JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ

Transkript

1 KOCAELĐ ÜNĐVERSĐESĐ MÜHENDĐSLĐK FAKÜLESĐ HARĐA MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR Ders No KOCAELĐ Eylül,

2 KOCAELĐ ÜNĐVERSĐESĐ MÜHENDĐSLĐK FAKÜLESĐ HARĐA MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR Ders No KOCAELĐ Eylül,

3 ĐÇĐNDEKĐLER ii Sayfa ĐÇĐNDEKĐLER...ii SĐMGE LĐSESĐ...iv KISALMA LĐSESĐ... v ŞEKĐL LĐSESĐ...vi ÇĐZELGE LĐSESĐ...vii ÖNSÖZ...viii ÖZE...i ABSRAC.... MAEMAĐK MODEL OLUŞURMA.... MAEMAĐK MODEL ESĐ Kramsal Varyans Biliniyorsa Kramsal Varyans Bilinmiyorsa UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER ESĐ Kramsal Varyans Biliniyorsa Kramsal Varyans Bilinmiyorsa PARAMERE ESĐ Kramsal Varyans Biliniyorsa Kramsal Varyans Bilinmiyorsa Bilinmeyenlerin (Paramerelerin) Fonsiyonlarının esi UYGULAMALAR Paramere esi ile Fonsiyonel Modelin es Edilmesi Paramerelerin Anlamlılı esi Uyşmsz Ölçüler ve Eşdeğerli esleri Dönüşümlerde Uyşmsz Ölçüler ve Paramere Anlamlılı esleri B Dönüşümler B Dönüşümler Bilineer Dönüşüm Afin Dönüşümü Benzerli (Helmer) Dönüşümü Maemai Modelin Olşrlması Ve Çözümü Dönüşüm Sonçlarının es Edilmesi...

4 Maemai Model esi Uyşmsz Ölçüler esi Paramere Anlamlılı esi Uyglama Açı Afin Maemai Modelinin Değerlendirilmesi ÖDEVLER KAYNAKLAR... 4 EKLER E Normal Dağılım ablo Değerleri E χ -Dağılımı ablo Değerleri (s-:güven aralığı) E 3 -Dağılımı ablo Değerleri (s-:güven aralığı) E 4 τ-dağılımı ablo Değerleri (s-:güven aralığı) E 5 F-Dağılımı ablo Değerleri (%5) E 6 F-Dağılımı ablo Değerleri (s-%975) E 7 F-Dağılımı ablo Değerleri (%)

5 SĐMGE LĐSESĐ A σ Σ λ Bilinmeyenlerin asayılar marisi Bilinmeyenler veörü Kramsal varyans Kramsal varyans-ovaryans marisi Dalga boy iv

6 KISALMA LĐSESĐ GNSS HGK IERS KOÜ KGM Global Navigaion Saellie Sysem Haria Genel Komanlığı Inernaional Earh Roaion Service Kocaeli Üniversiesi ap Kadasro Genel Müdürlüğü v

7 ŞEKĐL LĐSESĐ Sayfa vi

8 ÇĐZELGE LĐSESĐ Sayfa ÇĐZELGE Ölçüler ve alibrasyon baz znlları vi

9 ÖNSÖZ Haria (Jeodezi ve Foogrameri) Mühendisliği mesleğinin deneysel verileri arazide yapılan geomeri ölçmelerden olşr. Çoğnlla blnma isenen bilgiye laşma için gereğinden fazla ölçü yapılır. B ölçülerin planlanması aşamasında; alie ve güven ölçülerinden yararlanılıren, değerlendirme aşamasında hipoez eslerinden yararlanılır. Jeodezi verilerin irdelenmesi dersi; yapılan ölçülerin değerlendirilmesi ve yormlamasını aşamalarını apsamaadır. B ders apsamında öğrencinin; Jeodezi ölçülerin modellenmesi, Bilinmeyenlerin ve ölçülerin EKK (En Küçü Kareler) yönemine göre esirlmesi, Maemai modelin es edilmesi, Uyşmsz ölçülerin es edilmesi ve ayılanması, Paramerelerin es edilmesi, yeilerini gelişirmesi öngörülür. Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR Eylül, Kocaeli vii

10 ÖZE Anahar Sözcüler: Maemai Model esi, Uyşmsz Ölçüler esi, Paramere esi. i

11 ABSRAC (ANALYSIS of GEODEDIC DAA) Keywords: Mahemaical Model es, Olier es, Parameer es.

12 . MAEMAĐK MODEL OLUŞURMA Jeodezi ölçülerin EKK yönemine göre değerlendirilmesinde llanılan en önemli dengeleme yönemi dolaylı ölçüler yönemidir. Noa oordinalarının yada noa yüselilerinin bilinmeyen seçildiği bir ço eodezi problemin çözümünde, bilinmeyen noa oordinaları ve yüseliler arasındai ilişiler eodezi ölçüler ile sağlanır. b Jeodezi ölçülerin ve ağın boy ( b,,3 ) m p Ölçü grb sayısı Noa sayısı s Sabi noa sayısı ( Serbes ağlarda s ) nb*m Ölçü sayısı n-b*(p-s) Bilinmeyen sayısı ( Serbes ağlarda b*p ) d Dam paramere sayısı ( Serbes ağlarda d> ) fn-+d Serbesli derecesi σ Birim ölçünün aresel oralama haasının öncül değeri L v Ölçüler Düzelmeler K l Ölçülerin Varyan-Kovaryans Marisi K P σ l Ölçülerin ağırlı marisi + Bilinmeyenler L L + v Φ( ) Fonsiyonel model Φ( ) L + v Φ( ) + +K Bilinmeyenlere göre doğrsallaşırma Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR ( / 6)

13 l L Φ( ), l l + v, Φ A ( ) l A P Maemai model v A l P Maemai model A P A A Pl Normal denlemler Q Bilinmeyenlerin ers ağırlığı Q ( A ( A ( A P A) P A) P A) + ran{ A} ran{ A} < ran{ A} < ve d ve d ve d D > ve > ve D min min Q A Pl Normal denlemlerin çözümü (dengeleme bilinmeyenleri) + Dengeli bilinmeyenler l l + v Dengeli öelenmiş gözlemler L L + v Dengeli ölçüler m v P v Birim ölçünün soncl dyarlığı f ± Q AQ A l Dengeli ölçülerin ers ağırlığı Q v Q l Q l P Q l Düzelmelerin ers ağırlığı h ϕ() Bilinmeyenlerin fonsiyonları ϕ( ) dh d H d h Q HQ H Bilinmeyenlerin fonsiyonnn ers ağırlığı Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR ( / 6)

14 . MAEMAĐK MODEL ESĐ Fosiyonel ve soasi modelin her iisinin birden esini apsar.. Kramsal Varyans Biliniyorsa Kramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönemelie verilen bir değer ramsal varyans olara seçilir. H H { } σ : E m Sıfır hipoezi : E { } σ S m Seçene hipoezi v P v m f ~ χ ( f, ) σ σ. Kramsal Varyans Bilinmiyorsa Kramsal varyans bilinmiyorsa, denelenmiş benzer bir problemin sonçları yada endi problemimizden yararlanara elde edebileceğim bir değer (örneğin Ferrero bağınısı) model esi yapılabilir. H { m } E{ } σ : E m Sıfır hipoezi { m } E{ m } H S : E Seçene hipoezi m ~ F(f,f, ) m ( m m > ) m ~ F(f,f, ) m ( m m < ) Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (3 / 6)

15 3. UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER ESĐ Model esi geçersiz ise yşmsz ölçüler araşırılır. i. ölçü grbnn aba haa esirim değeri ve onn ers ağırlığı, i (Q P v) i b boyl i. ölçü grb Q (PQ P) v ii i b boyl i. ölçü grbnn ers ağırlığı ile blnr. i. ölçü grbnn soncl varyansa eisi aşağıdai bağını ile göserilir. R i Q i i (P v) i (PQ P) v ii (P v) i i Q n (P v) P v L, (P v) P v n L m (P v) m, (PQ P) v (PQ P) v PQ P v L n n (PQ P) v m (PQ (PQ (PQ v v L v P) P) P) m L L L L (PQ (PQ (PQ v v L v P) P) P) m m mm Sıfır hipoezi ve seçene hipoezi aşağıdai şeilde rlr. E{ } H : i Sıfır hipoezi H S : E{ } i Seçene hipoezi Kramsal varyansın bilinmesine ve bilinmemesine göre es aşağıdai dağılımlarla gerçeleşirilir. Yanılma olasılığı ise /n>. olara blnrsa. alınabilir. 3. Kramsal Varyans Biliniyorsa Kramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönemelie verilen bir değer ramsal varyans olara seçilir. R i σ ~ χ b, ) ( 3. Kramsal Varyans Bilinmiyorsa Dengeleme sonnda ede edilen soncl varyansan yararlanara yşmsz ölçü esi aşağıdai gibi yapılır. R b m ~ F( b,f, ) i Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (4 / 6)

16 4. PARAMERE ESĐ Paramere esi; bilinmeyenler yada bilinmeyenlerin bir fonsiyonnn (örneğin deformasyon analizinde) anlamlı esi şelinde olma üzere, ramsal varyansın bilinmesi yada bilinmesine göre aşağıdai şeilde gerçeleşirilir. i (Q A Pl) i b boyl i. paramere grb Q i (Q ) ii b boyl i. ölçü grbnn ers ağırlığı ile blnr. i. ölçü grbnn soncl varyansa eisi aşağıdai bağını ile göserilir. R i i Q i i Q A Pl L, p Q (Q ) (Q ) L (Q ) (Q (Q p (Q ) p L (Q ) pp ) ) L L L L (Q (Q ) ) L p p Sıfır hipoezi ve seçene hipoezi aşağıdai şeilde rlr. { } H : E i Sıfır hipoezi { } HS : E i Seçene hipoezi Kramsal varyansın bilinmesine ve bilinmemesine göre es aşağıdai dağılımlarla gerçeleşirilir. 4. Kramsal Varyans Biliniyorsa Kramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönemelie verilen bir değer ramsal varyans olara seçil R i σ ~ χ ( b, ) 4. Kramsal Varyans Bilinmiyorsa Dengeleme sonnda ede edilen soncl varyansan yararlanara yşmsz ölçü esi aşağıdai gibi yapılır. R b m ~ F(b,f, ) i Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (5 / 6)

17 4.3 Bilinmeyenlerin (Paramerelerin) Fonsiyonlarının esi Bilinmeyenlerin (paramerelerin) fonsiyonlarından olşan veör h ϕ() biliniyor ise b fonsiyon grbnn anlamlılığı aşağıdai şeilde es edilir. h ϕ() Bilinmeyenlerin (paramerelerin) fonsiyon h Q HQ H Fonsiyonların ers ağırlı marisi r ran{q h } R h Q h Fonsiyonların modele eisi h Kramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönemelie verilen bir değer ramsal varyans olara seçilir. R σ ~ χ ( r, ) Kramsal varyans biliniyorsa R r ~ F ( r, f, ) Kramsal varyans bilinmiyorsa m Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (6 / 6)

18 5. UYGULAMALAR 5. Paramere esi ile Fonsiyonel Modelin es Edilmesi SV nmaralı ydnn bir güne ai yd saa haaları saa aralılı olara belirlenmişir. Verilenlerden yararlanara; yd saa haası için rlaca olan modeli belirleyiniz. Aşağıda verilen modellerden hangisi ygndr. Blnz. Saa haalarının -.µs öelenmiş değerleri lanılmışır. i i [h] δ i [µs] δ i [ns] A b v [ns] a a a v v.7734 ns b b b.7734 ns A A A b m.78 ns Büün paramereler %95 güvenle ANLAMLI blnmşr. Đinci derece model ygndr. Q m KARAR ANLAMLI > ANLAMLI ANLAMLI Açılama: Paramere grbnn es edilen boy b dir. Yarıda anımlanan es büyülüğü i i i q b m m i q i F ~ (,f, ) yada i m q i ~ ( f, ) F(,f, ) Eğer ramsal varyans bilinseydi aşağıdai bağınılar llanılacaı. i q σ i i σ i q i χ yada ~ (, ) σ i q i ~ Z ( / ) χ (, ) Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (7 / 6)

19 5. Paramerelerin Anlamlılı esi Ale Refleör a a a a ŞEKĐL Eleroni znl ölçerlerde (EUÖ) alibrasyon. S i : Ölçülen Uznl i : Verilen ya da gerçe znl aa +a : E sabie (Sıfır Noası Ei) b : Ölçe düzelmesi AD : Ale düzelmesi I. Gerçe Uznlları Bilinen Kalibrasyon Bazlarında E Sabienin (Sıfır noası Einin) ve Ölçe Düzelmesinin Belirlenmesi: Sayısal Uyglama : 5 noalı bir EUÖ alibrasyon bazında ölçülmüş olan enarlar, gerçe değerleri ile birlie aşağıda verilmişir. Ölçü yapılan alein, ale düzelmesini blnz. ÇĐZELGE Ölçüler ve alibrasyon baz znlları. i- S i (m) i (m) v v I v i (mm) II v i (mm) Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (8 / 6)

20 Çözüm : n Ölçü sayısı Bilinmeyen sayısı a a + da a b b + db b S i a + b i i -(a/b) + (/b) S i Gerçe Uznl S i + v i (a + da) + (b + db) i v i da + i db (S i a - b i ) v A - l A A A l v [ mm] da da db db (A A) - A l da db [ mm] [ ] mm / m a a + da 4.69 b b + db.363 S a + b 4.69 mm mm S Gerçe znl AD -4.69mm 3.63 (S [m] /) -4.69mm 3.63ppm Ale düzelmesi Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (9 / 6)

21 II. Gerçe Uznlları Bilinmeyen Kalibrasyon Bazlarında E Sabienin (Sıfır noası Einin) Belirlenmesi: Çözüm : n 5 (Bir e sabie + 4 ade baz znlğ) a () S () S 3 3() S 4 4() S 5 S i + v i (a + da) + ( (-)() + d (-) ) v i da + d (-) (S i a (-)() ) v A - l v da d d d3 d 4 [ mm] da d d d3 d (A A) - A l da d d d3 d m ±.89 mm a a + da 5.8 mm i ( S i ) [m] Gerçe znl Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR ( / 6)

22 5.3 Uyşmsz Ölçüler ve Eşdeğerli esleri Şeildei nivelman ağında,, 3 nmaralı noaların yüselileri bilinmeedir. Noa yüselileri ve ölçü değerleri verilen b ağda; a) Ölçüler yşml mdr, b) Dayana noaları ağ ile yml mdr, c) 4, 5 noalarının yüselilerini blnz. 5 4 h 5 h 7 h 8 h 4 h 6 h h 3 h 3 i H i [m] h [m] S [m] ŞEKĐL Nivelman ağının anavası. ÇÖZÜM : a) Serbes Dengeleme ve Uyşmsz Ölçüler esi : v A l P v - δh [mm] -3 [mm].5 [ ] v - δh -5 boş. v3 - δh v4 - δh4.67 v5 - δh5 -. v v7 -. v Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR ( / 6)

23 NA P A na P l G G δh δh δh δh δh Q (N+G G ) G G Q n [ ] [mm] boşl v A+ l, Q v P - A Q A τ-dağılımı -Dağılımı v [mm] (Q v) ii m v [ ] [mm] τ s s v {;f} [mm] [mm] [ ] {;f} v Pv mm m 5.85 mm Uyşmsz Ölçü Yor b) Dayana Noalarının esi : Global es Loal es Q D D [mm] i Q - [ ] F { 3 f} i Q - i i i [ ] F { f} * Yalaşı yüseliler ve öelenmiş gözlemler erar belirlenere, ağ erar serbes olara dengelenir. i H i [m] h [m] S [m] p [ ] l [mm] n 8 d m 5 f * Serbes ağ dengeleme sonçları damdan bağımsız oldğndan serbes ağ dengelemesi ve yşmsz ölçü sonçları değişmez. Yeni dayana noaları, en son belirlenen serbes ağ damna göre es edilir. v Pv mm m 5.85 mm Uyşmsz Ölçü Yor Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR ( / 6)

24 Global es Loal es Q D D [mm] i Q - [ ] F { 3 f} i Q - i i i [ ] F { f} ve dayana noaları serbes ağ sonçları ile ymldr c) Dayalı Dengeleme : v A l P.3 - δh3 [mm] -6 [mm].5 [ ] 5. δh4-5 boşl δh v Pv mm m 5.88 mm Dengeli Yüseliler ve Dyarlıları i H i [m] H i [m] m Hi [mm] Far[m] Q A P l [mm] boşl Dengeli Ölçüler ve Dyarlıları Q h h+v [m] m h [mm] boşl Ödev: B ağı, yönemelie isenilen soncl KOH ±5mm/m değerine eşdeğer olmalı oşlna göre değerlendiriniz. Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (3 / 6)

25 5.4 Dönüşümlerde Uyşmsz Ölçüler ve Paramere Anlamlılı esleri 5.4. B Dönüşümler 5.4. B Dönüşümler Uyglamada yaygın olara llanılan B benzerli (Helmer) ve afin dönüşüm modelleri her bir oordina çifi için yazılan polinomsal fonsiyonn özel halleridir. Dönüşürülen oordinalar (y) ve dönüşen oordinalar (XY) olaca şeilde göserilirse, polinomsal model aşağıdai gibi yazılır (ŞEKĐL ). d d i X a y (3a) i i d d i Y b y (3b) i i (3) bağınılarındai d polinomn derecesini gösermeedir. B bağınılarda d alınırsa, bilineer dönüşüm modeli, e olara i+ d oşl elenirse afin dönüşüm modeli ve bnlara e olara a b ve a b alınırsa benzerli (Helmer) dönüşüm modeli elde edilir. X y β (,y ) (X,Y ) X a y Y b Y ŞEKĐL Afin ( β, y, a b ) ve benzerli (β, y, a b ) dönüşümü. Yarıda genel şeli verilen ve özelenen B dönüşümlerin fonsiyonel modelleri, ayrı başlılar alında ayrınılı olara inceleneceir (ŞEKĐL ). Ayrıca b dönüşüm modellerinin geomeri yapısı, ÇĐZELGE de verilen ve enarı 5 birim olan bir arenin enarları üzerindei yer alan noa oordinaları üzerinden inceleneceir. Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (4 / 6)

26 5.4.. Bilineer Dönüşüm ÇĐZELGE Bir arenin enarlarına ai noa oordinaları. NN y NN y NN y NN y A B 6 C 6 6 D Bilineer dönüşüm modelinin apalı bağınıları olan (3) bağınılarında d alınara doğrdan elde edilir. Noa sayısı n olma üzere, bilineer dönüşüm modelinin açı bağınılar aşağıdai şeilde verilir. X a + a + a y + a y (4a) Y b + b + b y + b y (4b),, K, n Sözgelimi a, a.89, a.38, a. ve b, b.486, b.587, b. olan bir bilineer dönüşümü ÇĐZELGE de verilen are oordinalarını ŞEKĐL 3 de verilen herhangi bir dörgene dönüşürür C 7 6 D D C A B A B y ŞEKĐL 3 Karenin bilineer dönüşümü. Bilineer dönüşümün geomerisinin anlaşılabilmesi için, ŞEKĐL 3 de yglanan bilineer dönüşüm paramereleri abarılı olara seçilmişir. Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (5 / 6)

27 Uyglamada bilineer dönüşüm paramereleri n ade ora noadan yararlanara dengelemeli olara elde edilir. 8 bilinmeyen paramereli olan bilineer dönüşümde e anlamlı çözüm için en az 4 ora noaya ihiyaç dylr (n 4 olmalı). e bir noa için fonsiyonel model aşağıdai şeilde rlr. v v X Y a X Y b (5a) [ y y ], a [ a a a a ], b [ b b b b ] v A a l,, K, n (5b) Bilineer dönüşümde a ve b paramereleri sırasıyla ve y yönlerindei oordinaların sünmelerine neden olren; diğer paramerelerin öeleme, ölçe ve dönülüle ilişileri vardır. B ilişiler afin ve benzerli dönüşümlerinde göserileceir Afin Dönüşümü Afin dönüşümünde emel özelliği paralelliği ormasıdır. Afin modeli (3) apalı bağınısında d ve i+ d oşl ile yada (4) bağınılarından a b alınara elde edilir. Noa sayısı n olma üzere, afin dönüşüm modelinin açı bağınılar aşağıdai şeilde yazılır. X a + a + a y a + λ cos µ sin β y (6a) Y b + b + b y b + λ sin + µ cos β y (6b),, K, n Ayrıca (6) bağınılarında polinomsal asayıların dönüşümün geomerisi ile ilgili bağınıları da verilmişir (ŞEKĐL ). (6) bağınılarında λ ve paramereleri sırasıyla -X esenleri arasındai ölçe ve dönülüğü, µ ve β paramereleri de sırasıyla y-y esenleri arasındai ölçe ve dönülüğü gösermeedir. λ, µ,, β biliniyoren a, a, b, b polinom asayıları (6) bağınılarından hesaplanır. Polinom asayıları biliniyoren, ölçe ve dönülü parameereleri aşağıdai bağınılardan blnr. b λ a +, b µ a + (7a) Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (6 / 6)

28 b arcan, a a β arcan (7b) b Sözgelimi a, a.89, a.38 ve b, b.486, b.587 (bilineer dönüşümden farı a b ) olan bir afin dönüşümü ÇĐZELGE de verilen are oordinalarını ŞEKĐL 4 de verilen bir paralel enara dönüşürür. 7 6 D D C 5 4 C 3 A A B B y ŞEKĐL 4 Karenin afin dönüşümü. Örnee verilen polinomsal asayılar (7) bağınıları yardımı ile ölçe ve dönülü paramerelerine dönüşürülür. Hesaplanan b paramereler ve öelemeler ile dönüşüm bağınıları X +.9cos7.7sin33 y ve Y +.9sin7 +.7cos33 y olara elde edilir. Uyglamada afin dönüşüm paramereleri n ade ora noadan yararlanara dengelemeli olara elde edilir. 6 bilinmeyen paramereli olan afin dönüşümde e anlamlı çözüm için en az 3 ora noaya ihiyaç dylr (n 3 olmalı). e bir noa için fonsiyonel model aşağıdai şeilde rlr. v v X Y a X Y b (8a) [ y ], a [ a a a ], b [ b b b ] v A a l,, K, n (8b) Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (7 / 6)

29 (8) bağınısı ile elde edilen polinomsal asayılar, isenirse (7) bağınıları yardımıyla ölçe ve dönülü paramerelerine olayca dönüşürülebilir Benzerli (Helmer) Dönüşümü Benzerli dönüşümü afin dönüşümün özel bir halidir. Benzerli dönüşümü hem paralelliği hem de diliği orr. Dönüşüm soncnda geomeri şelin öelenmişi, ölçelendirilmişi ve döndürülmüşü elde ediliren benzerliği ornr. Afin dönüşümünde a b ve a b alınara benzerli dönüşüm modeli elde edilir. X a + a b y a + λ cos λ sin y (9a) Y b + b + a y b + λ sin + λ cos y (9b),, K, n Ayrıca (9) bağınılarında polinomsal asayıların dönüşümün geomerisi (λµ ve β) ile ilgili bağınıları da verilmişir (ŞEKĐL ). (9) bağınılarında λ ve paramereleri sırasıyla her ii esen yönündei ölçe ve dönülüğü, gösermeedir. λ, biliniyoren a, b polinom asayıları (9) bağınılarından hesaplanır. Polinom asayıları biliniyoren, ölçe ve dönülü parameereleri aşağıdai bağınılardan blnr. b λ a + (a) b arcan (b) a Sözgelimi a, a.698 ve b, b.4 (afin dönüşümden farı a b ve b a ) olan bir benzerli dönüşümü ÇĐZELGE de verilen are oordinalarını ŞEKĐL 4 de verilen bir areye dönüşürür. Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (8 / 6)

30 7 6 D D C C A A B B y ŞEKĐL 5 Karenin benzerli dönüşümü. Örnee verilen polinomsal asayılar () bağınıları yardımı ile ölçe ve dönülü paramerelerine dönüşürülür. Hesaplanan b paramereler ve öelemeler ile dönüşüm bağınıları X +.8cos3.8sin3 y ve Y +.8sin3 +.8cos3 y olara elde edilir. Uyglamada benzerli dönüşüm paramereleri n ade ora noadan yararlanara dengelemeli olara elde edilir. 4 bilinmeyen paramereli olan afin dönüşümde e anlamlı çözüm için en az ora noaya ihiyaç dylr (n olmalı). e bir noa için fonsiyonel model aşağıdai şeilde rlr. v v X Y y a y a b b X Y (a) v A a l,, K, n (b) () bağınısı ile elde edilen polinomsal asayılar, isenirse () bağınıları yardımıyla ölçe ve dönülü paramerelerine olayca dönüşürülebilir. Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (9 / 6)

31 5.4.3 Maemai Modelin Olşrlması Ve Çözümü Yarıda ilgili başlılar alında verilen bilineer, afin ve benzerli dönüşüm modellerinin fonsiyonel modeller (5), (8) ve () bağınıları ile verilmişir. Uyglamada her bir noa çifi için eşi ağırlılı ve orelasyonsz alındığından soasi model PI maris olr. B oşllar alında büün dönüşüm modelleri için genel maemai model aşağıdai bağını ile verilir. v A l P I () Bilinmeyen sayısından fazla olan denlemler arasındai arsızlıları giderme için EKK (En Küçü Kareler) amaç fonsiyonna yararlanılara bilinmeyenlerin ve isenen diğer paramerelerin (sözgelimi düzelmeler, bilinmeyenlerin fonsiyonları vb.) en olasılılı değerleri hesaplanır. ( A A) A l (3) Bilinmeyenler hesaplandıan sonra () bağınısından düzelmeler elde edilir. Düzelmeler ve isenen paramerelerin ers ağırlılarından yararlanara dyarlı hesapları yapılır. Bir oordinaın aresel oralama haası, bilinmeyenlerin ers ağırlığı ve düzelmelerin ers ağırlıları aşağıdai bağınılarla hesaplanır. m v v ± f n (4a) f Q ( A A) (4b) Q v I A Q A (4c) Bilinmeyenlerin fonsiyonlarının ers ağırlıları haa yayılma ralı ile elde edilir. f Φ() (5a) Q FQ F f Φ( ) F (5b) (5) bağınıları polinomsal dönüşüm asayılarından ölçe, dönülü paramereleri ve b paramerelerin ers ağırlılarına laşabilme için llanılır Dönüşüm Sonçlarının es Edilmesi Dönüşüm sonçları ramsal varyansın bilinip bilinmemesine göre farlılı göserir. Maemai model, yşmsz ölçüler ve paramere anlamlılı esleri ramsal varyansa Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR ( / 6)

32 bağımlı olarab drmlara göre değişmeedir.irme çalışmasında seçilen örne yglamada üç dönüşüm modeli incelenmişir. B dönüşüm modelleri üzerinde yşmsz ölçüler esi ve paramere esi gerçeleşirilmiş ve genelde deneysel birim ölçünün soncl değeri llanılmışır Maemai Model esi Kramsal varyansın biliniyorsa, bilinen birim ölçünün ramsal varyans ile isaisisel eşdeğeri deneysel varyans arşılaşırlır. v P v σ m f σ ~ {, f } χ F {, f, (6a) } Aynı ürden deneysel ii soncn arşılaşırılmasında llanılır. m ~ F{, f, } m f ( olmalı) (6b) es büyülüleri (), ilgili dağılımın sınır değerinden üçü ise maemai model - güvenle geçersiz sayılamaz. sınır değerden büyü ise önce soasi model gözden geçirilir, hala geçersiz ise yşmsz ölçü esi yapılır Uyşmsz Ölçüler esi Çalışmanın emel onsn olşran dönüşüm modellerinde bir noaya ai oordina çifleri llanılmaadır. Bir noanın üreilmesinde yapılan haa ii oordinaı birlie eileyeceğinden, yşmsz ölçüler esi oordina çiflerini birlie es edebileceğimiz, oordina çiflerinde yşmsz ölçüler esi şelinde gerçeleşirilmişir. e bir oordina çifi için yşmsz ölçüler es büyülüğü aşağıdai bağını ile elde edilir. v P v ~ {, f } σ χ (7a) v v P ~ F{, r, f } (7b) r m v v,, K, n v,, [ v X v Y ] v v P (Q ),, r ran{ Pv } n (6) bağınısında; yanılma olasılığı, e bir noa çifinin yanılma olasılığı, v ve P v ıncı noaya ai oordinaların düzelmeler veörü ve b düzelmeler veörünün Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR ( / 6)

33 boyl ağırlı marisi, r es edilen düzelme grbnn boy ve F{, r, f } Fisher dağılımının sınır değeridir. ise. alınabilir. Çalışmada ii boyl dönüşümler incelendiğinden daima r dir Paramere Anlamlılı esi Paramere esi, e bir paramere yada bir grp paramerenin esi şelinde olabileceğinden aşağıdai es büyülüğü genellenere verilmişir. Bir grp paramerenin anlamlılı esi aşağıdai bağını ile elde edilir. P σ ~ χ F {, r } {, r, (8a) } P ~ F{, r, f } (8b) r m P (Q ), r ran P } { (7) bağınısında; ve P ıncı grp paramere ve b paramerelerin ağırlı marisi, r es edilen paramere grbnn boy, χ Ki-are ve F {, r, f Fisher dağılımının sınır } {, r} değerleridir. Genellile.5 alınır Uyglama Aşağıda ora noa oordinaları verilen ii farlı sisem arasındai ygn dönüşüm modelini belirleyiniz. KOORDINALAR i NN [m] y [m] X [m] Y [m] Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR ( / 6)

34 a) Bilineer Dönüşüm modeli: Q e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-6 a a.9345 a a e- b 9.88 b.3677 b.9365 b -.496e-9 UYUSUM ESI v'q^v v'q^v SN NN v[cm] (Qvv)ii mv[cm] v[] a [m] m^ F (.5,).6 a(.5,).958 F(.5,,) vv.3 m f m.6 cm *****Bilineerli Kasayilari***** Qf f e e e e-9 Bilineerli esi : R cm ~ F(.978,,) 5.88 Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (3 / 6)

35 b) Afin Dönüşüm modeli: *****Donsm Paramereleri***** e e e e e e e e e e e e e e e e a a.9344 a b 9. b b.935 UYUSUM ESI v'q^v v'q^v SN NN v[cm] (Qvv)ii mv[cm] v[] a [m] m^ F (.5,3).69 a(.5,4).935 F(.5,,4)3.789 vv.6 m f4 m.9 cm *****Afinli Paramereleri***** Qf f.4364e e e e e e-6 Afinli esi : R.587 cm.674 ~ F(.99,,4) Afin Donsm Paramereleri L. M.3547 A g B g Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (4 / 6)

36 c) Benzerli Dönüşüm modeli: *****Donsm Paramereleri***** e e e e-5.969e e e e e e e e e-5.969e UYUSUM ESI v'q^v v'q^v SN NN v[cm] (Qvv)ii mv[cm] v[] a [m] m^ F (.5,5).3 a(.5,6).99 F(.5,,6)3.697 vv.73 m f6 m 3.8 cm Benzerli Donsm Paramereleri L.5 A g Açı Afin Maemai Modelinin Değerlendirilmesi Đi oordina sisemi arasındai afin dönüşüm paramerelerinin, dönüşüm paramerelerine göre doğrdan rlan modele göre hesaplanması ve sonçların es edilmesi. Afin dönüşüm modeli X a cos + Y b sin sin β λ cos β µ y Bilinmeyenlerin Kesin değerleri aˆ a b ˆ b δa + δb ˆ δ ˆ + β β δβ ˆ λ λ δλ + ˆ µ µ δµ Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (5 / 6)

37 Maemai Model [ cm] v X v Y UYGULAMA: [ cm] λ sin δa [ c] ρ b + δ λ cos [ c] ρ [ cm] l l X Y [ cm ] cc µ cos β y [ c] ρ µ sin β y [ c] ρ [ cc] cos δ 4 + δβ sin 4 { X ( a + λ } { } cos µ sin β y) Y ( b + λ sin + µ cos β y) cm ppm sin β y [ ppm] 4 δλ l cos β y δµ l 4 PI [ cm] X Y ÇÖZÜM: NN [m] y [m] X [m] Y [m] ********************** Yalasi Degerler ************************ a m b -4.7 m g β g λ. µ. ************************. Iersayon *************************** Q δa [cm] δb [cm] δ [cc] δβ [cc] δλ [ppm] δµ [ppm] m.96 cm f 4 a m b m g β g λ µ ************************. Iersayon *************************** Q m.96 cm f 4 a m b m g β g λ.6 µ.6 Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (6 / 6)

38 ************************ 3. Iersayon *************************** Q m.96 cm f 4 a m b m g β g λ.6 µ.6 ************************ 4. Iersayon *************************** Q m.96 cm f 4 a m b m g β g λ.6 µ.6 UYUSUM ESI v'q^v SN NN v[cm] mv[cm] v[] a m^ F a(.975, 4).9 F(.95,, 4) 3.78 Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (7 / 6)

39 Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (8 / 6) B Benzerli Dönüşümünün Afin Maemai Modelinin Değerlendirilmesi 3B benzerli dönüşümü genellile yersel damlar arasında yglanır. B ür damlar arasındai dönüşümlerde sırasıyla X, Y ve Z esenleri erafındai dönülüler β γ ve ölçe asayısı dir. Şeil 3B Dönüşümlerin Geomeri Yapısı [ ] w v, [ ] z y, },,, { n K [ ] z y, β γ β γ R, λ + R λ + Brsa-Wolf [ ] γ β, v w v w D [ ] D I Brsa-Wolf Çözüm

40 Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (9 / 6) R λ + Molodensy-Badeas s, s, s, v w v w D [ ] D I Molodensy-Badeas. Çözüm { s s R λ + } [ ] D I Molodensy-Badeas. Çözüm { s R λ } s R λ + Mereze Öelenmiş Model { s } [ ] D I s Mereze Öelenmiş Çözüm { s s s R λ + } ) ( ) ( ) ( γ β 3 R R R R + + β γ γ β γ γ β β γ γ β γ γ β β γ β γ β cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos R n s n χ χ },,,,, { w v z y χ R λ + 3B benzerli dönüşüm bağınısı R R R ) ( ) ( ) ( γ β λ 3 + 3B benzerli dönüşüm bağınısı γ β oldğndan b açıların osinüsleri ~, sinüsleri de açıların raydan değerlerine eşi ve γ β γβ β olr.

41 Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (3 / 6) 3 γ γ β β γ β ) ( ) ( ) ( R R R R β γ β γ R Yarıdai apalı 3B-benzerli dönüşüm bağınısı açı olara yazılırsa aşağıdai bağını elde edilir. + W V U Z Y X Z Y X β γ β γ λ λ γ β z Y X W V U U V U W V W Z Y X Yarıdai model her bir dam paramere grbnn (öelemeler, dönülüler ve ölçe) asayılar marisleri modelin asayılar marislerinin al marisleri şelinde yeniden düzenlenirse aşağıdai bağınılar elde edilir. [ ] λ D I λ D + + B modelde λ + olara alınırsa ) ( D olara elde edilir. Denlem birimlere göre yeniden düzenlenere; ppm cc cc cc Z Y X cc cc cc cc cc cc W V U U V U W V W W V U Z Y X γ β ρ ρ ρ ρ ρ ρ / / / / / / / / /

42 modeli elde edilir. B model hem il oordinalara göre yazılmış ve hem de yvarlama haalarının hesaplanan paramerelerdei eileri azalılmış olr. Ağırlı merezine öelenmiş oordinalar llanılırsa, oriinal modele göre orelasyon ayıpları olmasına rağmen, yvarlama haalarının eilerinin daha da azalılmasına yardımcı olacağı açıır. Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (3 / 6)

43 Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (3 / 6) Uyglama: Beş ade eşleni noadan yararlanara, Brsa-Wolf dönüşüm asayılarını, bnların dyarlılarını ve yşmsz noa esi için gereli olan es büyülülerini hesaplayınız (Yönemelie isenen birim ölçünün soncl değer σ ±3cm dir). WGS84 IRF8 NN U [m] V [m] W [m] X [m] Y [m] Z [m] N N N N N ÇÖZÜM Brsa-Wolf R λ Z Y X W V U Z Y X β γ β γ ) ( ppm cc cc cc Z Y X cc cc cc cc cc cc W V U U V U W V W W V U Z Y X γ β ρ ρ ρ ρ ρ ρ / / / / / / / / / Düzelme Denlemleri y A [m] [ ] [m/cc] [m/ppm] X [m] Y Z [cc] β γ [ppm]

44 Normal Denlemler A A A y X Y Z β γ Bilinmeyenlerin ers Ağırlı Marisi Q (A A) Bilinmeyenler ve Dyarlıları Birim q X m X X Y m Z β cc γ ppm Düzelmeler ve Uyşmsz Ölçüler esi v [m] Q v [ ] R [m ] [ ] F {r,f,} [ ] P(F {,,f} ) % % % % % % Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (33 / 6)

45 Model esi v v. [m ] m.373 [m] σ.3 [m] es ablo P() 86.3% 95.% Brsa-Wolf Dönüşüm Paramereleri + λ R X E E-6 U Y E E-6 V Z E E-6 W Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (34 / 6)

46 Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (35 / 6) Uyglama: Beş ade eşleni noadan yararlanara, Moledensy-Badeas dönüşüm asayılarını, bnların dyarlılarını ve yşmsz noa esi için gereli olan es büyülülerini hesaplayınız (Yönemelie isenen birim ölçünün soncl değer σ ±3cm dir) WGS84 IRF8 NN v w y z N N N N N Dönüşürülen Sisemin (WGS84) Ağırlı Merezi Koordinaları NN S v S w S S Dönüşürülen Sisemin (WGS84) Ağırlı Merezine Öelenmiş Koordinaları NN - S v-v S w-w S N N N N N ÇÖZÜM [ ] D I Molodensy-Badeas. Çözüm { s s R λ + } S U U U, S V V V, S W W W s ; Modelden Kesirilen Öelemeler s s R λ + (Kr, 5). ppm cc cc cc z y cc cc cc cc cc cc W V U U V U W V W W V U Z Y X γ β ρ ρ ρ ρ ρ ρ / / / / / / / / /

47 Düzelme Denlemleri y A [cm] [ ] [cm/cc] [cm/ppm] [cm] y z [cc] β γ [ppm] Dönüşüm Paramereleri ve ers Ağırlı Marisi Q Dönüşüm Paramereleri, Dyarlıları ve Anlamlılı esleri ± m X R F {-,,f} P(F {,,f} ) P(F {F,,f} ) [cm] [cm ] [ ] [ ] [ ] Karar [cm] % 95.% Anlamlı y % Anlamlı z % Anlamlı % Anlamlı β [cc] % Anlamsız γ % Anlamlı [ppm] % Anlamlı Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (36 / 6)

48 Düzelmeler ve Uyşmsz Ölçü esi NN v Q v R F {r,f,a} P(F {,,f} ) [cm] [ ] [cm ] [ ] [ ] [ ] % N % N % N % N % N % v v.3 [cm ] m 3.73 [cm] σ 3. [cm] Model esi es ablo P() 86.3% 95.% Brsa-Wolf Öelemeleri ().9776E E-6 λ.546 R E E E E m m s m s + -λ R s Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (37 / 6)

49 6. ÖDEVLER Aşağıda, onların peişirilebilmesine aı sağlayaca ödevler yer almaadır. Ödev : Bir noanın 3B (üç boyl) arezyen oordinalarını belirleme için, 3 sabi noaya dayalı olara 3 ade baz ölçüsü yapılmışır. Bilinmeyen noa oordinalarını hesaplama için rlan maemai model ile olşrlan normal denlemler ( A P A A Pl ) ve düzelmelerin areleri oplamı aşağıda verildiğine göre; (a) rlan maemai modeli şarnamede isenen σ ±5mm değerine göre es ediniz, (b) hesaplayacağınız dengeleme bilinmeyenlerinin ve (c) dengeleme bilinmeyenlerinin fonsiyonlarının y+z ve w+3yz/ anlamlı olp olmadılarını irdeleyiniz. 3, -8, 6, 56, mm %5 alınız. 9,5-6,8 y 48, Sim. 4,4 z 5, v P v 456, mm Ödev : Ölçü sayısı 8 ve bilinmeyen noa sayısı olan, B (ii boyl) bir ağ dengelemesi sırasında olşrlan normal denlemler ( A P A A Pl ) aşağıda verilmişir; (a) rlan maemai modeli şarnamede isenen σ ±5mm değerine göre es ediniz, (b) her bir noaya ai oordina çiflerinin anlamlılılarını şarnameye göre es ediniz, (c) her bir noanın onm değişiminin {δs (δ +δy ) /,,} anlamlılığını es ediniz [ ] δ 5. [mm] %5 alınız δy 45. v P v 476. mm δ 3. Sim. 9.6 δy 7. Ödev 3: Aşağıda şeli verilen alibrasyon bazının,,3,4 noaları arasındai gerçe znlları bilinmeedir. Kalibre edilme isenen bir EUÖ (Eleroni Uznl Ölçer) ile b alibrasyon bazında ölçüler yapılmış, gerçe znlları ile birlie aşağıdai abloda verilmişir. Ölçülen znllar ile gerçe znllar arasında i a+bs i şelinde rlaca olan doğrsal ilişi asayılarında anlamlı bir değişim olmş mdr? (E{a}, E{b} midir?) (No:l i i S i a+bs i, modelini a[mm] ve b[mm/m] olaca şeilde rnz). 3 4 i i S i Ödev 4: Ölçü sayısı 5 ve bilinmeyen noa sayısı olan 3B (Üç Boyl) bir ağın Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (38 / 6)

50 dengelemesi sırasında olşrlan normal denlemler ( A P A A Pl ) aşağıda verilmişir; (a) rlan maemai modeli, (b) her bir noaya ai oordina üçlülerinin anlamlılılarını, (c) her bir noanın onm değişiminin {δs (δ +δy +δz ) /,,} anlamlılığını şarnameye göre es ediniz. (Şarnamede: Dengeleme soncnda elde edilen birim ölçünün dyarlığı σ ±mm olmalı. Sonçları / mm ye adar yazınız.) [ ] δ 3 [mm] % alınız δy 5 v P v 687, mm δz δ δy δz -36 Ödev 5: Başlangıçları aynı (öelemeleri sıfır) olan ii oordina sisemi arasında öngörülen AFĐN dönüşümü için rlan maemai model aşağıda verildiğine göre; (a) Maemai model esini, (b) yşmsz noa çifleri esini, (c) E{a}E{d} ve E{b}E{c} olp olmadığını, şarnameye göre es ediniz. (Şarnamede: Dönüşüm soncnda birim ölçünün soncl dyarlığı σ ±4cm olmalı.) [m] [m] [m/m] [m] v X -y a - X % v Y y Y v X a 73. v Y b v X c v Y d v X v Y Çözüm: A [m] L [m] Q [] [m/m] a b c d Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (39 / 6)

51 Q v [] v [m] (a) s 4. cm m 5.9 cm f., -/ X (.95,) 5.99 GECERLI p' [ ] m/m (b) NN v[cm] P v [] v P v v[cm ] v P v v/σ o χ {.95,} KARAR ANLAMSIZ ANLAMSIZ ANLAMSIZ (c) H o f[cm/m] σ f [cm/m] f [] Z (.95) KARAR a-d ANLAMLI b-c ANLAMLI Ödev 6: Bir nirengi ağındai açılardan biri 3 ez ölçülmüşür ve aşağıdai değerler elde edilmişir. Ölçülerin normal dağılımlı olp olmadığını MANN-WALLD ym esi ile belirleyiniz ve verilerin hisogramını çiziniz (3). [g] 64,76 35 g Ödev 7: Yarıdai abloda verilen verilerin oralama değerinin ve oralama değerin sandar sapmasının s%9 a arşılı gelen güven bölgelerini belirleyiniz. Ödev 8: Yarıdai verilerin normal dağılımlı olp olmadığını, Çarpılı ve Basılı esi ile irdeleyiniz. Ödev 9: Bir vadinin ii yamacında blnan A ve B noaları arasındai znl aynı alele, aynı amosfer oşllarında, aynı ölçme eibince zamanda 6 ez, zamanda 8 ez ölçülmüşür. Đi zaman arasında geçen süre içinde bölgede anlamlı bir deformasyon olşp Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (4 / 6)

52 olşmadığını irdeleyiniz. i S i [m] i S i [m] 3,54 3,56,54,575 3,53 3,537 4,55 4,553 5,563 5,546 6,533 6,537,58,55 Ödev : Bir noanın 3B (üç boyl) arezyen oordinalarını belirleme için, 3 sabi noaya dayalı olara 3 ade baz ölçüsü yapılmışır. Bilinmeyen noa oordinalarını hesaplama için rlan maemai model ile olşrlan normal denlemler ve düzelmelerin areleri oplamı aşağıda verildiğine göre; rlan maemai modeli şarnamede isenen σ ±5mm değerine göre es ediniz ve hesaplayacağınız dengeleme bilinmeyenlerinin anlamlı olp olmadılarını irdeleyiniz., -8, 6, 5, mm -8,,5-6,8 y 43,7 6, -6,8 35,4 z 34,8 v P v 489, mm Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (4 / 6)

53 KAYNAKLAR RÜEGER, J., M. (99), Elecronic Disance Measrmen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Germany. KOCH, Karl-Rdolf (999), Parameer Esimaion and Hypohesis esing in Linear Models, Springer-Verlag Berlin Heidelberg Newyor, ISBN ÖZÜRK, Ergün ve ŞERBEÇĐ, Mzaffer (99), Dengeleme Hesabı Cil 3, KÜ-MMF, Genel Yay No:44, rabzon. ULSOY, Erem (974), Dengeleme Hesabı, En Küçü areler Meod, ĐDMMA yayınları, Sayı: 87, Đsanbl. ULSOY, Erem (98), Prai Maris Hesabı, ĐDMMA yayınları, Sayı: 9, Đsanbl. Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (4 / 6)

54 EKLER E E E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 Normal dağılım ablo değerleri. χ-dağılımı ablo değerleri. -Dağılımı ablo değerleri. τ-dağılımı ablo değerleri. F-Dağılımı ablo değerleri (%5). F-Dağılımı ablo değerleri (%.5). F-Dağılımı ablo değerleri (%). Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (43 / 6)

55 E Normal Dağılım ablo Değerleri z

56 E χ -Dağılımı ablo Değerleri (s-:güven aralığı) s s f f Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (45 / 6)

57 E 3 -Dağılımı ablo Değerleri (s-:güven aralığı) s f s f Yrd.Doç. Dr. Orhan KUR (46 / 6)