T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

Transkript

1 T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

2

3 Contents 0.1 Determinntlr Determinnt Nedir? Mtrislerin determinntı Mtrislerinin determinntı Mtrislerinin determinntı Srrus Yöntemi Bşk Yöntemler Yüksek Boyutlu Mtrislerin Determinntlrı Lplce Yöntemi Minör Eşçrpn (cofctor) Determinnt için Lplce Açılımı Determinntlrın Özelikleri Srrus Yöntemiyle Hesp: Lplce Yöntemiyle Hesp: Guss Eleme Yöntemi Ters Mtris Mtrisler Üzerinde İlkel Stır işlemleri Guss Eleme Yöntemi ile Ters Mtrisi Bulm Ekli Mtris Eşçrpn İle Mtrisin tersini Bulm Kombinson Ve Permütsyon Kombinsyon (Combintion) Permütsyon (permuttion) Permütsyon Türleri Index 3

4

5 T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

6

7 0.1 Determinntlr Determinntlr Determinntlr doğrusl denklem sistemlerinin çözümlerinde çok işe yrr. Uygulmd bir çok olyın mtemtiksel modeli mtrislerle kurulur. Mtrislerin özelikleri ynınd, orty çıkn durumlrın çözümlenmesi için determinntlr devreye girer. Determinntlrı en genel durumuyl nltmk belki en iyisidir, m en pedgojik yol olduğu söylenemez. O nedenle, bu kitpt, determinntlrı hiç bilmeyenlerin kolyc nlmsı için sezgisel yöntemle nltmyı tercih ediyoruz. A bir kre mtris ise, determinntı det(a) y d A ile gösterilen bir gerçel syıdır. Burd simgesi mutlk değer için kullnıln simge değildir. Bir mtrisin determinntı negtif değer lbilir. 0.2 Determinnt Nedir? Mtrislerin determinntını 1 boyuttn bşlyıp, boyut syısını rtırrk tnımlycğız Mtrislerin determinntı A mtrisi en bsit 1 1 tipinde bir mtris olsun. Tek bileşeni syı oln bu tip mtrislerin determinntı, bileşen syısıdır. A = [12] mtrisi 1 1 tipinde oln bir mtristir ve determinntı A = 12 olur. Benzer olrk, A = ( 12) mtrisi 1 1 tipinde oln bir mtristir ve determinntı A = 12 olur Mtrislerinin determinntı A mtrisi 2 2 tipinden bir mtris olsun: A = ( tipinden oln bu mtrisin determinntı A = ( 1)( 4) (3)(2) = 2 biçiminde tnımlnır. Genel olrk, A = ( c ) b gibi 2 2 tipinden oln bir mtrisin deteminntı d ) olrk tnımlnır. A = d bc

8 8 CONTENTS Mtrislerinin determinntı Boyut syısı üçe çıkınc, herhngi bir stır y d kolon göre çılım ypbilir ve üç boyutlu mtrisin determinntını boyut syısı 2 oln mtrislerin determinntlrının cebirsel toplmı biçiminde yzbiliriz: A mtrisi 3 3 tipinden bir mtris olsun: A = tipinden oln bu mtrisin determinntı det(a) = ( 1) ( 1) ( 1) = det(a) = A = 1( ) 2(( 10). 21)+5(( 2).6 4.7) = = 136 syısıdır. Dikkt edilirse, boyut syısını 1 zltmk için şğıdki kurlın uygulndığı görülür: Genel olrk, üç boutlu 3 3 tipinden A = mtrisinin determinntını hesplrken A = ( 1) ( 1) ( 1) kurlını uygulyrk boyut syısını2 ye indiririz. Sonr 2 2 boyutlu mtrislerin determinntlrı için bildiğimiz kurlı uygulyrk, orty çıkn üç mtrisin determinntlrını bulup, onlrın cebirsel toplmını lbiliriz. Burdn det(a) = A = ( ) formülü çıkr. det(a) y d A ile gösterdiğimiz gerçel syı A mtrisnin determinntıdır. Bu formülü dh prtik bir hle getirmek için çok bsit bir yol öğreneceğiz Srrus Yöntemi Şekil 1: Srrus Yöntemi 3 3 tipinden mtrislerin determinntını bulmy yryn Srrus yöntemi oldukç prtik bir yöntemdir. 3 3 tipinden A mtrisinin sğ ynın birinci ve ikinci kolon bileşenlerini Şekil (1) de görüldüğü gibi ekleyelim. Sonr sl köşegeni ile onun üstünde ve on prlel çizgiler üzerindeki bileşenlerin çrpımlrının toplmını yzlım. Benzer olrk, ( ) yedek köşegeni ile onun ltınd ve on prlel çizgiler üzerinkeki bileşenlerin çrpımlrının

9 0.3 Bşk Yöntemler 9 toplmını yzlım. Sonr birinci toplmdn ikinciyi çıkrlım. Çıkn syı, verilen mtrisin determinntıdır (bkz. Şekil 1). Srrus yöntemi 3 3 tipinden mtrislerin determinntlrını bulurken prtik kolylık sğlr. Am Srrus yöntemi yüksek boyutlu mtrislere uygulnmz. O nedenle, her tipten mtrislere uygulnbilecek genel bir yönteme gereksinim vrdır. 0.3 Bşk Yöntemler Yüksek Boyutlu Mtrislerin Determinntlrı Yüksek boyutlu mtrislerin determinntını bulmk için yukrıd söylenen yöntemler işe yrmz. Hngi boyutt olurs olsun, bir mtrisin determinntını hesplnk için Lplce yöntemi geçerli genel bir yöntemdir. 0.4 Lplce Yöntemi Minör n n tipinden ,..., 1n ,..., 2n A =. n1 n2 n3,..., nn mtrisinin herhngi bir i j bileşeninin minörü şöyle tnımlnır: i-inci stır ile j-inci kolon tılır. Geri kln mtrisin determinntı i j bileşenine krşılık gelen minör dür. Bun göre, yukrdki A mtrisinin i j bileşenine krşılık gelen minör n n n1 n2 n3 nn biçimindeki mtrisin determinntıdır. Onu n n mi n( i j ) = M i j = n1 n2 n3 nn biçiminde gösterelim. Tbii, minörü yzrken, yukrıd bileşenleri ile gösterilen i-inci stır ile j-inci kolonun silineceğini unutmycğız.

10 10 CONTENTS 0.5 Eşçrpn (cofctor) ,..., 1n ,..., 2n A = ( i j ) n n =. m1 m2 m3,..., mn mtrisinin i j bileşeninin A i j eşçrpnı (cofctor, işretli minör) syısıdır. Örnek 0.1. A i j = ( 1) i+j M i j (1) A = mtrisinin ikinci stırındki bileşenlerin minörlerini bullım. Önce A mtrisini A = mtrisi gibi düşünürsek, bu mtrisin ikinci stırındki bileşenlerine göre minörleri şöyle bulunur: i j bileşeninin M i j simgesiyle gösterilen minörü 21 = 3 bileşeninin minörü, 21 bileşenin bulunduğu 2. stır ve 1. kolon tılınc geri kln 2 2 mtrisinin determinntıdır mi n( 21 ) = M 21 = Bu determinntın değeri M 21 = = 8 9 = 1 olur. Benzer olrk, 22 = 1 bileşeninin M 22 minörü, 22 bileşenin bulunduğu 2. stır ve 2. kolon tılınc geri kln 2 2 mtrisinin determinntıdır: mi n( 22 ) = M 22 = Bu determinntın değeri M 21 = = = 6 olur. İkinci stırdki son bileşen için 23 = 1 bileşeninin M 23 minörü, 23 bileşenin bulunduğu 2. stır ve 3. kolon tılınc geri kln 2 2 mtrisinin determinntıdır: mi n( 23 ) = M 31 = 31 32

11 0.6 Determinnt için Lplce Açılımı 11 Bu determinntın değeri = = = 2 olur mi n( 21 ) = Bu determinntın değeri olur. = = 9 10 = Determinnt için Lplce Açılımı Artık bir kresel mtrisin determinntının hesplnmsı için genel Lplce çılım formülünü yzbiliriz j 1n j 2n A = ( i j ) n n = i 1 i 2 i 3 i j i n n1 n2 n3 n j nn mtrisinin i j bileşeninin minörü M i j ve eşçrpnı (işretli minör, cofctor) ( 1) i+j M i j olrk tnımlnır. Bun göre det(a) = A = ( 1) i+1 i 1 M i 1 + ( 1) i+2 21 M i ( 1) i+n i n M i n = A i 1 + A i A i n n = A i j (2) j =1 det(a) = A = ( 1) 1+j i 1 M i 1 + ( 1) i+2 i 2 M i ( 1) i+n i n M i n olur. Bun determinntın i.stır göre çılımı denilir. Determinntın hesbınd istenilen bir stır y d kolon seçilebilir. Hepsi ynı sonucu verir. Örneğin, yukrıdki determinntı j. kolon göre çrsk, det(a) = A = ( 1) 1+j 1j M 1j + ( 1) 2+j 2j M 2j + + ( 1) n+j n j M n j olcktır. Uyrı 0.2. Determinnt hesbınd hngi stır y d kolon göre çılım ypılırs ypılsın, sonuç değişmediğine göre, mtriste 0 bileşenler vrs, ençok 0 hngi stır y d kolond ise çılımı o stır yd kolon göre ypmk işlem syısını zltcktır. Örnek 0.3. Aşğıdki A mtrisinin determinntını bulunuz.

12 12 CONTENTS Çözüm: İkinci kolond 3 tne bileşen 0 dır. Öyleyse Lplce çılımını ikinci kolon göre ypmk işlem syısını zltcktır: A = İkinci kolon göre çılım yzılırs ( 1) M 12 +( 1) M 22 + ( 1) M 32 +( 1) M 42 3M M 12 Burdn = = A = 3( 12) = 36 çıkr. 0.7 Determinntlrın Özelikleri Determinntlrın prtikte çok işe yryn özelikleri vrdır. Bunlrı genel durum için ispt etmek yerine, ylnızc 2 2 tipi mtrisler için göstermekle yetineceğiz. Teorem 0.4. Bir mtrisin determinntı devriğinin determintın eşittir. Knıt 2 2 tipi A mtrisi ve A T devriği (trnspose) şöyledir. A = ( c ) b dir. Burdn determinntlr rsınd A = c eşitiği kurulbilir. d A T = ( b b = d bc = d b ) c d c d = AT Tnım 0.5. Asl köşgeni üzerindeki bütün öğeleri sıfır oln kre mtrise üst üçgensel mtris denilir. Benzer olrk sl köşegini ltındki bütün öğeleri sıfır oln kre mtrise lt üçgensel mtris denilir. Üst y d lt üçgensel mtrislere üçgensel mtris denilir. Teorem 0.6. Üçgensel bir mtrisin determinntı sl köşegen üzerindeki bileşenlerinin çrpımın eşittir Knıt Knıt determinnt tnımındn çıkr. Örnek olrk, iki boyutlu mtris için olduğu hemen görülür. b 0 A = = d b.0 = d = 0 d b d = AT

13 0.7 Determinntlrın Özelikleri 13 Teorem 0.7. Mtrisin iki stırı kendi rlrınd yer değiştirirse determinntlrı ters işretli olur. Aynı özelik kolonlr için de geçerlidir. Knıt ve A = c b d c = d b.c = (bc d) = d b A = c b d b = d b.c = (bc d) = d c olur. Teorem 0.8. Mtrisin bir stırı bir λ syısı ile çrpılırs, determinntı d o syı ile çrpılmış olur. Knıt λ λ A = c λb d = λd λb.c = λ(d bc) = λc b λd olur. Teorem 0.9. Mtrisin bir stırı bir λ syısı ile çrpılıp bşk bir stır eklenirse, determinntı değişmez. Aynı özelik kolonlr için de vrdır. Knıt + λc b + λd A = c d + λb b A = c + λd d olur. = d b.c = c = d b.c = c b d = b c + λ d + λb b d = b + λ c d + λc Teorem İki mtrisin çrpımının determinntı determinntlrının çrpımın eşittir. Knıt A = ( c ) b d ve B = ( e g ) f h mtrisleri verilsin. e + bg AB = ce + d g f + bh c f + dh = (d b.c)(eh f g ) = c b d. e g f h olur. Örnek A = mtrisinin determintını Srrus yöntemiyle y d Lplce yöntemiyle hesplybiliriz:

14 14 CONTENTS Srrus Yöntemiyle Hesp: det(a) = ( ) + ( ) + (2.3.2) = ( 3.1.2) ( 2.3.0) ( ) = ( 6) 0 = 18 olur Lplce Yöntemiyle Hesp: İkinci kolonun eşçrpnlrın göre çlım: det(a) = ( 1) det ( ) + ( 1) det ( 2 = ( 2).(( 1).( 1) (( 2).( 1) 2.( 3)) = ( 2)( 5) + 8 = 18 ) olur Guss Eleme Yöntemi İşlemleri kısltmk için Guss yoketme metodu d oldukç prtik genel bir yöntemdir. Bu yöntemleri şğıdki örneklerle inceleyeceğiz. Guss yöntemiyle determinnt hesplrken, mtrisin bir stırın bşk bir stırın bir syısl ktının eklenmesiyle determinntın değişmediği gerçeğine dylıdır. Tbii, ynı özeliğin kolonlr için de geçerli olduğunu biliyoruz. Boyutlrı 3 y d dh çok oln mtrislerde Guss yoketme yöntemi diye dlndırıln bu yöntem işlemleri kolylştırır. Uygun ktsyılr seçilerek, mtris üçgensel biçeme sokulbilir. Bu bşrılmdığınd, bir stır y d kolondki bileşenlerin bzılrı 0 ypılbilir. Bunu yukrıdki örnek üzerinde gösterelim. Mtrisin ikinci kolonu birinci kolon eklenirse, A 1 = mtrisi elde edilir. A ile A 1 mtrislerinin determinntlrı ynıdır. A 1 mtrisini birinci kolon göre çrsk ( ) det(a) = ( 1) det 1 3 = 2.(2.3 1.( 3)) = 18 olur.

15 0.8 Ters Mtris Ters Mtris Her gerçel 0 syısı için = 1 = 1 = 1 eşitlişini sğlyn bir 1 syısının vrlığını biliyoruz. Öyleyse klımız şu soru tkılmlıdır: Acb her A mtrisi için A A 1 = I = A 1 A (3) eşitlişini sğlyn bir A 1 mtrisine A mtrisinin tersi denilir. Bu durum vrs A mtrisine tersinir bir mtris ve A 1 mtrisine de A mtrisinin tersi denilir. 0.9 Mtrisler Üzerinde İlkel Stır işlemleri Mtris işlemleri diye dlndırdığımız işlemler, bir doğrusl denklem sistemi üzerinde ypılbilen ve denklem sisteminin essını değiştirmeyen işlemlerin mtrislere uygulnmsıdır. Bunlrı nımsylım. Bir doğrusl denklem sistemini çözerken, denklem sisteminin essını değiştirmeyen şu işlemleri ypbilirz: 1. Sisteme it bir denklemin yeri yine sisteme it bşk bir denklemin yeri ile değiştirilebilir. 2. Denklemlerden her birisi sıfırdn frklı bir sbit bir syı ile çrpılırs denklemin işlevi değişmez. 3. Denklemlerden birisini sıfırdn fklı bir sbit syı işle çrpıp bşk bir denkleme eklersek denklem sistemi değişmez. Aslınd yukrıd söylediğimiz işlemler, denklem sisteminin ktsyılr mtrisi üzerinde ypılbilen stır işlemleridir. Bunlr mtrisler üzerindeki ilkel stır işlemleri denilir. 1. Mtrisin iki stırı kendi rlrınd yer değiştirebilir. 2. Mtrisin bir stırı sıfırdn frklı bir syı ile çrpılbilir. 3. Mtrisin bir stırı sıfırdn fklı bir sbit syı işle çrpılıp bşk bir stır eklenebilir. İlkel stır işlemlerini, sırsıyl, şu simgelerle göstgereceğiz: 1. S i ile S j mtrisin iki stırı ise S i S j simgesi i.stır ile j.stırın yer değiştirdiğini gösterir. 2. λ 0 sbit bir syısı ile i. stırın çrpımı λs i ile gösterilir. 3. λ 0 sbit syısı ile S j stırının çrpımının S i stırın eklenmesi S i S i + λs j ile gösterilir. Teorem Determinntı sıfırdn frklı oln mtrislerin tersleri vrdır. Teorem Tersinir (invertible) mtrisin determinntı, tersinin determinntının çrpımsl tersine eşittir: 1 det(a) = det(a 1 )

16 16 CONTENTS 0.10 Guss Eleme Yöntemi ile Ters Mtrisi Bulm Genel knıtı Doğrusl Cebir derslerinde ypıln yukrıdki teoremin geçerliğini 3 3 tipi bir mtris üzerinde gösterirken Guss eleme yöntemini kullnnn prtik bir yöntemi de çıklycğız: Örnek Aşğıdki A mtrisinin tersini bulunuz. Çözüm: A = A mtisinin tersini Guss eleme yöntemiyle bullım. Önce mtrisin sğın birim mtrisi ekleyelim A = Bu mtrise S S 1 S 2 ve S 2 S 2 S 3 işlemlerini uygulrsk; A = bulunur. Örnek Aşğıdki A mtrisinin tersini bulunuz. Çözüm: A = (4) mtrisinin tersini bulmk için, A mtrisinin sğın birim mtrisi şğıd görüldüğü gibi ekleyelim: (5) Şimdi bu görüntüde soldki A mtrisini birim mtris hline getirmek için Guss eleme yöntemini kullncğız. İşlemleimizde mtrisler üzerinde ypılbilen stır işlemlerini kullncğız. (5) mtrisine S 2 S 2 S 1 işlemini sonr S 3 S 3 S 1 işlemlerini uygulylım (6)

17 0.11 Ekli Mtris 17 olur. Şimdi (6) mtrisinde S 1 S 1 3S 2 işlemini yprsk, mtris (7) biçimini lır. Son olrk, soldki A mtrisini birim mtrise dönüştürmek için (7) mtrisine S 1 3S 3 işlemini uygulylım: (8) mtrisinin sğınd oluşn (8) A 1 = (9) mtrisi rdığımız ters mtristir. Gerçekten bunun rdığımız ters mtris olduğunu görmek için A 1 A çrpımını ypmk yetecektir: A 1 A = (10) Mtrislerin çrpım kurlını uygulyrk, çıkr A 1 A = (11) Yüksek boyutlu mtrislerin terslerini bulmk için dh genel oln Lplce yöntemini kısc çıklylım. Bunun için minör ve eşçrpn kvrmlrını kullncğız. Anımsycğınız gibi, A = ( i j ) n n mtrisinin i j bileşeninin M i j minörü A mtsisinin i.stırı ile j.kolonu tıldıktn sonr geriye kln (n 1) (n 1) tipinden mtrisin determinntı idi. A mtsisinin i j bileşeninin minörü M i j olmk üzere A i j = ( 1) i+j M i j syısın i j bileşeninin esçrpnı (cofctor) demiştik (bkz. (12) Ekli Mtris Adjoint Mtrix A mtrisinnin her bir i j bileşeni yerine i j bileşeninin A i j eşçrpnı (cofctor) konulrk elde edilen co f (A) mtrisinin devriğine A mtrisisinin ekli mtrisi (djoint mtrix) denilir ve d j A simgesiyle gösterilir: d j A = [ co f (A) ] T

18 18 CONTENTS 0.12 Eşçrpn İle Mtrisin tersini Bulm n n tipinden bir mtrisin tersinin ne zmn vr olduğu ve vrs nsıl bulunduğunun knıtı klkulüs ün değil Doğrusl Cebir in konusudur. Yine de bşldığımız konuyu tmmlmk mcıyl, ters mtrisin hesplnmsınd kullnıln genel bir yöntemin bşlıc dımlrını sırlyıp bir örnek ele lcğız. Eşçrpn ve determinnt yrdımıyl bir A mtrisinin tersinin bulunmsı beş dımd gerçekleşir: 1. A mtrisinin A determinntı bulunur. A = 0 ise ters mtris yoktur. 2. A mtrisinin minörleri hessplnır. 3. A mtrisinin co f (A) eşçrpnı (cofctor) bulunur. 4. co f (A) eşçrpnının [ co f (A) ] T devriği (trnspose) bulunur. 5. [ ] T co f (A) devriği 1 A ile çrpılır. Örnek: A = (12) mtrisinin bileşenleri için önce minörlerini bullım: 5 1 M 11 = 0 3 = 15 0 = 15 A 11 = ( 1) 1+1 M 11 = M 12 = 5 3 = 3 5 = 8 A 13 = ( 1) 1+2 M 12 = M 13 = 5 0 = 0 25 = 25 A 13 = ( 1) 1+3 M 13 = M 21 = 0 3 = 9 0 = 9 A 21 = ( 1) 2+1 M 21 = M 22 = 5 3 = 6 20 = 14 A 22 = ( 1) 2+2 M 21 = M 23 = 5 0 = 0 15 = 15 A 23 = ( 1) 2+3 M 21 = M 31 = 5 1 = 3 20 = 17 A 31 = ( 1) 3+2 M 31 = M 32 = 1 1 = = 6 A 32 = ( 1) 3+2 M 32 = M 33 = 1 5 = = 13 A 31 = ( 1) 3+3 M 31 = 13

19 0.12 Eşçrpn İle Mtrisin tersini Bulm 19 Minörleri bulunc A i j eşçrpnlrını kolyc bulbiliriz. Eşçrpnlrı yerlerine koyrk A mtrisinin eşçrpn mtrisini elde ederiz: olur. Burdn, bulunur. Örnek A 11 A 12 A co f A = A 21 A 22 A 23 = (13) A 31 A 32 A mtrisinin tersini bulunuz. Çözüm d j A = [(co f A) T ] = A 1 = 1 A.[(co f A)T ] = A = Adım 1: A mtrisinin A determinntı: A = = olduğundn ters mtris vrdır. Adım 2: A mtrisinin eşçrpnlrı: A mtrisinin i -inci stır ve j -yinci kolonunun eşçrpnını A i j ile gösterelim: A 11 = ( 1) = +( 60) = A 12 = ( 1) = (74) = A 13 = ( 1) = +( 78) = A 14 = ( 1) = ( 24) =

20 20 CONTENTS olur A 21 = ( 1) = ( 41) = A 22 = ( 1) = +( 29) = A 23 = ( 1) = (75) = A 24 = ( 1) = +(27) = A 31 = ( 1) = +(39) = A 32 = ( 1) = (17) = A 33 = ( 1) = +( 29) = A 34 = ( 1) = (59) = A 41 = ( 1) = (152) = A 42 = ( 1) = +(44) = A 43 = ( 1) = ( 24) = A 44 = ( 1) = +( 26) = Adım 3: A mtrisinin co f (A) eşçrpnı (cofctor): A mtrisi için yukrıd bulunn minörler yerlerine konulurs; co f (A) = olur.

21 0.12 Eşçrpn İle Mtrisin tersini Bulm 21 Adım 4: co f (A) eşçrpnının devriği: olur [ ] T co f (A) = Adım 5: A 1 = 1 [ ] T A co f (A) mtrisinin hesplnmsı: A 1 = 1 [ ] T co f (A) A A 1 = çıkr.

22

23 Index üçgensel mtris, 12 üst üçgensel mtris, 12 lt üçgensel mtris, 12 determinnt, 7, 12 ekli mtris, 17 Guss, 14 Guss yoketme metodu, 9 Lplce, 14 Lplce yöntemi, 9 minör, 9 Srrus, 8, 13 ters mtris, 14