ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ HALKALARIN VE MATRİS HALKALARININ YARI KUTUP ÖZELLİKLERİ. Orhan GÜRGÜN

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ HALKALARIN VE MATRİS HALKALARININ YARI KUTUP ÖZELLİKLERİ Orhan GÜRGÜN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2016 Her hakkı saklıdır

2 TEZ ONAYI Orhan GÜRGÜN tarafından hazırlanan Halkaların ve Matris Halkalarının Yarı Kutup Özellikleri adlı tez çalışması 28/07/2016 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman : Prof. Dr. Sait HALICIOĞLU Jüri Üyeleri : Başkan : Prof. Dr. Ayşe Çiğdem ÖZCAN Hacettepe Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Sait HALICIOĞLU Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Ahmet ARIKAN Gazi Üniversitesi Gazi Eğitim Fakültesi Üye : Prof. Dr. Ali Bülent EKİN Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Burcu ÜNGÖR Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof. Dr. İbrahim DEMİR Enstitü Müdür V.

3 ETİK Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım ve bu tez içindeki bütün bilgilerin doğru ve tam olduğunu, bilgilerin üretilmesi aşamasında bilimsel etiğe uygun davrandığımı, yararlandığım bütün kaynakları atıf yaparak belirttiğimi beyan ederim Orhan GÜRGÜN i

4 ÖZET Doktora Tezi HALKALARIN VE MATRİS HALKALARININ YARI KUTUP ÖZELLİKLERİ Orhan GÜRGÜN Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Sait HALICIOĞLU Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm tezin amacını içermektedir. İkinci bölümde çalışma için gerekli olan ön bilgiler verilmektedir. Üçüncü bölümde nil-yarı kutuplu halkalar tanımlanmakta ve nil-yarı kutuplu halkaların bazı özellikleri incelenmektedir. Dördüncü bölümde özel Morita içerikli halkalar tanımlanmakta ve bu halkaların yarı kutup olma özellikleri incelenmektedir. Beşinci bölümde 3x3 tipindeki matris halkalarının bazı althalkalarının yarı kutup olma özellikleri üzerinde durulmaktadır. Altıncı bölümde tez ile elde edilen sonuçlar ortaya konulmaktadır. Temmuz 2016, 71 sayfa Anahtar Kelimeler: Yarı kutuplu halkalar, (genelleştirilmiş) Drazin ters, kuvvetli düzenli halkalar, özel Morita içerikli halkalar, matris halkaları ii

5 ABSTRACT Ph.D. Thesis THE QUASIPOLAR PROPERTY FOR RINGS AND MATRIX RINGS Orhan GÜRGÜN Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Sait HALICIOĞLU This thesis consists of six chapters. The first chapter includes the purpose of the thesis. In the second chapter preparatory information that will be used later is given. In the third chapter nil-quasipolar rings are introduced and some properties of nilquasipolar rings are investigated. In the fourth chapter special Morita context rings are defined and quasipolar property of special Morita context rings are investigated. The fifth chapter is concerned with quasipolar property of some subrings of 3x3 matrix rings. The sixth chapter contains the result of the thesis. July 2016, 71 pages Key Words : Quasipolar rings, (generalized) Drazin inverse, strongly regular rings, special Morita context rings, matrix rings iii

6 TEŞEKKÜR Yüksek lisans ve doktora öğrenimim boyunca bana rehberlik eden, önerileri ve yapıcı eleştirileriyle yardımcı olan hocam Sayın Prof. Dr. Sait HALICIOĞLU na (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı), emek isteyen bu çalışmayı hazırlarken değerli zamanlarını ve engin bilgilerini benimle paylaşan, teze önemli katkılarda bulunarak bana yardım eden Sayın Prof. Dr. Abdullah HARMANCI ya (Hacettepe Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı), çalışmanın temelini oluşturan dördüncü bölümü çalışmamı öneren ve değerli görüşleriyle destek veren Sayın Prof. Dr. Huanyin Chen e (Hangzhou Normal Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı), tez çalışmamı 2211-A kodlu burs programıyla destekleyerek bana maddi olanak sağlayan TÜBİTAK a, her zaman destek, anlayış ve sevgisini bulduğum aileme ve değerli eşim Merve GÜRGÜN e yürekten teşekkür ederim. Orhan GÜRGÜN Ankara, Temmuz 2016 iv

7 İÇİNDEKİLER TEZ ONAY SAYFASI ETİK... i ÖZET... ii ABSTRACT... iii TEŞEKKÜR... iv SİMGELER DİZİNİ... vi 1. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR Tanım ve Teoremler NİL-YARI KUTUPLU HALKALAR ve MATRİS HALKALARI Halkaların Nil-Yarı Kutupluluğu Matris Halkalarının Nil-Yarı Kutupluluğu Kuvvet Serisi Üzerindeki Matris Halkalarının Nil-Yarı Kutupluluğu ÖZEL MORİTA İÇERİKLİ HALKALAR ve ÖZELLİKLERİ Özel Morita İçerikli Halkaların Özellikleri Özel Morita İçerikli Halkaların Yarı Kutupluluğu Değişmeli Halka Üzerindeki Özel Morita İçerikli Halkaların Yarı Kutupluluğu BAZI MATRİS HALKALARININ YARI KUTUPLU ALTHALKALARI Yarı Kutuplu Elemanlar T 3 (R) Halkası Kuvvet Serisi Üzerindeki Matris Halkaları SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

8 SİMGELER DİZİNİ N Z R[[x]] RM C(R) J(R) U(R) N il(r) QN il(r) J # (R) S =End R (M) Doğal sayılar kümesi Tamsayılar kümesi R halkası üzerine kurulan kuvvet serisi halkası M sol R-modül R halkasının merkezi R halkasının Jacobson radikali R halkasının tersinir elemanlarının kümesi R halkasının üstel sıfır elemanlarının kümesi R halkasının yarı üstel sıfır elemanlarının kümesi R/J(R) bölüm halkasının üstel sıfır elemanlarının kümesi M modülünün endomorfizma halkası α P α dönüşümünün P ye kısıtlanması M n (R) GL n (R) T n (R) K s (R) S comm R (a) comm 2 R (a) det(a) tr(a) χ(a) a b a π a D a gπ a gd a N A R B R halkası üzerindeki n n tipindeki matris halkası R halkası üzerindeki n n tipindeki tersinir matrislerin grubu R halkası üzerindeki n n tipindeki üst üçgensel matris halkası R halkası üzerindeki genelleştirilmiş matris halkası Özel Morita içerikli halka R halkası içinde a nın merkezleyen kümesi R halkası içinde a nın merkezleyeninin merkezleyeni kümesi A matrisinin determinantı A matrisinin izi A matrisinin karakteristik polinomu a = ubu 1 olacak biçimde u U(R) olması a elemanının spektral eşkare elemanı a elemanının Drazin tersi a elemanının genelleştirilmiş spektral eşkare elemanı a elemanının genelleştirilmiş Drazin tersi a elemanının nil-spektral eşkare elemanı A ve B modüllerinin tensör çarpımı vi

9 1. GİRİŞ Bu çalışmada aksi belirtilmedikçe halkalar birimli ve modüller sol modül olarak göz önüne alınmıştır. R bir halka ve M bir R-modül olmak üzere M nin endomorfizma halkası End R (M) kısaca S ile gösterilmiştir. Bu çalışmanın temeli, birbiri ile çok yakın ilişkisi olan iki halka sınıfının daha farklı bir bakış açısı ile ele alınmasına dayanmaktadır. Bu nedenle ilk olarak iki temel tanım verilmiştir. R bir halka ve a R olmak üzere eğer a + e tersinir ve ae üstel sıfır olacak şekilde bir e 2 = e comm 2 (a) varsa o zaman a elemanına kutuplu veya kuvvetli π-düzenli eleman denir (Drazin 1958). Eğer R halkasının her elemanı kutuplu ise o zaman R ye kutuplu veya kuvvetli π-düzenli halka denir. (1991) yılında Harte On quasinilpotent in rings isimli makalesinde yarı üstel sıfır elemanı kullanarak yarı kutuplu halka tanımını vermiş ve bu halkaların bazı özelliklerini incelemiştir. Harte belirtilen makalesinde, yukarıda verilen kutuplu eleman tanımındaki ae nin üstel sıfır eleman olma şartı yerine yarı üstel sıfır olma şartını getirmiştir. Böylece tanım olarak birbirine çok yakın halkalar olmasına rağmen halka olarak tamamen farklı yeni bir sınıf elde edilmiştir. Bu çalışmanın ilk bölümünde kutuplu ve yarı kutuplu halkaların bir genelleştirmesi olarak nil-yarı kutuplu halkalar tanımlanmıştır. Tanımlanan bu halka sınıfının elementer özellikleri incelenerek kutuplu ve yarı kutuplu halkalar ile ilişkisi üzerinde durulmuştur. Son yıllarda matris halkalarının hangi şartlar altında kutuplu veya yarı kutuplu olduğu çok yoğun bir şekilde araştırılmaktadır. Bu sebeple matris halkalarının hangi şartlar altında nil-yarı kutuplu olduğu incelenmiştir. Hâlihazırda yapılmış olan çalışmalardan farklı olarak kuvvet serisi üzerindeki matris halkalarının da nil-yarı kutupluluğu bu çalışmada ele alınmıştır. Çalışmanın ikinci bölümünde ilk olarak Morita içerikli halkaların bir sınıfı olan özel Morita içerikli halkalar tanımlanıp bu halkaların bazı özellikleri incelenmiştir. Daha sonra özel Morita içerikli halkaların hangi şartlar altında yarı kutuplu olduğu ve bu 1

10 tür halkaların yarı kutuplu olduklarında hangi özellikleri sağladığı araştırılmıştır. Özel Morita içerikli halkaların, son zamanlarda çalışmalarda sıkça kullanılan bazı halka sınıfları ile olan ilişkisi de göz önüne alınacaktır. Böylece özel Morita içerikli halkaların birçok bilinen halka sınıfının bir genelleştirmesi olduğu görülecektir. Bu bölümün son kısmında değişmeli halka üzerindeki özel Morita içerikli halkaların yarı kutupluluk özellikleri incelenmiştir. Bu inceleme sırasında yarı kutuplu eleman ile yakından ilişkisi olan bazı eleman sınıfları da ele alınacaktır. Böylece daha genel sonuçlar elde edilmeye çalışılacaktır. Son olarak, yarı kutuplu elemanlara ait kuvvetli bir elementer karakterizasyon verilmiştir. Verilen bu sonuçlar sonrasında bilinen birçok sonucun, çalışmamızın özel durumları olarak ortaya çıktığı belirtilmiştir. Matris halkalarının yarı kutup özelliklerinin incelenmesi oldukça zor bir soru olarak görülmektedir. Şu ana kadar yapılmış olan çalışmalarda, bazı uygun şartlar kabul edilerek bu sorunun cevabı üzerinde durulmuştur. Kabul edilen şartların azaltılması yönündeki çalışmalar halen devam etmektedir. Bu nedenle çalışmanın son bölümünde doğrudan matris halkaları incelenmeyecek olup bunun yerine 3 3 tipindeki matris halkalarının özel iki althalkası göz önüne alınacaktır. Bu althalkalar T 3 (R) ve L 3 (R) ile gösterilmiştir (Cui ve Chen 2010). Beşinci bölümde tanımları verilen bu iki althalkanın hangi şartlar altında yarı kutuplu olacağı incelenmiştir. Ayrıca bu kısmın başında yarı kutuplu elemanlar ile ilgili çok önemli bir denklik de verilmiştir. Çalışma sonunda ise kuvvet serisi üzerindeki bu althalkaların yarı kutupluluğu ele alınacak olup bilinen halkalarla bağlantı kurulmaya çalışılmıştır. 2

11 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde halkalar ve matris halkaları ile ilgili, çalışmanın sonraki bölümlerinde kullanılacak olan bazı tanım, teorem ve özellikler verilmektedir. 2.1 Tanım ve Teoremler Uyarı Bir R halkasının tersinir elemanlarının kümesi U(R) ile gösterilmiştir. Uyarı R bir halka olsun. n 1 tamsayıları için n n tipindeki tüm üst üçgensel matrislerin oluşturduğu halka T n (R) ile gösterilmiştir. n 1 tamsayıları için n n tipindeki tüm matrislerin oluşturduğu halka M n (R) ile gösterilmiştir. M n (R) halkasındaki tersinir matrislerin kümesi GL n (R) ile gösterilmiştir. Tanım R bir halka ve R nin bir ideali I olsun. Eğer a R için a n = 0 olacak biçimde bir n Z + varsa a ya üstel sıfır (nilpotent) eleman denir ve R halkasındaki tüm üstel sıfır elemanların kümesi N il(r) ile gösterilmiştir. Eğer I nın bütün elemanları üstel sıfır ise I ya nil ideal denir. Eğer I ideali için I n = 0 olacak şekilde bir n Z + varsa I ya üstel sıfır ideal denir. Eğer R nin sıfırdan farklı hiç bir üstel sıfır elemanı yoksa R ye indirgenmiş (reduced) halka denir (Anderson ve Fuller 1992). 3

12 Tanım R bir halka olsun. {x R her y R için yx = xy} ile tanımlanan kümeye R nin merkezi (center) denir ve C(R) ile gösterilmiştir. Bir e eşkare elemanı R nin merkezinde ise o zaman e ye merkezil eşkare (central idempotent) denir. R nin tüm eşkare elemanları merkezil ise o zaman R ye abel (abelian) halka denir (Anderson ve Fuller 1992). Tanım R bir halka ve a R olsun. Bu durumda a nın merkezleyeninin ve ikili merkezleyeninin kümeleri sırasıyla comm R (a) = {x R : ax = xa} ve şeklinde tanımlanır. gösterilmiştir (Harte 1991). comm 2 R (a) = {x R : her y comm(a) için xy = yx} Bu çalışmada kısalık için comm(a) ve comm 2 (a) şeklinde Tanım R bir halka olsun. Eğer R nin sıfırdan farklı her elemanı tersinir ise o zaman R ye bölümlü (division) halka denir. R nin tüm maksimal sağ ideallerinin, veya denk olarak, sol ideallerinin kesişimine Jacobson radikali denir ve J(R) ile gösterilmiştir. Eğer R/J(R) bölümlü halka ise o zaman R ye yerel (local) halka denir (Anderson ve Fuller 1992). Uyarı Eğer R bir yerel halka ise o zaman R üzerindeki kuvvet serisi halkası R[[x]] de yerel halkadır. Çünkü J ( R[[x]] ) = J(R) + Rx olduğundan R/J(R) = R[[x]]/J ( R[[x]] ) sağlanır (Lam 2001). 4

13 Teorem R bir halka ve e R eşkare olsun. J = J(R) olmak üzere J(eRe) = J (ere) = eje sağlanır (Lam 2001). Uyarı R bir halka ve a R olsun. Eğer a n J(R) olacak biçimde bir n N varsa o zaman a elemanı R/J(R) halkasında üstel sıfırdır. Bu nedenle R/J(R) halkasındaki üstel sıfır elemanlar çalışma boyunca J # (R) ile gösterilmiştir. Tanım R bir halka ve a R olsun. Eğer her x comm(a) için 1 xa U(R) oluyorsa o zaman a ya yarı üstel sıfır (quasinilpotent) eleman denir ve R deki tüm yarı üstel sıfır elemanların kümesi QN il(r) ile gösterilmiştir (Harte 1991). Uyarı Bir R halkası için J(R) QNil(R) ve Nil(R) QNil(R) sağlanır. Tanım R bir halka olsun. Her a R için a = e + u olacak biçimde eşkare e R ve tersinir u R varsa a ya temiz (clean) eleman denir. Her elemanı temiz olan halkaya temiz (clean) halka denir (Nicholson 1977). Her a R için a = e + u ve eu = ue olacak şekilde e = e 2 R ve u U(R) varsa a ya kuvvetli temiz (strongly clean) eleman denir. Her elemanı kuvvetli temiz olan halkaya kuvvetli temiz (strongly clean) halka denir (Nicholson 1999). Tanım R bir halka olmak üzere x R için x = x 2 y olacak biçimde y R varsa x e kuvvetli düzenli (strongly regular) eleman denir. Her elemanı kuvvetli düzenli olan halkaya kuvvetli düzenli (strongly regular) halka denir (Nicholson 1999). Lemma Bir R halkası için aşağıdakiler denktir. (1) R kuvvetli düzenli halkadır. (2) Her x R için x = x 2 y = zx 2 olacak biçimde y, z R vardır. 5

14 (3) R düzenli ve indirgenmiş halkadır. (4) R düzenli ve abel halkadır. (5) Her x R için x = xax ve xa = ax olacak biçimde a R vardır. (6) Her x R için x = xux ve xu = ux olacak biçimde u U(R) vardır. (7) Her x R için x = ue = eu olacak biçimde e = e 2 R ve u U(R) vardır. (8) Her x R için x 2 u = x = ux 2 olacak biçimde u U(R) vardır (Tuganbaev 2002). Teorem R bir halka ve a R olsun. Aşağıdaki ifadeler birbirine denktir. (1) Bir p R için p 2 = p comm(a), ap Nil(R) ve a + p U(R) dir. (2) Bir p R için p 2 = p comm 2 (a), ap Nil(R) ve a + p U(R) dir. (3) Bir b R ve k N için b comm(a), b = ab 2 ve a k = a k+1 b dir. (4) Bir b R ve k N için b comm 2 (a), b = ab 2 ve a k = a k+1 b dir. (5) Bir b R için b comm 2 (a), b = ab 2 ve a a 2 b Nil(R) dir. (6) Bir b R için b comm(a), b = ab 2 ve a a 2 b Nil(R) dir. (7) Bazı m, n pozitif tamsayıları ve x, y R için a m = a m+1 x ve a n = ya n+1 dir. (8) Bir b R ve k N için b comm(a) ve a k = a k+1 b dir. (9) Bir b R ve k N için b comm 2 (a) ve a k = a k+1 b dir (Drazin 1958). Tanım R bir halka ve a R olsun. Teorem deki denk şartlardan birini sağlayan a R ye kuvvetli π-düzenli (strongly π-regular) ( veya Drazin tersinir (Drazin invertible) veya pseudo tersinir (pseudo invertible) veya kutuplu (polar)) eleman denir. Teorem deki (3), (4), (5) ve (6) denk şartlarından birini sağlayan b elemanına, a nın Drazin tersi denir ve a D ile gösterilmiştir. Ayrıca yine Teorem deki (1) ve (2) denk şartlarından birini sağlayan p elemanına a nın spektral eşkare elemanı denir ve a π ile gösterilmiştir (Drazin 1958). 6

15 Yukarıda verilen tanımın genelleştirmesi olarak aşağıdaki tanım verilmiştir. Ayrıca bu tanım çalışmanın merkezini oluşturmaktadır. Teorem R bir halka olmak üzere a R için aşağıdakiler denktir. (1) Bir b R için b comm 2 (a), ab 2 = b ve a 2 b a QNil(R) dir. (2) Bir p 2 = p R için p comm 2 (a), ap QNil(R) ve a + p U(R) dir (Koliha ve Patricio 2002). Tanım R bir halka ve a R olsun. Teorem deki denk şartlardan birini sağlayan a R ye yarı kutuplu (quasipolar) veya genelleştirilmiş Drazin tersinir (generalized Drazin invertible) eleman denir. (1) şartındaki b elemanına a nın genelleştirilmiş Drazin tersi denir ve a gd ile gösterilmiştir. Ayrıca (2) şartındaki p elemanına a nın genelleştirilmiş spektral eşkare (generalized spectral idempotent) elemanı denir ve a gπ şeklinde gösterilmiştir (Koliha ve Patricio 2002). Uyarı R bir değişmeli halka olsun. A M 2 (R) için χ(a) ile A matrisinin karakteristik polinomu det(ti 2 A) = 0 gösterilmiştir. A M 2 (R) matrisinin determinantı det(a) ve izi tr(a) ile gösterilmiştir. A M 2 (R) için det(i 2 +A) = 1+tr(A)+det(A) ve A 2 tr(a)a+det(a)i 2 = 0 sağlanır (Anderson ve Fuller 1992). Tanım A ve B halka, M ve N sırasıyla (A, B)-bimodül, (B, A)-bimodül ve ψ : M B N A, φ : N A M B bimodül homomorfizmaları olmak üzere aşağıdaki (1) ve (2) şartlarını sağlayan (A, B, M, N, ψ, φ) cebirsel sistemine Morita içerikli halka denir. (1) Her n N ve m, m M için ψ(m n)m = mφ(n m ). (2) Her n, n N ve m M için φ(n m)n = nψ(m n ) (Anderson ve Fuller 1992). 7

16 Morita içerikli halkanın elemanları a A, b B, m M, n N olmak üzere a m ile gösterilecek olursa (A, B, M, N, ψ, φ) Morita içeriği A M ile n b N B gösterilmiştir. Tanım R bir halka olmak üzere eğer (A, B, M, N, ψ, φ) Morita içerikli halkasında A = B = M = N = R alınmasıyla oluşan halkaya R üzerindeki genelleştirilmiş matris halkası (generalized matrix ring) denir ve s C(R) olmak üzere K s (R) ile gösterilmiştir (Krylov 2008). Uyarı K s (R) halkası üzerindeki toplama işlemi bilinen matris toplamı olmak üzere çarpma işlemi a 1 x 1 y 1 b 1 a 2 x 2 y 2 b 2 = a 1a 2 + sx 1 y 2 a 1 x 2 + x 1 b 2 y 1 a 2 + b 1 y 2 sy 1 x 2 + b 1 b 2 şeklindedir. Uyarı R bir halka olsun. (1) a, b R olmak üzere eğer a ile b benzer; yani bir u U(R) için b = u 1 au ise, o zaman a b ile gösterilmiştir. (2) ( M : J(R) ) = {m M her n M için φ(m n) J(R)} ve ( J(R) : M ) = {m M her n M için φ(n m) J(R)} ile tanımlıdır (Krylov ve Tuganbaev 2010). Uyarı Eğer a kuvvetli temiz eleman ve a b ise o zaman b elemanı da kuvvetli temizdir. Yani kuvvetli temiz eleman olma özelliği benzerlik altında korunur (Chen vd. 2006). 8

17 Tanım R bir halka olsun. a T 3 (R) = a 21 a 22 a 23 a 11, a 21, a 22, a 23, a 33 R şeklinde tanımlı küme 0 0 a 33 matris halkalarındaki bilinen toplama ve çarpma işlemlerine göre M 3 (R) nin bir althalkasıdır. a L 3 (R) = 0 a 22 0 a 11, a 31, a 22, a 33 R biçiminde tanımlı küme a 31 0 a 33 matris halkalarındaki bilinen toplama ve çarpma işlemlerine göre M 3 (R) nin bir althalkasıdır (Cui ve Chen 2010). Teorem R bir halka olmak üzere aşağıdakiler sağlanır. a (1) a 21 a 22 a 23 matrisinin T 3(R) halkasında tersinir olması için gerek ve 0 0 a 33 yeter şart a 11, a 22, a 33 U(R) olmasıdır. (2) J ( T 3 (R) ) a = a 21 a 22 a 23 a 11, a 22, a 33 J(R), a 21, a 23 R 0 0 a 33 (Chen 2011a). dir 9

18 3. NİL-YARI KUTUPLU HALKALAR ve MATRİS HALKALARI Bu bölümde nil-yarı kutuplu eleman ve halka kavramları tanımlanmış, özellikleri ve diğer halka sınıfları ile ilişkisi üzerinde durulmuştur. 3.1 Halkaların Nil-Yarı Kutupluluğu Bu kısımda nil-yarı kutuplu halkanın ve elemanlarının sağlamış oldukları özellikler araştırılmıştır. Tanım R bir halka ve a R olsun. Eğer a + p Nil(R) olacak biçimde bir p 2 = p comm 2 (a) varsa o zaman a elemanına nil-yarı kutuplu (nil-quasipolar) denir. Eğer R nin tüm elemanları nil-yarı kutuplu ise R ye nil-yarı kutuplu halka denir. Nil-yarı kutuplu elaman tanımındaki p elemanına a nın nil-spektral eşkare (nil-spectral idempotent) elemanı denir ve a N ile gösterilmiştir. Örnek Bir R halkası için aşağıdakiler sağlanır. (1) R halkasındaki tüm üstel sıfır elemanlar nil-yarı kutupludur. (2) a R nin nil-yarı kutuplu olması için gerek ve yeter şart 1 a R nin nil-yarı kutuplu olmasıdır. (3) u U(R) nin nil-yarı kutuplu olması için gerek ve yeter şart u + 1 Nil(R) olmasıdır. İspat: (1) a Nil(R) olsun. comm 2 (a) sağlandığından a nil-yarı kutupludur. Bu durumda p = 0 için a + p Nil(R) ve p (2) a N = p olması için gerek ve yeter şartın ( 1 a) N = 1 p olduğu kolayca gösterilebilir. (3) Kabul edelim ki u tersinir elemanı nil-yarı kutuplu olsun. Bu durumda u + p = n Nil(R) olacak şekilde p 2 = p comm 2 (u) mevcuttur. Fakat nu = un ve 10

19 n Nil(R) olduğundan p = n u U(R) olup p = 1 elde edilir. Yani u+1 Nil(R) dir. Karşıt olarak u + 1 Nil(R) ise o zaman u N = 1 olup u nil-yarı kutupludur. Ayrıca u 1 + Nil(R) U(R) sağlanır. Sonuc R bir halka olsun. Eğer R nil-yarı kutuplu halka ise o zaman 2 üstel sıfır eleman olup halkanın merkezinde olduğundan 2 J(R) dir. İspat: 1 U(R) olduğundan Örnek 3.1.2(3) gereğince 2 Nil(R) elde edilir. Tanım R bir halka ve a R olsun. Eğer a e Nil(R) olacak biçimde e 2 = e comm(a) mevcut ise o zaman a elemanına kuvvetli nil-temiz (strongly nil-clean) denir. R nin tüm elemanları kuvvetli nil-temiz ise R ye kuvvetli nil-temiz (strongly nil-clean) halka denir (Diesl 2006). Teorem R bir halka olsun. R halkasının nil-yarı kutuplu olması için gerek ve yeter şart R nin kuvvetli nil-temiz olmasıdır. İspat: İlk olarak R nin nil-yarı kutuplu halka olduğunu kabul edelim. O zaman her a R için a + p Nil(R) olacak şekilde p 2 = p comm 2 (a) vardır. Sonuç gereğince 2 Nil(R) dir. Dolayısıyla a + p 2p = a p Nil(R) olup comm 2 (a) comm(a) sağlandığından a kuvvetli nil-temiz elemandır. Böylece R kuvvetli nil-temizdir. Karşıt olarak R halkası kuvvetli nil-temiz olmak üzere a R alınsın. Bu durumda a e = n Nil(R) olacak biçimde e 2 = e comm(a) mevcuttur. Kabul gereğince 2 p Nil(R) olacak şekilde p 2 = p comm(2) var olup 2 p 1 = 1 p U(R) olduğundan p = 0 dır. Yani 2 Nil(R) dir. Böylece a e + 2e = a + e Nil(R) elde edilir. e comm 2 (a) olduğunun gösterilmesi için x comm(a) alınsın. Bu durumda n Nil(R) ve en = ne olduğundan (a e)(1 e) = n(1 e) Nil(R) dir. Dolayısıyla ( a(1 e) ) k = a k (1 e) = 0 olacak şekilde k Z + vardır. Ayrıca ae = ea = e(n + 1) = (n + 1)e sağlandığı için ae(n+1) 1 = (n+1) 1 ea = e dir. Sonuç olarak ex exe = ex(1 e) = e k x(1 e) = (n + 1) k ea k x(1 e) = (n + 1) k exa k (1 e) = 0 olup ex = exe dir. Benzer biçimde xe = exe eşitliğinin sağlandığı gösterilerek e comm 2 (a) elde edilir. 11

20 Teorem gereğince nil-yarı kutuplu halkalar ile kuvvetli nil-temiz halkalar birbirine denktir. Fakat bu denklik elemanların denkliğini gerektirmemektedir. Yani kuvvetli nil-temiz eleman nil-yarı kutuplu olmak zorunda olmadığı gibi nil-yarı kutuplu eleman kuvvetli nil-temiz olmayabilir. Aşağıda verilen örnek bu durumu açıklayan elemanları içermektedir. Örnek R = Z 3 olmak üzere = 0 Nil(R) olup 2 R nil-yarı kutupludur. Fakat kuvvetli nil-temiz eleman değildir. Ayrıca 1 1 = 0 N il(r) olup 1 R kuvvetli nil-temizdir. Fakat nil-yarı kutuplu değildir. Aşağıdaki sonuç ile nil-yarı kutuplu ve kuvvetli nil-temiz eleman tanımlarının hangi şart halinde birbirine denk olduğu verilmiştir. Sonuc R bir halka ve 2 Nil(R) olsun. Bu durumda a R nin nil-yarı kutuplu olması için gerek ve yeter şart a nın kuvvetli nil-temiz olmasıdır. İspat: Teorem in ispatına benzer şekilde ispat yapılır. Önerme R bir halka ve a R olsun. Eğer a R nil-yarı kutuplu eleman ise o zaman a elemanı yarı kutupludur. İspat: a R nin nil-yarı kutuplu olduğunu kabul edelim. Bu durumda a + p = n Nil(R) olacak biçimde p 2 = p comm 2 (a) vardır. Buradan a + (1 p) = n 2p + 1 olur ki n Nil(R), (2p 1) 2 = 1 ve pn = np sağlandığından n 2p + 1 tersinirdir. Ayrıca p 2 = p comm 2 (a) olduğundan (1 p) 2 = 1 p comm 2 (a) dır. Son olarak a(1 p) = (a + p)(1 p) = n(1 p) Nil(R) QNil(R) dir. Böylece a elemanı a gπ = 1 p ile yarı kutupludur. Sonuc Her nil-yarı kutuplu halka yarı kutupludur. Yukarıda verilen sonuç ile nil-yarı kutuplu halkaların yarı kutuplu halkaların bir sınıfı olduğu elde edilmiştir. 12

21 Önerme R bir halka olsun. Eğer a R yarı kutuplu ise o zaman a gπ genelleştirilmiş spektral eşkare elemanı tektir (Koliha ve Patricio 2002). Önerme nil-spektral eşkare elemanı tektir. R bir halka olsun. Eğer a R nil-yarı kutuplu ise o zaman a N İspat: a nın nil-spektral eşkare elemanları p, q R olsun. Bu durumda Önerme in ispatı gereğince 1 p ve 1 q elemanları a nın genelleştirilmiş spektral eşkareleridir. Önerme ışığında 1 p = 1 q olup p = q bulunur. Önerme R bir halka ve a R olsun. Eğer a nil-yarı kutuplu ise o zaman a kuvvetli π-düzenli elemandır. İspat: a R nil-yarı kutuplu olsun. Bu durumda a+p = n N il(r) olacak şekilde p 2 = p comm 2 (a) mevcuttur. O zaman a + (1 p) = n 2p + 1 şeklinde yazılır. Buradan n Nil(R), (2p 1) 2 = 1 ve pn = np sağlandığından n 2p + 1 U(R) elde edilir. Ayrıca p 2 = p comm 2 (a) olduğundan (1 p) 2 = 1 p comm 2 (a) dır. Son olarak a(1 p) = (a + p)(1 p) = n(1 p) Nil(R) olması da teyit edildiğinden a kuvvetli π-düzenlidir. Önerme nin karşıtı her zaman doğru değildir. Örnek R = Z 3 olmak üzere = 1 U(R) ve 1 0 = 0 Nil(R) olduğundan 1 R kuvvetli π-düzenlidir, fakat nil-yarı kutuplu değildir. Sonuc Her nil-yarı kutuplu halka kuvvetli π-düzenlidir. Tanım R bir halka olsun. Eğer ar + br = R olacak şekildeki a, b R elemanları için a + by U(R) olacak biçimde y R varsa o zaman R halkasına kararlılık aralığı bir olan (stable range one) halka denir (Lam 2001). 13

22 Teorem Eğer R halkası kuvvetli π-düzenli ise o zaman R nin kararlılık aralığı birdir (Ara 1996). Önerme Eğer R halkası nil-yarı kutuplu ise o zaman R kararlılık aralığı bir olan halkadır. İspat: R nil-yarı kutuplu halka olsun. Sonuç ve Teorem gereğince R nin kararlılık aralığı birdir. Örnek (1) R = Z 3 halkası yerel olduğundan yarı kutupludur. Fakat 2 U(R) olduğundan Sonuç gereğince R halkası nil-yarı kutuplu değildir. (2) R = Z (2) = { m m, n Z, 2 n} halkası yine yerel olduğundan yarı kutupludur. Fakat R halkasının Jacobson radikali olan 2R nil ideal olmadığından n R kuvvetli π-düzenli değildir. Dolayısıyla Sonuç gereğince R nil-yarı kutuplu halka değildir. Aşağıdaki Lemma ve Teorem, endomorfizma halkalarındaki nil-yarı kutuplu elemanları karakterize etmektedir. Lemma R bir halka ve β, π 2 = π S =End R (M) olsun. Bu durumda Mπ ve M(1 π) modüllerinin β-değişmez olması için gerek ve yeter şart πβ = βπ olmasıdır (Nicholson 1999). Teorem R bir halka ve α S =End R (M) olsun. Aşağıdakiler denktir. (1) α nil-yarı kutupludur. (2) π comm 2 S (α), απ elemanı πsπ de üstel sıfır ve (1 + α)(1 π) elemanı (1 π)s(1 π) de üstel sıfır olacak biçimde bir π 2 = π S vardır. 14

23 (3) Her β comm E (α) için β-değişmez olup M = P Q, α P elemanı End(P) de üstel sıfır ve (1 + α) Q elemanı End(Q) de üstel sıfır olacak biçimde P ve Q modülleri mevcuttur. (4) Her β comm E (α) için β-değişmez olup M = P 1 P 2 P n, α Pi elemanı End(P i ) de üstel sıfır olacak şekilde P i modülleri vardır. İspat: (1) (2) α nil-yarı kutuplu olduğundan π comm 2 S (α) ve α + (1 π) = η Nil(S) olacak şekilde bir eşkare π S vardır. Dikkat edilmelidir ki α, π ve η birbirleriyle yer değiştirebilmektedir. Dolayısıyla α + (1 π) = η eşitliğinin π ile çarpılması sonucunda απ = ηπ = πη Nil(πSπ) elde edilir. Ayrıca 1 + α = π + η olup (1 + α)(1 π) = η(1 π) = (1 π)η Nil ( (1 π)s(1 π) ) dir. (2) (3) (2) deki şartları sağlayan eşkare eleman π ve P = Mπ, Q = M(1 π) olsun. Bu durumda M = P Q olur. Her β comm S (α) için hipotezdeki π comm 2 S (α) şartı gereğince πβ = βπ elde edilir. Lemma gereğince hem P hem de Q modülleri β-değişmezdir. Diğer yandan απ N il(πsπ) olduğundan bir m N için (απ) m = 0 sağlanır. Dolayısıyla her xπ P için kolayca gösterilebilir ki (xπ)(α P ) m = (x)(παπ)(α P ) m 1 =... = (x)(παπ) m = 0 dır. Buradan (α P ) m = 0 olur ki bu α P Nil(End(P)) dir. Benzer şekilde (1 + α) Q Nil(End(Q)) olduğu da gösterilebilir. (3) (4) Bu önerme kolayca ispatlanabilir. (4) (1) Chen (2013) in makalesindeki Teorem 2.1 in ispatına benzer şekilde ispat yapılabilir. 3.2 Matris Halkalarının Nil-Yarı Kutupluluğu Bu kısımda matris halkalarındaki matrislerin hangi şartlar altında nil-yarı kutuplu olacağı araştırılıp önemli teoremler verilmektedir. 15

24 Önerme R bir değişmeli yerel halka olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir. (1) J(R) nil idealdir. (2) R kuvvetli π-düzenli halkadır. (3) Her n > 1 için M n (R) halkası kuvvetli π-düzenlidir (Borooah vd. 2008). Önerme R bir değişmeli yerel halka ve E M 2 (R) olsun. Bu durumda E 2 = E olması için gerek ve yeter şart E = 0 ya da E = I 2 ya da bc = a a 2 şartını sağlayan a, b, c R için E = a b şeklinde olmasıdır (Chen vd. 2006). c 1 a Lemma R bir halka, a R ve u U(R) olsun. Bu durumda a nın nil-yarı kutuplu olması için gerek ve yeter şart u 1 au nun nil-yarı kutuplu olmasıdır. İspat: a R nil-yarı kutuplu eleman iken u 1 au elemanının nil-yarı kutuplu olduğunun gösterilmesi ispatın tamamlanması için yeterlidir. Bu nedenle a nın nilyarı kutuplu olduğu kabul edilsin. O zaman a + e = n Nil(R) olacak şekilde e 2 = e comm 2 (a) vardır. Eğer p = u 1 eu denilirse o zaman p 2 = p R dir. Diğer taraftan n Nil(R) kabulü gereğince n k = 0 olacak biçimde bir k N vardır. Buradan (u 1 nu) k = u 1 n k u = 0 olur ki (u 1 au) + (u 1 eu) = u 1 nu Nil(R) dir. Eğer x comm(u 1 au) ise o zaman x(u 1 au) = (u 1 au)x sağlanır. Bu durumda (uxu 1 )a = a(uxu 1 ) eşitliği elde edilir. e 2 = e comm 2 (a) olması gereğince e(uxu 1 ) = (uxu 1 )e bulunur. Böylece px = xp olup p comm 2 (u 1 au) olur. Yani u 1 au elemanı p nil-spektral eşkare elemanı ile nil-yarı kutupludur. Lemma R bir halka olmak üzere A U ( M 2 (R) ) nin nil-yarı kutuplu olması için gerek ve yeter şart A + I 2 Nil ( M 2 (R) ) olmasıdır. 16

25 İspat: Kabul edelim ki A U ( M 2 (R) ) nil-yarı kutuplu olsun. Bu durumda A N = I 2 olup A + I 2 Nil ( M 2 (R) ) dir. Karşıt olarak A + I 2 Nil ( M 2 (R) ) olsun. Bu durumda A nil-yarı kutupludur ve A I 2 + Nil ( M 2 (R) ) U ( M 2 (R) ) sağlanır. Önerme R bir değişmeli yerel halka ve A M 2 (R) üstel sıfır olmayan bir matris olsun. Eğer det(a), tr(a) J(R) ise o zaman A matrisi nil-yarı kutuplu değildir. İspat: A nil-yarı kutuplu olsun. Bu durumda Örnek 3.1.2(2) gereğince A I 2 nil-yarı kutupludur. Diğer taraftan det( A I 2 ) = ( 1) 2 det(a + I 2 ) = 1 + det(a) + tr(a) U(R) olup Lemma ışığında ( A I 2 ) + I 2 = A Nil ( M 2 (R) ) dir. Bu ise önermenin hipotezi ile çelişir. Yani A nil-yarı kutuplu matris değildir. Lemma R bir değişmeli yerel halka ve u, j R olsun. Bu durumda A = j 0 matrisinin nil-yarı kutuplu olması için gerek ve yeter şart 0 u aşağıdakilerden sadece birinin sağlanmasıdır. (1) A üstel sıfır matristir. (2) A + I 2 üstel sıfır matristir. (3) u 1 + Nil(R) ve j Nil(R) dir. (4) u Nil(R) ve j 1 + Nil(R) dir. İspat: Kabul edelim ki A matrisi nil-yarı kutuplu olsun. O zaman A + E Nil ( M 2 (R) ) olacak şekilde E 2 = E comm 2 (A) vardır. Eğer E = 0 matrisi ise o zaman (1) sağlanır. Eğer E = I 2 birim matrisi ise o zaman (2) sağlanır. O halde E sıfır ve birim matrisinden farklı olsun. Bu durumda Önerme ışığında bc = a a 2 şartını sağlayan a, b, c R için E = a b şeklindedir. c 1 a 17

26 F = comm(a) için E comm 2 (A) kabulü gereğince EF = F E sağlanacağından b = c = 0 bulunur. Dolayısıyla R yerel halka ve eşkare elemanları sadece 0 ve 1 olduğundan, E = 0 0 ya da E = 1 0 olur. Eğer E = ise o zaman A + E Nil ( M 2 (R) ) kabulünden u 1 + Nil(R) ve j Nil(R) elde edilir. Eğer E = kabulünden j 1 + Nil(R) ve u Nil(R) bulunur. ise o zaman yine A + E Nil ( M 2 (R) ) Karşıt olarak (1) ya da (2) şartlarından birinin sağlanması halinde A matrisinin nil-yarı kutuplu olacağı açıktır. Eğer u + 1 = w Nil(R) ve j Nil(R) için E = 0 0 M 2 (R) 0 1 alınırsa o zaman E 2 = E ve A + E = j 0 Nil ( M 2 (R) ) sağlanır. Eğer 0 w B = a b comm(a) ise b = c = 0 olup EB = BE elde edilir. Böylece c d E comm 2 (A) olup A nil-yarı kutuplu olur. Benzer şekilde gösterilebilir ki j + 1 = v Nil(R) ve u Nil(R) için E = 1 0 M 2 (R) matrisi A nın nil-spektral 0 0 eşkare elemanıdır. Lemma R bir değişmeli yerel halka ve A = [a ij ] M 2 (R) olsun. Eğer a 21 U(R) ve χ(a) = t 2 tr(a)t + det(a) = 0 denklemi x 1 x 2 U(R) olacak şekilde x 1, x 2 R köklerine sahipse o zaman A x 1 0 sağlanır (Chen 2010). 0 x 2 Teorem R bir değişmeli yerel halka olsun. Bu durumda A M 2 (R) matrisinin nil-yarı kutuplu olması için gerek ve yeter şart aşağıdakilerden sadece birinin sağlanmasıdır. 18

27 (1) A üstel sıfır matristir. (2) A + I 2 üstel sıfır matristir. (3) χ(a) = t 2 tr(a)t + det(a) = 0 denkleminin bir kökü Nil(R) kümesine ve diğer kökü ise 1 + Nil(R) kümesine aittir. İspat: : A M 2 (R) nil-yarı kutuplu olsun. Bu durumda A + E = W Nil ( M 2 (R) ) olacak biçimde bir E 2 = E comm 2 (A) mevcuttur. Eğer E = 0 ya da E = I 2 ise o zaman A ya da A + I 2 üstel sıfır olacağından A, I 2 + A / Nil ( M 2 (R) ) olarak kabul edilebilir. Lemma gereğince A / U ( M 2 (R) ) olup det(a) J(R) dir. Önerme den tr(a) U(R) elde edilir. Değişmeli yerel halka üzerindeki eşkare matrisler, Song ve Guo nun (1999) yılındaki çalışmalarında da gösterdikleri üzere, her zaman köşegenleştirildiğinden HEH 1 = 1 0 olacak şekilde bir 0 0 H U ( M 2 (R) ) vardır. Böylece HAH = HW H 1 dir. Eğer V = 0 0 [v ij ] := HW H 1 denilirse o zaman HAH 1 matrisi P = 1 0 nil-spektral 0 0 eşkaresi ile nil-yarı kutuplu olur. Dolayısıyla P V = V P sağlandığından v 12 = v 21 = 0 elde edilir. Yani A matrisi v 11, v 22 Nil(R) olmak üzere B = 1 + v v 22 matrisine benzerdir. Benzerlik gereğince χ(a) = t 2 (tr(a))t + det(a) = (t v )(t v 22 ) = χ(b) dir. Sonuç olarak χ(a) = t 2 (tr(a))t + det(a) = 0 ın bir kökü Nil(R) de ve diğer kökü 1 + Nil(R) de bulunur. : A = a c b d M 2 (R) olsun. Eğer A M 2 (R) ya da A + I 2 M 2 (R) üstel sıfır ise o zaman A nın nil-yarı kutuplu olacağı açıktır. Kabul edelim ki χ(a) = t 2 (tr(a))t + det(a) = 0 ın bir kökü x 1 Nil(R) ve diğer kökü x Nil(R) olsun. Buradan x 1 x 2 U(R) olduğu açıktır. Dikkat edilmelidir ki tr(a) = 19

28 x 1 + x 2 U(R) ve det(a) = x 1 x 2 Nil(R) dir. Bu durumda A matrisi elementer matris dönüşümleri ile λ J(R), µ 1 + J(R) için B = 0 λ M 2 (R) 1 µ matrisine benzer olarak bulunabilir. Açık olarak χ(b) = t 2 tr(b)t + det(b) = t 2 tr(a)t + det(a) = χ(a) sağlandığından χ(b) = t 2 tr(b)t + det(b) = 0 ın bir kökü x 1 Nil(R) ve diğer kökü x Nil(R) olur. Lemma gereğince B matrisi C = x 1 0 matrisine benzerdir. Lemma dan C nil-yarı kutuplu 0 x 2 olup A matrisi de nil-yarı kutuplu olarak elde edilir. Tanım R bir halka ve A M 2 (R) olsun. Eğer A matrisi tersinir değilse o zaman A ya tekil (singular) matris denir. Tanım R bir halka ve A M 2 (R) olsun. Eğer A matrisi ve de I 2 A matrisi tersinir değilse o zaman A ya katkısız tekil (purely singular) denir. Lemma R bir yerel halka ve A M 2 (R) olsun. Bu durumda A nın aşikar olmayan kuvvetli temiz matris olması için gerek ve yeter şart v, w J(R) olmak üzere A 1 + v 0 olmasıdır (Yang ve Zhou 2008). 0 w Aşağıdaki sonuç Chen in (2010) yılındaki çalışmasında kuvvetli nil-temiz elemanlar için verilmiştir. Önerme R bir değişmeli yerel halka olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir. (1) M 2 (R) nin her katkısız tekil elemanı nil-yarı kutupludur. (2) J(R) nil idealdir. 20

29 İspat: (1) (2) j J(R) olsun. Bu durumda A = j M 2 (R) katkısız tekildir. Hipotezden A + E Nil ( M 2 (R) ) olacak şekilde E 2 = E comm 2 (A) vardır. Önerme gereğince bc = a a 2 şartını sağlayan a, b, c R için E matrisi a b şeklindedir. F = 1 0 comm(a) olduğundan EF = F E olup c 1 a 0 0 b = c = 0 bulunur ki bu E = a 0 olduğunu gösterir. Bu durumda 0 1 a A + E = j + a 0 Nil ( M 2 (R) ) olduğundan j + a, 2 a Nil(R) 0 2 a dir. Ayrıca a 2 = a olduğundan a = 0 ya da a = 1 dir. Eğer a = 1 ise o zaman 1 Nil(R) olur ki bu çelişkidir. Bu nedenle a = 0 dır. Böylece j Nil(R) olup J(R) nil idealdir. (2) (1) Önerme gereğince M 2(R) kuvvetli π-düzenlidir. Böylece M 2 (R) kuvvetli temiz halkadır. A M 2 (R) katkısız tekil olsun. Lemma ışığında v, w J(R) olmak üzere A 1 + v 0 dur. Böylece P 1 AP = w 0 0 v 0 olacak şekilde P U ( M 2 (R) ) mevcuttur. Buradan A = P 1 0 P w 0 0 P v 0 P 1 elde edilir. J(R) nil ideal olduğundan P v 0 P 1 matrisi 0 w 0 w üstel sıfır olur. Yani A nil-yarı kutupludur. 3.3 Kuvvet Serisi Üzerindeki Matris Halkalarının Nil-Yarı Kutupluluğu Bu kısımda kuvvet serisi üzerindeki matris halkalarının nil-yarı kutuplu elemanları karakterize edilecektir. 21

30 Lemma R bir değişmeli yerel halka ve m 1 olmak üzere A(x) M 2 ( R[[x]]/(x m ) ) olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir. (1) χ ( A(0) ) denkleminin bir kökü Nil(R) kümesine ve diğer kökü ise 1+Nil(R) kümesine aittir. (2) χ ( A(x) ) denkleminin bir kökü Nil ( R[[x]]/(x m ) ) kümesine ve diğer kökü ise 1 + Nil ( R[[x]]/(x m ) ) kümesine aittir. İspat: Eğer S = R[[x]]/(x m ) denilirse o zaman S = { m a n x n a 0, a 1,, a m R, x m+1 = 0} ve Nil(S) = {a 0 + a 1 x + + a m x m a 0 Nil(R), a 1,, a m R, x m+1 = 0} olur. n=0 (1) (2) Kabul edelim ki χ ( A(0) ) = y 2 µy λ polinomunun bir sıfırı α Nil(R) ve diğer sıfırı β 1+Nil(R) olsun. Eğer y = m b i x i denilirse o zaman c i = i b k b i k için y 2 = m c i x i dir. µ 0 = µ ve λ 0 = λ için µ(x) = m µ i x i, λ(x) = m λ i x i R[[x]] i=0 olsun. Bu durumda b 2 0 b 0 µ 0 λ 0 = 0 (b 0 b 1 + b 1 b 0 ) (b 0 µ 1 + b 1 µ 0 ) λ 1 = 0 (b 0 b 2 + b b 2 b 0 ) (b 0 µ 2 + b 1 µ 1 + b 2 µ 0 ) λ 2 = 0. denklemleri sağlandığında y 2 µ(x)y λ(x) = 0 da sağlanır. Açık olarak µ 0 = tra(0) = α + β U(R) dir. Eğer b 0 = α alınırsa o zaman R değişmeli ve yerel bir halka olması sebebiyle i=0 i=0 i=0 k=0 b 0 b 1 + b 1 (b 0 µ 0 ) = λ 1 + b 0 µ 1 sağlanacak biçimde bir b 1 R mevcuttur. Benzer şekilde b 0 b 2 + b 2 (b 0 µ 0 ) = λ 2 b b 0 µ 2 + b 1 µ 1 olacak biçimde bir b 2 R vardır. Bu şekilde ilerlemeye devam edilerek b 3, b 4,..., b m elde edilir. Dolayısıyla y 2 µ(x)y λ(x) = 0 denkleminin bir kökü α(x) Nil(S) 22

31 dir. Eğer b 0 = β alınırsa o zaman benzer adımlar yapılarak gösterilebilir ki y 2 µ(x)y λ(x) = 0 denkleminin diğer kökü β(x) 1 + Nil(S) dir. (2) (1) χ ( A(x) ) = y 2 µ(x)y λ(x) = 0 denkleminin bir kökü α(x) Nil(S) ve diğer kökü β(x) 1 + Nil(S) olsun. Bu durumda µ(x) = tra(x) ve λ(x) = deta(x) dir. Böylece µ(0) = tra(0) ve λ(0) = deta(0) olduğu görülür. Dolayısıyla χ ( A(0) ) = y 2 µ(0)y λ(0) dır. Kabul gereğince α(x) 2 µ(x)α(x) λ(x) = 0 ve β(x) 2 µ(x)β(x) λ(x) = 0 olduğundan α(0) 2 µ(0)α(0) λ(0) = 0 ve β(0) 2 µ(0)β(0) λ(0) = 0 olup χ ( A(0) ) = y 2 µ(0)y λ(0) polinomunun bir sıfırı α(0) Nil(R) ve diğer sıfırı β(0) 1 + Nil(R) olur. Lemma R bir değişmeli halka olsun. Bu durumda M n ( Nil(R) ) Nil ( Mn (R) ) sağlanır (Chen 2012). Önerme R bir değişmeli halka ve A M n (R) olsun. Aşağıdakiler denktir. (1) A üstel sıfır matristir. (2) χ(a) polinomunun başkatsayısı hariç diğer tüm katsayıları üstel sıfırdır. (3) h(a) = 0 ve başkatsayısı hariç diğer tüm katsayıları üstel sıfır olacak şekilde bir h R[x] polinomu vardır (Dorsey 2006). Teorem R bir değişmeli yerel halka ve m 1 için ( A(x) M 2 R[[x]]/(x m ) ) olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir. (1) A(0) M 2 (R) nil-yarı kutupludur. ( (2) A(x) M 2 R[[x]]/(x m ) ) nil-yarı kutupludur. İspat: (1) (2) Dikkat edilmelidir ki R değişmeli yerel halka olduğundan S = R[[x]]/(x m ) halkası da değişmeli yereldir ve Nil(S) = {a 0 + a 1 x + + a m x m a 0 Nil(R), a 1,, a m R, x m+1 = 0} dır. Teorem gereğince ispatın tamamlanabilmesi için aşağıdaki durumlar göz önüne alınmalıdır: 23

32 (i) A(0) Nil ( M 2 (R) ), (ii) A(0) + I 2 Nil ( M 2 (R) ), (iii) χ ( A(0) ) = t 2 tr ( A(0) ) t + det ( A(0) ) = 0 denkleminin bir kökü Nil(R) kümesine ve diğer kökü 1 + Nil(R) kümesine aittir. Eğer A(0) Nil ( M 2 (R) ) ise o zaman Önerme gereğince χ( A(0) ) polinomunun başkatsayısı hariç diğer tüm katsayıları üstel sıfırdır. Bu durumda tra(0), deta(0) N il(r) olup tra(x), deta(x) N il(s) dir. Cayley-Hamilton Teoremi gereğince A(x) 2 tra(x)a(x) + deta(x)i 2 = 0 olduğundan A(x) 2 M 2 ( Nil(S) ) dir. Lemma ışığında A(x) 2 Nil ( M 2 (S) ) olup A(x) Nil ( M 2 (S) ) elde edilir. Böylece A(x) M 2 ( S ) nil-yarı kutupludur. Eğer A(0) + I2 Nil ( M 2 (R) ) ise bir önceki durumda yapılan tartışmalara benzer şekilde A(x) + I 2 Nil ( M 2 (S) ) olduğu gösterilebilir. Dolayısıyla A(x) M 2 ( S ) nil-yarı kutupludur. Son olarak χ ( A(0) ) polinomunun bir sıfırının Nil(R) kümesine ve diğer sıfırının 1 + Nil(R) kümesine ait olduğunu kabul edelim. Lemma gereğince χ ( A(x) ) in bir kökü Nil(S) kümesine ve diğer kökü 1+Nil(S) kümesine aittir. Teorem den A(x) nil-yarı kutupludur. (2) (1) İlk kısımdaki ispata benzer şekilde ispat yapılabilir. Örnek Z 4 [[x]]/(x 2 ) bölüm halkası R ile gösterilmek üzere M 2 (R) halkasındaki A(x) = 2 + (x2 ) 2 + 2x + (x 2 ) matrisi göz önüne alınsın. Açık olarak Z x + (x 2 ) 1 + 3x + (x 2 ) bir değişmeli yerel halkadır. A(0) = 2 2 olduğundan χ ( A(0) ) = t 2 tra(0)t+ 2 1 deta(0) = t 2 3t+2 = (t 1)(t+2) polinomunun bir sıfırı 2 Nil(Z 4 ) ve diğer sıfırı Nil(Z 4 ) tür. Teorem gereğince A(0) M 2 (Z 4 ) nil-yarı kutupludur. Teorem ışığında A(x) M 2 (R) nil-yarı kutuplu olarak bulunur. 24

33 4. ÖZEL MORİTA İÇERİKLİ HALKALAR ve ÖZELLİKLERİ Bu bölümde Morita içerikli halkaların yeni bir sınıfı olan özel Morita içerikli halka kavramı tanımlanıp temel özellikleri ve yarı kutuplu olma özellikleri incelenmiştir. 4.1 Özel Morita İçerikli Halkaların Özellikleri Bu kısımda özel Morita içerikli halkaların Jacobson radikali ve merkezi belirlenip bu halka sınıfının bazı kavramsal temelleri ortaya koyulmaktadır. Ayrıca yeni bir halka sınıfı olan zayıf yarı kutuplu halka kavramı tanımlanıp yarı kutuplu halkalar ile arasındaki ilişki araştırılmıştır. İlk olarak özel Morita içerikli halka tanımı verilsin. Tanım (A, B, M, N, ψ, φ) Morita içerikli halka olsun. Eğer A = B = R, M = N ve ψ = φ olarak alınırsa o zaman (R, M, φ) Morita içerikli halkasına özel Morita içerikli halka (special Morita context ring) denir ve (R, M, φ) cebirsel yapısı kısalık için S ile gösterilmiştir. Aşağıda verilen teoremin ispatında, Sands (1973) tarafından elde edilmiş ( M : J(R) ) = ( J(R) : M ) özelliği kullanılmaktadır. Teorem R bir halka olsun. Bu durumda ( ) J(R) M : J(R) J(R) J(S) = ( ) = ( ) M : J(R) J(R) J(R) : M ( J(R) : M ) J(R) olur. İspat: K := J(R) ( ) J(R) : M ( J(R) : M ) J(R) olsun. Kolayca görülebileceği üzere K kümesi S nin bir sol idealidir. Kabul edelim ki a, b J(R) ve m, n ( M : J(R) ) için α = a m K olsun. Bu durumda I 2 α = 1 a m dır. a, b J(R) n b n 1 b 25

34 olduğundan 1 a, 1 b U(R) elde edilir. Böylece x(1 a) = (1 a)x = 1 olacak biçimde bir x R vardır. m ( M : J(R) ) ve b J(R) olduğundan 1 φ(n xm) b = 1 φ(nx m) b U(R) olup [1 φ(nx m) b]y = 1 = y[1 φ(nx m) b] olacak şekilde y R mevcuttur. Gösterilebilir ki x φ(xmy nx) xmy (I 2 α) = I 2 dir. ynx y Bundan dolayı I 2 α matrisi S içinde sol tersinir olup K J(S) bulunur. Karşıt olarak β = p q J(S) ve x R olduğunu kabul edelim. Bu durumda r s I 2 β x 0 matrisi S içinde sağ tersinir olup 1 px elemanı R içinde sağ 0 0 tersinir olarak elde edilir. Yani p J(R) dir. Benzer şekilde s J(R) olduğu gösterilebilir. Şimdi q, r ( M : J(R) ) olduğu gösterilmiştir. Bunun için m M alınsın. β J(S) olduğundan I β matrisi S içinde sol tersinir olup m 0 1 φ(m q) elemanı R de sol tersinir olarak bulunur. Yani, q ( M : J(R) ) dir. Aynı şekilde r ( M : J(R) ) de sağlanır. Böylece K = J(S) elde edilir. Teorem nin bir çıkarımı olarak aşağıdaki sonuç hemen verilebilir. Sonuc R bir halka ve Imφ J(R) olsun. Bu durumda J(S) = J(R) M olur. M J(R) Önerme R bir halka ve Imφ J(R) olsun. Eğer J(R) üstel sıfır ise, o zaman J(S) de üstel sıfır idealdir. İspat: Kabul edelim ki bir t N için ( J(R) ) t = 0 olsun. Doğrudan yapılacak bir hesaplama ile 26

35 ( ) t ( ) t J(R) + Imφ M J(S) ( ) t M J(R) + Imφ = Imφ M M Imφ = T olduğu görülebilir. Ayrıca T 2 = Imφ Imφ M Imφ M Imφ olup T 2t = ( Imφ ) t ( Imφ ) t M ( Imφ ) t M ( Imφ ) t = 0 bulunur. ( J(S) ) 2t 2 = 0 olup bu J(S) nin üstel sıfır olması demektir. Halka teorisi üzerinde yapılan çalışmalarda çalışılan halka sınıfının merkezini belirlemek cebirsel açıdan çok büyük öneme sahiptir. Bu nedenle aşağıdaki lemma çalışmanın diğer sonuçları için verilmektedir. Lemma R bir halka olmak üzere C(S) = a 0 a, b C(R) ve her m M için am = mb, bm = ma 0 b dır. İspat: İspat kolay bir şekilde yapılabilir. Lemma R bir halka ve Imφ J(R) olsun. Bu durumda u n m v elemanının S içinde tersinir olması için gerek ve yeter şart u ve v elemanlarının R içinde tersinir olmasıdır. İspat: Keyfi bir halka için Jacobson radikaline göre bölüm halkasındaki tersinir elemanlar her zaman halkanın kendisinde tersinirdir. Bu nedenle ispat Sonuç gereğince tamamlanır. Lemma R bir yerel halka ve α 2 = α S olsun. Bu durumda βαγ = veya β(i 2 α)γ = 0 0 olacak biçimde β, γ U(S) vardır

36 İspat: e, f R ve m, n M olmak üzere α = e n matris olduğundan m f olarak alalım. α eşkare e = e 2 + φ(m n), m = em + mf, n = ne + fn, f = f 2 + φ(n m) elde edilir. Eğer e tersinir ise o zaman görülebilir ki 1 0 e ne 1 1 n m 1 f 0 1 e 1 m sağlanır. Benzer şekilde f U(R) iken βαγ = = 0 0 e 0 0 f φ(ne 1 m) olacak şekilde β, γ U(S) nin mevcut olduğu da gösterilebilir. Kabul edelim ki e, f J(R) olsun. Bu durumda (1 e)x = x(1 e) = 1 olacak biçimde bir x R vardır. Böylece olup ispat tamamlanır. x 0 nx 1 (I 2 α) 1 xm = Sonuc R bir yerel halka ve α 2 = α S olsun. Bu durumda βαβ 1 = 0 olacak şekilde bir β U(S) vardır. 0 İspat: Song ve Guo nun (1999) yılındaki çalışmasında Teorem 4 de kullanılan tekniğe benzer biçimde α nın 0 matrisine benzer olduğu gösterilebilir. 0 M bir (R, R)-bimodül ve a R olsun. Bu durumda M nin l a : M M ve r a : M M ile gösterilen abel grup endomorfizmaları her m M için sırasıyla, l a (m) = am ve r a (m) = ma şeklinde tanımlıdır. Aşağıdaki ispatsız olarak verilen lemma ve sonuç, bu bölümün geri kalan kısmında çok sık bir şekilde kullanılmıştır. 28

37 Lemma α = x 0 0 y, X = a n m b S olsun. Bu durumda X comm(α) olması için gerek ve yeter şart a comm(x), b comm(y), m ker(l x r y ) ve n ker(l y r x ) olmasıdır. Sonuc x y ve x, y {0, 1} için α = x 0 0 y comm(α) = a 0 a, b R 0 b olur. S olsun. Bu durumda Lemma R bir halka olsun. Bu durumda a n S nin bir otomorfizmasıdır. m b b m n a dönüşümü Uyarı R, S iki halka ve f : R S bir halka izomorfizması olsun. O zaman a R nin yarı kutuplu eleman olması için gerek ve yeter şart f(a) S nin yarı kutuplu olmasıdır. Lemma R bir yerel halka olsun. Bu durumda için gerek ve yeter şart a 0 0 b J(S) olmasıdır. a 0 0 b QNil(S) olması İspat: R bir yerel halka olduğundan J(R) = QNil(R) olup ispat kolayca yapılabilir. Eğer a + p U(R) ve a k p J(R) olacak biçimde bir p 2 = p comm(a) ve k N varsa o zaman p eşkare elemanının tek olması için gerek ve yeter şart p comm 2 (a) olmasıdır (Wang ve Chen 2012). Aşağıdaki teorem ile bu sonuç genelleştirilmektedir. Teorem R bir halka olmak üzere kabul edelim ki a, p R için p 2 = p comm(a), a + p U(R) ve ap QNil(R) sağlansın. Bu durumda p comm 2 (a) olması için gerek ve yeter şart p eşkare elemanının tek olmasıdır. 29

38 İspat: Eğer p comm 2 (a) ise o zaman Önerme gereğince p tek olarak belirlidir. Karşıt olarak kabul edelim ki p tek ve bir x R için xa = ax olsun. Eğer c := xp pxp ve b = (a + p) 1 (1 p) denilirse o zaman ab 2 = b, 1 p = ab = ba, p + c =: e eşkare eleman, ep = e ve pe = p olarak elde edilir. a + e U(R) ve ae QNil(R) olduğu gösterilmiştir. (a + e)(b + p) = 1 + ap + px(1 p)(b + p) = 1+pa+pxb = 1+p(a+xb) nin tersinir olması gerek ve yeter şart 1+(a+xb)p = 1+ap nin tersinir olmasıdır ve ap QN il(r) olduğundan a+e sağ tersinir olarak bulunur. Ayrıca (b + p)(a + e) = 1 + ap + px pxp = 1 + ap + pxab = 1 + ap(1 + xb) nin tersinir olması için gerek ve yeter şart 1 + (1 + xb)ap = 1 + ap nin tersinir olmasıdır. Bu nedenle a + e aynı zamanda sol tersinirdir. Böylece a + e tersinir olarak bulunur. İkinci kısım için y R olmak üzere yae = aey olsun. 1 + aey elemanının tersinir olduğu ispatlanacaktır. Bilindiği üzere ep = e olduğundan 1+aey U(R) olması için gerek ve yeter şart 1 + aye = 1 + ayep U(R) gerek ve yeter şart 1 + papye U(R) olmasıdır. Ayrıca papye = paye = peaye = paeye = pyae ve pyepa = pyaep = pyae olup pa QNil(R) sağlandığından 1+papye U(R) olur. Bu durumda e = p+c = p olup p tek olduğundan c = 0 dır. Yani xp = pxp sağlanır. Aynı şekilde px = pxp olduğu da gösterilebilir. Sonuç olarak xp = px olur ki bu p comm 2 (a) olduğunu gösterir. Böylece ispat tamamlanır. Tanım R bir halka ve a R olsun. Bu durumda a + e U(R) ve ae QNil(R) olacak şekilde bir e comm(a) eşkare elemanı varsa a elemanına zayıf yarı kutuplu (weakly quasipolar) eleman denir. Eğer bu yazılıştaki eşkare eleman e tek ise o zaman a elemanına tek türlü zayıf yarı kutuplu (uniquely weakly quasipolar) eleman denir. Her elemanı (tek türlü) zayıf yarı kutuplu olan R halkasına (tek türlü) zayıf yarı kutuplu halka denir. Uyarı Koliha (1996) yılındaki çalışmasında, Banach cebirlerinde zayıf yarı kutuplu eleman ile yarı kutuplu elemanların birbirine denk olduğunu ispatlamıştır. Fakat aşağıdaki örnekte görüleceği üzere bu durum halkaların üzerinde genel olarak doğru değildir. Z 2 üzerinde sayılabilir çoklukta değişkene sahip polinom halkasının (t 1 ) asal ideali üzerindeki yerelleştirilmiş halkası R = Z 2 [t 1, t 2,...] (t1 ) 30

39 olsun. σ dönüşümü σ(t i ) = t i + 1 ile tanımlı olmak üzere R[[x; σ]] yarı formal kuvvet serisi halkası yereldir. t 1 J ( R[[x; σ]] ) ve t 2 U ( R[[x; σ]] ) olmak üzere A = t 2 0 ( ) M 2 R[[x; σ]] matrisini göz önüne alalım. Elemanter olarak 0 t 1 yapılacak hesaplamalar ile A matrisi E 1 = 0 x ve E 2 = 0 0 eşkare mat rislerine göre zayıf yarı kutupludur. Böylece A yarı kutuplu matris değildir. Teorem gereğince aşağıdaki sonuç verilebilir. Sonuc R bir halka olsun. Bir a R için aşağıdaki ifadeler denktir. (1) a tek türlü zayıf yarı kutuplu elemandır. (2) a yarı kutupludur. 4.2 Özel Morita İçerikli Halkaların Yarı Kutupluluğu Çalışmamızın bu kısmında değişmeli olmayan yerel halka üzerindeki özel Morita içerikli halkaların yarı kutupluluk özellikleri incelenmektedir. İlk olarak bu inceleme için ihtiyaç duyulan bazı tanım ve teoremler verilmiştir. Tanım Her a J(R), b U(R) için M (R, R)-bimodülünün l a r b ve l b r a endomorfizmaları birebir (örten) ise o zaman M ye cobleached (bleached) modül denir. Eğer bu dönüşümler hem örten hem de birebir ise o zaman M ye tek türlü bleached (uniquely bleached) modül denir. Huang vd. (2014) yılında yapmış oldukları çalışmada R halkasını yerel kabul ederek K s (R) halkasının yarı kutuplu olması durumunda R nin cobleached halka olduğunu göstermişlerdir. Aşağıda verilen sonuç ile R halkası üzerine konulan yerel olma şartı kaldırılmış ve K s (R) halkasının daha genel hali olan S halkası için ispat verilmiştir. 31