KALINLIĞI DEĞİŞKEN KOMPOZİT SİLİNDİRİK PANELLERİN CHEBYSHEV KOLLOKASYON METODU İLE STATİK VE DİNAMİK ANALİZİ

Transkript

1 VI. ULUSAL HAVACILIK VE UZAY KONFERANSI Eylül 206, Kocaeli Üiversitesi, Kocaeli UHUK KALINLIĞI DEĞİŞKEN KOMPOZİT SİLİNDİRİK PANELLERİN CHEBYSHEV KOLLOKASYON METODU İLE STATİK VE DİNAMİK ANALİZİ İlke Algül ve Hasa Kurtara 2 Gebze Tekik Üiversitesi, Kocaeli ÖZET Bu çalışmada, çeşitli yük tiplerie maruz kalılığı bir eksede lieer değişe kompozit silidirik paelleri büyük yer değiştirme durumudaki doğrusal olmaya statik ve diamik davraışı icelemektedir. Paeli dege deklemleri virtüel iş ilkesi ile elde edilmekte ve Chebyshev Kollokasyo Metodu (CKM) ile çözülmektedir. Çözüm sırasıda eterpolasyo foksiyoları olarak Chebyshev poliomları kullaılmaktadır. Çözüm içi Matlab dilide bir program yazılmıştır. Geliştirile program kullaılarak çeşitli sıır şartları, kalılık değişim ve eğrilik yarıçap oraları içi çözümler elde edilmiştir. Elde edile souçlar ANSYS solu elemalar yazılımı souçları ile karşılaştırılmıştır. GİRİŞ Pael yapılar makie, işaat, gemi ve uçak gibi mühedislik alalarıda yaygı olarak kullaılmaktadır. Pael yapılara örek olarak uçak kaatlarıı ve helikopter pallerii dış katmaı verilebilir. Kompozit malzemeler, birbiride farklı mekaik özelliklere sahip iki veya daha fazla malzemei bir araya getirilmesi ile elde edilmektedir. Metallere göre mukavemet/ağırlık oraı daha büyük olduğuda dolayı tercih edilmektedirler. Daha ekoomik tasarımlar içi pael yapılar değişke kalılıklı olarak ta kullaılmaktadır. Literaturde kompozit paelleri büyük yer değiştirme durumudaki davraışlarıı iceleye birçok çalışma bulumaktadır [Isoldi, Awruch, Teixeira ve Morsch, 2008; Kudu ve Siha, 2006; Kurtara, 205; Reddy ve Chadrashekhara,985; To ve Wag, 998; Türkme, Mecitoğlu ve Borat, 996; Wu, Yag ve Saigal, 987]. Kalılığı değişke levha ve paeller ile ilgili çalışmaları çoğu statik [Turvey, 977], serbest titreşim [Ashaur, 2000; Babu, Sudhagar ve Rajamoha, 206; Bacciocchi, Eiseberger, Fatuzzi, Torabee ad Viola, 205; Civalek, 2009; Javed, Viswaatha, Aziz ve Prabakar, 206; Kukteti, Farsa ve Bert, 992;] ve burkulma [Gaesa ve E-Rasul, 20; Kobayashi ve Sooda, 990] ile ilgilidir. Literatürde değişke kalılıklı kompozit levhaları diamik davraışı ile ilgili çok sıırlı çalışma olmasıa karşı [Süsler, Türkme ve Kazacı, 202], değişke kalılıklı kompozit paelleri olieer statik ve diamik davraışıı iceleye bir çalışmaya rastlamamıştır. Bu yüzde bu çalışmada değişke kalılıklı kompozit paelleri olieer statik ve diamik davraışı icelemektedir. Büyük yer değiştirme durumudaki geriimler Vo-Karma olieer geriim ifadeleri ile hesaplamaktadır. Paeli dege deklemleri virtüel iş ilkesi ile elde edilmektedir. Çözüm sırasıda eterpolasyo foksiyoları olarak Chebyshev poliomları kullaılmaktadır. Dege deklemleride zama kısmıı ayrıklaştırılmasıda Newmark ortalama ivme metodu kullaılmaktadır. Bu çalışmada değişke kalılıklı kompozit paelleri farklı sıır şartlarıda, farklı Araştırma görevlisi, Makia Müh. Böl., E-posta: ilkealgul@gtu.edu.tr 2 Prof. Dr., Makia Müh. Böl., E-posta: hasa@gtu.edu.tr

2 UHUK kalılık değişimleride ve eğrilik yarıçapı oralarıda olieer diamik davraışı CKM ile icelemektedir. YÖNTEM Kalılığı x yöüde lieer değişe silidirik pael (uzuluk: a, geişlik: b, eğrilik yarıçapı: R x) Şekil de gösterilmiştir. Şekil de h(x) paeli x yöüdeki kalılığıı ve β kalılık değişim oraıı göstermektedir. h(x) lieer değişe foksiyo şeklide Eşitlik de ifade edilmektedir. h(x) = h 0. ( + β x a ) () Şekil : Kalılığı değişke silidirik pael Şekil deki x, y, z orthogoal eğrisel koordiat sistemii belirtmektedir. Herhagi bir t zamaıda yeterice kalı bir pael içi geel bir okta (x, y, z) içi yer değiştirme ifadeleri şu şekildedir: u(x, y, z, t) = u 0 (x, y, t) + z. θ x (x, y, t) v(x, y, z, t) = v 0 (x, y, t) + z. θ y (x, y, t) (2) w(x, y, z, t) = w 0 (x, y, t) Çift eğrilikli paeller içi Vo-Karma geriim ifadeleri aşağıdaki gibi yazılabilir [Reddy ad Chadrashekhara,985] : ε x = u 0 x + z θ x x + w R x 2 ( w 0 x ) ε y = v 0 y + z θ y y ( w 0 y ) γ xy = v 0 y + u 0 x + z θ x x + z θ y y + w 0 x γ yz = θ y + w 0 y w 0 y 2 ( R x )( v 0 x u 0 y ) γ xz = θ x + w 0 x u 0 R x Diamik sistemler içi virtüel iş ilkesi aşağıdaki gibi yazılabilir: δu + δt δw = 0 (4) Yukarıdaki deklemde δu gerilmeler sebebiyle oluşa iç kuvvetleri yaptığı işi, δt ivmeler sebebiyle oluşa atalet kuvvetlerii işii ve δw dış kuvvetleri yaptığı işi göstermektedir. Yukarıda yazıla virtüel iş ilkesi kullaılarak kompozit silidirik paelleri diamik dege deklemleri aşağıdaki gibi elde edilebilir: 2 (3)

3 UHUK N x x + N xy y + Q xz + M xy R x y ( u 0 ) = I 2R 0 x t 2 + I 2 θ x t 2 + qu N y y + N xy x M xy x ( 2 v 0 ) = I 2R 0 x t 2 + I 2 θy t 2 x (N x. w 0 x + N xy. w 0 y ) + y (N y. w 0 y + N xy. w 0 x ) N x Rx + Q yz y + Q xz x 2 w 0 = I 0 t 2 + qw y Q 2 u 0 xz = I t 2 + I 2 θx 2 t 2 M x x + M xy M y y + M xy x Q 2 v 0 yz = I t 2 + I 2 2 θy t 2 Burada ifade edile N x,n y,n xy düzlem içi kesme kuvvet değerlerii; M x,m y,m xy düzlem içi momet değerlerii ve Q xy, Q yz düzlem içi kayma kuvvet değerlerii göstermektedir. z k (x) (N x, N y, N xy ) = (σ x, σ y, σ xy ) k= z k (x) z k (x) d z (M x, M y, M xy ) = (σ x, σ y, σ xy ) zd z k= z k (x) z k (x) (Q yz, Q xz ) = k s. (τ yz, τ xz ) k= z k (x) d z Yukarıdaki deklemlerde N x,n y,n xy,m x,m y,m xy, Q xy ve Q yz ifadeleri yer değiştirme ve dömeler ciside yazılırsa diamik dege deklemleri yer değiştirme ve dömeye bağlı olarak elde edilmiş olur. Chebyshev kollokasyo metodu kullaılarak diamik dege deklemleri çözülebilir. Çözüm içi dege deklemlerideki bilimeye yer değiştirme ve dömeler seri açılımları ile aşağıdaki gibi ifade edilir. m u 0 = δ m. u m. T m (x). T (y) m v 0 = δ m. v m. T m (x). T (y) m w 0 = δ m. w m. T m (x). T (y) m θ X = δ m. θx m. T m (x). T (y) m θ y = δ m. θy m. T m (x). T (y) Yukarıdaki seri açılımlarıda δm sabit bir değeri göstermektedir [Upadhyay, Padey ve Shukla, 20]. u m, v m, w m, θx m ve θy m yer değiştirme ve dömeler içi bilimeye katsayıları göstermektedir. Kollokasyo metoduda diferasiyel deklemleri ifade etmek içi yapı üzeride belli oktalar belirleir. Bu çalışmada bu oktalar Gauss lobotta oktaları kullaılarak belirlemektedir. Gauss lobotta oktalarıda diferasiyel dege deklemleri yazılarak bilimeye katsayılar kadar olieer cebrik deklem takımı elde edilir. Elde edile olieer deklem takımı matris formuda aşağıdaki gibi ifade edilebilir: 3 (5) (6) (7)

4 UHUK MU + + P + = F + (8) Doğrusal olmaya Eşitlik 8 Newto-Rapso metodu ile iteratif olarak çözülür. UYGULAMALAR Kalılığı değişke silidirik paelleri dege deklemlerii çözümü içi Matlab dilide bir program yazılmış ve solu elemalar yazılımı ile programı doğruluğu test edilmiştir. Statik ve diamik uygulamaları hepsi içi kalılığı değişke kompozit silidirik pael boyutları: a=b= m, h=0.05 m dır. Uygulama içi R/a=5 ve uygulama 2 içi R/a=0 dır. Uygulama 3 içi yarıçap oraıı (R/a) farklı değerleri alımıştır. Kalılığı değişim etkisii araştırmak içi, β ı farklı değerleri içi uygulamalar yapılmıştır. Kompozit pael içi fiber açıları [0 /90 /30 /90 /0 ] ve tüm kompozit katmaları eşit aralıklıdır. Boro-Epoxy kompozit malzeme özellikleri: E =204 GPa, E 2=8.5 GPa, G 2=5.59 GPa, ρ=200 kg/m 3, ν 2=0.23. Yapıı lieer elastik malzemede yapıldığı ve katmaları mükemmel bağladığı varsayılarak problemler icelemiştir. Tüm uygulamalar içi sıır şartları aşağıda belirtilmiştir. a)basit mesetli durum içi: x=0,a u 0 = v 0 = w 0 = θ x = M y y=0,b u 0 = v 0 = w 0 = θ y = M x b)akastre durum içi: x=0,a u 0 = v 0 = w 0 = θ x = θ y = 0 y=0,b u 0 = v 0 = w 0 = θ x = θ y = 0 Uygulama 2 ve 3 içi yapı üzerie eşit dağılımlı dış basıç uygulamıştır. Dış basıcı zama ile değişim grafiği Şekil 2 de verilmiştir. q 0 maksimum basıç değeri ve t yapı üzerie etkiye yüklemei süresidir. Yükü maksimum değeri q 0=-6x0 4 kpa ve yüklemei süresi, t= 0.0 s dir. Zama aralığı 0.0 ms alımıştır. Uygulama -2 de karşılaştırmalar içi ANSYS solu elemalar yazılımıı kullaılmıştır. 40X40 8 odlu kabuk elema (SHELL 28) kullaılarak yapıya mesh atılmıştır. Şekil 2: Yükleme zama grafiği Uygulama Kalılığı değişke kompozit silidirik paeli statik aalizi Bu uygulamada statik yük altıdaki kompozit silidirik paeli farklı sıır şartları ve kalılık değişim oraları içi büyük yer değiştirme durumudaki davraışı aaliz edilmiştir. Dört tarafıda akastre ve basit mesetli şıır şartlarıdaki silidirik paeli kalılık değişim oraı β=0, 0.7 ve.2 içi statik cevabı CKM ile elde edilmiş ve solu elemalar metodu ile kıyaslama yapılmıştır. Yapı üzerie eşit dağılımlı statik dış basıç uygulamış olup, basıcı değeri q=-2x0 4 kpa dır. Bu uygulamada, 9x9 Chebyshev kollokasyo terim ile yakısamış souçlar elde edilmiştir. Büyük yer değiştirme durumuda kalılığı değişke kompozit silidirik pael yapıı (x, y=b/2) deki statik cevabı akastre durum içi Şekil 3 de, basit mesetli durum içi Şekil 4 de görülebilir. Souçlar solu elemalar metodu ile oldukça yakıdır. 4

5 UHUK Şekil 3: Akastre kalılığı değişke kompozit silidirik paeli (x, y=b/2) deki statik cevabı (a/h=20, R/a=5) Şekil 4: Basit mesetli kalılığı değişke kompozit silidirik paeli (x, y=b/2) deki statik cevabı (a/h=20, R/a=5) Uygulama 2 Kalılığı değişke kompozit silidirik paeli farklı sıır şartlarıda ve kalılık değişim oralarıda diamik aalizi Bu uygulama da diamik yük altıdaki kalılığı değişke kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumudaki davraışı farklı sıır şartları ve kalılık değişim oraları içi icelemiştir. Akastre ve basit meset sıır şartlarıdaki kompozit silidirik paeli kalılık değişim oraı β = 0, 0.7 ve.2 içi orta oktaı diamik cevabı elde edilmiştir. Dört kearıda akastre silidirik pael içi farklı kalılık değişim oralarıda orta oktaı cevabı Şekiller 5-7 de gösterilmiş ve her tarafı basit meset içi souçlar Şekiller 8-0 da gösterilmiştir. Grafiklerde de görüleceği üzere souçlar oldukça yakıdır. Bu uygulama da geel olarak 9x9 Chebyshev terimi ile yakısamış ve örekler ile ilgili şekilleri üzeride kaç terim ile yakısadığı belirtilmiştir. Souçlar solu elemalar metodu ile oldukça yakıdır. 5

6 UHUK Şekil 5: Akastre kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumuda orta oktasıdaki yer değiştirme değerleri (a/h=20, R/a=0, β = 0) Şekil 6: Akastre kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumuda orta oktasıdaki yer değiştirme değerleri (a/h=20, R/a=0, β = 0.7) 6

7 UHUK Şekil 7: Akastre kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumuda orta oktasıdaki yer değiştirme değerleri (a/h=20, R/a=0, β =.2) Şekil 8: Basit mesetli kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumuda orta oktasıdaki yer değiştirme değerleri (a/h=20, R/a=0, β = 0) 7

8 UHUK Şekil 9: Basit mesetli kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumuda orta oktasıdaki yer değiştirme değerleri (a/h=20, R/a=0, β = 0.7) Şekil 0: Basit mesetli kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumuda orta oktasıdaki yer değiştirme değerleri (a/h=20, R/a=0, β =.2) 8

9 UHUK Uygulama 3 Eğrilik yarıçap oralarıı (R/a), sıır şartlarıı ve kalılık değişim oralarıı kompozit silidirik paeli diamik davraışı üzerideki etkisi Bu uygulamada farklı eğrilik yarıçap oralarıı (R/a), sıır şartlarıı ve kalılık değişim oralarıı (β = 0, 0.7 ve.2) kalılığı değişke kompozit silidirik paeli diamik davraışı üzerideki etkisi icelemektedir. Dörtkearıda akastre silidirik pael içi farklı kalılık değişim oralarıda orta oktaı cevabı Şekiller -3 te, her tarafı basit meset içi souçlar Şekiller 4-6 da gösterilmiştir. Grafiklerde de görüleceği üzere souçlar oldukça yakıdır. Bu uygulama da geel olarak 9x9 Chebyshev terimi ile yakısamış ve örekler ile ilgili şekilleri üzeride kaç terim ile yakısadığı belirtilmiştir. Souçlar solu elemalar metodu ile oldukça yakıdır. Şekil : Akastre kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumudaki orta oktasıdaki yer değiştirme değerleri (a/h=20, R/a=5, 0, 20, 50, 00, β = 0) Şekil 2: Akastre kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumudaki orta oktasıdaki yer değiştirme değerleri (a/h=20, R/a=5, 0, 20, 50, 00, β = 0.7) 9

10 UHUK Şekil 3: Akastre kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumudaki orta oktasıdaki yer değiştirme değerleri (a/h=20, R/a=5, 0, 20, 50, 00, β =.2) Şekil 4: Basit mesetli kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumudaki orta oktasıdaki yer değiştirme değerleri (a/h=20, R/a=5, 0, 20, 50, 00, β = 0) 0

11 UHUK Şekil 5: Basit mesetli kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumudaki orta oktasıdaki yer değiştirme değerleri (a/h=20, R/a=5, 0, 20, 50, 00, β = 0.7) Şekil 6: Basit mesetli kompozit silidirik paeli büyük yer değiştirme durumudaki orta oktasıdaki yer değiştirme değerleri (a/h=20, R/a=5, 0, 20, 50, 00, β =.2) SONUÇLAR Bu çalışmada, değişke kalılıklı kompozit silidirik paeli statik ve diamik yük altıdaki cevabı CKM metodu ile icelemiştir. Kalılık değişim oraı, pael eğrilik yarıçapı oralarıı ve sıır şartlarıı pael davraışı üzerideki etkisi icelemiştir. CKM ile elde edile çözümler solu elemalar metodu ile karşılaştırılmış ve bezer souçlar gözlemiştir. Bu çalışmada elde edile souçlar aşağıdaki gibi özetleebilir: Statik ve diamik aalizlerde, silidirik pael yapıda kalılık değişim oraı arttıkça yapıı orta oktasıdaki yer değiştirme azalmaktadır. Diamik aalizlerde, pael yarıçapı oraı arttıkça (R/a=5-00) yapıı orta oktasıdaki yer değiştirme artmaktadır. R/a > 20 oraları içi pael yarıçapı oraıı paeli orta oktasıdaki yer değiştirme üzerie etkisi oldukça azalmaktadır ve souçlar levhaı (R/a=e200=sosuz) souçlarıa bezeyecektir.

12 UHUK Silidirik pael yapıı orta oktasıdaki yer değiştirme miktarı akastre sıır şartlarıa kıyasla basit meset sıır şartlarıda daha yüksektir. Geel olarak 9x9 terim CKM ile doğru souçlar almak içi yeterlidir. Diamik aalizlerde, CKM ile hesaplama süresi solu elemalar metodua göre daha kısadır. Bu da, CKM i verimliliğii göstermektedir. Souç olarak, CKM diğer mühedislik problemlerii etkili bir şekilde çözümüe de uygulaabilir. Kayaklar Ashour, A.S., 200. A Semi-Aalytical Solutio of the Flexural Vibratio of Orthotropic Plates of Variable Thickess, Joural of Soud ad Vibratio, Cilt. 240(3), s Babu, A.A., Sudhagar, E.P. ve Rajamoha, V., 206. Dyamic characterizatio of thickess tapered lamiated composite plates, Joural of Vibratio ad Cotrol, Cilt. 2. Bacciocchi, M., Eiseberger, M., Fatuzzi, N., Torabee, F. ve Viola, E Vibratio aalysis of variable thickess plates ad shells by the Geeralized Differetial Quadrature method, Composite Structures, doi:0.06/j.compstruct Civalek, Ö., Fudametal frequecy of isotropic ad orthotropic rectagular plates with liearly varyig thickess by discrete sigular covolutio method, Applied Mathematical Modellig, Cilt. 33(0), s Fariborz, S.J. ve Pourbohloul, A., 989. Applicatio of the Exteded Katorovich Method to the Bedig of Variable Thickess Plates, Computers ad Structures, Cilt. 3(6), s Gaesa, R. ve Akhlaque-E-Rasul, S., 20. Compressive respose of tapered composite shells, Composite Structures, Cilt. 93(9), s Isoldi L.A., Awruch, A.M., Teixeira, P.R. ve Morsch, I.B., Geometrically Noliear Static ad Dyamic Aalysis of Composite Lamiates Shells with a Triagular Fiite Elemet, J. Braz. Soc. Mech. Sci. & Eg, Cilt. 30(). Javed, S., Viswaatha, K.K., Aziz, Z.A. ve Prabakar, K., 206. Free vibratio of ati-symmetric agle-ply plates with variable thickess, Composite Structures, Cilt. 37, s Kobayashi H. ve Sooda K., 990. Bucklig Of Rectagular Plates with Tapered Thickess, Joural of Structural Egieerig, Cilt. 6(5), s Kukteti, A.R., Farsa, J. ve Bert, C., 992. Fudametal Frequecy of Tapered Plates by Differetial Quadrature, J. Eg. Mech., Cilt. 6(22), s Kudu, C.K. ve Siha, P.K., Noliear Trasiet Aalysis of Lamiated Composite Shells, Joural of Reiforced Plastics ad Composites, Cilt. 25(), s Kurtara H., 205. Geometrically oliear trasiet aalysis of moderately thick lamiated composite shallow shells with geeralized differetial quadrature method, Composite Structures, Cilt. 25, s: Reddy, J.N. ve Chadrashekhara, K., 985. Geometrically o-liear trasiet aalysis of lamiated doubly curved shells, It. J. No-Liear Mechaics, Cilt. 20(2), s Süsler, S., Türkme, H.S. ve Kazacı, Z., 202. The oliear dyamic behavior of tapered lamiated plates subjected to blast loadig, Shock ad Vibratio, Cilt. 9, s To, C.W.S. ve Wag, B., 998. Trasiet resposes of geometrically oliear lamiated composite shell structures, Fiite Elemets i Aalysis ad Desig, Cilt. 3, s Turvey, G.J., 978. A study of the behaviour of square plates at large deflectios accordig to the theories of Foepply ad Vo Karma, Joural of Strai Aalysis, Cilt. 3(), s. -6. Türkme, H.S., Mecitoğlu, Z. ve Borat, O., 996. Noliear structural respose of lamiated composite paels subjected to blast loadig, Mathematical & Computatioal Applicatios, Cilt. (), s Wu, Y.C., Yag, T.Y. ve Saigal, S., 987. Free ad Forced Noliear Dyamics of Composite Shell Structures, Joural of Composite Materials, Cilt. 2(0), s