18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005"

Gülbahar Karakaya
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi c lerii bulmak içi hagi deklem sistemii çözmek gereklidir? b) R 3 te (bu formda) bir hiperdüzlemi var olmayacağı bir örek veri. Ve bu formda birde fazla hiperdüzlemi olabileceği bir örek veri. c) Noktaları ya da oları koordiatlarıı hagi koşulları altıda bu dekleme sahip tek bir yaklaşık hiperdüzlem yoktur? a) i i2 i ( a, a,..., a ) koordiatlarıı cx cx = deklemii sağlamasıı istiyoruz. O zama çözmemiz gereke deklem sistemi Ac = dir: 2 2 ca + ca cx ca 2+ ca cx2 = =... ca + ca c x = b) Eğer P i oktalarıda biri orijise, verile formda hiçbir düzlem yoktur.r 3 te bir örek (,, ), (,, ) ve (,, ) oktalrı ile verilir: (tek) x 3 = düzlemi üzeridedirler ve bu düzlem olması gereke formda değildir. c) det A = tam olarak tek bir çözümü yoktur. Buu geometrik olarak alamı şudur ki P i oktaları R i (-)-boyutlu bir altuzayı üzeridedirler. 2 ( Pua) a) Pivot değişkelerie ve serbest değişkelere (bular ya da değerii alırlar) dikkat ederek Ax = içi tam bir özel çözümler kümesi bulu A = b) ve c) Bu özel çözümleri sıfır uzayı N(A) içi bir taba olduğuu ispatlayı. İspatlamaız gereke iki gerçek edir? Bular bu problemi b) ve c) kısımlarıdır. a) İlk satırı ikicide çıkarırsak, şu matrisi buluruz: Sayfa

2 U = (R satırca idirgemiş basaklı formuda, 5 değişerek olur.) Birici ve soucu pivot değişkeleri,, geri kalalar ise serbest değişkelerdir. Ax = i özel çözümleri 2 3 4,, dır. b) ve c) Bu üç vektörü doğrusal bağımsız olduklarıı ve sıfır uzayıı gerdiklerii ispatlamamız gerekiyor. İkici,üçücü ve dördücü koordiatları düşüdüğümüzde, buları sıfır yapa bir toplamlarıı katsayıları sıfır olmak zorudadır. Sıfır uzayıı boyutu üç olduğuda( A matrisii rakı 2 idi), vektörler sıfır uzayıı gerer. 3 ( Pua) a) Ax = b i çözümüü olmayacağı ve A T y = c i sadece bir çözümüü olacağı mx A matrisi ve b, c vektörleri arıyorum. Nede buları sağlaya A, b ve c yi bulamam? b) Size R m de b ve p vektörleri ile a, a 2,..., a doğrusal bağımsız vektörlerii vermiş olayım. Eğer p i, b i a lar tarafıda gerile altuzay üzerie bir izdüşümü olduğuu iddia edersem, buu doğruluğuu görmek içi hagi testleri uygularsıız? a) Ax = b i hiçbir çözümüü olmamasıı koşulu A ı sütu uzayıı m de daha T küçük olmasıdır. Aslıda, rak r < m. A y = c i tek bir çözümü olduğuda A T i sütuları bağımsızdır. Bu A T i rakı r = m dir demektir. Bu çelişki A, b ve c bulamayacağımızı kaıtlar. b) İki ifadeyi kotrol etmeliyiz: b-p vektörü a, a 2,..., a tarafıda gerile uzaya diktir ve p vektörü bu uzaydadır. Kotrol ettiğimiz ilk durumda a.( b p),..., a.( b p) skaler çarpımlarıı herbirii sıfır olup olmadığıa bakarız. İkici durumda ilk satırı a i leri koordiatları ve so satırı p ı koordiatları ola (+)xm matrisi düşüürüz. Acak ve acak yok etmei so aşamasıda so satır sıfır satırı olursa p vektörü a i leri germesidedir. Sayfa 2

3 4 ( Pua) a) 2 B = i determiatıı bulu b) A 5 e 5 lik A = 2 matrisi olsu. A-I i rakıı olduğua ve A ı 2 2 izii olduğua dikkat ederek A ı bütü beş özdeğerii bulu. c) A - i (,3) ve (3,) deki elemelarıı bulu. a) Determiatı bulmak içi ikici satırı bütü satırlarda çıkarırız. det B = det = det =. b) λ =,,,, 6. A-I ı bütü satırları bibrie eşit olduğuda rakı birdir. O zama 4 özdeğeri de sıfırdır. A ı özdeğerleri, A-I ı özdeğerlerii bir fazlasıa eşittir. O zama A ı özdeğeri dir dört katlıdır. A ı izi dur, öyleyse -4=6 bir özdeğerdir. c) A simetriktir, öyleyse A - de simetriktir. Kofaktör formülü şuu + 3 det B verir: ( A ) 3 = ( ), ve özdeğerlerii çarpımıa eşit oldupuda det A = 6. O det A halde A - i (,3) ve (3,) deki elemalarıı ikisi de -/6 dır diyebiliriz. 5 ( Pua) a) A ı özvektörleri x = (3,) ve x 2 = (2,) olacak şekilde A matrisii (verilmeye 2 elemaı bulu ) tamamlayı: 2 6 A = b) Özvektörleri ayı x, x 2 ola ve özdeğerleri λ = ve λ 2 = ola farklı bir B matrisi bulu. B edir? Sayfa 3

4 2 6 a) A matrisi A = 7. [ a b] A matrisii ikici satırı olsu. x özvektör olduğuda, 3 2 Ax = λx dir ve Ax = λ = 3a+ b. λ = 4 ve dolayısıyla 3a+ b= 4. Bezer şekilde, 2 x 2 özvektör olduğuda, Ax2 = λ2x2 dir ve Ax2 = λ 2 = 2a+ b. λ 2 = 5 ve dolayısıyla 2a+ b= 5. O zama a = ve b= 7. b) B = SΛS ki S matrisii sütuları x ve x 2 vektörleri, Λ da elemaları ve ola köşegeel matristir. B = = 3 2. Λ =Λ ve = Λ = Λ =. B S S S S B 6 ( Pua) z i i i Pz ( ) = c+ cz+ cz + czpoliomuu dört katsayısıı Pz i ( ) =,,, oktalarıdaki y, y 2, y 3, y 4 değerlerii bilirsek bulabiliriz. a) c, c, c 2, c 3 ü bulmak içi hagi deklemleri çözmek gerekir? b) Katsayı matrisii özel bir özelliğii yazı. c) O deklemlerdeki matrisi tersii alıabildiğii ispatlayı. a) Aşağıdaki deklemleri çözeceğiz: Katsayı matrisi de c + c+ c2 + c3 = y c + ic c ic = y c c+ c2 c3 = y3 c ic c + ic = y i i i i i F = = i i i i i i i i b) F i dik sütuları var ve simetrik. Ayı zamada bir Vadermode matrisidir: her sütu bir sayıı ilk dört katıı ( sıfırıcı kuvvette başlayarak) içerir. Sayfa 4

5 c) F i sütuları dik ve sıfırda farklı olduğu içi, matrisi tersi alıabilir. Tersi 4 F tür. Bu Vadermode matrisii determiatı, i, i 2, i 3 ü farklarıı çarpımıa eşittir. det F = ( i )( )( i)( i )( i i)( i+ ) = 6i. 7 ( Pua) S R 7 i 4-boyutlu altuzayı olsu. Ve P de S üzerie bir izdüşüm matrisi olsu. a) P i yedi özdeğeri elerdir? b) P i bütü özvektörleri elerdir? c) Eğer u () da başlayarak du Pu dt = (eksi işaretie dikkat) çözerseiz, t ike ut () i çözümü kararlı duruma yaklaşır. u( ) limit vektörüü taımlayabilir misiiz? a) P i yedi özdeğeri,,,,,, dır. b) özdeğerie bağlı özvektörler S i sıfırda farklı ola vektörleridir. özdeğerie bağlı S i dik bütüleyeideki sıfırda farklı vektörlerdir. c) Diferasiyel deklemi ut () t çözümü şu formdadır: ut () = ve + v2. Burada v S te bir vektör ve v 2 S i dik bütüleyeide bir vektördür. u( ) = v2 olduğuu söyleyebiliriz ve u() ı S i dik bütüleyeie dik izdüşümüe eşittir. 8 ( Pua) Favorim -, 2, - matrisi fazlada sıfırlarla birlikte aşağıdaki matrise dömüş olsu: a) Öyle bir P permütasyo matrisi bulu ki 2 2 A = T 2 B = PAP = 2 2 olsu. Sayfa 5

6 b) B i 4 özdeğeri elerdir? Bu matris köşegeleştirilebilir mi değil mi? c) A ı da B ile ayı özdeğerlere sahip olduğuu asıl bilebilirsiiz?o zama A pozitif belirlidir- öyleyse u, v,w, z i hagi foksiyou u=v=w=z= dışıda pozitiftir? a) P matrisi edebiliriz. olsu. P i aradığımız matris olduğuu kolayca kotrol b) B blok köşegeel matris olduğuda, özdeğerleri köşegeel blokları özdeğerleridir. Bizim sorumuzda, iki blok ayıdır ve her bloğu özdeğerleri 3 ve dir. O zama B i özdeğerleri 3, 3,, dir. c) P permütasyo matrisi olduğuda, diktir, bu yüzde P T =P - dir.b matrisi, bu yüzde A matrisi gibidir ve A ve B ayı özdeğerlere sahiptirler diyebiliriz. u, v,w, z i u=v=w=z= duurmu dışıda pozitif ola foksiyou ise u v u v w z A = 2( u + v + w + z uw vz) w. z [ ] ( Pua) a) Tekil A matrisii sıfır uzayıa dik ola bütü vektörleri taımlayı. Buu sıfır uzayıı hesaplamad yapabilirsiiz. 3 7 A = 2 4 b) Eğer A ı sütularıa Gram-Schmidt uygularsaız, hagi birim dikey vektörleri elde edersiiz? c) A ı idirgemiş LU çarpımıı L de sadece 2 sütu ve U da sadece 2 satır olacak şekilde bulu. a) A ı sıfır uzayıa dik ola vektörler A ı satırlarıdır. A ı tekil olduğuu bildiğimizde ve rakı olmadığıda, A ı rakı ikidir. İlk iki satır bağımsızdır, dolayısıyla A ı sıfır uzayıı dik bütüleyei şu iki vektör tarafıda gerilir: Sayfa 6

7 2 3 ve b) 2 2, ve vektörlerii elde ederiz. c) İdirgemiş LU ayrışımı, U daki sıfır satırıı görmezsek 3 7 A = Ara adımlar: Yok etmeyi uygulamaya başlarsak şuu buluruz: =, ve devam edersek = Bütü bilgileri birleşitirirsek =, ve sağdaki ilk iki matris çarparsak = Sodaki matrisi so satırı tamame sıfır olduğuda şöyle diyebiliriz Sayfa 7

8 = Bu A ı idirgemiş LU ayrışımıdır. L i sütularıı U u satırları ile çarparsak A = [ ] [ ] T ( Pua) A = UΣV tekil değer ayrışımıda 2 2 U = Σ= V = olsu. 2 2 a) A T A ı özdeğerlerii bulu. b) A ı sıfır uzayı içi bir taba bulu. c) A ı sütu uzayı içi bir taba bulu. d) A T u tekil değer ayrışımıı bulu. a) A T A ı özdeğerleri, köşegeleri,6,, ola 4x4 köşegeel matris ΣΣ T ı özdeğerleri ile ayıdır. b) N(A) sıfır uzayı V i so iki satırı tarafıda gerilir. c) A ı sütu uzayı U u ilk ikisütuu tarafıda gerilir, ve U u tersi alıabildiği içi bu iki vektör yie bağımsızdır. d) A T u tekil değer ayrışımıı A = ( V) Σ U T T T olarak yazı. Sayfa 8

Benzer belgeler

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay