c) 3 63 + 1 5 28 d) 10 2 5 e) 2 150 1 1 96 f) 3 3 2 12 + 4 8 3 g) 8 10 3 1 40 + 5 h) 2 2 1 32 + 2 10 2 2 5 ı) 11 5 + 5 2 160 i) 2 54 + 2 96 9 3 2 5 j) 8 5 + 2 1 2 5 40 k) 15 2 5 + 6 2 160 3 4 l) 4 + 7 3 1 3 8 75 m) 2 6 8 + 3 4 24 5 12 n) 3 12 + 5 1 60 3

MATEMATIK 1 157 3. Aşağıdaki işlemleri yaparak sonucu en kısa hale getiriniz. a) (2 + 3)(2 3) ı) (5 5 1)(2 5 + 2) b) ( 3 2)( 3 + 2) i) (6 2 + 4 6)( 2 2 6) c) ( 5 7)( 5 + 7) j) (3 5 + 10)(2 5 4 10) d) (2 7 + 1)( 7 2) k) (3 2 + 5)( 2 + 2 5) e) (3 5 1)(2 5 + 2) l) (4 3 + 2 6)(5 3 + 7 6) 4. Aşağıdaki işlemleri yaparak sonucu en kısa hale getiriniz. a) (1 + 2) 2 b) (3 7) 2 a 2 c) 64 + a2 b 2 d) 36 9 + b2 25 e) (7 7 + 3)(2 7 3) 5. Aşağıdaki kesirlerin paydalarını rasyonel yapınız. a) 5 3 10 h) 2 2 + 10 b) 2 5 10 ı) 5 + 2 5 3 2 c) 3 + 7 1 7 i) 7 2 5 + 1 d) 5 2 6 6 5 3 + j) 6 5 + 2 6 6. Aşağıdaki kesirlerin paydalarını rasyonel yapınız. a) 2 8 5 3 3 + 5 1 + b) 2 3 + 5 3 5 3 1 c) d) 7 1 2 + 2 + 1 + 1 2 2 2 5 e) f) [ 2 + 3] : [ 2 3 ] 5 3 3 3 7. Aşağıdaki ifadelerde geçen harflerin hepsi pozitif gerçek sayılardır. İfadelerin paydalarını rasyonel yaparak her birini en kısa biçimde yazınız. a) 5 x 3 + x x ı) b) y 5 y 3 y i) x 1 x 1 x x 3 a + 2 + 2 x c) 1 x 1 j) x 1 7 + 2 1 x y d) 2 x 3 1 k) y 7 + 5 + 2 e) a 5 a + 2 l) 7 + 3 2 5 7 3 2 x + y x y f) + m) 4 5 + 2 x y x + y 4 + 5 + 2 6 g) 3 3 x (3 x > 0) n) 1 5 + 3 + 2 h) 2(a2 x 2 ) + a 2 + x 2 1 o) a 2 + x 2 8. a,b R +, a 2 b > 0 olmak üzere, 7 + 5 + 3

158 C A LC U LU S a b = a + a 2 b eşitliğinin doğru olduğunu gösteriniz. 2 a a 2 b 2 Gerçek Sayıların Kuvvetleri x, a R + ve n N + için x n = a ise, x e a nın n inci kuvvetten kökü, denir ve x = n a ya da x = a 1/n biçiminde yazılır. Buna göre x, a R +,n N + için, x n = a x = n a = a 1 n dir. Buradan, ( n a) n = (a 1 n ) n = a = (a n ) 1 n = n a n bulunur. Örnek 0.81. 1. 2 2 = 4 4 = 4 1/2 = 2 2. 2 3 = 8 3 8 = 3 2 3 = (2 3 ) 1/3 = 2 3. 3 4 = 81 4 81 = 4 3 4 = (3 4 ) 1/4 = 3 4. 3 5 = 243 5 243 = 5 3 5 = (3 5 ) 1/5 = 3 5. ( 1 2 )6 = 1 1 64 6 64 = 6 ( 1 2 )6 = [( 1 2 )6 ] 1/6 = 1 2 Özel olarak, ikinci kuvvetten köke karekök denildiğini ve kök kuvveti olan 2 nin yazılmadığını biliyorsunuz. Üçüncü kuvvetten köke küpkök denir. Örneğin, 8 in küpkökü 2 dir. Yukarıda n a ifadesi n N + ve a R + için tanımlanmıştır. Eğer n tek sayı ise b R için de n b tanımlıdır. Örnek 0.82. 1. ( 2) 3 = 8 3 8 = 2 2. ( 3) 5 = 243 5 243 = 3 3. ( 1 2 )7 = 1 128 7 1 128 = 1 2 x R ve n = 2k N + için x n = x 2k 0 olduğundan negatif sayıların çift kuvvetten kökü R de tanımsızdır. Örneğin, 4 16, 9, 6 64 ifadeleri R de tanımsızdırlar. Bunlar gerçek sayı değildirler. Theorem 0.83. a,b R +, m,n, p N + olmak üzere, 1. 2. 3. 4. n a p = m.n a mp n a.b = n a. n b n a b = n a n b m n a = m.n a dır.

MATEMATIK 1 159 İspat: Bu teoremin ispatında a R +,n N + için, ( n a) n = n a n = a eşitliğinden faydalanacağız. 1. a R +,m,n, p N + için, ( n a p ) m.n = [( n a p ) n ] m = [a p ] m = a mp ( mn a mp ) mn = a mp dır. ( n a p ) mn = a mp ( mn a mp ) mn = a mp olduğundan, n a p = mn a mp bulunur. 4. dır. ( m n a) mn = [( m n a) m ] n = [ n a] n = a ( mn a) mn = a ( m n a) mn = a ( mn a) mn = a olduğundan, m n a = mn a bulunur. 2. ve 3.nün ispatı öğrencilere bırakılmıştır. Örnek 0.84. 1. 12 256 = 12 2 8 = 4.3 2 4.2 = 3 2 2 = 3 4 2. 4 4 48 = 16.3 = 4 2 4. 4 3 = 2. 4 3 3. 3 27 4 = 3 27.2 4.2 = 3 3 3.2 = 2 3 3 3 3.2 3 2 3 = 3. 3 2 2

160 C A LC U LU S 4. 5. 16 = 16 1 2 = 4, 3 5 = 5 1 3, 3 144 6 = 144 6 7 = 7 1 6 = 6 12 2 = 3 12 n tek (k N +,n = 2k 1) ise a R için n a tanımlı olduğundan, n = 2k 1 ve a R için, n a = a 1 n 3 1 6. 8 = ( 8) 3 = [( 2) 3 ] 1 3 = 2 5 7. 1 32 = ( 1 32 ) 1 5 = [( 1 2 )5 ] 1 5 = 1 2 7 1 8. 15 = ( 15) 7 Tanım: a R +, m,n N + olmak üzere, (a 1 n ) m = a m n dir. n a = a 1 n ve ( n a) m = n a m olduğundan a 0 için a 1 = 1 a dır. n a m = ( n a) m = (a 1 n ) m = a m n n N + için (a 1 ) n = ( 1 a )n = 1 a n ve a n = 1 a n olduğundan a m = (a 1 ) m Theorem 0.85. a,b R + ve p, q Q için, 1. a p.a q = a p+q 2. (a p ) q = a p.q 3. (a.b) p = a p.b p 4. ( a b )p = ap b p 5. ( 1 a )p = 1 a p = a p dir. İspat: 1, 2 ve 5 inci bağıntıları ispatlayalım. m,n,r, s N +, EBOB(m,n) = 1,EBOB(r, s) = 1 ve p = m n, q = r s alalım. 1. a p.a q = a m n.a r s = n a m s a r = ns a ms. ns a nr = ns a ms.a nr = ns a ms+nr = a ms+nr ns = a m n + r s = a p+q

MATEMATIK 1 161 2. (a p ) q = (a m n ) r s = ( s n a m ) r = s n a mr = ns a mr = a mr ns = a m n. r s = a p.q 5. 1 a p = = = 1 a m n 1 n a m n 1 m n a m = n ( 1 a )m = ( 1 a ) m n = ( 1 a )p dir. Diğer yandan, a p = a 1.p = (a 1 ) p = ( 1 a )p olduğundan ( 1 a )p = 1 a p = a p bulunur. 3. ve 4. eşitliklerin ispatı, öğrencilere bırakılmıştır. Örnek 0.86. 1. 2 x+3.4 2x+5 = 1 açık önermesinin doğruluk kümesini bulalım. 2 x+3.4 2x+5 = 1 2 x+3.(2 2 ) 2x+5 = 2 0 2 x+3.2 2(2x+5) = 2 0 2 x+3+4x+10 = 2 0 2 5x+13 = 2 0 5x + 13 = 0 x = 13 5 Ç = { 13 5 } 3 2. (2x + 1) m+7.(2x + 1) 8 m = 4 (4x 7) 23 önermesini sağlayan x (4x 7) 3 değerini bulalım.

162 C A LC U LU S 3 (2x + 1) m+7.(2x + 1) 8 m = (4x 7) 23 4 (4x 7) 3 3 (2x + 1) m+7+8 m = 4 (4x 7) 23 3 3 (2x + 1) 15 = 4 (4x 7) 20 (2x + 1) 5 = (4x 7) 5 2x + 1 = 4x 7 2x = 8 x = 4 3. 3 abx 4. a 3 b 5 x 4 a 5 b 3 x 5 (a,b, x R + ) ifadesini sadeleştirelim. 3 abx 4. a 3 b 5 x 12 a 4 b 4 x 16. 12 a 18.b 30.x 6 4 = a 5 b 3 x 5 12 a 15.b 9.x 15 = 12 a 4 b 4 x 16 a 18.b 30.x 6 a 15.b 9.x 15 4. 2a + 3a 5 4 4a 3 2 a 1 4 a 1 2 a 3 4 5. = 12 a 4+18 15.b 4+30 9.x 16+6 15 = 12 a 7.b 25.x 7 = 2.a 1 1 4 + 3a 5 4 1 2 4a 3 2 3 4 = 2a 4 1 4 + 3.a 5 2 4 4a 6 3 4 = 2a 3 4 + 3.a 3 4 4.a 3 4 = a 3 4 5 3 a 10. 3 a 9 4 + b 3. 3 a 5 = 15 a 10. 6 a 9 4 + b 3 3. a 5 = 3 a 2. a 3 + 8 b 3. 6 a 5 = a 2 3.a 3 2 + a 5 6.b 3 8 = a 2 3 + 3 2 + a 5 6.b 3 8 = a 13 6 + a 5 6.b 3 8 = a 5 6 (a 4 3 + b 3 8 )

Limit Soldan ve Sağdan Yaklaşım x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma soldan yaklaşım denir ve x a biçiminde gösterilir. x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma sağdan yaklaşım denir ve a a + biçiminde gösterilir. Figure 1: Limit simgesi Fonksiyonun Limiti Limit kavramını Şekil?? üzerinde açıklayalım: Soldan Limit Grafiği verilen y = f (x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(a, y 1 ),B(b, y 2 ),C (c, y 3 ),D(d, y 4 ), noktalarını göz önüne alalım: Bu noktaların apsisleri olan a, b, c, d, giderek a ya yaklaşıyor. Bu sırada, f (a) = y 1, f (b) = y 2, f (c) = y 3, f (d) = y 4,... ordinatları da giderek K ye yaklaşır. Bu eylem, simgesel olarak, Figure 2: Limit Yaklaşımı lim f (x) = K (2) x a biçiminde gösterilir. Bunun anlamı f (x) fonksiyonunun x = a daki soldan limitinin b olduğudur. Sağdan Limit Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan E(e, y 8 ),F (f, y 7 ),G(g, y 6 ), H(h, y 5 ),... noktalarını göz önüne alalım. e, f, g,h, apsisleri sağdan a ya yaklaşırken, f (e) = y 5, f (f ) = y 6, f (g ) = y 7, f (h) = y 8,... ordinatları giderek M ye yaklaşır. Bu durum simgesel olarak, lim f (x) = M (3) x a + biçiminde gösterilir. Bunun anlamı f (x) fonksiyonunun x = a daki sağdan limitinin M olduğudur.

164 C A LC U LU S Limit Tanım 0.87. f (x) fonksiyonunun x = a noktasında soldan ve sağdan limitleri var ve birbirlerine eşit iseler, fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x = a noktasındaki limiti M = K ortak değeridir. Bu durum simgesel olarak, lim f (x) = L (4) x a biçiminde gösterilir. Bunun anlamı şudur: x = a daki sağ limit ve sol limit değerleri birbirlerine eşittir ve onların ortak değeri fonksiyonun x = a noktasındaki limitidir. f (x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değilse fonksiyonun x = a noktasında limiti yoktur. Tabii, sol ve sağ limitlerden birisi yoksa, eşitlik olamayacağı için, fonksiyonun o naktada limiti zaten olamaz. Uç Noktalarda Limit Figure 3: Uç Noktalarda Limit Genel olarak, fonksiyonun soldan (2) ve sağdan (3) limitleri var ve birbirlerine eşitseler, fonksiyonun x = a noktasında limiti vardır, denilir. Sol ve sağ limitlerin ortak değeri fonksiyonun limitidir. Varsa, fonksiyonun limitini (3)rlimit) biçiminde göstereceğiz. Bazen incelenecek fonksiyon bütün mathbbr yerine sınırlı bir aralıkta tanımlı olabilir. Böyle durumlarda fonksiyonun uç noktalarına ancak tek yönden yaklaşılabilir. O nedenle, uç noktalarda limit ve sürekliliği ancak tek yönlü yaklaşımla tanımlayabiliriz. f fonksiyonu [a,b) aralığında tanımlı ve değerleri [c,d) aralığında olsun. Bu fonksiyon için (a, f (a)) noktası bir uç noktadır. x değişkeni a noktasına ancak sağdan yaklaşabilir. Dolayısıyla, f fonksiyonunun x = a noktasında sağdan limiti varsa, bu limit değerini f fonksiyonunun x = a noktasındaki limit değeri olarak kabul edeceğiz. Örneğimizde, x = b noktasında fonksiyon tanımlı değildir, ama soldan limiti olabilir. varsa soldan limit, f nin limiti olarak kabul edilir. Tabii, fonksiyon x = b noktasında tanımlı olmadığından, bu noktada fonksiyon sürekli olamaz. Bazı hallerde, kaldırılabilir süreksizliği var olabilir. Özetle, uç noktalardaki limit ve süreklilik araştırılırken, yalnızca fonksiyonun tanımlı olduğu aralığın var olan tarafından tek yönlü limit alınır. Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Bu durumda, varsa soldan (2) ve sağdan (3) limitlerinin varlığından söz edilebilir. Sol ya da sağ limitlerden birisi yoksa ya da var oldukları halde eşit değilseler, fonksiyonun x = a noktasında limiti yoktur.

L I M I T 165 Karl Weierstrass ın Tanımı λ > 0 ve u gerçel sayılar olmak üzere (u λ,u + λ) aralığına u nun λ komşuluğu (u λ) (u + λ) kümesine de u nun λ delik komşuluğu denilir. Burada delik komşuluk terimi, aralığın ortasındaki u noktasının kümeye ait olmadığı anlamına gelir. x değişkeni a ya yaklaşırken f (x) değerleri L ye yaklaşıyorsa, f fonksiyonunun x = a noktasında limiti vardır ve bu limit L dir denir. Bu tanım fiziksel bir algı yaratır, ama matematiğin istediği kesinliği vermez. Çünkü "yaklaşım" eylemi iyi tanımlı değildir. Onu herkesin aynı şekilde anlayacağı kesinliğe eriştirmek gerekiyor. Karl Weierstrass limiti şöyle tanımladı: Tanım 0.88. f fonksiyonunun x = a noktasında limitinin olması için gerekli ve yeterli koşul, ɛ > 0 sayısına karşılık, x değişkeni a nın delik δ komşuluğunda iken f (x) değeri L nin ɛ komşuluğunda olacak biçimde bir δ > 0 sayısının varlığıdır. Buna bazen limitin (ɛ,δ) ile ifadesi denilir. Bu tanımın koşullarını şöyle açıklayabiliriz: L nin her (L ɛ,l + ɛ) komşuluğuna karşılık, x (a δ) (a + δ) olduğunda f (x) (L ɛ,l + ɛ) olacak biçimde a nın bir (a δ) (a + δ) delik komşuluğu vardır: x a < δ f (x) L, (x a) Limit tanımını, çoğunlukla, söylediklerimizi özetleyen şu simgesel biçemiyle kullanırız: Tanım 0.89. lim f (x) = L x a ( ɛ > 0)( δ > 0) ( 0 < x a < δ) f (x) L < ɛ ) Bu tanımda f fonksiyonunun x = a noktasında tanımlı olup olmaması önemli değildir. f (a) hiç tanımlı olmayabilir, f (a) L ya da f (a) = L olabilir. 1. Örnekler: dır. lim λx = λa (5) x a 2. p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 (6) polinomonun limiti her a noktasında vardır ve dır. lim p(x) = p(a) (7) x a

166 C A LC U LU S 3. p(x) ve q(x) iki polinom ise q(a) 0 olduğunda p(x) lim x a q(x) = p(a) q(a) (8) dır. 4. f (x) = 2x x + 1 fonksiyonunun x ssonsuza giderken limitini yaklaşık değerlerle gösterelim: f (100) = 1.9802 f (1000) = 1.9980 f (10000) = 1.9998 Buradan görüldüğü gibi, x + iken fonksiyon değerleri 2 ye sınırsız yaklaşıyor. Figure 4: Limit var; fonksiyon değeri var 5. x, x < 1 f (x) = 2, x = 1 x + 2, x > 1 Şekil?? den sezilebileceği gibi, lim x 1f (x) = 1 = L f fonksiyonu x = 1 noktasında tanımlıdır ve f ( 1) = 2 dir. Bu değer fonksiyonun L = 1 limit değerine eşit değildir. Limit Kuralları olsun. lim f (x) = L x c lim g (x) = M x c Theorem 0.90. λ bir sabit sayı ise lim λ = λ (9) x c dır. Theorem 0.91. lim f (x) = L x c lim g (x) = M x c

L I M I T 167 ise lim f (x) ± g (x) x c x c f (x) ± lim g (x) = L ± M (10) x c Theorem 0.92. lim f (x) = L x c lim g (x) = M x c ise lim f (x).g (x) = (lim f (x).(lim g (x)) = L.M (11) x c x c x c Theorem 0.93. lim f (x) = L x c lim g (x) = M 0 x c ise f (x) lim x c g (x) x c f (x) lim x c g (x) = L M (12) Theorem 0.94. ve λ bir sabit ise lim f (x) = L x c lim λf (x) = λ(lim f (x)) = λl (13) x c x c Theorem 0.95. ise n N ve ve a nın bir komşuluğunda a 0 ise Theorem 0.96. lim f (x) = L x c ( ) 2n+1 lim f (x) = 2n+1 lim f (x) x c x c ( ) 2n lim f (x) = 2n lim f (x) x c x c

168 C A LC U LU S n N ve ve ise Theorem 0.97. λ R ve ve ise lim f (x) = L x c ( ) n lim [f x c (x)]n f (x) = L n x c lim f (x) = L x c (14) lim x c [λf (x) ] = λ (lim x c f (x)) = λ L (15) Özetlersek, limit için şu eşitlikleri yazabiliriz: Theorem 0.98. lim λ = λ x c lim f (x) ± g (x) = L ± M x c lim f (x).g (x) = L.M x c f (x) lim x c g (x) = L (M 0) M lim λf (x) = λl x c lim x 0 sin(x) lim x 0 x 1 cos(x) lim x lim x = 1 = 0 x sin(x) = 0 x cos(x) = 0 x Örnek 0.99. Polinom: 1. (7) kuralı gereğince, her n (N ) için lim x a λxn = λa n 2. Gene (7) kuralına göre, lim x 1 (5x3 7x + 3) = 1

L I M I T 169 Çarpanlara Ayırma 1. Bazen 0 0 belirsizliği oluştuğunda, mümkünse pay ve payda çarpanlara ayrılır. Varsa kısaltmalar yapılarak belirizlik yokedilebilir. x 2 1 lim x 1 x 1 (x 1)(x + 1) x + 1 = 2 x 1 x 1 x 1 2. x 2 + 2x 3 (x 1)(x + 2) lim x + 2 = 4 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3. 3 x lim x 9 9 x 3 x x 9 (3 x)(3 + x) ( ) 1 x 9 (3 + x = 1 6 4. 1 x lim 1 3 x 3 3 x 3x x 3 x 3 x 3 ( 1 ) x 3 3x = 1 9 5. 1 lim x 1 (x 1) 4 = 1 = 0 6. lim x 1 2x 2 + 5x 3 (x 2 + 2x 3) (x + 3)(2x 1) x 1 (x + 3)(x 1) 2x 1 x 1 x 1 = 3 2 = 3 2 7. lim x 2x 4 3x 2 + 1 (6x 4 + x 3 3x) x 4 [(2 + 3 + 1 ] x 2 x 4 x x 4 [6 + 1 x + 3 ] = 2 6 = 1 3 x 3 Rasyonelleştirme 1. Bazen köklü ifadelerde pay ve payda uygun çarpanlarla çarpılarak belirsizlik yok edilebilir.

170 C A LC U LU S lim h 0 4 + h 4 4 + h 4 4 + h + 4. h h 0 h 4 + h + 4 ( 4 ) 2 ( ) 2 + h 4 h 0 ( 4 ) h + h + 4 (4 + h) 4 ( 4 h 0 ) h + h + 4 h ( 4 h 0 ) h + h + 4 = 1 2 4 = 1 4 2. Yukarıdaki ifadeyi daha genel olarak düzenleyebiliriz: lim h 0 a + h a h h 0 h 0 a + h a a + h + a. h a + h + a ( a ) 2 ( ) 2 + h a ( a ) h + h + a (a + h) a ( a h 0 ) h + h + a h ( a h 0 ) h + h + a = 1 2 a 3. lim x 3 ( ) 3x 3 x x 3 x 3 = = 3 2 3 3 = 2 ( 3 x( x 3) ( x 3)( x + 3) ) 4. lim h 0 3 8 + h 2 = x 3 = 8 + h değişken değiştirimi yapılırsa h x 2 x 2 x 3 2 3 x 2 h 2 (x 2)(x 2 + 2x + 4) h 2 1 (x 2 + 2x + 4) 1 = (4 + 4 + 4) = 1 12

L I M I T 171 Sonsuzdaki Limit x bağımsız değişkeni x ya da x + iken f (x), f (x) g (x) ya da f (x) g (x), f (x)g (x) fonksiyonlarının yaklaştığı değerdir. Bu türlerde, a, a,, λδ, 0 0,,, 0, 0, 1 durumları oluşabilir. İlk üç durmda ifade belirli sayılır: Birinci durum da limit 0, ikinci durumda, üçüncü durumda λ δ Sonraki durumlar belirsiz ifadeler diye adlandırılır. Bu tür ifadelerin limitlerini bulmak için genel geçerliği olan yöntem yoktur. Her probem için uygun çözüm yolları aranır. Çoğunlukla kullanılan yöntemler şunlardır: 1. Rasyonel ifadelerde limit: p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 q(x) = b m x n + b m 1 x m 1 +... + b 1 x + b 0 f (x) = p(x) q(x) verilmiş ise, ve p(x) lim x 0 q(x) = p(0) q(0) = a 0 b 0 lim x, n > m, p(x) q(x) = a n b m, n = m 0, n < m Rasyonel Fonksiyonlarda Limit 1. Örneğin, lim x ± 1 x = 1 (lim x ± x = 1 ± = 0 Figure 5: Sonsuza Giden Limit 2. 4x 3 2x 2 + 1 lim x ± 3x 3 5 x ± 4x 3 x 3 x ± 4x 3 2x 2 +1 x 3 3x 3 5 x 3 2x2 + 1 x 3 x 3 3x 3 5 x 3 x 3 4 2 x + 1 x 3 x ± 3 5 x 3 = 4 0 + 0 3 0 = 4 3

172 C A LC U LU S 3. 1 + 2 + 3 +... + n lim x n 2 x n(n+1) 2 n 2 x n(n + 1) 2n 2 x 1 + 1 n 2 = 1 2 4. ( 3x lim x x 1 2x x + 1 ) ( x(3 2 x x(1 1 x )(1 + 1 x ) 5. ( x + 1 x lim x x x x + 1 ) x 1 1 + lim x x x = 1 + 0 = 1 Sonsuzda Limitin Olmadığı Durum 1. x 2 + x 1 lim x ± 2x + 5 x ± x 2 x ± x ± = 1 + 0 0 0 + 0 = 1 0 = 2x 2 +x 1 x 2 2x+5 x 2 + x 1 x 2 x 2 x 2 2x x 2 + 5 x 2 1 1 x + 1 x 2 2 x 5 x 2

L I M I T 173 Köklü İfadelerin Sonsuzdaki Limiti 1. : Sonlu Limit lim x ± x 2 + 1 x + 1 x ± x ± x ± = 1 + 0 0 0 + 0 = ± x 2 +1 x x+1 x x 2 +1 x 2 x+1 x 1 + 1 x 2 1 + 1 x 2. 3. 4. lim x 2 (x3 + 3x 2) = 2 3 + 3.2 2 = 12 1 lim x 3 2x 6 = 1 0 = ± x 2 4 lim x 2 x 2 (x 2)(x + 2) (x + 2) = 4 x 2 (x 2) x 2 5. Aşağıdaki problemde 0 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için sağdakidaki işlemeleri yapalım: ( )( ) x 2 x 2 x + 2 lim x 4 4 x x 2 (4 x) ( x + 2 ) (4 x) ( x + 2 ) x 4 = 6. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için sağdakidaki işlemeleri yapalım: 2x + 1 lim x x 3 2 + 1 x x 2 1 3 x = 2 + 0 1 0 = 2 7. Aşağıdaki problemde 5 0 tanımsızlığı vardır. Tanımsızlık yokedilemez, limit 5 2x lim = x 0 3x 8. Örnek 0.100. ( 1 1 lim 1 ) h 0 h x + h x

174 C A LC U LU S 1. lim x 2 x 3 8 x 2 3. lim x 2 2x 2 + 7x 4 4x 2 5. lim x 2 x 3 4x x 3 2x 2 x 7. lim x 0 + x 9. lim (1 e1/x ) x 0 + Grafiği Şekil 7 gibi olan f fonksiyonu 2. lim x 2 x 3 + 1 x + 1 4. lim x 2 3x + 15 x 2 25 6. lim x 2 x 3 4x x 3 2x 2 x 8. lim x 0 x 10. lim x (10 x ) 1. x = 4 noktasında tanımlı değildir. 2. lim x 4 f (x) = 2 x 4 + f (x) olduğundan limit var ve değri 2 dir. 3. Fonksiyon değeri olmadığında x = 4 noktasında fonksiyon süreksizdir. 4. x = 1 noktasında lim x 1 f (x) = 2 ve lim x 1 + f (x) = 4 olduğundan limit sol ve sağ limitler birbirlerinden farklıdır. Dolayısıyla limit yoktur ve fonksiyon x = 1 noktasında süreksizdir. 5. x = 6 noktasında fonksiyon tanımlıdır ve f (6) = 2 dir. Oysa bu noktada lim x 6 f (x) = 5 x 6 + f (x) olduğundan, sağ ve sol limitler var ve birbirlerine eşittir. Fonksiyonun limiti 5 ortak değeridir. Ama bu noktada f (6) 5 olduğundan fonksiyon süreksizdir. 1. Grafiği Şekil?? gibi olan f fonksiyonu, Figure 7: Sonsuza Giden Limit (a) x = 1 noktasında sol ve sağ limitleri var ve farklı olduğu için, fonksiyon sıçrayan bir süreksizliğe sahiptir. Sol limit 1, sağ limit 2 dir. (b) x = 1 noktasında sğ ve sol limitler eşittir ve ortak değerleri olan 2 fonksiyonun limitidir. Bu noktada fonksiyon değeri f (1) = 3 olarak tanımlanmıştır. Limit değeri fonksiyon değerinden farklı olduğu için fonksiyon x = 1 noktasında süreksizdir. (c) x = 2 noktasında sol limit 3, sağ limit i n f t y olmaktadır. Bu noktada sağ limit yok sayılır. Dolayısıyla fonksiyonun limiti yoktur, fonksiyon süreksizdir. 2. Grafiği Şekil?? gibi olan f fonksiyonu için, Figure 8: Sonsuza Giden Limit (a) x = 2 noktasında sol ve sağ limitler var, birbirlerinden farklıdır, Fonksiyonun x = 2 noktasında limiti yoktur. (b) f ( 2) = 2 tanımlıdır. (c) Limit olmadığı için fonksiyon x = 2 noktasında süreksizdir. 3. Grafiği Şekil?? gibi olan f fonksiyonu için, (a) x = 2 noktasında fonksiyon tanımsızdır. Figure 9: Sıçrama noktası

L I M I T 175 (b) x = 2 noktasında sol ve sağ limitler var ve birbirleine eşittir. Dolayısıyla limit var. (c) x = 2 noktasında fonksiyon tanımsız olduğu için süreksizdir. 4. Grafiği Şekil?? gibi olan f (x) = 1 x fonksiyonu için, (a) f (0) tanımlı değildir. [Analiz sonsuz değerleri incelemez.] (b) lim x 0 1 x = ve lim x 0 + 1 x = + olduğundan sol ve sağ limitler yoktur. Dolayısıyla fonksiyonun limiti yoktur. (c) Limiti olmadığı için fonksiyon süreksizdir. Figure 10: Sıçrama noktası 5. Grafiği Şekil?? gibi olan f (x) fonksiyonu için, (a) f (a tanımsızdır. (b) sol ve sağ limitler var ve ortak değerleri A ya eşittir. (c) Fonksiyon tanımsız olduğu için x = a noktasında süreksizdir. Figure 11: Sıçrama noktası 6. Grafiği Şekil?? gibi olan f (x) fonksiyonu için, (a) fonksiyonun x = 3 noktasında sol limiti l 1 sağ limiti l 2 dir. Bu değerler farklı olduğu için limit yoktur. (b) Limiti olmadığı için x = 3 noktasında fonksiyon süreksizdir. Figure 12: Sıçrama noktası 7. Grafiği Şekil?? gibi olan f (x) fonksiyonu için, (a) fonksiyonun x = a noktasında sol limiti L sağ limiti L dir. Bu değerler eşittir. (b) Limiti var ve için f (a) = L noktasında fonksiyon süreklidir. Figure 13: Sıçrama noktası 8. Grafiği Şekil?? gibi olan f (x) fonksiyonu için, (a) fonksiyonun x = a noktasında sol limiti L sağ limiti L dir. Bu değerler eşittir. (b) Limiti var ama için f (a) = m değerinden farklı olduğu için fonksiyon süreksizdir. Figure 14: Sıçrama noktası 9. Grafiği Şekil?? gibi olan f (x) fonksiyonu için, (a) fonksiyonun x = a noktasında sol limiti L sağ limiti L dir. Bu değerler eşittir. Figure 15: Sıçrama noktası (b) Limiti var ama için f (a) = L eşitliği olduğu için fonksiyon süreklidir. 10. Grafiği Şekil?? gibi olan f (x) fonksiyonu için, (a) fonksiyonun x = a noktasında sol limiti sağ limiti + dir.sol ve sağ limitler yoktur Figure 16: Sıçrama noktası (b) Fonksiyon bu noktada süreksizdir. Figure 17: Sıçrama noktası

176 C A LC U LU S Belisiz Şekiller Aşağıdaki örneklerde 0 0,,, 0., 00, 1, 0 belirsiz şekilleri için limit bulma yöntemleri açıklanmıştır. Bu tür problemlerin çözümü için izlenen genel yöntem, verilen fonksiyon üzerinde, fonksiyon değerini değiştirmeyen uygun işlemler yaparak belirsizliği yoketmektir. 1. Aşağıdaki problemde 0 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için x 3 = 8 + h değişken değiştirimini yapalım: h 0 iken x 2 olduğunu düşününüz. lim x 3 3 8 + h 2 x 3 2 h x 2 x 3 8 x 2 x 2 x 3 8 x 2 x 2 (x 2)(x 2 + 2x + 4 1 x 2 (x 2 + 2x + 4 1 = (4 + 4 + 4) = 1 12 2. Aşağıdaki problemde 0 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için paydanın eşleniği ile çarpalım: t t( 4 + t + 4 t) lim t 0 4 + t 4 t t 0 ( 4 + t 4 t)(( 4 + t + 4 t) t( 4 + t + 4 t) x 0 (4 + t) (4 t) t( 4 + t + 4 t) x 0 2t = 4 2 = 2 3. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için pay ve paydayı en yüksek dereceli x in parantezine alarak mümkün kısaltmaları yapıyoruz: 4x 7 lim 3x 2 + 4x 3 x x x = 4 = 0 x ( 4 7 ) x ( ) x 2 3 + 4 x 3 x 2 4 7 x ( ) x 3 + 4 x 3 x 2

L I M I T 177 4. Aşağıdaki problemde 0. belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi düzenleyip köklü ifadenin eşleniği ile çarpalım: ( ) 1 lim 1. 1 x 0 1 + x x 1 1 + x x 0 x 1 + x (1 1 + x)(1 + 1 + x) x 0 x 1 + x(1 + 1 + x) 1 (1 + x) x 0 x 1 + x(1 + 1 + x) 1 x 0 1 + x(1 + 1 + x) = 1 1(1 + 1) = 1 2 5. Aşağıdaki problemde 1 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi düzenleyip Teorem 0.96 yi uygulanabilir hale getirelim: ( lim x x 1 + x ) 2x x x = e 2 ( x + 1 x [( 1 + 1 x ) 2x ) x ] 2 = 1 e 2 6. Aşağıdaki problemde = belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki gibi düzenleyelim: lim x x x 2 + 1 x x x x x = 1 x x 2 (1 + 1 x 2 ) x x 2 1 + 1 x 2 x x 1 + 1 x 2 x x 1 + 1 x 2 1 1 + 1 x 2, (x < 0) 7. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki gibi düzenleyelim:

178 C A LC U LU S lim x + x x 2 + 1 x x + x + x + x + = +1 x x 2 (1 + 1 x 2 ) x x 2 1 + 1 x 2 x x 1 + 1 x 2 x x 1 + 1 x 2 +1 1 + 1 x 2, (x > 0) 8. Aşağıdaki problemde 1 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi düzenleyip Teorem 0.96 yi uygulanabilir hale getirelim: ( lim x x 1 + x ) 2x x x = e 2 ( x + 1 x [( 1 + 1 x ) 2x ) x ] 2 = 1 e 2 9. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim: L x f (x) x 2 + 8x 3 (x + 2) ( )( x 2 + 8x 3 (x + 2) x 2 + 8x 3 + (x + 2)) x x x 2 + 8x 3 + (x + 2) x 2 + 8x 3 x 2 4x 4 x x 2 + 8x 3 + (x + 2) 4x 7 x x 2 + 8x 3 + (x + 2) x(4 + 7 x = ( ) ) x 1 + 8 x 3 + 1 + 2 x 2 x = 4 2 = 2 10. Aşağıdaki problemde 0 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim:

L I M I T 179 ( L x 1 x 2 ) 1 x e 1 x ln 1 x 2 x = e lim x = e = e = 0 ln 1 x 2 1 x lim x 1 x 2 1 x 2 (L hospital kuralı) 11. Aşağıdaki problemde 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim: L x (x) 1 x x e 1 x lnx = e lim x lnx x = e lim x = e 0 = 1 1 x 1 (L hospital kuralı) 12. x 2 + 5x + 6 (x + 2)(x + 3) lim x 2 x + 2 x 2 x + 2 x 2 (x + 3) = 5 Trigonometrik Fonksiyonlar 1. Trigonometrik fonksiyon içeren ifadelerin limitlerini alırken, bazen uygun değişken değiştirimi ya da trigonometrik fonksiyonların yerine denk ifadeleri koyma çözüme götürebilir. olduğunu gösteriniz. Çözüm: sin x lim = 1 x 0 x x açısı radyan cinsinden M A ise 0 < x < π 2 iken sin x < x < tan x olduğunu şekilden görebiliyoruz. Bu eşitsizliklerden şunları yazabiliriz:

180 C A LC U LU S sin x < x < tan x sin x sin x < x sin x < tan x sin x 1 < x sin x < sin x sin x.cos x = 1 cos x Son eşits,zliklerde lim x 0 iken cendere kuralını uygularsak, çıkar. 1 lim x 0 cos x = 1 lim x x 0 sin x = 1 sin x lim = 1 x 0 x 2. olduğunu gösteriniz. Çözüm: sin5x lim = 5 x 0 x lim x 0 ( sin5x x ) ( 5 sin5x x 0 5x = 5 lim x 0 = 5 ( sin5x 5x ) ) = 5.1 3. olduğunu gösteriniz. Çözüm: sin(ax) lim = a x 0 bx b ( sin(ax) lim x 0 bx x 0 = a b ax bx )( lim x 0 sin(ax) ax ) = a b.1 4. olduğunu gösteriniz. Çözüm: tan(ax) lim = 1 x 0 ax ( tan(ax) sin(ax) lim x 0 ax x 0 ax = 1 1 cos(ax) ) = 1.1 5. tan(ax) lim x 0 tan(bx) = a b

L I M I T 181 olduğunu gösteriniz. Çözüm: ( tan(ax) lim x 0 tan(bx) x 0 = a b ax bx ) (. lim x 0 ) tan(ax) ax tan(bx) bx 6. olduğunu gösteriniz. t sin(t) lim x 0 cos(t) 1 = 2 Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Paydanın eşleniği ile çarpılıp bölünürse, t sin(t) t sin t(cos t + 1) = cos(t) 1 (cos t 1)(cos t + 1) t sin t(cos t + 1) = sin 2 (t) = t (cos t + 1) sin t Buradan limit alınırsa, çıkar. [ ( t sin(t) cos(t) 1 t )] [ ]. lim(cos(t) + 1) = ( 1).2 x 0 sin(t) x 0 = 2 7. olduğunu gösteriniz. cos ax cosbx) lim x 0 x 2 = b2 a 2 2 Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, cos ax cosbx) x 2 = 1 2 (b2 a 2 ) + 1 24 x2 (a 4 b 4 ) + 1 720 x4 (b 6 a 6 ) +O ( x 6) Buradan limit alınırsa, cos ax cosbx) lim x 0 x 2 [ 1 x 0 2 (b2 a 2 ) + 1 24 x2 (a 4 b 4 ) + 1 720 x4 (b 6 a 6 ) +O ( x 6) ] = b2 a 2 2 çıkar.

182 C A LC U LU S 8. olduğunu gösteriniz. e x 1) lim = 1 x 0 x Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, e x 1) Buradan limit alınırsa, çıkar. x e x 1) lim x 0 x = 1 + x 2 + x2 6 + x3 24 + x4 120 + x5 720 + +O ( x 6) x2 x2 [1 + + x 0 6 + x3 24 + x4 120 + x5 720 + +O ( x 6) ] = 1 9. olduğunu gösteriniz. e ax e bx lim = a + b x 0 x Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, e ax e bx x Buradan limit alınırsa, = (a + b) + 1 2 x(a2 b 2 ) + 1 6 x2 (a 3 + b 3 + 1 24 x3 (a 4 b 4 ) + 1 120 x4 (a 5 + b 5 ) + 1 720 x5 (a 6 b 6 ) +O ( x 6) çıkar. lim x 0 e ax e bx lim = x 0 x [(a + b) + 12 x(a2 b 2 ) + 16 ] x2 (a 3 + b 3 [ 1 + lim x 0 24 x3 (a 4 b 4 ) + 1 120 x4 (a 5 + b 5 ) + 1 720 x5 (a 6 b 6 ) +O ( x 6) ] = b a 10. x 3 lim x 9 x 9 ( x 3)( x + 3) x 9 x 9 ( x + 9) x 9 x 9 x 9 ( x + 9) x 9 (x 9)( x > 9 x+9) x 9 x 9 x < 9 (x 9)( x+9) = ± 1 6 limit yok, ama sol ve sağ limitler var.

L I M I T 183 11. 6x 2 x + 5 lim x 2x 2 + 3x x + 5 ) x 2 x 2 (6 + 1 x x 2 ( 2 + 3 x ) = 6 2 = 3 çıkar. 12. 2x 5 lim 3x 2 + 2x 4 x x(2 5 x ) x x 2 (3 + 2 x 4 = 2 = 0 x 2 ) çıkar. 13. x 3 + 5x 2 2 lim x 2x 2 x + 4 x 3 ) x 3 ( 1 + 5 x 2 x x 2 (2 1 x + 4 = 2 = x 2 ) çıkar. 14. lim x 2 + 4x 2 (x 1) x x 2 + 4x 2 (x 1) 2 x x 2 + 4x 2 + (x 1) 6x 3 x x 2 + 4x 2 + (x 1) x(6 3 x ) x x( 1 + 4 x 2 ) x 2 = 6 1 = 6 çıkar.

184 C A LC U LU S 15. ( ) 1 lim 1. 1 x 0 1 + x x x 0 ( 1 ) 1 + x. 1 1 + x x ( 1 1 + x 1. x 0 x ( ) 1 1 x 1. 1 + x = x 0 ( lim x 0 x ) x. x ( lim x 0 1 + x ) ) 1 1 + x = 1 + 1 2 çıkar. 16. x 2 + 2x 3 lim x 0 x 1 x 0 (x 1)(x + 3) (x 1) = 4 çıkar. 17. x + 4 lim (3x 1)ln( x x + 1 ) ln( x+4 x+1 ) x 1 (3x 1) x 3(3x 1) 2 3(x + 4)(x + 1) = 9 18. çıkar. ( ) x + 4 L (3x 1)ln x x + 1 ( ) x + 4 (3x 1) ln x x + 1 u(x) = x+4 x+1 ve v(x) = 3x 1 diyelim. sonucunu kullanarak çıkar. lim u(x).v(x) = λ = lim (1 + x x u(x))v(x) = e λ ( ) x + 4 L (3x 1)ln x x + 1 ( ) x + 4 (3x 1) ln x x + 1 = 9

L I M I T 185 19. 2x 3 + 16 L x 2 x 2 4x 12 2(x 3 + 2 3 ) x 2 (x + 2)(x 6) x 2 2(x + 2)(x 2 2x + 4) (x + 2)(x 6) x 2 2(x 2 2x + 4) (x 6) = 24 8 = 3 20. çıkar. 2 6x lim x 1 x 2 1 (2 6x 2)(2 + 6x 2) x 1 (x 2 1)(2 + 6x 2) x 1 (4 (6x 2)) (x 1)(x + 1)(2 + 6x 2) = 6 (8) = 3 4 çıkar. 21. Aşağıdaki limit bulunurken eşitlikleri kullanılmıştır. çıkar. L u(x) = 0 = lim u(x) 1 u(x) = e x 0 x 0 x 0 u(x) v(x) x 0 u(x) lim x 0 v(x) L x 0 ( e x + x ) 1 x ( e x (1 + x ) 1 x 0 e x ) x x 0 e = e lim x 0 = e [ = e.e 1 = e 2 lim x 0 ( 1 + x ) 1 x e x [ ( 1 + x ) ex x e x ] 1 e x ] ( 1 + x ) ex 1 limx 0 e x x e x 22. u = u(x) ile v = v(x) fonksiyonları sürekli türetilebilir ve lim x u(x).v(x) = λ ise

186 C A LC U LU S lim (1 + x u(x))v(x) = e λ bağıntısı vardır. Kanıt: Limiti alınacak ifadenin doğal logaritmasını alırsak, ln f (x) = v(x)ln(1 + u(x)) = ln(1 + u(x) 1 v(x) x iken yukarıdaki ifade 0 0 belirsiz biçimini alır. O halde l Hospital Kuralı uygulanabilir: lim ln f (x) ln[1 + u(x)]v(x) x x x v(x).ln[1 + u(x)] ln[1 + u(x)] x 1 x v(x) u (x) [1+u(x)] v (x) v 2 (x) x 3 lim x 9 x 9 ( x 3)( x + 3) x 9 x 9 ( x + 9) x 9 x 9 x 9 ( x + 9) x 9 (x 9)( x > 9 x+9) x 9 x 9 x < 9 (x 9)( x+9) = ± 1 6 limit yok, ama sol ve sağ limitler var. 23. 25x 2 64 (5x 8)(5x + 8 lim x 1.6 5x 8 x 1.6 5x 8 x 1.6 (5x + 8) = 16 24. x 2 2x + 1 lim x 0 x 2 + 2x 1 3 x 0 1 ( 3) = 3 x 0 25. x 3 + 64 lim x 4 x + 4 (x + 4)(x 2 4x + 16) x 4 x + 4 x 4 (x 2 4x + 16) = 48

L I M I T 187 26. x 3 2x 2 4x + 8 (x + 4)(x 2 4) lim x 2 x 4 8x 2 + 16 x 2 (x 2 4) 2 1 x 2 x + 2 = 1 4 27. L x 0 (1 + x) 5 (1 + 5x) x 2 + x 5 (1 + x) 5 (1 + 5x) = 1 + 5x + 10x 2 + 10x 3 + 5x 4 + x 5 1 5x 10x 2 + 10x 3 + 5x 4 + x 5 x 0 x 2 (10 + 10x + 5x 2 + x 3 ) x 2 (1 + x 3 ) (10 + 10x + 5x 2 + x 3 ) x 0 (1 + x 3 ) (10 + 0 + 0 + 0) x 0 (1 + 0) = 10 28. x 2 L x 2 x 2 4 (x 2)) x 2 (x 2)(x + 2) x 2 (x + 2) = 4 29. sin 2 x L x 0 x ( sin x x 0 x ( sin x x 0 x = (1).(0) = 0 ) sin x )( lim x 0 sin x ) 30. sin 2 x L x 0 x ( 2 ) sin x sin x x 0 x x ( )( ) sin x sin x lim x 0 x x 0 x = (1).(1) = 1

188 C A LC U LU S 31. ( ) 1 L x π 1 + t an 2 x 6 x π 6 ( x π 6 ( 3 = 2 1 1 + sin2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x + sin 2 x ) 2 ) = 3 4 32. ( L 2sec 2 x 1 ) x π 4 ( ) 2 x π cos 2 x 1 4 ( ) 2 1 2 x π 1 4 2 ( ) 3/2 = 1/2 = 3 33. L (cot x + csc x) x π 3 ( cos x x π sin x + 1 ) sin x 3 ( ) cos x + 1 x π sin x 3 ( ) 3/2 = 2 3 = 3 34. ( ( )) 1 L x sin x 0 x ( ) lim 1 x sin x x 0 lim x 0 ( x ) = 0

L I M I T 189 35. L n n x = 1 olduğunu gösretiniz. ( L n ) x n ( ) x 1 n x ( ) = x lim x 1 n = x 0 = 1 36. L n 0 sin x x = 1 olduğunu gösretiniz. Çözüm: Trigoometrik oran ve uzunluklarla çözüm yapılabilir. Ama L Hospital kuralı en kolayıdır: 37. L n 0 1 cos x x sin x L n 0 x cos x n 0 1 n 0 cos x = 1 = 0 olduğunu gösretiniz. Çözüm: Trigoometride yarım açı formülleri ile doğrudan çözüm yapılabilir. Ama L Hospital kuralı en kolayıdır: 38. L n 0 e x 1 x 1 cos x L n 0 x sin x n 0 1 n 0 sin x = 0 = 1 olduğunu gösretiniz. Çözüm: e x seriye açılarak çözüm yapılabilir. Ama L Hospital kuralı en kolayıdır: e x 1 L n 0 x e x n 0 1 e x n 0 = e 0 = 1 ( 39. L x 1 ) n 1 ln x = 1 olduğunu gösretiniz.

190 C A LC U LU S Çözüm: Ama L Hospital kuralı en kolayıdır: ( ) x 1 L n 1 ln x ( ) 40. Aşağıdaki limiti hesaplayınız. n 1 n 1 x = 1 1 1 x x 2 4 L n 2 x 2 (x 2)(x + 2) n 2 x 2 n 2 x + 2 = 4 41. Aşağıdaki limiti hesaplayınız. x 2 L n 4 4 x x 2 n 4 (2 x)(2 + x) n 4 [ (2 + x)] = 4 42. Aşağıdaki limiti hesaplayınız. Çözüm: L Hospital kuralı en kolayıdır: sin3x L n 0 x ( ) cos3x 3 n 0 1 n 0 (3cos3x) = 3 43. Aşağıdaki limiti hesaplayınız. Çözüm: L Hospital kuralı en kolayıdır: 1 cos x L n 0 x ( 2 ) sin x 3 n 0 2x ( cos x ) 3 n 0 2 = 1 2

L I M I T 191 ( ) 44. lim e ax e bx x 0 x = b a olduğunu gösterinz. Çözüm: L Hospital kuralı en kolayıdır: 45. lim x 0 ( a x b x x ( ) e ax e bx L x 0 x ( ) ae ax ( b)e bx x 0 1 ( ae 0 ( b)e 0 ) x 0 1 = b a ) = ln ab olduğunu gösterinz. Çözüm: L Hospital kuralı en kolayıdır: ( a x b x ) L x 0 x ( ) e x ln a e x lnb x 0 x ( ) ln ae x ln a lnbe x lnb x 0 1 x 0 (ln ae 0 lnbe 0 ) = ln a lnb = ln a b

Süreklilik Tanım 0.101. f fonksiyon x = a noktasında tanımlı ve lim f (x) = f (a) x a ise f fonksiyonu x = a noktasında sürekli dir. Tanım 0.102. süreksiz dir denilir. Fonksiyonun sürekli olmadığı noktalarda fonsiyona I aralığının her noktasında sürekli olan fonksiyona I aralığı üzerinde sürekli fonksiyondur denilir. Sürekliliği, limittekine benzer olarak ɛ,δ ile tanımlamak çoğunlukla kullanılan bir yoldur: Tanım 0.103. Her ɛ > 0 sayısına karşılık x a < δ = f (x) f (a) < ɛ (16) olacak biçimde bir δ > 0 sayısı varsa, f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir. Theorem 0.104. p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 (17) polinomu her a R noktasında süreklidir ve lim p(x) = p(a) (18) x a Theorem 0.105. a noktasını içeren bir açık aralıktaki her x noktası için h(x) f (x) g (x) ve lim x a h(x) = L x a g (x) ise lim f (x) = L x a Theorem 0.106. a noktasını içeren bir açık aralıktaki her x noktasında g (x) sınırlı ve lim f (x) = 0 ise x a lim x a ( f (x).g (x) ) = 0

194 C A LC U LU S Theorem 0.107. lim (1 + 1x ) ) = e x + Theorem 0.108. lim f (x) = 0, x + lim g (x) = + ve x + ( ) lim f (x)g (x) = λ ise x + ( ) g (x) lim 1 + f (x) = e λ x + Çözümlü Problemler Süreklilik problemlerini çözerken, çoğunlukla, Tanım 0.103 tanımı yerine, limit ve süreklilik özeliklerini kullanırız. Başka bir deyişle, fonksiyonun x = a noktasında L limitinin olup olmadığına, L limiti varsa f (a) = L olup olmadığı araştırılır. f (a) tanımsız ise, zaten limit olamaz, dolayısıyla fonksiyon süreksiz Bu kuralları uygularken şunları aklımızda tutmalıyız: 1. Polinomlar her yerde süreklidir. 2. Rasyonel fonksiyonlar, paydanın sıfır olmadığı yerlerde süreklidir. 3. Üslü ifadeler her yerde süreklidir. 4. n u biçimindeki ifadelerde n çift ise u 0 olmalıdır. 5. u 0 ise 2n u 2n = u, 2n+1 u 2n+1 = a 6. u 0 ise 2n u n = u 7. sinus ve cosinus fonksiyonları her yerde süreklidir. 8. Trigonometrik ifadeler, paydanın sıfır olmadığı yerlerde süreklidir. 1. f (x) = x 2 fonksiyonu her noktada süreklidir. Rasgele bir x = a R noktası seçelim. Fonksiyonun x = a noktasında tanımlı ve değerinin f (a) olduğunu biliyoruz. Herhangi bir ɛ > 0sayısı verilsin. Tanım 0.103 uyarınca, her ɛ > 0 sayısına karşılık x a < δ = f (x) f (a) < ɛ (19) olacak biçimde bir δ > 0 sayısı olduğunu göstermeliyiz. (x a)(x + a) < ɛ = x 2 a 2 < ɛ (20)

S Ü R E K L I L I K 195 olduğunu düşünerek, (x a) < 1 = 1 < x a < +1 (21) terimlere 2a eklersek eşitsizlikler bozulmaz 2a 1 < x + a < 2a + 1 (22) yazılabilir. Buradan (x a) < 1 = (x a) (x + a) < (2a + 1) x a (23) çıkar. Buradan da, (2a + 1) x a < 1 (x a) < 1 = x 2 a 2 < ɛ (24) olur ki bu (19) bağıntısının sağlanması demektir. 2. f (x) = x2 4 x 2 fonksiyonunun x = 2 noktasında süreksiz olduğunu gösteriniz. Çözüm: grafikten de görüldüğü gibi (25) x 2 4 lim x 2 x 2 = x2 4 x 2 f r ac(x 2)(x + 2)x 2 (26) = x2 4 (x + 2) = 4 (27) x 2 x = 2 noktasında f (x) fonksiyonunun limiti vardır, ama f (2) tanımlı değildir. Dolayısıyla fonksiyon x = 2 noktasında süreksizdir. 3. y = 2 1 x fonksiyonu için lim 2 1 x = 0, lim 2 1 x = x 0 x 0 + olduğundan, fonksiyon x = 0 noktasında süreksizdir. 4. f (x) = 3x + 9 x 2 9 fonksiyonunun x = 3 noktasında süreksiz olduğunu gösteriniz. (28) 3x + 9 lim x 3 x 2 9 f r ac3(x + 3)(x 3)(x + 3) = f r ac3x 3 = 1 x 3 2 (29) x = 3 noktasında f (x) fonksiyonunun limiti vardır, ama f ( 3) tanımlı değildir. Dolayısıyla fonksiyon x = 3 noktasında süreksizdir. 5. f (x) = x2 4 x 2 (30)

196 C A LC U LU S fonksiyonunun x = 2 noktasında süreksiz olduğunu gösteriniz.. Çözüm: grafikten de görüldüğü gibi x 2 4 lim x 2 x 2 = x2 4 x 2 f r ac(x 2)(x + 2)x 2 (31) = x2 4 (x + 2) = 4 (32) x 2 x = 2 noktasında f (x) fonksiyonunun limiti vardır, ama f (2) tanımlı değildir. Dolayısıyla fonksiyon x = 2 noktasında süreksizdir. si nx x, x 0 f (x) = 1, x = 0 fonksiyonunun x = 1 noktasında sürekli olduğunu gösteriniz. Çözüm: si nx lim = 1 (33) x 0 x olduğunu biliyoruz. Tanımdan x = 0 noktasında f (0) = 1 verilmiştir. O halde fonksiyon değeri vardır ve limite eşittir. Öyleyse fonksiyon x = 0 noktasında süreklidir. Uyarı 0.109. Fonksiyon f (x) = si nx x biçiminde tanımlanmış olsaydır, f (0) tanımlı olmaz, dolayısyla fonksiyon x = 0 noktasında süreksiz olurdu. Alıştırmalar 1. 2x, x < 2 f (x) = x 2, x 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz ve aşağıdaki limitleri bulunuz. (a) lim x 2 f (x) (b) lim x 2 + f (x) (c) lim x 2 f (x) (d) l i m x 1 f (x) 2. x 3 1, x < 0 f (x) = 0, x = 0 x + 1 2 x > 0 fonksiyonunun grafiğini çiziniz ve aşağıdaki limitleri bulunuz. (a) lim x 0 f (x) x 0 x 3 1 = 1 (b) lim x 0 + f (x) x 0 + x + 1 = 1 (c) lim x 0 f (x) = 1 (d) l i m x 1 f (x)lim x 1 x 3 1 = 2 (e) l i m x 3 f (x)lim x 3 x + 1 = 0

Türev Tanım 0.110. y = f (x) fonksiyonu (a,b) aralığında tanımlı ve x 0 (a,b) olsun. y = f (x 0 ) h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h limiti varsa, bu limit değeri f fonksiyonunun x = x 0 noktasındaki türevidir. y = f (x) fonksiyonunun türevi, y, f (x 0 ), d f (x 0) d, d x d x f (x), D x f (x), D x y, simgelerinden biriyle gösterilir. Tanım 0.110 de h bir gerçel sayıdır. h 0 olabilmesi için, h sayısı 0 (34) sayısına soldan ya da sağdan istenildiği kadar yakın olabilir. Uygulamada h sayısının çok küçük bir sayı olduğunu kabul etmek bir kısıtlama getirmez. x değişkeninin sola ya da sağa doğru istenildiği kadar küçük bir hareketi, h = x olmak üzere x + x ile gösterilir. h = x alınırsa Tanım 0.110 şöyle de yazılabilir: y x=x0 = f (x 0 ) x 0 f (x 0 + x) f (x 0 ) x (35) Bir Aralıkta Türetilebilme x 0 noktası için yapılan türev tanımını her x (a,b) noktasına yaymak isteyelim. x = h konumuyla, türevi y = f (x) x 0 f (x + x) f (x) x (36) biçiminde yazabiliriz. Bazen x = x x 0 konularak, türev f f (x) f (x 0 ) (x) x0 x (x x 0 ) (37) biçiminde de yazılabilir. Tanım 0.111. (a,b) aralığındaki her x noktsı için 36 ya da ona denk olan 37 sağlanıyorsa, f fonksiyonu (a,b) aralığında türetilebilir (differentiable) bir fonksiyondur.

198 C A LC U LU S Soldan ve sağdan türev Soldan ve sağdan limitler gibi soldan ve sağdan türevler de tanımlanabilir: Tanım 0.112. f (x ) = f f (x + h) f (x) (x 0) h 0 h değerine f fonksiyonunun soldan türevi, Tanım 0.113. f (x + ) = f f (x + h) f (x) (x + 0) h 0 + h eğerine f fonksiyonunun sağdan türevi denilir. x noktasında f fonksiyonunun türevinin olması için, o noktada soldan ve sağdan türevlerinin var ve birbirlerine eşit olması gerekir. Parçalı Türevlenebilme Parçalı Süreklilik Bir (a,b) aralığında incelenen fonkiyon, aralığın bazı noktalarında süreksiz olabilir. Süreksizlik noktaları c,d,e,... ise, fonksiyonu (a, c),(c, d),(d, e),... alt aralıklarında inceleriz. Tanım 0.114. f fonksiyonu söz konusu alt aralıklarının her birinde sürekli ise, f fonksiyonuna parçalı süreklidir, denilir. Parçalı Türetilebilme Tanım 0.115. Parçalı sürekli olduğu her aralıkta türevlenen fonksiyona parçalı türetilebilir (sectional differentiable) fonksiyon denilir. Diferensiyel y = f (x) fonksiyonu (a, b) aralığında tanımlı ve x (a, b) noktasına verilen bir x artmasıyla elde edilen y = f (x + x) f (x) (38) değerine x in x artmasına karşılık gelen fonksiyon artması denilir. (Tabii, her iki artım negatif yönde de olabilir.) f fonksiyonu (a,b) aralığında sürekli, türetilebilir ve birinci türevi sürekli ise, eşitliğini y = d y d x = f (x) (39) d y = f (x)d x (40)

T Ü R E V 199 biçiminde yazabiliriz. (40) ifadesine f fonksiyonunun diferensiyeli denilir. Bu ifadede x = d x değerlerinin istenildiği kadar küçük ama 0 dan farklı olduğunu unutmayacağız. Diferensiyeli bazı sayıların yaklaşık değerlerini bulmak için kullanabiliriz. Bunun için, önce yaklaşık değeri verecek bir formül oluşturalım. y = f (x + x) f (x) (41) olduğunu düşünerek (40) ifadesini f (x + x) f (x) x + f (x) (42) biçiminde yazalım. Bu istenen yaklaşık değerleri verecektir. Örnek 1: 28 sayısının yaklaşık değerini bulalım. 28 sayısına en yakın olarak karekökünü tam bildiğimiz sayı 25 dir. O halde x = 25 ve x = 28 25 = 3 alarak (42) ifadesini 28 1 2 25.(3) + 25 biçiminde yazabiliriz. Buradan 1 28 2.5.(3) + 5 = 3 + 5 = 0.3 + 5 = 5.3 10 bulunur. 3 Örnek 2: 21 sayısının yaklaşık değerini bulmak için y = 3 x fonksiyonunu kullanabiliriz. 21 sayısına en yakın olarak küp kökünü tam bildiğimiz sayı 27 dir. O halde x = 27 ve x = 21 27 = 6 alarak, (42) ifadesini 3 21 ( x 1/3 ).( 6) + 3 27 = 1 3 ( 27 (1/3) 1 ).( 6) + 3 = 1 3 27 2/3.( 6) + 3 = 1 3 3 27 2.( 6) + 3 = 1 3.3.3.( 6) + 3 = 2,778 bulunur. Örnek 3: 98 sayısının yaklaşık değerini bulmak için y = x fonksiyonunu kullanabiliriz. 98 sayısına en yakın olarak kare kökünü tam bildiğimiz sayı 100 dür. O halde x = 100 ve x = 98 100 = 2 alarak, (42)

200 C A LC U LU S ifadesini 98 ( x 1/2 ).( 2) + 100 bulunur. = 1 2 ( x (1/2) 1 ).( 2) + 10 = 1 2 100 1/2.( 2) + 10 1 = 2.( 2) + 10 100 = 1.( 2) + 10 2.10 9.7 Genel olarak, y d y dir. Ancak, verilen koşullar altında x = d x çok küçük kılındığında y d y olduğu varsayılabilir. Diferensiyel kavramı x değişkeni için de ifade edebilir. Özel olarak, y = f (x) = x alınırsa x = d x ifadesine x değişkeninin diferensiyeli diyebiliriz. Tabii, d x in küçük olaması d y nin de küçük olmasını gerektirmez. (36) ile (38) eşitliklerinden hareketle d y d x = f f (x + x) f (x) (x) x 0 x y x 0 x (43) (44) yazabiliriz. Burada şuna dikkat etmeliyiz. d x ile d y ifadeleri x 0 iken elde edilen değerler değildir. Çünkü d x ile d y ifadeleri 0 değilken yukarıdaki limitler 0 olabilir. Türev Kuralları Theorem 0.116. 1. Sabit fonksiyonun türevi 0 dır: her x için y = f (x) = c ise y = d f d x (c) = 0 2. Her n N için y = x n fonksiyonunun türevi y = nx n 1 dir. 3. Her c sabiti için y = c f (x) fonksiyonunun türevi y = c f (x) dir. 4. y = f (x) ± g (x) için y = f (x) ± g (x) dir. 5. y = f (x).g (x) için y = f (x).g (x) + f (x).g (x) dir. 6. y = g o f (x) = g (f (x)) için y = g (f (x)).f (x) dir. 7. y = f (x) g (x) = y = f (x).g (x) g (x)i f (x) ( ) 2 g (x) dir.

T Ü R E V 201 Özel Fonksiyonların Türevleri Ters Fonksiyonun Türevi y = f (x) ise x = f 1 f (y) bağıntısından d y d x = 1 d x d y (45) bağıntısı elde edilir. Zincir Kuralı f (x) ile g (x) türetilebilie iki fonksiyon ve y = F (x) = f og (x) = f ( g (x) ) ise olduğunu gösteriniz. y = d d x (F (x)) = f ( g (x) ) g (x) (46) y F (x + x) F (x) x 0 x ( ) y x 0 x ( y x 0 u. u ) x ( ) ( ) y u. lim x 0 u x 0 x = d y du du d x = f (u).g (x) = f (g (x)).g (x) Parametrik Fonksiyonun Türevi x = g (u) ve y = f (t) fonksiyonları türetilebilir ve f (x) fonksiyonunun t = f 1 ters fonksiyonu sürekli türetilebilir ise, y = d y d x = d f d g = = f (t) g (t) d f d t d g d t (47) (48) Türev kurallarının benzerleri diferensiyeller için de uygulanabilir: d ( f (x) + g (x) ) = d f (x) + d g (x) = f (x)d x + g (x)d x = ( f (x) + g (x) ) d x (49) (50)

202 C A LC U LU S d ( f (x).g (x) ) = f (x).d g (x) + d f (x).g (x) = f (x).d g (x) + g (x)d f (x) = ( f (x).g (x) + g (x)f (x) ) d x (51) (52) y = e x y = d ( e x ) = e x (53) d x olduğunu gösteriniz. y e x+h e x h 0 h ( ) e x (e h 1) h 0 h ( ) = e x (e h 1) lim h 0 h l Hopital = e x.1 = e x Logaritma Fonksiyonunun Türevi y = ln x d d x (ln x) = 1 x (54) olduğunu gösteriniz. y = ln x fonksiyonunun türevini bulmak için ( lim 1 + h ) x h = e h 0 x eşitliğini kullanacağız. Türev tanımında logaritma farkları için bilinen eşitliği kullanırsak, ln(x + h) ln x h = 1 ( ) x + h h.ln x = 1 x. x h.ln ( 1 + h x = 1 ( x.ln 1 + h ) x h x ) logaritmaların farklı x ile çarp ve böl kuvvetin logaritması Buradan limite geçersek,

T Ü R E V 203 y ln(x + h) ln x h 0 h ( 1 h 0 x.ln 1 + h ) x h x = 1 x.ln [lim h 0 = 1 x.lne = 1 x.1 ( 1 + h x ) x ] h = 1 x y = a x y = d ( a x ) = a x.ln a (55) d x olduğunu gösteriniz y a x+h a x h 0 h ( ) a x (a h 1) h 0 h ( ) = a x (a h 1) lim h 0 h ( ) = a x (e h ln a 1) lim h 0 h ( ) = a x ln a.e h ln a lim h 0 1 l Hopital = a x.ln a y = log a x y = log a x fonksiyonunun türevi, y = lnx ln a ile (54) eşitliklerinden, kolayca hesaplanabilir: y = log a x y = lnx ln a bağıntısı kullanılırsa çıkar. y = d d x = 1 x.l nx ( ) lnx ln a Köklü İfadelerin Türevi y = x fonksiyonunun türevini değişik yöntemlerle bulabiliriz:

204 C A LC U LU S Türev tanımından: çıkar. y = d x d x ( ) x + h x h 0 h ( ( x + h x).( x + h + ) x) h 0 h( x + h + x) ( ) x + h x h 0 h( x + h + x) ( ) h h 0 h( x + h + x) ( ) 1 h 0 x + h + x = 1 2 x Üstel Fonksiyonun Türevinden : y = d ( ) x 1 2 d x = 1 2 x Ters Fonksiyonunun Türevinden : bağıntısından = ( 1 2 )x 1 2 1 = ( 1 2 )x 1 2 = 1 y = x = x = y 2 2x 1 2 d x d y d y = 2y = d x = 1 2y = d y d x = 1 2 x çıkar. Üstel Fonksiyonun Türevi u = u(x) olmak üzere y = f (x) = e u(x) fonksiyonunun türevi: d y d x = eu(x) du d x (56) u = u(x), a > 0 olmak üzere y = f (x) = a u(x) fonksiyonunun türevi: d y d x = au(x).ln a. du d x (57) u = u(x) olmak üzere y = f (x) = l og e (u(x)) fonksiyonunun türevi: d y d x = d d x l og e(u(x)) = 1 du u d x (58) u = u(x), a > 0 olmak üzere y = f (x) = l og a (u(x)) fonksiyonunun türevi: d y d x = d d x l og a(u(x)) = log ae du u d x (59)

T Ü R E V 205 Alıştırmalar 1. f (x) = x 3 fonksiyonu için d d x f (x) türevini bulunuz. Çözüm: Türev tanımı uygulanırsa uygulanırsa d f (x + x) f (x) d x x3 x 0 x x 3 + 3x 2 x + 3x( x) 2 + ( x) 3 x 3 x 0 x 3x 2 x + 3x( x) 2 + ( x) 3 x 0 x 3x 2 x 0 1 = 3x 2 2. y = 2x 3 4x 2 + 3x 5 fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm: Yukarıdaki 1,2 ve 4.kural uygulanırsa y = (2x 4 ) (4x 2 ) + (3x) (5) = 2(x 3 ) 4(x 2 ) + 3(x) 0 = 2.3x 3 1 4.2x 2 1 + 3.1 = 6x 2 8x + 3 bulunur. 3. fonksiyonunun türevini bulunuz. y = f (x) = ( x + 2x)(4x 2 1) Çözüm: Çarpımın türevi kuralı uygulanırsa, f 1 (x) = ( 2 x + 2)(4x2 1) + x + 2x)(8x) = (1 + 2.2 x)(4x 2 1) + 2 x 8x( x + 2x) 2 x = (4x2 1 + 16x 5/2 4 x + 4x + 16x 2 + 32x 5/2 2 x = 48x5/2 + 20x 2 4x 1/2 1 2 x 4. y = f (x) = (x 2 + ln(x + 1)(4x 2 1) fonksiyonunun birinci ve ikinci basamaktan türevlerini bulunuz.

206 C A LC U LU S Çözüm: Çarpımın türevi kuralı uygulanırsa, f (x) = (x 2 ).ln(x + 1) + x 2 (ln(x + 1)) = 2x.ln(x + 1) + x 2 1.(x + 1) x + 1 = 2x.ln(x + 1) + x 2 1 x + 1.1 = 2x.ln(x + 1) + x2 x + 1 ( x f (x) = (2x.ln(x + 1)) 2 ) + x + 1 = 2ln(x + 1) + 2x 1 x + 1.1 + 2x.(x + 1) x2.1 (x + 1) 2 = 2.ln(x + 1) + 2x x + 1 + x2 + 2x (x + 1) 2 Örnek 0.117. 1. Figure 19: Sıçrama noktası Figure 20: Sıçrama noktası Figure 21: Sıçrama noktası f (x) = (x 1) 4 (60) x3 f (x) = x 1 (61) f (x) = (3x + 1) 101 (62) ( ) 1 x 11 f (x) = 1 + x (63) x f (x) = (1 + x) 2 (1 x) 2 (64) f (x) = x 1 x 2 (65) x + 1 f (x) = x 1 (66) (67) l Hôpital Kuralı Theorem 0.118. f ile g türetilebilir ve Figure 22: Sıçrama noktası belirsizlikleri oluşuyorsa f (c) lim x c g (c) = 0 0 f (c) ya da lim x c g (c) = f (x) lim x c g (x) f (x) x c g (x) Figure 23: Sıçrama noktası eşitliği vardır. L Hôpital Kuralı uygulamada limit bulmayı çok kolaylaştırır.