MAK669 LINEER ROBUST KONTROL

Transkript

1 MAK669 LINEER ROBUS KONROL 7..4

2 Dr değişeni geri beslee(state feedba) ontrol Dr değişeni geri besleeli ontrolde tü dr değişenlerinin elde edilebilir oldğ varsayılatadır. B ontrolün pratite yglanabilesi için tü dr değişenlerinin ölçülesi gereetedir. A B K state feedba B + + I s C y A BK ( ABK) A K si A Açı çevri öleri si A BK Kapalı çevri öleri

3 Linear Qadrati Reglator(LQR) Model esaslı ontrol tasarı yönteinin en basit yapısı LQR dır. Lineer sistein aşağıdai şeilde odellendiğini düşüneli A B () b sistele ilişili perforans indesi J ( Q R) dt brada Q Q, R R şelinde tanılıdır. Brada aaç K J perforans indesini iniize eden selinde sistei ararlı hale getiren bir lineer dr değişeni geri besleeli ontrolör olştratır. 3

4 Linear Qadrati Reglator(LQR) Aşağıdai gibi he zaana he de dr değişenine bağlı bir fonsiyonel denle tanılansın: f t (, ) in (, ) t f (, t ) f ( ()) f (, t ) t h dt Fonsiyonelin tanılanan zaan aralığındai değerleri: Hailton-Jaobi denlei f t f in h(, ) g(, ) (I) 4

5 Linear Qadrati Reglator(LQR) g(, ) A B h(, ) Q R olara alınırsa ve (I) de yerine yazılırsa J t t t t h(, ) dt ( Q R) dt f t f in Q R ( A B) (II) 5

6 Linear Qadrati Reglator(LQR) f (, t) P olara seçilirse P P f t f P P t f P (II) de yerine yazılırsa P in Q R P( A B) t (III) 6

7 Linear Qadrati Reglator(LQR) iniize ete için: P Q R P( A B) t R PB R B P P P, R R opt R B P (IV) opt K K R B P 7

8 Linear Qadrati Reglator(LQR) (IV) denleinde bldgz denlei (III) denleinde yerine yazılırsa P Q R P( A B) P Q R B P R P A B ( ) ( R B P) ( ( R B P)) P Q PA PB ( R B P) (soldan sagdan çarpanı olara yazılır) Brada PA ( A P PA) olara alınırsa: P ( Q A P PA PBR B P) P PA A P Q PBR B P elde edilir. P PA A P Q PBR B P Riati denlei 8

9 LQR Problei Örne: Sistei için opti ontrolü hesaplayınız. r= y + A B C - K 9

10 LQR Problei p p A, B, Q R P p p PA A P Q PBR B P p p p p p PA p p p p p p p p p AP p p p p p p

11 LQR Problei p p p p PBR B P p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

12 LQR Problei p p p p.73 =.73 p 4 p p p p 4 p A=[ - -]; B=[ ]; Q=[ ]; R=; p p p p p p.43 [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R) EAl=eig(A-B*K) P K R B P

13 3 Riati denleinin çözüü Hailton atrisi n n n n n I PA Q PBR B A P PA Q PBR B P A P I A BR B P I P Q A A BR B H Q A I P I H P Özvetör etod: Hailton atrisinin özvetör ve özdeğerlerinden P atrisi hesaplanatadır.

14 Opti Kontrol Problei I Çeyre taşıt odeli için LQR ontrol tasarıı. Atif () a t () a t Gövde () p t () p t Pasif Gövde t () Atatör t () eer eer ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) p p a a a p ( ) 4

15 Opti Kontrol Problei I ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 4 ˆ d ˆ dt ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 ˆ ˆ 4 4 Bradai örnete yol profilinin adı fonsiyon oldğ düşünülüyor. B drda sabit olara alınabilir. ˆ ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ 3 4 5

16 Opti Kontrol Problei I J [ ˆ Qˆ R] dt ( ) : teerleğin dinai sapası ( ) : as izafi hareeti Perforans indesinde b ii far dr değişeni için alırsa: J [ q ( ) q( ) r ] dt Araç gövdesinin düşey ivelenesi ile orantılı olan atatör vveti t ( ) aynı zaanda sürüş onforszlğnn da bir ölçüsüdür. B nedenle J aaç fonsiyonnn iniize edilesi sürüş onforszlğ veya atatör girişinin iniize edilesi ve teerle dinai sapası ile izafi as hareetinin ağırlılı toplaının iniize edilesi arasında seçi(trade-off) yapa sonn verir. Ağırlı paraetreleri ile siste dr değişenleri arasındai ilişi: q ( ) q ( ) q ˆ q ( ˆ ˆ ) ˆ ( ) q ˆ q ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( q q ) ˆ q ˆ q ˆ ˆ 6

17 Opti Kontrol Problei I Perforans indesinde J [ ˆ ˆ ] Q R dt Q atirisi Q q q ˆ q q q ˆ ˆ ˆ, ˆ 3 4 olştrlabilir. K ˆ 7

18 Opti Kontrol Problei I MAK669 qarodel.dl -_a / Kontrol _a dd s Yol Profili 3_hat =d_hat s _hat -_p / Dinai sapa / [ _hat: _hat; 3_hat;4_hat] Gain _a _p / / s 4_hat=d_ s _hat (-) _hat _p _p K* ve 8

19 Opti Kontrol Problei I %qar. %%% Paraeters %%% =375; =38; =4; =56; =5; =.5; % A=[ ; ; -/ ; ]; B=[;;-/;/]; r=.; q=; q=5; Q=[ q+q -q -q q ]; R=r; K=lqr(A,B,Q,R) 9

20 Opti ontrol problei II ( ) ( ) ( ) ( ) M K C E MX CX KX E

21 Opti ontrol problei II A B y C I A M K M C B M E C Case I: Q R t f J 3 3 dt 3 4 Case II: Q C C, R

22 Opti ontrol problei II s B* s C* []^*r+[]^*r Fn s perforane inde.97 J IC=[ ; ; ; ] ve Ciis - A* []^*q+[]^*q+[3]^*q3+[4]^*q4 ts Matri Gain Fn state feedba -K* Clo Display yaytleodel.dl MAK 669-

23 lear =; =.; =; =; =.; M=[ ; ]; K=[+ -; - ]; C=[ -; - ]; E=[ ]; inm=inv(m); A=[zeros(,) eye() -inm*k -inm*c]; eig(a) B=[ ; ; inm*e]; C=[ ; ]; D=zeros(,); Q=[ ; ; ; ]; %Case I Q=C'*C; %Case II q=q(,);q=q(,);q3=q(3,3);q4=q(4,4); R=*eye(); r=r(,);r=r(,); K=lqr(A,B,Q,R) A=A-B*K; eig(a) figre() pzap(a,b,c,d) ais([-6 - ]); hold on pzap(a,b,c,d) [ n, den]=sstf(a,b,c,d,); [n, den]=sstf(a,b,c,d,); w=logspae(-,3,); f=w/pi/; ag=bode(n,den,w); ag=*log(ag); ag=bode(n,den,w); ag=*log(ag); set(ga,'fontsize',4) figre() seilog(f,ag(:,),'r--',f,ag(:,),'b-') ais([^(-),^,-,3]); label('freqeny Hz') ylabel('gain db') title('freqeny response of the syste') 3

24 Opti ontrol problei II Gain db Gain db Freqeny response of the syste Freqeny response of the syste withot ontrol Case I ----> y withot ontrol Case II ----> y with ontrol -6 with ontrol Freqeny Hz - - Freqeny Hz 4

25 Opti ontrol problei >> help lqr LQR Linear-qadrati reglator design for state spae systes. [K,S,E] = LQR(SYS,Q,R,N) allates the optial gain atri K sh that: * For a ontinos-tie state-spae odel SYS, the state-feedba law = -K iniizes the ost fntion J = Integral {'Q + 'R + *'N} dt sbjet to the syste dynais d/dt = A + B * For a disrete-tie state-spae odel SYS, [n] = -K[n] iniizes J = S {'Q + 'R + *'N} sbjet to [n+] = A[n] + B[n]. he atri N is set to zero when oitted. Also retrned are the the soltion S of the assoiated algebrai Riati eqation and the losed-loop eigenvales E = EIG(A-B*K). [K,S,E] = LQR(A,B,Q,R,N) is an eqivalent synta for ontinos-tie odels with dynais d/dt = A + B See also lqry, lqgreg, lqg, dlqr, are, dare. 5

26 Linear Frational ransforation(lf) LF blo yapısı ontrol sisteinin giriş/çıış ilişisini gösterete llanılatadır. B yapı aynı zaanda belirsizlilerin ontrol sisteini nasıl etilediğini göstere için llanılatadır.

27 Linear Frational ransforation(lf) Mateatisel anlada LF yapısının çıartılası: as b s d (d ) denleini düşüneli. B denle aynı zaanda aşağıdai şeilde de yazılabilir: b ( a ) s b d d ( sd ) d b ( s) b ( a ) s d d as b ( sd ) s d d bd ( a bd ) s( d s) d (I)

28 Linear Frational ransforation(lf) ( I ) denle yapısı ontrol sistelerinin blo diyagraları gösteriinde giriş /çıış ilişisine arşılı geletedir. Bn göre için şeildei geribeslee yapısını aşağıdai şeilde düşüneli: z w p p w P y p p sy ve y ortadan aldırılırsa z p p s( ps) p w elde edilir. (I) ifadesi ile arşılaştırılırsa: = z w P p p bd a bd p p d d

29 Linear Frational ransforation(lf) Üst LF Yapısı w M y z y M M M z w M M w F (, ) : ( ) M M M I M M

30 Linear Frational ransforation(lf) Alt LF Yapısı Sistee ait yapısal belirsizliler LF yapısında ifade edilebilir. w M z y M M M M M z w M M w M y M M y z M w M y M w M y M w M y ( I M ) y M w y ( I M ) M w z M w M y z M w M ( I M ) M w z w F ( M, ) : M M ( I M ) M l

31 Linear Frational ransforation(lf) opla belirsizliği için LF: w M y z M I I G o y I M z w I G o w F ( M, ) : M M ( I M ) M F ( M, ) : G o Çıış çarpı belirsizliği iin LF: M I Go G o F ( M, ) : G G ( I ) G o o o

32 Linear Frational ransforation(lf) LF yalaşıı transfer atrisi ve dr zayı arasında ilişi rada llanılabilir. Bir sistein dr zayı denlei A B y C D transfer atrisi A B G s F I C D s I alı nırsa s A B G( ) G( s) F (, ) C D ( ) D C( si A) B (, )

33 Paraetri Belirsizli Paraetri Belirsizliler: Bir ço endüstriyel ontrol sisteinde sistei olştran eleanların areteristileri doğr tanılanayabilir, esie veya yıprana etileri veya çalışa şartlarının değişesinden dolayı dinai sistede belirsizliler olşatadır. B şeildei belirsizlilere paraetri veya yapısal belirsizliler olara isilendiriyorz. Paretri belirsizliler düşü freans perforansınını etiler. B tip paraetri belirsizlilere örneler eani sistelerde atılı veya sönü atsayıları, eletrisel sistelerde direnç, apasitans veya indütans değerleri, çalarda aerodinai sabitler vb. dir.

34 Paraetri Belirsizli Bir yay ütle sönü sisteini düşüneli: f f,, nin ta değerlerinin bilinediğini faat belirli bilinen aralılarda oldğn düşüneli. Özel olara gerçe ütle in noinal ütle nin %, gerçe sönü değeri nin noinal sönü değeri nin % si ve gerçe atılı değeri nin noinal atılı değeri nin %3 adar değiştiğini düşüneli. ( ) (.3,.3 ) (.,. ) [ ] tanılansın (.3 ) [ ] (. )

35 Paraetri Belirsizli Bilinediği düşünülen faat [,] aralığında blnan, ve bozntları(pertrbations) tanılayara siste yapısını b bozntları içeree şeilde ele alabiliriz. (. ) (. ) (.3 )

36 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası.. (. ) F ( M, ) : M M ( I M ) M l Bozntlar he üst LF he de alt LF yapısında elde edilebilir.. ( ). F ( M, ) : M M ( I M ) M. ( )..

37 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası Blo diagraında blnasından dolayı b değerin LF ifadesini blaız yerinde olaatır. F ( M, ) : M M ( I M ) M l. (. ). (. ).. (. ) (. ).... F ( M, ) : M M ( I M ) M. (. ) (. )

38 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası. (. ). F ( M, ) : M M ( I M ) M l. F ( M, ) : M M ( I M ) M. ( )..

39 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası.3 (.3 ).3 F M l (, ) :.3 ( ).3 F ( M, ) :.3 ( ).3.3

40 G Şeildei dış giriş ve çıış değişenlerini esas alara G olştrnz. Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası y y y z

41 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası Paraetri belirsizli içeren siste: (. ) (.3 ) (. ) (. ) (. ) (. ) (. ) (.3 )

42 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası w.. y z z y y z..3 z. w. ( z z ) y. w. ( z z ) y y z. z.3 z y y y

43 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası...3 ( z z ). y...3 ( z z ). y y z. z.3 z y y y

44 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası..3. y..3. y y z y y y

45 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası..3. y..3. y y z G z y y y A, B..3, B...3. C, D, D A B B G C D D C D D Genişletiliş siste yapısı(agented syste) C, D, D

46 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası A, B..3, B...3. C, D, D C, D, D %lft_sys. = 3; = ; = ; d =.; d =.; d =.3; % A = [ -/ -/]; B = [ -d -d/ -d/]; B = [ /]; C = [-/ -/ ]; C = [ ]; D = [-d -d/ -d/ ]; D = [/ ]; D = [ ]; D = ; G = p(a,[b,b],[c;c],[d D;D D]);

47 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası _no = 3; _no = ; _no = ; d_ =.; d_ =.; d_ =.3; M = [-d_ /_no; -d_ /_no]; M = [ _no; d no]; M = [ _no; d no]; int = ndsys([],[ ]); int = ndsys([],[ ]); systenaes = ' M M M int int' ; inptvar = ' [;;;]' ; inpt_to_m = ' [; -M()-M()]' ; inpt_to_m = ' [ ; int]' ; inpt_to_m = ' [ ; int]' ; inpt_to_int = ' [ M() ]' ; inpt_to_int = ' [ int ]' ; otptvar = ' [M(); M(); M();int]' ; G=sysi; M M Int Int M M M M M M z z z y y y M Aynı işle Matlab ot sysi ile de yapılabiletedir.

48 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası

49 Paraetri belirsizlilerin LF yapısında çıartılası G z Orijinal sistein belirsiz yapısı üst LF gösterii ile aşağıdai şeilde ifade edilebilir. z F (, ) G

50 % % Freqeny responses of the pertrbed plants % lft_sys oega = logspae(-,,); [delta,delta,delta3] = ndgrid([- ],[- ],[- ]); for j = :7 delta = diag([delta(j),delta(j),delta3(j)]); olp = starp(delta,g); olp_i = sel(olp,,); olp_g = frsp(olp_i,oega); figre() vplot('bode',olp_g,'-') sbplot(,,) hold on sbplot(,,) hold on end sbplot(,,) olp_i = sel(g,4,4); olp_g = frsp(olp_i,oega); vplot('bode',olp_g,'r--') sbplot(,,) title('bode PLOS OF PERURBED PLANS') hold off sbplot(,,) hold off

51 Phase (degrees) Log Magnitde BODE PLOS OF PERURBED PLANS Freqeny (radians/se) Freqeny (radians/se)

52 Ödev Bir ütle-yay sisteinin denlei f z f şelinde veriletedir. Gerçe atılı değeri noinal atılı değeri 'dan % adar değişetedir: (. ) Brada [,] aralığında değişen bozntları gösteretedir. LF yalaşıını llanara aşağıdai yapıyı veren M atrisini olştrnz. = g ve freans evabını blnz. no = N/ için