Monte-Carlo simülasyonsuz-uç Değer Modelleme ile Kompozit Bir Plakanın Belirsiz Titreşim Sınırlarının Belirlenmesi

Transkript

1 Dokuz Eylül Üiversitesi-Mühedislik Fakültesi Fe ve Mühedislik Dergisi Cilt 0, Sayı 59, Mayıs, 018 Dokuz Eylul Uiversity-Faculty of Egieerig Joural of Sciece ad Egieerig Volume 0, Issue 59, May, DOI: /deufmd Mote-Carlo simülasyosuz-uç Değer Modelleme ile Kompozit Bir Plakaı Belirsiz Titreşim Sıırlarıı Belirlemesi Murat KARA 1,*, Abdullah SEÇGİN 1 Dokuz Eylül Üiversitesi, Mühedislik Fakültesi, Makia Mühedisliği Bölümü, 35397, İzmir(ORCID: Dokuz Eylül Üiversitesi, Mühedislik Fakültesi, Makia Mühedisliği Bölümü, 35397, İzmir(ORCID: (Alıış / Received: , Kabul / Accepted: , Olie Yayılama / Published Olie: ) Aahtar Kelimeler Özet: Belirsizliğe sahip titreşim sistemleride, cevap olasılıksal Belirsiz kompozit veya olasılıksal olmaya bazı simülasyo yötemleri ile plaka, hesaplaabilmektedir. Mote Carlo simülasyou bu amaçla e çok İstatistiksel kullaıla olasılıksal yötemlerde biridir. Acak bu yötem ile momet, isteile belirsiz cevap foksiyouu eldesi yüksek örekleme Uç değer tabalı modelleme, sayısı ve bua bağlı olarak uzu hesaplama süreleri Mote Carlo gerektirmektedir. Bu çalışmada, çeşitli belirsiz plaka simülasyou parametrelerie sahip simetrik katmalı bir kompozit plakaı serbest ve zorlamış titreşim cevabıı sıırları bir Mote-Carlo simülasyosuz-uç değer model kurularak elde edilmiştir. Kurula model kompozit yapıı diferasiyel deklemii istatistiki çözümüe dayamaktadır. Deklem çözücü olarak ayrık tekil kovolüsyo yötemi başarı ile kullaılmıştır. Elde edile souçlar Mote Carlo simülasyoları ile sıaarak, suula metodolojii doğruluk ve çözüm süresi bağlamıdaki verimi açıkça ortaya komuştur. Determiatio of Ucertai Vibratio Bouds of a Composite Plate via a Extreme Value Model-without Mote Carlo simulatio Keywords Abstract: I vibratio systems havig ucertaity, the respose Ucertai ca be predicted via some probabilistic ad o-probabilistic composite plate, simulatio techiques. Mote Carlo simulatio is oe of the most Statistical commoly used probabilistic techiques for this purpose. momet, However, obtaiig ucertai respose fuctio with this method Extreme value based modelig, requires large umber of samplig, thus loger computatio Mote Carlo times. I this study, the bouds of free ad forced vibratio simulatio respose of a symmetrically lamiated composite plate with various ucertai plate parameters are estimated by costructig a extreme value model without Mote-Carlo simulatio. As a equatio solver, discrete sigular covolutio method is successfully used. Predicted results are tested by usig covetioal Mote-Carlo simulatios to clearly show the efficiecy regardig o the accuracy ad the computatio times of the proposed methodology. *Sorumlu yazar: kara.murat@deu.edu.tr

2 1. Giriş Kompozit yapıları titreşim aalizleri, geellikle birkaç deey soucuda ortalama olarak belirlemiş malzeme özellikleri ve yükleme koşulları altıda yapılmaktadır. Belirlee malzeme özellikleri yükleme ve sıır koşulları ayı hatta üretile ürülerde dahi küçük değişimler gösterebilir. Bu durum sistemi diamik cevabıda belirsizliğe ede olabilmektedir [1]. Belirsizlik, malzemei içyapısıdaki değişkeliklerde, söüm ve geometrideki küçük farklılıklarda, zorlama veya sıır koşullarıı değişimide kayaklaa kotrol edilemeye değişkelikler olarak taımlaır. Bu değişkelikler özellikle yüksek frekaslı zorlamaya maruz yapılarda gözde kaçırılmamalıdır. Özellikle so yıllarda, yapılardaki bu belirsizlikleri icellemesi (ucertaity quatificatio) ve yayıımıı alaşılabilmesi (ucertaity propagatio) içi pek çok çalışma yapılmaktadır. Bu çalışmalarda olasılıksal ve olasılıksal olmaya başlıkları altıda çeşitli yötemler geliştirilmiştir. Olasılıksal yötemler basit olarak, sistemi belirsiz girdi değişkelerii istatistiki dağılımı biliirse, sistemi cevabı olasılık teorisi kullaılarak yie istatistiki olarak elde edilebilir kabulüe dayamaktadır [ 6]. Mote Carlo simülasyou bu amaçla, geellikle uygu bir aaliz tekiği (solu elemalar yötemi, solu farklar yötemi vb.) ile birlikte kullaıla e yaygı olasılıksal yötemlerde biridir. Yötemi başarısı örekleme sayısı ile yakıda ilgilidir. Acak yüksek örekleme sayısı yüksek hafıza ihtiyacı ve uzu hesaplama süreleri alamıa gelmektedir. Bu edele yie ayı yardımcı aaliz tekikleri ile birlikte kullaılabile ve daha hızlı souç verme yeteeğie sahip çokterimli (poliom) kaos açılımı (ÇKA) yötemi ilgi görmeye başlamıştır [5,6]. Bu yötemde, belirsiz değişkeleri dağılımı bir çokterimli olarak modelleir ve sistem cevabı yie bezer çokterimli katsayıları ciside ifade edilir. Bu yötemde, dağılım tipi içi uygu çokterimli tipi kullaılmaması durumuda hesaplama süreleri ve buu yaıda belirsizlik hesabıdaki hata miktarı artmaktadır. Buu yaıda daha az sayıda Mote Carlo simülasyou kullaarak sıır değer tahmii yapabile uç değer teorisi (UDT) tabalı modelleme belirsiz titreşim problemlerii sıırlarıı belirlemeside başarı ile uygulamıştır [7 11]. Bu çalışmada, sözü edile yötemlere bir alteratif olarak, belirsiz yapıları diferasiyel deklemlerii istatistiki olarak çözümleyebile ve bu istatistiki cevapları sıır değerlerii tahmi edebile Mote-Carlo simülasyosuz bir uçdeğer model geliştirilmiştir. Öerile yaklaşım söüm, kalılık ve özgül hacim gibi belirsiz parametrelere sahip simetrik katmalı bir kompozit plakaı serbest ve zorlamış titreşim sıırlarıı tahmi edilmesi problemie uygulamıştır. Suula metodoloji çözüm süresi ve hafıza ihtiyacı gibi kısıtlara sahip ola Mote Carlo simülasyo verilerie ihtiyaç duymamaktadır. Suula yötemle elde edile souçlar Mote- Carlo yötemi ile sıaarak tekiğii kabiliyeti ortaya koulmuştur.. Matematiksel Formülasyolar.1. Simetrik katmalı bir kompozit plakaı eğilme titreşimlerii diferasiyel deklemi frekasıa sahip harmoik oktasal bir dış kuvvete maruz simetrik katmalı bir kompozit plakaı eğilme titreşimlerii diferasiyel deklemi şu şekilde ifade edilir [1]: 510

3 4 4 w( x, y, t) w( x, y, t) 11j D11 4D x x y 4 4 w( x, y, t) w( x, y, t) D1 D66 4D 6 3 x y xy D 4 w( x, y) w( x, y, t) h y t 4 jt F0e x x0 y y0 Burada, δ δ (1) F 0 zorlamaı geliğii, j 1, t δx x δ y y, kuvveti x, y uygulama koumudaki oktasallığıı ifade ede Dirac-delta foksiyouu, w eğilme titreşimii, plakaı yapısal söümüü, birim ala içi kütlesii, kalılığı, (, D 1, D 16 x 0, y 0 ) zorlama oktasıı, D 6 ve D 66 h plakaı toplam, D 11 kompozit plakaı eğilme rijitliklerii göstermektedir. Eğilme rijitlikleri, plakaı orta oktasıa göre her bir katmaı pozisyouu bir foksiyou olarak yazılır [1]: N m mk k k1 hl k 1 hl k 3 3 D Q () 3 Burada, l h k göre koumuu, k katmaıı orta eksee k Q mk ise k katmaıdaki fiber açısıı, ise k katmaı içi diregelik matriside hesaplaa Q matrisii (m, ) elemaıdır. Q matrisii hesaplaması içi daha detaylı açıklamalar referas [1] de alıabilir. Her bir katmadaki kalılığı eşit olduğu kabulü yapılırsa, Deklem () plakaı toplam kalılığı (h) ciside şu şekilde yazılabilir: D N 3 h 1 k Q k1 3 N m mk k 3 1 k 1, m, 1,,6 (3) N Deklem (1) zama bağımsız olarak, belirsiz söüm R 1 1j, belirsiz kalılık r h ve belirsiz özgül hacim 1 ciside rastgele dağılımlı olarak yeide yazılırsa 4 4 h, w ( x, y) h, w( x, y) R r D11 4D x x y 4 4 h, h, w ( x, y) h, w ( x, y) D1 D66 4D 6 3 x y xy w ( x, y) y 4 h, D w x y 4 r F 0 x x 0 y y 0 (, ) δ δ. (4) h şeklide stokastik (olasılıksal) diferasiyel deklem elde edilir. Burada h, D D h. ij ij Basit meset sıır koşulua sahip ice bir kompozit plaka içi aalitik doğal frekas ( a ), a h a h ab 4 D11 m D1 m h ab h b 4 4D66 m D 3 (5) ile ifade edilir [13]. Burada, a ve b plakaı kear uzuluklarıı göstermektedir. Bir dış kuvvet altıda, sistemi yerdeğiştirme cevabı ise mod süperpozisyo tekiği yardımıyla şu şekilde belirleebilir: m w( x, y) Wm si x si y m1 1 a b. (6) 511

4 M. Kara vd. / Belirsiz Kompozit Bir Plakaı Titreşim Sıırlarıı İstatistiksel Momet Tabalı Bir Yaklaşım R r (D I 4D D D Burada, m, =1,,3, ve Wm h, 1 4F m si x si y ab a 0 b 0, 1 1 j D h 4 m m D D11 D1 a a b m 4D66 D a b b (7) 4. W (Rir ) Mr kr Mr ( ) kr G W Rir kr. (8) (9) exp (Rir Rkr ) h, 16 y h, 66 x 3x 1y y. (10), ile ifade edilir. Burada, üiform dağılımlı ayrıklama (diskretizasyo) oktalarıı arasıdaki uzaklıktır. Ix I y W X,Y 0 Burada, belirsiz özdeğerleri, (r ). derecede DSC karakteristik matrisii, Ir birim matrisi ve Kroeker çarpımı göstermektedir. Bu metodu detaylı uygulamaları içi Referas [14,15] iceleebilir. Deklem (11) basit olarak şu şekilde gösterilebilir: Z 11 Dx44 4Z16 Dx43 y Z1 Z 66 Dx4 y 4Z 6 Dxy4 3 Z D4y4 W 0 (1) Zij R r Dijh,, D43 3x 1y, x y D4 x y, D4 3 1x 3y ve xy xy D44 Ix 4y dır., Ayrıca, y N x N y elemada oluşa diyagoal bir matristir ve Deklem (1) de sadelik amacıyla gösterilmemiştir..3. Rastgele değişkeli ice plakalar içi istatistiksel momet ifadeleri A ve B istatistiksel değişkeleri toplamlarıı ve çarpımlarıı varyası şu şekilde taımlaır [16]: (a1 A mb1 B ) a1 A b1 B ma1b1 cov(a,b) Deklem (9), Deklem (4) ü homoje formu (serbest titreşim aalizi) içi uygulaırsa, sıır koşullarıı uygulamasıda sora N x N y boyutua sahip bir matris deklem sistemi elde edilir: (11) Dx44 4x I y, d si π Rir Rkr dr π R R ir kr 4 x Burada, (i,j=1,,6) içi Burada, ir 0,1,,L, Nr 1 tamsayıları, r: x, y e göre yöleri, R: x,y yölerideki X, Y ayrık koordiatları, Nr ve Mr ise sırasıyla plakaı r yöüdeki yapısal ve yardımcı oktalarıı sayısıı göstermektedir. Gk( r ) ise Gk( r ) h, 11 h, 1 h, 4D6 x 3y D Ix 4y ).. Belirsiz değişkelere sahip ice plakalar içi Ayrık Tekil Kovolüsyo (DSC) Yötemi DSC tekiğide, bir W foksiyou ve ou. derecede türevi sayısal olarak şu şekilde ifade edilebilir [14,15]: ( ) (A B) A B B A A B (13) (14) Burada, stadart sapmaı ( ) karesii yai varyası, a1 ve b1 sabit sayıları, üst çizgi ise istatistiksel değişkei ortalama değerii ve cov ise kovaryası göstermektedir. Kovaryas 51

5 cov(a,b) AB AB. (15) olarak taımlaır. Deklem (14) kullaılarak Deklem (1) i varyası şu şekilde elde edilir: T IW T I W W 0, (16) T I T I W burada, T Z D 4 4Z D 3 Z D 11 x 16 x y 1 x y Z 66 D 4 Z 6 D 3 Z D 4. (17) x y xy y Tüm istatistiki parametreleri birbirleride bağımsız olduğu kabul edilirse, Deklem (16) aşağıdaki koşulları sağlaması ile çözülebilir: i. T ii. T 0, (18) 0. (19) T Deklem (18), ortalama doğal frekasları elde edilmesi amacıyla kolaylıkla çözülebilirke, Deklem (19), Deklem (13) yardımıyla aşağıdaki gibi yazılabilir: I T T I T cov, (0) D Z 16D T x x y Z Z x y 1 Z66 4D Z D 4 xy 6 y Z 16 D (1) D R r Zij ij r R R r R r R r Dij r R R r () olarak elde edilir. Doğal frekasları istatistiki parametreleri hesaplaırke, Deklem () de söüm katsayısı (R) i belirsiz olmadığı uutulmamalıdır. Tüm istatistiki parametreleri bağımsız olduğu kabul edildiğide (yai cov T, 0 ), Deklem (0) I 0, (3) T T şeklie döüşür. Deklem (3) ve Deklem (18) kullaılarak aşağıdaki eşitlik elde edilebilir; T eig. (4) T Burada, eig(.) paratez içideki ifadei özdeğerlerii ifade eder. matrisi ise doğal frekasları varyaslarıı diyagoal elemalar üzeride buludura matristir. Deklem (4) de hesaplaa değerler kullaılarak rezoas geliğideki ve rezoas frekasıdaki stadart sapma değerleri şu şekilde hesaplaabilir: Wa % W a %, (5) i. (6) p Burada i, p. tahrik edile doğal frekasa tekabül ede bir tamsayıdır ve elema elemaa bölümü göstere bir semboldür. % ise ve Z ij ise Deklem (14) kullaılarak:.4. Uç değer tabalı modelleme Uç değer teorisi (UDT) [17] bağımsız ve bezer olarak dağılımlamış rastgele bir değişkeler dizisii U i, 513

6 V max U1, U, K U özelliğie sahip V değişkeii istatistiki özelliklerii taımlaya bir teoridir. Uç-değer aalizii öemli bir özelliği, bir rastgele değişkei belirli bir sıır değerii zp ( ) V (quatile) aşma olasılığıı p (exceedace probability) tahmi Pr V z( p) p edilmesidir, yai şeklide formüle edilebilir (Burada Pr ögörülme foksiyoudur). Stabil bir dağılımı üç asimptotik dağılım tipleride birie aittir. Bular Tip I: Gumbel dağılımı, Tip II: Fréchet dağılımı veya Tip III: Weibull dağılımıdır. EV modeli kurulmada öce, verileri Tip 1 e uyguluğu Hasofer Wag hipotezi testi [18] ile gösterilmelidir: k( U Uk ) H k ( k 1) ( U U ) i1 i k Burada, j1 j ve U j V (7) U U / k ile ifade edilir verii öreklemii azala olarak sıralamış j. terimidir. Bu test ile hesaplaa H değeri Referas [19] de verile ve değerlerii arasıda H U olmalıdır. H L Pratik bir sıır belirleme işlemi eşik aşma uç değer modeli kullaılarak oluşturulabilir. Sıır, m-gözlemsel geri döüş düzeyi u m (m-observatioal Retur Level u m ) ciside verii her bir m gözlemii ortalama olarak belirlee düzeyi geçtiği değer olarak belirleir. Fiziksel bir sıırı var olduğu durumlarda elde edilecek ola sıır gerçek fiziksel sıırı bir yaklaşımıdır. Acak fiziksel bir sıır yoksa rastgele belirsiz yapılar içi belirli bir sıır aramak alamlı değildir. Bu durumlarda istatistiksel ölçüler belirlemek daha uygudur. Bir Tip 1 eşik modeli içi m-gözlemsel geri döüş düzeyi şu şekilde yazılabilir [0]: u m mk um t log r. (8) Burada m sıır tahmilemei yapıldığı yığı boyutuu, modeli kalibre ede veri örek boyutuu, k e üst-derece istatistiği, t ve ise model parametrelerii ifade etmektedir. Tip 1 e ait bir uç-değer modeli şu adımlarla kurulabilir: 1) Her bir modal veri içi az sayıda veri öreklemii kullaılması ( m ). ) Optimum e üst derece istatistiğii ile hesaplaması. 3) Eşik değerii (r) k. azala e üst derece istatistiği olarak seçilmesi ( u ). k 1.5 r 4) Modal parametre (t) içi maksimum olasılık belirleyicisii hesaplaması: k tˆ 1/ k u - r. (9) j1 j Bua göre, Deklem (8) de verile sıır değeri tahmileyicisi şu şekilde yeide yazılabilir: ) ˆ mk q( m) t log uk. (30) Tahmileyici içi yaklaşık güve aralığı şu şekilde elde edilebilir: k 1 t ˆ u q c m C k k 6 1 k. (31), Burada, logkm ˆ c qˆ e q, e=,718 dir. C k1 k ve 1 514

7 3. Sayısal Çalışmalar Bu bölümde, belirsiz plaka 0,90,0,90,0 parametrelerie sahip yösellikli, simetrik katmalı bir kompozit plakaı serbest ve zorlamış titreşimlerii sıır değerlerii buluması amaçlamıştır. Plakaı fiziksel ve mekaik özellikleri Tablo 1 de suulmuştur. Tablo 1 de belirsiz değişkeleri rastgele üretilmiş stadart sapmaları da verilmiştir. Bu çalışmada, tüm belirsiz değişkeleri Normal dağılıma sahip olduğu kabul edilmiştir. Normal dağılım fiziksel parametrelere uyguladığıda pozitif değerler olarak türetilmiştir. Bu bölümde yapıla çalışmaları takip etmeyi kolaylaştırmak amacıyla sıralarsak: Bölüm 3.1: Doğrulama çalışması içi, kompozit plakaı doğal frekasları DSC yötemi ile hesaplamış ve aalitik souçlar ile karşılaştırılmıştır. Burada DSC yötemi ile farklı ayrıklama sayılarıda doğal frekaslar hesaplaarak hata değeri-elema sayısı bakımıda e uygu ayrıklama sayısı elde edilmiştir. Ayrıca plakaı orta x, y 0.5,0.5 ) oktasıda ( 0 0 zorlama durumu içi yie plakaı orta oktasıı titreşim yerdeğiştirmefrekas cevabı aalitik çözümler ile karşılaştırılarak doğrulama çalışması tamamlamıştır. Tablo 1. Plakaı fiziksel ve mekaik özelliklerii ortalama ve stadart sapmaları Özellik Ortalama Stadart sapma x yöüdeki Youg modülü ( ) [GPa] 39 0 y yöüdeki Youg modülü ( Kayma modülü ( G xy E x E y ) [GPa] 8,6 0 ) [GPa] 3,8 0 x yöüdeki Poisso oraı ( ) 0,8 0 Özgül hacim (1/ ) [m 3 / kg] 4,76E-04,381E-05 Kalılık ( h ) [m] 5,00E-03 5,00E-05, Kear uzulukları ( ab) [m x m] 1 x 1 0 Yapısal söüm ( ) 0,0 6,00E-04 Bölüm 3.: Belirsiz kalılık ve özgül hacim parametreleride 00 öreklem türetilerek belirsiz plakaı doğal frekaslarıı ortalama ve stadart sapma değerleri Mote Carlo simülasyou ile belirlemiştir. Ayrıca doğal frekasları ortalamaları ve stadart sapmaları suula yötem ile hesaplamıştır. Daha sora hesaplaa ortalama ve stadart sapma değerleri kullaılarak her bir mod içi doğal frekaslar ormal dağılıma uygu olarak türetilmiştir. Türetile bu doğal frekaslar içi bir uç değer tabalı model kurulmuş ve doğal frekasları üst ve alt sıırları elde edilerek souçlar Mote Carlo simülasyou ile karşılaştırılmıştır. Bölüm 3.3: Bu bölümde ise, plakaı zorlama oktası titreşim yerdeğiştirme cevabıı rezoas frekaslarıdaki geliğii ortalama ve stadart sapma değerleri suula metodoloji ile elde edilmiştir. Daha sora rezoas frekasıdaki gelik değerleri yie, istatistiksel verileri kullaılması ile türetilmiştir. Türetile öreklemler yardımıyla bir uç değer modeli kurulmuş ve souçlar Mote Carlo simülasyou ile karşılaştırılmıştır. 515

8 3.1. DSC yötemii doğrulaması Bu bölümde, DSC yötemii hassasiyeti aalitik hesaplamalarla karşılaştırılarak gösterilmiştir. İlk olarak basit meset koşullarıa sahip bir kompozit plakaı doğal frekasları farklı ayrıklama sayıları içi hesaplamış ve Deklem (5) ile elde edile aalitik souçlarla karşılaştırılarak % hata değerleri bazı modlar içi Tablo de suulmuştur. Burada doğal frekas hesaplamalarıda yapıı söüm değeri DSC ile hesaplamalarda göz öüe alımamıştır. Tablo. Farklı ayrıklama sayıları içi hesaplaa doğal frekaslar ve hata değerleri Mod Sayısı Aalitik NxxNy 11x11 % Hata NxxNy 1x1 % Hata NxxNy 31x31 % Hata NxxNy 41x41 % Hata 1 1,953 1,999 0,357 1,953,1E-04 1,953 1,7E-06 1,953 6,E-08 9,546 9,557 0,038 9,546 1,E-05 9,546 8,1E-08 9,546,5E ,196 39,196 0,000 39,196 1,E-05 39,196 1,1E-07 39,196 4,E ,810 51,805 0,011 51,810 1,6E-05 51,810 1,4E-07 51,810 5,7E ,457 59,518 0,103 59,457 9,8E-06 59,457 7,9E-08 59,457 3,1E ,003 78,04 0,050 78,003 3,1E-06 78,003,9E-08 78,003 7,6E ,101 84,186 0,10 84,101 4,9E-06 84,101 4,0E-08 84,101 1,9E ,65 94,75 0,077 94,65 1,1E-06 94,65 8,0E-09 94,65 7,E ,905 10,358 0, ,905 1,0E ,905 6,9E ,905 5,E , ,663 0, ,573,6E ,573,1E ,573 1,E , ,574 0, ,183 3,1E ,183,8E ,183 8,1E , ,857 0, ,178 8,6E ,178 8,1E ,178 8,4E ,96 15,655 0,36 15,96 4,5E-07 15,96 3,1E-09 15,96 3,7E , ,4 0, ,665 1,5E ,665 1,1E ,665 6,0E ,78 159,539 1, ,78 1,8E ,78 1,6E ,78 3,8E ,65 174,90 1, ,65 6,4E ,65 6,0E ,65 1,0E , ,475 0, ,878 6,1E ,878 5,7E ,878 7,4E ,8 04,590 1,168 0,8 8,9E-07 0,8 6,9E-09 0,8 4,1E ,41 07,975 0,354 07,41 1,0E-06 07,41 9,0E-09 07,41,1E ,668 3,640 4,011 3,668 4,5E-07 3,668 1,4E-09 3,668 1,5E , ,97 7, ,537,5E ,537 1,8E ,537 1,3E ,60 46,69 13, ,61 3,0E ,60,4E ,60 6,3E , ,305 14, ,949,9E ,948 1,E ,948 6,E-11 Tablo de açıkça görüldüğü gibi, özellikle yüksek ayrıklama okta sayılarıda, hesaplaa doğal frekaslar ile aalitik souçlar birbirleriyle oldukça uyumludur. Bu souçlar icelediğide, N N 1 1 ayrıklama sayısıı 1- x y 500Hz iceleme aralığıda oldukça yeterli olduğu görülmüş ve ilerleye aalizler içi bu ayrıklama sayısı seçilmiştir. Ayrıca hesaplamalarda, DSC parametresi M N 1 olarak seçilmiştir. r Bir diğer doğrulama çalışması olarak plakaı orta oktasıda zorlaması durumuda, zorlama oktasıı titreşim r 516

9 yerdeğiştirme cevabı Hz arası içi belirlemiş ve aalitik souçlarla karşılaştırılmıştır (Şekil 1). Şekil 1 icelediğide yie DSC yötemii aalitik souçlarla oldukça uyumlu souçlar verdiği görülmektedir. Şekil 1. Zorlama oktası yerdeğiştirme frekas cevabı 3.. Belirsiz Serbest Titreşim Aalizi Doğal frekasları istatistiksel mometleri ve belirsizlik sıırlarıı tayii Bu bölümde, öcelikle belirsiz özgül hacim ve belirsiz kalılığa sahip simetrik katmalı bir kompozit plakaı doğal frekaslarıı istatistiksel mometleri suula metodoloji ile elde edilmiş ve geleeksel Mote Carlo simülasyou ile karşılaştırılmıştır. Mote Carlo simülasyou içi öreklemler ormal dağılımı karakterii doğru bir şekilde ortaya koyma amacıyla iki stadart sapma (% 91 olasılık) ile türetilmiştir. Hesaplaa ortalama doğal frekaslar ve stadart sapmaları Tablo 3 de suulmuştur. Tablo 3 de görüldüğü gibi, suula yaklaşımı souçları Mote Carlo simülasyou ile elde edile souçlarla oldukça uyumludur. Belirsiz doğal frekasları sıırlarıı tahmii içi elde edile doğal frekas istatistiksel mometleri (ortalama ve stadart sapma) kullaılarak Normal dağılıma göre her bir mod içi 00 adet öreklem türetilmiştir. Türetile öreklemler kurula uç-değer modelie aktarılarak belirsiz doğal frekasları alt ve üst sıırları Deklem (30) da verile Weisma tahmileyicisi ile hesaplamıştır. Uç değer modeli kurulmada öce türetile verileri Bölüm.4 de belirtildiği gibi Tip 1 e uyguluğu çeşitli modlar (1., 5., 10., 30., 40. ve 50. modlar) içi Hasofer-Wag testi ile oaylamıştır (Şekil ). Şekil 3 de plakaı belirsiz doğal frekaslarıı alt ve üst sıırları güvelik sıırları ile birlikte Mote Carlo simülasyo souçları ile karşılaştırılmıştır. Mote Carlo simülasyou 1,97 s de tamamlaırke, öerile tekik ile 0,65 s de doğal frekasları alt ve üst sıırları, güvelik sıırları ile birlikte hesaplamıştır. Doğal frekasları alt sıırlarıı belirlemesi sırasıda türetile 00 adet doğal frekas öreklemi büyükte küçüğe göre 517

10 yerie küçükte büyüğe göre sıralamıştır. Tablo 3. Doğal frekasları ortalama ve stadart sapmalarıı karşılaştırılması Doğal frekasları Doğal frekasları ortalamaları [Hz] stadart sapmaları Mod sayısı Suula Metodoloji Mote Carlo Suula Metodoloji Mote Carlo 1 1,956 1,9316 0,4061 0,6198 9,5458 9,4980 1,1310 1, , ,131 1,644 1, ,810 51,764 1,8034, , ,3609,4651, , ,8773,7474 3, , ,9646 3,6549 4, , ,4987 3,8515 4, , ,7403 4,89 4, , ,3845 4,538 5, , ,99 4,5531 5, , ,9397 5,041 7, ,963 15,0499 6,4975 7, , ,4116 6,6746 7, , ,584 6,8461 7, , ,3471 7,134 8, , ,5934 7,4057 8, ,77 01,9005 7,4470 9, ,410 06,9058 7,697 9, ,6683 3,3065 7, , , ,053 1,003 15, , ,961 16,30 19, , ,1436 0,6584 3,

11 Şekil. Hasofer-Wag test souçları a) mod 1, b) mod 5, c) mod 10, d) mod 30, e) mod 40 ve f) mod 50 (çizgi: üst ve alt sıırlar, okta: veri örekleri). 519

12 Şekil 3. Belirsiz doğal frekaslar ve sıırları a) 1-5. mod b) mod (gri çizgiler: Mote Carlo simülasyou, siyah çizgi: suula metodoloji ile elde edile sıır değerleri, oktalı siyah: suula metodoloji ile elde edile sıırları güvelik sıırları) Şekil 3 suula metodoloji ile elde edile belirsiz doğal frekasları alt ve üst sıırlarıı Mote Carlo simülasyou yapmada başarılı bir şekilde edilebildiğii açıkça ortaya koymaktadır Titreşim yerdeğiştirme cevap sıırlarıı belirlemesi Bu bölüm, belirsiz söüm, kalılık ve özgül hacme sahip plakaı orta oktasıda zorlaması durumuda bu oktaı belirsiz cevap geliğii üst sıır değerlerii hesaplamasıı içermektedir. Deklem (5) ve (6) kullaılarak elde edile istatistikler uç değer modelie göderilerek orta okta zorlamasıda uyarıla rezoas frekaslarıı ve bua karşılık gele rezoas geliklerii sıırları elde edilmiştir. Uç değer modeli kurulması sırasıda Hasofer-Wag testi bu yei 50

13 veriler içi tekrarlamış fakat Bölüm 3.. de elde edile souçlar ile bezer souçlar elde edildiğide bu bölümde suulmamıştır. Souçlar Şekil 4 de Mote Carlo simülasyou souçları ile birlikte gösterilmiştir. Elde edile sıırları Mote Carlo verilerii hem düşük hem de yüksek frekaslarda oldukça güveli şekilde sardığı açıkça görülmektedir. Buu yaıda Mote Carlo simülasyou ile yapıla aalizler 334, saiyede tamamlaırke, kurula metodoloji ile tahmi yalızca 35,9 saiye sürmüştür. Souçlar irdelediğide ise yüksek frekaslı titreşimlerde belirsizlikleri cevap üzeride daha etkili olduğu görülmektedir. Şekil 4. Belirsiz deplasma frekas cevabı a) Hz b) Hz (gri: Mote Carlo simülasyou, kesikli siyah: geliği sıırı, : frekas sıırı, siyah: gelik zarf eğrisi) geliştirile ve bu çalışmada suula Souç olarak, istatistiksel mometler ve yaklaşım, belirsizliklerii tahmiide uç değer modelie dayalı olarak 51

14 Mote Carlo simülasyoua oldukça güçlü bir alteratiftir. 4. Tartışma ve Souç Bu çalışmada, söüm, kalılık ve özgül hacim belirsiz parametrelerie sahip simetrik katmalı kompozit bir plakaı doğal frekaslarıı ve titreşim yerdeğiştirme cevabıı sıırlarıı belirleebilmesi içi olasılıksal bir yaklaşım geliştirilmiştir. Bu yaklaşım yüksek çözüm süresi ve hafıza kısıtlarıa sahip Mote Carlo simülasyoua ihtiyaç duymaya istatistiksel mometler ve uç değer modelie dayalı bir yaklaşımdır. Yötem stokastik diferasiyel deklemi istatitistiki parametrelere göre ayrık tekil kovolüsyou yötemi ile başarılı bir şekilde elde edilmiştir. Yaklaşım soucu elde edile souçlar geleeksel Mote Carlo simülasyo souçları ile karşılaştırılarak, suula metodolojii yeteekleri ortaya komuştur. Bu souçlar öerile tekiği hesaplama süresi ve doğruluk açısıda belirsizlik aalizleride Mote Carlo simülasyoua göre oldukça güçlü bir alteratif olarak kullaılabileceğii açıkça göstermiştir. Kayakça [1] Fahy, F.J Statistical Eergy Aalysis: A Critical Overview, Philosophical Trasactios of the Royal Society of Lodo A: Mathematical, Physical ad Egieerig Scieces, Cilt. 346, s doi: /rsta [] Evas, M., Swartz, T Approximatig Itegrals via Mote Carlo ad Determiistic Methods, OUP Oxford. [3] Rubistei, R.Y., Kroese, D.P Simulatio ad the Mote Carlo Method, Joh Wiley & Sos. [4] Ghaem, R.G., Spaos, P.D Stochastic Fiite Elemets: A Spectral Approach, Courier Corporatio. [5] Sepahvad, K., Marburg, S., Hardtke, H.-J Numerical solutio of oe-dimesioal wave equatio with stochastic parameters usig geeralized polyomial chaos expasio, Joural of Computatioal Acoustics, Cilt. 15, s doi:10.114/s018396x [6] Sepahvad, K., Marburg, S., Hardtke, H.-J Ucertaity quatificatio i stochastic systems usig polyomial chaos expasio, Iteratioal Joural of Applied Mechaics, Cilt., s doi:10.114/s [7] Due, L.W., Due JF. 009 A FRF boudig method for radomly ucertai structures with or without couplig to a acoustic cavity, Joural of Soud ad Vibratio, Cilt. 3, s doi: /j.jsv [8] Seçgi, A., Due JF, Zoghaib L. 01. Extreme-Value-Based Statistical Boudig of Low, Mid, ad High Frequecy Resposes of a Forced Plate With Radom Boudary Coditios. Joural of Vibratio ad Acoustics, Cilt. 134 s doi: / [9] Seçgi, A Modal ad respose boud predictios of ucertai rectagular composite plates based o a extreme value model. Joural of Soud ad Vibratio, Cilt. 33, s doi: /j.jsv [10] Seçgi, A Bir uç-değer tabalı modelleme ile belirsiz yapıları titreşim cevap sıırlarıı tahmi edilmesi. Pamukkale Üiversitesi Mühedislik Bilim Dergisi, Cilt. 19, s [11] Seçgi, A., Kara M, Ozaka A

15 Uç Değer Tabalı Modelleme ile Belirsiz Kompozit Bir Plakaı Deeysel Titreşim Cevap Sıırlarıı Tahmi Edilmesi. Uluslararası Katılımlı 17. Makia Teorisi Sempozyumu, İzmir, s [1] Ashto, J.E., Whitey, J.M Theory of lamiated plates, Techomic. [13] Timosheko S, Woiowsky-Krieger S. Theory of Plates ad Shells. d editio. New York: Mcgraw-Hill College; [14] Seçgi, A., Sarıgül, A.S Free vibratio aalysis of symmetrically lamiated thi composite plates by usig discrete sigular covolutio (DSC) approach: Algorithm ad verificatio, Joural of Soud ad Vibratio, Cilt. 315, s doi: /j.jsv [15] Seçgi, A., Saide Sarıgül, A A ovel scheme for the discrete predictio of high-frequecy vibratio respose: Discrete sigular covolutio mode superpositio approach, Joural of Soud ad Vibratio, Cilt. 30, s doi: /j.jsv [16] Goodma, L.A O the Exact Variace of Products, Joural of the America Statistical Associatio, Cilt. 55, s doi: / [17] Coles, S Classical Extreme Value Theory ad Models, ss doi: / _3 [18] Hasofer, A.M., Wag, Z A Test for Extreme Value Domai of Attractio, Joural of the America Statistical Associatio, Cilt. 87, s doi: / [19] Hasofer, A.M No-parametric estimatio of failure probabilities, Mathematical Models for Structural Reliability Aalysis, CRC Press, Bölüm 4. [0] Weissma, I Estimatio of Parameters ad Large Quatiles Based o the k Largest Observatios, Joural of the America Statistical Associatio, Cilt. 73, s doi: /