HARMONİK ZORLAMA ETKİSİNDEKİ DAİRESEL BOŞLUKLU YARIM DÜZLEM PROBLEMİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Arzu ARPACI. Anabilim Dalı : İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HARMONİK ZORLAMA ETKİSİNDEKİ DAİRESEL BOŞLUKLU YARIM DÜZLEM PROBLEMİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İş. Müh. Arzu ARPACI Aabilim Dalı : İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ Programı : YAPI MÜHENDİSLİĞİ MAYIS 00

2 ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ HARMONĠK ZORLAMA ETKĠSĠNDEKĠ DAĠRESEL BOġLUKLU YARIM DÜZLEM PROBLEMĠ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠĢ. Müh. Arzu ARPACI ( ) Tezi Estitüye Verildiği Tarih : 13 Mayıs 00 Tezi Savuulduğu Tarih : 7 Mayıs 00 Tez DaıĢmaı : Diğer Jüri Üyeleri Prof.Dr. Hasa ENGĠN Doç.Dr. Necla KADIOĞLU (Ġ.T.Ü.) Yrd.Doç.Dr. Ġrfa COġKUN (Y.T.Ü.) MAYIS 00

3 ÖNSÖZ Bu çalışmaı yöledirilmesi ve yürütülmeside, bilgi ve tecrübelerii esirgemeye gerekli tüm olaakları sağlaya sayı hocam Prof. Dr. Hasa Egi e deri teşekkürlerimi suarım. Ayrıca tüm eğitimim boyuca maddi, maevi destekleri ile yaımda ola aem Ayur Arpacı ağabeylerim İş. Müh. M.Murat Arpacı, M.Vedat Arpacı ve eşim İş. Müh. M.Emrah Şık a teşekkür ederim. Sizi çok seviyorum. Mayıs 00 Arzu Arpacı ii

4 İÇİNDEKİLER ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY iv vi vii viii 1. GİRİŞ 1. DÜZLEM ELASTİSİTEDE TEMEL DENKLEMLER 4 3. ÇÖZÜM Problemi Formülasyou Çözüm Sıır Koşullarıı Sağlatılması Silidirik boşluğu iç yüzeyideki sıır koşulları Serbest yüzeydeki sıır koşulları 3 4. SONUÇLAR Sayısal Veriler Sayısal Souçlar 5 5. TARTIŞMA 8 KAYNAKLAR 9 EKLER 31 ÖZGEÇMİŞ 51 iii

5 ŞEKİL LİSTESİ iv Sayfa No Şekil.1 : Diferasiyel ala elemaıdaki gerilmeler..4 Şekil 3.1 : Yarım düzlemde kayma gerilmesideki silidirik oyuk. 8 Şekil : Serbest yüzeydeki sıır koşulları. 9 Şekil A.1 : =60 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki gerilmesi..3 Şekil A. : =60 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki xy gerilmesi...3 Şekil A.3 : =60 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki u x yer değiştirmesi.33 Şekil A.4 : =60 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki u y yer değiştirmesi.33 Şekil A.5 : =60 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki rr gerilmesi 34 Şekil A.6 : =60 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki r gerilmesi 34 Şekil A.7 : =60 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki u r yer değiştirmesi.35 Şekil A.8 : =60 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki u yer değiştirmesi.35 Şekil A.9 : =60 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki r gerilmesi...36 Şekil A.10 : =80 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki r gerilmesi...36 Şekil A.11 : =80 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki gerilmesi..37 Şekil A.1 : =80 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki xy gerilmesi...37 Şekil A.13 : =80 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki u x yer değiştirmesi.38 Şekil A.14 : =80 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki u y yer değiştirmesi.38 Şekil A.15 : =80 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki u r yer değiştirmesi Şekil A.16 : =80 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki u yer değiştirmesi Şekil A.17 : =100 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki gerilmesi Şekil A.18 : =100 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki xy gerilmesi...40 Şekil A.19 : =100 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki u x yer değiştirmesi 41 Şekil A.0 : =100 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki u y yer değiştirmesi...41 Şekil A.1 : =80 rad/s, H =15 m içi silidirik boşluk yuzeyideki u r yer değiştirmesi. 4 xx xx xx

6 Şekil A. : =100 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki u yer değiştirmesi. 4 Şekil A.3 : =100 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki r gerilmesi...43 Şekil A.4 : =10 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki r gerilmesi...43 Şekil A.5 : =10 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki gerilmesi 44 Şekil A.6 : =10 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki xy gerilmesi.44 Şekil A.7 : =10 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki u x yer değiştirmesi...45 Şekil A.8 : =10 rad/s, H =10 m içi serbest yuzeydeki u y yer değiştirmesi...45 Şekil A.9 : =10 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki u r yer değiştirmesi. 46 Şekil A.30 : =10 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yuzeyideki u yer değiştirmesi...46 Şekil A.31 : =80 rad/s, H =15 m içi serbest yuzeydeki gerilmesi..47 Şekil A.3 : =80 rad/s, H =15 m içi serbest yuzeydeki xy gerilmesi...47 Şekil A.33 : =80 rad/s, H =15 m içi serbest yuzeydeki u x yer değiştirmesi.48 Şekil A.34 : =80 rad/s, H =15 m içi serbest yuzeydeki u y yer değiştirmesi. 48 Şekil A.35 : =80 rad/s, H =15 m içi silidirik boşluk yuzeyideki u r yer değiştirmesi. 49 Şekil A.36 : =80 rad/s, H =15 m içi silidirik boşluk yuzeyideki u yer değiştirmesi.49 Şekil A.37 : =80 rad/s, H =15 m içi silidirik boşluk yuzeyideki r gerilmesi 50 xx xx v

7 6

8 7

9 8

10 SEMBOL LİSTESİ t 0 xy, xx yy e E x t ˆx y : Zorlama frekası : Zama : Kayma gerilmesi : Kayma gerilmesi geliği : Yarı sosuz ortamı kütle yoğuluğu : Şekildeğiştirme bileşeleri : Kayma şekildeğiştirmesi : Düzlemsel hacim değiştirme oraı : Elastisite modülü : Poisso oraı : Lamé sabitleri : Sıır eğrisii dış ormal birim vektörüü x bileşei : Sıır eğrisii dış ormal birim vektörüü y bileşei : Sıır eğrisie etki ede dış kuvveti x bileşei t ˆy : Sıır eğrisie etki ede dış kuvveti y bileşei r U : Yerdeğiştirme vektörü U ˆ x : Sıırdaki yerdeğiştirmei x bileşei U ˆ y : Sıırdaki yerdeğiştirmei y bileşei u x u y u r : Yer değiştirmei x bileşei : Yer değiştirmei y bileşei : Yer değiştirmei radyal doğrultudaki bileşei u : Yer değiştirmei açısal doğrultudaki bileşei : Yer değiştirme potasiyelleri H : Silidirik oyuk merkezii serbest yüzeye ola deriliği a : Oyuk yarıçapı r, : Kutupsal koordiatlar,, : Kutupsal koordiatlarda gerilme bileşeleri rr r xx, yy, xy : Kartezye koordiatlarda gerilme bileşeleri k 1 k c c J Y 1 : Boyua dalga sayısı : Eie dalga sayısı : Boyua dalga hızı : Eie dalga hızı : Birici evi Bessel foksiyou : İkici evi Bessel foksiyou vi

11 HARMONİK ZORLAMA ETKİSİNDEKİ DAİRESEL BOŞLUKLU YARIM DÜZLEM PROBLEMİ ÖZET Elastik ortam içideki yapıları diamik etkiler altıdaki davraışı geçmişte pek çok araştırmaı kousu olmuştur. Bu yapılar arasıda tüeller, yeraltı boru hatları, yeraltı satralları ve su altı boru hatları temel problemler olarak karşımıza çıkmaktadır. Elastik ortam araştırmaları ile ilgili literatür icelediğide, matematik modellemei daha kolay olduğu sosuz ortam ile ilgili çalışmaları oldukça eskiye dayadığı görülmektedir. Yarı sosuz ortam modeli yeraltı yapıları içi daha uygudur. Fakat sıır şartlarıa bağlı olarak ortaya çıka güçlükler yüzüde bu model geçmişte az kullaılmıştır. Bu çalışmada elastik yarım uzay içide bulua silidirik boşluğu yüzeyide harmoik zorlama etkisi göz öüe alımıştır. Bu harmoik zorlama üiform yayılı kayma gerilmesi şeklidedir. Birici bölümde, kou ile ilgili çalışmalarda ve bu çalışmalarda kullaıla çözüm yötemleride kısaca bahsedilmiştir. Ele alıa problem geiş olarak taıtılmıştır. Çözüm yötemi açıklamış ve bulua souçlarda bahsedilmiştir. İkici bölümde, çözüm içi kullaıla temel deklemleri elde edilişi açıklamıştır. Gerilme-şekil değiştirme bağıtılarıı, hareket deklemleride kullaılarak Navier deklemleri yerdeğiştirme bileşeleri ciside yazılmıştır. Üçücü bölümde, çözüm yapılmıştır. Navier deklemlerii çözümü içi gerekli formülasyolar verilmiştir. ve yer değiştirme potasiyel foksiyolarıı bilie taımları kullaılarak kutupsal koordiatlarda iki adet dalga deklemi elde edilmiştir. ve yer değiştirme potasiyelleri Bessel ve trigoometrik foksiyolar olarak elde edilmiştir. Sosuz yarı düzlemi yüzeyide ve silidirik dairesel boşluk içideki sıır koşulları yazılmıştır. İtegrasyo sabitleri silidirik boşluğu iç yüzeyi ve serbest yüzeydeki sıır şartlarıda hesaplamıştır. Dördücü bölümde, zorlama frekası ve silidirik boşluğu merkezii serbest yüzeyde ola deriliğie göre, silidirik boşluk ve serbest yüzey üzerideki yer değiştirmeler ve gerilmelere ait aalitik çözüm souçları gösterilmiştir. Beşici bölümde, elde edile souçlar tartışılmıştır. vii

12 viii

13 HALF PLANE WITH A CIRCULAR CAVITY UNDER THE EFFECT OF HARMONIC FORCE SUMMARY The behaviour of the structures i a elastic medium uder the dyamic effects has bee the subject of a lot of research i the past. Amog those structures, udergroud tuels, udergroud pipelies, udergroud reactors ad udergroud pipelies are appeared to be mai problems of this field. Whe the literature related to the research about elastic medium has bee examied, the research about the ifiite medium whose mathematical modellig is easier, are see to have dated back to very earlier era. The model of semi ifiite medium is more suitable for udergroud structures. But i the past this model is less used because of the arisig diffuculties related to baudary coditios. I this study, the behaviour of the half space with cylidrical cavity uder the harmoic forcig has bee examied. The harmoic forcig is a uiformly distributed shearig stress. I the first chapter, the research related to the subject ad the methods for solutios have bee oted shortly. The the problem has bee itroduced. The solutio method ad some results have bee shortly explaied. I the secod chapter, it was metioed about how to fid basic equatio, which were used for solutio. Substitutig stress-strai relatios i equatios of motio. Navier equatios have bee writte i terms of the compoets of the displacemet vector. I the third chapter, solutio has bee performed. Necessary formulatios have bee give for the solutio of Navier equatios. By usig the defiitios of displacemet potetial fuctios of ad, two reduced wave equatios i the polar coordiates have bee obtaied. The displacemets potetials ad have bee foud out i terms of Bessel ad trigoometric fuctios. Boudary coditios have bee writte o the surface of half space ad iside the cylidrical circular cavity. The itegratio costats have bee calculated from boudary coditios writte o free surface ad o the ier surface of the cylidrical cavity. I the fourth chapter, the displacemets ad stresses over the free surface ad the cylidrical cavity were show with respect to forcig frequecy ad depth of the ceter of cylidrical cavity. I the fifth chapter, the obtaied results have bee discussed. viii

14 9

15 10

16 1. GİRİŞ BoĢluk veya farklı tipte bir malzeme içere elastik bir ortamı diamik etkiler altıdaki davraıģı geçmiģte pek çok araģtırmaya kou olmuģtur. Yeraltı tüelleri, yeraltı satralleri, su altı boru hatları bu tip araģtırmaları temel problemi olmuģtur. BoĢluk içere elastik ortam ile ilgili geçmiģte yapıla araģtırmalar icelediğide, sosuz ortam ile ilgili çalıģmaları çok eskiye dayadığı görülmektedir. ERĠNGEN ve ġuhubġ [1], GRAFF []. Bua karģılık yarı sosuz ortam ile ilgili çalıģmalar yakı zamaa dayamaktadır. Yarı sosuz ortam kabulüü, yeraltı yapıları içi sosuz ortam kabulüe göre daha uygu olmasıa karģılık, aalitik çözümlerde sıır koģullarıı sağlatılmasıı güçlüğüde dolayı daha ağırdır. GeçmiĢte bu tür çalıģmalar daha çok laboratuar ölçümlerie bağlı kalmıģtır. Acak güümüzde bilgisayarı karmaģık matematik problemleri çözümüde kullaılabilir olması ilgii yarı sosuz ortam üzeride yoğulaģmasıı sağlamıģtır. Silidirik boģluk, elastik silidirik kabuk v.s. gibi yapıları içere elastik yarım uzayda P, S ve PH dalgaları altıdaki davraıģları DATTA [14] ve arkadaģlarıı pek çok çalıģmasıa kou olmuģtur. Bu çalıģmalarda yarım uzayda bulua silidirik kabuğu harmoik dalga altıdaki davraıģı, asimptotik açılımları birbiri ile uyuģturulması ve ardıģık yasımalar metodları kullaılarak icelemiģtir. Yarım düzlemde bulua boru hattıı etrafıı farklı malzeme ile doldurulması halideki diamik davraıģıı DATTA, SHAH ve WONG [13,18] icelemiģlerdir. Çözüm Bessel ve trigoometrik foksiyoları yardımı ile temsil edilmiģ, serbest yüzey ve dolgu bölgesi yüzeyide dalgaları ardıģık yasımaları göz öüe alımıģtır. WONG [13,18] geometrii dairesel kabukta farklı olması halii yaptığı bir çalıģma ile icelemiģtir. Bu çalıģmada, iç bölgelerde solu elema formülasyou, dıģ bölgelerde ise aalitik çözüm tekikleri kullaılmıģtır. 1

17 Yeraltı tüellerideki treleri hareketi edeiyle yerüstü yapılarıa etkilerii BALENDRA [10,11] ve arkadaģları icelemiģlerdir. Ortamı viskoelastik, yerüstü yapısıı temelii ve tüeli rijid cisim kabul etmiģlerdir. Serbest yüzey üzeride solu sayıda sıır Ģartları alımıģ ve sıır Ģartları sayısı bilimeye sayısıda fazla olduğu içi Trefftz metodu uygulamıģtır. LUCO ve BARROS [16,17] kabuk ekseie eğri bir açıda gele harmoik düzlem dalgaları etkiside ola ve katmalı viskoelestik yarı uzayda gömülmüģ dairesel kesitli sosuz uzuluktaki silidirik kabuğu üç boyutlu harmoik davraıģıı icelemiģlerdir. Bu çalıģmada içteki boru hattı veya tüel içi sadeleģtirilmiģ bir kabuk teorisi ile dıģtaki zemi içi dolaylı bir itegral ifadesii birleģmeside elde edile çözüm foksiyoları kullaılmıģtır. Silidirik boģluk içere yarım uzayda iç basıç etkisideki titreģim problemi BAYIROĞLU [8] tarafıda icelemiģtir. ÇalıĢmada ortamı davraıģı Bessel ve trigoometrik foksiyo serileri yardımı ile ifade edilmiģtir. Serbest yüzeyde sıır koģulları yaklaģık olarak sağlatılmıģtır. Aalitik yolda elde edile souçlar solu elemalar yötemi ile kotrol edilmiģtir. ENGĠN ve COġKUN [15] dairesel silidirik bir boģluk içere elastik yarım uzayda harmoik titreģimleri icelemiģlerdir. Kutupsal koordiatlarda yazıla hareket deklemleri, Helmholtz potasiyellerii kullaılmasıyla iki adet dalga deklemie idirgemiģtir. ĠdirgemiĢ dalga deklemleri Bessel foksiyoları ve trigoometrik foksiyolar çarpım serileri yardımıyla aalitik olarak çözülmüģtür. Elastisite teoriside rastlaa bazı problemleri kesi olarak çözmek mümkü değildir. Bu elastisite deklemlerii itegrasyouu güçlüğüde veya sıır koģullarıı sağlatılmasıı zorluğuda kayaklaabilmektedir. Bu durumda probleme yaklaģık çözümler aramak daha uygu olur. Burada hareket deklemleri, yerdeğiģtirme ve Ģekil değiģtirme bağıtıları, Hooke yasaları ve sıır koģulları kullaılarak çözüme gidilir. Bu çalıģmada elastik bir yarım uzay içide bulua silidirik boģluğu yüzeyide harmoik zorlama etkisi göz öüe alımıģtır. Bu harmoik zorlama uiform yayılı kayma gerilmesi Ģeklidedir. Yarı sosuz düzlemdeki malzeme lieer elastik,

18 homoje ve izotrop olarak gözöüe alımıģtır., yer değiģtirme potasiyellerii bilie taımları kullaılarak silidirik koordiatlarda iki adet ayrık dalga deklemi elde edilmiģtir. Bu deklemler Bessel ve trigoometrik foksiyolar serisi yardımı ile çözülmüģtür. Çözüm souda ortaya çıka bilimeyeler, delik iç yüzeyi ve serbest yüzey üzeride yazıla sıır koģulları yardımıyla hesaplamıģtır. Delik iç yüzeyideki iki sıır koģuluda bilimeyeleri yarısı, diğer yarısı ciside ifade edilmiģtir. Serbest yüzeyi her oktasıda ormal gerilme ve kayma gerilmesi sıfıra eģittirler. Yüksek mertebelerde ikici evi Bessel foksiyolarıı özellikle küçük argümalarda ekstrem değerler alması edeiyle seri solu sayıda terim alıarak kesilmiģtir. Bu durumda özellikle serbest yüzey üzeride yazıla sıır koģulları sayısı bilimeye sayısıda çok fazla olmaktadır. Buu içi, serbest yüzeyde gerilmeler (dolayısıyla hata) miumum olacak Ģekilde E Küçük Kareler yötemi kullaılmıģtır. Sayısal iģlemlerde Mathematica 4.0 paket programı kullaılarak oyuk yüzeyideki ve serbest yüzey boyuca yer değiģtirme ve gerilme bileģelerii çeģitli parametrelere göre değiģimleri grafiklerle gösterilmiģtir. 3

19 . DÜZLEM ELASTİSİTEDE TEMEL DENKLEMLER Şekil.1. de görüldüğü gibi iki boyutlu lieer elastik bir cisim içide alıa diferasiyel bir elemaa etkiye gerilme bileşelerii değişimi gösterilmiştir. Kütle kuvvetlerii ihmal ederek, bu elema içi x ve y ekseleri doğrultularıda Newto u ikici hareket kauu uygulaır ve gerekli düzelemeler yapılırsa aşağıdaki hareket deklemler elde edilir. y yy yy yy yy dy yy dx dy y x y xy xy xy xy dy dx xy dy y x y xx xx xx xx dy xx dx dy y x y xy xy dy y U y xy xy xy dx dy x y U x xx xy yy xy xy xy dx x xy xy dx x xx xx dx x yy yy dx x x 0 Şekil.1 Diferasiyel ala elemaıdaki gerilmeler 4

20 Hareket deklemleri: xx xy U x y t x (.1.a) U xy yy y x y t (.1.b) Burada xx, yy, xy gerilme tasörüü bileşeleri, Ux ve U ise yer değiştirme vektörüü kartezye koordiatlardaki bileşeleridir. kütle yoğuluğuu, t ise zamaı göstermektedir. Gerilmeler ciside sıır koşulları: y tˆ xx x xy y x (..a) tˆ xy x yy y y (..b) Burada ve sıır eğrisii dış ormal birim vektörüdür. tˆ ve t ˆ ise sıırda etki x y x y ede yüzey gerilmesii bileşeleridir. Yer değiştirmeler ciside sıır koşulları: U x Uˆ x (.3.a) U y Uˆ y (.3.b) Burada U ˆ x ve U ˆ sıırdaki yer değiştirmeleri belirli ola bileşeleridir. y 5

21 Lieer izotropik ortamlar içi gerilme şekil değiştirme bağıtıları (Hooke yasası): e (.4.a) xx xx e (.4.b) yy yy xy (.4.c) xy Burada ve Lamé sabitleridir. Hacim değiştirme oraı ola e ise düzlem şekil değiştirme içi aşağıdaki gibidir. e xx yy (.5) ve Lamé sabitleri, E elastisite modülü, Poisso oraı ciside, 11 E 1 E (.6.a) (.6.b) şeklide yazılır. Şekil değiştirme Yer değiştirme bağıtıları: xx U x x (.7.a) yy U y y (.7.b) xy 1 U y x U y x (.7.c) 6

22 (.7) deklemleri (.4) deklemleri ile birlikte (.1) deklemleride yerie yazılıp gerekli düzelemeler yapılırsa yer değiştirmeler ciside Navier deklemleri elde edilir. U x e x e y U y U t x U t y (.8.a) (.8.b) Burada kartezye koordiatlarda Laplasyei göstermektedir. (.9) x y 7

23 8

24 9

25 10

26 3. ÇÖZÜM 3.1. Problemi Formülasyou x r H y a Şekil 3.1. Yarım düzlemde kayma gerilmesi etkisideki silidirik oyuk. İcelemede kutupsal koordiatları kullamak daha uygudur. z eksei boyuca, oyuk geometrisi, malzeme ve yükleme değerlerii değişmediği kabul edilirse problem düzlem şekil değiştirme hali olarak göz öüe alıabilir. 8

27 Yarı sosuz ortamda bulua aşağıdaki gibi harmoik zorlaması ile zorlamaktadır. r=a yarıçaplı silidirik oyuk iç yüzey boyuca (3.1.) i t 0e Burada 0 harmoik zorlama geliğii, zorlama frekasıı, t de zamaı göstermektedir. Birici mertebe teorisi kullaıldığı içi ortamı davraışı da ayı şekilde harmoik foksiyolarla ifade edilebilir. Bua göre kutupsal koordiatlarda yer değiştirme ve gerilme bileşeleri, it U ( r,, t) u ( r, ) e (3..a) r r it U ( r,, t) u ( r, ) e (3..b) it σ ( r,, t) ( r, ) e (3.3.a) rr rr it σ ( r,, t) ( r, ) e (3.3.b) θθ it ( r,, t) ( r, ) e (3.3.c) r r olarak yazılabilir. (3.) ifadelerii (.8) Navier deklemleride yerie yazıp gerekli düzelemeler yapılırsa, Navier deklemleri aşağıdaki gibi vektör formuda ifade edlebilir. r r r ( ). u u u 0 (3.4) Burada u r u e r u e r r r (3.5) şeklide kutupsal koordiatlarda ifade edilebilir. 9

28 Helmholtz ayırma teoremi kullaılarak u r yerdeğiştirme vektörü (r,) skaler ve r r r, r, ez vektörel potasiyel foksiyoları ciside aşağıdaki yapıda yazılabilir. r r r r u e z (3.6) Burada tek çözüm elde edilebilmesi içi r vektörel potasiyelii diverjası sıfır olmalıdır. r r e z 0 Potasiyel foksiyolarla yazıla yer değiştirme vektörüe ait (3.6) ifadesi (3.4) Navier deklemide yerie yazılıp gerekli işlemlerde sora aşağıdaki idirgemiş dalga deklemleri elde edilir. k 0 (3.7.a) 1 k 0 (3.7.b) k / c Boyua dalga sayısı, 1 1 k / c Eie dalga sayısı, c c 1 Boyua dalga hızı, Eie dalga hızı, olarak taımlamaktadır. 10

29 Yer değiştirme vektörüü kutupsal koordiatlardaki bileşeleri (3.6) ifadesi kullaılarak potasiyel foksiyolar ciside aşağıdaki gibi elde edilir. u r u 1 r r 1 r r (3.8.a) (3.8.b). Gerilme yer değiştirme bağıtılarıı kutupsal koordiatlardaki ifadesi aşağıdaki gibidir. ur u rr ur r r (3.9.a) ur 1 u ur r r (3.9.b) r u ur r u r r (3.9.c) 3.. Çözüm Çarpalara ayırma yötemii kullaılmasıyla (3.7) hareket deklemlerii çözümü Bessel trigoometrik foksiyolar serisi olarak aşağıdaki gibi elde edilmektedir. ( r, ) ( A J ( k r) B Y ( k r))cos ( C J ( k r) D Y ( k r))si ( r, ) ( E J ( k r) F Y ( k r))cos ( G J ( k r) H Y ( k r))si 11

30 tam sayı olduğuda, 1, 1 J J Y Y Bessel foksiyolarıı taımları kullaılarak bu sosuz serileri - yerie sıfırda başlatmak mümküdür. Böylece r, ve r, foksiyo serileri aşağıdaki şekli alır. ( r, ) ( A J ( k r) B Y ( k r))cos ( C J ( k r) D Y ( k r))si (3.10.a) ( r, ) ( E J ( k r) F Y ( k r))cos ( G J ( k r) H Y ( k r))si (3.10.b) Burada A, B, C, D, E, F, G, H bilimeye değişmezler olup, sıır koşullarıı sağlatılmasıyla elde edilecektir. (3.10) ifadeleri (3.8) de yerie yazılırsa aşağıdaki yer değiştirme ifadeleri elde edilir. ur A J( k1r) k1j 1( k1r) B Y ( k1r) k1y 1( k1r) 0 r r G J( kr) H Y ( kr) cos r r C J( k1r) k1j 1( k1r) D Y ( k1r) k1y 1( k1r) r r E J( kr) F Y ( kr) si r r (3.11.a) 1

31 u A J( k1r) B Y ( k1r) G J ( kr) kj 1( kr) 0 r r r H Y ( kr) ky 1( kr) si r C J( k1r) D Y ( k1r) E J ( kr) kj 1( kr) r r r F Y ( kr) ky 1( kr) cos r (3.11.b) Yer değiştirmelere ait (3.11) bağıtılarıı, (3.9) gerilme yer değiştirme bağıtılarıda yerie yazarsak gerilmeleri kutupsal koordiatlardaki bileşeleri aşağıdaki gibi olur. rr r 0 A 0.5 k r J ( k r) k rj ( k r) B 0.5 k r Y ( k1r) k1ry 1( k1r) G J( kr) krj 1( kr) 1 H Y ( k r) k ry ( k r) cos C 0.5 k r J ( k1r) k1rj 1( k1r) D 0.5 k r Y ( k1r) k1ry 1( k1r) E J ( kr) krj 1( kr) 1 F Y ( k r) k ry ( k r) si (3.1.a) 13

32 0 A k1 r 0.5 k r J ( k1r) k1rj 1( k1r) r B k1 r 0.5 k r Y ( k1r) k1ry 1( k1r) G J( kr) krj 1( kr) 1 H Y ( k r) k ry ( k r) cos C k r k r J( k1r) k1rj 1( k1r) D k1 r 0.5 k r Y ( k1r) k1ry 1( k1r) E J( kr) krj 1( kr) F Y ( k r) k ry ( k r) si (3.1.b) r r 0 A J ( k r) k rj ( k r) B Y ( k1r) k1ry 1( k1r) G 0.5 k r J ( kr) krj 1( kr) 1 H 0.5 k r Y ( k r) k ry ( k r) si C J( k1r) k1rj 1( k1r) D Y ( k1r) k1ry 1( k1r) 14

33 E 0.5 k r J( kr) krj 1( kr) 1 F 0.5 k r Y ( k r) k ry ( k r) cos (3.1.c) Yer değiştirmeleri ve gerilmeleri kartezye koordiatlardaki değerleri kutupsal koordiatlardaki değerleri ciside aşağıdaki döüşüm formülleri yardımıyla elde edilir. u u cos u si (3.13.a) x r u u si u cos (3.13.b) y r rr rr xx cos r si (3.14.a) rr rr yy cos r si (3.14.b) rr xy si r cos (3.14.c) (3.1) bağıtılarıı (3.14) bağıtılarıda yerie koyup gerekli düzelemeler yapılırsa kartezye koordiatlarıda xx, ve xy gerilmeleri içi Bessel ve trigoometrik foksiyolara bağlı aşağıdaki ifadeler elde edilir, yy 15

34 A 0.5k r 0.5k r J k r 0.5k r J k k rj k r xx r r 0 J k1r k1rj 1 k1r cos cos si si cos B k r k r Y k r k r Y k r k ry k r cos Y k r 1 G J k r k rj k r cos cos 1 si si 0.5k r J kr krj 1 kr si si 1 k1ry 1 k1r H Y k r k ry k r cos cos 0.5k r Y kr kry 1 kr si si C 0.5k1 r 0.5k r J k1r 0.5k1 r J k1r k1rj 1 k1r J k1r k1rj 1 k1r cos si si cos D k r k r Y k r k r Y k r k ry k r Y k r k ry k r cos cos si si 1 E J k r k rj k r cos si 0.5k r J kr krj 1 kr si cos 1 F Y k r k ry k r cos si 0.5k r Y kr kry 1 kr si cos (3.15.a) 16

35 A 0.5k r 0.5k r J k r 0.5k r J k k rj k r yy r r 0 J k1r k1rj 1 k1r cos cos si si cos B k r k r Y k r k r Y k r k ry k r cos Y k r 1 G J k r k rj k r cos cos 1 si si 0.5k r J kr krj 1 kr si si 1 k1ry 1 k1r H Y k r k ry k r cos cos 0.5k r Y kr kry 1 kr si si C 0.5k1 r 0.5k r J k1r 0.5k1 r J k1r k1rj 1 k1r J k1r k1rj 1 k1r cos si si cos D k r k r Y k r k r Y k r k ry k r Y k r k ry k r cos cos si si 1 E J k r k rj k r cos si 0.5k r J kr krj 1 kr si cos 1 F Y k r k ry k r cos si 0.5k r Y kr kry 1 kr si cos (3.15.b) 17

36 A 0.5k1 r J k1r k1rj 1 k1r si cos xy r 0 J k1r k1rj 1 k1r cos si B 0.5k r Y k r k ry k r si cos Y k1r k1ry 1 k1r cos si G J kr krj 1 kr 0.5k r J kr krj 1 kr cos si 1 0.5k r Y kr kry 1 kr cos si J k1r k1rj 1 k1r cos cos si cos H Y k r k ry k r si cos C 0.5k r J k r k rj k r si si D 0.5k r Y k r k ry k r si si Y k1r k1ry 1 k1r cos cos 1 E J k r k rj k r si si 0.5k r J kr krj 1 kr cos cos F 0.5k r Y kr kry 1 kr cos cos Y kr kry 1 kr si si (3.15.c) 18

37 3.3.Sıır Koşullarıı Sağlatılması Çözümde kullaıla Bessel ve trigoometrik serilerideki sayısı sayısal işlemlerde solu bir N sayısıa kadar alıabilir. Ayrıca ikici evide Bessel foksiyou ola Y özellikle küçük argümalarda, büyük idisler içi çok büyük değerler aldığıda N sayısı belli bir değeri üzeride alıamamaktadır Silidirik boşluğu iç yüzeyideki sıır koşulları Silidirik boşluğu iç yüzeyide ı her değeri içi r kayma gerilmesi, 0 kayma gerilmesie, rr radyal gerilmesi de sıfıra eşit olmalıdır. Bua göre, 0 rr ra r ra 0 rr r 0 A 0.5 k r J ( k r) k rj ( k r) 1 B 0.5 k r Y ( k1r) k1ry 1( k1r) G J ( kr) krj 1( kr) H Y ( k r) k ry ( k r) cos C 0.5 k r J ( k1r) k1rj 1( k1r) D 0.5 k r Y ( k1r) k1ry 1( k1r) E J ( kr) krj 1( kr) 1 F Y ( k r) k ry ( k r) si 0 (3.16) 19

38 (3.16) deklemii ı her değeride sağlaabilmesi içi i her değeride cos ve si ı çarpaı sıfıra eşit olmalıdır. Bua göre (3.16) ifadeside, 0 içi: A 0 k a J k1a k1aj1 k1a B 0 k a Y k1a k1ay1 k1a 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) 0 (3.17) 0 içi: 1 A 0.5 k a J ( k1a) k1aj 1( k1a) B 0.5 k a Y ( k1a) k1ay 1( k1a) G J( ka) kaj 1( ka) H Y ( k a) k ay ( k a) 0 1,,.., N (3.18) C 0.5 k a J ( k1a) k1aj 1( k1a) D 0.5 k a Y ( k1a) k1ay 1( k1a) E J( ka) kaj 1( ka) 1 F Y ( k a) k ay ( k a) 0 1,,.., N N+1adet deklem elde edilir. 0 (3.19)

39 r r 0 A J ( k r) k rj ( k r) B Y ( k1r) k1ry 1( k1r) G 0.5 k r J( kr) krj 1( kr) 1 H 0.5 k r Y ( k r) k ry ( k r) si C J( k1r) k1rj 1( k1r) D Y ( k1r) k1ry 1( k1r) E 0.5 k r J ( kr) krj 1( kr) F 0.5 k r Y ( kr) kry 1( kr) cos 0 (3.0) (3.0) deklemii ı her değeride sağlaabilmesi içi cos ı çarpaı ola ifade 0 da 0 a eşit olmalı, i diğer bütü değerleride cos ve si ı çarpaı sıfıra eşit olmalıdır. Bua göre (3.0) ifadeside, 0 içi: 0.5 ( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) E 0 k a J0 ka kaj1 ka F 0 k a Y0 ka kay1 ka 0 (3.1) 1

40 0 içi: A J( k1a) k1aj 1( k1a) B Y ( k1a) k1ay 1( k1a) G 0.5 k a J ( ka) kaj 1( ka) 1 H 0.5 k a Y ( k a) k ay ( k a) 0 1,,.., N (3.) C J( k1a) k1aj 1( k1a) D Y ( k1a) k1ay 1( k1a) E 0.5 k a J ( ka) kaj 1( ka) F 0.5 k a Y ( ka) kay 1( ka) 0 1,,.., N N+1adet deklem elde edilir. (3.3) Seri çözümlerde pratik olarak sosuz terim alıması mümkü olmamaktadır. Buula beraber ikici evi Bessel foksiyoları Y özellikle büyük mertebeleride küçük argüma olması halide sayısal işlemlerde soru çıkarmaktadır. Bu edele seriler N gibi solu bir sayıda kesilmiştir. Bu durumda toplam bilimeye sayısı 8N+4 olmaktadır. Burada ormal gerilmeye ait (3.16) ifadeside N+1 ve kayma gerilmesie ait (3.0) ifadeside de N+1 tae bağıtı yazılmaktadır. Böylece oyuk üzeride yazıla sıır koşullarıda 4N+ bilimeye geri kala 4N+ adet bilimeye ciside elde edilmiş olur.

41 3.3.. Serbest yüzeydeki sıır koşulları 0 xx x 0 xy r H y a Şekil Serbest yüzeydeki sıır koşulları. Serbest yüzey üzeride, xx xh 0 0 (3.4) xy xh olmalıdır. Oyuk üzerideki sıır koşulları sağlatılması soucu geriye kala 4N+ adet bilimeye serbest yüzey üzerideki (3.4) koşullarıda sağlatılarak buluacaktır. Acak solu sayıda koşula ihtiyacımız olduğuda bu durumda (3.4) sıır koşullarıı yüzeyi her oktasıda sağlatılması mümkü değildir. Buradaki sıır koşullarıı yerie E Küçük Kareler Yötemi kullaılacaktır. E küçük kareler yötemie göre, serbest yüzey üzeride hesapla elde edile ve sıırda verile gerilmeleri farkıı karelerii toplamıı miimum olması gerekmektedir. 3

42 M k1 k k k k xx xx xy xy d ˆ ˆ (3.5) Burada M serbest yüzey üzeride alıa okta sayısıı, xx (k) ve xy (k) serbest yüzeyde herhagi bir k oktasıda hesaplaa gerilme bileşelerii, k k ˆ ve ˆ ise serbest xx xy yüzeye herhagi bir k oktasıda dışarda etkiye gerilme bileşelerii göstermektedir. Serbest yüzeyde gerilme etkimediği içi k k ˆ ve ˆ her ikisi de xx xy sıfırdır. Kutupsal koordiatlarda yazmış olduğumuz (3.1.a) (3.1.c) gerilme bağıtılarıı (3.14) döüşüm formülleride kullaılması soucu serbest yüzeydeki gerilme bileşelerii ifadeleri elde edilmiş olur. Serbest yüzey üzerideki bu toplamı miimize etmek içi geri kala serbest bilimeyelere göre türev alırsak, (3.5) koşulda aşağıdaki bağıtıları yazabiliriz. k M k d k xx k xy xx xy 0, 0,1,,..., N A k 1 A A k M k d k xx k xy xx xy 0, 1,,..., N B k 1 B B k M k d k xx k xy xx xy 0, 0,1,,..., N E k 1 E E d F M k 1 k xx F k xx k k xy xy 0, 1,,..., N F (3.5) Yukarıdaki (3.5) bağıtılarıda 4N+ adet koşul elde edilir. Bu işlem souda 4N+ bilimeye içi 4N+ deklem elde edilmiş olur. Bu cebirsel deklem takımıı çözümü ile A, B, E, F bilimeyeleri buluur. (3.16), (3.17), (3.18), (3.19), (3.0), (3.1), (3.), (3.3) bağıtıları kullaılarak, C, D, G, H bilimeyelerii hesabı ile çözüm tamamlamış olur. 4

43 5

44 6

45 7

46 8

47 9

48 30

49 4.SONUÇLAR 4.1.SAYISAL VERİLER Harmoik iç zorlama etkisideki silidirik oyuk buludura elastik yarım uzay ile ilgili sayısal işlem souçları bilgisayar yadımı ile çizile çeşitli grafikler yardımıyla açıklamaya çalışılmıştır. Sayısal uygulamalarda kullaıla malzeme sabitleri ve harmoik zorlama geliği, = 665 kg/m 3, E =7.567x10 9 N/m, = 0,5, = =3068x10 5 N/m 0 = N/m 4.. SAYISAL SONUÇLAR Yukarıdaki veriler kullaılarak E Küçük Kareler yötemi yardımı ve Mathematica 4.0 programı ile bilimeye katsayılar, zorlama frekası, ve H oyuk merkezii deriliğii çeşitli değerleri içi sayısal olarak hesaplamıştır. Bu hesap souucuda yer değiştirme ve gerilme bileşelerii değişimi aşağıdaki grafikler yardımı ile gösterilmiştir. Sayısal hesaplarda N 6 ve a 5m olarak alımıştır. Şekil 4.1 ve 4. de =60 rad/s, H =10 m içi serbest yüzey üzeride gerilme bileşelerii değişimi görülmektedir. Bu değerleri sıfır olması gerekirke yapıla yaklaşık çözüm edeiyle sıfırda farklı souç elde edilmiştir. Acak yapıla e büyük hata %13 mertebesidedir. Grafiklerde gerilmeleri e büyük değerlerii delik çapıı iki misli bir bölgede olduğu, uzaklaştıkça hızla södüğü görülmektedir. 5

50 Şekil 4.3 ve 4.4 de =60 rad/s, H =10 m içi serbest yüzey üzeride yer değiştirmeleri değişimi verilmektedir. Şekil 4.5 ve 4.6 da =60 rad/s, H =10 m içi oyuk yüzeyide ve gerilme bileşelerii değişimi verilmektedir. Grafiklerde sıır koşullarıı tam olarak sağlatıldığı görülmektedir. Şekil 4.7 ve 4.8 de =60 rad/s, H =10 m içi oyuk yüzeyideki yer değiştirmeleri değişimi verilmektedir. Şekil 4.9 da =60 rad/s, H =10 m içi oyuk yüzeyideki gerilmesii değişimi verilmektedir. Şekil 4.10 da =80 rad/s, H =10 m içi oyuk yüzeyideki gerilmesii değişimi verilmektedir. Şekil 4.11 ve 4.1 de =80 rad/s, H =10 m içi serbest yüzey üzeride gerilme bileşelerii değişimi görülmektedir. Burada da görüldüğü gibi hata e fazla %1 mertebesidedir. Şekil 4.13 ve 4.14 de =80 rad/s, H =10 m içi serbest yüzey üzeride yer değiştirmeleri değişimi verilmektedir. Görüldüğü gibi frekası artması yer değiştirmeleri azaltmıştır. Şekil 4.15 ve 4.16 de =80 rad/s, H =10 m içi oyuk yüzeyideki yer değiştirmeleri değişimi verilmektedir. Burada da frekası artmasıyla yer değiştirmeler azalmıştır. Şekil 4.17 ve 4.18 de =100 rad/s, H =10 m içi serbest yüzey üzeride gerilme bileşelerii değişimi görülmektedir. Burada görüldüğü gibi hata e fazla %13 mertebesidedir. rr r Şekil 4.19 ve 4.0 de =100 rad/s, H =10 m içi serbest yüzey üzeride yer değtirmeleri değişimi verilmektedir. Frekası artmasıyla yer değiştirmeler biraz daha azalmıştır. 6

51 Şekil 4.1 ve 4. de =100 rad/s, H =10 m içi oyuk yüzeyideki yer değiştirmeler verilmiştir. Frekası artmasıyla yer değiştirmeler biraz daha azalmıştır. Şekil 4.3 de =100 rad/s, H =10 m içi oyuk yüzeyideki gerilmesii değişimi verilmektedir. Şekil 4.4 de =10 rad/s, H =10 m içi oyuk yüzeyideki gerilmesii değişimi verilmektedir. Şekil 4.5 ve 4.6 da =10 rad/s, H =10 m içi serbest yüzey üzeride gerilme bileşelerii değişimi görülmektedir. Burada görüldüğü gibi hata e fazla %14 mertebesidedir. Şekil 4.7 ve 4.8 de =10 rad/s, H =10 m içi serbest yüzey üzeride yer değtirmeleri değişimi verilmektedir. Frekası artmasıyla yer değiştirmeler biraz daha azalmıştır. Şekil 4.9 ve 4.30 da =10 rad/s, H =10 m içi oyuk yüzeyideki yer değiştirmeler verilmiştir. Frekası artmasıyla yer değiştirmeler biraz daha azalmıştır. Şekil 4.31 ve 4.3 de =80 rad/s, H =15 m içi serbest yüzey üzeride gerilme bileşelerii değişimi verilmektedir. Deriliği artmasıyla hata azalmıştır. Görüldüğü gibi e fazla %6 mertebesidedir. Şekil 4.33 ve 4.34 de =80 rad/s, H =15 m içi serbest yüzey üzeride yer değiştirmeleri değişimi verilmektedir. Deriliği artmasıyla yer değiştirmeler azalmıştır. Şekil 4.35 ve 4.36 da =80 rad/s, H =15 m içi oyuk yüzeyideki yer değiştirmeler verilmiştir. Deriliği artmasıyla yer değiştirmeler azalmıştır. Şekil 4.37 de =80 rad/s, H =15 m içi oyuk yüzeyideki verilmektedir. gerilmesi değişimi 7

52 8

53 9

54 5.TARTIŞMA Bu çalışmada, serbest yüzeyde H kadar derilikte, a yarıçaplı dairesel bir oyuk içere yarım düzlemi, oyuk yüzeyide harmoik zorlaması altıdaki davraışı icelemiştir. Bu harmoik zorlama uiform yayılı kayma gerilmesi şeklidedir. Elde edile kuple deklem takımı, Helmholtz yer değiştirme potasiyellerii kullaılması ile ayrıklaştırılmış ve Bessel trigoometrik foksiyo serileri ile kapalı çözüm yapılmıştır. Deklemleri kapalı olarak çözülmesie karşılık sıır koşullarıı sağlatılmasıda zorluk ortaya çıkmaktadır. Kutupsal koordiatları kullaılması edeiyle oyuk yüzeyideki sıır koşulları tam olarak sağlatılmış, acak serbest yüzey üzeride sıır koşulları yaklaşık olarak sağlatılabilmiştir. zorlama frekası ve H deriliğii çeşitli değerlerie göre yer değiştirme ve gerilme bileşelerii değişimi grafikler yardımı ile verilmiştir. Serbest yüzey üzeride her iki tarafta deriliği ortalama olarak iki katı gibi bir bölgede oyukta gele diamik etkileri öemli olduğu buu dışıda etkileri azaldığı gözlemiştir. Yaklaşık çözüm edeiyle e büyük hata %14 mertebesidedir. Çözüm seriside terim sayısıı arttırılması ile bu hataı azalacağı tahmi edilmektedir. Acak bilgisayarda çözüm süresii çok uzu olması edeiyle şimdilik 6 terim alıabilmiştir. Bu problemi devamıda olabilecek çalışmalar, 1. Zorlamaı rastgele olması (çevre ve zama üzeride). Zorlamaı oyuk eksei boyuca değişke olması 3. Ortamı homoge olmaması 4. Ortamı viskoelastik olması 5. Serbest yüzeyi herhagi bir şekilde olması 6. Oyuk çevresii dairede farklı olması olarak özetleebilir. 8

55 KAYNAKLAR [1] Erige, A.C., Suhubi, E.S., Elastodyamics, Vol II, Academic press, New York. [] Graff, K.F., Wave motio i elastic solids, Claredro press, Oxford. [3] Hildebrad, F.B., 196. Advaced calculus for applicatios, Eglewood Cliffs, Pretice-Hall, New Jersey. [4] İa, M., Düzlemde elastisite teorisi, İ.T.Ü. Kütüphaesi, Sayı:750, İstabul. [5] Tameroğlu, S., Elastisite teorisi, İ.T.Ü. İşaat Fakültesi matbası, Sayı:1434 İstabul. [6] Timosheko, S. ad Goodier, J.N., Theory of elasticity, McGraw Hill Book Campay press, Sayı:757, New York. [7] Trater, C.J., Bessel fuctios with some physical aplicatios, The Eglish Uiversty press, Loda. [8] Bayıroğlu, H., Yarı düzlemde gömülü yapıları zorlamış titreşimleri, Doktora Tezi, I.T.U. Fe Bilimleri Estitüsü, Istabul. [9] Akpıar, M., 000. Harmoik basıç etkisideki yarım düzlem problemi, Yüksek Lisas Tezi, I.T.U. Fe Bilimleri Estitüsü, Istabul. [10] Baledra, T., Chua, K.H., Lo, K.W. ad Lee, S.K., Steady state vibratio of subway soil-buildig system, Joural of Egieerig Mechaichs, 115, [11] Baledra, T., Koh, C.G., Ho, Y.C., Dyamics respose of buildigs due to trais i udergroud tuels, Earthquake Egieerig ad Structural Dyamics, 0, [1] Bravo, M.A. ad Saches-Sesma, F.J., Treffz s methodfor vibratio of rigid plate, Joural of Egieerig Mechaichs 113,

56 [13] Datta, S.K., Shah, A.H., Wog, K.C., Dyamic stress ad displacemets i buried pipe, Joural of Egieerig Mechaichs, 110, [14] El-Akıly, N., Datta, S.K.,1981. Respose of a circular cylidrical shell to disturbaces i a half-space, Earthquake Egieerig ad Structural Dyamics, 9, [15] Egi, H., Coşku, I., 001. Boşluk içere yarım uzayda zorlamış titreşimler, XII. Ulusal Mekaik Kogresi, [16] Luco, J.E. ad De Barros, F.C.P., Seismic respose of a cylidrical shell embedded i a layered viscoelastic half-space-i: Formulatio, Earthquake Egieerig ad Structural Dyamics, 3, [17] Luco, J.E. ad De Barros, F.C.P., Seismic respose of a cylidrical shell embedded i a layered viscoelastic half-space-ii: Formulatio, Earthquake Egieerig ad Structural Dyamics, 3, [18] Wog, K.C., Shah, A.H. ad Datta, S.K., Dyamic stress ad displacemets i a buried tuel, Joural of Egieerig Mechaichs, 111,

57 EKLER Sayfa No EK A

58 EK s xxhpal Serbest YüzeyHmL Şekil 4.1 =60 rad/s, H =10 m içi serbest yüzeydeki xx gerilmesi. t xyhpal Serbest YüzeyHmL Şekil 4. =60 rad/s, H =10 m içi serbest yüzeydeki xy gerilmesi. 31

59 u xhml Serbest YüzeyHmL Şekil 4.3 =60 rad/s, H =10 m içi serbest yüzeydeki u x yer değiştirmesi. u yhml Serbest YüzeyHmL Şekil 4.4 =60 rad/s, H =10 m içi serbest yüzeydeki u y yer değiştirmesi. 3

60 s rrhpal Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.5 =60 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yüzeyideki rr gerilmesi. t rqhpal Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.6 =60 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yüzeyideki r gerilmesi. 33

61 u rhml Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.7 =60 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yüzeyideki u r yer değiştirmesi. u qhml Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.8 =60 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yüzeyideki u yer değiştirmesi. 34

62 s qqhpal Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.9 =60 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yüzeyideki gerilmesi. s qqhpal Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.10 =80 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yüzeyideki gerilmesi. 35

63 s xxhpal Serbest YüzeyHmL Şekil 4.11 =80 rad/s, H =10 m içi serbest yüzeydeki xx gerilmesi. t xyhpal Serbest YüzeyHmL Şekil 4.1 =80 rad/s, H =10 m içi serbest yüzeydeki xy gerilmesi. 36

64 u xhml Serbest YüzeyHmL Şekil 4.13 =80 rad/s, H =10 m içi serbest yüzeydeki u x yer değiştirmesi. u yhml Serbest YüzeyHmL Şekil 4.14 =80 rad/s, H =10 m içi serbest yüzeydeki u y yer değiştirmesi. 37

65 u rhml Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.15 =80 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yüzeyideki u r yer değiştirmesi. u qhml Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.16 =80 rad/s, H =10 m içi silidirik boşluk yüzeyideki u yer değiştirmesi. 38

66 s xxhpal Serbest YüzeyHmL Şekil 4.17 =100 rad/s, H =10 m içi serbest yüzeydeki xx gerilmesi t xyhpal Serbest YüzeyHmL Şekil 4.18 =100 rad/s, H =10 m içi serbest yüzeydeki xy gerilmesi. 39

67 u xhml Serbest YüzeyHmL Şekil 4.19 =100 rad/s, H =10 m içi serbest yüzeydeki u x yer değiştirmesi. u yhml Serbest YüzeyHmL Şekil rad/s, H =10 m içi serbest yüzeydeki u y yer değiştirmesi. 40

68 u rhml Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.1 =100 rad/s H =10 m içi silidirik boşluğu yüzeyideki u r yer değiştirmesi. u qhml Delik YüzeyiHRadL Şekil 4. =100 rad/s H =10 m içi silidirik boşluğu yüzeyideki u yer değiştirmesi. 41

69 s qqhpal Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.3 =100 rad/s H =10 m içi silidirik boşluğu yüzeyideki gerilmesi. s qqhpal Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.4 =10 rad/s H =10 m içi silidirik boşluğu yüzeyideki gerilmesi. 4

70 15000 s xxhpal Serbest YüzeyHmL Şekil 4.5 =10 rad/s H =10 m içi serbest yüzeydeki xx gerilmesi. t xyhpal Serbest YüzeyHmL Şekil 4.6 =10 rad/s H =10 m içi serbest yüzeydeki xy gerilmesi. 43

71 u xhml Serbest YüzeyHmL Şekil 4.7 =10 rad/s H =10 m içi serbest yüzeydeki u x yer değiştirmesi. u yhml Serbest YüzeyHmL Şekil 4.8 =10 rad/s H =10 m içi serbest yüzeydeki u y yer değiştirmesi. 44

72 u rhml Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.9 =10 rad/s H =10 m içi silidirik boşluk yüzeyideki u r yer değiştirmesi u qhml Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.30 =10 rad/s H =10 m içi silidirik boşluk yüzeyideki u yer değiştirmesi. 45

73 s xxhpal Serbest YüzeyHmL Şekil 4.31 =80 rad/s H =15 m içi serbest yüzeydeki xx gerilmesi. t xyhpal Serbest YüzeyHmL Şekil 4.3 =80 rad/s H =15 m içi serbest yüzeydeki xy gerilmesi. 46

74 u xhml Serbest YüzeyHmL Şekil 4.33 =80 rad/s H =15 m içi serbest yüzeydeki u x yer değiştirmesi. u yhml Serbest YüzeyHmL Şekil 4.34 =80 rad/s H =15 m içi serbest yüzeydeki u y yer değiştirmesi. 47

75 u rhml Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.35 =80 rad/s H =15 m içi silidirik boşluk yüzeyideki u r yer değiştirmesi. u qhml Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.36 =80 rad/s H =15 m içi silidirik boşluk yüzeyideki u yer değiştirmesi. 48

76 s qqhpal Delik YüzeyiHRadL Şekil 4.37 =80 rad/s H =15 m içi silidirik boşluk yüzeyideki gerilmesi. 49

77 50

78 ÖZGEÇMİŞ Arzu Arpacı 1976 yılıda Kırıkkale de doğmuştur. İlk öğreimii Neslişah İlköğretimide, orta öğreimii Perteviyal Liseside tamamlamış 1995 yılıda İstabul Üiversitesi Mühedislik Fakültesi İşaat Mühedisliği bolümüe girmiştir yılıda üiversitede mezu olmuş ayı see İ.T.Ü. Fe Bilimleri Estitüsüe İşaat Mühedisliği Mekaik Aabilim Dalıda yüksek lisas eğitimie başlamıştır. 50