DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ NOKTASAL SÜREÇLERDE EN YÜKSEK OLABİLİRLİKLİ KESTİRİM İŞLEMİNİN EVRE İZGESİ

Transkript

1 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ Cil: 15 No:2 Sayı: 44 sh Mayıs 2013 NOKTASAL SÜREÇLERDE EN YÜKSEK OLABİLİRLİKLİ KESTİRİM İŞLEMİNİN EVRE İZGESİ (PHASE SPECTRUM OF POINT PROCESS MAXIMUM LIKELIHOOD DECODER) Mura OKATAN 1 ÖZET/ABSTRACT Noasal süreçleri süren değişenlerin esiriminde ullanılan ynemlerden biri en yüse olabilirlili esirim işlemidir. Bu işlemin uygulama alanlarından biri, sinirsel asiyon poansiyeli dizilerinin içerdiği bilgilerin esirimidir. Noasal süreçlerin içerdiği bilgilerin en yüse olabilirlile esirilmesi işleminin evre izgesi henüz incelenmemiş bir onudur. Şimdii çalışmada, bu evre izgesi, sinirbilimsel açıdan gerçeğe uygun oşullar alında, benzeim yoluyla incelenmişir. Çalışmanın başlıca bulgusu, en yüse olabilirlili esirim işleminin evre gecimesinin incelenen freans aralığında isaisisel olara anlamlı olmadığıdır. İinci bir bulgu ise aynı oşullar alında noasal süreç zyineli süzgecinin evre gecimesinin sıfırdan anlamlı derecede büyü olduğudur. Bu sonuçlar, sinir siseminde gerçeleşen bilgi işlem süreçlerinin zamanlamasının incelendiği çalışmalar için nem aşımaadır. One of he mehods ha are used for esimaing variables ha drive poin processes is maximum lielihood esimaion. One applicaion of his mehod is neural spie rain decoding. The phase specrum of he poin process maximum lielihood decoder has no been examined previously. Here, his phase specrum is examined in a simulaed experimen under neuroscienifically realisic condiions. The major finding of he sudy is ha he phase delay of he maximum lielihood decoder is saisically no significan in he frequency range of ineres. A second finding is ha, under he same condiions, he phase delay of he poin process recursive filer is significanly greaer han zero. These resuls are imporan for sudies ha examine he iming of informaion processing wihin he nervous sysem. ANAHTAR KELİMELER/KEYWORDS Özyineli süzgeç, Evre gecimesi, Asiyon poansiyeli dizisi, Hipoamp, Davranış nrofizyolojisi Recursive filer, Phase delay, Spie rain, Hippocampus, Behavioral neurophysiology 1 Cumhuriye Ü., Tenoloji Faülesi, Mearoni Müh. Bl., Eleroni Sisemleri Anabilim Dalı, Kampüs, SİVAS, mura.oaan@superonline.com

2 Sayfa No: 54 M. OKATAN 1. GİRİŞ Bu blümde, noasal süreçler anııldıan sonra, sinirsel asiyon poansiyeli dizilerinin noasal süreçler olara incelenmesi ve bu dizilerde bilginin emsil edilmesi üzerinde durulmaadır. Asiyon poansiyeli dizilerinin aydedilmesi haında bilgiler verildien sonra, üzerinde durulan sinir sisemi blgesi anıılmaadır. Asiyon poansiyeli dizilerinin içerdiği bilgilerin esirimi onusu ele alınmaa ve en yüse olabilirlili esirim (EYOK) işlemi açılanmaadır. Bu işlemin evre izgesini esirme için ullanılan deney benzeimiyle ilgili n bilgiler verilmeedir. Bu bilgilere dayanılara çalışmanın amacı açılanmaadır Noasal Süreçler Noasal süreçler, zaman eseni üzerinde bulunan noalar olara düşünülebilir. Bir ço uygulamada, bu noalar bir olayın gerçeleşiği anları emsil eder. Örneğin, ilgilenilen olay bir elefona gelen aramalar ise, elefonun çalmaya başladığı anlar bir noasal süreç oluşurur. Noasal süreçler raslanısaldır. Herhangi bir zaman diliminde gerçeleşen noa sayısı rassal bir sayıdır. Bu sayı bir olasılı dağılımından gelmeedir. Her noasal sürecin olasılı yapısını am olara belirleyen, oşullu şidde işlevi adı verilen bir maemaisel işlev bulunur (Daley ve Vere-Jones, 2003). Noasal süreçlerin incelenmesinde oşullu şidde işlevlerinin belirlenmesi büyü nem aşır. Noasal süreçleri süren biraım değişenler olabilir. Diğer bir deyişle, süreçe noa oluşma olasılığının bağlı olduğu değişenler bulunabilir. Bir elefonun aranma süreci rneğine geri dnülece olursa, zaman, bu süreç üzerinde eili olan bir değişen olabilir. Örneğin, çoğu ullanıcının elefonuna, saa 02:00 ile 04:00 arasında çağrı gelme olasılığı, saa 14:00 ile 16:00 arasındai olasılıan daha üçüür. Dolayısı ile, süreçe noa grülme olasılığı zamana bağlıdır. Noasal süreçler endi geçmişlerine de bağlı olabilir: çalan bir elefona cevap verildien sonra onuşma biene adar elefonun erar çalamayacağı gibi. Noasal süreçleri süren değişenler ii veya daha fazla sayıda olabilir. Örneğin, zamana e olara, elefonun aranma süreci üzerinde eili olabilece bir diğer değişen, ullanıcının nieliğidir: bir asi durağı ile bir vergi dairesinin elefonlarına, saa 02:00 ile 04:00 arasında çağrı gelmesi olasılıları aynı değildir. Bu rneler, noasal süreçlerde birim zamanda gerçeleşen einliğe (noa sayısına) baılara, sürecin alında yaan biraım hedef değişenler haında çıarımlar yapılabileceğini gsermeedir. Bu ür çıarımlar yapılmasına, noasal sürecin alında yaan değişenlerin esirimi denmeedir. Örneğin, bir elefon haının sahibi hedef değişen olara ele alınıyorsa ve bu hedef değişenin bir asi durağı veya bir vergi dairesi olabileceği olasılıları üzerinde duruluyorsa, bu haın aranma sürecinde saa 02:00 ile 04:00 arasında grülen einliğe baılara, haın bir asi durağına mı yosa bir vergi dairesine mi ai olduğunun esirimi belirli bir güven aralığı dahilinde yapılabilir. Bu ür esirimlerin yapılabilmesi için, noasal süreçlerin olasılı yapılarının modellerine sahip olunması gereir. Bunun nedeni açıır: bir asi durağının ve bir vergi dairesinin elefon halarının aranma süreçlerinde saa 02:00 ile 04:00 arasında grülen noa sayısının olasılı dağılımları haında bilgi sahibi olunmadığı durumlarda, bir aranma sürecinde grülen noa sayısına dayalı olara bu sürecin bir asi durağına mı vergi dairesine mi ai olduğunu esirme mümün olmayacaır. Dolayısıyla, bu ür çıarımların yapılabilmesi amacıyla, noasal süreçlerin oşullu şidde işlevleri için biraım asayılı modeller nerilir ve bu modellerin asayıları verilerden esirilir. Verileri en iyi açılayan model isaisisel lçüler ullanılara belirlenir. Verilerin, bu model arafından abul edilebilir bir düzeyde açılandığı doğrulanır. Daha sonra bu model yeni verilerden çıarımlar yapma amacıyla

3 Mühendisli Bilimleri Dergisi Cil : 15 No:2 Sayı : 44 Sayfa No: 55 ullanılabilir. Örneğin, asi durağının ve vergi dairesinin elefonlarının Oca ayı boyunca oplanan aranma verileri ullanılara, bu elefon halarında saa 02:00 ile 04:00 arasında grülen noa sayıları bir olasılı dağılımı ile modellendiyse, Şuba ayı içinde bir gün bu saalerde grülen einliğe dayalı olara, einliğin grüldüğü haın hangi ha olduğunun esirimi belirli bir haa payı dahilinde yapılabilir Asiyon Poansiyeli Dizilerinin Noasal Süreçler Olara İncelenmesi Sinir sisemi, nron adı verilen sinir hücrelerinin ve bu hücrelere yaşamsal ve yapısal dese sağlayan diğer hücre ürlerinin oluşurduğu bir ağdır. Bu ağ, canlının iç ve dış oramı ile ilgili bilgileri işler. Bilginin nronlar arasındai ileiminde rol oynayan başlıca elerisel olaya asiyon poansiyeli adı verilir. Asiyon poansiyelleri, nronların hücre zarı üzerinde oluşan, süreleri yalaşı 1-2 ms, genlileri ise yalaşı 100 mv olan volaj sapmalarıdır (Keynes ve Aidley, 1991). Bu poansiyellerin süreleri ve genlileri yalaşı olara sabi olduğu için, asiyon poansiyeli dizileri sadece bu poansiyellerin bir eşi değere ulaşıları anlardan ibare olara düşünülebilir. Bu sayede, asiyon poansiyeli dizileri, zaman eseni üzerinde bulunan noalar (noasal süreçler) olara ele alınabilmeedir (Perel vd., 1967). Bir nronun asiyon poansiyeli üreme (aeşleme) süreci bazı açılardan bir elefonun aranma sürecine benzer. Ha meşgulen çalmayan elefonlar gibi, bir nron da asiyon poansiyeli aeşleme halindeyen yeni bir asiyon poansiyeli aeşleyemez. Bu nedenledir i, asiyon poansiyellerinin süreleri yalaşı 1-2 ms olduğu için, ardışı asiyon poansiyellerinin arasında en az 1-2 ms li bir süre bulunur. Farlı elefon halarının aranma süreçlerinin alında yaan olasılı dağılımlarının (oşullu şidde işlevleri) farlı olması gibi, farlı nronların asiyon poansiyeli dizilerinin alında yaan olasılı dağılımları da (oşullu şidde işlevleri) farlıdır. Bu durum, nronların işlevsel farlılıları ile ilgilidir. Telefon aranma süreci rneğinde olduğu gibi, nronların asiyon poansiyeli dizilerine olasılı modelleri uydurulara, bu süreçlerin alında yaan hedef değişenlerin değeri esirilebilir. Bunun için, yine elefon rneğinde olduğu gibi, nronların asiyon poansiyeli dizilerinin aydedilmesi ve modellenmesi geremeedir. Telefon aranma süreci ve nronların asiyon poansiyeli dizileri arasında biraım benzerliler bulunsa da, ço nemli farlılılar da bulunmaadır. Örneğin, elefonun çalması, elefonun arandığı bilgisini cihazın yaınındai biraç işiye duyururen, bir nronun asiyon poansiyeli aeşlemesi, o nronun ein olduğu bilgisini, nronun bağlı olduğu yüzlerce, haa binlerce nrona biraç milisaniye içinde ileebilmeedir. Ayrıca, bir elefonun çalmasına aynı anda sadece e bir elefon sebep olabiliren, bir nronun asiyon poansiyeli aeşlemesine aynı anda birço nrondan gelen uyarıların oplam eisi sebep olabilmeedir. Bir elefonu çaldıran arama, elefona bir merez arafından ynlendiriliren, bir nrona asiyon poansiyeli aeşleen uyarılar, o nrona başa nronlardan, bir merez arafından ynlendirilmeden, birebir bağlanılar üzerinden ulaşabilmeedir. Telefonlar aranmadan çalmazen, bazı nronlar hiçbir uyarı almadıları halde endililerinden asiyon poansiyeli aeşleyebilmeedir. Bu farlılılar, sinir ağlarının elefon ağlarından ço daha armaşı olduğunu gseren biraç basi rneir Asiyon Poansiyeli Dizilerinin Kaydedilmesi Asiyon poansiyelleri her ne adar nronların hücre zarı üzerinde oluşsalar da, eileri hücre dışından da aydedilebilmeedir. Bu eilerin genlileri hücreden uzalaşıça azalmaadır (Drae vd., 1988). Dolayısıyla, beyne yerleşirilen ince ileen eller aracılığı ile, ellerin ucunun yaın omşuluğunda bulunan nronların aeşledileri asiyon poansiyelleri

4 Sayfa No: 56 M. OKATAN aydedilebilmeedir (Buzsai, 2004). Davranış nrofizyolojisi adı verilen bilim dalında, dene hayvanlarının beyinlerine alıcı olara yerleşirilen eller aracılığıyla bu ür ayılar dene uyanı ve davranış halindeyen yapılabilmeedir. Nronun einliği biraım deneysel değişenlerle birlie eşzamanlı olara aydedildiğinde, nronun asiyon poansiyeli aeşleme olasılığı, deneysel değişenlere bağlı olara modellenebilmeedir. Dolayısıyla, deneysel değişenlerle ilgili bilgilerin sinir siseminde emsil edilmesi ve işlenmesi sırasında nronun oynadığı rol haında fiir edinilebilmeedir. Sıçan beyninde hipoamp adlı blgede bulunan nronların üreileri asiyon poansiyeli dizilerinin incelenmesi, bu ür çalışmalara bir rne olara gserilebilir (Brown vd., 1998) Konuma Bağlı Einli Gseren Hipoamp Nronları Tasi durağı ve vergi dairesine ai elefon halarının aranma süreçleri arasındai zamana bağlı farlılılar gibi, beynin hipoamp adlı blgesinde bulunan farlı nronların asiyon poansiyeli dizileri arasında da, deneğin içinde bulunduğu oramdai onumuna bağlı farlılılar bulunmaadır. Örneğin, dairesel bir oramda rasgele aılan yiyece ırınılarını oplayara gezinen bir sıçanın düzlem üzerindei onumu ve hipoamp nronlarının aeşledileri asiyon poansiyelleri eşzamanlı olara aydedildiğinde, nronların asiyon poansiyeli aeşleme olasılıları ile deneğin onumu arasında bir ilişi bulunduğu grülmeedir (Brown vd., 1998). Çoğu hipoamp nronu için asiyon poansiyeli aeşleme olasılığının yüse olduğu bir blge bulunmaadır. Bu blgeye nronun aeşleme blgesi adı verilir. Bu bulgulara gre, hipoampai nron ağında, deneğin içinde bulunduğu oram adea üçü blgelere ayrılmaa ve her blgede farlı bir nron opluluğu yüse olasılıla asiyon poansiyeli aeşlemeedir. Hipoamp nronlarının onuma bağlı einli gserdileri il olara O Keefe ve Dosrovsy arafından bulunmuşur (O Keefe ve Dosrovsy, 1971). Şimdii çalışmada ullanılan deney benzeiminde, hipoamp nronlarının onuma bağlı olara üreileri asiyon poansiyeli dizileri modellenmeedir (Oaan, 2012) Koşullu Şidde İşlevinin Modellenmesi Blüm 1.2 de belirildiği gibi, asiyon poansiyeli dizilerinin isaisisel olara incelenmeleri sırasında bu diziler noasal süreçler olara ele alınmaadır. Hipoamp nronlarının aeşledileri asiyon poansiyeli dizilerinin deneğin onumu haında bilgi içeriyor olması, bu dizilerin alında yaan oşullu şidde işlevlerinin ısmen de olsa deneğin onumuna bağlı olduğu anlamına gelmeedir. Nronların oşullu şidde işlevlerinin açı formülü bilinmemele beraber, bu işlevler için biraım maemaisel modeller nerilebilmee ve bu modellerin asayılarının verilerden esirilmesiyle nronların asiyon poansiyeli üreme einlilerinin olasılı yapısı ısmen de olsa açılanabilmeedir. Örneğin Brown vd., hipoamp nronlarının einlilerini çif değişenli normal dağılıma dayalı bir oşullu şidde işlevi ullanara modellemişlerdir (Brown vd., 1998). Bir nronun aydedilen asiyon poansiyeli dizisi ve deneğin onum aydı ullanılara, nerilen oşullu şidde işlevinin onuma bağlılığını anımlayan asayılar en yüse olabilirlile esirilebilmeedir. Daha sonra, herhangi bir onum verü için nronun asiyon poansiyeli aeşleme olasılığı, bu model ullanılara ısa bir zaman aralığı içinde yalaşı olara hesaplanabilmeedir (Brown vd., 1998). Farlı nronlar için esirilen asayılar farlı olabildiğinden dolayı, nronların onuma bağlı asiyon poansiyeli aeşleme davranışları bu şeilde modellenebilmeedir.

5 Mühendisli Bilimleri Dergisi Cil : 15 No:2 Sayı : 44 Sayfa No: Hipoamp Einliğinden Konum Bilgisinin Kesirimi Konuma bağlı oşullu şidde işlevleri, deneğin onumu ve nronların aeşleme olasılıları arasındai bağı urmaadır. Dolayısıyla, asayıları esirildien sonra, bu işlevler, nronların einliğinden yola çıılara deneğin onumunu hesaplamaa da ullanılabilir. Örneğin, eğer bir nronun aeşleme blgesinin oramın sol yarısında bulunduğu biliniyorsa, o zaman bu nronun yüse düzeyde ein olduğu durumlarda deneğin oramın sol yarısında olma olasılığının sağ yarısında olma olasılığından daha yüse olduğu biliniyor demeir. Bu şeilde, birço nrondan gelen einli bilgileri birleşirildiğinde, deneğin onumu aran bir başarıyla esirilebilmeedir. Bu einli bilgilerinin birleşirilmesinde farlı isaisisel ynemler ullanılmışır. Örneğin, Brown vd., bu iş için noasal süreç zyineli süzgeci adı verilen ynemi nermişlerdir (Brown vd., 1998). Bu süzgecin ullanım amacı, einliği eşzamanlı olara aydedilmiş birço nronun asiyon poansiyeli dizisini işleyere, bu einlilerin alında yaan değişenlerin değerini biraım ısılamalar alında esirmeir EYOK Einliği eşzamanlı olara aydedilmiş birço nronun asiyon poansiyeli dizisini işleyere, bu einlilerin alında yaan değişenlerin değerini esirme ynemlerinden bir diğeri EYOK adı verilen ynemdir. Bu ynem olasılı modellerinin ullanıldığı her uygulamada ullanılabilmeedir (Pawian, 2001). Ynemin zü, verilerin alında yaan olasılı dağılımının asayılı bir modelini oluşurma, verilerin bu modele gre olasılığını hesaplama, ve modelin asayı verünün bu olasılığı enbüyüen değerini belirlemeir. Toplanan verilerin olasılığı, olasılı modelinin asayı verünün bir işlevi olara ele alındığında, bu işleve asayı verünün olabilirli işlevi adı verilmeedir (Pawian, 2001). Kasayılar en yüse olabilirlile esirildien sonra, esirilen asayı verü yeni veriler ile birlie ullanılara, verileri süren hedef değişenlerin değeri de en yüse olabilirlile esirilebilmeedir. Bu işlem Blüm 2.6 da açılanmaadır Deney Benzeimi ve Çalışmanın Amacı Sinir siseminde işlenilen bilgileri açığa çıarmaa ve incelemee ullanılan isaisisel ynemlerin işlemsel zellileri, bu ynemler bir aım deney benzeimlerinde ullanılara araşırılabilir. Örneğin, noasal süreç zyineli süzgecinin evre izgesi, bir deney benzeimi ullanılara incelenmişir (Oaan, 2012). Szonusu çalışmada, süzgeç, yapay asiyon poansiyeli dizileri üzerinde ullanılmışır. Yapay dizilerin alında yaan değişenlerin değeri bilindiği için, süzgecin bu değişenleri esiriren sahip olduğu evre gecimesi esirilebilmişir. Şimdii çalışmada, bu ynem aynı oşullar alında EYOK işleminin evre izgesini esirme amacıyla ullanılmaadır. Bu evre izgesi henüz araşırılmamış bir onudur. Çalışmanın amacı, EYOK işleminin ve noasal süreç zyineli süzgecinin (ısaca, süzgeç) aynı deneysel oşullar alında sahip olduları evre izgelerinin belirlenmesi ve arşılaşırılmasıdır. Bu ür bir inceleme, sinirsel einliğin içerdiği bilgileri doğru esirebilen bir isaisisel ynemin gelişirilebilmesi açısından nemlidir.

6 Sayfa No: 58 M. OKATAN 2. YÖNTEM Bu blümde, oşullu şidde işlevlerinin maemaisel anımı yapılmaa ve bu işlevler için nerilen asayılı modellerin asayı verlerinin olabilirli işlevi anımlanmaadır. Kasayıların en yüse olabilirlile esirimi açılanmaadır. Birço model arasından en uygun olanının seçilmesinde ullanılan ynemler anlaılmaadır. Seçilen model ullanılara, asiyon poansiyeli dizilerinin alında yaan hedef değişenlerin en yüse olabilirlile esirimi açılanmaadır. Bu işlemin evre izgesini esirme için urgulanan deney benzeimi anımlanmaadır. Süzgecin ve EYOK işleminin evre izgelerinin zelenmesi onusuna değinildien sonra, bu evre izgeleri Blüm 3 e arşılaşırılmaadır Koşullu Şidde İşlevi Blüm 1.1 de açılandığı üzere, her noasal sürecin olasılı yapısını am olara belirleyen ve oşullu şidde işlevi adı verilen bir işlev bulunur. Ço ısa zaman dilimleri içinde en ço bir noa grülebileceği varsayımı alında, noasal sürecin oşullu şidde işlevi Eşili 1 dei gibi anımlanır (Brown vd., 2002). H Pr N N 1 H lim. 0 (1) Burada, Pr( ), olasılı işlevini, H, sürecin geçmişini, N() ise sayma süreci adı verilen süreci emsil emeedir. Sayma süreci, N(), noasal sürecin = 0 anında başladığı varsayıldığında,,, aralığında gzlenen noa sayısını verir (Daley ve Vere-Jones, 2003). Tüm zaman değerleri için oşullu şidde işlevinin sıfırdan büyü olduğu varsayılır. Koşullu şidde işlevi sürecin geçmişine bağlı değilse, bu işlev ısaca olara 0, 0 gserilir. Bu çalışmada ele alınan süreçlerde geçmişe bağlılı bulunmadığı için, H ifadesi aşağıdai eşililerde yer almamaadır. Koşullu şidde işlevi, bir x() değişeni aracılığı ile zamana dolaylı olara bağlı ise, x olara gserilir (Brown vd., 1998). Burada, x() saler veya ver olabilir. Örneğin, hipoamp nronlarının deneğin onumuna bağlı olara asiyon poansiyeli aeşleme einlilerini modelleme için verü, x x x 1 2, ' deneğin düzlemdei onumunun x 1 () ve x 2 () onaçlarından oluşurulmuş bir ver olara seçilebilir (Brown vd., 1998). Burada, ' işarei, devri oluşurma işlemini gsermeedir Önerilen Koşullu Şidde İşlevi Bir nronun asiyon poansiyeli aeşleme olasılığının, o nronun endi içinde devam emee olan eleroimyasal süreçlere ve diğer nronlardan aldığı eleroimyasal eilere bağlı olduğu düşünülmeedir. Dolayısıyla, bir nronun aeşlediği asiyon poansiyeli dizisinin alında yaan oşullu şidde işlevinin, birbirine doğrusal olmayan şeilde bağlılı gseren ço sayıda raslanısal eleroimyasal sürece bağlı olduğu düşünülebilir. Bu süreçleri ümüyle ve doğru olara anımlayan bilgilere sahip olunmadığı durumlarda, bu oşullu şidde işlevinin maemaisel ifadesi am olara oluşurulamaz. Öe yandan, bu armaşı alyapının gerçeleşirdiği işlem, canlının iç ve dış oramlarındai biraç hedef değişen haında bilgi emsil eme ise, nronun einliğini açılama için, bu hedef değişenlere bağlı olan asayılı bir model nerilebilir. Bu modeli gerçe oşullu şidde

7 Mühendisli Bilimleri Dergisi Cil : 15 No:2 Sayı : 44 Sayfa No: 59 işlevinden ayırdedebilme için bu işlev burada nerilen oşullu şidde işlevi, x, q adıyla anılmaadır. Burada, q, nerilen modelin asayı verüdür, x() ise hedef değişenleri emsil eden verdür Olabilirli İşlevi Zaman eseni, her biri uzunluğunda olan ve en ço bir noa içeren ısa dilimlere blündüğünde, = anında başlayan zaman dilimi içinde bir ane noa grülme olasılığı Eşili 1 ullanılara Eşili 2 dei gibi elde edilir (Daley ve Vere-Jones, 2003). Pr dn 1 x, q x, q Burada, deyişle, dn dn N N 1. (2), bir Bernoulli raslanısal değişenidir. Diğer bir nın değeri 0 veya 1 olabilir ve hangi değere sahip olacağı belirli bir olasılığa bağlı olma aydıyla raslanısaldır. Eşiliğin sağ arafındai olasılı için nerilen değeri vermeedir. Buna gre, dn şidde işlevine bağlı olara, Eşili 3 e gserilen şeilde ifade edilir. Pr dn x, q x, q 1 x, q Bu ifadeden, dn dn 1 x, q, ifadesi bu nın olasılığı, nerilen oşullu 1dN. (3) için Eşili 2 nin elde edildiği, dn 0 için ise Eşili 2 dei olasılığın Eşili 1 den çıarılması ile elde edilen olasılığın bulunduğu grülmeedir. Eşili 3 ullanılara, uzunluğu T olan bir asiyon poansiyeli dizisinin olasılı işlevi Eşili 4 e gserilen şeilde ifade edilir. Burada, K=T/, oplam zaman dilimi sayısını,, (0,T] aralığında aydedilen asiyon poansiyeli dizisinin ümünü, x( 0:K-1 ) ise aynı zaman aralığında eşzamanlı olara aydedilen onum sürecini gsermeedir. K 1 0: 1 0: 1 dn K K 0 1dN N 0: K 1 Pr N x, q x, q 1 x, q. (4) Eşili 4 ei ifade, x adını alır (Truccolo vd., 2005) Kasayıların EYOK u nin veya q nün bir işlevi olara grüldüğünde olabilirli işlevi Önerilen oşullu şidde işlevinin asayı verünün olabilirli işlevi Eşili 5 e grülmeedir. 0: 1 0: 1 K 1 dn K K 0 L q N, x x, q 1 x, q 1dN. (5)

8 Sayfa No: 60 M. OKATAN Nronun asiyon poansiyeli dizisi, N 0: K 1, ve incelenen hedef değişen, eşzamanlı olara aydedildien sonra, nerilen modelin asayı verünün en yüse olabilirlili değeri,, Eşili 6 nın çzülmesi ile elde edilir. qˆ arg max L q N, x q ˆq 0: K1 0: K1 x 0: K 1. (6) Kasayıların esirilen değerlerinin sandar haaları, olabilirli işlevinin logarimasının ürevleri ullanılara hesaplanmaadır (Pawian, 2001). Olabilirli işlevinin logarimasına log-olabilirli işlevi adı verilir. Bu işlev Eşili 7 de grülmeedir. l q N, x log L q N, x 0: K1 0: K1 0: K1 0: K1 x, q 1 şeilde elde edilir (Truccolo vd., 2005). 0: 1 0: 1. (7) için, Eşili 5 in logariması yalaşı olara Eşili 8 de gserilen K 1 K K 0 l q N, x log x, q dn x, q. (8) Noasal süreç olabilirli işlevi hiçbir zaman sıfır veya sıfırdan üçü olmadığı için, logolabilirli işlevi sonlu gerçe sayılarla ifade edilir. Logarima işlevi süreli aran bir işlev olduğu için, olabilirli işlevini enbüyüen değer, log-olabilirli işlevini de enbüyüür. Dolayısıyla,, Eşili 9 da grüldüğü gibi de ifade edilir. ˆq qˆ arg max l q N, x q 0: K1 0: K Model seçimi: Bağıl ve Mula Uygunlu. (9) Önerilen modelin bazı asayıları veriler arafından deselenmiyor olabilir. Byle durumlarda bu ür asayıların geresiz olduğu çıarımı yapılır ve bunlar modelden aılabilir. Geriye alan asayı verü il verün anımlı olduğu uzayın bir al uzayında bulunmaadır. En uygun al uzayı bulma için üm al uzaylardai asayı verlerinin Aaie Bilgi Ölçüü (AIC c ) hesaplanır ve en üçü AIC c ye sahip olan ver en uygun model olara belirlenir. Bu model seçimine bağıl uygunlu adı verilir (Burnham ve Anderson, 2002; Maydeu-Olivares ve Garcia-Forero, 2010). Bağıl uygunlu lçüü AIC c, biri diğerinin al uzayında olmayan farlı modeller arasında seçim yapma için de ullanılabilir (Burnham ve Anderson, 2002). Bağıl olara en uygun olduğu bulunan modelin, verileri abul edilebilir bir düzeyde açıladığı ayrıca ispa edilmelidir. Bu uygunlu durumuna mula uygunlu adı verilir (Maydeu-Olivares ve Garcia-Forero, 2010). Bir oşullu şidde işlevinin mula uygunluğu, modellediği noasal süreci birim Poisson sürecine dnüşürebilmesiyle lçülür (Brown vd., 2002; Czanner vd., 2008). Bağıl ve mula uygunluğu belirlendien sonra, nerilen model, verilerin incelenmesinde ullanılmaya hazırdır.,

9 Mühendisli Bilimleri Dergisi Cil : 15 No:2 Sayı : 44 Sayfa No: Hedef Değişenlerin EYOK u Kasayıları esirilen modeller ullanılara, yeni asiyon poansiyeli dizilerinin alında yaan hedef değişenler her zaman diliminde en yüse olabilirlile esirilebilir. Bunun için nce hedef değişenin herhangi bir zaman dilimindei log-olabilirli işlevinin elde edilmesi gereir. Bu işlevin oplam C ane nronun einliği ullanılara oluşurulan şeli Eşili 10 da grülmeedir. C 1: 1: l x dn, qˆ log x, qˆ dn x, qˆ Burada, C C c c c c c c1 dn 1:C. (10), C ane nronun anında başlayan zaman dilimi içindei asiyon poansiyeli aeşleme durumunu gseren ver, qˆ 1: C işlevlerinin daha nceden esirilmiş olan asayı verlerinin ümü,, bu nronlar için nerilen oşullu şidde x, qˆ c c sayılı nron için nerilen oşullu şidde işlevinin anındai değeri,, c sayılı nron için nerilen işlevin asayı verünün daha nceden esirilmiş olan en yüse olabilirlili değeri, ise aynı nronun anında başlayan zaman dilimi içindei asiyon dn c poansiyeli aeşleme durumunu gseren ve değeri 0 ya da 1 olan sayıdır. Buna gre, hedef değişenin anında başlayan zaman dilimi içindei en yüse olabilirlili değeri Eşili 11 dei gibidir. xˆ arg max l x dn, qˆ 1: C 1: C x qˆ c, c. (11) 2.7. Hedef Değişenlerin Noasal Süreç Özyineli Süzgeci İle Kesirimi Blüm 1.6 da açılandığı üzere, sinirsel asiyon poansiyeli dizilerinin alında yaan değişenlerin esiriminde farlı isaisisel ynemler ullanılmışır. Bu ynemlerden biri noasal süreç zyineli süzgecidir (Brown vd., 1998). Bu süzgecin anımı Brown vd., Barbieri vd. ve Truccolo vd. gibi çalışmalarda ayrınılı olara verilmişir (Brown vd., 1998; Barbieri vd., 2004; Truccolo vd., 2005). Şimdii çalışmanın amacı, Eşili 11 de anımlanan EYOK işleminin evre izgesi ile süzgecin evre izgesini aynı oşullar alında belirleme ve arşılaşırmaır. Bu amaçla ullanılan deney benzeimi Blüm 2.8 de açılanmaadır Deney Benzeimi Bu blümde, bu çalışmada ullanılan deney benzeiminin ayrınıları açılanmaadır. İl olara deney düzeneği açılanmaadır, ardından hipoamp nronlarının benzeiminde ullanılan oşullu şidde işlevleri anımlanmaadır. Bu nronların einliği için nerilen oşullu şidde işlevleri oluşurulduan sonra, esirilen modellerin uygunluğunu belirlemee ullanılan ynemin ayrınıları verilmeedir. Son olara onumun EYOK işlemi açılanmaa ve bu işlemin evre izgesinin belirlenmesine ilişin bilgiler verilmeedir.

10 Sayfa No: 62 M. OKATAN Deney Düzeneği Kullanılan deney benzeiminde, bir sıçanın, çapı 70 cm olan bir çember üzerinde sabi açısal hızlarla haree eiği varsayılmışır (Oaan, 2012). Çemberin çapı, ncei çalışmalarda ullanılan düzeneler rne alınara belirlenmişir (Muller vd., 1987; Muller ve Kubie, 1989; Brown vd., 1998; Calon vd., 2003; Barbieri vd., 2004). Deneğin çizgisel hızları 10 cm/s aralılarla, cm/s aralığından seçilmişir (Schmid vd., 2009). Bu hızlar, çemberin yarıçapı olan 35 cm ye blünere deneğin açısal hızları belirlenmişir. Tüm uzunlular bu yarıçapa blünere incelemeler birim çember üzerinde yapılmışır Hipoamp Nronlarının Benzeiminde Kullanılan Koşullu Şidde İşlevleri Deneğin çember üzerindei hareei sırasında C ane hipoamp nronunun aeşlediği asiyon poansiyeli dizilerinin aydedildiği varsayılmışır. Bu dizilerin alında yaan oşullu şidde işlevleri olara, Brown vd. nin çalışmasında olduğu gibi, çif değişenli normal dağılıma dayalı işlevler ullanılmışır (Brown vd., 1998). Kullanılan işlevler Eşili 12 de grülmeedir. c x x c x , 2 2, c exp. 2 2 (12) Bu işlevlerde, μ c 1, c, 2, c ', c sayılı nronun aeşleme blgesinin merezi,, bu blgenin büyülüğünü belirleyen asayı, ise bu nronun onumdan bağımsız olara asiyon poansiyeli aeşleme olasılığını belirleyen asayıdır. Modelin asayılarından ve nın değerleri, Calon vd. nin sonuçlarına dayanılara belirlenmişir (Calon vd., 2003). Calon vd. nin bulgularına gre, sıçanlarda hipoamp nronlarının en yüse aeşleme hızları 28,78 ± 2,79 Hz, aeşleme blgelerinin büyülüğü de deneğin gezindiği alanın %16,6 ± 1,8 i adardır (oralama ± oralamanın sandar haası; n=45) (Çizelge 2) (Calon vd., 2003). Calon vd. nin deneyinde, deneğin gezindiği alan çoğunlula dairesel alanın ümünü aplamaadır (Şeil 3) (Calon vd., 2003). Dolayısıyla szonusu deney oşulları alında nronların aeşleme blgeleri deneğin içinde gezindiği dairesel alanın yalaşı %16,6 ± 1,8 i adardır. Calon vd. nin çalışmasında, bir nronun aeşleme blgesi, o nronun aeşleme hızının en yüse değerine bağlı olara belirlenmişir (Calon vd., 2003). Buna gre, aeşleme blgesi, aeşleme hızının, en yüse değerinin en az %10 u adar olduğu en büyü alandır. Bu anıma gre, Eşili 12 dei nron modelinde, c sayılı nronun aeşleme blgesi x c x , 2 2, c c x exp 0,1 exp 2, 2 (13) eşisizliğinin sağlandığı blgedir. Bu da, merezi ve yarıçapı log100 olan dairedir. Calon vd. nin çalışmasında, aeşleme blgesinin büyülüğü, deneğin içinde gezindiği dairesel alanın yalaşı %16,6 ± 1,8 i adar olduğundan dolayı (Calon vd., 2003), birim daire için nın yalaşı değeri 2 log100 = 1 2 0,166 eşiliğinden = 0,19 olara bulunmuşur. Modelde en yüse aeşleme hızı exp() olduğu için, nın yalaşı değeri de μ c

11 Mühendisli Bilimleri Dergisi Cil : 15 No:2 Sayı : 44 Sayfa No: 63 Calon vd. nin verileri ullanılara 28,78 = exp() eşiliğinden = 3,36 log (Hz) olara hesaplanmışır (Calon vd., 2003). Bu asayılar ullanılara, çalışmada ullanılaca en az nron sayısı, aeşleme blgelerinin ora derecede rüşere birim çemberi aplamalarını sağlayaca şeilde elde edilen 1 2 log100 15, 4 sayısının 360 dereceyi am olara blmesi amacıyla 18 e amamlanması ile C = 18 olara belirlenmişir. Buna gre, c sayılı nronun merezi olara elde edilmişir. Bu şeilde elde edilen aeşleme μc cos 2 c / C,sin 2 c / C ' blgeleri Şeil 3A da gserilmeedir. EYOK işleminin evre izgesinin ullanılan nron sayısına olan bağlılığını inceleme için aynı oşullu şidde işlevine sahip M ane nronun ullanıldığı incelemeler yapılmışır. Buna gre, çalışmada ullanılan üm nronların oşullu şidde işlevleri, 1 c C ve 1 m M olma üzere, Eşili 14 e gserilen şeildedir. x c x 2 2 exp , 2 2, c cm, x 2 (14) Önerilen Koşullu Şidde İşlevleri Gerçe nronların einliğinin alında yaan oşullu şidde işlevlerinin bilinmediği gibi, deney benzeiminde ullanılan nronların einlilerinin alında yaan ve Eşili 14 e gserilen oşullu şidde işlevlerinin de bilinmediği varsayılmışır. Bu işlevlerin yerine, Eşili 15 e gserilen, asayıları bilinmeyen, çif değişenli modeller nerilmişir. Bu modeller Eşili 14 e gserilen oşullu şidde işlevlerini apsamaadır. 2 2 c, m c, m c, m,0 c, m,1 1 c, m,2 1 c, m,3 2 c, m,4 2 x q q q x q x q x q x, exp. (15) Modelin asayı verünün log-olabilirli işlevi Eşili 16 da grülmeedir. l q N, x c, m c, m,0: K 1 0: K 1 K 1 0 dn log x, q x, q. c, m c, m c, m c, m c, m (16) Kasayı verünün EYOK u Eşili 17 de grülmeedir. c, m c, m c, m,0: K 1 0: K 1 qcm, qˆ arg max l q N, x. (17) Bu esirimi yapabilme için onuma bağlı asiyon poansiyeli dizilerine (1 c C, 1 m M olma üzere Nc, m,0: K 1) ve bu dizileri süren onum değerlerine ( ) ihiyaç vardır. Gerçe verilerin incelendiği çalışmalarda, bu ür veriler, dene oramda rasgele dolaşıren aydedilmeedir (Muller vd., 1987; Muller ve Kubie, 1989; Brown vd., 1998). Burada da bu ayılar benzer bir şeilde benzeim yoluyla üreilmişir. Bunun için = ve = 10 s için, x 1 ( ) ve x 2 ( ) onaçları [-2,2] aralığından birbiçimli dağılıma sahip olaca x 0: K 1

12 Sayfa No: 64 M. OKATAN şeilde rasgele seçilmişir. Her zaman diliminde nronların aeşleme olasılıları Eşili 14 ullanılara hesaplanmışır. Nronların asiyon poansiyelleri, bu olasılılar ullanılara Bernoulli raslanısal değişenleri olara üreilmişir. Diğer bir deyişle, sayılı zaman dilimi için hesaplanan aeşleme olasılığı x c, m olasılıla rasgele bir sayı seçilmiş ve bu sayı zaman dilimine dn c, m 1 olduğundan dolayı, [0,1] aralığından eşi x c, m değeri yerleşirilmişir, asi airde değerinden büyü değilse bu dn c, m 0 değeri yerleşirilmişir. Zaman dilimi sayısı, her nron en az 5000 asiyon poansiyeli aeşleyene adar arırılmışır. Elde edilen bu asiyon poansiyeli dizilerinin alında yaan oşullu şidde işlevinin Eşili 15 ei model olduğu nerisi alında, Eşili 15 in asayıları en yüse olabilirlile esirilmişir. Kesirim işlemi, MATLAB (sürüm (R2009a) 32-bi (win32), Naic, Massachuses, ABD; The MahWors Inc.) yazılımı alında, Genel Doğrusal Modeller ullanılara yapılmışır (McCullagh ve Nelder, 1989; Truccolo vd., 2005). MATLAB yazılımının, Genel Doğrusal Modellerin asayılarının esirimi sırasında ngrdüğü dngü sayısının avan değeri olan 100 dngüden sonra bile asayı verünün en yüse olabilirlili değerine am olara ulaşamadığı gzlenmişir. Bunun, nronların ein olduları blgelerin, blgesinden ço daha üçü olmasından ileri geldiği anlaşılmışır. 2,2 2,2 Yaınsamayı hızlandırma için Eşili 17, aşağıdai eşisizliği sağlayan onum değerlerinde çzülmüşür. 2 2 x x 1,1 r 1 1, c, m 2 2, c, m c, m. (18) Burada 1,c,m ve 2,c,m, c ve m gsergeleriyle anımlanan nronun aeşlediği asiyon poansiyellerinin aeşlendileri noaların x 1 ve x 2 onaçlarının oralama değerleridir, ise bu noaların ümünü apsayan ve ν, ' c, m 1, c, m 2, c, m r cm, merezli en üçü dairenin yarıçapıdır. Bu ısı alında asayı verünün yeerli hızda yaınsadığı ve en yüse olabilirlili değerine 100 dngüden nce ulaşığı gzlenmişir Bağıl ve Mula Model Uygunluğu Önerilen modelin asayı verü beş boyulu bir uzayda bulunmaadır. Bu verün bileşenlerinden bazıları verileri açılama için gereli olmayabilir. Örneğin, verün q cm,,4 bileşeninin geresiz olduğu bulunabilir. Byle bir durumda verileri açılama için Eşili 19 dai model daha uygun olacaır. 2 q q x q x q x x, q exp. (19) c, m c, m c, m,0 c, m,1 1 c, m,2 1 c, m,3 2 İl asayı verünün birinci, iinci ve üçüncü bileşenlerini değişen uan ve drdüncü bileşenini sıfıra sabileyen bu model, iili düzende 1110 sayısı ile gserilece olursa, bu sayının onlu düzendei değeri olan 14 sayısı elde edilen modeli belirme için ullanılabilir. Modelin asayı verü de ( ) [ ] olara anımlanabilir. Bu şeilde, q cm,,0, hariç, farlı bileşenlerin sıfırlandığı oplam 2 4 = 16 ane al model oluşurulabileceği grülmeedir. Verileri açılayan en uygun modeli bulma için, elde edilen

13 Mühendisli Bilimleri Dergisi Cil : 15 No:2 Sayı : 44 Sayfa No: 65 bu modeller verilere en yüse olabilirlile uydurulur. Her al modelin, verileri ne adar iyi açıladığı AIC c lçüü ullanılara hesaplanır (Burnham ve Anderson, 2002). Bu lçüün ifadesi i sayılı al model için, 0 15, Eşili 20 de verilmeedir. i cm, Q i 2Q i 1 AIC ˆ c i 2 l qc, m i Nc, m,0: K 1, x0: K 1 2Q i N K Q i 1 Burada qˆ cm, i,, q cm i sıfıra sabilenmemiş olan bileşen sayısını, nin en yüse olabilirlile esirilen değerini, Q(i), Ncm, K. (20) qˆ cm, i nin ise modellenen asiyon poansiyeli dizisinde bulunan oplam asiyon poansiyeli sayısını vermeedir. Tüm al modeller arasında en üçü AIC c ye sahip olan model, verileri açılama açısından bağıl uygunluğu en yüse olan modeldir (Burnham ve Anderson, 2002). Bağıl uygunluğu en yüse olan model belirlendien sonra, bu modelin, verileri abul edilebilir bir düzeyde açıladığı, diğer bir deyişle mula uygunluğu gserilmelidir. Bir oşullu şidde işlevinin mula uygunluğu, modellediği noasal süreci birim Poisson sürecine dnüşürebilmesiyle lçülür. Bu dnüşümün ne derecede gerçeleşiği ise modellenen süreçei zaman aralılarının biraım işlemler sonucunda zilinisiz ve üsel dağılımlı raslanısal sayılara dnüşürebilmesiyle lçülür (Brown vd., 2002; Czanner vd., 2008). Dnüşürülen zaman aralılarının dağılımının üsel dağılımdan farı Kolmogorov-Smirnov lçüü ile belirlenir (Brown vd., 2002). Ayrıca zaman aralılarının zilinisinin isaisisel anlamlılığı hesaplanır (Czanner vd., 2008). Bu çalışmada, nerilen modellerin bağıl ve mula uygunluları yuarıda açılanan ynemler ullanılara Blüm 3.1 de gserilmişir Dairesel Haree Sırasında Konum İşareinin Kesirimi Önerilen oşullu şidde işlevlerinin asayı verleri esirildien sonra, bu modeller yeni asiyon poansiyeli dizilerinin alında yaan onum işareini esirmee ullanılmışır. Bu onum işarei Eşili 21 de anımlanmaadır. x cos, x sin. 1 2 (21) Blüm de açılandığı üzere, açısal hızları, sıçanların benzer deneylerde sergiledileri haree hızları ullanılara belirlenmişir. Asiyon poansiyeli dizilerini üreme için, = ve = 10 s seçilmişir. Her zaman diliminde nronların aeşleme olasılıları Eşili 14 ullanılara hesaplanmışır. Nronların asiyon poansiyelleri bu olasılılar ullanılara Bernoulli raslanısal değişenleri olara üreilmişir. Diğer bir deyişle, sayılı zaman dilimi için hesaplanan aeşleme olasılığı c, m ve bu sayı x olduğundan dolayı, [0,1] aralığından eşi olasılıla rasgele bir sayı seçilmiş x c, m yerleşirilmişir, asi airde değerinden büyü değilse bu zaman dilimine c, m 0 dn c, m 1 değeri dn değeri yerleşirilmişir. Zaman dilimi sayısı, çember erafında 20 ere dnülene adar arırılmışır. Konum ve asiyon poansiyeli ayıları bu şeilde üreildien sonra, elde edilen asiyon poansiyeli dizilerinin alında yaan oşullu şidde işlevinin Eşili 15 ei model olduğu nerisi alında, daha nceden esirilen asayı verleri ullanılara, onum işarei en

14 Sayfa No: 66 M. OKATAN yüse olabilirlile esirilmişir. Konum verünün sayılı zaman dilimi içindei değerinin log-olabilirli işlevi Eşili 22 de grülmeedir. l x dn, qˆ 1: C,1: M 1: C,1: M C M c1 m1 log x, qˆ dn x, qˆ. c, m c, m c, m c, m c, m (22) Buna gre, onum verünün anında başlayan zaman dilimi içindei en yüse olabilirlili değeri Eşili 23 ei gibidir. 1: C,1: M 1: C,1: M x xˆ arg max l x dn, q ˆ. (23) Bu işlem log-olabilirli işlevinin onuma gre ürevinin sıfırlanması ve elde edilen eşilie nın Newon-Raphson ynemi ile sayısal olara çzülmesi yoluyla yapılmışır. xˆ Buna gre, log-olabilirli işlevinin l f x x x dn, qˆ 1: C,1: M 1: C,1: M x olara anımlandığında, ya gre ürevi n 1 sayılı Newon- Raphson dngüsünde elde edilen esirim Eşili 24 ullanılara elde edilmişir (Press vd., 1992). ˆ ˆ 1 x ˆ x n J f x n1 n1. (24) Bu eşilie J, f nin Jaobi dizeyidir,, çzümün aç ez ırasadığını saymaadır. Herhangi bir zaman diliminde, onumun esirimine başlandığında 0,9 dur ve 0 0 dır ve Newon-Raphson yneminin çzüme yaınsama hızı dir. Eğer çzüm yaınsamazsa, nın değeri 1 arırılır ve aynı il oşullardan başlanara Newon-Raphson dngüsü yeniden başlaılır. Bu şeilde uygun yaınsama hızı bulunara çzümün yaınsaması sağlanmışır. Çzümlerde ullanılmışır. x ˆ 0 ın il değeri için ise hareein xˆ xˆ 0 1 başlaıldığı gerçe onum olan (Barbieri vd., 2004; Oaan, 2012). 1 1,0 ' noası ullanılmışr. Eşili 22 de = 3,3 ms alınmışır Benzeimde Kullanılan Zaman Dilimi Uzunluğunun Belirlenmesi Asiyon poansiyeli dizilerinin noasal süreçler olara üreilmelerinin biraç yolu bulunmaadır. Bazı ynemler asiyon poansiyellerinin oluşuları zamanların sınırsız bir çzünürlüle hesaplanmasını sağlar (Ogaa, 1981). Oysa nrofizyoloji veri oplama düzeneleri nronların einliğini sınırlı zamansal çzünürlüle aydedebildiği için, asiyon poansiyeli dizilerinin, rneleme hızının belirlediği zamansal çzünürlüen daha yüse bir çzünürlüle incelenmeleri geremez. Bu ür verilerin incelenmesinde ve açılanmasında, zaman eseni ısa ve eşi aralılara blünür, ve asiyon poansiyellerinin bu aralılar içinde aeşlenme olasılıları incelenir (Brown vd., 1998; Barbieri vd., 2004; Truccolo vd., 2005). Bu çalışmada da aynı ynem ullanılmışır. Yuarıda açılanan yapay asiyon poansiyeli dizileri, Eşili 14 ei oşullu şidde işlevi ullanılara asiyon poansiyellerinin ardışı ve ısa zaman aralılarında raslanısal olara

15 Mühendisli Bilimleri Dergisi Cil : 15 No:2 Sayı : 44 Sayfa No: 67 üreilmesi yoluyla oluşurulmuşur. Bu ynemde zaman aralılarının uzunluğunun ne olacağının bir aım lçülere gre belirlenmesi geremeedir. Örneğin, zaman dilimi ço uzun seçilirse, nronun einliğinde gerçeleşen hızlı değişimler, zaman aralıları içinde aybolur ve yapılan inceleme bu değişilileri belirleyemez. Bu, emelde, asiyon poansiyeli dizisini üreen oşullu şidde işlevinin, ısa aralılar içinde sabi abul edilip edilemeyeceği sorusu ile ilgilidir. Bu sorunun yanıını raamlarla lçülebilen bir şeilde verebilme için, gerçe oşullu şidde işlevi ve o işlev yerine ullanılan yalaşı işlev arasındai haayı lçen bir lçü ullanılabilir. Burada bu amaçla ullanılan lçü ii işlev arasındai haanın 2-norm veya L2-norm adı verilen büyülüğüdür (Golub ve Van Loan, 1996). Kullanılan zaman diliminin uzunluğu ile ifade edilirse, haanın birim zamandai büyülüğü Eşili 25 ei gibi elde edilir. T K h u u c, m c, m d T x x (25) Burada T, asiyon poansiyeli dizisinin süresini, K = T -1 ise bu süre içinde bulunan zaman dilimi sayısını gsermeedir. Birim adım işlevi adı verilen u() işlevinin değeri, < 0 ien 0, > 0 ien ise 1 dir (Oppenheim vd., 1983). Eşili 25 e grülen oşullu şidde işlevi Eşili 14 ei işlevdir ve bu işlevdei x() Eşili 21 de verilmişir. Haa, en hızlı haree oşullarında hesaplanmışır ( = 130/35 radyan/s; T = 2 ). Eşili 25 ei ümlevi sayısal olara hesaplama için d = 0,1 μs olara alınmışır ve h 2, = 1 ms, 0,1 ms ve 10 μs için hesaplanmışır. Çizelge 1, elde edilen haaları farlı açılardan yorumlamaadır. En sağdai ii süun, zaman dilimi olara ullanılması sonucunda yapılan haanın ne adar süre içinde oralama ±1 asiyon poansiyeli düzeyine erişiğini gsermeedir. Bu çizelgeye gre, zaman dilimi = 1 ms olara seçildiğinde, oşullu şidde işlevinin hesaplanmasında yapılan haa yalaşı 19 s de 1 asiyon poansiyelinin, esi veya fazla üreilmesine yol açmaadır. Bu sürenin bu çalışmada diae alınan en yavaş haree hızı olan 10 cm/s li hızla çember erafında 20 ez dnülmesi için gereen süreden uzun olması isenirse, gereen süre 440 s olduğundan dolayı, uygun zaman dilimi uzunluğunun Çizelge 1 de = 10 μs olduğu bulunumaadır. Bu nedenle asiyon poansiyeli dizileri bu zaman dilimi ullanılara üreilmişir. Çizelge 1. Farlı süreleri için h nin büyülüğü Oralama olara 1 asiyon poansiyelli haa oluşma süresi: h -1 (s) Saniye Daia , ,85 0, , ,7 3, , Kesirim İşleminin Evre İzgesi h Eşili 23 e anımlanan EYOK işleminin evre izgesini esirme için, xˆ ile Eşili 21 de anımlanan gerçe onum arasındai evre gecimesi farlı haree hızlarında ve yaışın durumda esirilmişir. Yaışın durumu anımlayan zaman aralığı Y 4 1 olara belirlenmişir ve esirilen onumun yaışın durumda Eşili 26 ya uyduğu varsayılmışır (Oaan, 2012).

16 Sayfa No: 68 M. OKATAN xˆ B cos, 1 1 xˆ Bsin. 2 2 (26) Burada B, esirilen onumun yaışın durumda çemberin merezine olan oralama uzalığını,, bu onumdai değişimin oralama açısal hızını,, bu onumla gerçe onum arasındai evre gecimesini, işlevleri ise oralamaları sıfır ve değişinileri zaman içinde sabi ve eşi olan Gauss süreçlerini emsil emeedir. Eşili 26 dai işlevlerin asayıları en yüse olabilirlile esirilmişir. Konumun gerçe ve esirilmiş değerleri arasındai evre farı, asayısının esirilen değeri olara hesaplanmışır. nın % 95 li güven aralığı Fisher bilgisi ullanılara belirlenmişir (Pawian, 2001). Evre gecimesi nın birimi radyandır. Zaman birimli evre gecimesi, nın açısal hız ya blünmesi sonucunda elde edilmişir. Süzgecin evre izgesini esirme için,, Eşili 23 yerine, Oaan da Eşili 5-9 da ˆ ˆ xˆ anımlanan noasal süreç zyineli süzgeci ullanılara esirilmişir (Oaan, 2012). Süzgeçleme ve EYOK işleminde aynı nron modelleri ( ) ullanılmışır. Süzgecin esirdiği xˆ ˆ c, m c, m x, qˆ elde edildien sonra, süzgecin evre izgesi yuarıda ve Oaan da açılanan şeilde Eşili 26 ullanılara esirilmişir (Oaan, 2012). Blüm e, c ve m gsergeleriyle belirlenen nronun, sayılı zaman dilimi içinde asiyon poansiyeli aeşleme olasılığının, Eşili 14 ullanılara x ˆ c, m olara hesaplandığı belirilmişi. Dolayısıyla, bu olasılı, deneğin aynı zaman dilimindei onum x ya bağlıdır. Diğer bir deyişle, buradai benzeim çalışmasında, nronların verü olan einliğinde emsil edilen onum, deneğin gerçe onumu ile eşzamanlıdır. Bunun bir sonucu olara, nronların einliğinde emsil edilen onum, süzgeçleme veya EYOK işlemi arafından doğru esirilirse, esirilen onum ve gerçe onum arasındai evre gecimesinin sıfır olduğu bulunacaır. Dolayısıyla, buradai benzeim çalışmasında, esirim işleminin başarısı, evre izgesinin sıfıra yaınlığı ile lçülmeedir Evre İzgelerinin Özelenmesi Şeil 4A, EYOK işleminin ve süzgecin zaman birimli evre izgelerini farlı M değerleri için gsermeedir. M nin değerinin armasıyla evre izgeleri üs üse binmee ve birbirlerinden ayır edilmeleri güçleşmeedir. Bununla beraber, evre izgelerinin, zellile yüse M değerlerinde, haree hızı ile doğrusal bir şeilde değişileri grülmeedir. Dolayısıyla, evre izgelerine bir doğru eşiliği uydurulara, izgeler bu eşiliğin asayıları aracılığı ile zelenebilir. Byle bir doğru eşiliğinin evre izgesine uyduruluşu Şeil 4A da esili ırmızı renli doğrular ile gserilmişir. Bu doğrular, Eşili 27 dei modelin, evre izgesine en yüse olabilirlile uydurulması sonucu elde edilmişir. (27) Bu eşilie, ˆM v, x ˆ nın belirli bir M değeri için v hızında esirilen zaman birimli M M evre gecimesini gsermeedir. v, oralaması sıfır ve sandar sapması v olan normal dağılımlı haa erimidir. M v, ˆM v nın sandar haasıdır. Evre izgelerini zeleme için Eşili

17 Mühendisli Bilimleri Dergisi Cil : 15 No:2 Sayı : 44 Sayfa No: 69 M M 27 dei a ve b asayılarının en yüse olabilirlili değerleri, a ˆ M ve olara çizdirilmişir (Şeil 4B-4C) Hesapsal Karmaşılığın İncelenmesi ˆM b, M nin bir işlevi Süzgecin ve EYOK işleminin hesapsal armaşılığını işlem süreleri cinsinden inceleme amacıyla bu işlemlerin aldıları süreler lçülmüşür. İşlemler, 64 bi Windows 7 Home Premium işleim sisemi çalışıran, dr İnel (R) Core (TM) i5 CPU 2,80 GHz çeirdeli ve 4 GB RAM e sahip bir bilgisayar ile, MATLAB yazılımı ullanılara yapılmışır. 3. BULGULAR Bu blümde, esirilen modellerin uygunluğunu gseren sonuçlar açılandıan sonra onum bilgisinin esirimi ile ilgili sonuçlar verilmeedir. EYOK işleminin ve süzgecin evre izgeleri arşılaşırılmaadır. Bu işlemlerin hesapsal armaşılığı incelenmeedir Model Uygunluğu Nronların gerçe ve nerilen oşullu şidde işlevleri, sırasıyla Eşili 14 ve Eşili 15 e gserilmeedir. Gerçe oşullu şidde işlevleri, nerilen oşullu şidde işlevleri arafından apsandılarından dolayı, eğer nerilen işlevlerin asayıları başarılı bir şeilde esirilirse, gerçe işlevlerin Eşili 28 de gserilen asayı değerlerine yaınsamaları belenir. 1 1 c 1 1 c qˆ ˆ ˆ ˆ ˆ c, m,0 ; q 2 c, m,1 cos 2 ; 2 qc, m,2, qc, m,4 ; q 2 c, m,3 sin C 2 C Eşili 17 ve Eşili 20 de açılanan esirim ve model seçimi işlemleri yapıldıan sonra elde edilen modellerin asayı verleri m = 9 için Şeil 1 de grülmeedir. Şeil 1 de, douzuncu nron (c = 9) hariç, büün nronlar için AIC c nin en düşü değeri asayı verünün hiçbir bileşeni 0 a sabilenmeden elde edilmişir. Douzuncu nronda, q 9,9,3 asayısı geresiz bulunmuş ve sıfıra sabilenmişir. Bu durum m = 6, 10 ve 15 için de grülmüşür. Diğer m değerlerinde, q 9,m,3 ün sıfıra sabilenmesi gereiği çıarımlanamamışsa da, esirilen değeri 0 a yaın bulunmuşur. Dia edilirse, q 9,m,3 asayısının uramsal değeri, Eşili 28 den de grüleceği gibi 0 dır. Şeil 1 dei sonuçlar, asayıların esirilen değerlerinin uramsal değerlere yaın oldularını gsermeedir. m gsergesinin üm değerleri için aynı esirim ve model seçimi işlemleri her nron için ayrı ayrı yapılmışır. Kesirilen modellerin mula uygunluğunu belirleme için, Blüm e açılandığı gibi, her nronun esirilen oşullu şidde işlevi ullanılara, o nronun, gerçe oşullu şidde işlevi ile üreilen asiyon poansiyeli dizisindei zaman aralıları, Brown vd. nin çalışmasında açılanan ynemle yeni bir zaman aralığı dizisine dnüşürülmüşür (Brown vd., 2002). Elde edilen zaman aralılarının doğru dağılıma sahip olduları ve zaman aralığı dizisinin zilinisinin sıfır olduğu, ilgili ynemler ullanılara belirlenmişir (Brown vd., 2002; Czanner vd., 2008). Tüm m ve c değerleri için einliği en iyi ve en ü açılanan nronların nerilen modellerinin mula uygunlu lçüleri Şeil 2 de grülmeedir. (28)

18 Sayfa No: 70 M. OKATAN Şeil 1. Önerilen modellerin esirilen asayıları (m = 9). (A) Kesirilen oşullu şidde işlevlerinin çember üzerindei grünümleri. (B) q c,9,0 asayısının esirilen değerleri, (Yaay çizgi bu asayının uramsal değerini gsermeedir.) (C, D) q c,9,1 ve q c,9,3 asayılarının esirilen değerleri, (Sinüs biçimli eğriler bu asayıların uramsal değerlerini gsermeedir.) (E, F) q c,9,2 ve q c,9,4 asayılarının esirilen değerleri, (Yaay çizgiler bu asayıların uramsal değerlerini gsermeedir. Haa çubuları, esirilen asayı değerlerinin sandar haalarını gsermeedir. Diey esendei lçeğin 40 an 40 a adar uzanması nedeniyle bu çubular (C) ve (D) de seçilememeedir.) Şeil 2. Mula uygunlu lçüleri. Kolmogorov-Smirnov grafileri (A, C) ve zilini grafileri (B, D), en başarılı esirim (A, B) ve en başarısız esirim (C, D) için gserilmeedir. (C) En başarısız esirimde Kolmogorov-Smirnov grafiği % 95 li güven aralığının dışına aşmışsa da, mein içinde açılandığı üzere, ullanılan 270 modelin hepsinin mula açıdan uygun olması durumunda bile bu modellerin en az 17 sinde bu ür bir duruma raslanması olağandır (P = 0,2). (B, D) Kesili yaay çizgiler % 95 li güven aralığını gsermeedir.

19 Mühendisli Bilimleri Dergisi Cil : 15 No:2 Sayı : 44 Sayfa No: 71 Kolmogorov-Smirnov lçüünün en yüse değeri P = 0,998 olara m = 2 ve c = 4 için (en başarılı esirim), en düşü değeri ise P = 0,002 olara m = 3 ve c = 11 için (en başarısız esirim) elde edilmişir. Bu incelemede, modellerin mula açıdan uygun olduları P- değerinin 0,05 en büyü olması ile gserilmeedir. P < 0,05 durumu, incelenen oplam = 270 nronun sadece 17 si için bulunmuşur. Bu sayı, szonusu 270 modelin hepsinin de mula olara uygun olması durumunda raslanısal olara grülebilece bir sayıdır (P = 0,2, iierimli dağılıma gre). Dolayısıyla, bu 17 durumda, P nin 0,05 en üçü olması, ilgili nron modellerinin mula açıdan uygun olmadıları anlamına gelmemeedir. Ayrıca, zilini grafileri de % 95 li güven aralığının içinde seyremeedir. Özilini grafilerinde yalaşı 100 noada beş noanın güven aralığının dışında olması, % 95 li güven aralığı anımının beraberinde geirdiği bir durumdur. Bu sonuçlar, esirilen modellerin buradai inceleme için uygun olduğu grüşüyle uarlıdır Evre İzgesi Eşili 23 ullanılara en yüse olabilirlile esirilen onum değerleri Şeil 3 e M = 1 ve = 2 rad/s (70 cm/s) için gserilmişir. Şeil 3. Kesirilen onum. (A) Nronların aeşleme blgeleri üçü çemberler ile, hareein gerçe yrüngesi ise büyü çemberle gserilmişir. Kesirilen onum ırmızı eğri ile gserilmişir. (B) Kırmızı eğriler esirilen onumun x 1 ve x 2 onaçlarını zamana gre gsermeedir. Siyah eğri ise gerçe onum işareini gsermeedir. Bu sonuçlar 70 cm/s li (2 rad/s) bir haree hızı için elde edilmişir. Tüm çizimler çember erafında üç ez dnüldüğünde elde edilen sonuçları gsermeedir. Şeil 3 e, esirilen onumun, gerçe haree yrüngesi üzerinde seyreiği grülmeedir. Kesirilen onumun onaçları zamana gre çizdirildiğinde gerçe onumun onaçları ile aralarında evre gecimesi bulunmadığı grülmeedir (Şeil 3B). Kesirilen ve gerçe onum arasındai evre gecimesi Eşili 26 ullanılara esirilmişir. Bu esirim üm açısal hızlarda ve üm M değerleri için amamlandığında, Eşili 23 ün zaman birimli evre izgesi Şeil 4A dai mavi eğriler olara elde edilmişir. Şeil 4A da farlı M değerleri için elde edilmiş olan evre izgeleri aran M değerleri için üs üse bindiğinden dolayı, izgelerin arşılaşırılması güçleşmeedir. İzgelerin haree hızıyla doğrusala yaın bir şeilde değişiyor olmalarından yola çıılara, her M değeri için izgeyi zeleyen doğrunun asayıları elde edilmişir ve izgeler arası arşılaşırma bu asayılar aracılığı ile yapılmışır. İzgeyi zeleyen doğrunun eşiliği, Eşili 27 de anımlanmışır.

20 Sayfa No: 72 M. OKATAN Şeil 4. Süzgecin ve EYOK işleminin evre izgeleri ve zei. (A) Siyah eğriler Blüm 2.7 ve 2.9 da açılanan süzgecin evre izgelerini gsermeedir. Kesili ırmızı doğrular evre izgelerine Eşili 27 dei modelin uydurulması ile elde edilmişir. Benzer doğrular mavi eğrilere de uydurulmuşur anca o doğrular burada gserilmemişir. Mavi eğriler Eşili 23 e anımlanan EYOK işleminin evre izgelerini gsermeedir. Gri ve mavi alanlar evre izgelerinin % 95 li güven aralılarını gsermeedir. (B-C) Evre izgelerinin zelenmesi. (A) da ırmızı esili çizgilerle gserilen ve evre izgelerine uydurulan doğruların Eşili 27 de anımlanan a M ve b M asayılarının en yüse olabilirlile esirilen değerleri, ullanılan oplam nron sayısının bir işlevi olara çizdirilmişir. Nron sayısı M 18 olara hesaplanmışır. Dolayısıyla eğriler M = 1,2,...,15 değerleri için de çizilmiş durumdadır. Mavi eğriler EYOK işleminin (A) da mavi renle gserilen evre izgelerinden, ırmızı eğriler ise süzgecin (A) da siyah renle gserilen evre izgelerinden elde edilmişir. Haa çubuları % 95 li güven aralığını gsermeedir. Eşili 27 hem süzgecin evre izgelerine hem de EYOK işleminin (Eşili 23 ei işlemin) evre izgelerine en yüse olabilirlile uydurulmuşur. Bu uydurmanın sonuçları, süzgecin evre izgeleri arasından M = 1 ve M = 15 durumları için Şeil 4A da ırmızı esili çizgiler ile gserilmişir. Aynı ürden doğrular EYOK işleminin Şeil 4A da mavi renle gserilen evre izgelerine de en yüse olabilirlile uydurulmuşur. Anca elde edilen doğrular Şeil 4A da gserilmemişir. Elde edilen üm doğrular için a M asayısının esirilen değeri Şeil 4B de gserilmişir. Szonusu şeilde, a M asayısının esirilen değeri, süzgecin evre izgelerine uydurulan doğrular için ırmızı ile, EYOK işleminin (Eşili 23 ei işlemin) evre izgelerine (Şeil 4A dai mavi eğrilere) uydurulan doğrular için ise mavi ile gserilmişir. Doğruların b M asayısının esirilen değeri de Şeil 4C de gserilmişir. Bu eğrilere gre, EYOK işleminin evre izgesi üm nron sayılarında sıfır değerinin erafında seyremeedir. Buna arşılı, süzgecin evre izgesi sıfırdan ço uzaadır EYOK İşleminin Evre Gecimesinin Oralama Değeri Şeil 4 e EYOK işleminin evre gecimesinin sıfırdan en uzaai değerinin M = 1 için (18 nron) elde edildiği gze çarpmaadır (Şeil 4A, 4C). Bu oşullar alında EYOK işleminin evre gecimesinin oralama değerinin anlamlılığını belirleme amacıyla, esirim işlemi, M = 1 oşulu alında ve 10 cm/s hızı için birbirinden bağımsız 14 farlı benzeimde daha gerçeleşirilmişir. Bu şeilde elde edilen oplam 15 esirim sonucu Şeil 5 e grülmeedir. Grüldüğü üzere, EYOK işleminin esirilen evre gecimeleri, uramsal değer olan 0 s nin alında ve üsünde yalaşı olara aynı olasılıla dağılmış durumdadır (P = 0,5; iierimli dağılıma gre). Bu değerlere gre, EYOK işlemi için evre gecimesinin oralaması isaisisel olara anlamlı bulunmamışır (27 ms, [-18 ms, 72 ms]; oralama ve % 95 li Suden güven aralığı) (Efron ve Tibshirani, 1993). Buna arşılı, aynı oşullar alında süzgecin evre gecimesi ararlılıla 355 ms dolaylarında bulunmuşur (355 ms, [349 ms, 361 ms]; oralama ve % 95 li Suden güven aralığı).

21 Mühendisli Bilimleri Dergisi Cil : 15 No:2 Sayı : 44 Sayfa No: 73 Şeil 5. Oralama evre gecimesi. EYOK işleminin ve süzgecin M = 1 ve 10 cm/s oşulları alında birbirinden bağımsız 15 farlı benzeimde esirilen evre gecimeleri mavi (EYOK) ve ırmızı (Süzgeç) renle gserilmişir. İl benzeimde elde edilen değerler, Şeil 4A da M = 1 oşulu için elde edilen mavi ve siyah eğrilerin soldan il noalarına den gelmeedir. Diğer değerler aynı oşullar alında 14 farlı benzeimde elde edilen değerlerdir. Yaay esili çizgi, evre gecimesinin uramsal olara gerçe değerini gsermeedir. Haa çubuları % 95 li güven aralığını gsermeedir Hesapsal Karmaşılı Hesapsal olara, süzgeç dr eşili içeriren (Eşili 5-8) (Oaan, 2012), EYOK işlemi e bir eşili içermeedir (Eşili 23). Eşili 23 ün çzümü, süzgeçei eşdeğer eşiliğin çzümünden daha az işlem gereirmeedir (Eşili 7) (Oaan, 2012). Her ii eşili de Newon-Raphson ynemi ile çzülmüşür. Dolayısıyla, EYOK işlemi, süzgeçleme işleminden daha armaşı değildir. Eşililerden çıarımlandığı adarıyla işlem süresi her ii ynem için de nron sayısıyla doğru oranılı olmalıdır. Bunun, süzgeç için yalaşı olara doğru olduğu bulunmuşur (Şeil 6A). EYOK işleminin aldığı süre ise arasız bir seyir gsermişir (Şeil 6A). İi ynem arasındai bu farlılıların, Newon-Raphson yneminin zaman dilimi başına düşen dngü sayısı ve ırasama sayısı ile ilgili olduğu bulunmuşur (Şeil 6B, 6C). Irasama durumları, Blüm e açılanan ynem ullanılara yaınsamaya çevrildiğinden dolayı, bu durumlarda işlem süresi uzamışır. Şeil 6. Hesapsal armaşılı. (A) Süzgecin ve EYOK işleminin (Eşili 23), 70 cm/s li hızla çember erafında bir ere dnüldüğünde oraya çıan asiyon poansiyeli dizilerinden onum bilgisini esiriren aldıları süreler. (B) (A) dai işlem sırasında, Newon-Raphson yneminin her zaman diliminde çzüme ulaşmadan nce oralama olara yapığı dngü sayısı (Eşili 24 e n ile gserilen sayı). (C) (A) dai işlem sırasında, Newon-Raphson yneminin her zaman diliminde oralama ırasama sayısı (Eşili 24 e ile gserilen sayı)