Rijit Olmayan Sınır Koşullarında Elastik Zemine Oturan Bir Çubuğun Eksenel Titreşim Analizi

Transkript

1 Bilecik Şeyh Edebali Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi, Cilt:, Sayı: 1, 15 ISSN: ( Araştırma Makalesi/Research Article Rijit Olmaya Sıır Koşullarıda Elastik Zemie Otura Bir Çubuğu Ekseel Titreşim Aalizi Axial Vibratio Aalysis Of Rods O Elastic Foudatio With No-Rigid Boudary Coditios Fatma YANIK 1*, Mustafa Özgür YAYI Özet- Bu çalışmada, elastik zemie oturmuş bir çubuğu ekseel titreşim aalizi değişik sıır şartlarıa göre icelemiştir. Fourier siüs serileri ve Stoke döüşümü kullaılarak bir katsayılar matrisi elde edilmiştir. Bu katsayılar matrisii öz değerleri serbest titreşim frekaslarıı vermektedir. Hesaplaa souçlar literatürde bulua rijit sıır koşulları içi karşılaştırılarak teyit edilmiştir. Sosuz serilerde yeterli terim kullaıldığıda, çok güzel bir uyum yakalamıştır. Deforme edilebilir sıır koşulları içi bir çok örek çözülmüştür. Hesaplaa souçlar bir dizi şekil ve tablolarla suulmuştur. Aahtar Kelimeler- Elastik zemie otura çubuk, ekseel titreşim, Fourier siüs serisi, stoke döüşümü. Abstract- I this work, axial vibratio of a rod o elastic foudatio (Wikler type with differet boudary coditios has bee ivestigated. A coefficiet matrix is derived by usig Stokes trasformatio ad Fourier sie series. Eige values of this coefficiet matrix gives the free vibratio frequecies. Calculated results are validated by the results i the literature for rigid boudary coditios. A good agreemet has bee achieved whe the eough terms are used. Several examples are solved for differet restraied boudary coditios. Computatioal results are preseted i a series of figures ad tables. Keywords- Rod o elastic foudatio, axial vibratio, Fourier sie series, Stokes trasformatio I.GĠRĠġ Elastik zemie otura çubukları mekaik aalizi ile ilgili literatürde birçok çalıģma mevcuttur. Söz kousu çalıģmalarda bezer kabuller yapılmak sureti ile çözümler gerçekleģtirilmiģ; titreģim ve burkulma hesapları yapılmıģtır. Bir dege oktası etrafıdaki mekaik salıım titreģim olarak taımlamaktadır. EĢit zama aralıkları ile tekrarlaa hareketler de, hareketi birim zamada tekrar sayısı periyodu vermesie rağme 1'i periyoda bölümesi(yai 1/periyot frekası vermektedir. TitreĢim frekaslarıı hesaplamak hayati öem taģımaktadır. Harmoik titreģim, bir siüs dalgası Ģeklide değiģe titreģim hareketi olup, bu çalıģmada kiriģi harmoik titreģim yaptığı varsayılar iģlemler yapılmıģtır. Sistemlerde ki titreģimler, dıģ kuvvetler(sistemi bağlı olduğu temelde gele kuvvet, döe sistemlerde degelememiģ kütleler, motorlarda gidip-gele kütleler, darbe, deprem v.b. edelerle oluģa herhagi bir kuvvet olabilir ve sistemi bu dıģ kuvvetlere cevap verme özelliğide kayakladığıda gürültü, yüksek gerilmeler, aģıma, malzeme yorulması gibi istemeye souçlara ede olurlar. TitreĢime maruz kala isalarda fiziksel ve psikolojik rahatsızlıklar(yorguluk, dikkat azalması, ortopedik rahatsızlık, sakatlıklar, iģ kazaları v.b., yaģam kaliteside olumsuz etkiler, çalıģma performasıı azalması v.b. rahatsızlıklar ortaya çıktığıda bu titreģim frekasları etkileri yok edilmesi isalar içi büyük öem arz etmektedir. Bu edele yapıları, titreģim frekaslarıı söümlemesi gerekmektedir. Yapıı temeli zemie oturduğuda, zemide kayaklaa titreģim frekaslarıı karģılayacak Ģekilde yapıı hesabı yapılarak, yapı tasarlamalı ve iģaa edilmelidir. Wikler zemiler, yapı ile zemi arasıda ki etkileģim sabit bir yatak katsayısı ile olmaktadır. Bu çalıģmada zemi, Wikler zemi modeli olarak kullaılmıģtır. Bu çalıģmada, kiriģ ekseie dik ola düzlemsel e kesiti deformasyouda sora da düzlem kaldığı ve kiriģi üzeride ki her bir oktaı sadece düģey doğrultuda hareket ede Euler-Beroulli kiriģ kabulü yapılmıģtır. Bu çalıģmaları bir çoğuda sıır koģulları rijit yai(akastre, basit mesetli çubuk, iki tarafı rijit sıır koģullarıa göre aalizler gerçekleģtirilmiģtir. Ayrıca titreģim doğrultusu, çalıģmaları çoğuda ekseel değildir. 1* Sorumlu yazar iletiģim: ftmyak@gmail.com mozgur.yayli@bilecik.edu.tr 1, İşaat Mühedisliği, Mühedislik Fakültesi, Bilecik Şeyh Edebali Üiversitesi, 111 Gülümbe Kampüsü BİECİK 35

2 Bilecik Şeyh Edebali Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi, Cilt:, Sayı:1, 15 ISSN: ( Civalek ve Demir[1] elastik zemie otura kiriģleri aalizlerii ayrık tekil kovolüsyo ve harmoik diferasiyel quadrature yötemlerii kullaarak gerçekleģtirmiģtir. Bozdoğa ve arkadaģları[] elastik zemie otura kiriģleri birici ve ikici mertebe statik ve stabilite aalizlerii taģıma matrisi yötemi ile gerçekleģtirmiģtir. Çelebi ve arkadaģları[3] homoje olmaya çubuğu zorlamıģ titreģimi içi kapalı-form çözümleri elde etmiģlerdir. Civalek[9,11,13,4] elastik zemie(wıkler otura dairesel plakaları geometrik bakımda lieer olmaya diamik aalizii, elastik zemie otura kiriģleri oro-fuzzy tekiği ile aalizii, elastik zemie otura plakları lieer olmaya aalizi ve elastik zemie otura yapıları hesap yötemlerie geel bir bakıģ yapılmıģtır. Aköz ve Kadıoğlu[4] elastik zemie otura doğru ve daire ekseli kiriģleri karıģık solu elema çözümüü gerçekleģtirmiģtir. Özga ve Daloğlu[5,1] elastik zemie otura kalı plaklar içi kayma kilitlemesiz bir solu elema modelii ve elastik zemie otura plaklar içi etkili zemi deriliğii icelemiģtir. KaraĢi ve Gülka[6] elastik zemilere otura plakları solu ızgara yötemi ile yaklaģık çözümüü icelemiģtir. Civalek ve Ülker[7] poliom diferasiyel quadrature(pdq ve solu farklar(sf metod çifti ile elastik zemie otura dikdörtge plakları geometrik bakımda lieer olmaya aalizi gerçekleģtirmiģtir. Bahçıva ve Karadağ[8] elastik zemi üzerideki çubuk uygulamalarıı serbest ve olieer titreģim aalizlerii icelemiģtir. Düzgü[1] elastik zemie otura sürekli temelleri kuvvet yötemi ile aalizii yapmıģ ve sayısal hesabı içi çeģitli bilgisayar programı algoritmaları oluģturmuģtur. Aydoğdu[14,16] yerel olmaya sürekli çubuk modeli ile aoçubukları ekseel titreģimii ve yerel olmaya elastikiyet kullaarak elastik ortamda gömülü aoçubuklar (karbo aaotüpler ekseel titreģim aalizi icelemiģtir. Kumar ad Sujıth[15] üiform olmaya çubuk ve boyua titreģim içi tam çözümleri icelemiģtir. Timosheko[17] mühedislik titreģim soruları kitabı ile titreģim teorisi üzerie güçlü ve moder hesaplama tekikleri taıtmıģtır. Rao[18] ve eissa ve Qatu[19] sürekli sistemleri titreģimi icelemiģtir. Heteyi[] elastik zemie otura kiriģleri araģtırmıģtır. Eiseberger[1] değiģke tek parametreli ve iki parametreli elastik zemie otura kiriģler içi titreģim frekaslarıı icelemiģtir. CoĢku[] bir gerilimsiz Wikler zemi üzerie otura bir kiriģi lieer olmaya titreģimleri araģtırmıģtır. Ayvaz ve Oguzga[3] elastik zemie otura kiriģleri değiģtirilmiģ Vlasov modelii uygulaması ile serbest titreģim aalizi yapılmıģtır. Avcar[5,8,3] elastik zemi üzeride bulua homoje olmaya elastik kiriģi stabilite ve titreģimii, elastik zemi üzeride bulua her iki ucu akastre mesetli rastgele ve sürekli homoje olmaya kiriģi serbest titreģimii ve farklı geometrik özellikleri ve sıır koģulları göz öüe alıarak kiriģleri serbest titreģim aalizii icelemiģtir. Sofiyev ve arkadaģları[6] bir Wikler zemide homoje olmaya kesik koik kabukları serbest titreģimi araģtırılmıģtır. Attarejad ve arkadaģları[7] elastik zemie otura kiriģleri iki parametreli farklı uygulama döüģümü ile TimoĢeko'u serbest titreģim aalizi yapılmıģtır. Sofiyev ve Avcar[9] Pasterak zemi ekseel yükü etkiside bir FGM katmaıa içerdiği silidirik kabukları stabilitesi araģtırılmıģtır. S S KESİT x k Şekil 1. Elastik zemie otura bir çubuğu kesiti II. MODA TĠTREġĠM FONKSĠYONU ġekil 1'de elastik zemie oturmuģ bir çubuk Ģematik olarak gösterilmiģtir. Elastik zemie oturmuģ, ekseel titreģim yapa bir çubuğu diferasiyel deklemi aģağıda verilmiģtir. u x ku = u m t (1 36

3 Bilecik Şeyh Edebali Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi, Cilt:, Sayı:1, 15 ISSN: ( Yukarıdaki deklemde E elastisite modülü, A e kesit alaı, k elastik zemi içi Wikler katsayısı, u yer değiģtirmeyi temsil ede foksiyo, x bağımsız değiģke ve m kütleyi göstermektedir. Çubuğu harmoik titreģim yaptığı kabulü yapılarak, aģağıdaki modal titreģim foksiyou seçilmiģtir. u(x (x cos( t ( (x fosiyou iki taesi rijit olmaya sıır koģullarıı da temsil etmek üzere üç değiģik formda aģağıda verilmiģtir. (x = x= (3 (x = x= (4 =1 (x = A si α x < x < (5 Burada Ģu taım geçerlidir, α = π III. STOKE DÖNÜġÜMÜ (6 Kurula modelde görüleceği gibi rijit olmaya sıır koģullarıı, problem çözümüe dahil etmek içi matematiksel bir döüģüm yapılması gereklidir. Bu çalıģmada Fourier siüs serisi, Stoke döüģümü ile birlikte kullaılarak hareketli sıır Ģartları da probleme dahil edilecektir. (5 deklemideki Fourier katsayısı A aģağıdaki Ģekilde yazılabilir. A = (xsi(α xdx (7 Yukarıdaki deklemi türevi alıırsa aģağıdaki deklem elde edilir. ' (x = α A cos(α x (8 = 1 Üsteki deklem Fourier cosiüs serileriyle gösterilebilir; (9 deklemideki ( = 1 f ' (x = + f cos(α x (9 f, f katsayıları aģağıdaki formdadır. f = ' (xdx = ( ( ( (1 f ' (x cos( xdx =1,,... (11 So olarak kısmi itegrasyo uygulaırsa; 37

4 Bilecik Şeyh Edebali Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi, Cilt:, Sayı:1, 15 ISSN: ( f (x cos( x (x si( x dx (1 f = ( 1 ( ( + α A (13 buluur. Yukarıda gerçekleģtirile iģlemler Stoke döüģümü olarak bilimektedir. Daha yüksek mertebeli türevler bezer Ģekilde buluabilir. Ġkici mertebede türeve kadar ola souçlar aģağıda suulmuģtur. d(x dx 1 cos( (( 1 x( A (14 d (x dx 1 si( (( 1 x( A (15 (, (3,(4,(5 ve (15 deklemleri (1 deklemide yerie yazılırsa; Fourier katsayısı A buluur. aģağıdaki gibi A ( ( 1 (16 k m IV. SINIR KOġUARI KiriĢi uçlarıda bulua elastik yaylar, problemi sıır koģullarıı da dikkate alıması ile aģağıda ki iki deklem elde edilmektedir. u x S x= (17 u x S x= (18 (, (14 ve (16 ifadeleri (17 ve (18 deklemleride yerlerie yazılırsa; x= ve x= oktaları içi aģağıdaki sosuz serilerde oluģa lieer deklem sistemi elde edilir. ( 1 S 1 ( K K (1 1 ( 1 ( K K (19 (1 1 ( 1 ( K K ( 1 S 1 ( K K ( Burada Ģu taımlar geçerlidir, λ K m ω (1 k ( 38

5 Bilecik Şeyh Edebali Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi, Cilt:, Sayı:1, 15 ISSN: ( S S S (3 S (4 (19 ve ( deklemlerii katsayıları aģağıdaki Ģekilde matris formuda gösterilebilir (5 Burada Ģu taımlar geçerlidir, 11 ( K ( 1 S 1 K (6 ( 1 ( K + λ Φ = (1 (7 1 = 1 π + K 1 ( 1 ( K ( 1 1 K (8 ( K ( 1 S 1 K (9 (5 deklemi bir özdeğer problemidir. özdeğerleri aģağıdaki Ģekilde buluur. det (3 V. ANAĠTĠK ÇÖZÜMER ve DEĞERENDĠRMEER A. Karşılaştırma Çalışmaları Bu alt bölümde; bulua katsayılar matrisii doğruluğu tahkik edilecektir. Ġlk olarak sıırlarda bulua yay parametrelerie sosuz büyük veya sıfır değerleri vermek suretiyle rijit sıır koģulları içi bulumuģ ola souçlarla karģılaģtırılacaktır. Eğer (5 deklemide bulua S ve S parametrelerie sosuz büyük değerler verilirse; iki tarafı akastre ola çubuk Ģartlarıa ulaģılır. Eğer (5 deklemide S büyük değer verilir, öte yada S sıfır alıırsa kosol çubuk Ģartlarıa ulaģılır. değerie sosuz Bu çalıģmada ilk olarak S = S =1 ve K= alıarak çözümler Tablo 1'de gösterilmiģtir. Ġkici durum içi bir kosol kiriģ icelemiģ. Tablo de ise parametreleri bir taesi sıfır alımak suretiyle akastre çubuk içi çözümler bulumuģ ve literatürdeki çalıģmalar ile karģılaģtırılmıģtır. 39

6 (TitreĢim Frekasları Bilecik Şeyh Edebali Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi, Cilt:, Sayı:1, 15 ISSN: ( Tablo 1. Ġki tarafı akastre ola çubuk içi karģılaģtırma Model Kumar ve Sujith Aydoğdu Bu (1997[15] (1[16] Çalışmada Tablo. Kosol kiriģ içi karģılaģtırma Model Kumar ve Sujith Aydoğdu Bu (1997[15] (1[16] Çalışmada Tablo 1 ve Tablo ' de görüleceği gibi K= olduğu durumlarda, makalede öerile yötem, literatürdeki diğer çalıģmalarla karģılaģtırıldığıda bezer souçlar elde edilmiģtir. B. Sayısal Souçlar ve Değerledirmeler Bu alt bölümde çeģitli örekler çözülerek zemi yatak katsayısı ve sıırlarda bulua yay parametrelerii ekseel titreģim frekaslarıa etkisi iceleecektir. Ġlk olarak S = S = 1 içi değiģik zemi yatak katsayıları kullaılarak titreģim frekasları hesaplamıģ ve ġekil 'de görüleceği gibi zemi yatak katsayısı arttıkça titreģim frekasları artmaktadır. 3,5 1,5 1, K(Zemi Yatak Katsayıları Şekil. Zemi yatak katsayısı ekseel titreģim frekası iliģkisi Ġkici örekte sabit zemi yatak katsayısı içi K=1, S = S 'i farklı değerleri içi 1 titreģim frekasları bulumuģ ve ġekil 3'de gösterilmiģtir. ġekil 3'de görüleceği gibi S ve S parametrelerii eģit olarak artması durumuda titreģim frekasları da lieer olmaya Ģekilde artmaktadır. 4

7 (TitreĢim Frekasları (TitreĢim Frekasları Bilecik Şeyh Edebali Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi, Cilt:, Sayı:1, 15 ISSN: ( 4, 4 3,8 3,6 3,4 3, 3,8, Š = Š (Yay Parametreleri Şekil 3. Sıır koģulları ekseel titreģim frekası iliģkisi Üçücü örekte farklı S = 3, S = 8 parametreleri ile, ilk iki (1 ve ( titreģim frekasları icelemiģ ve ġekil 4'de gösterilmiģtir. ġekil 4'de görüleceği üzere titreģim frekasları, zemi yatak katsayısıa bağlı olarak artmaktadır. 4,5 4 3,5 3,5 1,5 1, K(Zemi Yatak Katsayıları Şekil 4. Farklı yatak kat sayıları içi ilk iki 1 ve titreģim frekasları VI. SONUÇAR Bu çalıģmada ise rijit olmaya sıır koģulları içi ekseel titreģim frekaslarıı buluması içi matematiksel bir yötem geliģtirilmiģtir. Öe sürüle yötem hem rijit hem de rijit olmaya sıır koģullarıı mevcut olması durumuda kullaılabilmektedir. Modal titreģim foksiyou olarak fourier siüs serileri kullaılmıģ, sıır koģullarıı düzeltilmesi içi stoke döüģümüde yararlaılmıģtır. Bu döüģümlerii yapılmasıı temel edei sıır koģullarıı seçimide eseklik sağlamasıdır. x lik ve sosuz serilerde oluģa bir katsayılar matrisi bulumuģtur. Bu katsayılar matrisii öz değerleri bulumak suretiyle, titreģim aalizleri yapılabilmektedir. KAYNAKAR [1] Civalek, Ö., ad Demir, Ç., Elastik zemie otura kiriģleri ayrık tekil kovolüsyo ve harmoik diferasiyel quadrature yötemleriyle aalizi, BAÜ FBE Dergisi, vol. 11(1, pp , Temmuz. 9. [] Bozdoğa, K. B., Sezer, A., ad Aklık P., Elastik zemie otura kiriģleri taģıma matrisi yötemi ile birici ve ikici mertebe statik ve stabilite aalizi, S.Ü. Müh.-Mim. Fak. Derg., vol. 19(1, pp , ġubat. 4. [3] Çelebi, K., KeleĢ, Ġ., ad Tütücü, N., Homoje olmaya çubuğu zorlamıģ titreģim aalizi içi kapalıform çözümleri, Gazi Üiv. Müh. Mim. Fak. Der., vol. 7(4, pp , Ağustos. 1. [4] Akoz, A.Y., ad Kadıoglu, F., Elastik zemie otura doğru ve daire ekseli kiriģleri karıģık solu elema çözümü INfO Tekik Dergi, vol. 11, pp , Hazira

8 Bilecik Şeyh Edebali Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi, Cilt:, Sayı:1, 15 ISSN: ( [5] Özga, K., ad Daloğlu, A.T., Elastik zemie otura kalı plaklar içi kayma kilitlemesiz bir solu elema modeli, İMO Tekik Dergi, vol. 346, pp , Hazira. 11. [6] KaraĢi, A.H., Ö., ad GÜKAN, P., Elastik zemilere otura plakları solu ızgara yötemi ile yaklaģık çözümü, İMO Tekik Dergi, vol. 93, pp ,Eylül. 8. [7] Civalek, Ö., ad Ülker, M., Poliomal diferasiyel quadrature(pdq ve solu farklar(sf metod çifti ile elastik zemie otura dikdörtge plakları geometrik bakımda lieer olmaya aalizi, İMO Tekik Dergi, vol. 46, pp ,Mart.6. [8] Bahçıva, A., ad Karadağ, V., Elastik zemi üzerideki çubuk uygulamalarıı serbest ve olieer titreģim aalizi itü dergisi/d, vol. 4(4, pp , Ağustos. 5. [9] Civalek, Ö., Wıkler elastik zemie otura dairesel plakaları geometrik bakımda lieer olmaya diamik aalizi, Joural of Egieerig ad Natural Scieces Mühedislik ve Fe Bilimleri Dergisi, vol. 6/1, pp , Kasım. 5. [1] Özga K., Daloğlu A.T.,, "Elastik zemie otura plaklar içi etkili zemi deriliği", Atalya Yöresii İşaat Mühedisliği Soruları Kogresi, Atalya, Türkiye, pp , 1-3 Eylül 5 [11] Civalek, Ö., Elastik zemie otura kiriģleri oro-fuzzy tekiği ile aalizi, Zemi Mekaiği ve Temel Mühedisliği Yedici Ulusal Kogresi, Yıldız Tekik Üiversitesi,İstabul, Türkiye, pp.5-59, -3 Ekim [1] Düzgü, M., Elastik zemie otura sürekli temelleri kuvvet yötemi ile aalizi ve sayısal hesabı içi geliģtirile bilgisayar programı DEÜ FBE Dergisi, vol. 3(3, pp. 33-5, Ekim. 1. [13] Civalek, Ö., Elastik zemie otura plakları lieer olmaya aalizi, Türkiye Mühedislik Haberleri Dergisi, vol. 43 pp , Nisa. 4. [14] Aydogdu, M. Axial vibratio of the aorods with the olocal cotiuum rod model, Physica E, vol. 41 pp , Ocak. 9. [15] Kumar, B.M., ad Sujıth, R.I., Exact solutıos for the logıtudıal vıbratıo of o-uıform rods, Joural of Soud ad Vibratio, vol. 7(5 pp , Temmuz [16] Aydogdu, M., Axial vibratio aalysis of aorods (carbo aotubes embedded i a elastic medium usig olocal elasticity, Mechaics Research Commuicatios, vol. 43 pp. 34-4, ġubat. 1. [17] Timosheko, S.P., Vibratio Problems i Egieerig, D. Va Nostrad, Priceto, NJ, [18] Rao, S.S., Vibratio of cotiuous systems, Joh Wiley ad Sos td, 7. [19] eissa, A.W., Qatu, M.S., Vibratio of Cotiuous Systems, McGraw Hill, 11 [] Heteyi, M., Beams o Elastic Foudatio..The Uiversity Of Michiga Press. Michiga, U.S.A., 358p [1] Eiseberger, M., Vibratio frequecies for beams o variable oe-parameter ad two-parameter elastic foudatios, Joural of Soud ad Vibratio, vol.176(5 pp , Ekim [] CoĢku, I., No-liear vibratios of a beam restig o a tesioless Wikler foudatio, Joural of Soud ad Vibratio, vol. 36(3 pp , Eylül. [3] Ayvaz, Y. ad Oguzga, K., Applicatio of modified Vlasov model to free vibratio aalysis of beams restig o elastic foudatios, Joural of Soud ad Vibratio, vol.55(1 pp , Ağustos.. 4

9 Bilecik Şeyh Edebali Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi, Cilt:, Sayı:1, 15 ISSN: ( [4] Civalek, Ö., Elastik zemie otura yapıları hesap yötemlerie geel bir bakıģ, Türkiye Mühedislik Haberleri, vol. 43 pp. 45-5, 4/4. [5] Avcar, M., Elastik zemi üzeride bulua homoje olmaya elastik kirişi stabilite ve titreşimi, Yüksek isas Tezi, Süleyma Üiversitesi, Fe Bilimleri Estitüsü, ĠĢaat Mühedisliği Aabilim Dalı, Isparta, 7. [6] Sofiyev A.H., Avcar M., Ozyigit P., Adigozel S., The Free Vibratio of No-Homogeeous Trucated Coical Shells o a Wikler Foudatio, Iteratioal Joural of Egieerig ad Applied Scieces, Vol.1(1 pp ,Nisa.9. [7] Attarejad, R., Shahba, A., Jadaghi Semai, S., Applicatio of differetial trasform i free vibratio aalysis of Timosheko beams restig o two-parameter elastic foudatio, The Arabia Joural for Sciece ad Egieerig, vol.35(b pp, 15 13, Ekim.1. [8] Avcar M., Elastik zemi üzeride bulua her iki ucu akastre mesetli rastgele ve sürekli homoje olmaya kiriģi serbest titreģimi, Süleyma Demirel Üiversitesi Mühedislik Bilimleri ve Tasarım Dergisi, vol.1(1 pp, 33-38, 1. [9] Sofiyev A.H., Avcar M., The Stability of Cylidrical Shells Cotaiig a FGM ayer Subjected to Axial oad o The Pasterak Foudatio, Egieerig, vol. pp, 8-36, Nisa.1. Avcar M., Free Vibratio Aalysis of Beams Cosiderig Differet Geometric Characteristics ad Boudary Coditios, Iteratioal Joural of Mechaics ad Applicatios, vol. 4, 94-1,

10 Bilecik Şeyh Edebali Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi, Cilt:, Sayı:1, 15 ISSN: ( 44